univerza v mariboru - connecting repositoriesmateriala za ab konstrukcije predstavljena beton in...
TRANSCRIPT
UNIVERZA V MARIBORU
FAKULTETA ZA GRADBENIŠTVO
Tomi Kresnik
MEJNO STANJE UPORABNOSTI ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ
Projektna naloga
Diplomski izpit univerzitetnega študijskega programa 1. stopnje
Celje, avgust 2013
I
FAKULTETA ZA GRADBENIŠTVO Smetanova ulica 17 2000 Maribor, Slovenija www.fg.um.si
Diplomski izpit univerzitetnega študijskega programa 1. stopnje
MEJNO STANJE UPORABNOSTI ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ
Študent: Tomi KRESNIK
Študijski program: univerzitetni, Gradbeništvo
Smer: Gradbeništvo UN
Mentor: doc. dr. Milan Kuhta, univ.dipl.inž.grad.
Celje, avgust 2013
II
FAKULTETA ZA GRADBENIŠTVO Smetanova ulica 17 2000 Maribor, Slovenija www.fg.um.si
ZAHVALA
Zahvaljujem se mentorju dr. Milanu Kuhti za
idejo, pomoč, in vodenje pri opravljanju
diplomskega dela. Hvala tudi dr. Matjažu
Skrinar, kateri je imel vedno čas in odgovore na
zastavljena vprašanja, kot vsem, ki so mi v času
študija kakorkoli pomagali in mi stali ob strani.
Posebna zahvala velja staršem, ki so mi
omogočili študij.
III
MEJNO STANJE UPORABNOSTI ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ
Ključne besede: mejno stanje uporabnosti, armirani beton, napetosti, razpoke, povesi
Povzetek
Projektna naloga obravnava mejno stanje uporabnosti – MSU – armiranobetonskih
konstrukcij. Predstavljena sta glavna materiala beton in jeklo. MSU je na splošno
opisano po slovenskem standardu SIST EN 1992-1-1. Na koncu so podani računski
primeri dimenzioniranja po tej metodi.
IV
SERVICEABILITY LIMIT STATE OF REINFORCED CONCRETE STRUCTURES
Key words: serviceability limit state, reinforced concrete, strains, cracks, deflections
Abstract
Project work discusses about – SLS – servieability limit state method of reinforced
concrete structures. Concrete and steel are main materials, which are presented. SLS is
generally described after Slovenian standard SIST EN 1992-1-1. At the end numerical
examples of design according to this method are given.
V
VSEBINA
1 UVOD ...................................................................................................................... 1
1.1 SPLOŠNO O PODROČJU DIPLOMSKEGA DELA ....................................................... 1
1.2 NAMEN IN CILJI DIPLOMSKEGA DELA ................................................................. 2
1.3 STRUKTURA DIPLOMSKEGA DELA ...................................................................... 2
2 BETON IN JEKLO ................................................................................................ 3
2.1 BETON ............................................................................................................. 3
2.1.1 Delovni diagram betona ............................................................................... 3
2.1.2 Trdnost betona .............................................................................................. 6
2.1.3 Časovni razvoj tlačne trdnosti betona .......................................................... 7
2.1.4 Lezenje betona .............................................................................................. 8
2.1.5 Krčenje betona ............................................................................................ 14
2.2 ARMATURA ................................................................................................. 17
2.2.1 Delovni diagram jekla ................................................................................ 17
2.2.2 Duktilnost in zahteve jekla .......................................................................... 18
2.2.3 Trdnost jekla ............................................................................................... 18
3 MSU PO SIST EN 1992 ....................................................................................... 19
3.1 SPLOŠNO O PODROČJU MSU .................................................................... 19
3.1.1 Kombinacije vplivov ................................................................................... 20
3.2 OMEJITVE NAPETOSTI .............................................................................. 22
3.2.1 Omejitve napetosti betona .......................................................................... 24
3.2.2 Omejitve napetosti jekla ............................................................................. 24
3.3 OMEJITVE RAZPOK .................................................................................... 25
3.3.1 Splošno o širini razpoke ............................................................................. 26
3.3.2 Najmanjši prerez armature za omejitev širine razpok ............................... 26
3.3.3 Omejitev širine razpok brez neposrednega računa .................................... 28
3.3.4 Račun širine razpok .................................................................................... 31
3.4 OMEJITVE POVESOV ................................................................................. 34
3.4.1 Ocena povesov z razmerjem l/d .................................................................. 34
VI
3.4.2 Račun povesov ............................................................................................ 37
3.4.3 Aproksimativna metoda .............................................................................. 39
3.4.4 Direktna kalkulacijska metoda ................................................................... 41
4 PRIMERI DIMENZIONIRANJA PO MSU ...................................................... 45
4.1 AB NOSILEC 1 .............................................................................................. 45
4.1.1 Kontrola napetosti ...................................................................................... 47
4.1.2 Kontrola razpok .......................................................................................... 48
4.1.3 Kontrola povesov ........................................................................................ 50
4.2 AB NOSILEC 2 .............................................................................................. 56
4.2.1 Ocena povesa z razmerjem ......................................................................... 57
4.3 AB PLOŠČA .................................................................................................. 59
4.3.1 Ocena povesa z razmerjem ......................................................................... 60
4.4 AB KONZOLA .............................................................................................. 62
4.4.1 Kontrola razpok .......................................................................................... 63
4.4.2 Ocena povesa z razmerjem ......................................................................... 66
4.4.3 Direktna kalkulacijska metoda- diferenčna metoda ................................... 68
4.4.4 Aproksimativna metoda .............................................................................. 80
5 ZAKLJUČEK ....................................................................................................... 82
6 VIRI IN LITERATURA ...................................................................................... 83
7 PRILOGE .............................................................................................................. 84
7.1 SEZNAM SLIK ................................................................................................... 84
7.2 SEZNAM PREGLEDNIC ...................................................................................... 85
7.3 NASLOV ŠTUDENTA ......................................................................................... 86
7.4 KRATEK ŽIVLJENJEPIS...................................................................................... 86
VII
UPORABLJENI SIMBOLI
- deformacijski parameter (pomiki, povesi, deformacije…)
e - razmerje modula elastičnosti jekla in betona
- koeficient, ki upošteva vpliv trajanja obremenitve
c - trenutna (začetna) deformacija betona
cc - deformacija lezenja betona
- srednja deformacija betona med razpokami
cs - deformacija krčenja betona
- srednja deformacija armature
0, t - koeficient linearnega lezenja betona
- zahtevana stopnja armiranja z natezno armaturo
0 - referenčna stopnja armiranja
c - tlačna napetost betona
- razdelitveni koeficient
b - širina prereza
d - statična višina
- karakteristična tlačna trdnost betona
ctmf - srednja natezna trdnost betona pri centričnem nategu
skf - karakteristična meja elastičnosti jekla
- višina prereza
,c effh - višina natezne cone neposredno pred nastankom razpoke
l - razpon elementa
cm
sm
ckf
h
VIII
- največja razdalja med razpokami
x - višina tlačne cone
kw - izračunan poves
maxw - maksimalni omejen poves
- učinkoviti prerez natezne armature
sA - količina natezne armature
'sA - količina tlačne armature
- najmanjši potrebni prerez jekla
- sekantni modul elastičnosti betona
- efektivni modul elastičnosti betona
I - vztrajnostni moment prereza
- upogibni moment, ki povzroči prvo razpoko
M - upogibni moment
N - osna sila
S - statični moment prereza
cW - odpornostni moment betonskega prereza
1
totr - skupna ukrivljenost elementa
1
Mr - zakrivljenost zaradi obremenitve, lezenja betona
1
csr - zakrivljenost zaradi krčenja betona
,maxrs
ctA
,minsA
cmE
,c effE
crM
IX
UPORABLJENE KRATICE
MSU - mejno stanje uporabnosti
AB - armirani beton
VUT - varnost, uporabnost, trajnost konstrukcije
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 1
1 UVOD
1.1 Splošno o področju diplomskega dela
V gradbeništvu se za dimenzioniranje nosilnih gradbenih elementov v splošnem
uporabljata koncepta mejnih stanj in koncept dopustnih napetosti oziroma:
mejno stanje nosilnosti – MSN,
mejno stanje uporabnosti – MSU,
metoda dopustnih napetosti.
Metoda dopustnih napetosti je star, klasičen način dimenzioniranja v elastičnem območju
glede na izkoriščenost prerezov predvsem lesenih elementov in je za armiranobetonske
konstrukcije danes nedopustna. Metodi, ki se danes uporabljata za dimenzioniranje
gradbenih konstrukcij po evropskih standardih sta le MSN in MSU.
Danes je potrebno vsako konstrukcijo dimenzionirati tako, da ta pri danih napetostnih
pogojih zagotovlja varnost ljudi ter varnost konstrukcije kot same. Pri metodi mejnega
stanja nosilnosti, ki jo predpisujejo standardi SIST EN, prerez pod navidezno povečano
obremenitvijo ne obravnavamo samo v elastičnem območju ampak preide prerez zaradi
nelinearnega obnašanja materiala v t.i. plastično območje. V grobem pri MSN obremenitve
na konstrukcijo zaradi varnosti navidezno povečamo, odpornost prereza pa varnostno
zmanjšamo, saj se materiali, vplivi, karakteristike na konstrukcijo spreminjajo skozi čas.
Zato se metoda podrobno ukvarja z nosilnostnjo, stabilnostjo konstrukcije, utrujanjem
materialov in reologijo.
Projektna naloga obravnava metodo mejnega stanja uporabnosti, ki jo pravtako
predpisujejo standardi SIST EN. Metoda po MSU mora zadostiti tako metodi MSN, kot
tudi dejstvu, da konstrukcija, konstrukcijski element iz kakršnegakoli materiala že je, v
določenem času (eksploatacijska doba) po nekih uporabnostnih kriterijih zadrži svojo
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 2
uporabno vrednost in izgled. Da konstrukcija služi v celoti svojemu namenu mora biti
varna, uporabna in trajna. Konkretno se projektna naloga z računskimi primeri nanaša na
konstrukcije iz armiranega betona zato je najbolj pomemben standard SIST EN 1992-1-1
(sl) - Evrokod 2: Projektiranje betonskih konstrukcij-1-1. del: Splošna pravila in pravila za
stavbe, in se smatra kot osnovna literatura [2].
1.2 Namen in cilji diplomskega dela
Namen diplomskega dela je spoznati MSU in potrebne kontrole po tej metodi.
Cilj diplomskega dela je razumevanje in kratka predstavitev metode MSU ter njena
uporaba na računskih primerih.
1.3 Struktura diplomskega dela
V uvodnem delu je predstavljena zasnova diplomskega dela. V drugem delu sta kot glavna
materiala za AB konstrukcije predstavljena beton in jeklo, ter njuno obnašanje skozi čas.V
tretjem delu so teoretično opisana področja MSU, v četrtem delu pa so prikazani računski
primeri dimenzioniranja po MSU.
V jedru je področje MSU opisano po predpisih, ki jih določa SIST EN 1992-1-1. Za tri
kriterije MSU so zapisane najrazličnejše uporabne formule, ki dobijo svojo pomembno
vrednost v zadnjem delu.
Zadnji del je sestavljen iz računskih primerov armiranobetonskih konstrukcijskih
elementov, izbranih iz različne strokovne literature. Primerom se na koncu poda sklep, v
katerem se stvar pravilno interpertira in doda mnenje.
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 3
2 BETON IN JEKLO
2.1 BETON
Beton je časovno spremenljiv material, ki je sestavljen iz zrn kamenega agregata, cementa,
kemijsko nevezane vode in por. S staranjem betona in procesom hidratacije se betonu
povečujeta trdnost in elastični modul. Količnik lezenja pa se s staranjem betona ob nanosu
obtežbe zmanjšuje. Pri nizkih napetostih je lezenje v betonu skoraj neodvisno od napetosti,
pri visokih napetostih pa se obravnava po teoriji nelinearnega lezenja. Krčenje betona je v
največji meri posledica oddajanja kemijsko vezane vode neodvisno od napetosti. [4]
2.1.1 Delovni diagram betona
V SIST EN 1992-1-1 so podani štirje različni delovni diagrami betona. Za analizo se
uporablja prvi, ki je shematski, za dimenzioniranje oz. analizo prerezov delov konstrukcij
pa drugi trije. Pri drugem je odnos med napetostjo in deformacijo po paraboli in premici,
pri tretjem bilinearnem pa po premici. Zadnji upošteva konstantne napetosti na zmanjšani
višini tlačne cone. Vsi imajo skupen odnos med napetostjo in deformacijo in zavzemajo
enako površino pod krivuljo. Za vse tri so dane pri določeni napetosti drugačne
vrednosti deformacij in .
c
c cu
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 4
Slika 2.1: Delovni diagram betona za nelinearno analizo konstrukcij [4]
Slika 2.2: Delovni diagram betona za mejne nosilnosti prerezov [4]
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 5
Slika 2.3: Bilinearni delovni diagram betona [4]
Slika 2.4: Konstantna napetost na zmanjšani višini tlačne cone betona [4]
Tretji bilinearni delovni diagram betona je posebej posplošen, saj se odnos spreminja
linearno po Hookovem zakonu:
- sekantni modul elastičnosti betona v GPa
- deformacija pri doseženi največji napetosti
Zato velja, da je deformacija betona na meji elastičnega območja enaka:
3c cm cE
cmE
3c
3c
c
cmE
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 6
Za vse delovne diagrame betona se vrednosti največjih in mejnih deformacij odčita iz
Tabela 2.2 v poglavju 2.1.3.
2.1.2 Trdnost betona
Tlačna trdnost betona
- projektna tlačna trdnost betona
- karakteristična tlačna trdnost betona
- koeficient, ki upošteva dolgotrajne učinke obtežbe in neugodne učinke
nanosa obtežbe na tlačno trdnost betona.1
1,0cc
Natezna trdnost betona
- projektna natezna trdnost betona
- karakteristična natezna trdnost betona
ct - koeficient, ki upošteva dolgotrajne učinke obtežbe in neugodne učinke
nanosa obtežbe na natezno trdnost betona
1,0ct
Pri razpokah je bolj pomembna srednja natezna trdnost pri centričnem nategu ctmf : 2
2
30,3ctm ckf f
1 Po DIN standardu je vrednost .
2 Srednja vrednost natezne trdnosti: .
ckcd cc
c
ff
cdf
ckf
cc
,0.05ctk
ctd ct
c
ff
ctdf
,0.05ctkf
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 7
2.1.3 Časovni razvoj tlačne trdnosti betona
Srednja vrednost tlačne trdnosti »t« dni starega betona:
- srednja vrednost tlačne trdnosti 28 dni starega, negovanega betona
- funkcija časovnega naraščanja tlačne trdnosti betona
kjer je:
- koeficient odvisen od vrste cementa
Karkateristična tlačna trdnost betona:
Srednja vrednost natezne trdnosti »t« dni starega betona:
- srednja vrednost natezne trdnosti 28 dni starega, negovanega betona pri 100 %
vlagi in temperaturi 20°C. Pri tem je podan v tabeli:
Tabela 2.1: Koeficient [4]
Starost betona
1,0
2/3
Srednja vrednost sekantnega modula »t« dni starega betona je določena z izrazom:
cm cc cmf t t f
cmf
cc t
0,528
1st
cc t e
s
8 3 28ck cmf t f t MPa za t dni
28ck ckf t f za t dni
ctm cc ctmf t t f
ctmf
28t dni
28t dni
0,3
cm
cm cm
cm
f tE t E
f
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 8
Za različne kvalitete betona so v spodnji tabeli prikazane vse trdnostne in deformacijske
lastnosti.
Tabela 2.2: Trdnostne in deformacijske lastnosti betona [4]
2.1.4 Lezenje betona
Lezenje betona je časovno povečanje trenutnih deformacij betona zaradi trajne
obremenitve. Zaradi obremenitev lahko beton pri povečani konstantni napetosti leze
linerano bodisi nelinearno zato je končna deformacija betona odvisna od trenutne (začetne)
deformacije a različnega koeficienta lezenja.
, 1c fin c cc c
c - trenutne (začetne) deformacije betona
cc - deformacije zaradi lezenja betona
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 9
Slika 2.5: Trenutne deformacije in deformacije zaradi lezenja [3]
Lezenje betona je odvisno od starosti betona ob nanosu obtežbe, vlage, temperature,
konsistence in trdnostnega razreda betona. Odvisno je tudi od dimenzij prereza, deleža
cementa v betonu, trajanja obtežbe in od velikosti napetosti.
Linearno lezenje betona
Če je napetost betona na začetku nanosa obtežbe manjša od vpliv ravni
napetosti na koeficient lezenja 0, t zanemarimo. Pri spodnji enačbi je končni prirastek
k deformaciji linearna funkcija napetosti in govorimo kar o linearni teoriji lezenja
betona: [4]
0, ccc
c
tE
- deformacija lezenja betona pri konstantni tlačni napetosti
0, t - koeficient linearnega lezenja betona
Koeficient lezenja je normiran glede na tangentni modul elastičnosti betona pri starosti
28 dni le tega pa določimo na podlagi sekantnega modula po izrazu:
c 00,45 ckf t
cc c
cc
cE
cmE
1,05c cmE E
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 10
Za hitro oceno koeficienta linearnega lezenja betona 0, t je pri temperaturi T=20°C
podan pomožen diagram za primer vlažnosti RH= 50%.1
Slika 2.6: Količnik linearnega lezenja betona 0, t [2]
Drugače pa so v SIST EN 1992-1-1 - Dodatek B tudi osnovne enačbe za določanje
koeficienta lezenja, pri čemer se koeficient lezenja izračuna kot zmnožek nazivnega
koeficienta lezenja in koeficienta za opis časovnega razvoja lezenja po nanosu obtežbe
0,t t : [2]
0 0 0, ,t t t t
Nazivni koeficient je sestavljen in dan kot:
- faktor za upoštevanje relativne vlažnosti zraka
1 SIST EN 1992-1-1 ponuja za hitro oceno količnika linearnega lezenja še graf za primer vlažnosti 80 %.
0
0 0RH cmf t
RH
30
11001 35
0,1RH cm
RH
za f MPah
1 23
0
11001 35
0,1RH cm
RH
za f MPah
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 11
- relativna vlažnost okolja v %
- faktor za upoštevanje učinka starosti betona
- faktor za upoštevanje učinka starosti betona ob obremenitvi
- nazivna velikost elementa v mm
- ploščina prečnega prereza
- obseg elementa v prerezu v stiku z ozračjem
Koeficient za opisovanje časovnega razvoja lezenja po nanosu obtežbe je dan kot:
- starost betona v obravnavanem času v dnevih
- starost betona ob nanosu obtežbe v dnevih
- koeficient, ki je odvisen od relativne vlažnosti okolja in nazivne velikosti
elementa
Pri tem so koeficienti za upoštevanje vpliva trdnosti betona:
RH
cmf
16,8
,cm cm
cm
f f MPaf
0t
0 0,2
0
1
0,1t
t
0h
0
2 cAh
u
cA
u
0,3
0
0
0
,H
t tt t
t t
t
0t
H
18
01,5 1 0,012 250 1500 35H cmRH h za f MPa
18
0 3 31,5 1 0,012 250 1500 35H cmRH h za f MPa
0,7 0,2 0,5
1 2 3
35 35 35, ,
cm cm cmf f f
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 12
Učinek vrste cementa se lahko upošteva z korigirano starostjo ob nanosu obtežbe 0t , ki se
določi kot:
0 0, 1,2
0,
91 0,5
2T
T
t tt
kjer sta:
0,Tt - spremenjena starost glede na temperaturo ob nanosu obtežbe v dnevih
- potenca odvisna od vrste cementa
Tabela 2.3: Potenca [2]
Razred cementa
S -1
N 0
R 1
Na zrelost betona pa se lahko upošteva še učinek spremembe temperatur od 0°C do 80°C
po izrazu:1
400013,65
273
1
i
nT t
T i
i
t te
kjer so:
Tt - glede na temperaturo korigirana starost betona, ki zamenja v enačbah t
iT t - temperatura v °C znotraj intervala it
it - število dni prevladujoče temperature
1 Za manjšo natančnost ocene, se lahko za lezenje betona privzamejo kar vrednosti iz grafov v SIST EN 1992
na sliki 2.6, podpoglavje 2.1.4.
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 13
Nelinearno lezenje betona
V primerih, ko pa je napetost betona na začetku nanosa obtežbe večja od ,
pa je vpliv ravni napetosti na koeficient lezenja 0,nl t takšen, da ga moramo upoštevati
v računu. Zato je časovni prirastek deformacije betona nelinearna funkcija napetosti
in govorimo o nelinearni teoriji lezenja betona:1
0, ccc nl
c
tE
0,nl t - koeficient nelinearnega lezenja betona
kjer je:
1,5 0,45
0 0, ,k
nl t t e
- razmerje tlačnih napetosti betona in karakteristične trdnosti v začetnem času 0t
1 V MSU armiranobetonskih konstrukcij je trajna napetost betona praviloma manjša od tako,
da zadošča upoštevanje lezenja betona po linearni teoriji.
c 00,45 ckf t
cc
c
0
c
ck
kf t
k
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 14
2.1.5 Krčenje betona
Beton ima zelo nizek koeficient toplotnega raztezka in ko zori, se krči, znotraj betona pa
prihaja do nastanka deformacij, ki povzročajo razpoke.
Na deformacijo krčenja betona razen napetosti vplivajo vsi ostali enaki parametri kot pri
lezenju. Celotno krčenje betona je sestavljeno iz krčenja zaradi sušenja in
avtogenega krčenja , ki se razvije z vezanjem cementa: [4]
Časovni razvoj deformacije krčenja z sušenjem betona je podan z izrazom:
Časovni razvoj deformacije zaradi avtogenega krčenja betona pa:
pri tem so:
- čas v dnevih
- čas na začetku krčenja zaradi sušenja
- funkcija časovnega razvoja krčenja zaradi sušenja
- koeficient nazivne velikosti prereza odvisen od
Tabela 2.4: Koeficient nazivne velikosti prereza [4]
100 1,0
200 0,85
300 0,75
>500 0,7
cs cd
ca
cs cd ca
,0,cd ds s h cdt t t k
ca as cat t
t
st
,ds st t
3
0
,0,04
sds s
s
t tt t
t t h
hk 0h
0h mm hk
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 15
- funkcija časovnega razvoja avtogenega krčenja
- končna vrednost krčenja betona
Tabela 2.5: Nazivne vrednosti neoviranega krčenja betona iz cementa razreda N zaradi
sušenja v [4]
as t
0,50,2
1t
as t e
ca
62,5 10 10ca ckf
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 16
Osnovna deformacija krčenja zaradi sušenja ,0cd se po SIST EN 1992-1-1 lahko tudi
izračuna:
kjer so:
- koeficienta, odvisna od vrste cementa1
Tabela 2.6: Koeficienta ,
Cement razreda: S N R
3 4 6
0,13 0,12 0,11
1 Glej Slika 2.6 v poglavju 2.1.4.
2
6
,0 10,85 220 110 10
cmds
cmo
f
f
cd ds RHe
3
0
1,55 1RH
RH
RH
10cmof MPa
0 100%RH
1 2,ds ds
1ds
2ds
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 17
2.2 ARMATURA
Armatura je nujna pri armiranobetonskih prerezih, saj betonu pomaga prenašati natezne
obremenitve. Zato je pri jeklu pomembna predvsem natezna trdnost in duktilnost, kar
pomeni, da mora biti ta ustrezne kakovosti in načina obdelave.
Pomembna je tudi relaksacija jekla, ki je odvisna od ravni začetne napetosti. Če je začetna
trajna napetost manjša ali enaka polovični vrednosti trdnosti jekla se ta zanemari in pri
armiranobetonskih konstrukcijah ne igra bistvene vloge. [4]
2.2.1 Delovni diagram jekla
Za dimenzioniranje armiranobetonske konstrukcije se uporablja poenostavljen bilinearni
delovni diagram jekla brez utrditve pri čemer je in mejna deformacija ni
omejena, lahko pa se uporablja tudi zakon z utrditvijo kjer je:
0,94ud uk
Slika 2.7: Delovni diagram za jeklo [4]
s sdf ud
1,0tk
sk
fk
f
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 18
2.2.2 Duktilnost in zahteve jekla
Armatura mora imeti ustrezno duktilnost, ki je določena z raztezkom pri največji sili in z
razmerjem med natezno trdnostjo in napetostjo na meji elastičnosti. SIST EN 1992-1-1
obravnava vročevaljano in hladno obdelano jeklo.
Tabela 2.7: Podatki za armaturo z utrditvijo glede na razred duktilnosti [4]
2.2.3 Trdnost jekla
sk ykf f - karakteristična meja elastičnosti jekla
Natezna trdnost jekla
- projektna natezna trdnost jekla
- karakteristična natezna trdnost jekla
tktd
s
ff
tdf
tkf
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 19
3 MSU PO SIST EN 1992
3.1 SPLOŠNO O PODROČJU MSU
Glavna stvar pri projektiranju armiranobetonske konstrukcije je, da bo ta v svoji življenjski
dobi nosilna, varna in s tem, da služi svojemu prvotnemu namenu tudi uporabna. Takšna
konstrukcija pa mora biti projektirana tudi tako, da bo trajna.
Torej VUT (varnost, uporabnost in trajnost) so osnovne zahteve konstrukcije, ki jih s
pomočjo predpisov projektiranja gradbenih konstrukcij inženir mora zagotoviti. Pri nas so
ti predpisi podani v evropskih standardih, Evrokodih. Če pa kakorkoli tem zahtevam in
predpisom ni zadoščeno, potem takšna konstrukcija ne zagotavljala varnosti in je za
uporabnika popolnoma neuporabna. [3]
Pri preverjanju konstrukcije po MSN in MSU so med njima bistvene razlike, a obe mejni
stanji postavljata konstrukciji dogovorjene kriterije in pogoje, ki jih ta ne sme prekoračiti
Ni vedno potrebno preverjati po obeh mejnih stanjih, je pa nujno za razumevanje MSU in
pravilno uporabo predpisa poznati teoretične osnove področja MSU
Pri projektiranju armiranobetonskih gradbenih konstrukcij je potrebno poleg napetostnih
kriterijev, ki zagotavljajo varnost proti porušitvi, zagotoviti še kriterijem uporabnosti. Pri
MSU se ti pogoji po Evrokod standardih nanašajo na normalno uporabo, trajnost, videz
konstrukcije ter na udobje ljudi. Torej mejno stanje uporabnosti je doseženo, ko
konstrukcija zaradi prevelikih deformacij, razpok, vibracij, prekoračenih napetosti itd. ni
več uporabna a še vedno varna.
Kriteriji uporabnosti za katere izvajamo kontrole so:
napetosti,
razpoke,
povesi, deformacije.
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 20
V mejnem stanju uporabnosti moramo preveriti pogoj:
kjer je projektna vrednost učinkov vplivov, ki je določena na podlagi ustrezne
kombinacije vplivov, pa projektna vrednost ustreznega kriterija uporabnosti. [4]
3.1.1 Kombinacije vplivov
karakteristična,
pogosta,
navidezno stalna.
V primeru ene spremenljive obremenitve pa velja:
kjer so:
- stalna obtežba
- spremenljiva obtežba
, , - redukcijski faktorji za kombinacijo vplivov
d dE C
dE
dC
1 0
1 2
n n
d kj k i ki
j i
E G Q Q
1 1 2
1 2
n n
d kj l k i ki
j i
E G Q Q
2
1 2
n n
d kj i ki
j i
E G Q
1
n
d kj ki
j
E G Q
kjG
kiQ
0i 1l 2i
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 21
Tabela 3.1: Priporočene vrednosti redukcijskih faktorjev za stavbe [1]
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 22
3.2 OMEJITVE NAPETOSTI
Pri omejitvah napetosti se koristi linearna razporeditev napetosti v betonu in jeklu, kjer je
konstanten odnos med modulama elastičnosti. Pri računu napetosti betona in jekla moramo
izključiti natezno cono betona. Za beton in armaturo upoštevamo Hookov zakon.
Z omejitvijo napetosti betona se prepreči zmanjševanje tlačne cone betona in odpiranje
novih mikro razpok, ki nastanejo zaradi nateznih napetosti in plastifikacije betona.
Pravtako se z omejitvijo napetosti prepreči raztezanje jekla in s tem nastanek širokih
razpok.
Linearen potek napetosti in deformacij v MSU je prikazan na sliki 3.1.
Slika 3.1: Potek napetosti in deformacij v MSU [13]
Višina tlačne cone oz. lega nevtralne osi v prerezu se izračuna na podlagi statično
momentnega pogoja:
0yS
Za enojno armiran pravokotni prerez je višina tlačne cone: [12]
1
1
21 1e s
e s
A b dx
b A
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 23
kjer je:
effb b - efektivna širina prereza
h - višina prereza
e - razmerje modulov elastičnosti med jeklom in betonom
1sA - količina natezne armature
d - statična višina (statična višina d je razdalja od vrha roba tlačne cone do
težišča natezne armature)
Za dvojno armiran pravokotni prerez višino tlačne cone pri obremenitvi z upogibnim
momentom, brez osne sile določimo kot: [4]
1
2 2 2
2 1 2 2 1 2 1
2
' ' 'e s e s e s e s e s e sA A A d A d A A
xb b b
kjer sta:
2 'sA - količina tlačne armature
2d - odmik od tlačne cone do tlačne armature
Ko poznamo statično višino lahko izračunamo ostale iskane količine.
Vrednost napetosti v tlačni armaturi lahko pri znani statični višini tlačne cone izrazimo z
napetostjo v natezni armaturi:
2
's s
x d
d x
se
cm
E
E
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 24
Z momentnim ravnotežjem glede na rezultanto tlačnih napetosti betona določimo napetost
v natezni armaturi kot:
2
1 2 2
3
3 ' 3
Eds
s s
M
x dA d x A x d
d x
Tlačna napetost betona je tako:
3.2.1 Omejitve napetosti betona
Tlačne napetosti pri betonu je treba v primeru razredov izpostavljenosti konstrukcije XD,
XF in XS primerno omejiti na vrednost.1
Če je pri navidezno stalni obtežni kombinaciji napetost betona manjša od potem se
predpostavi linearno lezenje, drugače je lezenje nelinearno in velja:
3.2.2 Omejitve napetosti jekla
Če ta pod vplivom karakteristične kombinacije obtežbe ne prekoračijo spodnje vrednosti
potem ni nesprejemljivih razpok in deformacij. Velja:
Kadar so napetosti posledica vsiljenih deformacij, napetosti ne smejo prekoračiti:
1 Če je beton objet s stremeni ali pa se krovni sloj armature poveča ta pogoj ni obvezen.
s
c
e
x
d x
0,6c ckf
2 ckk f
0,45c ckf
0,8s skf
1,0s skf
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 25
3.3 OMEJITVE RAZPOK
Pri armiranobetonskih konstrukcijah so razpoke običajna stvar, a jih je potrebno zaradi
posledic pokanja betona omejiti tako, da bo konstrukcija čimbolj trajna. Pri tem ne sme
priti do zmanšanja funkcij trajnosti in nespremenjenega videza konstrukcije. Razpoke
nastanejo zaradi obremenitev upogiba, prečne sile, torzije, natega neposredne obtežbe,
preprečenih vsiljenih deformacij. Vzroka za razpoke pa sta tudi plastično nabrekanje in
krčenje pri strjevanju betona. [2]
Slika 3.1: Razpoke zaradi plastičnega krčenja betona [11]
Torej razpoke nastanejo kadar natezna napetost v prerezih konstrukcij preseže natezno
trdnost betona ctmf .
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 26
3.3.1 Splošno o širini razpoke
Največja dovoljena računska širina razpoke je določena na podlagi okolja, funkcije
konstrukcije in stroškov omejitve razpokanosti. Na podlagi razredov izpostavljenosti so v
tabeli prikazane priporočene vrednosti za .
Tabela 3.2: Omejitve največjih povesov na podlagi razreda izpostavljenosti [2]
3.3.2 Najmanjši prerez armature za omejitev širine razpok
Kadar je potrebno širino razpok omejiti, izvesti kontrolo, se v območjih nategov zahteva
minimalna količina armature sprijete z betonom. Količina te armature se določi na podlagi
ravnotežja med natezno silo v betonu tik pred nastankom razpok in natezno silo v armaturi
pri napetosti vse do meje elastičnosti . [4]
Pri razčlenjenih prerezih (T, U, L, O…) armiranobetonskih profilih se najmanjši potrebni
prerez armature določi za pasnice in stojine posebej. Potrebni najmanjši prerez armature se
izračuna na naslednji način:
kjer so:
- najmanjši potrebni prerez jekla znotraj natezne cone pred nastankom razpok
- absolutna vrednost največje dovoljene napetosti armature
maxw
maxw
skf
,min ,ct
s c ct eff
s
AA k k f
,minsA
s skf
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 27
- efektivna natezna trdnost betona v času nastanka prve razpoke ( ,
če se razpoke pričakujejo prej kot pri starosti 28 dni)
- ploščina betona v nategu neposredno pred nastankom prve razpoke
- parameter
Parameter zavzame v tabeli vrednost pod pogojem za stojine ali pasnice. Ostale
vrednosti se interpolirajo:
Tabela 3.3: Parameter [2]
stojine pasnice
ali 1,0
ali 0,65
- koeficient, ki upošteva razporeditev napetosti prereza pred nastankom razpok
Koeficient zavzema vrednost 1,0 pri čistem nategu armiranega betona. Pri upogibu ali
pri upogibu v kombinaciji z osnimi silami pa se izračuna:
za pravokotne prereze in stojine škatlastih ter T- prerezov,
za pasnice škatlastih prerezov in T- prerezov.
kjer so:
- srednja vrednost napetosti betona
,ct efff ,ct eff ctmf f
ctA
k
k
h mm b mm k
300h 300b
800h 800b
ck
ck
1 , *
0,4 1 1,0cc
ct eff
kh
k fh
,
0,9 0,5crc
ct ct eff
Fk
A f
c
Edc
N
b h
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 28
- osna sila v MSU, ki deluje na obravnavani del prečnega prereza (tlačna sila je
pozitivna) in jo je potrebno določiti ob upoštevanju karakteristične vrednosti prednapetja in
osnih sil pri ustrezni kombinaciji vplivov.
Določitev :
Določitev koeficienta , ki upošteva vplive osnih sil na razporeditev napetosti:
če je tlačna sila
če je natezna sila
- absolutna vrednost sile v natezni coni zaradi upogibnega momenta, ki
povzroči prvo razpoko
3.3.3 Omejitev širine razpok brez neposrednega računa
Pri armiranih ploščah stavb, obremenjenih na upogib, ukrepi za omejitev razpok niso
potrebni, če višina plošče ne presega 200 mm.
Kadar se zagotovi minimalna armatura , širine razpok pri elementu verjetno niso
prekomerne, morata pa veljati dva pogoja:
pri razpokah, ki jih pretežno povzroča preprečitev deformiranja velikosti premerov
palic niso prekoračene. Napetost jekla je enaka neposredno po nastanku razpok;
pri razpokah, ki jih povzroča obtežba so izpolnjene zahteve vsaj iz ene tabele
(Tabela 4.2, Tabela 4.3). Napetosti jekla je potrebno izračunati na razpokanem
prerezu z merodajno kombinacijo vplivov.
EdN
*h
* 1,0h h za h m
* 1,0 1,0h m za h m
1k
1 1,5k EdN
*
1
2
3
hk
h EdN
crF
,minsA
s
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 29
Spodaj sta podani tabeli s podatki za omejitev največjega premer in medosne
oddaljenosti armaturnih palic.
Tabela 3.4: Omejitev največjega premera armaturne palice [2]
Napetost jekla Največji premer palice [mm]
[MPa]
160 40 32 25
200 32 25 16
240 20 16 12
280 16 12 8
320 12 10 6
360 10 8 5
400 8 6 4
450 6 5 -
Tabela 3.5: Omejitev največje medosne oddaljenosti palic [2]
Napetost jekla Največja medosna oddaljenost palic [mm]
[MPa]
160 300 300 200
200 300 250 150
240 250 200 100
280 200 150 50
320 150 100 -
360 100 50 -
- premer armaturne palice
0,4kw mm 0,3kw mm 0,2kw mm
0,4kw mm 0,3kw mm 0,2kw mm
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 30
Pri armiranem betonu se maksimalni premer armaturne palice priredi za:
upogib (vsaj del prereza je tlačen),
nateg.
kjer so:
- prirejen največji premer palice
- največji premer palice iz tabele
- celotna višina prereza
- višina natezne cone neposredno pred nastankom razpok
Kadar je pri nosilcih z višino h večjo od 1 m glavna armatura skoncentrirana na
sorazmerno majhnem delu višine je potrebno omejitev razpok zagotoviti še z dodatno
površinsko armaturo oz. konstrukcijsko pomožno armaturo ob straneh nosilca. Ta mora biti
znotraj stremen razporejena vsaj med natezno armaturo in nevtralno osjo. Prerez povšinske
konstrukcijsko pomožne armature se izračuna po enačbi za najmanjši prerez armature za
omejitev širine razpok, pri čemer se za vzame vrednost 0,5, za pa vrednost .
Pravtako se izračunata še medosna oddaljenost in ustrezen premer armaturnih palic. [2]
Široke razpoke se lahko pojavijo in povzročajo posebne nevarnosti:
pri spremembah prereza,
v bližini koncentriranih obtežb,
na mestih sprememb prereza armature,
in v območjih visokih sprijemnih napetosti (npr. na koncih prekrivanja armature).
Zato je potrebno, če je možno, da se v takšnih območjih napetosti zmanjšajo z ustreznim
navedenimi pravili za omejitev razpok in ustreznim detajliranjem armature.
s
,*
2,9 2
ct eff c crs s
f k h
h d
,*
2,9 24
ct eff crs s
f h
h d
s
*
s
h
crh
k s skf
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 31
3.3.4 Račun širine razpok
Z izračunom širine razpoke se je ukvarjal anglež Beeby(1979) in postavil temelj za izračun
širine razpoke . Ta se lahko izračuna z naslednjim izrazom:
kjer so:
- največja razdalja med razpokami
- srednja deformacija armature
- srednja deformacija betona med razpokami
Pri tem se efektivna deformacija lahko izračuna kot:
kjer so:
- napetost v natezni armaturi pri razpokanem prerezu
- faktor, ki ima pri kratkotrajni obtežbi vrednost 0,6, pri dolgotrajni pa 0,4.
'pA - prerez predhodno ali naknadno napetih kablov znotraj1
- prirejeno razmerje sprijemne trdnosti različnih premerov jekla za armiranje
Za uporabo formule izračuna širine razpoke je pri upogibih zaradi momentov za določitev
efektivnega dela betonskega prereza , ki obdaja armaturo v natezni coni, potrebno
1 Pri AB konstrukcijah, kjer ni prednapetja je .
kw
,maxk r sm cmw s
,maxrs
sm
cm
sm cm
,
,
,
1
0,6
ct eff
s t e p eff
p eff ssm cm
s s
fk
E E
s
tk
'
2
1
,
,
s
p eff
c eff
A A
A
1
,c effA
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 32
definirati še efektivno višino . Ta je pri nosilcih manjša od vrednosti ali
ali . [2]
Slika 3.2: Efektivna natezna površina pri armiranobetonskih nosilcih [7]
Slika 3.3: Efektivna natezna površina pri armiranobetonskih ploščah [7]
Pri bližje razporejeni armaturi sprijeti z betonom znotraj natezne cone npr. pri ploščah, kjer
je efektivna višina manjša od vrednosti ali se največja
medsebojna razdalja med razpokami izračuna kot:
kjer so:
- krovni sloj betona vzdolžne armature
- koeficient, ki je odvisen od sidranja. Palice z dobro sprijemnostjo zavzamejo
vrednost 0,8.
,c effh 2,5 h d
/ 3h x2
h
,c effh 52
c
/ 3h x
,max 1 2
,
3,4 0,425r
p eff
s c k k
c
1k
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 33
- koeficient, ki je odvisen od razporeditve deformacij po prerezu in zavzame vrednost
0,5 za upogib in vrednost 1,0 za čisti nateg. Pri ekscentričnem nategu pa se upoštevajo
vmesne vrednosti koeficienta:
, - večja in manjša vrednost robne natezne deformacije obravnavanega dela
določena po razpokanem prerezu.
Kadar pa razdalja z betonom sprijetih palic armature prekorači vrednost , ali
kadar armatura znotraj natezne cone ni sprijeta z betonom, se zgornja meja širine razpoke
določi kot:
Pri stenah, kjer prerez vodoravne armature ne izpolnjuje zahtev, se lahko širina razpoke
vzame kar kot 1,3- kratna višina razpoke.
Slika 3.4: Prekomerne razpoke betonskega zidu [8]
Kadar so v prerezu različni premeri armaturnih palic , je potreben nadomestni premer
po enačbi: [2]
2k
1 2
2
12k
1 2
52
c
,max 1,3 ( )rs h x
sA
,maxrs
1 2
eq
2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
eq
n n
n n
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 34
3.4 OMEJITVE POVESOV
3.4.1 Ocena povesov z razmerjem l/d
Povesov ni potrebno vedno izračunati, saj veljajo po SIST EN 1992-1-1 enostavna pravila
kdaj račun povesov ni potreben. Po oceni iz razmerja med razpetino in statično višino
elementa, približno izračunamo ali je element (plošča, greda, nosilec,...) ustrezen. Za
primere, ko povesi ustrezajo spodnjima dvema enačbama in K- preglednici, dejanski račun
povesov ni potreben.
Za splošno razmerje sta glede na napetost betona dani enačbi (1) in (2):
(pri nizki napetosti betona),
(1)
0 .
'
01 2 3 '
111 1,5 3,2
12ck ck
lF F F K f f
d
(2)
kjer so:
- faktor vpliva različnih statičnih sistemov
- potrebna stopnja armiranja z natezno armaturo
' - potrebna stopnja armiranja z tlačno armaturo
- referenčna stopnja armiranja
- faktorji
Referenčna stopnja armiranja je odvisna od karakteristične tlačne trdnosti betona
po enačbi:
l
d
0
1,5
0 01 2 3 11 1,5 3,2 1ck ck
lF F F K f f
d
K
0
1 2 3, ,F F F
0 ckf
0 0,001 ckf
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 35
V tabeli so podane za dve stopnji armiranja 15% in 0,5% mejne vrednosti
razmerij /l d , ki so odvisne od statičnega sistema, faktorja K.
Tabela 3.6: Faktor K [6]
Statični sistem K Visoka
napetost betona
Nizka
napetost
betona
Prostoležeči nosilci in vrtljivo podprte plošče
nosilne v eni ali dveh smereh 1,0 14 20
Končno polje neprekinjenih nosilcev in plošč,
nosilnih v eni smeri oz. plošč nosilnih v dveh
smereh, ki so neprekinjene vzdolž ene stranice
1,3 18 26
Notranje polje nosilca oz. v eni ali v dveh
smereh nosilnih plošč 1,5 20 30
Plošča na stebrih brez nosilcev
(gladka plošča na stebrih 1,2 17 24
Konzole 0,4 6 8
Enačbi (1) in (2) upoštevata napetost jekla kot 310 MPa, kar približno odgovarja jeklu s
= 500 MPa. Kadar se uporabljajo drugačni nivoji napetosti (drugačna jekla) je potrebno
dobljene vrednosti pomnožiti s oz. smo na varni strani, če se upošteva: [2]
kjer so:
,s provA - dejanski prerez natezne armature v obravnavanem prerezu
,s reqA - potreben prerez natezne armature v obravnavanem prerezu po MSN
- natezna napetost jekla na sredini razpona oz. na koncih konzole po MSN
skf
310 / s
,
1
,
310 500 s prov
s sk s req
AF
f A
s
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 36
Za prereze s pasnicami pri katerih razmerje med širino pasnice in širino reber preseže
vrednosti 3, moramo vrednosti iz enačb (1) in (2) pomnožiti z .
Pri nosilcih in ploščah z razpetinami, ki so večje od 7 m in nosijo predelne stene je
potrebno vrednosti iz enačb (1) in (2) pomnožiti z . Pri gladkih ploščah na
stebrih, katerih večja razpetina preseže 8,5 m in nosijo predelne stene pa je potrebno
vrednosti iz enačb (1) in (2) pomnožiti z .
- efektivna razpetina elementa
Če ocene povesa ne ustrezajo enačbama (1) in (2), je potreben račun povesov.
Slika 3.5: Armiranobetonska plošča in razpon [9]
l
d2 0,8F
l
d3 7 / effF l
l
d3 8,5/ effF l
effl
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 37
3.4.2 Račun povesov
Kadar elementu po oceni povesov kakorkoli ni zadoščeno je izračun povesov potreben. Pri
tem moramo glede na obtežno kombinacijo ločiti nerazpokane elemente pri katerih je v
vsakem delu elementa natezna napetost betona manjša od natezne trdnosti in ločiti
elemente, kjer se le v določenem delu elementa pojavljajo razpoke. Za elemente, kjer se
pričakuje obnašanje razpok med nerazpokanim in razpokanim stanjem vendar ne po
celotnem elementu, se račun povesov omeji z: [4]
kjer so:
- deformacijski parameter (pomiki, povesi, deformacije…)
- vrednost količin z upoštevanjem nerazpokanega oz. razpokanega stanja
- razdelitveni koeficient
Razdelitveni koeficient omogoča upoštevanje sodelovanja betona pri prevzemu nateznih
sil. Za nerazpokane prereze znaša = 0,0 drugače pa se izračuna kot:1
kjer so:
- napetost natezne armature, izračunana na podlagi razpokanega prereza
- napetost natezne armature, izračunana pri obtežbi, ki povzroči prvo razpoko
- upogibni moment, ki povzroči prvo razpoko
- osna natezna sila, ki povzroči prvo razpoko
1 Pri čistem upogibu, nategu se lahko razmerje nadomesti z , .
ІІ І1
І ІІ,
2
1 sr
s
s
sr
crM
crN
sr
s
crM
M
crN
N
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 38
- upogibni moment in osna sila pri obtežni kombinaciji MSU
- koeficient, ki upošteva vpliv trajanja obtežbe na povprečno deformacijo jekla
Tabela 3.7: Koeficient vpliva trajanja obtežbe na povprečno deformacijo jekla [5]
Vpliv/trajanje obtežbe β
enkratna, kratkotrajna 0,5
trajna oz. ponavljajoča 1,0
Ko je beton zrel in se stara se povesi povečujejo z vplivi obtežb, vlago okolja, dimenzijami
elementa in mehansko-reološkimi lastnostmi betona. Zaradi tega se modul elastičnosti
betona cmE s časom zmanjšuje:
0,3
,
0 0
822
10
1 , 1 ,
ck
cmc eff
f
EE
t t
- efektivni modul elastičnosti betona
Za račun povesov pa se zaradi konstantnega krčenja betona upošteva še ukrivljenost v
nerazpokanem, kot tudi razpokanem stanju:
- deformacija neoviranega krčenja betona
- statični moment prereza jekla glede na težišče
- vztrajnostni moment prereza
Za račun povesov se lahko poslužujemo dveh načinov oz. izbranih poti:
z aproksimativno metodo,
z direktno kalkulacijsko metodo.
,M N
,c effE
1
cs e
cs
S
r I
cs
S
I
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 39
3.4.3 Aproksimativna metoda
Za elemente, ki so konstantnih višin se izračuna zakrivljenost na mestu maksimalnega
momenta EdM , poves pa se pri tem izračuna po izrazu: [12]
2 1tot
tot
w k lr
k - faktor odvisen od statičnega sistema in obremenitev (odčitamo)
l - razpon elementa
1
totr - skupna ukrivljenost elementa
Skupna ukrivljenost elementa je vsota ukrivljenosti zaradi obremenitve, lezenja ter krčenja
betona.
1 1 1
tot M csr r r
kjer je:
1
Mr - zakrivljenost zaradi obremenitve in lezenja betona
1
csr - zakrivljenost zaradi krčenja betona
Srednja ukrivljenost zaradi obremenitve in lezenja je sestavljena iz stanja obremenitve pri
nerazpokanih elementih označen z І in stanja obremenitve pri razpokanih elementih,
označen z ІІ in se poenostavi: [12]
І ІІ
1 1 11
totr r r
Ukrivljenost za obremenjeno stanje I se izračuna po izrazu:
І , І
1 Ed
c eff
M
r E I
ІI - vztrajnostni moment prereza (nerazpokano stanje)
Ukrivljenost za obremenjeno stanje ІІ se izračuna kot:
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 40
1
ІІ ІІ , ІІ
1 s Ed
c eff
M
r d x E I
ІІI - vztrajnostni moment prereza (razpokano stanje)
ІІx - oddaljenost nevtralne osi od zgornjega roba preseka v stanju ІІ
1s - relativna deformacija armature
kjer sta:
1
ss
sE
1
Eds
s
M
z A
Moment, pri katerem nastane prva razpoka se izračuna kot:
2
6cr ctm
b hM f
Kadar je Ed crM M potem je razporeditveni koeficient enak 0,0 . Konstrukcijski
element je v elastičnem stanju. [12]
Ukrivljenost zaradi krčenja za stanje obremenenja І in ІІ je:
І
,І І
1cs e
cs
S
r I
ІІ
,ІІ ІІ
1cs e
cs
S
r I
kjer so:
ІS , ІІS - statična momenta površine armature za stanje І in ІІ
cs - relativna deformacija krčenja (konstantna)
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 41
e - razmerje modula elastičnosti jekla in betona1
3.4.4 Direktna kalkulacijska metoda
Za določanje povesov po metodi je pomembna ukrivljenost tako razpokanega kot
nerazpokanega stanja in se določi na podlagi integracije momentne linije po korakih.
Pomembna predpostavka je, da beton v razpokanem delu elementa natezno ne nosi ničesar
v nerazpokanem delu pa nosi tlačno kot tudi natezno in se vede elastično vse do kvalitete
betona C50 zato je element potrebno obravnavati kot: [5]
nerazpokan,
razpokan.
V nerazpokanih delih armirano-betonskega elementa se beton kot material obnaša linearno
elastično tako v tlaku kot tudi v nategu. Jeklo se obnaša linearno elastično. [5]
Pri tem je (bruto)vztrajnostni moment nerazpokanega prereza:
kjer je:
grossI - bruto vztrajnostni moment prereza2
Razmerje je dano kot:
Moment pri nerazpokanem delu elementa:
1 Pri razpokanih prerezih je potrebno v enačbi za upoštevati .
2 Bruto vztrajnostni moment prereza je enak vztrajnostnemu prereza v nerazpokanem stanju: .
23 3 2''
3
1 11
3 3
gross
e e
I x h x x d x
b d d d d d d d
x
d
2 ´´
´
0,5 e
e
h d
d dx
hd
d
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 42
Ukrivljenost pri nerazpokanem delu elementa pa:
Če pa želimo dobiti moment in ukrivljenost pri razpokanem delu elementa
potem v prejšnji dve enačbi vstavimo zvezo in dobimo:
kjer je:
cW - odpornostni moment prereza
Pri razpokanih delih armiranobetonskega elementa se beton kot material obnaša linearno
elastično in sicer samo v tlaku. V nategu prihaja do razpok, ki zmanjšujejo nosilnost
elementa. Jeklo se obnaša linearno elastično. [5]
Pri tem je vztrajnostni moment razpokanega prereza:
crI - vztrajnostni moment razpokanega prereza1
'd - razdalja od tlačnega roba do težišča tlačne armature
Razmerje je dano kot:
1 Vztrajnostni moment razpokanega prereza je enak vztrajnostnemu prereza v razpokanem stanju: .
ct gross
uncr
f IM
h x
, ,
1 1 ct
M uncr c eff
f
r h x E
crM,
1
M crr
ct ctmf f
ctm gross
cr c ctm
f IM W f
h x
, ,
1 1 ctm
M cr c eff
f
r h x E
23 2´´
3
11
3
cre e
I x x d x
b d d d d d
x
d
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 43
Moment pri razpokanem delu elementa:
Ukrivljenost pri razpokanem delu elementa pa kot:
Po direktni kalkulacijski metodi povesov si AB element nekako razdelimo na enake dele,
ki so omejeni s točkami. Ko imamo dano skupno ukrivljenost za vsako točko posebej lahko
izračunamo poves v vsaki točki in to na dva načina: [5]
z integracijo,
kjer se z dvojnim integriranjem skupne ukrivljenosti vzdolž elementa za vsako točko poves
izračuna kot:
2
2
1
tot
d w
r dx
z diferenčno metodo.
kjer se povesi izračunajo s pomočjo diferenc:
1 1
2
21 x x x
tot
w w w
r x
2 213
2
1Ed
tot
M xkl k l
k E I r
S pretvarjanjem v numerične vrednosti pa se dobi v poves v vsaki točki z matrično enačbo:
1 2 1
tot
W A xr
0,5
´2
´ 2 ´ ´2e e e
x d
d d
cs crcr
f IM
x
, ,
1 1 cs
M cr c eff
f
r x E
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 44
Tabela 3.8: Koeficient za izračun povesa [5]
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 45
4 PRIMERI DIMENZIONIRANJA PO MSU
4.1 AB NOSILEC 1
Primer je povzet po [12] in rešen po priporočilih SIST EN 1992-1-1. Na sliki je prikazan
armiranobetonski nosilec. ki je upogibno obremenjen in razpet čez dve polji. Prikazan je
potek kontrol napetosti, razpok in povesov po MSU.
Slika 4.1: Diagram upogibnih momentov pri navideznostalni kombinaciji vplivov [12]
Slika 4.2: Prerez armiranobetonskega nosilca cm [12]
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 46
Podatki:
Beton: 40ckf MPa , 40 / 50C , 35cmE MPa
Armatura: 500skf MPa , jeklo , 200sE GPa
Moment v polju: 43,90 4390EdM kNm kNcm
Odmik armature spodaj in zgoraj: 1 2 4d d cm
Statična višina: 1 40d h d cm
Ploščina prečnega prereza 230 44 1320cA b h cm
Količina tlačne armature : 2
2 ' 2,26 2 12sA cm
Količina natezne armature: 2
1 6,03 3 16sA cm
Razmerje modulov elastičnosti:
2005,71
35
se
cm
E
E
Izračun višine tlačne cone po enačbi:
1
2 2
2 1 2 2 1 2 1
2
' 2 ' 'e s e s e s e s e s e sA A A d A d A A
xb b b
1
2 2
2
5,71 2,26 5,714 6,03 2 5,71 2,26 4 5,71 6,03 40 5,71 2,26 5,71 6,03
30 30 30
8,31x cm
500S
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 47
4.1.1 Kontrola napetosti
V polju:
2 '
22,26 2 12zg
s sA cm A
2
16,03 3 16sp
s sA cm A
a) Beton (navidezno stalna kombinacija vplivov)
, 43,9Ed Ed nsM M kNm
2439020,22 /
0,9 0,9 40 6,03
Eds
s
MkN cm
d A
ІІ,ІІ
ІІ
20,22 8,310,45
5,71 40 8,31
sc ck
e
xf
d x
2 2
,ІІ 0,929 / 1,8 /c kN cm kN cm
Napetost betona ustreza predpisu.
b) Armatura (karakteristična kombinacija vplivov)
, 57,5Ed Ed karM M kNm
5750
0,80,9 0,9 40 6,03
Eds sk
s
Mf
d A
2 226,49 / 40 /s kN cm kN cm
Tudi napetost armature ne presega pogoja omejitve napetosti.
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 48
4.1.2 Kontrola razpok
Račun širine razpoke:
,maxk r sm cmw s
Največja razdalja med razpokami:
,max 1 2
,
163,4 0,425 3,4 40 0,425 0,8 0,5
0,0201r
p eff
s c k k
,max 271,323rs mm
(rebraste palice)
(čisti upogib)
16mm (premer najdebelejše armaturne palice)
2
,
,
' 6,03 00,0201
300
s p
p eff
c eff
A A
A
' 0pA
2
, , 30 10 300c eff c effA b h cm
, min 2,5 , / 3, / 2 min 2,5 44 40 , 44 8,31 / 3,44 / 2c effh h d h x h
, 10c effh cm
Razlika deformacij:
,
,
,
1
0,6
ct eff
s t e p eff
p eff ssm cm
s s
fk
E E
3,5
195,88 0,4 1 5,714 0,0201195,880,0201
0,6200000 200000
sm cm
0,000591 0,000588sm cm
1 0,8k
2 0,5k
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 49
Napetost natezne armature:
2
1 2 2
3
3 ' 3
Eds
s s
M
x dA d x A x d
d x
23 439019,588 /
8,31 46,03 3 40 8,31 2,26 8,31 3 4
40 8,31
s kN cm
2 2
3 3, 0,3 0,3 40ct eff ctm ckf f f
3,5ctmf MPa (lahko tudi odčitamo)
0,4tk (dolgotrajna obtežba)
Računsko največja razpoka torej je:
,max 271,323 0,000591k r sm cmw s
0,16 0,3kw mm mm
Torej je armiranobetonski nosilec po kontroli razpok na podlagi primerjanja med računsko
največjo razpoko in odčitano največjo dovoljeno razpoko ustrezen. Širina razpoke ustreza
predpisu!
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 50
4.1.3 Kontrola povesov
460l cm
Omejitev povesa:
max
4601,84
250 250
lw cm
35cmE MPa
3,5ctmf MPa
200sE GPa
2005,71
35
se
cm
E
E
Skupen poves:
2 1tot
tot
w k lr
Ker je nosilec razpet čez dva polja veljata za izračun faktorja k enačbi v tabeli:
Tabela 4.1: Faktor k za nosilec razpet čez dve polji [12]
5 5(1 0,1 ) (1 0,1 1,31) 0,091
48 48k
0 57,51,31
43,9
A B
F
M M
M
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 51
Slika 4.3: Prerez v polju [12]
2
22,26 2 12 'zg
s sA cm A
2
16,03 3 16sp
s sA cm A
2 23
І 1 2 2 1'12 2 2
e s s
b h h hI A d A d
2 23
І
30 44 44 445,71 6,03 4 2,26 4
12 2 2I
4
І 212960,0 15336,8 228296,8I cm
Ukrivljenost za nerazpokano stanje I:
5 1
І , І
1 43900,549 10
3500 228296,8
Ed
c eff
Mcm
r E I
І 22x cm (tlačna cona sovpada z težiščem prereza)
Ukrivljenost za obremenjeno stanje ІІ se izračuna kot:
5 11
ІІ ІІ , ІІ
1 0,0009783,086 10
40 8,31
s Ed
c eff
Mcm
r d x E I
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 52
5 1
ІІ
1 43903,093 10
3500 40556,1cm
r
(kontrola)
ІІ 8,31x cm
23
2 2
ІІ 1 2 2'12 2
e s s
b x xI b x A d x A x d
23
2 2
ІІ
30 8,31 8,3130 8,31 5,71 6,03 40 8,31 2,26 8,31 4
12 2I
3
ІІ 40556,1I cm
Slika 4.4: Višina tlačne cone pri razpokanem prerezu [12]
Natezna napetost jekla:
11
4390
8,3140 6,03
3 3
Ed Eds
ss
M M
xz Ad A
219,555 /s kN cm (kontrola)
1
195,550,000978
200000
ss
sE
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 53
Moment in prva razpoka:
2 230 44
0,35 3388 33,886 6
cr ctm
b hM f kNcm kNm
Ker je Ed crM M velja:
2 233,88
1 1 0,5 0,70243,90
cr
Ed
M
M
0,5 (kratkotrajna obremenitev na deformacijo jekla)
Urivljenost zaradi upogibnega momenta:
5 5
І ІІ
1 1 11 0,702 0,549 10 1 0,702 3,086 10
mr r r
5 111,305 10
m
cmr
Skupen poves na začetku obremenitev je:
2 2 510,091 460 1,305 10 0,25 1,84m
m
w k l cm cmr
Lezenje
0, 2,4t (predpostavimo)
,eff
0
3510,3
1 , 1 2,4
cmc
EE GPa
t
,eff
20019,42
10,3
se
c
E
E
2 23
І 1 2 2 112 2 2
e s s
b h h hI A d A d
2 234
І
30 44 44 4419,42 6,03 4 2,26 4 265121,34
12 2 2I cm
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 54
Ukrivljenost za nerazpokano stanje I:
5 1
І , І
1 43901,608 10
1030 265121,34
Ed
c eff
Mcm
r E I
Tlačna cona:
1
1
2 19,42 6,03 2 30 401 1 1 1
30 19,42 6,03
e s
e s
A b dx
b A
ІІ 14,2x cm
Ukrivljenost stanja ІІ je:
5 11
ІІ ІІ , ІІ
1 0,0010334,004 10
40 14,2
s Ed
c eff
Mcm
r d x E I
5 1
ІІ
1 43903,835 10
1030 111147,29cm
r
(kontrola)
23
2 2
ІІ 1 2 2'12 2
e s s
b x xI b x A d x A x d
23
2 2
ІІ
30 14,2 14,230 14,2 5,71 6,03 40 14,2 2,26 14,2 4
12 2I
4
ІІ 111147,29I cm
Natezna napetost jekla:
11
4390
14,240 6,03
3 3
Ed Eds
ss
M M
xz Ad A
220,644 /s kN cm
1
206,640,001033
200000
ss
sE
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 55
Moment in prva razpoka:
2 230 44
0,35 3388 33,886 6
cr ctm
b hM f kNcm kNm
Ker je Ed crM M velja:
2 233,88
1 1 0,5 0,70243,90
cr
Ed
M
M
0,5 (kratkotrajna obremenitev na deformacijo jekla)
Urivljenost zaradi lezenja:
5 5
І ІІ
1 1 11 0,702 1,608 10 1 0,702 4,004 10
mr r r
5 112,322 10
m
cmr
Skupen poves zaradi lezenja:
2 2 510,091 460 2,322 10 0,45 1,84m
m
w k l cm cmr
Sklep:
Poves zaradi obremenitve je ustrezen. Skozi čas trajanja obremenitve pride do lezenja
betona (povečanje deformacij) a večji poves zaradi tega še vedno ustreza in je manjši od
dovoljenega.
Nasplošno je armiranobetonski nosilec ustrezen po kontroli napetosti, razpok in povesov
(brez upoštevanja krčenja betona). Tak nosilec je lahko obremenjen še tudi bolj.
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 56
4.2 AB NOSILEC 2
Primer je povzet po [6] in rešen po priporočilih SIST EN 1992-1-1. Na sliki je prikazan
armiranobetonski prostoležeči nosilec z razponom 6 m in prerezom dimenzij 250 x 475
mm. Z danimi podatki za nosilec, preveri ustreznost povesov, po MSU.
Slika 4.5: Razpon in največji upogibni moment nosilca
Podatki:
Beton: 40ckf MPa ,
Armatura: 500skf MPa , jeklo
Moment na sredini razpona:
Odmik armature spodaj:
40/50C
500S
150EdM kNm
50x mm
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 57
4.2.1 Ocena povesa z razmerjem
Statična višina:
Velja:
Projektna trdnost betona:
Projektna trdnost jekla:
Brezdimenzijski faktor (tabela):
Mehanski koeficient armiranja:
Gre za enojno armiran prerez prostoležečega nosilca spodaj!
Potrebna natezna armatura je ( ni osne sile, in ):
Izbrana dejanska armatura iz tabele pa:
Referenčna stopnja armiranja:
Ker ni tlačne armature je:
Potrebna stopnja armiranja z natezno armaturo:
(475 50) 425 42,5d mm cm
/ / 25/ 47,4 / 42,5b h d cm
400,85 22,667
1,5
ckcd cc
m
ff MPa
500434,783
1,15
sksd
m
ff MPa
2 2
1500000,146548
25 42,5 22,667
EdsEds
cd
M
b d f
1 0,159692
0EdN sd sdf
1,
cd Eds req
sd
b d f NA
2
,
0,159692 25 42,5 22,6678,85
434,783s reqA cm
2
, 3 20 9,42s provA cm
0 0,001 0,001 40 0,00632ckf
' 0
, 8,850,00833
25 42,5
s reqA
b d
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 58
Ker je velja:
Kaktor vpliva različnih statičnih sistemov:
Koeficienti :
(pravokotni prerez, brez pasnic)
(efektivni razpon je manjši od 7 m)
Največje možno razmerje na meji še uporabnega:
Dejansko razmerje :
Sklep:
Ker je dejansko razmerje manjše od največjega možnega je takšen
armiranobetonski nosilec po oceni povesa z razmerjem sprejemljiv. Izračun povesa
zagotovo ni potreben.
0
'
01 2 3 '
111 1,5 3,2
12ck ck
lF F F K f f
d
1,0K
1 2 3, ,F F F,
1
,
310 500 s prov
s sk s req
AF
f A
1
500 9421,06 1,5
500 885F
2 1,0F
3 1,0F
max
l
d
max
0,006321,06 1,0 1,0 1,0 11 1,5 40 19,29
0,00833
l
d
l
d
60014,12 19,29
42,5
l
d
l
d max
l
d
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 59
4.3 AB PLOŠČA
Primer je povzet po [6] in rešen po priporočilih SIST EN 1992-1-1. Na sliki je prikazana
armiranobetonska ploščaz z razponom 5,0 m med podporama A in B. Z danimi podatki za
ploščo preveri ustreznost povesov po MSU.
Slika 4.6: Razpon armiranobetonske plošče
Podatki:
Beton: 30ckf MPa ,
Armatura: 500skf MPa , jeklo
Potrebna količina natezne armature:
Dejanska količina natezne armature:
Statična višina:
30/35C
500S
2
, 508s reqA mm
2
, 523s provA mm
260 26d mm cm
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 60
4.3.1 Ocena povesa z razmerjem
Referenčna stopnja armiranja:
Potrebna stopnja armiranja z natezno armaturo:
Ker ni tlačne armature je:
Ker je velja po enačbi (1.3):
Faktor vpliva različnih statičnih sistemov:
Koeficienti :
(pravokotni prerez, brez pasnic)
(efektivni razpon je manjši od 7 m)
Največje možno razmerje na meji še uporabnega:
Omejeno razmerje na meji še uporabnega:
0 0,001 0,001 30 0,00548ckf
, 5080,00195
1000 260
s reqA
b d
' 0
0
1,5
0 01 2 3 11 1,5 3,2 1ck ck
lF F F K f f
d
1,0K
1 2 3, ,F F F,
1
,
310 500 s prov
s sk s req
AF
f A
1
500 5231,03 1,5
500 508F
2 1,0F
3 1,0F
max
l
d
1,5
max
0,00548 0,005481,03 1,0 1,0 1,0 11 1,5 30 3,2 30 1 79,08
0,00195 0,00195
l
d
l
d
max
500019,23 79,08
260
l
d
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 61
Absolutno omejeno razmerje :
Dejansko omejeno razmerje :
Sklep:
Ker je dejansko razmerje manjše od dovoljenega je armiranobetonska plošča po
oceni povesov z razmerjem po MSU ustrezna. Preverjanje povesov po direktni
kalkulacijski zagotovo ni potrebno.
effl
d
40 40 1 40effl
Kd
l
d
19,23 40l
d
actual
l
d
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 62
4.4 AB KONZOLA
Primer je povzet po [5] in rešen po priporočilih SIST EN 1992-1-1. Na sliki je prikazana
armiranobetonska konzola. Prerez je dimenzij , razpon konzole pa
znaša . Po MSU izračunaj širino razpok. Kritična cona je v podpori. Izračunaj tudi
kontrolo povesov po direktni kalkulacijski in aproksimativni metodi!
Slika 4.7: Obremenitve na armiranobetonsko konzolo
Podatki:
Beton: 25ckf MPa ,
Armatura: 500skf MPa , jeklo
Stalna obtežba:
Spremenljiva obtežba:
Odmik armature spodaj in zgoraj:
Statična višina:
Ploščina prečnega prereza
Premer armaturnih palic
Krovni sloj:
370 700b h mm
4l m
25/30C
500S
30 /dg kN m
40 /dp kN m
64x mm
635 63,5d mm cm
2 2259000 2590cA mm cm
40mm
45c mm
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 63
4.4.1 Kontrola razpok
Ker imamo podani lastno in eno spremenljivo obtežbo, se za nastanek razpok izračuna
najmanjši možen upogibni moment na začetku konzole. Ta je dan po navidezno stalni
kombinaciji:
(bivalni prostor)
Slika 4.8: Največji upogibni moment v podpori
Največji upogibni moment:
Priporočena vrednost razpok za navidezno stalno kombinacijo:
Oddaljenost armaturnih palic je:
(med dvema armaturnima palicama)
Če je oddaljenost manjša od pogoja:
Potem je največja medsebojna razdalja med razpokami:
2
1 2
n n
d kj i ki
j i
E G Q
2 0,3
30 0,3 40 42 /Edq kN m
2 242 4336
2 2
EdEd
q lM kNm
max 0,3w mm
370 2 45 4 4040
4s mm
405 5 45 325 40
2 2c mm mm
,max 1 2
,
403,4 0,425 3,4 45 0,425 0,8 0,5 216
0,108r
p eff
s c k k mm
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 64
(dobra sprijemnost palic)
(upogib)
Iz primera povesov armiranobetonske konzolo privzamemo:
oz.
Efektivna višina za konzolo:
1 0,8k
2 0,5k
2 41,4058 10crI m
322,5 32,3x mm cm
16,6e
25026sA mm
' 0sA
6
9
16,6 336 10 635 323123,8
14,058 10
e Ed
s
cr
M d xMPa
I
63 3 336 10126,8
5026 3 635 323 0'3 ' 3 '
Eds
s s
MMPa
x aA d x A x a
d x
,c effh
, min 2,5 ,( ) / 3, / 2 min 2,5 70 63,5 ,(70 32,3) / 3,70 / 2c effh h d h x h
, 12,6 126c effh cm mm
2
, , 370 126 46620c eff w c effA b h mm
'
2
1
,
,
5026 00,108
46620
s
p eff
c eff
A A
A
' 0A
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 65
Efektivna deformacija je:
kjer je:
(dolgotrajna obtežba)
Širina razpoke pa:
Sklep:
Ker je širina razpok na začetku konzole manjša od maksimalne možne, torej konzola
zadosti pogojem in je sprejemljiva. V kolikor se upošteva karakteristična kombinacija
vplivov pri kateri je , je širina razpok še vedno manjša od maksimalne
možne in konzola tudi takrat zadosti MSU razpok. Zato je v tem primeru možna redukcija
premera armaturnih palic .
sm cm
,
,
,
1
0,6
ct eff
s t e p eff
p eff ssm cm
s s
fk
E E
2,56
126,8 0,4 1 16,6 0,1081260,108
0,6200000 200000
sm cm
6 6502 10 378 10sm cm
2 2
3 3, 0,3 0,3 25 2,56ct eff ctm ckf f f MPa
0,4tk
6
,max 216 502 10k r sm cmw s
0,108 0,3kw mm mm
560EdM kNm
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 66
4.4.2 Ocena povesa z razmerjem
Ker imamo podani lastno in eno spremenljivo obtežbo, se najprej izračuna največji
upogibni moment na začetku konzole po merodajni kombinaciji!
Največji upogibni moment:
In velja:
Projektna trdnost betona:
Projektna trdnost jekla:
Brezdimenzijski faktor (tabela):
Z interpolacijo dobimo mehanski koeficient armiranja:
Prerez konzole mora biti enojno armiran in sicer zgoraj!
Potrebna samo natezna armatura zgoraj je ( , in ):
Izbrana dejanska armatura iz tabele pa:
Referenčna stopnja armiranja:
40 30 70 /Edq kN m
2 270 4560
2 2
EdEd
q lM kNm
/ / 37 / 70/ 63,5b h d cm
250,85 14,167
1,5
ckcd cc
m
ff MPa
500434,783
1,15
sksd
m
ff MPa
2 2
5600000,26495
37 63,5 14,167
EdsEds
cd
M
b d f
1 0,31642
' 0 0EdN 1sd sdf
1,
cd Eds req
sd
b d f NA
2
,
0,31642 37 63,5 14,16724,22
434,783s reqA cm
2
, 5 25 24,54s provA cm
0 0,001 0,001 25 0,005ckf
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 67
Potrebna stopnja armiranja z natezno armaturo:
Ker je velja po enačbi:
Faktor vpliva različnih statičnih sistemov:
Koeficienti :
(pravokotni prerez, brez pasnic)
(efektivni razpon je manjši od 7 m)
Največje možno razmerje na meji še uporabnega:
Dejansko razmerje :
Sklep:
Kot vidimo je dejansko razmerje večje od največjega možnega zato je v tem
primeru armiranobetonska konzola po oceni povesa z razmerjem nesprejemljiva. Direkten
izračun povesov je potreben in tudi prikazan.
, 24,220,01031
37 63,5
s reqA
b d
0
'
01 2 3 '
111 1,5 3,2
12ck ck
lF F F K f f
d
0,4K
1 2 3, ,F F F,
1
,
310 500 s prov
s sk s req
AF
f A
1
500 24541,013 1,5
500 2422F
2 1,0F
3 1,0F
max
l
d
max
0,0051,013 0,4 11 1,5 25 5,93
0,01031
l
d
l
d
4006,30 5,93
63,5
l
d
l
d max
l
d
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 68
4.4.3 Direktna kalkulacijska metoda- diferenčna metoda
Določi dejanski poves armiranobetonskega nosilca, ki se nahaja v okolju z relativno
vlažnostjo 40 %. Sušenje betona se konča po 3 dnevih in se obteži, po 28 dneh pa nosilec
doseže svojo največjo trdnost in nosilnost. Ostali podatki so identični kot prej!
Rešitev:
Srednja natezna trdnost betona:
Srednja tlačna trdnost betona: (tabela)
Sekantni modul elastičnosti betona(GPa):
Lezenje:
Da dobimo efektivni modul elastičnosti betona in razmerje modulov potrebujemo
izračunati koeficient lezenja betona !
Koeficient lezenja pri danih podatkih je:
Nazivni koeficient je:
Faktor upoštevanja relativne vlažnosti zraka:
,
Faktor upoštevanja učinka starosti betona:
2 2
3 30,3 0,3 25 2,565ctm ckf f MPa
33cmf MPa
0,38
22 31,510
ckcm
fE GPa
,c effEe
0 ,t
0 0 0, , 4,266 0,378 1,613t t t t
0 0 1,963 2,925 0,743RH cmf t
0 4,266
3 30 0
401 1
100 1001 1 1,9630,1 0,1
RH
RH
h h
0
2 2 259000242
2 700 370
cAh mm
u
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 69
Faktor upoštevanja učinka starosti betona ob obremenitvi:
Koeficient za opisovanje časovnega razvoja lezenja po nanosu obtežbe pa je sestavljen in
dan kot:
koeficient:
In končno dobimo:
16,8 16,8
2,92533
cm
cm
ff
0( 3 )t dni
0 0,2 0,2
0
1 10,743
0,1 0,1 3t
t
( 28 )t dni
0,3 0,3
0
0
0
28 3,
613 28 3H
t tt t
t t
0, 0,378t t
H
18
0
18
1,5 1 0,012 250 1500
1,5 1 0,012 40 242 250 1500
613 1500
H
H
H
RH h
,
0
31,512,06
1 , 1 1,613
cmc eff
EE GPa
t t
20016,6
12,06
se
c
E
E
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 70
Krčenje:
Deformacija krčenja z sušenjem betona:
Deformacije zaradi avtogenega krčenja betona
Funkcija časovnega razvoja krčenja zaradi sušenja:
(interpolacija)
pri 40% vlažnosti kar privzamemo kot:
(lahko jo tudi odčitamo, interpoliramo ali direktno izračunamo)
Funkcija časovnega razvoja avtogenega krčenja:
Končna vrednost krčenja betona:
Sedaj ločimo nerazpokani in razpokani element prereza, če so stopnje armiranja podane
kot:
6 669 24,5 10 93,5 10cs cd ca
3 6
,0, 0,142 0,808 0,6 10 69 10cd ds s h cdt t t k
6 60,653 37,5 10 24,5 10ca as cat t
3 3
0
28 3, 0,142
0,04 28 3 0,04 242
sds s
s
t tt t
t t h
0,808hk
,0cd
3
,0 0,6 10cd
0,5 0,50,2 0,2 28
1 1 0,653t
as t e e
6 6 62,5 10 10 2,5 25 10 10 37,5 10ca ckf
' 1608' 0,0068
370 635
sA
b d
50260,0214
370 635
sA
b d
' 640,101
635
d
d
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 71
Nerazpokan element prereza:
Razmerje je dano kot:
Bruto vztrajnostni moment nerazpokanega prereza:
Če je , potem je nominalen moment pri prvi razpoki:
7001,102
635
h
d
x
d
2
2'
0,5 '0,5 1,102 16,6 0,0068 0,101 0,0214
1,102 16,6 0,0068 0,0214'
e
e
h d
d dx
hd
d
0,62x
d
0,62 635 394 39,4x mm cm
23 3 2''
3
1 11
3 3
gross
e e
I x h x x d x
b d d d d d d d
3 3 2 2
3
1 10,62 1,102 0,62 0,0068 16,6 0,62 0,101 0,0214 16,6 1 0,62
3 3
grossI
b d
30,198472
grossI
b d
3 2 40,198472 0,37 0,635 1,880 10grossI m
ct ctmf f
6 22,565 10 1,88 10157611 157,611
0,7 0,394
ctm gross
cr
f IM Nm kNm
h x
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 72
Razpokan element prereza:
Razmerje je dano kot:
Pri tem je vztrajnostni moment razpokanega prereza:
Parameter krčenja betona:
Izračun :
Nerazpokan prerez:
x
d
0,5
22 '' ' 2 'e e e
x d
d d
0,5
2216,6 0,0068 0,0214 16,6 0,0068 0,0214 2 16,6 0,0068 0,101 0,0214x
d
0,5078x
d
0,5078 635 322,5 32,3x mm cm
3 2 2
3
1 '' 1
3
cre e
I x x d x
b d d d d d
3 2 2
3
10,5078 0,0068 16,6 0,5078 0,101 0,0214 16,6 1 0,5078 0,14839
3
crI
b d
3 2 40,14839 0,37 0,635 1,4058 10crI m
6 393,5 10 16,6 1,552 10cs e
2
S
b d
2
'1 ' 0,0214 1 0,62 0,0068 0,101 0,62 0,01166
S x d x
b d d d d
2 3 30,01166 0,37 0,635 1,74 10S m
31
2
1,74 100,09255
1,88 10gross
Sm
I
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 73
Razpokan prerez:
2
'1 ' 0,0214 1 0,5078 0,0068 0,101 0,5078 0,0133
S x d x
b d d d d
2 3 30,0133 0,37 0,635 1,984 10S m
31
2
1,984 100,14113
1,4058 10cr
Sm
I
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 74
Ukrivljenost zaradi krčenja:
Ukrivljenost zaradi krčenja je tako pri nerazpokanem kot pri razpokanem delu prereza
konstantna vzdolž nosilca in jo ločimo posebej za:
Nerazpokan prerez:
Razpokan prerez:
Integracija:
Konzolo razdelimo na 4 enake dele, ki so dolgi po 1 m. Na koncu konzole je x=0.
Maksimalni moment konzole:
Točka 1 ( ): ni ukrivljenosti!
Točka 2 ( ):
Nerazpokan prerez:
Ukrivljenost zaradi upogiba:
3 4 1
,
11,552 10 0,09255 1,44 10cs e
uncrcs uncr
Sm
r I
3 4 1
,
11,552 10 0,14113 2,19 10cs e
crcs cr
Sm
r I
2270
352
Ed
xM x
0x
1x
35 , 0Ed crM kNm M
2
0,7 0,39435000 0,570
1,88 10ct Ed
gross
h xf M MPa
I
4 1
3
2, ,
1 1 0,570 11,545 10
12,06 10 0,7 0,394
ct
M uncr c eff
fm
r E h x
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 75
Skupna ukrivljenost nerazpokanega prereza v točki 2:
Točka 3 ( ):
Nerazpokan prerez:
Ukrivljenost zaradi upogiba:
Skupna ukrivljenost nerazpokanega prereza v točki 3:
Točka 4 ( ):
(dolgotrajna obtežba)
4 4 1
2 , 2,
1 1 11,44 1,545 10 2,985 10
cs uncr M uncr
mr r r
2x
140 , 0Ed crM kNm M
2
0,7 0,394140000 2,279
1,88 10ct Ed
gross
h xf M MPa
I
4 1
3
3, ,
1 1 2,279 16,175 10
12,06 10 0,7 0,394
ct
M uncr c eff
fm
r E h x
4 4 1
3 , 3,
1 1 11,44 6,175 10 7,615 10
cs uncr M uncr
mr r r
3x
315 , 0Ed crM kNm M
3151,999
157,611
s Ed
sr cr
M
M
0,5
2 2157,611
1 1 0,5 0,875315
sr
s
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 76
Nerazpokan prerez:
Ukrivljenost zaradi upogiba:
Skupna ukrivljenost nerazpokanega prereza v točki 4:
Razpokan prerez:
Ukrivljenost zaradi upogiba:
Skupna ukrivljenost razpokanega prereza v točki 4:
Totalna skupna ukrivljenost v točki 4:
2
0,7 0,394315000 5,127
1,88 10ct Ed
gross
h xf M MPa
I
4 1
3
4, ,
1 1 5,127 113,893 10
12,06 10 0,7 0,394
ct
M uncr c eff
fm
r E h x
4 4 1
І,4 , 4,
1 1 11,44 13,893 10 15,333 10
cs uncr M uncr
mr r r
2
0,323315000 7,238
1,4058 10cs Ed
cr
xf M MPa
I
4 1
3
4, ,
1 1 7,238 118,581 10
12,06 10 0,323
cs
M cr c eff
fm
r E x
4 4 1
ІІ,4 , 4,
1 1 12,19 18,581 10 20,771 10
cs cr M cr
mr r r
1
totr
4 4
,4 ІІ 4 І 4
1 1 11 0,875 20,771 10 1 0,875 15,333 10
totr r r
4 1
,4
120,09 10
tot
mr
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 77
Točka 5 ( ):
(dolgotrajna obtežba)
Nerazpokan prerez:
Ukrivljenost zaradi upogiba:
Skupna ukrivljenost nerazpokanega prereza v točki 5:
Razpokan prerez:
Ukrivljenost zaradi upogiba:
4x
560 , 0Ed crM kNm M
5603,553
157,611
s Ed
sr cr
M
M
0,5
2 2157,611
1 1 0,5 0,96560
sr
s
2
0,7 0,394560000 9,115
1,88 10ct Ed
gross
h xf M MPa
I
4 1
3
5, ,
1 1 9,115 124,67 10
12,06 10 0,7 0,394
ct
M uncr c eff
fm
r E h x
4 4 1
І,5 , 5,
1 1 11,44 24,67 10 26,11 10
cs uncr M uncr
mr r r
2
0,323560000 12,867
1,4058 10cs Ed
cr
xf M MPa
I
4 1
3
5, ,
1 1 12,867 133,031 10
12,06 10 0,323
cs
M cr c eff
fm
r E x
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 78
Skupna ukrivljenost razpokanega prereza v točki 5:
Totalna skupna ukrivljenost v točki 5:
Izračun pomikov po diferenčni metodi:
Slika 4.9: Povesi armiranobetonske konzole [5]
Tabela 4.2: Parametri povesov
Točka
1 0
2 0,299
3 0,762
4 2,009
5 3,486
4 4 1
ІІ,5 , 5,
1 1 12,19 33,031 10 35,221 10
cs cr M cr
mr r r
1
totr
4 4
,5 ІІ 5 І 5
1 1 11 0,96 35,221 10 1 0,96 26,11 10
totr r r
4 1
,5
134,857 10
tot
mr
1 2 1
tot
W A xr
2 1
tot
x mmr
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 79
Kjer z substitucijo v numerične vrednosti dobimo:
Oziroma povese:
Omejitev povesov:
Sklep:
Tako je največji poves na prostem koncu konzole enak in manjši od
omejitve. Takšna armiranobetonska konzola je torej glede tega ustrezna.
1
2
3
4
0 0 0 2 3,486
0 0 1 2 2,009
0 1 2 1 0,762
1 2 1 0 0,299
w
w
w
w
1
1
2
3
4
14,8
10,0
5,5
1,7
w
wmm
w
w
250
lw
400016,0
250w mm
1 14,8w mm
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 80
4.4.4 Aproksimativna metoda
Velja:
Pri aproksimativni metodi je potrebno iz tabele faktor posebej ločeno izačunati za
obremenitve in krčenje.
Zaradi obremenitve (upogib) v nerazpokanem in razpokanem elementu sta v podpori
(točka 5) ukrivljenosti izračunani kot:
Rezultantna ukrivljenost zaradi obremenitve:
Poves zaradi obremenitve:
Tabela 4.3: Faktor k za konzolo [12]
ІІ І1
3k
4 1
5,
124,67 10
M uncr
mr
4 1
5,
133,031 10
M cr
mr
0,96
4 4 4 110,96 33,031 10 1 0,96 24,67 10 32,697 10
res
mr
3 0,25k
2 40,25 4 32,697 10 13,1w mm
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 81
Zaradi krčenja v nerazpokanem in razpokanem elementu pa sta v podpori (točka 5)
ukrivljenosti izračunani kot:
Spet velja splošna enačba in je rezultantna ukrivljenosti zaradi krčenja:
Poves zaradi krčenja:
(izračunan iz Tabela 4.3 za konzolo za krčenje)
Končni dejanski poves na koncu konzole:
Tabela 4.4: Primerjava izračuna končnega povesa konzole
Metoda Končni poves konzole
Direktna kalkulacijska-diferenčna metoda 14,8
Aproksimativna metoda 14,8
Sklep:
Kot vidimo je končni poves konzole pri direktni kalkulacijski in aproksimativni metodi
identično enak. Takšen poves ustreza po MSU, ker je manjši od omejitve.
4 1
,
11,44 10
cs uncr
mr
4 1
,
12,19 10
cs cr
mr
0,96
4 4 4 1
,
10,96 2,19 10 1 0,96 1,44 10 2,16 10
cs res
mr
3 0,5k
2 40,5 4 2,16 10 1,7w mm
13,1 1,7 14,8totw mm
totw mm
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 82
5 ZAKLJUČEK
Projektna naloga je podrobno po SIST EN 1992-1-1 obravnavala metodo mejnega stanja
uporabnosti – MSU. Predstavljena sta bila oba glavna materiala beton in jeklo predvsem
zaradi različnih mehansko-reoloških lastnosti, kot so trdnost, modul elastičnosti, trenutne
deformacije ter deformacije zaradi lezenja in krčenja betona, ki so bistveni za MSU.
Konkretno smo po MSU preverjali napetosti, razpoke in povese. Po merodajni kombinaciji
vplivov smo naredili kontrolo napetosti AB nosilca 1 in pri tem ugotovili, da so bile
napetosti betona in jekla omejene po predpisih. Zaradi tega tudi ni prišlo do prevelikih
razpok ali povesov. V primerih smo ugotovili še, da je pri kontroli razpok možna redukcija
premera armaturnih palic, pri kontroli povesov pa da, račun povesov ni vedno potreben, če
AB konstrukcija ustreza oceni povesa z razmerjem.
Pri zadnjem primeru konzole je bil izračun povesa potreben. Poleg obremenitev je na
skupen poves AB konstrukcije bistveno vplivalo še nerazpokano oz. razpokano stanje
prereza in vpliv krčenja, lezenja betona. Potreben izračun povesa smo prikazali z
diferenčno in aproksimativno metodo in dokazali ter podali identični rezultat.
S te projektne naloge lahko povzamemo, da je po MSU pri neki obremenitvi
armiranobetonskega prereza za izračun napetosti, razpok, povesov ključno poznavanje in
razumevanje standardov, predpisov ter obnašanje materialov betona in jekla.
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 83
6 VIRI IN LITERATURA
[1] SIST EN 1990 - Evrokod 0 - Osnove projektiranja, 2004
[2] SIST EN 1992 - 1-1 (sl) - Evrokod 2: Projektiranje betonskih konstrukcij – 1 1.
del: Splošna pravila in pravila za stavbe, 2005
[3] M.Kuhta, Armirani beton 1, delovna verzija skripte, 2013
[4] D.Beg, A.Pogačnik, Priročnik za projektiranje gradbenih konstrukcij po evrokod
standardih, Inženirska zbornica Slovenije, 2009
[5] L.H.Martin, J.A.Purkiss, Concrete design to EN 1992, London, 2006
[6] W.M.C.Mckenzie, Design of Structural Elements to Eurocodes, London, 2013
[7] Eurocode 2: Design of concrete structures 2008. Dostopno na:
< http://bit.ly/15BdeCO-> [2.9.2013]
[8] Članek: How to repair cracks in concrete walls. Dostopno na:
< http://bit.ly/oeuYvC > [3.9.2013]
[9] Vpliv lezenja, krčenja in modula elastičnosti betona na povese za pomembnejše
betonske konstrukcijske elemente z armaturo ali vgrajenimi kabli. Dostopno na:
< http://bit.ly/1ehK3ML> [3.9.2013]
[10] 9. slovenski kolokvij o betonih: Razpoke v betonu. Dostopno na:
< http://bit.ly/17Rnj5i > [3.9.2013]
[11] P.Uno, Cracks in Freshly Placed Concrete. Dostopno na:
< http://bit.ly/18vZwUO > [3.9.2013]
[12] J.Radnić, A.Harapin, Osnove betonskih konstrukcija, Split, 2007. Dostopno na:
< http://bit.ly/17Dk0w > [3.9.2013]
[13] Goris. A, Stahlbetonbau-Praxis nach Eurocode 2, 2011.
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 84
7 PRILOGE
7.1 Seznam slik
Slika 2.1: Delovni diagram betona za nelinearno analizo konstrukcij [4] ............................ 4
Slika 2.2: Delovni diagram betona za mejne nosilnosti prerezov [4] ................................... 4
Slika 2.3: Bilinearni delovni diagram betona [4] .................................................................. 5
Slika 2.4: Konstantna napetost na zmanjšani višini tlačne cone betona [4] ......... 5
Slika 2.5: Trenutne deformacije in deformacije zaradi lezenja [3] ....................................... 9
Slika 2.6: Količnik linearnega lezenja betona 0, t [2] ................................................ 10
Slika 2.9: Delovni diagram za jeklo [4] .............................................................................. 17
Slika 3.1: Razpoke zaradi plastičnega krčenja betona [11] ................................................. 25
Slika 3.2: Efektivna natezna površina pri armiranobetonskih nosilcih [7] ......................... 32
Slika 3.3: Efektivna natezna površina pri armiranobetonskih ploščah [7] .......................... 32
Slika 3.4: Prekomerne razpoke betonskega zidu [8] ........................................................... 33
Slika 3.5: Armiranobetonska plošča in razpon [9] .............................................................. 36
Slika 4.1: Diagram upogibnih momentov pri navideznostalni kombinaciji vplivov [12] ... 45
Slika 4.2: Prerez armiranobetonskega nosilca cm [12] ................................ 45
Slika 4.3: Prerez v polju [12] .............................................................................................. 51
Slika 4.4: Višina tlačne cone pri razpokanem prerezu [12] ................................................ 52
Slika 4.7: Razpon in največji upogibni moment nosilca ..................................................... 56
Slika 4.8: Razpon armiranobetonske plošče ....................................................................... 59
Slika 4.5: Obremenitve na armiranobetonsko konzolo ....................................................... 62
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 85
Slika 4.6: Največji upogibni moment v podpori ................................................................. 63
Slika 4.10: Povesi armiranobetonske konzole [5] ............................................................... 78
7.2 Seznam preglednic
Tabela 2.1: Koeficient [4] ................................................................................................. 7
Tabela 2.2: Trdnostne in deformacijske lastnosti betona [4]................................................. 8
Tabela 2.3: Potenca [2] ................................................................................................... 12
Tabela 2.4: Koeficient nazivne velikosti prereza [4] ........................................................... 14
Tabela 2.5: Nazivne vrednosti neoviranega krčenja betona iz cementa razreda N zaradi
sušenja v [4] .............................................................................................. 15
Tabela 2.6: Koeficienta , ............................................................................... 16
Tabela 2.7: Podatki za armaturo z utrditvijo glede na razred duktilnosti [4] ...................... 18
Tabela 3.1: Priporočene vrednosti redukcijskih faktorjev za stavbe [1] ......................... 21
Tabela 3.2: Omejitve največjih povesov na podlagi razreda izpostavljenosti [2] ............... 26
Tabela 3.3: Parameter [2] ................................................................................................ 27
Tabela 3.4: Omejitev največjega premera armaturne palice [2] .......................................... 29
Tabela 3.5: Omejitev največje medosne oddaljenosti palic [2] ........................................... 29
Tabela 3.6: Faktor K [6] ...................................................................................................... 35
Tabela 3.7: Koeficient vpliva trajanja obtežbe na povprečno deformacijo jekla [5] .......... 38
Tabela 3.8: Koeficient za izračun povesa [5] ......................................................... 44
Tabela 4.1: Faktor k za nosilec razpet čez dve polji [5] ..................................................... 50
Tabela 4.2: Parametri povesov ............................................................................................ 78
Tabela 4.3: Faktor k za konzolo [5] ................................................................................... 80
Tabela 4.4: Primerjava izračuna končnega povesa konzole ................................................ 81
Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 86
7.3 Naslov študenta
Tomi Kresnik
Gorica pri Šmartnem 47
3000 Celje
Slovenija
Tel.: (03) 5471 125
e-mail: [email protected]
7.4 Kratek življenjepis
Rojen: 17.10.1991, Celje
Šolanje: 1998. – 2006. osnovna šola Petrovče
2006 – 2010 ŠCC – Splošna in strokovna gimnazija Lava
2010 – 2013 Fakulteta za gradbeništvo – Gradbeništvo UN