tema11 fracciones algebraicas

Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI

Especializacin enDocencia Matemtica

Tema 11: Geometra analtica del plano


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Contenido de este documento

Introduccin

Vectores

Operaciones con vectores

Combinacin lineal. Base.

Expresin analtica de un vector. Operaciones

Clculo del mdulo y el ngulo de un vector.

Producto escalar de dos vectores.

Taller de vectores

Ecuacin de la recta: distintas formas.

Coordenadas del punto medio de un segmento.

Ecuacin general o implcita.

Ecuacin explcita.

Ecuacin de la recta que pasa por dos puntos.

Vector asociado a la recta

ngulo que forman dos rectas.

Posicin relativa de dos rectas en el plano.

Ecuacin punto pendiente.

Distancia de un punto a una recta.

Introduccin

La geometra analtica permiti dar un gran salto en el estudio de las

matemticas. Los mtodos de tratamiento de ciertos problemas requeran la aparicin de nuevas tcnicas para poder avanzar. Una de las

aplicaciones que avalan la importancia de la geometra se puede resumir diciendo que permite conocer las funciones mediante sus expresiones

algebraicas.

Qu significa esto? Pues que, dada una funcin cualquiera y siguiendo las pautas que establece la geometra, podemos estudiar sus propiedades

sin necesidad de conocer su grfica. As, por ejemplo, conocidas esas pautas, la expresin algebraica y = - 3x + 8 es, geomtricamente, la

Geometra analtica del plano


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ecuacin de una recta decreciente. No necesito representarla para saber

que se trata de una recta y que, adems, es decreciente.

Esa equivalencia ecuacin-funcin es la que motiva este tema y

constituye su objetivo central. Por lo tanto, el propsito de su explicacin consiste en transmitir las ideas y los procedimientos que lleven a captar

esa identificacin con la suficiente claridad para poder utilizarlos despus en las mltiples ocasiones.

El poder comprobar grficamente lo que se dice algebraicamente, es decir, la posibilidad de utilizar la visualizacin de las situaciones, hace que

este tema sea bastante estimulante desde el punto de vista de su metodologa. Si, por ejemplo, estudiamos algebraicamente la posicin de

dos rectas y obtenemos que las rectas son secantes, podemos hacer la representacin grfica con GeoGebra y comprobar esa conclusin y

adems, que las rectas dibujadas se cortan en el punto que se dedujo al resolver el sistema de ecuaciones.

Por otra parte, existen situaciones problemticas de la vida cotidiana cuya

interpretacin matemtica nos lleva a una expresin algebraica y de ah, a las correspondientes grficas con lo cual el estudio de la situacin se

simplifica y se visualiza. Es el caso, por ejemplo, de las tarifas de servicios como los recibos de consumo de agua, de luz y de telfono, el

espacio recorrido por un cuerpo al deslizarse por un plano inclinado, la trayectoria descrita por una pelota al lanzarla, etc. En consecuencia,

disponemos tambin de este conjunto de situaciones que ayudarn a estimular el estudio del tema a pesar de su carga de abstraccin que,

desde luego, no se debe ocultar sino todo lo contrario. No debemos perder de vista que las matemticas tambin tienen como objetivo

desarrollar la capacidad de abstraccin y este es un tema que ayuda a conseguirlo.

El tema se inicia con una parte dedicada al clculo vectorial con el fin de poner las bases para llegar a las ecuaciones de la recta. De esta forma,

tambin, se facilitar la comprensin de aspectos tales como el

paralelismo o la perpendicularidad a travs del vector asociado a la recta.

Se debe tratar de conseguir una pronta identificacin del algebra con la

geometra con el fin de tomar la visualizacin como un soporte metodolgico.


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ORIGEN DE LA GEOMETRA

No sera aventurado afirmar que la geometra naci al mismo tiempo que el hombre adquiri la capacidad de

razonar. Por qu? Porque al mirar a su alrededor se encontr con formas y regularidades que le condujeron a

crear geometra. La luna y el sol tienen la misma forma. Cuando vea de lejos una naranja, se percatara de la

coincidencia en la forma con esos astros. Y poco a poco debi empezar a crear modelos y a comprobar propiedades. Se

suele decir que la geometra fue descubierta por los egipcios (Eudemo de Rodas) debido al problema que tenan cada ao

con las crecidas del Nilo. Era necesario volver a marcar lmites en los terrenos despus de la vuelta de las aguas a su

cauce. Se trata, por tanto, de una utilizacin prctica de normas que habran sido creadas tras muchas observaciones

y aplicaciones.

Vectores

Podemos distinguir dos tipos de magnitudes, como se expresa en el siguiente cuadro:

Magnitudes

Escalares

Son aquellas que quedan definidas inequvocamente

mediante su valor y la unidad correspondiente.

Ejemplos: 12C, 7m., 80g

Magnitudes

Vectoriales

Para quedar definidas necesitan cuatro elementos:

Punto de aplicacin: es el punto del plano en el que se

aplica la magnitud.

Direccin: coincide con la de la recta que contiene al vector.

Todas las rectas paralelas tienen la misma direccin.

Sentido: Situndonos en cualquier punto de la recta se

tienen dos sentidos. La magnitud vectorial toma uno de

ellos.

Mdulo: es el tamao que toma una magnitud vectorial

comparndola con una unidad definida previamente.

Las magnitudes vectoriales pueden ser representadas grficamente

mediante los llamados vectores que son segmentos orientados en los que quedan expresados los cuatro elementos que definen las magnitudes

vectoriales como puede observarse en la Fig. 1, que se conoce popularmente como flecha:


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A = punto de aplicacin de la magnitud.

B = es la punta de la flecha que seala tres elementos de la magnitud

vectorial:

La direccin de la magnitud que es la de la recta que pasa por A y por B, esto es, la recta AB.

El sentido que toma la magnitud. Recurdese que desde cada

punto hay dos sentidos y la punta de la flecha seala cul es

el que se ha tomado.

El mdulo de la magnitud vectorial coincide con el tamao del segmento AB una vez que se haya fijado una unidad.

Fue el matemtico francs LAGRANGE quien dio un

tratamiento aritmtico a las magnitudes vectoriales. Su idea

se desarroll posteriormente dando lugar a la teora de vectores que se convirti en una herramienta muy til en el

estudio de ciertas partes de la Fsica y la Tecnologa.

Notaciones de vectores

Los vectores se representarn de una de estas tres formas:

a) Mediante letras minsculas a las que se colocar una flecha por encima como:

b) Utilizando las letras maysculas situadas en el origen y el extremo

para expresarlo as:

Fig. 2

c) En algunos libros se representan a los vectores cambiando el tipo de letra, por ejemplo, mediante negritas: a, b, c, m, p, (Este ser el sistema que adoptaremos a partir de ahora).

d) El mdulo de un vector se escribir colocando el vector entre dos

trazos perpendiculares:

Fig. 1

a b c p x u v


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Vector libre

Los vectores a, b, c y d tienen la misma direccin (las rectas sobre las que estn son paralelas), el mismo sentido y el mismo tamao, es decir,

el mismo mdulo, en ese caso se dice que son vectores equipolentes. Lo mismo ocurre con los vectores m, n y p.

Fig. 3

Obsrvese, por tanto, que podemos encontrar un conjunto de infinitos

vectores.

El conjunto de todos los vectores fijos equipolentes entre s forma un

nico vector libre. Cada uno de los vectores fijos es un representante del vector libre

El mdulo, la direccin y el sentido de un vector libre se corresponden con el mdulo, la direccin y sentido de uno cualquiera de sus representantes,

pero su origen puede situarse en cualquier punto, como puede observarse en Fig. 4.

Fig. 4


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Operaciones con vectores

a) Suma

La suma de vectores se realiza grficamente mediante la llamada regla

del paralelogramo.

Si se quieren sumar los vectores a y b se fija un punto cualquiera del

plano y se trazan en l dos vectores de la misma clase que a y b (estamos

trabajando con vectores libres). Por el extremo de a se traza un vector paralelo a b y por el extremo de b uno paralelo a. Se forma as un

paralelogramo cuya diagonal mayor es el vector suma a + b.

Fig. 5

O bien, si queremos sumar dos vectores, ponemos un vector a continuacin de otro, el vector que va del origen del primero al extremo

del segundo es el vector resultante (suma) de ellos. Esta forma vale para

sumar ms de dos vectores, para ello colocamos los vectores uno a continuacin de otro y unimos el origen del primero con el extremo del

ltimo.

b) Vectores opuestos

Ya se ha explicado que considerado un punto cualquiera de una recta, existen dos sentidos. Pues bien, dos vectores se dice que son opuestos si

tienen la misma direccin, el mismo mdulo pero sentidos diferentes. Si uno de ellos es el vector a, su opuesto se notar como a. En la Fig. 6dibujamos ejemplos de vectores opuestos.

a + b

b

a

a

b


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Fig. 6

c) Resta

Para restar dos vectores, basta con sumar a uno el opuesto del otro. Ejemplo:

Fig. 7

Ejemplo 1.

Demuestra que en la regla del paralelogramo, el vector que une el

extremo de b con el extremo de a, es decir, la otra diagonal (diagonal menor) del paralelogramo, es el vector ab.

d) Producto de un vector por un escalar

En la Fig. 8 se tiene un vector a y se multiplica, por ejemplo, por 2. Entonces se obtiene un nuevo vector 2a con estas caractersticas:

2a tiene la misma direccin que a.


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El sentido de 2a es el mismo que el sentido de a

El mdulo de 2a, es decir, es igual a

Fig. 8

Actividad 1.

Expresar las caractersticas del vector que resulta al multiplicar el

vector a por 2, es decir, el vector 2a.

La situacin se generaliza del siguiente modo:

Dado el vector a y el escalar m, el vector ma tiene estas caractersticas:

ma tiene la misma direccin que a.

ma tiene:

- el mismo sentido que a si m > 0

- sentido opuesto al de a si m < 0

el mdulo de ma es igual a m veces el mdulo de a, es decir:

para obtener ma basta con trazar m veces el vector a en la misma

direccin que a.

Combinacin lineal. Base.

El objetivo de este apartado es el de definir el concepto de base de

vectores en el plano para pasar a la parte analtica de los vectores expresando un vector en un sistema de ejes cartesianos.

Trataremos de dar las definiciones de forma sencilla y grfica sin entrar en propiedades.

Si tenemos los vectores a y b; los multiplicamos, respectivamente por 2 y por 3 y sumamos, el resultado es el vector m = 2a + 3b. Decimos

entonces que m es una combinacin lineal de a y b. La Fig. 9 muestra la situacin planteada, grficamente:


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Fig. 9

Actividad 2.

Utilizando esos mismos vectores a y b, obtener grficamente las

siguientes combinaciones lineales:

2a 3b

a + 2b

0,5a + 3b

Podemos definir la combinacin lineal de este modo:

Definicin El vector m se dice que es combinacin lineal de los vectores a y b si existen dos nmeros y que verifiquen: m = a + b

Del concepto de combinacin lineal se extrae una propiedad que va a tener una importante repercusin: si tenemos dos vectores en el plano

que no sean paralelos (es decir, que tienen direcciones distintas), entonces cualquier vector se puede expresar como una combinacin lineal

de esos dos vectores.

Sean a y b los vectores dados y sea m un vector cualquiera (Fig. 10).

Fig. 10

Para probar lo dicho, se han prolongado las rectas que contienen a los

vectores a y b.


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Desde el extremo de m se trazan paralelas a esas rectas y se obtienen as

los vectores a y b. Segn la regla del paralelogramo, se tiene el resultado anunciado:

m = a + b

Actividad 3.

Expresar grficamente en cada caso m como combinacin lineal de a y

b.

Pues bien, llegamos as al concepto de base que es clave para poder

entrar en el estudio analtico de los vectores, es decir, utilizar un sistema de coordenadas cartesianas para trabajar con coordenadas.

Es muy sencillo: en el plano, cualquier sistema formado por dos vectores no paralelos forma una base. Esto quiere decir que cualquier

otro vector se puede siempre expresar de forma nica como una combinacin lineal de los vectores de la base. Dicho en otros trminos: si

a y b son dos vectores que forman una base, y m es un vector cualquiera, entonces existen dos nmeros nicos y tales que:

m = a + b

Pues bien, los nmeros y reciben el nombre de coordenadas de m respecto de la base formada por a y b.


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Expresin analtica de un vector. Operaciones

Pasamos a un punto interesante de este tema que tendr trascendencia en los estudios posteriores. Hemos indicado en el epgrafe anterior que

dos vectores no paralelos del plano forman una base.

Si dos vectores son perpendiculares, obviamente forman una base pero en

ese caso se dice que es una base ortogonal. Para expresar que dos vectores a y b son ortogonales utilizaremos el smbolo :

Si esos dos vectores ortogonales tienen adems la propiedad de tener

cada vector el mdulo igual a la unidad, entonces se llamar base ortonormal.

Pues bien, consideremos un sistema de ejes cartesianos:

Fig. 11

Obsrvese en la Fig. 11 que en los ejes dibujados se ha sealado la base

ortonormal formada por los vectores u y v.

La ventaja de usar esta base es que si multiplicamos u por 3 y v por 4,

entonces la regla del paralelogramo nos permite obtener con suma facilidad el vector

Es lo que llamaremos expresin analtica del vector w en funcin de u y

v.

El par de nmeros (3,4) reciben el nombre de componentes del vector

w respecto de la base formada por u y v o, simplemente, componentes de w porque en lo que sigue solo vamos a trabajar con esta base. Lo

expresaremos simblicamente as:

w = (3,4)


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Conviene no confundir coordenadas de un punto con componentes de un

vector. Quiz la idea de su distincin quede ms clara con lo que viene a continuacin. Veamos cmo se obtienen las componentes de un vector si

no tiene su punto de aplicacin en el origen de coordenadas:

Fig. 12

En la Fig. 12 el vector tiene su punto de aplicacin en el punto A (2,3) y el

extremo en B (5,8). Veamos cules son las componentes del vector a = AB, para ello imaginemos que el origen de coordenadas se traslada al

punto A para darnos cuenta que entonces el vector AB ser el vector de componentes:

a = AB = (52, 83) = (3, 5)

En general, si se tienen dos puntos A(x1, y1) y B(x2, y2), entonces el vector AB tiene de componentes:

AB = (x2- x1, y2 y1)

Actividad 4.

Dibujar los puntos en unos ejes cartesianos y obtener las componentes

de los vectores indicados:

A B AB

(5,1) (2,6)

(2,3) (-3,7)

(-2,2) (5,-1)

(-2,-3) (5,2)

(-1,-1) (-3,-6)


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a) Suma

La introduccin de la expresin analtica del vector, nos permite retomar las operaciones con vectores que vimos grficamente al principio y

comprobaremos por primera vez que no es necesario hacer la figura para obtener la suma de dos vectores. Esta es, precisamente, una de las

grandes aportaciones de la geometra analtica.

Ejemplo 2.

Suma los vectores a y b, que tienen por componentes:

a = (2,6) y b = (8,3)

Para ello sumaremos sus correspondientes componentes, es decir:

c = a + b = (2,6) + (8,3) = (2 + 8, 6 + 3) = (10,9)

Vamos, no obstante a comprobar grficamente que ese resultado es correcto. La figura siguiente lo demuestra:

Por tanto, en general, dados los vectores a=(x1, y1) y b =(x2, y2) se tiene que:

a + b = (x1, y1)+(x2, y2) = (x1 + x 2, y1+ y2)

e) Producto por un escalar.

En la Fig. 13 se ha representado grficamente el producto de un vector

por un escalar.


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Fig. 13

De modo que de forma general podemos decir que, dado el vector a=(x1,y1) y el escalar , entonces:

a= (x1, y1) = ( x1, y1)

Clculo del mdulo y el ngulo de un vector.

La expresin analtica del vector nos permite obtener el valor del tamao del vector (que es lo que hemos llamado mdulo) y otro dato que tendr

importancia en ciertos problemas, como luego se ver, se trata del ngulo que forma en vector con la parte positiva del eje de abscisas, medido

siempre de forma positiva, es decir, en sentido contrario a las agujas del reloj. Esos clculos se explican en la Fig. 14 con un ejemplo numrico.

Ejemplo 3.

Dado el vector AB que se muestra en la Fig. 14, calcula

su mdulo y su ngulo:

Fig. 14


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Segn lo definido, el mdulo es la distancia del punto A al B. Como se

forma un tringulo rectngulo podemos aplicar el teorema de Pitgoras para obtener esa distancia.

Para calcular el ngulo, hemos de utilizar la tangente trigonomtrica de

un ngulo que es el cociente entre el cateto opuesto y el cateto contiguo. En la figura se tiene entonces que:

tg () = 4/3

Con la ayuda de la calculadora se obtiene

() = 53748

Cuando el vector viene dado por sus componentes, el clculo de estos

dos elementos se realiza del mismo modo. Por ejemplo, sea a = (5,3).

Se tiene:

Actividad 5.

Calcular el mdulo y el ngulo de cada uno de los vectores siguientes:

a (4,1)

b (-2, 3)

c (-3, -1)

d (-3,-5)

AB, siendo A(3,5) y B(7,-2)

Producto escalar de dos vectores.

Es una operacin definida entre vectores cuya expresin permite simplificar determinados clculos.

Definicin Dados los vectores a y b, su producto escalar es el nmero ab definido as:

Es decir, el producto escalar es igual al producto de los


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mdulos de los vectores por el coseno del ngulo que forman

los vectores. Por tanto, el resultado es un escalar.

De la definicin se deducen las siguientes propiedades que son tiles para resolver ciertas situaciones:

1. Si los vectores son perpendiculares, entonces el producto escalar es nulo.

En efecto, se debe a que, en ese caso, los vectores forman un

ngulo de 90 y sabemos que .

2. Si el producto de dos vectores no nulos es cero, entonces los

vectores son perpendiculares.

Es casi el recproco del anterior (obsrvese que se ha restringido a

que los vectores no sean nulos).

Al ser vectores no nulos, sus mdulos son distintos de 0 y si el

producto de las tres cantidades , entonces ha de ser cos(a, b)=0 lo que significa geomtricamente que los vectores a y b son perpendiculares.

3. El producto escalar cumple las propiedades:

Conmutativa, esto es: ab = ba

Asociativa con un escalar: (ab) = ( a)b

Distributiva: a(b+c) = ab + ac

Expresin analtica del producto escalar.

Como los vectores vienen dados, en general, por su expresin analtica,

vamos a deducir cul es la forma analtica que tiene el producto escalar de dos vectores. Se trata de una expresin muy sencilla que hace que, en

algunos problemas, los clculos se simplifiquen mucho.

Sea u y v la base ORTONORMAL en el plano cartesiano. Esto quiere decir

que son dos vectores unitarios y adems perpendiculares, es decir:

uv = 0 (segn la propiedad 1 del producto escalar, ya que se trata de dos vectores perpendiculares).

Consideramos dos vectores cualesquiera a = (x1,y1) y b = (x2,y2).

Se pueden escribir tambin as:

a = x1 u + y1 v

b = x2 u + y2 v

Por tanto su producto escalar es:


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a. b = (x1 u + y1 v). (x2 u + y2 v)

Aplicando las propiedades del producto escalar se tiene:

(x1 u+y1 v)(x2 u+y2 v) = x1. x2 u u + x1 y2 u v + y1 x2 v u + y1y2 v v

Sabemos que: uu = vv = 1 y que u v = 0

En consecuencia, la expresin anterior queda reducida a la conocida como

expresin analtica del producto escalar:

ngulo que forma dos vectores.

La expresin con la que se define el producto escalar y su expresin

analtica nos permiten calcular el ngulo que forman dos vectores, dados

dos vectores a y b, el ngulo que forman se denota por . En efecto, si los vectores son a = (x1, y1) y b = (x2, y2) se tiene:

por una parte, segn la definicin:

por otra, mediante la expresin analtica: ab = x1 y1 + x2 y2

De las dos igualdades se deduce que:

Despejando, finalmente cos(a, b) se llega al resultado siguiente:

Conocido el valor del coseno, con la ayuda de la calculadora se obtiene lo

que mide el ngulo que forman los dos vectores.

ab = x1 y1 + x2 y2

Actividad 6.

Siendo a (3,- 5) y b (2,2), calcula ab.

Ejemplo 4.

Obtener el ngulo que forman los vectores a=(3,-5) y

b=(2,2).

Calculemos los mdulos de los vectores:

Como a b = -4, se tiene:


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Actividad 7.

Obtener el ngulo que forman los vectores indicados en la tabla siguiente:

a b

(-2,4) (5,1)

(2,5) (5,2)

(-3, -2) (-1,-5)

Con la ayuda de la calculadora obtenemos, finalmente:

ngulo que forman a y b ser


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Taller de vectores

Material necesario:

Mapa de Ecuador con escala

Regla graduada

Transportador de ngulos

Calculadora

Procedimiento:

Tomar un mapa de Ecuador y escribir la escala del mapa

Orientarlo segn los puntos cardinales

Tomando como origen Riobamba trazar unos ejes cartesianos

Unir con Riobamba los siguientes lugares de Ecuador: Esmeraldas, Tulcan, Nueva Loja, Puyo, Cuenca, Santa Elena y Portoviejo.

Con la ayuda de la regla graduada y de la escala, averiguar la distancia de cada uno de estos puntos a Riobamba considerando el

recorrido en lnea recta

Con el transportador determinar el ngulo que forman las lneas

anteriores con la parte positiva del eje horizontal

Partiendo de Riobamba dibuja las lneas correspondientes a los 25

y a los 28 Qu lugares de Ecuador se encuentran en esa zona? dem entre 100 y 104?

Ecuacin de la recta: distintas formas.

La recta y las distintas formas de su ecuacin es uno de los conceptos que

se utilizarn en el futuro con mucha frecuencia. La funcin lineal, como es sabido, est presente en una gran cantidad de situaciones problemticas y

por eso es importante comprender el significado de la ecuacin en sus distintas formas. Es especialmente importante la idea de pendiente,

saberla calcular e interpretarla en cualquier situacin.

Ecuacin vectorial

Se trata de la ecuacin de la que se van a deducir sucesivamente todas las dems. La situacin inicial es la siguiente:

Se tiene un sistema de ejes cartesianos cuyo origen es el punto O (0,0),

como puede verse en la Fig. 15. El punto A(x0, y0) es un punto fijo del plano. Como ya se ha explicado anteriormente, desde A podan tener su

origen todos los vectores imaginables, pues esa era una de las caractersticas del vector libre. Pues bien, desde el momento en que se

escoja uno de esos infinitos vectores ya se ha elegido una recta porque


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para determinar una recta basta con tener un punto de ella y un vector

que nos indique una direccin.

Hemos elegido uno: el vector u (u1, u2). Este vector, adems, se va a

llamar vector director de la recta y jugar un papel importante en el desarrollo de esta parte.

Fig. 15

Ahora, debe quedar claro que si se multiplica u por cualquier escalar, se

irn obteniendo todos los puntos de la recta. Esta es una idea

central. Obsrvese en la Fig. 15 que se han sealado los puntos 2u y - 15u.

As que, cuando el escalar recorre el conjunto de los nmeros reales, se obtienen los puntos de la recta que hemos dibujado.

Tomemos un punto cualquiera X. Este punto no est definido explcitamente como los anteriores sino que tenemos como nico dato que

est sobre la recta. Por tanto se trata de un punto cuyas coordenadas son desconocidas y por eso diremos que es el punto X(x, y) en el que los

valores de x e y son variables y sujetos solo a la condicin ya expresada: que el punto X est sobre la recta.

Con esa condicin, el vector AX est sobre la recta y, en consecuencia se puede obtener multiplicando u por un cierto nmero real que

representaremos por t, es decir:

AX = tu

Partiendo de estos datos ya podemos proceder a obtener la ecuacin

vectorial de la recta.

En efecto:

La Fig. 15 deja bien claro que se tiene esta relacin vectorial:

OX = OA + AX


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Pero como ya se ha indicado, podemos sustituir el vector AX y queda la

expresin:

OX = OA + tu

siendo t un nmero real al que tambin se le suele llamar parmetro.

Esa es la ecuacin vectorial de la recta. Es una forma de ecuacin que se utiliza poco en situaciones problemticas pero sin embargo nos va a permitir obtener las dems formas de la ecuacin de la recta como se va a comprobar a continuacin.

Ecuaciones paramtricas.

En la ecuacin vectorial vamos a sustituir cada vector por sus

correspondientes componentes que estn escritas en la figura del

apartado anterior:

(x, y) = (x0, y0) + t(u1,u2)

Multiplicando t (u1, u2) se tiene:

(x, y) = (x0, y0) + (tu1, tu2)

Al sumar los vectores del segundo miembro queda:

(x, y) = (x0 + tu1, y0 + tu2)

Como los dos vectores son iguales, han de serlos las correspondientes componentes, es decir:

x = x0 + tu1

y = y0 + tu2

t es un nmero real que, como se ha indicado ya, recibe el nombre de

parmetro y de ah que estas sean las ecuaciones paramtricas de la recta.

Ecuacin continua.

Es una forma de la ecuacin de mucha utilidad. Se obtiene despejando t en cada una de las ecuaciones paramtricas, es decir:

de la primera ecuacin x = x0 + tu1 se deduce que:

Actividad 8.

Sea A (2,4) el punto fijo elegido y sea u = (3,2) el vector director. Se pide:

a) Representar grficamente la recta.

b) Obtener su ecuacin vectorial.

c) Obtener sus ecuaciones paramtricas.


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de la segunda y = y0 + tu2

De ambas igualdades se obtiene la ecuacin continua de la recta que tiene la forma:

Obsrvese que los denominadores son las componentes del vector director y aqu conviene hacer la siguiente reflexin:

Se supone que ha quedado claro que el vector director es el que marca la direccin de la recta pero recordemos que una recta puede tener infinitos

vectores directores porque la nica condicin que se exige es que tengan la misma direccin. Por lo tanto, cualquier vector, tenga el sentido que

tenga o tenga el tamao que sea, si es paralelo a la recta, es un vector director de la recta y, en consecuencia puede ser el denominador de la

ecuacin continua.

Coordenadas del punto medio de un segmento.

En algunas situaciones es necesario conocer estas coordenadas para

resolver problemas.

En la Fig. 16 se consideran los puntos A y B cuyas coordenadas son

conocidas. En este caso, las componentes de los vectores OA y OB coinciden con las coordenadas de los extremos al ser O (0,0).

Fig. 16

Por otra parte, el punto M, que es donde se cortan las dos diagonales, es

el punto medio del segmento AB.

Pues bien, es fcil ver que si las coordenadas de M son (x, y) entonces se

verifica que:


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Por tanto, las coordenadas del punto medio son:

;

Ecuacin general o implcita.

Seguramente es la ms utilizada de las formas de la ecuacin de la recta.

Se obtiene cuando en la ecuacin continua se aplica la propiedad de las proporciones que dice que el producto de los extremos es igual al

producto de los medios, esto es:

u2 (x xo) = u1 (y yo)

Al hacer operaciones y trasponer los trminos dejando las variables x e y

en el primer miembro se llega a una expresin de la forma:

A x + B y = C

Conocida como ecuacin general o implcita de la recta. El calificativo de implcita se debe a que ninguna de las dos variables est despejada.

El par de nmeros (A, B) es el vector asociado a la recta y veremos luego la interesante y til propiedad que tiene.

Al nmero C se le suele llamar trmino independiente.

Ejemplo 5.

Obtener la ecuacin continua de la recta sealada en el Actividad 8.

Las ecuaciones paramtricas a las que se lleg son:

x = 2 + 3t

y = 4 + 2t

Si despejamos t en cada ecuacin se tiene:

Por lo tanto, la ecuacin continua es:

Se podra haber planteado la ecuacin directamente utilizando la forma deducida.

Ejemplo 6.

Obtener la ecuacin general de la recta definida en el Actividad 8.


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Ecuacin explcita.

Esta forma de la ecuacin de la recta es fcil de deducir porque basta con

despejar la y de la ecuacin general o de la ecuacin continua.

Al hacerlo, queda al final una expresin de la forma:

y = m x + n

De esta ecuacin es interesante resaltar los siguientes datos:

La n se llama ordenada en el origen de la recta. El nombre se debe a que, si hacemos x=0 se obtiene y = n, es decir que la recta corta al

eje de ordenadas en el punto (0, n).

El coeficiente m de la x es la pendiente de la recta, es decir, el valor de la tangente del ngulo que forma la recta con el eje de abscisas (u horizontal)

Fig. 17

Ya hemos deducido la ecuacin continua en el Ejemplo 5 y de ah vamos

a partir. Obsrvese cmo se llega a la ecuacin general:

Ejemplo 7.

Obtener la ecuacin explcita de la recta definida en el ejemplo anterior.

Cunto vale la ordenada en el origen? Cul es el valor de la pendiente? Qu ngulo forma esta recta con el eje horizontal?


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Vamos a demostrar que, en efecto, la pendiente es la tangente del ngulo

que forma la recta con el eje horizontal.

Para ello recordamos que u = (u1, u2) es el vector director de la recta.

En la Fig. 18 vemos que, en ese caso, la tangente del ngulo indicado es

.

Fig. 18

Pues bien, consideremos la recta continua:

Vamos a obtener la forma explcita despejando la y:

En el Error! No se encuentra el origen de la referencia. se tiene la ecuacin general de esta recta: 2x 3y = - 8

Debemos despejar la y:

Una vez despejada la y podemos contestar a las preguntas formuladas:

La ordenada en el origen es

. La pendiente es

.

Como la pendiente es el valor de la tangente del ngulo pedido, con la

ayuda de la calculadora se obtiene el valor del ngulo:


27

Ya se tiene la forma y=m x+ n pero obsrvese que

, es decir

que es lo que queramos probar.

Ecuacin de la recta que pasa por dos puntos.

Ya sabemos que dos puntos determinan una y solo una recta. Pues bien, la obtencin de su ecuacin no resulta complicada si se tiene en cuenta

que esos dos puntos, precisamente, determinan un vector director de la recta solicitada.

En la Fig. 19 se tienen los dos puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) y, por tanto el vector AB = (x2 x1, y2 y1).

Actividad 9.

Dado el punto A (-2,3) y el vector director u= (4,3), responder a

las siguientes cuestiones:

Representar grficamente la recta formada.

Obtener la ecuacin continua de la recta.

Obtener la ecuacin general.

Obtener la ecuacin explcita.

Cul es la ordenada en el origen?

Cul es el valor de la pendiente?

Qu ngulo forma la recta con el eje horizontal?


28

Fig. 19

AB es el vector director de la recta. En consecuencia, podemos utilizar la

ecuacin continua para tener una forma de la ecuacin de la recta pedida:

Esta es la frmula que da la ecuacin de la recta que pasa por dos puntos.

Obsrvese que la pendiente de esta recta se obtiene con facilidad una vez

que se conoce el vector director, es decir:

Actividad 10.

a) Indicar qu sucede si, en lugar de utilizar el punto A para el

numerador de la frmula obtenida se utiliza el punto B, es decir que

se llega a esta frmula:

b) Se ha utilizado como vector director de la recta el vector AB. Qu sucede si se utiliza el de sentido opuesto BA = (x1- x2, y1 y2)? Es decir, si la frmula es:

Ejemplo 8.

Obtener las ecuaciones general y explcita de la recta que pasa por los puntos A (- 1,2) y B (4, - 2). Pertenece a esta recta el punto P (5, - 3)?

Un vector director de la recta es:


29

Vector asociado a la recta

Ya se ha indicado que en la ecuacin general de la recta A x + B y = C, el

par formado por (A, B) son las componentes de un vector que llamamos vector asociado a la recta.

Pues bien, este vector tiene una interesante propiedad que facilita mucho la resolucin de ciertas situaciones, es que es perpendicular a la recta.

Fig. 20

Vamos a demostrarlo:

Partimos de la ecuacin general A x + B y = C. Sean P(x1, y1) y Q(x2, y2)

dos puntos que pertenecen a esa recta (Fig. 21). Esto quiere decir que el

vector PQ = (x2 x1, y2 y1) est en la direccin de la recta.

AB = (4 (- 1), - 2 2) = (4 + 1, - 4) = (5, - 4)

Por tanto, la ecuacin de la recta que pasa por esos puntos es:

Aplicando la propiedad de las proporciones se tiene:

(- 4) ( x + 1) = 5 (y 2) -4x 4 = 5y 10 5y + 4x = 10 4

5y + 4x = 6

Despejemos la y:

5y = -4x + 6

Para saber si el punto P est sobre la recta, se sustituyen sus coordenadas en la ecuacin y se comprueba si se produce una identidad.

En este caso el punto estara sobre la recta.

Sustituimos en la ecuacin general y queda:

5(-3) + 45 = 6 -15 + 20 = 6 5 = 6

Como no se produce la identidad, podemos afirmar que el punto P no

est sobre la recta.


30

Fig. 21

Por otra parte, al estar los puntos sobre la recta se cumplen las siguientes

igualdades:

Ax1 + By1 = C

Ax2 + By2 = C

Restando miembro a miembro se obtiene:

A(x2 x1) + B (y2 y1) = 0

Pero teniendo en cuenta la expresin analtica del producto escalar, esta ltima igualdad se puede escribir as:

(A, B)(x2 x1, y2 y1) = 0

Segn sabemos, si el producto escalar de dos vectores es cero, entonces los vectores son perpendiculares, por tanto concluimos que el vector de

componentes (A, B) y el vector PQ que est en la direccin de la recta son perpendiculares, esto es, (A, B) es un vector perpendicular a la

recta.

El conocimiento de este vector, resuelve con gran agilidad situaciones como la siguiente:

Ejemplo 9.

Determinar la ecuacin de la recta que pasa por P (3,-4) y es paralela a la recta 5x 3y = 10.

Es evidente que si la recta pedida es paralela a la que nos dan, entonces han de tener el mismo vector asociado. Esto quiere decir que la recta

solicitada es de la forma:

5x 3y = k

Falta por determinar el valor de k.

Para ello aplicamos el dato de que la recta pasa por P es decir:

53 3 (-4) = k


31

ngulo que forman dos rectas.

En la Fig. 22 se ve que el ngulo formado por las dos rectas r y s es el

mismo que el formado por sus vectores asociados a1 y a2.

Fig. 22

En consecuencia, si las ecuaciones de las rectas son:

Entonces, para determinar el ngulo que forman r y s basta con calcular el ngulo que forman los vectores asociados (A, B) y (A, B).

El producto escalar resuelve esta cuestin pues:

15 + 12 = k

27 = k

Por tanto la ecuacin pedida es:

5x 3y = 27

Ejemplo 10.

Determinar el ngulo que forman las rectas

3x + 5y = 7

-2x + 3y = 2

Los vectores asociados son: (3,5) y (-2,3). Por tanto el coseno del ngulo


32

Posicin relativa de dos rectas en el plano.

De nuevo los vectores asociados van a resolver con facilidad esta situacin. Podemos empezar pidiendo que se indique en qu posicin

relativa pueden estar dos rectas en el plano. Saldrn las dos rectas

secantes y las paralelas. Ms difcil es que perciban que pueden estar superpuestas.

Se puede saber en qu posicin estn dos rectas sin necesidad de dibujarlas solo con saber en qu posicin estn sus vectores asociados.

En efecto:

Si los vectores asociados son paralelos, entonces las rectas son

paralelas.

Si los vectores asociados no son paralelos, entonces las rectas

tampoco son paralelas. En este caso son secantes.

Fig. 23

Dos vectores son paralelos cuando sus componentes son proporcionales,

es decir, si (A, B) y (A, B) son las componentes de los vectores asociados a dos rectas, podemos afirmar que:

Si

entonces las rectas son paralelas.

pedido es:

La calculadora nos permite saber que:


33

Si

entonces las rectas son secantes. Las coordenadas del

punto en el que se encuentran se obtiene resolviendo el sistema que

forman las dos ecuaciones.

Queda por resolver el caso en que las rectas sean coincidentes. Pero para

que esto ocurra, no solo deben ser proporcionales los vectores asociados, sino que tambin los trminos independientes han de mantener la misma

proporcin es decir:

Si

entonces se trata de una sola recta.

Aunque resulte una obviedad, hay que indicar que lo que se ha dicho de los vectores asociados vale exactamente igual para los vectores

directores. Es decir: si u = (u1, u2) y v = (v1, v2) son los vectores directores de dos rectas, se cumple que:

Si

entonces las rectas son paralelas.

Si esta misma proporcin la mantienen los trminos independientes, entonces se trata de una misma recta.

Si

entonces las rectas son secantes.

Ecuacin punto pendiente.

Se trata de una forma de ecuacin que se construye con un punto de la

recta y con el conocimiento de su pendiente. Para ello partimos de la ecuacin continua:

Pero sabemos que

es la pendiente m de la recta. Por tanto, se tiene:

Que es la conocida como ecuacin punto pendiente.

Distancia de un punto a una recta.

Se trata de una frmula que se obtiene tras un laborioso proceso que no vamos a incluir. Pero s la frmula porque es sencilla.


34

Fig. 24

Si la ecuacin de la recta es A x + B y + C = 0 y se trata del punto

P(x0,y0), entonces la distancia del punto P a M (M est en la vertical trazada desde P hasta la recta), viene dada por la frmula:

Actividad 11.

Determinar la distancia del punto P (5, -4) a la recta 3 x + 4 y 7 = 0.


35

Resumen

VECTORES

VECTOR QUE UNE DOS PUNTOS 21, aaA y 21, bbB 2211 , ababv

SUMA Y RESTA DE VECTORES ',',, bawbav

',' bbaawv

PRODUCTO DE UN N POR UN VECTOR kbkavk ,

MDULO DE UN VECTOR bav ,

22 bav

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO 21, aaA , 21, bbB

2,

2

2211 babaM

PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES 21, uuu

21, vvv

2211 vuvuvu

NGULO QUE FORMAN DOS VECTORES 21, uuu

21, vvv

22

21

22

21

2211cosvvuu

vuvu

VECTORES ORTOGONALES: Dos vectores son ortogonales si su productos escalar es 0

02211 vuvuvu

RECTAS

Dados un punto 21, aaA y un vector 21, vvv

, tenemos

ECUACIN VECTORIAL 2121 ,,, vvtaayx

ECUACIONES PARAMTRICAS

22

11

tvay

tvax

ECUACIN CONTINUA2

2

1

1

v

ay

v

ax

ECUACIN GENERAL: Se obtiene operando en la ecuacin continua 0 CByAx

ECUACIN EXPLCITA: Despejando y en la ecuacin general nmxy

ECUACIN PUNTO PENDIENTE: Dado un punto 21, aaA y la pendiente m 12 axmay

POSICIN RELATIVA DE DOS RECTAS

0'''

0

CyBxA

CByAx

Rectas secantes Rectas paralelas Rectas coincidentes

'' B

B

A

A

''' C

C

B

B

A

A

''' C

C

B

B

A

A

NGULO QUE FORMAN DOS RECTAS vu

vu

cos

PROBLEMAS MTRICOS

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS 2222

11, ababBABAd

DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA 22

21,

BA

CBxAxrPd

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS Se toma un punto de una de las rectas y se calcula la distancia de ese punto a la otra recta.

tema11 fracciones algebraicas

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