mekanika kelompok 5
TRANSCRIPT
-
7/26/2019 MEKANIKA KELOMPOK 5
1/40
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering melihat benda yang sedang
bergerak. Banyak aspek fisika yang dapat digali dari keadaan gerak benda
tersebut. Bagian gerak benda disebut mekanika. Mekanika terbagi menjadi dua
yaitu kinematika dan dinamika.
Kinematika adalah bagian dari mekanika yang mempelajari tentang gerak
tanpa memperhatikan apa/siapa yang menggerakkan benda tersebut. Partikel
adalah benda dengan ukuran yang sangat kecil. Partikel merupakan suatu
pendekatan/model dari benda yang diamati. Pendekatan benda sebagai partikel
dapat dilakukan bila benda melakukan gerak translasimurni.
Gerak disebut gerak translasi bila selama bergerak sumbu kerangka acuan
yang melekat pada benda (x,y,z) selalu sejajar dengan keranggka acuannya
sendiri (x,y,z). Menganai analisis gerak partikel dalm tiga dimensi memiliki
cakupan yang lebih luas dibandingkan dengan partikel yang bergerak pada satu
atau dua dimensi. Pembelajaran dinamika partikel dalam tiga dimensi akan lebih
membahas terkait dengan sifat-sifat dari gaya konservatif, syaratsyarat dari
sebuah gaya konservatif dan pengaruhnya terhadap hukum-hukum kekekalan daribesaran fisika yang berlaku pada dinamika gerak partikel itu sendiri, termasuk
juga mengetahui gaya sentral, konsep medan gaya kuadratik terbalik, serta Hukum
Kepler pada Gerak Planet yang memang berhubungan dengan gerak partikel
dalam tiga dimensi.
Berdasarkan hal tersebut, maka melalui penulisan makalah yang berjudul
Gerak Partikel dalam Tiga Dimensi, penulis mencoba menguraikan secara jelas
terkait dengan gerak partikel tersebut.
1.2
Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang tersebut dapat dirumuskan beberapa masalah
yaitu sebagai berikut.
1.2.1
Bagaimana konsep gaya konservatif ?
1.2.2
Bagaimana konsep gaya sentral pada benda tunggal ?
-
7/26/2019 MEKANIKA KELOMPOK 5
2/40
2
1.2.3Bagaimana keadaan gerak partikel karena pengaruh gaya sentral ?
1.2.4
Bagaimana lintasan medan gaya sentral dan potensial efektif ?
1.2.5
Bagaimana konsep medan gaya kuadratik terbalik ?
1.2.6
Bagaimana hukum kepler pada gerak planet ?
1.3
Tujuan Penulisan
Berdasarkan rumusan masalah tersebut tujuan yang ingin dicapai dalam
penulisan makalah ini adalah sebagai berikut.
1.3.1
Untuk menjelaskan konsep gaya konservatif.
1.3.2
Untuk menjelaskan konsep gaya sentral pada benda tunggal.
1.3.3Untuk menjelaskan keadaan gerak partikel karena pengaruh gaya
sentral.
1.3.4
Untuk menjelaskan lintasan medan gaya sentral dan potensial efektif.
1.3.5
Untuk menjelaskan konsep medan gaya kuadratik terbalik.
1.3.6Untuk menjelaskan hukum kepler pada gerak planet.
1.4
Manfaat Penulisan
Adapun manfaat yang didapat dalam penulisan makalah ini adalah sebagai
berikut.
1.4.1
Bagi Penulis
Melalui penulisan makalah yang berjudul Gerak Partikel dalam Tiga
Dimensi, penulis mendapatkan manfaat yakni penulis lebih memahami
materi terkait dan mendapatkan pengalaman tambahan seperti pengalaman
dalam mengumpulkan bahan, memahami dan menganilisis materi-materi
serta mendapat pengalaman mengenai teknik penulisan makalah,
penggabungan materi dari berbagai sumber.
1.4.2Bagi Pembaca
Melalui penulisan makalah yang berjudul Gerak Partikel dalam Tiga
Dimensi, penulis mengharapkan mahasiswa yang membaca makalah ini
akan lebih dapat memahami materi terkait sehingga dapat dijadikan dasar
untuk memahami materi mekanika selanjutnya.
-
7/26/2019 MEKANIKA KELOMPOK 5
3/40
3
1.5Metode Penulisan
Di dalam penulisan makalah ini, adapun metode yang digunakan adalah
metode kajian pustaka, yakni dengan mengkaji buku-buku yang relevan dengan
materi serta literatur lain seperti internet.
-
7/26/2019 MEKANIKA KELOMPOK 5
4/40
4
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Konsep Gaya Konservatif
Gaya konservatif bukanlah nama sebuah gaya, melainkan menjelaskan sifat
sebuah gaya. Apabila usaha total yang dilakukan suatu gaya pada sebuah benda,
selama benda berpindah menjauhi posisinya semula hingga benda tersebut
kembali lagi ke posisi semula, sama dengan nol, maka gaya tersebut termasuk ke
dalam gaya konservatif. Suatu gaya disebut konservatif jika usaha yang dilakukan
oleh gaya tersebut pada suatu benda tidak bergantung pada lintasan yang dilalui
benda, tetapi hanya bergantung pada perubahan posisi awal dan posisi akhir
benda. Berikut merupakan contoh gaya yang termasuk ke dalam gaya konservatif:
1.
Gaya gravitasi (tarik) digambarkan dengan gerak planet.
2.
Gaya coulomb/ gaya elektrostatis (tarik dan tolak).
3. Gaya tarik dalam molekul (intermolekuler) atau gaya Van Der Walls yang
dituliskan sebagai berikut:
() = Dalam hal ini
dan
adalah konstan. Persamaan diatas disebut persamaan
Lennard-Jones.
4.
Atom dalam kubik Kristal yang berosilasi harmonik ditentukan dengan gaya
central.
5.
Gaya inti yang ditampilkan oleh Yukawa dituliskan sebagai berikut:
() = Dalam hal ini dan adalah konstan.Misalkan sebuah partikel dengan massa
mendapat gaya luar
() yang
merupakan sebuah fungsi kedudukan, sehingga partikel tersebut berpindah dari
kedudukan ke kedudukan , seperti yang ditunjukkan pada gambar 1.
pers. 1
pers. 2
-
7/26/2019 MEKANIKA KELOMPOK 5
5/40
5
Gambar 1. Kerja yang dilakukan oleh gaya Kerja atau usaha yang dilakukan oleh gaya terhadap partikel selama
bergerak darike dapat didefinisikan dalam persamaan berikut:= .
atau dapat juga dituliskan sebagai berikut:
= . dengan merupakan komponen gaya sepanjang garis singgung lintasan. Karenaitu, apabila gaya sejajar dengan sumbu X dan benda bergerak sepanjang sumbuX tersebut, maka kerja yang dilakukan oleh gaya tersebut dapat dituliskan dalam
persamaan berikut:
= . Grafik dapat digambarkan sebagai fungsi jarak (s), seperti pada gambar 2
berikut:
pers. 3
pers. 4
pers. 5
-
7/26/2019 MEKANIKA KELOMPOK 5
6/40
6
Gambar 2. Kerja yang dilakukan pada partikel yang bergerak dari A ke B samadengan luas daerah di bawah kurva yang diarsir
Kerja = . yang dilakukan gaya sepanjang pergeseran kecil sama dengan luas persegi panjang kecil, dengan alas dan tinggi . Olehkarena itu, kerja total yang dilakukan terhadap partikel selama bergerak dari kesama dengan luas daerah di bawah kurva yang dibatasi oleh komponen gaya ketika partikel di titik dan .
Laju kerja yang dilakukan terhadap suatu benda yaitu kerja setiap satuan
waktu, disebut daya. Secara sistematis daya (P) dapat ditulis sebagai berikut:
= Karena = ., maka
= . = . dengan merupakan kecepatan partikel. Jika massa partikel konstan, integraldalam persamaan (3) tereduksi menjadi:
. = . .
= .
= .
pers. 6
pers. 7
-
7/26/2019 MEKANIKA KELOMPOK 5
7/40
7
= 12 [] = ( )sehingga,
( ) merupakan energi kinetik partikel, yang ditulis dengan sehinggapersamaan (9), dapat juga ditulis sebagai berikut:
= Energi kinetik sebuah partikel dengan massa m yang bergerak dalam ruang
tiga dimensi didefinisikan.
= . = ( + + )Laju perubahan energi kinetik partikel adalah: = . ( .+ .+. ) = = . Laju perubahan tenaga kinetik dalam selang waktu partikel bergerak sejauh dapat dinyatakan: = dengan
= . = + + Persamaan (14) menyatakan kerja yang dilakukan gaya F dalam tiga dimensi,dalam arah perpindahan . Usaha ini sama dengan jarak perpindahan ||dikalikan dengan nilai komponen gayaFdalam arah perpindahan.
Berdasarkan persamaan (10) kerja yang dilakukan oleh gaya terhadap
partikel sama dengan perubahan energi kinetik partikel. Apabila besar dan arah
gaya konstan, maka kerja yang dilakukan gaya tersebut, selama partikelberpindah dariAkeBadalah:
= . = = ( )
pers. 8
pers. 9
pers. 10
pers. 11
pers. 12
pers. 13
pers. 14
-
7/26/2019 MEKANIKA KELOMPOK 5
8/40
8
= . . Persamaan (15) menunjukkan bahwa kerja yang dilakukan tidak bergantung pada
lintasan yang menghubungkan titikA danB.
Pada gambar 1, ditunjukkan bahwa kerja yang dilakukan oleh gaya F tetap
sama apabila partikel melalui lintasan (1) atau lintasan (2) karena ( )tetapsama.
Salah satu contoh penerapan persamaan (13) adalah kerja yang dilakukan
oleh gaya gravitasi bumi seperti yang ditunjukkan pada gambar 3:
Gambar 3. Kerja yang dilakukan oleh gaya konservatif
Dalam hal ini:
= =
( )=( ) + ( ),Sehingga:
=( )[( ) + ( )]= ( )
= Jika kerja yang dilakukan medan gaya dari suatu kedudukan ke kedudukanlain adalah sama untuk sembarang lintasan yang melalui dua kedudukan tersebut,
maka medan gaya tersebut disebut konservatif. Secara sistematis dapat dinyatakan
bahwa suatu medan dikatakan konservatif jika integral kerja ., tidak
pers. 15
pers. 16
-
7/26/2019 MEKANIKA KELOMPOK 5
9/40
9
tergantung pada lintasan integrasi. Didefinisikan suatu fungsi energi potensial
sebagai berikut:
() = () = () dan keterkaitannya dengan gayaF(x)yaitu sebagai berikut:
()= () Jika suatu partikel berada di (,,) di bawah gaya yang bekerja dari ke ,maka kerja yang dilakukan yakni:
= (). Fungsi energi potensial ()= (, ,)sebagai kerja yang dilakukan oleh gayaketika partikel dari titik ke dalam hal ini:
()= (). = (). Jika kerja yang dilakukan dalam lintasan tertutup seperti pada gambar(4), maka:
= . = 0
Gambar 4. Kerja yang dilakukan dalam lintasan tertutup dari titik P ke Q dan
kembali ke P
Secara fisis jelas bahwa suatu sistem tidak mungkin konservatif jika dipengaruhi
oleh gaya gesekan atau gaya-gaya disipatif lainnya.
Perubahan fungsi energi potensial ketika partikel yang bergerak dari posisi ke + yakni:
= .
pers. 17
pers. 18
pers. 19
pers. 20
pers. 21
pers. 22
-
7/26/2019 MEKANIKA KELOMPOK 5
10/40
10
Bila dibandingkan dengan definisi gradient, yaitu = ., dapatdinyatakan:
= . sehingga,
= = ()dengan () merupakan energi potensial. Dimana energi potensial () inimerupakan sebuah fungsi dari posisi r. Laju perubahan energi potensial
dinyatakan sebagai berikut:
()= + +
+
dalam bentuk gradient dari Vdapat dinyatakan sebagai berikut:
()=
+
+
dengan menggabungkan persamaan (25) dan (26), maka diperoleh hubungan
berikut:
= . ()Secara matematika gradien sebuah fungsi adalah sebuah vektor, yang
menyatakan turunan parsial maksimum dalam arah dan besaran dari fungsi
tersebut.Secara fisika gradien negatif dari fungsi energi potensial menyatakan
besar dan arah dari gaya yang bekerja pada sebuah partikel yang berada dalam
sebuah medan yang dihasilkan oleh partikel lain. Tanda negatip menyatakan
partikel yang dipengaruhi oleh medan gaya didorong untuk bergerak ke arah
penurunan energi potensial. Keadaan ini dapat diilustrasikan seperti gambar
berikut:
Gambar 5. Arah gerak partikel dalam medan potensial
Persamaan (24) menyatakan hubungan antara gaya F yang bersifat
konservatif dengan energi potensial dari sistem gerak partikel yang dipengaruhi
oleh gaya konservatif tersebut. Persamaan (24) menyatakan bahwa untuk sebuah
sistem gerak yang dipengaruhi oleh gaya konservatif berlaku hubungan bahwa
gaya tersebut merupakan gradient negatif dari energi potensial sistem gerak
Vtinggiv
Vrendah
pers. 23
pers. 24
pers. 25
pers. 26
pers. 27
-
7/26/2019 MEKANIKA KELOMPOK 5
11/40
11
partikel tersebut. Dalam suku-suku komponen arah sumbu tiga dimensi dari gaya
dapat dinyatakan:
= ; =
; =
Persamaan (30), menyatakan bahwa jika gaya yang bekerja pada sebuah partikel
bersifat konservatif maka komponen-komponen gaya dinyatakan oleh negatip
dari turunan parsial dari fungsi energi potensialnya.
Ketergantungan gaya konservatif F terhadap vektor kedudukan r tidak
konstan sehingga kerja yang dilakukan gaya dari titik awalA ke titik akhirBdapat dinyatakan sebagai perbedaan energi potensial pada titik awal dan titik
akhir. Oleh karena itu, jika gayaF merupakan gaya konservatif, maka:
= . = Jika medan gaya yang bekerja pada suatu partikel merupakan medankonservatif, maka persamaan (10) dan persamaan (29) dapat digabungkan seperti
pada persamaan berikut:
= atau
+ = +
Besar + disebut energi mekanik total atau energi total partikel danbiasanya diberi lambangE. Jadi energi mekanik total partikel sama dengan jumlah
energi kinetik dan energi potensial, yaitu: = + = + Berdasarkan persamaan (30) dan (31) dapat dituliskan: = yang menunjukkan bahwa energi total partikel adalah konstan yaitu:
= + = Persamaan (34) dikenal sebagai hukum kekekalan energi mekanik, yang
menyatakan bahwa energi total partikel (E) adalah kekal jika gaya-gaya yang
bekerja pada partikel itu merupakan medan gaya konservatif.
pers. 28
pers. 29
pers. 31
pers. 32
pers. 34
pers. 30
pers. 33
-
7/26/2019 MEKANIKA KELOMPOK 5
12/40
12
2.2 Konsep Gaya Sentral pada Benda Tunggal
Gaya Sentral ditunjukan oleh sebuah partikel yang selalu menunjukan arah
tertentu yang disebut pusat gaya. Selanjutnya dengan mengambil pusat gaya
sebagai pusat koordinat, gaya sentral oleh partikel ini tergantung dengan jarak r
dari pusat gaya yang dapat ditampilkan sebagai berikut:
F(r) = F(r)Dalam hal ini r merupakan vektor satuan arah radial. Gaya sentral bersifat
konservatif, oleh karena itu energi mekanik dari partikel konstan dan vektor
satuan dapat ditulis = / ||, sehingga persamaan diatas dapat ditulis:F(r) = F(r)/ ||Untuk mendapatkan fungsi energi potensial maka gaya sentral pada posisi
dan gaya konservatif dapat dinyatakan sebagai:Curl = x = 0
Persamaan tersebut ditulis dalam komponen yakni:
F = Fx +Fy+ Fz= () (x+y + z)Dan diperoleh:
Fx=F(r) ; Fy= F(r) ; Fz= F(r)
Sehingga persamaan (40) dapat dituliskan sebagai berikut:
x = + + Persamaan tersebut akan benar apabila ketiga komponen tersebut sama dengan 0,sebagai contoh:
(x )x = Harus sama dengan nol, sehingga persamaan (39) akan menjadi: = ()= z () = z () Dengan cara yang sama,
= y () Substitusikan persamaan (42) dan (43) ke persamaan (41) sehingga menghasilkan:
(x )x = z y ()
pers. 35
pers. 36
pers. 37
pers. 38
pers. 39
pers. 40
pers. 41
pers. 43
pers. 42
pers. 44
-
7/26/2019 MEKANIKA KELOMPOK 5
13/40
13
Dari hubungan r = (x2+ y2+ z2)1/2
= dan = Disubstitusikan dengan persamaan (44) sehingga diperoleh:
(x )x = 0Dengan cara yang sama dapat diperoleh(x )y = 0 dan (x )x = 0
Jadi gaya sentral F adalah (x )x = 0, dalam hal ini implikasi gaya sentral adalahkonservatif sehingga fungsi energi potensial adalah:
F(r) = - grad V (r) = - V (r)Dalam koordinat bola, operator gradien mempunyai persamaan,
=
+
+
Oleh karena fungsi energi potensial (V) merupakan fungsi jarak r, maka V = V(r)
dan besaran dan tidak memberikan pengaruh pada persamaan (48) tersebutsehingga:
F = - V= Besar gaya F diberikan oleh:
F = -
Sehingga diperoleh hubungan:
V = V (r) = - () drJika dua benda terpisah dengan jarak r = ||dan keduanya berinteraksi dengangaya sentral F (r). Benda tersebut sebagai titik massa, sehingga sebagai:
pers. 45
pers. 46
pers. 47
pers. 48
pers. 49
pers. 50
pers. 51
pers. 52
-
7/26/2019 MEKANIKA KELOMPOK 5
14/40
14
Gambar 6. Partikel m1dan m2pada posisi r1dan r2
Sistem yang terdiri dari dua partikel dan didiskripsikan dalam enam
koordinat. Jika r1 dan r2 adalah dua buah vektor posisi dari partikel m1 dan m2
(gambar 5.) maka persamaan untuk dua partikel tersebut yakni:
m1 = F(r)...........(a) ; m2 = - F(r)...........(b)dalam hal ini r = r1 r2
gaya diantara dua buah partikel saling menarik jika F(r) < 0 dan menolak
jika F(r) > 0. Deskripsi dari 6 koordinat r1 dan r2merupakan dasar yang cocok
untuk sistem dengan alternatif koordinat tersebut, dimana 3 koordinat di pusat
massa R dan 3 koordinat posisi relatif dengan r, yaitu:
(m1+ m2) = m11 + m22 = 1 - 2
adalah gerak pusat massa dan gerak relatif satu partikel dengan partikel lain.Gaya eksternal terjadi jika = 0, gerak pusat massa adalah gerak:
pers. 53
pers. 54
pers. 55
-
7/26/2019 MEKANIKA KELOMPOK 5
15/40
15
Gambar 7. Posisi Pusat Massa Dua Buah partikel m1dan m2
Pembagian persamaan (53a) sengan m1dan persamaan (53b) dengan m2
diperoleh:
- = +
F(r)Sehingga dapat disusun:
( - ) = F(r)
Atau,
= F(r)= atau=
+
Dalam hal ini merupakan pengurangan massa. Dengan menggunakanpersamaan (58) untuk mendapatkan = (t) dan kemudian untuk menyelesaikan1 dan 2 dengan menggunakan persamaan (54) dan (55) diperoleh:
1 = + Dan
2 = - Dengan kata lain gerak pusat massa dengan kecepatan yang seragam maka:
= 0
pers. 56
pers. 60
pers. 58
pers. 59
pers. 53
pers. 61
pers. 62
-
7/26/2019 MEKANIKA KELOMPOK 5
16/40
16
Dalam hal ini sebagai penyelesainnya:
= V0 + 0Dengan kondisi awal t = 0; V0= 0; R0= 0, maka origin bertepatan dengan pusat
massa dan persamaan (60) dan (61) diperoleh:
1 = Dan
2 = - Dalam hal ini 1 dan 2 diukur dari pusat massa. Jika m2>> m1, maka:
=
+
Dan persamaan (58) akan menjadi:
m1= F(r) sedangkan = 1- 2 1. Dalam hal ini dapat dianggap sebagai persoalan gerakgaya sentral pada benda tunggal.
2.3 Keadaan Gerak Partikel karena Pengaruh Gaya Sentral
Pada persamaan = () Mendiskripsikan dengan dan dapat ditentukan ()jikadiketahui bentuk gaya sebtralnya ().
Gambar 8 . Sistem dua benda yang ekivalen dengan persoalan suatu benda Gaya sentral () bekerja searah , oleh karena itu tidak dapat menghasilkantorsi pada pengurangan massa . Ini berarti momentum angular untuk massa terhadap sumbu yang melalui pusat gaya adalah konstan. Jika merupakanmomentum linier untuk
pers. 63
pers. 64
pers. 65
pers. 66
-
7/26/2019 MEKANIKA KELOMPOK 5
17/40
17
partikel bermassa , maka torsinya adalah : = =
( )=
( )
=
+ tetapi,
= = = 0 Oleh karena itu
= = mengingat bahwa, | |=|||| 0= 0 = = 0dan momentum sudutnya adalah = = konstan.Jika momentum anguler dari massa adalah konstan, maka besar dan arahnyatertentu dalam ruang sehingga vector dan harus berada pada bidang yangtegak lurus dengan , dan gerak partikel dengan massa terbatas pada bidangyang tegak lurus seperti gambar 4.
Gambar 9. Gerak partikel dibawah pengaruh gaya sentral
Penggunaan bidang kordinat polar
(,), maka persamaan gerak partikel
= () dapat dinyatakan sebagai, + + 2= () atau, = ()
+ 2 = 0
pers. 67
pers. 68
pers. 69
pers. 70
pers. 71
pers. 72
pers. 73
-
7/26/2019 MEKANIKA KELOMPOK 5
18/40
18
Untuk menentukan energi gerak partikel maka ditinjau momentum sudut
dari suatu partikel bermassa yang berada pada , sehingga = = =()
, oleh karena
konstan maka
= =Bila system tidak disipatif dan gaya sentral adalah konservatif, energi total adalah
konstan yaitu, = + () =Dalam hal ini energi potensialnya () = (), dan E di dapat dalamkondisi awal, = + () = + + ()Substitusi untuk = akan didapatkan, = + +()Teorema energi dapat dijelaskan sebagai berikut,oleh karena =()dan mengalikan pada kedua sisi dengan didapatkan, =()
persamaan sebelah kiri dapat dinyatakan sebagai,
+
Sedangkan sebelah kanan ditulis dengan,() = () = () Dengan demikian persamaan (47) dapat dinyatakan sebagai
+ +() = 0atau,
+ + () ==seperti persamaan (45) dengan suku pertama sebagaienergi kinetic dan suku kedua
merupakan energi potensial.
Untuk menentukan luas sapuan maka ditinjau gaya sentral F(r) yang gayutdan momentum angular konstan dalam besar dan arah.Ditinjau partikel bermassa pada posisi (), pada waktu t dari gaya O, seperti
pada gambar 5. Selama interval waktu dt, partikel bergerak dari P ke Q dan pada
pers. 74
pers. 75
pers. 76
pers. 77
pers. 78
pers. 79
pers. 80
pers. 81
pers. 82
-
7/26/2019 MEKANIKA KELOMPOK 5
19/40
19
titik Q berada pada posisi ( + ). Luas daerah dA yang disapu oleh vectorposisi sama dengan luas segitiga OPQ yaitu = ()=
atau = = Substitusikan = ,=
=
yang berarti kelajuan luasnya konstan.
Gambar 10. Luasan dA yang disapu oleh vector posisi dalam waktu dtPersamaan (73) merupakan Hukum II Kepler dari gerak planet dan juga dikenal
sebagai hukum persamaan luasan. Jika gerak partikel periodic dengan T, maka
dapat diintegralkan persamaan (73) dan dihasilkan,
=
atau =
Oleh karena momentum sudut konstan maka dapat dinyatakan,= = Gambar 6. Menunjukan benda bermass m bergerak dalam orbit mengelilingi
benda bermassa M, sehingga momentum liniernya = , dengan merupakankecepatan singgung.
pers. 83
pers. 74
pers. 75
-
7/26/2019 MEKANIKA KELOMPOK 5
20/40
20
Gambar 11. Hukum II Kepler atau Hukum Kesamaan Luasan= = maka,
= =
dalam hal ini luasan kecepatan adalah konstan, sehingga jika rbertambah, maka v
dan= = .Kembali pada persamaan (43) dan persamaan kekekalan energi (46) yakni bahwa
= = , dan = + + ()
Untuk = ( + ) dan ; ,Persamaan (41) dapat dinyatakan sebagai = ()+ ,dan dapat dibuat
dalam kasus satu dimensi jika dapat diganti dengan
, dinamakan gayaefektif (Feff) yakni,
()= () += ()+ (57)
Dalam hal ini = yang merupakan gaya sentrifugalFcent, sehingga
= = (58)
Dan dihasilkan, = () (59)Yang dapat diperlakukan sebagai suatu persamaan dalam satu dimensi.
Untuk potensial efektif ()dapat dinyatakan sebagai,()= () = ()+
pers. 75
-
7/26/2019 MEKANIKA KELOMPOK 5
21/40
21
= () + Diasumsikan rstak terhingga, sehingga didapatkan
() = () + Dengan demikian potensial efektif merupakan jumlah potensial real dan potensialsentrifugal atau barier sentrifugal yang dinyatakan sebagai, = Dan dari persamaan kekekalan energi diperoleh,
= = () Serta hasil integrasinya didapatkan,
= () Sedangkan dari persamaan (74) dapat dinyatakan sebagai, = = Dan hasil integrasinya didapatkan = + Untuk mendapatkan hubungan ()atau ()dapat dilakukan cara sebagai
berikut,
= = = , = Substitusi untuk dan dari persamaan (78) dan (80) didapatkan, = () Dan hasil integrasinya,
=
(
)
Karena konstan terhadap waktu, maka akan bertambah teratur sesuai denganwaktu.Untuk gaya yang tergantung dan pangkat jarak radial yaitu,() =
pers. 76
pers. 77
pers. 78
pers. 79
pers. 80
pers. 81
pers. 82
pers. 83
-
7/26/2019 MEKANIKA KELOMPOK 5
22/40
22
Dan k adalah konstan, maka untuk n=1 gaya berkorespondensi dengan kasus
gerak osilasi harmonic, dan n=-2 gaya berkorespondensi dengan hukum kuadrat
terbalik, missal gaya gravitasi dan gaya coulomb.
Untuk nilai n tertentu sebagai penyelesaian umumnya dalam bentuk integral clips.
Kembali pada persamaan () = dan mensubstitusikan parameterbaru = sehingga, = = dan didapatkan dan yaitu,
= 1 = 1 = = Atau, = Sedangkan turunan keduanya,
= = = = Atau, = Substitusi untuk , dan dalam persamaan (41), didapatkan
1 =
Yang dapat ditulis sebagai, + = Atau,
= Persamaan di atas merupakan persamaan diferensial yang dapat digunakan untuk
menyelesaikan (), sebaliknya jika orbit partikel yang diberikan dalamkoordinat polar () maka dapat diselesaikan untuk menentukan gaya ().Untuk
= 0persamaan di atas tidak ada, dan persamaan
= = 0, dalam
hal ini 0, 0 = 0 = , yang berarti jalan partikelmerupakan garis lurus menuju titik pusat koordinat.
pers. 84
pers. 85
pers. 86
pers. 87
-
7/26/2019 MEKANIKA KELOMPOK 5
23/40
23
2.4 Lintasan Medan Gaya Sentral dan Potensial Efektif
Sebuah gaya Fdikatakan sebagai sebuah gaya sentral jika garis kerja gaya
tersebut selalu melalui sebuah titik tetap yang disebut titik pusat. Jika titik tersebut
dipilih sebagai titik pusat maka F akan selalu sejajar terhadap vektor posisi r.
Karena hasil perkalian vektor antara dua buah vektor sejajar adalah nol maka hasil
ini dapat dipakai sebagai sebuah kondisi yang harus dipenuhi oleh sebuah gaya
sentral, yaitu:
0 Fr
Bila gaya F merupakan gaya sentral maka momentum anguler partikel
adalah tetap sesuai dengan persamaan berikut :
)(
.
rrxmL
rrxmL
rxpL
0
)(
).().(
L
rxFL
rrxmL
rrrrmL
Diperoleh hasil bahwa bila gaya Fmerupakan gaya sentral maka momentum
anguler partikel adalah tetap.
FrrrL x)xm(
Laju perubahan momentum angulernya merupakan (momen gaya)..
Dalam bentuk yang sederhana pernyataan ini mengandung dua konsep fisi yaitu :
-
Pertama, arah dari Ltetap dan besarnya Ljuga tetap.
-
Kedua, dengan pernyataan di atas berakibat bahwa r dan v haruslah
terletak dalam satu bidang tetap, dengan kata lain gerak partikel dibatasi
oleh bidang yang dibentuk oleh vektor posisi dan vektor kecepatan.
Potensial Energi
Jika kerja yang dilakukan medan gaya dari suatu kedudukan ke kedudukan
lain adalah sama untuk sembarang lintasan yang melalui dua kedudukan tersebut,
maka medan gaya tersebut disebut konservatif. Secara sistematis dapat dinyatakan
bahwa suatu medan dikatakan konservatif jika integral kerja ., tidak
pers. 88
pers. 89
-
7/26/2019 MEKANIKA KELOMPOK 5
24/40
24
tergantung pada lintasan integrasi. Didefinisikan suatu fungsi energi potensial
sebagai berikut:
() = () = ()
Bila kurva C dituliskan sebagai batas sepanjang pengintegrasian r - rs dan gaya F
yang bekerja bernilai nol, maka fungsi enegi potensial dapat dinyatakan dengan:
0).( C
drrF
Untuk memahami energi potensial dan menunjukkan besarnya energi potensial
pada suatu gaya yang bekerja, maka perhatikan contoh berikut.
Diketahui sebuah fungsi potensial energi V(x,y,z). Pada konversi yang
sama pada gaya F(x,y,z), kita dapat menghitung curl untuk menentukanbagaimana bentuk suatu fungsi potensial energi tersebut. Nilai curlF = 0, maka F
dapat menunjukkan fungsi potensial energi, yakni .V
Sebagai contoh:
a)
axyFx 2azFy
2axFz
b) )3( 22 zyayFx )(322 zyaxFy axyzFy 6
Dimana a adalah konstan, sehingga dapat dhitung besarnya curl pada kasus
pertama (a):
kaxaxiazxF
y
F
x
Fk
x
F
z
Fj
z
F
y
FixF x
yzxyz
)()2()2(
Besar gaya dikatakan konservatif jika , terlihat bahwa gaya-gaya
diatas tidak konservatif.
Pada kasus a) tidak terdapat potensial energi, sementara pada kasus b) terdapat
potensial energi yang saat ini kita akan menganalisisnya. Kita ambil dari r0= 0,
berawal dari komponen fungsi suatu gaya x,y,z, kemudian mengintegrasikan
(0,0,0) menjadi (x0,y0,z0) sepanjang melakukan pengintegralan pada persamaan:
0xF
-
7/26/2019 MEKANIKA KELOMPOK 5
25/40
25
32
000
1
....),,(
),,(
)0,0,0(
000
CC
zyx
C
drFdrFdrFdrFzyxV
Perhatikan gambar berikut.
Gambar 12. sebuah jalan untuk mengintegralkan (0,0,0) hingga (x0,y0,z0)
Sepanjang C1, kita memiliki
y = z = 0 Fx,= Fy, = Fz= 0 dr = idx
jadi,
1
.C
drF = 0
0
0.
x
xdxF
Sepanjang C2, kita memiliki
x = x0 z= 03
22 )3(
ayF
zyayF
x
x
2
0
22
3
)(3
yaxF
zyaxF
y
y
dr = jdy
jadi,
2
.C
drF = 0
0
3
00.
y
y yaxdyF
Sepanjang C3, kita memiliki
x = x0, y= y0, )3( 2200 zyayFx )(322
00 zyaxFy axyzFy 6
dr = k dz
jadi,
3
.C
drF = 0
0
20003.
z
z zyaxdzF
-
7/26/2019 MEKANIKA KELOMPOK 5
26/40
26
Jadi energi potensial dengan besar r0= 0 diperoleh:
300000 ),,( yaxzyxV2
0003 zyax
Faktanya bahwa, salah satu jalan untuk menentukan potensial energi adalah
berdasarkan prosedur diatas, atau singkatnya mencoba untuk menemukan fungsiyang mana gradiennya akan memberikan fungsi dari gaya tersebut. Dan yang
paling penting pada kasus gaya konservatif adalah adanya gaya sentral, yakni
gaya yang secara langsung selalu mengarah pada pusatnya O.
Sesuai dengan prinsik gaya konservatif, telah dijelaskan bahwa untuk
sebuah gaya konservatif berlaku energi potensial hanya bergantung pada r. Pada
sistem gaya-gaya konservatif berlaku dua hukum kekekalan yaitu; pertama,
hukum kekekalan energi:
tetapEV(r)rm 221
dan kedua, hukum kekekalan momentum anguler:
tetapxm Lrr
Berdasarkan pada pembahasan sesion 4.3 pernyataan dari hukum kekekalan
momentum anguler berakibat bahwa gerakan partikel dibatasi pada sebuah
bidang, dengan demikian permasalahan secara efektif menjadi gerak dua dimensi.
Dengan membentuk persamaan dalam koordinat polar r,dalam bidang tersebut
maka kedua hukum kekekalan di atas dapat dinyatakan menjadi:
EV(r))rrm( 2222
1
dan
L2mr
Sebuah informasi penting tentang gerakan partikel secara langsung dapat
diperoleh tanpa memecahkan persamaan tersebut untuk memeproleh r dan
sebagai fungsi dari waktu. Besaran dapat dieleminasi untuk menghasilkan
sebuah persamaan yang hanya mengandung r dan r , yaitu;
EV(r)2mr
rm2
2
2
1 2
L
persamaan ini disebut persamaan energi radial. Untuk harga L tertentu yang
diberikan, maka persamaan akan memiliki bentuk yang sama dengan persamaan
energi satu dimensi dengan fungsi energi potensial:
pers. 90
pers. 91
pers. 92
pers. 93
pers. 94
-
7/26/2019 MEKANIKA KELOMPOK 5
27/40
27
V(r)2mr
U(r)2
2L
Dengan persamaan di atas mudah dimengerti bahwa suku22mr
2L
dalam hal ini
merupakan energi potensial efektif, yang berhubungan dengan sebuah gaya32mr
2L
.
Gaya ini merupakan gaya sentrifugal 2mr .
Persamaan 4.33 dapat digunakan hanya untuk penyelesaian gaya konservatif. Jika
2r berharga positip maka gerakan dibatasi untuk harga r pada mana
EV(r)2mr
U(r)2
2L
harga maksimum dan minimum dari jarak radial dinyatakan oleh harga r sesuai
dengan persamaan 96. Sebagai contoh tinjaulah sebuah ossilator isotropik yaitu
sebuah ossilator yang arah ossilasinya equivalen dalam setiap arah. energi
potensial ossilator adalah V( r ) = k.r2. Fungsi U(r ) ditunjukkan pada gambar di
bawah. Partikel memiliki keadaan setimbang pada posisi minimum sebesar:
r =
4/12
m.k
L
Gambar 13. Fungsi energi radial U(r ) terhadap r
pers. 95
pers. 96
pers. 97
-
7/26/2019 MEKANIKA KELOMPOK 5
28/40
28
Jika harga E sama dengan harga minimum U, maka r sama dengan nol dan r
memiliki harga tetap sebagai posisi dari minimum, dalam kasus ini partikel akan
bergerak dalam lintasan melingkar.
untuk harga E yang besar gerakan dibatasi pada daerah b r a yang
diberikan oleh penyelesaian dari persamaan . Jika partikel pada awalnya berada
pada posisi rodari titik awal dan bergerak dengan kecepatan awal vodalam arah
yang memebentuk sudut dengan arah radial maka harga dari E dan L adalah:
E = m 2ov k.2
or
Konservasi energi menurut persamaan:
)()(KV(r)2mr
rmE rad22
21 rVrVcent
2
L
Dalam hal ini )(Krad rVcent merupakan energi kinetic dan )(rV sebagai energi
potensial. angK)( rVcent merupakan energi kinetic untuk gerak angular. Dua suku
yang dikombinasikan bersama-sama sebagai energi potensial efektif sehingga,
(r)VrmE eff2
21
Dalam hal ini ).(
2mr
)()(V2
eff rVrVrVcent 2
L
Energi total E gayut dengan variabel r dan ryang serupa dengan gerak partikel
satu dimensi jika x diganti dengan r, x dengan rdan )(xV dengan (r)Veff maka
diperoleh metode diagram energi.
Dalam gaya sentral, gerak partikel terikat dalam dua parameter, yakni energi (E)
dan momentum sudut (L). Disamping itu jarak radial r berubah terhadap waktu,
demikian pula berubah setiap waktu. Pada gerak melingkar, besaran r
dipertahankan konstan dan sama dengan 0r .
pers.98
pers. 99
pers. 100
-
7/26/2019 MEKANIKA KELOMPOK 5
29/40
29
Gambar 14. Grafik ,V,VV(r), effsent untuk suatu gaya harmonic isotropic (a), dan
(b) gerak partikel dengan energi E>E0, dibatasi r1(rmin) < r < r2(rmak).
Untuk F(r) = - Kr atau 2
2
1V(r) Kr maka potensial efektif menjadi:
2
2eff 2mr)()()(V KrrVrVr cent
2L
Grafik dari ,V,VV(r), effsent terhadap r, diperlihatkan pada gambar 7, dalam hal ini
effV mempunyai suatu nilai minimum pada 0r . Untuk memberikan energi total E (
E > E0= [ )(Veff r ], maka osilasi partikel diantara dua nilai ekstrim dari r yakni,
r1=rmin atau r1(rmin) < r < r2(rmak), dua titik tersebut merupakan titik balik dari
geraknya dan pada titik ini kecepatan radialnya sama dengan nol (r = 0), sehingga
persamaan energinya menjadi:
02mr
)(E2
2
LrV
Pada gambar 15 diperlihatkan suatu potensial atraktif V(r) terhadap r yang
dimulai dari r = 0, yang mempunyai potensial negative sangat besar, akan
pers. 101
pers. 102
-
7/26/2019 MEKANIKA KELOMPOK 5
30/40
30
bertambah dengan kenaikan r mempunyai dan mencapai nol ketika r tak
berhingga, sehingga -V(r) , pada r = 0, dan 0V(r) ketika r
Gambar 15. Grafik V(r) terhadap r untuk gaya atraktif invers kuadrat, 16 b. Veffterhadap r untuk nilai L berbeda.
Sedangkan gambar 16 menunjukkan grafik Veff (r)terhadap suatu nilai, jika energi
partikel kurang dari pada eneri minimum Em, maka tidak ada gerakan yang
mungkin karena hasil radalah imajiner. Untuk energi partikel, E = Em, tak ada
gerak radial, oleh karena itu partikel harus bergerak melingkar dengan radius r0.
Jika energi potensial lebih besar dari pada nol, E = E 4, maka gerak partikel adalah
terbatas, dalam hal ini partikel menuju ke pusat gaya dengan jarak r4 dan
kemudian memutar kembali ke tak terhingga, sehingga hanya ada satu titik balikpada r = r4.
Gambar 17. Grafik Veffterhadap r untuk suatu nilai L.
-
7/26/2019 MEKANIKA KELOMPOK 5
31/40
31
Untuk partikel dengan nergi antara E = 0 dan E = Em( missal E1) seperti gambar
9, maka gerak partikel akan dibatasi pada nilai r = r1= rmindan r = r1= rmak, dan
titik pada r1 & r2 merupakan titik balik atau gerak partikel dibatasi oleh 2
lingkaran dengan jejari r1& r2 seperti pada gambar 10.
Gambar 18. Gerak partikel dengan energi 0 > E > Em
2.5 Konsep Medan Gaya Kuadratik Terbalik
Pada sebuah partikel vector gayakuadrat terbalik secara umum dapat
dituliskan:
rr
KF
2
sedangkan besarnya gaya tersebut dapat dituliskan:
2)(
r
KrF
Dari persamaan tersebut besar energi potensial yang diberikan oleh gaya tersebut
dapat ditentukan dengan mengintegralkan persamaan gaya diatas dari nilai hingga r, sehingga didapatkan:
r
rs
drrFrV )()(
r
rs
drrKrV
2)(
r
drr
KrV
2)(
pers. 103
pers. 104
-
7/26/2019 MEKANIKA KELOMPOK 5
32/40
32
r
KrV )(
Dari persamaan tersebut berlaku untuk nilai K0 adalah berupa gaya tolak.
Berbicara mengenai gaya kuadrat terbalik terdapat dua kasus yang bias
ditinjau yakni:
1)
Gaya gravitasi yang menyatakan bahwa setiap benda menarik benda lain
dengan gaya yang sebanding dengan perkalian massa-massanya, dan
berbanding terbalik dengan kuadrat jarak yang memisahkan kedua benda.
Secara matematis dapat dituliskan
22
21)(r
K
r
mmGrF
Dari persamaan tersebut, tanda - menyatakan bahwa gaya gravitasi
selalu berupa gaya tarik dimana dari persamaan tersebut dapat diketahui
bahwa21mGmK dengan besar
2211 /1067,6 kgNmxG
2)
Gaya Coulomb yang menyatakan bahwa besar gaya yang bekerja pada
dua muatan sebanding dengan muatan-mutannya dan berbanding terbalik
dengan kuadrat jarak antar kedua muatan. Secara matematis dapat
dituliskan:
() = = dimana dari persamaan tersebut dapat diketahui bahwa = dan besar =8,85x10C/ Berdasarkan nilai energi potensial diatas maka persamaan untuk nilai potensial
efektif untuk medan gaya kuadrat terbalik dapat dituliskan:
2
2
2)()(
mr
LrVrVeff
2
2
2)(
mrL
rKrVeff
Berdasarkan persamaan tersebut hubungan antara nilai effV terhadap r untuk
masing-masing nilai K dan L dapat dilihat pada grafik berikut.
pers. 105
pers.106
pers. 107
pers. 108
-
7/26/2019 MEKANIKA KELOMPOK 5
33/40
33
Gambar 19. hubungan antara nilai effV terhadap r
Dari grafik diatas dapat dilihat bahwa nilai minimum pada energi potensial efektif
adalah saat2
2
2L
mKVeff . Hal ini karena energi potensial efektif akan bernilai
minimum ketika berada pada posisi setimbang yakni pada saat:
0dr
dVeffsehingga
0)(3
2
2
0
2
2
mr
L
r
K
mr
L
r
K
dr
dr
dr
dVeff
Dari persamaan tersebut didapatkan bahwamKLr
2
0
Selanjutnya dengan mennsubtitusikan nilai r0 untuk setiap r pada persamaan
umum energi potensial efektif untuk medan gaya kuadrat terbalik maka diperoleh:
2
0
2
0
02
)(mr
L
r
KrVeff
22
2
222
2
20
)(22
)(
mK
Lm
L
mK
L
K
mK
Lm
L
mK
L
KrV
eff
2
2
02
)(L
mKrVeff
Pada suatu benda yang memiliki energi potensial efektif minimum maka benda
tersebut akan bergerak dalam suatu lintasan yang berbentuk lingkaran dengan jari-
pers. 109
pers. 110
-
7/26/2019 MEKANIKA KELOMPOK 5
34/40
34
jari sebesarmK
L2 . Sedangkan pada benda yang memiliki energi potensial efektif
yang kurang dari nol dan dan lebih besar dari nilai2
2
2L
mK maka benda tersebut
akan berosilasi pada dua titik balik seperti yang ditunjukan oleh grafik berikut.
Gambar 20. Titik Balik pada Gerak Partikel
Selain itu untuk benda yang memiliki energi potensial efektif yang besarnya
negatif dan untuk L0 maka lintasan gerak partikel tersebut adalah berbentukelip.
2.6 Hukum Kepler pada Gerak Planet
Berbicara mengenai gerak planet selalu diindentikan dengan tiga hukum
yang dinyatakan oleh Kepler yakni sebagai berikut.
1. Hukum I Kepler (hukum orbit/elips) yang menyatakan bahwa planet
bergerak dalam bidang datar berbentuk ellips dengan matahari berada pada
salah satu titik fokus tersebut.
2. Hukum II Kepler (hukum kesamaan luas) bahwa luas (S) yang menyatakan
bahwa vektor posisi yang disapu oleh garis penghubung antara planet dan
Matahari dalam selang waktu (t) yang sama adalah sama.
3.
Hukum III (hukum periodik) yang menyatakan bahwa perbandingan kuadrat
periode revolusi (T2) terhadap pangkat tiga dari jarak rata-rata planet ke
Matahari (jari-jari elips = R3) adalah sama untuk semua planet.
Berdasarkan hukum I dan II Kepler diketahui bahwa persamaan luasan orbit
planet yang berbentuk elips secara matematis dapat dituliskan:
-
7/26/2019 MEKANIKA KELOMPOK 5
35/40
35
22 12
eaabLT
Dimana:
a Sumbu semi mayor ka
Leek
La
2
22
2
11
1
b sumbu semi minor
e eksentrisitas
massa reduksi)( mM
Mm
Dari persamaan diatas jika kedua ruas dikuadratkan dan dengan mensubtitusikan
nilaika
Le
221 maka didapatkan persamaan berikut:
ka
La
TL
242
2
22
4
ka
T
2
3
2 4
Dengan mensubtitusikan nilai GMmk dan nilai maka persamaan diatasmenjadi:
)(
4 2
3
2
mMGa
T
Dan persamaan Kepler tentang gerak planet pada akhirnya dapat ditulis:
32
2
)(
4a
mMGT
Pada beberapa kasus untuk massa m yang sangat kecil jika dibandingkan dengan
M maka persamaan tersebut biasanya ditulis:
32
2 4a
GMT
pers. 111
pers. 112
pers. 113
pers. 114
pers. 115
-
7/26/2019 MEKANIKA KELOMPOK 5
36/40
36
Contoh Soal
1.
Sebuah partikel bermassa konstan m bergerak dalam bidang XY karena
pengaruh gayaF, sehingga vektor kedudukannya dinyatakan sebagai berikut:
=+=cos+sin dengan , , dan adalah konstanta positif ( > ).a.
Tentukan gaya yang bekerja pada partikel!
b. Tunjukkan bahwa medan gaya tersebut adalah konservatif!
Penyelesaian:
a. Gaya yang bekerja pada partikel ditentukan sebagai berikut:
=
=
[( cos + sin )]
= (cossin)= (cossin)= =b.
Pertama-tama dicari curlF sebagai berikut:
=
0
= (0) ()+ () (0)+ () ()= 0
Karena
= 0, maka gaya tersebut adalah konservatif.
2.
Dari soal nomer 1, tentukanlah:
a.
Energi potensial potensial partikel pada kedudukan = dan = b.
Energi total partikel
c.
Kerja yang dilakukan gaya selama partikel bergerak dari kedudukan = sampai kedudukan =
-
7/26/2019 MEKANIKA KELOMPOK 5
37/40
37
Penyelesaian:
a.
Gaya yang bekerja pada partikel adalah: = Hubungan antara gaya dan energi potensial:
= + + Berdasarkan dua persamaan tersebut diperoleh = = = 0Dengan mengintegrasikan secara berturut-turut terhadap x, y, dan z, serta
menghilangkan konstanta-konstantanya, diperoleh:
= 12 + 12 = 12 ( + )= 12
Karena = + , maka energi potensial jugadapat dituliskan sebagai berikut: = 12 ( + )Untuk = = Untuk = : =
b.
Kecepatan partikel
= =sin+cos Sehingga, = . = +
-
7/26/2019 MEKANIKA KELOMPOK 5
38/40
38
Energi kinetik partikel
=12
= 12 ( + )Energi potensial partikel
= 12 ( + )Energi total partikel
= +
= 12 [( + ) + ( + )]= 12 [(+) + (+)]= 12 ( + )
Terlihat bahwa energi total partikel adalah konstan.
c.
Kerja yang dilakukan oleh gaya selama partikel bergerak dari kedudukan = ke kedudukan = adalah: = = 12 ( )
-
7/26/2019 MEKANIKA KELOMPOK 5
39/40
39
BAB III
PENUTUP
3.1Kesimpulan
3.1.1
Suatu gaya disebut konservatif apabila usaha yang dilakukan oleh gaya
tersebut tidak bergantung pada lintasan yang dilalui benda, melainkan
hanya bergantung pada posisi awal dan posisi akhir benda. = ( )3.1.2
Sebuah gaya dikatakan sebagai gaya sentral apabila garis kerja gaya
tersebut selalu melalui sebuah titik tetap yang disebut titik pusat. Dalam
persoalan gerak gaya sentral pada benda tunggal berlaku:
=
1-
2
1
3.1.3
Pendeskripsian karena pengaruh gaya sentral dapadilakukan melalui , ()dan gaya sebtralnya (). selain itugaya sentral () bekerja searah , oleh karena itu tidak dapatmenghasilkan torsi pada pengurangan massa . Ini berarti momentumangular untuk massa terhadap sumbu yang melalui pusat gayaadalah konstan yang secara metematis dapat dituliskan:
= = konstan.
3.1.4
Dalam gaya sentral, gerak partikel terikat dalam dua parameter, yakni
energi (E) dan momentum sudut (L). Disamping itu jarak radial r
berubah terhadap waktu, demikian pula berubah setiap waktu. Pada
gerak melingkar, besaran r dipertahankan konstan dan sama dengan0r .
3.1.5 Persamaan potensial efektif dinyatakan dengan:
).(2mr
)()(V2eff
rVrVrVcent
2L
3.1.6Persamaan Konsep Medan Gaya Kuadratik Terbalik dinyatakan
dengan:
2)(
r
KrF
-
7/26/2019 MEKANIKA KELOMPOK 5
40/40
3.1.7Persamaan Kepler tentang gerak planet, yaitu:
32
2
)(
4a
mMGT
3.2
SaranPengetahuan tentang gerak partikel dalam 3 dimensi yang dibahas
pada makalah ini diharapkaan dapat menambah wawasan dan memberikan
bekal yang sangat berguna baik untuk guru dan peserta didik yang
berkecimpung dalam dunia sains utamanya Fisika. Karena dengan
mempelajari gerak partikel dalam 3 dimensi, kita dapat mengetahui konsep
gaya konservatif, termasuk sifat-sifat gaya yang ada. selain itu juga dapat
mengetahui pengaruh gaya sentral dan energy potensial efektif, serta
keterkaitannya dengan konsep Hukum Keppler.