Kuswanto-2011

PeluangPeluang

PeluangPeluang atau probabilitas merupakan atau probabilitas merupakan ukuran ketidakpastian dari suatu kejadianukuran ketidakpastian dari suatu kejadian. .

Segala sesuatu yang ada di dunia ini Segala sesuatu yang ada di dunia ini mengandung ketidakpastian, seperti mengandung ketidakpastian, seperti cuaca, hasil panen, keadaan ekonomi, cuaca, hasil panen, keadaan ekonomi, harga pupuk, nilai tukar rupiah, dsb. harga pupuk, nilai tukar rupiah, dsb.

Yang pasti hanyalah ketidakpastian itu Yang pasti hanyalah ketidakpastian itu sendiri. sendiri.

Ruang contohRuang contoh

Ruang contohRuang contoh adalah semua adalah semua kemungkinan hasil suatu percobaan.kemungkinan hasil suatu percobaan.

Beberapa percobaan suatu fenomena, Beberapa percobaan suatu fenomena, akan menyusun variasi dalam hasil atau akan menyusun variasi dalam hasil atau outcomenya.outcomenya.

Setiap kemungkinan hasil dari suatu ruang Setiap kemungkinan hasil dari suatu ruang contoh disebut unsur, anggota ruang contoh disebut unsur, anggota ruang contoh atau titik contoh. contoh atau titik contoh.

KejadianKejadian

KejadianKejadian (event) adalah sebaran (event) adalah sebaran himpunan bagian dari ruang contoh.himpunan bagian dari ruang contoh.

Kejadian sederhana, bila dapat dinyatakan Kejadian sederhana, bila dapat dinyatakan sebagai sebuah himpunan yang terdiri dari sebagai sebuah himpunan yang terdiri dari satu titik contoh, sedang kejadian satu titik contoh, sedang kejadian majemuk merupakan gabungan beberapa majemuk merupakan gabungan beberapa kejadian sederhana.kejadian sederhana.

Contoh kejadianContoh kejadian

peristiwa bertemunya kita dengan seorang peristiwa bertemunya kita dengan seorang petani di desa Jatirejopetani di desa Jatirejo

makin tinggi frekuensi, makin besar makin tinggi frekuensi, makin besar peluang untuk bertemu dengan satu orang peluang untuk bertemu dengan satu orang dari kelas itudari kelas itu

Hubungan antara kejadian dan ruang Hubungan antara kejadian dan ruang contohnya dapat digambarkan dengan contohnya dapat digambarkan dengan Diagram Venn.Diagram Venn.

Diagram Venn : kejadian dan ruang contohDiagram Venn : kejadian dan ruang contoh

B

C

A

S

Operasi HimpunanOperasi Himpunan

Gabungan (Union)Gabungan (Union)AUB = { x I x anggota A atau x angota B}AUB = { x I x anggota A atau x angota B}

Irisan (intersepsi)Irisan (intersepsi)A∩B = { x I x Є A dan x Є BA∩B = { x I x Є A dan x Є B

KomplemenKomplemenAACC = { x I x bukan anggota A} = { x I x bukan anggota A}

D

Operasi himpunanOperasi himpunan

B CAS S

A

AUB A∩B

AC

Mencacah titik contohMencacah titik contoh

Ruang contoh berisi titik-titik contoh. Ruang contoh berisi titik-titik contoh. Kita akan dapat memecahkan masalah peluang Kita akan dapat memecahkan masalah peluang dengan mencacah banyaknya titik dalam ruang dengan mencacah banyaknya titik dalam ruang contoh tanpa mendaftar dulu unsur-unsurnya. contoh tanpa mendaftar dulu unsur-unsurnya. Seringkali kita mempunyai ruang contoh yang Seringkali kita mempunyai ruang contoh yang mengandung sebagai unsurnya, semua mengandung sebagai unsurnya, semua kemungkinan susunan kelompok benda. kemungkinan susunan kelompok benda. Atau mungkin kita bertanya berapa banyak Atau mungkin kita bertanya berapa banyak urutan yang mungkin, bila kita mengambil 2 urutan yang mungkin, bila kita mengambil 2 kupon lotre dari 20 kupon. kupon lotre dari 20 kupon. Suatu susunan yang dibentuk oleh keseluruhan Suatu susunan yang dibentuk oleh keseluruhan atau sebagian dari sekumpulan benda disebutatau sebagian dari sekumpulan benda disebut permutasi.permutasi.

Permutasi Permutasi

Banyaknya permutasi n benda adalah n! (n Banyaknya permutasi n benda adalah n! (n faktorial)faktorial) Contoh : huruf a, b, c mempunyai (3) (2) (1) = 6 Contoh : huruf a, b, c mempunyai (3) (2) (1) = 6

permutasi permutasi Huruf a, b, c, d mempunyai 4! = 4.3.2.1 = 24Huruf a, b, c, d mempunyai 4! = 4.3.2.1 = 24

Banyaknya permutasi akibat pengambilan r Banyaknya permutasi akibat pengambilan r benda dari n benda berbeda adalahbenda dari n benda berbeda adalah n!n!

nPr = --------------nPr = -------------- (n - r)!(n - r)!

Contoh permutasiContoh permutasi

Berapa banyak cara sebuah regu basket Berapa banyak cara sebuah regu basket dapat menjadwal 3 pertandingan dengan 3 dapat menjadwal 3 pertandingan dengan 3 regu lain, bila semuanya bersedia pada 5 regu lain, bila semuanya bersedia pada 5 kemungkinan tanggal berbeda. kemungkinan tanggal berbeda. – Jawab : 5P3 = 5!/2! = 5.4.3 = 60Jawab : 5P3 = 5!/2! = 5.4.3 = 60

Banyaknya permutasi n benda yang Banyaknya permutasi n benda yang berbeda yang disusun dalam suatu berbeda yang disusun dalam suatu lingkaran adalah (n - 1)!lingkaran adalah (n - 1)!

Kombinasi Kombinasi Dalam banyak masalah kita ingin mengetahui Dalam banyak masalah kita ingin mengetahui

banyaknya cara mengambil banyaknya cara mengambil r benda dari nr benda dari n benda benda tanpa memperhatikan urutannya.tanpa memperhatikan urutannya.

Pengambilan demikian disebut Pengambilan demikian disebut kombinasikombinasi. . Kombinasi membuat sekatan dengan 2 sel. Kombinasi membuat sekatan dengan 2 sel.

Satu sel berisi r benda yang dipilih dan sel Satu sel berisi r benda yang dipilih dan sel yang lain berisi n - r benda yang tidak terpilih.yang lain berisi n - r benda yang tidak terpilih.

Banyaknya kombinasi r benda dari n benda Banyaknya kombinasi r benda dari n benda yang berbeda, adalahyang berbeda, adalah n!n! C(n r) = ---------------C(n r) = --------------- r! (n - r)!r! (n - r)!

Peluang Suatu KejadianPeluang Suatu Kejadian

Peluang suatu kejadian diperoleh Peluang suatu kejadian diperoleh dari frekuensi tiap kelas dibagi dari frekuensi tiap kelas dibagi dengan total frekuensi.dengan total frekuensi.

Peluang merupakan ukuran besarnya Peluang merupakan ukuran besarnya kemungkinan terjadinya suatu kemungkinan terjadinya suatu kejadian dan karenanya juga disebut kejadian dan karenanya juga disebut frekuensi nisbi (relatif)frekuensi nisbi (relatif) ingat ingat distribusi frekuensidistribusi frekuensi

Contoh peluangContoh peluang

Misal : n buah benda dapat diambil Misal : n buah benda dapat diambil dengan peluang yang sama besar dan a dengan peluang yang sama besar dan a buah benda dapat menimbulkan kejadian buah benda dapat menimbulkan kejadian A, maka peluang terjadinya A.A, maka peluang terjadinya A.

–P(A) = a/nP(A) = a/n

– yaitu banyaknya benda yang yaitu banyaknya benda yang menimbulkan kejadian A dibagi menimbulkan kejadian A dibagi banyaknya semua benda yang mungkin banyaknya semua benda yang mungkin terambilterambil

Contoh peluang

Dalam satu kantong terdapat 2 kelereng hitam (H), 3 kelereng putih (P) dan 5 kelereng merah (M). A adalah kejadian terambil kelereng, H/P/M. Peluang terambil kelereng hitam : P(H) = 2/10 Peluang terambil kelereng putih : P(P) = 3/10 Peluang terambil kelereng merah : P(M) = 5/10

Rumus-rumus PeluangRumus-rumus Peluang

Peluang (A atau B) = P(AUB) = P(A) + Peluang (A atau B) = P(AUB) = P(A) + P(B), A dan B saling asingP(B), A dan B saling asing

P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B), A dan B P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B), A dan B tidak saling asingtidak saling asing

Contoh P(A) = 1/3, P(B) = ½ A∩B = { }Contoh P(A) = 1/3, P(B) = ½ A∩B = { } hitunglah berapa P(B∩Ahitunglah berapa P(B∩ACC)??)??– Karena B∩AKarena B∩ACC= B, maka P(B∩A= B, maka P(B∩ACC) = P(B) = ½) = P(B) = ½

Peluang BersyaratPeluang Bersyarat

Peluang bersyarat terjadi karena adanya Peluang bersyarat terjadi karena adanya informasi tambahaninformasi tambahan. . Sebagai contoh, kita melihat peluang Sebagai contoh, kita melihat peluang seorang mahasiswa mendapat nilai A seorang mahasiswa mendapat nilai A dalam ujian statistika. dalam ujian statistika. Bila diketahui bahwa seseorang yang kita Bila diketahui bahwa seseorang yang kita lihat adalah laki-laki, mungkin peluang lihat adalah laki-laki, mungkin peluang untuk mendapat nilai tersebut bisa untuk mendapat nilai tersebut bisa bertambah atau berkurangbertambah atau berkurang..

Rumus peluang bersyaratRumus peluang bersyarat

Umumnya : P(B/A) Umumnya : P(B/A) ≠≠ P(B) dan P(A/B) P(B) dan P(A/B) ≠≠ P(A) P(A)Dalam hal P(B/A) = P(B) dan P(A/B) = P(A), Dalam hal P(B/A) = P(B) dan P(A/B) = P(A), maka A dan B disebut independen (saling maka A dan B disebut independen (saling bebas)bebas)Dua kejadian A dan B disebut independen, bilaDua kejadian A dan B disebut independen, bila– P(A/B) = P(A) atauP(A/B) = P(A) atau– P(B/A) = P(B) atauP(B/A) = P(B) atau– P(A∩B) = P(A) . P(B)P(A∩B) = P(A) . P(B)

Jadi : P(A∩B) = P(A) . P(B) Jadi : P(A∩B) = P(A) . P(B) independen independen P(A∩B) = P(A) . P(A/B) P(A∩B) = P(A) . P(A/B) dependen dependen

Latihan dan diskusiLatihan dan diskusi

1. Match the proposed probability of A with the correct 1. Match the proposed probability of A with the correct verbal description (the latter may usedmore than once)verbal description (the latter may usedmore than once)

No Probability Verbal description

1 0 1. Very like happen

2 -0,3 ii. As much chance of occurring as not

3 0,9 iii. May occur but by no means certain

4 0,5 iv. An incorrect assignment

5 10.0 v. Very little chance of happening

6 0,05 vi. No chance of happening

7 0,3

2. Probabaility and odds. The probability of an event is 2. Probabaility and odds. The probability of an event is oftenexpressed in term of odds. Specifially, when we say that oftenexpressed in term of odds. Specifially, when we say that the odds are the odds are kk to to ww that an event will occur, we mean that that an event will occur, we mean that probabilityof the event is probabilityof the event is k/(k+w).k/(k+w). For instance, “the odds are For instance, “the odds are 4 to 1 that candidate purple corn will win” mean that 4 to 1 that candidate purple corn will win” mean that P(purple P(purple corn win) = 4/5 = 0,8corn win) = 4/5 = 0,8. Express the following statement in term . Express the following statement in term of probability :of probability :– The odds are 2 to 1 that there will be fair weather tomorrowThe odds are 2 to 1 that there will be fair weather tomorrow

– The odds are 5 to 2 that the city council will delay the funding of new The odds are 5 to 2 that the city council will delay the funding of new sports arenasports arena

3. Berapa banyak permutasi yang berbeda yang dapat disusun 3. Berapa banyak permutasi yang berbeda yang dapat disusun dari huruf-huruf dalam kata cantik? handsome? Berapa dari huruf-huruf dalam kata cantik? handsome? Berapa banyak di antara permutasi itu yang dimulai dengan huruf banyak di antara permutasi itu yang dimulai dengan huruf "n"?"n"?

4. 4. Berapa banyak susunan yang dapat dibuat bila 5 pohon yang berbeda Berapa banyak susunan yang dapat dibuat bila 5 pohon yang berbeda ditanam membentuk melingkar?ditanam membentuk melingkar?

5. Berapa banyak cara menanam 3 pohon mangga, 4 jambu dan 2 nangka 5. Berapa banyak cara menanam 3 pohon mangga, 4 jambu dan 2 nangka sepanjang batas kebun apabila kita tidak membedakan antara sepanjang batas kebun apabila kita tidak membedakan antara tanaman-tanaman yang sejenis.tanaman-tanaman yang sejenis.

6. Dari 4 apel manalagi, 5 rome beauty, dan 6 anna, berapa banyak 6. Dari 4 apel manalagi, 5 rome beauty, dan 6 anna, berapa banyak kemungkinan terambil masing-masing jenis apel?kemungkinan terambil masing-masing jenis apel?

7. Suppose the sample space of an experiment has 6 flower colour 7. Suppose the sample space of an experiment has 6 flower colour outcomes. Two events are given as A = {k1,k5,k6} and B = {k2, k4, k5}.outcomes. Two events are given as A = {k1,k5,k6} and B = {k2, k4, k5}.– Draw a Venn Diagram and exhibit the events A and BDraw a Venn Diagram and exhibit the events A and B– Determine the compositions of the following events : ADetermine the compositions of the following events : Acc, AB, AUB, AB, AB, AUB, ABcc and A and AccBB