Tema 5 Inecuaciones y sistemas de inecuaciones

5.1 Inecuaciones linealesPÁGINA 94 EJERCICIOS1. Comprueba en cada caso si el valor indicado forma parte de la solución de la inecuación.

b x � �12

de la inecuación 2�x � 2� � x � 13

� x � 1

Sustituimos x por el valor dado:

2 � 12

� 2 �� 1

2� 1

3� � 1

2� 1 �

� 2 �1 � 42

�

�1 � 223

� �1 � 22

�

� 2 �52

�

�323

� �32

�

� �5 � �32

� 3 � �32

�

� �5 � �12

� �32

�

� �5. 5 � �1. 5Falso!!!!!!!No forma parte de la solución.

Tareas 12-12-2013: todos los ejercicios que faltan del 12 Resuelve las inecuaciones lineales siguientes:

c x � 2�x � 1� � 3�x � 2� � x � 382

�

� x � 2x � 2 � 3x � 6 � x � 382

�

� 6x � 8 � x � 382

�

� �6x � 8�2 � x � 38 �

� 12x � 16 � x � 38 �

� 12x � x � 38 � 16 �

� 11x � 22 �

� x � 2211

�

� x � 2Solución: ���, 2� � �x � R/x � 2�

Tareas 12-12-2013: todos los ejercicios que faltan del 2

5.2 Inecuaciones de segundo gradoPÁGINA 95 EJERCICIOS3 Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado.

f �x2 � 2x � 1 � 0 �

� ��1���x2 � 2x � 1� � ��1� � 0 �

� x2 � 2x � 1 � 0Otra forma de hacerlo:�x2 � 2x � 1 � 0 �

� 0 � x2 � 2x � 1 �

� 0 � �x � 1�2

No tiene solución pues todo número elevado al cuadrado es positivo ocero.d 3x2 � x � x2 � 5x �

� 3x2 � x � x2 � 5x � 0 �

� 2x2 � 4x � 0 �

1

� 2x�x � 2� � 0 �

Por que 2 es siempre positivo� x�x � 2� � 0

Hacemos x�x � 2� � 0 �

x � 0

0

x � 2 � 0 � x � �2

Tenemos la tabla siguiente

signo/intervalo ���,�2� ��2, 0� �0,��

x � � �

x � 2 � � �

x�x � 2� � � �

Para determinar los signos de cada expresión, sustituimos un valor cualquiera del intervalo enla expresión en x. Ojo en la última fila, consideramos el producto de las dos anteriores porcolumnas.Solución: ���,�2� � �0,��

Tareas 16-12-2013: todos los ejercicios que faltan del 34 Representa gráficamente las soluciones de las siguientes inecuaciones.

d x2

2� 3

4x � 5

4x2 � x

2�

� x2

2� 3

4x � 5

4x2 � x

2� 0 �

� 2x2 � 5x2

4� �3x � 2x

4� 0 �

� �3x2

4� 5x

4� 0 �

���3x2 � 5x�

4� 0 �

Como � 14

es siempre negativo será

� 3x2 � 5x � 0Hacemos 3x2 � 5x � 0 �

� x�3x � 5� �

x � 0

0

3x � 5 � 0 � x � � 53

Tenemos la tabla siguiente:

signo/intervalo ��,� 53

� 53

, 0 �0,��

x � � �

3x � 5 � � �

x�3x � 5� � � �

Para determinar los signos de cada expresión, sustituimos un valor cualquiera del intervalo enla expresión en x. Ojo en la última fila, consideramos el producto de las dos anteriores porcolumnas.

Solución: ��,� 53

� �0,��

Falta hacer su representación gráfica.Tareas 16-12-2013: todos los ejercicios que faltan del 4

5.3 Inecuaciones polinómicas y racionalesPÁGINA 96 EJERCICIOS5 Resuelve las siguientes inecuaciones polinómicas y representa gráficamente las soluciones:

2

f 2�x � 1�4 � 8x3 � 8�x � 3� � 8 �

� 2�x � 1�2�x � 1�2 � 8x3 � 8�x � 3� � 8 �

� 2�x2 � 2x � 1��x2 � 2x � 1� � 8x3 � 8x � 24 � 8 �

� 2�x4 � 4x3 � 6x2 � 4x � 1� � 8x3 � 8x � 16 �

� 2x4 � 8x3 � 12x2 � 8x � 2 � 8x3 � 8x � 16 �

� 2x4 � 12x2 � 8x � 2 � 8x � 16 � 0 �

� 2x4 � 12x2 � 14 � 0 �

� 2�x4 � 6x2 � 7� � 0 �

Como 2 es siempre positivo:� x4 � 6x2 � 7 � 0Hacemos x4 � 6x2 � 7 � 0Consideramos el siguiente cambio de variable: x2 � tNos queda: t2 � 6t � 7 � 0, Solution is: 1,�7Resolviéndola por la fórmula correspondiente a una ecuación de 2º grado completa: si t � 1 � x2 � 1 � x � � 1 � �1 si t � �7 � x2 � �7 imposible!!!!!!

Tenemos la tabla siguiente:

signo/intervalo ���,�1� ��1, 1� �1,��

x4 � 6x2 � 7 � � �

si x � �2 � ��2�4 � 6��2�2 � 7 � 33 � 0 si x � 0 � 04 � 6 � 02 � 7 � � 7 � 0 si x � 2 � ��2�4 � 6��2�2 � 7 � 33 � 0

Para determinar los signos de cada expresión, sustituimos un valor cualquiera del intervalo enla expresión en x.Solución: ���,�1� � �1,�� �x � 1�2 � x2 � 2x � 1 �x2 � 2x � 1��x2 � 2x � 1� � x4 � 4x3 � 6x2 � 4x � 1

Tareas 16-12-2013: todos los ejercicios que faltan del 56 Representa en la recta real las soluciones de las siguientes inecuaciones racionales:

e 1 � 2xx2 � 1

�

Como x2 � 1 � 0 para todo número real, podemos pasarlo al otro lado multiplicando sin peligrode que haya que cambiar el sentido de la desigualdad.� x2 � 1 � 2x �

� x2 � 1 � 2x � 0 �

� �x � 1�2 � 0Esto es cierto para cualquier valor real excepto para el 1; en ese caso tendríamos 02 � 0Solución: R� �1�

b x2 � 4x � 4x2 � 1

� 0

Como se trata de un cociente, será negativo cuando el numerador y denominador tengandistinto signo.Vamos a factorizar los polinomios de la fracción algebraica. x2 � 4x � 4 � �x � 2�2. Atención esto es siempre positivo o cero para cualquiera valor de

x, pues se trata de un cuadrado. Es cero sólo cuando x � �2 x2 � 1 � �x � 1��x � 1�. Las raíces de este polinomio son ��1, 1�

Tenemos la tabla siguiente:

3

signo/intervalo ���,�1� � ��2� ��1, 1� �1,��

x2 � 4x � 4 � � �

x2 � 1 � �x � 1��x � 1� � � � � � � � � � � � � � � �

x2 � 4x � 4x2 � 1

� � �

Para determinar los signos de cada expresión, sustituimos un valor cualquiera del intervalo enla expresión en x. La última fila es el cociente de las dos anteriores.La solución es ��1, 1�.

NOTA El producto de dos números es positivo si los dos números son positivos o negativos a la vez; es

decir, si los dos tienen el mismo signo.En lenguaje simbólico:

a � b � 0 �

a � 0 y b � 0

ó

a � 0 y b � 0

El producto de dos números es negativo si uno de ellos es positivo y el otro es negativo; es decir,si tienen distinto signo.En lenguaje simbólico:

a � b � 0 �

a � 0 y b � 0

ó

a � 0 y b � 0

Análogamente para el cociente.Tareas 17-12-2013: todos los ejercicios que faltan del 6

5.4 Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnitaPÁGINA 97 EJERCICIOS7 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones lineales:

d3 � x � 2�x � 4�

5x � 3 � ��x � 1��

3 � x � 2x � 8

5x � 3 � �x � 1�

3 � 8 � 2x � x

5x � x � �3 � 1�

�11 � 3x

6x � �2�

113

� x

x � �26

� � 13

Solución: intervalo � 13

, 113

Tareas 17-12-2013: todos los ejercicios que faltan del 7

5.5 Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitasPÁGINA 99 EJERCICIOS9 Representa los semiplanos formados por las soluciones de las siguientes inecuaciones.

d 5x � 3y � 10 � 2x � 2 �

� 5x � 3y � 2x � �10 � 2 �

� 3x � 3y � �8Vamos a representar la recta 3x � 3y � �8

Consideramos la tabla de valores siguiente:

x y

0 � 83

� 83

0

4

� 83

� � 2. 666 7 � �2. 6

Tomamos un punto cualquiera fuera de la recta; en este caso elegimos el punto decoordenadas �1, 1� y lo sustituimos en la inecuación:3 � 1 � 3 � 1 � �8 � 6 � �8 falso!!!!!!La región del plano que verifica la inecuación es toda la que queda por debajo de la recta3x � 3y � �83x � 3y � �8

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

Tareas 08-01-2014: todos los ejercicios que faltan del 9Tareas 08-01-2013: 1011 Expresa mediante un sistema de inecuaciones los siguientes subconjuntos del plano.

b Puntos con ordenada positiva que están por encima de la bisectriz del primercuadrante.

eje de abscisas � eje OXeje de ordenadas � eje OYLos puntos de esta región cumplen que su coordenadas son ambas positivas y que la primeracoordenada es más pequeña que la segunda.La región pedida está determinada por el siguiente sistema de inecuaciones lineales:

y � 0

y � x

0 � y x � y

5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

Tareas 08-01-2014: todos los ejercicios que faltan del 11Tareas 08-01-2014: 12

5.6 Aplicaciones de las inecuacionesPágina 101 Ejercicios13 En la población de un territorio se han producido, en un periodo de tiempo determinado, las

siguientes variaciones medidas sobre la población inicial: 2.5% de nacimientos 2.25% de defunciones. 0.5% de emigrantes. 0.75% de inmigrantes

¿Entre qué valores estará la población final si la inicial estaba entre 45000 y 46000 habitantes?Sabemos que Pt � Pi � N � D � I � E

Pt�45000� � 45000 � 2. 5100

45000 � 2. 25100

45000 � 0. 5100

45000 � 0. 75100

45000 � 45225

Pt�46000� � 46000 � 2. 5100

46000 � 2. 25100

46000 � 0. 5100

46000 � 0. 75100

46000 � 46230

La población final estará entre los valores 45225 y 46230 habitantes.Tareas 08-01-2014:1415 Representa la región del plano determinada por el sistema de inecuaciones:

|2x � y| � 3

|x � y| � 4�

2x � y � 3

��2x � y� � 3

x � y � 4

��x � y� � 4

�

2x � y � 3

�2x � y � 3

x � y � 4

�x � y � 4

Recordamos que |x| �x if x � 0

�x if x � 0

15.1 2x � y � 3Consideramos la recta 2x � y � 3; hemos de representarla por lo que consideramos una tablade valores:

x y

0 3

1 1

De las dos regiones en las que queda dividido el plano, hemos de elegir la que verifica nuestrainecuación, para ello tomamos un punto que no esté en la recta, �0, 0�, y lo sustituimos en lainecuación:

6

2 � 0 � 0 � 3 � 0 � 3 cierto!!!!!!!Por lo tanto, los puntos del plano que verifican la inecuación están por debajo de la recta. 15.2 �2x � y � 3

Análogamente. 15.3 x � y � 4

Análogamente . 15.4 �x � y � 4

Análogamente .La región pedida es:

2x � y � 3 �2x � y � 3 x � y � 4 y � x � 4

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

EJERCICIOS FINALES DEL TEMA16 Escribe en cada apartado una inecuación que tenga por solución el intervalo o semirrecta dado.

d Claramente vemos que son los valores de x que cumplen que:

x � 1

x � �1�

x � 1

�x � 1� |x| � 1

Recuerdo que |x| �x if x � 0

�x if x � 0

Tareas 09-01-2014: todos los ejercicios que faltan del 16

7

Tareas 09-01-2014: 1718 Resuelve las siguientes inecuaciones lineales, expresa las soluciones en forma de intervalo y

represéntalas sobre la recta real.

e x2

� 3x5

� x � 1 �

� x � 510

� 3x � 210

��x � 1�10

10�

� 5x � 6x � 10x � 10 �

� �x � 10x � 10 �

� �11x � 10 �

� x � �1011

Se cambia el sentido de la desigualdad porque hemos pasado di vidiendo un númeronegativo !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Tenemos el intervalo �1011

,�

Tareas 09-01-2014: todos los ejercicios que faltan del 1819 Expresa mediante intervalos las soluciones de las siguientes inecuaciones.

d 2x � 13

� 5x � 12

� 263

�

��2x � 1�2

6�

�5x � 1�36

� 26 � 26

�

� 4x � 2 � 15x � 3 � 52 �

� 19x � 52 � 2 � 3 �

� 19x � 57 �

� x � 5719

� 3

Se trata del intervalo ���, 3�Tareas 09-01-2014: todos los ejercicios que faltan del 1920 Halla y representa gráficamente las soluciones de las siguientes inecuaciones de segundo

grado:h �3x � 1��5x � 2� � 0

Se trata de un producto por lo tanto habrá de ser:

3x � 1 � 0

5x � 2 � 0�

3x � 1

5x � �2�

x � 13

x � �25

� x � 13

3x � 1 � 0

5x � 2 � 0�

3x � 1

5x � �2�

x � 13

x � �25

� x � �25

En forma de intervalo la solución vendría dada por ��, �25

� 13

,�

f 2x2 � x � 1 � 0Resolvemos la ecuación de 2º grado completa 2x2 � x � 1 � 0

cona � 2

c � 1

b � 1

x ��b � b2 � 4ac

2a�

�1 � 12 � 4 � 2 � 12 � 2

��1 � �7

4No tiene solución!!!La función y � 2x2 � x � 1 es una parábola que no tiene cortes con el eje OX. Por otro lado,tiene sus ramas hacia arriba pues el coeficiente de x2 es positivo. De ahí que concluyamos quela expresión 2x2 � x � 1 sea siempre positiva.La solución de la inecuación es el vacío.

Tareas 13-01-2014: todos los ejercicios que faltan del 20

8

21 Simplifica y resuelve las siguientes inecuaciones de segundo:a. �x � 2�2 � 5 � 2x �

� x2 � 4x � 4 � 5 � 2x �

� x2 � 4x � 9 � 2x � 0 �

� x2 � 6x � 9 � 0 �

� �x � 3�2 � 0Se trata de un cuadrado que ha de ser negativo o cero, y esto sólo pasa si la base es cero.Esto ocurre cuando x � 3Solución de la inecuación: x � �3�

f x2 � 22

� 3x � 15

� x � 2 �

��x2 � 2�5

10�

�3x � 1�210

� 10x10

� 2010

�

� 5x2 � 10 � �6x � 2� � 10x � 20 �

� 5x2 � 10 � 6x � 2 � 10x � 20 � 0 �

� 5x2 � 4x � 28 � 0

Consideramos la ecuación de 2º grado completa 5x2 � 4x � 28 � 0 con

a � 5

b � 4

c � �28

x ��b � b2 � 4ac

2a�

�4 � 42 � 4 � 5 � ��28�2 � 5

��4 � 576

10� �4 � 24

10�

�

�4 � 2410

�4 � 2410

�

2010�2810

�2

� 145

Esto nos dice que 5x2 � 4x � 28 � �x � 2� x � � 145

Tenemos la tabla siguiente:

signo/intervalo ��,� 145

� 145

, 2 �2,��

�x � 2� � � �

x � � 145

� � �

5x2 � 4x � 28 � � �

Observa que la última fila es producto de las dos anteriores. Ten en cuenta que los signos enlas filas segunda y tercera, se obtienen sustituyendo un valor cualquiera del intervaloconsiderado.

Solución de la inecuación: � 145

, 2

Tareas 13-01-2014: todos los ejercicios que faltan del 2123 Resuelve las inecuaciones dadas observando la gráfica de la función polinómica

f�x� � 2x2 � 8x � 6 � 2�x2 � 4x � 3�

9

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

a. x2 � 4x � 3 � 0La solución es el intervalo ��3,�1� pues asi el producto 2�x2 � 4x � 3� � 0 con 2 � 0

Si observas la gráfica de esa parábola, para esos valores de x tenemos el dibujo por debajo deleje OX, lo que significa que las alturas son negativas.b �x2 � 4x � 3 � 0 � ��1���x2 � 4x � 3� � 0 � x2 � 4x � 3 � 0

Es lo mismo de antes.24 Representa gráficamente las soluciones de las siguientes inecuaciones polinómicas:

f x3 � 12

x2 � x � 12

� 0

Consideramos la ecuación polinómica correspondiente: x3 � 12

x2 � x � 12

� 0

Vamos buscar alguna raíz:

si x � 1 � 13 � 12

� 12 � 1 � 12

� 1 � 0 � 1 no es raíz

si x � �1 � ��1�3 � 12

� ��1�2 � ��1� � 12

� � 3 � 0 � �3 no es raíz

si x � 12

� 12

3� 1

2� 1

2

2� 1

2� 1

2� 0 � 1

2es raiz del polinomio.

Podemos aplicar la regla de Ruffini para x � 12

:

1 � 12

1 � 12

12

12

0 12

1 0 1 0 resto

Asi sacamos que x3 � 12

x2 � x � 12

� x � 12

�x2 � 1�

Por lo tanto signo�x3 � 12

x2 � x � 12� � signo x � 1

2pues �x2 � 1� es siempre positivo.

Hemos de estudiar donde x � 12

� 0 � x � 12

Solución: intervalo ��, 12

Tareas 15-01-2014: todos los ejercicios que faltan del 24.25 Resuelve las siguientes inecuaciones:

c x2�x2 � 1� � 2x3 � 5x � x�x3 � 4x � 1� �

� x4 � x2 � 2x3 � 5x � x4 � 4x2 � x �

� x4 � x2 � 2x3 � 5x � x4 � 4x2 � x � 0 �

� 2x3 � 5x2 � 6x � 0Consideramos la ecuación polinómica 2x3 � 5x2 � 6x � 0 � �2x2 � 5x � 6�x � 0

Consideramos la ecuación de 2º grado completa 2x2 � 5x � 6 � 0 con

a � 2

b � 5

c � �6

10

x ��b � b2 � 4ac

2a�

�5 � 52 � 4 � 2 � ��6�2 � 2

��5 � 73

4�

�5 � 734

�5 � 734

�

�0. 886

�3. 386

Por lo tanto 2x3 � 5x2 � 6x � x x ��5 � 73

4x �

�5 � 734

lo que da pie a la siguiente

tabla de signos:

signo/intervalo ��,�5 � 73

4�5 � 73

4, 0 0,

�5 � 734

�5 � 734

,�

x � � � �

x ��5 � 73

4� � � �

x ��5 � 73

4� � � �

2x3 � 5x2 � 6x � � � �

La última fila es es producto de las tres anteriores.

La solución es�5 � 73

4, 0 �

�5 � 734

,�

Tareas 15-01-2014: todos los ejercicios que faltan del 2528 Expresa gráficamente las soluciones de las siguientes inecuaciones racionales:

d x3 � x2 � 5x � 3x3 � 5x2 � 3x � 9

� 0

Estos ocurrirá cuando signo�x3 � x2 � 5x � 3� � signo�x3 � 5x2 � 3x � 9�Estudiaremos los signos del denominador y del numerador. signo�x3 � x2 � 5x � 3�

Resolvemos la ecuación polinómica x3 � x2 � 5x � 3 � 0Aplicamos la regla de Ruffini:

1 1 �5 3

1 1 2 �3

1 2 �3 0 resto

1 1 3

1 3 0 resto

�Conclusión x3 � x2 � 5x � 3 � �x � 1�2�x � 3�

signo�x3 � 5x2 � 3x � 9�Resolvemos la ecuación polinómica x3 � 5x2 � 3x � 9 � 0Aplicamos la regla de Ruffini:

1 5 3 �9

1 1 6 9

1 6 9 0 resto

�Conclusión x3 � 5x2 � 3x � 9 � �x � 1��x2 � 6x � 9� �

� �x � 1��x � 3�2

Recapitulamos x3 � x2 � 5x � 3x3 � 5x2 � 3x � 9

��x � 1�2�x � 3��x � 1��x � 3�2 �

�x � 1��x � 3�

Por lo tanto podemos considerar la siguiente tabla de signos:

11

signo/intervalo ���,�3� ��3, 1� �1,��

x � 1 � � �

x � 3 � � �

�x � 1��x � 3�

� � �

La última fila es el cociente de las dos anteriores:Solución: intervalo ��3, 1�

Tareas 15-01-2014: todos los ejercicios que faltan del 28Tareas 15-01-2014: 2933 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones con una incógnita.

f

�2 � x � 4

�3 � x � 2

�4 � x � 1

Se pintan los tres intervalos, y se ve que la parte común a los tres es el intervalo��2, 1�

e�3 � x � 3

x2 � 1�

�3 � x � 3

x2 � 1 � 0�

�3 � x � 3

�x � 1��x � 1� � 0�

Recordamos que el producto de dos números es mayor que cero cuando los dosnúmeros tienen el mismo signo( es decir, son los dos positivos o son los dosnegativos).

�

�3 � x � 3

x � 1 � 0 y x � 1 � 0

x � 1 � 0 y x � 1 � 0

�

�3 � x � 3

x � 1 y x � �1

x � 1 y x � �1

�

�3 � x � 3

x � 1

x � �1

Lo representamos gráficamente para obtener que la solución es ��3,�1� � �1, 3�Tareas 16-01-2014: todos los ejercicios que faltan del 3334 Comprueba si el par de valores x � �2,y � 3 es una solución del sistema:

x � y � 2

y � �2xx � 5

3� y

Se sustituyen en las inecuaciones y se ve si las verifican o no. �2 � 3 � 2 � 1 � 2 cierto�si la verifica 3 � �2��2� � 3 � 4 cierto�si la verifica

�2 � 5

3� 3 � 3

3� 3 cierto�si la verifica

Como se verifican las tres inecuaciones, si cumple las condiciones del sistema.Gráficamentes es:

12

35 Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de inecuaciones con dos incógnitas.

f

x � 2

y � 1

x � y � 6

Vamos a pintar cada uno de los semiplanos asociados a cada inecuación. x � 2

Asociado a la recta vertical x � 2, serán todos los puntos del plano cuya primera coordenada esmayor o igual que 2. Es decir, todos los puntos, incluyendo los de la recta, que están a laderecha. y � 1

Asociado a la recta horizonta y � 1, serán todos los puntos del plano cuya segunda coordenadaes mayor o igual que 1. Es decir, todos los puntos, incluyendo a los de la recta, que están porencima. x � y � 6

Asociada a la recta x � y � 6Hemos de pintar esta recta, para ello consideramos la tabla de valores:

x 0 6

y 6 0

Pintamos la recta, que determina dos semiplanos, uno de los cuales será la solución a lainecuación.Sustituimos un punto cualquiera del plano que no esté sobre la recta:�0, 0� � 0 � 0 � 6 cierto� pertenece a la solución.La solución a la inecuación son todos los puntos que quedan por debajo de la recta.Gráficamente es:

13

La región factible es:

-1 1 2 3 4 5 6 7

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

Tareas 16-01-2014; todos los ejercicios que faltan del 3536 Considera el siguiente sistema de inecuaciones:

x � 2y � 8

x � y � 5

x � 5y � 0

a. Resuélvelo gráficamente:Vamos a ir paso a paso. representando en unos mismos ejes las tres inecuaciones. x � 2y � 8

Asociada a la recta x � 2y � 8Hemos de pintar esta recta, para ello consideramos la tabla de valores:

x 0 8

y 4 0

Pintamos la recta, que determina dos semiplanos, uno de los cuales será la solución a lainecuación.Sustituimos un punto cualquiera del plano que no esté sobre la recta:�0, 0� � 0 � 2 � 0 � 8 cierto� pertenece a la solución.La solución a la inecuación son todos los puntos que quedan por debajo de la recta. x � y � 5

Asociada a la recta x � y � 5

14

Hemos de pintar esta recta, para ello consideramos la tabla de valores:

x 0 5

y 5 0

Pintamos la recta, que determina dos semiplanos, uno de los cuales será la solución a lainecuación.Sustituimos un punto cualquiera del plano que no esté sobre la recta:�0, 0� � 0 � 0 � 5 falso� no pertenece a la solución.La solución a la inecuación son todos los puntos que quedan por encima de la recta.

x � 5y � 0Asociada a la recta x � 5y � 0Hemos de pintar esta recta, para ello consideramos la tabla de valores:

x 0 5

y 0 1

Pintamos la recta, que determina dos semiplanos, uno de los cuales será la solución a la inecuación.Sustituimos un punto cualquiera del plano que no esté sobre la recta:�1, 1� � 1 � 5 � 1 � 0 cierto� pertenece a la solución.La solución a la inecuación son todos los puntos que quedan por encima de la recta.

x � 2y � 8

x � y � 5

x � 5y � 0

15

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

b) Encuentra todas las soluciones enteras.Ahora hemos de encontrar todos los puntos de esa región �x,y� cuyas coordenadas sean dos númerosnaturales.Del triángulo que tenemos sacamos los puntos siguientes:

b.1)x � 2y � 8

x � y � 5

Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que se resuelve por el método de reducción:Restando en columna nos queda: y � 3Sustituimos este valor de y para hallar el correspondiente valor de x:x � y � 5 � x � 2Punto �2, 3�

b.2)x � 3

x � y � 5�Punto �3, 2�

b.3)x � y � 5

y � 1�Punto �1, 4�

b.4)x � 4

x � 2y � 8�Punto �4, 2�

b.5)x � 5y � 0

y � 1�Punto �5, 1�

Tareas 08-02-2013: 37,38,3940 Averigua qué números naturales verifican que al sumarles los dos siguientes se obtiene un

número superior a 75.Sea x un número natural. números naturales verifican que al sumarles los dos siguientes se obtiene un número superior a

75� x � x � 1 � x � 2 � 75 � 3x � 3 � 75 �

� 3x � 72 � x � 723

� 24

Solución: son todos los números naturales mayores que 24. Es decir, del 25 en adelante41 ¿Entre qué medidas se debe aumentar el lado de un cuadrado que tiene por área 36 cm2 si se

quiere que la nueva superficie esté comprendida entre cuatro y nueve veces la inicial?4 � 36 � 1449 � 36 � 324La superficie de una cuadrado es x2 si tiene de lado x.

16

Será: 144 � x2 � 324 �144 � x2

x2 � 324�

144 � x2 � 0

x2 � 324 � 0�

Recordamos que �a � b��a � b� � a2 � b2

��12 � x��12 � x� � 0

�x � 18��x � 18� � 0�

Recordamos que el producto de dos números es negativo si los números tienen distinto signo.

�

12 � x � 0 y 12 � x � 0

12 � x � 0 y 12 � x � 0

x � 18 � 0 y x � 18 � 0

x � 18 � 0 y x � 18 � 0

�

12 � x y x � �12

12 � x y x � �12

x � 18 y x � �18

x � 18 y x � �18

�

12 � x

x � �12

�18 � x � 18

vacio

�

12 � x

x � �12

�18 � x � 18

vacio

� ��18,�12� � �12, 18�

La solución al problema es el intervalo �12, 18� pues las medidas de los lados de un cuadrado sonsiempre positivas.Tareas 11-02-2013: 42,43,44,4546 Un montañero puede caminar a una velocidad comprendida entre 4 y 6 km/h dependiendo de la

mayor o menor dificultad del terreno. Averigua entre qué valores oscila el tiempo que tardará enrecorrer una senda de 25 km.

Tenemos que v � et � t � e

v

Será 254

� t � 256

medido en horas

47 En un territorio, el crecimiento de la población se ajusta a un modelo exponencial:

Pf�t, r� � Pi 1 � r100

t

Si actualmente la población es de 25000 personas, ¿Cuál debe ser la tasa mínima de crecimiento paraque en cinco años pase a ser de 30000 personas?

30000 � 25000 1 � r100

5� 1 � 25000

300001 � r

100

5� 1 � 5

61 � r

100

5

Ahora tomamos logaritmo neperiano en ambos lado de la desigualdad.

ln 1 � ln 56

1 � r100

5� 0 � ln 5

6� ln 1 � r

100

5�

� 0 � ln 5 � ln 6 � 5 ln 1 � r100

� 0 � ln 5 � ln 6 � 5 ln 100 � r100

�

� 0 � ln 5 � ln 6 � 5�ln�100 � r� � ln 100� � 0 � ln 5 � ln 6 � 5 ln�100 � r� � 5 ln 100 �

� � ln 5 � ln 6 � 5 ln 100 � 5 ln�100 � r� � 15

ln 6 � 1005

5� ln�100 � r� �

� ln 6 � 1005

5

15� ln�100 � r�

Ahora quitamos los logaritmos neperianos.

6 � 1005

5

15� 100 � r � 6 � 1005

5

15� 100 � r �

6 � 1005

5

15� 100 � 5 12 000 000 000 � 100 � 3. 713 7

� 3. 713 7 � r

17