Universidad Nacional Experimental

“Francisco de Miranda”

Área Ciencia de la Salud

Programa Ingeniería Biomédica

Unidad Curricular Introducción a la Ingeniería Biomédica

MODELOS MATEMATICOS

T.S.U.:

Casaña, Luis

C.I: 19.511.019

INTRODUCCION

El modelo es la forma que utiliza el ser humano para realizar una

referencia o imitar la realidad, así poder entender y explicar de esta

manera fenómenos que guardan cierta relación. Desde hace muchos

años los modelos matemáticos se han considerado una forma más simple

de estudiar sistemas biológicos, así como desde el inicio de la teoría de

Fibonacci de crecimiento de poblaciones de conejos, a la teoría del caos.

Los sistemas biológicos son una clase muy particular de sistemas físicos

que presentan gran complejidad en sus diversos niveles, es casi

imposible realizar todas las mediciones deseadas para el estudio y

muchas veces los sistemas dinámicos deben ser considerados como

estáticos, y los no lineales como lineales.

La rápida actualización del software matemático a que los modelos

sean más utilizados, debido a que pueden realizarse de una manera fácil

para el diseñador. Es importante mencionar que un modelo matemático

no es completamente exacto con problemas de la vida real, de hecho, se

trata de una idealización. De acuerdo a la proveniencia de la información

en que se basa el modelo, podemos distinguir entre modelo heurístico,

que se apoya en las definiciones de las causas o los mecanismos

naturales que originan el fenómeno en cuestión, y modelo empírico,

enfocado en el estudio de los resultados de la experimentación. En el

siguiente trabajo se explica el modo de realización de un modelo

matemático, así como su clasificación y utilización en las ciencias

biomédicas.

MODELOS MATEMATICOS

Un Modelo Matemático se define como una descripción desde el

punto de vista de las matemáticas de un hecho o fenómeno del mundo

real, desde el tamaño de la población, hasta fenómenos físicos como la

velocidad, aceleración o densidad. El objetivo del modelo es entender

ampliamente el fenómeno y tal vez predecir su comportamiento en el

futuro [1]. En ciencias aplicadas, un modelo matemático es uno de los

tipos de modelos científicos que emplea algún tipo de formulismo

matemático para expresar relaciones, proposiciones sustantivas de

hechos, variables, parámetros, entidades y relaciones entre variables y/o

entidades u operaciones para estudiar comportamientos de sistemas

complejos ante situaciones difíciles de observar en la realidad.

El desarrollo de las computadoras ha sido impulsador del modelaje

matemático y la simulación computacional, ya que todo lo que se puede

concebir se puede modelar en un corto periodo de tiempo. Esto hace del

modelaje y la simulación una parte inseparable e importante de las

ciencias biomédicas.

En la medicina se realizan modelos clínicos o artículos de estudios,

modelos moleculares donde se indica la interacción de moléculas, redes

neurales, ecuaciones estructurales que son mediciones clínicas que

representan algo como la medición de la masa corporal, recopilando una

versión simplificada de la realidad.

El proceso para elaborar un modelo matemático es el siguiente:

o Encontrar un problema del mundo real.

o Formular un modelo matemático acerca del problema, identificando

variables (dependientes e independientes) y estableciendo

hipótesis lo suficientemente simples para tratarse de manera

matemática.

o Aplicar los conocimientos matemáticos que se posee para llegar a

conclusiones matemáticas.

o Comparar los datos obtenidos como predicciones con datos reales.

Si los datos son diferentes, se reinicia el proceso.

o Es importante mencionar que un modelo matemático no es

completamente exacto con problemas de la vida real, de hecho, se

trata de una idealización.

o Hay una gran cantidad de funciones que representan relaciones

observadas en el algebraicamente como gráficamente.

Teóricamente describe un objeto que existe fuera del campo de las

matemáticas. Las previsiones del tiempo y los pronósticos económicos,

por ejemplo, están basados en modelos matemáticos. Su éxito o fracaso

depende de la precisión con la que se construya esta representación

numérica, la fidelidad con la que se concreticen hechos y situaciones

naturales en forma de variables relacionadas entre sí.

Básicamente un modelo matemático tiene 3 fases:

o La construcción, proceso en el que se convierte el objeto a

lenguaje matemático.

o El análisis o estudio del modelo confeccionado;

o La interpretación de dicho análisis, donde se aplican los resultados

del estudio al objeto del cual se partió.

MODELAJE DE UN SISTEMA

P (t) R (t)

S1 (t)

Sistema

Modelo

Matemático

Algoritmo

de Ajuste

Criterio del

investigador

v

C (t)

E (t)

Sa (t)

I (t)

Para encontrar los parámetros óptimos del modelo matemático y del

sistema fisiológico ambos son excitados con la misma entrada I (t).

Las dos salidas S1 (t) y S (2), se comparan y la diferencia entre las

dos, la señal de error E (t), se usa para formar la función de criterio C

(t). El algoritmo de ajuste cambia iterativamente los valores de los

parámetros hasta que la función criterio es minimizada [1]. Se

pueden seguir los pasos apropiados para considerar el ruido R (t)

que introducen los aparatos de medida y las acciones de otros

sistemas P (t).

Parámetro

De Ajuste A (t)

MODELAJE DE SISTEMAS BIOMEDICOS

En las ciencias biomédicas el propósito de la investigación es

comprender las funciones del cuerpo humano, en conjunto a la

investigación surgen problemáticas donde se evalúa si esta puede ser

probada en seres humanos, si afectara al sistema biológico o no. En estos

casos es utilizado un modelo animal donde la selección de la especie

depende de la naturaleza del estudio y de la capacidad del modelo para

dar la información requerida. Estos modelos se utilizan frecuentemente

con la finalidad de extrapolar los resultados al comportamiento humano.

En el modelo animal, existe la preparación in vitro en la cual parte de un

organismo se estudia bajo condición artificial [1], una de sus ventajas es

que se tiene la posibilidad de usar técnicas experimentales como el

registro con microelectrodos intracelulares. Una desventaja, es la

separación del órgano o tejido de sus interacciones con otras partes del

cuerpo.

Figura 1: Ejemplo de modelo animal.

Sin embargo, aún en estos modelos, es casi imposible realizar

todas las medidas deseadas y también es muy difícil simular en un

modelo físico todos los detalles de un sistema biológico. Muchas

situaciones muy distintas, como pueden ser la actividad cerebral, el

electrocardiograma, la dinámica de poblaciones, el desarrollo embrionario,

la evolución de las enfermedades, son escenarios muy difíciles de

modelar a través de modelos elementales. Sin embargo, podemos realizar

las simplificaciones convenientes que expliquen parcialmente el

comportamiento del sistema o bien aplicar unas nuevas herramientas

matemáticas, como es el uso de la geometría fractal, para explicar la

variabilidad de la frecuencia del corazón (Ver figura 2).

Figura 2: Estructura general E-S de un sistema [2].

La mayoría de los sistemas biológicos no pueden estudiarse

formalmente en forma directa, por ello es necesario extraer del sistema

real, sus características más importantes.

Tal extracción se denomina abstracción, reducción o modelo de la

realidad. El proceso del modelaje no es lineal sino recursivo e iterativo, en

la mayoría de los casos. Este proceso se puede describir como un

sistema de retroalimentación negativa [1], cuando el resultado de la

comparación genera una señal de error pequeña, Montero y Morán (Op.

Cit, p. 213) sostienen que:

Las mismas hipótesis de partida y los mecanismos postulados nos dan

información de la naturaleza y el porqué del comportamiento del sistema en

estudio. Evidentemente, esto representa un conocimiento mayor de dicho sistema,

de ahí el planteamiento de la modelización como vía de acceso al conocimiento

de la realidad.

Figura 3: Retroalimentación Negativa [2].

OBJETIVOS DE UN MODELO MATEMATICO

Según el objetivo del modelo, podemos describir lo siguiente:

1) Alcanzar una mejor comprensión de dichos sistemas.

2) Formular cuantitativamente los fenómenos.

3) Predecir el comportamiento del sistema sobre la base de pocos

parámetros.

4) Seleccionar adecuadamente suposiciones simplificadoras que no

distorsionen los resultados del montaje.

H

Gd+

-

X Y

REQUISITOS DEL MODELO MATEMATICO

1) Usar términos de parámetros significativos y mensurables en el

sistema fisiológico.

2) Tener información completa sobre el sistema fisiológico a modelar.

3) Debe ser simple para evaluar de manera fácil el comportamiento e

influencia de los componentes individuales.

4) Permitir alteraciones en las suposiciones y parámetros del sistema.

5) Debe manipularse más fácil que el sistema fisiológico.

6) Debe servir como guía para el investigador.

7) Debe tener capacidad de predicción.

8) Debe ser un sustituto del sistema real.

TIPOS DE MODELOS MATEMATICOS

Los modelos matemáticos se pueden clasificar, atendiendo a

diversos criterios:

1) Según el grado de profundidad con que se contempla el sistema.

a) De simulación directa: presentan el comportamiento del

sistema como un todo, sin entrar en detalles (sin fijarse en

mecanismos particulares de las partes).

b) De enfoque sistémico: llamados también casuales, mantiene

la presentación del comportamiento como un todo pero

considera la interacción y evolución de las partes.

c) De análisis cinético: se basan en las ecuaciones de

evaluación de las partes.

Figura 4: Tipos de Modelos.

PRUEBAS DEL MODELO MATEMATICO (SIMULACION)

La simulación es la operación de un modelo con el propósito de

validarlo y comprender las variaciones que ocurrirán en el sistema cuando

se modifiquen uno o más parámetros. Se confrontan los resultados con

los obtenidos por la experimentación con el sistema real con la utilización

de simulaciones computacionales con el modelo matemático.

Computador analógico. Simulación analógica.

Las variables de entrada u operandos (cantidades que van a ser

operadas o procesadas), son capaces de variar continuamente en ciertos

rangos, por esto, esta clase de máquinas se denomina máquinas de

modo continuo. Realmente, las variables de entrada pueden presentarse

en una forma discreta, pero esta discretitud no es de naturaleza

fundamental sino que depende del diseño de la máquina. La precisión de

las variables de entrada y de salidas es baja, lo cual restringe las

posibilidades de simulación.

Un computador analógico es un arreglo conveniente de circuitos

electrónicos más u panel de control que habilita al operador para

interconectarlos de tal manera que las relaciones cuantitativas entre ellos

son idénticas a las del sistema real que está siendo analizado. La

simulación analógica es la operación o puesta en marcha de un modelo

utilizando aquellos computadores analógicos que representan un análogo

físico.

Figura 5: Sensor detector de la señal Electromiografica, ejemplo de un

computador Analógico.

Computador digital. Simulación digital.

Los computadores digitales son máquinas que representan en

notación digital a las variables matemáticas y las diversas operaciones

con esas variables se realizan por medio de operaciones matemáticas

entre dígitos.

Computadores híbridos.

Estos computadores poseen características de los dos anteriores.

Están constituidos por un computador digital que procesa información

analógica por lo cual usa tarjetas convertidoras (interfaces) analógicas-

digitales.

Computador

Digital

Conversión

Analógica-Digital

Sistema

Experimental

Sensor

Actuador

CONCLUSION

Muchas personas huyen de las matemáticas estudiando otro tipo

de carrera pensando que no trabajaran con ellas, pero esto no es real

para todo se requiere de las matemáticas y a partir de esto se generan

modelos que ayudan a entender mejor fenómenos existentes en la vida

cotidiana. Desde que el hombre aprendió a analizar cuenta y crea la

matemática que hoy en día conocemos “El hombre aprendió primero a

contar y luego escribir”. En las ciencias Biomédicas es necesario crear

modelos y definirlos en forma matemática para los diferentes diseños de

equipos médicos, prótesis humanas, biomateriales, y procesamiento de

señales fisiológicas así como para la el acondicionamiento y presentación

de esta, los modelos como su nombre lo indica imita a la realidad mas no

es real, solo nos ayuda a estudiar y analizar de una manera más sencilla

los sistemas biológicos existentes en el cuerpo humano que durante el

transcurso del tiempo cambia, el modelo no es el modelo, siempre estará

actualizándose a mejor.

BIBLIOGRAFÍA

1. D` Alessandro Martínez, W. Bracamonte Barán y A. Sutil Rosas.

MODELOS MATEMÁTICOS EN LA INVESTIGACIÓN BIOMÉDICA.

2. Prof. Rafael González. DIAPOSITIVAS. Introducción a los Sistemas

de Medida.

3. Dr. Juan Carlos López Alvarenga, Dr. José Antonio García García,

Dra. María Elena Romero Ibargüengoitia. www.youtube.com.

Sesión General “Modelos Matemáticos Aplicados en la Medicina”.