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Teoria dei Sistemi - A.A. 2003/2004

Cristian Secchi Pag. 1

Ing. Cristian SecchiTel. 0522 522234

e-mail: [email protected]://www.ingre.unimore.it/staff/secchi

TEORIA DEI SISTEMILaurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica

Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale – Indirizzo Gestione Industriale

TEORIA DEI SISTEMITEORIA DEI SISTEMISISTEMISISTEMI LINEARILINEARI

Cristian Secchi Sistemi Lineari -- 2Teoria dei Sistemi

Trasformazioni lineariTrasformazioni lineari

Dati due spazi vettoriali V e W, una trasformazione lineare T è una funzione T:V → W che gode delle seguenti proprietà:

1. T(v1+v2)=T(v1)+T(v2) ∀ v1,v2 ∈ V

2. T(α v)=αT(v) ∀ v ∈ V e ∀ α ∈ R

Una volta fissate una base in V e una base in W, è possibile rappresentare una funzione lineare con una matrice; sia A tale matrice, allora:

La rappresentazione A della trasformazione T non è unica. Cambiando le basi di V e W cambia la matrice che rappresenta la trasformazione lineare.




Trasformazioni LineariTrasformazioni Lineari

L’Immagine di una trasformazione lineare T è il sottospazio vettoriale definito da:

Il Kernel di una trasformazione lineare T è il sottospazio vettoriale definito da:


Sistemi lineariSistemi lineari

Un sistema dinamico si dice lineare se:

1. E’ un sistema regolare

2. La funzione di transizione φ è lineare rispetto allo stato e rispetto all’ingresso

3. La funzione di uscita è lineare rispetto allo stato e all’ingresso.





Il fatto che la funzione di transizione sia lineare significa che:

E’ possibile, per un sistema lineare, decomporre il movimento del sistema nella somma di due contributi: uno dipende solamente dallo stato iniziale e l’altro solamente dall’ingresso.



Una volta fissata una base in X è possibile rappresentare φl con una matrice e si ha:

dove la matrice Φ(t,t0), che dipende da t e t0, è detta matrice di transizione dello stato.

La funzione φl(t,t0,x(t0))=φ(t,t0,x(t0),0), che descrive il movimento del sistema quando l’ingresso è nullo, è lineare in x(t0), cioè:

questo movimento è detto movimento libero.





La funzione φf, che descrive il movimento del sistema quando lo stato iniziale è nullo, è lineare in u(·), cioè:

questo movimento è detto movimento forzato

Una volta fissata una base in U è possibile rappresentare φf con una matrice e si ha:

dove la matrice Φf(t,t0), che dipende da t e t0, è detta matrice di distribuzione degli ingressi.



Il fatto che la funzione di uscita sia lineare negli argomenti x e u, significa, seguendo ragionamenti analoghi a quelli fatti per la funzione di trasferimento di stato, che, una volta fissata una base in X e U, è possibile scrivere:

dove le matrici C e D dipendono dal tempo.




Rappresentazione dei sistemi lineariRappresentazione dei sistemi lineari

Teorema: E’ possibile, rappresentare la funzione di stato di un sistema lineare come:

dove t0 è l’istante iniziale

• Il teorema si dimostra sfruttando la linearità della funzione di transizione dello stato

• E’ molto importante in quanto consente di rappresentare il sistema con equazioni lineari nello stato e nell’ingresso.

• E’ possibile sfruttare potenti tecniche dell’algebra lineare per analizzare e controllare tali sistemi.



Considerando il fatto che la funzione di uscita è lineare in x e u, è possibile dimostrare che un sistema è lineare se e solo se è rappresentabile mediante le seguenti equazioni:

che sono equivalenti a:

Il primo tipo di equazioni sono molto più utilizzate in quanto è possibile dedurre importanti caratteristiche del sistema dalle proprietà delle matrici A(t), B(t), C(t) e D(t).





A(t), B(t), C(t) e D(t) sono matrici i cui elementi possono dipendere dal tempo. Nel caso di un sistema con n stati, m ingressi e p uscite, tali matrici hanno i seguenti nomi e la seguente struttura:

• Matrice di stato:

• Matrice di ingresso:

Matrice Quadrata



• Matrice di uscita:

• Matrice di ingresso-uscita:




Esempio Esempio –– Circuito ElettricoCircuito Elettrico

R1

R2

C

u y

x

A

B

E

F


Esempio Esempio –– Circuito ElettricoCircuito Elettrico

Sia la funzione di stato che la funzione d’uscita sono lineari nello stato e nell’ingresso, quindi il sistema è lineare. In particolare il sistema ha 1 stato, 1 ingresso e 1 uscita e, quindi, le matrici A(t), B(t), C(t) e D(t) saranno tutte 1 X 1, cioè scalari. Le equazioni che modellano il sistema sono:

dove




Esempio Esempio –– Sistema MeccanicoSistema Meccanico

km

x1 x2u

y

b


Esempio Esempio –– Sistema MeccanicoSistema Meccanico

Sia la funzione di stato che la funzione d’uscita sono lineari nello stato e nell’ingresso, quindi il sistema è lineare. In particolare il sistema ha 2 stato, 1 ingresso e 1 uscita e, quindi, la matrice A(t) sarà 2 x 2, B(t) sarà 2 x 1, C(t) sarà 1 x 2 e D(t) sarà 1 x 1. Le equazioni che modellano il sistema lineare sono:

x(t).

A(t) B(t)C(t)

C(t) D(t)




Principio di sovrapposizione degli effettiPrincipio di sovrapposizione degli effetti

Teorema: Dato un sistema lineare con istante iniziale t0, siano x’ e y’ il movimento dello stato e l’uscita generati dall’ingresso u’ a partire dallo stato x’(t0) e, rispettivamente, x’’ e y’’ il movimento dello stato e l’uscita generati dall’ingresso u’’ a partire dallo stato x’’(t0). Allora, per ogni coppia di scalari α e β, il movimento dello stato x’’’ e l’uscita y’’’ generati da

a partire dallo stato

sono


Principio di sovrapposizione degli effettiPrincipio di sovrapposizione degli effetti

Il principio di sovrapposizione degli effetti è di grande importanza perché consente di calcolare il movimento (e l’uscita) generato da più cause (cioè da coppie stato iniziale-ingresso) come la somma pesata dei singoli effetti provocati da ciascuna causa.

La dimostrazione del teorema è una conseguenza della linearità delle funzioni di transizione dello stato e della funzione di uscita.




Esempio: Principio di sovrapposizione degli effettiEsempio: Principio di sovrapposizione degli effetti

km

u

b

Applicando una forza costante la massa si ferma in una posizione in cui la forza elastica Fe generata dalla molla equilibria la forza applicata u.



Caso 1 : Fe(t)=-kx(t): il sistema è lineare.

0 5 10 150

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

x’’(t0)=0 u’’=2 N

0 5 10 150

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

x’(t0)=0 u’=1 N

y’(t) y’’(t)





0 5 10 150

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

x’’’(t0)=0 u’’’=3 N

y’’’(t)



Il sistema è lineare e, quindi, vale il principio di sovrapposizione degli effetti. Infatti, l’andamento dell’uscita corrispondente a x’’’(t0)=0 e u’’’=3N è dato dalla somma dell’andamento delle uscite in corrispondenza a x’(t0)=0 e u’=1N e x’’(t0)=0 e u’’=2N. Infatti:

e, quindi





Caso 2 : Fe(t)=-kx3(t): il sistema NON è lineare.

Le equazioni che descrivono il sistema sono:

Non sono equazioni lineari



0 5 10 150

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

0 5 10 150

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

x’(t0)=0 u’=1 N x’’(t0)=0 u’’=2 N

y’(t) y’’(t)





0 5 10 150

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

y’’’(t)

x’’’(t0)=0 u’’’=3 N



Il sistema non è lineare e, quindi, non vale il principio di sovrapposizione degli effetti. Infatti, nonostante:

si ha che

Il principio di sovrapposizione degli effetti vale solo per i sistemi lineari.




Sistemi tempoSistemi tempo--invarianti (o stazionari)invarianti (o stazionari)

Un sistema si dice tempo-invariante (o stazionario) se:

1) L’insieme dei tempi T è un gruppo additivo2) Per ogni u(·) ∈ Ω e ∀ τ ∈ T, la funzione uτ(·), ottenuta per traslazione

(uτ(t)=u(t+τ), ∀ τ ∈ T), appartiene a Ω3) La funzione di transizione dello stato gode della proprietà:

4) La funzione d’uscita è indipendente da t:



Le condizioni 1) e 2) sono tecniche. La prima serve per giustificare la somma di istanti di tempo (nel caso T=R tale condizione è soddisfatta); la seconda serve per poter ammettere, tra le funzioni di ingresso ammissibili, tutte quelle traslate nel tempo di una certa quantità

La condizione 3) dice che la funzione di transizione dello stato non dipende dai parametri t e t0 in modo indipendente ma è funzione solamente della differenza (t-t0), cioè della quantità di tempo trascorsa dall’istante iniziale.

E’ quindi sempre possibile riportarci nella situazione in cui l’istante iniziale coincide con l’origine dei tempi, cioè, in cui t0=0.

Nel corso studieremo sistemi tempo-invarianti e, quindi, assumeremo sempre t0=0.





La condizione 4) implica che l’uscita non dipende esplicitamente dal tempo t.

In generale, le equazioni che rappresentano un sistema dinamico tempo-invariante sono:

Il tempo non appare esplicitamente né nella funzione di stato né nella funzione di uscita.


Sistemi Lineari Tempo Invarianti (LTI)Sistemi Lineari Tempo Invarianti (LTI)

La condizione di tempo-invarianza per i sistemi lineari si traduce nel fatto che le matrici che descrivono il sistema NON dipendono dal tempo. Un sistema LTI è pertanto rappresentato dalle seguenti equazioni:

dove A, B, C e D sono matrici costanti di dimensioni opportune.




Sistemi tempoSistemi tempo--invarianti invarianti -- EsempiEsempi

R1

R2

C

u y

x

A

B

E

F


Sistemi tempoSistemi tempo--invarianti invarianti -- EsempiEsempi

km

x1 x2u

y

b




Soluzione della funzione di statoSoluzione della funzione di stato

Problema: Data l’equazione

che descrive l’evoluzione dello stato di un sistema dinamico, trovare il movimento dello stato x(t) associato a un certo stato iniziale x(t0)

• Occorre risolvere un’equazione differenziale che può essere non lineare e che dipende esplicitamente dal tempo.

Non esiste una soluzione generale al problema.


Soluzione della funzione di statoSoluzione della funzione di stato

E’ possibile risolvere il problema per certe classi di sistemi, come per esempio quella dei sistemi lineari.

Anche se esiste la soluzione per sistemi lineari tempo-varianti, ci concentreremo su una classe più ristretta di sistemi, quella dei sistemi lineari tempo-invarianti

L’equazione che considereremo sarà quindi:




Soluzione della funzione di stato per sistemi LTISoluzione della funzione di stato per sistemi LTI

Consideriamo prima il caso di un sistema LTI autonomo (cioè con funzione di ingresso nulla):

Sappiamo che:

dove Φ(t) è la matrice di transizione dello stato che modella il movimento libero del sistema



Dalle precedenti relazioni segue che:

La soluzione dell’equazione, analogamente al caso scalare, è:

Ma cosa significa fare l’esponenziale di una matrice?





L’esponenziale è definibile mediante la sua espansione in serie:

Analogamente, è possibile definire l’esponenziale di una matrice come:



Consideriamo ora il caso più generale:

La soluzione dell’equazione è data dalla cosiddetta formula di Lagrange :





Per verificare il risultato si utilizza la seguente formula di derivazione:

Derivando la formula di Lagrange e applicando tale formula si ottiene:



Rimane una questione in sospeso: come calcolare eAt?

Prima di ottenere tali formule, però, occorre introdurre strumenti ulteriori per l’analisi dei sistemi LTI.

E’ impensabile dover usare direttamente la definizione che implicherebbe una somma di una serie matriciale. E’ possibile ottenere delle formule più compatte per il calcolo dell’esponenziale.



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