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Teoria dei Sistemi - A.A. 2003/2004

Cristian Secchi Pag. 1

Ing. Cristian SecchiTel. 0522 522234

e-mail: [email protected]://www.ingre.unimore.it/staff/secchi

TEORIA DEI SISTEMILaurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica

Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale – Indirizzo Gestione Industriale

TEORIA DEI SISTEMITEORIA DEI SISTEMIRAGGIUNGIBILITA’ E CONTROLLABILITA’ RAGGIUNGIBILITA’ E CONTROLLABILITA’

Cristian Secchi Raggiungibilità e Controllabilità-- 2Teoria dei Sistemi

Raggiungibilità e ControllabilitàRaggiungibilità e Controllabilità

• E’ uno dei problemi fondamentali della teoria dei sistemi

• Mentre nell’analisi della stabilità la funzione di ingresso è fissata, i risultati relativi alla raggiungibilità e alla controllabilità mettono in luce la possibilità che ha l’operatore di agire sul sistema tramite il segnale di ingresso u(·)

• Sono concetti legati alla possibilità di trasferire lo stato di un sistema ad uno stato desiderato scegliendo opportunamente la funzione di ingresso u(·) e, quindi, alla possibilità di controllare il sistema.

• I concetti di raggiungibilità e controllabilità sono correlati a tutti i problemi fondamentali della teoria dei sistemi





Definizione [stato raggiungibile]: Si consideri un sistema dinamico che sia nello stato x0 all’istante t0 (cioè x(t0)=x0). Uno stato x1 è raggiungibiledallo stato x0 nell’intervallo [t0,t1] (con t0<t1) se esiste una funzione di ingresso ammissibile u(·) ∈ Ω tale che:

Indicheremo con X+(t0,t1,x(t0)) l’insieme degli stati raggiungibili dall’evento (t0,x0) all’istante t1. Esso rappresenta l’insieme degli stati nei quali possiamo trasferire lo stato x0 tramite la scelta di un’opportuno ingresso u(·) nell’intervallo [t0,t1]

Il problema della raggiungibilità consiste nel determinare l’insieme degli stati raggiungibili da un determinato stato iniziale.



Definizione [stato controllabile]: Uno stato x0 all’istante t0 (cioè x(t0)=x0) è controllabile allo stato x1 nell’intervallo [t0,t1] (con t0<t1) se esiste una funzione di ingresso ammissibile u(·) ∈ Ω tale che:

Indicheremo con X-(t0,t1,x(t1)) l’insieme degli stati controllabili all’evento (t1,x1) dall’istante t0. Esso rappresenta l’insieme degli stati che possono essere trasferiti allo stato x1 tramite la scelta di un’opportuno ingresso u(·) nell’intervallo [t0,t1]

Il problema della controllabilità consiste nel determinare l’insieme degli stati che possono essere controllati a un determinato stato finale





• I concetti di raggiungibilità e controllabilità sono complementari: il concetto di raggiungibilità è legato agli stati che è possibile raggiungere, scegliendo un’opportuna funzione di ingresso, a partire da un certo stato iniziale mentre il concetto di controllabilità è legato agli stati a partire dai quali è possibile raggiungere, tramite un’opportuna funzione di ingresso, un certo stato finale prefissato.

t0 t1

x1

x0

X+(t0,t1,x(t0))

X-(t0,t1,x(t1))


EsempioEsempio

Consideriamo il sistema a stati finiti descritto dalla tabella:

StatiIngressi

x3x2x2u3

x3x1x2u2

x2x2x1u1

x3x2x1

x1

x3

x2

u1u1,u3

u2,u3 u1

u2

u2,u3




EsempioEsempio

Innanzitutto notiamo che il sistema è stazionario (la funzione di transizione dello stato mette in luce che il movimento dipende solo dalla sequenza degli ingressi), pertanto gli insiemi di raggiungibilità e di controllabilità dipendono solo dalla differenza t=t1-t0, cioè dal numero di passi. Quindi:

X+(t0,t1,x(t0))=X+(t,x(0)) X-(t0,t1,x(t1))=X-(t,x(t))e

Gli insiemi degli stati raggiungibili in un passo dagli stati x1, x2 e x3 sono rispettivamente:

X+(1,x1)=x1,x2 X+(1,x2)=x1,x2 X+(1,x3)=x2,x3

Gli insiemi degli stati controllabili in un passo agli stati x1, x2 e x3 sono rispettivamente:

X-(1,x1)=x1,x2 X-(1,x2)=x1,x2,x3 X-(1,x3)=x3


EsempioEsempio

Gli stati raggiungibili e controllabili in due passi sono:

X+(2,x1)=x1,x2

X+(2,x2)=x1,x2

X+(2,x3)=x1,x2,x3

X-(2,x1)=x1,x2,x3

X-(2,x2)=x1,x2,x3

X-(2,x3)=x3

Gli insiemi di raggiungibilità e di controllabilità, anche se riferiti ad uno stesso stato, sono, in generale, diversi.




Raggiungibilità nei sistemi LTIRaggiungibilità nei sistemi LTI

Consideriamo un sistema LTI descritto dall’equazione di stato

• E’ sempre possibile scegliere delle coordinate nello spazio degli stati tali per cui lo stato iniziale è x(t0)=0, cioè l’origine dello spazio degli stati • Siccome il sistema è tempo invariante, è possibile, in generale, considerare l’istante iniziale t0=0.

E’, quindi, possibile vedere le proprietà di raggiungibilità come associate al movimento forzato del sistema LTI, cioè come proprietà dipendenti dalla funzione di ingresso, senza nessun contributo dovuto ad un eventuale stato iniziale.



si ha che x(t) è raggiungibile all’istante t se e solo se x(t) appartiene all’immagine di Rt, cioè se

Definendo l’operatore:

L’insieme di raggiungibilità, X+(0,t,0)=X+(t) è pertanto:

Uno stato x(t) è raggiungibile al tempo t se esiste un ingresso u(·) tale che il movimento forzato del sistema valga:





Definiamo l’operatore aggiunto R*t di Rt come segue:

L’operatore aggiunto R*t gode della seguente importante proprietà:

dove Wt è il gramiano di raggiungibiità:



ProposizioneL’insieme di raggiungibilità X+(t) di un sistema LTI è un sottospazio vettoriale dello spazio vettoriale degli stati X e, pertanto, d’ora in avanti verrà detto sottospazio di raggiungibilità

Per i sistemi LTI vale un importante risultato che consente di dare la struttura di spazio vettoriale all’insieme di raggiungibilità. Tale struttura consente di calcolare in maniera agevole l’insieme di raggiungibilità:





Definiamo la matrice di raggiungibilità come :

dove n è l’ordine della matrice A.

Proposizione: Il sottospazio di raggiungibilità al tempo t>0, X+(t), è l’immagine della matrice di raggiungibilità R+

DimostrazioneSfruttando le proprietà dell’operatore aggiunto e delle matrici si ha che:

a) X+(t)=ImRt=(KerR*t)⊥ b) ImR+=[Ker(R+)T]⊥



Quindi è sufficiente dimostrare che

(Ker Rt*)⊥=[Ker(R+)T]⊥ ovvero, equivalentemente, che Ker Rt

*=Ker(R+)T

Si ha che x(t) ∈ KerRt* se e solo se:

Ricordando la definizione di esponenziale di una matrice è possibile riscrivere la condizione precedente come:

cioè come una serie di potenze in (t-τ)





Per il principio di identità delle serie di potenze si ha che l’identità precedente è vera se e solo se:

cioè se tutti i coefficienti della serie di potenze sono nulli. E’ possibile dimostrare che, per i>n-1, i coefficienti della serie di potenze sono combinazione lineare dei coefficienti precedenti. Pertanto condizione necessaria e sufficiente perché i coefficienti relativi a i>n-1 siano nulli è che siano nulli i coefficienti relativi a i·n-1. E’, quindi, possibile riscrivere la condizione precedente come:

che può, a sua volta, essere riscritta come:



[QED]

E’ pertanto possibile ottenere il sottospazio di raggiungibilitàsemplicemente calcolando l’immagine della matrice di raggiungibilità che può essere costruita a partire dall’equazione di stato del sistema LTI





Il sottospazio di raggiungibilità non dipende dalla lunghezza dell’intervallo [0,t] in cui agisce la funzione di ingresso, pertanto, d’ora innanzi si ometterà la dipendenza da t e si indicherà il sottospazio di raggiungibilità con X+. Condizione necessaria perché ciò sia vero è che l’ingresso possa assumere valori arbitrariamente grandi.

Nella pratica gli ingressi sono limitati e, quindi, l’insieme di stati raggiungibili dipende dalla lunghezza dell’intervallo [0,t]. Tuttavia, ciò non contraddice la teoria poiché, se gli ingressi sono limitati, lo spazio degli ingressi cessa di essere vera una delle ipotesi fondamentali della proposizione precedente.

Il risultato ottenuto, comunque, continua a rivestire una grande utilità poiché spesso, nella pratica, si considerano gli ingressi illimitati, in modo da poter utilizzare i potenti risultati del controllo lineare, e poi si affronta il problema degli ingressi limitati utilizzando opportune tecniche di controllo non lineari.



Un sistema LTI si dice completamente raggiungibile se il sottospazio di raggiungibilità coincide con l’intero spazio degli stati, cioè se:

Il fatto che un sistema LTI sia completamente raggiungibile significa che è possibile, mediante un’opportuna funzione di ingresso, trasferire il sistema dall’origine in un qualsiasi stato. Il sottospazio di non raggiungibilità, in tal caso, è l’insieme vuoto.

Il complemento ortogonale del sottospazio di raggiungibilità è detto sottospazio di non raggiungibilità:

e rappresenta gli stati in cui non si può trasferire il sistema.




EsempioEsempio

C

x1

x2

x3

u(t)C

L

Le variabili di stato sono:

x1 = tensione ai capi del condensatore in altox2 = corrente attraverso l’induttorex3= tensione ai capi del condensatore in basso

L’ingresso u è la tensione ai morsettiL’equazione di stato del sistema è:

dove


EsempioEsempio

Per determinare il sottospazio di raggiungibilità X+ bisogna innanzitutto costruire la matrice di raggiungibilità R+. Siccome l’ordine della matrice A è n=3, R+ sarà:

Utilizzando le matrici del sistema si ottiene:

il rango della matrice di raggiungibilità è 2: infatti la prima e la terza colonna sono linearmente dipendenti mentre la seconda è linearmente indipendente dalla prima. Pertanto, l’immagine di R+ sarà un sottospazio di dimensione 2.




EsempioEsempio

L’immagine di una matrice è il sottospazio vettoriale descritto dai vettori individuati dalle colonne della matrice, quindi:

Siccome il primo e il terzo vettore sono linearmente indipendenti:

Il sottospazio di raggiungibilità è un piano, cioè ha dimensione 2, pari al rango della matrice di raggiungibilità.


Controllabilità nei sistemi LTIControllabilità nei sistemi LTI

Consideriamo un sistema LTI descritto dall’equazione di stato

• E’ sempre possibile scegliere delle coordinate nello spazio degli stati tali per cui lo stato finale è x(t)=0, cioè l’origine dello spazio degli stati • Siccome il sistema è tempo invariante, è possibile, in generale, considerare l’istante iniziale t0=0.

Uno stato x(0) è controllabile a 0 al tempo t se esiste una funzione di ingresso u(·) tale che risulti:





L’insieme degli stati controllabili a 0 al tempo t è indicato con X-(0,t,0)=X-(t). Per i sistemi lineari LTI, vale il seguente importante risultato:

ProposizioneL’insieme di controllabilita X-(t) di un sistema LTI è un sottospazio vettoriale dello spazio vettoriale degli stati X e, pertanto, d’ora in avanti verrà detto sottospazio di controllabilità

Mentre, in generale, l’insieme degli stati controllabili e quello degli stati raggiungibili sono diversi, nel caso particolare dei sistemi LTI essi sono legati ed è quindi possibile dedurre il sottospazio di controllabilità da quello di raggiungibilità e viceversa.



Proposizione: In un sistema LTI, il sottospazio di controllabilità X- non dipende dall’intervallo in cui agisce la funzione di ingresso e coincide con il sottospazio di raggiungibilità X+.

• Per i sistemi LTI, quindi, uno stato è controllabile a 0 se e solo se esso è raggiungibile dallo stato 0.

• Il sottospazio di controllabilità è l’immagine della matrice di raggiungibilità

• Valgono le stesse considerazioni fatte per la raggiungibilità a riguardo degli ingressi limitati




Legge di ControlloLegge di Controllo

• Esistono algoritmi che consentono di determinare, se esiste, la funzione di ingresso u(·) che consente di portare lo stato iniziale x(0) di un sistema LTI in uno stato finale x(t).

• Tali algoritmi si basano sul concetto di pseudoinversa di una matrice e consentono di ottenere una funzione di ingresso di norma minima

• Questi algoritmi non verranno affrontati sia per ragioni di tempo sia perché essi consentono di costruire leggi di controllo tempo varianti e perlopiù in catena aperta, poco utili da un punto di vista pratico.

• Ci si concentrerà, invece, in seguito, sul problema del controllo in retroazione di gran lunga più interessante e diffuso nella pratica.


Sistemi equivalentiSistemi equivalenti

Abbiamo visto che dato un sistema LTI descritto dalle matrici (A,B,C,D) e una matrice non singolare T, è possibile, tramite il cambio di variabile:

ottenere un sistema LTI equivalente descritto dalle matrici:

Tramite il cambio di variabile si ottengono due descrizioni equivalenti dello stesso sistema.

Cosa succede alla proprietà di raggiungibilità (e, quindi, anche di controllabilità) nel cambio di rappresentazione?





Sistemi LTI equivalenti hanno le stesse proprietà di raggiungibilità

Quindi, la proprietà di raggiungibilità è una proprietà intrinseca del sistema, cioè una proprietà indipendente dalla particolare rappresentazione. In particolare, se un sistema è completamente raggiungibile, tali sono tutte le sue rappresentazioni equivalenti.

In generale, si troveranno diverse espressioni della matrice di raggiungibilità e dei sottospazi di raggiungibilità per ciascunarappresentazione equivalente del sistema. Ciò che è invariante in ogni rappresentazione equivalente è la dimensione del sottospazio di raggiungibilità che esprime il tipo di regione dello spazio degli stati che è possibile raggiungere dall’origine (retta, piano, iperpiano,…)



E’ possibile legare tra di loro le espressioni del sottospazio e della matrice di raggiungibilità che si ottengono da due sistemi equivalenti. Siano

e

due rappresentazioni equivalenti di un sistema LTI. Dalle espressioni delle matrici barrate in funzione della trasformazione T e delle matrici A,B,C e D si ottiene che i sottospazi di raggiungibilità sono legati da:

e le matrici di raggiungibilità sono legate da:




Forma canonica di raggiungibilitàForma canonica di raggiungibilità

Tra tutte le rappresentazioni equivalenti di un sistema LTI, ne esiste una che consente di mettere bene in evidenza la proprietà di raggiungibilità del sistema; tale rappresentazione è detta forma canonica di raggiungibilità.

Consideriamo un sistema LTI descritto da:

di dimensione n non completamente raggiungibile, cioè dim X+=ρ<n



Si consideri il seguente cambio di variabile:

dove T1, di dimensione n × ρ, è una matrice di base del sottospazio di raggiungibilità e T2, di dimensione, n × n-ρ, è una matrice di base del sottospazio di non raggiungibilità, ortogonale a X+. Utilizzando questo cambio di variabile, si ottiene la rappresentazione equivalente del sistema LTI detta forma canonica di raggiungibilità:





dove:

dove ha dimensione ρ × ρ e ha dimensione ρ × m



Le forma canonica di raggiungibilità consente di vedere il sistema come la composizione di due sottosistemi: un sottosistema completamente raggiungibile e un sottosistema irraggiungibile.

Infatti, è possibile scomporre il vettore di stato nelle nuove coordinate in una parte raggiungibile (relativa alla parte T1 della trasformazione T) e una parte non raggiungibile (relativa alla parte T2 della trasformazione T):

Si ha pertanto che l’equazione di stato del sistema in forma canonica di raggiungibilità è:





Il sottosistema relativo alla parte di stato rappresenta la parte raggiungibile del sistema mentre quello relativo alla parte di stato rappresenta la parte non raggiungibile del sistema. Graficamente la decomposizione risulta come:

Parte raggiungibile

Parte nonraggiungibile

u

Equazione di stato della parte raggiungibile

Equazione di stato della parte non raggiungibile



• L’ingresso u(·) influenza solo la parte raggiungibile poiché se influenzasse anche la parte non raggiungibile sarebbe possibile pilotare il movimento nel sottospazio di non raggiungibilità e quindi di raggiungere alcuni stati non raggiungibili che è ovviamente assurdo.

• Gli stati non raggiungibili, comunque, possono influenzare il movimento della parte raggiungibile

• Gli stati raggiungibili non possono influenzare la parte non raggiungibile poiché, se ciò accadesse, siccome è possibile controllare il movimento della parte raggiungibile tramite l’ingresso, sarebbe possibile raggiungere alcuni stati della parte non raggiungibile che è ovviamente assurdo

• La parte raggiungibile è caratterizzata dalle matrici che costituiscono una coppia completamente raggiungibile, quindi è possibile raggiungere qualsiasi stato della parte raggiungibile

• La parte non raggiungibile è un sistema autonomo e la sua dinamica dipende solo dallo stato iniziale.




Matrice di trasferimentoMatrice di trasferimento

La matrice di trasferimento modella l’andamento dell’uscita forzata di un sistema LTI in funzione dell’ingresso. La matrice di trasferimento di un sistema LTI coincide con la matrice di trasferimento della parte raggiungibile del sistema.Infatti, sia dato un sistema LTI nella sua forma canonica di raggiungibilità:

La matrice di trasferimento vale:


Matrice di trasferimentoMatrice di trasferimento

Nell’espressione della matrice di trasferimento compaiono solo itermini che caratterizzano il sottosistema raggiungibile. Questo era anche intuibile in quanto la matrice di trasferimento modella l’uscita forzata: l’ingresso u(·) influenza solo la parte raggiungibile del sistema e, siccome la parte non raggiungibile è un sistema autonomo, il suo contributo all’uscita forzata è nullo.




EsempioEsempio

C

x1

x2

x3

u(t)C

L

Le equazioni del sistema sono:

dove

Consideriamo ancora il circuito considerato nell’esempio precedente. Prendiamo come uscita la corrente lungo l’induttore. Quindi y=x2


EsempioEsempio

Avevamo trovato che il sottospazio di raggiungibilità è dato da:

Il sottospazio di non raggiungibilità Xn+ è il complemento ortogonale di

X+ e, quindi, siccome X=R3 e X+ è di dimensione 2, Xn+ è un

sottospazio di dimensione 1 ed è individuato (cioè una sua base è) da un vettore ortogonale a entrambi i vettori di base di X+. Quindi, se

indica tale vettore che individua Xn+ esso dovrà soddisfare:




EsempioEsempio

Quindi, un possibile vettore di base di Xn+ è:


EsempioEsempio

Costruiamo la trasformazione T per portare il sistema nella forma canonica di raggiungibilità come:

T1

T2

da cui segue che:




EsempioEsempio

La dinamica della parte non raggiungibile è data da:

cioè la parte di stato non raggiungibile mantiene un valore costante pari al suo valore iniziale.

La dinamica della parte raggiungibile è data da:

casualmente la parte non raggiungibile non influenza la dinamica della parte raggiungibile.


EsempioEsempio

La matrice di trasferimento del sistema si può calcolare considerando solo la parte controllabile del sistema. Si ha che:

Per il sistema in considerazione:

D=0

Siccome il sistema ha un solo ingresso e una sola uscita, la matrice di trasferimento si riduce a una funzione di trasferimento.




Controllo di un sistema LTIControllo di un sistema LTI

In generale, dato un sistema, la legge di controllo può essere:

• In catena aperta: se è determinata solo in base ai valori dello stato iniziale e dello stato finale e al modello del sistema

• In retroazione: se la legge di controllo tiene conto, istante per istante, dell’evoluzione del sistema, cioè del suo stato

In riferimento al controllo in retroazione, è possibile distinguere tra:

• Retroazione dinamica: quando il segnale di controllo viene calcolato in base allo stato del sistema da un dispositivo avente una dinamica propria

• Retroazione statica: quando il segnale di controllo viene calcolato in base allo stato del sistema in modo statico

Per quanto riguarda gli obiettivi del controllo si possono distinguere due problematiche principali:

Problemi di regolazione: Si suppone che per effetto di disturbi o altre cause il sistema si trovi in una condizione iniziale diversa da zero e si intenda riportare il sistema allo stato zero con velocità assegnata

Problemi di tracking: Si richiede che l’uscita del sistema approssimi, secondo certi criteri, un andamento desiderato.



Noi ci occuperemo di risolvere il problema di risolvere il problema di regolazione per sistemi LTI. Lo stato zero, a cui si deve riportare il sistema, è da intendersi come un generico stato desiderato che, a seguito di un opportuno cambio di coordinate, è stato fatto coincidere con l’origine dello spazio degli stati per comodità.

Verrà progettato un controllo in retroazione statico. Il controllo viene progettato in retroazione anziché in catena aperta per sfruttare le caratteristiche di robustezza e di maggiore insensibilità ai disturbi del controllo in retroazione rispetto al controllo in catena aperta. La retroazione sarà statica in quanto la sua implementazione pratica risulta molto più agevole.





Cosa si intende con riportare a zero lo stato del sistema con una velocità assegnata? L’idea fondamentale che sta dietro il problema della regolazione è quella di fare in modo, eventualmente tramite l’azione di controllo, l’origine sia asintoticamente stabile. In tal modo se il sistema parte da uno stato iniziale diverso da zero esso tende, asintoticamente, a tornare nell’origine. La velocità con cui lo stato torna nell’origine dipende dalla velocità con cui tendono a zero i modi del sistema che caratterizzano la risposta libera del sistema, cioè il movimento del sistema al partire da uno stato iniziale non nullo. Se tramite l’azione di controllo è possibile fissare arbitrariamente i valori degli autovalori del sistema controllato è allora possibile fare tendere a zero con una velocità assegnabile arbitrariamente il movimento del sistema.L’idea alla base del controllo è quella di selezionare un’opportuna retroazione statica dello stato in modo che il sistema controllato abbia gli autovalori nella posizione desiderata, cioè in modo che il sistema tenda a zero con la velocità desiderata.


Equazione di stato di sistemi in retroazioneEquazione di stato di sistemi in retroazione

Consideriamo un sistema LTI descritto da:

e supponiamo che tutte le componenti del vettore di stato siano direttamente accessibili.

La legge di retroazione dello stato è definita da:

dove dim(K)=m × n.

S

K

++v(t) u(t) x(t)

Il segnale v(t) può essere interpretato come un riferimento che si dà al sistema retroazionato.




Equazione di stato di sistemi in retroazioneEquazione di stato di sistemi in retroazione

Il sistema controllato ha le seguenti equazioni:

Una legge di controllo in retroazione alternativa consiste nella retroazione dell’uscita anziché in quella dello stato:

• Per sistemi SISO la matrice K1 è uno scalare mentre la matrice K è un vettore di n componenti.

• Il fatto di avere n gradi di libertà anziché uno consente più ampie possibilità di controllo nella modifica della dinamica del sistema tramite una retroazione dello stato anziché dell’uscita.


InvarianzaInvarianza rispetto alla retroazione dello statorispetto alla retroazione dello stato

Come varia la proprietà di raggiungibilità di un sistema LTI quando viene controllato tramite una retroazione statica dello stato?

Proposizione [Invarianza del sottospazio di raggiungibilità]I sottospazi di raggiungibilità del sistema LTI S e del sistema LTI SK, ottenuto mediante la retroazione dello stato, coincidono:

• Il risultato può essere riformulato dicendo che la retroazione dello stato non può né creare né distruggere la raggiungibilità.

• La raggiungibilità quindi è una proprietà invariante rispetto alla retroazione dello stato e, per questo, è detta una proprietà strutturale del sistema.

• La stabilità, ad esempio, non è una proprietà strutturale.





Come agisce la retroazione dello stato sugli autovalori del sistema?

Proposizione [Invarianza degli autovalori della parte non raggiungibile]La retroazione dello stato non influenza gli autovalori della parte non raggiungibile del sistema.

Siccome il comportamento dinamico di un sistema LTI è determinato dagli autovalori della matrice di stato, questo risultato ci dice che non è possibile modificare a piacimento il comportamento del sistema tramite la retroazione dello stato poiché non è possibile modificare gli autovalori della parte non raggiungibile.

Tramite l’azione di controllo è possibile agire solo sulla parteraggiungibile del sistema.



Se il sistema è completamente raggiungibile allora è possibile, tramite la retroazione dello stato, influire su tutti gli autovalori del sistema controllato e, quindi, assegnare una dinamica arbitraria al sistema.

Per risolvere il problema della regolazione è necessario poter piazzare gli autovalori del sistema controllato in una posizione arbitrariamente. Ovviamente questo è possibile se e solo se il sistema da controllare è completamente raggiungibile, cioè solo se è possibile influenzare tramite la retroazione dello stato tutti gli autovalori.

Dato un sistema LTI completamente raggiungibile, come si deve scegliere la matrice K perché gli autovalori del sistema controllato abbiano un certo valore?




Scelta del guadagno di retroazioneScelta del guadagno di retroazione

Assegnare agli autovalori del sistema controllato un certo valore, equivale a imporre che la matrice dello stato (A+BK) del sistema chiuso in retroazione abbia un certo polinomio caratteristico p(λ).

Se vogliamo assegnare agli n autovalori della matrice di stato (A+BK) del sistema chiuso in retroazione i valori λ1, …, λn , questo è equivalente a richiedere che il polinomio caratteristico del sistema chiuso in retroazione valga:

Per soddisfare le specifiche di controllo occorre scegliere il guadagno di retroazione in modo che la matrice A+BK abbia p(λ) come polinomio caratteristico.



Consideriamo dapprima il caso di un sistema LTI di dimensione n, con un solo ingresso e completamente raggiungibile:

A e C sono matrici di ordine opportuno mente b e d sono vettori.

In questo caso, la legge di retroazione dello stato sarà nella forma

dove

Il problema del controllo risulta pertanto semplificato poiché la retroazione dello stato è determinata da un vettore anziché da una matrice





Esistono varie tecniche per la determinazione del vettore k. Una tecnica molto nota fa riferimento alla cosiddetta forma canonica di controllo.

Si individua una trasformazione di coordinate che porta il sistema in una particolare forma (detta forma canonica di controllo) in cui sono evidenti i coefficienti del polinomio caratteristico di A. In questa particolare forma è semplice scegliere i valori k1, …, kn per fare in modo che il sistema chiuso in retroazione abbia un polinomio caratteristico desiderato.

Lo svantaggio di questo metodo è che occorre calcolare il polinomio caratteristico della matrice A per poter determinare il guadagno k.



Utilizzeremo una formula sviluppata più recentemente del metodo basato sulla forma canonica di controllo, la formula di Ackerman.

Sia dato un sistema LTI a un ingresso

e sia p(λ) un polinomio monico scelto a piacere:





Se la coppia (A,b) è completamente raggiungibile, allora il vettore dei guadagni k tale per cui il polinomio caratteristico di A+bk sia p(λ) si ottiene usando la seguente formula di Ackerman.

dove qT è l’ultima riga dell’inversa della matrice di raggiungibilità:

e con p(A) si indica la matrice che si ottiene dal polinomio p(λ) sostituendo la matrice A al posto del parametro λ.

Il vantaggio della formula di Ackerman è che non richiede il calcolo del polinomio caratteristico della matrice A. E’ sufficiente conoscere il polinomio obiettivo e la matrice A per calcolare il guadagno k


EsempioEsempio

Si consideri il seguente sistema LTI:

Determinare, se possibile, la retroazione algebrica u(t)=kx(t) in modo che il sistema retroazionato abbia λ1=λ2=λ3=0

La matrice di raggiungibilità del sistema è:




EsempioEsempio

La matrice di raggiungibilità del sistema è a rango pieno e, quindi, il sistema è completamente raggiungibile e, quindi, tramite una retroazione statica dello stato u(t)=kx(t) è possibile posizionare a piacere gli autovalori della matrice di stato. In particolare, nell’esempio, il polinomio caratteristico desiderato è:

Il guadagno k si può determinare tramite la formula di Ackerman:


EsempioEsempio





Consideriamo ora il caso generale di un sistema LTI con m ingressi. Innanzitutto vale il seguente fondamentale risultato:

Teorema di WonhamUn sistema LTI di dimensione n è completamente raggiungibile se e solo se per ogni polinomio p(λ) monico di grado n esiste una marice K m × n tale che il polinomio caratteristico della matrice di stato A+BK che descrive il sistema retroazionato coincide proprio con p(λ).

Questo garantisce che in un sistema LTI completamente raggiungibile possiamo piazzare tutti gli autovalori del sistema chiuso in retroazione in maniera arbitraria tramite un opportuna scelta di K.



Sia dato un polinomio p(λ) desiderato per il sistema chiuso in retroazione. Per la scelta della matrice K che assegna le radici di p(λ) alla matrice A+BK si procede come segue:

Se esiste una colonna bi della matrice B per cui il sistema risulti completamente raggiungibile, cioè:

allora, relativamente alla coppia (A,bi), si determina un vettore riga ki (ad esempio tramite la formula di Ackerman) tale che la matrice A+biki abbia come polinomio caratteristico p(λ) . La matrice di retroazione K per (A,B) ha righe tutte nulle eccetto la i-esima che coincide con ki:





Lemma di Heymann: Se (A,B) è completamente raggiungibile e se bi è una colonna non nulla di B, allora esiste una matrice Mi tale che il (A+BMi,bi) è completamente raggiungibile.

Determinazione della matrice Mi (Consideriamo i=1):

• Si consideri la successione di vettori Ajb1. j=1,…,ν1, arrestandosi al primo intero ν1 per cui Aν1b1 risulti linearmente dipendente dai precedenti, cioè:

è combinazione lineare di

• Si consideri poi la successione di vettori Ajb2. j=1,…,ν2, arrestandosi al primo intero ν2 per cui Aν2b2 risulti linearmente dipendente dai precedenti vettori, cioè:

è combinazione lineare di



• Si procede in modo analogo per le successive colonne di B e quando ν1+ν2+…+νk=n il procedimento si arresta

• Si costruiscono le matrici Q n × n e S m × n nel seguente modo:

dove il vettore ei rappresenta la i-esima colonna della matrice identità Im: il vettore e2 corrisponde alla ν1-esima colonna di S, e3 alla ν1+ν2-esima colonna di S, ek alla ν1+ν2+…+νk-1-esima colonna di S

• La matrice M=SQ-1 soddisfa il lemma di Heymann





Quindi, dato un sistema LTI completamente raggiungibile ma tale che la coppia (A,bi) non sia completamente raggiungibile per nessuna colonna bi della matrice B, si procede come segue per determinare la matrice K:

1. Sfruttando il lemma di Heyman, si trova la matrice M tale che (A+BM,bi) sia completamente raggiungibile

2. Si trova il vettore riga il vettore ki tale che la matrice A+BM+kibiabbia gli autovalori desiderati e si costruisce la matrice K1 relativa al sistema con matrice di stato A+BM come illustrato in precedenza

3. La matrice K è data da: K=M+K1



L’idea che sta dietro all’algoritmo per la determinazione di K è:

M

K1

STramite la retroazione di stato u=Mx+v1, si rende il sistema (A+BM,bi) completamente raggiungibile. Tramite una seconda retroazione v1=K1x+v2 si assegna alla matrice di stato A+BM+BK_1 del sistema retroazionato il polinomio caratteristico desiderato

u xv1v2

u=Mx+v1=Mx+K1x+v2=(M+K1)x+v2

K

La matrice del guadagno in retroazione K è il risultato delle due retroazioni

++

++




EsempioEsempio

Sia dato il sistema

Si calcoli, se possibile, la retroazione dello stato che posiziona tutti gli autovalori del sistema retroazionato in -1.

Gli autovalori di A sono λ1=λ2=λ3=1, quindi è necessario modificare tutti gli autovalori del sistema per soddisfare le specifiche. Pertanto il sistema deve essere completamente raggiungibile.

rank R+=3Il sistema è completamente raggiungibile


EsempioEsempio

Il sottospazio di raggiungibilità del sistema rispetto al primo ingresso è:

Il sottospazio di raggiungibilità del sistema rispetto al secondo ingresso è:

Il sistema non è completamente raggiungibile utilizzando un soloingresso. Tuttavia il sistema è completamente raggiungibile usando entrambi gli ingressi e, per il teorema di Wonham, esiste una matrice K che consente di posizionare in modo arbitrario gli autovalori del sistema retroazionato.




EsempioEsempio

Applichiamo il lemma di Heynmann per rendere il sistema completante raggiungibile mediante il primo ingresso.

2Ab1-b1

ν1=2

Ab1+b2-b1

ν2=1

ν1+ν2=3, quindi il procedimento si ferma


EsempioEsempio

E’ possibile costruire le matrici Q e S:

Quindi:




EsempioEsempio

La matrice di stato che si ottiene retroazionando la matrice M è:

Il sistema (A+BM,b1) è completamente raggiungibile.

Il polinomio caratteristico desiderato è:

La matrice di raggiungibilità relativa alla coppia (A+BM,b_1) è


EsempioEsempio

Tramite la formula di Ackerman, trovo il vettore k1 per assegnare al sistema retroazionato il polinomio desiderato:

da cui

La matrice di retroazione K1 per assegnare al sistema (A+BM,b1) il polinomio desiderato è




EsempioEsempio

La matrice di retroazione dello stato complessiva è:


EsempioEsempio

Tipicamente, nel caso a più ingressi, esistono infinite soluzioni al problema del posizionamento arbitrario degli autovalori.

Nell’esempio appena svolto, una soluzione alternativa che non utilizza il lemma di Heymann è la seguente. Si consideri una matrice K ad elementi tutti incogniti:

e si calcoli l’espressione della matrice di stato del sistema retroazionato:




EsempioEsempio

Posto k21=0, k22=0 e k13=0 si ottiene una matrice triangolare a blocchi:

Gli autovalori di A+BK sono dati dall’unione degli autovalori delle sottomatrici sulla diagonale. Quindi, A+BK ha tutti gli autovalori in -1 se, per esempio, si sceglie k23=-2 e se si impone:

Da tale relazione si ricava k12=-4 e k11=-4 e quindi:


Stabilizzazione mediante retroazione dello statoStabilizzazione mediante retroazione dello stato

Problema: Dato un sistema LTI instabile caratterizzato da matrice di stato A e matrice di ingresso B, costruire una retroazione dello stato tale che il sistema chiuso in retroazione sia stabile.

1. Se la coppia (A,B) è completamente raggiungibile, il problema della stabilizzazione può essere risolto costruendo K in modo che gli autovalori di A+BK siano tutti a parte reale negativa. Il margine di stabilità, cioè la velocità con cui i modi del sistema tendono a 0, può essere assegnata arbitrariamente.

2. Se la coppia (A,B) non è completamente raggiungibile, si può ancora risolvere il problema della stabilizzazione se e solo se gli autovalori della parte non raggiungibile sono a parte reale negativa.




EsempioEsempio

Si consideri il sistema LTI:

si progetti una retroazione di stato che stabilizzi il sistema in modo che al parte reale degli autovalori del sistema controllato sia inferiore a -0.5.

Il sistema è instabile in quanto λ(A)=1±3j. Siccome entrambi gli autovalori di A sono a parte reale positiva, deve essere possibile, mediante una retroazione dello stato, modificare la posizione dientrambi gli autovalori e, quindi, il sistema deve essere completamente raggiungibile. Questo è verificato, in quanto:

rank(R+)=2


EsempioEsempio

Progettiamo la retroazione dello stato in modo che gli autovalori del sistema controllato siano entrambi il -1. In tal modo il sistema è stabile ed è soddisfatta la condizione sul margine di stabilità. Consideriamo la generica matrice di guadagno:

Si ha che:

Il polinomio caratteristico di A+BK è:




EsempioEsempio

Siccome abbiamo scelto di posizionare gli autovalori del sistemacontrollato in -1, il polinomio caratteristico desiderato per A+BK è:

Il guadagno cercato si ottiene ponendo k1=-5/3 e k2=-4:

Ing. Cristian SecchiTel. 0522 522234

e-mail: [email protected]://www.ingre.unimore.it/staff/secchi

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