Uvodni sat -nastavakPraktikum Fizike

2013. / 2014.

predavač Igor Miklavčić, mag. educ. phys. et politechn.

igor.miklavcic@fizika.unios.hr

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera

Odjel za kemiju

Odjel za fiziku

Vježbajmo što točnije mjeriti dužine• Uzmite olovku i uz tijelo prislonite centimetarsku

ljestvicu mjerila. Probajte što točnije izmjeriti duljinu tog tijela. Nekoliko puta očitajte kolika je duljina mjerene dužine.

Kolika je duljina? Jeste li je mogli očitati?

6?

7? 6,5?

6,7 cm ?

6,9?

• Matematička točnost često se iskazuje velikim brojem znamenki, primjerice 5:6=0,83333333333333333333.

• U fizici se mjerni podatak ispisuje onim znamenkama koje su označene na mjernoj ljestvici i dopiše im se procijenjena znamenka.

(signifikantne ili pouzdane znamenke = očitane i procijenjena)

l = 6,7 cm

ili

l = 6,7 cm

Vježba 2

• Iskažite rezultat mjerenja u centimetrima?

• l = 1,27 cm

• Kako biste radili procjenu za ureñaje s digitalnim displejom?

Izračun srednje vrijednosti:

=l

mjerenjejedinica

l

m

1. 1,562

2. 1,558

3. 1,560

4. 1,563

5. 1,559

==∑

=

n

ll

n

i 1 =++++5

559,1563,1560,1558,1562,1m 5604,1

5

802,7 =

1,5604 ?

=++++5

54321 lllll

No kako ne možemo iskazati rezultat većom točnošću od mjerenih podataka moramo zaokružiti našu srednju vrijednost na četiri signifikantne znamenke:

ml 560,1=Ne zaboravimo zaokruživanje:

no u slučaju:

1,5605 = 1,561

1,5606 = 1,561

1,5607 = 1,561

1,5608 = 1,561

1,5609 = 1,561

Kad bi bilo:

1,5600 = 1,560

1,5601 = 1,560

1,5602 = 1,560

1,5603 = 1,560

1,5604 = 1,560

Signifikantne znamenke(značajne, pouzdane):

PRAVILA:• 1. Sve znamenke različite od nule su značajne znamenke.

npr. broj 384 ima tri značajne znamenke, a broj 1,8316 pet značajnih znamenki.

• 2. Nule koje se nalaze na početku broja nisu značajne. npr. broj 0,0052 ima samo dvije značajne znamenke (5 i 2).

• 3. Nule na kraju broja su značajne ako se nalaze iza decimalnog zareza. npr. broj 2,560 ima četiri značajne znamenke, a broj 0,051690 ima pet značajnih

znamenaka (znamenke 5, 1, 6, 9 i 0 desno od decimalnog zareza).

• 4. Nule izmeñu drugih značajnih znamenki su takoñer značajne. npr. broj 12 004 ima pet značajni znamenki

• 5. Prema dogovoru, ako broj nema decimalnog zareza, nule na kraju broja nisu značajne (ali nije uvijek tako, već prema dogovoru)

npr. broj 3200 ima samo dvije značajne znamenke (3 i 2).

Stoga je bolje zapisivati brojeve u eksponencijalnom obliku

npr. F = 3200 N = 3,2·103 N ako imamo 2 signifikantne znamenke

tj. F = 3200 N = 3,200·103 N ako imamo 4 signifikantne znamenke

Dozvoljen je i oblik 3,200 E 3

Uobičajeno je zapisivati brojeve u eksponencijalnom obliku kao

3,200·103 N, a ne 32,00·102 N iako se radi o istom broju

Matematičke operacije je jednostavnije izvoditi s brojevima u eksponencijalnom obliku.

Ali –upisivanjue u tablicu je najčešće u jedinicama u kojima smo direktno mjerili.

Za vježbu:

http://www.chem.tamu.edu/class/fyp/mathrev/mr-sigfg.html

http://chemistry.about.com/od/chemistry-test-questions/tp/Significant-Figures-Scientific-Notation-Test-Questions.htm

http://www.sciencegeek.net/APchemistry/APtaters/chap02counting.htm

Signifikantne (pouzdane) znamenke:

Pomnožimo dva rezultata naših mjerenja npr. duljine a i širine b:

P = a x b = 9,3426 m x 34,1 m =P = 318,58266 m2

Na koliko znamenaka ćemo sada zaokružiti naš rezultat mjerenja površine?

P = a x b = 319 m2

Zašto?

Važno je zapamtiti, ukoliko izvodimo više računskih operacija gore navedeni postupak traženja pouzdanih znamenaka primjenjujemo samo na krajnji rezultat kako ne bismo dobili preveliku grešku zaokruživanja.

• Kod zbrajanja ili oduzimanja rezultat se iskazuje na onoliko decimalnih mjesta, koliko ih ima član s najmanjim brojem decimala.

• primjer:

• Kod množenja ili dijeljenja rezultat se zaokružuje na onoliki broj značajnih znamenki, koliko ih sadrži faktor s najmanjim brojem značajnih znamenki. primjer:

• Rezultat se zaokružuje tek nakon završenog računa

12,34 + 5,6 =

1,00257 - 0,0013 =

17,91,0013

1,48 * 3,2887 =

2,62 / 8,1473 =

4,870,322

Pogreške

Zbog nesavršenosti mjernih instrumenata i naših osjetila nijedno mjerenje nije apsolutno točno.

• Sistemske pogreške (neispravan pribor, pogrešna metoda)

• Slučajne pogreške (nesavršenost opažača i pribora)

• Grube pogreške (omaške u mjerenju)

Preporučam Vam knjigu:

Vježbe iz fizike autorica Vernić-Mikuli čić jer imate primjere kako računati pogreške tj. teoriju pogrešaka koju ćete najčešće koristiti.

Račun pogrešaka

• Najbolje je pogreške iskazivati standardnom devijacijom, ali to iziskuje veliki broj mjerenja

• Pošto vršimo mali broj mjerenja jednostavnije je pogreške iskazivati maksimalnom apsolutnom pogreškom ∆am ili maksimalnom relativnom pogreškom ram

( )n

XXn

ii

2

1∑

=

−=σ

Maksimalna apsolutna pogreška

mjerenjejedinica

l ∆l

m m

1. 1,562

2. 1,558

3. 1,560

4. 1,563

5. 1,559

=1,560l

nlll −=∆

Maksimalna apsolutna pogreška

mjerenjejedinica

l ∆l

m m

1. 1,562 -0,002

2. 1,558 0,002

3. 1,560 0,000

4. 1,563 -0,003

5. 1,559 0,001

=1,560 ∆lm= 0,003l

nlll −=∆

No prisjetimo se par slajdova prije

Važno je zapamtiti, ukoliko izvodimo više računskih operacija gore navedeni postupak traženja pouzdanih znamenaka primjenjujemo samo na krajnji rezultat kako ne bismo dobili preveliku grešku zaokruživanja.

Maksimalna apsolutna pogreškamjerenjejedinica

l ∆l

m m

1. 1,562 -0,0016

2. 1,558 0,0024

3. 1,560 0,0004

4. 1,563 -0,0026

5. 1,559 0,0014

=1,560 ∆lm= 0,0026 = 0,003l

n

n

ll

lll

−=∆−=∆5604,1

Naš konačni rezultat iskazujemo u obliku l = (1,560 +0,003) m

Ili u excelu funkcija average

Maksimalna relativna pogreška

• Kada bismo htjeli procijeniti koliko je neki rezultat mjerenja točan, onda nam maksimalna apsolutna pogreška nije mjera za to.

• Primjer:

l = (15,60 +0,03) m i d = (1,56 +0,03) m

Ne možemo reći kako je točnost obaju rezultata jednaka iako je maksimalna apsolutna pogreška jednaka. Zato uzimamo u obzir maksimalnu relativnu pogrešku

%100

⋅∆=a

ar m

m

Maksimalna relativna pogreška

• Izračunajmo maksimalnu relativnu pogrešku za prethodni primjer:

l = (15,60 +0,03) m i d = (1,56 +0,03) m

%100

⋅∆=l

lr m

lm%100

60,15

03,0

⋅= %2,0=

%100

⋅∆=d

dr m

dm%100

56,1

03,0

⋅= %2=

Broj znamenaka u postotku ovisi o signifikantnim znamenkamas kojima smo računali, no najčešće izražavamo kao 2% a ne 1,923%)

Postotna pogreška:

Kako izračunati odstupanje od tablične vrijednosti neku veličinu koju smo tražili tj. postotnu pogrešku?

Naboj elektrona iz tablice iznosi:

A naša mjerenja su dala rezultat:

Cetab19

. 10602,1 −⋅=

Ce 19105,1 −⋅=

=ep =⋅⋅

⋅−⋅−

−−

%10010602,1

105,110602,119

1919

% 6=⋅−

%100.

.

tab

tab

e

ee

Utjecaj pogrešaka izmjerenih veličina na izvedene veličine

• Pri mnogim mjerenjima neće nam biti dovoljno da neposredno izmjerimo jednu ili više veličina. Često ćemo rezultat izračunati tek pomoću izmjerenih veličina.

• Primjer je izračun površine

P = a x b

Pitamo se kako pogreške pri mjerenju a i b utječu na P?

Odgovor se nalazi u već spomenuto knjizi Vježbe iz fizike autorica Vernić-Mikuli čić.

b

b

a

ar mm

Pm

∆+∆=

abbaP mm ⋅∆+⋅∆=∆

Crtanje grafova:

• Kod crtanja grafova važno je odrediti što nam ide na apcisu (x -os), a što na ordinatu (y -os). Obično nam je to uvijek zadano u zadatku.

• Primjer:

• nacrtajte krivulju F = f (d).

• Tada ćemo na apcisu staviti d, a na ordinatuF(jer je F funkcija od d).

Neka su nam ovo rezultati mjerenja:

Tablica 1.

mjerenjejedinica

d F

cm N

1. 1,0 10

2. 2,0 21

3. 3,0 33

4. 4,0 39

5. 5,0 48

Nacrtajmo krivulju F = f (d).

Graf F-d

0

10

20

30

40

50

60

0 1 2 3 4 5

d (cm)

F (

N)

Graf: ovisnostF o d

Možemo li sve točke spojiti jednim pravcem?

Vidimo kako sve točke ne leže točno na pravcu, već ima maloodstupanje. Kako naći pravac koji najbolje odgovara tj. najboljeaproksimira sve mjerene rezultate?

Metoda najmanjih kvadrata

d F d2

1,0 10

2,0 21

3,0 33

4,0 39

5,0 48

Nañimo ove umnoške i srednje vrijednosti svih ovih veličina

Fd ⋅

Tablica:

d F d2

1,0 10 10 1,0

2,0 21 42 4,0

3,0 33 99 9,0

4,0 39 156 16

5,0 48 240 25

Nañimo srednje vrijednosti svih ovih veličina

Fd ⋅

Tablica:

d F d2

1,0 10 10 1,0

2,0 21 42 4,0

3,0 33 99 9,0

4,0 39 156 16

5,0 48 240 25

=d =F =⋅ Fd =2d

=2

d

=⋅ Fd

Fd ⋅

Ovakve tablice ćete pronaći i u svojim uputama.

d F d2

1,0 10 10 1,0

2,0 21 42 4,0

3,0 33 99 9,0

4,0 39 156 16

5,0 48 240 25

3,0 30,2 109,4 11

9,0

90,6

Fd ⋅

=d =F =⋅ Fd =2d

=2

d

=⋅ Fd

Ne zaboravite kako su ovi brojevi zaokruženi, a kako ćemo ih koristitu daljnjem računu …

Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +⋅=

tada je jednadžba pravca za naš slučaj bdaF +⋅=

Pomoću metode najmanjih kvadrata možemo odrediti koeficijente a i b.

F = f (d)

Izračun koeficijenta smjera pravca:

22

xy x yk

x x

− ⋅=−

tj. =a

Ili u excelu funkcija slope

Izračun odsječka na osi ordinati:

l y k x= −

=b

Ili u excelu funkcija intercept

a ili

==−−=

−

⋅−⋅2

8,18

911

6,904,10922 dd

FdFdN/m 4,9

b ili

tj.=−=⋅−=⋅− 2,282,3034,92,30laF N 0,2

bdaF +⋅=

N 0,24,9 +⋅= dF

Naša jednadžba pravca sada glasi:

Ili u excelu dodamo na grafu trendline – prikaži jednadžbu pravca

Naravno, ovo vrijedi samo ako je veza linearna, za kvadratnu, eksponencionalnu ili neku drugu vezu

postoje male prilagodbe.

Crtanje grafova - veličina• Mjerilo odabiremo takvo da čitav dijagram stane na format kojim

raspolažemo

• Preveliki grafikon (veliko mjerilo) navodi da se vrijednosti s grafikona očitavaju točnije od stvarnog mjerenja i dovode do rasipanja podataka iz čega je teže zaključiti ovisnosti

• Točnost crtanja iznosi +0,5 mm

• Točnost mjerenja u našem praktikumu je otprilike od 1% do 10%

• Primjer:

maksimalni mjereni iznos je 132 N (100%, za x os)

točnost mjerenja 6%

točnost crtanja +0,5 mm (uvijek isto)

tada nam x osi od 132 N (100%) odgovara 0,5*(100/6) = 8,3 mm

analogijom računamo i za y os

Vježba u excelu• izračunajte MNK

jednadžbu pravca

• nacrtajte taj pravac

• ucrtajte trendlinepravca

• provjerite funkcije slope i intercept

mjerenjejedinica

d F

cm N

1. 1,0 10

2. 2,0 21

3. 3,0 33

4. 4,0 39

5. 5,0 48

d F d2

1,0 10

2,0 21

3,0 33

4,0 39

5,0 48

Fd ⋅

=d =F =⋅ Fd =2d

=2

d

=⋅ Fd

Pratite vježbu!

Izračun koeficijenta smjera pravca:

22

xy x yk

x x

− ⋅=−

tj. =a

Ili u excelu funkcija slope

Izračun odsječka na osi ordinati:

l y k x= −

=b

Ili u excelu funkcija intercept

a ili

==−−=

−

⋅−⋅2

8,18

911

6,904,10922 dd

FdFdN/m 4,9

b ili

tj.=−=⋅−=⋅− 2,282,3034,92,30laF N 0,2

• Pitanja?

• Hvala na pozornosti

Igor Miklavčić