seminario asp-modelo matematico

Ing. Mara Gabriela Perdomo

Maracaibo, Julio de 2002

Universidad del ZuliaFacultad De Ingeniera

Instituto de Clculo Aplicado

SIMULACIN COMPUTACIONAL DE

PROCESOS DE ASP

MODELOS MATEMATICOS DEL SIMULADOR UTCHEM

SIMULACIN COMPUTACIONAL DE

PROCESOS DE ASP

MODELOS MATEMATICOS MODELOS MATEMATICOS DEL SIMULADOR UTCHEMDEL SIMULADOR UTCHEM

Ing. Luis Eduardo Zerpa

SEMINARIO: SEMINARIO: FORMULACIN MATEMTICAFORMULACIN MATEMTICA

OBJETIVOS GENERALES

Presentar la formulacin matemtica general manejada

en el simulador UTCHEM y describir brevemente los

modelos de reaccin qumica.


CONTENIDOIntroduccin: Se hace una breve descripcin del simulador y sus potencialidades.

ESQUEMA DE SOLUCIN: se describe el algoritmo general de solucin de las ecuaciones fundamentales en el simulador.

FORMULACION MATEMTICA: se presentan las ecuaciones de conservacin de masa, conservacin de energa y la ecuacin de presin y las condiciones de borde establecidas por el simulador.

MODELO DE REACCIONES QUMICAS DE UTCHEM: se describe la qumica lcali-petrleo y las diferentes reacciones que se producen en el medio poroso modeladas en el pre-procesador EQBATCH utilizado para calcular variables geoqumicas necesarias para el UTCHEM.


INTRODUCCIN

UTCHEM es un simulador tridimensional (3-D), multicomponente y multifsico

desarrollado por la Universidad de Texas en Austin, que utiliza un modelo

composicional para describir los procesos de flujo qumico, tomando en cuenta el

comportamiento de fases, las transformaciones qumicas y fsicas y las propiedades

heterogneas del medio poroso.

El esquema de solucin de ecuaciones utilizado por el programa es anlogo al

IMPES, ya que las presiones se solucionan de forma implcita, pero en este caso se

solucionan las concentraciones de manera explicita en lugar de las saturaciones,

mediante una rutina de clculo de fases. La ecuacin de balance de energa se

resuelve a la temperatura del yacimiento de manera implcita, e incluye flujo de calor

entre el yacimiento y el borde superior e inferior de la roca.


INTRODUCCINLas aplicaciones del UTCHEM en la simulacin de yacimiento son las siguientes:

Inyeccin de agua

Control de perfiles utilizando gel

Pruebas con marcadores para un solo pozo, particionamiento entre pozos y humectabilidad

Inyeccin de lcali de alto Ph

Recuperacin mejorada de petrleo microbial

Inyeccin de surfactantes

Inyeccin de Polmeros

Recuperacin mejorada de petrleo mediante la inyeccin de ASP


INTRODUCCINPrincipales fenmenos descritos por el simulador

Dispersin

Difusin

Efectos de dilucin

Adsorcin de petrleo, surfactante y polmeros

Tensin interfacial

Permeabilidad relativa

Presin capilar

Histresis en permeabilidad relativa y presin capilar

Entrampamiento capilar

Intercambio catinico

Densidad de las fases


INTRODUCCIN

Viscosidad composicional de las fases

Comportamiento de las fases (pseudo cuaternario)

Reacciones acuosas

Particin de especies qumicas entre el petrleo y el agua

Disolucin / precipitacin

Reacciones de intercambio catinico que envuelven mas de dos cationes

Generacin en sitio de surfactantes proveniente de la reaccin entre cidos de petrleo y lcali

Ph dependiente de la adsorcin de surfactante

Capacidad de biodegradacin orgnica

Especies orgnicas mltiples


INTRODUCCIN

Opcin de doble porosidad para flujo simple de trazas

Propiedades de los polmeros: viscosidad no Newtoniana, volumen poroso inaccesible, reduccin de la permeabilidad, adsorcin

Propiedades de las trazas: particionamiento, adsorcin, cada de la radioactividad, reaccin (ester hidrolizacin), dead-end pore (capacitance)

Propiedades dependientes de la temperatura: viscosidad, reaccin de las trazas, reacciones del gel, comportamiento de la fase de surfactante

Reduccin de la movilidad del gas debido a la espuma

Disolucin orgnica en equilibrio y no-equilibrio en la fase acuosa

Presin capilar y permeabilidad relativa para humectabilidad mixta capilar petrleo / agua


ESQUEMA DE SOLUCINEl problema de flujo reactivo con equilibrio local es equivalente a una serie de clculos de equilibrio de reacciones qumicas.

Luego, la ecuacin de conservacin de la masa se resuelve de forma explicita mediante diferencia finita para determinar la concentracin total de los componentes en un bloque en un nuevo nivel de tiempo. Con esta informacin, se calcula un nuevo estado de equilibrio para cada bloque usando el modelo de reacciones qumicas.

Conociendo las condiciones iniciales resuelve la ecuacin de presin implcitamente por diferencias finitas determinando la presin de los bloques en el prximo nivel de tiempo

Esto permite el clculo del flujo de las fases, que entra y sale de cada bloque durante el paso de tiempo, usando la ecuacin de Darcy para flujo multifsico en medio poroso.


Finalmente, a partir del equilibrio y las concentraciones totales, se determina las concentraciones de los componentes en cada fase, la saturacin de las fases, y otras propiedades fsicas y de transporte requeridas para resolver la ecuacin de presin para el prximo nivel de tiempo.

Debido a que no se conoce que slidos estn presentes en una condicin de equilibrio dada se empieza asumiendo que los slidos presentes el nuevo nivel de tiempo son los mismos presentes en la condicin inicial o en un nivel de tiempo anterior.

Se utilizan unas restricciones de solubilidad para disolver o precipitar slidos segn sea necesario.

!!

ESQUEMA DE SOLUCIN


En el modelo, las ecuaciones de flujo y transporte de masa son resueltas para cualquier nmero de componentes qumicos especificados por el usuario (agua, surfactantes, alcoholes, polmeros, cloruro, calcio, otros electrolitos, etc.). Estos componentes pueden estar presentes en un mximo de cuatros fases (gas, agua, petrleo y microemulsin) y en cualquier nmero de slidos minerales, dependiendo de la composicin total.

La formacin de microemulsin se produce slo cuando la concentracin de surfactante est por encima de la concentracin micelar crtica, y sta se establece como una mezcla termodinmicamente estable de agua, surfactante y petrleo.

AGUA

ACEITE

CMCCMC

FORMULACION MATEMTICA



La formulacin general y las ecuaciones de balance del modelo son resueltas de la siguiente manera:

1. Realiza balance de masa para cada especie.

2. Resuelve la ecuacin de presin de la fase acuosa haciendo un balance de masa general sobre el volumen ocupado por los componentes (agua, petrleo, surfactante, y co-surfactante). Las presiones de las otras fases son calculadas alincluir el efecto de la presin capilar entre las fases.

3. Resuelve la ecuacin de balance de energa.


Se modelan un mximo de 4 fases, de las cuales una corresponde a gas simple identificada ( = 4) y las otras tres son fases lquidas, a saber: acuosa ( = 1), oleica ( = 2), y microemulsin (= 3), las cuales dependen de las cantidades relativas y la concentracin efectiva de electrolitos (salinidad) del medio de la fase.

Las ecuaciones de flujo permiten compresibilidad en los fluidos y la roca, dispersin y difusin molecular, reacciones qumicas, y comportamiento de la fase, y son complementadas mediante relaciones constitutivas.



Ecuacin de conservacin de masa

Se establecen las siguientes restricciones para resolver el sistema de ecuaciones de flujo:

Equilibrio termodinmico local, excepto para los marcadores y para la disolucin de componentes orgnicos

Inmovilidad de las fases slidas

Dispersin de Fick (dispersin molecular por gradientes de concentracin)

Mezcla idealizada

Ley de Darcy

Como condicin de contorno, se establece que no hay flujo de fluidos ni flujodispersivo a travs de los bordes impermeables.


La conservacin de masa para el componente k aplicando la ley de Darcy, es expresada en trminos del volumen total del componente k por unidad de volumen ( ):kC

~

( ) k=

kkkkk =

-r+rf

RD~uCC~t

pn

1llll

rrr

donde el volumen total del componente k por unidad de volumen es la suma del volumen ocupado en todas las fases, incluso de las fases adsorbidas.

k=

k=k

kk +

-= CCSC1C~

pcv n

1

n

1 lll

Para k = 1,..., nc

Donde ncv representa el nmero de volmenes ocupados por los componentes (agua, petrleo, surfactante y aire); np el nmero total de fases; es la concentracin absorbida de la especie k; es la densidad del componente puro k a la presin de referencia de la fase (PR), con respecto a su densidad a la presin de referencia (PRO), normalmente tomada a condiciones de superficie (1 atm).

krkC



Se asume un mezclado ideal y una compresibilidad pequea y constante ( ) y se expresa como:

( )ROR PPC1 -+=r okk

El flujo de dispersin tiene la forma de la ecuacin de Fick:

lllrrr

lr

kkk f= CKSD~

x,

En esta expresin, el tensor de dispersin ( ) incluye el efecto de la dispersin molecular ( ) y es calculado mediante (Bear, 1979) como sigue:

Donde es la dispersin longitudinal de la fase ( ); es la dispersin transversal de la fase ( ); es el factor de torsin establecido como (>1); son las componentes del flujo de Darcy en la fase ( ) y es la funcin delta de Kronecker.

( )l

ll

l

ll

l

lll r

rr

u

uu

SSD

K jiTLijT

ijij fa+a

+dfa

+dt

= kk

okC

l

rrkK

lkD

llLal

lTat ji u,u ll

l ijd



La magnitud del vector de flujo para cada fase es calculado de la siguiente manera:

Aplicando la ley de Darcy, la velocidad de la fase resulta:

( ) ( ) ( )2z2y2x uuuu llllr ++=

( )hPkku r g-m

-=rr

rrr

lll

ll

Donde se define como el tensor de permeabilidad intrnseco; h es la profundidad vertical, la permeabilidad relativa es definida como ( ), la viscosidad de la fase ( ) y la densidad especfica ( ).

krr

lrk lm

lg



Donde Qk es la tasa de inyeccin/produccin para el componente k por volumen total; es la tasa de reaccin para el componente k en la fase y en la fase slida

s respectivamente. Las ecuaciones de flujo utilizadas para las direcciones y y z, son anlogas a las aplicadas para la direccin x.

sr r kk ,l l

El trmino fuente Rk es una combinacin de los trminos de todas las tasas para un componente en particular, y puede ser expresado de la siguiente manera:

( ) kk=

k +f-+f=k Qr1rSR sn

1

p

lll



Ecuacin de conservacin de energa

La ecuacin de balance de energa es desarrollada a partir de la suposicin de que la energa es slo funcin de la temperatura y el flujo energtico en el yacimiento ocurre nicamente mediante adveccin y conveccin de calor. La ecuacin resulta:

( ) LHnp

1Tp

np

1vvss QqTTuCTCSC1t

-=

l-r+

rf+rf-

== llll

llll

rr

Donde T es la temperatura del yacimiento; Cvs y son los calores especficos a volumen constante del slido y la fase ; es el calor especfico a presin constante de la fase y es la conductividad trmica, todas estas propiedades se asumen constantes.

lvC

llpCl

Tl

A su vez qH es el trmino fuente de entalpa para el volumen total y QL son las perdidas de calor hacia los bordes superior e inferior de la formacin o el slido, calculadas mediante el mtodo de prdidas de calor de Vinsome y Westerveld [1980].


Ecuacin de presin

La ecuacin de presin es desarrollada como sigue:

b) Se sustituyen los trminos de flujo de las fases por la ley de Darcy para flujomultifsico

c) Se establece la definicin de presin capilar

a) Se hace una sumatoria de las ecuaciones de balance de masa sobre todo el volumen ocupado por los componentes

d) Se especifica que 1Ccvn

1=

=kkl


La compresibilidad total Ct, es la suma del peso volumtrico de la roca o matriz slida (Cr) y de los componentes compresibles ( ) presentes en el yacimiento:

okC

=k

kok+=

cvn

1rt CCCC

~

La porosidad se calcula en base a la presin y porosidad de referencia mediante la expresin .( )[ ]roRrR PPC1 -+f=f

Para realizar los clculos, se utiliza la primera fase (acuosa) como presin de referencia, as:

= =k

k+l-=l+

fp cvn

1

n

11ccr1rTc

1t QPkPkt

PC

lll

rrrrrrr

Donde es la permeabilidad relativa del componente k en la fase , y la

permeabilidad relativa total se calcula mediante la expresin .

ll k=k

kr=l Ccvn

1cr l

=

l=lpn

1crrTc

ll

Ecuacin de presin


Condiciones de borde

Las condiciones de borde bsicas asumidas son:

Cero flujo convectivo

Cero flujo de dispersin

Cero flujo trmico a travs de los bordes

El flujo trmico conductivo a travs de los lmites superior e inferior del acufero puede ser modelado utilizando el mtodo de Vinsome y Westerveld [1980].

Opcionalmente, la condicin de cero flujo y transferencia de calor puede ser reemplazada en parte especificando presin en los bordes.


Si se modelan zonas insaturadas donde:

Condiciones de borde

Para zonas saturadas:

La presin superior y lateral son establecidas a la presin atmosfrica y los otros lados se consideran cerrados.

El aire es la nica fase que puede entrar mientras ningn fluido puede salir de acuerdo a su saturacin y la movilidad relativa en los bloques de la malla.

Los bordes laterales son los nicos que estn abiertos especificando un gradiente de presin

Slo puede entrar agua a travs de los bordes

Si ambas zonas son modeladas el usuario debe especificar la profundidad de la tabla de agua en los dos lmites laterales del acufero y el gradiente de presin potencial a travs de la zona saturada.


MODELO DE REACCIONES QUMICAS DE UTCHEMEn esta seccin se presenta el modelo de reacciones qumicas del simulador de yacimientos composicional tridimensional generalizado para procesos de inyeccin de qumicos alcalinos (High-pH chemical flooding) realizado por Bhuyan[1]

(EQBATCH).

[1] Bhuyan, D., Development of an alkaline/surfactant/polymer compositional reservoir simulator, Ph.D. dissertation, U. of Texas, Austin, Dec 1989.

El modelo asume equilibrio termodinmico local en las reacciones qumicas y en el comportamiento de fases, y calcula las composiciones en equilibrio de los electrolitos y las fases en funcin del tiempo y la posicin.

Las reacciones qumicas consideradas son: qumica de electrolitos acuosos, precipitacin/disolucin de minerales, reacciones de intercambio de iones en la superficie de la roca, reaccin de componentes cidos del petrleo con qumicos alcalinos en solucin acuosa, y reacciones de intercambio de cationes con las micelas.


La formulacin del modelo de equilibrio qumico es bastante general y se puede adaptar para simular una variedad de descripciones qumicas:

Adems, puede ser utilizado para la determinacin de la compatibilidad entre el agua de inyeccin y el agua residente, clculo de la composicin de equilibrio y compatibilidad de mezclado de aguas de diferentes fuentes, clculo de la composicin de equilibrio y el pH resultante del agua de inyeccin despus de aadir varios electrolitos.

Contaminacin de agua subterrnea

Reinyeccin de agua producida

Disposicin de desechos qumicos, etc.

En una, dos o tres dimensiones y bajo condiciones de flujo multifsico.

MODELO DE REACCIONES QUMICAS DE UTCHEM


Descripcin de la qumica de procesos inyeccin de lcaliEl desempeo de un proceso de inyeccin de qumicos alcalinos es altamente influenciado por las interacciones qumicas presentes en el medio poroso. Las caractersticas principales que controlan el proceso alcalino y que forman la base para su cuantificacin son:

1. Generacin de surfactantes en sitio, debido a la reaccin entre lcali y componentes cidos del petrleo

2. Reacciones con la salmuera y minerales del yacimiento y el consecuente consumo de lcali y cambios en el ambiente inico

3. Efecto de los productos de las reacciones y el alto pH sobre el comportamiento de fase, la tensin interfacial, adsorcin de surfactantes, y transporte de propiedades


Qumica petrleo-lcali

La generacin de surfactantes en sitio debido a la reaccin entre componentes cidos del petrleo y qumicos alcalinos, es la causa principal del aumento de la produccin de petrleo, en estos procesos de recuperacin.

El contenido de cidos en el petrleo se mide como el Nmero cido, este es definido como los miligramos de Hidrxido de potasio necesarios para neutralizar un gramo de petrleo.

Se han identificado componentes cidos del petrleo capaces de generar surfactante en sitio y estos son: cidos carboxlicos, carboxifenoles, y fracciones de asfaltenos, entre otros.

Pese a que el nmero cido indica el contenido total de componentes cidos en el petrleo, ste no distingue entre los componentes cidos que producen surfactante y los que no. Por lo tanto, un nmero cido alto no siempre es un buen indicador de mayor produccin con inyeccin de lcali.


Aunque la actividad interfacial se debe a numerosas especies qumicas individuales, la generacin de surfactante y su actividad interfacial se modela asumiendo un solo componente seudo-cido (HA) altamente soluble en petrleo.

La qumica petrleo-lcali es descrita como la particin del componente seudo-cido entre las fases oleica y acuosa y la subsiguiente hidrlisis en la presencia de lcali para producir un surfactante aninico (A-) soluble. Esto puede ser representado cuantitativamente como sigue:

donde wK

o HAHA D[ ][ ]o

wD HA

HAK =

donde -+ + AHHA aKw

[ ][ ][ ]HA

AHKa

-+

=

donde -+ + OHHOH wK2 [ ][ ]-+= OHHKw


Petrleo


Debido a la baja solubilidad del componente seudo-cido, la constante de particin KD es usualmente un nmero muy bajo, alrededor de 10

-4. La constante de disociacin del cido Ka junto con el producto inico del agua Kw, relaciona la concentracin de hidrxido en la solucin con la hidrlisis de HA.


donde wK

o HAHA D[ ][ ]o

wD HA

HAK =

donde -+ + AHHA aKw

[ ][ ][ ]HA

AHKa

-+

=

donde -+ + OHHOH wK2 [ ][ ]-+= OHHKw


Reacciones acuosas homogneas

Reacciones de asociacin y disociacin de una o ms especies qumicas resultan en

la formacin de una o ms especies diferentes en la solucin acuosa. Muchas

reacciones de reduccin y oxidacin pertenecen a esta categora de reacciones. Sin

embargo, en el modelo no se considerarn reacciones de reduccin oxidacin.

Una clase importante de reacciones acuosas son las reacciones que involucran

cidos dbiles y sus bases conjugadas, llamadas soluciones amortiguadoras. La

accin amortiguadora puede tener un efecto significativo en la cantidad de lcali

requerido para lograr un cierto nivel de pH en la solucin acuosa.

Ejemplos comunes de soluciones amortiguadoras que son de inters en inyeccin de

lcali son la solucin carbonato-bicarbonato, silicato y aluminato. La presencia de

slidos que al diluirse dan lugar a la formacin de una solucin amortiguadora

pueden empeorar la situacin.


Reacciones acuosas homogneas

Otra clase importante de reacciones acuosas homogneas son las reacciones que

involucran iones que participan en reacciones de disolucin / precipitacin.

Cambiando las concentraciones de estos iones, estas reacciones controlan

indirectamente la disolucin / precipitacin de slidos.

Una soluciUna solucin amortiguadora es una solucin amortiguadora es una solucin compuesta por un n compuesta por un cido dcido dbil y su base bil y su base conjugada o una base dconjugada o una base dbil y su bil y su cido conjugado, que sirve para moderar el pH de la cido conjugado, que sirve para moderar el pH de la solucisolucin.n.


Reacciones de disolucin / precipitacin

Las reacciones de disolucin / precipitacin de minerales slidos entran dentro de las clases de reacciones ms importantes que contribuyen al alto consumo de lcali en yacimientos de petrleo.

La mayora de estas reacciones son controladas dinmicamente y pueden causar neutralizacin del lcali inyectado.

Bajo condiciones de equilibrio, sin embargo, estas reacciones son controladas por las restricciones del producto de solubilidad de todos los slidos posibles.

Adicionalmente al consumo de lcali, estas reacciones tambin determinan concentraciones de cationes multivalentes en la solucin acuosa, las cuales generalmente tienen un efecto significativo sobre el comportamiento de fases y la actividad interfacial de surfactantes generados o inyectados.


Reacciones de intercambio de iones con minerales de la roca

Dentro de las reacciones de intercambio de iones, son de particular inters las reacciones de intercambio de cationes.

Estas reacciones son en general rpidas y reversibles.

La reaccin de intercambio de hidrgeno puede consumir grandes cantidades del lcali inyectado causando un frenado significativo de la propagacin de la solucin alcalina.

Reacciones de intercambio entre cationes multivalentes y monovalentes pueden liberar cationes multivalentes en la solucin acuosa y afectar el comportamiento de fases y la actividad interfacial de los surfactantes as como iniciar precipitacin de slidos.


Reacciones de intercambio de iones con micelas

Reacciones de intercambio de iones entre cationes multivalentes y monovalentes que

ocurren en la superficie de las micelas tienen un efecto significativo sobre la

solubilidad relativa del surfactante en petrleo o en agua, la tensin interfacial y la

tolerancia a la salinidad.


Termodinmica qumica de procesos en equilibrio

La teora general que describe el equilibrio termodinmico de sistemas multifsicos,multicomponentes, establece que la direccin natural de todos los cambios, a temperatura y presin constantes, es hacia la mnima energa libre de Gibbs. Cuando este mnimo es alcanzado, se dice que el sistema esta en equilibrio termodinmico.

0=tdG

donde Gt es la energa libre de Gibbs total y dGt es la variacin diferencial de la energa libre de Gibbs total.

Un sistema bajo condiciones de equilibrio termodinmico no experimenta tendencia a cambiar su composicin y su estado. Matemticamente, el equilibrio es alcanzado a temperatura y presin constantes, cuando


Para L fases y m especies a temperatura y presin constantes, Gt es definido como

= =

=L

l

m

i

li

li

t GnG1 1

donde n il representa los moles de especie i en la fase l y es la energa libre de

Gibbs molar parcial de la especie i en la fase l. Frecuentemente es llamado potencial qumico, .

liG

liG

lim

Cuando ocurren cambios en la composicin como resultado de reacciones qumicas solamente, la condicin para equilibrio qumico es,

0=D rG

donde DGr es el cambio de energa libre de Gibbs para la reaccin r y esta dado por

=

=Dm

iirirG

1

mn



La actividad de las especies i es definida como

Se pueden combinar las ecuaciones anteriores y llegar a

El lado derecho de esta ecuacin es una funcin solo de la temperatura, mientras que el lado izquierdo representa una funcin de la actividad de los reactivos y los productos bajo la condicin de equilibrio.

Definiendo la constante de equilibrio de una reaccin r a una temperatura T como

iii aRTG ln0 +=m

RT

Ga

m

iirim

i

rii

=

=

-= 1

0

1

lnn

n

( )RT

GTK

m

iiri

r

=

-= 1

0

expn


(1)

(2)


la ecuacin (1) puede ser escrita como

La actividad de las especies qumicas en solucin es relacionada con su concentracin molar a travs de los coeficientes de actividad individual, g i como

Para soluciones ideales, los coeficientes de actividad de las especies son iguales a la unidad, de manera que la actividad puede ser reemplazada por su respectiva concentracin molar en la ecuacin (3). Para slidos puros, la actividad se considera igual a la unidad.

( ) =

=m

i

riir aTK

1

n

iii Ca = g


(3)


Tpicamente, las energas libres de estado estndar de formacin de especies qumicas son tabuladas para 298.15 K. Por lo tanto, usando la ecuacin (2) se puede calcular fcilmente la constante de equilibrio de una reaccin a 298.15 K. Sin embargo, para calcular la constante de equilibrio de una reaccin a otra temperatura diferente de 298.15 K, se puede utilizar la ecuacin de vant Hoff dada por

Donde es el calor estndar de reaccin de la reaccin r. es tambin funcin de la temperatura. Para calcular la constante de equilibrio, la ecuacin (4) puede ser integrada en funcin de temperatura para dar,

( )[ ] ( )2

0lnRT

THdT

TKd rr D=

( )( )

( )

D=

2

1

21

2 1lnT

T

or

r

r

TTH

RTKTK


(4)

(5)

orHD

orHD


En la mayora de los casos, sin embargo, puede ser asumido constante con respecto a la temperatura y para estos casos la ecuacin (5) es,

Las ecuaciones (5) y (6) pueden ser usadas para calcular la constante de equilibrio de una reaccin a cualquier temperatura T2 a partir de la constante de equilibrio a temperatura T1 y calor estndar de reaccin.

( )( )

-

D=

211

2 11lnTTR

HTKTK or

r

r


(6)

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