2.Salvatore MonacoTeoriadeiSistemiAppunti delle lezioni2000-20013TeoriadeiSistemiTeoria, , delegazione, lungaladi teori (, da: esaminare, osservare)inviati alle grandi celebrazioni religiose, a consultare gli oracoli. Cos` come linsieme delle acquisizionidei teori veniva accettato per interpretare e comprendere i fenomeni, una teoria nellaccezione correnteconsiste in una formulazione logicamente coerente (in termini di concetti ed enti pi` u o meno astratti)di un insieme di denizioni, principi e leggi generali che consentono di descrivere, interpretare, clas-sicare, spiegare, a vari livelli di generalit` a, aspetti della realt` a naturale e sociale, e delle varie formedi attivit` a umana.Sistemada: riunione, complesso. Inambitoscientico, qualsiasi oggettodi studioche,puressendocostituitodadiversielementireciprocamenteinterconnessieinteragentitraloroocon lambiente esterno, reagisce o evolve come un tuttuno con proprie leggi generali.La Teoria dei Sistemi consta di un corpo di metodologie per lanalisi dei Sistemi.Dopo un primo capitolo in cui vengono introdotte le denizioni fondamentali, il vocabolario ed iprimi elementi di rappresentazione e classicazione, saranno presentati nei capitoli successivi i diversimetodi di analisi. Lo studio viene sviluppato per la classe dei sistemi lineari stazionari a dimensionenita e si conclude con alcuni elementi di analisi per sistemi non lineari.1. SistemidinamicieRappresentazioniconloStatoDalla denizione di Sistema alle Rappresentazioni con lo Stato.Viene mostrato come, a partire da una denizione del tutto generale di sistema astratto, lintroduzionedeiconcettidiparametrizzazione e dicausalit`a consentano digiungere alla rappresentazione conlostato di un sistema dinamico. Vengono, quindi introdotti elementi di classicazione.1.1. SistemaastrattoNellaccezionecomunesistema, : riunione, complesso,`eunattributoimpiegatoperindicare un complesso che presenta caratteristiche comuni da un qualche punto di vista; le caratteris-tiche comuni possono riferirsi alla similitudine dei componenti, `e questo il caso di un sistema montuosoo di un sistema monetario, o alla complementariet` a da un punto di vista funzionale, sistema muscolareo sistema esperto.In ambito scientico si d`a privilegio a questo secondo aspetto. Un sistema `e,dunque,un qual-siasi oggettodi studioche, puressendocostituitodadiversi elementi reciprocamenteinterconnessie interagenti tra loro o con lambiente esterno, reagisce o evolve come un tuttuno con proprie leggigenerali.Teoriageneraledeisistemi,Scienzadeisistemi,Teoriadeisistemi. Unescursusedalcunepre-cisazioni.La Teoria generale dei sistemi ispirata dalla individuazione di leggi comuni in comparti disciplinaridistinti, si pone lobiettivo di giungere ad ununicazione su base modellistica. La Scienza dei sistemiispirata dallesigenza di gestire la complessit`a, si pone lobiettivo di proporre un approccio progettualecomune per classi di problemi e modelli. In questo contesto la Teoria dei sistemi si pone lobiettivodi giungere ad una formalizzazione dei concetti ed alla costruzione di un quadro di metodologie perlo studio sistematico per classi di modelli.Risultato di pi` u livelli di astrazione: a partire da una formulazione astratta del comportamentodinamicodelloggettoallostudio(primolivello), versolimpiegodel modelloal nedi migliorare1.1.Sistemaastratto 5laconoscenzadel fenomeno(secondolivello), sinoal riconoscerelageneralit`adel modelloadattoarappresentarefenomenidiversididierentisettoridisciplinari(terzolivello), perarrivareadunaclassicazionepertipologiedi modelli edallosviluppodi metodologiedi analisi perclassi (quartolivello).Sipartedallaformalizzazionedelconcettodisistemaversoimetodidistudioseguendolafor-mulazione matematica.Una prima formalizzazione conduce naturalmente a pensare ad un sistema come ad un insiemedi grandezze (elementi) assieme ad un insieme di relazioni tra esse. Le grandezze costituiscono unarappresentazioneastrattadeglielementi elerelazionispecicanoleinterconnessioni, leinterazioni,tra gli elementi stessi e con lesterno, ci`o che serve anche a precisare il punto di vista dello studio.La formalizzazione ci impone di astrarre dal contesto e pensare ad un sistema come ad unentit` achestabilisceprecisi legami funzionali trainsiemi di variabili. Si giungeintal modoallaseguentedenizione formale di sistema astratto.Denizione 1. Sistema astratto `e una coppia : = V, R ove Vrappresenta linsieme delle variabilied R rappresenta linsieme delle relazioni tra le variabili. Gli elementi di R sono le regole che in modoformale, medianterelazionimatematicheoaparole, specicanoglielementidelsistema: ipossibilicomportamenti.Questa denizione conferisce al concetto di sistema astratto una vasta generalit`a. Esso, in primaistanza, corrisponde alla descrizione formale associata ad un dato fenomeno e trova applicazione neisettori pi` u diversi.Esempio1.1.Un qualsiasi componente o dispositivo che stabilisce un legame tra grandezze siche.Adesempiouncomponenteelettricoresistivo: V `elinsiemedellecoppiedi variabili, tensioneecorrente, simbolicamente denotatev ei,V : = v, i, mentreR `e costituito dalleguaglianzav = ri.Esempio 1.2. Un principio o una legge della sica. Ad esempio la dinamica nel sistema gravitazionaleterrestre: V `elinsiemedi funzioni del tempocheassumonovalori nellospazio, R`erappresentatodalle leggi di Keplero.Esempio1.3. Unprocessodicrescitadiunapopolazionegovernatodafenomenidisvilupponoti.Adesempioladinamicadellacrescitacellulare: V `elinsiemedi funzioni del tempocheassumonovalori nei reali positivi,R `e rappresentato dalle leggi di interazione e sviluppo.Esempio 1.4. Un sistema di relazioni matematiche. Ad esempio le disequazioni Ax 0 in cui x `e lagenerica variabile ed assume valori in un assegnato insieme mentre la diseguaglianza stessa denisceR.Una prima specializzazione `e necessaria per precisare la classe di sistemi a cui ci rivolgeremo: isistemi dinamici. In essi i possibili comportamenti sono funzioni del tempo: la variabile indipendente.6 1.SistemidinamicieRappresentazioniconloStatoDobbiamodunquepensareadinsiemi di variabili cheevolvononel temposecondodeniteregoleerelazioni tra esse. Per giungere ad una denizione formale di sistema dinamico astratto `e necessariointrodurre alcune notazioni.Sia Tun sottoinsieme ordinato di R, insieme dei reali, o Z, insieme degli interi; T`e detto insiemedei tempi. Sia inoltreT(t0) linsieme dei tempi maggiori o uguali ad un tempot0T(t0) = t T: t t0Se indichiamo conWT(t0)linsieme delle funzioni denite suT(t0) che assumono valori inWWT(t0)= w0() : t t0, t w0(t) W,un ssato sottoinsieme diWT(t0)(t0) WT(t0)pu` o essere impiegato per precisare quelli che indicheremo come i possibili comportamenti at0. Pos-siamo, infatti, inmododeltuttogeneraledenireunsistemaastrattocomeuninsiemedipossibilicomportamenti nei diversi istanti di tempo. Questi insiemi dovrannosoddisfareadunapropriet` aelementare come lintuizione suggerisce. Se, infatti, pensiamo ai possibili comportamenti ad un datotempo come evoluzioni del sistema, risultato di esperimenti a tale istante di tempo, dovr` a essere veroche i risultati di esperimenti ad un ssato istantet0, se visti dal genericot1 t0, sono compresi tra irisultati di esperimenti a t1. Da un punto di vista formale dovr` a essere vericata la seguente propriet`a,detta di chiusurarispettoaltroncamento (CRT): per ogni ssata coppia (t0, t1), cont1 t0, sew0appartiene a (t0) allora il suo troncamento su T(t1), w0[T(t1), cio`e tale funzione considerata da t1 inpoi, deve appartenere a (t1).Siamo dunque pervenuti alla seguente denizione di sistema dinamicoDenizione2.Sistema dinamico `e una ternaS: = T, W, dove:: = (t0), t0 T: t1 T(t0), w0 (t0) w0T(t1) (t1).Unsistemadinamico `edunqueuninsiemedicomportamentidenitiadogniistanteditempo.Essi soddisfano alla propriet` a di chiusura rispetto al troncamento.SeT R il sistema `e a tempo continuo; seT Z il sistema `e a tempo discreto.Esempio1.5.Dinamica nel sistema gravitazionale terrestre: T= R, W= R3, (t0) insieme delletraiettorie, denite dat0in poi, che soddisfano le leggi di Keplero.1.1.Sistemaastratto 7Esempio1.6.Modello economico di Leontief. Indicate con- xi: quantit` a di prodottoi-mo al tempot;- aij: quantit` a di prodottoi-mo per produrre una unit` a di prodottoj-mola seguente diseguaglianza esprime un evidente vincolo di bilancioxi(t) n

j=1aijxj(t + 1) (D)conT= Z+eW= Rn+. I possibili comportamenti at0sono deniti come(t0) = w0 : T(t0) Rn+ : t t0(D) valeLa denizione data di sistema dinamico trova un riscontro nella descrizione (rappresentazione)enumerativa dei comportamenti delle variabili che caratterizzano un dato oggetto, processo o fenomeno.Si noti cheunostessosistemaastrattopu`oessereassociatoafenomeni diversi: si pensi adiversifenomeni rappresentati da uno stesso modello matematico.Propriet` a sui possibili comportamenti specicano la struttura di .Unaprimaparticolarizzazionesi ottienerichiedendochei possibili comportamenti al genericoistante di tempo possano essere ottenuti per troncamento di possibili comportamenti ad istanti prece-denti. Se la propriet` a di CRT richiede che i troncamenti al tempo t1 t0 siano possibili comportamentiat1, ora i troncamenti at1deniscono tutti e soli i possibili comportamenti a tale istante di tempo.La formalizzazione di questo aspetto conduce alla seguente denizione.Denizione 3. Sistemadinamicouniforme: S=T, W, si diceuniformeseesisteununicosottoinsieme diWT, sia un, che genera tutti i possibili comportamenti (t0) al variare dit0, cio`e:t0, w un wT(t0) (t0)w0 (t0) w un : wT(t0)= w0.Unaulterioreparticolarizzazioneconsistenellintrodurrei sistemi stazionari. Si tratta, comelintuizione suggerisce, di sistemi in cui i possibili comportamenti non dipendono dal tempo; in altreparoleil risultatodi esperimenti sul sistemanondipendedallistanteincui lesperimentoinizia. Icomportamentisonodunqueinvariantirispettoallatraslazionetemporale. Questo, daunpuntodivistaformale, implicacheperquantoriguardailcalcolodellefunzioniassociateaicomportamenti,quelle al generico istantet0sono sucienti a denire il sistema: infatti quelle at1sono ottenute pertraslazione da quelle at0. Pi` u precisamente se si indica con tloperatore di traslazione:(tf)(t

): = f(t

t).8 1.SistemidinamicieRappresentazioniconloStatoDenizione4.Sistema dinamico stazionario: S = T, W, `e detto stazionario set(t0) = (t0 + t)per ognit0e t inT.Laprecedentedenizioneesprimeformalmentechetraslando(t0)adestradit(set `epositivo)siottengono le coppie al tempo (t0 + t), (t0 + t). E, tornando a quanto detto in precedenza, (t1) `eottenuto da (t0) per eetto di una traslazione dit1t0.Per i sistemi a tempo discreto introducendo loperatore di traslazione unitaria, che sar` a indicatocon, la propriet` a di stazionariet` a si esprime(t) = (t + 1).In conclusione, poiche i comportamenti di un sistema stazionario al generico istantet0possonoessere ottenuti per traslazione a partire da quelli ad un ssato istante assunto zero per convenzione((t0) = t0(0)), un sistema stazionario rimane denito da una terna T, W, (0).Unulteriore particolarizzazione `e quella che conduce alla denizione di sistema lineare.Denizione5.Sistemadinamicolineare. S= T, W, `e detto lineare seW`e uno spazio linearesui reali ese, perogni t0, (t0)`eunsottospaziolinearedi WT(t0). Ci`oequivalearichiederechecomunque ssatiw1, w2 (t0) e, Rw1 +w2 (t0).Ladenizionedatadisistemadinamicointerminideipossibilicomportamenticorrispondeadunadescrizione esplicita, enumerativa, di un dato oggetto o fenomeno.Molto spesso la caratterizzazione dei comportamenti possibili pu`o essere fatta utilizzando equazioniche costituiscono un modello matematico del sistema; si ha in questo caso una descrizione implicita,sintetica, del sistema. Nella gran parte dei casi la descrizione implicita `e ottenuta mediante equazionialle dierenze, per i sistemi a tempo discreto (T= Z), o equazioni dierenziali, nel caso dei sistemiatempocontinuo. Inoltre, nellacostruzionedel modello`espessonecessarioimpiegareuninsiemeaggiuntivo di variabili. Questi due aspetti sono nel seguito chiariti con semplici esemi.E spesso la rappresentazioneimplicita il punto di partenza nello studio dei fenomeni.Esempio 1.7. Un semplice modello di microeconomia: dinamica del prezzo in condizioni di equilibriotra domanda e oerta. Si supponga di voler descrivere la variazione del prezzo di un pressaato beneassumendo, in una forrmulazione elementare, che nel mercato non siano presenti beni concorrenti. Sesi indica conp il prezzo unitario, cond la domanda e cono loerta non `e dicile rendersi conto chevalgono relazioni del tipod(p) =d0aps(p) =o0 +bp, a, b > 0.1.1.Sistemaastratto 9Infatti, soddisfattaunesigenzafondamentale, d0, ladomandadiminuisceallaumentaredel prezzosecondo un andamento che si pu` o assumere in prima approssimazione di tipo proporzionale, inoltre,a meno di una soglia di produzione legata alla capacit` a industriale, o0, loerta aumenta con il prezzocon un andameento in prima approssimazione anchesso proporzionale al prezzo.Seorasi tienecontodel fattochementreladeguamentodelladomaandaal prezzo`eistan-taneo,ladeguamento della produzione richiede che sia perlomeno trascorso il tempo necessario allaproduzione, assunto tale intervallo di tempo unitario, la domanda e loerta variano nel tempo secondole seguenti uguaglianzed(t + 1) =d0ap(t + 1)o(t + 1) =o0 +bp(t).Il precedente modelloelementare pu`oessere utimlizzatoper descrivere come variail prezzodelprodotto. Seinfattisiassumecheilmercatosiainequilibrio, laproduzioneuguaglialadomanda,o(t + 1) = d(t + 1), si ottienep(t + 1) = bap(t) +d0o0a.La precedente equazione alle dierenze descrive, sotto le ipotesi semplicative sottolineate, una rapp-resentazione intrinsecamente implicita, cio`e del tipo citato, della dinamica dellevoluzione del prezzodi un prodotto a partire da una perturbazione rispetto alla condizione di equilibrio.Limpiego di variabili ausiliarie `e spesso necessario nella costruzione di un modello. Questo aspetto`e illustrato nel seguente esempio.Esempio 1.8. Dinamica della popolazione di una nazione. Si immagini di voler formulare un modellomatematico per descrivere come varia nel tempo il numero di persone in et` a compresa tra 60 e 70 anniinunaassegnataregione. Comelintuizioneimmediatamentesuggerisce, laprogressionetemporalenel passaggio da unet` a ad unaltra rende necessario fare riferimento ad una suddivisione in classi diet`a e descrivere levoluzione nel tempo di esse. Se si decide di voler descrivere levoluzione con unacadenza annuale e si assume pari ad un anno l ampiezza delle classi di et` a, il numero di persone inciascuna classe di et`a fornisce, per il problema in esame, un insieme completo di variabili ausiliarie.La loro evoluzione nel tempo consente infatti di ottenere gli andamenti temporali desiderati.Indicato conxi(t) il numero di persone di et`ai al tempot, si ha:xi+1(t + 1) = ixi(t), i = 0, . . . , n 1x0(t + 1) = mfxmf(t) +. . . +MfxMf(t)conicoecienti di fertilit` a, coni compresotrai limiti del periododi fertilit` amf edMf, e icoecienti di sopravvivenzaqui assunti costanti persemplicit` a. Lasomma, adogni istante, dellevariabiliconindicecompresotra60e70fornisceladescrizionecercata. Edunquenecessario, perdescrivere la dinamica voluta, rappresentare anche la variazione delle classi di et`a precedenti a quelleinteressate. Si tratta di un insieme di variabili ausiliarie.10 1.SistemidinamicieRappresentazioniconloStatoEsempio1.9. DinamicadiunapopolazioneanimaleSesisupponedivolerdescrivereladinamicadi una popolazione animale di predatori `e necessario descrivere anche landamento di altre variabili,della preda ad esempio, che costituisce la risorsa per la crescita. Se supponiamo che siano presenti solodue specie, il seguente modello matematico (Volterra 1906) esprime linterazione tra le due variabilix1(t) ex2(t) che rappresentano la densit`a della preda e quella del predatore, rispettivamente. x1(t) = ax1(t) kx12bx1(t)x2(t) x2(t) =cx2(t) +dx1(t)x2(t)Pi` uprecisamentelaprimaequazioneesprimeiltassodicrescitaproporzionale,secondoa,alladensit` a della specie,mentre il termine kx12rappresenta un fattore limitante che tiene conto dellalimitatezza delle risorse e bx1(t)x2(t) rappresenta la limitazione imposta dalla presenza del predatore:limpedimentoallacrescita `eassuntoproporzionaleallaprobabilit` adiincontroetaleprobabilit` a `eassuntaproporzionaleal prodottodelledensit` adellespecie. Lasecondaequazioneinneesprimelestinzione con decadimento esponenziale della specie predatore in assenza di preda, assenza di risorse,e la crescita proporzionale al prodotto delle densit` a delle specie.I precedenti semplici esempi mostrano che pu`o essere utile,talvolta necessario,fare riferimentoaduninsiemedi variabili ausiliarierispettoaquelle, terminali, cheassumonovalori inWechecaratterizzano i possibili comportamenti.Denizione 6. Un sistema dinamico con variabili ausiliarie `e una quadrupla Sa = T, W, A, a con- A insieme dei valori delle variabili ausiliarie;- a = a(t0) (W A)T(t0): sia soddisfatta CRT.Sa `e la rapprentazione con variabili ausiliarie diS: = T, W, se per ognit0(t0) = w0 : a0 AT(t0)t.c.(w0, a0) a(t0).Una classe particolare di variabili ausiliarie `e quella delle variabili di stato.Linteresse di introdurre le variabili di stato pu` o essere collegato allesigenza di sintetizzare nelvalore diuninsiemedivariabilialtempot,appunto dellevariabilidistato,quelleinformazionisulpassato necessarie a caratterizzare i comportamenti futuri.Denizione 7. Stato. Un sistema dinamico con variabili di stato `e un sistema dinamico con variabiliausiliarieSx := T, W, X, x, in cui xsoddisfa lassioma di stato(w10, x10), (w20, x20) x(t0), t t0ex10(t) = x20(t) (w0, x0) x(t0)dove (w0, x0) `e denito(w0(t

), x0(t

)) =_(w10(t

), x10(t

)) t

< t(w20(t

), x20(t

)) t

t_1.2.Sistemaastrattoorientatoerappresentazioniconlostato 11Lassiomadellostatorichiedecheogni traiettoriachearrivainunssatostatopossaessereconcatenataconogni traiettoriachepartedaquellostato. Inquestecondizioni, unavoltanotolostatoadunssatoistante, i comportamenti futuri sonossati enessunaulterioreinformazione`econtenuta nei comportamenti passati. In altre parole lo stato allistante t `e suciente a caratterizzaretutti i possibili comportamenti da t in poi; lo stato a t contiene le informazioni necessarie sul passato.In breve, lo stato rappresenta la memoria del passato.Come puntualizzato nella denizione 7,Sx = T, W, X, x `e la rappresentazione con lo stato diun sistema dinamicoS = T, W, in cui (t0) = w0/x0tale che (w0, x0) x(t0).Lintroduzione della denizione di stato e di rappresentazione con lo stato suggerisce immediata-mente la domanda: Esiste sempre la rappresentazione con lo stato di un assegnato sistema ?Se no,sotto quali condizioni ?Il problemadellarappresentazioneconlostatodi undatosistemadinamico`emoltostudiatonella teoria dei sistemi e sar`a approfondito nel seguito con riferimento alla classe dei sistemi dinamiciorientati e causali. I problemi coinvolti riguardano lesistenza,lunicit` a e la minimalit` a dellinsiemedegli stati.1.2. SistemaastrattoorientatoerappresentazioniconlostatoQuantosinoraesposto `eafondamentodiunpuntodivistadiampiageneralit` achepotremmopensarecollegatoadunapprocciointerpretarivo, conoscitivo, incui hainteresseladescrizionedilegami tra variabili, ci` o che `e tipico, ad esempio, della formulazione di leggi siche. Il punto di vistadellescienzedellingegneriaconduceadistinguerelevariabili incauseedeetti, ingressi euscite,collegate da relazioni di dipendenza causale rispetto al tempo.Per comprendere questo aspetto `e necessario ricordare che in tale ambito disciplinare la model-lazionedi undatoprocessoofenomenorappresentalaprimafasedi unprocedimentodi progettochespessohaperneil soddisfacimentodi pressatespecichesuunssatoinsiemedi variabili.Lindividuazionedellevariabili esternesucui intervenireconducenaturalmenteadunprocessodimodellistica orientata causa - eetto, ingresso - uscita. Inoltre, sempre in considerazione della nalit` adiintervento, silimitalostudioallaclassediprocessiefenomeniincuiillegametragliingressieleuscite, intesecomefunzionideltempo,`ecausale; siassumecio`echeluscitaaltempotdipendadallingressopassatoepresente, manonpossadipenderedallingressodopotaleistantedi tempo.Questo punto di vista `e in particolare quello dellingegnere dei sistemi di controllo che maggiormenteha promosso lo sviluppo della Teoria dei Sistemi.Il seguente esempio illustra questo aspetto.Esempio1.10.Dinamica del prodotto nazionale lordo.Siano: P(t)il prodottonazionale, C(t)i consumi, I(t)gli investimenti eG(t)lespeseperilgoverno. Adunprimolivellodi approssimazioneladinamicadel prodottonazionalelordodi una12 1.SistemidinamicieRappresentazioniconloStatonazione(uscita) al variaredellespesedel governo(ingresso) pu` oesserecalcolataapartiredalleseguenti relazioni. La prima di esse esprime una semplice relazione di bilancioP(t) = C(t) +I(t) +G(t)Inoltre, dagli studi di modellistica economica, una ben nota ipotesi delle teorie classiche ipotizza che sipossano assumere i consumi al tempo t proporzionali al prodotto nazionale allo stesso istante, secondoun coeciente,m, che rappresenta la propensione marginale al consumoC(t) = mP(t), 0 < m < 1Ancoradalleteorieclassiche, lincrementodel prodottonazionalepu` oessereassuntoproporzionaleallinvestimento secondo un fattorer, detto fattore di crescita,P(t + 1) P(t) = rI(t)Con ovvie sostituzioni si ottiene luguaglianzaP(t + 1) =_1 +r(1 m)P(t) rG(t)che esprime il legame cercato tra la variazione le spese del governo e il prodotto nazionale lordo. Sitratta di un legame orientato, daG(t) versoP(t) e di tipo causale rispetto al tempo: P(t) dipende,in base alla precedente relazione, da quanto valePad un certo istante iniziale,t0, e dalle spese per ilgoverno dat0at.Un secondo modello, si tratta ancora di una rappresentazione dello stesso tipo, pu` o essere assuntoarappresentarelostessofenomenoinuneconomiadi mercatofondatosulleleggi delleconomistaSamuelson. Samuelson, inalternativaallaassunzionidellateoriaclassica, ipotizzapericonsumiegli investimenti delle relazioni diverse dalle precedenti. Per quanto riguarda i primi li assume ancoraproporzionali al prodotto nazionale lordo, ma, ci` o che `e pi` u verosimile, al valore del prodotto nellannoprecedente. Si ha quindi:C(t + 1) = mP(t), 0 < m < 1Inoltre ipotizza gli investimenti in un dato periodo proporzionali allincremento di consumo, e quindisolo indirettamente al prodotto lordo, secondo la relazioneI(t + 1) = (C(t + 1) C(t))Con semplici passaggi si ottiene il seguente sistema di equazioni alle dierenze primeC(t + 1) = mC(t) +mI(t) +mG(t)I(t + 1) = (m1)C(t) +mI(t) +mG(t)che assieme allequazioneP(t) = C(t) +I(t) +G(t)1.2.Sistemaastrattoorientatoerappresentazioniconlostato 13descrive, secondo un diverso punto di vista, levoluzione del prodotto lordo in funzione della spesa. Sitratta ancora di una descrizione causale, in cuiP(t) `e calcolato a partire daC(t0),I(t0) eG() dat0at.Qualcheulterioreprecisazione `enecessariaprimadiformalizzareladenizionedisistemaas-trattoorientato. Si suppongachelinsiemedei valori dellevariabili siaunprodottocartesianoW= U Yove Uindica linsieme dei valori delle grandezze di ingresso ed Ylinsieme dei valori dellegrandezze in uscita. Lorientamento in un sistema astratto corrisponde alla suddivisione delle variabiliin causa ed eetti e naturalmente suggerisce limmagine di un sistema dinamico come una scatola nerache rappresenta le modalit`a secondo le quali le variabili di uscita sono inuenzate da quelle di ingresso.Ipossibili comportamenti inquestocasosonoimmaginati corrispondenti aesperimenti condotti indiversi istantit0.Con queste precisazioni:Denizione8.. Sistema astratto dinamico orientato Un sistema dinamico astratto orientato `e unaterna T, U Y, ove = (t0) UT(t0)YT(t0): t0 T/ CRT sia soddisfattaeCRTesprimelachiusurarispettoaltroncamento,cheperisistemiorientatisiesprime:t0 T,t1 t0(u0, y0) (t0) (u0T(t1), y0T(t1)) (t1).1.2.a. Causalit`aNel contestodei sistemi orientati, incui unpossibilecomportamentoat0`epensatocomeilrisultatodiunesperimentochecorrispondeallasollecitazioneesternau0()denitadat0inpoi, ilconcettodi variabiledi stato, introdottonelladenizione7. conducenaturalmenteadindividuareuna propriet` a specica dello stato. Infatti linsieme degli stati at0 costituisce una parametrizzazionedellinsieme (t0), cio`e delle possibili coppie ingresso-uscita. Fissare u0 non `e suciente ad individuarey0 perch`e (t0) `e una relazione;x0 `e ci`o che bisogna specicare perch`e ad un dato ingressou0, dat0inpoi,corrispondaunassatauscitay0. Questapropriet` adellostatovienemessainluceinmodoautonomo e preliminare in quanto segue, ove viene introdotto il concetto di parametrizzazione di unarelazione.Inbasealladenizione8. unsistemadinamicoastrattoorientato`euninsiemedi relazioni,sottoinsiemidi UT(t0) YT(t0). Ilsoddisfacimentodelrequisitodellostatodiconsentireassiemeadu0di individuareuncorrispondentecomportamentoinuscitapoggiasul seguenterisultatodialgebra che sancisce la possibilit` a di eettuare una partizione in classi di equivalenza di una relazione,sottoinsieme nello spazio prodotto, mediante i gra di una funzione che dipende da un parametro alvariare del parametro stesso.SianoA eBinsiemi non vuoti, siaR ABe sianoD(R) A edR(R) Bil dominio ed ilcodominio della relazioneR.14 1.SistemidinamicieRappresentazioniconloStatoProposizione1.([1]). EpossibiledenireuninsiemePedunafunzione: P D(R) R(R)taliche:(a, b) R p : b = (p, a)p P, a D(R) (a, (p, a)) R`edettarappresentazioneparametricadiR; (P, ),suaparametrizzazione.`E quindi possibile associare ad ogni (t0) una parametrizzazione,cio`e un insieme di parametriXt0ed una funzionet0: Xt0 D((t0)) R((t0)).Inserire la dimostrazione.Denizione9.Rappresentazione parametrica diS `e un insieme di funzioni = t0 : Xt0 D((t0)) R((t0))/t0 Tche soddisfano le seguenti propriet` a:(u0, y0) (t0) x0 : y0 = t0(x0, u0)x0 Xt0, u0 D((t0)) (u0, t0(x0, u0)) (t0)Si noti che in base alla denizione data ssato un ingresso at0, siau0, una stessa uscitay0pu` ocorrispondere a diversi valori del parametro at0.`E ora possibile introdurre formalmente unaltra propriet` a fondamentale: la causalit` a. Tale pro-priet` a, conriferimentoadunfunzionalenellavariabileindipendentet, cio`eunafunzionecheasuavoltadipendedaunafunzionedel tempot, siau(t), esprimelacoincidenzadei valori assunti dalfunzionale no a quando i valori assunti dalla funzione indipendenteu sono coincidenti.In formule, indicato conTT(t) linsieme dei tempi privato diT(t),f`e strettamente causale se:t T, uT\T(t)= u

T\T(t) [f(u)](t) = [f(u

)](t)Sepermantenereluguaglianzadeivaloriassunti `eanchenecessariochesiau(t)=u

(t)alloraf`ecausale.Denizione10. S`ecausaleseesistealmenounarappresentazioneparametricacausale, cio`etaleche:t0 T, x0 Xt0, t T(t0)u[t0,t] = u

[t0,t] [t0(x0, u)](t) = [t0(x0, u

)](t)Si noti che la precedente condizione sullintervalo aperto a destra [t0, t) esprimerebbe la strettacausalit` a.1.2.Sistemaastrattoorientatoerappresentazioniconlostato 151.2.b. RappresentazioneconlostatoPercomprendereconlintuizionecomesiapossibileintrodurreilconcettodistatoapartiredauna parametrizzazione causale valgono le seguenti considerazioni.La denizione stessa di sistema dinamico orientato richiede che i parametrix0, ai diversi istanti,siano collegati: se at0alla coppia (x0, u0) Xt0D((t0))corrispondey0 R((t0))algenericoistantet1 t0 la coppia (u0, y0)T(t1) appartiene a (t1) e quindi sar` a corrispondente ad uno o a pi` uvalori del parametro in Xt1. Se si ammette che Xt0, t0 T siano sottoinsiemi di un unico Xe si hapresente il signicato che si vuole attribuire allo stato: contenere tutte le informazioni sul passatonecessarie a caratterizzare, assieme agli ingressi, il futuro, sembra naturale assumere che tra i valoriat1, cui corrisponde (u0, y0)T(t1), ce ne sia uno legato adx0 edu0 da un legame funzionale del tipo:x1 = x(t1) = (t1, t0, x0, u0)Inoltre tale legame funzionale `e assunto causale,pi` u precisamente strettamente causale;quindi solola restrizione diu0sullintervallo [t0, t1) risulta signicativa.Leprecedenti considerazioni lascianointenderelopportunit` adi denireunaevoluzionenellospazioXper collegare i valori dei parametri nei diversi istanti di tempo.Siano Xspazio dei parametri, Uinsieme dei valori di u, | UTspazio delle funzioni dingresso,(T T) = (t, t0) : t t0, t, t0 Tla funzione, di transizione dello stato, `e denita nel seguente modo: : (T T)X | Xx(t) := (t, t0, x0, u)e soddisfa le seguenti propriet` a di consistenza, causalit`a e separazione.P1 (consistenza)t T, u | (t, t, x, u) = xP2 (causalit` a)(t, t0), x0 X u[t0,t)= u

[t0,t) (t, t0, x0, u) = (t, t0, x0, u

)P3 (separazione)(t, t0), x0 X, u |t > t1> t0 (t, t0, x0, u) = (t, t1, (t1, t0, x0, u), u)P1 e P2 sono ovvie; P3 esprime il fatto essenziale che lo stato a t pu` o essere calcolato da x0 e u[t0,t), maanche a partire dallo stato raggiunto at1, e conx0 eu[t0,t1), conu[t1,t) proprio perch`ex(t1) riassumela storia passata.16 1.SistemidinamicieRappresentazioniconloStatoLe considerazioni fatte hanno lasciato intendere come sia possibile rendere consistente la sceltadelle parametrizzazioni ai diversi istanti di tempo. Ci` o posto, `e naturale chiedersi come i parametriintervengano nel calcolo delluscita. A tale proposito dalla denizione 9t0y0(t) = [t0(x0, u0)](t) t t0ove solo la restrizione diu0su [t0, t] `e signicativa per lipotesi di causalit` a. Assuntot0 = t si hay(t) = [t(x(t), u0)](t) := (t, x(t), u0(t))che mette in evidenza come luscita al tempot dipenda dai valori dellingresso e dello stato in quellostesso istante.In conclusione rimane denita una funzione, trasformazione di uscita: T X U Yy(t): = (t, x(t), u(t))Per concludere `e utile mettere in risalto come assegnatiU,Y , | UT,X, le funzioni, con lepropriet` a P1-P3, ed consentano di generare, un sistema . Infatti per ogni ssato t0 rimane denitauna relazione (t0)(t0) = (u0, y0) UT(t0)YT(t0)u0 = uT(t0), y0 : y0(t) = (t, (t, t0, x0, u), u(t)) con u |, x0 XInoltre, invirt` udellapropriet` aP3, `esoddisfattalachiusurarispettoal troncamento(CRT)sullinsieme delle relazioni (t0).Ci`o consente di comprendere che le funzioni ed deniscono, in modo alternativo, un sistemadinamico astratto orientato causale. Tale denizione pu` o essere assunta come punto di partenza nellosviluppo della teoria.Vedremo tra breve, infatti, che sotto ipotesi sucientemente generali `e possibile associare ad undato sistema astratto orientato una rappresentazione con lo stato, cio`e una terna (X, , ),Xspaziodi stato, funzionedi transizionedellostato, trasformazionedi uscita. Nel paragrafoseguentevengono formalizzati tali aspetti e chiarite le condizioni di esistenza di rappresentazioni con lo statodi un assegnato sistema dinamico astratto orientato.1.3. Esistenzaeunicit`adellerappresentazioniconlostato1.3.Esistenzaeunicit`adellerappresentazioniconlostato 17Denizione11. AssegnatounsistemaSedetto | UTlinsiemedellefunzionidiingresso, unaterna (X, , ) con ed funzioni denite in precedenza, `e una rappresentazione con lo stato di S sesono soddisfatte le propriet` a P1, P2 e P3 e ad ogni istante t0 (t0), le coppie ingresso uscita generateda(X, , ), coincidonocon(t0), linsiemedellecoppieingresso-uscitadel sistemaS; informulericordando la denizione di (t0) data nel paragrafo precedente:t0 (t0) = (t0).DatoilsistemaSilproblemadiindividuareunarappresentazioneconlostato,cio`eunaterna(X, , ) secondo la denizione 11. `e noto come problema della associazione dello stato.Leconsiderazioniprecedentihannovolutomettereinevidenza,senzapretesadirigorematem-atico, quali sono gli aspetti salienti che vengono arontati in un tale problema. In eetti il passaggiodaunarappresentazioneparametricacausaleadunasuarappresentazioneconlostato`epossibilesotto alcune ipotesi circa la ricchezza dellinsieme delle funzioni di ingresso. Pi` u precisamenteDenizione12. | UT`e uno spazio di funzioni di ingresso perSset0D((t0)) = u0 = uT(t0) UT(t0), u |- |`e chiuso rispetto alla concatenazione seu, v |, t T, w :=_uT\T(t)vT(t)_ |- |`e completo se `e chiuso rispetto alla concatenazione ed inoltret T U= u(t) U, u |Ci`o premesso vale un risultato fondamentale che risolve il problema dellassociazione dello stato.Si pu` oinfatti dimostrarecheunassegnatosistemadinamicoastrattoorientatoS, denitosuunospazio delle funzioni di ingresso |completo, ammette rappresentazioni con lo spazio di stato se e solose `e causale.La prova della necessit`a del risultato enunciato `e semplice e consiste nel vericare che a partireda una rappresentazione con lo stato, che `e causale per denizione stessa, si pu` o costruire una rapp-resentazione parametrica causale (ci`o che corrisponde alla causalit` a diS). La prova della sucienza`e costruttiva e segue le linee delle considerazioni intuitive svolte. Il lettore interessato pu` o consultareil testoTeoriadei Sistemi di A. Ruberti eA. Isidori, edizioni Boringhieri, 1977, dove`eriportataunampia trattazione del problema.Ovviamenteadunassegnatosistemapossonoessereassociatediverserappresentazioni conlostato; tra due qualsiasi di queste (X, , ) ed (X

,

,

) dovr` a risultare chet0, x0, u, x

0: t T(t0)(e viceversa t0, x

0, u, x0 X: t T(t0))(t, (t, t0, x0, u), u(t)) =

(t,

(t, t0, x0

, u), u(t))Spesso ha interesse che tra due rappresentazioni sussista una relazione pi` u forte del tipo seguente.18 1.SistemidinamicieRappresentazioniconloStatoDenizione13.Due rappresentazioni con lo stato (X, , ) e (X

,

,

) sono dette equivalenti set0, x0, x

0: u, t T(t0)(e viceversa t0, x

0, x0: u, t T(t0))(t, (t, t0, x0, u), u(t)) =

(t,

(t, t0, x

0, u), u(t))Esempio1.11. Data(X, , ) e f : XX

, f invertibile, si pu` odenirelarappresentazione(X

,

,

) equivalente a (X, , ) nel modo seguente

(t, t0, x

0, u) = f (t, t0, f1(x

0), u)

(t, x

(t), u(t)) = (t, f1(x

(t)), u(t))come `e immediato vericare.Tra le rappresentazioni di un sistema ha interesse caratterizzare quelle che hanno uno spazio distato ridotto. A questo propositoDenizione14.xa,xb Xsono equivalenti at0se u, t T(t0)(t, (t, t0, xa, u), u(t)) = (t, (t, t0, xb, u), u(t))Applicando la propriet` a di separazione `e immediato vericare che sexa edxb sono equivalenti at0lo sono per ognit1> t0.Denizione15. (X, , ) associata al sistemaSsi dice ridotta allistantet0se non esistono statiindistinguibili at0.Si noti che in molti casi applicativi di interesse il vericarsi della propriet` a della denizione 15 at0, implica il suo soddisfacimento pert ,= t0. Nel caso generale ci`o non avviene, ma `e usuale denirenon ridondante una rappresentazione se `e ridotta ad un istantet0.1.4. Dallerappresentazioniespliciteallerappresentazioniimplicite1.5.Elementidiclassicazione 191.4.a. SistemiatempodiscretoUna propriet` a generale delle rappresentazioni a tempo discreto `e rappresentata dalla possibilit` adi ottenere senza alcuna ipotesi supplementare una rappresentazione cosidetta implicita a partireda (X, , ). Infatti dax(t) = (t, t0, x0, u)postot = t + 1,t0 = t, si hax(t + 1) = f(t, x(t), u(t))checonsentedi caratterizzarepasso, passolevoluzionedi x(t)apartiredai valori dellostatoedellingresso. La rappresentazione (X, f, ) `e detta implicita edf`e detta funzione generatrice.1.4.b. SistemiatempocontinuoComesi `evisto, nelcasotempo-discreto `esemprepossibileottenereunarappresentazioneim-plicita particolarizzando le equazioni che deniscono la rappresentazione esplicita su un intervallo ditempo unitario. Lesistenza di rappresentazioni implicite nel caso tempo-continuo `e condizionato daopportune ipotesi dette di regolarit` a.Come suggerisce lintuizione una rappresentazione implicita del sistema a tempo continuo dovr` afornire una descrizione del comportamento del sistema in tempo reale, e quindi, secondo relazionicausaliedierenziali; leipotesidiesistenzanonpotrannoalloraprescinderedalladerivabilit` adellefunzioni di transizione nello stato. Se ammettiamo che(t, t0, x0, u) sia soluzione dit= f(t, , u(t))otteniamo immediatamente una rappresentazione dierenziale del tipo x(t) = f(t, x(t), u(t))1.5. ElementidiclassicazioneRispetto alle caratteristiche dellinsieme dei tempi la classicazione `e in rappresentazioni a tempocontinuo, seT= R, a tempo discreto seT= Z.Rispetto alle propriet` a dello spazio di statoX,si hanno: rappresentazioni a stati niti,seX`eun insieme a cardinalit` a nita. A dimensione nita o innita a seconda della dimensione di X, spaziolineare.Rispetto alla struttura della rappresentazione con lo stato, nella sua forma esplicita o implicita,sipossonoriformularelepropriet` adi linearit`aestazionariet`adellafunzioneditransizionenellostato, odellasuafunzionegeneratricef, edellafunzionedi trasformazioneinuscita, ci` ochegarantisce il soddisfacimento delle corrispondenti propriet` a sulle relazioni ingresso - uscita, ma non ilviceversa. Questi aspetti, in particolare, saranno approfonditi nei prossimi capitoli.20 1.SistemidinamicieRappresentazioniconloStatoPropriet` a pi` u deboli di quella di linearit` a sulla funzione generatrice ci consentiranno, nellultimocapitolo, di introdurre ulteriori classi di sistemi.Lo studio delle rappresentazioni a stati niti e a dimensione innita sono oggetto di corsi special-istici per le connessioni con i metodi e i risultati di settori disciplinari ani. La teoria degli automi edei linguaggi per i primi, i metodi caratteristici dello studio delle equazioni dierenziali alle derivateparziali e dellanalisi funzionale per i secondi.2. Rappresentazioni con lo stato lineari, a dimensionenita,stazionarieVengono introdotte e discusse le ipotesi di linearit` a di una rappresentazione e di nita dimensionedellospaziodi stato. Lascomposizioneinrispostaliberaeforzatadelleevoluzioni nellostatoeinuscita, nonche la struttura particolare di ciascuna di esse sono le conseguenze pi` u importanti. Vengonoprecisati i legami tra le descrizioni esplicite a quelle implicite. Lipotesi di stazionariet` a si traduce nellacostanza dei parametri. Le rappresentazioni lineari come approssimazione di modelli non lineari e lerappresentazioni a tempo discreto per descrivere o approssimare modelli a tempo continuo concludonoil capitolo.2.1. Strutturaepropriet`adellerappresentazionilineariDenizione1. Rappresentazionelineare SianoX, U, Y spazi lineari sullo stesso corpo. (X, , )`e una rappresentazione lineare se: `e lineare (t, t0) sullinsiemeX |e `e lineare t sullinsiemeX U.Conseguenza immediata della linearit`a: k1, k2, x01, x02 X, u1, u2 U(t, t0, k1x01 +k2x02, k1u1 +k2u2) = k1(t, t0, x01, u1) +k2(t, t0, x02, u2)Postok1 = k2 = 1,u1 = 0,u2 = u,x01 = x0,x02 = 0 si ha(t, t0, x0, u) = (t, t0, x0, 0) +(t, t0, 0, u) =

+fcioe la nota scomposizione della evoluzione nello stato in risposta libera e risposta forzata.Nellulterioreipotesi cheX, U, Y sianospazi adimensionenitaepari an, peqrispettiva-mente, la risposta libera e quella forzata assumono forme particolari come viene mostrato nel seguitodistinguendo il caso di sistemi a tempo discreto da quello dei sistemi a tempo continuo.22 2.Rappresentazioniconlostatolineari,adimensionenita,stazionarieAllalucedellostudiosinoracondottolaseguentedomandasi ponespontanea: assegnatounsistema dinamico lineare secondo la denizione 1, conUedYspazi lineari a dimensione nita, qualisono le condizioni sotto le quali esistono rappresentazioni con lo stato di S lineari a dimensione nita?E ovviocheunarappresentazionelineareadimensionenitageneraunsistemalineareadimensione nita, causale; il viceversa per` o non `e sempre vero. Si pensi a quanto osservato a propositodelle rapresentazioni equivalenti. Se si suppongono assegnate una rappresentazione lineare, (X, , ),ed una funzione non lineare,f: X X

, si pu` o denire la rappresentazione (X

,

,

)

(t, t0, x

0, u) = f (t, t0, f1(x

0), u)

(t, x

(t), u(t)) = (t, f1(x

(t)), u(t))che `e una reppresentazione non lineare equivalente a (X, , ).Per ottenere una rappresentazione lineare a partire da un sistema lineare `e necessario assicurarsiche la parametrizzazione causale soddis ad una precisa propriet`a. Tale propriet` a, di cui si coglier` aimmediatamenteilsignicato,`elapropriet` adiconsistenzanellostatozero. Pi` uprecisamenteunaparametrizzazione, diS, `e detta consistente rispetto allo stato zero se(t, t0), u U t0(0, 0[t0,t1) u[t1,t))T(t1) = t1(0, u[t1,t)).Ci`opremesso, nellalineadellatecnicadimostrativapropostain[1], acui si rinviaper laprova,si dimostra che un sistemaS, denito su |completo, ammette almeno una rappresentazione con lostato lineare a dimensione nita se e solo se esiste una parametrizzazione causale, lineare, a dimensionenita, consistente rispetto allo zero.2.1.a. SistemiatempodiscretoSiaT= Z linsieme dei numeri relativi, e siax0 X = RnPer la linearit` a di

rispetto ax0 siha:(t, t0, x0, 0) = (t, t0)x0(t, t0) matrice (n n) di funzioni denite su (Z Z), cio`e (t, t0) : t t0.Inoltre per la propriet` a P1(t, t) = IPer quanto riguarda la risposta forzata, postou[t0,t1] = [u(t0), u(t0 + 1), u(t0 + 2), . . . , u(t 1)]2.1.Strutturaepropriet` adellerappresentazionilineari 23la linearit` a difrispetto au() comporta:(t, t0, 0,u[t0,t1]) = (t, t0, 0, [u(t0), u(t0 + 1), u(t0 + 2), . . . , u(t 1)])=(t, t0, 0, [u(t0), 0 . . . 0]) +. . . (t, t0, 0, [0, . . . , 0, u(), 0 . . . 0]) +. . .. . . +(t, t0, 0, [0 . . . 0, u(t 1)])=(t, t0, 0, [u(t0), 0 . . . 0]) +(t, , 0, [u(), 0 . . . 0]) +. . .. . . +(t, t 1, 0, [u(t 1)])=H(t, t0)u(t0) +. . . +H(t, )u() +. . . +H(t, t 1)u(t 1)=t1

=t0H(t, )u()H(t, ) matrice (np) di funzioni denite su (ZZ) := (t, ) : t > , `e detta matrice delle risposteimpulsivenellostato. Infattisesiassumeuningressou[t0,t)semprenullopert ,=t1, t1 [t0, t), ediverso da zero int = t1 solo per la presenza di un 1 nella posizionei-ma (i-mo canale dingresso),si ottiene come risposta lai-ma colonna diH(t, t1),hi(t, t1),u =___________0...010...0___________(t t1) f= hi(t t1)In altri termini le colonne diHsono interpretabili come risposte ad ingressi di tipo impulsivo.Alcune propriet` a delle matrici ed H sono immediata consequenza della propriet` a di separazioneP3. Si ha, infatti(t, t0, x0, u) =(t, t0)x0 +t1

=t0H(t, )u() =(t, t1, (t1, t0, x0, u), u) =(t, t1)_(t1, t0)x0 +t11

=t0H(t1, )u()_+t1

=t1H(t, )u()Poich`e questa uguaglianza deve essere vericata per ogniu ed ognix0, ponendou() = 0 si deduce apropriet` a di semigruppo della matrice di transizione(t, t0) = (t, t1)(t1, t0) t t1 t0ponendo x0 = 0 si deduce la propriet` a di separazione della matrice delle risposte impulsive nello statoH(t, ) = (t, t1)H(t1, ) t t1> 24 2.Rappresentazioniconlostatolineari,adimensionenita,stazionarieInne la linearit` a di suU Yper ognot e la dimensione nita diU = RpeY = Rqdannoy(t) = C(t)x(t) +D(t)u(t)oveC(t) eD(t sono matrici di funzioni del tempo di dimensioni (qn) e (qp) rispettivamente, equindiy(t) = C(t)((t, t0)x0 +t1

=t0H(t, )u()) +D(t)u(t)Si ottengono dunque le seguenti espressioni per levoluzione dello stato e delluscita:x(t) = (t, t0, x0, u) = (t, t0)x0 +t1

=t0H(t, )u()y(t) = (t, t0)x0 +t

=t0W(t, )u())dove(t, t0) = C(t)(t, t0)x0W(t) = C(t)H(t, ) t0 < t, W(t) = D(t) = tLe precedenti relazioni deniscono una rappresentazione esplicita con lo stato di un sistema lineare adimensione nita a tempo discreto.2.1.b. SistemiatempocontinuoSiaT= R ex0 X = Rn. La linearit` a di

rispetto ax0comporta(t, t0, x0, 0) = (t, t0)x0(t, t0) matrice (n n) di funzioni su (RR). Anche in questo caso P1. implica(t, t) = I.Per quanto riguarda la risposta forzataf, nellipotesi che questa sia un funzionale continuo diu[t0,t), si ha, per un noto teorema di rappresentazione di un funzionale lineare,(t, t0, 0, u[t0,t)) =_tt0Ht,t0()u()dSe si nota che, per la linearit` a dif, la transizione dat0per eetto di un forzamento nullo no at1`e equivalente alla transizione dat1:(t, t0, 0, 0[t0,t1) u[t1,t))T(t1)= (t, t1, 0, u[t1,t))risulta quindi_tt1Ht,t0()u()d=_tt1Ht,t1()u()d2.1.Strutturaepropriet` adellerappresentazionilineari 25e, per larbitrariet` a dit0et1 `e possibile denireHt,t1() = Ht,t0() = H(t, )da cui(t, t0, 0, u) =_tt0H(t, )u()d.La matriceH(t, ) `e detta matrice delle risposte impulsive nello stato in quanto, con considerazionianaloghe a quelle svolte per i sistemi a tempo discreto, le sue colonne rappresentano le risposte nellostato a particolari ingressi: gli ingressi impulsivi. E necessario precisare che tale risultato `e ottenutonel contestodei sistemi atempocontinuo, sullabasedi unrisultatogeneraledi approssimazione,andandoavalutarelerispostenellostatochesiottengonoincorrispondenzadiunasuccessionediingressi che tende allimpulso unitario (distribuzione di Dirac). Il limite, sulle risposte a successioniche selezionano un solo ingresso, li-mo, converge allaima colonna diH.Comeperi sistemi atempodiscretoalcunepropriet`adi edHsonoottenuteapplicandolapropriet` a P3. Si ha(t, t0, x0, u) =(t, t0)x0 +_tt0H(t, )u()d(t, t1, (t1, t0, x0, u), u) =(t, t1)_(t1, t0)x0 +_t1t0H(t1, )u()d_+_tt1H(t, )u()dvalida per ogniu ex0. Ponendou() = 0 ex0 = 0 si ottengono anche in questo caso le propriet`a disemigruppo di edH(t, t0) = (t, t1)(t1, t0) t t1 t0H(t, ) = (t, t1)H(t1, ) t t1 Senza alcuna dierenza rispetto al caso tempo-discretoy(t) = (t, x(t), u(t)) = C(t)x(t) +D(t)u(t)conC(t) eD(t) matrici (q n) e (q p) di funzioni del tempo.Si ha quindiy(t) = C(t)(t, t0)x0 +_tt0C(t)H(t, )u()d +D(t)u(t)e sotto lipotesi che le funzioni di ingresso siano continue e(t, (t, t0, 0, u[t0,t)), u) sia un funzionalecontinuo, ponendoW(t, ): = C(t)H(t, ) +D(t)( t)in cui(t), la distribuzione di Dirac, `e denita dalla seguente propriet` au(t) =_t+tu()( t)d 26 2.Rappresentazioniconlostatolineari,adimensionenita,stazionariesi perviene alla seguente rappresentazione esplicitax(t) = (t, t0)x0 +_tt0H(t, )u()dy(t) = (t, t0)x0 +_tt0W(t, )u()dove (t, t0) := C(t)(t, t0) e W(t, ) `e una matrice (q p) di distribuzioni detta matrice delle risposteimpulsive in uscita. Il motivo di ci`o `e fondato sulle stesse considerazioni gi`a fatte perH(t, ).Si noti che la matrice delle risposte impulsiveWda sola rappresenta il comportamento forzato(cio`e il comportamento ingresso-uscita a partire dallo stato zero). In questo senso si usa dire che lamatrice delle risposte impulsive di un sistema lineare `e un modello del comportamento forzato (lasua conoscenza e quella dellingresso consentono di calcolare luscita). Si noti anche come, a seguitodella sua interpretazione come risposta ad ingressi impulsivi, si possa rilevare la presenza di una classedi ingressi, quelli impulsivi, che svolgono un ruolo particolare nello studio dei sistemi lineari (per talemotivotali ingressi sonotraquelli cosidetti canonici), infatti larispostaadundatoingressou(t)`e ottenuta mediante la convoluzione dellingresso con le uscite corrispondenti agli ingressi impulsiviche caratterizzanoW. Si noti che mentre (, H, , W) caratterizzano la rappresentazione data, cio`etutteleevoluzioni, Wdasolacaratterizzail comportamentoforzato(dax0=0). Unaquestioneinteressante, che sar`a esaminata nelle ipotesi di stazionariet` a, riguarda la possibilit` a di ricostruire apartire daWle evoluzioni del sistema nel complesso. Problema delle relazioni tra modello forzato emodello complessivo.Per concludere le considerazioni circa le rappresentazioni lineari si sottolinea che la loro impor-tanza `e legata non solo alla ricchezza di risultati disponibili, ma anche al ruolo, spesso signicativo,che lo studio delle rappresentazioni lineari approssimanti assegnate dinamiche non lineari svolge nellostudio di diversi problemi di analisi e sintesi di sistemi. A tale proposito `e interessante osservare come,assegnata una rappresentazione non lineare e una condizione di equilibrio, la rappresentazione lineareapprossimante ottenuta a partire da una rappresentazione esplicita e quella ottenuta dalla rappresen-tazione implicita siano consistenti. In altre parole le soluzioni del sistema dierenziale (alle dierenze)lineareapprossimantecoincidonoconlalinearizzazionedellesoluzionidelsistemadierenziale(alledierenze)nonlineare. Ladimostrazioneditalerisultatosar` aarontatonelprossimocapitoloconriferimento ai sistemi stazionari.2.2. LerappresentazioniimpliciteIn questo paragrafo vengono introdotte le rappresentazioni implicite, descrizioni matematiche intermini di equazioni alle dierenze e dierenziali, che mettono in evidenza come i comportamenti diunsistemadinamicosianoilrisultatodiunprocessodievoluzioneiterativo, perisistemiatempodiscreto, di funzionamento in tempo reale descritto da equazioni dierenziali, per i sistemi a tempocontinuo.2.2.Lerappresentazioniimplicite 27SistemiatempodiscretoCome si `e gi`a osservato, levoluzione ad un passo dello stato per un sistema a tempo discreto `edescritta da unequazione della formax(t + 1) = f(t, x(t), u(t))f`e detta funzione generatrice. La precedente equazione gi` a mette in luce quanto asserito che, cioe,levoluzione`eil risultatodi unprocessoiterativocheapartiredallostatoelingressoal tempot,genera lo stato al tempot + 1.Nelleipotesi di linearit` adellafunzionefsullospazioXUperogni tenitadimensionediX = RnedU = Rp, si hax(t + 1) = A(t)x(t) +B(t)u(t)oveA(t) eB(t) sono matrici di funzioni del tempo di dimensioni (n n) e (n p) denite daA(t): = (t + 1, t), B(t): = H(t + 1, t)Inoltre come gi`a ricordato la linearit` a di su XUper ogni t e la dimensione nita di Y = Rqdannoy(t) = C(t)x(t) +D(t)u(t)Le precedenti equazioni deniscono una rappresentazione implicita con lo stato di un sistema linearea dimensione nita a tempo discreto.Sistemi di equazioni alle dierenze di tale tipo danno una rappresentazione ricorsiva della gen-erazionedellegamefunzionaleingresso-stato-uscitacaratteristicodiunsistemadinamico. Pertalemotivo sono interessanti dal punto di vista ingegneristico: esse consentono, eventualmente mediantesimulazione, di costruireundispositivochesimulaintemporealeil comportamentodinamicodelsistema. Il seguente schema, detto di realizzazione o simulazione, rende conto di tale aspetto.AB CDz1x(t)y(t)u(t)x(t+1) ++++Figura 2.1SistemiatempocontinuoLesistenzadi rappresentazioni implicitenel casotempo-continuo`esubordinatoal sussisteredellipotesi di regolarit` a. Essa consiste nellassumere che(t, t0, x0, u) sia soluzione di unequazionedierenziale28 2.Rappresentazioniconlostatolineari,adimensionenita,stazionariet= x(t) = f(t, , u(t))Si mostrer` a ora che se la rappresentazione esplicita `e lineare anche la funzione generatrice lo `e sullospazio prodotto,X U. Si pu` o infatti dimostrare il seguente risultato. Esiste una rappresentazioneimplicita, o dierenziale, del tipo x(t) = A(t)x(t) +B(t)u(t)con A(t) matrice (nn) di funzioni continue, B(t) matrice (np) di funzioni continue, se e solo se lamatrice di transizione dello stato e la matrice delle risposte implusive nello statoHsono funzionicontinue su (RR) ed inoltre `e derivabile rispetto al primo argomento e la sua derivata `e continua.Sotto tali ipotesi risulta, infatti,(t, )t= lim0(t +, ) (t, )

= lim0_(t +, t) (t, t)

_(t, )= A(t).(t, )ove la continuit`a di etimplicano quella diA. InoltretH(t, ) =t(t, t1)H(t1, )= A(t)(t, t1)H(t1, ) = A(t)H(t, )Ci`o posto, derivando lax(t) nella sua forma esplicita, si ha x(t) =t_(t, t0)x0 +_tt0H(t, )u()d_= A(t)(t, t0)x0 +_tt0A(t)H(t, )u()d +H(t, t)u(t)= A(t)x(t) +B(t)u(t)in cuiB(t): = H(t, t) `e continua per lipotesi.Lanecessit`adellecitatecondizioni, assuntalesistenzadi unafunzionegeneratricelinearesuXU, conA(t)eB(t)continue, segueimmediatamentedallateoriadelleequazioni dierenzialilineari.Ataleproposito `eimportanteosservarechesesiindicaconX(.)unamatricefondamentaledisoluzioni dellequazione dierenziale matriciale x(t) = A(t)x(t)risultaX(t)X1() = (t, )2.3.LeRappresentazioniLineariStazionarie 29con(t, ) denita su (RR); ne consegue che(t, )(, t) = (t, t) = I (t, ) = (, t)1che esprime il sussistere di una propriet`a di gruppo sulla matrice di transizione dello stato.Per completezza giova ricordare che una matrice fondamentaleX(t) `e soluzione diX=A(t)XconX(t0) = Ila cui soluzione ammette la seguente espansione in serie di Newman(t, t0) = I +_tt0A(1)d1 +_tt0A(1)_1t0A(2)d2d1+. . . +_tt0A(1) . . ._i1t0A(i)di. . . d1 +. . .Inconclusionesottoleipotesidilinearit` a,nitadimensioneeregolarit` asiottieneunarappre-sentazione dierenziale (implicita) del tipo x(t) = A(t)x(t) +B(t)u(t)y(t) = C(t)x(t) +D(t)u(t)x(t0) = x0Tale rappresentazione `e una realizzazione dierenziale del legame funzionale che caratterizza il com-portamento dinamico del sistema.E interessante osservare che la caratteristica peculiare di un taletipo di descrizione `e che essa pu`o essere utilizzata per generare in tempo reale le evoluzioni nellostatoedinuscitaalvariaredi t. Questacaratteristica `eevidentesesiosservaloschemadirealiz-zazione o simulazione, riportato in gura, che corrisponde ad una possibile realizzazione, sia sica chenumerica, mediante dispositivi in grado di eettuare integrali, moltiplicazioni e somme.AB CDx(t)y(t)u(t)++++

x(t).Figura 2.22.3. LeRappresentazioniLineariStazionarieUna ulteriore specializzazione della classe di sistemi si ottiene assumendo la stazionariet` a,con-dizione soddisfatta, conbuonaapprossimazione, damolti sistemi sici. Tale propriet` aesprimelinvarianza rispetto al tempo del comportamento del sistema.30 2.Rappresentazioniconlostatolineari,adimensionenita,stazionarieDenizione2.Una rappresentazione (X, , ) si dice stazionaria se (t, t0), x0, u:(t, t0, x0, u) = (t +, t0 +, x0, (u)[t0+,t+))(t, x, u) = (t +, x, u)ove indica loperatore di traslazione a destra denito come(f(t)) = f(t )2.3.a. RappresentazioniatempodiscretoPer una rappresentazione stazionaria a tempo discreto si ottiene dunquex(t) = (t t0, 0, x0, u)y(t) = (0, x(t), u(t))che assieme a dimensione nita e linearit`a forniscono la seguente rappresentazione esplicitax(t) = (t t0)x0 +t1

=t0H(t )u()y(t) = Cx(t) +Du(t)ed ancoray(t) = (t t0)x0 +t

=t0W(t )u()ove(t t0) = C(t t0)W(t ) =_CH(t ), t > D, t = _Se siesprime la transizione dello stato suunintervallo ditempo (t + 1 t et t0),siottiene laseguente rappresentazione implicitax(t + 1) = Ax(t) +Bu(t), x(t0) = x0y(t) = Cx(t) +Du(t)ove si `e postoA = (1) B = H(1)Il calcolo della rappresentazione esplicita a partire da questultmia d`a(t t0) = Att0(t t0) = CAtt0H(t ) = At1BW(t ) = CAt1B W(0) = Dviceversa, dalla rappresentazione esplicita a quella implicita, si passa ponendoA = (1),D = (0),B = H(1),C = W(0)2.4.Rappresentazioniimpliciteequivalenti 312.3.b. RappresentazioniatempocontinuoAnaloghe considerazioni nel contesto tempo-continuo consentono di denire una rappresentazionelineare stazionaria a dimensione nita. Si ottiene la rappresentazione esplicitax(t) = (t t0)x0 +_tt0H(t )u()y(t) = Cx(t) +Du(t)ed ancoray(t) = (t t0)x0 +_tt0W(t )u()dove(t t0) = C(t t0), W(t ) = CH(t ) +D(t )Pertalerappresentazionepossonoessereripetuteleconsiderazioni svoltenel casononstazionario.(, H, , W)soddisfanolecondizioni gi` aesaminatenel casotempovariantechesi particolarizzanosenza dicolt`a. Sotto lulteriore ipotesi di regolarit` a (continuit` a di eHe derivabilit` a di) `e facileottenere la rappresentazione dierenziale (o implicita) x(t) = Ax(t) +Bu(t), x(0) = x0y(t) = Cx(t) +Du(t)in cui si assume, senza perdita di generalit`a chet0 = 0.Per quanto riguarda il passaggio alla descrizione esplicita si ha(t) = eAt: =

k0tkk!AkcomerisultaimmediatamentedalcalcolomediantelaseriediNewmanconA(t)=Aoppurecomesi verica immediatamente per derivazione e sostituzione nellequazione dierenziale matricialeX=AX. In denitiva, il passaggio dalla rappresentazione impicita a quella esplicita comporta il calcolodelle seguenti matrici(t) = eAtH(t) = eAtB(t) = CeAtW(t) = CeAtB +D(t)Il passaggio inverso, dalla rappresentazione esplicita a quella implicita, si ha ponendoA =ddt t=0(t)B = H(0)C = (0)D =_t+t(W(t ) CH(t ))d32 2.Rappresentazioniconlostatolineari,adimensionenita,stazionarie2.4. RappresentazioniimpliciteequivalentiIl concetto di equivalenza tra rappresentazioni con lo stato `e collegato alla non unicit` a nella sceltadello stato per descrivere un dato sistema dinamico gi`a trattata nel paragrafo 1.3.Nel caso generale, assegnato il sistema x(t) = f(x(t), u(t))y(t) = h(x(t), u(t))e la trasformazione di variabili di stato invertibilez = T(x) x = T1(z)il calcolo diretto della derivata rispetto al tempo fornisce la rappresentazione equivalente rispetto allevariabiliz z =T(x)dx[x=T1(z(t))f(T1(z(t)), u(t))y(t) = h(T1(z(t)), u(t))2.4.a. RappresentazionilineariequivalentiPer unassegnata rappresentazione con lo stato lineare, tra le diverse scelte di variabili di stato quellechesonolegatedaunatrasformazionedicoordinatelinearemantengonolastruttuta, lineare, dellarappresentazzione.Infatti, assegnato il sistema x(t) = Ax(t) +Bu(t)y(t) = Cx(t) +Du(t)ed una trasformazione lineare di variabili di stato, conTmatrice (n n) costante nonsingolarez = Tx [T[ , = 0si ottiene la rappresentazione z(t) = T x(t) = TAx(t) +TBu(t) = TAT1z(t) +TBu(t)y(t) = CT1z(t) +Du(t)che`eancoradellostessotipoconmatricedinamicaTAT1(matricesimileadA), matricedegliingressi TB, e matrice delle uscite CT1. Con analoghi passaggi si perviene alle stesse espressioni nelcaso di sistemi a tempo discreto.I precedenticalcoli mostrano, tra laltro, che la dinamica in evoluzione libera nello stato `e descrittada un operatore lineare che assume in una ssata base una rappresentazione matriciale. Trasformazionilineari della base inducono modiche secondo una trasformazione di similitudine.2.4.Rappresentazioniimpliciteequivalenti 33Da un punto di vista operativo giova osservare ccome procedere per eettuare una trasformazione dicoordinate. Sex `e unanpla che rappresenta un vettore, sia v, rispetto ad una base di riferimento,ei, i = 1, ..n, cio`ex = xiei =____10...0____x1 +______010...0______x2 +... +____0...01____xnpoich`ex = T1z(T1)i, liesima colonna di (T1)(T1)i = T1

___________0...010...0___________i ma`e la rappresentazione dell iesimo vettore della nuova base (quella in cui il vettore `e rappresentato daz) rispetto alla vecchia base (quella in cui il vettore `e rappresentato dax).Questovuol direcheeettuareunatrasformazionelinearedi variabiledi statodel tipoz =Txsignica, daunpuntodi vistaoperativo, scegliereunanuovabasedellospaziodi statoche`erappresentata dalle colonne diT1, e1, ...,ennelle coordinate dix. Si ha cio`eT1= (e1, ...,en)A titolo di esempio non si trover` a dicolt` a nel calcolare la trasformazione di coordinate che invertelordine delle variabili di stato.2.4.b. RappresentazioninonlinearidisistemilineariUn osservazione conclusiva verte a chiarire, con un semplice esempio, che esistonorappresentazioninonlineari di sistemi lineari. Assegnato, atal ne, il seguentesistemalinearescalare, i seguenticalcoli sono immediati: x(t) = ax(t) +bu(t) z = exx = lnz z(t) = ex(ax(t) +bu(t)) = az(t)lnz(t) +bz(t)u(t)34 2.Rappresentazioniconlostatolineari,adimensionenita,stazionariee chiariscono quanto aermato che, cio`e esistono rappresentazioni non lineari di sistemi lineari.Pi` uingeneralesi ha, rispettoaunatrasformazionedi coordinatenonlinearez=T(x)(x=T1(z)) z =T(x)dx x=T1(z)AT1(z) +T(x)dx x=T1(z)Buy = CT1(z) +Duche `e una rappresentazione non lineare del sistema lineare dato.2.5. RappresentazionilinearicomeapprossimazionidisisteminonlineariLe rappresentazioni lineari sono importanti anche perch`e possono essere impiegate per descrivereil comportamento di un sistema dinamico generale intorno a pressati comportamenti di riferimento.Lapprossimazione lineare di un sistema dinamico `e la generalizzazione del semplice concetto diapprossimazionedi unacurvanellintornodi unssatopuntomediantelatangenteinquel punto.Con riferimento alla generica funzione non linearef(x) intorno ad un valore ssatof(xe) lo sviluppoin serie arrestato al primo ordine forniscey = f(x) = f(xe) +dfdxxe(x xe) +....e posto xa = xxe, ya = y f(xe), m =dfdx[xesi ottiene la relazione lineare seguente che approssimala curva intorno adxeya = mxaLa stessa procedura pu` o essere applicata ad un assegnato sistema non lineareAtaleproposito`einteressanteosservarecome, semprenel casot-discretoesottoleipotesi diregolarit` anel casot-continuo, larappresentazionelineareapprossimanteottenutaapartiredaunarappresentazione esplicita e quella ottenuta dalla rappresentazione implicita siano consistenti. In altreparole e con riferimento al caso t-continuo, le soluzioni del sistema dierenziale lineare approssimantecoincidono con la linearizzazione delle soluzioni del sistema dierenziale non lineare. La dimostrazionedi questo risultato nel caso generale riposa su risultati di base sulla teoria dellapprossimazione di fun-zionali non lineari e viene qui proposta con riferimento alla situazione pi` u ricorrente nelle applicazioni,quella in cui si voglia approssimare il comportamento intorno ad una condizione di equilibrio.Si assumat0=0esianoxR(0), uR()exR()unostatoiniziale, unafunzionedingressoelacorrispondente evoluzione nello stato, assunte di riferimento per un assegnato sistema stazionario.Se si indica con x() e y() gli scostamenti delle evoluzioni nello stato ed in uscita corrispon-denti a variazioni dello stato iniziale x(0) =x(0) xR(0) e dellingresso u() =u() uR() esseammettono la rappresentazione esplicitax(t) = (t, x(0), u()) (t, xR(0), uR()) = l(t, x(0), u()) +O2(x(0), u())2.5.Rappresentazionilinearicomeapprossimazionidisisteminonlineari 35y(t) = _x(t), u(t)__xR(t), uR(t)_= l_x(t), u(t)_+O2(x(t), u())la cui approssimazione lineare `exa(t) = l(t, xa(0), u()) =xxR(0)uR()x(t) +l(t, 0, u())ya(t) = l_x(t), u(t)_=xxR(t)uR(t)x(t) +uxR(t)uR(t)u(t)Per la rappresentazione implicita x = f(x, u) y = h(x, u)con calcoli analoghi ai precedenti: xa(t) =fxxR(t)uR(t)xa(t) +fuxR(t)uR(t)u(t) = A(t)xa +B(t)uya(t) =hxxR(t),uR(t)xa(t) +huxR(t),uR(t)u = C(t)xa +D(t)uSexR()=costalloraancheuR()=costef(xR, uR)=0. Intal casoil sistemaapprossimante`estazionario.Mostreremoorecheintornoadunacoppiadi equilibrio, (xe, ue): f(xe, ue)=0, lapprossimazionelineare della soluzione ammette,come funzione generatrice,lapprossimazione lineare della funzionegeneratrice del sistema dato. Si ricordino, innanzituto le notazioni: x = f(x, u)x(t) = (t, x, u) e(t, x, u)t= f_(t, x, u), u_Si proceda, quindi, al calcolo dellapprossimazione lineare della soluzione. Si ottiene(t, x, u) = (t, xe, ue) +xxe,ue(x xe) +_t0l(t )(u() ue)d +. . .Posto(t) =xxe,uela propriet` a di separazione implica le propriet` a di semigruppo sulle funzioni el, cio`e(t ) = (t t1)(T1), l(t ) = (t t1)l(t1) t t1 36 2.Rappresentazioniconlostatolineari,adimensionenita,stazionarieDerivando rispetto al tempo la precedente identit` a, si ottiene:f(x(t), u(t)) = 0 +d(t)dt[t=0_(t)(x0xe) +_t0l(t )(u() ue)d_+l(0)(u(t) ue) +. . .cio`e:=d(t)dt[t=0(x(t) xe) +l(0)(u(t) ue) +. . .Rimane cos` individuata lapprossimazione sulla soluzione che, per lunicit` a delle soluzioni di unequazionedierenziale, comporta chefxxe,ue=d(t)dt[t=0fuxe,ue= l(0)Insintesiconriferimentoadunassegnatarappresentazionedierenzialeintornoadunacoppiadi equilibrio, x = f(x, u) f(xe, ue) = 0y = h(x, u) h(xe, ue) = hesi ha lapprossimazione lineare xa = Axa +Bvya = Cxa +Dvove si `e postoxa = x xe,v = u ue,ya = y yeA =fxxe,ueB =fuxe,ueC =hxxe,ueD =huxe,ueDue semplici esempi di applicazione sono introdotti nel seguito:PendoloLeequazioni chedescrivonoladinamicadi unpendolodi massam, sospesoadunastarigidadipeso trascurabile di lunghezza l, possono essere facilmente ottenute dallequilibrio delle forze lungo latangente al moto. Si haml(t) +mgsen(t) +kl(t) = u(t)Doveu rappresenta una forza esterna agente, ek `e un coeciente di attrito dinamico. Postox1(t) =(t) ex2(t) =(t) si ottiene:2.5.Rappresentazionilinearicomeapprossimazionidisisteminonlineari 37 x1(t) = x2(t) x2(t) = glsenx1(t) kmx2(t) +1mlu(t)cio`e una rappresentazione con lo stato non lineare del tipo x(t) = f(x(t)) +_01ml_u(t)Il calcolo delle coppie di equilibrio corrispondenti ad ingresso nullo, ue= 0, forniscexe2= 0, xe1=(2h+1) oppure xe1 = 2h cio`e tutti gli stati di equilibrio con la massa nelle posizioni verticali soprae sotto il punto di attacco. Intorno agli stati di equilibrio sopra il punto di attacco si ha il modellolinearizzato: x1(t) = x2(t) x2(t) =gl x1(t) + kmx2(t) +1mlu(t)per gli altri: x1(t) = x2(t) x2(t) = glx1(t) + kmx2(t) +1mlu(t)Dinamica di due specie interagentiIl seguentemodellochedescriveladinamicadi duespecieinteragenti, predaepredatore, `estatointrodotto nel 1926 dal matematico italiano Vito Volterra e prende il suo nome. Tale modello riescead interpretare laspetto pi` u saliente di tale fenomeno:si tratta della presenza di situazioni di equilibrioche, se perturbate, vedono insorgere fenomeni di oscillazione (alternanza di sviluppo tra le specie).Si assume, nella formulazione del modello, che:- la preda cresce, in assenza di predazione, secondo la cosiddetta equazione logistica x1(t) = ax1(t) kx21(t)(si tratta di un equazione dierenziale che mette bene in evidenza sia un andamento esponenzialedellacrescitanellafaseinizialedellevoluzioneeper modesti valori di densit` a, siaunatendenzaasintoticaadunvalorelimite,ak(capacit` aportante), chetienecontodi fattori limitanti quali, adesempio, la limitatezza delle risorse);- il predatore ha come unico sostentamento la preda ed in assenza di questa diminuisce secondoun andamento esponenziale governato dalla seguente equazione dierenziale x2(t) = cx2(t)- il tasso di predazione `e proporzionale al prodotto degli individui delle due specie38 2.Rappresentazioniconlostatolineari,adimensionenita,stazionarieCon queste assunzioni le equazioni che descrivono levoluzione delle specie possono essere facilmentededotte dalle precedenti equazioni. Si ottiene: x1(t) = ax1(t) bx1(t)x2(t) x2(t) = cx2(t) +dx1(t)x2(t)y1(t) = x1(t) y2(t) = x2(t)Si ha quindi ancora una volta un modello nonlineare dello stesso tipo del precedente. Come `e facilevericaresihannoinquestocasoduepuntidiequilibrio: unobanale,corrispondenteallassenzadispecie, laltrox2(c +dx1) = 0 x1e =cdx1(a kx1bx2) = 0 x2e =ad kcbdIntornoatalepuntodi equilibriolevoluzione`eapprossimatadaunsistemalineareinevoluzionelibera conA =_kcdbcdadkcb0_2.6. RappresentazioniatempodiscretodisistemiatempocontinuoLe rappresentazioni a tempo discreto possono essere impiegate per descrivere o approssimare sistemia tempo continuo come viene precisato nel seguito.Assegnato un sistema a tempo continuo in cui gli ingressi sono costanti a tratti su intervalli di ampiezzassa, se si `e interessati a calcolare le evoluzioni negli istanti, detti di campionamento, corrispondentiallavariazionedellingresso`epossibilericondursi adunsistemaatempodiscretoequivalente. Lasituazione`erappresentatanellagura9.2; il calcolodel modellodiscretoequivalente`enotocomeproblemadelladiscretizzazione. Taleproblematrovaapplicazionenellostudiodi sistemi realicollegati a dispositivi digitali; in tali circostanze lingresso `e costante a tratti e le grandezze sono tuttericondotte ad una scala temporale discreta multipla del ciclo di calcolo elementare.Una diversa circostanza che conduce a riferirsi al problema della discretizzazione `e quando gli ingressicontinui vengono campionati; in tal caso il modello discreto descrive in modo approssimato il compor-tamento campionato del sistema a tempo continuo alimentato da ingresso non sottoposti al processodi campionamento e tenuta. Questa procedura `e quella alla quale ci si riferisce quando si compionosimulazioni numeriche sul modello di un assegnato sistema.2.6.Rappresentazioniatempodiscretodisistemiatempocontinuo 39S HTCClockS TDu yFigura 2.3Il calcolo della rappresentazione a tempo discreto equivalente associata ad una data rappresentazioneconlostatocomportalaconoscenzadellarappresentazioneesplicita, equindi dellasoluzionedelsistema di equazioni dierenziali che descrivono il sistema. Poich`e come `e noto non esistono espressioniin forma chiusa della soluzione di equazioni dierenziali non lineari di forma generica, il calcolo in talcaso non pu` o che essere eettuato per via approssimata. Lapprossimazione consiste nel troncamentoad un pressato ordine dello sviluppo in serie di Taylor della evoluzione nello stato. Postot0 = kTet = (k + 1)T, ed assumendo per convenzione lintervallo unitario del sistema a tempo discreto pari aT, si ottienex(k + 1) = x(k) +T x[x(k) +T22 x[x(k)...Larresto al primo ordine nel precedente sviluppo in serie fornisce la cosiddetta approssimazionedi Eulero.Come gi`a osservato quandoS `e lineare il modello discreto equivalente pu` o essere calcolato senzadicolt` a a partire dalle espressioni dellevoluzione nello stato e in uscita tra due istanti di campiona-mento ricordando che lingresso `e costante nellintervallo di tempo considerato. A partire dal sistemacontinuo_ x(t) = Ax(t) +Bu(t)y(t) = Cx(t)x(t0) = x0si hax(t) = eA(tt0)x0 +_tt0eA(t)Bu()de, postot0 = kT,t = (k + 1)Tx_(k + 1)T_= eATx(kT) +_(k+1)TkTeA_(k+1)T_dBu(kT) (k + 1)T = x_(k + 1)T_= eATx(kT) +_T0eAdBu(kT)Se per convenzione assumiamo che lintervallo temporale di ampiezza Tcoincida con il passo unitariodel sistema a tempo discreto che si considera, ecco che lespressione precedente rappresenta un sistemaa tempo discreto._x(k + 1) = ADx(k) +BDu(k)y(k) = Cx(k)40 2.Rappresentazioniconlostatolineari,adimensionenita,stazionarieoveAD = eATBD =_T0eAdB CD = CAspetti connessi al calcolo del sistema discretizzato.Nei casi pratici `e frequente calcolareAD, BDper via numerica a partire daA,BeTed impiegandolespressione dello sviluppo in serie dieAT.eAT= I +AT +T22A2+. . . +Tnn!An+. . .Echiarochearrestandoilcalcoloincorrispondenzadiunnsucientementegrandelerrorechesicommette `e piccolo.Unaprocedurasistematicapermanteneresottocontrollolapprossimazione`equellaqui di seguitoindicata. Si deniscan := I +TA2_I +TA3_. . .TAn 1_I +TAn__. . ._= I +TA2+T2A23!+. . .in cuin `e scelto in modo che sia soddisfatta la seguente diseguaglianzaT|A|n< .ADeBDpossono ora essere calcolate a partire dan. InfattiAD = I +TA(I +TA2+T2A23!+. . .)e quindi con buona approssimazioneAD = I +TA ne, allo stesso modo,BD = nTBE immediato a questo punto il collegamento con lapprossimazione di Eulero introdotta in prece-denza. Tale approssimazione corrisponde ad approssimare la derivata prima dellevoluzione dello statocon il suo rapporto incrementale. Si ha infatti x(t) =x(t +) x(t)= Ax(t) +Bu(t)postot = k, = Ted assunto, per convenzione di ampiezzaTlintervallo unitario, si ottienex(k + 1) = x(k) +TAx(k) +TBu(k)che coincide con il troncamento al primo ordine inTdegli sviluppi associati alle matrici ADeBD.RimanequindidimostratochelapprossimazionediEulero,validaperTpiccolo,approssimalade-scrizione mediante il modello a tempo discreto equivalente da noi calcolato nel senso dellapprossimazioneal primo ordine del relativo sviluppo in serie.2.7.Rappresentazioniimplicitesingolari 412.7. RappresentazioniimplicitesingolariUna rappresentazione cui spesso si perviene nella modellistica dei sistemi dinamici `e quella cosid-detta singolare, cio`e del tipoSz(t) = Fz(t) +Gu(t)incui indicaloperatoredi derivazioneodi anticipoedS`eunamatricequadrata(N, N)singolare. Secos`nonfossesarebbeinfattiimmediatoricondursiadunarappresentazioneimplicitadel tipo noto.SesupponiamocheSabbiarangon aFigura 3.3Comelintuizionesuggerisceil problemapostoconriferimentoal presenteesempioammetteunaformulazione che riguarda il comportamento dinamico delle evoluzioni a seguito di una perturbazione;la convergenza o meno verso lequilibrio. Lo studio della stabilit` a di stati di equilibrio costituisce uncapitolo importante dello studio che condurremo con riferimento non solo a rappresentazioni lineari,ma in un contesto pi` u ampio.3.10. MotoreelettricoSi consideri unmotoreincorrentecontinuaalimentatointensione. Il funzionamentodi taledispositivo`e fondato sulla trasformazione di potenza elettrica inpotenza meccanica per eettodellinduzione magnetica. La parte elettrica `e schematizzabile con una resistenza, R, uninduttanza, Led un generatore di forza contro elettromotrice,ec. La parte meccanica pu`o essere schematizzata conun volano di inerziaJazionato da una coppiaCm(t) generata per induzione. Si suppone in generaleche sia presente un coeciente di attrito dinamico F. Lingresso `e qui assunto la tensione nel circuitodi armaturau(t), luscita, la velocit` a angolare dellasse del motore,(t).Per quanto riguarda il sottosistema elettrico,le variabili che la caratterizzano, u(t) ei(t),sonolegate dalla seguente relazione che esprime lequilibrio delle tensioni di maglia:u(t) = Ri(t) +ec(t) +Ldi(t)dtdove ec(t) = kc(t). La trasduzione elettrica e meccanica avviene per generazione di una coppia, Cm,di intensit` a proporzionale allintensit` a della correntei(t)Cm(t) = kmi(t)Levariabili checaratterizzanoil sottosistemameccanicosonolegatedallaseguenterelazionecheesprime lequilibrio delle coppie:Figura 3.4Se infatti si assume che la tensione elettricav(t) corrisponda alla temperaturaT(t) e la correntei(t) corrisponda alla quantit` a di caloreq(t) le equazioni di conduzione e immagazzinamento termicoq(t) =1R(T2(t) T1(t))dT(t)dt=q(t)Ctrovano una corrispondenza immediata nelle equivalenti elettrichei(t) =1R(v2(t) v1(t))dv(t)dt=i(t)C52 3.Modellisticaemetodidianalisiovesi`eassuntocheReCrappresentinolaresistenzaecapacit`atermicaedelettrica, espresseingrado/caloria e caloria secondo/grado, ohm e farad, rispettivamente.Con le corrispondenze stabilite, e lulterioree0(t) in luogo di T0(t), non `e dicile vericare cheleseguenti equazioni denisconounarappresentazionedierenzialedel circuitovalidaancheperilsistema termico v1(t) = 1C1(1R1+1R2)v1(t) +1C1R3v2(t) +1R1C1e0(t) v2(t) =1C2R3v1(t) 1C2(1R2+1R3)v2(t)1C2R2e0(t)3.12. CircuitocondiodoTunnelpreliminareConriferimentoal circuitodi gura5lequilibriodelletensioni edellecorrenti fornisconoleseguenti uguaglianzeu(t) = Ril(t) +vc(t) +Vl(t)iC(t) = il(t) iT(t)Landamento della corrente nel diodo dipende dalla tensione ai suoi capi secondo una relazione nonlineare, iT=h(vT) riportata nel graco di gura 6. Con ovvi passaggi dalle precedenti uguaglianzesi ottieneL RiRCvCFigura 3.5Cdvc(t)dt= il(t) h(vC(t)Ldil(t)dt= vC(t) Ril(t) +u(t)Con posizioni analoghe alle precedentix1(t) = vc(t) x2(t) = il(t)3.12.CircuitocondiodoTunnel 53si ottiene la seguente rappresentazione con lo stato x1(t) = h(x1(t))C+x2(t)C x2(t) = x1(t)LRLx2(t) +1Lu(t)Le condizioni di equilibrio possono essere calcolate risolvendo il sistema di equazioni0 = h(x1)C+x2C0 = x1L RLx2 +1LURisolvendo rispetto adx2si ottiene luguaglianzaUR 1Rx1 = h(x1)che per ssati valori di Ued R ammette o una o tre soluzioni come risulta evidente dalla gura 6iRvRe12e3eFigura 3.6Il circuitoinesamedal puntodi vistasperimentalemanifestauncomportamentobistabilesuidue stati di equilibrioe1ede3in risposta a sollecitazioni impulsive di suciente ampiezza.Avremooccasionedi mostrarechetalecomportamentodipendedallepropriet` adegli stati diequilibrio risultandoe1ede3stabili ede2instabile.Riservandoci di riprendere lo studio con una delle tecniche di indagine che studieremo, landamentodelcomportamentoeettivopu`oesserevericatamediantesimulazionenumerica. Atalepropositosi possonoassumerei seguenti valori dei parametri (comesuggeritoinL.O.Chua,C.A.DesoerandE.S.Kuh, LinearandNonlinearCircuits, McGraw-Hill, NewYork, 1987)u=1.2V , R=1.5Kohm,C= 2pF, L = 5H,eettuando una scalatura dei tempi ai nanosecondi e misurando le correnti inmilli ampere le equazioni del circuito diventano x1(t) = 0.5[h(x1) +x2] x2(t) = 0.2(x11.5x2 + 1.2)54 3.ModellisticaemetodidianalisiPerh(x1) si pu` o assumereh(x1) = 17.76x1103.79x12+ 229.62x13226.31x14+ 83.72x15In tali condizioni si possono calcolare i punti di equilibrio e1 = (0.063, 0.758), e2 = (0.285, 0.61) ee3 = (0.884, 0.21). Le simulazioni eettuate a partire da diversi stati iniziali (x1(0), x2(0)) mostranolapresenzadi duefamigliedi traiettorieconvergenti sue1ede2eseparatedaunacurva, dettaseparatrice, passante pere2e composta da due traiettorie convergenti sue2. Lintero piano `e quindidiviso in due regioni di attrazione die1ede3. Ci`o consente di comprendere il comportamento realedel circuito in cui a partire dalla generica condizione iniziale il circuito transita nella corrispondentecondizione diequilibrio,la condizionee2nonpotendo essere mantenuta perla presenza delrumoresico. La transizione da un equilibrio allaltro avviene a seguito della presenza di uneccitazione checonduce lo stato iniziale nella regione di attrazione opposta.3.12.a. DinamicanewtonianaLa dinamica del moto rettilineo di traslazione di un corpo rigido sottoposto ad una forza esternau(t), pu` o essere ottenuta a partire dallespressione seguente che esprime lequilibrio delle forze agentim y(t) +fa(t) +fe(t) +fv(t) = u(t)in cui, ffrappresetta lattrito coulombiano e dinamico, fe una eventuale forza elastica ed fv unosmorzamento viscoso.Diverserappresentazioni matematichedelleforzeagenti possonoessereusateperdescrivereilfenomeno.Per quanto riguarda la forza elastica essa dipende dallo spostamento. In prima approssimazione`e ben rappresentata, per piccoli spostamenti da una relazione lineare del tipofe = kyPer spostamenti signicativi, una delle due seguenti relazioni pu` o essere impiegatak(1 a2y2)y [ay[ < 1che modella una diminuzione della forza elastica allaumentare dello spostamento corrispondentead un cedimento delle caratteristiche elastiche ; oppure una relazione del tipok(1 +a2y2)yche modella una aumento della forza elastica allaumentare dello spostamento corrispondente adun irrigidimento delle caratteristiche elastiche.Per quanto riguarda lattrito viscosofv=h( y), h(0) = 0 e per piccole velocit`a si pu` o assumerefv = c y.3.13.Satelliteinorbitacircolare 55Combinandounosmorzamentoviscosolineare conunaforzaelasticairrigidente edunasol-lecitazione esterna periodicaAcost si ottiene lequazione di Dunm y(t) +c y(t) +Ky(t) +Ka3y3= Acostclassica nello studio delle eccitazione periodica di dinamiche non lineari.Inne, per quanto riguarda la forza di attritofa, essa manifesta un comportamento che dipendedalle condizioni di moto. In condizioni di riposo si ha una forza, fs, parallela alla supercie che assumevalori qualsiasi tra smg,scoeciente di attrito statico compreso tra 0 ed 1. Il moto avviene inpresenzadiunaforzaagentesuperiorealcitatovalorelimite. Inassenzadiforzeesternelamassaresta ferma no a quando [fe[ smg. In movimento la forza di attrito assume il valorekmg, kcoeciente di attrito dinamico. In conclusione si hafa = kmgsign( y) per [ y[ > 0 efa = fsper [ y[ = 0.Ladinamicadellospostamentoinregimedi piccoli spostamenti, inpresenzadi smorzamentoviscoso lineare e attrito di stacco e dinamico assume, nelle variabili di statox1 = y ex2 = y: x1 = x2 x2 = kMx1(t) + bM x2(t) +u(t)M(x1, x2)in cui la funzione nonlinearevalekmgsign( y) per [ y[> 0, kyper y = 0 e [y[ smg/kesmgsign(y) per y = 0 e [y[ > smg/k.E possibile semplicare lanalisi per studiare le situazioni in cui x2 `e diverso da zero. Per x2> 0si ottiene x1 = x2 x2 = kMx1(t) + bM x2(t) +u(t)Mkge perx2< 0 x1 = x2 x2 = kMx1(t) + bM x2(t) +u(t)M+kgSi osservi chemodelli lineari approssimanti diversi possonoesserecalcolati per descrivereladinamica in diverse condizioni di funzionamento. Modellistica lineare a tratti.56 3.Modellisticaemetodidianalisi3.13. Satelliteinorbitacircolareruu12Figura 3.7Si consideri ladinamicadi unsatellitearticialecheincoordinatepolari`eespressadalledueequazioni dierenziali del secondo ordine r(t) = r(t)2(t) r(t)2+u1(t)(t) = 2 r(t)(t)r(t)+u2(t)r(t)Inassenzadi spintaradiale u1etangenziale u2lesoluzioni sonoellissi, iperboli oparabole.Lorbita pi` u semplice `e una circonferenzar(t) = c1(t) = c2Conr(0) = r0, r(0) = 0,(0) = 0,(0) = 0e0 = (r30)12Lorbita nominale `e dunque descritta darr(t) = r0r(t) = 0t +0Postox1 = r,x2 = r,x3 = ,x4 = si ottiene la seguente rappresentazione con lo stato x1(t) = x2(t) x2(t) = x1(t)x24(t) overx21(t) +u1(t) x3(t) = x4(t) x4(t) = 2x2(t)x4(t)x1(t)+u2(t)x1(t)La linearizzazione della dinamica, cio`e la descrizione degli scostamenti rispetto allorbita nominaleur(t) =_00_xr(t) =___r000t +00___3.14.Dinamicaverticalediunmissile 57d` a la seguente rappresentazione lineare stazionaria z(t) =___0 1 0 03200 0 2r000 0 0 10 20r00 0___z(t) +___0 01 00 00 r0___u(t)3.14. Dinamicaverticalediunmissilemh0Figura 3.8Lequilibrio delle forze agenti sul missile di gura si scrivem(t) v(t) = m(t)g +ve m(t)doveverappresentalavelocit` arelativadellamassaespulsa, assuntacostante. Postox1=h,x2 = v ex3 = m si ottiene la seguente rappresentazione con lo stato x(t) =__x2g +veu(t)x3u(t)__.Nel caso particolare, molto frequente nella pratica, in cui si assume una variazione di massa,u0,costante, ci`o che corrisponde ad assumere chem(t) = m0 +u0tsi ottienem(t) v(t) = m(t)g +veu0e, postox1 = h,x2 = v, x(t) =_0 10 0_x(t) +_0g +veu0(m0+u0t)_y(t) = ( 1 0 ) x(t) x(0) = 058 3.ModellisticaemetodidianalisiLe variazioni delle evoluzioni rispetto ad una andamento di riferimento, quello in cui si assume lavariazione di massa costante, sono rappresentate dalla linearizzazione intorno alla seguente traiettoriadi riferimentox3r(t) = m0 +u0tx2r(t) = gt +ve ln(1 +u0m0t)x1r(t) = g2t2+m0veu0__1 +u0m0t_ln_1 +u0m0t_u0m0tNelle variabiliz = x xrev = u ur, si ottiene: z(t) =__0 1 00 0 veu0(m0+u0t)20 0 0__z(t) +__0ve(m0+u0t)1__v(t) z(0) = x(0) __00m0__3.15. MotoreelettricoincorrentecontinuaiRLRssvsFigura 3.9Si vuole calcolare il modello matematico che descrive la dinamica del motore elettrico in correntecontinua di gura. Si assume che lingresso sia la tensione del circuito di eccitazione, u(t) = vs(t). Peril circuito deccitazione vale la seguente equazione alla maglia che esprime lequilibrio delle tensioniVs(t) = Rsis(t) +Lsdis(t)dtIl usso generato pu` o essere espresso da(t) = Lsis(t)Per il circuito darmatura, vale la seguente equazione che esprime lequilibrio delle tensioni:Vr(t) ec(t) = Rrir(t) +Lrdir(t)dtin cui la forza contro elettro motrice `e pari aec(t) = kc(t)(t).3.16.Levitazionemagnetica 59Inne, per quanto riguarda la parte meccanica si haJd(t)dt+F(t) = Cm(t)in cui la coppia motrice,Cm, e data daCm(t) = km(t)ir(t)NellipotesiditrasformazionesenzaperditedellapotenzaelettricainpotenzameccanicaKc=Km = K, e postox1 = is,x2 = irex3 = Si ottiene il modello matematico x1(t) = RsLsx1(t) +1Lsu(t) x2(t) = RrLrx2(t) +VrLrKLsLrx1(t)x3(t) x3(t) = FJ x3(t) +KLsJx1(t)x2(t)Si tratta ancora una volta di un modello nonlineare che pu` o essere linearizzato intorno a condizionidi equilibrio per descrivere in modo approssimato il comportamento del sistema per piccole variazionirispetto a tale situazione di equilibrio.Per concludere si osservi che se si assume costante la corrente del circuito di eccitazione si ottieneil modello lineare introdotto in precedenza.3.16. LevitazionemagneticaSi consideri il dispositivo in gura in cui una bobina elettromagnetica viene alimentata in correnteper sostenere il peso di una sfera e mantenerla in equilibrio ad una distanzaxedalla bobina.Figura 3.10La forza di attrazione esercitata su di un corpo metallico in funzione della distanza per diversivalori della corrente `e rappresentata nei graci di gura.60 3.ModellisticaemetodidianalisiFigura 3.11Da essi si deduce che una pallina del peso di 82103Newton pu` o essere mantenuta in equilibrioad una distanza di 2.7 mm con una corrente di 600 mA.IndicataconMlamassadellapallinaeconf(x, i)laforzaesercitatadallabobina, Ilbilanciodelle forze in un punto sulla verticale ad una distanzax si scriveM x(t) = f(x(t), i(t)) Mgdoveg indica laccelerazione di gravit` a.Intorno axevale lapprossimazione lineare perf(x, i)f(x, i) = f(xe, ie) +fx(xe, ie)(x xe) +fi (xe, ie)(i ie)Le derivate rispetto ax, kx, e adi, ki, si calcolano nel modo seguente. kx`e la pendenza alla curvaacorrentecostantepariadienelpuntodiascissaxe; nelcasoinesamerisultaparia14N/m. kicorrisponde alla variazione di forza, inxe, rispetto alla corrente;nel caso in esame peri1= 700mAla forza `e pari a 122103Ne peri3 = 500mA la forza `e pari a 42103N. Si ha dunqueki =(122 42)103700 500= 0.4N/ASostituendo i valori numerici, si ottiene la seguente equazione dierenziale, che governa il moto intornoallequilibrio ( = x xeeu = i)(32103)(t) = 14(t) + 0.4i(t)(t) = 1667(t) + 47.6u(t)Per evitarechenellesecuzionedi procedurenumerichedi simulazioneecalcoloi valori dellevariabili trattatesianotroppodiversetraloro(otroppograndi opiccoleinassolutorispettoallecaratteristiche del sistema di elaborazione), ci`o che comporterebbe una non omegenea propagazionedi errori di arrotondamento (o fenomeni di saturazione), `e buona pratica fare in modo che i coeci-enti delle equazioni assumano valori confrontabili. Valori tra 0.1 e 10 rappresentano una situazioneauspicabile. Perfarequestosi pu` oprocedereadunascalaturadellevariabili, ci` ochehaancheun3.16.Levitazionemagnetica 61interesse sico in quanto corrisponde ad una selezione delle unit` a di misura (scalatura delle variabili)e della velocit`a di esecuzione (scalatura del tempo) pi` u consona allo studio del fenomeno. Nel caso inesame, ad esempio, nella precedente equazione le distanze sono espresse in metri, mentre ununit` a inmm `e certamente pi` u adatta a descrivere il fenomeno.Ad un primo livello di generalit` a possiamo dire che una scalatura delle variabili corrisponde adassumere una nuova variabile,vn, a partire da una assegnata,v, e una nuova variabile temporale,tn,in luogo dit, secon,do le espressioni seguentivn =vv0tn = 0tSe si osserva che leetto della scalatura rispetto al tempo comporta ched()dt=d()d(tn/0)= 0d()dtnsostituendo nellequazione del moto allo studio si ottiene(200d2)n(t)dt2n= (16670)n(t) + (47.6u0)u(t)cio`ed2n(t)dtn2=166720n + 47.6u0200u(t)Scegliendo 20 = 1667 (0 circa uguale a 40) il coeciente di (t) `e pari ad uno ci` o che corrispondead assumere una scala dei tempi pari a140secondi. Se inoltre gli spostamenti vengono misurati in cme le correnti in Ampere, cio`e si sceglie0 = 0.01 eu0 = 1, si ottiene lequazioned2n(t)dtn2= (t) + 2.86u(t)MessainscalaCon riferimento al caso generale di un sistema di equazioni dierenziali lineari del primo ordinenella variabile di statox Rned ingressou Rp, loperazione di messa in scala conduce al seguentesistema xn(t) =10S1xASx +10S1xBSuunincui il numeroreale 0rappresentalavariazionedi scalatemporaleedSxedSusonomatricidiagonali quadrate, (n n) e (p p), dei coecienti di scalatura associate alla trasformazionexn = S1xx un = S1uu.4. Rappresentazioni lineari stazionarie: analisineldominiodeltempoLe evoluzioni nello stato ed in uscita corrispondenti ad una rappresentazione dierenziale, lineare,stazionaria, a dimensione nita sono espresse dax(t) = eAtx0 +_t0eA(t)Bu()dy(t) = CeAtx0 +_t0CeA(t)Bu()d +Du(t)Nelle precedenti espressioni un ruolo centrale `e svolto dalla matrice di transizioneeAt.Stesse considerazioni per un sistema a tempo discreto in cui a partire da una rappresentazione,lineare, stazionaria, a dimensione nita, il calcolo delle evoluzioni si riduce al calcolo della matrice ditransizione,At, infattix(t) = A(tt0)x0 +t1

=t0A(t1)Bu()y(t) = CA(tt0)x0 +t1

=t0CA(t1)Bu() +Du(t)Il seguente paragrafo `e dedicato, quindi, al calcolo della matrice di transizione nello stato.4.1. LamatriceditransizionenellostatoNel calcolodellafunzioneesponenziale(potenza) di matricegiovafareriferimentoatrasfor-mazioni di coordinate lineari nello spazio di stato. Come `e noto nelle nuove coordinatezil sistema4.1.Lamatriceditransizionenellostato 63`erappresentatodallaternadimatrici(TAT1, TB, eCT1). Lestessetrasformazionirimangonovalide per i sistemi a tempo discreto.Letrasformazioni di coordinaterispettoallequali lamatricedinamicaAassumeformesemplicisvolgono un ruolo importante nel caratterizzare la funzione di matrice allo studio. Se infattiTAT1ha una struttura pi` u semplice, siaD, poich`e risultaA = T1DTe quindieAt= eT1DTt= T1T +tT1DT +t22 T1DT2+. . . +tkk!T1DTk+. . . = . . . = T1eDtTa partire dallesponenziale diD il calcolo dellesponenziale diA `e ottenuto premoltiplicando perT1e postmoltiplicando perT.Apartiredallostudiodellerappresentazioni di unoperatoreal variaredellecoordinate, (A.2), ilcalcolo dellesponenziale e della potenza diA sono risolti una volta risolti perD.Si trattaquindi di individuareleformesemplicicheunoperatoreassumeal variaredellecoordinate. Rinviandoallappendiceperildettagliodelcalcolo,`esucientericordarecheleformesemplici sono quella diagonale e, nel caso pi` u generale, quella di Jourdan.Come`enotolaprimasituazionesi haquandolamatriceA`eregolare, oci` oche`elostessoin corrispondenza di ogni autovalore di molteplicit` a algebricaipu` o essere calcolato un autospaziogenerato da i autovettori del primo ordine. Ci` o accade quando in corrispondenza di ogni autovalore,i, il rango della matrice (A i) `e (n i). Rientra in questa casistica il caso diA con autovaloridistinti.Nel seguito vengono trattati separatamente le due situazioni citate alle quali corrispondono diversilivelli di complessit`a.4.1.a. SistemiatempocontinuoLamatriceditransizioneconAregolareNel caso in cui la matriceA abbia autovalori distinti, o sia regolare, per il calcolo dellesponenziale `esuciente fare riferimento alla forma diagonale a coecienti reali. Per il calcolo dellesponenziale ditale matrice `e suciente osservare chee_ _t= et_cos t sentsent cos t_64 4.Rappresentazionilinearistazionarie: analisineldominiodeltempoIn presenza di autovalori reali e a coppie di complessi coniugati, si ha quindieDt=_____________e1t...em1te1tcos 1t e1tsin 1te1tsin 1t e1tcos 1t...em2tcos m2t em2tsin m2tem2tsin m2t em2tcos m2t_____________e sviluppando i calcolieAt=m1

i=1eituiv

i +m2

j=1ejt_cos jt(uajv

aj +ubjv

bj) + sin jt(uajv

bj ubjv

aj)_A titolo di esempio si consideri il semplice sistema meccanico composto da massa-molla e smorzatoreche, come abbiamo visto, `e caratterizzato dalla seguente matrice dinamicaA =_0 1kMbM_Il calcolo degli autovalori d` a1/2 = b b24kM2Me per i corrispondenti a