WSTĘP. Trochę geometrii elementarnej

W tym rozdziale będziemy używać oznaczeń przyjętych w szkole; w szczegól-ności, punkty będziemy oznaczać dużymi literami łacińskimi.

0.1. Twierdzenie Pitagorasa

Znane od czasów starożytnych twierdzenie Pitagorasa ma wiele dowodów.Przytoczymy tu jeden z nich, dowód Euklidesa.

0.1.1. Twierdzenie. Dany jest trójkąt prostokątny o wierzchołkach A,B,Ci kącie prostym przy wierzchołku C. Jeżeli a, b, c są długościami boków prze-ciwległych odpowiednio punktom A,B,C, to

c2 = a2 + b2.

Dowód (rys. 1). Wykorzystuje się następujące dwa fakty dotyczące póltrójkątów:

• Trójkąty o wspólnej podstawie i trzecim wierzchołku leżącym na prostejrównoległej do podstawy mają równe pola;

• każda izometria płaszczyzny, w szczególności każdy obrót, zachowujepole dowolnego trójkąta.

Korzystając z tych faktów pokazujemy, że jeżeliM jest spodkiem wysokościtrójkąta ∆(ABC) z wierzchołka C, to

12b2 = P (∆(AFB)) = P (∆(ACD)) = P (∆(AMD)).

Analogicznie dowodzimy, że

12a2 = P (∆(EMB)).

Zatem kwadrat o wierzchołkach A,B,D,E, o polu c2, został podzielonyna dwa trójkąty o polu 1

2a2 i dwa trójkąty o polu 1

2b2. Stąd otrzymujemy

c2 = a2 + b2. 2

1

0.2. Jak Eratostenes zmierzył długość równika

Około r. 230 p.n.e. Eratostenes udowodnił, że równik (”obwód Ziemi”) madługość 40 tys. km. Jego ”pomiar” jest oparty na tym, że kąt między kierunk-ami prostopadłymi do powierzchni ziemi w dwóch punktach jest proporcjon-alny do odległości ”sferycznej” tych punktów, tzn. długości łuku wielkiegookręgu przechodzącego przez te dwa punkty.

Eratostenes wiedział, że odległość między Aleksandrią i leżącym na połud-nie od niej (blisko zwrotnika Raka) Assuanem wynosi około 800 km.

Kąt między kierunkami prostopadłymi do powierzchni Ziemi w Aleksan-drii i Assuanie zmierzył badając kąt padania promieni słonecznych w Alek-sandrii w dniu, w którym promienie słoneczne padały w Assuanie prostopadle(patrz rys 2). Obliczył, że kąt ten jest równy 7, 2o.

Ponieważ 7, 2o = 150 · 360o, więc 800 km stanowi 150 długości równika.

Obliczenia Eratostenesa są obarczone pewnym błędem, ponieważ w rzeczy-wistości Aleksandria i Assuan leżą tylko w przybliżeniu na tym samym połud-niku: współrzędne geograficzne Aleksandrii są 31,2 N i 29,92 E, a Assuanu -24,05 N i 32,54 E; (zwrotnik Raka - 23,26 N).

0.3. Dlaczego warto uogólniać?

Zagadka. Kulę ziemską opasano wzdłuż równika ściśle przylegającą taśmą,a następnie przedłużono tę taśmę o 1 metr zachowując jej ”kolisty kształt”.Czy mysz może przecisnąć się teraz pod tą taśmą?

Niech l będzie długością równika, r - jego promieniem a R - promieniemwiększego koła utworzonego przez przedłużoną taśmę. Ponieważ l = 2πr,więc

2πR = 2πr + 1,

a zatemR− r =

12π

>18.

Ten wynik jest o tyle zaskakujący, że nie zależy od r !Oczywiście przez szparę szerokości ponad 18m przejdzie nawet kot! ([2]).

2

1. GEOMETRIA METRYCZNA

Nazwa ”geometria”, która pochodzi (z greckiego) od ”mierzenia Ziemi”,obejmuje obecnie szeroką gałąź matematyki (a może także pewien sposóbpatrzenia na różne zjawiska). Rozdział ten, w którym zajmujemy się ge-ometrią metryczną, jest najbliższy pierwotnemu znaczeniu terminu ”geome-tria” (Przykłady 1-5), ale również pokazuje dość odległe powiązania (Przykład6).

Dla dowolnego niepustego zbioru X wprowadza się ”metrykę ” ρ, którajest pewną funkcją na parach punktów zbioru X; wartość ρ(x, y) tej funkcjinazywamy ”odległością punktów” x, y, a parę (X, ρ) - ”przestrzenia me-tryczną” (por. Def. 1.1).

1.1. Definicja. Niech X będzie niepustym zbiorem a ρ : X × X → Rfunkcją o wartościach rzeczywistych.

Para (X, ρ) jest przestrzenią metryczną a funkcja ρ - metryką jeżeli sąspełnione następujące warunki:

(i) ρ(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy gdy x = y;(ii) ρ(x, y) = ρ(y, x) dla dowolnych x, y ∈ X(t.j. funkcja ρ jest symetryczna);(iii) ρ(x, z) ¬ ρ(x, y) + ρ(y, z) dla dowolnych x, y, z ∈ X(t.j. ρ spełnia ”nierówność trójkąta”).Liczbę ρ(x, y) nazywamy odległością punktów x, y, a zbiórB(a, r) określony

przez wzórB(a, r) := {x ∈ X | ρ(x, a) ¬ r}

dla danego a ∈ X i r > 0 - kulą o środku a i promieniu r w przestrzeni (X, ρ).Zbiór A ⊂ X jest ograniczony jeżeli jest zawarty w pewnej kuli.

1.2. Twierdzenie. Niech (X, ρ) będzie przestrzenią metryczną. Wtedy(1) ρ(x, y) ­ 0 dla dowolnych x, y ∈ X;(2) ρ spełnia nierówność wielokąta: dla każdego naturalnego k ­ 2 i dowol-

nych x1, ..., xk ∈ X,

ρ(x1, xk) ¬ Σk−1i=1 ρ(xi, xi+1). (1.1)k

Dowód. (1): Niech x, y ∈ X. Na mocy warunków (iii), (i),

ρ(x, y) + ρ(y, x) ­ ρ(x, x) = 0,

3

a stąd na mocy symetrii (warunek (ii)), 2ρ(x, y) ­ 0, więc ρ(x, y) ­ 0.

(2): Dowód indukcyjny. Dla k = 2 warunek (1.1)k jest nierównościątrójkąta. Założmy, że k ­ 3 i warunek ten jest spełniony dla k − 1:

ρ(x1, xk−1) ¬ Σk−2i=1 ρ(xi, xi+1).

Wtedy, na mocy (iii), ρ(x1, xk) ¬ ρ(x1, xk−1) + ρ(xk−1, xk), a stąd i zzałożenia indukcyjnego (1.1)k−1 otrzymujemy (1.1)k.

2

Dany zbiór X można na ogół zmetryzować na różne sposoby, t.zn. określićdla niego wiele różnych metryk.

1.3. Definicja. Dla dowolnej przestrzeni metrycznej (X, ρ) i niepustegopodzbioru X0 zbioru X, funkcja ρ|X0 jest oczywiście metryką w zbiorze X0.Zwykło się oznaczać ją też symbolem ρ.

Parę (X0, ρ) nazywa się podprzestrzenią metryczną przestrzeni (X, ρ).

Przykład 1. Metryka dyskretna

Dla danego zbioru X 6= ∅, określamy funkcję ρ : X ×X przez wzór

ρ(x, y) :={

0 jeżeli x = y1 jeżeli x 6= y

Jest ona metryką, t.zw. metryką dyskretną. Dowolna kula w tej przestrzenijest całym zbiorem X.

Przykład 2. Metryka kartezjańska

a) Niech X będzie zbiorem liczb rzeczywistych (”prosta liczbową”): X =R. Wzór

ρ(x, y) := |x− y|

określa odległość, która jest długością odcinka o końcach x, y.

Przykład a) jest szczególnym przypadkiem (dla n = 1) następującego:

4

b) Niech X = Rn. Dla dowolnych punktów x = (x1, ..., xn), y = (y1, ..., yn)zbioru X wzór

ρ(x, y) :=√

Σni=1(xi − yi)2

określa odległość kartezjańską, a przestrzeń metryczna (Rn, ρ) jest przestrzeniąkartezjańską n-wymiarową.

Zajmiemy się teraz innymi metrykami w zbiorze Rn. Ograniczymy naszeprzykłady do przypadku płaszczyzny, t.j. n = 2. Uogólnienie (niektórychz nich) na Rn dla dowolnego naturalnego n nie jest trudne, podobnie jakdowód, że są to metryki.

Przykład 3. Metryka miejska, ρ̄ (ang. ”taxi metric” - widać niektórzywolą jeździć taksówką, niż chodzić pieszo...)

Niech X = R2. Dla dowolnych punktów x = (x1, x2), y = (y1, y2),

ρ̄(x, y) := |x1 − y1|+ |x2 − y2|.

Kulą o środku a i promieniu r na płaszczyźnie z metryką miejską jest kwadrat,którego wierzchołkami są punkty jednostkowe e1,−e1, e2,−e2 na odpowied-nich osiach X1, X2 układu współrzędnych (rys.3).

Przykład 4. Metryka ”maximum”, ρmax

Dla dowolnych x = (x1, y1), y = (y1, y2),

ρmax(x, y) := max{|x1 − y1|, |x2 − y2|}.

Kulą o środku a = (a1, a2) i promieniu r w przestrzeni (R2, ρmax) jestkwadrat o wierzchołkach

(a1 + r, a2 + r), (a1 − r, a2 + r), (a1 − r, a2 − r), a1 + r, a2 − r)

(rys.4).

Przykład 5. Metryka kolejowa, ρo

Intuicyjnie, jeżeli mamy węzeł kolejowy o i możemy poruszać się tylkopo torach (prostoliniowych) przechodzących przez o, ”praktyczna odległość”między dwoma punktami odpowiada właśnie metryce ”kolejowej” określonejjak następuje.

Niech ρ będzie metryką kartezjańską w R2;

5

ρo(x, y) :={ρ(x, y) jeżeli x, y, o są współlinioweρ(x, o) + ρ(o, y) jeżeli x, y, o są niewspółliniowe

Kula o środku a i promieniu r w przestrzeni (R2, ρo) wygląda inaczej wprzypadku gdy r > ρo(a, o) niż w przypadku gdy r ¬ ρo(a, o) (rys.5).

Jeżeli r > ρ(a, o), to kula ta składa się z kuli (w metryce kartezjańskiejρ) o promieniu r − ρ(a, o) i odcinka (por. [?]);

jeżeli zaś r ¬ ρ(a, o), to kula o środku a i promieniu r w metryce kolejowejjest odcinkiem o środku a i długości 2r na prostej przechodzącej przez o i a.

Przykład 6. Przestrzeń funkcji ciągłych na odcinku [a, b]

Niech a, b ∈ R, a 6= b. Rozważamy zbiór X funkcji ciągłych o wartościachrzeczywistych, określonych na odcinku [a, b]. W zbiorze X określamy metrykęρ:

dla dowolnych f, g : [a, b]→ R

ρ(f, g) := sup{|f(t)− g(t) | t ∈ [a, b]}

(rys. 6).

Przykład 7. Odłegłość Hamminga słów kodowych

Słowo kodowe binarne o długości n jest to dowolny ciąg (xi)1=1,...,n ∈{0, 1}n, t.zn. xi ∈ {0, 1} dla i = 1, ..., n.

Dla dowolnych słów kodowych x = (x1, ..., xn) i y = (y1, ..., yn), odległośćHamminga ρHam(x, y) jest to liczba wyrazów ciągu (x1, ..., xn), dla którychxi 6= yi.

Algorytm poprawiania błędów:Ustalamy pewien zbiór C słów kodowych. Dekoder odbiera i analizuje

słowo kodowe x, znajduje najbliższe w sensie odległości Hamminga słowokodowe x′ w zbiorze C i przyjmuje ciąg x′ za otrzymaną wiadomość.

Twierdzenie. Dekoder C może poprawić do k błędów wtedy i tylko wtedygdy

minx,y∈C{ρHam(x, y) | x 6= y} ∈ {2k + 1, 2k + 2}.

(Por. [11], Tw. 1.2.13)

6

Dowód. ⇐=:Załóżmy, że minx,y∈C{ρHam(x, y) ∈ {2k + 1, 2k + 2}. Wówczas dla dowol-

nych różnych x, y ∈ C kule B(x, k), B(y, k) są rozłączne , t.zn. dowolny wek-tor, który ma nie więcej niż k błędów, trafi do pewnej kuli B(x, k) i zostanieodkodowany jednoznacznie.

=⇒:Dekoder może poprawić k błędów, więc kule o promieniu k są parami

rozłączne, zatem z nierówności trójkąta wynika, że odległość ich środków,ρHam(x, y), jest większa od 2k. Dekoder nie może poprawić więcej błędów,więc istnieją dwie kule o promieniu k+ 1, które nie są rozłączne. Niech x0, y0będą środkami tych kul; wtedy ρHam(x0, y0) ¬ 2k + 2. Zatem ρHam(x0, y0) =2k + i dla i ∈ {1, 2}, przy czym oba przypadki są możliwe. 2

2. WIĘCEJ O PRZESTRZENIACH METRYCZNYCH

W każdej przestrzeni metrycznej można wprowadzić pojęcie granicy ciągupunktów.

2.1. Definicja. Niech (xn)n∈N będzie ciągiem punktów przestrzeni me-trycznej (X, ρ) i niech x0 ∈ X.

x0 = limn→∞

x0 :⇐⇒ limn→∞

ρ(xn, x0) = 0.

Łatwo zauważyć, że każdy ciąg ma co najwyżej jedną granicę.

Dla dowolnych dwóch przestrzeni metrycznych (X, ρX) i (Y, ρY ) definiu-jemy ciągłość funkcji f : X → Y :

2.2. Definicja. a) Funkcja f : X → Y jest ciągła w punkcie x0 (zewzględu na ρX , ρY ) wtedy i tylko wtedy gdy

limn→∞

xn = x0 =⇒ limn→∞

f(xn) = f(x0).

b) Funkcja f : X → Y jest ciągła jeżeli jest ciągła w każdym punkcie.

Wśród podzbiorów danej przestrzeni metrycznej (X, ρ) wyróżnia się zbiorydomknięte i zbiory otwarte:

7

2.3. Definicja. (a) Zbiór A jest domknięty w (X, ρ) wtedy i tylko wtedygdy dla każdego ciągu punktów (xn)n∈N w X

limn→∞

xn = x0 =⇒ x0 ∈ A.

(b) Zbiór A jest otwarty w (X, ρ) wtedy i tylko wtedy gdy jego dopełnie-nie, X \ A, jest domknięte.

Oczywiście zbiór A w przestrzeni (X, ρ) może nie być w niej ani otwartyani domknięty; np. przedział (0; 1] nie jest na prostej kartezjańskiej (R, ρ)ani otwarty ani domknięty.

Zauważmy też, że zbiór może być domknięty w jednej przestrzeni me-trycznej a nie być domknięty w drugiej; np. przedział (0, 1] jest domknięty wprzestrzeni {x ∈ R | x > 0} z metryką kartezjańską, ale nie jest domkniętyna całej prostej.

2.4. Przykład. Jeżeli funkcja f : X → Y jest ciągła (względem danychmetryk ρX i ρY ), to dla dowolnego zbioru B domkniętego w Y , jego prze-ciwobraz f−1(B) jest domknięty w X. Analogiczna implikacja zachodzi dlazbiorów otwartych.

2.5. Definicja. Zbiór A jest zwarty w (X, ρ) wtedy i tylko wtedy gdykażdy ciąg (xn)n∈N w A ma podciąg (xkn)n∈N zbieżny do jakiegoś punktuzbioru A.

2.6. Uwaga. Każdy zbiór zwarty jest domknięty, ale nie na odwrót; np.dowolna prosta w przestrzeni kartezjańskiej Rn jest zbiorem domkniętym, alenie jest zbiorem zwartym, ponieważ ciąg jej punktów, dla których odległośćsąsiednich jest 1, nie ma podciągu zbieżnego.

Podamy bez dowodu następujące

2.7. Twierdzenie. W przestrzeni kartezjańskiej (dowolnego wymiaru n)każdy zbiór domknięty i ograniczony jest zwarty.

Ćwiczenie. Sprawdzić które z danych podzbiorów prostej R z metrykąkartezjańską są zwarte:

• Zbiór Q liczb wymiernych,

8

• Q ∩ [0, 1],

• {1 + 1n| n ∈ N},

• {−1} ∪ {−1 + 1n| n ∈ N} ∪ {1− 1

n| n ∈ N} ∪ {1}

• {1, 2, ..., 10}.

Zauważmy, że w myśl Definicji 1.4, pojęcie zwartości ma sens zarówno dlazbioru jak dla przestrzeni metrycznej.

Ważną rolę w geometrii przestrzeni metrycznych i w jej zastosowani-ach odgrywa pojęcie zupełności. Wprowadzenie tego pojęcia poprzedzimydefinicją ciągu Cauchy’ego.

2.8. Definicja. Ciąg (xn)n∈N punktów przestrzeni metrycznej (X, ρ) jestciągiem Cauchy’ego wtedy i tylko wtedy gdy dostatecznie dalekie wyrazytego ciągu są dowolnie bliskie, t.zn. dla każdego ε > 0 istnieje taki wskaźnikn0, że

k,m ­ n0 =⇒ ρ(xk, xm) < ε.

2.9. Definicja. Przestrzeń metryczna (X, ρ) jest zupełna wtedy i tylkowtedy gdy każdy ciąg Cauchy’ego w (X, ρ) jest w tej przestrzeni zbieżny.

2.10. Przykład. Przestrzeń kartezjańska (Rn, ρ) dowolnego wymiaru njest przestrzenią zupełną (patrz [8])

2.11. Twierdzenie. Każda przestrzeń zwarta jest przestrzenią zupełną;( patrz [8]).

Widać stąd, że zwartość jest warunkiem mocniejszym niż zupełność, ponieważprzestrzeń zupełna nie musi być zwarta (por. Przykład 2.10 i Uwaga 2.6).

Natomiast, podobnie jak dla zbiorów zwartych, każdy podzbiór domkniętyprzestrzeni zupełnej jest jej podprzestrzenią zupełną.

Na zakończenie tego rozdziału, zdefiniujemy dwie relacje równoważnościpomiędzy metrykami w danym zbiorze.

2.12. Definicja. Niech ρ1 i ρ2 będą metrykami w zbiorze X.

9

(a) ρ1, ρ2 są metrycznie równoważne wtedy i tylko wtedy gdy istniejąα, β > 0, takie że dla każdych x, y ∈ X

αρ2(x, y) ¬ ρ1(x, y) ¬ βρ2(x, y).

(b) ρ1, ρ2 są topologicznie równoważne wtedy i tylko wtedy gdy dla dowol-nego ciągu (xn) w zbiorze X zbieżność tego ciągu w przestrzeni (X, ρ1) jestrównoważna jego zbieżności w (X, ρ2).

Łatwo zauważyć, że metryczna równoważność implikuje równoważnośćtopologiczną, ale nie na odwrót.

Ćwiczenie. Pokazać, że metryki kartezjańska, miejska i metryka maxi-mum w R2 są metrycznie równoważne, natomiast żadna z nich nie jest nawettopologicznie, a więc tym bardziej metrycznie równoważna metryce dyskret-nej ani kolejowej.

3. KONTRAKCJE

Zajmiemy się teraz przekształceniami zwężającymi, zwanymi inaczej kon-trakcjami, które odgrywają ważną rolę dla przestrzeni metrycznych zupełnych(por. Twierdzenie Banacha poniżej).

3.1. Definicja. Niech (X, ρ) będzie przestrzenią metryczną.Funkcja f : X → X jest kontrakcją przestrzeni (X, ρ) wtedy i tylko wtedygdy istnieje liczba c ∈ [0; 1), taka że

∀x, y ∈ X ρ(f(x), f(y)) ¬ cρ(x, y). (3.1)

Zauważmy, że warunku (3.1) nie można zastąpić następującym:

∀x, y ∈ X ρ((f(x), f(y)) < ρ(x, y). (3.2)

3.2. Przykład. Niech (X, ρ) będzie podzbiorem prostej R z metrykąeuklidesową:

X := {0} ∪ { 1n| n ∈ N}.

Rozważmy funkcję f : X → X określoną natępująco:

10

f(0) = 0, f(1n

) =1

n+ 1dla każdego n ∈ N.

Funkcja f spełnia warunek (3.2). Rzeczywiście,

• jeżeli x = 0 i y = 1n, to ρ(f(x), f(y)) = ρ(f(0), f( 1

n)) = ρ(0, 1

n+1) =1

n+1 <1n

= ρ(0, 1n);

• jeżeli x = 1m

i y = 1n, to ρ(f(x), f(y)) = | 1

m+1 −1

n+1 | < |1m− 1

n|.

Zauważmy, że f nie spełnia warunku (3.2). Rzeczywiście, gdyby ten warunekbył spełniony, to istniałaby stała c, taka że dla dowolnych różnych punktówx, y

ρ(f(x), f(y))ρ(x, y)

¬ c < 1.

Ale dla x = 0, yn = 1n

otrzymujemy

ρ(f(x), f(yn))ρ(x, yn)

=ρ(0, 1

n+1)ρ(0, 1

n)

=n

n+ 1,

więc limn→∞ρ(f(x),f(yn))

ρ(x,yn)= 1.

Ćwiczenie. Pokazać, że dla dowolnej prostej L w R2 z metryka euklides-ową, rzutowanie prostopadłe πL na prostą L nie jest kontrakcją.

Dla płaszczyzny kartezjańskiej łatwo wskazać cała klasę kontrakcji:

3.3. Przykład. Każda jednokładność fc : R2 → R2 o współczynnikuc ∈ (0; 1) jest kontrakcją.

Przykład ten można łatwo uogólnić:

3.4. Przykład. Dla dowolnego n naturalnego, każda jednokładnośćfc : Rn → Rn o współczynniku c ∈ (0; 1) jest kontrakcją.

Wygodnie jest używać następujących oznaczeń: dla dowolnych punktówx = (x1, ..., xn) i y = (y1, ..., yn) w Rn i liczby α,

x+ y := (x1 + y1, ..., xn + yn); αx := (αx1, ..., αxn). (3.3)

11

Mamy pokazać, że ρ(fc(x), fc(y)) ¬ cρ(x, y), a to jest równoważne nierówności:√(fc(x)− fc(y))2 ¬ c

√(x− y)2. (3.4)

Ponieważ fc(x) = cx dla każdego punktu x ∈ Rn, więc warunek (3.4)możemy zapisać w postaci√

(c(x− y))2 ¬ c√x− y2,

a ponieważ c > 0, nierówność ta jest oczywiście spełniona, co więcej, jestrównością.

3.5. Przykład. Jednokładność w przyrodzie.Położenie punktu x ∈ R2 o współrzędnych kartezjańskich x1, x2 można

również opisać przez współrzędne biegunowe r, φ:

• jeżeli x = (0, 0), to r = 0 a φ jest dowolne;

• jeżeli x 6= (0, 0), to r := ρ(0, x) a φ jest miarą kąta zorientowanegomiędzy wektorem pierwszej osi a wektorem półprostej o początku 0przechodzącej przez x (rys. 7 ).

Zatem (x1, x2) = (r cosφ, r sinφ).Będziemy zakładać, że φ ∈ R, tj. φ jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Dla ustalonego a > 0, spirala logarytmiczna Xa jest to zbiór opisany wewspółrzędnych biegunowych przez równanie

r = eaφ dla φ ∈ R, (3.5)

Podamy przykład jednokładności fc o skali c < 1, która daną spiralę Xa

przekształca na Xa.Oczywiście, przy każdym kolejnym przejściu od φ do φ + 2π punkt x ∈

Xa o współrzędnych biegunowych r, φ przejdzie na punkt o współrzędnychbiegunowych r̄, φ+ 2π, gdzie r̄ = ea(φ+2π).

Zauważmy, żer

r̄=

eaφ

ea(φ+2π)=

1e2aπ

.

Niechc :=

r

r̄=

1e2aπ

.

12

Wtedy jednokładność fc przekształca Xa na Xa. Jak łatwo zauważyć,c ∈ (0, 1), a zatem fc jest kontrakcją. Co więcej, przy tej jednokładnościkażdy ”zwój” spirali jest przekształcany na poprzedni (mniejszy) (patrz rys.8 )

3.6. Twierdzenie. Każda kontrakcja jest funkcją ciągłą.

Dowód. Niech f : X → X będzie kontrakcją przestrzeni (X, ρ). Mamypokazać, że

limn→∞

xn = x0 =⇒ limn→∞

f(xn) = f(x0).

Ponieważ 0 ¬ ρ(f(xn), f(x0)) ¬ cρ(xn, x0) → 0, więc z twierdzenia o trzechciagach ρ(f(xn), f(x0))→ 0, t.zn. limn→∞ f(xn) = f(x0). 2

3.7. Definicja. Dla dowolnego niepustego zbioru X i funkcji f : X → Xciąg funkcji (f (n))n∈N określony jest indukcyjnie:

f (1)(x) := f(x), f (n)(x) := f(f (n−1)(x)).

A więc jest to ciąg kolejnych iteracji funkcji f .

3.8. Uwaga. Dla dowolnej przestrzeni metrycznej (X, ρ), jeżelif : X → X jest kontrakcją o stałej c ∈ [0; 1), to dla każdego n ∈ N funkcjaf (n) jest kontrakcją o stałej cn.Oczywiście, dla n = 1 korzystamy z definicji kontrakcji. Jeżeli n ­ 2 i f (n−1)

jest kontrakcją o stałej cn−1, to (z Def. 3.8)

ρ(f (n)(x), f (n)(y)) ¬ cρ(f (n−1)(x), f (n−1)(y)) ¬ cnρ(x, y).

Następujące ważne twierdzenie dotyczy dowolnej przestrzeni metrycznejzupełnej.

3.9. Twierdzenie Banacha o punkcie stałym. Niech (X, ρ) będzieprzestrzenią metryczną zupełną. Jeżeli f : X → X jest kontrakcją, to

(i) f ma dokładnie jeden punkt stały, x0;(ii) dla dowolnego punktu x ∈ X i ciągu funkcji f (n) (por. Def. 3.8), punkt

x0 jest granicą ciągu (f (n)(x))n∈N.

Dowód. W myśl definicji kontrakcji (Def. 3.1), ρ(f(x), f(y)) ¬ cρ(x, y)dla pewnego c ∈ [0; 1).

13

• Pokażemy, że dla dowolnego ustalonego x ∈ X ciąg (f (n)(x))n∈N jestciągiem Cauchy’ego (por. Def. 2.9).

Oczywiście możemy założyć, że n > m. Wtedy f (n)(x) = f (n−m)(f (m)(x)),więc zgodnie z Uwagą 3.9

ρ(f (n)(x), f (m)(x)) = ρ(f (m)(f (n−m)(x)), f (m)(x)) ¬ cmρ(f (n−m)(x), x).

Korzystając z nierówności wielokąta (Tw. 1.2) i z Uwagi 3.9, otrzymu-jemy (dla k = n−m)

ρ(x, f (k)(x)) ¬ ρ(x, f(x))+ρ(f(x), f (2)(x))+...+ρ(f (k−1)(x), f (k)(x)) ¬

¬ (1 + c+ ...+ ck−1)ρ(x, f(x)),

a stąd i ze wzoru na sumę ciągu geometrycznego,

ρ(x, f (k)(x)) ¬ 11− c

ρ(x, f(x)).

Zatem

ρ(f (n)(x), f (m)(x)) ¬ cmρ(f (k)(x), x) ¬ cm

1− cρ(x, f(x)).

Ponieważ c ∈ (0; 1) a punkt x jest ustalony, więc prawa strona ostatniejnierówności jest dowolnie mała dla dostatecznie dużych m, a zatem jestmniejsza od dowolnego ε(x).

Stąd wynika, że lewa strona jest też mniejsza od ε(x); a więc ciąg(f (n)(x))n∈N) jest ciągiem Cauchy’ego.

• Ponieważ przestrzeń (X, ρ) jest zupełna, więc ciąg ten jest zbieżny dopewnego punktu x0 ∈ X:

limn→∞

f (n)(x) = x0.

• Zauważmy, że x0 jest punktem stałym funkcji f . Rzeczywiście, ponieważkażda kontrakcja jest ciągła, więc

f(x0) = f( limn→∞

f (n)(x)) = limn→∞

f(f (n)(x)) = limn→∞

f (n+1)(x).

Ale ciągi (f (n+1)(x))n∈N i (f (n)(x))n∈N różnią się tylko pierwszym wyrazem,więc mają równe granice; zatem f(x0) = x0.

14

• Punkt x0 jest jedynym punktem stałym kontrakcji f (warunek (i)).Rzeczywiście, jeżeli x1 jest też punktem stałym kontrakcji f , to f(xi) =xi dla i = 0, 1, więc

ρ(x0, x1) = ρ(f(x0), f(x1)) ¬ cρ(x0, x1),

więc ρ(x0, x1) = 0, a zatem x0 = x1.

• Zatem x0 jest granicą ciągu ((f(n)(x))n∈N dla dowolnego x (warunek(ii)).

2

Twierdzenie Banacha o punkcie stałym ma różne zastosowania, w szczegól-ności pozwala numerycznie rozwiązywać równania postaci f(x) = x.

4. METRYKA HAUSDORFFA

Rozważmy dowolną przestrzeń metryczną (X, ρ). Dla dowolnego niepustegopodzbioru A ⊂ X i punktu x ∈ X definiuje się odległość punktu x od zbioruA:

ρ(x,A) := inf{ρ(x, a) | a ∈ A}

i ε-otoczkę zbioru A dla ε > 0, zwaną również kulą uogólnioną o promieniu εwokół A:

(A)ε := {x ∈ X | ρ(x,A) ¬ ε}.

Nie trudno pokazać, że

(A)ε =⋃a∈A

B(a, ε),

gdzie B(a, ε) jest kulą o środku a i promieniu ε, t.zn.

B(a, ε) = {x ∈ X | ρ(x, a) ¬ ε}.

4.1. Definicja. Dla zwartych, niepustych zbiorów A,B ⊂ X,

ρH(A,B) := inf{ε > 0 | A ⊂ (B)ε i B ⊂ (A)ε}.

15

4.2. Twierdzenie. Funkcja ρH jest metryką w zbiorze C(X) wszystkichniepustych zwartych podzbiorów przestrzeni (X, ρ).

Dowód. Sprawdzamy warunki (i)-(iii) Definicji 1.1.

• Wprost z Definicji 4.1 otrzymujemy warunek ρH(A,A) = 0, bo zbiór Ajest oczywiście zawarty w każdej swojej ε-otoczce.

Z kolei, jeżeli ρH(A,B) = 0, to A ⊂ (B)ε dla każdego ε > 0, więcρ(x,B) ¬ ε dla każdego x ∈ A i ε > 0. Zatem do dowolnej kuli B(x, ε) opromieniu ε = 1

nnależy pewien punkt yn zbioru B; a więc ρ(x, yn) ¬ 1

n,

a stąd x = limn→∞ yn. Z domkniętości zbioruB wynika że x ∈ B. ZatemA ⊂ B.

Dowód inkluzji B ⊂ A jest analogiczny. To kończy dowód warunku (i).

• Warunek (ii) wynika z tego, że definicja funkcji ρH jest symetryczna zewzględu na A,B.

• Udowodnimy nierówność trójkąta (warunek (iii)).

Niech α := ρH(A,B) i β := ρH(B,C). Wtedy

A ⊂ (B)α i B ⊂ (A)α,

orazB ⊂ (C)β i C ⊂ (B)β.

Wynika stąd, żeA ⊂ (C)α+β i C ⊂ (A)α+β;

a więcρH(A,C) ¬ α + β = ρH(A,B) + ρH(B,C).

Zatem ρH jest metryką. 2

4.3. Twierdzenie. Dla dowolnych A,B ∈ C(X),

ρH(A,B) = max{supa∈A

ρ(a,B), supb∈B

ρ(b, A)}.

Dowód. Wygodnie będzie skorzystać z następującej własności kresu dol-nego inf, którą zilustrujemy na rysunku, rezygnując z formalnego dowodu(rys. 9).

16

Jeżeli S1, S2 są przedziałami liczbowymi o niepustym przecięciu, to

inf(S1 ∩ S2) = max{inf S1, inf S2}. (4.1)

Udowodnimy najpierw równość

supa∈A

ρ(a,B) = inf{ε > 0 | A ⊂ (B)ε}. (4.2)

Oznaczmy lewą stronę wzoru (4.2) przez α, a prawą przez β. Oczywiścieρ(a,B) ¬ α dla każdego a ∈ A, więc A ⊂ (B)α, a zatem α ­ β.

Przypuśćmy, że ta nierówność jest ostra, t.j. α > β; wtedy istnieje ε ∈(0;α), dla którego A ⊂ (B)ε, więc supa∈A ρ(a,B) ¬ ε < α, t.j α < α. Zatemprzypuszczenie, że α > β doprowadziło nas do sprzeczności; więc α ¬ β.Udowodniliśmy więc, że α = β, a to jest (4.2).

Analogicznie, zamieniając A i B we wzorze (4.2), otrzymujemy

supb∈B

ρ(b, A) = inf{ε > 0 | B ⊂ (A)ε} (4.2′)

Zatem większa z lewych stron wzorów (4.2) i (4.2’) równa jest większejz ich prawych stron. Oznaczmy te prawe strony przez ε0 i ε′0 odpowiednio.Mamy więc równość

max{supa∈A

ρ(a,B), supb∈B

ρ(b, A)} = max{ε0, ε′0}.

Na mocy warunku (4.2), to kończy dowód. 2

4.4. Przykład. Niech T będzie trójkątem równobocznym wpisanym wkoło K o promieniu 1. Obliczymy ρH(T,K).

Ponieważ T ⊂ K, więc ρ(x,K) = 0 dla każdego x ∈ T . Zatem

supx∈T

ρ(x,K) = 0.

Niech x ∈ K; oczywiście ρ(x, T ) = 0 dla x ∈ T , a dla x ∈ K \ T jest toodległość rzutu punktu x na najbliższy bok trójkąta T .

Zatem

supx∈K

ρ(x, T ) = 1− 13

√3

2= 1−

√3

6> 0.

17

Wobec tego, w myśl Twierdzenia 4.3,

ρH(T,K) = 1−√

36.

Ćwiczenie. Dla i = 1, 2, niech Bi będzie kulą w przestrzeni R3, o środkuai i promieniu ri, zaś Si - odpowiednią sferą (brzegiem kuli Bi).

Obliczyć ρH(B1, B2), ρH(S1, S2) i ρH(B1, S2).

Na koniec tego rozdziału podamy bez dowodu ważne twierdzenie:

4.5. Twierdzenie. Niech Cn będzie rodziną zwartych niepustych podzbiorówprzestrzeni Rn z metryką kartezjańską. Wtedy (Cn, ρH) jest przestrzenią zu-pełną.

Ogólniej,

4.6. Twierdzenie. Niech C(X) będzie rodziną zwartych niepustych podzbiorówprzestrzeni metrycznej (X, ρ). Jeżeli przestrzeń (X, ρ) jest zupełna, to również(C(X), ρH) jest przestrzenią zupełną.

18

5. OPERATOR HUTCHINSONA

Rozważmy skończoną rodzinę kontrakcji {ψ1, ..., ψm} przestrzeni metrycznej(X, ρ). Definiujemy przekształcenie Ψ : C(X) → C(X), zwane operatoremHutchinsona: dla A ∈ C(X)

Ψ(A) :=m⋃i=1

ψi(A). (5.1)

5.1. Twierdzenie. Funkcja Ψ jest kontrakcją przestrzeni (C(X), ρH).

Dowód. Niech ci ∈ [0; 1) będzie stałą kontrakcji ψi dla i = 1, ...,m.Możemy założyć, że jest to najmniejsza taka stała, tzn. stała Lipschitza tejkontrakcji, ci = Lip(ψi).

Niech A,B ∈ C(X) i ρH(A,B) = ε. Zatem

A ⊂ (B)ε i B ⊂ (A)ε,

więc dla każdego i

ψi(A) ⊂ ψi((B)ε) i ψi(B) ⊂ ψi((A)ε).

Niechc := max{c1, ..., cm}.

Zauważmy, że jeżeli x ∈ (B)ε, to ψi(x) ∈ (ψi(B))cε; więc

ψi(Bε) ⊂ (ψi(B))cε.

Analogicznie,ψi(Aε) ⊂ (ψi(A))cε.

Ponieważ ε-otoczka sumy skończonej liczby zbiorów jest równa odpowied-niej sumie ε-otoczek tych zbiorów (por. Ćwiczenie...), więc korzystając zdefinicji funkcji Ψ ((5.1)), otrzymujemy stąd

Ψ(A) ⊂ (Ψ(B))cε i Ψ(B) ⊂ (Ψ(A))cε.

ZatemρH(Ψ(A),Ψ(B)) ¬ cε = cρH(A,B),

19

co kończy dowód. 2

Niech X = Rn, i niech ρ będzie metryką kartezjańską. Jako wniosekz Twierdzeń 4.6, 5.1 i Twierdzenia Banacha o punkcie stałym (Tw. 3.9)otrzymujemy następujące ważne twierdzenie:

5.2. Twierdzenie Hutchinsona. Funkcja Ψ : Cn → Cn ma dokładniejeden ”punkt” stały , tj. taki zwarty podzbiór E przestrzeni Rn, dla któregoΨ(E) = E.

Co więcej, dla dowolnego A ∈ Cn, zbiór E jest granicą Hausdorffa ciągu(Ψ(k))k∈N(A) obrazów zbioru A przy kolejnych iteracjach funkcji Ψ (por. Def.3.7).

Zbiór E jest nazywany zbiorem niezmienniczym rodziny kontrakcji {ψ1, ..., ψm}.Oczywiście

E =m⋃i=1

ψi(E).

W szczególności, jeżeli kontrakcje ψi są podobieństwami o skali c ∈ (0; 1),zbiór E jest samopodobny: jest sumą mnogościową swoich podobnych kopiiψi(E) dla i = 1, ...,m.

Zilustrujemy teraz Twierdzenie Hutchinsona na przykładach znanych oddawna zbiorów samopodobnych: tzw. trójkąta Sierpińskiego i krzywej Kocha.

5.3. Przykład: Trójkąt Sierpińskiego.Trójkąt Sierpińskiego jest znacznie ”starszy” (początek 20w.) niż Twierdze-

nie Hutchinsona (koniec 20w). Wcześniej był opisywany jako przecięcie ”corazbardziej dziurawych” trójkątów (z trójkąta równobocznego usuwamy wnętrzepodobnego do niego dwa razy mniejszego trójkąta, dalej robimy to samo zkażdym z pozostałych trzech, itd. - rys. )

Postąpimy teraz trochę inaczej. Określimy trzy kontrakcje płaszczyznykartezjańskiej R2. Będą to jednokładności ψa, ψb i ψc względem wierzchołkówa, b, c trójkąta równobocznego; załóżmy, że wszystkie trzy jednokładnościmają skalę 12 . Te kontrakcje wyznaczają operator Hutchinsona Ψ, który (zgod-nie ze wzorem (5.1)) dla dowolnego niepustego zbioru zwartego A ⊂ R2,

20

przyjmuje wartość

Ψ(A) := ψa(A) ∪ ψb(A) ∪ ψc(A).

Zgodnie z Twierdzeniem Hutchinsona (Tw. 5.2), ta funkcja Ψ wyznaczazbiór niezmienniczy E, który jest właśnie trójkątem Sierpińskiego. Co więcej,zbiór ten jest granicą Hausdorffa ciągu Ψ(k)(A) dla k-tych iteracji tej funkcjii dowolnego zbioru zwartego A na płaszczyźnie (patrz rys.).

Warto zauważyć, że również dowolny zwykły trójkąt jest zbiorem samopodob-nym, ponieważ jest sumą swoich czterech podobnych kopii o skali 12 . Podobniejest dla dowolnego równoległoboku (patrz rys. ).

5.4. Przykład: Krzywa Kocha. Umówmy się, że odcinek o końcacha, b będziemy oznaczać symbolem ∆(a, b) (przez analogię z trójkątem).

Niech teraz I = ∆(a, b), gdzie a = (−3, 0) i b = (3, 0).Nietrudno znaleźć podobieństwa ψ1, ψ2, ψ3, ψ4 o skali 13 , takie że

ψ1(I) = ∆(a, (−1, 0)), ψ2(I) = ∆((−1, 0), (0,√

3)),

ψ3(I) = ∆((0,√

3), (1, 0)), ψ4(I) = ∆((1, 0), b).

OkreślamyΨ(I) =

⋃4i=1 ψi(I). Zbiór ten jest łamaną złożoną z czterech odcinków

o długości 2. Iterując to postępowanie dla każdego z otrzymanych czterechodcinków, tj., mówiąc ściślej, iterując Ψ, otrzymujemy ciąg łamanych zbieżny(w myśl Twierdzenia Hutchinsona) do zbioru niezmienniczego K operatoraΨ. Jest to tzw. krzywa Kocha (rys.).

Krzywa Kocha, mimo że jest zbiorem ograniczonym, ma długość nieskończoną:

|K| = limn→∞

(43

)n =∞.

Jest ona sumą swoich czterech podobnych kopii (skala tych podobieństw jest13).

Sklejając końcami trzy egzemplarze krzywej Kocha otrzymuje się zbiórzwany ”płatkiem śniegu”. Jest to krzywa zamknięta o nieskończonej długości,będąca brzegiem ograniczonego obszaru (rys.).

Ćwiczenie. Pokazać, że dla dowolnych niepustych podzbiorów A1, ..., Amdowolnej przestrzeni metrycznej i dowolnego ε > 0

21

m⋃i=1

(Ai)ε = (m⋃i=1

Ai)ε.

6. KODOWANIE ZBIORÓW NIEZMIENNICZYCH

Przykłady 5.3 i 5.4 dotyczyły kontrakcji, które są podobieństwami, tj.zmieniają odległość w stałym stosunku.

Zastanówmy się teraz nad ogólniejszą klasą przekształceń, mianowicie nadprzekształceniami afinicznymi.

Funkcja f : R2 → R2 jest przekształceniem afinicznym jeżeli dowolnypunkt x = (x1, x2) przechodzi na punkt f(x) = (y1, y2), gdzie współrzędney1, y2 mają następującą postać:

y1 = a11x1 + a12x2 + b1,y2 = a21x1 + a22x2 + b2.Współczynniki ai,j tworzą macierz kwadratową, w której i jest numerem

wiersza, a j - numerem kolumny. Wzory te można zapisać jak następuje:[y1y2

]=[a11 a12a21 a22

]·[x1x2

]+[b1b2

].

Każde przekształcenie afiniczne f jest złożeniem przekształcenia liniowegof̄ i przesunięcia. Przy powyższych oznaczeniach, to przekształcenie liniowema postać f̄(x) = (a11x1+a12x2, a21x1+a22x2), a wektorem przesunięcia jest(b1, b2) = f(0).

Analogicznie definiuje się przekształcenia afiniczne przestrzeni euklides-owej n-wymiarowej dla dowolnego n ­ 2. Takie przekształcenie f : Rn → Rn

jest również złożeniem przekształcenia liniowego f̄ i przesunięcia o wektorf(0) = (b1, ...bn).

NiechA = [aij]1¬i,j¬n będzie macierzą przekształcenia f̄ w bazie wektorówjednostkowych ortogonalnych e1, ..., en. Wtedy dla dowolnego x = (x1, ..., xn)i f(x) = (y1, ..., yn) y1·

yn

=

a11 · · · a1n· · · · ·an1 · · · ann

· x1·xn

+

b1·bn

czyli yi = Σn

j=1aijxi + bi dla i = 1, ..., n.

22

Ćwiczenie. (a) Pokazać, że przekształcenie afiniczne płaszczyzny jestjednoznacznie wyznaczone przez dowolne trzy punkty niewspółliniowe i ichobrazy.

(b) Zauważyć, że fakt ten uogólnia się na przestrzeń Rn dla dowolnegon ­ 2.

Przekształcenie afiniczne jest nieosobliwe jeśli macierz jego części liniowejjest nieosobliwa, tzn. ma wyznacznik różny od zera. Takie przekształcenie jestwzajemnie jednoznaczne, a więc istnieje dla niego przekształcenie odwrotne.Jest ono również afiniczne.

Podamy przykład przekształcenia afinicznego, które jest osobliwe:

6.1. Przykład. Niech f : R2 → R2 będzie rzutowaniem ortogonalnymna pierwszą oś:

f(x1, x2) = (x1, 0).

Jest to przekształcenie liniowe (wektor przesunięcia jest zerowy) o macierzy[1 00 0

], której wyznacznik jest równy zero. Zatem przekształcenie f jest os-

obliwe.

6.2. Uwaga. Pokażemy, że jeżeli f : R2 → R2 jest przekształceniemafinicznym nieosobliwym, a więc wyznacznik det(f̄) jego części liniowej f̄jest różny od zera, to dla kwadratu K0 rozpiętego na wektorach bazowyche1 = (1, 0) i e2 = (0, 1) zbiór f(K0) ma pole

P (f(K0)) = | det(f̄)| · P (K0) = | det f̄ |.

Rzeczywiście, jeżeli f̄ ma macierz[a11 a12a21 a22

], to

f̄(e1) =[a11 a12a21 a22

]·[

10

]=[a11a21

]i podobnie

f̄(e2) =[a11 a12a21 a22

]·[

01

]=[a12a22

],

a więc f̄ przekształca kwadrat K0 na równoległobok rozpięty na wektorach(a11, a21) i (a12, a22).

23

Przypomnijmy, że pole równoległoboku rozpiętego na wektorach (a11, a21)

i (a12, a22) jest równe wartości bezwzględnej wyznacznika macierzy[a11 a12a21 a22

].

Zatem

P (f(K0)) = | det(f̄)|.

Ponieważ pole zbioru definiuje się przybliżając ten zbiór kwadratami (por.definicja 2-wymiarowej miary Lebesgue’a, [?]), więc dla dowolnego podzbioruA płaszczyzny R2, dla którego pole jest określone, zachodzi wzór

P (f(A)) = | det(f̄)| · P (A).

Ponieważ Twierdzenie Hutchinsona (Tw. 5.2) dotyczy dowolnych kon-trakcji, więc w szczególności dotyczy takich, które są przekształceniami afinicznymi.

Ich zbiory niezmiennicze nazywamy samoafinicznymi. Oczywiście, każdyzbiór samopodobny jest samoafiniczny ale nie na odwrót.

Macierz M(E) kodująca dany zbiór E w R2 niezmienniczy za względu naoperator Ψ ma tyle wierszy, ile jest kontrakcji afinicznych, które ten zbiórwyznaczają (por. wzór (5.1)): w i-tym wierszu są współczynniki i-tej kon-trakcji. Wiersze numerujemy górnymi wskaźnikami.

Ma ona następującą postać:

M(E) :=

a111 a112 a121 a122 b11 b12· · · · · ·am11 am12 am21 am22 bm1 bm2

Zilustrujemy to na przykładzie trójkąta Sierpińskiego, T .Trójkąt Sierpińskiego (por. 5.3) jest zbiorem niezmienniczym wyzna-

czonym przez trzy podobieństwa ψa, ψb, ψc o skali 12 : dla każdego x ∈ R2

ψa(x) = a+ 12(x− a) = 1

2x+ 12a,

ψb(x) = b+ 12(x− b) = 1

2x+ 12b,

ψc(x) = c+ 12(x− c) = 1

2x+ 12c.

A więc macierz kodująca zbiór T ma postać

24

M(T ) =

12 0 0 1

212a1

12a2

12 0 0 1

212b1

12b2

12 0 0 1

212c1

12c2

,gdzie a = (a1, a2), b = (b1, b2), c = (c1, c2).

Ćwiczenie. Znaleźć macierz kodującą dla krzywej Kocha (por. 5.4).

Opisany wyżej sposób znajdowania (rysowania) zbiorów niezmienniczychjest to algorytm deterministyczny: dla dowolnego zbioru zwartego A i kon-trakcji ψ1, ..., ψm rozważamy operator Hutchinsona Ψ:

Ψ(A) :=m⋃i=1

ψi(A),

dla którego ciąg kolejnych iteracji jest zbieżny w sensie Hausdorffa do zbioruniezmienniczego.

Natomiast następujący sposób rysowania zbiorów niezmienniczych jestalgorytmem probabilistycznym:

Tworzy się następujący ciąg punktów (xi)i∈N: niech x0 będzie dowol-nym punktem zbioru niezmienniczego. Dla i ­ 1 losujemy przekształcenieψi spośród {ψ1, ..., ψm} i rysujemy punkt ψi(xm−1).

Ten ciąg punktów x0, x1, ... coraz gęściej wypełnia zbiór niezmienniczy.

Zauważmy, że jeżeli skala zmniejszania kopii nie jest stała, to zbiór więk-szy będzie ”rzadziej wypełniony” punktami. Aby tego uniknąć, stosuje sięlosowanie punktów z odpowiednimi wagami, proporcjonalnymi do | det ψ̄i|(gdzie ψ̄i jest częścią liniową przekształcenia ψi).

Zaletą kodowania zbioru niezmienniczego ze względu na daną rodzinękontrakcji jest możliwość odtworzenia tego zbioru na podstawie znajomościtych kontrakcji. W przypadku przekształceń afinicznych oznacza to, że abyodtworzyć zbiór wystarczy zapamiętać elementy macierzy tych kontrakcji.

Pokażemy, że metodę tę można zastosować z pewnym przybliżeniem dodowolnych podzbiorów zwartych przestrzeni Rn.

25

7. KODOWANIE PODZBIORÓWPRZESTRZENI Rn

Udowodnimy, że każdy niepusty zwarty podzbiór przestrzeni Rn możnadowolnie przybliżać przez zbiory samopodobne (Wniosek 7.2).

7.1. Twierdzenie. Niech ψ1, ...ψm będą kontrakcjami przestrzeni Rn ostałych ci < 1 i zbiorze niezmienniczym E. Wtedy dla dowolnego A ∈ Cn ic := max{c1, ..., cm}

ρH(A,E) ¬ ρH(A,Ψ(A)) · 11− c

, (7.1)

gdzie Ψ(A) =⋃mi=1 ψi(A) (por (5.1)).

Dowód. Na mocy nierówności trójkąta dla metryki Hausdorffa i niezmi-enniczości zbioru E,

ρH(A,E) ¬ ρH(A,Ψ(A)) + ρH(Ψ(A), E)

= ρH(A,Ψ(A)) + ρH(Ψ(A),Ψ(E)) ¬ ρH(A,Ψ(A)) + cρH(A,E).

Zatem (1− c)ρH(A,E) ¬ ρH(A,Ψ(A)), a ta nierówność jest równoważnawarunkowi (7.1). 2

7.2. Wniosek. Dla dowolnego A ∈ Cn i dowolnego ε > 0 istnieje rodz-ina podobieństw zwężających, ψ1, ..., ψm, której zbiór niezmienniczy E spełniawarunek

ρH(A,E) < ε.

Dowód. Niech B1, ..., Bm będą kulami o środkach w zbiorze A i promieni-ach nie większych niż ε

4 , takimi że

A ⊂m⋃i=1

Bi.

Wtedym⋃i=1

Bi ⊂ (A) ε4

(7.2)

26

(por. Ćwiczenie...) Dla każdego i = 1, ...,m, niech ψi będzie podobieństwemo skali mniejszej niż 12 , spełniającym warunek ψi(A) ⊂ Bi. Wtedy

ψi(A) ⊂ Bi ⊂ (ψi(A)) 12 ε

dla i = 1, ...,m,

więc

Ψ(A) ⊂m⋃i=1

Bi ⊂ (A) ε4

i A ⊂m⋃i=1

(ψi(A)) ε2

= (Ψ(A)) ε2.

ZatemρH(A,Ψ(A)) ¬ ε

2.

Stąd i z Twierdzenia 7.1 wynika, że ρH(A,E) ¬ 11−c ·

ε2 . Ponieważ, z

założenia, c < 12 , więc ρH(A,E) < ε. 2

Ćwiczenie. Pokazać, że jeżeli zbiór A ∈ Cn jest zawarty w sumie kulB1, ...Bm o środkach w A i promieniach nie większych od pewnego δ, tokażda z tych kul (a więc również ich suma) zawiera się w δ-otoczce zbioru A.

8. KOMPRESJA I DEKOMPRESJA OBRAZU

Metodę przedstawioną w Rozdziale 7 można zastosować do obrazów (dziełmalarskich), kodując w przybliżeniu dowolny obraz A na płaszczyźnie zapomocą rodziny kontrakcji, {ψ1, ..., ψm}: zbiór A jest równy w przybliżeniuzbiorowi niezmienniczemu E danej rodziny kontrakcji (por. Wniosek 7.2).

Okazuje się, że ψ1, ...ψm wystarczy określać na kawałkach zbioru A zami-ast określać je na całym zbiorze A.

Rzeczywiście, mając przekształcenie f : D → f(D) ⊂ A, gdzie D jestpodzbiorem całego zbioru A, możemy rozszerzyć je do f∼ : A → R = f(D)przyjmując jedynie f∼(x) = f(x) dla x ∈ D i nie dbając o to jak określonajest wartość tego przekształcenia dla x ∈ A \ D (np. f∼|(A \ D) może byćrzutowaniem na brzeg zbioru R.)

Szczegóły techniczne.

27

9. KRZYWE W PRZESTRZENI METRYCZNEJ

W Rozdziale 2 wprowadziliśmy różne pojęcia (np. pojęcie ciągłości funkcji,domkniętości zbioru, zwartości zbioru i inne), które należą do topologii przestrzenimetrycznych. Rozszerzymy teraz zakres tych pojęć, żeby mieć narzędzia potrzebnedo dalszych rozważań.

9.1. Definicja. Dla danych przestrzeni metrycznych (X, ρX) i (Y, ρY ),ciąg funkcji fk : X → Y jest jednostajnie zbieżny do funkcji f : X → Ywtedy i tylko wtedy gdy

∀ε > 0 ∃k0 ∈ N ∀k > k0 ∀x ∈ X ρY (fk(x), f(x)) < ε.

9.2. Uwaga. W przestrzeni funkcji ciągłych na odcinku [a, b] z metryką”sup” (patrz R.2, Przykład 6), zbieżność ciągu elementów w sensie tej me-tryki jest właśnie zbieżnością jednostajną (dla X = [a, b] i Y = R ze zwykłąmetryką).

Będziemy korzystać z następującego twierdzenia, które podajemy bezdowodu (vide [8]):

9.3. Twierdzenie. Granica jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłychjest funkcją ciągłą.

Udowodnimy

9.4. Twierdzenie. Jeżeli ciąg (fk)k∈N funkcji ciągłych z (X, ρX) do(Y, ρY ) jest jednostajnie zbieżny do f , to

limk→∞

xk = x =⇒ limk→∞

fk(xk) = f(x).

Dowód. Niech limk→infty xk = x.Ponieważ (na mocy Tw. 9.3) funkcja fjest ciągła, więc lim ρY (f(xk), f(x)) = 0. Zatem

∀ε > 0∃k′0(ε)∀k > k′0(ε) ρY (f(xk), f(x)) <ε

2. (9.1)

Z kolei, na mocy jednostajnej zbieżności ciągu (fk)k∈N,

∃k′′0 (ε)∀k > k′′0(ε)∀x′ ∈ X ρY (fk(x′), f(x′)) <ε

2. (9.2)

28

W szczegolnosci tak jest dla x′ = xk.Niech

k0 = max(k′0(ε), k′′0(ε)).

Na mocy (9.1), (9.2) i nierówności trójkata dla ρY ,

ρY (fk(xk), f(x)) < ε dla k > k0.

To kończy dowód. 2

Ważnym wzmocnieniem pojęcia funkcji ciągłej jest pojęcie homeomor-fizmu:

9.5. Definicja. Dla przestrzeni metrycznych (X, ρX), (Y, ρY ), funkcjaf : X → Y jest homeomorfizmem wtedy i tylko wtedy gdy jest bijekcją(tzn. jest różnowartościowa i ”na” tj. f(X) = Y ) i zarówno f jak jej funkcjaodwrotna f−1 są ciągłe.

9.6. Uwaga. Pokazuje się, że funkcja f przekształcająca X na Y jesthomeomorfizmem wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego ciągu zbieżnego(xk)k∈N w X

limxk = x0 ⇐⇒ lim f(xk) = f(x0).

O homeomorfizmie można myśleć jako o przekształceniu, które ”nie skleja”i ”nie rozrywa” (rys.)

9.7. Twierdzenie. Jeżeli (X, ρ) jest przestrzenią zwartą, to każda ciągłabijekcja f : X → Y jest homeomorfizmem. ([3]).

Następujący przykład pokazuje, że założenie zwartości w Twierdzeniu 9.7jest istotne.

9.8. Przykład. Niech X = [0, 2π) i niech Y będzie okręgiem o środku0 i promieniu r = 1 w R2. Funkcja f : X → Y określona przez wzór f(t) =(cos t, sin t) jest ciągłą bijekcją, ale nie jest homeomorfizmem, bo funkcjaodwrotna f−1 nie jest ciągła.

Ważnym pojęciem geometrycznym (wykorzystywanym w zastosowaniach)jest pojęcie krzywej. Krzywymi na płaszczyźnie są np. okrąg, parabola, spi-rala logarytmiczna (patrz Przykład 3.5).

29

W 19 w. podjęto próby podania ścisłej definicji krzywej. Zgodnie z in-tuicją, wyobrażano sobie krzywą jako zbiór punktów, który można opisać(”sparametryzować”) za pomocą jednego parametru. Intuicji tej odpowiadapodejście Camille Jordana, który zdefiniował krzywą jako ciągły obraz od-cinka.

Tymczasem w 1890 r. Giuseppe Peano podał przykład funkcji ciągłejprzekształcającej przedział I = [0, 1] na kwadrat I2 (tzw. ”krzywa Peano”).Zatem w sensie definicji Jordana kwadrat jest krzywą, co oczywiście jestsprzeczne z intuicyjnym rozumieniem pojęcia krzywej.

9.9. Konstrukcja ”krzywej Peano”. Określamy ciąg fk : [0, 1] → I2

funkcji ciągłych, dla których zbiory fk([0, 1]) ”coraz bardziej wypełniają”kwadrat I2 (patrz rys. ). Można pokazać, że ciąg ten jest jednostajnie zbieżny,a więc jego granica f : [0, 1] → I2 jest funkcją ciągłą (Tw. 9.3). Pozostajepokazać, że f(I) = I2:

Ponieważ zbiory fk(I) ”coraz bardziej wypełniają” kwadrat I2, więc dlakażdego x ∈ I2 istnieje ciąg (tk) w I, dla którego

x = limk→∞

fk(tk).

Ponieważ odcinek I jest zwarty, możemy założyć, że ciąg (tk)k∈N jest zbieżnydo t0 ∈ I. Z jednostajnej zbieżności ciągu (fk)k∈N wynika na mocy Tw. 9.3(b),że

lim fk(tk) = f(t0) = x,

a więcI2 = f(I).

Inny przykład funkcji ciągłej przekształcającej odcinek na kwadrat podałWacław Sierpiński (por, [8], str. 246).

9.10. Uwaga. Funkcja f zdefiniowana w konstrukcji krzywej Peano niejest różnowartościowa. Rzeczywiście, gdyby była, wówczas byłaby homeo-morfizmem na mocy Twierdzenia 9.7, ponieważ [0, 1] jest zbiorem zwartym.

Wiadomo natomiast, że kwadrat I2 nie jest homeomorficzny z odcinkiem,tzn. nie istnieje homeomorfizm przekształcajacy jeden z tych zbiorów nadrugi. Jest to wniosek z nietrywialnych twierdzeń teorii wymiaru.

30

Ćwiczenie. Pokazać, że odcinek otwarty jest homeomorficzny zarówno zprostą jak i z półprostą otwartą.

W tej sytuacji jasne jest, że na funkcję ciągłą (parametryzację), którama przekształcać odcinek lub prostą na krzywą, trzeba nałożyć dodatkowewarunki. Zastanówmy się najpierw jak wyglądają krzywe, dla których ist-nieje parametryzacja będąca homeomorfizmem. Najprostsze przykłady są toparametryzacje wykresów funkcji ciągłych określonych na odcinku domknię-tym.

9.11. Przykłady.(a) Niech L będzie wykresem funkcji f : [−1, 1]→ R:

f(t) = t2.

A więcL = {(x1, x2) ∈ R2 | x2 = (x1)2, x1 ∈ [−1, 1]}.

Jest to fragment paraboli.Najprostszą parametryzacją zbioru L jest funkcja p : [−1; 1] → L ⊂ R2

opisana przez wzór p(t) = (t, t2). Ta funkcja jest homeomorfizmem, ponieważjest ciągła (bo obie współrzędne są funkcjami ciągłymi), różnowartościowa(bo pierwsza wspólrzędna jest różnowartościowa), oraz [−1; 1] jest zbioremzwartym (por. Tw....). Zauważmy, że nie jest to jedyna parametryzacja zbioruL; np. funkcja p(t) = (t3, t6) dla t ∈ [−1; 1] jest również homeomorfizmemodcinka [−1; 1] na L (rys.).

(b) Niech teraz L będzie wykresem funkcji f : [−1; 1]→ R:

f(t) ={t sin 1

tdla t 6= 0

0 dla t = 0.

Funkcja p : [−1; 1]→ R postaci

p(t) ={

(t, t sin 1t) dla t 6= 0

(0, 0) dla t = 0

jest homeomorfizmem (por (a)). (Rys.)

Ogólnie, zbiór, który jest homeomorficznym obrazem odcinka domkniętegonazywamy łukiem.

31

Okrąg nie jest homeomorficzny z odcinkiem, więc oczywiście nie jestłukiem. Każdy zbiór homeomorficzny z okręgiem nazywamy krzywą zwykłązamkniętą.

Jest oczywiste, że dowolny okrąg na płaszczyźnie dzieli tę płaszczyznę nadwa obszary, z których jeden jest ograniczony a drugi nieograniczony. Czytak samo jest dla dowolnej krzywej zwykłej zamkniętej? Odpowiedź na topytanie daje Twierdzenie Jordana; dowód tego twierdzenia jest niebanalny iwymaga zaawansowanych metod topologii. Żeby sformułowac to twierdzenie,musimy wprowadzic pojęcie spójności zbioru i pojęcie obszaru.

9.12. Definicja. Podzbiór A przestrzeni metrycznej (X, ρ) jest spójnyjeżeli ”nie rozpada się na dwa rozłaczne kawałki”. Mówiąc ściśle, A jest spójnywtedy i tylko wtedy gdy nie istnieją takie niepuste rozłączne podzbiory A1, A2domknięte w A, dla których A = A1 ∪ A2. (rys.)

9.13. Definicja. Podzbiór U przestrzeni Rn jest obszarem wtedy i tylkowtedy gdy jest otwarty i spójny.

9. 14. Twierdzenie Jordana. Każda krzywa zwykła zamknięta L wR2 rozcina płaszczyznę R2 na dwa rozłączne obszary U1, U2, takie że R2 =L∪U1∪U2 i L jest wspólnym brzegiem zbiorów U1 i U2. Jeden z tych obszarówjest ograniczony (”wewnętrzny”) a drugi nieograniczony (”zewnętrzny”).

Ćwiczenie (w.8 str. 2) Czy p leży w obszarze wewnętrznym?

Łuki i krzywe zwykłe zamknięte nie wyczerpują jednak całego bogactwazbiorów, które chciałoby się nazywać krzywymi (np. lemniskata, patrz rys. )

Ogólną definicję krzywej w przestrzeni metrycznej wygodnie jest sfor-mułować używając pojęcia lokalnego homeomorfizmu odcinka (otwartego lubdomkniętego), prostej, lub półprostej.

9.15. Definicja. Funkcja ciągła p : (a; b)→ L jest lokalnym homeomor-fizmem wtedy i tylko wtedy gdy

dla każdego x ∈ (a; b) istnieje δ > 0, taka że p|[x − δ, x + δ] jest funkcjąróżnowartościową.

Zauważmy, że (w myśl Twierdzenia 9.7) z założenia, że funkcja ciągła jestróżnowartościowa na przedziale [x−δ, x+δ] wynika, że jest na tym przedziale

32

homeomorfizmem (a więc jest ”lokalnym homeomorfizmem”).

9.16. Definicja. Zbiór L w przestrzeni (X, ρ) jest krzywą wtedy i tylkowtedy gdy istnieje jego parametryzacja będąca lokalnym homeomorfizmem(rys....).

9.17. Uwaga. Rozważa się również parametryzacje określone na odcinkudomkniętym [a; b]. Wtedy dla punktów końcowych a i b rozważa się przedziały[a; a+ δ] i [b− δ; b].

Ćwiczenie. Sprawdzić, czy krzywa L o parametryzacji p(t) = (t,√t− t3)

dla t ∈ [0; 1] jest identyczna ze zbiorem {(x1, x2) ∈ R2 | x22 = x1(1− x21)}.

10. KRZYWE GŁADKIE W Rn

Dodatkowe założenia dotyczące parametryzacji pozwalają używać narzędzianalizy matematycznej do badania krzywych.

10.1. Definicja. Niech parametryzacja p : (a; b) → L krzywej L ⊂ Rn

będzie lokalnym homeomorfizmem. Jest ona regularna wtedy i tylko wtedygdy ma pochodną p′ ciągłą i niezerową w każdym punkcie przedziału (a; b).

Ponieważ wartości funkcji p′ traktujemy jako wektory w przestrzeni Rn,więc niezerowość tej funkcji w każdym punkcie t ∈ (a; b) znaczy, że

∀t ∈ (a; b) ‖p′(t)‖ 6= 0,

gdzie ‖p′(t)‖ jest długością wektora p′(t), a więc dla p(t) = (x1(t), ..., xn(t)),

‖p′(t)‖ =√

(x′1(t))2 + ...+ (x′n(t))2. (10.1)

Wektor p′(t) nazywamy wektorem stycznym do L w punkcie p(t).

10.2. Definicja. Krzywa L jest gładka wtedy i tylko wtedy gdy istniejejej parametryzacja regularna.

10.3. Uwaga. Rozważa się również parametryzacje regularne określonena odcinku domkniętym. Wówczas dla punktów końcowych założenie różniczkowal-ności parametryzacji i ciągłości jej pochodnej zastępuje się założeniem jed-nostronnej różniczkowalności i jednostronnej ciągłości.

33

W przypadku krzywej zamkniętej zakładamy, że jej parametryzacja pokreślona jest na przedziale domkniętym [a, b] oraz

p(a) = p(b) i p′+(a) = p′−(b).

10.4. Przykład. Niech L będzie odcinkiem w R2 :

L = {(x1, x2) ∈ R2 | x2 = x1 i − 1 < x1 < 1}.Rozważmy dwie parametryzacje odcinka L:

p1(t) = (t, t) dla − 1 < t < 1 oraz p2(t) = (t3, t3) dla − 1 < t < 1.

Pierwsza z nich jest regularna, ponieważ p′1(t) = (1, 1) 6= (0, 0) dlakażdego t. Druga jest nieregularna, ponieważ p′2(t) = (3t2, 3t2), więc p′2(0) =(0, 0).

10.5. Przykład. Opiszemy teraz tzw. rozetę czterolistną ([7]). Zaczni-jmy od opisu intuicyjnego. Mamy dany odcinek (patyk) o długości 2 napłaszczyźnie. Jego końce a i b leżą na dwóch półosiach układu współrzędnych.Rozważamy trójkąt ∆(o, a, b) o kącie prostym przy wierzchołku o. Niech xbędzie punktem przecięcia odcinka ∆(a, b) z prostą L prostopadłą do niegoprzechodzącą przez punkt o. Gdy końce odcinka zmieniają swoje położeniena półosiach, punkt x porusza się po krzywej gładkiej K zwanej (nie bezpowodu, patrz rys. ) rozetą czterolistną.

A więc rozeta czterolistna jest zbiorem punktów przecięcia półprostycho początku w o = (0, 0) z prostopadłymi do nich odcinkami o długości 2 ikońcach na osiach układu współrzędnych.

Niech t ∈ [0, 2π] będzie miarą kąta między wektorem dodatniej półosi x1(tj. wektorem o początku o i końcu (1, 0)) a wektorem o początku o i końcuw odpowiednim punkcie x ∈ ∆(a, b).

Parametryzacja krzywej K ma postać

p(t) = (2 sin2 t cos t, 2 cos2 t sin t).

Parametryzacja p jest regularna, ponieważ jest lokalnym homeomorfizmem(por. Ćwiczenie); ponadto p′(t) 6= (0, 0) dla każdego t.

Ćwiczenie. Pokazać, że parametryzacja p rozety czterolistnej jest lokalnymhomeomorfizmem.

34

10.6. Przykład. Punkt okręgu o promieniu c toczącego się (bez poślizgu)po prostej ”opisuje” krzywą zwaną cykloidą (rys. ...).

Jej parametryzacja p dana przez wzór p(t) = c(t− sin t, (1− cos t) (gdziec jest stałą dodatnią) jest nieregularna, ponieważ jej pochodna ma postaćp′(t) = c(1 − cos t, sin t), więc dla przyjmuje wartość (0, 0) (tj. wektor p′(t)ma długość zerową) dla parzystych wielokrotności π.

W odróżnieniu od rozety czterolistnej, która jest krzywą ale tylko lokalniehomeomorficzną z odcinkiem otwartym, więc nie jest łukiem, cykloida jestnie tylko krzywą ale co więcej jest łukiem, ponieważ jest homeomorficzna zprostą (por Ćwiczenie).

Z drugiej strony, rozeta czterolistna jest krzywą gładką (por. Przykład10.5), podczas gdy cykloida nie jest gładka, ponieważ nie istnieje dla niejżadna regularna parametryzacja (geometrycznie - ”odpowiadają za to ” tzw.ostrza, którymi w przypadku cykloidy są jej punkty wspólne z osią x1.)

(Pamiętamy, że prosta jest homeomorficzna z dowolnym odcinkiem bezkońców (por. Ćwiczenie w Rozdz. 9).)

Założenie regularności parametryzacji daje nam narzędzia do badaniatakich pojęć jak kąt między krzywymi, długość łuku i inne.

10.7. Definicja. Rozważmy dwie krzywe L1, L2 w Rn dla n ­ 2, oparametryzacjach regularnych pi : [ai, bi] → Li dla i = 1, 2. Niech x0 ∈L1 ∩ L2, a więc istnieją takie liczby t1 ∈ [a1, b1] i t2 ∈ [a2, b2], dla którychx0 = p1(t1) = p2(t2).

Kątem między krzywymi L1, L2 w ich punkcie przecięcia x0 nazywamy kątmiędzy ich wektorami stycznymi w tym punkcie, tj. między p′1(t1) i p′2(t2).

Ćwiczenie. Dane są krzywe płaskie o równaniach (x1)2 + (x2)2 = 8x1i (x2)2(2 − x1) = (x1)3. Znaleźć parametryzacje tych krzywych, ich punktywspólne i kąty pod jakimi przecinają się w tych punktach.

Wiadomo, że dla łuku gładkiego w Rn ograniczonego (t.j zawartego wpewnej kuli) zbiór długości łamanych ”wpisanych” w ten łuk ma kres górny.To pozwala zdefiniować długość |L| łuku L jako ten kres górny. Korzystającz własności całki dowodzi się, że jeżeli p : (a, b) → L jest parametryzacjąregularną łuku L, to

35

|L| =∫ b

a‖p′(t)‖dt. (10.2)

Często używa się parametryzacji, w której parametrem jest długość łuku.Jest to tzw. parametr naturalny. Pokażemy, jak z danej parametryzacji reg-ularnej p : (a, b)→ L można przejść do parametryzacji długością łuku.

Niech σ : (a, b)→ R+ będzie postaci

σ(t) :=∫ t

a‖p′(u)‖du. (10.3)

Dla ustalonego t ∈ (a, b) liczba s := σ(t) ∈ (σ(a), σ(b)) jest długością łukur((a, t)) zawartego w L.

Ponieważ σ′(t) = ‖p′(t)‖ > 0 dla każdego t ∈ (a, b), więc σ jest funkcjąrosnącą zmiennej t, a zatem ma funkcję odwrotną σ−1, która pozwala parametrt uzależnić od s (t = σ−1(s)).

Niechp̄(s) := p(σ−1(s)).

Wtedy p̄ jest parametryzacją naturalną krzywej L. Oczywiście, punkt p(t)krzywej L jest identyczny z punktem p̄(s), gdzie s = σ(t).

10.8. Przykład. Niech p(t) = (α cos t, α sin t, βt) dla t ∈ R. Funkcja pjest parametryzacją regularną linii śrubowejK na walcu obrotowym. Ponieważp′(t) = (−α sin t, α cos t, β), więc

‖p′(t)‖ =√α2 sin2 t+ α2 cos2 t+ β2 =

√α2 + β2.

Zgodnie ze wzorem (10.3), przyjmując a = 0, otrzymujemy

s = σ(t) =∫ t

0

√α2 + β2dt = t

√α2 + β2,

a zatemt = σ−1(s) =

s√α2 + β2

i parametryzacja naturalna linii śrubowej K ma postać

p̄(s) = (α coss√

α2 + β2, α sin

s√α2 + β2

, βs√

α2 + β2).

36

Ćwiczenie. Znaleźć parametr naturalny s := σ(t) krzywej o parame-tryzacji p(t) = (t2, 2t, lnt), przyjmując σ(1) = 0. (Por. [7].)

Ćwiczenie. Znaleźć parametryzację naturalną następujących krzywych,przyjmując σ(0) = 0.

L1 : p(t) = (3t, 4t) dla t ­ 0,

L2 : p(t) = (t, a cosht

a) dla t ­ 0.

(Por. [7].)

10.9. Twierdzenie. Jeżeli p : (a, b) → L jest parametryzacją regularnąkrzywej L, to parametryzacja naturalna p̄ = pσ−1 spełnia warunek

∀s ∈ (σ(a), σ(b)) ‖p̄′(s)‖ = 1,

tj. wektor styczny p̄′(s) ma długość stałą, równą 1 dla każdego s.

Dowód. Niech s = σ(t) dla t ∈ (a, b). Wtedy

p(t) = r(σ−1σ(t)) = p̄(σ(t)) = p̄(s).

Zatemp′(t) = p̄′(σ(t)) · σ′(t),

więc, na mocy (10.3),p′(t) = p̄′(σ(t)) · ‖p′(t)‖.

Porównując długości wektorów po obu stronach ostatniej równości, otrzymu-jemy

‖p′(t)‖ = ‖p̄′(σ(t))‖ · ‖p′(t)‖.

Wobec regularności parametryzacji p, wektor p′(t) ma długość niezerową,więc z ostatniej równości wynika, że ‖p̄′(σ(t))‖ = 1, tj. ‖p̄′(s)‖ = 1. 2

10.10. Wniosek. Jeżeli L jest krzywą gładką, to jej parametryzacja na-turalna jest regularna.

11. NIERÓWNOŚĆ IZOPERYMETRYCZNA

37

Przypomnijmy, że każda krzywa zwykła zamknięta L w R2 rozcina płaszczyznęR2 na dwa obszary, wewnętrzny i zewnętrzny (por. Tw. 9.14).

W tym rozdziale udowodnimy nierówność izoperymetryczną, t.j. doty-czącą obszarów w R2 o równych obwodach (Tw. 11.3). Nierówność ta opisujezwiązek pomiędzy polem obszaru wewnętrznego i jego obwodem, czyli dłu-gością krzywej L.

O krzywej L będziemy zakładać, że jest regularna, skąd wynika istnieniepola obszaru ograniczonego przez tę krzywą (por. [6], str.166).

W dowodzie Tw. 11.3 będziemy korzystać z nierówności Wirtingera (Tw.11.1) oraz z następującego wzoru (11.1) na pole P takiego obszaru we współrzęd-nych biegunowych (r, φ) dla φ ∈ ([α; β] ([6], str. 168):

P =12

∫ β

α(r(φ))2dφ (11.1)

11.1. Twierdzenie. Niech f : [0;π] → R będzie funkcją klasy C1 (tj. ociągłej pierwszej pochodnej), spełniającą warunek f(0) = f(π) = 0. Wtedy∫ π

0(f ′(t))2dt ­

∫ π

0(f(t))2dt,

przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy istnieje stała c, taka żef(t) = c · sin t dla każdego t ∈ [0;π].

Dowód Twierdzenia 11.1 można znaleźć np. w [1], str 59.

11.2. Przykład. Niech L będzie okręgiem w R2 o promieniu R (więc odługości l = 2πR) i polu P = πR2. Wtedy

P =1

4π· l2.

Nierówność izoperymetryczna jest uogólnieniem Przykładu 11.2.

11.3. Twierdzenie. Niech L będzie gładką krzywą zwykłą zamkniętą odługości l w R2 i niech P będzie polem obszaru wewnętrznego ograniczonegoprzez L. Wtedy

P ¬ 14π· l2

38

i równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy L jest okręgiem.

Dowód. Niech p̄ : [0; l] → R2 będzie parametryzacją naturalną krzywejL. Wtedy p̄(0) = p̄(l) i p̄ jest parametryzacją regularną (por. Uwaga 10.3 iWniosek 10.10).

Możemy założyć, że p̄(0) = (0, 0) i zastąpić parametr naturalny s parame-trem t := π·s

l. Wtedy s = l

π· t, a więc s′(t) = l

π.

Niech p(t) := p̄( l·tπ

) = (x1(t), x2(t)). Wtedy p(0) = (0, 0), t ∈ [0;π] oraz

‖p′(t)‖2 = ‖p̄′(s)‖2 · (s′(t))2 = (s′(t))2 = (l

π)2,

ponieważ ‖p̄′(s)‖ = 1.Zatem, na mocy Tw. 10.9,∫ π

0‖p′(t)‖2dt = π · ( l

π)2 =

l2

π. (11.2)

Z drugiej strony, we współrzędnych biegunowych (r, φ),

p(t) = (r(t) cosφ(t), r(t) sinφ(t)),

więcx′1(t) = r′(t) cosφ(t)− r(t) sinφ(t) · φ′(t)

orazx′2(t) = r′(t)t+ r(t) cosφ(t) · φ′(t).

Stąd

‖p′(t)‖2 = ((x1)′(t))2 + ((x2)′(t))2 = (r′(t))2 + (r(t))2 · (φ′(t))2. (11.3)

Pokażemy, żel2

4π− P ­ 0.

Całkując obie strony wzoru (11.3) i korzystając z (11.2), otrzymujemy równość∫ π

0(r′(t))2 + (r(t))2 · (φ′(t))2dt =

l2

π;

ponadto, na mocy wzoru (11.1),

P =12

∫ π

0(r(t))2φ′(t)dt.

39

Wobec tego

l2

4π− P =

14

∫ π

0(r′(t))2 + (r(t))2 · (φ′(t))2dt− 1

2

∫ π

0(r(t))2φ′(t)dt =

14I,

gdzie

I :=∫ π

0r′(t))2 + (r(t))2 · (φ′(t))2 − 2(r(t))2φ′(t)dt.

Zauważmy, że I = I1 + I2, gdzie

I1 =∫ π

0(r(t))2(φ′(t)− 1)2dt

iI2 =

∫ π

0(r′(t))2 − (r(t))2dt.

Oczywiście I1 ­ 0. Aby pokazać, że I2 ­ 0, wystarczy skorzystać z nierównościWirtingera (Tw. 11.1) dla funkcji f := r. Rzeczywiście, r spełnia założe-nia Tw. 11.1: jest klasy C1 w przedziale [0;π] i r(0) = r(π) = 0 ponieważp(0) = (0, 0) i parametryzacja p jest regularna (rys.).

To kończy dowód nierówności izoperymetrycznej. Równość zachodzi wt-edy i tylko wtedy gdy I1 = 0 = I2.

Z postaci funkcji podcałkowej dla I1 wynika, że I1 = 0 wtedy i tylkowtedy gdy φ′(t) = 1 dla każdego t, czyli istnieje stała α, taka że φ(t) = t+αdla każdego t ∈ [0; π].

Na mocy Tw. 11.1, I2 = 0 wtedy i tylko wtedy gdy istnieje stała c, takaże r(t) = c sin t dla każdego t ∈ [0; π].

Zatem współrzędne biegunowe r, φ spełniają równanie

r = c sin(φ− α), (11.4)

przy czym oczywiście c 6= 0, ponieważ L jest krzywą, a nie zbiorem jednop-unktowym; a więc (11.4) jest równaniem okręgu o średnicy c (patrz rys. ...).2

40

Literatura

[1] A. Pressley, Elementary Differential Geometry, Springer, 2010

[2] W. Bieńko, Zygzakiem przez matematykę, PZWS, 1965.

[3] R. Engelking, K. Sieklucki, Geometria i topologia. Część II: Topolo-gia, PWN, 1980

[4] K.J. Falconer, The geometry of fractal sets, Cambridge UniversityPress, 1990

[5] K.J. Falconer, Fractal geometry, John Wiley Sons, 2003

[6] G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, Tom 2, wyd. X,PWN, 1995

[7] B. Gdowski, ....................., PWN 19??

[8] K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii, PWN 1973

[9] M. Moszyńska, Wybrane zagadnienia geometrii zbiorów wypukłych,WNT, 2001

[10] M. Moszyńska, J. Święcicka, Geometria z algebrą liniową, PWN, 1987

[11] A. Pilitowska, Algebraiczne podstawy teorii kodów, Oficyna Wyd.PW, 2008

41