a b

数值积分的基本概念

( )f

1

( ) ( )nb

ia

i

f d f h

定义一维函数 ( )f

1

( ) ( )nb

i ia

i

I f d W f

权系数 积分点

求 ( )b

af d

问题：

对于任意函数f(x)如何有效精确积分？

Newton-Cotes (牛顿-柯特斯)积分方案

Gaussian （高斯）积分方案

Newton-Cotes 公式

1、取n+1个等间距分布的点，构造Lagrange多项式

a b

( )f

0 1 na b

0

( ) ( ) ( )n

n i ii

L l f

0 1 1

0 1 1

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

i i ni

i i i i i i n

l

0

( ) d ( )d ( ) ( ) dn

b b b

n i ia a a

i

f L l f

a b

( )f

2、建立等效（等价）积分替代原积分方案

0 1 na b

0 0

( ) d ( ) ( ) d ( ) ( )dn n

b b b

i i i ia a a

i i

f l f f l

( )db

i ia

W l

a b

( )f

3、求出等效积分方案的权系数

1

( ) d ( )nb

i ia

i

f W f

0 1 na b

( )db

i ia

w l

0 1 1

0 1 1

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

i i ni

i i i i i i n

l

0 1 1

0 1 1

( ) ( )( ) ( )d

( ) ( )( ) ( )

bi i n

ia

i i i i i i n

w

于是可得到

n = 1~8 的Cotes 系数 1

( ) d ( )nb

i ia

i

f W f

0 1 1( ) ( ) ( )( ) ( )i i n

1

( ) dn b

j j j

i ia

i

高斯积分

定义权系数

令

从而确定 i

a b

( )f

0 1 na b

f()

-1 1 3/1 3/1

( )3/1f ( )3/1f

)3

1()

3

1()(

1

1

ffdf

一维高斯积分

积分精度到达2n-1=3次，即对于3次多项式能精确积分。

1 1

1 1( , )I f d d

二维高斯积分

1

1

1 1

3

1,

3

1

3

1,

3

1

3

1,

3

1

3

1,

3

1

1 1

1 1

1

11

1 1

1 1

( , )

( , )

( , )

( , )

M

j j

j

M M

i j i j

i j

M M

ij i j

i j

I f d d

W f d

WW f

W f

沿着

其中Wij =Wi Wj

方向布置1维积分点

沿着 方向布置1维积分点