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AstronomiaUm curso para o Ensino Médio
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Aula 7• Movimentos planetários
• Leis de Kepler
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ABC da Astronomia | Kepler
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Constelações
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Johannes de Kepler
▪ Johannes Kepler nasceu em 1571 na cidade
alemã de Weil e morreu em 1630, na cidade de
Regensburg.
▪ Em 1594 Kepler se tornou professor de
matemática em Graz, Áustria.
▪ Em 1600, foi convidado por Tycho Brahe para
trabalhar em Praga. Após a morte de Brahe em
1601, Kepler foi nomeado “Matemático
Imperial”, título que teve até 1612.
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Leis de Kepler
Com os dados de excelente qualidade de Tycho
Brahe, em particular em relação às posições de
Marte, Kepler descobriu as três leis de
movimento planetário que levam o seu nome:
▪ 1ª lei (1609) As órbitas dos planetas são
elipses, com o Sol localizado em um dos
focos.
▪ 2ª lei (1609) A linha ligando o Sol ao
planeta varre áreas iguais em intervalos de
tempo iguais.
A 1ª e 2ª leis foram publicadas na obra
“Astronomia nova”
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Leis de Kepler
Com os dados de excelente qualidade de Tycho
Brahe, em particular em relação às posições de
Marte, Kepler descobriu as três leis de
movimento planetário que levam o seu nome:
▪ 3ª lei (1619) O quadrado da razão dos
períodos de translação de 2 planetas é
proporcional ao cubo da razão de seus
semieixos maiores.
A 3ª lei foi publicada no livro “Harmonice
Mundi ”
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Leis de Kepler
As leis de Kepler, deduzidas empiricamente,
podem ser deduzidas a partir da teoria da
gravitação universal de Isaac Newton (Principia
Mathematica, publicado em 1687).
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Primeira Lei de Kepler
▪ Rigorosamente, em um sistema de dois corpos puntiformes que
interagem apenas pela gravitação, cada corpo descreve uma seção
cônica (círculo, elipse, parábola ou hipérbole), com o centro de massa da
dupla em um dos focos.
▪ Se os corpos estão ligados gravitacionalmente, como no caso dos
planetas com o Sol, por exemplo, então as órbitas são esféricas ou
elípticas.
No caso onde a massa de um dos corpos é
muito maior que do outro o centro de massa
coincide, com grande precisão, com o corpo
mais maciço.
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▪ Conta a história que, ao descobrir que as órbitas descritas pelos planetas
não eram circulares, mas sim elípticas, Kepler se sentiu profundamente
decepcionado.
▪ Apesar de cientista, sua arraigada concepção religiosa tinha dificuldade
em aceitar que Deus tivesse criado algo que não fosse perfeito.
▪ A crença predominante em sua época era de que o movimento dos
astros, sendo uma criação divina, teria de ser circular, considerado o
movimento perfeito.
No entanto, mesmo contrariando sua fé religiosa,
Kepler fez prevalecer sua condição de cientista e
enunciou suas leis.
Primeira Lei de Kepler
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Primeira Lei de Kepler
Socrática | 1ª Lei de Kepler
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Segunda Lei de Kepler
A segunda lei de Kepler é uma consequência da conservação do momento
angular.
Segunda lei de Kepler: o segmento imaginário
que une o centro do Sol e o centro do planeta
(raio-vetor) varre áreas proporcionais aos
intervalos de tempo dos percursos
Na figura as áreas a, b, c e d são iguais.
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Segunda Lei de Kepler
Considere A a área descrita no intervalo de tempo Δt pelo raio-vetor de um
planeta (P) qualquer. De acordo com a segunda lei de Kepler, temos:
A constante de proporcionalidade k depende
do planeta e é denominada velocidade areolar
do planeta.= A k. t
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Segunda Lei de Kepler
Socrática | 2ª Lei de Kepler
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Terceira Lei de Kepler
A terceira lei de Kepler, ou lei dos períodos, está relacionada com a
conservação de energia e estabelece que:
O quadrado do período de translação de cada planeta em torno do Sol é
proporcional ao cubo do raio médio da respectiva órbita.
O raio médio (r) da órbita de um
planeta coincide com a média
aritmética entre a distância do Sol
ao afélio (ra) e a distância do Sol
ao periélio (rp).+
=a pr r
r2
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Terceira Lei de Kepler
Sendo T o período de translação do planeta, isto é, o intervalo de tempo
para ele dar uma volta completa em torno do Sol, e r a medida do raio
médio, a terceira lei de Kepler pode ser escrita algebricamente como:
=2 3T kr=
2
3
Tk
r
ou
▪ A constante de proporcionalidade k depende das
massas do Sol e do planeta.
▪ Como a massa do planeta é desprezível em
relação à do Sol, considera-se que a
constante k depende só da massa do Sol.
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Terceira Lei de Kepler
Consequência direta da terceira lei de Kepler:
Quanto mais distante do Sol for a órbita de um planeta, maior será o período
de translação desse planeta, isto é, maior o seu ano*.
* um ano é o intervalo de tempo necessário para que um planeta dê uma volta em torno do Sol.
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Variações seculares dos movimentos da Terra
▪ A órbita da Terra ao redor do Sol não é fixa, assim como a orientação da
Terra, a inclinação do eixo de rotação em relação à eclíptica (obliquidade)
também não é.
▪ A órbita da Terra é descrita por parâmetros orbitais que definem a
trajetória da Terra no espaço.
▪ Devido às perturbações gravitacionais planetárias, não esfericidade do
Sol e da Terra, e efeitos relativísticas, a órbita da Terra não é uma elipse
fixa no espaço.
▪ Além de alterar a posição da Terra, e consequentemente, dos astros na
esfera celeste, estas alterações podem ter um impacto no clima terrestre.
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Variações seculares dos movimentos da Terra
Variação secular de alguns parâmetros orbitais terrestre no intervalo de
tempo de 2 milhões de anos
A duração das
estações do ano,
definida pelas
passagens do Sol
pelos equinócios e
solstícios também
são afetadas pelas
variações seculares
do movimento da
Terra.
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Variações seculares dos movimentos da Terra
A duração das estações do ano, definida pelas passagens do Sol pelos
equinócios e solstícios também são afetadas pelas variações seculares do
movimento da Terra.
▪ Durante o século XIII, a duração do Outono (hemisfério Sul) era
virtualmente igual à duração do Inverno (93 dias e 7 horas), enquanto que
a Primavera e o Verão tinham a mesma duração de 89 dias e 8 horas cada.
▪ Devido a não simetria da distribuição de massas continentais e oceanos, a
variação da duração das estações do ano podem levar a variações
climáticas.
▪ As variações do movimento da Terra podem levar a mudanças climáticas
em escalas de tempo de dezenas ou centenas de milhares de anos, mas
não podem explicar alterações no clima em escalas de alguns séculos.
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Aplicação
1- De quantos anos terrestres seria o período de um planeta que, girando em
torno do Sol, tivesse o raio médio de sua órbita 9 vezes maior do que o raio
médio da órbita da Terra?
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Aplicação
2- (Unicamp-SP) A figura abaixo representa exageradamente a trajetória de
um planeta em torno do Sol. O sentido do percurso é indicado pela seta.
O ponto V marca o início do verão no hemisfério
Sul e o ponto I marca o início do inverno. O
ponto P indica a maior aproximação do planeta
ao Sol, o ponto A marca o maior afastamento. Os
pontos V, I e o Sol são colineares, bem como os
pontos P, A e o Sol.
Em que ponto da trajetória a velocidade do planeta é máxima? Em que ponto
essa velocidade é mínima? Justifique sua resposta.
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Aplicação
▪ A velocidade orbital do planeta aumenta à medida que ele se aproxima
do Sol e diminui quando se afasta (Segunda Lei de Kepler).
▪ Portanto, a velocidade do planeta é máxima no ponto P e mínima no
ponto A.
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Aplicação
3- Um planeta descreve um quarto de sua órbita em torno de seu Sol, num
sistema planetário de outra galáxia, em 28 dias terrestres.
Determine:
a) o período de translação desse
planeta em torno de seu Sol;
b) a velocidade areolar desse
planeta, supondo que o raio de
sua órbita, considerada circular,
vale 5.000 km.
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Aplicação
Determine:
a) o período de translação desse planeta em torno de seu Sol;
b) a velocidade areolar desse planeta, supondo que o raio de sua órbita,
considerada circular, vale 5.000 km.
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