Ispit se sastoji iz teorijskog dela i zadataka koji se rade kod kuće i pišu isključivo rukom. Odgovori se primaju u rukopisu, originali, nikako odštampani niti fotokopirani.

I deo1.Definicije verovatnoće - Laplasova, statistička, aksiomatska i međusobna povezanost definicija. Opisati Bertranov paradoks. Jednakost događaja. Aksiomatska definicija apstraktnog eksperimenta (S,F,P). Dokazati osobinu neprekidnosti verovatnoce: ako je A1, A2,..., An,...

sekvenca događaja takvih da je A1 A2 ... An ... i , tada je .

2.Uslovna verovatnoća, formula totalne verovatnoće, Bajesova formula. Definicije slučajne promenljive. Funkcija raspodele; iskazati i pokazati njene osobine. Vrste slučajnih promenljivih. Slučajni vektor. Združena f-ja raspodele, marginalna f-ja raspodele, združena gustina raspodele. Uslovna raspodela. Bajesova formula za gustine. Nezavisnost slučajnih promenljivih. . 3.Povezati Bifonov problem i Monte-Karlo simulacije (ilustrativni primer). Funkcije slučajnih promenljivih, transformacija gustine - slučajna promenljiva, slučajni vektor. Odrediti gustinu raspodele zbira dveju nezavisnih slučajnih promenljivih na dva načina – sa i bez Jakobijana. Matematičko očekivanje promenljive i funkcije slučajnih promenljivih. Zašto svaka verovatnoća i svaka f-ja raspodele mogu da se interpretiraju kao matematičko očekivanje? Kvantil. Objasniti suštinu medijane i matematičkog očekivanja. Zašto je medijana robusnija mera?

4.Varijansa i osobine. Vrste momenata. Dokazati: ako slučajna promenljiva ima moment reda n, ima i sve ostale momente nižeg reda. Kvantili, polurazlika kvartila. Za Gausovu slučajnu promenljivu izračunati E{xn} i E{|x|n}. Mere odstupanja u donosu na Gausovu raspodele – koeficijent asimetrije, koeficijent spljoštenosti. Procene vrednosti matematičkog očekivanja i varijanse. Čebiševljeva nejednakost - dokazati na dva načina. Markovljeva nejednakost. Karakteristična f-ja i osobine, izvesti za Gausovu sl. prom. Veza karakteristične f-je sa momentima. Generišuća f-ja momenata. Karakteristična funkcija diskretne promenljive i promenljive rešetkastog tipa. Veza sa momentima. Druga karakteristična funkcija, kumulanti.

5.Veza karakteristične f-je sa momentima. Generišuća f-ja momenata. Karakteristična funkcija diskretne promenljive i promenljive rešetkastog tipa. Veza sa momentima. Druga karakteristična funkcija, kumulanti. Černovljeva granica. Združene karakteristične f-je. Marginalne karakteristične f-je. Kramer-Woldova teorema. Združeni momenti dveju promenljivih. Uslov statističke nezavisnosti. Kriva regresije. Korelacija i kovarijansa. Nekorelisanost, ortogonalnost, statistička nezavisnost. Naći primer za nekorelisane promenljive koje nisu statistički nezavisne. Neke zavisnosti korelacije i ortogonalnosti. Koeficijent korelacije.

6.Osobine i fizička interpretacija koeficijenta korelacije. Princip ortogonalnosti greške estimacije. Korelacija i kovarijansa više slučajnih promenljivih. Osobine determinante korelacione matrice i matrice kovarijanse. Združeno normalne promenljive.

7.Srednja vrednost i varijansa uzorka i odgovarajuće očekivane vrednosti. Koncepti stohastičke konvergencije. Slabi zakon velikih brojeva, strogi zakon velikih brojeva. Centralna granična teorema. Teorema Ljapunova.

8.Lindbergov uslov. Korekcija aproksimacije Gausovom raspodelom. Slučajni proces. Čime je proces potpuno određen? 1-dimezioni i 2-dimenzioni parametri. Autokorelacija, autokovarijansa, kroskorelacija, kroskovarijansa, ortogonalnost, nekorelisanost, a-zavisnost. Stacionarni procesi - u užem, u širem smislu.

9.Ostale vrste stacionarnosti. Stacionarnost Gausovog procesa. Ciklostacionarni procesi i osobine. Povezanost sa diskretnim procesima. Dokazati: 1. ako je x(t) ciklostacionaran proces u užem smislu a slučajna promenaljiva uniformno raspodeljena na intervalu od 0 do T, tada je proces y(t) = x(t-) stacionaran u užem smislu (odrediti mu n-dimenzionu funkciju raspodele); 2. ako je x(t) ciklostacionaran proces u širem smislu a slučajna promenljiva uniformno raspodeljena na intervalu od 0 do T, tada je proces y(t) = x(t-) stacionaran u širem smislu (odrediti mu očekivanje i autokorelaciju). Srednje kvadratno periodični procesi. Dokazati da je proces srednje kvadratno periodičan ako mu je autokorelacija dvostruko periodična. Ergodičnost. Uslovi ergodičnosti u smislu srednje vrednosti (uz dokaze). Ergodičnost u smislu raspodele, ergodičnost u smislu autokorelacije. Regularni procesi. Međuodnos regularnosti, stacionarnosti, slabe i jake ergodičnosti. Procesi sa obnavljanjem i relevantne veličine.

10. Tranizentni i rekurentni procesi sa obnavljanjem. Kumulativni procesi. Regenerativni procesi. Poasonov proces i osobine. Ako je (t) = n, koliko iznosi verovatnoća da je (u) = x, u < t? Ako postoji samo jedan dolazak na intervalu (0,T), koliko iznosi verovatnoća da je dolazak baš u k-tom vremenskom intervalu? Korelaciona f-ja Poasonovog procesa. Generalizacije Poasonovih procesa: tačkasti (brojački), sa obnavljanjem, sa nagomilavanjem (kumulativni), nestacionarni (definisati). "Random walk" proces, Vinerov proces. Markovljevi procesi, osobina, tranzicione verovatnoće.

II deo:

1. Događaji su jednaki sa verovatnoćom 1 ako važi Pr{AB}=0. Pokazati da je to ekvivalentno uslovu P(A) = P(B) = P(AB).

2. Dokazati da iz osobina događaja:

1o

2o slede i ostale:3o 4o 5o 6o 7o

3. Bertranov paradoks.

4. Polazeći od formule za uslovnu verovatnoću dva događaja, pokazati indukcijom ili na neki drugi način tzv. lančano pravilo:

P(A1 A2.. An) = P(A1) P(A2/A1) P(A3/A1A2) ... P(An /A1 A2... An-1).

5. Dokazati:1o P{A+B}=P{A}+r{B}-Pr{AB};2o A B P{A} ≤P{B}.

6. Ako je A1+ A2+...+ An=S a B proizvoljan događaj, dokazati:

1o Formulu totalne verovatnoće

2o Bajesovu formulu

7. Ako je A1, A2,..., An,... sekvenca događaja takvih da je A1 A2 ...An ... i neka je ,

dokazati da je (opadajuća monotonost).

8. Pomoću tri osnovne osobine funkcije raspodele izvesti i ostale:1o P{x > x1} = 1-F(x1) = Fc(x1);2o P{x1 < x ≤x2} = F(x2) - F(x1);

3o P{x = x1} = F(x2) - F(x1-); F(x1

-) =

9. Ako je združena funkcija raspodele promenljivih x i y F(x1, y1) =P{x≤x1, y≤y1} pokazati da je P {x1<x≤x2, y1<y≤y2} = F(x2,y2) - F(x1,y2) - F(x2,y1) + F(x1,y1).

10. Dokazati:

1o ; 2o .

11. U šeširu se nalazi n papirića od kojih je samo jedan označen. U igri učestvuje n igrača koji, jedan za drugim, izvlače papiriće (bez vraćanja). Neka je x diskretna slučajna promenljiva indikatorskog tipa takva da je xi jednako jedinici ako je igrač i izvukao premiju i jednako nuli ako nije. Naći zakon raspodele ove slučajne promenljive. Ponoviti za slučaj kada se posle svakog izvlačenja ceduljica vraća u šešir.

12. Nacrtati funkciju raspodele diskretne slučajne promenljive x koja predstavlja broj dobijen bacanjem ispravne kockice. Takođe nacrtati na istom grafiku i uslovnu f-ju raspodele F(x/B), gde je B označava paran broj.

13. Neka je x slučajna promenljiva sa uniformnom raspodelom na [0,1] i neka je F funkcija raspodele neke kontinualne slučajne promenljive. Naći raspodelu slučajne promenljive y = F-1(x). Objasniti mogućnost primene ovog rezultata.

14. Zaključak iz prethodnog zadatka treba primeniti na generisanje dve nezavisne slučajne promenljive, y1 i y2, koje imaju Gausovu raspodelu sa =0 i 2 = 1. Združena gustina raspodele im je:

Pomoću transformacije , združene gustine f(r,) i još par transformacija pokazati da se nezavisne promenljive sa Gausovom raspodelom mogu generisati kao:

gde su x1 i x2 slučajne promenljive sa uniformnom raspodelom na [0,1]. (Na ovom rezultatu se zasniva polarna metoda za generisanje odmeraka Gausovog šuma, potrebna za simulacije komunikacionih sistema u kojima neizostavno deluje i Gausov šum).

15. Odrediti gustinu raspodele zbira dveju nezavisnih slučajnih promenljivih (pomoću Jakobijana).

16. Dokazati osobine matematičkog očekivanja =E{x}:1o E{ax + by} = aE{x}+bE{y},a,b - konstante;2o E{a} = a, a - konstanta;3o E{xy} = E{x}E{y},x,y - statistički nezavisne slučajne promenljive.

17. Ako je m medijana a a konstanta, pokazati da važi:

.

Naći a tako da ima najmanju vrednost.

(nastavak)

18. Pokazati da za eksponencijalnu gustinu raspodelu, definisanu sa

važi tzv. osobina odsustva memorije, tj.:.

19. Ako je združena funkcija raspodele promenljivih x i y

pokazati da je .

20. Signal čija je gustina raspodele f(x) dovodi se na sklop sa sledećim karakteristikama:

a) ; b) ; v) ; g) .

Odrediti gustinu raspodele slučajne promenljive y na izlazu svakog od 4 sklopa. Posebno, pretpostaviti da je f(x) prvo normalna (Gausova) raspodela, a zatim uniformna na segmentu [c,d]. Za neki proizvoljno izabran skup svih potrebnih konstanti skicirati (ručno tačku po tačku ili pomoću računara) gustinu raspodele promenljive x, a zatim, na istom grafiku, i sve četiri dobijene gustine.

21. Pokazati na primeru m = 3 da, ako je x neprekidna slučajna promenljiva čija je gustina raspodele fx(x), g(x)

diferencijabilna funkcija a jednačina y = g(x) ima m rešenja po x (x1, x2, ..., xm), tada je

.

22. Pokazati na primeru m = 3 da, ako je x neprekidna slučajna promenljiva čija je gustina raspodele fx(x) i g(x) diferencijabilna funkcija a jednačina y = g(x) ima m rešenja po x (x1, x2, ..., xm),

.

23. Dokazati:1o E{ax+ by} = aE{x}+bE{y}2o E{c} = c3o E{xy} = E{x}E{y}, ako su x i y nezavisne slučajne promenljive

24. Pokazati da važi:

25. Pokazati da važi alternativni način izračunavanja apsolutnog momenta:

26. Dokazati:1o E{(x-)2} = E{x2}-E2{x}2o 2{c} = 0, cR3o Ako je 2 = 0, postoji konstanta c za koju je P{x=c}=1.4o 2{x+a} = 2{x}

5o 2{ax} = a22{x}6o 2{x+y} = 2{x}+2{y} , ako su x i y statistički nezavisne slučajne promenljive.

27. Odrediti matematičko očekivanje i varijansu za sledeće raspodele:

a) Raspodela koja karakteriše bacanje ispravne kockice;

b) Poasonova raspodela ;

c) Gausova raspodela ;

d) Košijeva raspodela ;

e) Rejlijeva raspodela ;

f) Laplasova raspodela

28. Za raspodele iz prethodnog zadatka izračunati medijanu i polurazliku kvartila (dovoljno je napisati sume ako rezultat ne može da se iskaže u zatvorenom obliku).

29. Dokazati da, ako je , važi E{y}E{x}.

30. Nacrtati na istom grafiku Rejlijevu raspodelu proizvoljnog očekivanja i varijanse i Gausovu raspodelu istog očekivanja i varijanse. Zatim odrediti koeficijent asimetrije i koeficijent spljoštenosti.

31. Kakva je razlika između izraza:

i

?

32. Izračunati karakterističnu funkciju za Košijevu i Laplasovu raspodelu.

33. Pokazati da je C = R - xy, gde su C i R kovarijansa, odnosno korelacija slučajnih promenljivih x i y, a x i y - odgovarajuća matematička očekivanja.

34. Ako se izme|u slučajnih promenljivih x i y uočava linearna zavisnost, pokazati da je

gde je xn - normalizovana promenljiva, r - koeficijent korelacije a ynp - najbolja predvi|ena vrednost normalizovane slučajne promenljive yn.

35. Potpun špil karata (52) izdeljen je na četiri igrača. Neka je slučajna promenljiva x broj kraljeva a slučajna promenljiva y broj pikova u ruci jednog od igrača. Pokazati da su ove dve promenljive nekorelisane i objasniti (može ali ne mora da se dokazuje) zašto nisu statistički nezavisne.

36. Broj poena na pismenom delu ispita je slučajna promenljiva sa E{x} = 75. Naći gornju granicu verovatnoće da će student dobiti više od 85 poena. Ako se zna da je varijansa ravna 25, šta se može zaključiti o verovatnoći da će broj poena biti između 65 i 85? Koliko studenata treba da izađe na ispit da bismo sa verovatnoćom 0.9 mogli da tvrdimo da će aritmetička sredina broja poena svih studenata na ispitu biti između 70 i 80?

37. Naći raspodelu sume N nezavisnih promenljivih sa Poasonovom raspodelom, međusobno identičnih očekivanih vrednosti. Zatim naći raspodelu sume N nezavisnih promenljivih sa Košijevom raspodelom. Da li su rezultati u koliziji sa centralnom graničnom teoremom?

38. Neka su xi, i = 1, ..., n statistički nezavisne slučajne promenljive sa uniformnom raspodelom na intervalu [-0.5, 0.5]. Neka je y = x1+ x2+ ... + xn slučajna promenljiva ravna zbiru promenljivih xi. Za n = 2

a) izračunati raspodelu f(y) slučajne promenljive y, varijansu i sve momente do četvrtog;

b) nacrtati na istom grafiku raspodelu f(y) i Gausovu raspodelu g(y) iste srednje vrednosti i varijanse ;

c) izračunati korigovanu raspodelu gk(y);

d) nacrtati na istom grafiku grešku (y) = f(y)- g(y) i grešku k(y) = f (y) - gk(y).

e) Sve ponoviti za n = 3.

39. Na jednom putu, broj automobila koji u toku jednog sata dođu sa leve strane ima Poasonovu raspodelu, =60; a onih koji za isto vreme dođu sa desne strane ima istu raspodelu, =80. 20% od svih vozila su kamioni. Broj ljudi u kolima može da bude 1, 2, 3, 4 ili 5 sa odgovarajućim verovatnoćama 0.3, 0.3, 0.2, 0.1 i 0.1. U kamionu se uvek nalazi samo vozač. Obično 10% vozila skrene sa puta u restoran. Izračunati matematičko očekivanje broja osoba koje uđu u restoran u toku jednog sata.

40. Za Poasonov proces, ako je (t) = n, koliko iznosi verovatnoća da je (u) = x, u < t? Ako postoji samo jedan dolazak na intervalu (0,T), koliko iznosi verovatnoća da je dolazak baš u k-tom vremenskom intervalu?

41. Prepričati detalje koje smatrate važnim i/ili interesantnim iz poglavlja Papoulisove knjige koje se odnosi na Markovljeve lance.