varyans analizi (anova) kruskal-wallis h testi toplamları ve bir kare toplamına ait serbestlik...

Varyans Analizi (ANOVA) Kruskal-Wallis H Testi

Doç. Dr. Ertuğrul ÇOLAK Eskişehir Osmangazi Üniversitesi Tıp Fakültesi Biyoistatistik Anabilim Dalı

• Tek Yönlü Varyans Analizi

• SPSS’de Tek Yönlü Varyans Analizi

• Kruskal-Wallis H Testi

• SPSS’de Kruskal-Wallis H Testi

Konu Başlıkları

Varyans analizi (ANALYSIS OF VARIANCE), normal

dağılım gösteren bağımlı ya da bağımsız

toplumların ortalamalarına ilişkin hipotezlerin test

edilmesinde yararlanılan bir analiz yöntemidir.

Varyans Analizi

Varyans analizi (ANOVA), k gruptan (k>2) elde

edilen veri setinde incelenen değişkene ait olan

genel varyansı (genel değişimin), bu değişime

katkıda bulunan öğelerine ayırarak analiz etmeyi

sağlayan bir yöntemdir.

Varyans Analizi

Varyans analizi veri yapısına bağlı olarak çok değişik

işlevler yerine getiren bir yöntemdir.

Veri yapısına ve çalışma dizaynına göre değişik

modeller içerir.

Bu derste tek yönlü varyans analizi incelenecektir.

Varyans Analizi

Bağımsız k>2 gruplu bir çalışma dizaynında,

incelenen bir değişkene ait elde edilen verilerin

analizinde yararlanılan bir yöntemdir.

K bağımsız örneklem varyans analizi olarak

tanımlanabilmektedir. Bağımsız örneklerde t

testinin ikiden fazla grup için genellenmiş bir şekli

diyebiliriz.

Tek Yönlü Varyans Analizi

Tek yönlü varyans analizine ait varsayımlar;

• İncelenen değişken (Y) her bir toplumda normal

dağılım göstermelidir.

• Toplum etkileri toplanabilir olmalı ve etkilerin

toplamı sıfır olmalıdır.

• Grup ortalamaları ve standart sapmaları

arasında bir doğrusallık olmamalıdır.


Birbirinden bağımsız 𝜇1, 𝜇2, … , 𝜇𝑘 ortalamalı ve 𝜎2

varyanslı normal dağılım gösteren k tane

toplumdan ni hacimli (i=1,2,…,k) rastgele örnek

alınarak elde edilen veri setini analiz etmek için tek

yönlü varyans analizi kullanılır.


Tek yönlü varyans analizinde test edilen hipotezler

aşağıdaki gibidir.

𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 = ⋯ = 𝜇𝑘

𝐻1: en az bir grup ortalaması diğerlerinden farklıdır.

Burada toplumlardan alınan örnekler birbirlerinden

bağımsızdır ve örnek birim sayılarının benzer

olması gerekmez.


İncelene değişken genel olarak 𝑌𝑖𝑗 olarak gösterilir.

Burada;

i=1,2,…,k ve j=1,2,…, ni olmak üzere

k: grup sayısını

j: birim sayısını

ni: i. grupa ait örnek büyüklüğünü göstermektedir.


Buradan yola çıkarak incelenen değişkene ait genel

ortalama,

𝑌 = 𝑌𝑖𝑗

𝑛𝑖𝑗=1

𝑘𝑖=1

𝑁, 𝑁 = 𝑛𝑖

𝑘

𝑖=1

Burada genel kareler toplamı,

𝐺𝐾𝑇 = (𝑌𝑖𝑗−𝑌 )2

𝑛𝑖

𝑗=1

𝑘

𝑖=1


Genel kareler toplamı gruplar arası kareler toplamı

ve grup içi kareler toplamı olarak parçalanabilir.

GKT=GAKT+GİKT

Grup içi kareler toplamına hata kareler toplamında

denilmektedir.


Bu durumda genel kareler toplamı,

𝐺𝐾𝑇 = (𝑌𝑖𝑗−𝑌 )2

𝑛𝑖

𝑗=1

𝑘

𝑖=1

= (𝑌𝑖𝑗)2

𝑛𝑖

𝑗=1

𝑘

𝑖=1− 𝑌𝑖𝑗

𝑛𝑖𝑗=1

𝑘𝑖=1

2

𝑁

Burada 𝑌𝑖𝑗𝑛𝑖𝑗=1

𝑘𝑖=1

2𝑁 ifadesine düzeltme terimi

denir DT ile gösterilir.


Gruplar arası kareler toplamı,

𝐺𝐴𝐾𝑇 = 𝑌𝑖𝑗𝑛𝑖𝑗=1

2

𝑛𝑖− 𝐷𝑇𝑘

𝑖=1

Grup içi kareler toplamı,

𝐺İ𝐾𝑇 = (𝑌𝑖𝑗)2

𝑛𝑖

𝑗=1

𝑘

𝑖=1−

𝑌𝑖𝑗𝑛𝑖𝑗=1

2

𝑛𝑖

𝑘

𝑖=1


Genel serbestlik derecesi (gsd)=N-1

Gruplar arası serbetlik derecesi(gasd)=k-1

Grup içi serbestlik derecesi (hsd)=N-k

N-1=(k-1)+(N-k)


Kare toplamları ve bir kare toplamına ait serbestlik

dereceleri kullanılarak varyans tahminleri olan Kare

Ortalamaları hesaplanır.

Gruplar arası kareler ortalaması=GAKT/gasd

Grup içi kareler ortalaması=GİKT/hsd

Grup içi kareler ortalaması aynı zamanda hata kareler

ortalaması olarak bilinir ve toplum varyansının

tahmincisidir.


Gruplar arasınsaki değişimin önemliliğini test

etmek için F test istatistiği kullanılır.

𝐹 =𝐺𝐴𝐾𝑂

𝐻𝐾𝑂

F test istatistiği iki serbestlik derecesine sahip F dağılımı

gösterir. Bu dağılımın birinci serbestlik derecesi pay

serbestlik derecedir sd1=gasd’dir. İkinci serbestlik derecesi

payda serbestlik derecesidir ve sd2=hsd’dir.


Bu durumda hesaplanan F test istatistiği F

dağılımından elde edilen F kritik değerine göre

karşılaştırılır ve

Ftest < F0.05,sd1,sd2 ise p>0.05 olarak hesaplanır. Bu

durumda H0 hipotezi kabul edilir.

Eğer Ftest > F0.05,sd1,sd2 ise p<0.05 olarak hesaplanır.

Bu durumda da H1 hipotezi kabul edilir.


Tek yönlü varyans analizi sonuçları aşağıdaki gibi

özet bir tablo halinde sunulur.


Değişim Kaynağı

Serbestlik Derecesi

Kareler Toplamı

Kareler Ortalaması

F istatistiği P değeri

Gruplar Arası k-1 GAKT GAKO GAKO/GİKO P

Grup İçi (Hata) N-k GİKT GİKO

Toplam (Genel) N-1 GKT -

Tek yönlü varyans analizi sonucuna göre F’in

olasılığı önemli olarak nitelendiriliyor ise yani p

değeri 0.05’den küçük ise grup ortalamalarından en

az bir tanesi diğerlerinden farklıdır hipotezi kabul

edilir.

Bu durumda hangi grup ya da grupların

diğerlerinden farklı olduğu nasıl belirlenir?


Farklı olan grupların belirlenmesinde çoklu

karşılaştırma testlerinden yararlanılır. Çok sayıda

çoklu karşılaştırma testi vardır. Eşit varyans

varsayımının ya da farklı varyans varsayımının

dikkate alınmasına göre ikiye ayrılır.


Bu sınıflardaki testler, ortalamaların farklarının

önemliliğini birbirleri işe eşanlı karşılaştırma,

gruplardan birini kontrol grubu alarak diğerleri ile

karşılaştırma, ağırlıklı katsayılar kullanarak

karşılaştırma, ortalamaları büyüklük sırasına

dizerek karşılaştırma gibi farklı karşılaştırma

yaklaşımları içeren testlerdir.


Bu derste ortalamalar arasındaki farkları eşanlı

olarak karşılaştırmayı sağlayan Bonferroni (Dunn),

Tukey HSD, Tamhane T2 ve kontrol grubuna göre

diğer ortalamaları ikili karşılaştırmayı sağlayan

Dunnett çoklu karşılaştırma testleri açıklanacaktır.


Bonferroni (Dunn) testi k grup varyanslarının

türdeş olduğu durumlarda k ortalamanın ikili

karşılaştırmalarını ya da ortalamaları gruplayarak

ağırlıklı olarak birbirleri ile karşılaştırmayı sağlayan

bir testtir.


Bonferroni testte ikili çiftler için arasındaki

karşılaştırmalar için kullanılan test istatistiği,

𝑡 =𝑌𝑖 − 𝑌𝑙

2𝐻𝐾𝑂𝑛

şeklindedir. Burada i ve l karşılaştırılacak iki grubu

göstermektedir. 𝑡 istatistiğinin önemliliği Dunn

olasılıklar tablosuna göre belirlenir.


Tukey HSD testinde grup ortalamaları büyüklük

sırasına dizilir ve grup ortalamaları arasındaki

farklar (Dil) bulunur. HKO ve ortak birim sayısı n0

belirlenir.

Qα, k, hsd tablo değeri Q kritik değerler tablosundan

belirlenir. Ortalamalar arasında bulunabilecek

müsaade edilebilir fark (Dmax) hesaplanır.


𝑛0 =1

𝑘 − 1𝑁 − 𝑛𝑖𝑘𝑖=1

𝑁

𝑆𝐻 =𝐻𝐾𝑂

𝑛0; 𝐷𝑚𝑎𝑥 = 𝑄𝛼,𝑘,ℎ𝑠𝑑 × 𝑆𝐻

Eğer iki grup ortalaması arasındaki fark Dmax

değerinden büyükse bu gruplar birbirlerinden

farklıdır.


Dunnett testi, k gruptan biri kontrol grubu alınarak

diğer deneme sonuçlarının kontrole göre

farklılığının analizde kullanılır. İ normal bir grubu

k’da kontrol grubunu göstermek üzere

𝐷0.05 𝑌 𝑘 − 𝑌 𝑖 = 𝑄0.052𝐻𝐾𝑂

𝑛


Kontrol grubuna göre grup ortalamalarının

önemliliği aşağıdaki gibi belirlenir.

𝑌 𝑘 − 𝑌 𝑖 < 𝐷0.05 ise p>0.05 olur önemli fark

yoktur.

𝑌 𝑘 − 𝑌 𝑖 > 𝐷0.05 ise p<0.05 olur önemli fark vardır.


Tamhane T2 testi ise grupların varyansları

heterojen olduğunda kullanılan çoklu karşılaştırma

testidir. Grupların varyansları Levene testi ile

değerlendirildiğinde, varyanslar heterojen çıkarsa

yararlanılır. Burada hesaplama formülleri

verilmeyecektir.


40 yaş grubu sağlıklı kadınlarda dört farklı boy

grubunda FEV1 (litre) değerleri aşağıdaki tabloda

verilmiştir.

Boy grupları arasında FEV1 (litre) değerleri

bakımından farklılık olup olmadığını tek yönlü

varyans analizi ile karşılaştıralım.

SPSS’de Tek Yönlü Varyans Analizi

Örneğe ait hipotezler aşağıdaki gibi kurulur.

H0: µ1=µ2=µ3=µ4

H1:Ortalamalardan en az biri diğerlerinden farklıdır.



155 cm 165 cm 175 cm 185 cm

2.57 2.82 3.09 3.30

2.49 2.78 3.02 3.45

2.56 2.88 3.06 3.20

2.55 2.70 3.17 3.37

2.35 2.91 3.08 3.36

2.42 2.76 3.16 3.33

2.57 2.80 3.11 3.38

2.48 2.86 3.09 3.33

2.49 2.80 3.07 3.30

2.72 2.87 3.04 3.27


Veriler yanda görüldüğü iki sütun

halinde SPSS veri sayfasına girilir.

FEV1 değişkeni 4 grup alt alta

gelecek şekilde girilir. Grup

sütununa ise FEV1 ölçümlerinin

hangi boy grubuna ait olduğunu

gösteren grup kodları girilir.


Örnekte yer alan verilerin tek yönlü varyans analizi

ile analiz edilebilmesi için öncelikle normal dağılım

göstermesi gerekmektedir.

Bunun için verilerin normal dağılıma uygun olup

olmadıkları test edilir.

Analyze -> Descriptive Statisticsc -> Explore menüsü

kullanılır.


Açılan Explore penceresinde FEV1 Dependent List alanına taşınır. Factor

List alanına ise Grup değişkeni atanır. Çünkü her dört grupta da verilerin

normal dağılıma uygun olup olmadığı test edilmelidir.


Plots düğmesi tıklanır ve açılan pencerede Normality plots with test

seçeneği seçilir. Continue ve OK tıklanır.


Kolmogorov-Smirnov ve Shapiro-Wilk test sonuçlarına göre

dört farklı boy grubunda FEV1 değerleri normal dağılım

göstermektedir. Çünkü test sonuçlarında yer alan anlamlılık

düzeyleri her grup içinde 0.05 değerinden büyüktür.


Tek yönlü varyans analizi uygulamak için Analyze ->

Compare Means -> One-Way ANOVA seçeneği tıklanır.


Açılan pencerede Dependent List alanına FEV1 ve Foctor alanına ise

boy değişkeni alınır. Options… düğmesi tıklanır.


Açılan pencerede Descriptive

seçeneği işaretlenerek

verilere ait tanımlayıcı

istatistikler istenir.

Homogenity of variance test

işaretlenerek de varyansların

homojen olup olmadığı test

edilir.


Çoklu karşılaştırma için PostHoc… düğmesi tıklanır.


Açılan pencerede varyansların eşit olduğu varsayımı altında çoklu

karşılaştırmalardan Tukey testi, varyansların eşit olmadığı durumda

kullanılacak olan Tamhane T2 testi seçilir.


Yukarıda gruplara göre FEV1 ölçümlerinin tanımlayıcı istatistikleri ve

Levene testi sonuçları verilmiştir. Levene testi sonuçlarına göre

varyanslar homojendir.


Varyans analizi sonuçları aşağıdaki gibi elde edilir.


Sonuçlar incelendiğinde FEV1 değerlerinin dört

farklı boy grubunda farklılık gösterdiği saptanmıştır

(F=232.679, p<0.001). Bu durumda H1 hipotezi

kabul edilir.

Peki hangi gruplar birbirlerinden farklıdır?


Bu sorunun cevabını bulmak için çoklu karşılaştırma sonuçları

incelenmelidir.


Çoklu karşılaştırma sonuçları incelendiğinde tüm

grupların FEV1 değişkeni bakımından farklı olduğu

saptanmıştır.


Kruskal-Wallis H testi

Kruskal-Wallis H testi (KWH) parametrik olmayan

tek yönlü varyans analizi yöntemidir. K bağımsız

örneğin benzer ortanca değerli toplumların rastgele

örnekleri olup olmadığını test eder.

KWH testi uygulanacak verilerin aralıklı ya da

oransal ölçekli olması gerekir.


KWH testinde aşağıdaki hipotezler test edilir.

H0: k örnek benzer medyanlı toplumlardan alınmış

örneklerdir.

H1: k örnekten an az birinin medyanı diğerlerinden

farklıdır.


KWH testinde gözlem değerleri yerine bu değerlere ait

sıralama puanları kullanılır. Her grubun sıralama puanları

toplamı ele alınarak H test istatistiği aşağıdaki gibi

hesaplanır.

𝐻 =12 𝑛𝑖(𝑅 𝑖 − 𝑅 )

2𝑘𝑖=1

𝑁(𝑁 + 1)

Burada 𝑅 𝑖 i. gruba ait sıralama puanlarının ortalamasını, 𝑅

ise sıralama puanlarının genel ortalamasını göstermektedir.


H test istatistiği (k-1) serbestlik dereceli ki-kare dağılımı

gösterir ve

𝐻 < 𝜒0.05,(𝑘−1) ise p>0.05 olarak elde edilir ve grupların

medyan değerleri farklı değildir sonucuna varılarak H0

hipotezi kabul edilir.

𝐻 > 𝜒0.05,(𝑘−1) ise p<0.05 olarak elde edilir ve grupların

medyan değerleri farklıdır sonucuna varılarak H1 hipotezi

kabul edilir.


KWH testinde anlamlı sonuç bulunduktan sonra

hangi grupların birbirlerinden farklı olduğunu

belirlemek için parametrik olmayan çoklu

karşılaştırma testleri kullanılır. Burada parametrik

olmayan çoklu karşılaştırma testlerine ait

hesaplamalar gösterilmeyecek SPSS uygulamasında

anlatılacaktır.

SPSS’de Kruskal-Wallis H testi

Önceki örnekteki veriler aşağıdaki gibi elde edilmiş

olsun. Aynı şekilde dört farklı boy grubuna göre

FEV1 değerleri bakımından fark olup olmadığını

araştıralım.


155 cm 165 cm 175 cm 185 cm

3.90 3.80 3.09 3.30

2.49 2.78 3.02 3.45

2.56 2.88 3.06 3.20

2.55 2.70 3.17 3.37

3.85 2.91 3.08 3.36

2.42 2.76 3.16 3.33

2.10 2.80 3.11 3.38

2.48 2.86 3.09 3.33

2.49 2.80 3.07 3.30

2.72 2.87 3.04 3.27

Veriler yanda görüldüğü iki sütun

halinde SPSS veri sayfasına girilir.

FEV1 değişkeni 4 grup alt alta

gelecek şekilde girilir. Grup

sütununa ise FEV1 ölçümlerinin

hangi boy grubuna ait olduğunu

gösteren grup kodları girilir.


Örnekte yer alan verilerin tek yönlü varyans analizi

ile analiz edilebilmesi için öncelikle normal dağılım

göstermesi gerekmektedir.

Bunun için verilerin normal dağılıma uygun olup

olmadıkları test edilir.


Analyze -> Descriptive Statisticsc -> Explore menüsü

kullanılır.


Açılan Explore penceresinde FEV1 Dependent List alanına taşınır. Factor

List alanına ise Grup değişkeni atanır. Çünkü her dört grupta da verilerin

normal dağılıma uygun olup olmadığı test edilmelidir.


Plots düğmesi tıklanır ve açılan pencerede Normality plots with test

seçeneği seçilir. Continue ve OK tıklanır.


Kolmogorov-Smirnov ve Shapiro-Wilk test sonuçlarına göre

155cm ve 165cm boy grubunda grubunda FEV1 değerlerinin

normal dağılım göstermemektedir. Bu durumda tek yönlü

varyans analizi kullanılamaz.


Bu şartlar altında tek yönlü varyans analizinin

parametrik olmayan alternatifi olan Kruskal-Wallis H

testi kullanılır.


Analyze -> Nonparametric Tests -> Independent samples… seçeneği

tıklanır.



Açılan pencerede

Fields

sekmesinde Test

Fields alanına

FEV1 ve Groups

alanına ise boy

değişkeni alınır.

Sonra Settings

sekmesi tıklanır.


Açılan pencerede

Customize tests

işaretlenir. Sonra

Kruskal-Wallis 1-way

ANOVA (k samples)

işaretlenir ve Multiple

comparions’dan All

pairwise seçilir. Run

düğmesi tıklanır.


Analiz sonucunda aşağıdaki tabloda gösterilen

sonuçlar elde edilir.


Sonuçlar incelendiğinde FEV1 değerlerinin dört farklı

boy grubunda farklılık gösterdiği saptanmıştır

(p<0.001). Bu durumda H1 hipotezi kabul edilir.

Peki hangi gruplar birbirlerinden farklıdır?


Farklı grupları belirlemek için öncelikle elde edilen

analiz sonuçlarını gösteren tablonun üzerine çift

tıklanır. Model Viewer penceresi açılır.


Model Viewer penceresi


Model Viewer penceresinde View alanında Pairwise

Comparisons seçilerek çoklu karşılaştırmalar elde

edilir.


Sonuçlar

incelendiğinde

155cm ile

185cm ve 165cm

ile 185cm boy

gruplarında

farklılık olduğu

gözlenmektedir.

varyans analizi (anova) kruskal-wallis h testi toplamları ve bir kare toplamına ait serbestlik...

Documents