Zadaci za vezbanje

Download Zadaci za vezbanje

Post on 15-Sep-2015

223 views

Category:

Documents

4 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Zadaci za vezbanje Analize 1, kod asistenta Nikole Lelasa, Matematiki fakultet, za kolsku 2014/2015.

TRANSCRIPT

<ul><li><p>Zadaci za vebae iz Analize 1, I smer</p><p>Nikola Lelas</p><p>24. maj 2015</p><p>Skup realnih brojeva</p><p>Zadatak 1. Neka je S R neprazan skup, koji je ograniqen sa obestrane. Definiximo</p><p>S = {x | x S} .Dokazati da je sup(S) = inf(S) i inf(S) = sup(S)Zadatak 2. Neka je S R neprazan skup koji je ograniqen odozgo i &gt; 0 proizvoan realan broj. Definiximo</p><p>S = {x | x S} .</p><p>Dokazati da je sup(S) = sup(S).</p><p>Zadatak 3. Neka je A ={mn | m,n N, 0 &lt; m &lt; n</p><p>}. Nai supA i inf A.Rexee: supA = 1, inf A = 0</p><p>Zadatak 4. Apsolutna vrednost |.| na R definisana je na sledei na-qin:</p><p>|x| ={x, x 0x, x &lt; 0 .</p><p>Pokazati da je |x+ y| |x|+ |y| za sve x, y R.(?)Pokazati da za sve x, y R vai ||x| |y|| |x y|.Zadatak 5. Napisati racionalan broj x = 1.1545454 . . . u obliku raz-lomka.</p><p>Rexee: x = 1143990</p><p>Matematiqka indukcija</p><p>Zadatak 6. Dokazati da za sve prirodne brojeve n vai</p><p>1 2 3 + 2 3 4 + + n (n+ 1) (n+ 2) = n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)4</p><p>.</p><p>1</p></li><li><p>Zadatak 7. Dokazati za sve prirodne brojeve n vai</p><p>3 | 5n + 2n+1.</p><p>Zadatak 8. Dokazati za sve prirodne brojeve n 5 vai</p><p>2n &gt; n2.</p><p>Zadatak 9. Dokazati za sve prirodne brojeve n 2 vai7</p><p>9 2628 . . . n</p><p>3 1n3 + 1</p><p>=2</p><p>3</p><p>(1 +</p><p>1</p><p>n(n+ 1)</p><p>).</p><p>Zadatak 10. Dokazati za sve prirodne brojeve n vai</p><p>11+</p><p>12+ + 1</p><p>n&gt; 2(n+ 1 1).</p><p>Zadatak 11 (?). Dokazati binomnu formulu :</p><p>(a+ b)n =</p><p>nk=0</p><p>(n</p><p>k</p><p>)ankbk,</p><p>za proizvone realne brojeve a i b i svako n N.Napomena: Koristiti identitet</p><p>(nk</p><p>)+(nk+1</p><p>)=(n+1k+1</p><p>).</p><p>Zadatak 12. Dokazati za sve prirodne brojeve n vai</p><p>12 + 22 + + n2 = n(n+ 1)(2n+ 1)6</p><p>.</p><p>Zadatak 13. Dokazati za sve prirodne brojeve n 2 vai(1 1</p><p>4</p><p>)(1 1</p><p>9</p><p>) . . . </p><p>(1 1</p><p>n2</p><p>)=n+ 1</p><p>2n.</p><p>Zadatak 14 (??). Dokazati da se n kvadrata mogu isei na delove takoda se od ih moe sastaviti novi kvadrat.</p><p>Realni nizovi</p><p>Zadatak 15. Dokazati po definiciji da je</p><p>1. limn n2n+2</p><p>3n2+2n4 =13 .</p><p>2. limn1+(1)n2</p><p>n2= 0.</p><p>3. limn log2</p><p>(1 +</p><p>1</p><p>n+1</p><p>)= 0.</p><p>2</p></li><li><p>Zadatak 16. Izraqunati sledee graniqne vrednosti</p><p>1. limn n sinn!n2+1 .</p><p>2. limn 2n cosnpi.</p><p>Rexee: 1. 0, 2. 0</p><p>Zadatak 17. Ako je q 1 realan broj, dokazati da niz (qn)nN nemagraniqnu vrednost (ni konaqnu ni beskonaqnu).</p><p>Zadatak 18. Izraqunati sledee graniqne vrednosti</p><p>1. limn(n+1)3(n1)2(n+1)3+(n1)3 .</p><p>2. limn(2n+1)4(n1)4(2n+1)4+(n1)4 .</p><p>3. limn(</p><p>2n2</p><p>2n+3 +13n33n2+1</p><p>).</p><p>4. limn(</p><p>3n2</p><p>2n+1 +16n31+4n2</p><p>).</p><p>Rexee: 1. 12 , 2.1517 , 3. 32 , 4. 34Zadatak 19. Izraqunati sledee graniqne vrednosti</p><p>1. limn n!(n+1)!n! .</p><p>2. limn(n+2)!+(n+1)!</p><p>(n+3)! .</p><p>3. limn(n+2)!+(n+1)!(n+2)!(n+1)! .</p><p>Rexee: 1. 0, 2. 0, 3. 1</p><p>Zadatak 20. Izraqunati sledee graniqne vrednosti</p><p>1. limn 2n12n+1 .</p><p>2. limn 21n1</p><p>21n+1.</p><p>3. limn 21</p><p>n+1+51</p><p>n+1</p><p>21n+5</p><p>1n.</p><p>Rexee: 1. 1, 2. 0, 3. 1</p><p>3</p></li><li><p>Zadatak 21. Neka su a1, a2, . . . , ak proizvoni pozitivni realni bro-jevi. Izraqunati graniqnu vrednost</p><p>limn</p><p>nan1 + a</p><p>n2 + + ank = `.</p><p>Rexee: ` = max{a1, a2, . . . , ak}Zadatak 22. Dokazati da su nizovi xn =</p><p>n+ 1n i yn = 1n! 1(n+1)!opadajui i odrediti ihove graniqne vrednosti.</p><p>Rexee: limn xn = limn yn = 0</p><p>Zadatak 23. Dokazati da je niz</p><p>an = 1 +1</p><p>1!+</p><p>1</p><p>2!+</p><p>1</p><p>3!+ + 1</p><p>n!</p><p>konvergentan.</p><p>Zadatak 24 (?). Nai graniqnu vrednost limnnn!n .</p><p>Rexee:</p><p>1e</p><p>Zadatak 25. Ispitati monotonost sledeih nizova</p><p>1. xn =101 113 . . . n+92n12. yn =</p><p>3n+ 1 3n3. zn =</p><p>(1 + 12</p><p>)(1 + 14</p><p>). . .(1 + 12n</p><p>)Rexee: xn i yn su opadajui, a zn je rastui</p><p>Zadatak 26. Izraqunati graniqnu vrednost</p><p>limn</p><p>(1</p><p>1 2 +1</p><p>2 3 + +1</p><p>n(n+ 1)</p><p>)= `.</p><p>Rexee: ` = 1</p><p>Zadatak 27. Nai sve taqke nagomilavaa sledeih nizova</p><p>1. xn = n+ 5 cos npi3</p><p>2. yn = 3n1n+2 sin npi2Rexee: Kako je limn xn = , sledi da niz (xn) nema taqaka nago-milavaa u R, dok mu je jedina taqka nagomilavaa u R taqka 1 .Taqke nagomilavaa niza (yn) su {3, 0, 3}.1R = R {+,}</p><p>4</p></li><li><p>Zadatak 28 (?). Nai sve taqke nagomilavaa i ispitati konvergen-ciju niza</p><p>an =</p><p>(n+ 2</p><p>n 2)(1)nn</p><p>+ sinnpi</p><p>2.</p><p>Rexee: Taqke nagomilavaa niza an su {e4, e4 + 1, e4 1}. Odatlesledi da niz nije konvergentan (ima vixe od jedne taqke nagomilavaa).</p><p>Zadatak 29. Koristei Koxijev kriterijum konvergencije dokazati</p><p>da niz</p><p>an =sin 1</p><p>2+</p><p>sin 2</p><p>22+ + sinn</p><p>2n</p><p>konvergira.</p><p>Zadatak 30 (?). Koristei Koxijev kriterijum konvergencije doka-zati da niz</p><p>bn =1</p><p>ln 2+</p><p>1</p><p>ln 3+ + 1</p><p>lnnne konvergira.</p><p>Zadatak 31. Ispitati monotonost i ograniqenost niza</p><p>an =3</p><p>3 + 1+</p><p>3</p><p>32 + 2+ + 3</p><p>3n + n.</p><p>Rexee: Niz (an) je monotono rastui i ograniqen sa obe strane.</p><p>Zadatak 32. Izraqunati sledee graniqne vrednosti</p><p>1. limn(</p><p>3n6 n4 + 5 n2</p><p>)</p><p>2. limn(</p><p>n2 5n+ 3n2 + 3n 5)</p><p>3. limn(</p><p>n2 + 2n+ 7n2 4n 5)Rexee: 1. 14 , 2. 4, 3. 3Zadatak 33. Izraqunati graniqnu vrednost</p><p>limn</p><p>(1 + 3 + 5 + + (2n 1)</p><p>n+ 1 2n+ 1</p><p>2</p><p>)= `.</p><p>Rexee: ` = 32Zadatak 34. Izraqunati sledee graniqne vrednosti</p><p>5</p></li><li><p>1. limn2 42 . . . 2n22. limn 2+2</p><p>2+23++2n52n+2</p><p>Rexee: 1. 2, 2. 110</p><p>Zadatak 35. Izraqunati sledee graniqne vrednosti</p><p>1. limn(2n+32n5</p><p>)n2. limn n2 ln</p><p>(n3+3n2+5n+2n3+3n2+3n+1</p><p>)Rexee: 1. e4, 2. 2</p><p>Zadatak 36. Odrediti sve taqke nagomilavaa niza</p><p>xn = 1 +n</p><p>n+ 1cos</p><p>npi</p><p>2.</p><p>Rexee: {0, 1, 2}Zadatak 37. Odrediti graniqnu vrednost niza</p><p>Sn =1</p><p>3+</p><p>2</p><p>32+ + n</p><p>3n.</p><p>Rexee: limn Sn = 34Zadatak 38. Dat je niz</p><p>bn =</p><p>2 +</p><p>2 + +</p><p>2 (n korena).</p><p>Dokazati da taj niz konvergira i nai mu graniqnu vrednost.</p><p>Rexee: limn bn = 2</p><p>Zadatak 39. Niz (an) je zadatak rekurentnom relacijom</p><p>an+1 = an(2 an), n 1, a1 = 12.</p><p>Dokazati da je niz (an) konvergentan i odrediti mu graniqnu vrednost.Rexee: limn an = 1</p><p>Zadatak 40. Niz (an) je zadatak rekurentnom relacijom</p><p>an+1 =an 1an + 3</p><p>, n 0, a0 = 1.</p><p>Dokazati da je niz (an) konvergentan i odrediti mu graniqnu vrednost.Rexee: limn an = 1</p><p>6</p></li><li><p>Zadatak 41. Neka su an i bn nizovi takvi da je limn an = + ilimn bn = b, pri qemu je b (konaqan) realan broj. Pokazati da je tadalimn(an + bn) = +.</p><p>Zadatak 42. Pretpostavimo da su svi qlanovi niza (an) nenegativni.Pokazati da tada vai</p><p>limn an 0,pod uslovom da ta graniqna vrednost postoji. Dodatno, izvesti i po-</p><p>sledicu po kojoj za svaka dva konvergentna niza (an) i (bn) za koje je</p><p>an bn, za sve n N poqevxi od nekog,</p><p>vai</p><p>limn an limn bn.</p><p>Zadatak 43. Nai primer konvergentnih nizova (an) i (bn) za kojevai</p><p>an &lt; bn, za sve n N poqevxi od nekog,ali ne vai</p><p>limn an &lt; limn bn.</p><p>Zadatak 44 (??). Dokazati da je broj e iracionalan.</p><p>Zadatak 45. Izraqunati graniqnu vrednost</p><p>limn</p><p>1 2 + 2 3 + + n (n+ 1)n3</p><p>.</p><p>Rexee:</p><p>13</p><p>Zadatak 46. Izraqunati graniqnu vrednost</p><p>limn</p><p>22 + 42 + + (2n)2(2n+ 1)(n 2)(n+ 3)</p><p>Rexee:</p><p>23</p><p>Zadatak 47. Izraqunati graniqnu vrednost</p><p>limn</p><p>(1p + 2p + + np</p><p>np np+ 1</p><p>), p N.</p><p>Rexee:</p><p>12</p><p>7</p></li><li><p>Zadatak 48. Izraqunati graniqnu vrednost</p><p>limn</p><p>(1 + 3 + + (2n 1)</p><p>n+ 1 2n+ 1</p><p>2</p><p>).</p><p>Rexee: 32Zadatak 49. Izraqunati graniqnu vrednost</p><p>limn</p><p>12 +</p><p>35 + . . .</p><p>2n1n2+1</p><p>n.</p><p>Rexee: 22</p><p>Zadatak 50. Izraqunati graniqnu vrednost</p><p>limn</p><p>1 1! + 3 2! + + (2n 1) n!(n+ 1)!</p><p>Rexee: 2</p><p>Graniqne vrednosti funkcija i asimptote</p><p>Zadatak 51. Izraqunati sledee graniqne vrednosti</p><p>1. limx2 x23x+2x25x+6</p><p>2. limx1 3x44x3+1(x1)2</p><p>3. limx1 x41x1</p><p>Rexee: 1. 1, 2. 6, 3. 4Zadatak 52. Izraqunati sledee graniqne vrednosti</p><p>1. limx41+2x3x2</p><p>2. limx+x2+1x+1</p><p>3. limxx2+1x+1</p><p>4. limx+(</p><p>31 x3 + x</p><p>)5. limx</p><p>(1 + x+ x2 1 x+ x2</p><p>)Rexee: 1. 43 , 2. 1, 3. 1, 4. 0, 5. 1</p><p>8</p></li><li><p>Zadatak 53. Izraqunati leve i desne graniqne vrednosti funkcija</p><p>1. f1(x) =1</p><p>x21 u taqkama 1 i 1</p><p>2. f2(x) =1</p><p>1+e1xu taqki 0</p><p>3. f3(x) = arctg1</p><p>1x u taqki 1</p><p>4. f4(x) = [x] u taqki k, k ZRexee: 1. limx1 f1(x) = , limx1 f1(x) = , 2. limx0+ f2(x) =0, limx0 f2(x) = 1, 3. limx1 f3(x) = pi2 4. limxk+ f4(x) = k, limxk f4(x) =k 1Zadatak 54. Izraqunati sledee graniqne vrednosti (pri qemum,n, a R)</p><p>1. limx0 sinmxsinnx</p><p>2. limx0 cosmxcosnxx2</p><p>3. limx0 tg xsinxsin3 x</p><p>4. limxpi4tg 2x tg(pi4 x)</p><p>5. limx+ sinxx</p><p>Rexee: 1. mn , n 6= 0, 2. 12(n2 m2), 3. 12 , 4. 12 , 5. 0Zadatak 55. Izraqunati graniqnu vrednost</p><p>limx0</p><p>ln cos ax</p><p>ln cos bx</p><p>u zavisnosti od realnih parametara a i b.Rexee:</p><p>(ab</p><p>)2, b 6= 0Zadatak 56. Odrediti asimptote grafika sledeih funkcija</p><p>1. f1(x) =x+1x</p><p>2. f2(x) = x 10x3. f3(x) = x 3 + 1x2Zadatak 57. Nai asimptote grafika sledeih funkcija</p><p>1. y = 2x23x+5x24x</p><p>2. y = 2x1x2+x2</p><p>9</p></li><li><p>3. y = x 2 + 1x34. y =</p><p>x2 3x+ 25. y = 3</p><p>x2 x3</p><p>Zadatak 58. Dokazati da ne postoji graniqna vrednost</p><p>limx0</p><p>sin1</p><p>x.</p><p>Zadatak 59. Izraqunati sledee graniqne vrednosti</p><p>1. limxaxa+xa</p><p>x2a2 , a &gt; 0</p><p>2. limx89+2x53x2</p><p>3. limx+</p><p>x+x+x</p><p>x+1</p><p>4. limx1(1 x) tg pix2Rexee: 1. 1</p><p>2a, 2. 125 , 3. 1, 4.</p><p>2pi</p><p>Zadatak 60. Izraqunati sledee graniqne vrednosti</p><p>1. limx0(1 2x) 1x</p><p>2. limxpi4(tg x)tg 2x</p><p>3. limx0(cosx)ctg2 x</p><p>4. limx1(1 + sinpix)ctg pix</p><p>5. limx(x2+x+1x2x1</p><p>)xRexee: 1. e2, 2. e1, 3. e</p><p>12 , 4. e1, 5. e2</p><p>Zadatak 61. Izraqunati graniqnu vrednost</p><p>limx+</p><p>ln(1 + 3x)</p><p>ln(1 + 2x),</p><p>kao i graniqnu vrednost</p><p>limx</p><p>ln(1 + 3x)</p><p>ln(1 + 2x).</p><p>Rexee:</p><p>ln 3ln 2 odnosno 0.</p><p>10</p></li><li><p>Zadatak 62. U zavisnosti od pozitivnih realnih parametara a, b i cizraqunati graniqnu vrednost</p><p>limx0</p><p>(ax + bx + cx</p><p>3</p><p>) 1x</p><p>.</p><p>Rexee:</p><p>3abc</p><p>Zadatak 63 (?). Date su funkcije</p><p>fn(x) =1 cosx cos 2x cosnx</p><p>x2</p><p>za svaki prirodan broj n.</p><p>1. Pokazati da postoji limx0 fn(x) = fn za sve n N.2. Odrediti vezu izmeu fn i fn1.</p><p>3. Izraqunati fn.</p><p>Rexee: fn =112n(n+ 1)(2n+ 1)</p><p>Zadatak 64. Odrediti asimptote grafika sledeih funkcija</p><p>1. y = 1x + 4x2</p><p>2. y = x2x2+1</p><p>3. y = 2x23x+5</p><p>(x1)(x2)</p><p>Zadatak 65. Odrediti konstante a i b tako da je</p><p>limx</p><p>(x2 x+ 1 ax b</p><p>)= 0.</p><p>Rexee: a = 1, b = 12Zadatak 66. Izraqunati sledee graniqne vrednosti</p><p>1. limx1 x2xx1</p><p>2. limxaxbabx2a2 , a &gt; b</p><p>3. limx031+x2 412x</p><p>x+x2</p><p>Rexee: 1. 3, 2. 14aab , 3.</p><p>12</p><p>Zadatak 67. Izraqunati sledee graniqne vrednosti</p><p>11</p></li><li><p>1. limya(sin ya2 tg</p><p>piy2a</p><p>)2. limxpi</p><p>2</p><p>(2x tg x picosx</p><p>)3. limx0</p><p>cos(a+x)cos(ax)x</p><p>4. limhsin(a+2h)2 sin(a+h)+sin a</p><p>h2</p><p>Rexee: 1. api , 2. 2, 3. 2 sin a, 4. sin aZadatak 68. Izraqunati sledee graniqne vrednosti</p><p>1. limx021+cosxsin2 x</p><p>2. limx01+x sinxcos 2x</p><p>tg2 x2</p><p>3. limx0 1cosxcos 2x</p><p>x2</p><p>4. limx1piarccosx</p><p>x+1</p><p>Rexee: 1.28 , 2. 6, 3.</p><p>32 , 4.</p><p>12pi</p><p>Zadatak 69. Izraqunati sledee graniqne vrednosti</p><p>1. limx0 ex2cosxx2</p><p>2. limx0 exexsinx</p><p>3. limx0 esin 2xesin x</p><p>x</p><p>Rexee: 1. 32 , 2. 2, 3. 1</p><p>Zadatak 70. Izraqunati sledee graniqne vrednosti</p><p>1. limxpi2tg2 x</p><p>(2 sin2 x+ 3 sinx+ 4</p><p>sin2 x+ 6 sinx+ 2</p><p>)2. limx0</p><p>1cos(1cosx)x4</p><p>3. limx+(x2(1 cos 1x</p><p>))4. limx+</p><p>(cosx+ 1 cosx)Rexee: 1. 112 , 2.</p><p>18 , 3.</p><p>12 , 4. 0</p><p>Zadatak 71. Izraqunati sledee graniqne vrednosti</p><p>1. limx+(arctg x+1x+2 pi4</p><p>)2. limx+</p><p>(x(arctg x+1x+2 arctg xx+2</p><p>))12</p></li><li><p>3. limx0 arcsinxarctg xx3</p><p>Rexee: 1. 12 , 2. 12 , 3. 12Zadatak 72. Pokazati da je prava y = 2x+ 1 kosa asimptota grafikafunkcije</p><p>y =2x4 + x3 + 1</p><p>x3.</p><p>Zadatak 73. Odrediti asimptote grafika sledeih krivih</p><p>1. y = 1x24x+5</p><p>2. y = c+ a2</p><p>(xb)2 , a, b, c R</p><p>3. y = x ln(e+ 1x</p><p>)4. y = xe</p><p>1x2</p><p>5. y = xe2x + 1</p><p>6. y = 2x+ arctg x2</p><p>Neprekidnost</p><p>Zadatak 74. Ispitati neprekidnost funkcije f(x) definisane sa</p><p>f(x) =</p><p>0, x &lt; 0,</p><p>x, 0 x &lt; 1,x2 + 4x 2, 1 x &lt; 3,4 x, x 3.Zadatak 75. Odrediti konstantu a tako da funkcija</p><p>f(x) =</p><p>{x+ 1, x 13 ax2, x &gt; 1bude neprekidna.</p><p>Rexee: a = 1</p><p>Zadatak 76. Neka je</p><p>f(x) =</p><p>2 sinx, x pi2A sinx+B, pi2 &lt; x &lt; pi2cosx, x pi2 .Odrediti konstante A i B tako da funkcija f(x) bude neprekidna.Rexee: A = 1, B = 1</p><p>13</p></li><li><p>Zadatak 77. Funkcija</p><p>f(x) =x2 1x3 1nije definisana u taqki x = 1. Ispitati da li se moe dodefinisativrednost f(1) tako da dobijena funkcija bude neprekidna i u sluqajupozitivnog odgovora odrediti f(1).Rexee: Moe. f(1) = 23</p><p>Zadatak 78. Ispitati da li se funkcije</p><p>sinxx i</p><p>cosxx mogu dodefinisati</p><p>do neprekidnosti na celom skupu realnih brojeva.</p><p>Zadatak 79. Ispitati neprekidnost funkcije g(x) definisane na sledeinaqin:</p><p>g(x) =</p><p>{ |x|x , x 6= 00, x = 0.</p><p>Zadatak 80. Odrediti sve taqke prekida funkcije</p><p>y =1</p><p>ln|x| ,</p><p>kao i ihovu prirodu.</p><p>Zadatak 81. Pokazati da funkcija</p><p>f(x) =</p><p>{1</p><p>1+21x, x 6= 0,</p><p>2, x = 0</p><p>ima u taqki x = 0 prekid prve vrste.</p><p>Zadatak 82. Ispitati da li se funkcija</p><p>g(x) = 221</p><p>1x</p><p>moe dodefinisati u taqki x = 1 tako da je dobijena funkcija nepre-kidna.</p><p>Rexee: Ne moe.</p><p>Zadatak 83 (?). Nai sve taqke prekida funkcije f(x) definisane sa</p><p>f(x) =</p><p>(x+ 1) 2(</p><p>1|x|+</p><p>1|x|), x 6= 0,</p><p>0, x = 0.</p><p>Rexee: Funkcija ima prekid prve vrste u taqki x = 0.</p><p>Zadatak 84. Dodefinisati naredne funkcije u taqki x = 0 tako dadobijene funkcije budu neprekidne</p><p>14</p></li><li><p>1. f1(x) =1+x1</p><p>31+x1</p><p>2. f2(x) =tg 2xx</p><p>3. f3(x) = sinx sin1x</p><p>4. f4(x) = (1 + x)1x</p><p>5. f5(x) = e 1x2</p><p>6. f6(x) =</p><p>{1+sinx1+x , x &lt; 0,1 + x, x &gt; 0.</p><p>Rexee: 1. 32 , 2. 2, 3. 0, 4. e, 5. 0, 6. 1</p><p>Zadatak 85. Ispitati neprekidnost funkcije</p><p>f(x) =</p><p>{cos pix2 , |x| 1,|x 1|, |x| &gt; 1.</p><p>Zadatak 86. Ispitati neprekidnost funkcije</p><p>f(x) =</p><p>{x2, 0 x 1,2 x, 1 &lt; x 2.</p><p>Zadatak 87. Ispitati neprekidnost funkcije</p><p>f(x) = x2 [x2].</p><p>Zadatak 88. Ispitati neprekidnost sloenih funkcija f g i g fako je</p><p> f(x) = sgnx, g(x) = 1 + x2</p><p> f(x) = sgnx, g(x) = x(1 x2).Zadatak 89. Ispitati neprekidnost funkcije</p><p>f(x) =</p><p>{ex, x &lt; 0,</p><p>a+ x, x 0u zavisnosti od konstante a.Rexee: Funkcija je neprekidna na celom R za a = 1, inaqe u taqkix = 0 ima prekid prve vrste.</p><p>Zadatak 90. Ispitati da li kvadrat prekidne funkcije mora i sam</p><p>biti prekidna funkcija.</p><p>15</p></li><li><p>Izvodi</p><p>Zadatak 91. Nai izvode sledeih funkcija</p><p>1. f1(x) =2x23x+54x2+2x3</p><p>2. f2(x) =1+xx</p><p>1xx</p><p>3. f3(x) = 2x(x2 + 1)</p><p>4. f4(x) = ln(x+x2 1)</p><p>5. f5(x) =12 ln</p><p>1+x1x</p><p>6. f6(x) =arcctg(x)</p><p>x</p><p>Rexee: 1. f 1(x) =16x252x+1(4x2+2x3)2 , 2. f</p><p>2(x) =</p><p>x</p><p>(1xx)2 , 3. f3(x) = 2</p><p>x(x2 ln 2+</p><p>2 ln 2), 4. f 4(x) =1x21 , 5. f</p><p>5(x) =</p><p>11x2 , 6. f</p><p>6(x) = 1x(1+x2) arcctg xx2Zadatak 92. Nai izvode sledeih funkcija</p><p>1. f1(x) = arctg1x</p><p>2. f2(x) = ln(ln(lnx))</p><p>3. f3(x) = (sinx)cosx</p><p>Rexee: 1.f 1(x) = 11+x2 , 2.f 2(x) = 1x lnx ln lnx , 3.f 3(x) = sinx1+cosx(ctg2 xln sinx)</p><p>Zadatak 93. Dokazati da je</p><p>1. (sinx)(n) = sin(x+ npi2 ), n N</p><p>2. (cosx)(n) = cos(x+ npi2 ), n N</p><p>3. (lnx)(n) = (1)n1 (n1)!xn , x &gt; 0, n N</p><p>Zadatak 94. Nai n-ti izvod funkcije</p><p>f1(x) = xex,</p><p>kao i funkcije</p><p>f2(x) = x lnx.</p><p>Rexee: (f1(x))(n) = ex(x+ n), (f2(x))</p><p>(n) = (1)n (n2)!xn1 , n 2</p><p>16</p></li><li><p>Zadatak 95. Odrediti taqku u kojoj tangenta krive</p><p>y = x2 3x+ 2gradi sa x-osom ugao = pi4 .Rexee: x = 2</p><p>Zadatak 96 (?). Data je funkcija</p><p>f(x) =</p><p>{x2 sin 1x , za x 6= 0,0, za x = 0.</p><p>1. Dokazati da je funkcija f(x) neprekidna.</p><p>2. Dokazati da f(x) ima izvod u taqki x = 0 i da je on jednak nuli.</p><p>3. Dokazati da f(x) nema drugi izvod u taqki x = 0.</p><p>Zadatak 97 (?). Neka je f funkcija koja je definisana i dva putadiferencijabilna za sve x x0. Odrediti konstante a, b i c takve dafunkcija</p><p>F (x) =</p><p>{f(x), x x0,a(x x0)2 + b(x x0) + c, x &gt; x0.bude dva puta diferencijabilna.</p><p>Rexee: a = 12f(x0), b = f (x0), c = f(x0)</p><p>Zadatak 98. Pokazati da funkcija</p><p>y(x) = C1 cosx+ C2 sinx,</p><p>pri qemu su C1 i C2 proizvone konstante, zadovoava jednaqinu</p><p>y(x) + y(x) = 0, x R.Zadatak 99. Odrediti y(10) ako je y = e</p><p>x</p><p>x .</p><p>Rexee: y(10) = ex10n=0</p><p>(1)n(10n ) n!xn+1Zadatak 100. Pokazati da jednaqina</p><p>x3 + 3x 6 = 0ima samo jedno realno rexee.</p><p>Zadatak 101. Pokazati da za sve x &lt; 0 vai</p><p>x x3</p><p>6&lt; sinx.</p><p>17</p></li><li><p>Zadatak 102. Dokazati da je</p><p>arcsinx = arctgx</p><p>1 x2</p><p>za sve x (1, 1).Zadatak 103. Dokazati sledee nejednakosti</p><p>1. cosx &gt; 1 x22 , x &gt; 02. lnx x 1, x &gt; 03. ex &gt; 1 + x, x 6= 0Zadatak 104. Ispitati monotonost sledeih funkcija</p><p>1. f1(x) = x3</p><p>2. f2(x) =2x</p><p>1+x2</p><p>3. f3(x) = x2ex</p><p>Zadatak 105. Odrediti Maklorenov polinom n-tog stepena funkcije</p><p>f(x) = (1 + x), R \ N.</p><p>Rexee: Mn(x) = 1 + x+(2</p><p>)x2 + + (n)xnZadatak 106. Odrediti Maklorenov polinom petog stepena funkcija</p><p>1. f1(x) = tg x</p><p>2. f2(x) = arctg x</p><p>3. f3(x) = arcsinx</p><p>Zadatak 107. Odrediti intervale monotonosti i lokalne ekstremume</p><p>sledeih funkcija</p><p>1. f1(x) = x3 6x2 + 9x...</p></li></ul>