第一章三角

第一章第一章三角三角綜合練習

2第一章 / 綜合練習一﹑基礎題一﹑基礎題

解：方法一A, B 兩點的極坐標為 A[2, 150°] , B[3, 270°],

所以∠ AOB = 270° – 150° =120°,

由餘弦定理知

1. 若海軍某軍艦的雷達上 , 出現如右圖的 A, B 兩個亮點 , 試求此兩目標物的距離 .AB

請看課本 p.80請看課本 p.80


解：

1. 若海軍某軍艦的雷達上 , 出現如右圖的 A, B 兩個亮點 , 試求此兩目標物的距離

2 2 22 cosAB OA OB OA OB AOB

14 9 2 2 3 ( ) 19,

2

19.AB 所以

.AB



解：方法二極坐標其直角坐標為極坐標其直角坐標為所以

1. 若海軍某軍艦的雷達上 , 出現如右圖的 A, B 兩個亮點 , 試求此兩目標物的距離

[2,150 ],A ( 3,1),A 　[3,270 ],B (0, 3),B 　

2 2( 3) (1 3) 19.AB

.AB



解：∠A, ∠B 互為餘角 , 得 sinB = cosA, 所以原式亦為 4sinA – cosA = 1,

移項得 4sinA – 1 = cosA,

兩邊平方得 16sin2A – 8sinA + 1 = 1 – sin2A,

化簡得 17sin2A – 8sinA = 0, 因式分解得 sinA(17sinA – 8) = 0,

得或 sinA = 0 （不合） ,

2. △ABC 中 , 設∠ C = 90°, 若 4sinA – sinB = 1, 求 sinA.

8sin

17A 8

sin .17

A 所以



解：△ABC 的面積

3. △ABC 中 , ∠ABC = 60, ∠ABC 的角平分線交於 D, 已知 , 試求：

△ABC 面積 . 線段　　的長度 .

1 1 3 9 36 3 sin 60 6 3 .

2 2 2 2


6, 3AB BC

BD


解：設　　 = x,

因為△ ABD 的面積 +△BCD 的面積 =△ABC 的面積 ,

BD

1 1 9 36 sin30 3 sin30 ,

2 2 2x x 所以




6, 3AB BC

BD


解： 1 1 1 1 9 3

6 3 ,2 2 2 2 2

x x 即

2 3,x 整理得

2 3.BD 即




6, 3AB BC

BD


解：在△ ACD 中 , 由餘弦定理得

所以　　 = 7.

4.已知四邊形 ABCD 中 ,

線段　　的長 . 線段　　的長 .

8, 8, 3AB CD AD 且60 ,ABC ADC 試求：

AC BC

2 2 23 8 2 3 8 cos60AC 1

9 64 2 3 8 49,2

AC



解：設　　 = x,

在△ ABC 中 , 由餘弦定理得

整理得 x2 – 8x + 15 = 0, 因式分解得 (x – 3)(x – 5) = 0, 解得 x = 3 或 x = 5, 即　　 = 3 或 5.

4.已知四邊形 ABCD 中 ,

線段　　的長 . 線段　　的長 .

8, 8, 3AB CD AD 且60 ,ABC ADC 試求：

AC BC

2 2 27 8 2 8 cos60 ,x x

BC

BC



解：因為△ ABC 與△ ADC 皆為直角三角形 ,

由畢氏定理知

5. 如右圖 , 平面上兩個直角三角形共斜邊

△ABD 的面積 .

,AC24, 25, 20,AB AC AD 且知試求：

sin .BAD

7 , 15.BC CD , ,BAC DAC 令

7 24 3 4sin , cos ,sin , cos ,

25 25 5 5 則



解：


△ABD 的面積 .


sin .BAD

sin sin( )

sin cos cos sin

BAD

所以

7 4 24 3 4.

25 5 25 5 5



解：△ABD 的面積


△ABD 的面積 .


sin .BAD

1sin

2AB AD BAD

1 424 20

2 5

= 192.



解：依題意先繪製一略圖 ,

設恆春為原點 O, 如右圖 .

6. 氣象局測出在 20 小時期間 , 某颱風中心的位置由恆春東南方 400 公里的 A 處 , 直線移動到恆春南 15° 西 200 公里的 B 處 , 試求：

A, B 之間的距離 .此颱風移動的平均速率 .



解：在△ OAB 中 , ∠AOB = 45° + 15° = 60°,

由餘弦定理得



2 2 2400 200 2 400 200 cos60 ,AB 2 2 2 1

400 200 2 400 200 ,2

AB 即



解：整理得

所以 A, B 之間的距離為 200 公里 .



200 3,AB 3



解：平均速率 =

所以颱風移動的平均速率為每小時 10 　公里 .



200 310 3,

20

3



7. 某人欲測量河的對岸 C, D 兩點間的距離 , 他在河岸 A, B 兩觀測站 , 分別測得∠ CAB = 120°, ∠DAB = 30°, ∠DBA = 135°, ∠CBA = 45°, 且兩觀測站的距離為 30 公尺 , 試求：

A, C 兩點間的距離 . A, D 兩點間的距離 .C, D 兩點間的距離 .

（ sin15° = ）6 2

4



解：在△ ABC 中 ,

∠ACB = 180° － 120° － 45°=15°,

由正弦定理得

故 A, C 兩點間的距離為 30( 　 +1) 公尺 .

7.A, C 兩點間的距離 .

,sin135 sin15

AC AB

30

,1 6 22 4

AC

即 30( 3 1),AC 整理得

3



解：在△ ABD 中 , ∠ADB = 180° – 135° – 30° = 15°,

由正弦定理得

故 A, Ｄ兩點間的距離為 30( 　 +1) 公尺 .

7.A, D 兩點間的距離 .

,sin135 sin15

AD AB

30

,1 6 22 4

AD

即

30( 3 1),AD 整理得

3



解：在△ ACD 中 , ∠CAD = 120° – 30° = 90°

所以△ ACD 為等腰直角三角形 ,

=1 :

故 C, D 兩點間的距離為 30( ) 公尺 .

7. C, D 兩點間的距離 .

,AC AD又

: : 1 : 1 : 2,AC AD CD 　故30( 3 1) : CD因此 2,

CD 整理得 2 [30( 3 1)] 30( 6 2), 6 2


22第一章 / 綜合練習二﹑進階題二﹑進階題

解：在△ ABC 中 , 由正弦定理得　　　　 = 2R1,

1. 如右圖所示 , △ABC 中 , 　　邊上兩點 D, E 分別與 A 連線 . 若∠ ACB =∠ADC = 45°, △ABC, △ABD, △ABE 的外接圓半徑分別為R1, R2, R3, 設　　 = c.

試以 c 表示 R1, R2. 試比較 R1, R2, R3 的大小 .

BC

AB

sin 45

c

1

2.

2sin 45 2

cR c

整理得



解：在△ ABD 中 , 由正弦定理得

整理得 R2 =


試以 c 表示 R1, R2. 試比較 R1, R2, R3 的大小 .

BC

AB

2 2 ,sin135

cR

2

.2sin135 2

cc



解：由知 R1 = R2.

在△ ABE 中 , 設∠ AEB = θ,

則 45° < θ < 135°, 所以 sinθ >

1. 如右圖所示 , △ABC 中 , 　　邊上兩點 D, E 分別與 A 連線 . 若∠ ACB =∠ADC = 45°, △ABC , △ABD, △ABE 的外接圓半徑分別為R1, R2, R3, 設　　 = c.

試比較 R1, R2, R3 的大小 .

BC

AB

2.

2



解：由正弦定理得　　　 = 2R3,

整理得 R3 =

所以 R1 = R2 > R3.


試比較 R1, R2, R3 的大小 .

BC

AB

sin

c

2

,2sin 2

cc


26第一章 / 綜合練習

2. 如右圖所示 , 在△ ABC 中 , ∠BAC 的平分線　　於D,已知　　　　且　 , 設　 = x , 試以 x 表示線段　　的長 . 試求線段　　的長 .

二﹑進階題二﹑進階題

解：在△ ABC 中因為　　平分∠ BAC,

所以：＝：　　 , 即 x ：　 = 3 ： 6 = 1 ： 2, 得　　

3, 6,BD DC AB AD AB

AC

ADAB AC BD CDAC

2 .AC x

AD BC交

AC



解：設∠ BAD = ∠CAD = θ,

在△ ABD 中 , 由餘弦定理得　　

整理得　　

2 2 23 2 cos ,x x x x 2 29 2 2 cosx x


3, 6,BD DC AB AD AB

AC

AD BC交

AC



解：在△ ACD 中 , 由餘弦定理得　

整理得　　由 2 得 x2 = 18, 解得 x = 3 　 ,

所以

2 2 26 (2 ) 2 2 cos ,x x x x 2 236 5 4 cosx x

2

6 2.AC EndEnd


3, 6,BD DC AB AD AB

AC

AD BC交

AC


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