Mathematik macht Freu(n)de AB – Normalverteilung

Eine Zufallsvariable X kann die Werte 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 annehmen.Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten sind rechts in einem Stabdia-gramm dargestellt. Trage die Wahrscheinlichkeiten in der Tabelle ein.

k 1 2 3 4 5 6

P (X = k)

Wir wandeln das Stabdiagramm clever in ein Säulendiagramm um.Dazu ersetzen wir jeden Stab jeweils durch ein Rechteck derselbenHöhe und der Breite 1. Das Ergebnis ist rechts dargestellt:

Der Flächeninhalt jeder Säule ist also genau die entsprechendeWahrscheinlichkeit. 1 · P (X = k) = P (X = k)

Wir können die Achsen unabhängig voneinander skalieren.

Die tatsächlichen Breiten und Höhen der Säulen – und damit der Flächeninhalt – bleiben unverändert:

Die Wahrscheinlichkeit P (2 ≤ X ≤ 4) ist in jedem der drei Bilder rot hervorgehoben. Es gilt:

P (2 ≤ X ≤ 4) =

Wahrscheinlichkeiten als Flächeninhalte

Wir würfeln n Mal mit einem fairen 6-seitigen Würfel.Die Zufallsvariable Sn gibt die Anzahl der geworfenen Sechser an. Sn ist binomialverteilt.Rechts sind die Wahrscheinlichkeiten für n = 60 Würfe in einem Säulendiagramm dargestellt.Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dabei mindestens 8 Sechser, aber höchstens 10 Sechser zu würfeln.

1) Markiere rechts die zugehörige Fläche.

2) Ermittle die Wahrscheinlichkeitnäherungsweise:

P (8 ≤ S60 ≤ 10) ≈

3) Ermittle die exakte Wahrscheinlichkeitmit Technologieeinsatz:

4) Fülle die Lücken aus:

P (8 ≤ S60 ≤ 10) =( )

·(1

6

)·(5

6

)︸ ︷︷ ︸

P (S60=8)

+( )

·(1

6

)·(5

6

)︸ ︷︷ ︸

P (S60=9)

+( )

·(1

6

)·(5

6

)︸ ︷︷ ︸

P (S60=10)

Binomialverteilung

Datum: 19. August 2019

Mathematik macht Freu(n)de AB – Normalverteilung

Bei n = 720 Würfen nimmt das Säulendiagramm von S720 die folgende Form an:

Animationen:y-Achse variabel skaliert

y-Achse fix skaliert

Der Flächeninhalt des grau markierten Bereichs ist die Wahrscheinlichkeit P ( ≤ S720 ≤ ).

Wir haben auch den Graphen einer ganz bestimmten Funktion f eingezeichnet.Dieser Graph schmiegt sich an das glockenförmige Profil des Säulendiagramms an.Wie würdest du mithilfe von f diese Wahrscheinlichkeit näherungsweise berechnen?

P (130 ≤ S720 ≤ 140) ≈

Von der Binomialverteilung zur Normalverteilung

Die Funktion ϕ mit ϕ(x) = 1√2 · π

· e−12 ·x

2 heißt Dichtefunktion der Standardnormalverteilung.

Sie hat die folgenden Eigenschaften:

1) Alle Funktionswerte sind positiv. Warum?

2) Der größte Funktionswert ist an der Stelle x = 0.

3) Die beiden Wendestellen befinden sich bei x = −1und bei x = 1.

ϕ′(x) = 1√2 · π

· e−12 ·x

2 · (−x) Welche Ableitungsregeln wurden hier verwendet?

ϕ′′(x) = 1√2 · π

· e−12 ·x

2 · x2 + 1√2 · π

· e−12 ·x

2 · (−1) = 1√2 · π

· e−12 ·x

2 ·(x2 − 1

)limx→∞

ϕ(x) = und limx→−∞

ϕ(x) =

4) Der Graph ist symmetrisch zur senkrechten Achse, also ϕ(−x) = .

5) Der gesamte Flächeninhalt A zwischen der x-Achse und dem Funktionsgraphen ist 1. Kurz:

A =∫ ∞−∞

ϕ(x) dx = e− 12 ·x2

hat keine elementare Stammfunktion.

Dichtefunktion der Standardnormalverteilung

2

Mathematik macht Freu(n)de AB – Normalverteilung

Die Funktion f mit

f(x) = 1σ ·√

2 · π· e−

12 ·(x−µ

σ )2

heißt Dichtefunktion der Normalverteilungmit Erwartungswert µund Standardabweichung σ.

Die beiden Gleichungen

ϕ(x) =1

√2 · π

·e− 12 ·x2

und f(x) =1

σ ·√

2 · π·e− 1

2 ·(x−µσ

)2

sind eng miteinander verknüpft. Tatsächlich entsteht derGraph von f aus dem Graphen von ϕ in 3 Schritten:

i) Horizontale Skalierung um den Faktor σ:

f1(x) = ϕ

(x

σ

)=

1√

2 · π· e− 1

2 ·( xσ )2

ii) Horizontale Verschiebung um µ Einheiten nach rechts:

f2(x) = f1(x− µ) =1

√2 · π

· e− 12 ·(x−µσ

)2

iii) Vertikale Skalierung um den Faktor 1σ:

f(x) = f2(x)σ

=1

σ ·√

2 · π· e− 1

2 ·(x−µσ

)2

Mehr dazu findest du am Arbeitsblatt – Funktionsgraphen.

Die Dichtefunktion f hat also die folgenden Eigenschaften:

1) Alle Funktionswerte sind positiv.

2) Der größte Funktionswert wird an der Stelle x = angenommen.

3) Die Wendepunkte befinden sich an den Stellen x = und x = .

4) Der Graph ist symmetrisch zur senkrechten Gerade x = µ, also f(µ− x) = .

5) Der gesamte Flächeninhalt zwischen der x-Achse und dem Funktionsgraphen ist .

6) Eine Veränderung von µ bewirkt eine des Graphen in -Richtung.

7) Je größer σ ist, desto ist der größte Funktionswert und desto ist

die Entfernung der beiden Wendestellen.

8) Je kleiner σ ist, desto ist der größte Funktionswert und desto ist

die Entfernung der beiden Wendestellen.

9) f ist die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung, wenn µ = und σ = ist.

Dichtefunktion der Normalverteilung

f ist die Dichtefunktion der Normalverteilung mit Erwartungswert µ und Standardabweichung σ.Eine Zufallsvariable X heißt normalverteilt mit Erwartungswert µ und Standardabwei-chung σ, wenn die folgenden Gleichungen für alle reellen Zahlen a ≤ b gelten:

P (a ≤ X ≤ b) =b∫a

f(x) dx P (X ≤ b) =b∫

−∞

f(x) dx P (X ≥ a) =∞∫a

f(x) dx

Eine normalverteilte Zufallsvariable kann also jede reelle Zahl als Wert annehmen.

Normalverteilte Zufallsvariable

3

Mathematik macht Freu(n)de AB – Normalverteilung

X ist eine normalverteilte Zufallsvariable mit Dichtefunktion f .

Die Wahrscheinlichkeit, dass X genau den Wert a ∈ R annimmt, ist

P (X = a) = P (a ≤ X ≤ a) =∫ a

af(x) dx = .

Wenn X eine normalverteilte Zufallsvariable ist, dann gilt also:

P (X ≤ a) = P (X < a) + P (X = a) = Das ist anders als bei der Binomialverteilung.

f(a) 6= P (X = a)

Die Körpergröße X von 42-jährigen Männern ist annähernd normalverteilt mit Erwartungswertµ = 177,8 cm und Standardabweichung σ = 6,1 cm. Ein 42-jähriger Mann wird zufällig ausgewählt.

a) Berechne (mit Technologieeinsatz) die Wahrscheinlichkeit, dass seine Körpergröße . . .

. . . im Intervall [174 cm; 178 cm] liegt.

. . . größer als 190 cm ist.

. . . kleiner als 178 cm ist.

b) Welche Körpergröße übertrifft er mit einer Wahrscheinlichkeitvon 80 %?

Welche Körpergröße übertrifft er mit einer Wahrscheinlichkeit von 45 % nicht?

c) Gesucht ist jenes symmetrische Intervall um µ, in dem seine Körpergröße mit einer Wahrscheinlich-keit von 72 % liegt. Dieses Intervall heißt auch zweiseitiger 72 %-Zufallsstreubereich für einen Einzelwert von X.

Mehr dazu findest du am Technologieblatt – Zufallsstreubereiche und Konfidenzintervalle.

Welchen Inhalt haben die beiden schraffierten Flächenlinks und rechts vom symmetrischen Intervall jeweils?

Mit Technologieeinsatz berechnen wir die Grenzen:

P (X ≤ ) = 14 % P (X ≥ ) = 14 %

Die Körpergröße befindet sich mit einer WS von 72 % im Intervall .

Körpergröße

4

Mathematik macht Freu(n)de AB – Normalverteilung

Mit der Substitution

Z =X − µ

σ

können wir jede normalverteilte Zufallsvariable X mit Erwartungswert µ und Standardabweichung σin eine standardnormalverteilte Zufallsvariable Z (mit µZ = 0 und σZ = 1) umwandeln, denn:

P (x1 ≤ X ≤ x2) =∫ x2

x1

1σ ·√

2 · π· e−

12 ·(x−µ

σ )2dx =

∫ z2

z1

1√2 · π

· e−12 ·z

2 dz = P (z1 ≤ Z ≤ z2).

Zwischen den Intervallgrenzen bestehen dann die Zusammenhänge

z1 =x1 − µ

σund z2 =

x2 − µ

σ.

Dieser Zusammenhang ist besonders nützlich, wenn in einer Aufgabenstellung µ oder σ gesucht ist.

Standardisierung

X ist normalverteilt mit den Parametern µ = 5 und σ = 2. Z ist standardnormalverteilt.

=⇒ P (3 ≤ X ≤ 9) = P ( ≤ Z ≤ ) = 81,85...%

Veranschauliche die Wahrscheinlichkeiten jeweils als Flächeninhalt:

Standardisierung

Eine normalverteilte Zufallsvariable X hat die Standardabweichung σ = 2, und es gilt P (X ≤ 8) = 0,62.Wie groß ist der Erwartungswert µ von X?

Wir berechnen den entsprechenden „z-Wert“ für die standard-normalverteilte Zufallsvariable Z mit µZ = 0 und σZ = 1:

P (Z ≤ z) = 0,62 =⇒ z =

Die obere Grenze x = 8 von X entspricht alsoder oberen Grenze z = 0,305 48... von Z.

Aus z = x−µσ berechnen wir den Erwartungswert µ von X:

z · σ = x− µ =⇒ µ = x− z · σ =

Rechts kontrollieren wir noch einmal das Ergebnis.

Erwartungswert gesucht

Berechne µ und σ der normalverteilten Zufallsvariable X mit P (X > 42) = 8 % und P (X ≤ 35) = 19 %.

Erwartungswert und Standardabweichung gesucht

5

Mathematik macht Freu(n)de AB – Normalverteilung

Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit Parametern n und p.Ihr Erwartungswert ist E(X) = n · p und ihre Standardabweichung ist σ(X) =

√n · p · (1− p).

Für große Werte von n liegt das Profil desSäulendiagramms von X nahe am Graphender Dichtefunktion f der Normalverteilung mitdemselben Erwartungswert µ undderselben Standardabweichung σ.

Je größer n bei festem p, desto besser die Annäherung.

Im Bild rechts ist n = 720 und p = 16 . Berechne:

E(X) = σ(X) =

Für großes n dürfen wir zur Annäherung der Binomialverteilung mit Parametern n und p dieNormalverteilung mit Parametern µ = n · p und σ =

√n · p · (1− p) verwenden. Satz von Moivre-Laplace

Annäherung: Binomialverteilung – Normalverteilung

Du würfelst 600 Mal mit einem fairen 6-seitigen Würfel.Wie wahrscheinlich ist es, dass du mindestens 90, aber höchstens 105 Sechser würfelst?Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der geworfenen Sechser an.

1) Exakte Berechnung mit der Binomialverteilung:

X ist binomialverteilt mit n = und p = .

=⇒ P (90 ≤ X ≤ 105) =

2) Näherungsweise Berechnung mit der Normalverteilung:

Erwartungswert und Standardabweichung von X:

E(X) =

σ(X) =

X ′ ist normalverteilt mit µ = und σ = .

=⇒ P (90 ≤ X ′ ≤ 105) = Diese Annäherung ist relativ schlecht.

Im Bild rechts ist das Säulendiagramm der binomialver-teilten Zufallsvariable X dargestellt.Wodurch entsteht der Unterschied zwischen

P (90 ≤ X ≤ 105) und∫ 105

90f(x) dx ?

Eine bessere Annäherung erhalten wir durch Anwendungder sogenannten Stetigkeitskorrektur:

=⇒ P (89,5 ≤ X ′ ≤ 105,5) =

Warum nähert man überhaupt die Binomialverteilung an? Mein GeoGebra stürzt bei einer Binomialverteilung mit n = 10 000 ab.

Stetigkeitskorrektur

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