vorlesung biometrie für studierende der veterinärmedizin 8.2.2007 wiederholung und beispiele

Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 8.2.2007

Wiederholung und Beispiele


Biologische Variabilität

• In der belebten Natur gibt es viele Phänomene, die im Einzelfall nicht vorhersehbar sind.

• Verschiedene Menschen und Tiere reagieren verschieden, haben verschiedene Eigenschaften etc.

• Unter exakt gleichen Haltungsbedingungen werden manche Tiere krank, manche bleiben gesund.

• Manche Individuen reagieren auf ein Medikament, manche nicht.


Biologische Variabilität (2)

Einerseits:• Besonderer Reiz von Phänomenen in der belebten Natur• Weiterentwicklung ohne natürliche Variabilität nicht

möglich

Andererseits:• Erkenntnisse zu gewinnen ist wesentlich schwieriger• Wirkungsmechanismen häufig nicht deterministisch• Absolute Sicherheit bei Prognosen in Einzelfällen oft

unmöglich


Modell für biologische Variabilität: Wahrscheinlichkeitsrechnung

Aussagen der Form:• „Die Heilungschance ist mit Medikament A

höher als mit Medikament B“• „Nebenwirkungen des Medikaments treten in

1 von 1000 Fällen auf“• „Die Herzfrequenz ist bei schweren

Leguanen im Durchschnitt höher“• „Die Herzfrequenz von gesunden Leguanen

liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% unter dem Wert x“


Wichtige Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten

Gegenereignis: P(AC) = 1- P(A)

Additionssatz : P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

eispielA = {2,4,6} „gerade“ B = {4,5,6} „groß“A B = {2,4,5,6} „groß oder gerade“ A B = {4,6} „ groß und gerade “

P(A B ) = 4/6 P(A) + P(B) - P(A B) = 3/6+3/6-2/6


Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit

In dem Beispiel betrachten wir das Risiko gegeben „schwerer Fall“: Das Risiko wird berechnet durch

)(

)(

schwerAnzahl

überlebtnichtundschwerAnzahl

)(

)(:)|(

AP

BAPABP

Allgemein definieren wir die Wahrscheinlichkeit von„Ereignis B gegeben A“


Definition stochastische Unabhängigkeit

)()()(

)()|(

)()|(

BPAPBAP

APBAP

BPABP

Zwei Ereignisse A und B heißen unabhängig, falls gilt:


Bedingte Wahrscheinlichkeiten

SZ vom 8.2.: Krebshäufigkeit gestiegen Aber: Alterspezifische Krebsraten gefallen Hypothetisches Beispiel:

1960:Jung: 2% Alt : 10% Anteil Jung und Alt jeweils 50% Daraus Gesamtrate 0.5*2%+0.5*10% = 6%

2006: Jung : 1%Alt : 9%Anteil Alt 2/3 Jung 1/3Gesamt: 2/3*9% + 1/3*1% = 6.33%


Fehlspezifikationswahrscheinlichkeiten

(bedingte) Klassifikationswahrscheinlichkeiten

Diagnose:

Klassifikation

wahrer Status

positiv negativ

positiv

negativ

Sensitivität

Empfindlichkeit

P(T+|K+)

Spezifität

Treffsicherheit

P(T-|K-)


Medizinische Tests

10 Erkrankt

Personen

Gesund

9 Test P 1 Test N 10 Test P 980 Test N


Alte Klausur

• Aufgabe 2• Bei einer Krankheit sei bekannt, dass die

Prävalenz bei 10% liegt. Zur Diagnose wird ein Test mit einer Sensitivität von 0.9 und einer Spezifität von 0.8 benutzt.

• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein positiv getestetes Tier die Krankheit tatsächlich hat.

• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein gesund getestetes Tier tatsächlich gesund ist?


Lösung

100 Erkrankt

Tiere

Gesund

90 Test P 10 Test N 180 Test P 720 Test N


Binomialverteilung: Definition

mnm PPm

nmXP

)1()(

Die Zufallsvariable der Summe aus n unabhängigen

0-1-Variablen , heißt binomial-verteilt mit

Parametern n und P, kurz X~Bin(n, P)

Es gilt

n

iiXX

1


Schwankungsbereiche der Normalverteilung


Der Median

50% der Daten sind kleiner oder gleich med

50% der Daten sind größer oder gleich med

Zahlganzen

kfallsxx

Zahlganzen

kfallsx

hk

k

2)(

2

12

1

)1()(

)(

)()1( nxx

med =

sind geordnete Werte

Definition: Wert für den gilt


Das Quantil (Perzentil)

Anteil p der Daten sind kleiner oder gleich xp

Anteil 1-p der Daten sind größer oder gleich xp

Zahlganzenpkfallsxx

nphlkleinsteZakundZahlganzekeinenpfallsx

hk

k

)(2

1 )1()(

)(

Definition: Wert für den gilt


Das Histogramm

Darstellung der relativen Häufigkeiten durch Flächen

(Prinzip der Flächentreue)

Vorgehen:

1. Aufteilung in Klassen (falls die Daten noch nicht gruppiert sind)

2. Bestimmung der relative Häufigkeiten

3. Bestimmung der Höhen hi , so dass gilt:

wobei bi: Breite der Klasse i.iii fhb


Boxplot

Beispiel: Hämatokrit bei Mastenten

Maximum75%-QuantilMedian25%-Quantil

Ausreißer

ExtremwerteMinimum


Boxplot

1. x0.25 = Anfang der Schachtel (Box)x0.75 = Ende der Schachteld = Länge der Schachtel

2. Der Median wird durch den Strich in der Box markiert3. Zwei Linien („whiskers“) außerhalb der Box gehen bis zu xmin und

xmax.

Modifizierter BoxplotDie Linien außerhalb der Schachtel werden nur bis zu xmin bzw. xmax gezogen, falls xmin und xmax innerhalb des Bereichs [zu,zo] der Zäune liegen. zu = x0.25 +1.5d ,zo x= x0.75 +1.5d

Ansonsten gehen die Linien nur bis zum kleinsten bzw. größten Wert innerhalb der Zäune, die außerhalb liegenden Werte werden individuell eingezeichnet.


Der Mittelwert (arithmetisches Mittel)

n

inx

1

1

• bekanntestes Lagemaß

• instabil gegen extreme Werte • geeignet für Intervallskalierte Daten

ix


Standardabweichung

Definition:

2

22 )(1

1

SS

xxn

S i

• „Mittlere Abweichung vom Mittelwert“• Manchmal auch 1/n statt 1/(n-1)• Intervallskala Voraussetzung

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