TEMEL TANECKLER DERS NOTLARI PROF. DR. GEDZ AKDENZ BLM II II.6HADRONLAR VE ZELLKLER Kuvvetli etkileimleri hadronlar yapar. Hadronlar; 1)Baryonlar (yarm spinli; Bose-Einstein istatistiine uyarlar.) 2)Mezonlar (tam spinli; Fermi-Dirac istatistiine uyarlar.) imdi baz mezonlarn ve baryonlarn zelliklerini tablolar halinde gzden geirelim. MESONLAR:3 I S(strange quark)Quark yaps (Pion)+ , ,0-1,0,+10 2, ,d d u uu d d u (Mon) 00 62 s s d d u u + (Kaon)+K K ,0-1/2,+1/21s u s d ,0, K K -1/2,+1/2 -1d s u s ,Btn mesonlarn spini 0 dr. (S=0) BARYONLAR3 I S(strange quark)Quark yaps P,n -1/20uud, udd + , ,0-1,0,+1-1uud, udd 0-1uud, udd 0, -1/2,1/2-2uud, udd + + + , , ,0-3/2,-1/2,1/2,3/20 sss + * 0 * *, , -1,0,1-1 sss 0 * *, -1/2,1/2-2 sss 0-3 sss G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notlar, Blm II.61.sayfa BLM II II.7ETKLEME RNEKLER Bureaksiyonlarincelerkenveetkilemetiplerinibelirlerkentakipedileceksrayle olmaldr.nceykkorunumuna,Baryonsaysnakorunumuna,acaiplikkorunumunave sonra L L Le , ,lepton korunumuna baklr. Bunlarn yansra reaksiyonun gereklemesi iin reaksiyonda momentum-enerji korunumunun olmas unutulmamaldr. rnekler gemeden nce korunan birimleri etkilemelere gre gzden geirelim. Korunan BirimKuvvetli EtkilemeEMTZayf Etkileme Elektrik yk (Q)E EE Baryon Says (B)E EE Acayiplik Says (S) E EH zospin ( 3 I ) E HH Hyperyk (Y=S+B) E EH EnerjiMomentum Korunumu E EE Asal mom. RNEK-1. 0 0 + reaksiyonunu Standart model erevesinde inceleyiniz. Yk korunumu (Q): 0 0 + 0 (B)aryon: 1 1 + 0 ( 3 I )zospin : 0 0 + 0 (S)trangeness: -1 -1 + 0Y : 0 0 + 0 Olduundan bu reaksiyonkuvetli etkilemedir. Not:Sadece3 I korunmazsa,elektromanyetik(EM)etkileimdir.YkveBaryonsays mutlakakorunacak(girenquarkkadarkanquarkvar).YaniQveBsaysmutlaka korunacak.Sadece ikisi yannda,3 I , S ve Y korunmuyorsa zayf etkilemedir. G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notlar, Blm II.71.sayfa RNEK-2. + n reaksiyonunu Standart model erevesinde inceleyiniz. Q: -1 0+(-1) B:1 1+0 3 I : -1 -1/2 1Korunmuyor. S: -1 0 + 0Korunmuyor. Zayf etkileme. RNEK-3. e e + reaksiyonunu Standart model erevesinde inceleyiniz. Q:-1 -1+0 e L : 01 1 L :10 + 0Korunmuyor. Bylebirreaksiyonhibirzamangzlenmez.Monntrinosunabalbirparackdaha olmal ki reaksiyon gereklesin. RNEK-4. 0 + +preaksiyonunu Standart model erevesinde inceleyiniz. Q : 11 + 0 B : 11 + 0 3 I:1/2 1/2 + 0 S :0 0 + 0 Kuvetli etkilemedir. RNEK-5. ++ + e n p e reaksiyonunu Standart model erevesinde inceleyiniz. Q: 0 +10 + 1 B: 0 +11 + 0 3 I : 0 + -1/2 + 0S: 0 +0 0 + 0 e L :-1 + 0 0 1 lepton ( e )olduu iin baryonu 0.3 Ikorunmad iin EM etkilemedir. G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notlar, Blm II.72.sayfa RNEK-6. 0 + +e p ereaksiyonunu Standart model erevesinde inceleyiniz. Q: -1 + 1 0 + 0 B:0 +10 + 0 Byle bir reaksiyon olmaz. RNEK-7. 0 0 + + + + ++ +K n p p reaksiyonunu Standart model erevesinde inceleyiniz. Q: 1+1 1 + 0 + 0 + 1 + 0 B: 1+1 1 + 1 + 0 + 0 + 0 3 I : +1/2 1 - 1/2 - 1/2 + 1 + 0 S:0+0-1 + 0 + 1 + 0 + 0

Kuvvetli etkileme. RNEK-8. + preaksiyonunu Standart Model erevesinde inceleyiniz. Q: 0 +1 1 B: 1 1 + 0 3 I : 0 - 1 S: -1 0 + 0 Zayf etkileme. RNEK-9. + +e preaksiyonunu Standart Model erevesinde inceleyiniz. Q:11 + 0 B:10 + 0 Etkileme grlmez. G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notlar, Blm II.73.sayfa 2 2 2222222022) , , , (11c m PcEP PP P PcEPcvmcmc Emc Pcvv mv m Pz y x rrrSORU-1:Durgun haldeki bir pionun monabozunmas srasnda ortaya kan monun hzn hesap ediniz. + + + + eklinde bozunur

BozunmadannceBozunmadan sonra

+ P PP P Pr rr r r+ (Durgun pion iin 0 P ) Soruyu zmeden nce drtl vektr tanmn ksaca hatrlayalm. Enerji-MomentumDrtl Vektr G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notlar, Blm II.74.sayfa iiP P P P P P 00 ( )( )( ) P E PP E PE P, :, :0 , :

4 2 2 2 2 2c m c P E P P P P + P P P P PP P P22 2 2 + E m c m c mcEcEc m c mP P c m c m2222 2 2 24 2 4 24242 +

,_

+ +durgun pion iin0 Pve dolaysyla 4 2 2c m E G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notlar, Blm II.75.sayfa P P c m c mP P c m c m c m2 024 2 4 24 2 4 2 4 2 + + 22 22cmm mE +

Benzer ekilde; ( )22 22 2 2 24 2 4 2 4 2222cmm mEE m c m c mP P c m c m c mP P P +

{ } P P P P Pr r r r r +

Enerjisi ve momentumunu bildiimiz monun hzn hesap edebiliriz. v m Pmc Err2 2mcv mEPrr 2cEPvrr bantsndan cm mm mv2 22 2 +r c v 271 . 0 bulunur. G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notlar, Blm II.76.sayfa cmm mPcEPc P c P E 22 2 r r SORU 2:Duran bir protona bir proton arparaken az bir tane proton yaratmak iin gerekli olan eik enerjisi nedir? p p p p p p + + + + (baryon says korunmal) pp

arpmadan ncearpmadan sonra Labaratuvar sisteminde paracklar durgun halde bulunmadndan bu sistemdealmakelverili deildir.Bunun yerine momentum merkezi (CM) sisteminde almak uygundur.Oluan drt paracn hepsi sistemde hareketsiz kalmal.nk toplammomentum bu sistemde (CM) sfr.

nceSonra G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notlar, Blm II.77.sayfa Lab.sisteminde toplam enerji-momentum drtl vektr korunumlu olduundan arpma ncesi ya da sonras deeri almam bir deiiklie yol amaz.arpma ncesi iin toplam drtl vektrn deeri;

[ ] 0 , 0 , ,2Pcmc EP topr+ Buradaki E ve P protonun enerjisi ve momentumu,m ise protonun ktlesidir.imdi CM sisteminde drtl vektr arpma sonras iin yazalm. ) 0 , 0 , 0 , 4 ('c m Pptop c m E E E EP P P Pp406 5 4 36 5 4 3+++ + + + ' P P top fakat top top toptopP P P P'' (Drtl vektrn karesi her referans sisteminde invaryant) ( )24 2 22 4 2 2 2 22 2 2) 4 (cc m EP c m c P Emc p mccE +denklemde yerine yazarsak

G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notlar, Blm II.78.sayfa 22 2 2 2222 222716 2mc Ec m c mcEEm c mcE + + +SORU-3:zde m ktleli ve T kinetik enerjili iki paracn kafa kafaya arptn dnelim. Paracklarn greli kinetik enerjisine olur? (Kafa kafaya arpma)(Sabit hedefli) Yine benzer olaraktoplam drtl vektr CM sisteminde ve lab. sisteminde yazalm. ( )( )'2 ',0 ,2'Pcmc EPcEPtoptop+

( ) ( )4 2 2 2224 2 2 22 2 22'2222'2222222244,' 22c m mc mc T mc Tc m mc E Ep c m m EcEcEP mccEcEpcmc EcE+ + ++ + +

,_

+

,_

+

,_

(2mc T E + ve2 'mc T E + ) G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notlar, Blm II.79.sayfa ( ) ( )2 2 top topP P

,_

+ + ++ + + +22 22 2 24 2 4 2 2 4 2 2 221 44 24 22 4 22mcTT TmcTmc TTmc T Tmc Tc m c m mc T c m Tmc T SORU-4:v hzyla hareket eden bir pion bir tane mon ve mon ntrinosuna bozunmaktadr. Eer ntrino pionun hareket ynne gre 90 ayla hareket ediyorsa monun hareket asn bulunuz.(Soru c=1 kabul edilerek zlmtr.) +

v

P P PP P PP P P + P P m mP P m m mP P P222 22 2 2 + G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notlar, Blm II.710.sayfa ) . ( 222 22 2 P P E E m mP P m m ( ) 0 90 cos . P P P Pr r

v mm mv mm mPPm mP Em mP E m mP E P EPPP PP PekildenE E m m22 2 22 22 22 22 22 22 22) 1 )( (2tan2tan2tantan 2tantansincos;2 rr rr r

(cv ) G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notlar, Blm II.711.sayfa II.8PROBLEMLER 1- a ) Aadaki tepkilemelerin gerekleip gereklemediine baknz ve eer gerekleiyorsa hangi tip etkileme olduunu belirleyiniz. p +p 0 +0- e- + + -+ p - + + b) Aadaki etkilemelerin gereklemesi halinde X ne olmaldr ? Etkileme trlerini syleyiniz. p + p + +K0 ++ +0 + X - - +X K + ++ X + e- +

c ) Aadaki etkilemelerin quark yapsna gre ekillerini iziniz - (sss) 0 ( sud ) + K ( us ) + e+ + + e 2-a) Aadaki etkilemelerin quark yapsna gre ekillerini iziniz. 0 ( usd ) p( uud ) + - (ud) + e- + e- +

b ) Aadaki tepkilemelerin gerekleip gereklemediine baknz ve eer gerekleiyorsahangi tip etkileme olduunu belirleyiniz. p +p 0 +0

+ e+ + + -+ p - + + 3-Aadaki tepkilemelerin gerekleip gereklemediine baknz ve eer gerekleiyorsa hangi tip etkileme olduunu belirleyiniz. p + p p + n + +

- 0 + e- + K -+ p K0 +n 4-a) Aadaki tepkilemelerin gerekleip gereklemediine baknz ve eer gerekleiyorsa hangi tip etkileme olduunu belirleyiniz. - 0 + e- + e- + p e- + 0 + K+ -+ p - + + b) Aadaki etkilemelerin gereklemesi halinde X ne olmaldr ? Etkileme trlerini syleyiniz. K+ + + X + e+ + K- + p X + 0K

0 + + X G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notlar, Blm II.81.sayfa BLM IV

IV.2LE GRUBU VE LE CEBR UYGULAMALARI Bu ksmda baz Lie Dnm Gruburnekleri ele alacaz ve bulunan jenaratrlerin oluturduklar Lie cebrini gzden geireceiz. RNEK-1. 1- boyutlu, ve 2-parametreli Lie dnm gurubuna rnek olarak,

2 1' + x xkoordinat dnmn alabiliriz. Bu birfiziksel dnm olup, burada;) (2telemeyi, ) (1 boyca deiimi ifade eden bamsz parametrelerdir. Bir nceki ksmda tanmladmz Lie grubunun etkisiz eleman bu rnekte( ) ( ) x g x g , x x2; 0 , 1 ; , 0 11 + dr.Etkisizeleman civarndaki sonsuz kk dnmyaplarak, dxsonsuz kk deiimi 2 1 2 10 ) 1 ( d x d x d d x d dx x + + + + + olarak bulunur. Bu uzayda mevcut bir F=F(x) fiziksel bykluzaydaki bu srekli teleme ve boyca deimeden , parametrelerdeki sonsuz kk deiimlere bal olarak ( )dxFd x d dxxFdF+ 2 1 ekline deiir. Burada lineer bamsz deiimler olan 1 dkatsays 1.jeneratr (telemeye karlk gelen dnm operatrn), 2 dkatsays 2.jeneratr (boyca deiime karlk gelen dnm operatrn)verir. Yani; Bu Lie grubu dnm iin jenaratrler aadaki ekildedir. xX xx X2 21 1 Bulunan bu jenaratrlerin komtasyon ilikisi ise bu operatrleri bize bir LIE cebri oluturup oluturmad hakknda bilgi verir. Bu bilgi bu uzayda bu dnmlerle oluan invaryansln yannda fiziksel olarak kapall ifade eder ki; bu ilemler altnda fiziksel modelleme yapmamz olanakl klar imdi bu komtasyon ilikisini inceliyerim. Kapallk zellii bir nceki ksmda grdmz G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notlar,Blm IV.2 1. sayfa [ ][ ][ ][ ] [ ] 1 , 0 , ,1 , 0,,idi. eklinde ,212 211 12 1 2 2 1122 121 2 122 1 121 12 2 2 122222 1+ +

,_

,_

C C X C X X X XC C X C X C X C XxX XxAxAxxAxAx AxxxAx xx A X XX C X Xk kk kk ijk j i Bylece telemeye tekabl eden operatr ile (momentum operatr) ve boyca deiime tekabl eden operatr arasnda Lie cebri yaplamasn bulmu oluruz. RNEK-2.2-boyutta, 2-parametreli dnm gurubuna rnek olarak iki boyutta boyca byme alabiliriz. Byle bir dnmn koordinat dnmleri 2 2 21 1 1''x a xx a x

eklindedir. Bu dnmn etkisiz eleman 2 21 111x xx x( ) ( )2 1 2 1 2 1, ; 1 , 1 , ; , x x g x x a a g olup, sonsuz kk dnm. ( )( )2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 111x da dx x da dx xx da dx x da dx x + + + + eklindedir. Bu dnm iin Jenaratrleri daha nceki ksmda verdiimiz kapal formu kullanarak bulalm. 1,2 2 , 1 ,1,......, ,......., 1 ,211 i da u dxparametre r boyut n i da u dxi iri i olduundan bu rnekte, 2 22 1 21 1 22 12 1 11 1 1da u da u da u dxda u da u da u dx+ + 2 22 21 12 1 11, 0 , 0 , x u u u x u olarak bulunur. Buradan jenaratrler G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notlar,Blm IV.2 2. sayfa +

,_

+

,_

,_

21 222112 2 221 221111 1 11i iii iini iixuxuxu Xxuxuxu Xxu X

olmak zere22 211 1 xx Xxx X

bulunurlar. imdi bu jenaratrlerin komtasyon ilikisine bakp bir Lie cebri oluturup oluturmadklarn grelim ve eer bir Lie cebri oluturuyorlar ise yap sabitlerini hesaplyalm. Aadaki hesaplar yaptmzda [ ][ ]0 0,0 ,212 211 112 111 122 121 2 122 1 12112 2 12 121 22 122 111222211 2 1 +

,_

,_

C C C C C C X C X CX C X Xx xAx xx xAx xxAxxxxAxxx A X Xk k rnekte verilen dnmn bir Lie cebri oluturduunu grm oluyoruz ve yap sabitlerini hesaplam oluyoruz. RNEK-3.

( )( )2121 111x a xx a x+ + Dnm grubunun jenaratrn bulunuz. Bu dnm grubunun tek bir jenaratr vardr. Bu jenaratr ( ) iin). a ( a a 1 1 11< +

Snrlamas altnda G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notlar,Blm IV.2 3. sayfa ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2 212 2 2121 1 1 1 1 1 11 1 0 11 0 1dax dx x da x da dx x x xdax dx x da dx x x x + + + + + + olup ( ) ( ) ( )22112211 22112 1,xxxx XxFdaxxFdax dxxFdxxFdF x x F + eklinde bulunur. RNEK-4. '++ ++211 2'22 2 11'11111xCosx itg xx itg xCosx

zm: ( )( )( )( )( )) ( ) () , () 1 (11) 1 (111 ) (11001 , 190090 1190 110090 110 021112 1 1 222 2 1 112 12 1 1 2 2 2 2 1 1 12 1 1 2 211 2 2 22 2 1 1 2 2 111 11211222 2211111 12 1 22 1 12 211x d x idxFx id dxFdFx x F Fx d x id dx, x id x d dxx d x id xdx id dx xx id x d x id xddx xd d - 1d - 11 xSindxd Cosd Sini dx xCosd d Sind d xd Cosd Sini xd Cosdx xxCosx itg xx itg xCosxitgCos1 11 + + ++ + + + + ++ + + ++ +++ + = = t + dt = t + xdk => dt = xdk x + dx =tdk + x => dx = tdk bulunur.dF=dt(F/t)+dx(F/x)ifadesindebulduumuzdtvedxifadeleriniyerine yazalm. dF = dk[x(/t) +t (/x)] elde edilir. yleyse jeneratrmzJ = x(/t) + t (/x) olarak bulunur. Bujeneratruzay-zamanabalolanbyklkte,uzaydeiimleriilezaman deiimlerinin birbirinden bamsz olmadn gsterir.

G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notlar, Blm IV.210.sayfa 11 11 0 dk dk 0 1dk dk 1 t+ dt x + dx t x t+ dt x + dx 1dk dk 1 t x t+ dt x + dx t+ xdktdk+ x IV.2.1PROBLEMLER 1-x ' = e -a x+ (1 + b)koordinat dnmnn oluturduu Lie Grubunun trev operatrlerini ( J1, J2 jenaratrlerini ) bulunuz. BuradaJ1 ,a sabitine ait jeneratrve J2 , b sabitine ait jeneratrlerdir. a) [x J1 , J2 2 ] komtatr ifadesini hesaplaynz.b) =

,_

01e3 ix +

,_

10e - 3ix, =

,_

0 11 0 Pauli spin matrisi veA = J1olmak zere A operatrnn < >beklenen deerini hesaplaynz 2-x ' = (Sina) x+ bkoordinat dnmnn oluturduu Lie Grubunun trev operatrlerini y ' = (Sina) y +b ( J1,a sabitine ait jeneratrve J2 b sabitine ait jeneratr) olmak zere bulunuz .J12 , J22ve[ J1 2 + J22, J2 ] komtatr ifadelerini hesaplaynz. 3-x ' = e - a x +b koordinat dnmnn oluturduu Lie Grubunun trev operatrlerini y ' = e a y +b ( J1, J2 jenaratrlerini ) bulunuz. BuradaJ1 ,a sabitine ait jeneratrveJ2 , sabitine ait jeneratrlerdir. a) J12ve J22 operatrlerinive[J1 2 + J22,J2 ] komtatr ifadesinihesaplaynz 4- x1` = e a x1 + (1-2b) x2 koordinat dnmnn oluturduu Lie grubunun trev operatrlerini(J1, J2 ) x2`= (1-2b) x1 + e a x2 jenaratrlerini ) bulunuz . Burada J1 , a sabitine ait jenaratr ve J2 , b sabitine ait jeneratrlerdir .a) [ J12+ J22 , J2] komtatr ifadesini hesaplaynz.b) e J J2 e J ifadesini hesaplaynz. 5-x ' = a x + (1- b)koordinat dnmnn oluturduu trev operatrlerini ( X1, X2 jenaratrlerini ) bulunuz BuradaX1 ,a sabitine ait jeneratr ve X2 b sabitine ait jeneratrlerdir. a) Yap sabitlerini hesaplaynz. b) [ X12 + X2 2 , X1 ] komtatr ifadesini hesaplaynz. c) 2XeX1 2Xe ifadesini hesaplaynz 6-x ' = ax + bkoordinat dnmnn oluturduu trev operatrlerini ( J1 , J2

jenaratrlerini) bulunuz BuradaJ1 ,a parametresine ait jeneratr ve J2 b parametresine ait jeneratrlerdir.[ x J2 , 2 J1 ] komtatr ifadesini hesaplaynz. 7-x ' = ax + (1- b)koordinat dnmnn oluturduu trev operatrlerini ( J1 , J2

jenaratrlerini) bulunuz BuradaJ1 ,a parametresine ait jeneratr ve J2 b parametresine ait jeneratrlerdir.[ 3 J2 , x J1 ] komtatr ifadesini hesaplaynz. G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notlar,Blm IV.2.11. sayfa 8- x ' = (cosa) x + sinbkoordinat dnmnn oluturduu trev operatrlerini ( J1 , J2

jenaratrlerini) bulunuz BuradaJ1 ,a parametresine ait jeneratr ve J2 b parametresine ait jeneratrlerdir.a )[ J12 + J2 2 , J1 ] komtatr ifadesini hesaplaynz. b) 2JeJ1 2Je ifadesini hesaplaynz 9-x ' = e - a x + (1- b)koordinat dnmnn oluturduu trev operatrlerini ( J1, J2 jenaratrlerini ) bulunuz BuradaJ1 ,a parametresine ait jeneratr ve J2 b parametresineait jeneratrlerdir.a) [ J12 + J2 2 , J1 ] komtatr ifadesini hesaplaynz. b) 2JeJ1 2Je ifadesini hesaplaynz 10- x ' = e - a x + by koordinat dnmnn oluturduu Lie Grubunun trev operatrlerini y ' = e -a y + bx ( X1, X2 jenaratrlerini ) bulunuz. BuradaX1 ,a sabitine ait jeneratr ve X2 b sabitine ait jeneratrlerdir. a) Lie cebiri yap sabitlerini hesaplaynz. b) [ X12 + X2 2 , X1 ] komtatr ifadesini hesaplaynz. c) 1XeX2 1Xe ifadesini hesaplaynz.11- x ' = a x+ (1 - b)ykoordinat dnmnn oluturduu Lie Grubunun trev operatrlerini y ' = a y+(1- b)x ( X1, X2 jenaratrlerini ) bulunuz. BuradaX1 ,a sabitine ait jeneratr ve X2 b sabitine ait jeneratrlerdir. a) Lie cebiri yap sabitlerini hesaplaynz. b) 1XeX2 1Xe ifadesini hesaplaynz. 12- x ' = e -a x+ (1 + b)ykoordinat dnmnn oluturduu Lie Grubunun trev operatrlerini y ' = e -a y+ (1 + b)x( X1, X2 jenaratrlerini ) bulunuz.BuradaX1 ,a sabitine ait jeneratr ve X2 b sabitine ait jeneratrlerdir.[ X12 + X2 2 , X1 ] komtatr ifadesini hesaplaynz. 13-x ' = (Sina) x+ bkoordinat dnmnn oluturduu Lie Grubunun trev operatrlerini y ' = (Sina) y +b ( J1,a sabitine ait jeneratrve J2 b sabitine ait jeneratr) olmak zere bulunuz. J12 ve[ J1 2 , J2 ] komtatr ifadelerini hesaplaynz. 14-x ' = (1-a)x + b koordinat dnmnn oluturduu Lie Grubunun trev operatrlerini ( J1, J2 jenaratrlerini ) bulunuz. BuradaJ1 ,a sabitine ait jeneratrve J2 , b sabitine ait jeneratrlerdir. a) [x2 J1 , J2 ] komtatr ifadesini hesaplaynz.b) =

,_

01Sin2x+

,_

10Cos2x, 3 =

,_

1 00 1 Pauli spin matrisi veA =3J2olmak zere A operatrnn < >beklenen deerinihesaplaynz. G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notlar,Blm IV.2.12. sayfa BLM IV SU(2) VE SU(3) GRUBU JENERATRLERNN MATRS GSTERM a) SU(2) grubu jeneratrlerinin matris gsterimleri. b) SU(3) grubu jeneratrlerinin matris gsterimleri. a)SU(2)grubujeneratrleri2x2boyutlumatrislerdir.Unitermatristirvedeterminant bire eittir. SU(2) grubu jeneratrlerini ile gsterelim. SU(2) grubu3 1 2 12 2 njeneratre sahiptir, yani3 , 2 , 1 olmaktadr. F) operatrleri SU(2) grubu jeneratrleri olsun. F)2 ile verilir. Ortagonallk koulundan ij j iq q olmaktadr. +T) ykseltme T) alaltma operatrleri olmak zere, ( ) + + T T T F) ) ) )211 1 ( ) + T T i T F) ) ) )212 2 3 3T F) ) ile verilmektedir. Ayrca 1 2q q Tj j +), 2 1q q Tj j ), 1 1 321q q T ), 2 2 321q q T ), 3 3 30 q q T ) eklindedir. G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders notlar, Blm IV.3.a 1. sayfa ( )j i ijq F q 2 ) ise; ( )1 2 2 1 1 2 2 11 12j i j i j i j ij i j i j i j i ijq q q qq T q q T q q T T q q F q + + + + + +) ) ) ) ) ( ) ( ) 121 1 12 1 ) ) ( ) ( ) 022 1 11 1 ) ) ise

,_

0 11 01) olur. ( ) [ ][ ] ( )1 2 2 1 1 2 2 12 212j i j i j i j ij i j i j i iji q q q q iq T q q T qiq F q +) ) ) ) ( ) i 12 2) ( ) i 21 2) ( ) ( ) 022 111 ) ) ise

,_

002ii) olur. ( )j i j i ijq T q q F q3 3 32 2) ) ) ( )1 1 1 3 1 32 2i i i iq q q T q ) ) ( )2 2 2 3 2 32i i i iq q q T q ) ) ( ) 0 23 3 3 3 q T qi i) ) ( ) 13 3i) ( ) 122 3 ) ( ) ( ) 021 1 12 3 ) ) ise

,_

1 00 11) olur. G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders notlar, Blm IV.3.a 2. sayfa BuradanSU(2)grubununjeneratrleriolan 1 , 2 , 3 nPaulimatrisleriolduu grlmektedir.

,_

0 11 021iJ

,_

0022iiiJ

,_

1 00 123iJ b)SU(3) grubunun ise9 1 3 12 2 ntane jeneratr vardr. F)2 ve ij j iq q Burada +T),+U),+V) ykseltme operatrleri, T),U),V) alaltma operatrleri olmak zere; 2 1q q T ), 1 2q q T +), 3 2q q U ), 3 2U q q+), 1 3q q V +), 3 1q q V ), 1 1 321q q T ), 2 2 321q q T ) 3 3 30 q q T ) 1 131q q Y ) 2 231q q Y ) 3 332q q Y ) ( ) + + T T T F) ) ) )211 1 ( ) + T T i T F) ) ) )212 2 3 3T F) )G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders notlar, Blm IV.3.a 3. sayfa ( ) + V V i F( ) )215 ( ) + + U U F) ) )216 ( )j i ijq F q 2 ) ise; ( )j i j i j i j i ijq T q q T q q T T q q F q + ++ + ) ) ) ) )1 12 1 2q q Tj j +)ve2 1q q Tj j ) ise; ( )1 2 2 2 1 2 2 1 1 j i j i j i j i ijq q q q + + ) ( ) ( ) 121 1 12 1 ) ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 033 1 32 1 31 1 23 1 22 1 13 1 11 1 ) ) ) ) ) ) )ise;

,_

0 0 00 0 10 1 01)olur. ( ) [ ][ ] [ ]1 2 2 1 1 2 2 12 212j i j i j i j ij i j i j i iji q q q q iq T q q T qiq F q + +) ) ) ) ( ) i 12 2) ( ) 013 2 ) ( ) ( ) 023 2 22 2 ) ) ( ) ( ) ( ) 033 2 32 2 13 2 ) ) ) ise;

,_

0 0 00 00 02ii) olur. ( )j i j i ijq T q q F q3 3 32 2) ) ) ( )2 2 2 3 2 32i i i iq q q T q ) )( ) 0 23 3 2 3 q T qi i) )G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders notlar, Blm IV.3.a 4. sayfa ( )3 3 1 1 112i i iiq T q q q ) )( ) 111 3 ) ( ) 122 3 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 033 3 32 3 31 3 23 3 21 3 13 3 12 3 ) ) ) ) ) ) ) ise;

,_

0 0 00 1 00 0 13)olur. ( )j i j i j i ijq V q q V q q F q ++ ) ) ) )4 42 +V)jq =1 3qjve V)jq =3 1qj ise; ( )1 3 3 1 1 3 3 1 4 j i j i j i j i ijq q q q + + ) ( ) ( ) 131 4 13 4 ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 033 4 32 4 23 4 22 4 21 4 12 4 11 4 ) ) ) ) ) ) )ise;

,_

0 0 10 0 01 0 03)olur. ( ) [ ] [ ]1 3 3 1 51 1j i j i j i j i ijiq V q q V qi +) ) ) ( ) i 13 5) ( ) i 31 5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 033 5 32 5 23 5 22 5 21 5 12 5 11 5 ) ) ) ) ) ) ) ise;

,_

0 00 0 00 05ii) olur. ( )j i j i j i ijq U q q U q q F q ++ ) ) ) )6 62 2 3 jq qjU +) ve3 2 jq qjU )ise; ( )2 3 3 1 2 3 3 2 6 j i j i j i j i ijq q q q + + )( ) ( ) 132 6 23 6 ) ) G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders notlar, Blm IV.3 .a5. sayfa ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 033 6 31 6 22 6 21 6 13 6 12 6 11 6 ) ) ) ) ) ) ) ise;

,_

0 1 01 0 00 0 06)olur. ( ) [ ] [ ]2 3 3 2 71 1j i j i j i j i ijiq U q q U qi +) ) ) ( ) i 23 7) ( ) i 32 7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 033 7 31 7 22 7 21 7 13 7 12 7 11 7 ) ) ) ) ) ) ) ise;

,_

0 00 00 0 06ii ) olur. ( )j i j i ijq Y q q F q) ) )3 28 8 ( )1 1 1 8313i i iq Y q ) ) ( )2 2 2 8313i i iq Y q ) ) ( )3 3 3 8323i i iq Y q ) ) ( ) ( )3122 8 11 8 ) ) ( )3233 8 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 032 8 31 8 23 8 21 8 13 8 12 8 ) ) ) ) ) ) ise;

,_

2 0 00 1 00 0 1318)olur. G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders notlar, Blm IV.3 .a6. sayf IV.3 SU(2) GRUBU TREV OPERATRLER Geometrik simetriler yannda i simetri adn verdiimiz simetrik zelliklerde paracklar dnyasnda mevcuttur. Bu i simetrilerin dinamik yapsna ayar gruplar diyoruz. Bu simetrilerin ilki elektromanyetik etkilemeyle bilinen U(1) ayar simetrisidir. Bu simetrinin dinamik yaplamasn veren foton al veriidir. Zayf etkilemenin simetrisi SU(2) dir. Buradaki S herhangi bu dnm veren matrisin veya operatrn determinantnn 1 olduunu syler. Buda zel matristir. U ise dnm matrisinin veya operatrnn bir uniter matris veya uniter operatr olduunu ifade eder. 2 says ise dnm matrisinin 22 lik bir kare matris oldugunu syler. ( )1 *U UI U UU UT (Uniter matris) Eer zayf etkilemede bir durum, bir hal, bir yap ile gsteriliyor ise buradaki alan iki boyutlu stun matrisi zellii de gsterir.

,_

1211 ( Zayf etkilemede bir hal,yap) UI oluyorsa ' 'korunumu salanmaldr. Bu zellik bize zayf etkilemeler iin 3 korunan bykln yeterli olduunu syler. Bunun karl olarak bu etkilemeyi verecek dinamik yap en fazla 3 ana paracktan oluur.( )1 ' '' U U U UU U imdi bu dnm ifade eden Lie operatrn bulalm. U matrisi bir dnm matrisidir ve grup zellii gsterir. iki boyutlu, dnm parametrelerimiz U matrisinin iinde; 0) ( ) () (dU dUdU dUI dU dU dU dU II dU I dU IdU I dI + + + + + + + + dU matrisi yaklaklkla bile olsa anti hermitsel matris zelliini gsterir. dU d22 lik matrisi inaa edelim 8 7 6 54 3 2 1ia a ia aia a ia adU+ ++ + 8 7 6 54 3 2 1 ia a ia aia a ia adU dU dU olduundan G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders notlar, Blm IV.3 1. sayfa 8 8 7 8 7 8 74 6 3 5 4 3 6 56 4 5 3 6 5 4 32 2 1 1 1 1 2 1 2 100 0 2a a a ia a ia aa a a a ia a ia aa a a a ia a ia aa a a a a a ia a ia a + + + + + + + + katsaylar matrisinin determinant sfrsa sonsuz zm ,deilse tek zm var. 005 35 3 + +a aa a01 11 1katsaylar matrisini dU da yazalm; 8 2 8 28 2 8 26 5 6 5 8 28 6 56 5 28 6 56 5 21 0 11 ) )( ( ) 1 )( 1 (1 ) det(1 det11a a ia iaia ia ia iaia a ia a ia iadU IUa ia aia a iadU Ia ia aia a iadU + + + + + + + + +

,_

+ ++ + +

,_

++ matrisi yeniden yazalm

,_

++

,_

++ ida idc dbidc db idadUia ia aia a iadU8 6 56 5 8dc a db a da a 6 5 8, ,

,_

yx

,_

dydxd

,_

,_

yxdUdydx

,_

,_

++

,_

yxida idc dbidc db idadydx iyda ixdc xdb dyiydc ydb ixda dx+ + + ) , ( y x F F olduundanyFdyxFdx dF+Fyixxiy dc Fyxxy db Fyiyyix da

,_

++

,_

+ +

,_

+ yiyxix J+ 1 xyyx J2 xiyyix J+3 Bu operatr ayn kuantum fiziinde olduu gibi korunan byklklere karlk gelen kuantum saylar arasndaki baml veya bamsz ilikileri verir. J2 operatr Lz operatrdr. Bu da SO(2) nm , SU(2) nin bir alt drubu olduunu ifade eder. Zayf etkilemede spin kavram kendiliinden ortaya kar ki bunu izospin olarak geniletebiliriz [ ] [ ] [ ]1 3 3 2 2 1, , , , , J J J J J J[ ]k ijk j iJ C J J ,(kapallk zellii gsterir) Cijklar yap sabitleridir ve kuantum saylarnn alabilecei deerleri gsterirler. G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders notlar, Blm IV.3 2. sayfa [ ]xiy Jxyxixx yJixy xJixyJixxJixyxyJxxixyix JyxxixxyyiyyxyiyxyxxyxxixxyyxyiyxixJ Jj i 1]1

+

,_

,_

1]1

1]1

+1]1

+1]1

+1]1

1]1

,_

,_

+,,, , , ,,,2222 [ ][ ]3 2 12 1222222222 2 ,,,Jxiyyix J Jxiyyixxiyyix J Jy xJiyx yJiyxJiyyJiyxyxJyyiyxiy yxxyiyyJixyyJixyJixyxJixxyxJyxix

,_

,_

+

,_

1]1

,_

+ ,_

C121=0 C122=0 C123=-2 C211=0 C212=0 C213=2 G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders notlar, Blm IV.3 3. sayfa IV.3 SU(3) GRUBU TREV OPERATRLER Bu dnmn A matrisi 3x3 bir sanal matris olup, bu A matrisikuantum byklklerinin simetrik zellikleri nedeni ile niter bir matristir ve zel bir matristir. Yani;Ax X 'dnmndeI A A +ve detA=Idr. Etkisiz dnm civarndaki sonsuz kk dnm ise SU(3) Gurubu ;S(special1 A ) ,U(niterlikI A At ) , (3) boyut

{ {8 1 9 , 9 9 18 , 18 2 9 , 9 3 31 det niterlik jeneratr vardr. dAX dX X dA I dX X IX XAX X+ + + ) (' dnmnde sonsuz kk dnm oluturan elemanlar sonsuz kk parametrelerden olumu dA matrisini

,_

+ + ++ + ++ + +17 16 15 14 13 1211 10 9 8 7 65 4 3 2 1 0ia a ia a ia aia a ia a ia aia a ia a ia adA eklinde ifade edebiliriz. Burada iaelemanlar sonsuz kk parametrelerdir. Bu dnmn zelliindendA matrisi aadaki zellikleri salamaldr. ( ) ( ) ( )( )( ) 1 det I t t t + + + + + + + +dA I dA dAI dA dA dA dA I I dA I dA I dA I dA Itt Bu zelliklerden dolay dA matrisinin elemanlar iin; 7 6 3 23 2 7 6ia a ia aia a ia a Bu iki terimin farkn alrsak 3 7a a toplamn alrsak2 6a a 5 4 13 125 4 13 12 ia a ia aia a ia a Bu iki terimin farkn alrsak 4 12a a toplamn alrsak 5 13a a 11 10 15 1411 10 15 14

ia a ia aia a ia a Bu iki terimin farkn alrsak10 14a a toplamn alrsak11 15a a bulunur. Bu sonulara gre dA matrisini dokuz bamsz parametre ile ifade edebiliriz. Yani

,_

+ + + + + +17 11 10 5 411 10 9 3 25 4 3 2 1ia ia a ia aia a ia ia aia a ia a iadAG. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders notlar, Blm IV.3 4. sayfa eklinde ifade edebiliriz. Ayrca 1 9 171 9 1717 9 1 9 1 17 1 1 9 17 9 1717 9 1 1 917 11 10 5 411 10 9 3 25 4 3 2 101 11 ) 1 )( 1 (1111) det(a a aia ia iaa a ia a a a a ia a a ia iaia a a ia iaia ia a ia aia a ia ia aia a ia a iadA I + + + + + + + ++ + + + + + + + + + bulunur. Yukardaki hesaplarda ialerin sonsuz kk olmalar nedeni ile kendi aralarnda arpmlarnn sfr alnmtr. Bu sonulada bir parametre daha der ve dA matrisini 7 11 6 10 8 98 1 7 6 5 47 6 8 3 25 4 3 2 1, , a a a a a a

ia ia ia a ia aia a ia ia aia a ia a iadA

,_

+ + + + +

eklinde tanmladk. Daha nce yaptmz rneklere benzer ekilde 3 8 1 2 7 6 1 5 4 33 7 6 2 8 1 3 2 23 5 4 2 3 2 1 1 1321321) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () () (x ia ia x ia a x ia a dxx ia a x ia x ia a dxx ia a x ia a x ia dxxxxdAdxdxdxx dA dxj ij i + + + + + + + + + + + +

,_

,_

3 38 2 37 2 36 1 351 34 33 32 3 312 28 3 27 3 26 2524 1 23 1 22 2118 17 16 3 153 14 2 13 2 12 1 118 38 7 37 6 36 5 35 4 34 3 33 2 32 1 31 38 28 7 27 6 26 5 25 4 24 3 23 2 22 1 21 28 18 7 17 6 16 5 15 4 14 3 13 2 12 1 11 1,,, , 0, 0, ,,, 0 0,,, 0 0, 0, 0, ,,, ix u ix u x u ix ux u u u ix uix u ix u x u uu ix u x u uu u u ix ux u ix u x u ix uda u da u da u da u da u da u da u da u dxda u da u da u da u da u da u da u da u dxda u da u da u da u da u da u da u da u dxda u dxj ij i + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders notlar, Blm IV.3 5. sayfa olduundan SU(3) dnm grubunun trev operatrleri aadaki ekilde bulunur. ,,,3322 83223 73223 63113 53113 42112 32112 23311 1xixxix X ,xixxix Xxxxx X,xixxix X ,xxxx Xxixxix X ,xxxx X ,xixxix X+++ DEV:Benzer ekilde SU(4) grubunun trev operatrlerini bulunuz. G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders notlar, Blm IV.3 6. sayfa BLM IV IV.4SU(2) ve SU(3) SMETR GRUPLARININ MATRS GSTERMLER VE ZELLKLER SU(2) Gurubunun tane jeneratr vardr. Bunlar aadaki ekilde tanmlyabiliriz. ;' zyxiXiXiX222321 [ ]tr Antikomta BA AB B A, Komtatr BA - AB B A,dir matrislerispin Pauliz y x + , ,

Bunlarn baz zellikleri ise [ ] ak. ispatlanac sonra , ) Daha X C X X ak ijk j i { };' Notasyonuise j i , 0Dirac ise j i , 1 , 2 , )ij ij j ib { } : m ispatlayal Bunudr. 0 2 ,12 2 1 1 00 1,00,0 11 0

3 2 1MatrisleriiiSipinPauli

,_

,_

,_

{ } bulunur0 00 000i - 000 11 000000 11 0,1 2 2 1 2 1

,_

,_

+

,_

,_

,_

+

,_

,_

+ ii iiiii { } m. ispatlayal dir.Bunu2 2 ,11 1 1 { } I 20 11 020 11 00 11 02 2 ,212 21 1 1 1 1 1

,_

,_

,_

+ + [ ] 0 iij,1,-1 ijk , 2 , )ijk + Civita Levi i ck ijk j i [ ] ( ) m ispatlayal dir.Bunu2 2 2 ,3 3 123 2 122 1 21 12 2 1 i i ik + + [ ]grlr. olduu 21 00 122 00 200000 11 000000 11 0,31 2 2 1 2 1 i iiiiiiiiiii

,_

,_

,_

,_

,_

,_

,_

,_

[ ] dr. 0 0 2 ,2121 11 1 1 k ki ( ) sfrdr. nn toplam elemanlar kegenyani nin toplam dr.zleri 0 Tr )k dG. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders notlar, Blm IV.4 1. sayfa ( ) 1 det )k e I fz y x 2 2 2) x z x y z z y z x y yi g z x, , ) bulunur. Tr TrI Tr dir. Trolur.iiTr Trm. ispatlayal Bunudr. TrTr hij j i21 00 11 2 20000 2 ) (2 ) ( )21 1 1 11 2 12 112 2 1

,_

,_

,_

,_

,_

,_

,_

,_

,_

,_

2 0 00 1 00 0 131,0 00 00 0 0,0 1 01 0 00 0 0,0 00 0 00 00 0 10 0 01 0 0,0 0 00 1 00 0 1,0 0 00 00 0,0 0 00 0 10 1 08 7 6 54 3 2 1 iiiiiiGell Mann matrisleri Bu matrisler aadaki ekilde yazldnda komtasyon ilikileri ve yap sabitleri bulunur. [ ] i ,,21 F f F F F imdi larn zelliklerini yazyoruz.Bunlar F iinde geerlidir. [ ] if a 2 , ) dr. [ ] dr. 2 , ) if a [ ] [ ]8 128 7 127 6 126 5 125 4 124 3 123 2 122 1 121 12 2 12i 2 , f f f f f f f f if + + + + + + +

,_

,_

,_

,_

,_

,_

0 0 00 00 00 0 00 00 00 0 00 0 10 1 0 0 0 00 00 00 0 00 00 00 0 00 0 10 1 01 2 2 1iiiiiiii G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders notlar, Blm IV.4 2. sayfa gibidir. aadaki ise matrisler edentekabl Bunlara vardr. jeneratr tane 8 gibi mizgsterdii nce Daha : grubuSU(3)m. eitleyeli tarafn iki denkleminhalde O olur. 20 0 00 1 00 0 120 0 00 2 00 0 23 i i ii

,_

,_

f1231 1471/2 1561/2 2461/2 2571/2 3451/2 367 -1/2 4582 / 36782 / 3 dr. 0128 127 126 125 124 122 121 f f f f f f f [ ]3 12 2 1 1232 2 , dir. 1 i if f } { d b 234, ) + Anti komtasyon ilikisi ise} { ) ....... ( 2 234,8 148 1 141 14 14 4 1 d d d + + + 6 1 4 4 10 1 01 0 00 0 00 1 00 0 00 0 00 0 01 0 00 0 00 0 00 0 10 1 00 0 10 0 01 0 00 0 10 0 01 0 00 0 00 0 10 1 0

,_

,_

+

,_

,_

,_

+

,_

,_

+) ......... ( 28 148 1 141 6 d d + + f 118 1/ 3{ } bulunur.21. 2 ,216 6 2 1 146 d146 1/2} { ) ....... ( 234234,8 118 1 111 11 11 1 1 d d d + + + + 157 1/2 228 1/ 3 247-1/2 256 1/2 3381/ 3 3441/2 3551/2 366-1/2377-1/2 448-1/ 3 2G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders notlar, Blm IV.4 3. sayfa 558-1/ 3 2 668-1/ 3 2

,_

,_

,_

,_

+0 0 00 2 00 0 20 0 00 1 00 0 120 0 00 0 10 1 00 0 00 0 10 1 02 212121 8 118 2 112 1 111........3 / 4 0 00 3 / 4 00 0 3 / 40 0 00 2 00 0 221 d d d + + + 111]1

,_

,_

8312 0 00 1 00 0 131312 0 00 1 00 0 1313 / 2 0 00 3 / 1 00 0 3 / 1

,_

,_

,_

31ddr. 0118 117 116 115 114 113 112 111 d d d d d d dAyrca bu SU(3) matrisleri aadaki zelliklere sahiptir. 20 0 00 1 00 0 1) ( 2 2 ) (0 2 00 00 0 00 0) (2 ) )0 ) )3 3 33 3 345 5 4

,_

,_

Tr Tr , TriiTr TrTr( dTr( c G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders notlar, Blm IV.4 4. sayfa [ ] ( )[ ] ( )[ ][ ]{ } ( )( ) 0 04 ,1 02 2 ,20 0 00 00 020 0 00 0 10 1 02 ,. 1 4 4 2 20 0 00 1 00 0 124 24 ,4 , )312 318 317 316 315 314 313 31131 2 12 1312 312312 3 3312 2 1 3

,_

,_

111]1

,_

833det Amadet g)yap. iin 214 - gster olduunuid Tr f)bulunur. f, f f f f f f fyaparsak ilemleri Buif ii iiiyapalm salamasn Bunun f if i i i Trif i Trif Trif Tr e G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders notlar, Blm IV.4 5. sayfa RNEK z hesaplayn rini zvektrle ve zdeer matrisin bulunuz.Bu matrisini ? e zere gstermek matrisiniSpin Pauliyi. ( ) ( ) ( )bulunur. matrisi cos sinsin cos0 sinsin 0cos 00 cosI sin I cos.......! 3..........4! 2!- 1 I..........4!I3! 2!II.. ..........! 4 ! 3 ! 2Idiyelim. .........! 4 ! 3 ! 213 4 24324 3 24 3 2

,_

,_

+

,_

+

,_

+

,_

+ + + + + + + + + + + + + + iii eiiiii i ii ei xx x xx eyyiyyyyy y yyiyx Bu matrisin zdeer ve zvektrlerini bulalm. ( ) ii zdeerleriI R X RX sin cos , sin cos :sin cos sin cos1 cos cos 0 1 cos 20 sin cos 2 cos 0 sin cos 0cos sinsin cos02 122 , 122 , 122 2 2 22 + t t t + + + + G. Akdeniz, Temel tanecikler Ders notlar, Blm IV.4 6. sayfa( )bulunur. 21X ,i21X 21m21m 1 m 2 1 m m 1 mm mm1mim -m imolmaldr. X X yani m normlayal bunu mimXim X m X i .diyelim m XX i XX X izlr. cinsinden bamsz1 1 - n halde dir.O 2 dir.n 1 rang matrisin Bu XXiiXXeeiin2 12 2 2 2ii

,_

,_

+ +

,_

,_

+

,_

,_

,_

,_

+1111sin sin0 sin sin0 sin sin0sin sinsin sin0cos sinsin cos1 1 111 1121 21 1121 11211121111 G. Akdeniz, Temel tanecikler Ders notlar, Blm IV.4 7. sayfa EKL I. Kuark ve anti kuarklar Bir kuark ile antisi Y ve I3 n zt deerlerine sahip EKL II spini 3/2 olan baryonlarn decuplet yaps G. Akdeniz, Temel tanecikler Ders notlar, Blm IV.4 8. sayfa EKL III spini olan baryonlarn oktet yaps EKL IV spini 0 olan Mezonlarn oktet yaps mezonlar iin B=0 olduundan Y=B+S Y=S G. Akdeniz, Temel tanecikler Ders notlar, Blm IV.4 9. sayfa G. Akdeniz, Temel tanecikler Ders notlar, Blm IV.4 10. sayfa IV.5PROBLEMLER 1- x =

,_

0 11 0 ve z =

,_

1 00 1 Pauli spin matrisleri ve serbest bir parametre olmakzereA= x zie4 matrisini oluturup, bu matrisin zdeer ve zvektrlerini bulunuz. 2-x =

,_

0 11 0 ve z =

,_

1 00 1 Pauli spin matrisleri ve serbest bir parametre olmakzereA= x zie4 matrisinininzvektrleri olmak zere bir paracn dalga fonksiyonu =1 e 2x+ 2 e -2x ile verilmektedir. Bu parack iina ) + (xz ) ifadesini hesaplaynz 3-x =

,_

0 11 0 ve z =

,_

1 00 1 Pauli spin matrisleri ve serbest bir parametre olmakzereA=zie6x zie6 matrisinininzvektrleri olmak zere bir paracn dalga fonksiyonu =1 sin2x

+ 2 cos2x ile verilmektedir. Bu parack iin+ (xz ) ifadesini hesaplaynz 4-x =

,_

0 11 0 ve z =

,_

1 00 1 Pauli spin matrisleri ve serbest bir parametre olmakzereA= x zie6 matrisinininzvektrleri olmak zere bir paracn dalga fonksiyonu =1 e (2x+it)+ 2 e -(2x+it) ile verilmektedir. Bu parack iina ) +( xx tz ) akm younluunu ,b) < x > =+x beklenen deer ifadesini hesaplaynz 5-x =

,_

0 11 0 ve z =

,_

1 00 1 Pauli spin matrisleri ve serbest bir parametre olmakzereA= zie2 x zie2 matrisinininzvektrleri olmak zere bir paracn dalgafonksiyonu =c1 1

+ c2 2 ile verilmektedir. Bu parack iin ; < x > =+x ve < x > =+

x beklenen deer ifadelerini hesaplaynz 6-1 =

,_

0 11 0 ve 2 =

,_

1 00 1 Pauli spin matrisleri ve serbest bir parametredir.1 ve 2

A =22 ie1 22 ie matrisinininzvektrleri olmak zere bir paracn dalga fonksiyonuG. Akdeniz, Temel tanecikler Ders notlar, Blm IV.5 1. sayfa =1 e (x+it)+ 2 e -(x+it) ile verilmektedir. Bu parack iina ) +( 1x t 2) akm younluunu ,b) < 1 >+ beklenen deer ifadesini hesaplaynz. ( Burada < i > =+i dir.) 7-1 =

,_

1 00 1ve 2 =

,_

0 11 0 Pauli spin matrisleri ve serbest bir parametredir.1 ve 2A=22 iematrisinininzvektrleri olmak zere bir paracn dalga fonksiyonu =1 Sin ( x -t) + 2 Cos ( x -t ) ile verilmektedir. Bu parack iin< 1 >+ beklenen deer ifadesini hesaplaynz.( Burada < i > =+i dir.) 8-1 =

,_

0 11 0 ve 2 =

,_

1 00 1 Pauli spin matrisleri ve serbest bir parametredir.1 ve 2

A = 12ie22ie matrisinininzvektrleri olmak zere bir paracn dalga fonksiyonu =1 Sin (x-it) + 2 Cos ( x-it ) ile verilmektedir. Bu parack iin< 1> =+1 beklenen deerifadesini hesaplaynz. 9-x =

,_

0 11 0ve z =

,_

1 00 1Pauli spin matrisleri ve serbest bir parametredir.1ve 2 A=xzie6 matrisinininzvektrleri olmak zere bir paracn dalga fonksiyonu =1 e( 2x +it) + 2 e - ( 2x +it)ile verilmektedir. Bu parackiin +( x /t- z /x) akm younluu ifadesini hesaplaynz. 10-1 =

,_

0 11 0 ve 2 =

,_

1 00 1 Pauli spin matrisleri ve serbest bir parametredir.1 ve 2 A= 1 22iematrisinininzvektrleri olmak zere bir paracn dalga fonksiyonu =1 Sin ( x - 2t) + 2 Cos ( x + 2 t ) ile verilmektedir. Bu parack iina ) +( 1x t 2) akm younluunu , b) < 1 >+ beklenen deer ifadesini hesaplaynz. ( Burada < i > =+i dir.) G. Akdeniz, Temel tanecikler Ders notlar, Blm IV.5 2. sayfa 11- 1 =

,_

1 00 1ve 2 =

,_

0 11 0 Pauli spin matrisleri ve serbest bir parametredir.1 ve 2A=14 iematrisinininzvektrleri olmak zere bir paracn dalga fonksiyonu =1 Sin ( 2x - 3t) + 2 Cos ( 2x - 3 t ) ile verilmektedir. Bu parack iina ) +( 1x t 2) akm younluunu , b) < 1 >+ beklenen deer ifadesini hesaplaynz. ( Burada < i > =+i dir.) 12-C =

,_

0 22 0 ve D =

,_

2 00 2matrisleri ve serbest bir parametre olmakzereA= C D ie8matrisini oluturup, bu matrisin zdeer ve zvektrlerini bulunuz. 13-1 =

,_

1 00 1ve 2 =

,_

0 11 0 Pauli spin matrisleri ve serbest bir parametredir.1 ve 2A=12 iematrisinininzvektrleri olmak zere bir paracn dalga fonksiyonu =1 Sin ( 2x -t) + 2 Cos ( 2x -t ) ile verilmektedir. Bu parack iin< 1 >beklenen deer ifadesini hesaplaynz. ( Burada < 1> =+1 dir.) G. Akdeniz, Temel tanecikler Ders notlar, Blm IV.5 3. sayfa BLM V V.1 FEYNMAN KURALLARI Bozunum oranlar ve salma tesir kesitlerini hesaplamak iinM amplitnden yararlanyoruz. 1 ) Gelen ve giden paracklarn 4l momentumu np p p ,.... ,2 1 olsun ve ara paracn 4l momentumlar nq q q ,..., ,2 1olsun. Her bir izgiye, pozitif dorultuyu belirlemek iin ok yerletiriyoruz. P2 q P2 2 ) Her bir vertexiin (-ig) eklinde bir faktr yazacaz. g=balanma sabiti. 3 ) Her bir ara(i) izgi iin2 2 2c m qii i eklinde bir faktr yazacaz.4 )Enerji ve momentum korunumu= Her bir vertex iin bir delta fonksiyonu katsays yazacaz. ( ) ( )

,_

+gidengelenk k k3 2 1442 m m 5 ) Ara momentumlar zerinden integral alnacak. Her bir ara izgi iin ( )442q deklinde bir katsay yazlacak ve btn ara momentumlar iin integre edilecek. 6 ) Delta fonksiyonu ihmali.( ) ( )np p p + + + ... 22 144 Bu terimi yok edip geriye kalan terime iM diyeceiz. KUANTUM ELEKTRO DNAM (QED) N FEYNMAN KURALLARI 1 ) Notasyon: Gelen ve giden paracklarn 4l momentumlar np p p ,.., ,2 1 ve sipinleri ns s s ,.., ,2 1 olsun. Ara paracklarn momentumlar nq q q ,.., ,2 1 olsun. Ak diyagrammzn dorultusunu belirleyip oklaryerletiriyoruz. Elektron *u gelen * u giden Pozitron* vgelen *v gidi Photon* geli * gidi G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notlar, Blm V.I.1.sayfa 3 ) Vertex faktrleri: Her bir vertex iin eig eklinde bir faktr yazcaz. 44 ce geh 4 ) propagatr:Her bir ara izgi iin bir faktr yazacaz. eveya pozitron ( )2 2 2c m qmc q i+,photon2qig 5 ) Enerji ve momentum korunumu: Her bir vertex iin bir delta fonksiyonu yazacaz. ( ) ( )3 2 1442 k k k m m (geli +, gidi -) 6 ) Her bir ara parack iin momentum ( )442q d eklinde bir faktr olacak ve integre edilecek. 7 ) Delta fonksiyonu yok edilecek.( ) ( )np p p + + + , , 22 144 Geriye kalana iM denilecek. 8 ) Antisymmetrization: Gelen veya giden paracklarn yerlerini deitirisekyani 2. bir ekil varsa,ikinci ekilde izilecek ve M amplitdne (-) ilave edilkecek. KUANTUM CHROMODYNAMCS(QCD) N FEYNMAN DAGRAMLARI 1 ) D izgiler: momentumu p, spini s ve rengi c olan Quark* ( )( ) c p us. gelen *( )( )+c p us.giden Antiquark *( )+c p v .gelen * ( ) c p v . gidi Gluon* ( ) c pgeli ( )* *. c pgidi * G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notlar, Blm V.I.2.sayfa c: quarkn rengi ;

,_

001krmz,

,_

010mavi,

,_

100 yeil, 2 ) propagatr: Ara parack; quark-anti quark iin( )2 2 2c m qmc q i+gluon iin2qigdir. 3 ) vertex katks 2sig ,Gell Mann Matrisleri ZAYIF ETKLEME N FEYNMAN KURALLARI 1 ) Propagatr: (W, Z) ( )2 2 22 2/c M qc m q q g i ( )( )222McigMc q 2 ) Vertex faktrw wg 4 Zayf balanma sabiti. NEML NOKTALAR 1 ) Kuark yap (sdu)larn yannda rengi gsteren clerin olmas lazm. 2 ) Kuarklarda alarda hesaba katlr. D girip u karsa Cos, s girip u karsa Sin oluyor. 3 ) Kuark varsa zayf etkileme, yoksa EMT etkileme. Elektromagnetik etkilemede veya e ara paracktr. G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notlar, Blm V.I.3.sayfa ( )512 2 wigFeynman Diagramlarnda Kullanlan Tablo u Vertex katks:- cwSinig ) 1 (2 25 s u Vertex katks:- cwCosig ) 1 (2 25 d Zo iinVertex katks:) (25 fAfvzc cig

fcv CA e , , 21 21 e- , -, - -21 + 2 Sinw-21 u , c , t wSin 2342121 d , s , b wSin 23221+ -21 PropagatorWt , Zoiin : 2) (Mcig ( q2 0 esinlenerek,( )cxx i21. 1++r r instantan tipi bir n zm dnebiliriz.Buradac sabit bir spinr alan c=

,_

21ccdir.(Bu konuda ve zm hakknda daha ayrntlbilgi iin baknz;G. Akdeniz and A. Smailagic, Nuovo CimentoA). 51,345(1979) + / j ir rrrr2 1,. iki boyutta ,(4 boyutta olsayd DRAC matrisi lar gelirdi). j ir r r2 1 + 222122 1 2 2 1 1 , ,. x x x j x i x x x x x + + + r rr r r ki hareket denklemi de ayn formda olduundan, birinci denklemi ele alyoruz. 0 ) ( 2 + / g i( )( ) ( )( ) [ ]( ) 2 2 21) . ( 1) (1) ) . ( 1 (1. 1~xx icxc x icxx iTTTTT+1]1

+

,_

1]1

++ r r r r r r ( ) ( )2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 , .~ ~) . ( + + T Tx x x x x xr r r r ( )) 1 (. 12xx ic+r r bulunur. imdi? bunu bulalm. ( )( )cxx ixx ic 221) . 1 () 1 (. 1+++r r r r 2) . ( . . 1 ) . 1 )( . 1 ( x x i x i x i x ir r r r r r r r r r + + + { {2 222122I22 1 2 1 2 2 1 2 121I21 2 2 1 1 2 2 1 12 ) )( ( ) . (1 2x x xx x x x x x x x x x x + + + + + + 3 2 1r r 1 2 2 2 22) 1 ( ) 1 () 1 (+++ xc ccxxcbulunur.2211,x x [ ]( )[ ] . 1) (11 ; 1) ( 1) (222 2 1 12 2 1 1c x ixxc x x i r r ++++ + + / eklinde dnelim. ( )( )[ ]( )( )[ ]( ){ {[ ] ) 1 (2) 1 () . ( 2) 1 (2) 1 () ( ) ( 211) ( 112 1) ( 112 12 1 2221 22222 2 1 1 2 2 2 2 1 2 12121 1 1I22I2122 2 1 1 2221222 2 1 1 221121xicxc ix xxiccxx x x i x x x x i xc i ixc x x ixx xc x x ixx x++++ ++++ + + + + 1]1

++++ +++ + +++ ++ r r G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notlar, Blm VI.32.sayfa Hareket denklemimiz: 0 ) ( 2 + / g i eklindeydi. Yukarda bulduklarmz denklemde yerine koyarsak [ ]1 3 2 1 221 3 2 1 22 2 22 1 2 2 221 22) 1 () . 1 (2) 1 (. 2 ) 1 ( 2 2) 1 () . 1 (2) 1 () 1 ( 2 ) . ( 2) 1 () . 1 () 1 (2) 1 (2) 1 () . ( 2 + + +++ + +++ ++ + ++++ ++++ xc x ic c gxc x ix i ixc x ic c gxc x i c ix x ixc x ixc cgxc ixc ix x ir r r rr r r rr r r r1 2 2 1 3 1 + yanltr. karsa bal e ' kmamal, bal e ' ; 1) . 1 ( 2 ) . 1 ( 2) . 1 ( 2 . 2 2x x c cgc c x i c c g x ix i c c g x i + ++ r r r rr r r r Bylece Thiring Modeli iin cxx i21. 1++ r rspinor tipi instanton zmbulunur. Bu zm iin Aksiyonu bulmak istersek: g rdr rgr x r x r xrd dr rgx dx gAx gLx g xc cx ggxc x cxc cgxc x i ixx i ci g i Lx d L A S + + + + +++ ++++ +++++ + / 43 4 2 1r r r r2 / 102 22 20202 12 222 22 22 2 2 2 2 2 2 3 222 222 2 222) 1 (2cos , sin) 1 (1) 1 (1 1) 1 (1 1olmal. eitmertebeler ) 1 (1 1) 1 (2) 1 (1 1) 1 () 1 ( 2) 1 () () 1 () . 1 ( 21) . 1 () (

2-Sigma Modeli( Simetrili) : ki boyutlu, Konformal simetriye sahip olan Modelin lagrange fonksiyonu ( ) ) , (12) (212 11 12 2x xx mLN N 1]1

;N11ile verilmektedir. (Bu model hakknda daha ayrntl bilgi iin baknz; V. de Alfora, E. Fubini and G. Furlan; Phys. Lett. 5B,163(1976)) . Bu modelin hareket denklemlerini bulunuz ve modelin G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notlar, Blm VI.33.sayfa 3 ;0 , 111,2 12 2232> + + xxxx zmleri olduunu gsteriniz. Bu zmler iin aksiyonun sonlu olduunu gstererek zmlerin instanton zelliklerine sahip olduunu kantlaynz. Bu kez hareket denklemlerini varyasyon ( modelin Lagrange fonksiyonunu minimize ederek) bulalm, yani

0 S2 x Ld S (minimize etmek) ( ) 0 12) (21021 12 21]1

,_

x dx mSN N ( ) ( ) 1]1

,_

2 221 1 12 ,0 22) () ( 121) ( ) ( 221A A A dVx dx mx mN N N du ,u V vdu uv udv =

N1( ] ,_

N Nx d x m x m12120 ) ( ) ( 121) = (

N1 ) ] 0 ) ( 121) (212 ,_

x d x m x mN O halde hareketdenklemlerimiz: N1( 0 ) ) ( + x m (1), ,_

N N12121 0 121 (2) (1) . denklemi soldan ile arpalm N1 +N Nx m x m1denk. (2).112) (0 ) ( 3 2 1 Bunu (1)de yerine koyalm. N1( 0 ) Bu denklemlerin zm iin, aadaki instanton tipi 3 ;0 , 111,2 12 2232> + + xxxx zmleri veriliyor.{021221121121121212 xxxxxx++++22221112 ,12xxxx++ G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notlar, Blm VI.34.sayfa N1 1 2 1 + 3 2 + 4 3 + .....4 + 221221121 221 111 1x x + + 2 22122 21 12211 11) 1 (4 ) 1 ( 2) 1 (2 2 ) 1 ( 212xx xxx x xxxx x + ++ + ,_

+ ( )( ) ( ) [ ] ( )( )( )( )323121421212221 12112116 1 1212 1 2 4 1 2 1 8 4xx x xxx x x x x x xx++ + ++ + + ( ) ( )222 1222 1211412 2xx xxx xx+ + ( )( ) ( )( )( )( )3222 12142222 12212212116 1 412 1 2 4 1 4xx x x xxx x x x x xx++ + ++ + + 3 221211) 1 (16 ) 1 ( 16xx x x x++ + 1 4 22 212 211) 1 (32 ) 1 ( 32xx x x x++ + 2 4 22 222 222) 1 (32 ) 1 ( 32xx x x x++ + 223221323x x + ( ) ( )( ) ( )2212212 21221 131412 1 1 211xxxx x x xxxx x++ +

,_

+ ( ) ( )( )( )( )( )( )322222232322124212122132116 1 4116 1 412 1 2 4 1 4xx xxxx xxx x x xx++ + ++ + ++ + + 33 223) 1 () 1 ( 8 + xx4 22 23) 1 () 1 ( 8xx+ N1 2 2) 1 (8x + bulunur. N1( 0 ) =1iin ( )0181221++ x(?) ( )( ) ( ) ( )0116 16 16 16116116 1 163212121 1321322121++ + ++++ + xx x x x x xxxxx x x xkar. ( )0183323++ x(?) G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notlar, Blm VI.35.sayfa ( )( ) ( )( )( )0111811 82222322++++ xxx xx olduugrlr. L= ( )1]1

12) (211212N Nx m ( ) ( ) ( ) [ ] ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]

,_

+ + + + + + + + + + + 4 4 3 4 4 2 1olur. 023222123 223 122 222 121 221 123222123222112) (2112) (21 x mx m + + ++++ ++++ ++ + + + ++++- 020 02 2 2 2 2 222 22 22 22 22 42 22 4 22322212 22 2232 222 212 221 214) 1 (dr8) 1 (d4) 1 (4 S, kullanarak da arn koordinatl polarBuradanbulunur.) 1 (41) 1 () 1 () 1 (1 2) 1 (2 1 4 ) 1 () 1 ( , ) 1 (4 , ) 1 (4 rrrdr rxx dxLxxxx xxx x xxxxxxx zmler iin sonlu aksiyon bulunur. Bu da zmlerin instanton tipi zmler olduunun bir kantdr. G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notlar, Blm VI.36.sayfa 3)4Teorisi 4 2 24 2121 + m L Lagrange fonksiyonu ile bilinir.a )Modelin hareket denklemini bulunuz. b) Bu modelintek boyutlu 22xATghm zm iin A y tayin ediniz. zm a) ( )11]1

L Lm, x'e bagl olmadg iin onu yazmadk. ( ) ( ) ( )22 2 3 244221+ mL ( )

,_

22 L 22x olduklarndan, hareket denklemi 03 2 + mbulunur. b ) Verilen czm iin;

,_

212222x mh Tgxx Amx

( )( )( ) hU Tg UChUUTghU221 ( ) ( )2 212122 2222 2 222322232222x mTghx mh Tgxx mAx mh Tgxxxx Amx

,_

,_

,_

Bulduklarmz hareket denkleminde yerine yazarsak 02 2 2 21323 3222 22 2

,_

+

,_

x mh Tg Ax mATgh mx mTghx mh Tg Am 11]1

+ + 2121222 222222x mh Tg Amx mh Tgx mTgh Am 0 12022 23 2111]1

43 4 2 1mAAx mh Tg m mAmAm 12 G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notlar Blm VI.3 7. sayfa 4 ) ki boyutlu ,( ) e m L2 221+ (Louville Modelinin) hareket denklemlerini bulunuz ve11]1

,_

+22 212 2lnxBmA eklindeki bir zm olabilmesi iin 'y uygun seerekA ve B arasndaki ilikiyi bulunuz.. Aksiyonu hesaplaynz.(Burada 22212x x x + dir.) Hareket denklemi;S= 02x Ld yntemiyle e m2 olarak bulunur. Verilen11]1

,_

+22 212 2lnxBmA zmn hareket denkleminde yerine koyarsak.

222212x x + 2222211114,14xAxx xAxx + + ( )( )( )( )222222222221221218 1 4,18 1 4xAx x AxxAx x Ax++ + ++ + ( )( ) ( )22222 21818 1 8xAxAx x A+ ++ + ( ) AB AxBm xBmA e1,12 212 2ln exp22 222 2

,_

+;';'

,_

+ ( )2 222 222212 418A BxBm ABmxA ;'

,_

++ bulunur. Aksiyon hesab iin;( )( )( ) ( )( )( )( )222 222222122222211 818212112lnxx AxAmm Lyazarsak, yerine nda fonksiyonu Lagrange zmn xA AmA++ ++ + ;'1]1

+ ( )( ) + + + 2 222222 1321116 A RdrRRA dx Ldx S

,_

t 21,21, 2212 0 121 21112 A Am i R R G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notlar Blm VI.3 8. sayfa 5) Ters iaretli sper simetrik model. (Akdeniz-Dane modeli) (C. Dane and G. Akdeniz)Lett. in Math. Phys. 9,205(1985) ( ) ( ) sbt m g ememi L + + + / + 222222 221 a ) Hareket denklemlerini bulunuz? b ) ( )? .12 2ln11. 122 2 2nedir C C ve A iin zmler Bu veriliyorxAmve Cxx i;'

,_

+++r r ikenlerx Lddeg , ,02 hareket denklemi bulmalyz. ( ) ( )( ) ( ) g g ememememi i x Ld2 22 2 2 222 222102 22222+ + + ++ + / + / + ( ) v dv du u vdu uv udv ( )/ / i i( )( ) 0 22 20 22 222 + + / + + / g emig emi - 022 2222 + + emem ( ) ( )( )222 21. 1 21 1. 1xC x i ixC Cxx i C++ /++r r r r 222212x x + ( )( )( )22212212211 18 1 4 114xx xx xxx+ + + ( )2 22212218x x xx ++ 222 4+ emem G. Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notlar Blm VI.3 9. sayfa ( ) u e u eu

,_

ln2 ( )+ ,_

++22 222212 218xAmmx2 21 12 22 4 xC CxAmm+

,_

+ ( )AAC C221 16+ bulunur veyerine yazarsak A iin, ( )( )( ) gg gAg A A g32 232 128 4 20 32 2 3222 2 22 , 12 2 2 + m bulunur. 6)4 boyutlu Konformal invaryant Grsey Modeli (1956) ( )342 giL + / Lagrange fonksiyonu ile verilir. Bu modelin nstanton tipi( )Cx ax i a32 2.+tzm iin( )gaC C 331 olduunu gsteriniz. Meron tipi( ) ( )11]1

t 212432.11xxixzm iin ( )gC C189231olduunu gzteriniz. (G.Akdeniz, Nuovo Cim. Lett.Vol. 33 ,40-44 (1982)) 7)2- Boyutlu bir gravitasyonel modelin Lagrange fonksiyonu aet xL +11]1

,_

+ ,_

2 221ile verilmektedir. Bu modelin instanton tipi zmnn11]1

,_

+ +22 21lnt xCB A eklinde bir logaritmik formda olabilmesi iin A, B ve C arasndaki banty ve cinsinden tayin ediniz. G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notlar, Blm VI.310.sayfa BLM VI ALAN TEORLERNE GR VI. 1PARACIK FZNDE ALAN TEORLERNE KISA BR TARHSEL GR 1900balarndakuvantumfiziininortayakmasile1926ylndaSchrdingerin,Bohr tarafndan kefedilen bir atomdaki elektronlarn acayip davranlarnn de Broglie dalga teorisini kesin matematikseldenklemleredntrmolmas,yanikkcisimlerindavrannnnon-lineer kuvantum dalga denklemleri (Schrdinger Denklemi) ile belirlenebileceinin anlalmas ve 1930 lu yllardaDiractarafndanyazlanspinralanlnon-lineerdalgadenklemizmlerinin(geneDirac tarafndanbulunan)elektronveanti-elektronyorumlamasndakibaars,teorikfizikteyenibir paradigmann ortaya kmasna neden olmutur. Bu paradigma teorik fizikileri temel paracklar iin yeninon-lineeralandenklemleriyazmayavebudenklemlerinfizikseldalgazmleriniaramaya teviketti.Yeniparacklarnkefedilmesiilebuteorikalmalarvearaylardahadacazibelibir durumageldi.zellikle1950liyllardanitibarenteorikfizikdnyasndaszkonusubuabalardabykbirartmagzlendi.Tmparacklarkapsayacamitedilengenisimetrileresahipbirok saydateorikmodellergelitirildivenerildi.Non-lineeralandenklemlerizerineyaplanbusrarl almalarvearaylarensonundameyvesiniverdi.Temelparacklartekbiralanteorisialtnda toplayabilmeninnnaacakmatematikselyapnntemelleriatld.1954ylndaikiteorikfiziki, Yang ve Millsok nceleri matematikiler tarafndan zerinde almalar yaplm Abelyen olmayan Liegruplarnn snflandrlmasn bu tipnon-lineer alanmodellerine uyguladlar. Geometrikolmayan isimetrileridekapsayan(globalayar)veparacklarverenalanlarndinamikyaplamasnda verebileceklocalgauge(yerelayar)simetrisinesahipteorikalanmodeli,Langrangefonksiyonu formalizminigelitirdiler. Oyllardanbugnealanteorilerininzerineyaplanveyaplanmaktaolanalmalar srmektedir;doadakigravitasyondndakietkileimlerinayarteorileriningelitirilmesi,bu teorilerdesimetrininkendindenkrlmasnnanlalmas,zayfetkilemelerdekiarabozonlarn hzlandrclardabulunmas,ayarteorilerindinamikzelliklerinin,araparackalverii,bual veriteortayakanbozukluklarngiderilerek,Feymanndiyagramlarylaifadeedilebilmesi,sper simetrikavramvebirleikalanteorilerigibidevrimcigrlervebulularbuson30yliine smtr.Parackfiziininstandartmodelidiyebileceimizbuoluumlarkmesikozmolojidede nemli gelimelerin nn amtr. Standartmodelin arkas zerine yaplan teorik almalar, ktle ekimli sper sicim teorileri, yksek boyutlu G. Akdeniz; Temel Tanecikler Ders Notlar, Blm VI.1 1. Sayfa modeller, sper simetrili modeller gibi, srmektedir. Parack fiziindeki buhzlgelimeler,modellerleortaya kannon-lineer alan denklemlerin genisimetrilifizikselzmlerininyenitekniklergelitirilerekbulunmasn(rneinyerelayar teorilerdeki perturbasyon teknii) ve bu zmlerinfiziksel zelliklerinin ve yerinin tartlmasn hep yanndatamtr.imdibutopolojikzmleriksacagzdengeirelimvebirsnflandrmasn verelim. Solitonlar: Lagrange tipi alan teorilerinin klasik hareketdenklemlerinin sonlu-enerjili, kararl dalgazmlerinegeneldesolitonadverilir.Solitonlar19.yzyldauygulamalmatematikiler tarafndannon-lineerdalgadenklemlerininzmlerindebulunmulardr,dahasonrakiyllardakat halfiziiileplazmafiziininbazproblemleriniaklamadakullanlmtr.Solitonlarnparack fiziinde anlaml (relevant) zmler olabileceinin anlalmas 1960 l yllara dayanr . Sonlu enerjili yereldalgazmleriniifadeedensolitonlar,gerek(dalga)yaylrkengereksekendiaralarndaki etkilemelerinden sonra yaplarn korurlar. Baka bir deile ekillerini srekli koruyarak, yaamlarn sonsuzadeksrdrrler,kendiaralarndaetkiletiklerindebilgialveriinde(enerjialverii) bulunmazlar.rneinfotontipikbirsolitonkarakterindedir.Buzelliklerindendolaykararl paracklarsolitonzmleriileifadeedilmeyeallmtr.teyandansolitonlarnparacklar fiziinin nemli bir alma alan olmasnsalayan dier bir zellii de topolojik grnmleridir. imdi solitonlar topolojik klasik zmler ad altnda snflandrarak ksaca zelliklerini gzden geirelim. (Solitonlar hakknda daha geni bilgi iin;Rajaraman,R. (1982) Solitons and Instantos, North-Holland, Amsterdam;Rebbi, C. and Solliani, G. (1984)Solutons and Particles, World Scientific, Singapore;Actor, A. (1980)Clasical Solutions and the Energy Momentum Tensor, Annals of Physics, Vol.131,269-282; Eilenberg,G . (1981)Solitons in Nuclear and Elemantry Particle Physics, World Scientific,Singapore .) Topolojik Klasik zmler genel olarak, a) sabit, b) statik, yalnz uzaya bal ve c) hem uzaya hemdezamanabal(uzayvezamandaalaninstantonvemeronzmleri)zmlerolmakzere kmeye ayrlrlar. a)Sabit zmler: Bu zmler sfrdan farkl olan ve potansiyeli minimum klan,sfrenerjilikararlzmlerdir.Bunlarvakumzmleriolup,solitonlarbuzmler arasndahapisolduundansonluenerjiyesahiptirler.Butezdeinceleyeceimizsolitonzmleribu zelliesahiptir.Perturbasyontekniiilebulunansolitonzmkendiliindensabitzmler arasnda hapis olmaktadr. Sabit zmler Yang-Mills yerel ayar teorilerinde simetrinin kendiliinden krlmasnda ve Higgs mekanizmasndanemli rol oynarlar.G. Akdeniz; Temel Tanecikler Ders Notlar, Blm VI.1 2. Sayfa

b)Statikzmler:Buzmleriseuzayboyutunagre,tekboyutlukink(tekyamal) zmleri , iki boyutlu vorteks zmlerive boyutlumonopole (tekkutup)zmleri ad altnda eayrlrlar.KinkzmleriBaryonlarolarakyorumlanr.AyrcabuzmlerinSine-Gordon denkleminiVI.3deelealacamzktleliThirringModelinedntrebileceigsterilmitir.ki boyutluvortekszmleritekyamalzmlereboyutasndangenilemeyaplabilmesiuralar tesinegeememitir.Mono-polezmleriSU(2)ayarteorilerindetekiluzaysalnoktannhapis olmas ile tHooft bulmutur. (tHooft,G. (1971)Nucl. Phys., B35 , 267) Bu zmlerin kutup zellii olmas,MaxwelldenklemlerinidahasimetrikyazmakiinDiractarafndanortayaatlanmagnetik mono-pole paracklarna karlk gelmesini salamtr.Buradaki amaz da magnetik mono-polelerin gzlenememi olmasdr.Baka bir deyile byk patlama sonras mono-pole tipi paracklar yaama ortam bulamamlardr. c) Topolojik zmler: Topolojik zellikleri olan, hem uzaya hem de zamana bal olan, uzay vezamanniiegirdiiveyauzayvezamannbirliktesonsuzaaldklasikzmlerdir.Bu zmlere rnek olarakinstanton ve meron tipi zmler verilebilir. nstanton ve meron zmlerinin simetrikzellikleriniveeitlialanlardakiyaplarnVI.3degeniolarakelealacazveeitlialan modellerindebuzmlerinnaslbulunacangstereceiz.Konformalsimetrininkrlmasile bulunan instanton zm tekniiniVI.2 deksaca anlatlacaktr. nstantonlar sfr enerjili zmlerdir veeylemlerisonludur.Kuvatumkarakteritarlar,bunedenlekuarklarnvakumdurumuolarak yorumlanmlardrvevakumlararasgeiiverdiklerindenkuarklarnbirliktedolamalarn(her zamanikiliyadalbiryaantnniinehapsedilmiolmalarn)aklamadanemkazanmlardr. Meronlar ise uzay-zamanda singlerdirler. Bu singlerlikten uygun bir dnmle kurtulunur. 1950liyllarn,kefedilenparacksaysndakihzlartndaetkisiyle,teorikfizikteher temelbirtaneciibirdenklemleifadeetmealmalarnnyounlukkazandyllarolduunu sylemitik.ParacklarbirdenklemleifadeetmeninennemlinedenlerindenbirideDiracnspinli paracklariinyazdrlativistik(grelilik)kuvantumzelliiolan,yanigreliliinvekuvantum fiziinin ilkelerini bir araya getiren ve Dirac Denklemi olarak bilinen denklemin, elektronun ve anti-elektronzelliklerineuygunsonularvermesiydi.(Anti-elektronlarn(pozitron)Andersontarafndan kozmiknlarda1932ylndakefedilmesiveaynandabirelektronyaratmadanbirpozitron yaratmannolanakszlnnanlalmas)FakatDiracKuramileortayakanherparack-anti-parackiftinebirdenklemfikrinin,zellikleparacklarnkuvantumsaylarndakarklklarayol vereceideakt.BornveHeisenbergbununtekbirbirleikdenklemyazmaklaalabileceinine srdler.Bufizikileregre,tmparacklarninasnaolanakverecekbiralanmodelinon-lineer yapda ve fermiyon zellii olan bir dalga G. Akdeniz; Temel Tanecikler Ders Notlar, Blm VI.1 3. Sayfa denklemiolmalyd.Tmparacklardabudenkleminzmnverenfermionsalparacklardan olumalyd.zellikle1950liyllardaHeisenbergverencileributipbiralanmodeliyazmakiin byk abalarda bulundular. Heisenbergverencileri Dirac denklemine benzeyen,ktle terimineek olarakfermiyonlarndierparacklaroluturabilmesiiin;kendiaralarndabtnlemelerideifade edenterimideierenmodellergelitirdiler.Heisenberginbualmalarndanveabalarndan etkilenen bir ok teorik fizikide benzer spinor alanl modeller gelitirdi. Hzlandrclarn gelimesi ile bulunanyenideneysonularvearkasndanYang-Millstarafndanbulunanyerelayarteorileri Heisenberg bu ryasna son verdi. Fakat konformal simetrilere sahip spinor alanl non-lineer modeller ve spinli paracklar olan kuarklarn 1960 ylna doru Gell-Mann ve Y.Neeman tarafndan nerilmesi vedeneylerdekefiiletekrarnemkazandlar.1970liyllarnsonunadoruYang-Millsteorilerinde instanton tipi zmler bulundu. (Polyakof, A. M. , Schwartz, A. S. and Tyupkin, Yu. S. (1975) Phys. Lett.B59,85;)Buzmlerinuzay-zamanabalolmalaryannda,vakumzelliklerigstermeleri parackfizikilerininbykbirilgisiniekti.Builgieitliskaleralanmodellerindeinstanton zmlerininbulunmasilekendinigsterdi,rneinAlfaro,FubiniveFurlanSigmaModelinde instantonzmleribuldu(Alfaro,V.D.andFurlan,G.(1976)NuovoCimento,34a,555).Bu gelimelereparalelolarakAkdenizveSmailagicspinrtipiinsatantonzmleribulmakiin,iki boyutlusaffermiyonsalvekonformalsimetriyesahipolanktlesizThirringModeli(Thirring,W.E. (1958)ASolubleRelativisticFieldTheory,Annalphysics,Vol.3,91-112)zerindebirlaboratuar modelolarakalmalaryaptlarvebumodeldekonformalsimetrininkrlmasilefermiyontipi instaton ve meron tipi zmleri buldular (Akdeniz, K. G and Smailagic , A . (1979)Clasical Solitons forFermionicModels,IINuovaCimento,Vol.51A,No.3,345-357)BuzmtekniiniBlmVI.3 degstereceiz.Spinrtipinstantonvemeronzmlerinidrtboyutatamakiinyenibir konformalinvaryantspinrmodelAkdeniz-Smailagictarafndannerildi.Bumodeldekonformal invaryantlnsalanmasveetkilemeterimikuantizasyoniingerekliperturbasyontekniklerine uygunolabilmesiiinancakncmertebedentrevlerlesalanabildiinden,modelmatematikbir model olmaktan teye gidemedi. Konformalinvaryantalanmodellerizerineyaplanbualmalarzerine,Akdeniz1982 ylndayaptbiralmaile(Akdeniz,K.G.(1982)ClassicalSolutionsoftheGrseys Conformal-InvariantSpinorModel,LetterealNuovaCimento,Vol.33,40-44.)Grseytarafndan 1955 ylnda gelitirilmi bir spinr alan dalga denklemini (Grsey ,F. (1956) On a Conform- Ivariant SpinorVaveEquation,IINuovaCimento,vol.3,No.5,988-1006)parackfizikilerinindikkatine sundu. Heisenbergin ryasn gerekletirmek iin Grsey tarafndan nerilen bu denklemkonformal simetriyehaizilknon-lineerspinrdalgadenklemidir.Buzelliklerindendolay,Grseynon-lineer spinordalgadenklemi(GSD),DiracdenklemineveHeisenbergvearkadalarnnnerdii denklemleregredahagenidinamikbirsimetriyesahiptir.Ayrcafermiyonlarndndakidier spinli parack yaplamasna da aktr. AkdenizG. Akdeniz; Temel Tanecikler Ders Notlar, Blm VI.1 4. Sayfa aynalmadaGSDdekonformalsimetrininkrlmasileinstantonvemerontipizmlerinibuldu vebuzmlerinHeisenberglebukonulardaaratrmalaryapmolanKorteltarafndan1956 ylnda(Kortel,F.(1956)OnSomeSolutionsofGrseysConformalInvarianSpinorVave Equation,IINuovaCimento,vol.4,No.2,210-215)GSDdebulunanzmsnfnniindemevcut olduunugsterdi.BualmasonrasGSDdrtboyutluvebirincimertebedentreviermesi nedeniyledetekrarteorikfizikdnyasnngndeminegeldivegerekdenklemgereksemodelolarak zerindebirokalmayapld.GSDnindierfizikselzmlerininbulunmasnda,modelin kuvantum zelliklerinin anlalmasnda ve yeni versiyonlarn yaplmas almalarnda da bir ok Trk fizikisinindeimzasvardr.BunemlialmalarnouTrkiyedeyaplmtrvebiroktez almasna konu olmulardr Ayrca son yllarda GSM nin daha yksek boyuttaki instanton ve meron zmleri bulundu. Bu almalar hakknda (nem, C. Balkl Doktora Tezi, stanbulniversitesiFen Bilimleri Enstits, 2001)

GelecekblmdealanlarteorisindekiLagrangeFonksiyonuformalizminielealacaz.ve Euler Lagrange diferansiyel denklemlerinin kartl zerinde duracaz. Bu denklemlerin simetrik ve deimezlik zelliklerini ele alacaz. Deimezlik zelliklerine bal olarak ortaya kan korunumlar tartiacaz. Lagrange fonksiyonlarnn yerel faz dnmlerine gre deimezliini, rnein budeimezlikElektromagnetikkuramndaykkorunumunuverirveayaralanadverilenbiralann varlnortayakoyar,buyenialanfotonlarnbtnzelliklerintar,inceleyeceiz.Ortayakan yerel ayar alanlarn ara paracklarnzellikleriniverdiinigreceiz.Ayrcadrt-boyutlukonformal koordinat dnmnn zelliklerini ksaca ele alacaz. Konformaldnmn trev operatrlerinin LieGrubu yaplamasnve Lie cebirizelliklerinivereceiz. Konformalinvaryantve spinor alanlar ieren bir modelde, konformal simetrinin nasl krlabileceini gstereceiz. Blm VI.3 de konformal simetrinin kendiliinden krlmasn ile instanton ve meron tipi spinor zmlerin nasl elde edileceini gsteripeitliskalervespinralanlteorikmodellerdeinstantonvemeronzmrneklerini vereceiz. Blm V!.4 de ktleliThirring Modelinde ve Ktleli Grsey Modelinde Soler n-zm (Soler , M. (1970)Classical,Staible,NonlinearSpinorFieldwithPositiverestEnergy,PhysicalRev.D.,1, 2766 2769)ile soliton yaplamalarn gstereceiz. Bulanan soliton zmlerinin dinamik yapsn tartacaz. G.Akdeniz, Temel Tanecikler Ders Notlar, Blm VI.15.sayfa PAUL MATRSLER (Temel paracklar) 1)Yarm-spinli paracklar2)Hamiltonien ve Lagrangien S=1/2 paracklarn i iL 21 i=1,2,3 i lere Pauli matrisleri diyoruz.

,_

,_

,_

1 00 1 00

0 11 03 2 1 z y xii ZELLKLER: 1)I 232221 2) 3 2 1 2 1 i , 1 3 2 3 2 i ,2 3 1 1 3 i 3) Komitatiflii;[ ]3 2 12 , i Dairesel permtasyon. [ ]1 3 22 , i [ ]2 1 32 , i Genel:[ ]k ijki 2 ,2 1 4)iI 232221. . 5)[ ] 0 i rT6)1 ) det( i7) j j j i ij j ii + 2 } {, 8)[ ]ij j i ri T 2