dodatni zadaci

Građevinski fakultet Sveučilišta u Rijeci

Građevinska statika I

2009/10 Pripremila: Maja Gadeša, dipl. ing. građ.

Dodatni zadaci uz vježbe

Građevinska statika I Zadala: ak. god. 2009/10 2 Maja Gadeša, dipl.ing. građ.

Sadržaj

Zadada 1 osnovni pojmovi o stabilnosti krutog tijela ............................................................. 3

Zadada 2 složeni sustavi krutih tijela ....................................................................................... 5

Zadada 3 princip virtualnog rada ............................................................................................. 7

Zadada 4 utjecajne linije na grednim sustavima ..................................................................... 9

Zadada 5 utjecajne linije na rešetkama ................................................................................. 15

Zadada 6 vježba za 1. kolokvij – crtanje momentnih dijagrama ........................................... 20

Zadada 7 složeni rešetkasti sustavi ........................................................................................ 22

Zadada 8 virtualni rad ............................................................................................................ 24

Zadada 9 ovješeni i razuprti sustavi ....................................................................................... 25

Zadada 10 deformacije – mohrova analogija ...................................................................... 27

Zadada 11 deformacije – metoda jedinične sile .................................................................. 32

Zadada 12 deformacije – metoda jedinične sile .................................................................. 34

Zadada 13 deformacije na rešetkama – metoda jedinične sile ........................................... 35

Zadada 14 deformacije na rešetkama – metoda jedinične sile ........................................... 36

Zadada 15 deformacije trozglobnih sustava – metoda jedinične sile ................................. 37


ZADADA 1 OSNOVNI POJMOVI O STABILNOSTI KRUTOG TIJELA

DODATNI ZADATAK ZA 1. GRUPU

Odrediti reakcije oslonaca nosača.

F = 50 kN, q = 10 kN/m.



M = 20 kNm, q = 10 kN/m.

4,0 2,03,0

q

F

6,0 4,0

4,0

4,0

q

M




q = 10 kN/m.



F = 50 kN.

3,0 5,04,0

q

F

60°

3,0 3,0 4,0

1,5

1,5


ZADADA 2 SLOŽENI SUSTAVI KRUT IH TIJELA


Nacrtati N, V i M dijagrame na sustavu.

F = 80 kN, q = 15 kN/m', w = 10 kN/m'.



H = 50 kN, q = 12 kN/m', w = 10 kN/m'.

1,0 3,0 3,0 3,0

w

q

2,0 3,0 1,0 4,0

5,0w

q

H




q = 10 kN/m', w = 5 kN/m'.



H = 60 kN, q = 10 kN/m', w = 15 kN/m'.

2,0 4,0 3,0

4,0w

4,0w

q

3,0 3,0 3,0

H


ZADADA 3 PRINCIP VIRTUALNOG RADA


Pomodu principa virtualnog rada pronadi vrijednosti i nacrtati dijagram momenata savijanja

na sustavu.

H = 80 kN, q = 15 kN/m', M = 100 kNm.



na sustavu.

F = 150 kN, q = 15 kN/m', M = 100 kNm.

3,0 3,0 2,0 3,0

4,0

H

q

M

3,0 3,0 2,0 3,0

4,0

qM

F




na sustavu.

H = 50 kN, q = 10 kN/m', M = 90 kNm.



na sustavu.

H = 50 kN, q = 15 kN/m', M = 120 kNm.

3,0

F

3,0 3,0 2,0 2,0 2,0

4,0

M

4,0 4,0 2,0 2,0

2,0

M H 2,0

q


ZADADA 4 UTJECAJNE LINIJE NA GREDNIM SUSTAVIMA

ZADATAK 4.2. – DODATNI ZADATAK S OBJAŠNJENJEM PRINCIPA

Pronadi utjecajnu liniju za reakciju u ležaju B i moment savijanja u točki D na zadanom

sustavu koristedi se kinematičkom metodom. Za zadanu shemu opteredenja odrediti najvede

vrijednosti reakcije u ležaju B i momenta savijanja u točki D.

P = 100 kN.

Utjecajna linija na statički određenom sustavu za neku reakciju ili unutarnju silu jednaka je

liniji pomaka mehanizma s jednim stupnjem slobode koji nastaje oslobađanjem

odgovarajude vanjske ili unutarnje veze, ako je na mjestu i u smjeru suprotnom od

dogovornog pozitivnog smjera djelovanja sile zadan jedinični pomak.

Dakle, nepoznate presječne sile nanosimo ovako:

Pozitivan virtualni rad oslobođene veličine = negativna utjecajna linija i obrnuto

Pronađimo utjecajnu liniju za reakciju B i njenu najvedu vrijednost s obzirom na zadanu

shemu opteredenja.

5,03,0 3,04,0

D

1,5 1,5

P P P

A B C

5,03,0 3,04,0

D

1,5 1,5

P P P

+1A B CC2 3


Na mjestu ležaja iznad kojeg tražimo reakciju (ležaj B) nanosimo jedinični pomak usmjeren

suprotno od pozitivnog smjera reakcije. Virtualni rad koji nepoznata sila vrši na pomaku jest

negativan, dakle utjecajna linija je pozitivna.

Vrijednost najvede reakcije dobije se tako da se shema opteredenja postavi iznad točke u

kojoj utjecajna linija za reakciju dobiva najvedu vrijednost i to tako da jedna od sila bude

točno iznad najvede ordinate, η2.

Vrijednosti ordinata odrede se iz geometrije sustava, uzimajudi u obzir da ovakvi mehanizmi

imaju po jedan stupanj slobode, pa ako je φC kut zaokreta kod ležaja C (najdesniji ležaj)

slijedi:

Pa dobivamo:

5,03,0 3,04,0

D

1,5 1,5

P P P

+1A B CC2 3


Pronađimo utjecajnu liniju za moment u presjeku D i njegovu najvedu vrijednost s obzirom na

zadanu shemu opteredenja.

Na mjestu presjeka D nanosimo jedinični pomak usmjerenu suprotno od pozitivnog smjera

momenta (na slici je ucrtan negativan smjer momenta). Da bi pomak bio jediničan, zbroj

kutova φC i φB mora biti jednak 1, a to se postiže na slijededi način:

Udaljenost od presjeka D do ležaja B prenesemo na pravac vertikalno ispod ležaja B. Spojimo

s ležajem C i tako smo konstruirali kut φC, čiji tangens iznosi 3/(3+5). Analogno tome

konstruiramo kut φB, pa dobivamo da njegov tangens iznosi 5/(3+5). Na taj način zbroj

tangensa kutova (odnosno samih kutova) jest 1.

Virtualni rad koji nepoznata sila vrši na ovakvom pomaku jest negativan, dakle na ovom

segmentu (između ležaja B i C) utjecajna je linija pozitivna, a s druge strane negativna.

5,03,0 3,04,0

D

5,0

3,0

MD,L MD,D

-

+

1,5 1,5 1,5 1,5

A B C1 2

3

C

CB

B

B

4

5

6

5,03,0 3,04,0

D

5,0

3,0

MD,L MD,D

-

+

1,5 1,5 1,5 1,5

A B C1 2

3

C

CB

B

B

4

5

6


Vrijednost apsolutno najvedeg momenta dobije se tako da se shema opteredenja postavi

iznad točke u kojoj utjecajna linija za reakciju dobiva najvedu vrijednost i to tako da jedna od

sila bude točno iznad najvede ordinate.

Ili

Prije toga moramo pronadi najvedu ordinatu:

Iz čega zaključujemo da je najvedi moment u presjeku D po apsolutnoj vrijednosti za slučaj

kada se pokretni teret nalazi na 4,0 m od ležaja A.



Pronadi utjecajnu liniju za moment i transverzalnu silu u presjeku D na zadanom sustavu

koristedi se kinematičkom metodom. Za zadanu shemu opteredenja odrediti najvede

vrijednosti tih veličina.

P = 100 kN.


Pronadi utjecajnu liniju za moment i transverzalnu silu u presjeku D na zadanom sustavu



P = 100 kN.

DA B C

1,5 1,5

P P P

4,0

3,0

3,0 4,0 4,0

DA B C

1,0 1,0

P P P

2,0 4,0 5,0 2,0

3,0

2,0



Pronadi utjecajnu liniju za moment u presjeku E i reakciju ležaja A na zadanom sustavu



P = 150 kN.


Pronadi utjecajnu liniju za moment u presjeku E i reakciju ležaja A na zadanom sustavu



P = 200 kN.

EA B C

1,0 1,0

P P P

3,0 3,0 3,0 6,0

2,0

CE

A B

1,0 1,0

P P P

2,0 6,0 4,0

2,0

2,0


ZADADA 5 UTJECAJNE LINIJE NA REŠETKAMA

ZADATAK 5.3. – DODATNI ZADATAK: K – REŠETKA

Pronadi sile u označenim štapovima za zadana opteredenja.

H = 50 kN, F = 60 kN.

Reakcije

A = - 10 kN

By = 70 kN

Bx = 50 kN

Sile u štapovima – izdvajamo čvor B:

Rješavanjem sustava jednadžbi dobijemo sile:

S1 = -91,68 kN (tlak), S2 = 15 kN (vlak)

3,0 3,0 2,0 3,0

4,0

2,0

2,0

H

F

A

By

Bx

By

Bx

S1 S2


Sile u štapovima – Ritterova metoda presjeka

K – rešetku treba presijedi na slijededi način:

Da bi dobili sile u označenim štapovima presjedi demo rešetku na ovaj način. Donji kosi štap

također treba uzeti u obzir!

Pa nakon presjeka imamo slijedede:

3,0 3,0 2,0 3,0

4,0

2,0

2,0

H

F


Da bi dobili silu S6 postavljamo sumu momenata oko Ritterove točke za tu silu, R6.

S6 = 15 kN (vlak)

Da bi dobili silu S3 postavljamo sumu momenata oko Ritterove točke za tu silu, R3.

S3 = 26 kN (vlak)

S6

S5

S4

S3

91,68

F

10

R6

R3

3,0 3,0

2,0

2,0



Pronadi utjecajne linije za sile u označenom štapu za slučaj da je kolnička konstrukcija u razini

donjeg pojasa rešetke.




3,0 3,0 3,0 3,0

4,0

3,0 3,04,0 4,0

4,0








3,0 3,0 3,0

2,0

4,0 4,0 4,0

3,0


ZADADA 6 VJEŽBA ZA 1. KOLOKVIJ – CRTANJE MOMENTNIH DIJAGRAMA



H = 80 kN, q = 15 kN/m'



F = 80 kN, H = 50 kN, q = 12 kN/m'.

H

q

2,0 5,0 2,0 2,0

1,0

4,0

2,0

q

H

F

1,5 4,0 3,0 2,5

5,0

2,0

2,0




F = 100 kN, q = 10 kN/m'.



H = 60 kN, F = 100 kN, q = 10 kN/m'.

q

2,0 5,0 2,0 2,0

1,0

6,0

F

qF

1,54,03,02,5

2,0

H

5,0

2,0


ZADADA 7 SLOŽENI REŠETKASTI SUSTAVI


Pronadi sile u označenim štapovima za zadano opteredenje.

H = 80 kN, F = 100 kN.



H = 80 kN, F = 100 kN.

2,0

2,0

4,0

2,0

4,0

1,5 3,0 3,0 3,0 3,0 3,0

F F

H

1,53,03,03,03,03,0

F F

H2,0

2,0

2,0

2,0




H = 80 kN, F = 100 kN.



H = 80 kN, F = 100 kN.

2,0 2,5 2,5 2,0 3,0 3,0 2,0

3,0

3,0

3,0

F F

H

2,02,52,52,03,03,02,0

3,0

3,0

3,0

F F

H


ZADADA 8 VIRTUALNI RAD

Zadan je sustav:


Pronadi vrijednost RAy metodom virtualnog rada.


Pronadi vrijednost MD metodom virtualnog rada.


Pronadi vrijednost MF metodom virtualnog rada.


Pronadi vrijednost MEdesno metodom virtualnog rada.

q

H

F

A

B

EGC D

3,0 3,0 3,0 3,0 3,0 3,0

6,0


ZADADA 9 OVJEŠENI I RAZUPRTI SUSTAVI


Pronadi utjecajne linije za rezne sile u označenim presjecima na zadanom ovješenom

sustavu.


Pronadi utjecajne linije za rezne sile u označenim presjecima na zadanom razuprtom sustavu.

2,0 1,0 2,5 1,5 2,0

P 4,01,0

1,5 2,5 1,0

2,0 1,0 1,5 2,5 2,5 1,5 1,0 2,0

4,0

P1,0



Pronadi utjecajne linije za rezne sile u označenim presjecima na zadanom ovješenom

sustavu.


Pronadi utjecajne linije za rezne sile u označenim presjecima na zadanom razuprtom sustavu.

2,0 1,0 2,5 2,5 1,5 2,0

P 4,01,5

1,5 1,0

2,0 1,0 1,5 2,5 2,5 1,5 1,0 2,0

4,0

P1,0


ZADADA 10 DEFORMACIJE – MOHROVA ANALOGIJA

ZADATAK 10.2 – DODATNI ZADATAK

Grafoanalitičkim postupkom odrediti deformacijsku liniju zadanog sustava.

Krutosti presjeka

Greda 1-5:

Greda 5-8:

Reakcije

3,0 3,0 3,0 3,0 3,0 3,0

F2 F7

1 2 3 4 5 6 7

3,0

8

30 cm

60

cm

30 cm

40

cm

A B

M

F2 = 60kN, F7 = 90 kN, M = 120 kNm

E = 30 000 MPa

Greda 1-5 presjek A

Greda 5-8 presjek B

A G B C


Dijagram momenata savijanja

Fiktivna greda

Fiktivno opteredenje je dijagram momenata savijanja podijeljen s krutošdu promatranog

elementa:

Paziti na krutosti! Gredi 1-5 odgovara različita krutost nego gredi 5-8!

Fiktivna greda opterećena fiktivnim opterećenjem

3,0 3,0 3,0 3,0 3,0 3,0

1 2 3 4 5 6 7

3,0

8

-210

-90

50180

++

- -

3,0 3,0 3,03,0 3,0

1 2 3 4 5 6 7

3,0

8

3,03,0

3,0 3,0 3,03,0 3,0

1 2 3 4 5 6 7

3,0

8

3,03,0

210/EIA

90/EIA

50/EIA

180/EIB

D

A G C


Rezultante fiktivnih kontinuiranih (trokutnih) opterećenja – po segmentima greda

Fiktivne reakcije

Fiktivni momenti u karakterističnim točkama

Fiktivni momenti odgovaraju progibima u odgovarajudim točkama!






3,0 3,0 3,0 3,0 3,0 3,0

F3 F5

1 2 3 4 5 6 7

40 cm

80

cm

40 cm

60

cm

A B

3,0 3,0 3,0 3,0 3,0 3,0

F2 F4

1 2 3 4 5 6 7

40 cm

80

cm

40 cm

60

cm

A B

F3 = 100 kN, F5 = 50 kN

E = 30 000 MPa

Grede 1-2 i 6-7 presjek A

Greda 2-6 presjek B

F2 = 100 kN, F4 = 50 kN

E = 30 000 MPa


Greda 2-6 presjek B






3,0 3,0 3,0 3,0 3,0 3,0

F3 F6

1 2 3 4 5 6 7

3,0

8

30 cm

60 c

m

30 cm

40 c

m

A B

2 3 41 5 6

3,0 3,0 3,0 3,0 3,0

F1 F4

30 cm

60 c

m

30 cm

40 c

m

A B

F3 = 90 kN, F6 = 90 kN

E = 30 000 MPa

Greda 1-5 presjek A

Greda 5-8 presjek B

F1 = 60 kN, F4 = 90 kN

E = 30 000 MPa

Greda 1-4 presjek A

Greda 4-6 presjek B


ZADADA 11 DEFORMACIJE – METODA JEDINIČNE SILE


Metodom jedinične sile odrediti pomake u točkama 2 i 6.



3,0 3,0 3,0 3,0 3,0 3,0

F3 F5

1 2 3 4 5 6 7

40 cm

80

cm

40 cm

60

cm

A B

3,0 3,0 3,0 3,0 3,0 3,0

F2 F4

1 2 3 4 5 6 7

40 cm

80

cm

40 cm

60

cm

A B

F3 = 100 kN, F5 = 50 kN

E = 30 000 MPa


Greda 2-6 presjek B

F2 = 100 kN, F4 = 50 kN

E = 30 000 MPa


Greda 2-6 presjek B






3,0 3,0 3,0 3,0 3,0 3,0

F3 F6

1 2 3 4 5 6 7

3,0

8

30 cm

60 c

m

30 cm

40 c

m

A B

2 3 41 5 6

3,0 3,0 3,0 3,0 3,0

F1 F4

30 cm

60 c

m

30 cm

40 c

m

A B

F3 = 90 kN, F6 = 90 kN

E = 30 000 MPa

Greda 1-5 presjek A

Greda 5-8 presjek B

F1 = 60 kN, F4 = 90 kN

E = 30 000 MPa

Greda 1-4 presjek A

Greda 4-6 presjek B


ZADADA 12 DEFORMACIJE – METODA JEDINIČNE SILE

DODATNI ZADATAK ZA SVE GRUPE

Na zadanom sustavu odrediti horizontalni pomak točke D.

w = 10 kN/m', EI1 = 2EI2

w (1)

(2)

A B

C D

(1)

9,0

6,0


ZADADA 13 DEFORMACIJE NA REŠETKAMA – METODA JEDINIČNE SILE


Odrediti horizontalni i vertikalni pomak čvora C zadane rešetke.

Svi štapovi su kvadratnog presjeka stranice 5,0 cm.

H = 60 kN, E = 210 GPa

3,0 3,0

BA

2,0

2,0

H

C


ZADADA 14 DEFORMACIJE NA REŠETKAMA – METODA JEDINIČNE SILE


Na zadanom sustavu izračunati pomak točke C.

F = 100 kN.

F3,0

3,0 3,0

C


ZADADA 15 DEFORMACIJE TROZGLOBNIH SUSTAVA – METODA JEDINIČNE SILE


Na zadanom sustavu odrediti vertikalni pomak točke G.

q = 12 kN/m'.

4,5 4,5

3,0

3,0

q

(1)

(2)

B

C G

A

D(2)

(1)

dodatni zadaci

Documents