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8/19/2019 Microsoft PowerPoint - 3.1 Modelo Matematico 2014.Pptx

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Simulación Matemática de Yacimientos

Modelos Matemáticosdel Flujo de Fluidos en

Medios Poroso

Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM

Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 1septiembre de 2014


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IntroducciónLa simulación de yacimientos describe el

comportamiento de los procesos físicosque ocurren en los yacimientos.

Para ello nosotros los ingenieros debemosidentificar dichos procesos físicos yformular las ecuaciones matemáticas

que los gobiernan.




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IntroducciónEl modelado matemático de un sistema

dado, requiere entender elcomportamiento de los diferenteselementos que conforman el sistema enestudio.

En la simulación de yacimientos el sistema

se compone de la roca del yacimiento ylos diferentes fluidos que fluyen a travésde el.




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IntroducciónCon lo anterior es fácil suponer que la

habilidad para predecir el comportamientode un yacimiento estará en función de:1. La habilidad que tenga el ingeniero para

identificar el proceso físico que sepresenta en el yacimiento.2. Y representar dicho proceso en forma

matemática.




5/149

IntroducciónEs necesario comprender los conceptos

básicos de ingeniería de yacimientos paramodelar el flujo de fluidos a través delmedio poroso: Potencial de flujo. Ley de Darcy.

Flujo en estado estacionario y turbulento. Propiedades de la roca. Propiedades de los fluidos. Propiedades roca/fluido.




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Modelos Matemáticos del Flujode Fluídos en un Medio Poroso

Potencial de Flujo




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Potencial de un FluidoEl potencial de un fluido esta definido como

el trabajo requerido para transportar unaunidad de masa de un fluido desde unpunto con presión atmosférica y elevacióncero a otro punto determinado.

Matemáticamente, para un fluido

incompresible, esto es:



D p

h f

hf = potencial del fluido (pies); p = presión (psia); = gradiente del fluido (psia/pies);D = profundidad (pies)(+ en la dirección hacia arriba)


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Gradiente del FluidoEl gradiente del fluido esta definido como:



gc

= gradiente del fluido (psia/pies); c = 0.21584x10-3

; = densidad (lbm/pies3

); gaceleracion gravitacional (pies/seg2)


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Potencial de FlujoSi multiplicamos por a ambos lados de la

ecuación de potencial de un fluido,tendríamos:

El termino hf tiene unidades de presión yfrecuentemente es conocida como la

presión de referencia. En simulación deyacimientos, este termino es conocidocomo el Potencial de Flujo (

).



D ph f


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Potencial de FlujoPor lo tanto el potencial de flujo lo tenemos

definido como:



= potencial de flujo (psia); p = presión (psia); = gradiente del fluido (psia/pies); D= profundidad (pies)(+ en la dirección hacia arriba)

D p


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Potencial de FlujoEn la ingeniería de yacimientos, se requiere

de llevar todos los datos de presión a unacierta profundidad de referencia. Estaprofundidad de referencia puede ser lacima, el punto medio o la base delyacimiento; o usualmente el punto medioentre los contactos de fluidos.




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Potencial de Flujo



Presión

Profundidad

Contacto Gas - Aceite

Contacto Agua - Aceite

Nivel de Agua Libre

Profundidad del Plano de Referencia


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Potencial de Flujo Aplicación a Calcular la Presión a un Plano de ReferenciaLa presión a un plano de referencia dado se

puede estimar como:



M PR M PR Z Z PP

PPR = Presión al Plano de Referencia(psia); PM = Presión Medida (psia); = gradientedel fluido (psia/pies); Z

PR

= Profundidad del Plano de Referencia (pies); ZM

=Profundidad donde la Presión fue Medida(pies)


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septiembre de 2014

Fuente: “Laboratorio de Fluidos en el Fondo del Pozo” Oilfield Review Vol-21 No-4 – 2010

Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 14


Potencial de Flujo Aplicación a Calcular la Presión a un Plano de Referencia


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septiembre de 2014

Fuente: “Laboratorio de Fluidos en el Fondo del Pozo” Oilfield Review Vol-21 No-4 – 2010

Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 15


Potencial de Flujo Aplicación a Calcular la Presión a un Plano de Referencia


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Potencial de Flujo




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Potencial de FlujoEn unidades de campoEl potencial de flujo en unidades de campo,

con respecto a la densidad del fluido:



DP 144

1

= potencial de flujo (psia); p = presión (psia); = densidad del fluido (lb/pies3

); D =profundidad (pies)


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Potencial de FlujoEl gradiente del potencial de flujo, lo

obtenemos por diferenciación de ladefinición del potencial de flujo, entoncestendremos:

Donde D es positivo en dirección verticalhacia abajo.

x

D

x

P

x

144

1




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Potencial de Flujo

0

x

D


0

y

D1

z

D

Superficie de Referencia

Yacimiento



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Potencial de Flujo


0 x

D0

y

D1

z

D

Yacimiento




21/149

Potencial de Flujo


0 x

D0

y

D1

z

D


Yacimiento



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Potencial de Flujo


Yacimiento


0 x

D0

y

D1

z

D



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Potencial de FlujoEjercicio



En la figura siguiente se muestra un yacimiento de aguadulce. Los puntos A, B y C están separados a como semuestra la figura. La densidad del agua es de 62.43lb/pie3. La presión en el punto B es de 2000 psia y el aguaestá bajo equilibrio hidrostático al tiempo de su

descubrimiento. Cuáles son las presiones en los puntos A yC?


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Modelos Matemáticos del Flujode Fluidos en un Medio Poroso

Ley de Darcy




25/149

Ley de DarcyEn 1856, como resultado de estudios

experimentales de flujo de agua a travésde filtros de arena no consolidada, elfrancés Henry Darcy dedujo la fórmula

que lleva su nombre.




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Ley de Darcy


La Ley de Darcy describe, con

base en experimentos delaboratorio, las características delmovimiento del agua a través deun medio poroso. El agua, por

relaciones de energía, circula demayor a menor altura.El agua se desplazará en ladirección donde haya más

permeabilidad y esta a su vezindicará a que velocidad semueve el agua en condicionesunitarias de gradiente.



27/149

Ley de DarcyEsta es válida en un medio saturado,

continuo, homogéneo e isotrópico ycuando las fuerzas gravitacionales sondespreciables.

Se ha extendido, con ciertas limitaciones, almovimiento de otros fluidos incluyendodos o más fluidos no miscibles en rocasconsolidadas y otros medios porosos.



Si l ió M t áti d Y i i t M d l M t áti d l Fl j d Fl id M di P 28


28/149

Ley de DarcyLa forma general de la ley de Darcy para el

flujo de fluidos en un medio poroso, enuna dimensión y una sola fase, es enforma diferencial:

x

k Aq x xc


q (STB/D);

c=0.001127; A (pie2); k (md);

(cp); (psia); x (pie)


Simulación Matemática de Yacimientos Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 29i b d 2014


29/149

Ley de DarcyTambién la podemos expresar en términos

de velocidad, entonces tendríamos:


x

k u A

q xc x

x




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Ley de DarcyLa ley de Darcy para el flujo de fluidos en

un medio poroso, en tres dimensiones esexpresada como:

Y con la definición de potencial de flujo:

k u c

Simulación Matemática de Yacimientos Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 30septiembre de 2014


D pk

u c

144

1



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Ley de Darcy

Para flujo multifásico la forma de laecuación de Darcy para cada fasepuede ser expresada como:

Dondel

= aceite, gas o agua; y k rl es lapermeabilidad relativa de cada fase.

Z pkk u lll

rlcl

Simulación Matemática de Yacimientos Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 31septiembre de 2014




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Ley de DarcyEjercicioEn la figura siguiente se muestra un yacimiento de aceite. Lapermeabilidad es de 100 md y el espesor es de 40 pies. La densidad

del aceite es de 40 lb/pie3

, la viscosidad de 0.6 cp. Hay dos pozosperforados en los puntos 1 y 2. Los dos pozos están separadoshorizontalmente 2000 pies. La profundidad del pozo 1 es 8152.6 pies yel pozo 2 se encuentra a una profundidad de 7800 pies. Las presionesde fondo fluyendo son 3600 psia y 3570 psia del pozo 1 y 2respectivamente. Determinar la velocidad del fluido entre los 2 pozos.

jseptiembre de 2014




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Ley de DarcyEjercicio

p




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Modelos Matemáticos del Flujo

de Fluídos en un Medio Poroso

Ecuación de Continuidad




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Ecuación de continuidadUna descripción matemática del flujo de

fluidos en medios porosos está basada enla ley de la conservación de masa, la cualestablece que la masa dentro de un

sistema permanece constante con eltiempo. Es decir que:

0dt dm




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Ecuación de continuidadLa ecuación de continuidad, que es la

consecuencia de la aplicación de la ley deconservación de masa.Esta determina que para un cierto elemento

de medio poroso, la rapidez decrecimiento de la masa dentro delelemento es exactamente igual al flujoneto de masa hacia el mismo.




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Ecuación de continuidad

Masa queentra

Masaque sale

Pozo

Para inyección

Para producción




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donde:

mi masa que entra.

m o

masa que sale.

m s

masa que entra o sale por un pozo.

m a

masa acumulada.

asoi mmmm




39/149

Ecuación de continuidadLos términos de masa los podemos definir

como: z y xm a

t wt qm iii

t wt qm ooo

t qm ms

Vb=( ∆ x)( ∆ y)( ∆ z)= volumen bruto; = porosidad; = densidad;qi = gasto de entrada;qo = gasto de salida;t = incremento de tiempowi = gasto másico de entrada;w

o

= gasto másico de salida;qm = gasto del pozo;




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La ecuación queda de la forma:

t t t m x x x x

z y x z y x

t qt wt w

22

Masa queentra

Masaque sale

Pozo

Para inyección

Para producción




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El gasto másico x x x x Am z ymw

xc x um

x xc x Auw

La masa en términos dela densidad y la

velocidad volumétricaPor tanto el gasto

másico queda definido

en términos de lavelocidad volumétrica

c=constante para unidades consistentes




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Ecuación de continuidadSustituyendo lo anterior en la ecuación de

continuidad, queda de la forma:

t

z y x z y xq

Au Au

t t t

cc

m

x x x x x x x x

1

22




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Ecuación de continuidadSi dividimos la ecuación anterior por el

volumen bruto:

t V

q

x

uu

t t t

cbc

m

x x x x x x

1

22




44/149

Ecuación de continuidadSi ahora tomamos límites que tienden a

cero en espacio y tiempo:

t

V

q

x

uu

t t t

ct x

bc

m x x x x x x

t x

1

lim

lim

00

22

00




45/149

Ecuación de continuidadEn la ecuación anterior nosotros podemos

reconocer la definición de la derivadaparcial de orden uno con respecto aespacio y tiempo en las coordenadas

cartesianas.




46/149

Ecuación de continuidadPara espacio:

Para tiempo:

z , y , xs ,

s

2ss f 2ss f lim

s

f

0s

t

t f t t f lim

t

f

0t




47/149

Ecuación de continuidadEntonces la ecuación de continuidad se

puede escribir como:

Si la multiplicamos por el volumen de roca:

t V

qu

x cbc

m x

1

t V q

x Au x cb

c

m x x


= densidad del fluido (lbm/pie3); = velocidad (bbl/dia-ft2); x (pies); Ax (pie2); qm= gasto másico (lbm/dia); c = 5.614583; V b (pie3); = porosidad (fracción); t =

tiempo (día)



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Ecuación de Estado




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Ecuación de EstadoPara encontrar definir el modelo

matemático, es necesario incluir laecuación de estado a la ecuación decontinuidad.

Hay que recordar que la ecuación de estadorelaciona la densidad con respecto a lapresión y temperatura.




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Densidad de los fluidosIncompresibles, Ligeramente Compresibles y Compresibles

D e n

s i d a d

Presión

•Incompresible

•Ligeramente Compresible

•Compresible

•Aceite con gas en solución




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Propiedades de la Roca


P i d d d l RSimulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 52septiembre de 2014


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Propiedades de la RocaPorosidad – Definición

Los espacios porosos de una roca contienen

fluidos. Algunos de estos espacios estánaislados y otros están interconectados. Larelación de los espacios porosos en una

roca con respecto al volumen bruto de laroca es llamada porosidad.




53/149

Propiedades de la RocaPorosidad – Total y Efectiva

Dos tipos de porosidad primaria pueden

encontrarse en un yacimiento: porosidadtotal y la porosidad efectiva.La porosidad total es la suma de los poros

aislados e interconectados.La porosidad efectiva solo incluye los poros

interconectados.




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Propiedades de la RocaPorosidad Efectiva

La porosidad efectiva entonces, es la

medida de capacidad de la roca paraalmacenar fluidos producibles en estosespacios interconectados.




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Propiedades de la RocaPorosidad

La porosidad depende de la presión del

yacimiento por la combinación de lacompresibilidad de la roca y los poros. Laporosidad aumenta a como las presión del

yacimiento aumenta. Esta relación sepuede expresar como:


00 1 p pc

=porosidad (fracción); 0 = porosidad a una presión de referencia p0; c = compresibilidad de poro (psi); p=presión (psia)



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Propiedades de la RocaHomogeneidad y Heterogeneidad

Una propiedad de la roca, como lo puede

ser la porosidad, puede variar de un puntoa otro.Si la propiedad es constante e

independiente de su ubicación, la rocadel yacimiento puede ser llamadahomogénea.

Por otro lado si la propiedad varia conrespecto a la distancia, entonces es

llamada heterogénea.Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM

Propiedades de la RocaSimulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 57septiembre de 2014


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Propiedades de la RocaHomogeneidad


1,1 = 0.3 2,1 = 0.3 3,1 = 0.3

1,2 = 0.3 2,2 = 0.3 3,2 = 0.3

1,3 = 0.3 2,3 = 0.3 3,3 = 0.3



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Propiedades de la RocaHeterogeneidad


1,1 = 0.28 2,1 = 0.30 3,1 = 0.27

1,2 = 0.30 2,2 = 0.28 3,2 = 0.32

1,3 = 0.29 2,3 = 0.31 3,3 = 0.28



59/149

Propiedades de la RocaHomogeneidad y Heterogeneidad

En realidad los yacimientos homogéneos no

existen, el concepto de homogeneidadgeneralmente es usado para idealizar elmedio poroso; esto normalmente es para

simplificar problemas difíciles de resolver ycon ello obtener una solución analítica.




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Propiedades de la RocaPermeabilidad – Definición

Es la capacidad del medio poroso para

transmitir fluidos a través de los porosinterconectados. Esta capacidad esllamada permeabilidad absoluta o

simplemente permeabilidad, si el medioesta saturado 100% con un fluido en unasola fase.




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Propiedades de la RocaPermeabilidad Efectiva

Si el medio esta saturado por dos o mas

fases la capacidad del yacimiento paratransmitir una fase es llamadapermeabilidad efectiva.




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Propiedades de la RocaPermeabilidad Efectiva

La permeabilidad varia de un punto a otro,

incluso en el mismo punto, lo cualdepende de la dirección de flujo.En muchos problemas, se asume que la

permeabilidad puede ser representada por3 valores: K x, K y y K z, las cualesrepresentan la permeabilidad en la

dirección X, Y y Z respectivamente.




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Propiedades de la RocaIsotropía


kx1,3 = 200ky1,3 = 200kx2,3 = 200ky2,3 = 200 kx

3,3 = 200ky3,3 = 200

kx1,2 = 100ky1,2 = 100

kx2,2 = 100ky2,2 = 100

kx3,2 = 100ky3,2 = 100

kx1,1 = 50ky1,1 = 50

kx2,1 = 150ky2,1 = 150

kx3,1 = 250ky3,1 = 250



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Propiedades de la Roca Anisotropía


kx1,3 = 200ky1,3 = 100 kx2,3 = 200ky2,3 = 100 kx

3,3 = 200ky3,3 = 100

kx1,2 = 100ky1,2 = 150

kx2,2 = 100ky2,2 = 150

kx3,2 = 100ky3,2 = 150

kx1,1 = 150ky1,1 = 50

kx2,1 = 120ky2,1 = 190

kx3,1 = 250ky3,1 = 220


Propiedades de la Roca


65/149


Propiedades de la RocaHomogeneidad, Heterogeneidad, Isotropía, Anisotropía



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Modelo Matemático


Modelo MatemáticoSimulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 67septiembre de 2014


67/149

Modelo MatemáticoIntroducción

El modelo matemático que describe el flujo

de un fluido través del medio poroso tienela forma de una ecuación diferencialparcial y consideran la relación dinámica

entre el fluido, el medio poroso y lascondiciones de flujo que presenta elsistema.




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Modelo MatemáticoIntroducciónPara expresar el modelo matemático del flujo de

fluidos a través del medio poroso es necesario

utilizar las siguientes 3 leyes o reglasfundamentales:

1. El principio de conservación de masa.2. Una ecuación de estado que describa la

densidad del fluido como función de latemperatura y la presión.

3. La ley de darcy que describe el gasto de unfluido moviéndose dentro o fuera de unvolumen definido.



Modelo Matemático


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La ecuación de continuidad ya la

definimos como:

t V q

x Au x c

b

c

m

x x


Modelo MatemáticoEcuación de Continuidad

= densidad del fluido (lbm/pie3); = velocidad (bbl/dia-ft2); x (pies); Ax (pie2); qm= gasto másico (lbm/dia); c = 5.614583; V b (pie3); = porosidad (fracción); t =

tiempo (dia)



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Modelo MatemáticoEcuación de Estado

Un relación simple para expresar el factor

de volumen de un fluido es:

sc B

Ing. Oscar Osorio Peralta - Ingenieria y Consultoría Mexicana (INCOMEX)

B = factor de volumen de un fluido (volumen @ condiciones de yacimiento/volumen @

condiciones estándar



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Modelo MatemáticoLey de Darcy

La ley de Darcy la definimos como:

xk u xc x

Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM = velocidad (bbl/dia-ft2

); c=0.001127; k (md); (cp); (psia); x (pie)



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Modelo MatemáticoGasto másico a gasto volumétrico

El gasto másico lo expresaremos entérminos de gasto volumétrico, tomandoen cuenta que:

3

3

3

3

L

m

t

L

L

L

t

m

qq scsccm


= densidad del fluido @ condiciones estándar (lbm/pie3); qm = gasto másico

(lbm/dia); c = 5.614583; qsc = gasto volumétrico @ condiciones estándar (STB/dia)



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Modelo MatemáticoSi sustituimos la ecuaciones anteriores en laecuación de continuidad, tenemos elmodelo matemático que describe elflujo un fluido en un medio poroso en

una sola dirección:

Bt

V q x

x B

k A

x c

bsc

x xc


c=0.001127; A x = Área (pie2); k = permeabilidad (md); = viscosidad (cp); B = factorde volumen (bbl/STB); x (pies); = potencial de flujo (psia); qsc = gasto volumétrico(STB/dia); V b = Volumen de roca (pie3); c = 5.614583; = porosidad (fracción); t =

tiempo (día)



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Modelo MatemáticoEl modelo matemático que describe elflujo un fluido en un medio poroso en 3direcciones:

Bt

V

q z z B

k A

z y y B

k A

y x x B

k A

x

c

b

sc

z z

c

y y

c

x x

c


c=0.001127; A x , A y , Az = Área (pie2); k x , k y , k z = permeabilidad (md); = viscosidad(cp); B = factor de volumen (bbl/STB); x, y, z (pies); = potencial de flujo (psia);qsc = gasto volumétrico (STB/dia); V b = Volumen de roca (pie3); c = 5.614583; =

porosidad (fracción); t = tiempo (día)



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Modelo MatemáticoLa ecuación anterior es la forma más

general de representar el flujo de unfluido en un medio poroso en unasola fase.

En esta ecuación no asumimos que tipode fase se maneja (incompresible,

ligeramente compresible ycompresible).




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Modelo MatemáticoCoordenadas cilíndricas




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Modelo MatemáticoEl modelo mátematico en coordenadas

cilíndricas queda de la siguiente forma:

Bt

q z B

k

z B

k

r r B

k r

r r

c

sc z

ccr

c

1

112




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Modelo MatemáticoUnidad Símbolo UnidadesCampo

UnidadesMétricas

Factor deConversión

Longitud x, y, z, r ft m 0.3048

Área A ft2 m2 0.09290304

Permeabilidad k darcy m2 0.9869233

Viscosidad cp Pa s 0.001

Factor de Volumen del Gas Bg RB/scf m3 / std m3 5.5519314

Factor de Volumen del Líquido Bo, Bw RB/stb m3 / std m3 1

Relación Gas - Aceite Rs scf/STBstd m3 /std m3

0.1801175

Presión , p psia kPa 6.894757

Gradiente de Presión P , psi/ft kPa / m 22.62059

Gravedad de la Fase psi/ft kPa / m 22.62059




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Modelo MatemáticoUnidad Símbolo Unidades

CampoUnidadesMétricas

Factor deConversión

Gasto de Gas qsc , qgsc scf / D std m3

/ D 0.0286364

Gasto de Líquido qsc , qosc ,qwsc

STB / D std m3 / D 0.1589873

Velocidad Volumétrica u, q/A RB / (D-ft2)m3 / (d-

m3)1.7103717

Volumen de Roca V b ft3 m3 0.02831685

Densidad de la Fase lbm/ft3 kg / m3 16.01846

Aceleración Gravitacional g32.174ft/s2

9.8066352m/s2

0.3048

Compresibilidad c psia-1 kpa-1 0.1450377

Temperatura Absoluta T °R °K 0.5555556

Permeabilidad relativa k r fracción fracción 1.0

Porosidad fracción fracción 1.0




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Modelo MatemáticoUnidad Símbolo Unidades

Campo

Unidades

Métricas

Factor de

ConversiónSaturación de la fase S fracción fracción 1.0

Factor de Compresibilidad Z adimensional adimensional 1.0

Tiempo t día día 1.0

Ángulo , radianes radianes 1.0Factor de conversión deTransmisibilidad

c 1.127 86.4 x 10-6 -

Factor de conversión deGravedad

c0.21584 x

10-31 x 10-3 -

Factor de conversión de Volumen

c 5.614583 1 -




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Modelo Matemático para unFluído Incompresible


Modelo Matemático de Flujo en un Medio Poroso



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Definición de un Fluido Incompresible

Este tipo de fluido es una idealización del aceitelibre de gas y principalmente del agua.

Un fluido incompresible tiene cero compresibilidad,por lo tanto, independientemente de la presión,este tiene una densidad, un factor de volumen y

una viscosidad constante, y matemáticamente es:


cte p f

B p f B

cte p f

10

=densidad (lbm/pie3); B = factor de volumen (bbl/STB); B0 = factor de volumen auna presión de referencia p0 (bbl/STB); = viscosidad (cp)




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Consideraciones a un Fluido Incompresible

Si un fluido es incompresible, ladensidad de este es constante. En

otras palabras B = constante. Si los efectos termales son despreciables,

B=1. Para un fluido incompresible, también

podemos decir que la viscosidad esconstante.

Asumimos que la porosidad no varia conla presión.





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Con las consideraciones anteriores, el modelo lopodemos reescribir como:

Esta es una solución independiente del tiempo. Ladependencia del tiempo es igual a cerocuando se hace la consideración de B como

constante y también el medio poroso seasume incompresible (la porosidad no variacon la presión).

0q z z

k A z

y y

k A y

x x

k A x

sc z zc y yc x xc

(psia);

(cp); x, y, z (pies); Ax, Ay, Az (pie2); k (md); qsc (STB/D); c = 0.001127

Fluido Incompresible





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Si el término de gravedad loconsideramos como despreciableentonces el modelo para un fluidoincompresible queda como:

Esta ecuación considera un medioheterogéneo y anisotrópico.

0q z zPk A

z y

yPk A

y x

xPk A

x sc z zc y yc x xc

P (psia);







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Para un medio homogéneo e isotrópico,considerando el término de gravedadcomo despreciable tenemos:

0kV

q

z

P

y

P

x

P

bc

sc

2

2

2

2

2

2

P (psia);







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Para un medio homogéneo e isotrópico,considerando el término de gravedadcomo despreciable y sin termino defuente o sumidero (pozo), tenemos:

La cual conocemos como la Ecuación deLaplace.

02

2

2

2

2

2

z

P

y

P

x

P

P (psia);






88/149



Modelo Matemático para unFluído Ligeramente Compresible


Modelo Matemático de Flujo en un Medio Porosoó



89/149

Definición de un Fluido Ligeramente CompresibleUn fluido ligeramente tiene compresibilidadconstante, usualmente en rangos desde los 10-5

hasta los 10-6

psi-1

. El aceite libre de gas, agua yaceite por arriba del punto de burbuja son ejemplode este tipo de fluidos. La densidad, el factor devolumen y la viscosidad son dependientes de lapresión:


00 1 p pc

=densidad (lbm/pie3); 0 = densidad a una presión de referencia p0 (lbm/pie3); B = factor de volumen (bbl/STB); B0 = factor de volumen auna presión de referencia p0 (bbl/STB); = viscosidad (cp); 0 = viscosidad a una presión de referencia p0 (cp); p=presión (psia);

c=compresibilidad del fluido (psi-1)

00

1 p pc

B B

00

1 p pc


Modelo Matemático de Flujo en un Medio Porosol id i ibl


90/149

Para un fluido ligeramente compresible se asumeque la compresibilidad es muy pequeña y

permanece constante en un cierto rangode presión.

Esto para un medio heterogéneo y

anisotrópico y asumiendo que el medioporoso es incompresible.

Fluido Ligeramente Compresible

t

P

B

cV q z

z B

k A

z y

y B

k A

y x

x B

k A

x c

bsc

z zc

y y

c x x

c

0

=potencial (psia); =viscosidad (cp); x, y, z (pies); Ax, Ay, Az = Área (pie2); k = permeabilidad (md); qsc = gasto de producción oinyección (STB/D); c = 0.001127; B=factor de volumen (bbl/STB); c = compresibilidad (psia-1); c=5.615; = porosidad (fracción);

V b=volumen bruto de la roca (pies3); B0=factor de volumen a una presión de referencia p0 (bbl/STB); t =tiempo (días); p =presión (psia)



Modelo Matemático de Flujo en un Medio PorosoFl id Li t C ibl


91/149

Si consideramos despreciable los efectos porgravedad:

Esto para un medio heterogéneo yanisotrópico.


t

P

B

cV q z

z

P

B

k A

z y

y

P

B

k A

y x

x

P

B

k A

x c

bsc

z zc

y y

c x x

c

0


=viscosidad (cp); x, y, z (pies); Ax, Ay, Az = Área (pie2); k = permeabilidad (md); qsc = gasto de producción o inyección (STB/D); c =0.001127; B=factor de volumen (bbl/STB); c = compresibilidad (psia-1); c=5.615; = porosidad (fracción); V b=volumen bruto de la roca

(pies3); B0=factor de volumen a una presión de referencia p0 (bbl/STB); t =tiempo (días); p =presión (psia)


Modelo Matemático de Flujo en un Medio PorosoFl id Li t C ibl


92/149

Si asumimos que los cambios de viscosidad y elfactor de volumen con respecto a la presión, son

despreciables, entonces los podemos considerarconstantes. Si asumimos un medio homogéneoe isotrópico y sin termino de fuente o sumidero,la ecuación queda se la siguiente forma:

La cual la conocemos como la ecuación dedifusividad.


t

P

k

c

z

P

y

P

x

P

cc

12

2

2

2

2

2


=viscosidad (cp); k = permeabilidad (md); c = 0.001127; c = compresibilidad (psia-1); c=5.615; = porosidad (fracción); t =tiempo(días); p =presión (psia)



93/149



Modelo Matemático para unFluído Compresible


Modelo Matemático de Flujo en un Medio PorosoDefinición de un Fluido Compresible



94/149

Definición de un Fluido CompresibleUn fluido compresible tiene compresibilidad alta,usualmente en rangos desde los 10-2 hasta los 10-4

psi-1

y depende altamente de la presión. Ladensidad y la viscosidad incrementan a como lapresión incrementa, pero tiende a estabilizarse aaltas presiones. El factor de volumen decrece a

como la presión incrementa desde la presiónatmosférica hasta altas presiones.


zRT pM g

g = densidad (lbm/pie3); p = presión (psia); M = peso molecular del gas (lbm/lb mol); z = factor de compresibilidad del gas; R = 10.73; T =temperatura (°R); psc = presión a condiciones estándar (psia); Tsc = temperatura a condiciones estándar (°R); = viscosidad (psi-1);

c=5.614583

pT Tz p Bscc

sc

M pT f ,,


Modelo Matemático de Flujo en un Medio PorosoFluido Compresible


95/149

Para el flujo de gas es imposible considerarla viscosidad, la densidad, el factor de

volumen y el factor compresibilidad Z,como constantes; debido a la altadependencia de la presión.

Un aspecto el cual si se puede considerardespreciable son los efectosgravitacionales, esto debido a la baja

densidad del gas.

Fluido Compresible





96/149

Debido a lo anterior tenemos la ecuaciónsiguiente:

Para un medio heterogéneo y anisotrópico.

Z

P

t T P

T V q z

z

P

B

k A

z y

y

P

B

k A

y x

x

P

B

k A

x sc

scbscg

gg

z zc

gg

y y

c

gg

x xc

Fluido Compresible


g =viscosidad (cp); x, y, z (pies); Ax, Ay, Az = Área (pie2); k = permeabilidad (md); qscg = gasto de producción o inyección (SCF/D); c =0.001127; Bg=factor de volumen (bbl/SCF); c = compresibilidad (psia-1); = porosidad (fracción); V b=volumen bruto de la roca (pies3); t =

tiempo (días); P =presión (psia); Tsc = temperatura a condiciones estándar (°R); Tsc = temperatura (°R); Psc = presión a condicionesestándar (psia); Z = factor de compresibilidad del gas (adim)




97/149

La ecuación anterior es una ecuación endiferencias parciales no lineal; y esta sepresenta por la dependencia de g, Bg y elfactor de compresibilidad Z, con respecto a

la presión.

Fluido Compresible



Modelo Matemático de Flujo en un Medio PorosoFluido Compresible – Linealización por el Método de P2


98/149

La linealización de la ecuación para un fluidocompresible se puede llevar a cabo por 2

métodos.Una primera opción es el método llamado

P2. En este se reconoce lo siguiente:

Y se asume que el producto gZ esconstante a bajas presiones.

Fluido Compresible Linealización por el Método de P

2 p

2

1 p p



Modelo Matemático de Flujo en un Medio PorosoFluido Compresible – Linealización por el Método de P2


99/149

La variable dependiente en el resultado de laecuación ahora será P2 en lugar de P.

Esta forma de la ecuación para un fluidocompresible es aceptada para yacimientos debaja presión (usualmente debajo de 500 psia),donde el comportamiento del gas real se

asemeja al comportamiento de un gas ideal.

t

PcV Zq

T

T P Z z

z

Pk A

z y

y

Pk A

y x

x

Pk A

x c

bscg

scc

sc z zc y yc x xc

2222

2

Fluido Compresible Linealización por el Método de P



tiempo (días); P2 =presión al cuadrado (psia2); Tsc = temperatura a condiciones estándar (°R); Tsc = temperatura (°R); Psc = presión acondiciones estándar (psia); Z = factor de compresibilidad del gas (adim)


Modelo Matemático de Flujo en un Medio PorosoFluido Compresible – Linealización por el Método Pseudopresión


100/149

El concepto de pseudopresión de un gasreal es definido como:

La linealización se asume sustituyendo lapseudopresión en el modelo matemático.

Fluido Compresible Linealización por el Método Pseudopresión

dP Z

PP

P

p 0

2



Modelo Matemático de Flujo en un Medio PorosoFluido Compresible – Linealización por el Método Pseudopresión


101/149

Por tanto el modelo matemático quedadefinido como:

Fluido Compresible Linealización por el Método Pseudopresión


t

PcV q

PT

Z T P z

z

Pk A

z y

y

Pk A

y x

x

Pk A

x

p

c

igib

scg

iscc

igsc p

z zc

p

y yc

p

x xc


tiempo (días); Pp =pseudo presión (psia2/cp); Tsc = temperatura a condiciones estándar (°R); Tsc = temperatura (°R); Psc = presión acondiciones estándar (psia); Z = factor de compresibilidad del gas (adim)


Modelo Matemático de Flujo en un Medio PorosoLinealización por el Método Pseudopresión vs P2


102/149


p p



103/149



Modelos Matemáticos paraFlujo Multifásico(Aceite – Negro)



Modelo Matemático de Flujo en un Medio PorosoModelo de Aceite Negro - Conceptualización


104/149

Gas

Aceite + Gas

Disuelto

Agua

g p



Modelo Matemático de Flujo en un Medio PorosoModelo de Aceite Negro - Conceptualización


105/149

Los modelos de Aceite Negro, están basadosen la suposición de la presencia de las tresfases: aceite, agua y gas.

En base a esto se tiene que en un elemento

se van a contener cada una de estoscomponentes.



Modelo Matemático de Flujo en un Medio PorosoModelo de Aceite Negro – Ecuación de Continuidad para el Aceite


106/149

La ecuación de conservación de masa parael componente aceite es:

osco

o

c

b

ozo

z

oyo

y

oxo

x q B

S

t

V zu

B

A

z yu

B

A

y xu

B

A

x


ó ó


Modelo Matemático de Flujo en un Medio PorosoModelo de Aceite Negro – Ecuación de Continuidad para el Agua


107/149

La ecuación de conservación de masa parael componente agua es:

wscw

w

c

b

wzw

z

wyw

y

wxw

x

q B

S

t

V

zu B

A

z yu B

A

y xu B

A

x


ó d ó d


Modelo Matemático de Flujo en un Medio PorosoModelo de Aceite Negro – Ecuación de Continuidad para el Gas


108/149

La ecuación de conservación de masa parael componente gas es:

Donde:

gsco

o

s

g

g

c

boz

o

s z fgz

g

z

oy

o

s y fgy

g

y

ox

o

s x fgx

g

x

qS B

R

B

S

t

V zu

B

R Au

B

A

z

yu B

R Au

B

A

y xu

B

R Au

B

A

x

oscs fgscgsc q Rqq


L i i i j


Modelo Matemático de Flujo en un Medio PorosoModelo de Aceite Negro – Ley de Darcy


109/149

Las ecuaciones anteriores tienen un manejosimilar que las ecuaciones de una sola

fase.Para obtener los modelos matemáticos de

cada uno de los componentes (aceite,agua y gas), tenemos que asociar la ley deDarcy a cada una de ellas.

Z pkk u lll

rlcl


á


Modelo Matemático de Flujo en un Medio PorosoModelo de Aceite Negro – Componente Aceite


110/149

El modelo matemático para el componenteaceite para flujo multifásico es:

osc

o

o

c

bo

o

oo

ro z zc

oo

oo

ro y yco

o

oo

ro x xc

q BS

t V z

z Z

z p

Bk Ak

z

y y

Z

y

p

B

k Ak

y x

x

Z

x

p

B

k Ak

x


El d l t áti l t


Modelo Matemático de Flujo en un Medio PorosoModelo de Aceite Negro – Componente Agua


111/149

El modelo matemático para el componenteagua para flujo multifásico es:

wsc

w

w

c

bw

w

ww

rw z zc

ww

ww

rw y ycw

w

ww

rw x xc

q B

S

t

V z

z

Z

z

p

B

k Ak

z

y y

Z

y

p

B

k Ak

y x

x

Z

x

p

B

k Ak

x


El modelo m temáti o p el omponente


Modelo Matemático de Flujo en un Medio PorosoModelo de Aceite Negro – Componente Gas


112/149

El modelo matemático para el componentegas para flujo multifásico es:

gsc

o

os

g

g

c

b

oo

oo

sro z zcg

g

gg

rg

z zc

oo

oo

sro y ycg

g

gg

rg

y yc

oo

oo

sro x xcg

g

gg

rg

x xc

q B

S R

B

S

t

V

z z

Z

z

p

B

Rk Ak

z

Z

z

p

B

k Ak

z

y y

Z

y

p

B

Rk Ak y

Z

y

p

B

k

Ak y

x x

Z

x

p

B

Rk Ak

x

Z

x

p

B

k Ak

x


E t d l t áti ti


Modelo Matemático de Flujo en un Medio PorosoModelo de Aceite Negro – Ecuaciones Complementarias


113/149

Estos modelos matemáticos tienenasociados ahora las saturaciones de cadacomponente. Las ecuaciones auxiliarespara estos modelos son:

gogcgowwocow

gwo

S f PPPS f PPP

1S S S




114/149



Modelos Matemáticos paraFlujo Multifásico(Composicional)




Modelo Composicional – Conceptualización


115/149

Yi

Xi


En los modelos composicionales el



Modelo Composicional – Conceptualización


116/149

En los modelos composicionales, elcomportamiento de fases es parte crucial

de estos.Los datos PVT juegan un papel muy

importante. Y estos se representan conalguna ecuación de estado, EoS (Equationof State).


El manejo de la EoS en la simulación



Modelo Composicional – Equation of State (EOS)


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El manejo de la EoS en la simulacióncomposicional se utiliza cuando queremos

calcular la distribución de componentes encada una de las fases, la variación dedensidad de las fases, la viscosidad y laspropiedades termodinámicas.


Un modelo composicional de 3D tres fases



Modelo Composicional – Ecuaciones


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Un modelo composicional de 3D, tres fases,es modelado por 2Nc + 4 ecuaciones.

Donde Nc es el numero de componentes.

Fuente: SPE 50990 “Compositional and Black Oil Reservoir Simulation”

SPE Reservoir Evaluation Engineering – Agosto 1998Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM

Un modelo composicional de 3D tres fases



Modelo Composicional – Ecuaciones Liquido - Vapor


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Un modelo composicional de 3D, tres fases,es modelado por las siguientes

ecuaciones:

ggiooii

g

g

rg

ig z

g

g

rg

ig y

g

g

rg

ig x

o

o

roio z

o

o

roio y

o

o

roio x

S yS xt

q

z

k yT

z y

k yT

y x

k yT

x

z

k xT

z y

k xT

y x

k xT

x


SPE Reservoir Evaluation Engineering – Agosto 1998Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM

kkk



Modelo Composicional – Ecuaciones Adicionales


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www

w

w

rww z

w

w

rww y

w

w

rww x

S Bt

q

x

k BT

z x

k BT

y x

k BT

x


SPE Reservoir Evaluation Engineering – Agosto 1998

1

1

1

1

1

wgo

N

i

i

N

i

i

S S S

y

x

c

c



Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en un Medio Poroso 121septiembre de 2014


121/149



Condiciones Iniciales y

Condiciones de Frontera


Las ecuaciones diferenciales que describen



Condiciones Iniciales y de Frontera


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Las ecuaciones diferenciales que describenel flujo de fluidos en un medio poroso,

matemáticamente hablando, tienen unnumero de soluciones infinitas y unade las cuales describe el problema enparticular.


Nosotros podemos obtener una solución





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Nosotros podemos obtener una soluciónmediante la imposición de restricciones

adicionales, conocidas como condicionesiniciales y de frontera.


Estas condiciones son parte de los datos





124/149

Estas condiciones son parte de los datosconocidos del yacimiento en estudio.

Las condiciones iniciales para un modelode simulación son la distribución de

presiones y saturaciones al tiempoinicial t=0.Las condiciones de frontera son los

limites físicos que tiene el yacimiento.





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Condiciones Iniciales



126/149

Todo sistema en equilibrio en un





127/149

qtiempo cero permanecerá así, a

menos que ocurra algunaperturbación.

En un yacimiento esto ocurre cuando seperfora el primer pozo.


En la simulación las variables dependientes





128/149

pcon frecuencia son la presión y la

saturación; y para calcular su distribuciónen un yacimiento a cualquier tiempo sedebe tener la condición inicial, las cualestoman la siguiente forma general:

z , y , xP z y xS ,,Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM

Donde es alguna constante o una función





129/149

gque describe la distribución de un

parámetro (presión o saturación) dentrodel sistema al tiempo cero.




Condiciones Iniciales: Presión y

microsoft powerpoint - 3.1 modelo matematico 2014.pptx

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