La Universidad Católica de Loja

Ecuaciones Diferenciales

TEMA:

Determinar la cantidad de alumnos que ingresan

anualmente en la Carrera de Ingeniería Civil de la

Universidad Técnica Particular de Loja

Integrantes:

Ana Poma

Ismael Armijos

Docente:

Ing. Germania Rodríguez

Loja - Ecuador

JUSTIFICACIÓN

En la actualidad los modelos matemáticos son utilizados en muchas ramas como la

biología, la química, la física, etc., es por ello que se ha hecho necesario identificar la

manera de construir modelos para dar solución a los problemas que se nos presente.

OBJETIVOS

ESPECÍFICO

Tratar de resolver un problema real utilizando procesos matemáticos, es decir

tratar de modelizar un problema.

GENERALES

Modelar la situación problemática relacionada con el crecimiento exponencial

de los alumnos de la carrera de Ingeniería Civil que ingresan anualmente en la

Universidad Técnica Particular de Loja.

Identificar y resolver ecuaciones diferenciales de primer orden de variables

separables y las respectivas soluciones.

Graficar en un mismo plano de familias de soluciones una ecuación diferencial.

ESTRATEGÍA

Modelar la situación problemática relacionada con el crecimiento exponencial de los

alumnos de la carrera de Ingeniería Civil que ingresan anualmente en la Universidad

Técnica Particular de Loja.

Para ello es necesario obtener datos con la ayuda de la secretaria de la escuela de

Ingeniería Civil, la cual nos proveerá los datos de los alumnos matriculados desde los

periodos comprendidos entre Abril 2007/Agosto 2007 hasta el presente periodo

octubre 2009/febrero 2010.

Es importante mencionar que el índice de crecimiento o decrecimiento de la población

se mide anualmente y la unidad de variación del tiempo es el año. Esa consistencia de

unidades es importante en la resolución de este tipo de problemas, caso contrario seria

necesario un ajuste “no lineal” del valor de la constante de crecimiento de la población.

La no linealidad seria definida por el tipo de solución continua que se obtiene al

resolver el problema (en el presente caso una variación exponencial).

LEVANTAMIENTO DE INFORMACIÓN

Luego de haber obtenido las actas de matriculados de la escuela de Ingeniería Civil

desde hace unos tres años y analizado los datos históricos referente al tema planteado

se ha hecho un análisis de este y se ha definido la ecuación diferencial de crecimiento

poblacional la cual utilizaremos para el cálculo de las variables. El siguiente cuadro

muestra los periodos de matriculas comprendido por ciclos y los periodos de

matriculas comprendidos por años ya que vamos a medir la población anualmente y la

unidad de variación del tiempo es el año, además la cantidad de estudiantes

matriculados por ciclo y sumados cada dos ciclos nos da la cantidad de estudiantes

matriculados por año:

CUADRO ESTADISTICO:

Periodos comprendidos por

ciclos

Periodos

comprendidos

por años

Cantidad de estudiantes

matriculados

Por ciclo Por año

Abril 2007/Agosto 2007 2007 368

782

Octubre 2007/Febrero 2008 2007 414

Abril 2008/Agosto 2008 2008 371

812

Octubre 2008/Febrero 2009 2008 441

Abril 2009/Agosto 2009 2009 414

834

Octubre 2009/Febrero 2010 2009 420

Tabla 1: periodos de matriculas y cantidad de estudiantes matriculados.

PLANTEAMIENTO DEL MODELO

Sea P (t) la cantidad de estudiantes en un instante cualquiera, entonces la rapidez con

que la población cambia es proporcional a la cantidad de estudiantes presentes en

dicho instante. Por definición el crecimiento de la población en un instante cualquiera

se calcula mediante la siguiente expresión:

Esta expresión define la ecuación diferencial que describe la variación de la población

con respecto al tiempo, donde la condición inicial es para:

t=0

Aplicando el método de variables separables

integrando

se obtiene

solución general implícita

aplicando exponencial

solución general explicita

RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN

Vamos a definir las variables que forman parte del problema:

P: Población de los estudiantes matriculados, que varía con el tiempo.

t: tiempo medido en años.

k: constante de proporcionalidad.

La población de los estudiantes matriculados en la carrera de Ingeniería Civil en el año

2007 es de 782 estudiantes, en el año 2008 es de 812 estudiantes y en el año 2009 es

de 834 estudiantes, entonces la rapidez con que la población cambia es proporcional a

la cantidad de estudiantes matriculados en dicho instante.

Queremos determinar la cantidad de estudiantes que habrá en el año 2014 y la

cantidad de estudiantes que había en el año 2002, tomando los datos del año 2007 y

del 2009 y mediante la ecuación:

En donde:

El año 2007 se hace coincidir con t=0

El año 2009 se hace coincidir con t=2

P (0)=782

P (2)=834

0.032189

entonces

por lo tanto se reemplaza t por 7

entonces 7 años después habrá

Es decir en el año 2014 habrá 979 estudiantes aproximadamente,

y 5 años antes había

Es decir en el año 2002 había 665 estudiantes aproximadamente.

En base a los cálculos realizados mediante la ecuación en los años 2007 y 2009 se estimó

un crecimiento natural de la población de estudiantes correspondiente al 3,218 % (lo cual

implica k = 0.03218).

AUTOMATIZAR EL MODELO (GRAFICAR)

Vamos a representar gráficamente mediante la herramienta visual studio 2008 la

variación de la población respecto al tiempo, basándonos en la ecuación diferencial, y

mediante dicho grafico estimar la cantidad de estudiantes que habrá en un

determinado instante.

La siguiente tabla muestra la variación del crecimiento poblacional de estudiantes

matriculados con respecto al tiempo.

t(años) P(número de estudiantes)

2007 782

2008 812

2009 834

2010 861.28

2011 889.45

2012 918.55

2013 948.60

2014 979.63

Tabla 2: El numero de estudiantes matriculados P(t) crece conforme aumenta el tiempo t.

PREDICCIÓN - PROSPECTIVA

Si en el año 2002 había aproximadamente 665 estudiantes matriculados, en el año

2007 había 782 estudiantes matriculados, en el presente año 2009 hay 834 estudiantes

matriculados, se puede predecir que para el año 2012 habrá 918 estudiantes

matriculados en la carrera de Ingeniería Civil, con un crecimiento natural de la población

de estudiantes correspondiente al 3,218 %.

CONCLUSIONES

Los problemas de crecimiento y decrecimiento exponencial aparecen en muchas

teorías que involucran crecimiento y cumplen la ecuación diferencial:

con la condición inicial:

t=0

A partir de esta ecuación lineal se puede calcular y modelar el crecimiento o

decrecimiento de una determinada población, y predecir la variación de dicha

población con respecto al tiempo.

A pesar de que la ecuación lineal es relativamente simple, la utilización de métodos

aproximados para analizar su comportamiento tiene un nivel de complejidad inferior

al de la obtención de la función primitiva correspondiente. Es más, la interpretación de

tablas y gráficos es mucho más sencilla que la interpretación de la función primitiva.

Estos hechos son más notorios cuando las ecuaciones deferenciales son más complejas,

cuando las funciones primitivas son mas elaboradas o cuando no puede obtenerse

analíticamente las funciones primitivas.

BIBLIOGRAFÍA

Texto guía: “Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado”, 8ª.

Edición, Dennis G. Zill,

http://tarwi.lamolina.edu.pe/~acg/Capitulo%20III%20Ecologia.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Crecimiento_poblacional

http://publiespe.espe.edu.ec/librosvirtuales/ecuaciones-diferenciales/ecuaciones-

diferenciales/ecuaciones-diferenciales06.pdf

http://www.grupoescalar.com/download/Modelos%20de%20poblaciones.pdf