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Probabilidades y Estadística I
TEMA 11
Intervalos de confianza
Probabilidades y Estadística I
Esquema inicial
1. Introducción 2. Método de la variable pivote 3. Intervalo de confianza en poblaciones normales 4. Intervalo de confianza asintóticos
Probabilidades y Estadística I
Esquema inicial
1. Introducción 2. Método de la variable pivote 3. Intervalo de confianza en poblaciones normales 4. Intervalo de confianza para proporciones
Probabilidades y Estadística I
1. Introducción (1/3)
0 1 2 3 40
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
( , )Erlang k λ
Asignación
Probabilidades y Estadística I
1. Introducción (2/3)
0 1 2 3 40
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
( , )Erlang k λ
Problemas
1. Determinar el valor de los parámetros a partir de los datos (Estimación puntual)
( )1 2ˆ ˆ , ,..., nk k X X X= ( )1 2
ˆ ˆ , ,..., nX X Xλ λ=
1. Determinar el valor de los parámetros a partir de los datos (Estimación intervalar)
( ) ( )1 1 2 2 1 2ˆ ˆ, ,..., , ,..., 0.90n nP k X X X k k X X X ≤ ≤ =
( ) ( )1 1 2 2 1 2ˆ ˆ, ,..., , ,..., 0.95n nP k X X X k k X X X ≤ ≤ =
( ) ( )1 1 2 2 1 2ˆ ˆ, ,..., , ,..., 0.99n nP k X X X k k X X X ≤ ≤ =
Probabilidades y Estadística I
1. Introducción (3/3)
Ejemplo Sea X1,X2,…,Xn una muestra aleatoria simple de una
( ,1)N µ
1 2 ... 1( , )nn
X X XX Nn n
µ+ + += ∼ (Estimador puntual)
(tipificando) (de la tabla)
Probabilidades y Estadística I
Esquema inicial
1. Introducción 2. Método de la variable pivote 3. Intervalo de confianza en poblaciones normales 4. Intervalo de confianza asintóticos
Probabilidades y Estadística I
2. Método de la variable pivote (1/2)
Objetivo
Variables aleatoria
Constante
Nivel de confianza
Se trata de encontrar una variable aleatoria que sea función de la muestra y del parámetro desconocido, de la que se conozca su distribución y, además, ésta no dependa del parámetro
Probabilidades y Estadística I
2. Método de la variable pivote (2/2)
Objetivo
Se trata de encontrar una variable aleatoria que sea función de la muestra y
del parámetro desconocido, de la que se conozca su distribución y, además,
ésta no dependa del parámetro
Probabilidades y Estadística I
Esquema inicial
1. Introducción 2. Método de la variable pivote 3. Intervalo de confianza en poblaciones normales 4. Intervalo de confianza asintóticos
Probabilidades y Estadística I
3. I.C. en poblaciones normales (1/15)
Sea X1,X2,…,Xn una muestra aleatoria simple de una ( , )N µ σ
Casuística
1.
2.
3.
4.
4.1
4.2
5.
Probabilidades y Estadística I
3. I.C. en poblaciones normales (2/15)
Caso 1
(Variable pivote)
/ 2zα/ 2zα−
(Intervalo de confianza)
Probabilidades y Estadística I
3. I.C. en poblaciones normales (3/15)
Caso 2
(Variable pivote)
(Intervalo de confianza)
1, / 2nt α−− 1, / 2nt α−
Probabilidades y Estadística I
3. I.C. en poblaciones normales (4/15)
Caso 2
Probabilidades y Estadística I
3. I.C. en poblaciones normales (5/15)
Caso 2
Probabilidades y Estadística I
3. I.C. en poblaciones normales (6/15)
Caso 3
(Variable pivote)
21, / 2n αχ −
21,1 / 2n αχ − −
(Intervalo de confianza)
Probabilidades y Estadística I
3. I.C. en poblaciones normales (7/15)
Caso 3
Probabilidades y Estadística I
3. I.C. en poblaciones normales (8/15)
Caso 4
4.1
4.2
2 2 21 2σ σ σ= =
Probabilidades y Estadística I
3. I.C. en poblaciones normales (9/15)
Caso 4 2 2 21 2σ σ σ= =
(Estimador de varianza común)
(Variable pivote)
(Intervalo de confianza)
Probabilidades y Estadística I
3. I.C. en poblaciones normales (10/15)
Caso 4 2 2 21 2σ σ σ= =
Probabilidades y Estadística I
3. I.C. en poblaciones normales (11/15)
Probabilidades y Estadística I
3. I.C. en poblaciones normales (12/15)
Caso 4
(Variable pivote) ( ) ( )
1 2
1 222 2
1 2
1 2
n n
X Yt
S Sn n
µ µ+ − −∆
− − −∼
+
Probabilidades y Estadística I
3. I.C. en poblaciones normales (13/15)
Caso 4
Probabilidades y Estadística I
3. I.C. en poblaciones normales (14/15)
Caso 5
(Variable pivote)
(Intervalo de confianza)
Probabilidades y Estadística I
3. I.C. en poblaciones normales (15/15)
Caso 5
Probabilidades y Estadística I
Esquema inicial
1. Introducción 2. Método de la variable pivote 3. Intervalo de confianza en poblaciones normales 4. Intervalo de confianza asintóticos
Probabilidades y Estadística I
4. Intervalos de confianza asintóticos (1/3)
Sea X1,X2,…,Xn una muestra aleatoria simple con n ≥ 30
Casuística
1.
2.
Probabilidades y Estadística I
4. Intervalos de confianza asintóticos (2/3)
Caso 1
(Variable pivote. Por T.C.L)
(Intervalo de confianza)
(1 ), p pN pn− ∼
Probabilidades y Estadística I
4. Intervalos de confianza asintóticos (3/3)
Caso 2