2 Tesina di TEORIA DEI SISTEMI a.a 2009/2010 Caterina Vidulli Ingegneria Gestionale Industriale Universit degli Studi di Udine 3INDICE: 1. RAPPRESENTAZIONEINTERNA(DISTATO)DEISISTEMILINEARIE INVARIANTI 1.1Definizione di sistema e modello di stato 2 1.2Rappresentazione di stato4 2.ESPRESSIONI DELLEVOLUZIONE LIBERA E DELLEVOLUZIONE FORZATA DELLOSTATONELDOMINIODELTEMPOEDELLAVARIABILEDI LAPLACE 2.1Studio nel dominio del tempo8 2.2 Studio nel domino della variabile di Laplace11 3.CAMBIAMENTI DI BASE NELLO SPAZIO DI STATO E DIAGONALIZZAZIONE O RIDUZIONE A FORMA DI JORDAN DELLA MATRICE DI STATO 3.1 Cambiamenti di base nello spazio di stato15 3.2 Studio della matrice di stato 17 4.ANALISI MODALE NELLO SPAZIO DI STATO 4.1Modi di un sistema lineare continuo 22 4.2Modi di un sistema lineare discreto24 4.3Propriet dei modi26 5.DEFINIZIONEDELLASTABILITADEGLISTATIDIEQUILIBRIOE CONDIZIONI DI STABILITA BASATE SUL METODO DI LYAPUNOV 5.1 Definizioni di stabilit 28 5.2 Equilibrio e stabilit dellequilibrio 29 5.3 Stabilit dei sistemi lineari30 5.3.1 Stabilit dei sistemi continui 31 5.3.2 Stabilit dei sistemi discreti33 11. RAPPRESENTAZIONE INTERNA (DI STATO) DI SISTEMI LINEARI E INVARIANTI 1.1 DEFINIZIONE DI SISTEMA E MODELLO DI STATO Consistemafisicosintendeunapartediuniversodellaqualesivoglionostudiare alcunecaratteristiche,mentreconambienteditalesistemasidefinisceilresto delluniverso.Perpoteranalizzarelegrandezzeacuisiinteressatinecessario ricorrereaunmodellomatematicodelsistema,ovverouninsiemedirelazioni(quali equazioni e disequazioni algebriche, differenziali o alle differenze) che legano fra loro le grandezze di interesse del sistema fisico. Nel processo di costruzione di tale modello si deveprimadituttocapirequalesialanaturadeisegnaliingioco,scegliendoin corrispondenza le classi di funzioni e di variabili indipendenti con le quali rappresentarIi analiticamente. Successivamente,si deve stabilire quali legami esistenti fra le variabili si vogliono studiare e scegliere la struttura analitica dei modelli matematici adatti a tale rappresentazione. E'fondamentaledefinireapriorisesiandrannoadanalizzareaspettidinamicio staticidelfenomeno,perchdiconseguenzasiricorreramodellimatematiciditipo statico o dinamico. In entrambi i casi, le variabili in gioco possono essere funzioni della variabile indipendente tempo; tuttavia, vi sono significative differenze: sistemistatici:illegamefratalifunzionicoinvolgesoltantoivaloridellevariabili nello stesso istante, quindi vi una relazione istantanea tra le grandezze in gioco; modellidinamici:compaionolegamifraivaloridellefunzioniinistantidiversie/o derivate rispetto al tempo delle funzioni stesse, quindi il comportamento del sistema inuncertoistantetdipendedaivaloridellegrandezzeinistantiprecedentie successivi a t. Siosservache,nellinguaggiodellaTeoriadeisistemi,ilterminesistemaosistema dinamicosinonimodimodellodiunfenomenonaturaleoartificiale(dettoappunto sistemafisico),chepuesseredefinitocomeuninsiemedioggettiinteragentiche evolveneltempo;esempidisistemidinamicipossonoquindiessereretielettriche, sistemimeccanici,motorielettrici,mercatiazionari,atmosfera,clima,sistemiplanetari, etc. 3 Levoluzione temporale di un sistema descritta da due vettori di variabili dipendenti dal tempo (assunto questo reale e indicato con t):variabiliiningresso,rappresentantileazionicompiutesulsistemadaagenti esterni che ne influenzano il comportamento; si indicano con u(t), u Rm; variabili in uscita, rappresentanti il comportamento del sistema; si indicano con y(t), y Rp. Tuttavia,laconoscenzadelvaloreassuntodallevariabiliiningressoinuncerto istantenonsempresufficienteadeterminareilvaloredellevariabilidiuscitanello stessoistante:necessariounterzovettoredivariabili,dettevariabilidistatoin quanto descrivono la situazione interna delloggetto da modellare; si indicano con x(t), xi Rn; al variare di t esse descrivono nello spazio X = Rn una curva detta traiettoria. Ivaloriassuntidatalivariabiliinundatoistanteditempocontengonoalloro interno tutta linformazione sulla storia passata del sistema; una volta noto landamento degli ingressi per tempi successivi allistante iniziale e lo stato in tale istante, permettono divalutarelandamentofuturosiadellostatochedelluscita:taleproprietdetta propriet di separazione.Siosservachelasceltadellevariabilidistatodiunsistemanonunicaeva pertanto attuata in modo opportuno: nei sistemi fisici la situazioni interna determinata da accumuli di energia e di quantit di moto o massa, quindi conviene scegliere variabili dacuidipendonotaliaccumuli.Adesempio,neimodellideicircuitielettricisipossono scegliere come variabili di stato le tensioni ai morsetti dei condensatori e le correnti negli induttori,poichiloroquadratisonoproporzionalirispettivamenteallenergiaelettricae magnetica accumulata al loro interno. Nei modelli meccanici, invece, conviene scegliere posizione e velocit dei vari elementi, poich legati ad accumuli di energia potenziale e cinetica o di quantit di moto. Levariabilidiunsistemafisicopossonoessererappresentatedafunzioniche variano con continuit nel tempo, come ad esempio la tensione ai capi di uninduttanza elavelocitdiunpezzomeccanico,odasuccessioninumericheicuielementisonoi valori assunti dalle variabili negli istanti considerati, come nel caso della densit di una SISTEMA DINAMICO variabili di stato variabili di ingressovariabili di uscita 3popolazione o del livello di un magazzino periodicamente inventariato. Nel primo caso si parladisistemicontinuineltempo,nelsecondodisistemidiscreti:poichle rappresentazioni di stato e le propriet differiscono tra i due tipi di sistemi, dora in avanti sar necessario analizzarli separatamente. 1.2 RAPPRESENTAZIONE DI STATO Nellostudiodiunsistemadinamicosipufareriferimentoaduediverse rappresentazioni: rappresentazioneesterna,dettaanchediingresso-uscita;individuatadalle funzioni del tempo assunte per rappresentare le variabili di ingresso e di uscita e da una trasformazione fra questi insiemi (mappa di ingresso-uscita, avente struttura tale darappresentareilegamiingiocofralevariabilifisicheeirispettivirapportidi causalit); rappresentazione interna o di stato, nella quale oltre alle funzioni di ingresso e di uscitacompaionoanchelevariabilidistato;talerappresentazionerisultapi complessa ma anche pi interessante, quindi costituir loggetto del seguente studio. Considerando anche le variabili di stato x(t), con xi Rn e n numero di equazioni del sistema,larappresentazionedistatodelsistemadinamicocostituitadadue equazioni: lequazionedistato(dettaanchemappadiaggiornamentodistato),equazione differenzialecheforniscelevoluzionetemporaledellevariabilichedescrivonola situazione interna del sistema:

x = f(x(t),u(t)) conffunzionevettorialeregolare;taleequazionedefiniscelandamentodello statox(t)pert>t0 incorrispondenzadiogniternacostituitadaunistantet0,una funzione dingresso u(t), t>t0 e una condizione iniziale x(t0)=xt0.latrasformazioneduscita,equazionealgebricacheconsentedideterminare luscitaadunospecificoistanteditempo,notasialasituazioneinternadel sistema che il valore dellingresso allo stesso istante di tempo:

y(t) = g(x(t),u(t), t)dove g unopportuna funzione vettoriale. 3I sistemi dinamici sono quindi descritti dalle due equazioni appena introdotte: sistemi discreti:

x(t +1) = f(x(t),u(t), t)y(t) = g(x(t),u(t), t) sistemi continui:

x = f(x(t),u(t), t)y(t) = g(x(t),u(t), t) e possono essere classificati in vari modi sulla base delle propriet delle funzioni f e g. In particolare si definiscono: sistemi invarianti nel tempo, o stazionari, nel caso in cui f e g non dipendano esplicitamente dal tempo, ovvero:

x(t +1) = f(x(t),u(t))y(t) = g(x(t),u(t)) x = f(x(t),u(t))y(t) = g(x(t),u(t))

mentreseancheunasoladellefunzionifegdipendeesplicitamentedatil sistema si dice variante nel tempo.Siosservachelarispostadiunsistemastazionarioaqualunquesollecitazione non dipende dallistante di applicazione di questa; infatti, la stessa sollecitazione inviatainistantisuccessivit1et2produceduerispostechedifferisconosoloper unatraslazionetemporaleparialladifferenzatrat2et1.Perci,nellostudiodi questisistemipossibileassumerequalunquevaloredeltempocomeistante inizialeelasceltapitipicanellambitodellateoriadeisistemiedelcontrollo t0=0. sistemi lineari, quando le funzioni f e g sono lineari in x e u, ovvero quando sia

x(t)chey(t)sonocombinazionilinearidellevariecomponentideivettori

x(t)e u(t):

x(t +1) =F(t)x(t) +G(t)u(t)y(t) =H(t)x(t) +D(t)u(t)

x =F(t)x(t) +G(t)u(t)y(t) =H(t)x(t) +D(t)u(t) conF Rnxn,G Rnxm,H Rpxn,D Rpxmmatricidifunzionideltempo; altrimentisiparladisistemanonlineare.Glielementidellematriciassumono valori complessi nei casi in cui lo stato sia definito in campo complesso. Un sistema che goda sia della propriet di invarianza nel tempo che di linearit si indica con: = (F,G,H,D) ed descritto dalle equazioni: 3

x(t +1) =Fx(t) +Gu(t)y(t) =Hx(t) +Du(t)

x =Fx(t) +Gu(t)y(t) =Hx(t) +Du(t) dove x(t), u(t) e y(t) sono vettori reali di dimensioni n,m e p e le matrici reali F, G, H e D sono matrici costanti di dimensione nxn, nxm, pxn e pxm; la matrice F detta matrice delsistemaomatricedistato.LapresenzadellamatriceDindicalesistenzadiun legame istantaneo tra uscite ed ingressi, mentre se D=0 il sistema detto strettamente causaleostrettamenteproprio.Siosservachepoichlamaggiorpartedellepropriet dinteressesistemisticonondipendedallapresenzadellamatriceD,sifar generalmente riferimento solo a sistemi strettamente propri, indicati con: = (F,G,H).Lostudiodeisistemilinearieinvariantineltempoparticolarmentesemplice, perciquandopossibilesicercadifornirealsistemataliproprietattraversoun procedimentodilinearizzazioneegraziealcongelamentodieventualiparametri lentamente variabili nel tempo, considerati per semplicit costanti. Per i sistemi lineari vale la propriet di sovrapposizione degli effetti, secondo laqualeleffettosullevariabilidistatoediuscitadovutoallasovrapposizionedicause (ingressi e condizioni iniziali) dato dalla somma degli effetti dovute alle singole cause agenti separatamente. Riferendosi ad esempio al sistema continuo appena individuato, dalle:

dx'dt=Fx' (t) +Gu' (t), x' (0) = x't0y' (t) =Hx' (t) +Du' (t)

dx' 'dt=Fx' ' (t) +Gu' ' (t), x' ' (0) = x' 't0y' ' (t) =Hx' ' (t) +Du' ' (t) si ha:

ddt(x' (t) + x' ' (t)) =F(x' (t) + x' ' (t)) +G(u' (t) +u' ' (t)), x' (0) + x' ' (0) = x't0+x' 't0y' (t) +y' ' (t) =H(x' (t) + x' ' (t)) +D(u' (t) +u' ' (t)) che soddisfa lequazione di stato e dimostra la sovrapposizione delle uscite. Si noti che le cause da sommare per ottenere la sovrapposizione sono sia gli ingressi che gli stati iniziali; quando non si fa riferimento ad essi si considerano nulli.Tale propriet vale anche per sistemi discreti. 3ESEMPIO Adesempio,nelcasodelcircuitoelettricolineareinfigurailvettoredistatox(t) costituitodallacorrentex1chepassaattraversol'induttorediinduttanzaLedalla tensione x2 ai capi del condensatore di capacit C1, dove l'ingresso u(t) la tensione del generatorementreilvettoredelleuscitey(t)datoadesempiodallecorrentiche passanoattraversoilresistorediresistenzaR1eresistorediresistenzaR2percui applicando le leggi di Kirchhoff si ha:

u(t) =Ld(x1(t))dt+R1i3(t) (1)R1i3(t) =R2C1d(x2(t))dt+ x2(t)(2)i3(t) = x1(t) C1d(x2(t))dt(3) Pertanto, sostituendo la (3) nella (1) e nella (2) e ponendo:

x(t) =x1(t)x2(t) si individuano le matrici:

F =R1R2L(R1+R2)R1L(R1+R2)R1C1(R1+R2)1C1(R1+R2) ;G=1L0 H=R2(R1+R2)1(R1+R2)R1(R1+R2)1(R1+R2) ;D=0 32.ESPRESSIONIDELLEVOLUZIONELIBERAEDELLEVOLUZIONEFORZATA DELLO STATO NEL DOMINIO DEL TEMPO E DELLA VARIABILE DI LAPLACE 2.1 STUDIO NEL DOMINIO DEL TEMPO SISTEMI DISCRETI Considerando la mappa di aggiornamento di stato di un passo: sivuolevalutarelostatoallistantet+kconoscendolostatox(t)nellistanteteivalori u(t),u(t+1),u(t+k-1)dellingressonellintervallo[t,t+k).Perlaproprietdinvarianzasi pu considerare lintervallo [0,k) considerando listante iniziale t=0 e gli istanti successivi 0,1,,k-1 per la valutazione degli ingressi: lultimadellequaliforniscelamappadiaggiornamentodistatoinkepuessere espressa come: che pu essere pensata come la somma dei due termini: evoluzione libera: per u(0)=u(1)==u(k-1)=0 evoluzione forzata:per x(0)=0 Per quanto riguarda luscita, sostituendo la (2.2) nellequazione: si ottiene: come somma dei contributi: per u(0)=u(1)==u(k-1)=0 per x(0)=0 3con la matrice HFhG avente dimensione pxm.Comesivededalleequazioni2.2e2.5,ilcalcolodix(k)ediy(k),k=0,1,,si basasostanzialmentesulcalcolodellepotenzedellamatriceF.Talecalcolorisulta semplificatoricorrendoalmetododelladiagonalizzazioneodellaformacanonicadi Jordan, come si vedr nel capitolo 3. SISTEMI CONTINUI Sianalizzaquindiilcomportamentodisistemilinearieinvariantiatempocontinuo, aventi rappresentazione interna: con lo scopo di studiare landamento dello stato x(t) per t>t0, noto listante iniziale t0, la funzione dingresso u(t) per t>=t0 e lo stato iniziale x(t0)=xt0. Come per i sistemi discreti, per la propriet dinvarianza si considera come istante iniziale t=0. Il valore dello stato inogniistanterisulta(perleproprietdilinearit)scomponibilenellasommadidue termini, detti di evoluzione libera (xl(t)) e di evoluzione forzata ( ):

studiabili separatamente: evoluzione libera: con corrispondenteadunfissatostatoinizialex(0).Ilvettorex(t)hadimensionen eFunamatricediordinenaelementireali( ).Lequazione dellevoluzioneliberacorrispondeaunsistemadiequazionidifferenziali,linearie scalaridelprimoordinenelleincognitelecuisoluzioni costituiscono un insieme di funzioni vettoriali. Taleinsiemedifunzionicostituisceuninsiemefondamentaledisoluzionisele funzionivettorialisonolinearmenteindipendenti(nonesistealcuna loro combinazione lineare con coefficienti non tutti nulli che sia identicamente nulla), cosachesiottieneconsiderandounan-upladisoluzionicorrispondentiadnstati iniziali linearmente indipendenti. Siconsiderilinsiemefondamentaledisoluzionicorrispondenti allecondizioniiniziali.Perlinearit,alla 3condizioneiniziale corrisponde la soluzione:

conmatricenxndettamatriceditransizionedistato;tale matrice soddisfa lequazione differenziale matriciale: in quanto le sono soluzioni dellevoluzione libera; una propriet importante della matrice quella di essere invertibile per ogni t. Per studiare le soluzioni di questa equazione differenziale si consideri una soluzione di validit generale, espressa in forma di sviluppo in serie: tale somma, per somiglianza formale con la serie esponenziale scalare, si indica per puraanalogiaconilsimbolooppureexpFteddettamatriceesponenziale; godedialcuneproprietmoltoutilizzatenellanalisideisistemicontinuiesene studier una tecnica di calcolo nel capitolo 3.2. Levoluzione libera del sistema cos esprimibile nella forma: evoluzione forzata: conlasoluzionedellequazionedistatoapartiredastatoinizialenullo,esprimibile mediantelamatriceditransizioneexp(Ft).Infatti,applicandolaformuladi derivazione sotto il segno dintegrale: siverificachela soddisfalequazionedistatoe,poich,perlunicit della soluzione essa rappresenta levoluzione forzata del sistema. Sovrapponendolevoluzioneliberaeforzatasiottienelevoluzionedellostatoin corrispondenza di uno stato iniziale ed un ingresso : 3

Se listante iniziale diverso da zero si ha: Dalla trasformazione duscita, utilizzando lequazione di evoluzione dello stato si ottiene levoluzione delluscita del sistema: con :

2.2 STUDIO NEL DOMINIO DELLA VARIABILE DI LAPLACE Considerando sempre lo stesso sistema lineare, invariante e continuo: le cui evoluzioni dello stato e delluscita sono :

AttraversolusodellatrasformatadiLaplacesipossonoanalizzareilegamiingresso-stato-uscita in modo pi semplice, attraverso equazioni algebriche e non differenziali: equazionedistato(2.14):nellipotesichelingressou,definitosullintervallo ,siaL-trasformabile,lasuatrasformata equindi allequazione differenziale di stato corrisponde lequazione algebrica:

dove con X(s) si indicata la trasformata del vettore sullintervallo; equazioneditrasformazione(2.15):seY(s)latrasformatadelluscita, allora lequazione di trasformazione duscita diventa: ; 3evoluzione del sistema (2.16): la sua trasformata risulta inquantorisultaesiapplicailteoremadellatrasformatadiun integrale di convoluzione, ricordando lunicit della trasformata di Laplace. Si osserva che i due addendi corrispondono alle due evoluzioni: oevoluzione libera, per lingresso identicamente nullo: oevoluzione forzata, per lo stato iniziale nullo evoluzione delluscita (2.17): incuiilprimoaddendorappresentaluscitainevoluzioneliberaeilsecondo quella in evoluzione forzata Infine, si osserva che la matrice pxm: razionale propria ed detta matrice di trasferimento del sistema. Aquestopuntosipervieneadeilegamifralefunzioni , ,espressida equazioni differenziali; scrivendo le matrici adj(sI-F) e det(sI-F) nella forma: si studia levoluzione del sistema: levoluzione libera soddisfa la forma: quindipoichlaL-1trasformatadelsecondomembrounafunzione identicamentenullapert>0,siottengonoleequazionidifferenzialilineari omogenee: 3levoluzione forzata invece ha forma: e,assumendochelafunzionesiaderivabilealmenon-1volte,siottienepert>0 lequazione differenziale non omogenea: mentre per luscita, assumendo per semplicit D=0, si ha: valide anche quando x00

, applicando il principio di sovrapposizione. ESEMPIO Sistudiailsistema(F,G,H)condueingressiedueuscite,aventerappresentazione interna: La trasformata della matrice esponenziale : La matrice di trasferimento quindi: 3Perci, poich il polinomio caratteristico di F :

e la matrice aggiunta : nel dominio del tempo, il legame ingresso uscita esprimibile come: Si noti che, poich (s-2) un fattore comune sia a det(sI-F) che a Hadj(sI-F): taleterminepuesseresemplificatonellequazionedilegameingresso-uscita, ottenendo unequazione differenziale del secondo ordine: 33.CAMBIAMENTI DI BASE NELLO SPAZIO DI STATO E DIAGONALIZZAZIONE O RIDUZIONE A FORMA DI JORDAN DELLA MATRICE DI STATO 3.1 CAMBIAMENTI DI BASE NELLO SPAZIO DI STATO Le equazioni di stato di un sistema lineare fanno implicitamente riferimento a una scelta preliminaredibasineglispaziU,XeY,dallequalidipendono siaivettoridingressoe uscitainungenericoistantechelematriciF,G,H,D.Talesceltaarbitrariaapriori suggerita dalla struttura fisica delloggetto da rappresentare; tuttavia, talvolta pu essere convenientecompieredeicambiamentidibaseperrendereevidentilepropriet strutturali del sistema da studiare. In molti casi, la possibilit di risolvere un problema propriolegataallacapacitditrovareunabaseopportuna.Sianalizzerquindicome cambialastrutturadelleequazionidiunsistemaquandosieffettuailcambiamentodi base nello spazio di stato, studiando poi le propriet della matrice di stato stessa. Siae1,,en labaseinXrispettoallaqualeilsistemalinearedescrittodalle equazioni: SisuppongadiadottareinXunanuovabasev1,,vn;ciascunodeivettorivj esprimibile attraverso una combinazione lineare dei vettori ej e viceversa, ovvero: conTmatriceinvertibileaventecomeelementitij;illegametraleduebasipuessere espresso dalla: quindiilvettoredistato,cherispettoallabasee1,,enrappresentatodellennupla , rispetto alla base v1,,vn ha come componenti gli elementi dellennupla , data dal prodotto tra linversa della matrice T e lennupla x, in quanto: 3 (3.4) Sostituendo nella (1) la (4), si ottiene lequazione di riferimento alla nuova base in X: (3.5) Ponendo poi: (3.6) la (5) assume la stessa struttura della (1): (3.7) Duesistemie(F,G,H,D)sidiconoalgebricamenteequivalentise valgonolerelazioni(3.7):essipossonoquindiessereconsideratilostessosistema riferitoabasidiversenellospaziodistato.Unaconseguenzaimmediatachesistemi algebricamente equivalenti hanno la stessa matrice di trasferimento (anche se non vale il viceversa). Infatti: (3.8) Ovviamente quanto detto vale anche per i sistemi continui. 33.2 STUDIO DELLA MATRICE DI STATO Comegiintrodottonelcapitolo1,lamatricedistatodeisistemicontinuitempo-invarianti,indicataconF,unamatricequadratadiordinen(dovenladimensione dellospaziodistatoX)adelementireali.Sitrattadiunamatricedifondamentale importanza, in quanto compare nella gi analizzata relazione: (3.9) permettendodicalcolarelamatriceditransizionedistato(t,),soluzione dellequazione differenziale: (3.10) concondizioneiniziale(,)=Innecessariaesufficienteperladeterminazione dellequazione del movimento del sistema. Si dimostra che la matrice esponenziale di F, eFt definita come: (3.11) e rappresenta lunica soluzione dellequazione (3.9), ovvero sussiste la relazione: (3.12) quindiilproblemadelladeterminazionedellamatriceditransizionedistato(t-)si riconduce a quello della determinazione della matrice eFt a partire dalla matrice di stato F.Uno dei metodi possibili per il calcolo della matrice esponenziale eFt di una generica matriceF,quadratadiordinen,quellodelladiagonalizzazione,outilizzodella forma canonica di Jordan. Innanzi tutto necessario dare alcune definizioni: diagonalizzazione:unamatricequadrataAdiagonalizzabileseesisteuna matrice invertibile P, detta matrice modale di A, formata dai vettori che generano gliautospazidiA,talecheP-1APdiagonale,congliautovaloridiAsulla diagonale principale; 3bloccodiJordandiordinekunamatricetriangolaresuperioreconkrighein cui ogni elemento della diagonale uguale a e in ogni posizione (i, i+1) si trova un 1: Il suo polinomio caratteristico (x- )k e quindi ha come unico autovalore con la molteplicit algebrica k; lautospazio relativo a ha sempre dimensione 1, quindi se k>1 il blocco di Jordan non diagonalizzabile; matrice di Jordan una matrice a blocchi del tipo: doveJiunbloccodiJordanconautovaloreieconunautospazio unidimensionale relativo a i; forma canonica di Jordan di una matrice quadrata A una matrice triangolare J simile ad A, avente una struttura il pi possibile simile a una matrice diagonale. In particolare,JdiagonalesoloseAdiagonalizzabile,altrimentidivisain blocchidiJordan.Laformacanonicacaratterizzaunivocamentelaclassedi similitudinediunamatrice,ovveroduematricisonosimiliseesolosehannola stessa forma di Jordan (a meno di permutazione dei blocchi). ESEMPIO Si calcola la forma canonica di Jordan della matrice: Il suo polinomio caratteristico (x 4)2(x 2)(x 1), quindi i suoi autovalori sono 4, 4, 2 e 1. Indicando con malg() e mgeo() le molteplicit algebrica e geometrica di un autovalore , valgono sempre le seguenti disuguaglianze: 3Quindi in questo caso le molteplicit algebriche e geometriche degli autovalori 2 e 1sonotutte1,el'unicagrandezzadatrovarelamolteplicitgeometricadi4, che pu essere 1 o 2. La molteplicit geometrica di un autovalore indica il numero diblocchidiJordanpresentirelativiaquell'autovalore.Vediamochela dimensionedellautospaziorelativoallautovalore41enon2,quindiAnon diagonalizzabileel'autovalore4haunsolobloccodiJordan.Lamatricedi Jordan quindi la seguente: E ora quindi possibile illustrare il metodo per il calcolo della matrice esponenziale eFt:datalamatriceJdiJordanequivalenteadFelamatriceMmodalediF,queste matrici soddisfano la relazione:F=MJM-1e pi in generale Fk=MJkM-1.Utilizzandoquestarelazionenelladefinizionedatainprecedenzadimatrice esponenziale eFt nella (3.10), si ottiene: ovvero, nota F, il calcolo della sua matrice esponenziale eFt si pu ricondurre al calcolo dellamatriceesponenzialeeJtdellaformadiJordanequivalenteadF.Talematricesi ottienesemplicementefacendolesponenzialedeisingoliblocchidicuiJstessasi compone, dove lesponenziale del generico miniblocco corrisponde allesponenziale dei suoi elementi diagonali: ESEMPIO SiconsideriilcasoincuiFpresentanautovalorirealiedistinti,comenellamatrice seguente: 3Per prima cosa sindividuano gi autovalori, ovvero le radici del polinomio caratteristico: dacuisideducechelamatricepossiededueautovalori1=1e2=-3realiedistinti; poich entrambi hanno molteplicit 1, anche i loro autospazi hanno dimensione unitaria: lamatricequindidiagonalizzabile.SicalcolaquindilaformacanonicadiJordan equivalenteaF:essendoFunamatricediordine2eavendotrovato2autovalorireali distinti,lamatricediJordansarunamatricediordine2aventeminiblocchi,di dimensione 1, coincidenti con i due autovalori: elesponenzialediquestamatricesiottienefacendolesponenzialedeisingoliblocchi (ossia, in questo caso, lesponenziale dei singoli elementi diagonali): Aquestopunto,lobiettivolapplicazionedellarelazione,quindisi devono individuare la matrice modale M e la sua inversa. A questo scopo, si calcolano gliautovettoriassociatiaidueautovaloridellamatriceF,risolvendoperciascun autovalore il sistema:: 1=1 da cui si pu prendere ad esempio:2=-3 da cui si pu prendere ad esempio: La matrice modale M si costruisce quindi unendo le colonne degli autovettori ottenuti: 3 e la sua inversa : Si pu quindi determinare eFt: Nelcasodiautovaloricomplessi+j,unbloccodiagonaledellaformarealedi Jordan ha la forma: e per il calcolo della potenza k-esima si procede ponendo e, in modo da avere: La matrice M si scompone nel prodotto:M = DR = RD in cui i fattori: induconosuivettoridiR2unadilatazionediampiezza||eunarotazionediampiezza angolare.OvviamenteMkinduceunarotazionedikeunadilatazionediampiezza ||k. Dalla e dalla si ha: 34.ANALISI MODALE NELLO SPAZIO DI STATO 4.1MODI DI UN SISTEMA LINEARE CONTINUO Si consideri il sistema lineare continuo in evoluzione libera:

e una base di vettori v1,vn che costituiscono una base di Jordan per F; effettuando una cambiamento di base nello spazio di stato rispetto a questa base, si ottiene il vettore di stato e la relazione: con; la dinamica di quindi espressa dalla: con.La soluzione della (4.3) si ottiene attraverso la matrice esponenziale: Le funzioni (complesse) del tempo che costituiscono gli elementi della matrice sono dettimodi(complessi)delsistema.Ovviamente,rispettoaunabasequalsiasi,le funzioni componenti il vettore di evoluzione libera sono combinazioni lineari dei modi. Per analizzare la struttura dei modi del sistema si deve distinguere tra i casi relativi a F diagonalizzabile (o di struttura semplice) e a F generica: F DIAGONALIZZABILE: imodisono,eperchsianolinearmenteindipendenti necessario e sufficiente che gli autovalori 1,n siano distinti. 3Ciascunmodorealepuessereeccitatoindipendentemente,cioprendendo comestatiinizialigliautovettoridiF,aessicorrispondeunmovimentolibero espresso mediante un solo modo del sistema. Infatti lequazione: mette ancor meglio in evidenza come si tratti di n sistemi lineari del primo ordine interagentitraloro;quindipossibileottenereciascunodeimodiassumendo stato iniziale non nullo in uno soltanto dei sottosistemi. Nelcasoincuisiabbianoautovaloricomplessiesidesiderirappresentare levoluzione del sistema solo con funzioni reali, conviene riferire lo spazio di stato adunabasecaratteristicareale.Imodirealisonolefunzioni ; ovviamente,ognievoluzionelibera hacomponentiesprimibilicomecombinazionilineariacoefficientirealideimodi reali. Si osserva che i modi corrispondenti ad una coppia di autovalori complessi coniugati non possono essere eccitati indipendentemente. Imodisonofunzioninonlimitateper1>0,limitateeconvergentipere che per 10 hanno comportamento oscillatorio. F DIAGONALE A BLOCCHI, avente come blocchi dei miniblocchi di Jordan:

condovehannolastrutturagi considerata. 3Lefunzionisonoimodidelsistema.Selo stato iniziale appartiene al sottospazio generato da una catena di Jordan relativa allautovalore i, la traiettoria interamente contenuta nel medesimo sottospazio e i modi eccitati sono quelli del relativo miniblocco di Jordan di i In questo caso nonpossibileeccitaresingolarmentetuttiimodi,inquantononappenaviene eccitato uno esso eccita anche tutti gli altri. 4.2MODI DI UN SISTEMA LINEARE DISCRETO Data lequazione di stato di un sistema discreto, si individua la forma canonica di Jordan della matrice F e si riferisce lo spazio di stato del sistema alla forma di Jordan per F: Levoluzione libera descritta da: (4.7) e rispetto alla base di partenza, da:(4.8) Ricorrendo alla rappresentazione con serie formali, le (4.7) e (4.8) diventano: (4.7) (4.8) Si dicono modi del sistema le serie che costituiscono gli elementi della matrice: .Rispettoadunabasequalsiasileseriecomponentidelvettoresono combinazioni lineari dei modi. 3Ilmetododistudiodellanalisimodaledeisistemicontinuipuessereapplicato anche ai sistemi discreti; si analizzano i casi in cui F diagonalizzabile o generica: F diagonalizzabile: da cui:

imodisonoleserie;possibileeccitareimodisingolarmente (ricorrendoingeneraleastatiinizialicomplessi)elatraiettoriasisviluppalungo lautovettore che costituisce lo stato iniziale.I modi reali sono le serie: i=1,2,,h, j=sh+1,,n. I modi oscillatori hanno caratteristica convergente a zero per, non limitato per e limitato ma non convergente a zero per. F diagonale a blocchi:conJiminilboccodiJordandi ordinevi.Imodisonoglielementidellamatricediagonaleablocchi,ovvero:

34.3PROPRIETA DEI MODI 1.CARATTERE DI CONVERGENZA DEI MODI In riferimento sia ai sistemi discreti che a quelli continui, un modo m(t) (reale o complesso), definito per si definisce: oconvergente se; olimitato, ma non convergente, se m(t) non infinitesimo per e se esiste un numero M>0 tale che per ogni si abbia; ononlimitatoseperogninumeroM>0prefissatoesisteunistantetincui . Sihannoquindiiseguentiteoremi,perisistemirispettivamentecontinuie discreti: Teorema 1: I modi del sistema sono convergenti se e solo se tutti gli atuovalori di F hanno parte reale strettamente negativa, sono limitati se e solo se gli autovalori di F hanno parte reale negativa o nulla e quelli immaginari puri sono radicisemplicidelpolinomiominimodiF(ossiairelativiminiblocchidiJordan hanno dimensione unitaria). Teorema 2: I modi del sistema sono convergenti se e solo se tutti gli autovalori di F hanno modulo strettamente minore di 1, sono limitati se e solo segliautovaloridiFhannomodulominoreougualea1equelliconmodulo unitariosonoradicisemplicidelpolinomiodiF(ossiairelativiminiblocchidi Jordan hanno dimensione unitaria). Poichognicombinazionelinearedimodiconvergenticonvergente, levoluzione libera di un sistema continuo in cui F ha tutti gli autovalori con parte realenegativa(omodulostrettamenteminoredi1nelcasodiscreto)converge nelloriginedellospaziodistatoqualunquesialostatoiniziale;seinveceimodi sonosemplicementelimitati,levoluzioneliberarestacomunquelimitata qualunquesialostatoiniziale.Nelcasoinfineincuiilsistema(continuoo discreto) abbia qualche modo non limitato, esistono stati iniziali cui corrispondono evoluzioni libere non limitate. 3Loriginedellospaziodistatoinunsistemalineareunpuntodiequilibrio,nel sensochesenonperturbatoilsistemavipermaneindefinitamente(qualoralo statoinizialesialorigine).Lequilibrionelloriginedefinitoasintoticamente stabile se tutti i modi sono convergenti, semplicemente stabile se invece sono limitati ma non tutti convergenti. 2.CARATTERE DI DOMINANZA Ingenerale,aldivergereditlevoluzioneliberadiunsistemalineareinvariante pu essere approssimata usando un numero limitato di modi e la variet lineare contenentelatraiettoriapuessereassimilataalsottospaziogeneratodaunnumero limitato di autovettori di F. Infatti,sianelcasodisistemicontinuichediscreti,sipuindividuareunmodo dominante sugli altri: ocontinui:considerandoriferitoallabasediJordanv1,,vne supponendo che gli autovalori di F, opportunamente ordinati, soddisfino la disuguaglianza: lacondizioneimplicacheiterminiperi>1tendanoa0al divergere di t. Perci, per grandi valori di t il termine domina tutti glialtrinellevoluzionelibera,quindix(t)tendeadallinearsicon lautovettorev1,dettoautovettoredominante(indipendentementedallo stato iniziale purch si abbia); odiscreti: in questo caso si fa riferimento allordine decrescente dei moduli degli autovalori: sealdivergeredit,x(t)halarappresentazioneasintotica , con v1 autovettore dominante. 35.DEFINIZIONEDELLASTABILITADEGLISTATIDIEQUILIBRIOE CONDIZIONI DI STABILITA BASATE SUL METODO DI LYAPUNOV 5.1DEFINIZIONI DI STABILITA Nellanalisidiunsistemadinamicospessomoltoimportantestabilireseil comportamento del sistema stesso sia pi o meno indifferente rispetto a incertezze sui valorideiparametripresentinelleequazioni,degliingressiedellostatoiniziale.Infatti, nonmairagionevolepretenderediconoscereperfettamentequestegrandezzeed frequentechesopravvenganosulsistemaperturbazionididiversadurataeintensit. Inoltre,utiledisporrediinformazionidicaratterequalitativo,riguardantile caratteristichedellevoluzionedelsistemaquando,leventualeesistenzadi movimentiperiodicielageometriadelletraiettoriecorrispondenti,lastrutturadelle traiettorie in un punto di equilibrio, etc.Sistudierquindilaproprietdistabilitche,secondounadefinizionedataallafine delXIXsecolodalmatematicorussoA.M.Lyapunov,fariferimentoalleconseguenze sul movimento dello stato di un sistema provocate da incertezze sul valore iniziale dello stato stesso, a ingresso e parametri fissi e noti. Si far riferimento ai modelli di stato di un sistema invariante autonomo (ovvero senza ingresso), nei due casi: discreto: (5.1) in cui dato lo stato iniziale x(0)=x0 la mappa di transizione in un passo individua univocamente tutti gli stati successivi; continuo:(5.2) in cui si assume che la f sia continua e che la soluzione passante per x0 allistante t=0 sia unica. Si definiscono innanzi tutto: movimento o evoluzione del sistema la funzione che associa ad ogni istante t lo stato raggiunto dal sistema in quellistante: 3traiettoria o orbita del sistema con inizio in x(0)=x0, limmagine del movimento, ovveroilsottoinsiemedellospazioXcostituitodaglistatidescritti,pert0, partendo dallo stato iniziale assegnato: .

5.2 EQUILIBRIO E STABILITA DELLEQUILIBRIO Definizione di punto di equilibrio: Uno stato punto di equilibrio (o punto fisso) del sistema (5.1) o (5.2) se, quando lo stato iniziale del sistema x(0)= , risulta x(t)=per ogni t0.Si ha quindi equilibrio inse e solo se: caso discreto: (5.3) caso continuo: f( )=0(5.4) Si dimostra facilmente che tale definizione vale anche per i sistemi non autonomi, aventi ingresso, se esso stato di equilibrio per i corrispondenti sistemi autonomi. Definizionedistatodiequilibriostabile:Siaunostatodiequilibrioperilsistema (5.1)o(5.2);statodiequilibriostabilese,perogninumeroreale>0,esisteun numero reale >0 tale che, se:alloraglistatix(t)dellatraiettoria con origine x(0) soddisfano per ogni t0 la diseguaglianza: Perci,lanozionedistabilitdiunpuntodequilibriorichiedecheilmovimentodel sistema soddisfi le condizioni: unpiccoloscostamentodellostatoinizialex(0)delsistemadallequilibrio determina una traiettoria perturbata i cui punti sono tutti prossimi ad; lintorno di entro il quale contenuta la traiettoria perturbata pu essere reso arbitrariamentepiccolopurdiridurreconvenientementelentitdello scostamento dello stato iniziale x(0) dallo stato di equilibrio. 3Definizionedipuntodiequilibrioasintoticamentestabile:Siaunostatodi equilibrioperilsistema(4.1)o(4.2).Lequilibrioinasintoticamentestabilese stabileeconvergente,ovverocheperogni>0,esiste>0talechepertuttiglistati iniziali x0 che soddisfano la relazione :risulti:einoltre: . 5.3STABILITA DEI SISTEMI LINEARI Nel caso dei sistemi lineari, la determinazione degli stati di equilibrio e lanalisi della stabilitedellaconvergenzasonoriconducibilirispettivamenteaquestionidialgebra lineareedianalisimodale.Infatti,linsiemeXe deglistatidiequilibriounsottospazio dello spazio di stato; infatti: per un sistema discreto si ha : (5.5) ovvero oltre allorigine, che sempre di equilibrio, ci sono altri stati di equilibrio se e solo se la matrice F-In singolare; in questo caso, il sottospazio dei punti di equilibrio coincideconlautospazioU1dellamatriceFehaquindidimensioneparialla molteplicit geometrica dellautovalore =1; per un sistema continuo si ha : (5.6) ovvero ci sono stati di equilibrio diversi dallorigine solo quando la matrice F singolare, eilsottospazioXe=U0hadimensionepariallamolteplicitgeometricadellautovalore =0. Perstudiarelastabilitelaconvergenzainunsistemacontinuodiunostatodi equilibrioxesenzadoverrisolverelequazionedistatosiutilizzailcosiddettometodo direttodiLyapunov.Talemetodosiservediopportunefunzioniscalaridefinitesullo spaziodeglistati,dettefunzionidiLyapunov:perstudiarelastabilitsianalizzail segnodiquestefunzioniedelleloroderivate(odeiloroincrementi,nelcasodiscreto) lungo le traiettorie del sistema. 3Primadiintrodurreilcriterio,sononecessariealcunedefinizioni:siaun insieme aperto contenente lorigine. Una funzione continua: : semidefinitapositiva(s.d.p.)seV(0)=0edesisteun intornodellorigineincuiVassumevalorinon negativi, ovvero; definitapositiva(s.p.)sesemidefinitapositivaedesisteunintorno dellorigine in cui essa si annulla solo in 0; (semi)definita negativa ((s.)d.n.) se V(semi)definitapositiva,ovvero V(0)=0 e Si supporr che W coincida con W, eventualmente restringendo laperto W. 5.3.1 STABILITA DEI SISTEMI CONTINUI TEOREMA(criteriodistabilitdiLyapunov)Datox=0puntodiequilibrioperil sistema (5.2) e una funzione continua con le sue derivate prime in un intorno di W dellorigine e ivi definita positiva. Selafunzionesemidefinitanegativa,alloraloriginepuntodiequilibrio stabile. Sedefinitanegativa,alloraloriginepuntodiequilibrioasintoticamente stabile. UnafunzioneVsoddisfacenteleipotesidelcriteriodiLyapunovdettausualmente funzione di Lyapunov per il sistema (5.2). SECONDO METODO DI LYAPUNOVIl Secondo Metodo di Lyapunov permette di studiare la stabilita degli equilibri diun sistema dinamico non lineare, senza ricorrere alla linearizzazione delleequazionidel sistema. Esso rende quindi possibile lo studio della stabilitadegliequilibri in tutte quelle situazioni in cui il Primo Metodo (basato sullalinearizzazione) nonda indicazioni, cioe quando gli autovalori della matriceJacobiana hanno parte reale negativa o nulla e ne esiste almeno uno a parte realenulla. Unaltromotivodi interesseperquestometodo, oltreal Iattodi scegliereunastrada del tutto alternativa alla linearizzazione, e che puo essere esteso a dare delleindicazioni globali di stabilita, cioe permette di trovare regioni di attrazione per gliequilibri, cosa che metodilocalicome quelli che si basano sulla linearizzazionenon sono in grado di Iare.!"#$%$&$'%"():Una Iunzione J(x) e definita positiva in!xseJ "!x#$0 , eJ " x#%0per ognix&!x .!"#$%$&$'%"(*:Una Iunzione J(x) e semidefinita positiva in!xseJ "!x#$0 , eJ " x#'0per ognix&!x .(N.B. ogni Iunzione deIinita positiva risulta anche esseresemideIinita positiva)SECONDO METODO DI LYAPUNOVIl Secondo Metodo di Lyapunov permette di studiare la stabilita degli equilibri diun sistema dinamico non lineare, senza ricorrere alla linearizzazione delleequazionidel sistema. Esso rende quindi possibile lo studio della stabilitadegliequilibri in tutte quelle situazioni in cui il Primo Metodo (basato sullalinearizzazione) non da indicazioni, cioe quando gli autovalori della matriceJacobiana hanno parte reale negativa o nulla e ne esiste almeno uno a parte realenulla. Unaltromotivodi interesseperquestometodo, oltreal Iattodi scegliereunastrada del tutto alternativa alla linearizzazione, e che puo essere esteso a dare delleindicazioni globali di stabilita, cioe permette di trovare regioni di attrazione per gliequilibri, cosa che metodilocalicome quelli che si basano sulla linearizzazionenon sono in grado di Iare.!"#$%$&$'%"():Una Iunzione J(x) e definita positiva in!xseJ "!x#$0 , eJ " x#%0per ognix&!x .!"#$%$&$'%"(*:Una Iunzione J(x) e semidefinita positiva in!xseJ "!x#$0 , eJ " x#'0per ognix&!x .(N.B. ogni Iunzione deIinita positiva risulta anche esseresemideIinita positiva)Definizione 3:Una Iunzione J(x) e definita negativa se !J(x) e deIinita positiva.Definizione 4:Una Iunzione J(x) e semidefinita negativa se !J(x) e semideIinitapositiva.Teorema 1: Datounsistemadinamico ! x" f# x , u$ , con f# x , u$ continuacon le sue derivate prime, e un punto di equilibrio, caratterizzatodaf#%x , %u$"0 ,se esiste una Iunzione scalareJ(x)definita positivain %x ,continuaconlesuederivateprime, talecheladerivatatotale!J # x$e definita negativaallora l'equilibrio e asintoticamente stabile.J(x) viene detta fun:ione di Lvapunov.Teorema 2: Datelestessecondizioni del Teorema1, salvocheladerivatatotale !J # x$e solo semidefinita negativa, allora si puo solo dire che l'equilibrio e stabile.Teorema 3: Sevalgonolecondizioni del Teorema1, edinpiuladerivatatotale !J # x$e deIinita negativa in tutta una regione R contenenteal suo interno il punto di equilibrio %x ,allora R e la regione di attrazione dell'equilibrio%x .Osservazione 1:Unaspiegazione intuitiva dei teoremisipuo basaresull'interpretazione graIica. J(x) e deIinita positiva nell'equilibrio(cIr. IiguraDeIinizione1); selasuaderivatatotaleesemprestrettamente negativa, salvo che nell'equilibrio, la traiettoria delsistema nel piano di Iase corrispondera a punti sulla superIicie:"J # x$ diquotaviaviadecrescente, cioesemprepiu viciniall'equilibrio, cherisulteraquindi asintoticamente stabile. NelDefinizione 3:Una Iunzione J(x) e definita negativa se !J(x) e deIinita positiva.Definizione 4:Una Iunzione J(x) e semidefinita negativa se !J(x) e semideIinitapositiva.Teorema 1: Datounsistemadinamico ! x" f# x , u$ , con f# x , u$ continuacon le sue derivate prime, e un punto di equilibrio, caratterizzatodaf#%x , %u$"0 ,se esiste una Iunzione scalareJ(x)definita positivain %x ,continuaconlesuederivateprime, talecheladerivatatotale!J # x$e definita negativaallora l'equilibrio e asintoticamente stabile.J(x) viene detta fun:ione di Lvapunov.Teorema 2: Datelestessecondizioni del Teorema1, salvocheladerivatatotale !J # x$e solo semidefinita negativa, allora si puo solo dire che l'equilibrio e stabile.Teorema 3: Sevalgonolecondizioni del Teorema1, edinpiuladerivatatotale !J # x$e deIinita negativa in tutta una regione R contenenteal suo interno il punto di equilibrio %x ,allora R e la regione di attrazione dell'equilibrio%x .Osservazione 1:Unaspiegazione intuitiva dei teoremisipuo basaresull'interpretazione graIica. J(x) e deIinita positiva nell'equilibrio(cIr. IiguraDeIinizione1); selasuaderivatatotaleesemprestrettamente negativa, salvo che nell'equilibrio, la traiettoria delsistema nel piano di Iase corrispondera a punti sulla superIicie:"J # x$ diquota viaviadecrescente, cioe sempre piu viciniall'equilibrio, cherisulteraquindi asintoticamente stabile. Nel 3caso in cui la derivata totale possa essere sia negativa che nulla,puo capitare che la traiettoria tenda ad un punto sul "Iondo" dellasuperIicie diverso dall'equilibrio. Questo corrisponde ad unaproprieta di semplice stabilita dell'equilibrio stesso: ilmovimento perturbato non si allontana troppo dall'equilibrio, manemmeno tende a ritornarvi.Osservazione 2:Il metodo e molto potente, ma purtroppo non e di tipocostruttivo; in altre parole, il metodo garantisce la stabilitadell'equilibrio se siriesce a trovareuna Iunzione di Lyapunov!J " x# con determinate caratteristiche, ma non da alcunaindica:ione su come trovarla.Osservazione 3:Lecondizioni del Teorema3sonopiuttostorestrittive, percherichiedono che la derivata della Iunzione di Lyapunov siadeIinitanegativaintuttoR, mentrespesso(vedi esempiodelpendolo) essa risulta solo semideIinita negativa. Esistonodelleestensioni di questoteorema(criteri di Krasovskii eLaSalle)che permettono di dimostrare l'asintotica stabilita dell'equilibrioanche in questi casi.Esempio 1.Dato il sistema dinamico !x$%x3&u , studiare la stabilita dell'equilibriocaratterizzato da 'x$0,'u$0 .In Iigura e rappresentato il diagramma dellaIunzione f" x ,'u# . Risultachiaroche x$0 eunpuntodiequilibrio, echel'equilibriorisultaessereasintoticamentestabile. InIatti, laderivatadixepositiva a sinistra dell'equilibrio, e negativa a destra;pertanto, la traiettoria perturbata tendeasintoticamentearitornareall'equilibrio. E' inoltrechiaro che l'intero asse reale e la regione diattrazionedell'equilibrio, perchelatraiettoriatenderaatornareall'equilibriodaqualunque stato iniziale perturbato si Iaccia partire l'evoluzione del sistema.Analizzando la stabilita dell'equilibrio con il Primo Metodo di Lyapunov, si trovaun unico autovalore nullo:() f) x *'x ,'u$%2'x2$0 ,che non permette di trarre conclusioni sulla stabilita.Presa ora la Iunzione J " x#$x2, deIinita positiva in 'x$0 , si trova cheESEMPIO Datoilsistemadinamicox=x3+u,senestudialastabilitdell'equilibriocaratterizzato da. Infigurarappresentatoildiagrammadella funzione. Risulta chiaro che x=0 un punto di equilibrio,echel'equilibriorisultaessere asintoticamentestabile.Infatti,laderivatadix positiva a sinistra dell'equilibrio, e negativa a destra; pertanto,latraiettoriaperturbatatende asintoticamentearitornareall'equilibrio.E'inoltre chiaro che l'intero asse reale la regione di attrazione dell'equilibrio, perch la traiettoria tenderatornareall'equilibriodaqualunquestatoinizialeperturbatosifacciapartire l'evoluzione del sistema. Presa ora la funzione, definita positiva in un intorno di, si trova che: che evidentemente definita negativa in un intorno di, e rimane tale su tutto l'asse reale.Pertanto,perilTeoremadiLyapunovsipuconcluderechel'equilibrio asintoticamente stabile. Comeosservazioneconclusiva,siosservichetrovareunafunzionediLyapunovper sistemidelprimoordinenondifficile:inmolticasilapisemplicefunzionedefinita positiva in e continua con le sue derivate prime, cio risulta essere una funzionediLyapunov,ciohaunaderivatatotaledefinitaosemi-definitanegativa.Nel casodisistemidiordinepielevato,trovareunafunzionediLyapunovvalidain generale molto meno agevole. 35.3.2STABILITA DEI SISTEMI DISCRETI EpossibileestendereilmetododirettodiLyapunovaunsistemadiscreto(5.1) aventeloriginecomepuntodiequilibrio.SisupponechelintornoWdelloriginenel qualedefinitalafunzionesiainvarianterispettoadf(talecioche ),ochealmenolaporzioneditraiettoriadiinteressesisvolgaentroW.Ci consente di definire in W, o almeno lungo la traiettoria, la funzione: (5.7) Nel caso in cui la successione rappresenti una soluzione della 5.1, allora (5.8) fornisce la successione dei valori V visti lungo la traiettoria del sistema. Perci: rappresentaladifferenzafraduevaloriconsecutividi(5.8),ovverolincrementodi nellintervallo[t,t+1].OvviamentesefeVsonofunzionicontinue,anche continua.ESEMPI 1.Datoilsistemadelprimoordineelafunzione,si ha: 2.Dato il sistema del secondo ordine: in corrispondenza alla funzione si ha:

3TEOREMA(criteriosistabilitdiLyapunov)Siax=0puntodiequilibrioperilsistema discreto(5.1),confcontinua,esiaunafunzionecontinuainunintornoW delloriginequidefinitapositiva.Selafunzionesemidefinitanegativa, allora lequilibrio nellorigine stabile; se definita negativa, lequilibrio nellorigine asintoticamente stabile. ESEMPIO Prendendo il sistema discreto: hailpuntodiequilibrionellorigine(0,0);conriferimentoallafunzionedefinitapositiva si calcola la funzione: chesemidefinitanegativa,inquantonullain(0,0)enegativaperognix1,x2 appartenenti a R. Perci, lorigine un punto di equilibrio stabile per il sistema.