第 6 章利用 matlab 语言求解科学运算问题

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Slide 1 (of 97)数学建模课程模板东北大学信息学院

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第 6 章利用 MATLAB 语言求解科学运算问题

东北大学信息学院薛定宇

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本课程参考书薛定宇、陈阳泉，高等应用数学问题的 MATLAB 求解， 2004,2008 ，清华大学出版社（用于以后求解问题参考）

MATLAB 语言符号运算局限性：目前只支持 32 位 MATLAB 运行，在 64 位操作系统上必须安装 32 位版 MATLAB

从 MATLAB 2008b 开始，符号运算放弃了 Maple 内核，改用 MuPAD 作为符号运算引擎，功能变弱了很多，好些问题不能再求解了

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本章内容提要（内容多，因学时限制，入门介绍）

（详细内容查阅参考教材）解析解与数值解 ch1

线性代数问题求解 ch4 简单介绍非线性方程求解 ch6

最优化问题求解 ch6

微分方程求解 ch7

数据插值、处理与拟合 ch8

其他应用

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6.1 解析解与数值解由已知公式一步步推导出的解

例如，高等数学计算，复杂问题不能手工求解，需要借助计算机

解析解不存在或不现实，需要数值解不存在

不存在，，，，，，，高阶矩阵的行列式，计算量

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6.2 线性代数问题的计算机求解矩阵分析问题由简单命令即可

行列式 det(A)

特征值 eig(A) ， [v,d]=eig(A)

逆矩阵 inv(A) ，伪逆 pinv(A)

范数 norm(A,1), norm(A,2), norm(A,inf)

特征多项式系数 poly(A)

函数调用方法eig(A), eig(sym(A))

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6.2.2 其他线性代数问题求解线性代数方程求解

解的判定矩阵三种情况

唯一解无穷多解无解，最小二乘解

Lyapunov 方程、 Riccati 方程等lyap 、 are 等函数可以直接求解

矩阵函数求解

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6.3 非线性方程求解非线性方程的解析解

什么时候存在解析解？单变量多项式方程可以转换成单变量多项式方程的多元方程

准解析解非线性方程的数值解

图解法任意指定初值进行搜索求解非线性矩阵方程的求解

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6.3.1 非线性方程的解析解求解MATLAB 的 solve 函数可以求解方程

简单例子：鸡兔同笼问题的直接求解数学问题

MATLAB 求解语句

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复杂例子数学形式

MATLAB 求解语句（准解析解）

解的检验

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另一个复杂例子

求解

检验

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非线性方程的准解析解考虑非线性方程

求解

验证

问题：该方程只有这一个解吗？

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6.3.2 一元、二元方程的图解法图解法只适合求解一元、二元方程利用隐函数绘制函数 ezplot ，辅以 hold on ，可以把联立方程的解画在一个坐标系下重解前例

MATLAB 语句

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6.3.3 一般非线性方程的数值求解方程的标准型

其中，均是列向量或矩阵，维数相同求解步骤：

选择变量，将非线性方程表示成标准型形式编写MATLAB 程序描述原方程

*.m 函数形式、 inline 函数、匿名函数形式调用 fsolve 函数求解方程

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求解实例，仍考虑前面例子

选择变量，则

向量形式

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用 MATLAB描述匿名函数描述

MATLAB 函数描述，生成 myeq.m文件

求解、验证

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提高求解精度停止迭代条件

TolX

TolFun

MaxIter: 最大迭代步数超限，默认 500 步设置方法

求解、检验

寻找其他解：换初值

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6.3.4 非线性矩阵方程计算机求解能直接求解矩阵方程举例，扩展 Riccati 方程

其中

求解、检验、其他解

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6.3.5 求解方法比较、总结图解法

局限性：一元二元，精度低优点：显示出感兴趣区域全部实根

准解析解方法局限性：多项式类方程、不能选择初值优点：全部根包括复根、精度高

一般数值解法局限性：实根、依赖于初值优点：任意非线性方程、精度适中、矩阵方程

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6.4 最优化问题求解无约束最优化问题有约束最优化问题

特殊问题线性规划二次型规划

一般问题进化算法及其全局最优解法整数规划、混合整数规划、 0-1规划动态规划与最短路径求解

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6.4.1 无约束最优化问题求解数学形式，最大值问题的变换物理意义介绍目标函数描述匿名函数、 M 函数

MATLAB 求解

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无约束最优化求解举例

求解步骤变换成标准型，引入，则

描述目标函数

求解

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图形验证

中间过程

-3 -2 -1 0 1 2 3-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

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带有变量边界约束的最优化问题数学描述

问题求解方法可以按照有约束最优化问题求解利用免费工具箱求解

http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/

loadFile.do?objectId=8277&objectType=file

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最优化问题求解其他考虑

全局最优解和局部最优解几何解释如何避免

初值考虑、多初值并行算法，如遗传算法

最优化加速算法最优区域过于平缓

考虑采用利用梯度信息

0 0.5 1 1.5 2 2.5

-0.5

0

0.5

1

t

0.5

1

1.5

0.5

1

1.50

50

100

150

200

250

300

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6.4.2 有约束最优化问题的求解有约束最优化问题的数学形式

约束条件，≥不等式的处理特殊形式

线性规划问题二次型规划形式

一般最优化问题

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线性规划问题

一般数学形式

MATLAB 求解

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线性规划问题举例

提取矩阵、向量，对号入座

求解

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双下标线性规划问题举例

线性规划不能直接求解双下标问题引入变换，变成单下标问题，如

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变换后的问题

求解

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二次型规划问题求解数学标准型

MATLAB 求解函数

注意事项注意 1/2 系数

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一般有约束非线性规划问题求解数学形式

MATLAB 求解

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非线性规划举例

非线性约束条件的 MATLAB描述

目标函数

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求解

另一种求解方法

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实际最优化问题举例数学形式

多个变量需要优化，不能直接求解引入决策变量进行替换，生成 x 向量

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变换后的最优化问题标准型

非线性规划线性等式不等式约束、非线性等式约束

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非线性约束

问题求解

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6.4.3 进化算法及全局最优解法为什么要引入进化算法？传统方法过于依赖初值，容易产生局部最优解一元函数举例

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

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常用进化算法遗传算法PSO—粒子群优化算法蚁群算法遗传算法的基本思路基于生物界优胜劣汰、适者生存法则寻优同时从多点开始并行搜索全局最优点用数学方法实现了交叉、遗传、变异等常用概率方法进化，每次的结果不同

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遗传算法最优化工具箱 (GAOT) 下载http://www.ise.ncsu.edu/mirage/GAToolBox/gaot/

主函数调用

遗传算法与直接搜索工具箱（ GADS ）

两个遗传算法工具箱可以使用

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求最大值目标函数定义（ GAOT ）

求解方法GAOT 工具箱求解

GADS 解法

单变量最优化问题举例

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GAOT 工具箱求解

GADS 工具箱求解

多变量问题举例

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线性规划

GAOT 求解不能求解有约束最优化，引入惩罚函数，即不满足约束条件时认为设置小目标函数不能求解等式约束，需要解出，如

有约束最优化问题求解

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含有约束条件的目标函数（两个变量）

求解语句

线性规划问题直接求解

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遗传算法小结优点

可以求取全局最优解计算量恒定，适合于在线寻优缺点

适用范围窄，无约束最优化精度低

利用遗传算法的优点用遗传算法获得不精确的初值由初值出发利用传统搜索方法寻优

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6.4.4 整数规划和混合整数规划什么是整数规划、混合整数规划、 0-1规划数学形式

常用有效求解算法：分枝定界法利用免费工具箱 bnb20 直接求解

下载地址http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/95

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bnb20 工具箱使用和改进调用格式

关键点： intlist 的写法程序编写较早，有待改进

调用前

调用后

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整数规划举例数学问题（线性规划）

要求所有决策变量均为整数

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混合整数规划若决策变量 1,4,5 要求为整数

bnb20 的局限性不能采用匿名函数版本兼容性需要小修改

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0-1 规划问题求解MATLAB 只提供了 0-1 线性规划问题求解函数 binprog ，不能求解一般非线性问题

可以利用 bnb20 直接求解求解技巧：分别设置为 0 、 1 向量

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6.5 动态规划及最短路径求解动态规划

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可以利用生物信息学工具箱函数直接求解先输入有向图信息（自动布局）

求解

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生物信息学工具箱函数局限性复杂问题自动布局困难也可以利用著名的 Dijkstra 算法编程求解

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6.6 微分方程问题求解解析解求解常系数线性微分方程解析解微分方程组解析解极特殊非线性微分方程解析解

微分方程数值解标准型及其求解一般微分方程组的标准型转换特殊微分方程求解边值问题的计算机求解

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6.6.1 微分方程的解析解方法直接调用 dsolve 函数

直接求解的优点通用格式无需记忆方程的手工解法、技巧可以求解复杂问题

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数学形式

先不考虑初值，演示通解的解法直接求解

微分方程求解举例

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特解的解法

结果

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解析解的一个反例非线性微分方程求解

问题

求解

非线性微分方程变形试图求解

唯一方法：数值解

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微分方程组的解析解微分方程组举例

MATLAB 求解

解析解

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6.6.2 微分方程初值问题的数值解法初值问题的标准型

, 已知MATLAB 求解步骤写出标准型描述标准型匿名函数、 M 函数和 inline 函数

求解

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Lorenz 微分方程举例及可视化数学形式

微分方程描述

求解

可视化

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M 函数方法

变步长求解方法与精度设定精度控制量

不会过多增大计算量微分方程解的验证

选择不同的 RelTol 参数

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Lotka-Volterra 捕食模型数学模型

引入变量进行变换，令

MATLAB 求解

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带有附加参数的微分方程求解什么是附加参数？为什么使用附加参数？描述微分方程时引入附加参数匿名函数

M 函数

求解时使用

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不同参数下的 Lorenz 问题求解数学模型

附加参数问题描述

求解

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6.6.3 微分方程的标准化一般微分方程如何求解？常见微分方程类型

高阶微分方程的变换高阶微分方程组的变换显式微分方程组隐式微分方程组容易解出的方程引入代数方程求解方法

转换后可以直接求解

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高阶微分方程的转换常见高阶微分方程形式

状态变量选择方法不唯一，结果不唯一常见选法变换后模型

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举例： Van der Pol 方程数学模型

解析解不存在引入状态变量变换后模型

求解

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Van der Pol 方程结果

解的验证极限环

不同初值得出不同极限环状态变量选择不同，模型不唯一

如很大时用 ode45 无解，刚性方程 ode15s

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显式高阶微分方程组变换数学形式

状态选择

转换模型

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Apollo 轨迹模型数学形式

初值

状态变量选择

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变换后标准化模型

求解

验证

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隐式微分方程组的变换例子数学模型

状态变量选择变换后模型

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6.6.4 特殊微分方程求解

矩阵微分方程求解刚性方程求解隐式微分方程求解微分代数方程求解延迟微分方程求解切换微分方程求解随机微分方程求解

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6.6.5 边值微分方程的求解数学模型

二阶

一般

MATLAB 求解函数

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二阶边值问题举例数学问题

变换方程边值方程

MATLAB 求解

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含未知参数的边值问题数学问题

变量选择MATLAB 求解

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6.7 数据处理插值运算

一元插值二元网格样本数据插值二元一般样本数据插值基于数据的数学模型拟合

多项式拟合非线性原型函数的最优拟合基于神经网络的数据拟合

数据的统计分析

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6.7.1 数据插值什么是插值？什么是曲线（曲面）拟合？

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

-3 -2 -1 0 1 2 3-2

-1

0

1

2

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

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一元函数的插值与曲线拟合数学问题

已知：样本点

求未知点 X 处函数值 Y

MATLAB 求解步骤生成样本点数据向量

插值问题求解 ‘linear’, ‘cubic’

‘spline’

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一元插值举例由已知函数生成一组样本点，观察能否较好地插值拟合原曲线

样本数据生成与显示

MATLAB 命令

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插值问题的极端例子

正弦函数的曲线拟合假设已知稀疏点 0,0.4,1.2,2, 处的函数值样本点计算与显示

插值运算、曲线拟合

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插值问题的反例

假设由快速变化的函数生成一组稀疏的样本点，例如稀疏数据生成和样本点显示

数据插值与曲线拟合效果

样本点信息不足

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二元网格样本点的插值已知在 x-y 平面上网格点处的 z 值，如何拟合 x-y 平面内任意点插值？如何拟合曲面？二元插值求解步骤：构造网格数据标准型（ meshgrid 函数）

二元函数插值求解

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二元网格数据插值举例网格样本点数据原型函数

稀疏数据生成

数据插值

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一般分布数据的二元插值问题样本点不一定在网格上

已知向量，计算点上的函数值常规曲面图绘制命令不能绘制曲面数据插值方法：

曲面图绘制方法：让插值点 x,y 在网格上插值后直接利用 surf 函数进行曲面绘制

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插值举例由原型函数生成随机发布的数值

MATLAB 语句

插值运算

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插值应用：由离散样本点进行最优化

前面介绍的最优化是已知函数的最优化如果未知函数，可以考虑插值去拟合最优化举例

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6.7.2 由数据拟合数学模型为什么要拟合数学模型？

插值只能求出感兴趣点的函数值有时需要数学模型表示需要由模型推导其他内容

能拟合出那些模型多项式模型已知非线性函数模型其他领域模型，如控制中拟合传递函数模型神经网络模型

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由数据拟合出多项式数学问题

已知样本点数据

求出一个拟合多项式（系数）问题求解步骤：

准备数据向量设定多项式次数 n

拟合多项式检验拟合效果，如果不好，重新选择次数 n

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多项式拟合举例考虑原型函数的系数样本点

生成数据

对不同多项式次数拟合，观察效果

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已知原型函数的最优函数拟合数学问题描述

已知样本点已知原型函数（未知具体参数） fun

求出函数系数，使得拟合误差最小求解步骤：生成样本点向量描述原型函数：匿名函数和M 函数最优拟合

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一元函数拟合举例原始函数原型函数生成数据和原型函数的 MATLAB 表示

曲线拟合

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多元函数拟合举例原函数原型函数生成样本点

写出原型函数

求解

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神经网络模型模拟生物神经网络进行计算、近似等适合数据拟合的神经网络类型

前馈神经网络（反向传播 BP 算法）径向基网络 (RBF网络 )

径向基网络的使用建立网络训练网络泛化

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原始问题生成数据、拟合、比较径向基神经网络拟合

一元拟合举例

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二元函数拟合举例原始问题

数据生成、拟合、比较径向基网络拟合

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6.7.3 数据的统计分析

已知数据矩阵 X

统计量计算均值 mean(X) （按列计算）每列数据的方差 cov(X(:,i))

标准差 std(X(:,i))

协方差矩阵 cov(X)

相关系数矩阵 corrcoef(X)

第 6 章 利用 matlab 语言 求解科学运算问题

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第 6 章利用 matlab 语言求解科学运算问题