8-1

8. DEĞİŞEN VARYANS SORUNU (HETEROSCEDASTICITY)

8.1. Değişen Varyans Sorunu Nedir?

Matrislerle Y = Xβ + u

yani Yi = β1 + β2 Xi2 + β3 Xi3 + … + βk Xik + ui, i = 1 … n

genel doğrusal modelini ele alalım.

Hata terimi için yapılan varsayımlardan birisi E(uu') = σu2I = σ2I (hata terimlerinin varyansı

sabittir ve aralarındaki kovaryans sıfırdır) varsayımıdır:

E(𝐮𝐮′) =

2

2

2

σ00

0σ0

00σ

Değişen varyans sorunu ise hata terimlerinin varyansları birbirinden farklı olduğu durumda

vardır:

Var(ui) = E(ui2) ≠ σ2

Sorunun varlığı durumunda hata terimi varyans-kovaryans matrisi Var, Cov(u) = E(uu') =

σ2In şeklinde yazılamıyor fakat

Var, Cov(u) = E(uu') = Ω =

2

n

2

2

2

1

σ00

0σ0

00σ

olarak yazılabiliyor ise değişen varyans sorunu var demektir.

Her bir hata terimi için

E(ui2) = σi

2 i = 1, 2, …, n

dir ve her bir hata terimi varyansı farklıdır.

8-2

Değişen varyans sorunu genellikle yatay kesit verileriyle tahmin yapıldığında ortaya çıkar.

Hata terimlerinin varyanslarının değişken olmasının bazı nedenleri aşağıdaki gibidir.

i) Hataların öğrenildiği durumlar: insanlar öğrendikleri için hataları zaman içinde azalır.

Ör. Klavye kullanımı arttıkça yazım hataları sayısı azalır.

ii) Gelir arttıkça insanların gelirini harcamak için daha fazla seçim alanı olur. Örneğin

bağımlı değişken gıda harcamaları olsun ve açıklayıcı değişkenler bir sabit ve

harcanabilir gelir olsun. Gıda için Engel eğrisinin pozitif eğimli olması beklenir. Yani

ortalamada daha yüksek gelirlilerin gıda harcamalarının daha yüksek olması beklenir.

Aynı zamanda yüksek gelirli haneler arasında harcama farklılıklarının düşük gelirliler

arasında olduğundan daha yüksek olması beklenir. Dolayısıyla hata teriminin (ui)

varyansı gelirle birlikte artar.

Gerçekleşen tüketim değerleriyle tahmin

edilen (çizgi üzerindeki) tüketim değerleri

arasındaki fark, hata terimi tahminini

vermektedir ve gelir arttıkça bunlar da

büyümektedir. Bu durumda hata teriminin

varyansı da giderek artmaktadır.

Benzer biçimde firmaların karları veya firma büyüklüğü (çalışan sayısı) arttıkça kar

payı da ğıtımı gibi kararlarında daha fazla değişkenlik gösterirler.

iii) Veri toplama teknikleri geliştikçe hata varyansları azalır. Ör. Daha gelişmiş veri

işleme teknikleri olan bankaların müşterileri ile ilgili verdikleri bilgiler daha az hata

içerir.

iv) Aşırı uçlar (outliers): örneklemdeki diğer gözlemlere göre çok farklı olan gözlemler

değişen varyansa neden olabilir.

v) Spesifikasyon hataları olması durumunda, özellikle dışlanan değişken varsa değişen

varyans sorunu ortaya çıkabilir.

C

Y

8-3

vi) ARCH : Otoregresif koşullu değişen varyans

(Autoregressive Conditional Heteroscedasticity)

Değişen varyans sorunu zaman serileriyle yapılan tahminlerde de ortaya çıkabilir.

Özellikle enflasyon, hisse senedi fiyatları, döviz kurları gibi volatilitenin zaman içinde

değiştiği verilerde gözlenmektedir. Hata terimi varyansları hem geçmiş dönemlerin

hata terimleri ile ilişkilidir hem de dalgalanmalar gösterir.

Hata terimlerinin t dönemindeki koşullu varyansı:

E(ut2│ut-1

2, ut-22, … , ut-p

2) = σt2 = α0 + α1ut-1

2 + α2ut-22 + … + αput-p

2 (8.1)

Bu modelinin makul olması için (8.1) nin pozitif olması, bunun için de tüm

katsayıların pozitif olması gerekir. Çünkü varyans negatif değer alamaz.

(8.1) deki genel model ARCH(p) sürecini yansıtır. Bu durumda örneğin ARCH(1)

σt2 = α0 + α1ut-1

2 dir.

8-4

8.2. Değişen Varyans Sorunu EKK Tahmin Edicilerini Nasıl Etkiler?

1. E(u) = 0 ve E(X'u) = 0 varsayımları geçerli olmayı sürdürdükleri için sapmasızlık

özelliliğini korunur.

2. EKK tahmin edicisi etkinlik özelliliğini kaybeder. Çünkü

Var,Cov (��) = E{[��-E(��)][ ��-E(��)]'}

= E{[(X'X)-1X'u -E((X'X)-1X'u))][(X'X)-1X'u -E((X'X)-1X'u))]'}

= E{[(X'X)-1X'u][(X'X)-1X'u]'}

= E{(X'X)-1X'uu'X(X'X)-1}

= (X'X)-1X' E(uu')X(X'X)-1

= (X'X)-1X'σ2ΩX(X'X)-1

= σ2(X'X)-1X'ΩX(X'X)-1

Bu durumda değişen varyans sorunu daha büyük varyansa neden olur ve daha küçük varyansa

sahip tahmin ediciler vardır.

(E(uu') = σ2In olsaydı Var,Cov (��) = σ2(X'X)-1X'IX(X'X)-1 = σ2(X'X)-1 olurdu)

3. EKK tahmin edicisinin hesaplanan varyans ve standart hataları yanlış bir ifadeye

dayanacak, dolayısıyla t ve F istatistikleri sapmalı olacak, testler güvenilir olmaktan

çıkacaktır:

Hata terimlerinin varyansının (𝜎𝑢2) tahmin edicisi

∑ 𝑢𝑖2

𝑛−𝑘 aşağı doğru sapmalı olur. Dolayısıyla

Var(��𝑗) aşağı doğru, t istatistikleri yukarı doğru sapmalı olur.

Diğer yandan R2 ve F istatistiği de yukarı doğru sapmalıdır.

8-5

8.3. Değişen Varyans Sorununun Varlığı Saptanabilir mi?

8.3.1. Biçimsel Olmayan Yöntemler

Elimizdeki çalışmanın niteliği bir ipucu verebilir: Daha önceki çalışmalar göstermiştir ki

tüketimin gelirle açıklandığı tahminlerde değişen varyans sorunu vardır. Bu nedenle tüketim

denklemi tahmininde bu sorunun olmasını bekleriz. Kesit verileri tahminlerinde heterojen

birimler varsa bu sorun sözkonusu olacaktır: örneğin yatırımların bağımlı çıktı, faiz vs. nin

açıklayıcı değişken olduğu denklemde küçük, orta ve büyük ölçekli işletmeler aynı

örneklemde yer alıyorsa bu sorundan şüphelenmeliyiz.

Grafik yöntemi: Değişen varyansla ilgili önceden elimizde bilgi yoksa hata tahmin karelerinin

grafiği incelenerek sistematik bir şekil verip vermediğine bakılabilir. Hata tahminleri hata

terimleri ile aynı değildir fakat özellikle örneklem büyüklüğü yeterince genişse iyi bir

tahminini verir. Dikey eksende hata tahmin kareleri, yatay eksende Y’nin tahmin değerleri

varken:

Birinci grafikte iY ile 2

iu arasında sistematik bir ilişki görünmemektedir. Ama diğerlerinde

vardır: örneğin 3. de doğrusal bir ilişki 4. ve 5. de karesel bir ilişki vardır.

Grafik özellikle 1. grafikte olduğu gibi bir ilişki göstermiyorsa yatay eksende açıklayıcı

değişkenlerden birinin olduğu grafik de kullanılabilir.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 2 4 6 8 10

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 2 4 6 8 10-2

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

0 2 4 6 8 100

20

40

60

80

100

120

0 2 4 6 8 10

8-6

8.3.2. Biçimsel Yöntemler

1. Goldfeld-Quandt Test’i

Hata terimi varyansındaki değişmeler açıklayıcı değişkenlerden birisi ile

ilişkilendirilebiliyorsa bu test uygulanabilir.

Yi = β1 + β2 Xi2 + β3 Xi3 + … + βk Xik + ui, i = 1 … n

modelinde Var(u) diyelim ki X2 değişkeni (veya örneğin karesi) ile ilişkilidir. Test birkaç

aşamada uygulanır:

1- Önce bu X2 değişkeni küçükten büyüğe doğru sıralanmalıdır. Sonra, bağımlı değişken ve

diğer açıklayıcı değişken verileri de X2 değişkeninin sıralanmış verilerine karşılık gelecek

şekilde yeniden düzenlenmelidir.

2- Yeni sıralanmış verilerin ortasındaki c adet veri atılmalıdır ve c ≈ n/6 olmalıdır. Kalan n-c

gözlem iki eşit sayıda (=(n-c)/2) olmalıdır. Ör. n = 40 ise n/6 ≈ 6 dersek 40-6=34 ikiye

bölünebilir: n1 = n2 = 17.

3- Yukarıda verilen denklem n1 ve n2 veri ile iki kez tahmin edilmelidir.

n1 adet veri ile yapılan tahminde KKT1 = Σ12

iu

n2 adet veri ile yapılan tahminde KKT2 = Σ22

iu

bulunmalıdır. Burada KKT1 düşük varyanslı grup, KKT2 yüksek varyanslı gruptur.

4- Burada test edilecek hipotez aşağıdaki gibidir:

H0: σ12 = σ2

2

H1: σ12 ≠ σ2

2

Kullanılacak istatistik k)

1/(n

1KKT

k)2

/(n2

KKT

hF

Eğer ui normal dağılmışsa ve sabit varyans varsayımı geçerli ise Ftab = F(n2-k, n1-k) tablo

değeri ile karşılaştırılmalıdır. Fh > Ftab ise H0 reddedilir, varyansın sabit olmadığına karar

verilir.

Bu testin gücü c değerine bağlıdır: c büyük olursa yardımcı denklemlerin serbestlik derecesi

azalır; küçük olursa gözlemler arasındaki farklılığı belirlemek zordur. Goldfeld-Quandt

testinin olumsuz yönü, hata terimi varyansının bir açıklayıcı değişkenle ilişkilendirilmesidir.

Özellikle çok açıklayıcı değişken olması durumunda bu ilişkilendirme kolay olmayabilir.

8-7

2. White Test’i

White testi bir LM testidir ve diğer LM testlerinde olduğu gibi asıl denkleme ek olarak bir

yardımcı denklem tahmini gerektirir. Testin arkasındaki temel düşünce şudur: Eğer sabit

varyans varsa E(ui2) = σ dır ve X’ler veya X’lerin fonksiyonu olan değişkenler ui

2 yi

açıklamaz. Bu nedenle sol taraf değişkeninin ui2, sağ taraf değişkenlerinin X’lerin bir

fonksiyonu olduğu bir yardımcı denklem tahmin edilir. Değişen varyans sorunundan

şüpheleniliyor ama formu hakkında bir fikrimiz yoksa White testi uygun bir testtir.

Asıl denklem aşağıdaki gibi olsun

Yi = β1 + β2 Xi2 + β3 Xi3 + … + βk Xik + ui, i = 1 … n

1- Asıl denklem tahmin edilerek hata tahmin kareleri bulunur: 2

iu

2- Aşağıdaki yardımcı denklem tahmin edilir:

2

iu = α1 + α2Xi2 + … + αkXik + αk+1X2i2 + … + α2kX

2ik + α2k+1Xi2Xi3 + … + vi

Yani asıl denklemin hata tahmin karelerinin bağımlı, açıklayıcı değişkenlerin kendileri,

kareleri ve çarpımlarının açıklayıcı değişken olduğu denklem tahmin edilir. Açıklayıcı

değişkenlerin daha yüksek dereceleri de kullanılabilir.

Asıl denklemde sabit terim olsa da olmasa da yardımcı denklemde vardır.

Bu yardımcı denklem için R2 hesaplanır. Buna RY2 diyelim.

3- Boş hipotez değişen varyans olmadığı şeklindedir:

H0: α2 = α3 = … = 0

H1: α2, α3, … ≠ 0

RY2 nin n ile çarpımı asimptotik olarak ki-kare dağılımına sahiptir ve serbestlik derecesi

yardımcı denklemde yer alan sabit dışındaki açıklayıcı değişken sayısıdır.

nRY2 χ2(k+f-1)

(burada f asıl denklemde bulunmayıp yardımcı denklemde bulunan değişken sayısıdır)

4- Eğer hesaplanan χ2 değeri tablo değerinden büyükse H0 reddedilir. Yani değişen varyans

sorunu var demektir. Eğer büyük değilse değişen varyans sorunu yoktur.

8-8

Test edilen hipotez bakımından düşünülürse White testi Goldfeld-Quandt testinden daha

geneldir.

Olumsuz tarafı: çok sayıda açıklayıcı değişken olduğunda yardımcı denklemde serbestlik

derecesi hızla düşer. Test istatistiğinin anlamlı bulunduğu durumlarda bunun nedeni değişen

varyans olmak zorunda değildir, tanımlama hataları da olabilir veya ikisi birden olabilir.

Hangisinin olduğunu bilmek ise zordur.

3. ARCH-LM Test’i

Engle ARCH sorununun varlığını test etmek için bir LM testi önermiştir. Diğer LM

testlerinde olduğu gibi ARCH için yapılan LM testinde de asıl denkleme ek olarak bir

yardımcı denklem tahmin edilir.

Asıl denklem ve yardımcı denklem sırasıyla şöyledir:

Yt = β1 + β2 Xt2 + β3 Xt3 + … + βk Xtk + ut, t = 1 … n

2

tu = c0 + c12

1-tu + c22

2-tu + … + cp2

p-tu + et

Yardımcı denklemdeki gecikme sayısı p araştırmacıya kalmıştır ancak üç aylık veriler

kullanılıyorsa gecikme sayısı 4 e çıkabilir.

White testinde olduğu gibi test istatistiği olarak χ2 dağılımlı değişkenler kullanılabilir:

nRY2 χ2(p)

H0: c1, c2 , … , cp = 0

H1: c1, c2 , … , cp ≠ 0

Hesaplanan değer tablo değerinden büyükse H0 reddedilir ve modelde ARCH vardır sonucuna

ulaşılır.

8-9

8.4. Değişen Varyans Sorununun Çözümü Var mıdır?

Değişen varyans sorununu nasıl çözeceğimiz, değişen varyansın formunu belirleyip

belirleyemediğimize bağlıdır. Değişen varyans sorununun nasıl çözüleceğine geçmeden önce

daha önce belirttiğimiz bir şeyi tekrarlayalım: değişen varyans model spesifikasyonunun

yanlış olmasından kaynaklanabilir. Verinin logaritmasının alınması değişen varyans

sorununun azalmasını veya ortadan kalkmasını sağlayabilir. Bu nedenle ele alacağımız

metodları uygulamadan önce spesifikasyonun doğru olduğundan emin olmak gerekir.

Değişen varyansın formu tam olarak biliniyorsa GEKK yöntemi kullanılır. Değişen varyansın

formunu bilmiyorsak veya tahmin edemiyorsak White standart hatalar kullanılır.

8.4.1. σui2 değerleri biliniyorsa: Genelleştirilmiş EKK (GEKK) Yöntemi

(Generalized Least Squares - GLS)

Değişen varyans sorununda hata terimi varyans-kovaryans matrisinin

Var, Cov(u) = E(uu') = σ2In yerine

Var, Cov(u) = E(uu') = Ω =

2

n

2

2

2

1

σ00

0σ0

00σ

geçmektedir.

GEKK yöntemi asıl denklemden bir dönüştürülmüş denklem elde edip bu dönüştürülmüş

denklemi EKK ile tahmin etmek anlamına gelmektedir. Bu durumda dönüştürülmüş denklem

aşağıdaki gibidir.

i

i

ik,

k

i

i2,

2

i

1

i

i eσ

Xβ...

σ

Xβ

σ

1β

σ

Y

Dönüştürülmüş denklemin hata terimi ei = ui/σi dir ve e’nin varyansı :

Var(ei) = E(ei)2 = E(ui/σi)

2 = (1/σi2)E(ui)

2 = (1/σi2)σi

2 = 1 dir ve sabittir.

8-10

Dönüştürülmüş denklemin EKK ile tahmin edilmesi, asıl denklemin GEKK ile tahmin

edilmesi anlamına gelmektedir. Buradaki dönüştürülmüş denklemin EKK uygulanması

Ağırlıklı EKK (weighted least squares) olarak adlandırılır. Çünkü her bir gözlem hata terimi

varyansının tersi ile ağırlıklandırılmıştır. Ağırlıklı EKK, daha genel bir yöntem olan GEKK’in

özel bir durumudur. Daha sonraki bölümlerde GEKK’in farklı özel durumlarını da ele

alacağız.

Ağırlıklı EKK’da ağırlıkların kullanılması şu anlama gelir: yüksek varyansa sahip gözlemler

tahminde daha düşük ağırlığa sahiptir. Daha genel olarak şu söylenebilir: en yüksek kalitedeki

gözlemlere en yüksek ağırlık verilir, en düşük kalitedeki gözlemlere en düşük ağırlık verilir.

Bazı durumlarda

Var, Cov(u) = E(uu') = σ2Ω =

n

2

2

2

1

2

n

2

1

2

σ00

0σ0

00σ

00

00

00

σ

Olduğu varsayılır. Yani her bir hata terimi için E(ui2) = σ2ωi dir. Yani her bir varyansın σ2 gibi

sabit bir kısmı vardır fakat ωi nedeniyle her bir varyans birbirinden farklıdır:

Var(u1) = σ2ω1, Var(u2) = σ2ω2, … Var(un) = σ2ωn

Bu durumda dönüştürülmüş denklemi şöyle ifade edebiliriz:

i

i

i

ik,

k

i

i2,

2

i

1

i

i

ωσ

u

ωσ

Xβ...

ωσ

Xβ

ωσ

1β

ωσ

Y

veya

i

i

ik,

k

i

i2,

2

i

1

i

i eω

Xβ...

ω

Xβ

ω

1β

ω

Y dönüştürülmüş denklemin hata terimi ei = ui/√ωi

e’nin varyansı : Var(ei) = E(ei)2 = E(ui/√ωi)

2 = (1/ωi)E(ui)2 = σ2ωi/ωi = σ2 dir ve sabittir.

8-11

8.4.2. σui2 değerleri bilinmiyorsa:

GEKK yönteminin bu şekilde uygulanabilmesi için Ω değerlerinin bilinmesi gerekir. Bu

değerlerin bilinmemesi durumunda üç yöntem uygulanabilir.

i- Değişen varyans ile ilgili varsayım

Ω genellikle bilinmediği için hata terimi varyansının açıklayıcı değişkenlerden birisi ile ilişkili

olarak değiştiği varsayımı yapılır: Örneğin

a- Hata terimleri varyansı X22 ile orantılıdır: Var(ui) = σ2X2i

2 (ωi = X2i2)

Bu durumda Ω matrisi şu şekilde tanımlanmış olmaktadır:

Ω=

2

n2,

2

2,2

2

2,1

X00

0X0

00X

Sonuç olarak dönüştürülmüş model şu şekildedir:

i

i2,

ik,

k2

i2,

1

i2,

i eX

Xβ...β

X

1β

X

Y ei = ui /X2,i

e’nin varyansı : Var(ei) = E(ei)2 = E(ui/ X2i)

2 = (1/ X2i 2)E(ui)

2 = σ2X2i2/ X2i

2 = σ2 dir. (sabit)

b- Hata terimleri varyansı X2 ile orantılıdır: Var(ui) = σ2X2i (ωi = X2i)

dönüştürülmüş model:

Yi

√X2i= β1

1

√X2i+ β2

X2i

√X2i+ ⋯ + βk

Xki

√Xki+ ei ei = ui/√X2i

Var (ei) = E(ei)2 = E(

ui

√X2i)2 =

1

X2i σ2X2i = σ2 dir. (sabit)

8-12

ii- White değişen varyansla tutarlı varyansları

(White’s heteroscedasticity-consistent variances and Standard errors)

White göstermiştir ki büyük örneklemlerde gerçek parametre değerleri ile ilgili istatistiki

çıkarımlarda bulunulabilir. Bu yöntemde katsayı varyans kovaryans matrisinin

hesaplanmasında, σi2 yerine onun tahmini olarak 2

iu kullanılır.

(White cov matrisi: (X'X)-1[Σi=1nui

2xixi'](X’X)-1)

Pek çok ekonometri paketi White değişen varyansla tutarlı varyansları ve standart hataları

vermektedir. Bu değerler EKK değerlerinden büyük veya küçük olabilir.

Bu yöntemin uygulanabilmesi için büyük örneklem olması gerekir.