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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005

Zur Kommunikation von Wahrscheinlichkeiten

Relative Häufigkeiten sind grundsätzlich leichter zu erfassenals Wahrscheinlichkeitsaussagen:

• „An 30 von 100 solchen Tagen wie morgen regnet es“

• „Von 100 Männern im Alter von 40, die Nichtraucher sind erleiden 3 in den nächsten 10 Jahren einen Herzinfarkt“

• „In einem von 20 Fällen ist meine Prognose falsch“

• „10 von 100 Lesern missfällt diese Werbung“

Aber: Wahrscheinlichkeiten sind keine relativen Häufigkeiten


Beispiel: Lotto

• Beim Lotto ist die Wahrscheinlichkeit bei einem Spiel einen 6er zu bekommen:

000000071.013983816

1

6

491

• „Einmal in 13 Millionen Spielen“

• „Einmal in 268 000 Jahren“

• „Es ist wahrscheinlicher, den Tag der Ziehung nicht mehr zu erleben, als zu gewinnen“

• Simulationsexperiment


Zur Risikokommunikation

– Absolutes Risiko– Relatives Risiko– Anzahl der zusätzlich geschädigten Individuen

Es gibt drei Arten der Beschreibung von Risikenfür die Gesundheit:


Beispiel 2 : Perinatale Sterblichkeit und Reaktorunfall von Tschernobyl

örblein und Küchenhoff (1997):

• Sterblichkeit 1987 von 0.8% auf 0.836 % erhöht

• Risiko um 4.5 % erhöht (relatives Risiko 1.045)

• ca. 317 zusätzlich verstorbene Kinder in Deutschland


Beispiel 3 : Wirkung von Pravastatin

„ Menschen mit hohem Cholesterinspiegel können das Risiko eines erstmaligem Herzinfarkts sehr schnell um 22 Prozent vermindern, wenn sie einen häufig angewandten Wirkstoff namens Pravastatin einnehmen“

• Reduktion der Todesfälle von 41 auf 32 pro 1000 Patienten mit hohem Cholesterin 4.1% auf 3.2%. Differenz 0.9%.

• Reduktion um 22% (relatives Risiko 0.78) „22% werden gerettet“

• Es müssen 111 Patienten behandelt werden, um ein Menschenleben zu retten


Medizinische Tests

10 Erkrankt

Personen

Gesund

9 Test P 1 Test N 10 Test P 980 Test N


Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Beachte: Die Bedingung entspricht der Bezugspopulation:

Sensitivität: 9 von 10 Kranken werden als solche erkannt:P(Test positiv| Patient krank) = 9/10

Spezifität: 980 von 990 Gesunden werden als solche erkannt:P (Test negativ| Patient gesund) = 98/99

Positiver prädiktiver Wert: 9 von 19 Test P sind krank:P (Patient krank|Test positiv) = 9/19

Prävalenz: 1 von 100 Personen ist krank: P (krank) = 1/100

Bezugspopulation von zentraler Bedeutung


Fehlspezifikationswahrscheinlichkeiten

(bedingte) Klassifikationswahrscheinlichkeiten

Diagnose:

Klassifikation

wahrer Status

positiv negativ

positiv

negativ

Sensitivität

Empfindlichkeit

P(T+|K+)

Spezifität

Treffsicherheit

P(T-|K-)


Krankheitswahrscheinlichkeiten im Diagnosetest

In der Praxis interessieren in der Regel die Klassifikationswahrscheinlichkeiten weniger, wohl aber die Frage, ob ein Test-positives Tier wirklich krank ist, d.h. (bedingten) Krankheitswahrscheinlichkeiten

Klassifikation

Test

Wahrheit (goldener Status)

positiv negativ

positiv

negativ

positiver

prädiktiver Wert

P(K+|T+)

negativer

prädiktiver Wert

P(K-|T-)


Beispiel

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein positiv getestetes Tier wirklich krank ist ?

Prädiktiver Wert = ????

• Sensitivität P(T+|K+) = 0.98

• Spezifität P(T-|K-) = 0.95

• Prävalenz P(K+) = 0.2


Lösung durch hypothetische Population

200 krank

800 gesund

196 positiv 4 negativ 40 positiv 760 negativ

Positiver prädiktiver Wert: 83.040196

196


Theorie: Satz von Bayes

)|()()( ABPAPBAP

)(

)()|(

)(

)()|(

BP

APABP

BP

BAPBAP

Def.:

Satz von Bayes:

Multiplikationssatz:

)(

)()|(

BP

BAPBAP


Satz von Bayes: Diagnosetests

)1()1(

)|()()|()(

)|()(

)()(

)()|(

)(

)()|(

)|(

SpezPvSensPv

SensPv

KTPKPKTPKP

KTPKP

KTPKTP

KPKTP

TP

KPKTP

TKP

Kennt man Sensitivität, Spezifität und Prävalenz, so gilt für den positiven prädiktiven Wert


Lösung durch Satz von Bayes

Dann gilt für den positiven prädiktiven Wert




040.0196.0

196.0

05.08.098.02.0

98.02.0)|(

TKP


Diagnosetests: Beispiel II

Dann gilt für den positiven prädiktiven Wert




18.005.099.001.098.0

01.098.0)|(

TKP


Lösung durch hypothetische Population

100 krank

9 900 gesund

98 positiv 2 negativ 495 positiv 9 405 negativ

Positiver prädiktiver Wert: 18.049598

98


Diagnosetests: Beispiel BSE ???

Dann gilt für den postitiven prädiktiven Wert

P(K+|T+)

Übung

• Sensitivität P(T+|K+) = 0.99 (???)

• Spezifität P(T-|K-) = 0.99 (???)

• Prävalenz P(K+) = 0.001 (???)


Diagnosetests und (kleine) Prävalenzen

Achtung:

Bei der Bewertung von diagnostischen Verfahren, falls die Prävalenz der Erkrankung sehr klein ist (BSE, HIV, …)

• ist die (absolute) Anzahl falsch positiver Diagnosen hoch

• ist der positive prädiktive Wert gering

Wenn die Prävalenz gering ist,


Begriff der Zufallsgröße

Ergebnisse von Zufallsexperimenten werden als Zahlen dargestellt:

Beispiele: • Punkte beim Werfen zweier Würfel• Zeit beim Warten auf den Bus• Ja= 1 nein = 0

Formal Abbildung:

:X

Im Beispiel:

4)2,2(

3)1,2(

3)2,1(

2)1,1(


Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße

Zur Charakterisierung von Zufallsgrößen benutzt

man die Verteilungsfunktion. Sie ist für eine

Zufallsgröße definiert als )()( xXPxF X

36/)321()4(

36/)21()3(

36/1)2(

0)1(

XP

XP

XP

XPIm Beispiel:


Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsgröße

Zur Charakterisierung von diskreten Zufallsgrößen

benutzt man die Wahrscheinlichkeitsfunktion.

Sie ist definiert als .)()( xXPxf

36/3)4(

36/2)3(

36/1)2(

0)1(

XP

XP

XP

XPIm Beispiel:


Erwartungswert und Varianz diskreter Zufallsgrößen

sei eine diskrete Zufallsgröße mit den möglichen

Werten .

Dann sind der Erwartungswert und die Varianz

wie folgt definiert:

)(

)())(()))((()(

)()(

1

22

1

XVar

xXPXExXEXEXVar

xXPxXE

x

n

iii

n

iii

nxx ,...1

X

)(XE )(XVar


Beispiel: Einfacher Würfel

5.36*6

15*

6

14*

6

13*

6

12*

6

11*

6

1)( XE

7.1

9.2)5.36(*6

1)5.35(*

6

1)5.34(*

6

1

)5.33(*6

1)5.32(*

6

1)5.31(*

6

1)(

222

222

X

XV


Erwartungswert von linear transformierten Zufallsgrößen

Für eine Zufallsvariable gilt (mit beliebigen Konstanten

a und b):

)()(

)()(2 XVarbXbaVar

XEbaXbaE

X


Binomialverteilung: Idee

Frage:

Wenn man aus diesem Bestand zufällig n Tiere auswählt (mit Zurücklegen), wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass hiervon m Tiere erkrankt sind?

• insgesamt N Tieren

• davon sind M erkrankt

• und (N-M) nicht erkrankt

Betrachtet wird ein Bestand mit


Binomialverteilung: Formal

iX

erkranktnichtTiergezogenestesifalls

erkranktTiergezogenestesifallsX i ,0

,1

n

iiXXmitmXP

1

?,)(Frage:

ist Zufallsvariable mit möglichen Realisierungen

Dann gilt:

PN

MXP i )1(


Binomialverteilung: Definition

mnm PPm

nmXP

)1()(

Die Zufallsvariable der Summe aus n unabhängigen

0-1-Variablen , heißt binomial-verteilt mit

Parametern n und P, kurz X~Bin(n, P)

Es gilt

n

iiXX

1


Binomialkoeffizient: Definition

))(...21()...21(

)...21(

)!(!

!

mnm

n

mnm

n

m

n

Beispiel

Die Größe

1062

120

)321()21(

)5...21(

2

5

heißt Binomialkoeffizient.


Binomialverteilung: Anwendungen

• krank vs. gesund

• schwarzbunt vs. braun

• Niedersachsen vs. Bayern

• Grenzwert überschritten vs. unterschritten

• Versuch war erfolgreich vs. nicht erfolgreich

Die Binomialverteilung kann stets angewendet werden, wenn dichotome bzw. binäre, d.h. nomial skalierte Merkmale mit nur zwei Merkmalsausprägungen vorliegen


Binomialverteilung: Beispiel

Wahrscheinlichkeit für Antibiotika positiv P = 1/10

gezogene Stichprobe n = 5

• Hormonuntersuchung bei Kälbern

0729.0729.001.010)9.0(1.02

5)2(

329.0656.01.05)9.0(1.01

5)1(

591.0591.011)9.0(1.00

5)0(

32

41

50

XP

XP

XP

etc.


Binomialverteilung: Eigenschaften

• Anzahl der erwarteten erkrankten Tiere

E(X) = n P

Beispiel: E(X) = 5 0.1 = 0.5

• Varianz

Var(X) = n P (1-P)

Beispiel: Var(X) = 5 0.1 0.9 = 0.45


Weitere diskrete Verteilungen

• hypergeometrische Verteilung

wenn die Auswahl ohne Zurücklegen erfolgt und die

Gesamtheiten klein sind

• Poisson-Verteilung

wenn die Ereignisse sehr selten sind

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