STATIKA

1

UVOD: Treći Newton-ov zakon – dvije materijalne točke djeluju jedna na drugu silama istih intenziteta i

pravaca, a suprotnih smjerova. Osnovni zadaci statike:

1. slaganje sila i svođenje sustava na jednostavniji oblik 2. određivanje uvjeta ravnoteže sustava sila koje djeluju na slobodno kruto tijelo

Slobodno tijelo – tijelo koje nije neposredno vezano za druga tijela, broj mogućnosti gibanja su stupnjevi

slobode, reakcije smanjuju broj stupnjeva slobode Apsolutno kruto tijelo – pod djelovanjem sila udaljenost između bilo kojih njegovih točaka ostaje

nepromijenjena (suprotno = deformabilno tijelo) Ravnoteža – tijelo ne mijenja položaj u odnosu na referentno tijelo (referentno tijelo je predstavljeno

koordinatnim sustavom) Sila – veličina kojom se definira mehaničko djelovanje jednog tijela na drugo

Skalar i vektor - F

, FF

Aksiomi statike:

I. slobodno tijelo pod djelovanjem dviju sila je u ravnoteži ako sile imaju isti pravac djelovanja i intenzitet, a suprotan smjer djelovanja

II. djelovanje sustava sila na tijelo ne mijenja se dodavanjem uravnoteženog sustava sila III. rezultanata dviju sila koje djeluju na tijelo u istoj toči je dijagonala paralelograma IV. dva tijela djeluju jedno na drugo silama istih intenziteta duž istog pravca, a suprotnih

smjerova

STATIKA

2

Zadatak 1.Pronaći rezultante zadanih sustava sila grafički i analitički. F1 = 2 kN F2 = 3 kN Da bi sila kao vektor bila definirana potrebno je znati intenzitet, pravac i smjer.

a)

kolinearne sile

b)

konkurentne sile

c)

a) 1 2

1 2 2 3 5 kNR

R

F F F

F F F

b) prvi način: (izraz pod korijenom NIJE dobiven kosinusovim poučkom već iz FRx=F1+F2cos, FRy=F2sin)

1 2

2 21 2 1 2

2

2

2 cos 4 9 2 2 3 cos30 4,837 kN

sinsin sin 3 sin 30arcsin arcsin 18,06

4,837

R

R

R R

F F F

F F F F F

F

F F F

drugi način: projekcije na koordinatne osi

1 1 2 2

1 1 2 2

2 2 2 2

cos cos cos 2 cos 0 3 cos30 4,598 kN

sin sin sin 2 sin 0 3 sin 30 1,5 kN

4,598 1,5 4,837 kN

1,5tan arctan 18,06

4,598

Rx ix i i

Ry iy i i

R Rx Ry

Ry Ry

Rx Rx

F F F F F

F F F F F

F F F

F F

F F

c) 2 21 2 1 22 cos 4 9 2 2 3 cos120 2,646 kNRF F F F F

2

2

sinsin sin 3 sin120arcsin arcsin 79,08

2,646R R

F

F F F

ili

1 1 2 2

1 1 2 2

2 2 2 2

cos cos cos 2 cos 0 3 cos120 0,5 kN

sin sin sin 2 sin 0 3 sin120 2,598 kN

0,5 2,598 2,646 kN

2,598tan arctan 79,11

0,5

Rx ix i i

Ry iy i i

R Rx Ry

Ry Ry

Rx Rx

F F F F F

F F F F F

F F F

F F

F F

Za veći broj sila vrijedi isto.

STATIKA

3

Zadatak 2. Tri homogena cilindra naslagana su jedan na drugog. Težine su im G1 = 400 N, G2 = 250 N i G3 = 150 N. Odrediti sile na: a) pod, b) donji cilindar i c) srednji cilindar.

1 2 3

400 250 150 800 NP

P

F G G G

F

1 2 3

1 250 150 400 N

F G G

F

2 3

2 150 N

F G

F

STATIKA

4

Zadatak 3. Na prikazani sistem zglobno vezanih štapova, djeluju tri vertikalne sile jednakih i poznatih intenziteta. Kut 60 . Odrediti kut , ako je sustav u ravnoteži. Da bi sustav bio u ravnoteži rezultanta mora biti 0 (analitički) ili grafički ZPS.

Ako je rezultanta 0 i koordinatne komponente joj moraju biti 0. Ako je cijeli sustav u ravnoteži moraju biti i njegovi dijelovi, se pa cijeli sustav rastavlja na dijelove koji se zasebno promatraju.

ČVOR A: 1 2 1 2 12

12 12

0 cos cos 0

0 2 sin 02sin

X S S S S S

FY S F S

ČVOR B: 12

12 34 34

34 12

0 cos cos 0 coscos

0 sin sin 0

SX S S S

Y S S F

Uvrštavanjem u zadnji izraz vrijednost za S12 i S34 dobiva se

cos sin sin 02sin cos 2sin

02 21 3

2 2

3 303

F FF

F Fctg tg F

ctg tg

tgctg tg tg

STATIKA

5

Zadatak 4. Teret težine G = 100 kN obješen je o dizalicu kao na slici. Odrediti sile u štapovima. AC = 3,8 m AB = 2 m BC = 2,6 m

Čvor C:

1 2

1 2

1 2

1 2

0 cos 90 cos 90 0

sin sin 0 1

0 sin 90 sin 90 0

cos cos 2

X S S

S S

Y S S G

S S G

Da je koordinatni sustav bio drukčije postavljen dobili bi se odmah drugi izrazi. Koordinatni sustav se može proizvoljno postaviti.

2 2

1 cos 2 sin

sin cos cos sin sinS S G

2 2

2

: sin

sin cos

sin cos

S ctg S G

GS

ctg

Iz skice kosinusovim poučkom

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 cos

2,6 3,8 2cos 0,7684 39,79

2 3,8 22

sin sin 29, 49sin sin

BC AC AB AC AB

BC AC AB

AC AB

BC AB AB

BC

2

21

190sin cos

sin 190 sin 39,79130

sin sin 39,79 29,49

GS kN

ctg

SS kN

Zadatak 5. Homogeni kruti valjak težine 100 N oslanja se na glatku, kosu podlogu. Odrediti reakcije podloge ako na valjak djeluje vertikalna sila F = 900 N. = 30° i = 60°.

STATIKA

6

0 : sin sin 0

0 : cos cos 0

A B

A B

X F F

Y F F F G

Reakcije nije potrebno razdvajati na koordinatne komponente jer su im poznati pravci djelovanja.

sin sin 0A BF F cos

cos cosA BF F F G

sin /+

sin cos sin cos sin

sin cos

100 900866 N

sin cos sin 30 60 cos30

sin sin 30866 500 N

sin sin 60

A A

A

A

B A

F F F G

F ctg F G

F GF

ctg ctg

F F

Zadatak 6. Za štapove povezane kao na slici, odrediti intenzitet sile Q koja mora djelovati u točki C da bi sustav bio u ravnoteži. Zadano: sila F, kutovi i, te pravac i smjer sile Q.

STATIKA

7

Čvor B:

1 2

1 2

21

22

0 : cos cos cos 0 1

0 : sin sin sin 0 2

cos cosIz 1 :

coscos cos

U 2 : sin sin sin 0cos

X F S S

Y S S F

S FS

S FS F

2 2

2

cos

cos sin sin cos sin cos sin cos 0

sin

sin

S F S F

S F

Čvor C:

2 3

2 3

23

22

0 : cos cos cos 0 3

0 : sin sin sin 0 4

cos cosIz 3 :

cos

cos cosU 4 : sin sin sin 0

cos

X S S Q

Y S S Q

S QS

S QS Q

2 2

2

cos

sin cos sin cos sin cos sin cos 0

sin

sin

S S Q Q

S Q

sin sin

sin sinQ F

STATIKA

8

Zadatak 7. Homogena greda AB, duljine 2l, težine Q oslanja se u točki C u horizontalnoj ravnini, a donjim krajem A upire se o vertikalni zid DE. Odrediti kut koji os grede zatvara s horizontalom, reakciju zida DE i reakciju u osloncu C.

0 : sin 0

0 : cos 0

cossin

A C

C

C

A C

X F F

Y F Q

QF

F F Qtg

Dvije jednadžbe s tri nepoznanice. Potrebna je još jedna jednadžba. Pretpostaviti smjer momenta.

2

2

3

3

0 : cos 0cos

coscos 0

cos

cos

cos

A C

aM Ql F

QaQl

Q

l a

a

l

STATIKA

9

Zadatak 8. Na gredu AB zanemarive težine se u točki C oslanja jednim krajem greda CD težine G i duljine l2. Drugi kraj grede CD je užetom vezan za strop. Odrediti položaj tereta Q koji djeluje na gredu AB da bi sustav bio u ravnoteži. Zadano je l2 = 4 m, G = 10 kN, Q = 8 kN, a = 2 m i = 45°. Riješiti grafički i analitički.

Analitički:

C

Težište C C

M C

C

0 :

100 : cos cos 5 kN

2 2 2 20 :

5 21,25 m

8

Y F S G

l l GM F S F S

M Q x F a

F ax

Q

1. sila G, pol, 1 i 2, prijenos u skicu, z, vratiti z

2. Pravci koji se sijeku u planu položaja, moraju u planu sila tvoriti trokut

STATIKA

10

Zadatak 9. Homogeni valjak težine Q pridržava se pomoću užeta prebačenog preko nepomične koloture E zanemarive težine i trenja, vezanog u točki B. Valjak se oslanja na sredini poluge AB, težine Q i duljine l. Odrediti reakcije oslonaca u točkama A i B. Sve su veze idealne.

Valjak:

0 : cos cos 0

0 : sin sin 0 2 sin 0,7072sin

X N S N S

QY Q S N S Q S N Q

Poluga:

STATIKA

11

B Ax

Ay

A B

0 : sin 0

0 : cos 0

0 : sin cos cos 02 2

X F N F

Y S Q N F

l lM F l Sl N Q

Ay

B

B

Ax B

2 2 2 2A Ax Ay

2

cos 0,5 0,707 0,793

2 sin cos 2 cos

cos 2 cos 0,707 0,707 2 0,707 0,7070,29

2sin 2 0,707

sin 0,293 0,707 0,707 0,207

0,207 0,793 0,82

lF Q N S Q Q Q Q

F N Q S

N Q S Q Q QF

F F N Q Q Q

F F F Q

Krivo pretpostavljen smjer!

STATIKA

12

Zadatak 10. Dvije homogene grede AD i BD duljine 2l i težine G međusobno su zglobno spojene u točki D, a krajevima A i B oslanjaju se o glatku horizontalnu površinu. Grede su spojene užetom EH. Grede s podlogom zatvaraju kut . U točki K ovješen je teret Q. Odrediti reakcije oslonaca A i B, silu u zglobu D i užetu, ako je AE = BH = KD = l/2.

Reakcije se pretpostavljaju bez x komponente jer na sustav djeluju samo vertikalne aktivne sile. Sila u užetu je reaktivna i za cijeli sustav se poništava.

Cijeli sustav:

0

0 : 2

30 : 2 2 cos cos cos 4 cos cos 0

2

A B

A B

X

Y F F Q G

M F l Gl Q l G l l

2

cos8 2 3 6 0

8 8 3

3

83 5

2 28 8

B

B

B

A B

lF G Q G

F G Q

F G Q

F Q G F Q G G Q G Q

Lijeva greda: 0 :

0 :

5 3

8 83

0 : sin cos cos 2 sin 2 cos 02 2

Dx

A Dy

Dy

A Dx Dy

X F S

Y F F Q G

F Q G G Q Q

lM S Gl Q l F l F l

2

cos2 3 4 4 0

32 3 4 0

23 4 3

3 22 6

Dx Dy

lStg G Q F tg F

Stg G Q Stg Q

G QStg G Q S

tg

STATIKA

13

Zadatak 11. Pri podizanju pravokutne ploče težine G, stranica a i b jedan čovjek drži ploču u vrhu A, dok druga dvojica u točkama B i C na udaljenostima x i y od vrha ploče. Odrediti x i y da bi u svim osloncima opterećenje bilo isto.

0

0

0 :

3

3

A B C

A B C

X

Y

Z F F F G

F F F F

F G

GF

0 :2 2

0 :2 2

x

y

b bM F y F b G y

a aM G F x F a x

STATIKA

14

Zadatak 12. Homogena kvadratna ploča stranice a i težine G vezana je radijalnim ležajem B, radijalno aksijalnim ležajem A, te je slobodno oslonjena u točki C. U ravnini ploče djeluje spreg momenta Ga. Odrediti reakcije u osloncima A, B i C.

Statički uvjeti ravnoteže:

0

0

0

0

0

0

x

y

z

X

Y

Z

M

M

M

Ax

Ay By C

Az Bz C

C C

Bz C

CBz

0 0

0 sin30 0

0 cos30 0

1 3 30 cos30 0

2 2 2 4

0 cos30 sin30 02 2

cos302 2

x

y

X F

Y F F F

Z F F F G

aM F a G F G G

a aM F a F G M

F G G aF

a

By C

By C

3 3 1 1 3sin30

4 2 2 2 2 16

0 sin30 cos30 02

1 3 1 1 3 7 3sin30 cos30

2 4 2 2 2 16

z

GG G G

aM F a F M

F F G G G G

Ay C By

Az Bz C

9 3sin30

1613

cos3016

F F F G

F G F F G

STATIKA

15

Zadatak 13. Za prikazani sustav i zadane podatke, odrediti sile u štapovima. Zadano: 1 kNQ , AB=AC=BC=a

Prostorni konkurentni sustav sila ( sve se sile sijeku u jednoj točki). Statički uvjeti prostornog konkurentnog sustava:

x y z0, 0, 0F F F 1. Pretpostavit smjer sila u

štapovima (tlak ili vlak) 2. Ravnoteža za čvor D

(uzimaju se smjerovi sila uz čvor)

x

1 2 1 2

0 :

cos60 cos30 cos60 cos30 0 1

F

S S S S S

Projekcija prvo na ravninu xy, a onda na os x.

y

1 2 3

0 :

cos60 sin30 cos60 sin30 cos60 cos30 0 2

F

S S S Q

z

1 2 3

0 :

cos30 cos30 cos30 cos60 0 3

F

S S S Q Q

3

1 1 1 3Iz 2 : 2 0

2 2 2 2S S Q

3

3

2 3 4

3 3 3Iz 3 : 2 0

2 2 2

S S Q

S S Q

3

22 3 5

3S S Q

2 34 5 : 3 2 3 1,15 kN

3S Q S Q

3 3 0,577 kNS Q S

STATIKA

16

Zadatak 14. Kvadratna je ploča stranice a zglobno poduprta sa šest štapova, a opterećena je silom F. Odrediti sile u štapovima.

Pretp.: tlačno opterećenje u svim štapovima

4

5 2

1 6 3 2 4 5

0 :

20

20 :

2 20

2 20 :

2 2 2

2 2 2

X

F S

Y

S S

Z

S S S S S S

3 4

1 3 4 2

2 4

20 : 0

2

2 20 : 0

2 2

2 20 : 0

2 2

x

y

z

M S a S a

M S a S a S a S a

M S a S a

4

3 4

2 4

22

2

2

2

2

FS F

S S

S S F

Iz sume momenata za os y:

1 3 4 2

2 2 2 22 2

2 2 2 2S S S S F F F F

Iz sume z komponenti:

6 1 3 2 4 5

2 2 2 2 2 22 2 2

2 2 2 2 2 2S S S S S S F F F F F F

Negativni predznaci za sile u štapovima znače da je pretpostavljeni smjer pogrešan.

STATIKA

17

Zadatak 15. Odrediti sile u štapovima zadanog sustava ako je zadano Q = 120N, = 45°, = 30°. Štapovi 3, 4, 5, 6 i 7 leže u vertikalnoj ravnini koja raspolavlja kut BAC = 90°.

Promatraju se čvorovi uz pretpostavljene reakcije u štapovima. Paziti da smjerovi sila u štapovima budu odgovarajući kada se ista sila crta drugi put (za drugi čvor). Čvor E:

5 7

6 5 7

0 : cos cos 0

0 : sin sin 0

X S S

Z S S S

Čvor D:

4 5 4 5

4 5 4

4 5

0 : cos cos 0

0 : sin sin 0 2 sin

120120 N

2sin 2 0,5

X S S S S

Z S S S Q

QS S

Čvor A:

1 2 3 4

1 2 1 2

3 4

3 $

1 1

0 : cos cos cos sin 0

0 : sin sin 0

0 : sin sin 0

1sin 2120 60 2 Nsin 2

2

2 2 10 2 60 2 120 0 60 2 N

2 2 2A

X S S S S

Y S S S S

Z S S

S S

Iz X S S

STATIKA

18

7 5 7 5

6 5 7

3cos 320 cos cos 120 120 60 6 Ncos 2 2

2

1 2 120 sin sin 120 60 6 60 1 N

2 2 2

E

E

Iz X S S S S

Iz Z S S S

STATIKA

19

Zadatak 16. Odrediti sile u štapovima zadanog sustava ako je zadano Q, = 60°, = 45°.

Čvor A:

1 2 3

1 2

3 3

1 2 3

0 : cos cos 90 cos 90

0 : sin sin 90 0

2 30 : cos 0

cos 3

cos sin cos

X S S S

Y S S

QZ S Q S Q

S S S

1 2

cos

sin cos 0S S

sin

2 21 1 3 1 3

2 1 1

2 3 1 1 3cos sin sin cos sin cos

3 2 2 6

sin 33

cos 6 2

S S S S S Q Q

QS S S tg Q

Čvor D:

4 5 6 3

4 5

3 5 6 3

4 5 6 3

4 5

0 : cos cos 90 cos cos 0

0 : sin sin 0

sin0 : sin sin 90 0 2

sin

2 2 3 1 3cos sin cos cos 2 1

2 3 2 3

sin cos 0

X S S S S

Y S S

Z S S S S Q

S S S S Q Q Q

S S

2 24 4 4

5 4

3 1cos sin 1 1 3

3 2 6

1 3 3 3 3 1 36 6 2 6

QS S Q S

Q Q Q QS S tg