初三专题复习

—— 转化思想在解题中的运用　

执教 : 杨燕中

美国心理学家布鲁纳认为， “懂得基本原理使得学科更容易理解”．同学们学习了数学思想、方法就能够更好地理解和掌握数学内容．也有利于记忆．

1 、如图，边长为 4 的正方形 ABCD 的对称中心是坐标原点 O ， AB ∥ y 轴， BC ∥ x 轴，反比例函数

的图像均与正方形 ABCD 的边相交，则图中阴影部分的面积之和为 ___________.

xy

xy

22 与

试一试：A

y

xO

D

CB

试一试：2 、已知 x+y = 6 ， x·y = － 3 ，则 x2y + xy2 = _____.

4 、 a 、 b 、 c 是△ ABC 的三边，抛物线 y = x2 － 2(a－ b)x+c2 － 2ab 的顶点在 x 轴上，判断△ ABC 的形状( 写出判断过程 ).

3 、如图，已知 O 为圆锥的顶点， M 为圆锥底圆上的一点，点 P 在 OM 上 . 一只蜗牛从 P 点出发，绕圆锥侧面爬行，回到 P 点时所爬行的最短路线的痕迹如图所示 . 若沿 OM 将圆锥侧面剪开，则所得的展开图是 ( )

P

O

M

O O O O

M M M M

PP P P

( A ) ( B ) ( C ) ( D )

　　回顾与体会：

数学习题浩瀚无边，习题又可变式发散，故习题是林林总总，题量是万万千千，但是蕴涵在问题中的数学思想方法是永恒不变的，它是数学的核心、灵魂，是解决数学问题的有力武器和制胜法宝 .

将未知向已知转化，是一种重要的思维模式，也是解决数学问题的一种重要的思想和方法 . 当一个数学问题不能直接解决时，可转化为与它等价的问题加以解决，转化的常见方式有： 化“陌生”为“熟悉”，化 “复杂” 为“简单” ，化“不规范”为“规范”，化“未知”为“已知” .

转化思想：

例 1 ：将几个边长都为 1 的正方形按如图所示的方法摆放，点 A1 、 A2 、… An 分别是正方形的中心，则 n 个这样的正方形重叠部分 ( 阴影 )的面积和为 _________.

……

A1

A2

A3A4

练习 1 、如图以四边形 ABCD 的各个顶点为圆心，画互不相交且半径为 1 的等圆，则阴影部分面积的总和为 _________.

A

D

CB

（练习）

变式 1 、若四边形变为五边形 ABCDE ，其余条件不变，则阴影部分面积的总和为 _________.

AD

CB

（变式 1 ）

E

变式 2 、若图中各扇形所在的圆心角是五边形ABCDE 的外角，其余条件不变，则阴影部分面积的总和为 _________.

AD

CB

（变式 2 ）

E

例 2 ： A 、 B 两港口相距 100km ，一艘摩托艇在 A 、 B 两港口间往返匀速航行，摩托艇和 A 港口的距离 y(km) 与航行时间 t(h) 的关系如图所示 (12 小时航行了三个来回 ).另一艘货轮，当摩托艇第一次从 A 港口起航时，货轮同时起航，结果摩托艇第三次到达 B 港口时，货轮刚好到达 B 港口 .(1)求货轮和 A 港口的距离 y 与航行时间 x 之间的函数关系式 .(2) 两艘船第三次相遇 (刚开始不算 ) 是在货轮出发后几小时？此时货轮距离 A 港口多少千米？

O

100

4 8 12 x/h

y/km

M

N

例 3 ：如图，抛物线 y = － x2 + bx + c 与 x 轴交于A(1,0) 、 B( － 3,0) 两点 .(1)求该抛物线的解析式 .

(2) 设 (1) 中的抛物线交 y 轴于点 C ，在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q ，使得△ QAC 的周长最小？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 .

(3) 在第二象限内的抛物线上是否存在一点 P ，使得△ PBC 的面积最大？若存在，请求出点 P 的坐标及△ PBC 的面积最大值；若不存在，请说明理由 .

C

B A

O x

y

例 4 ：如图，已知射线 DE 与 x 轴和 y 轴分别交于点D(3,0) 和点 E(0,4) ，动点 C 从点 M(5,0) 出发，以 1 个单位 /秒的速度沿 x 轴向左做匀速运动，与此同时，动点 P从点 D 出发，也以 1 个单位 /秒的速度沿射线 DE 的方向做匀速运动 .设运动时间为 t 秒 .(1)请用含 t 的代数式分别表示点 C 和点 P 的坐标 ;

O BA●CD

E

P

●

M x

y(2) 以点 C 为圆心、 0.5t 个单位长度为半径的⊙ C 与 x 轴交于A 、 B 两点 ( 点 A 在点 B左侧 ) ，连接 PA 、 PB. ①当⊙ C 与射线 DE 有公共顶点时，求 t 的取值范围； ②当△ PAB 为等腰三角形时，求 t 的值 .

O BA●C D

E

P

●

M x

y

练习：如图，四边形 ABCD中， AD=CD ，∠ DAB=∠ACB=90°, 过点 D 作DE⊥AC 于点 F ，DE 与 AB 交于点 E.(1)求证： AB·AF=CB·CD.(2) 已知 AB=15cm ， BC=9cm ， P 是射线 DE 上的动点，

设 DP=xcm(x ＞ 0) ，四边形 BCDP 的面积为 ycm2.①求 y 与 x 之间的函数关系式 .②当 x 为何值时，△ PBC 的周长最小？求出此时 y 的值 .

A

D

C

BE

F

P ●

转化思想： 将未知向已知转化，是一种重要的思维模式，也是解决数学问题的一种重要的思想和方法。通过不断的转化，把“不熟悉、不规范”的问题转化为“熟悉、规范”的问题，把“复杂”的问题转化为“简单”的问题，把此一种方式的问题转化为彼一种方式的问题，使得问题得到解决。

……

A1

A2

A3A4

B

A

O

C

M

N

D

猜想：每个阴影部分面积为一个正方形面积的 .

4

1

B

A

O

C

M

N

D

Q

P