11.klase

Liepājas A.Puškina 2.vidusskolamatemātikas skolotāja

Olga Maļkova

Varbūtības jēdziens un aprēķināšanas metodes

Par notikuma varbūtību sauc skaitli, kas raksturo šī notikuma realizēšanās iespēju.

Notikuma A varbūtību apzīmē ar P(A).

Aprēķināšanas metodes:klasiskā varbūtībastatistiskā varbūtībaģeometriskā varbūtība

Klasiskā varbūtībaJa visi gadījuma mēģinājuma iznākumi ir

vienādi iespējami, tad jebkura notikuma varbūtību var aprēķināt šādi:

Jebkura notikuma varbūtība ir nenegatīvs skaitlis, kas nepārsniedz 1.

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Neiespējama notikuma varbūtība P = 0.Neiespējams notikums, piemēram, no kastītes, kurā ir baltas bumbiņas, izņem zilu bumbiņu. P(izņem zilu bumbiņu) = 0.

Droša (nenovēršama) notikuma varbūtība ir 1. Piemēram, P(izvēlēts pāra skaitlis dalās ar divi) = 1.

PiemērsLoterijas urnā ir 10 bumbiņas, uz tām uzrakstīti cipari

no 0 līdz 9; no bumbiņām 4 ir sarkanas un 6 ir melnas. Neskatoties uz labi laimi reizē tiek izņemtas 3 bumbiņas.

NotikumsIznākumu

kopas elementu

skaits

Labvēlīgo iznākumu kopas elementu skaits

Ciparu summa ir 5

Visas bumbiņas ir sarkanas

Divas bumbiņas ir sarkanas, bet viena melna

310C

34C

310C

310C 1

624 CC

)320,410(

2

Statiskā varbūtībaJa n neatkarīgos mēģinājumos notikums A

iestājas m reizes, tad m sauc par A absolūto biežumu, bet

attiecību   par notikuma A relatīvo biežumu.

Par notikuma A varbūtības aptuveno vērtību uzskata attiecīgā notikuma relatīvo biežumu, ko sauc par statistisko varbūtību.

n

mAW )(

)()( AWAP

PiemērsLai pārbaudītu sēklu dīktspēju, iesēja 300 sēklas.

No tām uzdīga 280. Dīktspēja atbilst uzdīgušo sēklu relatīvajam biežumam. Notikums A - uz labu laimi iesēta sēkla uzdīgs.

Notikuma A relatīvais biežums ir  280:300 ≈ 0,93, tātad P(A) ≈0,93. Ja rezultātu izsaka procentos, tad sēklu dīktspēja ir 93%.Tātad pērkot šo sēklu paciņu jārēķinās ar to, ka aptuveni 7 sēklas no 100 var nesadigt.

Jo lielāks būs izdarīto mēģinājumu skaits, jo mazāka būs atšķirība starp relatīvo biežumu un notikuma varbūtību.

Piemērā ar sēklām, būtu aplami noteikt dīktspēju, iesējot vien 4 vai 5 sēklas.

Ģeometriskā varbūtībaCik liela ir varbūtība, šaujot mērķī, ar vienu

šāvienu trāpīt “desmitniekā”?Mērķa diametrs ir 1,22 m. Visas 10 joslas ir vienādi platas, t.i. 6,1 cm (mazākā riņķa diametrs ir 12,2 cm).

Ja gadījuma mēģinājuma visu iznākumu kopu un notikumam A labvēlīgo iznākumu kopu var attēlot ar ģeometriskām figūrām, tad notikuma varbūtība ir vienāda ar šīm figūrām atbilstošo laukumu attiecību:

Var secināt, ka, šaujot uz labu laimi, varbūtība trāpīt desmitniekā ir ļoti maza.

Notikumu summas varbūtība Ja notikumi A un B ir nesavienojami (nevar

īstenoties vienlaikus), tad

Ja notikumi A un B ir savienojami (var

realizēties vienlaikus), tad

kur P(AB) - vienlaicīgas realizēšanās varbūtība.

P(B)P(A)B)P(A

B)P(A-P(B)P(A)B)P(A

Piemērs

Met spēļu kauliņu, kāda varbūtība, ka uzkritīs 3 vai 5?

Šie notikumi ir nesavienojami, jo nevar realizēties vienlaicīgi.

Tātad 3

1

6

1

6

1P(B)P(A)B)P(A

PiemērsMet divas monētas. Kāda varbūtība uzmest

kaut vienu ģerboni ?

A - uzkrīt ģerbonis uz pirmās monētas;B - uzkrīt ģerbonis uz otrās monētas.Jāatrod notikuma A+B varbūtība. Notikumi ir savienojami, tie var realizēties vienlaicīgi.

4

3

2

1

2

1

2

1

2

1B)P(B)-P(AP(A)B)P(A

Notikuma A un tam pretējā notikuma Ā varbūtību summa ir vienāda ar 1.

P(A) + P(Ā) = 1, jeb P(A) = 1 – P(Ā)

Šo formulu ērti izmantot tad, kad notikumam Ā labvēlīgie iznākumi ir vieglāk nosakāmi nekā notikumam A labvēlīgie iznākumi.

PiemērsMetamo kauliņu met divas reizes pēc kārtas

un aprēķina punktu summu. Cik liela varbūtība uzmest vismaz 3 punktus?

PiemērsLoterijas biļetes numurā tiek izmantota trīs

ciparu kombinācija – 000, 001, 002, ..., 998, 999. Ar katru ciparu kombināciju ir tikai viena loterijas biļete. Anna uzskata, ka neveiksmīgas ir tās biļetes, kurās parādās skaitlis 13 (cipari 1 un 3 ir blakus šādā secībā). Anna velk loterijas biļeti. Cik liela ir varbūtība, pēc Annas ieskatiem, izvilkt veiksmīgu biļeti?

Neatkarīgu notikumu reizinājuma varbūtībaJa notikumi A un B ir neatkarīgi, tad

P(A∩B) = P(A) · P(B)

PiemērsDeviņstāvu mājas pirmā stāva liftā iegāja 2 cilvēki.

Varbūtība iziet no lifta katram no viņiem jebkurā stāvā ir vienāda. Nosaki varbūtību notikumam A – „visi izgāja no lifta 5. stāvā”!

Apskata notikumus: A – I cilvēks izgāja no lifta 5. stāvā

B – II cilvēks izgāja no lifta 5. stāvāNotikumi A un B ir neatkarīgi. Jāaprēķina notikuma A∩B (gan I, gan II izgāja no lifta 5. stāvā) varbūtība.

P(A∩B) = P(A) · P(B) = 64

1

8

1

8

1

PiemērsVienu metamo kauliņu meta trīs reizes pēc kārtas un

secīgi pierakstīja uzkrītošos punktus, iegūstot trīsciparu skaitli. Cik liela ir varbūtība, ka

a) iegūtais skaitlis ir 245,

b) iegūtais skaitlis sākas ar 35 un dalās ar 2?