teoria da gravitação elcio abdalla. aristóteles aristóteles era um grande filósofo lógica...

Teoria da Gravitação

Elcio Abdalla

Aristóteles

• Aristóteles era um grande filósofo

• Lógica atual• Sua física era holística• Corpos em movimento eram

reais e difíceis

Introdução Geral

Física Aristotélica

• Atrito fazia parte integrante da descrição

• A Terra era o Centro do Universo• Um corpo no vazio (vácuo)

andaria em movimento eterno. Portanto, segundo Aristóteles, o

vácuo não existe!

Introdução Geral

O olhar em direção aos Céus

• Vertente prática

• Marcação do tempo

• Colheitas• Previsões de

fenômenos

• Vertente mística

• Visão universal

• Compreensão do Início

• Religiosidade e mitologia

Introdução Geral

A Terra Redonda

• Há indícios do conhecimento de dias mais longos em altas latitudes entre os antigos gregos (talvez mesmo em Homero)

• Segundo Heródoto, os fenícios circumnavegaram a África vendo o Sol à direita ao irem para Oeste.

• A idéia de Terra redonda provavelmente nasceu no século quinto A.C. com os pitagóricos

Introdução Geral

Movimentos do SolIntrodução Geral

Movimentos da Lua

• Os movimentos da Lua são mais complexos

• Hoje sabemos que o plano de movimento lunar tem uma inclinação de 5 graus

• Apesar disto, eclipses foram previstas por Tales (585 A.C.)

Introdução Geral

As Medidas de Tempo

• As primeiras observações visavam a noção de tempo e sua medida

• O movimento das estrelas é perfeito para a medida de tempos curtos

• As estrelas têm um movimento diário com período de 23 h 56 min (360 x 4 min corresponde a cerca de um dia)

Física Aristotélica

Medidas de Tempo• As estrelas paradas no céu (hem.

Norte).

Introdução Geral

Medidas de Tempo• As estrelas em movimento no

céu (hemisfério Norte).

Introdução Geral

Movimento das Estrelas• Estrelas perto do Norte

(hemisfério norte)

Introdução Geral

A Esfera Celest

e

Introdução Geral

Medidas de Distância

• A medida do raio da Terra por Eratóstenes

• Sol a pino em Alexandria• Medida da sombra em Siena (a

5000 estádios)• Eratóstenes achou 250.000

estádios• Resultado correto em 5%

(excelente!)

Medidas

Distância à Lua e ao Sol


• Usando-se o ângulo medido por Aristarco para 1/2 lua (87 graus) x/2d = (x+20R)/19d=(x+R)/D• Usando o valor correto (89 o 51’) x/2d=(x+401R)/400d=(x+R)/D


• Para Aristarco:

• d=0.35 D• Rsol=6.6

Rterra

• Com valor correto temos:

• d=0.33D• R sol=130 R

terraPara a distância Terra-Lua, assim como para o raio da Lua, obtemos um resultado correto, mesmo com observações muito simples.

Movimento Planetário

A Esfera Celest

e

Epiciclos

Epiciclos e Deferentes

Calendários• Calendários lunares• Calendário anual (estações do ano)• Equinócios• Solstícios

Calendários

Calendário Juliano

• O Babilôneos fixaram o ano em 360 dias (natural na base 60 usada por eles)

• Os egípcios adicionaram 5 dias para a chegada do novo ano, com base na regularidade climática do Nilo

• O atraso da chegada do ano novo em 5 dias a cada 20 anos, levou Júlio Cesar, com a ajuda de astrônomos egípcios, a definir o ano bissexto: o calendário Juliano durou mais de 1500 anos

Calendários

A Revolução de Copérnico e a

Ciência Clássica

O Problema do Calendário

• Definição da data da Páscoa• Adiantamento da Páscoa• O Universo de Copérnico (heliocêntrico) como método eficiente de se compreender o movimento dos astros.

Copérnico

Copérnico *1473 +1543

• Suposição Heliocêntrica como hipótese de trabalho Copérnico

Copérnico *1473 +1543

Calendário Gregoriano• Ao dia 4 de outubro de 1582 seguiu-se o dia 15 de outubro de 1582• Os anos bissextos múltiplos de 100, mas não de 400 foram eliminados (1900 não foi bissexto mas 2000 o foi!)

Calendário

Tycho Brahe *1546 +1601

• Tycho Brahe (Tyge Brahe) recebeu do Rei Dinamarquês a Ilha de Hven para fazer estudos astronômicos

• Melhorou as medidas astronômicas dos árabes

• Fez excelentes medidas dos planetas, especialmente de Marte

Tycho Brahe

Tycho Brahe *1546 +1601

Tycho Brahe

A Ilha de Hven

Uraniborg

Johannes Kepler *1571 +1630• Usando os dados obtidos por

Tycho Brahe e idéias de beleza, formulou as 3 leis que levam seu nome

• As órbitas são elípticas• As áreas em relação ao sol são

varridas de modo constante• O quadrado do período é

proporcional ao cubo do raio de revolução

Kepler

Johannes Kepler *1571 +1630

Wolfgang Pauli sobreJohannes Kepler

Wolfgang Pauli sobreJohannes Kepler• Os pensadores lógicos chegaram à

conclusão que pura lógica não pode levar do empírico às leis naturais.

• Uma relação entre as imagens existentes no interior da psique humana com objetos externos e sua existência deve ser a base da compreensão da natureza.

• Tais imagens primárias são o que o próprio Kepler denominou archetipalis (arquetípicas).


• Como operadores de ordenamento e formadores de imagens, arquétipos trabalham como uma ponte entre idéias e são um pressuposto para as teorias científicas da natureza.

• Na Idade Média tínhamos uma Era pré-científica, com uma descrição mágica e simbólica da Natureza, como o foi a alquemia.

• Kepler teria representado uma transição da conceituação mágica para as teorias realmente científicas da Natureza.


• Kepler era fascinado pela idéia pitagórica de música das esferas.

• Ele dizia: Geometria est archetypus pulchritudinis Mundi (a geometria é o arquétipo da beleza do Mundo)

Johannes Kepler, o Homem• Nasceu em Weil der Stadt, Württemberg,

Alemanha, em 1571• Educado protestante, seus pais o queriam

clérigo• Por seu credo em Copérnico conflitou com

os religiosos• Seu Professor, Mästlin, obteve, para

Kepler, uma cadeira em Graz• Ao enviar para Mästlin seu Mysterium

cosmographicum sofreu objeções acerca do movimento da Terra

Johannes Kepler, o Homem

• Foi banido por causa da Contra Reforma

• Com a morte de Frederico II na Dinamarca em 1599, Tycho Brahe foi para Praga

• Tycho Brahe morreu em 1601 em Praga possivelmente de envenenamento por mercúrio.

• Há uma série de interpretações para sua morte.

Johannes Kepler, o Homem

• Kepler ficou com as observações de Tycho.

• As melhores concerniam à órbita de Marte

• Mas foi a terceira Lei quem mais fortemente marcou sua personalidade: ela exibia a presença, em sua mente, de um elemento central, divino.

Johannes Kepler e a interpretação

• A geometria é coeterna com a mente divina antes da criação. É o próprio Deus (o que está em Deus senão o próprio Deus?) e deu a Deus os modelos da criação do Mundo ...

• Geometria ante ortum menti divinae coeterna, Deus ipse (quid enim in Deo, quod non sit ipse Deus?) Exempla Deo creandi mundi suppeditavit ...


• O Sol em meio às estrelas moventes, ele próprio imóvel, mas fonte de movimento, tem a imagem do Pai, do Criador.

• Sol in medio mobilum quietus ipse et tamen fons motus, gerit imaginem Dei patris creatoris.


• A despeito das interpretações bastante religiosas de Kepler, ele foi um dos primeiros a utilizar de modo magistral o método científico.

• Usou os dados de Kepler relativos a Marte com a hipótese de figuras geométricas simples para chegar às órbitas elípticas.

• Fez o mesmo com a lei das áreas.• Baseado no divino usou os dados para

formular a terceira lei.


• De acordo com Kepler a alma individual, que ele chama de vis formatrix ou matrix formativa tem a habilidade fundamental de reagir, com a ajuda do instinctus a certas proporções harmoniosas que correspondem às divisões racionais do círculo.

• Em música isto corresponderia à eufonia

Polêmicas

• Kepler foi um Homem de grandes polêmicas.

• Defensor do heliocentrismo, teve problemas em Graz

• Coloca-se, apesar de várias dúvidas, que poderia ter motivos para ter envenenado Tycho Brahe

Polêmicas

• Foi místico, em uma época em que não se distinguia astronomia de astrologia

• Seu Mysterium Cosmographicum continha, além de idéias astronômicas, várias idéias místicas e o papel dos poliedros de Platão nas órbitas planetárias

• Seu trabalho mais importante, Harmonices Mundi também foi muito debatido na época. Seu maior adversário na época foi o médico e místico Robert Fludd

Polêmicas

• Publicou calendários astrológicos, alguns bastante precisos.

• Sua mãe, Katharina, foi acusada, em 1617, de bruxaria. Foi presa e ameaçada de tortura. Defendida por Kepler, foi liberada. As acusações eram verbais, além de um texto velho de Kepler falando de uma mulher que misturava poções.

Galileo Galilei *1564 +1642

• Começou a formular a mecânica• Lei da inércia• Lei de transformação entre observadores diferentes: x’ = x-vt , t’ = t A aceleração da gravidade é a mesma para todos os corpos

Isaac Newton *1642 +1727• Introduziu os conceitos de força

e de massa• Escreveu a equação F=ma• Caracterizou a força (lei de ação

e reação) de acordo com a Lei da inércia

• Postulou a Lei da Gravitação• Deduziu as Leis de Kepler a

partir de suas equações

Em direção à Modernidade: a queda da

Física Clássica

O Eletromagnetismo• Rudimentos, Lei de Coulomb, Magnetismo• Equações de Maxwell• Transformações de Lorentz

Fim da Física Clássica

Incompatibilidade entre o Eletromagnetismo e a Mecânica

Clássica• Eletromagnetismo

• Transformações de Lorentz

• Conseqüência:

Geometria de Minkowski em 4 dimensões

• Física Clássica• Transformações

de Galileo• Conseqüência:

geometria euclidiana em 3 dimensões e tempo absoluto


Relatividade Especial• Einstein: postulou nova geometria de para a Mecânica• Reinterpretação do espaço-tempo


Relatividade Geral• O princípio da Equivalência• Geometria como descrição da gravitação• As Equações de Einstein


A Teoria da Relatividade

• O Princípio Cosmológico• O Universo em expansão• Buracos Negros• Buracos de minhoca


• Historia rapida do Universo

• O Principio Cosmologico

• A Relatividade Geral de Einstein

• A metrica de Friedmann-Robertson-Walker

• Propagacao da Luz em FRW: horizontes, passado e futuro

• cosmologia FRW: poeira, radiacao, L, escalares etc.

• Tempo, distancia, redshift, energia e temperatura

O Modelo Cosmológico Standard

Rápida História Cósmica

energia

300.000 anos

200 s

tempo

1 MeV

1 eV

redshift

109

103

0 15Gy

Nucleossinthesis

Desacoplamento(sup. Ult. espalhamento)

Fatos:

• Idade: T0 = (14,5 ± 2,5) Gy

• Densidade: ρ0 = (1.9 ± 0.15) h2 x 10-29 g cm-3

• Parâmetro de expansão: H0 = 100 h Km s-1 Mpc-1

h = 0.65 ± 0.15

• Fracao Barionica: Ωb = ρb / ρtot = (0.005 - 0.025) h-2

• Fracao de Energia em radiacao

(fotons e neutrinos sem massa):Ωγ = 2.5 x 10-6 h-2

• Extremamente homogeneo e

isotropico: ∆T/T ~ 10-5

1 pc = 3,26 l.y. 1 Mpc = 3,1 x 1024 cm

O Princípio CosmologicoDesejamos estudar o universo como um todo, em suas mais largas escalas, para depois estudar detalhes locais específicos. Num primeiro instante queremos apenas descrever sua evolução, idade e geometria.

Sabemos, através da radiação cósmica de fundo (RCF), que pelo menos até a época do desacoplamento dos fótons com a matéria (quando a idade do universo era 300.000 anos), a densidade era um fluido extremamente homogêneo e isotrópico – as regiões mais densas eram apenas 0.001% mais densas que a média.Além disso, a distribuição de galáxias fica bastante homogênea quando observada em escalas muito grandes (> 100 Mpc).

Essas constatações servem para fundamentar uma hipótese extremamente útil: o Princípio Cosmológico. Ele diz que não existem posições nem direções privilegiadas no universo.

As velocidades das galáxias distantes são dadas, na lei fenomenológica de Hubble, por:

Relatividade Geral

-1-100 Mpcs Km65 Honde, RHv

A distâncias R maiores que 1000 Mpc, a velocidade entre duas galáxias será próxima à velocidade da luz. Portanto, para descrever esse sistema é necessário empregar uma teoria relativística.

A mais simples teoria de campos relativística, covariante, que obedece ao princípio da equivalência, enfim, temente a Deus, é a teoria da Relatividade Geral de Einstein. Nessa teoria, a métrica de Minkowski é generalizada:

222 xddtds

baab dxdxgds 2

a aA gravitação é descrita pelas equações de Einstein:

abab TG G8Tensor de EinsteinG

ab[g](geometria)Constante de Newton

Tensor de energia e

momento

(matéria)

c=1

,1 abab gg

O tensor de Einstein é uma função da métrica do espaço-tempo. Alguns objetos úteis em espaços curvos são os seguintes, nas nossas convenções:

delta deKronecker

3

0c

abcb

cagg

Conexões (símbolos de Christoffel):

)( ,,,21

dabadbbdacdc

ab ggggΓ Tensor de Riemann:

dab,c

dac,b

eab

dec

eac

deb

dabc ΓΓΓΓΓΓR

Tensor de Ricci e Escalar de Ricci:

ababa

acacbab RgRRRR ,

Tensor de Einstein:

RgRG ababab 21

2.3 relatividade geral

índicesrepetidos

A métrica maximalmente simétrica que descreve um espaço homogêneo e isotrópico é chamada Friedmann-Robertson-Walker (FRW):

22222

2

2222

1)( dsenrdr

Kr

drtadtds

É quase sempre de grande utilidade reparametrizar o “tempo comóvel” t em termos do “tempo conforme”:

t

ta

dt

ta

dtd

´)(

´,

)(

Portanto, uma forma equivalente para a métrica FRW é:

22222

2

2222

1)( dsenrdr

Kr

drdads

Note que, se K=0 (seção espacial plana), a métrica FRW é conformemente plana:

abab agxddads K

K 22222 0

0,)(

A métrica de Friedmann-Robertson-Walker

22

2

222

1dr

Kr

dradl

• A geometria da parte espacial da métria FRW é dada pelo elemento de distância espacial:

Definindo: )(1 KsenK

r

Temos:

22222 )(

1dKsen

Kdadl

Portanto, obtemos três casos limite:

• K =+1 -- a geometria é a de uma hiperesfera, com 0 ≤ c ≤ p.

• K = -1 -- a geometria é hiperbólica, com 0 ≤ c ≤ ∞.

• K = 0 -- a geometria é plana (euclideana), r = .c

A topologia da métrica FRW é portanto determinada pela constante K:

• plana - K=0

(seção espacial euclideana)

• aberta - K=-1

(seção espacial hiperbólica)

• fechada - K=+1

(seção espacial esférica)

a(t)

• O fator de escala a(t) mede o variação do tamanho das seções espaciais:

A taxa de expansão (ou parâmetro de Hubble) do universo é a taxa de crescimento do fator de escala, medida em tempo comóvel:

a

a

dt

da

aH

1

Em termos de tempo conforme, temos: 22

1

a

a

d

da

aH

• O sistema de referencial de FRW é tal que os observadores do sistema estão em repouso (inerciais), em coordenadas (r,θ,Φ) constantes.

• O sistema de referencial de FRW não tem posições nem direções privilegiadas. Portanto, a propagação de um raio de luz radial nesse sistema de coordenadas é idêntica à propagação de qualquer outro raio.

Propagação da luz em FRW: distâncias e horizontes

• A propagação da luz em Relatividade Geral: como é sempre possível escolher um sistema de coordenadas que é localmente Minkowski, isso significa que raios de luz viajam por geodésicas nulas, o que quer dizer simplesmente que o elemento de distância ds2 = 0 .

222

2

2

2

ou,1)(

ddKr

dr

ta

dt

Portanto, um fóton se propagando através da direção radial obedece a:

A integração é imediata:

||,1)( 2Kr

dr

ta

dt

A distância própria percorrida por um raio de luz de r=0 até r=r1 é dada por:

1

0

),()(r

rrp trgdrtd

1

0

1

)'(

')(

1)(

02

t

t

r

ta

dtta

Kr

drta

• Os objetos situados em r=0 e r=r1 estão naturalmente em repouso, no referencial de FRW. A velocidade com que os dois se afastam é devida somente à expansão do universo.

• É muita vezes útil separar essas distâncias físicas em duas partes: a distância em coordenadas, que permanece constante; e a parte dependente do tempo, que é o fator de escala a(t). Escrevemos então:

cp dtatd )()(

onde dc é a distância comóvel.

)()()()( tdtHtda

atd ppp

• A velocidade que separa dois pontos a distâncias comóveis fixas (ou seja, dois objetos inerciais no sistema FRW) é dada por:

Ou seja, rededuzimos a Lei de Hubble das velocidades das galáxias distantes:

dHv

t

d

• As distâncias próprias podem ser finitas mesmo quando os intervalos de tempos se extendem arbitrariamente para o passado ou para o futuro.

10,)(0

0

p

t

tata

p

• Por exemplo, vamos supor que:

Esse espaço-tempo pode ser continuado somente até t=0 no passado (quando a=0). Temos:

tt

tdttatd p

t p

Hp

1

1

0 0

'')()(

A distância dH é a distância máxima percorrida por um raio de luz emitido arbitrariamente no passado. Isso significa que o cone de luz passado é limitado, e não pode ser extendido além desse instante inicial t=0 (que, incidentalmente, corresponde a uma expansão inicial explosiva – o Big Bang!)

a

t

)(11 tHpp

t

p

a

atH

)(

• Chamamos essa distância máxima de horizonte. Como nesse caso (p<1) o horizonte diz respeito a uma truncagem do cone de luz no passado, ele é um horizonte tipo passado, também conhecido como horizonte de partículas. Veremos que esse horizonte é muito próximo do raio de curvatura do espaço-tempo de FRW com o fator de escala dado acima.

• As regiões causalmente conexas de um universo FRW com fator de escala a ~ t p com 0<p<1 têm um raio dado por dHp(t) . No passado, evidentemente, esse horizonte era ainda menor do que hoje. Isso quer dizer que no passado tinhamos acesso a uma região ainda menor do universo que a que enxergamos hoje.

Mpc4600)0( 0 tcdH

• O horizonte de partículas nos diz que observadores separados por uma distância igual a dHp(t) nunca estiveram em contato antes do instante t. Portanto, a existência de um horizonte de partículas indica que o universo tem regiões causalmente desconexas.

• Acreditamos (ver seções seguintes) que o universo foi, durante a maior parte de sua história, descrito pelo fator de escala acima, com p~2/3. Portanto, nosso horizonte de partículas seria hoje:

E Exercício: compute o horizonte de partículas na época do desacoplamento (t=300.000 y), assumindo que p=1/2. R: 184 Kpc.

Problema!!!

Como podemos explicar que

a RCF seja tão homogênea???

Porém, considere o que acontece ao tomar o limite superior t , mantendo o limite inferior como t. Isso corresponde à seguinte pergunta: qual a distância máxima de um objeto em relação a nós tal que, se emitirmos um sinal de luz num instante t, esse raio de luz ainda será capaz de chegar até o objeto? Se essa distância máxima não for infinita, existe um novo tipo de horizonte, dado por:

tt

tdttatd p

t

p

He 11

0

'')()(

• Considere agora o fator de escala:

1,)(0

0

p

t

tata

pa

t

Novamente, aparece o instante inicial t=0. Porém, agora

t p

t

tdttatd

0 0

'')()(

é uma distância arbitrariamente grande quando tomamos o limite inferior t 0 e portanto não existe horizonte de partículas se p>1 .

O horizonte dHe(t) é um horizonte futuro. Ele indica que se um raio de luz for emitido num instante t, desde uma distância maior que dHe(t) , esse sinal nunca nos atingirá (em r=0). Ou seja, dHe é um horizonte de eventos.

• O significado físico do horizonte de eventos é claro: ele separa regiões que perderam o contato causal umas das outras.

• Note que, ao contrário do que ocorre com buracos negros, o horizonte de eventos cosmológico não tem uma localização num certo local geométrico bem definido, independente do observador. Ele funciona como um arco-íris: sempre a uma certa distância do observador

v = c

v = c

v = c

v = c

Cosmologia de modelos Friedmann-Robertson-Walker: Matéria e geometria• Até agora só estudamos as propriedades cinemáticas de

objetos inerciais no espaço-tempo FRW. Agora vamos estudar de que modo esses espaços-tempo surgem como consequência das equações de Einstein.

Substituindo a métrica de FRW (expressa em coordenadas cartesianas t,x,y,z) nas expressões para o tensor de Einstein, temos o resultado de que apenas as componentes diagonais do tensor não se anulam:

22

22

22

22

23000

02300

00230

0003

a

KHH

a

KHH

a

KHH

a

KH

Gab

)(000

0)(00

00)(0

000)(

tp

tp

tp

t

Tab

Note que isotropia e homogeneidade são manifestos tanto em Gab quanto em Tab. Em ambos os casos:

• os tensores são funções apenas do tempo (homogeneidade);

• as componentes espaciais (x,y,z) dos tensores são idênticas (sem direções preferidas).

pressão

densidadede energia

• No lado direito das equações de Einstein temos o tensor de energia e momento, contendo a informação sobre o conteúdo de matéria no universo. Num universo homogêneo e isotrópico, ele é dado em geral por:

abbaab puupT )(

onde u é a 4-velocidade própria do fluido: ua = (-1,0,0,0) . Portanto, temos:

• As equações de Einstein, Gab = 8pG Tab , portanto se reduzem a apenas duas equações diferenciais acopladas, as chamadas Equações de Friedmann:

pa

KHH

a

KH

G823

G83

22

22

Note que apenas a segunda equação de Friedmann é de segunda ordem no fator de escala (isto é, contém uma segunda derivada de a) e portanto determina a dinâmica dos modelos FRW. A primeira equação, por ser de primeira ordem, expressa apenas um vínculo, ou seja, uma condição que deve ser obedecida pela solução explícita de a(t) (essa equação também é conhecida como vínculo da energia). Mesmo assim, muitas vezes conseguimos obter a solução cosmologicamente interessante para a(t) apenas inspecionando a primeira equação.

2.6 cosmologia frw: matéria e geometria


• O tensor de energia e momento da matéria obedece a uma lei de conservação, aTa

b=0 , que nesse caso se resume à equação da continuidade:

dVpdE

dE )( Vd dVdV 0)(

dVpdV 0)(1

pdt

dV

Vdt

d

03 p)H(ρρ

)(3 taV

• Em geral, temos várias formas de matéria coexistindo e gravitando juntas. Na ausência de criação de um tipo de matéria às custas de outro tipo, cada forma de matéria obedece separadamente a uma equação de continuidade:

0(3 )pρHρ XXX

Se wX constante, podemos integrar a equação da continuidade diretamente:

0

4

3)w1(3

00

a

a

a

a

ar

m

X

X

• Diferentes formas de matéria têm diferentes relações entre a densidade de energia e pressão. É útil definir um parâmetro chamado equação de estado:

x

xx

pw

As formas mais simples de matéria no universo têm uma equação de estado constante. São elas:

• poeira (ou matéria fria, ou somente matéria) wm=0

• radiação (ou matéria ultra-relativística) wr=1/3

• energia de vácuo (ou constante cosmológica) wL=-1


wL = -1

1+z = a0/a

radiação matéria:

z~104

hoje

• Sabendo que hoje em dia a radiação responde

por aproximadamente 2,5 x 10-6 da densidade

de energia total, podemos reconstruir a história

cósmica:

As Maravilhas

do Cosmos e sua Estrutura

O Universo e suas partes

Perspectivas• A descrição do Universo através da

matemática foi a grande alavanca de desenvolvimento

• A Mecânica Quântica nos dá uma visão de mundo completamente nova. A Eletrodinâmica Quântica é uma teoria experimentalmente perfeita, com previsões já testadas e corretas em uma parte em dez bilhões.

• Sabemos a história do Universo desde milhonésimos de segundos depois da Grande Explosão (Big Bang) e temos uma boa idéia dele até 10-43 segundos depois da Grande Explosão.

Perspectivas• Como juntar as duas grandes teorias do

século XX , a Mecânica Quântica e a Relatividade Geral?

• Há outros Universos?• Vivemos em uma pequena parte de um

Multiverso?• Qual o papel da Mecânica Quântica na

observação cosmológica?• ………

teoria da gravitação elcio abdalla. aristóteles aristóteles era um grande filósofo lógica...

Documents