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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 26.10.2006 Wahrscheinlichkeit „Wahrscheinlich wird morgen die Sonne scheinen“ „Die Chancen, dass ich die Klausur bestehe, sind 50:50“ „Das jährliche Risiko, durch einen Blitzschlag zu sterben, beträgt 1:10 Millionen“ Struktur: Wahrscheinlichkeitsaussagen beziehen sich auf Ereignisse, deren Eintreten unbekannt ist.

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Page 1: Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 26.10.2006 Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlich wird morgen die Sonne scheinen Die Chancen, dass

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Wahrscheinlichkeit

• „Wahrscheinlich wird morgen die Sonne scheinen“

• „Die Chancen, dass ich die Klausur bestehe, sind 50:50“

• „Das jährliche Risiko, durch einen Blitzschlag zu sterben,

beträgt 1:10 Millionen“

Struktur: Wahrscheinlichkeitsaussagen beziehen sich auf Ereignisse, deren Eintreten unbekannt ist.

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Die Wahrscheinlichkeit nach Laplace

Laplace (1749 - 1822):

Zahl der günstigen Fälle

Zahl aller (gleich) möglichen Fälle

Beispiel:

P(„Es wird eine 6 gewürfelt“) = 1/6

P(Es wir eine gerade Zahl gewürfelt) = 3/6

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Laplace-Wahrscheinlichkeit (2)

Problem: P(„Morgen scheint die Sonne“)

Möglichkeiten = {Sonne, Regen, bewölkt}

P(Sonne) = 1/3 ????

Definition ist zyklisch

(gleich) möglich = gleich wahrscheinlich

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Frequentistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff

R. von Mises (1883-1953)

„ Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die langfristige relative Häufigkeit seines Auftretens“

n

nAP

Alim)(

nA : Anzahl der Erfolge

n : Anzahl der Versuche

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Frequentistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff

Probleme:

• Einmalige Ereignisse• Grenzwertdefinition• Experimentdurchführung

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Subjektivistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff

Laplace, Ramsey, de Finetti:

„Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist der Grad der Überzeugung, mit der ein Beobachter aufgrund eines bestimmten Informationsstandes an das Eintreten eines Ereignisses glaubt“

Beispiele:Münzwurf: Einsatz auf Zahl bis zu 0,50 € sinnvollWürfel: Einsatz bis zu 1/3 € auf „5 oder 6“

P(A) ist der Wetteinsatz (€) in , die eine Person höchstens einzugehen bereit ist, falls er bei Eintreten von A 1 € gewinnt.

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Subjektivistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff

Probleme:

• Subjektiv = Unwissenschaftlich ?

• Wettdefinition

• Informationsstand

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Axiomatische Einführung der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Kolmogorov (1933): Wahrscheinlichkeit ist Funktion, die gewissen Regeln, den sog. Kolmogorov‘schen Axiomen genügt

Grundlage bildet das Zufallsexperiment: Vorgang, der genau ein Ergebnis liefert, das nicht deterministisch bestimmt ist.

Menge der Ergebnisse:

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Zufallsexperimente

Experiment Ergebnismenge

Würfelwurf 1, 2, 3, 4, 5, 6

Münzwurf Kopf, Zahl

Diagnosetest positiv, negativ

Blutwert alles positive Zahlen

EKG-Parameter alle positiven Zahlenpaare (0, ) x (0, )

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Ereignisse

Ereignisse sind Teilmengen von

Beispiele: 1. „gerade Zahl“ = {2,4,6} „1 oder 2“ = {1,2} 2. „Kopf“ = {K}3. Blutwert > 90 (90, )4. Beide EKG-Werte >10 {(x, y)|x >10, y >10}

Ereignissen sollen Wahrscheinlichkeiten zugeordnet werden.Wir bezeichnen Ereignisse mit A,B,C...

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Ereignisoperationen

A B : Vereinigung = „A oder B“BDurchschnitt = „A und B“ AComplement = „Nicht A“

eispiel:

= {1,2,3,4,5,6}A = {2,4,6} „gerade“ B = {4,5,6} „groß“A B = {2,4,5,6} „groß oder gerade A B = {4,6} „gerade und groß“ AC = {1,3,5} „ungerade“

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Axiome von Kolmogorov

mit Ereignissen A,B,C...Eine Wahrscheinlichkeit P hat folgende Eigenschaften

1. 0 P(A) für alle Ereignisse Positivität

2. P(A P(A) + P(B) für disjunkte EreignisseAdditivität

3. P(Normiertheit

Beispiel: Laplace-Wahrscheinlichkeit für Würfel:

P({1,2,3,4,5,6}) = 6/6 = 1P({1,2} P({1,2}) + P({3,4})Positivität ist offensichtlich

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Axiome und Wahrscheinlichkeitsbegriff

Die Laplace-Wahrscheinlichkeit und die frequentistische

Wahrscheinlichkeit erfüllen die Axiome. Auch von den

subjektiven Wahrscheinlichkeiten ist die Forderung der

Erfüllung der Axiome sinnvoll.

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Wichtige Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten

Gegenereignis: P(AC) = 1- P(A)

Additionssatz : P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

eispielA = {2,4,6} „gerade“ B = {4,5,6} „groß“A B = {2,4,5,6} „groß oder gerade“ A B = {4,6} „ groß und gerade “

P(A B ) = 4/6 P(A) + P(B) - P(A B) = 3/6+3/6-2/6

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Beispiel zur bedingten Wahrscheinlichkeit: „Herzoperation im Krankenhaus“ Überleben der Operation

Alle Fälle Operation überlebt

Operation nicht

überlebt

P (nicht ü)

„Risiko“

Krankenh U 500 500 0.5

Krankenh K 900 100 0.1

Frage:„In welchem Krankenhaus würden Sie sich behandeln lassen?“

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Schwere der behandelten Fälle

schwere

Fälle

leichte Fälle

Krankenhaus U 900 100

Krankenhaus K 100 900

Frage: „Bleiben Sie bei Ihrer Entscheidung?“

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Überleben der Operation aufgeteilt nach der Schwere der behandelten Fälle

Schwere Fälle Operation überlebt

Operation nicht

überlebt

P (nicht ü)

„Risiko“

Krankenh U 400 500 0.56

Krankenh K 30 70 0.7

Leichte Fälle Operation überlebt

Operation nicht

überlebt

P(nicht ü)

„Risiko“

Krankenh U 100 0 0

Krankenh K 870 30 0.033

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Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit

In dem Beispiel betrachten wir das Risiko gegeben „schwerer Fall“: Das Risiko wird berechnet durch

)(

)(

schwerAnzahl

überlebtnichtundschwerAnzahl

)(

)(:)|(

AP

BAPABP

Allgemein definieren wir die Wahrscheinlichkeit von„Ereignis B gegeben A“

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Im Beispiel

B: nicht Überleben A: Schwerer Fall

%569.0/5.0)|(

5.01000/500)(

9.01000/900)(

5.01000/500)(

ABP

BAP

AP

BP

Krankenhaus U Krankenhaus K

%701.0/07.0)|(

07.01000/70)(

1.01000/100)(

1.01000/100)(

ABP

BAP

AP

BP

Schwere Fälle Operation überlebt

Operation nicht

überlebt

P (nicht ü)

„Risiko“

Krankenh U 400 500 0.56

Krankenh K 30 70 0.7

Leichte Fälle Operation überlebt

Operation nicht

überlebt

P (nicht ü)

„Risiko“

Krankenh U 100 0 0

Krankenh K 870 30 0.033

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Beispiel: Würfeln

= {1,2,3,4,5,6}A = {2,4,6} „gerade“ B = {4,5,6} „groß“P(A) = 3/6P(A B) = 2/6P(B|A) = (2/6)/(3/6) =2/3

Interpretation: Wenn bekannt ist, daß die gewürfelte Zahl gerade ist, steigt die Wahrscheinlichkeit für „groß“ auf 2/3.

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Beispiel: Test

1000 Tiere werden getestet600 Männlich, davon 450 positiv400 Weiblich, davon 300 positiv1 Tier

Interpretation: Die Ereignisse „Männlich“ und „Positiv“ sind unabhängig

P(M) = 0.6P(W) = 0.4P(Pos) = 0.75P(MPos) = 0.45P(Pos|M) = 0.45/0.6 = 0.75P(M|Pos) = 0.45/0.75 = 0.6

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Definition stochastische Unabhängigkeit

)()()(

)()|(

)()|(

BPAPBAP

APBAP

BPABP

Zwei Ereignisse A und B heißen unabhängig, falls gilt:

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Beispiel: mehrmaliges Würfeln

Annahme: Zwei Würfel fallen voneinander unabhängig

P(„keine 6“) = P(„1. Würfel keine 6“ und „2. Würfel keine 6“) = P(„1. Würfel keine 6“)* P(„2. Würfel keine 6“) = 5/6* 5/6 = 25/36

Mit der Regel für das Gegenereignis ergibt sich:

P(„mindestens eine 6“) = 1- 25/36 = 11/36

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Fehlklassifikation

Ein diagnostischer Schnelltest T prüft, ob ein Symptom vorliegt oder nicht. Anhand eines Standardverfahrens K kann mit großem

Aufwand der Nachweis zweifelsfrei erbracht werden.

Diagnose

Test T

Wahrheit (goldener Standard K)

positiv (=1) negativ (=0)

positiv (=1)

negativ (=0)

richtig falsch positiv

falsch negativ richtig

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Fehlspezifikationswahrscheinlichkeiten

(bedingte) Klassifikationswahrscheinlichkeiten

Diagnose:

Klassifikation

wahrer Status

positiv negativ

positiv

negativ

Sensitivität

Empfindlichkeit

P(T+|K+)

Spezifität

Treffsicherheit

P(T-|K-)

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Goldener Standard

Ist ein „Goldener Standard“ als „Definition der Wahrheit“bekannt, so können die Diagnosewahrscheinlichkeiten aus einer Stichprobe geschätzt werden.

Diagnose:

Klassifikation

Goldener Standard

positiv (=1) negativ (=0)

positiv (=1)

negativ (=0)

n(+|+) n(+|-)

n(-|+) n(-|-)

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Schätzung von Sensitivität und Spezifität

)|()|(

)|(

nn

nSen

Schätzer für Sensitivität:

Schätzer für Spezifität:

)|()|(

)|(

nn

nSpez

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Schätzung von Sensitivität und Spezifität „Goldener Standard“: Beispiel

Testwahrer Befund

positiv negativ

positiv

negativ

450 10

50 290

500

450

Bei 500 wahr positiven und 300 wahr negativen Proben wird ein neues Testsystem validiert

Schätzer für Sensitivität:

Schätzer für Spezifität: 300

290