EUNICE LEMOS CAMPOS

Alexandre BarbosaAnderson MouraAnderson SilvaHenrique Silva

Ranieldson Lisboa

LEIS DE KEPLERAs três leis de Kepler

Maceió, AL.Janeiro, 2016.

Alexandre BarbosaAnderson MouraAnderson SilvaHenrique Silva

Ranieldson Lisboa

LEIS DE KEPLERAs três leis de Kepler

Relatório final, apresentado a Universidade Eunice Lemos Campos, como parte das exigências para a obtenção do título de física.

Maceió, ____ de _____________ de _____.

BANCA EXAMINADORA

________________________________________Prof. (Carlos Melo)

Afiliações

Índice1. Introdução 04

Desenvolvimento2. 05

2.1 Considerações preliminares 05

2.2 Primeira lei de Kepler 06

2.3 Segunda Lei de Kepler 08

2.4 Terceira Lei de Kepler 09

3. Conclusão 11

4. Biografia 12

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1. ~ Introdução

Vamos mostrar o poder dos métodos vetoriais quando aplicados à dedução de três leis físicas

clássicas.

Johannes Kepler (1571-1630), após uma vida inteira de estudos, organizou as leis empíricas que governam os movimentos dos planetas. Kepler conseguiu deduzir as três leis do movimento planetário que hoje levam o seu nome a partir de uma extensa rede de dados obtidos por um

outro astrônomo chamado Tycho Brahe (1546-1601).

As leis de Kepler são validas para planetas orbitando o sol; para satélites, naturais ou artificiais, em órbita em torno da Terra ou de qualquer

outro corpo celeste de massa considerável.

Estas leis podem ser enunciadas como a seguir:

Primeira lei : A órbita de cada planeta é uma elipse que tem o Sol em um dos focos.Segunda lei: As áreas varridas pelo raio vetor que une o Sol ao planeta são proporcionais ao

tempo gasto para percorrê-las.Terceira lei: Se o tempo necessário para um planeta percorrer uma vez sua órbita elíptica é T e

se o eixo maior da elipse é 2a, então T2 = Ka3 para alguma constante K.

Cerca de 50 anos mais tarde, Sir Issac Newton ( 1642-1727) provou que as leis de Kepler eram conseqüência da lei da gravitação universal de Newton e da segunda lei do movimento. Os resultados obtidos por ambos foram monumentais, porque as leis como que justificavam todas as observações

astronômicas feitas até então.

Johannes Kepler

Demonstraremos as leis de Kepler a partir das leis de Newton utilizando vetores. Como a força da gravidade exercida pelo Sol sobre um planeta excede de muito a força exercida por outros corpos

celestes, desprezaremos todas as outras forças que atuam sobre um planeta. Deste ponto de vista, temos apenas dois objetos a considerar: o Sol e um planeta que se move em torno dele.

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2. ~ Desenvolvimento

2.1 ~ Considerações preliminares

É conveniente introduzir um sistema de coordenadas com ov

Sol na origem O, conforme ilustrado ao lado. O ponto P representa o

planeta. Para simplificar a notação, denotaremos o vetor posição de r

P por r , e não por r (t), e representaremos por v e a a velocidade,

r ’(t), e a aceleração, r ’’(t), respectivamente.

Antes de provar as leis de Kepler, mostraremos que o movimento de um planeta se processa em

um plano ( isto é, a órbita é uma curva plana). Fazendo r =ll r ll, então u = (1/r) r é um vetor unitário

na mesma direção que r . De acordo com a lei da gravitação de Newton a força F da atração gravitacional do sol sobre o planeta é dada por:

F = -G Mm

r2 u

Sendo M a massa do Sol, m a massa do planeta e G uma constante gravitacional.

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Segunda lei de movimento de Newton: A força F que atua sobre um objeto de massa constante m está relacionada com a aceleração a do objeto como segue: F = m a .

Igualando essas duas expressões de F e resolvendo em relação a a , obtemos:

a = - GM

r2 u ( 1)

Isso mostra que a é paralelo a r = r u e, então, r x a = 0 . Além disso, como v x v = 0 ,temos que:

dtd

r ´ v= r ´ d

dtv

+ d

dtr ´ v = r ´ a + v ´ v = 0

Segue-se que: r ´ v = c ( 2 )

Para um vetor constante c . O vetor c desempenhará um papel importante na prova das leis de Kepler, pois esta relacionado ao

momento angular do planeta. A equação ddt

c = 0 é a lei de

conservação do momento angular para força central.Como r ´ v = c , o vetor r é ortogonal a c para todo valor de t.

Isto implica que a curva descrita por P jaz em um plano; isto é, a órbita do planeta é uma curva plana, conforme ilustrado na figura ao lado.

2.2 ~ Primeira lei de Kepler

Vamos agora provar a primeira lei de Kepler. Podemos supor que o movimento do planeta

ocorre no plano-xy. Neste caso, o vetor c é perpendicular ao plano-xy,; admitimos ainda que c tenha a mesma direção do eixo-z positivo, conforme figura acima.

Como r = r u , usando a propriedade da derivada do produto,vemos que :

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v = ddt

r = r

ddt

u +

drdt u

A substituição em c = r ´ v e a aplicação de propriedades do produto vetorial dá

+r dr

u´uc = ru´ r

du+

dru = r

2 u´ du

dt dt dt dt

Como u x u = 0, isto se reduz a

c = r 2 du (3)u´

dt

Utilizando (3) e (1) juntamente com ( ii ) e (vi) das propriedades do produto vetorial que se encontram no apêndice 1 temos.

GM 2 d u

a ´ c = - u ´ r u ´ =2

r dtd u

= - GM u ´ u ´ =

dt

d u u × u

d u

= - GM -u ×

dtu

dt

Como ll u ll = 1, decorre do teorema do apêndice 2, que u . ( d u /dt) = 0. Além

disso, u × u = u 2 = 1 então, a ultima fórmula de a x c se reduz a:

a ´ c = GM d u = d GM u dt dt

Pode-se escrever também:

a ´ c = ddt

v ´ c = dt

d v ´ c

6

e consequentemente:

dtd

v´c= dtd

GMuIntegrando ambos os membros desta equação, temos:

v ´ c = GM u + b (4)Onde b é um vetor constante, dito vetor de Laplace. Veremos a seguir que a direção do vetor

b é a direção do eixo maior da elipse.O vetor v x c é ortogonal a c e, assim, está no plano-xy. Como u também está no plano-xy,

segue-se, de ( 4), que b está no plano-xy.

Até aqui, nossa demonstração não tem dependido das

posições dos eixos x e y. Escolhamos agora um sistema coordenado

tal que o eixo-x positivo tenha a direção do vetor constante b ,

conforme Figura ao lado.

Sejam (r, ) as coordenadas polares do ponto P, com bO

c

r v

r = ll r ll. Segue-se queu b u b cosq b cosq .

P(r, )u

Onde b = ll b ll. Fazendo c = ll c ll, e usando (2), juntamente com propriedades dos produtos escalar e vetorial, e também ( 4), obtemos:

c2 = c × c = r ´ v× c = r × v ´ c= ru× GM u + b= rGM u × u+ ru × b= rGM + rb cosq

Resolvendo a última equação em relação a r, obtemos:

r c2

GM b cosq

Dividindo o numerador e o denominador por GM, obtemos:

r

p(5)1 e cosq

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Sendo p = c2/(GM) e e = b/(GM). Pelo apêndice 3 o gráfico desta equação polar é uma cônica com excentricidade e e foco na origem. Como a órbita é uma curva fechada, segue-se que 0 < e < 1 e

que a cônica é uma elipse. Com isto completamos a prova da primeira lei de Kepler.

2.3 ~ Prova da segunda lei de Kepler

Provemos agora a segunda lei de Kepler. Podemosu P

P0

admitir que a órbita do planeta seja uma elipse no plano-xy.

Seja r = f( ) a equação polar da órbita, com o centro do sol Ano foco O. Denotemos por P0 a posição do planeta no

instante t0 e P sua posição no instante t t0. Conforme figura ao lado. 0 e denotarão os ângulos medidos do eixo-x

positivo para OP0 e OP, respectivamente.Pelo teorema III do apêndice 4, área A varrida por OP no intervalo de tempo [ t0,t] é

r = f ( )

0

q 1A r 2 d q2qo

dA d q 1 r 2 dq 1 r 2

dq dq 2qo 2Isto e a regra da cadeia nos dão dA dA d q 1 r 2 d q (6)

dt dq dt 2 dt

Notemos em seguida que, como r = se na forma:

Conseqüentemente,

r cosq i + rsenq j + 0k , o vetor unitário u =(1/r) r pode expressar-

u = cosq i + senq j + 0k

ddt

u = -senq

ddt

q i + cosq

ddt

q j + 0k

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Por um cálculo direto pode-se mostrar que:

u ´ ddt

u =

ddt

q k

Se c é o vetor obtido na prova da primeira lei de Kepler, então, por (3) e pela última equação. Temos que.

c = r 2 u ´ d u= r 2 dq kdt

e então, c = c = r 2 d q ( 7 )dt

Combinando (6) e (7), vemos que

dA = 1 c ( 8 )dt 2

isto é, a taxa a qual A é varrido por OP é constante. Isto estabelece a segunda lei de Kepler.

2.4 ~ Prova da terceira lei de Kepler

Para provar a terceira lei de Kepler, conservaremos a notação usada nas demonstrações das duas primeiras leis. Em particular, admitiremos que a órbita planetária seja dada pela equação polar

r = p

1 + e cosq

com p = c2/ (GM) e e = b/(GM).

Seja T o tempo necessário para que o planeta complete uma revolução em torno do Sol. Por (8), a área varrida no intervalo de tempo [0,T] é dada por

T

dAT

1 1A dt c dt c T

dt 2 20 0

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Isto é também igual à área da região plana delimitada pela elipse. Entretanto, sabemos que a área de uma elipse cujos eixos maior e menor têm comprimentos 2a e 2b, respectivamente, é dada por ab, conseqüentemente,

1 cT pab ou T 2pab

c2Pelo apêndice 5, temos que a excentricidade está relacionada aos semi-eixos por

a 2 e2 a 2 - b2 ou b2 a 2 1 - e2

Assim, T 2 =4p 2 a 2b2

=4p 2 a 4 1 - e2

c 2 c 2

Da equação da elipse,

1 - e2 =pa

e então

T 2 = 4p 2 a 4 pc 2 a

Como mostrado na equação 5, p = c2/(GM), isto se reduz a

T 2 =4 p 2 a 3

= ka3 , com k =4p 2

GM GM

Está, assim, completa a prova.

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3. ~ Conclusão

Não esqueçamos que, em nossa demonstração das leis de Kepler, admitimos que a única força gravitacional atuando sobre um planeta era a do Sol. Se levarmos em conta forças exercidas por outros planetas, então podem ocorrer irregularidades nas órbitas elípticas. As irregularidades observadas no movimento de Urano levaram o astrônomo inglês J. Adams ( 1819 – 1892 ) e o astrônomo fracês U. Leverrier ( 1811 – 1877 ) a predizerem a presença de um planeta desconhecido, que estaria causando

tais irregularidades. Com base nessas predições, o planeta, posteriormente chamado Netuno, foi observado pela primeira vez em 1846 pelo astrônomo alemão J. Galle.

Kepler estudou as observações do lendário astrônomo Tycho Brahe, e descobriu, por volta de 1605, que estas observações seguiam três leis matemáticas relativamente simples. Suas três leis do

movimento planetário desafiavam a astronomia e a física de Aristóteles e Ptolomeu. Sua afirmação de que a Terra se movia, seu uso de elipses em vez de epiciclos, e sua prova de que as velocidades dos

planetas variavam, mudaram a astronomia e a física.

O modelo de Kepler é heliocêntrico. Seu modelo foi muito criticado pela falta de simetria decorrente do fato do Sol ocupar um dos focos da elipse e o outro simplesmente ser preenchido com o

vácuo.

A explicação física do comportamento dos planetas veio somente um século depois quando Isaac Newton foi capaz de deduzir as leis de Kepler a partir das hoje conhecidas como Leis de Newton

e de sua Lei da gravitação universal, usando sua invenção do cálculo. É possível notar, de suas leis, que outros modelos de gravitação dariam resultados empíricos falsos.

Em 1687, Newton publicou os Principia, onde explica as forças que agem sobre os planetas devido à presença do Sol.

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4. ~ Bibliografia

· Livro: Cálculo com Geometria analítica Autor: Earl W. SwokowskiEditora: Makron Books Volume 22º edição, 1994

· Livro: Cálculo Autor: James StewartEditora: Thomson Learning Volume 25 º edição

· http://astro.if.ufrgs.br/kepler/ · Acessado em 02 de Julho de 2007

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