Rozdział 1

Statyka

1.1 Twierdzenie o trzech siłach

Twierdzenie dotyczy równowagi płaskiego zbieznego układu sił.

Twierdzenie 1 (Twierdzenie o trzech siłach) Aby trzy nierówno-

ległe do siebie siły działajace na ciało sztywne były w równowadze, linie

działania tych sił musza przecinac sie w jednym punkcie, a same siły

musza tworzyc trójkat zamkniety.

Niech beda dane trzy siły P1, P2, P3.

Zakładamy, ze sa w równowadze. Zastepujemy P2 i P3 siła R (wypad-

11

kowa tych dwóch).

R = P2 + P3.

Pozostaja wiec dwie siły: P1 i R. Poniewaz układ jest w równowadze,

wiec

P1 = −R, P1 = R.

Stad P1, P2, P3 sa zbiezne i tworza wielobok zamkniety. W kazdym

przypadku jest to trójkat.

1.2 Równania równowagi płaskiego zbieznego

układu sił

Wprowadzmy układ współrzednych.

Poniewaz siła jest wektorem, mozemy ja zapisac nastepujaco

P = Px + Py = Pxi+ Pyj,

Px = P cosα, Py = P sinα,

P =qP 2x + P 2y .

Jezeli mamy układ n sił zbieznych, to wypadkowa

R =X

Pi.

12

Stosujac twierdzenie, rzut sumy geometrycznej wektorów na dowolna os

równa sie sumie rzutów tych wektorów na ta sama os, otrzymujemy⎧⎨⎩ Rx = P1x + P2x + . . .+ Pnx =P

Pix

Ry = P1y + P2y + . . .+ Pny =P

Piy,

R =qR2x +R2y =

r³XPix

´2+³X

Piy

´2.

Warunkiem równowagi jest, aby

R = 0.

Stad otrzymujemy równania równowagi:⎧⎨⎩ Rx = P1x + P2x + . . .+ Pnx =P

Pix = 0

Ry = P1y + P2y + . . .+ Pny =P

Piy = 0.

1.3 Moment siły

MO = r × F

r = r1 +−−→AB

MO = r1 × F +−−→AB × F = r1 × F.

13

MO = rF sin³r, F

´MO = hF

Aby siły zbiezne lezace w jednej płaszczyznie były w równowadze,

sumy rzutów tych sił na osie układu musza byc równe zeru.

Równania równowagi mozna przedstawic równiez w innej postaci.

W tym celu udowodnimy twierdzenie Varignona.

Twierdzenie 2 (Varignon) Moment wzgledem dowolnego punktu O

wypadkowej dwóch sił równy jest sumie momentów sił wypadkowych

wzgledem tegoz punktu.

Zgodnie z definicja momentu wektora wzgledem punktu mozemy napisac

MO = r ×R,

gdzie R = F1 + F2.

MO1 = r × F1,

MO2 = r × F2.

14

Otrzymujemy

MO = r ×R = r ׳F1 + F2

´= r × F1 + r × F2

= MO1 +MO

2 .

Twierdzenie to mozna uogólnic na dowolna ilosc sił zbieznych

MO =X

M0i .

Analitycznie

MO = Pyx− Pxy.

Wezmy układ n sił przyłozonych do punktu A ciała. Jezeli suma mo-

mentów tych sił wzgledem jakiegos punktu B jest równa zero, to albo

ich wypadkowa jest równa zeru, albo linia jej działania przechodzi przez

punkt B (ramie wypadkowej równe zero). Jezeli dodatkowo suma mo-

mentów tych sił wzgledem innego punktu C, nie lezacego na jednej

15

prostej z punktami A i B jest takze równa zeru, wówczas wypadkowa

R musi byc równa zero.

Aby płaski układ sił zbieznych znajdował sie w równowadze

musza równac sie zeru rzuty momentów wszystkich sił tego

układu wzgledem dowolnych dwóch punktów nie lezacych z

punktem przyłozenia sił na jednej prostej. Stad druga postac

równan równowagi

XMiB = 0,

XMiC = 0.

Gdy w zadaniach mamy trzy niewiadome, to do pierwszej postaci rów-

nan dodajemy jedno równanie momentów.

1.4 Wypadkowa dwóch sił równoległych

Gdy na ciało działaja dwie siły równoległe pojawiaja sie kłopoty ze

znalezieniem wypadkowej metoda równoległoboku. Postepujemy nastepu-

jaco:

Mamy dwie siły P1 i P2 zgodnie skierowane przyłozone w punktach

A i B. Przykładamy do tych punktów układ zerowy S0 = −S. Otrzy-

16

mujemy wypadkowe

R1 = P1 + S i R2 = P2 + S.

Siły R1 i R2 mozemy juz złozyc. Przesuwamy je do punktuD i składamy

R = R1 +R2,

R = P1 + S + P2 + S0 = P1 + P2,

R = P1 + P2.

Linia działania wypadkowej przechodzi przez punkt C.

Połozenie tego punktu okreslaja odcinki (Twierdzenie Talesa)

AC = ABP2

P1 + P2, BC = AB

P1P1 + P2

.

Jezeli siły równoległe sa przeciwnie skierowane, to

R = R1 +R2,

R = P1 − P2,

AC = ABP2

P1 − P2, BC = AB

P1P1 − P2

.

1.5 Para sił

Układ dwóch sił równoległych P 0 = −P, P 0 = P nie lezacych na jednej

prostej nazywamy para sił. Odległosc miedzy siłami nazywamy ramie-

niem pary sił.

17

M = Pa.

MO = Ph1, M 0O = −P 0h2 = −Ph2,

gdzie h1, h2- ramiona sił wzgledem punktu O, h1 − h2 = a.

MO +M 0O = P (h1 − h2) = Pa =M.

Wektor momentu pary sił jest wektorem swobodnym.

Jezeli mamy n par sił działajacych na ciało w jednej płaszczyznie, to

moment wypadkowy jest równy sumie momentów poszczególnych par

M =X

Mi.

18

Aby pary sił działajace w jednej płaszczyznie na ciało sztywne

znajdowały sie w równowadze, suma momentów tych par musi

sie równac zeru. XMi = 0.

Warunek równowagi par sił w jednej płaszczyznie.

Pary sił o tej samej płaszczyznie działania i równych momen-

tach sa sobie statycznie równowazne.

Składanie par sił w jednej płaszczyznie.

Aby pary sił działajace w jednej płaszczyznie na ciało sztywne

znajdowały sie w równowadze, suma momentów tych par musi

sie równac zeru.

XMi = M1 +M2 + . . .+Mn = Qb,XMi = 0 - warunek równowagi.

1.6 Redukcja dowolnego płaskiego układu

Rozpatrzmy przypadek:

Dana siła P . Do dowolnego punktu O ciała przykładamy układ zerowy.

P i P 0 = −P .

Otrzymujemy układ:

siła P ,

para sił o momencie MO = aP .

Jezeli mamy układ n sił, to mozna go spróbowac do siły i pary sił, gdzie

R =X

Pi - wektor główny,

MO =X

MiO -moment główny wzgledem srodka redukcji O.

19

Redukcja w układzie współrzednych

Rx =X

Pix, Ry =X

Piy.

Moment kazdej siły wzgledem srodka redukcji, którym jest poczatek

układu, wynosi

MiO = Piyxi − Pixyi.

Moment główny

MO =X

MiO =X

(Piyxi − Pixyi)

1.6.1 Redukcja układu do wypadkowej

Jezeli moment główny układu da sie przedstawic w postaci

MO = hR, R- wektor główny,

to układ redukuje sie do wypadkowej.

W przypadku, gdy suma geometryczna układu sił P1, P2, . . . , Pn

działajacych w jednej płaszczyznie na ciało sztywne jest rózna

od zera, układ zastapic mozemy jedna siła wypadkowa równa

wektorowi głównemu

R =X

Pi.

20

Moment tej siły wypadkowej

MO

³R´

=X

MiO,

MO

³R´

= Ryx−Rxy- równanie prostej, na której lezy wypadkowa.

1.7 Warunki równowagi dowolnego płaskiego układu

sił

Aby układ znajdował sie w równowadze wektor i moment główny musi

byc równy 0.

R = 0, MO = 0.

Równania równowagi dowolnego płaskiego układu

XPix = 0,

XPiy = 0,

XMiO = 0,X

Pix = 0,X

MiA = 0,X

MiB = 0,XMiA = 0,

XMiB = 0,

XMiC = 0.

1.8 Siły zbiezne w przestrzeni

Wypadkowa zbieznego przestrzennego układu sił

R =X

Pi.

Dowolny układ sił przyłozonych do jednego punktu zastapic

mozemy jedna siła wypadkowa przyłozona w tym punkcie i

równa sumie geometrycznej sił.

21

R = P1 + P2 + P3.

Px = P cosα, Py = P cosβ, Pz = P cos γ,

P =pOA02 +AA02, AA0 = Pz, OA02 = P 2x + P 2y ,

P =qP 2x + P 2y + P 2z .

Stad wypadkowa układu

R = Rxi+Ryj +Rzk,

Rx =X

Pix, Ry =X

Piy, Rz =X

Piz,

R =qR2x +R2y +R2z.

22

Równania równowagi

XPix = 0,

XPiy = 0,

XPiz = 0,

z warunku

R =X

Pi = 0.

1.9 Przestrzenny układ sił równoległych

Dany jest układ n sił w przestrzeni

Wektor główny tego układu jest

R =X

Pi = Rxi+Ryj +Rzk.

Moment główny wzgledem poczatku układu

MO =X

Mi =MxOi+MyOj +MzOk,

gdzie

Rx =X

Pix, Ry =X

Piy, Rz =X

Piz,

MxO =X

(Piyzi − Pizyi) = Ryz −Rzy,

MyO =X

(Pizxi − Pixzi) = Rzx−Rxz, (1.1)

MzO =X

(Pixyi − Piyxi) = Rxy −Ryx.

23

Katy nachylenia sił do osi układu sa α, β, γ.

Pix = Pi cosα, Rx = R cosα,

Piy = Pi cosβ, Ry = R cosβ, (1.2)

Piz = Pi cos γ, Rz = R cos γ.

Podstawiamy 2.2 do 2.1

X(Pi cosβ · zi − Pi cos γ · yi) = R cosβ · z −R cos γ · y,X(Pi cos γ · xi − Pi cosα · zi) = R cos γ · x−R cosα · z,X(Pi cosα · yi − Pi cosβ · xi) = R cosα · y −R cosβ · x.

Po uporzadkowaniu wg kosinusów kierunkowych otrzymujemy

³Rz −

XPizi

´cosβ =

³Ry −

XPiyi

´cos γ,³

Rx−X

Pixi

´cos γ =

³Rz −

XPizi

´cosα,³

Ry −X

Piyi

´cosα =

³Rx−

XPixi

´cosβ.

Stad otrzymujemy

Rx−P

Pixicosα

=Ry −

PPiyi

cosβ=

Rz −P

Pizicos γ

.

Dzielac stronami przez R mamy

Rx−P

PixiR

cosα=

Ry−P

PiyiR

cosβ=

Rz−P

PiziR

cos γ.

Oznaczajac

x0 =

PPixiR

, y0 =

PPiyiR

, z0 =

PPiziR

, (1.3)

24

otrzymujemy równanie wypadkowej

x− x0cosα

=y − y0cosβ

=z − z0cos γ

.

Punkt S (x0, y0, z0) nazywamy srodkiem sił równoległych.

Zwiazki 2.3 mozna zapisac nastepujaco:

r0 =

PPiriPPi

, x0 =

PPixxiPPix

, y0 =

PPiyyiPPiy

, z0 =

PPizziPPiz

.

1.10 Srodki ciezkosci

Mamy bryłe. Mozna ja podzielic na n elementów.

Srodkiem ciezkosci nazywamy punkt, wzgledem którego suma mo-

mentów wszystkich sił ∆Gi równa sie zero (srodek równoległych sił

ciezkosci).P∆Gi = G- wypadkowa

xoX∆Viγi =

X∆Gixi,

xoX∆Viγi =

X∆Viγixi,

xo =

Pγixi∆ViPγi∆Vi

.

25

Obracajac układ otrzymujemy

yo =

Pγiyi∆ViPγi∆Vi

,

zo =

Pγizi∆ViPγi∆Vi

.

Przechodzac do granicy przy n→∞ mamy

xo =

RV

γxdVRV

γdV,

yo =

RV

γydVRV

γdV,

zo =

RV

γzdVRV

γdV.

Jezeli ρ = const. (ciało jednorodne), to

xo =

RV

xdV

V,

yo =

RV

ydV

V,

zo =

RV

zdV

V.

Jezeli uwzglednimy, ze γ = ρg, ρ = const., to otrzymamy wzory na

współrzedne srodka masy:

xo =

Pρixi∆ViPρi∆Vi

=

Pxi∆miP∆mi

=

Pxi∆mi

M,

yo =

Pρiyi∆ViPρi∆Vi

=

Pyi∆miP∆mi

=

Pyi∆mi

M,

zo =

Pρizi∆ViPρi∆Vi

=

Pzi∆miP∆mi

=

Pzi∆mi

M.

26

Przechodzac do granicy przy n→∞ otrzymujemy

xo =

RρxdVRρdV

=

Rxdm

M,

yo =

RρydVRρdV

=

Rydm

M,

zo =

RρzdVRρdV

=

Rzdm

M,

gdzie

ZxdmZydm - momenty statyczne.Zzdm

1.11 Uogólnienie redukcji układu na układ przestrzenny

Mamy siłe P w punkcie A. Przykładajac układ P,−P w punkcie O,

otrzymujemy P i MO = r × P .

Kazda siłe działajaca na ciało sztywne mozna sprowadzic do dowolnego

punktu O przykładajac siłe o momencie równym momentowi siły.

27

Podobnie mozna postapic ze wszystkimi siłami układu przestrzennego:

R = P1 + P2 + . . .+ Pn =X

Pi,

MO = MO1 +MO2 + . . .+MOn =X

MOi

= r1 × P1 + r2 × P2 + . . .+ rn × Pn,

gdzie r1 =−→OA1, r2 =

−→OA2, . . . , rn =

−→OAn,

R - wektor główny,

MO - moment główny.

Analitycznie:

Momenty wzgledem osi:

MOx =X

Mix =X

(Pizyi − Piyzi) ,

MOy =X

Mix =X

(Pixzi − Pizxi) ,

MOz =X

Mix =X

(Piyxi − Pixyi) ,

gdzie xi, yi, zi - współrzedne punktów przyłozenia sił Pi.

MO =qM2

Ox +M2Oy +M2

Oz.

1.12 Ogólne warunki i równania równowagi dowol-

nego przestrzennego układu sił

Aby dowolny układ był w równowadze, musi byc

R = 0, MO = 0.

28

Ogólne równania równowagi

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩P

Pix = 0,P

Mix = 0,PPiy = 0,

PMiy = 0,P

Piz = 0,P

Miz = 0.

1.13 Zmiana bieguna redukcji

Załózmy, ze układ sił P1, . . . , Pn zredukowalismy wzgledem punktu

O.

MO =X

MiO =X

ri × Pi =X−→

OAi × Pi.

Obierzmy teraz punkt O1 jako punkt redukcji

MO1 =X

MiO1 =X−−−→

O1Ai × Pi,

−−−→O1Ai =

−−→O1O +

−−→OAi.

Wtedy

MO1 =X−−−→

O1Ai × Pi =X³−−→

O1O +−−→OAi

´× Pi

=−−→O1O ×

XPi +

X−−→OAi × Pi,X

Pi = R,X−−→

OAi × Pi =MO.

29

Zatem

MO1 =MO +−−→O1O ×R.

1.14 Niezmienniki redukcji układu sił

1. Wektor główny nie zalezy od srodka redukcji.

2. Rzut momentu głównego na kierunek wektora głównego

MO1 ◦R =MO ◦R+³−−→O1O ×R

´◦R,

czyli

MO1 ◦R = MO ◦R = const.

MO ◦R = MOR cosα.

Poniewaz R = const. wzgledem srodka redukcji, to

MO cosα = const.

1.15 Przypadki redukcji układu

Gdy moment główny jest prostopadły do wektora głównego, układ sił

mozemy zredukowac do jednej siły wypadkowej

R =X

Pi.

Wówczas moment wypadkowej równa sie momentowi głównemu.

1. R 6= 0, MO 6= 0 - siła, para sił.

2. R 6= 0, MO = 0 - wypadkowa.

30

3. R = 0, MO 6= 0 - para sił.

4. R = 0, MO = 0 - równowaga.

1.16 Kratownice

Układ złozony z pretów, których konce sa ze soba połaczone

przegubowo, majacy niezmienna postac geometryczna nazy-

wamy kratownica. Połaczenia przegubowe nazywamy wezłami.

Warunek sztywnosci (kratownice traktujemy jako ciało sztywne): p =

2w − 3.

1. Kratownica niedosztywniona

p < 2w − 3.

2. Kratownica sztywna

p = 2w − 3.

3. Kratownica przesztywniona

p > 2w − 3.

31

Przy rozwiazywaniu kratownicy w pretach siły w pretach zakłada

sie nastepujaco:

siły od wezła- rozciaganie

siły do wezła- sciskanie

Zakładamy zawsze rozciaganie.

1.17 Metoda wezłów rozwiazywania kratownic

Najpierw znajdujemy reakcje traktujac kratownice jako ciało szty-

wne, nastepnie liczymy siły w pretach rozpatrujac kolejno równowage

32

wszystkich wezłów. Wycinamy (uwalniamy od wiezów) wezeł np. A

zastepujac prety siłami

⎧⎨⎩P

Pix = −S2 − S1 cos 45o = 0P

Piy = −P + S1 sin 45o = 0

=⇒

⎧⎨⎩ S1 =√2P

S2 = −P.

Jezeli w jednym wezle schodza sie trzy prety, przy czym dwa z nich leza

na jednej prostej, to trzeci jest pretem zerowym.

1.18 Metoda Rittera

Metoda Rittera polega na rozpatrywaniu równowagi czesci kratownicy

powstałej na skutek jej przekroju przez trzy prety.

Odcieta czesc traktujemy jako ciało sztywne i układamy dla niej rów-

nania momentów wzgledem punktów, w których parami przecinaja sie

kierunki sił niwiadomych.

33

Równanie momentów wzgledem punktu O1

S1h1 + Pp1 −RAr1 = 0

S1 =RAr1−Pp1

h1

Równanie momentów wzgledem punktu O2

S2h2 +RAr2 − Pp2 = 0

S2 =Pp2−RAr2

h2

Równanie momentów wzgledem punktu O3

−S3h3 −RAr3 + Pp3 = 0

S3 =Pp3−RAr3

h3

34