tugas mekanika kelompok ramli

Download tugas mekanika kelompok ramli

Post on 23-Oct-2015

72 views

Category:

Documents

6 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

anu ujang makalah

TRANSCRIPT

Penentuan Lain Dua Axes Principal Ketika Satu Apakah DikenalDalam banyak kasus tubuh memiliki simetri yang cukup sehingga setidaknya satu sumbu utama dapat ditemukan dengan pemeriksaan, yaitu, poros dapat dipilih sehingga membuat dua dari tiga produk inersia lenyap. Jika demikian halnya, maka dua sumbu utama lainnya dapat ditentukan sebagai berikut. Gambar 9.2.3 adalah pandangan depan bilah kipas pada Gambar 9.2.2. A-axis adalah sumbu simetri dan bertepatan dengan sumbu utama ketiga dari bilah kipas. Dengan demikian, untuk kasus-kasus seperti itu, kita mempunyai :(9.2.7)

Dua sumbu utama lainnya masing-masing tegak lurus terhadap sumbu-z. Mereka harus terletak pada bidang xy. Misalkan tubuh berputar sekitar satu dari dua ini, belum diketahui, sumbu utama. Jika demikian, objek berputar secara dinamis skor seperti yang digambarkan oleh bilah kipas pada Gambar 9.2.3. momentum sudut vektor L terletak pada arah yang sama dengan sudut vektor kecepatan , sehingga(9.2.8)

di mana I1 salah satu dari dua momen inersia utama yang bersangkutan. Selain itu, dalam notasi matriks, momentum sudut L, dalam kerangka acuan xyz, diberikan oleh(9.2.9)

(Ingat, produk inersia tentang sumbu-z adalah nol.) Dengan demikian, menyamakan komponen dari momentum sudut yang diberikan oleh dua ekspresi ini memberikan(9.2.10a)(9.2.10b)

Biarkan menunjukkan sudut antara sumbu x dan sumbu utama I1 tentang mana tubuh berputar (lihat Gambar 9.2.3). Kemudian y/z= tan 0, jadi, dengan membagi x kita dapatkan(9.2.11a)(9.2.11b)

Eliminasi dari I1 antara dua persamaan hasil(9.2.12)

dimana dapat ditemukan. Dalam perhitungan ini akan sangat membantu untuk menggunakan trigonometri yang identitas tan 2 = 2 tan (1 - tan 2 ). Hal ini memberikan(9.2.13)

Dalam interval 0 sampai 1800 ada dua nilai dari , berbeda dengan 900, yang memenuhi Persamaan 9.2.13, dan ini memberikan arah dua sumbu utama dalam bidang xy.Dalam kasus Ixx = Iyy, tan 2 = sehingga dua nilai adalah 45 dan 135 . (Ini adalah kasus untuk lamina persegi Contoh 9.1.1 ketika asal adalah di sudut.) Juga, jika Ixy= 0 persamaan puas dengan dua nilai = 00 dan = 90 , yaitu, sumbu x dan sumbu y merupakan sumbu utama.Contoh 9.2.4Menyeimbangkan roda BengkokMisalkan sebuah roda mobil, melalui beberapa cacat atau kecelakaan, memiliki sumbu rotasi (poros) sedikit menekuk relatif terhadap sumbu simetri roda. Situasi dapat diatasi dengan menggunakan bobot penyeimbang sesuai terletak di tepi sehingga membuat poros sumbu utama untuk total sistem: roda ditambah beban. Untuk kesederhanaan kita akan memperlakukan roda sebagai disc melingkar seragam tipis radius a dan massa m. Gambar 9.2.4. Kami memilih Oxyz sumbu sedemikian rupa sehingga disk terletak pada bidang yz, dengan sumbu x sebagai sumbu simetri disk. Sumbu rotasi (poros) diambil sebagai sumbu-1 cenderung oleh sudut relatif terhadap sumbu x dan berbaring di bidang xy, seperti yang ditunjukkan. Dua bobot balancing, masing-masing massa m, yang melekat pada roda melalui dukungan cahaya dengan panjang b. Bobot kedua terletak pada bidang xy, seperti yang ditunjukkan. Roda adalah dinamis seimbang jika 123 sumbu koordinat adalah sumbu utama untuk total sistem.Sekarang, dari simetri relatif terhadap bidang xy, kita melihat bahwa sumbu z adalah sumbu utama untuk roda ditambah bobot: z adalah nol untuk bobot, dan bidang xy membagi roda menjadi dua bagian yang sama memiliki tanda-tanda yang berlawanan untuk produk zx dan zy. Akibatnya, kita dapat menggunakan Persamaan 9.2.13 untuk menemukan hubungan antara dan parameter lainnya.Dari bab sebelumnya kita tahu bahwa untuk roda saja momen inersia tentang sumbu-x dab sumbu-y adalah , dan , masing-masing. Dengan demikian, untuk bobot roda ditambah

Sekarang produk xy inersia untuk roda sendiri adalah nol, sehingga kita perlu mempertimbangkan hanya bobot untuk menemukan Ixy untuk sistem, yaitu,

Perhatikan bahwa ini adalah jumlah yang positif bagi pilihan kita untuk sumbu koordinat. Persamaan 9.2.13 kemudian memberikan kecenderungan dari sumbu-1:

Jika, seperti yang khas, adalah sangat kecil, dan m 'kecil dibandingkan dengan m, maka kita dapat mengekspresikan hubungan sebelumnya dalam bentuk perkiraan dengan mengabaikan istilah kedua di penyebut dan menggunakan fakta bahwa tan u u untuk u kecil. Hasilnya adalah

Sebagai contoh numerik, biarkan = 10 = 0,017 rad, a = 18 cm, b = 5 cm, m = 10kg. Pemecahan untuk m ', kita menemukan

untuk bobot keseimbangan yang diperlukan.

Menentukan Sumbu Utama dengan Mendiagonalkan Momen Inersia MatrixMisalkan tubuh kaku tidak memiliki sumbu simetri. Meski begitu, tensor yang mewakili momen inersia tubuh seperti itu, ditandai dengan nyata, simetris 3 x 3 matriks yang dapat didiagonalisasi (lihat Persamaan 9.1.11). Elemen diagonal yang dihasilkan adalah nilai-nilai momen inersia utama dari tubuh kaku. Sumbu sistem koordinat, di mana matriks ini adalah diagonal, adalah sumbu utama dari tubuh, karena semua produk inersia telah lenyap. Dengan demikian, menemukan sumbu utama dan momen inersia dari badan kaku, simetris atau tidak sesuai, sama saja dengan diagonalisasi momen inersia matriks.Ada sejumlah cara untuk diagonalisasi nyata, matrix simetris2. Kami hadir di sini dengan cara yang cukup standar. Pertama, mari kita misalkan bahwa kita telah menemukan sistem koordinat di mana semua produk inersia lenyap dan momen yang dihasilkan inersia tensor sekarang diwakili oleh matriks diagonal dengan koefisien diagonal adalah saat-saat utama inersia. Biarkan ei menjadi vektor satuan yang mewakili sistem koordinat ini, yaitu, mereka menunjuk sepanjang arah sepanjang tiga sumbu utama dari tubuh kaku. Jika momen inersia tensor adalah "dihiasi" dengan salah satu vektor satuan ini, hasilnya adalah setara dengan perkalian sederhana dari vektor satuan dengan kuantitas skalarI . ei = iei(9.2.14)

Kuantitas skalar 1 hanya momen inersia utama tentang sumbu utama masing-masing. Masalah menemukan sumbu utama adalah salah satu menemukan vektor ei yang memenuhi kondisi(I I) . ei = 0(9.2.15)

Secara umum kondisi ini tidak puas untuk setiap set sewenang-wenang ortonormal vektor-vektor satuan ei. Hal ini memenuhi hanya dengan satu set vektor-vektor satuan sejajar dengan sumbu utama dari tubuh kaku. Setiap xyz yang berubah-ubah sistem koordinat selalu dapat diputar sedemikian rupa sehingga sumbu koordinat berbaris dengan sumbu utama. Vektor satuan menetapkan ini sumbu koordinat kemudian memenuhi kondisi dalam Persamaan 9.2.15. Kondisi ini setara dengan lenyapnya determinant berikut

| I I | = 0(9.2.16)

Secara eksplisit, persamaan ini berbunyi

(9.2.17)

Ini adalah kubik di , yaitu,-3 + A2 + B + C = 0(9.2.18)

di mana A, B, dan C adalah fungsi dari i. Tiga akar, 1, 2 dan 3 adalah tiga momen inersia utama.Kami sekarang memiliki momen inersia utama, tapi tugas menentukan komponen vektor satuan mewakili sumbu utama dalam hal sistem kami awal koordinat masih harus diselesaikan. Di sini kita bisa memanfaatkan fakta bahwa ketika tubuh kaku berputar sekitar satu sumbu utamanya, vektor momentum sudut berada di arah yang sama dengan vektor kecepatan sudut. Biarkan sudut salah satu kepala sekolah sumbu relatif terhadap xyz awal sistem koordinat akan 1, 1 dan 1 dan biarkan tubuh memutar tentang sumbu ini. Oleh karena itu, vektor satuan menunjuk ke arah sumbu utama ini memiliki komponen (cos 1, cos 1, cos 1). Momentum sudut diberikan olehL = I . = 1(9.2.19)

di mana 1, saat pokok pertama dari tiga (1, 2, dan 3), diperoleh dengan menyelesaikan persamaan 9.2.18. Dalam matriks bentuk Persamaan 9.2.19 dibaca

(9.2.20)

Kita telah ektstrak faktor umum dari masing-masing komponennya, sehingga, secara langsung mengekspos sumbu utama vektor satuan yang diinginkan. Persamaan yang dihasilkan setara dengan kondisi yang diungkapkan oleh Persamaan 9.2.14, yaitu, bahwa produk titik momen inersia tensor dengan sumbu vektor satuan utama sama saja dengan mengalikan vektor yang oleh kuantitas skalar 1, yaitu,I . e1 = 1e1(9.2.21)

Persamaan vektor ini dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut(9.2.22)

Cosinus arah dapat ditemukan dengan memecahkan persamaan di atas. Solusi tidak independen. Mereka tunduk pada kendala(9.2.23)

Dengan kata lain resultan vektor e1 ditentukan oleh komponen ini adalah vektor satuan. Dua vektor lainnya dapat ditemukan dengan mengulangi proses sebelumnya untuk lainnya dua momen utama 2 dan 3.Contoh 9.2.5Cari momen inersia utama dari piring persegi sekitar sudut.Solusi:Kami memilih sistem xyz sama seperti awalnya dipilih dalam Contoh 9.1.1. Kami memiliki semua momen inersia relatif terhadap mereka sumbu. Mereka adalah sama seperti pada Contoh 9.1.1. Lenyapnya determinan dinyatakan oleh Persamaan 9.2.17 dibaca

(Catatan: Kitai telah ekstrak faktor ma2 umum, yang akan meninggalkan kita dengan hanya angka koefisien yang diinginkan untuk setiap nilai Kami kemudian harus menempatkan faktor ma2 kembali untuk mendapatkan nilai akhir untuk saat-saat utama.)Mengevaluasi persamaan determinan sebelumnya memberikan

Faktor kedua memberikan

Faktor pertama memberikan

Contoh 9.2.6Menemukan arah dari sumbu utama dari pelat persegi sekitar sudut.

Solusi:Persamaan 9.2.22 memberi

Kami akan menebak bahwa setidaknya salah satu sumbu utama (misalnya, sumbu ketiga) tegak lurus terhadap bidang pelat persegi, yaitu, 3 = 00, dan 3 = 3 = 90 . Kami juga akan menebak dari melihat persamaan sebelumnya bahwa saat pokok tentang sumbu ini akan menjadi 3 = (ma2). Pilihan seperti akan memastikan bahwa persamaan ketiga dalam kelompok sebelumnya secara otomatis akan lenyap seperti yang akan dua yang pertama, karena kedua cos 3 dan cos 3 akan identik dengan nol. Sumbu yang tersisa dapat ditentukan dengan memasukkan dua momen utama lainnya ke dalam quations sebelumnya. Jadi, jika kita set 1 = (ma)2, kita memp