TEMA 3: Control Estadístico de la Calidad

1. Introducción al control de la calidad.

2. Métodos de mejora de la calidad

3. Gráficos de control de Shewhart:

Gráficos c

Gráficos np

Gráficos X y R

4. Interpretación de los gráficos

Control Estadístico de la Calidad

Definimos el “Control Estadístico de la Calidad” como la aplicación de diferentes técnicas estadísticas a procesos industriales, administrativos y/o servicios con objeto de comprobar si todas y cada una de las partes del proceso o servicio cumplen unas ciertas exigencias de calidad y ayudar a cumplirlas. Entendiendo por calidad de un producto o servicio como su adecuación para ser usado.

Calidad

● Calidad de diseño: todos los productos y servicios pueden proporcionarse con diferentes niveles de calidad elegidos en la fase de diseño del producto o servicio.

● Calidad de conformidad: grado de adecuación a las especificaciones y tolerancias del diseño que se consigue en la fase de fabricación del producto. Depende del proceso de fabricación que se use, los sistemas de control de calidad, el grado de seguimiento de los programas de calidad, de la maquinaria usada, etc.

Podemos definir:

CalidadAl mejorar la calidad:● Se reduce el número de unidades defectuosas que deben desecharse● Se reduce el número de unidades defectuosas que deben reprocesarse● Se elimininan tests e inspecciones● Se producen menos retrasos● Se aprovecha mejor el tiempo de máquinas y operarios● Se ulitizan mejor los materiales

Estos efectos contribuyen a aumentar la productividad.

Una fábrica produce diariamente 80 viguetas, de las cuales hay 60 conforme a las especificaciones, pero hay 20 defectuosas. El 45% de las viguetas defectuosas debe ser desechada y el 55% restante debe ser reparada. Supongamos que el coste de fabricación por unidad es de 150€ y el coste de reparación es 50€ por unidad. ¿Cuánto cuesta cada vigueta producida? ¿Cuántas viguetas se producen diariamente?

Se introduce un programa de calidad que reduce el número de viguetas defectuosas a 4 ¿cuál es el coste unitario ahora? ¿y el número medio de viguetas?

Ejemplo

CalidadAl mejorar la calidad:● Se reduce el número de unidades defectuosas que deben desecharse● Se reduce el número de unidades defectuosas que deben reprocesarse● Se elimininan tests e inspecciones● Se producen menos retrasos● Se aprovecha mejor el tiempo de máquinas y operarios● Se ulitizan mejor los materiales

Estos efectos contribuyen a aumentar la productividad.

Ejemplo

Variabilidad

La mayor dificultad para proporcionar productos o servicios de calidad perfecta es la variabilidad inherente a cualquier proceso de fabricación o de prestación de servicios.

Si la diferencia entre dos unidades es pequeña no tiene importancia, pero si es relativamente grande, alguna unidad puede ser inaceptable, o lo que es lo mismo defectuosa.

El estudio y evaluación de esa variabilidad es el objetivo de la aplicación de técnicas estadísticas al control de la calidad.

Variabilidad

El principal objetivo del control de calidad será reducir sistemáticamente la variabilidad en productos y servicios. Para ello es necesario, primero identificar las causas que provocan variabilidad y posteriormente eliminarlas del proceso de fabricación.

Diremos que un proceso está bajo control o en estado de control cuando la característica de calidad observada en el proceso varía de forma estable alrededor de un valor medio fijo.

Las causas de variabilidad se pueden clasificar como:● Causas comunes: (o aleatorias) afectan a todo el proceso de

fabricación. Suelen ser muchas pero cada una de ellas tiene muy poca influencia en la variabilidad total. Se observan cuando el proceso está bajo control. Resultan de cambios inherentes al proceso, (ej. variaciones de Tª y humedad en el ambiente...)

● Causas especiales o asignables: hacen que el proceso abandone su estado de control. Suelen ser pocas, pero sus efectos son muy importantes. Aparecen esporádicamente afectando alguna fase concreta del proceso. El tratamiendo adecuado, incluye su detección y eliminación del sistema. (ej. ajuste incorrecto de una máquina, errores humanos...).

Variabilidad

El objetivo del Control Estadístico de la Calidad es detectar rápidamente la ocurrencia debida a causas asignables e investigar las causas que la han producido para eliminarlas.

Métodos de mejora de la calidadLas siete herramientas de Ishiwaka*, son un conjunto de técnicas de control estadístico utilizadas durante el proceso de fabricación del producto o de prestación del servicio para mejorar la calidad y la productividad:● Plantillas para recogida de datos (plantillas que recogen datos de una

característica de calidad)

● Histogramas (representación gráfica de las variables)

● Diagramas causa-efecto (busca el factor principal de los problemas)

● Diagramas de Pareto (representación gráfica de variables cualitativas)

● Diagramas de dispersión (estudia la relación entre 2 variables)

● Gráficos de flujo (esquema que describe el proceso en sus múltiples partes con el fin de identificar el problema)

● Gráficos de control (representación de una característica de la calidad con límites de control)

* Ingeniero japonés experto en el control de la calidad.

Métodos de mejora de la calidad● Plantillas para recogida de datos (plantillas que recogen datos de una

característica de calidad)

A medida que se van registrando las mediciones nos va mostrando como se reparten.

Métodos de mejora de la calidad● Histogramas (representación gráfica de las variables)

Peso (Kg)

ni

40 50 60 70 80 90 100 110

02

46

8

Nos permite ver rápidamente como se distribuyen las mediciones contenidas en una tabla.

Métodos de mejora de la calidad● Diagramas de Pareto (representación gráfica de variables cualitativas)

Eliminando del proceso las causas que provocan los dos primeros tipos de defectos desaparecerían la mayoría de los defectos.

Métodos de mejora de la calidad● Diagramas de dispersión (estudia la relación entre 2 variables)

Métodos de mejora de la calidad● Gráficos de flujo (esquema que describe el proceso en sus múltiples partes

con el fin de identificar el problema)

Inicio

Pesado

Agregar disolvente

ReacciónQuímica

Sacar muestra Medir propiedad Valor

correcto?Enfriar

Fin

NO

SI

Símbolo inicio/fin

Símbolo operación

Símbolo operación manual Símbolo de decisión

Gráficos de ControlLos gráficos de control son una herramienta de control estadístico que se utiliza para monitorizar las causas comunes de variabilidad y detectar la ocurrencia de causas especiales a lo largo del tiempo.

Nos indica si el proceso está o no en “Estado de control”.

Los más conocidos son los Gráficos de Control de Shewart*.

* Ingeniero americano de la Bell Telephone Laboratories, experto en el control de la calidad.

Gráficos de Control de ShewartLos gráficos de control de Shewart representan en el eje de abcisas el tiempo o una variable relacionada con el tiempo y en el eje de ordenadas una característica de la calidad.

Jan‐05 Apr‐05 Jul‐05 Oct‐05 Jan‐06 Apr‐06 Jul‐06 Oct‐060,0002,0004,0006,0008,000

10,00012,000

Gráfico c

meses

nº de qu

ejas

LSC

LCLIC

Además muestra una línea central (LC), que debe coincidir con el valor medio de la característica de calidad estudiada, y dos líneas que representan el límite superior de control (LSC) y el límite inferior de control (LIC), que generalmente se sitúan a ±3 desviaciones estandar de la línea central.Todo valor que esté fuera del intervalo de los límites de control se dice que está fuera de control.

Gráficos de Control de ShewartLos Gráficos de Control de Shewart varían según el tipo de dato que representan:● Gráfico c: número total de defectos durante sucesivos

intervalos de tiempo o espacio de longitud fija.● Gráfico u: número de defectos por unidad de medida● Gráfico np: cantidad de unidades defectuosas en la

muestra● Gráfico p: proporción de unidades defectuosas en la

muestra● Gráficos X, R y S: características de calidad de tipo

continuo, media y variabilidad (rango y desviación típica) del proceso.

Gráficos de Control de ShewartPara la construcción de los gráficos de control debemos suponer que la variable objeto de la calidad sigue una ley normal con parámetros μ y σ. Para contrastar la hipótesis de que el valor medio de la característica de calidad es μ, se construye la región de aceptación (μ-3σ, μ+3σ) tomando como nivel de significación 0,003.

A μ-3σ se le llama límite inferior de control y a μ+3σ se le llama límite superior de control. En los casos en los que μ-3σ sea negativo y este no tenga sentido, se tomará el límite inferior como 0.

Gráficos de Control de ShewartAl monitorizar un proceso con un gráfico de control puede ocurrir:● Alarma verdadera: ocurre una causa especial y se

detecta.● Ocurre una causa especial pero no se detecta.● Falsa alarma: no ocurre ninguna causa especial pero el

gráfico de control produce una alarma. ● No ocurre ninguna causa especial y el gráfico de control

no produce ninguna alarmaLa determinación de LIC y LSC debe hacerse de forma que se detecte la presencia de causas especiales con la mayor probabilidad posible y lo más rápidamente posible, minimizando al mismo tiempo la tasa de falsas alarmas.

Gráfico cEstamos interesados en el número total de defectos durante sucesivos intervalos de tiempo o espacio de longitud fija. Sabemos que el número X de estos debe pertenecer a la familia de Poisson, cuya función de probabilidad será:

donde la media y la varianza de X serán iguales a c. Cuando la media c de X es suficientemente grande como para que la distribución de Poisson pueda aproximarse por la distribución normal, los límites de control quedarán definidos

EjercicioUna compañía que fabrica teclados realiza diariamente análisis de calidad a 25 teclados con el fin de determinar el número total de teclas defectuosas. La producción será satisfactoria si el número de teclas defectuosas no varía de 4. En la siguiente tabla se muestran el número de teclas defectuosas en 30 jornadas:

Obtener el gráfico de control del proceso y determinar si el proceso está bajo control.

3 8 2 2 3 4 4 9 7 02 5 5 8 5 6 7 4 4 23 3 5 6 3 5 3 5 0 4

Ejercicio

Un pequeño restaurante de carretera ha recogido todos los meses durante dos años el número de quejas que ha rebidido en relación a los servicios que presta:

Realiza un gráfico de control e indica si el proceso se encuentra bajo control o no.

2009 Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dicquejas 3 1 4 6 2 4 6 4 0 4 7 32010 Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic

quejas 4 11 3 4 1 6 3 4 4 0 3 4

Gráfico np

La media de X es np y la varianza np(1-p). Si el valor de n es suficientemente grande como para que la distribución binomial pueda aproximarse por la distribución

p podría ser el histórico si se dispone de él o el estimado a partir de la muestra.

Estamos interesados en el número X de unidades defectuosas en una muestra de tamaño n. En este caso, X debe ser una distribución binomial y su función de probabilidad será:

EjercicioUna empresa fabrica pequeñas piezas de PVC mediante un proceso mecanizado. Al analizar las piezas se puede determinar si estas tienen las dimensiones adecuadas o no, en cuyo caso se considera defectuosa. La empresa quiere elaborar un gráfico de control para controlar el número de piezas defectuosas producidas por la máquina. Para ello se seleccionaron 30 muestras de tamaño 50, obteniendose los siguientes datos:

muestra Nº defectuosas muestra Nº defectuosas muestra Nº defectuosas

1 12 11 5 21 202 15 12 6 22 183 8 13 17 23 244 10 14 12 24 155 4 15 22 25 96 7 16 8 26 127 16 17 10 27 78 9 18 5 28 139 14 19 13 29 9

10 10 20 11 30 6

Construya el gráfico de control para la empresa y analice la información obtenida.

Gráficos de tipo continuo Los gráficos para características de tipo continuo presentan una diferencia importante con respecto a los gráficos c y np vistos. En los casos vistos, al conocer la media de un proceso queda completamente determinada la varianza (distribución binomial y Poisson), por lo que sólo es necesario monitorizar la media (la variabilidad queda monitorizada). Al trabajar con medidas continuas, en las que se suele usar la distribución de probabilidad normal, en esta la media y la varianza no están relacionadas, por lo que habrá que monitorizar por una lado la media del proceso, gráfico X y por otro la variabilidad, gráfico R (para el rango) o gráfico S (para la desviación típica).

Gráfico X

A partir de este rango medio es posible obtener un estimador de la desviación típica de las observaciones individuales x

ti y así un

estimador de la desviación típica de las medias obtenidas en

cada intervalo de muestreo t:

Es una representación de las medias observadas para la característica de calidad medida en sucesivos intervalos de muestreo t =1,2,....

Los límites de control se suelen calcular a partir del rango medio de los datos observados en cada intervalo t,

n: número de observaciones en cada intervalo de muestreo t

n 2 3 4 5 6 7 8 9 10d

21.128 1.693 2.059 2.326 2.534 2.704 2.847 2.970 3.078

donde d2 es una constante en función de n

Gráfico XLC puede ser igual a la media μ histórica de la característica medida en caso de ser conocida, o a la media de las medias observadas:

Los límites de control quedan definidos como:

EjercicioEn una fábrica que produce tuberías se han medido los diámetros (en mm) de 16 tuberías. En la siguiente tabla se muestran los datos obtenidos a lo largo de 8 intervalos de muestreo sucesivos, en cada uno de los cuales se han seleccionaldo al azar 2 tuberías para medir sus diámetros x

t1 y x

t2. Dibujar el gráfico X, ¿puede

decirse que la media del proceso está bajo control?

Intervalo de muestreo (t) xt1

xt2

1 80 822 83 813 81 804 79 805 81 796 80 807 81 818 79 81

Gráfico R

Por tanto, los límites de control del gráfico R se calculan:

LC será igual al rango medio.

n 2 3 4 5 6 7 8 9 10d

R1.323 1.906 2.340 2.691 2.988 3.247 3.472 3.676 3.861

donde dR es una constante en función de n

Es una representación de los rangos Rt, calculados para el

gráfico X. En este la desviación típica de los rangos Rt

obtenidos en cada intervalo de muestreo t puede calcularse como:

EjercicioEn una fábrica que produce tuberías se han medido los diámetros (en mm) de 16 tuberías. En la siguiente tabla se muestran los datos obtenidos a lo largo de 8 intervalos de muestreo sucesivos, en cada uno de los cuales se han seleccionaldo al azar 2 tuberías para medir sus diámetros x

t1 y x

t2. Dibujar el gráfico R, ¿puede

decirse que la variabilidad del proceso está bajo control?

Intervalo de muestreo (t) xt1

xt2

1 80 822 83 813 81 804 79 805 81 796 80 807 81 818 79 81

Interpretación de los gráficosCada vez que aparece un punto fuera de los límites de control se declara la ocurrencia una alarma, cuyo origen hay que investigar para eliminar el problema del proceso. Mientras todos los puntos se encuentren entre LIC y LSC la monitorización continúa.

Puede ocurrir que todos los puntos estén entre LIC y LSC pero el proceso no esté bajo control y pueda declararse una alarma:● Racha: 8 puntos o más consecutivos a un mismo lado de la línea

central● Tendencia: 8 puntos o más en orden creciente o decreciente● Periodicidad: se repite el mismo patrón de puntos en periodos de

longitud fija (aparecen ciclos).● Inestabilidad: fluctuaciones cerca de LIC y LSC

● Superestabilidad: 16 puntos o más entre –σ y +σ

Interpretación de los gráficos● Racha: 8 puntos o más consecutivos a un mismo lado de la línea

central

Interpretación de los gráficos● Tendencia: 8 puntos o más en orden creciente o decreciente

Interpretación de los gráficos● Periodicidad: se repite el mismo patrón de puntos en periodos de

longitud fija (aparecen ciclos).

Interpretación de los gráficos● Inestabilidad: fluctuaciones cerca de LIC y LSC

Interpretación de los gráficos● Superestabilidad: 16 puntos o más entre –σ y +σ

Interpretación de los gráficosSi adoptamos como protocolo que cada vez que ocurre una de esas situaciones se declara una alarma:● Aumentará la sensibilidad del proceso de monitorización:

mayor probabilidad/rapidez para detectar alarmas.● Aumentará el número medio de falsas alarmas: usamos

varios criterios para detectar alarmas cada uno con su tasa de falsas alarmas.

El primer caso es beneficioso pero el segundo es perjudicial. Debe adoptarse una solución de compromiso que permita optimizar la detección de alarmas verdaderas, minimizando la tasa de falsas alarmas.