tuotantoerien suunnittelu ja skedulointi 2/2

S ysteemianalyysinLaboratorioTeknillinen korkeakoulu Esitelmä 9 – Olli Kaplas

Optimointiopin seminaari - Syksy 2009

Tuotantoerien suunnittelu ja skedulointi 2/2

Luku 7



ELSP malli: Erityyppiset hyödykkeet ja mielivaltainen

jaksotus• Yleisempi malli, jossa voi olla useampia

ajoja samalle hyödykkeelle yhden sekvenssin aikana. Varastointikustannusten lisäksi sekä asennuskustannuksia, että asennusaikoja.

• Käypä ratkaisu joss,

• missä ρ on kapasiteetin käyttöaste

𝜌= 𝜌𝑗𝑛

𝑗=0 < 1 𝜌𝑗 = 𝐷𝑗𝑄𝑗



Suureiden määritelmät 1/2

• j hyödykkeen indeksi, yhteensä n kpl

• sjk=sk sekvenssi-itsenäiset asennusajat

• joukko S sisältää kaikki mielivaltaiset sekvenssit– Sekvenssit voivat sisältää toisteisuutta

• jl on hyödykkeen indeksi sekvenssin j1 ,... jν positiossa l.

• kaikkia hydykkeitä vähintään kerran ν≥n



Suureiden määritelmät 1/2

• Hyödykken tuottaminen positiossa l:– cl asennuskustannus, sl asennusaika, τl

tuotantoaika, sekä ul hukka-aika (voi olla 0)

– x syklin kokonaisaika



Varastokustannus hyödykkeelle sekvenssin positiossa l

• Positiossa l tuotettavan hyödykken k seuraavaan tuottamisajankohtaan kuluva aika υ position l alusta:

• Korkein varastotaso on tällöin:

• Varastokustannus on näin ollen positiossa l:



ELSP ongelman tavoitefunktio:

• Päätösmuuttujat siis sekvenssi joka kuuluu joukkoon S, sekä x kokonaisaika, τl tuotantoaika, sekä ul hukka-aika



ELSP rajoitteet

• Rajoite1: kaikille k=1,...,n:

• Rajoitusehto takaa, että hyödykkeen k tuottamiseen on varattu tarpeeksi aikaa, jotta sen kysyntään pystytään vastaamaan syklin aikana.

• Joukko Ik sisältää kaikki ne positiot, jossa tuotetaan tuotetta k



ELSP rajoitteet

• Rajoite 2: kaikille l=1,..., ν

• Rajoitusehto takaa, että hyödykettä positiossa tuotetaan vastaamaan kysyntään siihen asti kun sitä seuraavan kerran tuotetaan

• Ll niiden positioiden joukko sekvenssissä, jotka ovat position l (missä tuotetaan hyödykettä k) ja seuraavan position, missä tuotetaan hyödykettä k välissä. (Oletaan että sekvenssi toistaa itseään).

• {1, 2, k, 2, 4, 5, k}{1, 2, k, 2, 4, 5, k}

Ll=7Ll=3



Esimerkki rajoitteesta 2

• Esim. l=k=3

• {1, 2, k, 2, 4, 5, k}{1, 2, k, 2, 4, 5, k}

𝜏𝑘 + 𝑠𝑘 + 𝑢𝑘 + 𝜏2 + 𝑠2 + 𝑢2 + 𝜏4 + 𝑠4 + 𝑢4 + 𝜏5 + 𝑠5 + 𝑢5 = ൬𝑄𝑙𝐷𝑙൰𝜏𝑙 = ൬

𝑄𝑘𝐷𝑘൰𝜏𝑙 = υ

Ll=3



ELSP rajoitteet

• Rajoite 3:

• Rajoitusehto lukitsee tuottamis-, asennus- ja hukka-aikojen summan sekvenssissä j1 ,... jν yhteen kokonaisajan x kanssa



ELSP aliongelma

• Ongelma muodostuu pääongelmasta ja aliongelmasta

• Aliongelmassa minimoidaan annetulle sekvenssille keskimäär. kust. aikayksikköä kohden

• Jos sekvenssi on annettu on ensimmäinen rajoite redundantti, koska 3. rajoitusehdon sijoittaminen 1. raj. ehtoon antaa

• Mikä on sama kuin 2. ehto.



ELSP aliongelma

• Kohdefunktio on muotoa:

• Ja rajoite-ehdot:

• On ratkaistavissa normaaleilla epälineaarisille optimointialgoritmeilla



ELSP pääongelma

• Parhaan sekvenssin j1 ,... jν löytäminen on huomattavasti hankalampi ongelma

• Heuristiikka Frequency Fixing and Sequencing antaa kuitenkin käytännössä hyviä sekvenssejä



Frequency Fixing and Sequencing – heuristiikka (FFS)

• Kolme vaihetta:1. Suhteelliseten frekvenssejen laskeminen

2. Suhteellisten frekvenssien oikaiseminen (sovittaminen kokonaisluvuksi)

3. Sekvensointi vaihe

• Hyödykkettä k tuotetaan yhdessä syklissä yk (suhteelinen frekvenssi) kertaa. Sovitetuttuja frekvenssejä merkitään y’k



Johdanto FFS

• Oletataan, että hyödykkeen k ajot ovat saman pituisia ja tasaisesti jakautuneita sykliin.

• Tällöin yk:t ja syklin aika x määräävät ajoajan τk hyödykkeelle k:



Johdanto FFS

• Jos luovutaan ELSP:n toisesta rajoiteryhmästä saadaan kohdefunktio:

𝑎𝑘 = 12ℎ𝑘ሺ𝑄𝑘 − 𝐷𝑘ሻ𝜌𝑘 = 12ℎ𝑘൬𝑄𝑘𝐷𝑘 − 1൰𝐷𝑘𝜌𝑘 = 12ℎ𝑘൬1𝜌𝑘 − 1൰𝐷𝑘𝜌𝑘 = 12ℎ𝑘ሺ1− 𝜌𝑘ሻ𝐷𝑘



Minimoitava ongelma FFS

• Kohdefunktio on siis

• Rajoite-ehto:

• Tämä voidaan ratkaista Lagrangen menetelmällä:

• Välttämätön ehto minimille:𝑑𝐿𝑑𝑥= 0 𝑑𝐿𝑑𝑦𝑘 = 0 𝑑𝐿𝑑𝜆= 0



• Osittaisderivaattojen nollakohdista seuraa:

, saadaan yk:t

• Lisäksi, mikäli hyödykkeillä on asetusajat:

koska

• Tuloksena saadut suhteelliset frekvenssit yk ,eivät tn. ole kokonaislukuja joten ne täytyy sovittaa kokonaisluvuiksi

FFS: 1. Vaihe



FFS: 2. Vaihe

• Sovitetaan frekvenssit yk

• Kirjallisuudessa on osoitettu (?), että voidaan löytää uudet frekvenssit yk’ , jotka ovat kokonaislukuja ja 2:n potensseja.– Ratkaisu on tällöin 6% sisällä alkuperäisestä ratkaisusta

• Uudet ajoajat τk’ saadaan, kun oletataan, että kok. hukka-aika pysyy samana ja että k:n ajot ovat isamanpituusia ja tasaisesti levitettyjä sekvenssiin



FFS: 3.vaihe

• Ajatellaan olevan konetta

• Käytetään seuraavaa LPT-heuristiikka:– Asetetaan parit (yk’,τk’), järjestykseen ensisijaisesti

yk’:n suhteen laskevasti ja toissijaisesti τk’:n suhteen laskevasti

• Lähdetään ensimmäisestä parista ja asetetaan sen τk’ kestävää yk’ kpl ajoa tasaisesti kaikille koneille.



FFS: 3.vaihe

• Esim.

• ymax’ = 4 , eli neljä konetta

• (y2’=4,τ2’=2), (y3’=4,τ3’=1), (y4’=2,τ4’=3), (y5’=2,τ5’=1), (y1’=1,τ1’=4),(y6’=1,τ4’=1)

• => |2,3,4,1|2,3,5|2,3,4,6|2,3,5|



Esimerkki: 7.4.2 FFS heurisiikka asennusajoilla

• aj:t ja ρj:t lasketaan seuraavasti:

𝜌𝑗 = 𝐷𝑗𝑄𝑗 𝜌1 = 𝐷1𝑄1 = 50400 = 0,125

𝑎𝑘 = 12ℎ𝑘ሺ𝑄𝑘 − 𝐷𝑘ሻ𝐷𝑘𝑄𝑘 = 12ℎ𝑘ቆ𝐷𝑘 − 𝐷𝑘2𝑄𝑘ቇ

𝑎1 = 12ℎ1ቆ𝐷1 − 𝐷12𝑄1ቇ= 1220ቆ50− 502400ቇ= 10∗ሺ43,75ሻ= 437,5



FFS esimerkki: 1. Vaihe• Lagrangen funktio:

• Koska minimissä

=> λ≈8000

Nyt voidaan laskea suhteelliset frekvenssit yk

𝑑𝐿𝑑𝑥= 0 𝑑𝐿𝑑𝑦𝑘 = 0 𝑑𝐿𝑑𝜆= 0

𝑦1 = 0,27𝑥 𝑦2 = 0,33𝑥 𝑦3 = 0,70𝑥 𝑦4 = 1,05𝑥



FFS esimerkki: 2. Vaihe

• Asetataan syklin aika x, 3 kuukaudeksi. Tällöin 1 ja 2 tuotteita tehdään 1 erä kumpaakin

• Nyt aproksimaaliset arvot sovitetuille frekvensseille y’k voivat olla (1,1,2,2) tai (1,1,2,4)– Pitää testata näiden vaitoehtojen käypyyttä




• Aikaa vaihdoille:

• Vaihtoehdossa (1,1,2,2) vaihtoajat ovat:1s1+1s2+2s3+2s4=1,3 (kuukautta) < 1,44

(=0,48*3)

• Vaihtoehdossa (1,1,2,4) vaihtoajat ovat:1s1+1s2+2s3+4s4=1,7 (kuukautta) > 1,44 ei käypä

ሺ1− 𝜌ሻ𝑥= ቌ1− 𝜌𝑗𝑛

𝑗=0 ቍ𝑥= 0,48𝑥




• Yllä ovat prosessointiajat tuotteille j.

• Parit ovat järjestyksessä (y4,τ4), (y3,τ3), (y1,τ1), (y2,τ2) , 1 ja 2 voivat vaihtaa paikkaa

• Vaihtoehton (1,1,2,2) sekvenssi on:– Esim. |4,3,1|4,3,2 | tai |3,4,1|3,4,2 |

• Kokonaiskeskimäär. kustannus per aikayksikkö: 1312,5 + 1312,5 + 1188 + 2677,5=6490,5

𝜏′1 = 0,125∗31 = 0,375 𝜏′2 = 0,375 𝜏′3 = 0,12∗32 = 0,18 𝜏′4 = 0,225



Kotitehtävä

• Ratkaise FFS algoritmilla sekvenssi joka minimoi varastointi- ja asennuskustannukset aikayksikköä kohti. Kysyntä-, kapasiteetti- ja kustannus tiedot on esitetty alla

items 1 2 3 4

D_j 70 50 30 70

Q_j 600 400 300 500

h_j 70 30 30 60

c_j 1000 500 2500 200

s_j 0,5 0,1 0,3 0,4

tuotantoerien suunnittelu ja skedulointi 2/2

Documents