sinteza konstrukcije jeklenih hal z meŠanim …

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA GRADBENIŠTVO

DOKTORSKA DISERTACIJA

SINTEZA KONSTRUKCIJE JEKLENIH HAL Z MEŠANIM CELOŠTEVILSKIM NELINEARNIM

PROGRAMIRANJEM

maj 2009 Avtor Tomaž ŽULA univ dipl inž grad Mentor redprofdr Stojan KRAVANJA

UDK 6240145196168(0433) KLJUČNE BESEDE gradbeništvo mehanika konstrukcija sinteza sinteza konstrukcij optimiranje optimiranje konstrukcij optimiranje topologije diskretno optimiranje mešano celoštevilsko nelinearno programiranje MINLP algoritem zunanje aproksimacije s sprostitvijo enačb OAER algoritem modofocirani algoritem OAER trifazana MINLP strategija jeklene hale KEY WORDS civil engineering mechanics structures synthesis structural synthesis optimization structural optimization topology optimization discrete optimization Mixed-Integer Nonlinear Programming MINLP Outer-ApproximationEquality-Relaxation algorithm OAER algorithm Modified OAER algorithm three-phase MINLP strategy steel buildings

ZAHVALA Iskreno se zahvaljujem mentorju redprofdr Stojanu

Kravanji za strokovno vodstvo vzpodbudo in nesebično

pomoč pri izdelavi doktorske disertacije

Zahvaljujem se tudi redprofdr Miroslavu Premrovu

redprofdr Zdravku Kravanji in redprofdr Goranu

Turkalju za skrbno oceno disertacije

Ministrstvu za šolstvo znanost in šport Republike Slovenije

se zahvaljujem za financiranje podiplomskega študija

Posebna zahvala velja domačim ki so me vzpodbujali in

stali ob strani ter vsem ki so bili tako ali drugače

soudeleženi na moji študijski poti

I

VSEBINA

POVZETEK IV

SUMMARY VI

SEZNAM SIMBOLOV VIII

SEZNAM SIMBOLOV V MODELIH HAL XI

SEZNAM OKRAJŠAV XVII

1 UVOD1

11 Konstrukcija jeklene hale2 12 Prispevek doktorske disertacije3

2 TEORETI ČNO IZHODIŠČE5

21 Metode optimiranja konstrukcij 5 211 Matematično programiranje5

2111 Linearno programiranje LP5 2112 Mešano celoštevilsko linearno programiranje MILP6 2113 Nelinearno programiranje NLP6 2114 Mešano celoštevilsko nelinearno programiranje MINLP 7

212 Hevristične metode 8 2121 Nevronske mreže NN8 2122 Evolucijski algoritem EA9 2123 Direktno iskanje DS9 2124 Tabu iskanje TS 10 2125 Simulirano ohlajanje SA10 2126 Kolonija mravelj ACO10 2127 Harmonijsko iskanje HS 11

22 Sinteza konstrukcij jeklenih hal z MINLP12 221 Sočasno optimiranje topologije materiala in standardnih profilov konstrukcije jeklenih hal12 222 Generiranje mehanske superstrukture13 223 Specialna MINLP modelna formulacija konstrukcije jeklenih hal14 224 Reševanje MINLP optimizacijskega problema 17 225 Algoritem zunanje aproksimacije s sprostitvijo enačb OAER 19 226 Modificirani OAER algoritem21

2261 Deaktivacija linerizacij 21 2262 Dekompozicija in deaktivacija linearizacije namenske funkcije 22

II

2263 Uporaba razširjene kazenske funkcije 22 2264 Uporaba zgornje meje namenske funkcije23 2265 Globalni konveksni test in modifikacija kršenih linearizacij23 2266 MILP glavni problem24

3 SOČASNO OPTIMIRANJE MASE TOPOLOGIJE MATERIALA IN STANDARDNIH HEA PROFILOV KONSTRUKCIJE HAL (TIP 1) 26

31 Optimizacijski model konstrukcije jeklenih hal s standardnimi HEA profili 26 32 Masna namenska funkcija 27 33 Pogojne (ne)enačbe strukturne analize28 34 Celoštevilske in mešano celoštevilske logične pogojne (ne)enačbe 36 35 Optimizacija 39 36 Računski primer41

4 SOČASNO OPTIMIRANJE MASE TOPOLOGIJE MATERIALA IN STANDARDNIH IPE PROFILOV KONSTRUKCIJE HAL (TIP 2) 46

41 Optimizacijski model konstrukcije jeklenih hal s standardnimi IPE profili 46 42 Masna namenska funkcija 46 43 Pogojne (ne)enačbe strukturne analize46 44 Celoštevilske in mešano celoštevilske logične pogojne (ne)enačbe 49 45 Zaporedja vhodni podatki (konstante) in spremenljivke49 46 Optimizacija 49 47 Računski primer49

5 SOČASNO OPTIMIRANJE MASE TOPOLOGIJE MATERIALA IN STANDARDNIH IPE ter HEA PROFILOV KONSTRUKCIJE HAL (TIP 3)55

51 Optimizacijski model konstrukcije jeklenih hal s standardnimi IPE ter HEA profili55 52 Računski primer56 53 Primerjava treh razli čnih tipov konstrukcij jeklenih hal 61

6 VEČPARAMETRI ČNO OPTIMIRANJE KONSTRUKCIJE HAL Z MINLP 62

61 Konstrukcija hale iz standardnih HEA profilov (tip 1) 62 62 Konstrukcija hale iz standardnih IPE profilov (tip 2) 64 63 Konstrukcija hale iz kombinacije standardnih IPE in HEA profilov (tip 3) 66

631 Izvrednotenje optimalnega podtipa67

III

632 Izbor vrste prereza nosilca (IPE ter HEA) 69

7 PRIMERJALNI DIAGRAMI VE ČPARAMETRI ČNEGA OPTIMIRANJA71

71 Vpliv razpona in višine hale na maso konstrukcije 71 72 Vpliv obtežbe in razpona hale na maso konstrukcije 75 73 Vpliv razpona hale in obtežbe na razmak med okvirji79 74 Primerjalni diagrami konkuren čnosti za definirane različne parametre 83 75 Vpliv razpona konstrukcije hale na število portalnih okvirjev 87 76 Diagrami za izbor vrste prereza nosilca (IPE ter HEA) 89 77 Diskusija rezultatov 93

8 ZAKLJU ČEK95

9 LITERATURA98

10 OBJAVLJENI VIRI AVTORJA S PODRO ČJA DISERTACIJE 107

11 KRATEK ŽIVLJENJEPIS109

IV

POVZETEK V doktorski disertaciji predstavljamo celovit pristop k sočasnemu optimiranju mase topologije diskretnih materialov in standardnih prerezov konstrukcije jeklenih hal Optimiranje bomo izvedli z mešanim celoštevilskim nelinearnim programiranjem (MINLP) Ker z MINLP izvajamo optimiranje topologije in standardnih dimenzij na način da se v optimizacijskem procesu posamezni konstrukcijski elementi računsko odvzamejo inali dodajajo izračunavajo pa se tudi standardni materiali dimenzije in oblika konstrukcije z MINLP v bistvu izvajamo sintezo konstrukcij V doktorski disertaciji tako obravnavamo sintezo realnih inženirskih konstrukcij jeklenih hal velikega obsega V tem smislu smo postavili tezo doktorske disertacije da je z MINLP ob razvoju ustrezne metodologije za generacijo superstrukture konstrukcije hal postavitvijo specialne MINLP modelne formulacije in razvojem primerne strategije za reševanje definiranega problema MINLP mogoče uspešno reševati sočasno optimiranje mase topologije materiala in standardnih prerezov jeklenih konstrukcij hal velikega obsega Optimizacijski problemi sinteze konstrukcij jeklenih hal so kombinirani diskretnozvezni optimizacijski problemi in so kot taki obsežni nekonveksni in nelinearni Takšno sintezo korakoma rešujemo na treh nivojih dejavnosti z generiranjem superstrukture konstrukcije hale z razvojem specialne MINLP modelne formulacije konstrukcije hale in z reševanjem definiranega MINLP optimizacijskega problema Sintezo konstrukcije hal pričnemo z generiranjem mehanske superstrukture različnih topoloških materialnih in standard-dimenzijskih alternativ ki se potegujejo za optimalen rezultat Znotraj definirane mehanske superstrukture je zato glavni namen sinteze najti takšno možno strukturo ki bo optimalna z ozirom na topologijo material in diskretne prereze Naslednji nivo sinteze konstrukcije hal predstavlja razvoj specialne MINLP modelne formulacije mehanskih superstruktur (MINLP-MS) Generirano superstrukturo konstrukcije hale opišemo z modelom (ne)enačb Sintezo konstrukcije jeklenih hal zaključimo z reševanjem optimizacijskega problema MINLP Ker je optimizacijski problem sinteze konstrukcije hale nelinearen in nekonveksen smo za reševanje le-tega uporabili algoritem zunanje aproksimacije s sprostitvijo enačb (OAER algoritem) Za uspešno in učinkovito reševanje sinteze konstrukcij hal smo predlagali povezano trifazno MINLP strategijo Z uporabo predlagane optimizacijske metode MINLP smo izvedli sintezo konstrukcije treh različnih tipov jeklenih hal konstrukcije hale sestavljene iz vroče valjanih HEA profilov (tip

V

1) konstrukcije hale sestavljene iz vroče valjanih IPE profilov (tip 2) in konstrukcije hale sestavljene iz mešanega nabora IPE in HEA profilov (tip 3) Za optimiranje omenjenih treh tipov konstrukcij hal smo razvili tri različne MINLP optimizacijske modele Ker je bil namen sinteze konstrukcij hal minimiranje mase konstrukcij smo definirali masno namensko funkcijo konstrukcije hale Le to smo podvrgli (ne)linearnim pogojnim (ne)enačbam Pogojne (ne)enačbe dimenzioniranja konstrukcij jeklenih hal smo definirali v skladu s standardi Eurocode pri čemer so zadovoljeni vsi pogoji mejnega stanja nosilnosti in uporabnosti Na osnovi razvitih modelov je bilo za vsak tip konstrukcije hale izvedeno parametrično optimiranje MINLP Slednje smo izvršili pri kombinaciji naslednjih parametrov pri različnih razponih in višinah hale pri različni vertikalni in horizontalni zvezni obtežbi in pri različnih kvalitetah konstrukcijskega jekla Z MINLP pridobljeni optimalni rezultati so obsegali minimalno maso konstrukcije optimalno topologijo diskretne materiale in standardne prereze konstrukcije hale Na koncu smo izvršili primerjavo rezultatov med predstavljenimi tremi tipi konstrukcij jeklenih hal Na osnovi teh primerjav smo izrisali diagrame za optimalen dizajn konstrukcije jeklenih hal s pomočjo katerih bo lahko inženir za izbran razpon višino in obtežbo hale določil optimalen tip konstrukcije (tip 1 2 ali 3) število konstrukcijskih elementov (topologijo) konstrukcijsko jeklo (material) in standardne prereze konstrukcijskih elementov (HEA IPE ali mešani izbor IPE ter HEA profilov)

VI

SUMMARY The PhD thesis presents the simultaneous mass topology discrete material and standard cross-section optimization of a single storey steel building The structural optimization is performed by the Mixed-Integer Non-linear Programming approach (MINLP) The MINLP approach performs the discrete optimization of topology material and standard dimensions while parameters are simultaneously calculated inside the continuous space During the optimization proces some structural elements are automatically added or removed from the structure The PhD thesis thus discusses the MINLP synthesis of a single storey steel building The main thesis of this work is that it is possible with the MINLP approach with the development of an appropriate methodology for the generation of a steel building superstructure with the definition of a special MINLP model formulation and with the development of an appropriate strategy for the solution of the defined problem efficiently perform the simultaneous topology material and standard cross-section optimization of large-scale single storey steel building structures The single storey steel building optimization problems are comprehensive non-convex and highly nonlinear The MINLP structural synthesis is thus performed throught three steps ie the generation of superstructure of a single storey steel building the modeling of special MINLP model formulation and the solving of the defined MINLP problem We start to perform the structural synthesis with the generation of mechanical superstrucure composed of various topology material and standard dimension alternatives which candidates for the optimal solution The main goal is thus to find a feasible structure within the given superstructure which is optimal with respect to topology material and standard dimensions After the mechanical superstructure is generated the structural synthesis is proceeded by the develovpment of a special MINLP model formulaton for mechanical superstructures (MINLP-MS) The generated mechanical superstructure of a single storey steel building is defined in an equation oriented environment The last step in the structural synthesis is the solution of the defined MINLP problem In order to solve the nonlinear and non-convex optimization problem of a single storey steel building we applied the Modified Outer-ApproximationEquality-Relaxation algorithm (OAER algorithm) We also proposed the Linked Three Phase MINLP Strategy in order to accelerate the convergence of the modified OAER algorithm Three different types of a single storey building strctures have been synthesised according to

VII

the proposed MINLP approach a steel building structure made from HEA cross-sections (type 1) a steel building structure made from IPE cross-sections (type 2) as well as a steel building structure made from both IPE and HEA cross-sections (type 3) For the optimization of these three different types of structures we have developed three different MINLP optimization models As the task of this structural synthesis is to minimize the mass of the steel building structures the mass objective function was defined The latter is subjected to the set of equality and inequality constraints know from the structural analysis and the dimensioning The dimensioning of the steel members is performed in accordance with Eurocode 3 for the conditions of both the ultimate limit state and serviceability limit state Based on the developed models the MINLP parametric optimization was carried out by the combination of diferent parameters spans heights vertical variable loads horizontal variable loads and different qualities of structural steel The optimal solution of the single storey steel building comprises the obtained minimal structure mass the optimal topology discrete materials and standard cross-sections In the end we perform the comparison between the obtained optimal results of the three different steel buildings structure types Based on this comparison we made diagrams for the optimal building design For the defined buildings span height and imposed load the presented comparative diagrams can be applied for choosing the optimal type of the single storey steel buildings (type 1 2 or 3) the optimal number of structural elements (topology) the optimal quality of steel (material) and the optimal standard cross-sections of the elements (HEA IPE or both selection)

VIII

SEZNAM SIMBOLOV Male črke

a vektor koeficientov linearnih pogojnih neenačb splošna formulacija MINLP b vektor koeficientov povezovalnih logičnih pogojnih neenačb MINLP-MS formulacija c vektor koeficientov namenske funkcije d d neodvisna (design) spremenljivka (vektor) e vektor koeficientov celoštevilskih pogojnih neenačb MINLP-MS formulacija f nelinearni del namenske funkcije g vektor nelinearnih funkcij pogojnih neenačb MINLP formulacij h vektor nelinearnih funkcij pogojnih enačb MINLP formulacij k vektor koeficientov povezovalnih logičnih pogojnih neenačb MINLP-MS formulacija m vektor koeficientov povezovalnih logičnih pogojnih neenačb MINLP-MS formulacija n vektor koeficientov povezovalnih logičnih pogojnih neenačb MINLP-MS formulacija p p izvedbena (non-design) spremenljivka (vektor) q q številčna vrednost standardne dimenzijske alternative (vektor) r vektor koeficientov povezovalnih logičnih pogojnih neenačb MINLP-MS formulacija s s pomožne spremenljivke linearizacij nelinearnih pogojev (vektor) modificirani OAER algoritem

t kjj diagonalni elementi relaksacijske matrike Tk OAER algoritem

ua vektor velikih skalarjev modificirani OAER algoritem ww uteži pomožnih spremenljivk linearizacij nelinearnih pogojev (vektor) x x zvezna spremenljivka (vektor) y y binarna 0-1 spremenljivka (vektor) z spremenljivka namenske funkcije Velike črke

A množica alternativnih strukturnih elementov mehanske superstrukture A matrika koeficientov linearnih pogojnih neenačb MINLP-MS formulacija B matrika koeficientov pomnožena z vektorjem diskretnih spremenljivk y mešanih linearnih pogojnih neenačb MINLP formulacij BIk množica binarnih spremenljivk z vrednostjo 1 enačbe raquoceloštevilski rezlaquo

IX

C matrika koeficientov pomnožena z vektorjem zveznih spremenljivk x mešanih linearnih pogojnih neenačb MINLP formulacij D matrika koeficientov povezovalnih logičnih pogojnih neenačb MINLP-MS formulacija E matrika koeficientov celoštevilskih pogojnih neenačb MINLP-MS formulacija K števec glavnih MINLP iteracij K matrika koeficientov povezovalnih logičnih pogojnih neenačb MINLP-MS formulacija L matrika koeficientov povezovalnih logičnih pogojnih neenačb MINLP-MS formulacija M matrika koeficientov povezovalnih logičnih pogojnih neenačb MINLP-MS formulacija NIk množica binarnih spremenljivk z vrednostjo 0 enačbe raquoceloštevilski rezlaquo N matrika koeficientov povezovalnih logičnih pogojnih neenačb MINLP-MS formulacija P matrika koeficientov povezovalnih logičnih pogojnih neenačb MINLP-MS formulacija R matrika koeficientov povezovalnih logičnih pogojnih neenačb MINLP-MS formulacija Tk relaksacijska matrika OAER algoritem UB vrednost zgornje meje namenske spremenljivke modificirani OAER algoritem X množica zveznih spremenljivk Y množica binarnih spremenljivk Indeksi nadpisi in podpisi

a alternativni strukturni elementi mehanske superstrukture aisinA cn oznaka zveznih spremenljivk MINLP-MS formulacija e začasno izbrani ali zavrnjeni alternativni strukturni elementi mehanske superstrukture f namenska funkcija g nelinearne pogojne neenačbe h nelinearne pogojne enačbe

i elementi množice I iisinI

j elementi množice J jisinJ k števec glavnih MINLP iteracij element množice K

lin linearni del namenske funkcije modificirani OAER algoritem MINLP-MS formulacija LO spodnja meja mat oznaka spremenljivk diskretnih materialov MINLP-MS formulacija oz označuje binarne spremenljivke ki pripadajo diskretnim materialnim alternativam

X

nl nelinearni del namenske funkcije modificirani OAER algoritem MINLP-MS formulacija sf substitucijski izraz modificirani OAER algoritem st oznaka spremenljivk standardnih dimenzij MINLP-MS formulacija oz označuje binarne spremenljivke ki pripadajo standard-dimenzijskim alternativam t skupne standardne design spremenljivke superstrukture ali nekega njenega dela

tisinT MINLP-MS formulacija top označuje binarne spremenljivke ki pripadajo topološkim alternativam MINLP-MS formulacija UP zgornja meja Grške črke

α linearizacija nelinearnega dela namenske funkcije δmax deformacija nosilca v končnem stanju δ2 deformacija zaradi spremenljive obtežbe ε vektor skalarjev zelo majhnih toleranc modificirani OAER algoritem λ Lagrange-ovi množitelji modificirani in originalni OAER algoritem

XI

SEZNAM SIMBOLOV V MODELIH HAL Zaporedja

i zaporedje standardnih dimenzij stebrov iisinI

j zaporedje standardnih dimenzij nosilcev jisinJ

k zaporedje standardnih dimenzij leg kisinK

l zaporedje standardnih dimenzij prečk lisinL

m zaporedje števila leg misinM

n zaporedje števila portalnih okvirjev (stebri in nosilci) nisinN

p zaporedje standardnih dimenzij fasadnih stebrov pisinP

r zaporedje števila prečk risinR

s zaporedje standardnih vrednosti materiala sisinS Skalarji (konstante vhodni podatki) f nadvišanje nosilca pri okvirju [cm] h višina stebra [cm] k koeficient uklonske dolžine elementa [-] kw koeficient uklonske dolžine elementa [-] mr masa strešne kritine [kgcm2] sn spremenljiva obtežba za sneg [kNcm2] wv spremenljiva obtežba za veter vertikalno [kNcm2] wh spremenljiva obtežba za veter horizontalno [kNcm2] C1C2 koeficienta oblike momentne linije [-] E elastični modul jekla [kNcm2] G strižni modul jekla [kNcm2] L razpon okvirja [cm] LL dolžina jeklene hale [cm] MINNOframe najmanjše število portalnih okvirjev [-] MAXNOframe največje število portalnih okvirjev [-] MINNOpurlin najmanjše število leg [-] MAXNOpurlin največje število leg [-] MINNOrail najmanjše število prečk [-] MAXNOrail največje število prečk [-] αb faktor nepopolnosti [-] αLT faktor nepopolnosti [-]

XII

γg parcialni faktor varnosti za stalno obtežbo [-] γq parcialni faktor varnosti za spremenljivo obtežbo [-] γM0 varnostni faktor odpornosti [-] γM1 varnostni faktor odpornosti [-] η2 razdelilni koeficient [1] λ1 vitkost [-] π Ludolfovo število [-] ρ gostota jekla [kgcm3] Parametri (konstante vhodni podatki)

q CAi vektor i iisinI diskretnih standardnih vrednosti površine prečnega prereza stebra

q BAj vektor j jisinJ diskretnih standardnih vrednosti površine prečnega prereza nosilca

q PAk vektor k kisinK diskretnih standardnih vrednosti površine prečnega prereza lege

q RAl vektor l lisinL diskretnih standardnih vrednosti površine prečnega prereza prečke

q FCAp vektor p pisinP diskretnih standardnih vrednosti površine prečnega prereza

fasadnega stebra

q Cbi vektor i iisinI diskretnih standardnih vrednosti širine pasnice stebra

q Bbj vektor j jisinJ diskretnih standardnih vrednosti širine pasnice nosilca

q Pbk vektor k kisinK diskretnih standardnih vrednosti širine pasnice lege

q Rbl vektor l lisinL diskretnih standardnih vrednosti širine pasnice prečke

q FCbp vektor p pisinP diskretnih standardnih vrednosti širine pasnice fasadnega stebra

q Cfti

vektor i iisinI diskretnih standardnih vrednosti debeline pasnice stebra

q Bftj

vektor j jisinJ diskretnih standardnih vrednosti debeline pasnice nosilca

q Pftk

vektor k kisinK diskretnih standardnih vrednosti debeline pasnice lege

q Rftl

vektor l lisinL diskretnih standardnih vrednosti debeline pasnice prečke

q FCftp

vektor p pisinP diskretnih standardnih vrednosti debeline pasnice fasadnega stebra

q Cwti

vektor i iisinI diskretnih standardnih vrednosti debeline stojine stebra

q Bwtj

vektor j jisinJ diskretnih standardnih vrednosti debeline stojine nosilca

q Pwtk

vektor k kisinK diskretnih standardnih vrednosti debeline stojine lege

q Rwtl

vektor l lisinL diskretnih standardnih vrednosti debeline stojine prečke

q FCwtp

vektor p pisinP diskretnih standardnih vrednosti debeline stojine fasadnega stebra

q CtIi

vektor i iisinI diskretnih standardnih vrednosti torzijskega vztrajnostnega momenta

XIII

stebra

q PtIk

vektor k kisinK diskretnih standardnih vrednosti torzijskega vztrajnostnega momenta

lege

q RtIl

vektor l lisinL diskretnih standardnih vrednosti torzijskega vztrajnostnega momenta

prečke

q FCtIp

vektor p pisinP diskretnih standardnih vrednosti torzijskega vztrajnostnega momenta

fasadnega stebra

q CyIi

vektor i iisinI diskretnih standardnih vrednosti vztrajnostnega momenta okoli y-y osi

stebra

q ByIj

vektor j jisinJ diskretnih standardnih vrednosti vztrajnostnega momenta okoli y-y

osi nosilca

q PyIk

vektor k kisinK diskretnih standardnih vrednosti vztrajnostnega momenta okoli y-y

osi lege

q RyIl

vektor l lisinL diskretnih standardnih vrednosti vztrajnostnega momenta okoli y-y

osi prečke

q FCyIp

vektor p pisinP diskretnih standardnih vrednosti vztrajnostnega momenta okoli y-y

osi fasadnega stebra

q CzIi

vektor i iisinI diskretnih standardnih vrednosti vztrajnostnega momenta okoli z-z osi

stebra

q PzIk

vektor k kisinK diskretnih standardnih vrednosti vztrajnostnega momenta okoli z-z

osi lege

q RzIl

vektor l lisinL diskretnih standardnih vrednosti vztrajnostnega momenta okoli z-z osi

prečke

q FCzIp

vektor p pisinP diskretnih standardnih vrednosti vztrajnostnega momenta okoli z-z


q CIi

ω vektor i iisinI diskretnih standardnih vrednosti vbočitvenega torzijskega

vztrajnostnega momenta stebra

q PIk

ω vektor k kisinK diskretnih standardnih vrednosti vbočitvenega torzijskega

vztrajnostnega momenta lege

q RIl

ω vektor l lisinL diskretnih standardnih vrednosti vbočitvenega torzijskega

vztrajnostnega momenta prečke

q FCIp

ω vektor p pisinP diskretnih standardnih vrednosti vbočitvenega torzijskega

vztrajnostnega momenta fasadnega stebra

q yfs vektor s sisinS diskretnih standardnih vrednosti materiala izbranega konstrukcijskega

elementa

XIV

Zvezne spremenljivke

bB širina pasnice nosilca [cm] bC širina pasnice stebra [cm] bFC širina pasnice fasadnega stebra [cm] bP širina pasnice lege [cm] bR širina pasnice prečke [cm] ef medsebojni razmak med okvirji [cm] ep medsebojni razmak med legami [cm] er medsebojni razmak med prečkami [cm] g lastna teža portalnega okvirja [kNcm] gfc lastna teža fasadnega stebra [kNcm] gr lastna teža prečke [kNcm] hB višina prečnega prereza nosilca [cm] hC višina prečnega prereza stebra [cm] hFC višina prečnega prereza fasadnega stebra [cm] hP višina prečnega prereza lege [cm] hR višina prečnega prereza prečke [cm] qfc zvezna spremenljiva obtežba na fasadni steber [kNcm] qr zvezna spremenljiva obtežba na prečko [kNcm] qy zvezna horizontalna spremenljiva obtežba [kNcm] qz zvezna vertikalna spremenljiva obtežba [kNcm] tfB debelina pasnice nosilca [cm] tfC debelina pasnice stebra [cm] tfFC debelina pasnice fasadnega stebra [cm] tfP debelina pasnice lege [cm] tfR debelina pasnice prečke [cm] twB debelina stojine nosilca [cm] twC debelina stojine stebra [cm] twFC debelina stojine fasadnega stebra [cm] twP debelina stojine lege [cm] twR debelina stojine prečke [cm] AB površina prečnega prereza nosilca [cm2] AC površina prečnega prereza stebra [cm2] AFC površina prečnega prereza fasadnega stebra [cm2] AP površina prečnega prereza lege [cm2] AR površina prečnega prereza prečke [cm2] HFC dolžina fasadnega stebra [cm] ItC torzijski vztrajnostni moment stebra [cm4] ItFC torzijski vztrajnostni moment fasadnega stebra [cm4] ItP torzijski vztrajnostni moment lege [cm4]

XV

ItR torzijski vztrajnostni moment prečke [cm4] IyB vztrajnostni moment prereza nosilca okoli y-y osi [cm4] IyC vztrajnostni moment prereza stebra okoli y-y osi [cm4] IyFC vztrajnostni moment prereza fasadnega stebra okoli y-y osi [cm4] IyP vztrajnostni moment prereza lege okoli y-y osi [cm4] IyR vztrajnostni moment prereza prečke okoli y-y osi [cm4] IzC vztrajnostni moment prereza stebra okoli z-z osi [cm4] IzFC vztrajnostni moment prereza fasadnega stebra okoli z-z osi [cm4] IzP vztrajnostni moment prereza lege okoli z-z osi [cm4] IzR vztrajnostni moment prereza prečke okoli z-z osi [cm4] IωC vbočitveni torzijski vztrajnostni moment prereza stebra [cm6] IωFC vbočitveni torzijski vztrajnostni moment prereza fasadnega stebra [cm6] IωP vbočitveni torzijski vztrajnostni moment prereza lege [cm6] IωR vbočitveni torzijski vztrajnostni moment prereza prečke [cm6] KB koeficient togosti nosilca [cm3] KC koeficient togosti stebra [cm3] LB dolžina nosilca [cm] MCR elastični kritični moment zvrnitve [kNcm] MelRd računska elastična odpornost prereza na upogibni moment [kNcm] NOFRAME število portalnih okvirjev [-] NOPURLIN število leg [-] NORAIL število prečk [-] NplRd računska odpornost prereza na osno silo [kN] Nsd računska osna sila [kN] Msd računski upogibni moment [kNcm] P točkovna horizontalna sila množena s faktorjem varnosti [kN] Pw točkovna horizontalna sila [kN] VplRd računska odpornost prereza na strižno silo [kN] Vsd računska strižna sila [kN] α naklonski kot nosilca [rad] βnon-sway uklonski koeficient stebra za nepomičen okvir [-] βsway uklonski koeficient stebra za pomičen okvir [-] δf vertikalna deformacija portalnega okvirja [cm] ∆ horizontalna deformacija portalnega okvirja [cm]

NS1η razdelilni koeficient stebra za nepomičen okvir [-] S1η razdelilni koeficient stebra za pomičen okvir [-]

κ brezdimenzionalni uklonski koeficient [-] κz brezdimenzionalni uklonski koeficient okoli z-z osi [-] κLT brezdimenzionalni uklonski koeficient zvrnitve [-]

XVI

Binarne spremenljivke

yi binarna spremenljivka dodeljena i-ti iisinI alternativi standardnega prereza stebra

yj binarna spremenljivka dodeljena j-ti jisinJ alternativi standardnega prereza nosilca

yk binarna spremenljivka dodeljena k-ti kisinK alternativi standardnega prereza lege

yl binarna spremenljivka dodeljena l-ti lisinL alternativi standardnega prereza prečke

ym binarna spremenljivka dodeljena m-ti misinM alternativi številu leg

yn binarna spremenljivka dodeljena n-ti nisinN alternativi številu portalnih okvirjev

yp binarna spremenljivka dodeljena p-ti pisinP alternativi standardnega prereza fasadnega stebra

yr binarna spremenljivka dodeljena r-ti risinR alternativi številu prečk

ys binarna spremenljivka dodeljena s-ti sisinS alternativi standardnega materiala Substituirani izrazi v enačbah ABCD substituirani izrazi UV substituirani izrazi

XVII

SEZNAM OKRAJŠAV min minimiranje pp pri pogojih ACO kolonija mravelj AL razširjeni Lagrangian APOAER razširitev OAER algoritma z uporabo kazenske funkcije BB metoda vejanja in omejevanja BP algoritem vzvratnega razširjanja DS direktno iskanje EA evolucijski algoritem ECP razširjeno rezanje ravnine ES evolucijske strategije FRAMEOPTH optimizacijski model konstrukcije hale izdelane iz jeklenih vroče valjanih HEA profilov FRAMEOPTI optimizacijski model konstrukcije hale izdelane iz jeklenih vroče valjanih IPE profilov FRAMEOPTIH optimizacijski model konstrukcije hale izdelane iz kombinacije jeklenih vroče valjanih IPE ter HEA profilov FT tehnika možnosti GA genetski algoritem GBD posplošena Bendersova dekompozicija GRG posplošena metoda reduciranih gradientov HS harmonijsko iskanje LP linearno programiranje LPNLP BB LPNLP metoda vejanja in omejevanja MASS masna namenska funkcija MILP mešano-celoštevilsko linearno programiranje MINLP mešano-celoštevilsko nelinearno programiranje MINLP-G splošna MINLP modelna formulacija MINLP-MS MINLP modelna formulacija mehanskih superstruktur MSN mejno stanje nosilnosti MSU mejno stanje uporabnosti NBB nelinearna metoda vejanja in omejevanja NLP nelinearno programiranje NN nevronske mreže OA metoda zunanje aproksimacije OAER algoritem zunanje aproksimacije s sprostitvijo enačb

XVIII

OC metoda optimalnih kriterijev RG metoda reduciranega gradienta SA simulirano ohlajanje SLDP zaporedno linearno diskretno optimiranje SQP zaporedno kvadratno programiranje TS tabu iskanje UB zgornja meja namenske spremenljivke

Sinteza konstrukcije jeklenih hal z mešanim celoštevilskim nelinearnim programiranjem

1

1 UVOD V inženirski praksi je večinoma uporabljen klasični postopek optimiranja kjer se optimalnemu dizajnu konstrukcije približujemo z računskim ponavljanjem analize in dimenzioniranja konstrukcije Zaradi zamudnosti takšnega postopka so inženirji in raziskovalci v preteklih tridesetih letih razvili številne učinkovite metode optimiranja in jih uporabili pri optimizaciji konstrukcij Med najčešče uporabljene metode so se v svetu uveljavile metode matematičnega programiranja linearno programiranje (LP) nelinearno programiranje (NLP) mešano celoštevilsko linearno programiranje (MILP) in mešano celoštevilsko nelinearno programiranje (MINLP) V doktorski disertaciji bomo predstavili celovit pristop k sočasnemu optimiranju mase topologije materiala in standardnih profilov konstrukcij jeklenih hal Optimizacijo bomo izvajali z mešanim celoštevilskim nelinearnim programiranjem (MINLP) Ker bomo z MINLP izvajali optimiranje topologije in standardnih dimenzij na način da se v optimizacijskem procesu posamezni konstrukcijski elementi računsko odvzamejo inali dodajajo izračunavajo pa se tudi standardni materiali dimenzije in oblika konstrukcije z MINLP v bistvu izvajamo sintezo konstrukcij V doktorski disertaciji bomo zato izvajali sintezo realnih inženirskih konstrukcij jeklenih hal velikega obsega Pod realno inženirsko konstrukcijo razumemo konstrukcijo ki zadovolji vsem pogojem dimenzioniranja v skladu z veljavnimi standardi za projektiranje konstrukcij (npr Eurocode) njeni elementi pa so izdelani iz standardnih ndash na tržišču razpoložljivih profilov in materialov Konstrukcije jeklenih hal spadajo med okvirne tj skeletne konstrukcije Slednje delimo z ozirom na velikost na večetažne skeletne konstrukcije (stolpiči stolpnice) in na enoetažne skeletne konstrukcije tip hale (industrijski poslovni in športni enonadstropni objekti hangarji razstavni saloni itd) V objavljeni literaturi je mogoče najti le nekaj referenc iz področja optimiranja konstrukcij hal EJ OrsquoBrien in AS Dixon (1997) sta npr predlagala za optimalni dizajn portalnih okvirjev pristop linearnega programiranja G Guerlement idr (2001) so predstavili praktično metodo pri kateri so minimirali maso jeklene industrijske hale z uporabo Eurocode 3 (1992) Nedavno pa je MP Saka (2003) z uporabo genetskega algoritma dosegel optimalni dizajn jeklenega okvirja A Das in S Mitra (2003) sta razvila optimizacijski model pri katerem sta dobila optimalno obliko konstrukcije okvirja pri minimalni masi Eden izmed zadnjih raziskovalnih prispevkov na tem področju je delo S Hernaacutendeza idr (2005) kjer avtorji s svojim računalniškim programom razvitim za optimizacijo konstrukcij dosežejo minimalno maso


2

Vsi zgoraj omenjeni avtorji so optimirali samo diskretne standardne prereze (jeklene profile) konstrukcijskih elementov okvirjev hal pri nespremenjeni topologiji V doktorski disertaciji bomo razvili metodologijo za učinkovito sočasno optimiranje topologije materialov in standardnih profilov konstrukcijskih elementov jeklenih hal Optimirali bomo torej število okvirjev leg in prečk konstrukcije hal in računali optimalen material ter standardne profile elementov Zastavljeno sočasno optimiranje konstrukcij hal predstavlja reševanje bistveno obsežnejšega in težavnejšega optimizacijskega problema kot pri prej omenjenih avtorjih

11 Konstrukcija jeklene hale V doktorski disertaciji bo predstavljeno optimiranje mase topologije diskretnih materialov in standardnih prerezov konstrukcije jeklenih hal (slika 11) Konstrukcijo hale sestavljajo togi nezavetrovani ravninski jekleni okvirji lege prečke in fasadni stebri čelnih sten Nosilci stebri lege prečke in fasadni stebri so izdelani iz standardnih vroče valjanih jeklenih I profilov Optimiranje obravnavanega portalnega okvirja se izvaja ob kombiniranem delovanju lastne teže konstrukcijskih elementov hale vertikalne enakomerne zvezne spremenljive obtežbe (sneg in veter) ter horizontalne koncentrirane spremenljive obtežbe (veter) Notranje statične količine so izračunane po elastični teoriji prvega reda Dimenzioniranje konstrukcijskih elementov hale je izvedeno v skladu z Eurocode 3 (1992) pri čemer so zadovoljeni vsi pogoji za mejno stanje nosilnosti (MSN) in mejno stanje uporabnosti (MSU)

Slika 11 Konstrukcija jeklene hale Pri MSN so elementi preverjeni na osno strižno in upogibno nosilnost na interakcijo upogibnega momenta strižne sile in osne sile ter na interakcijo tlačneuklonske osne sile in bočne zvrnitve


3

Vertikalni upogibki v končnem stanju δmax in upogibki zaradi spremenljive obtežbe δ2 so omejeni pod priporočenima mejnima vrednostima razpon200 in razpon250 Zadoščeno pa mora biti tudi horizontalnemu pomiku portalnega okvirja ki ne sme preseči mejne vrednosti 1150 višine okvirja Optimiranje hale bo izvedeno z metodo mešanega celoštevilskega nelinearnega programiranja (MINLP) S predlaganim MINLP pristopom bomo modelirali optimizacijski model konstrukcije hale kjer bomo pri minimiranju mase jeklene konstrukcije iskali optimalno topologijo (število okvirjev leg in prečk) optimalne diskretne materiale (standardne trdnosti jekel) ter optimalne diskretne prereze (standardne jeklene profile konstrukcijskih elementov) Za izračun mase bomo definirali masno namensko funkcijo 12 Prispevek doktorske disertacije V doktorski disertaciji bomo izvirni prispevek k znanosti gradili na področjih - razvoj učinkovite metodologije za sočasno optimiranje mase topologije materiala in

standardnih profilov konstrukcije jeklenih hal z MINLP - razvoj masne namenske funkcije za MINLP parametrično optimiranje razvoj učinkovitih MINLP strategij za reševanje optimizacije jeklenih hal - izdelava diagramov za medsebojno primerjavo konkurenčnosti različnih skupin profilov

(IPE HEA kombinacija IPE ter HEA) z ozirom na podan razpon in obtežbo Zastavljeni MINLP problem optimiranja konstrukcije jeklenih hal je kombinirani diskretnozvezni optimizacijski problem in je kot tak obsežen nekonveksen in nelinearen Zato predlagamo optimiranje konstrukcije hale v treh korakih V prvem koraku se izvede generacija mehanske superstrukture hale različnih alternativ topologije materialov in standardnih dimenzij Drugi korak obsega razvoj MINLP modelne formulacije konstrukcije hale Zadnji korak pa predstavlja rešitev definiranega optimizacijskega problema MINLP Z uporabo predlagane optimizacijske metode MINLP bomo izvedli sintezo konstrukcije treh različnih tipov jeklenih hal - konstrukcija hale sestavljena iz vroče valjanih HEA profilov (tip 1) - konstrukcija hale sestavljena iz vroče valjanih IPE profilov (tip 2) in - konstrukcija hale sestavljena iz mešanega izbora IPE ter HEA profilov (tip 3) Za optimiranje omenjenih treh tipov konstrukcij hal bomo razvili tri različne optimizacijske modele MINLP Namen sinteze konstrukcij hal je minimiranje mase konstrukcij Zato bomo definirali masno namensko funkcijo konstrukcije hale ki jo bomo podvrgli (ne)linearnim pogojnim (ne)enačbam Pogojne (ne)enačbe dimenzioniranja konstrukcij jeklenih hal bomo definirali v skladu s standardi Eurocode pri čemer bodo zadovoljeni vsi pogoji mejnega stanja nosilnosti in uporabnosti


4

Na osnovi razvitih modelov bo izvedeno parametrično MINLP optimiranje pri kombinaciji naslednjih parametrov - 3 različnih tipih konstrukcij hal 3 različnih standardnih profilov - konstrukcija hale sestavljena iz vroče valjanih HEA profilov (tip 1) - konstrukcija hale sestavljena iz vroče valjanih IPE profilov (tip 2) in - konstrukcija hale sestavljena iz mešanega nabora IPE in HEA profilov (tip 3) - 5 različnih razponih hal (10 m 20 m 30 m 40 m in 50 m) - 3 različnih višinah hal (5 m 75 m in 10 m) - 6 različnih vertikalni spremenljivih obtežbah (05 kNm2 10 kNm2 15 kNm2 20 kNm2 25 kNm2 30 kNm2) - 2 različnima horizontalnima spremenljivima obtežbama (05 kNm2 in 10 kNm2) in - 3 različnih kvalitetah konstrukcijskega jekla (S235 S275 in S355) Potrdili bomo tezo da je z mešanim celoštevilskim nelinearnim programiranjem (MINLP) ob razvoju ustrezne metodologije za generacijo superstrukture konstrukcije hal z postavitvijo specialne MINLP modelne formulacije in z razvojem primerne strategije za reševanje definiranega MINLP problema mogoče uspešno reševati sočasno optimiranje topologije materiala in standardnih prerezov jeklenih konstrukcij hal velikega obsega Zaradi velike obsežnosti in predvsem velike kombinatorike različnih diskretnih alternativ superstrukture hale (topologije materialov in profilov) algoritem MINLP brez ustreznih MINLP strategij ne more uspešno konvergirati oz je nerešljiv V ta namen bomo razvili povezano trifazno MINLP strategijo s katero bomo izboljšali konvergenco omenjenega algoritma Na koncu bomo izvršili primerjavo rezultatov med predstavljenimi tremi tipi konstrukcij jeklenih hal Na osnovi teh primerjav bomo izrisali diagrame za optimalen dizajn konstrukcije jeklenih hal s pomočjo katerih bo lahko inženir za izbran razpon višino in obtežbo hale določil - tip konstrukcije (tip 1 2 ali 3) - število konstrukcijskih elementov (topologijo) - konstrukcijsko jeklo (material) in - standardni prerez za vsak konstrukcijski element posebej (HEA IPE ali mešani izbor IPE ter HEA profilov) Na ta način zasnovana doktorska disertacija poleg teoretičnega prispevka predstavlja tudi praktični prispevek k inženirski praksi


5

2 TEORETI ČNO IZHODIŠČE

21 Metode optimiranja konstrukcij Ene od prvih idej optimiranja konstrukcij sta s svojimi klasičnimi deli podala JC Maxwell (1869) in AGM Michell (1904) Zaradi obsežnosti in računske zahtevnosti problema je optimiranje konstrukcij doživelo razmah šele v šestdesetih letih prejšnjega stoletja kar je bilo pogojeno z razvojem računalništva in različnih učinkovitih optimizacijski metod matematičnega programiranja Kot prvi pisni vir iz področja modernega optimiranja konstrukcij različni avtorji omenjajo delo LA Schmita (1960) v katerem je predstavljena prva povezava nelinearnega optimiranja in metode končnih elementov Metode optimiranja konstrukcij lahko razvrstimo v dve veliki skupini in sicer v metode matematičnega programiranja in hevristične metode Najpomembnejše metode matematičnega programiranja so - linearno programiranje (Linear Programming LP) - nelinearno programiranje (Non-linear Programming NLP) - mešano celoštevilsko linearno programiranje (Mixed Integer Linear Programming MILP) - mešano celoštevilsko nelinearno programiranje (Mixed Integer Non-linear

Programming MINLP) V skupino hevrističnih metod pa uvrščamo - nevronske mreže (Neural Networks NN) - evolucijski algoritem (Evolutionary Algorithms EA) - direktno iskanje (Direct Search DS) - tabu iskanje (Tabu Search TS) - simulirano ohlajanje (Simulated Annealing SA) - kolonija mravelj (Ant Colony Optimization ACO) - harmonijsko iskanje (Harmony Search HS) 211 Matematično programiranje 2111 Linearno programiranje LP

Optimizacijski problem ki vsebuje linearno namensko funkcijo in linearne (ne)enačbe rešujemo z linearnim programiranjem (Linear Programming LP) Optimizacijski problem zaradi konveksnosti linearnih funkcij vsebuje le eno optimalno vrednost ki ji lahko ustrezajo različne rešitve za spremenljivke Problem LP običajno rešujemo z metodo simpleks Algoritem simpleks rešuje optimizacijski problem le po ogliščih dopustnega območja ker


6

optimum pri LP leži v enem oglišču Zaradi pospešenega razvoja različnih optimizacijskih metod nelinearnega programiranja v šestdesetih letih in izrazite nelinearnosti problemov konstrukcij zvezno optimiranje konstrukcij z LP ni doživelo večjega razmaha Zgodnje raziskave na področju optimiranja konstrukcij z LP lahko zasledimo v prispevkih WS Dorn idr (1964) JM Davies (1972) F Moses (1974) in D Morris (1978) 2112 Mešano celoštevilsko linearno programiranje MILP

Mešano celoštevilsko linearno programiranje MILP predstavlja razširitev LP Poleg zveznih spremenljivk so v problemu mešanega celoštevilskega linearnega programiranja definirane še diskretne večinoma binarne 0-1 spremenljivke Z binarnimi spremenljivkami in pogojnimi neenačbami definiramo diskretne odločitve med optimiranjem Vsaki alternativi pridružimo binarno spremenljivko tako da vrednost 1 pomeni izbor vrednost 0 pa zavrnitev alternative Najenostavnejši način iskanja globalnega minimuma pri MILP problemih je poiskati minimum izmed vseh LP problemov za vse kombinacije binarnih spremenljivk Ta pristop je utrujajoč in ga je mogoče izvesti le za majhne probleme saj zveza med številom vseh kombinacij in številom binarnih spremenljivk eksponentno narašča Zato MILP probleme rešujemo z algoritmom vejanja in omejevanja (Branch and Bound BB) ki pri iskanju optimalne rešitve izvede le omejeno število LP problemov Metodo vejanja in omejevanja sta v začetku šestdesetih let razvila AH Land in A Doig (1960) Prve pomembnejše reference na področju diskretnega optimiranja konstrukcij z MILP so se pojavile v sedemdesetih in osemdesetih letih v prispevkih KF Reinschmidt (1971) AB Templeman in DF Yates (1983) ter DM Zhou (1986) 2113 Nelinearno programiranje NLP

Nelinearno programiranje je najpogosteje uporabljena matematična metoda za optimiranje konstrukcij v mehaniki V začetku petdesetih let sta HW Kuhn in AW Tucker (1951) predlagala znamenita izraza za potrebni in zadostni pogoj optimalnosti rešitve problema nelinearnega programiranja (Non-linear Programming NLP) Pozneje se je ugotovilo da je bil raquoKuhn-Tuckerjev teoremlaquo dokazan že dvakrat pred njunim prispevkom Prvič leta 1939 v magistrskem delu W Karusha (1939) na Univerzi v Chicagu katerega izsledki niso bili nikoli objavljeni Drugič v raziskavi F Johna katerega izsledki so bili prvič zavrnjeni za objavo v reviji Duke Mathematical Journal pozneje pa objavljeni v zbirki študij in razprav v prispevku F John (1948) Pri metodi NLP optimiramo zvezne spremenljivke Namenska funkcija in pogojne (ne)enačbe so nelinearne funkcije Učinkovitejše metode rešujejo problem NLP z neposredno zadostitvijo Kuhn-Tuckerjevih pogojev najpomembnejše med njimi so metoda reduciranega gradienta (Reduced Gradient Method RG) avtorja P Wolfe (1967) posplošena metoda


7

reduciranega gradienta (Generalized Reduced Gradient Method GRG) avtorjev J Abadie in J Carpenter (1969) razširjeni Lagrangian (Augmented Lagrangian AL) avtorjev MJD Powell (1969) in MR Hestenes (1969) ter zaporedno kvadratno programiranje (Successive

Quadratic Programming SQP) avtorja MJD Powell (1978) Kot prvi prispevek na področju optimiranja konstrukcij z NLP večina strokovnjakov omenja že prej omenjeni članek LA Schmit (1960) Pozneje so sledile pomembnejše raziskave avtorjev G Sved in Z Ginos (1968) J Moe (1969ab) D Kavlie in J Moe (1969) in W Prager (1970) Šestdeseta in sedemdeseta leta so pomembno zaznamovali prispevki s področja zveznega optimiranja konstrukcij z metodami na osnovi Kuhn-Tuckerjevih kriterijev optimalnosti ti Optimality Criteria Methods OC Prve prispevke na tem področju so predstavili RL Barnett (1961) W Prager in RT Shield (1967) VB Venkayya idr (1967) in (1971) Številni avtorji omenjajo metode OC kot alternativni pristop metodam matematičnega programiranja kjer so Kuhn-Tuckerjevi pogoji optimalnosti nelinearnega programiranja kombinirani z Lagrangevimi multiplikatorji S Kuhn-Tuckerjevimi pogoji se zagotovijo zahteve za optimalno rešitev z Lagrange-ovimi množitelji pa se vključijo pogoji optimizacijskega problema 2114 Mešano celoštevilsko nelinearno programiranje MINLP

Med prej navedenimi optimizacijskimi problemi so MINLP problemi najtežje rešljivi Mešano celoštevilsko nelinearno programiranje (MINLP) predstavlja razširitev NLP ter MILP Enako kot pri MILP so tudi v MINLP poleg zveznih spremenljivk uporabljene še diskretne spremenljivke Pri MINLP zvezno in diskretno optimiranje konstrukcij potekata sočasno zato rezultat tovrstnega optimiranja predstavljajo optimalna topologija konstrukcije (optimalno število konstrukcijskih elementov) optimalni diskretni parametri konstrukcije (standardne in zaokrožene dimenzije konstrukcijskih elementov) in optimalni zvezni parametri konstrukcije (pomiki notranje statične količine masa ipd) Prvi začetki mešanega celoštevilskega nelinearnega programiranja (Mixed Integer Non-linear

Programming MINLP) segajo v šestdeseta leta prejšnjega stoletja ko je bila v prispevku JF Benders (1962) in desetletje zatem še v prispevku AM Geoffrion (1972) predlagana posplošena Bendersova dekompozicija (Generalized Benders Decomposition GBD) kot metoda za reševanje optimizacijskih problemov MINLP Zatem so sledile še številne druge učinkovite metode reševanja optimizacijskih problemov MINLP npr nelinearna metoda vejanja in omejevanja (Non-linear Branch and Bound NBB) avtorjev EML Beale (1977) ter OK Gupta in A Ravindran (1984) metoda zunanje aproksimacije (Outer-

Approximation OA) avtorjev MA Duran in IE Grossmann (1986) tehnika možnosti (Feasibility technique FT) avtorjev H Mawengkang in BA Murtag (1986) zaporedno linearno diskretno programiranje (Sequential Linear Discrete Programmning SLDP) avtorjev GR Olsen in GN Venderplaats (1989) ter M Bremicker idr (1990) LPNLP


8

metoda vejanja in omejevanja (LPNLP based Branch and Bound LPNLP BB) avtorjev I Quesada in IE Grossmann (1992) ter razširjeno rezanje ravnine (Extended Cutting Plane ECP) avtorjev T Westerlund in F Pettersson (1995) Prvi prispevki ki obravnavajo diskretno optimiranje konstrukcij s povezavo metod nelinearnega programiranja z metodo vejanja in omejevanja se pojavijo koncem osemdesetih in v začetku devetdesetih let npr KV John in CV Ramakrishnan (1987) K Hager in R Balling (1988) M Bremicker idr (1990) ter E Salajegeh in GN Venderplaats (1993) Praktična uporabnost diskretnega optimiranja mehanskih struktur z MINLP je prvič prikazana v prispevkih avtorjev S Kravanja idr (1998ab) kjer so uspešno izvedli sočasno optimiranje topologije standardnih dimenzij in zveznih parametrov tablastih zapornic hidrotehnike S Kravanja idr (1998c) 212 Hevristične metode 2121 Nevronske mreže NN

Koncept umetnih nevronov je bil prvič predstavljen že leta 1943 v prispevku WS McCulloch in W Pitts (1943) medtem ko so prve pomembnejše raziskave na področju nevronskih mrež (Neural Networks NN) nastale šele po prvi predstavitvi algoritma vzvratnega razširjanja (Backpropagation Training Algorithm BP) v prispevku DE Rumelhart idr (1986) NN so računski sistem ki simulira mikrostrukturo biološkega živčnega sistema sestavljenega iz posebnih celic ti raquonevronovlaquo ki imajo sposobnosti shranjevanja ocenitve in uporabe prejšnjih izkušenj Pomembna lastnost nevronov živčnega sistema je sposobnost povezovanja z drugimi nevroni pri čemer lahko vsak nevron vzpostavi tudi do 200000 povezav NN predstavljajo paralelno razdeljen procesni sistem sestavljen iz enostavnih procesnih enot ti raquonevronovlaquo ki imajo lastnost shranjevanja eksperimentalnih informacij ocenitve in omogočanje ponovne uporabe le-teh Funkcija nevronskih mrež je določena z zvezami med nevroni ki so definirane z nelinearnimi funkcijami Vsak vhodni podatek za nevron ima utežni faktor funkcije ki definira moč povezave in s tem vpliv te povezave na ostale nevrone NN se lahko naučijo izvajati določeno funkcijo s prilagajanjem vrednosti teh uteži med nevroni Najpogostejšo uporabo NN zasledimo na sledečih področjih pri ocenjevanju napovedovanju prepoznavanja vzorcev in pri diskretnem optimiranju H Adeli in C Yeh (1989) sta kot prva uporabila NN v gradbeništvu za dimenzioniranje jeklenih nosilcev Izsledki prvih raziskav ki obravnavajo optimiranje konstrukcij z NN so predstavljeni prispevkih P Hajela in L Berke (1991) L Berke idr (1993) ter H Adeli in HS Park (1995)


9

2122 Evolucijski algoritem EA

Evolucijski algoritmi (Evolutionary Algorithms EA) so družina populacijsko preiskovalnih algoritmov ki simulirajo naravno evolucijo z medsebojno povezanimi procesi selekcije reprodukcije in variacije Na področju hevrističnega optimiranja konstrukcij sta bili najpogosteje uporabljeni dve skupini evolucijskih algoritmov R Kicinger idr (2005) evolucijske strategije (Evolution Strategies ES) in genetski algoritmi (Genetic Algorithms GA) ES so bile prvič predstavljene sredi šestdesetih let v prispevkih I Rechenberg (1965) in HP Schwefel (1965) Izsledki prvih raziskav na področju optimiranja konstrukcij z ES so bili objavljeni šele v začetku sedemdesetih let v prispevkih I Rechenberg (1973) in A Hoeffler idr (1973) Genetski algoritmi pa so bili prvič predstavljeni sredi sedemdesetih let v delu JH Holland (1975) Kasneje jih je razvijal in podrobno predstavil z aplikacijami DE Goldberg (1989) GA se zgledujejo po principih naravne selekcije in razmnoževanja ter sodijo v družino hevrističnih preiskovalnih algoritmov Osnovne karakteristike GA so obravnavajo diskretne spremenljivke preiskujejo široko območje možnih rešitev izbira potencialne rešitve se opravi na podlagi funkcije uspešnosti ki jo predstavlja vsota namenske in kazenske funkcije diskretni optimum je obravnavan brez izvajanja gradientov namenske funkcije Med prvimi prispevki s področja optimiranja konstrukcij z GA so v literaturi omenjeni DE Goldberg in MP Samtani (1986) P Hajela (1990) E Sandgren idr (1990) K Deb (1991) ter WM Jenkins (1991ab) 2123 Direktno iskanje DS

Hevristična optimizacijska metoda raquodirektno iskanjelaquo (Direct Search DS) se prvič pojavi v prispevku R Hook in TA Jeeves (1961) Avtorja sta v svojem delu opisala metodo DS kot zaporedno preiskovanje poskusnih rešitev z izvajanjem primerjave le-teh s pridobljeno najboljšo rešitvijo in z uporabo strategije za določitev sledečih poskusnih rešitev kot funkcije prejšnjih rezultatov Pri preiskovanju možnih rešitev DS ne računa in ne aproksimira odvode namenske funkcije DS vrednoti možne rešitve izključno na osnovi vrednosti namenske funkcije pri čemer lahko sprejme nove iteracije ki povzročijo zmanjšanje vrednosti namenske funkcije Omenjena metoda DS je bila zaradi svoje enostavnosti in zanesljivosti pogosto uporabljena tudi na področju optimiranja konstrukcij Eno izmed prvih raziskav na področju optimiranja konstrukcij z DS lahko zasledimo v prispevkih M Pappas in JF Amba-Rao (1970) in (1971) F Moses idr (1971) PA Seaburg in CG Salamon (1971) ter A Touma in JF Wilson (1973)


10

2124 Tabu iskanje TS

Tabu iskanje (Tabu Search TS) je iterativno hevristično reševanje optimizacijskih problemov ki jo je koncem sedemdesetih let v svojem prispevku predlagal F Glover (1977) TS uporablja pristop vodenega lokalnega preiskovanja celotnega prostora možnih rešitev Za trenutno rešitev je v vsaki iteraciji definirano lokalno območje drugačnih rešitev Lokalno območje drugačnih možnih rešitev se tvori z modificiranjem trenutne rešitve po ti postopku premika Pri tem TS ohranja zgodovino informacij o procesu reševanja s kratkoročnim in dolgoročnim spominom Kratkoročni spomin preprečuje ponavljanje iste rešitve medtem ko dolgoročni spomin algoritmu omogoča preiskovanje območij v katerih so že bile najdene dobre rešitve in novih še neraziskanih območij možnih rešitev Med zgodnejšimi referencami na področju optimiranja konstrukcij s TS so bili najdeni prispevki N Hu (1992) RK Kincaid (1993) JA Bland (1995) WA Bennage in AK Dhingra (1995) 2125 Simulirano ohlajanje SA

V začetku osemdesetih let so S Kirkpatrick idr (1983) predstavili metodo simulirano ohlajanje (Simulated Annealing SA) za reševanje diskretnih optimizacijskih problemov Metoda SA je hevristični postopek preiskovanja analogen naravnemu procesu minimizacije energije v raztaljeni kovini tekom padanja temperature in kristalizacije SA začne račun pri naključno izbrani možni rešitvi pri visoki vrednosti kontrolnega parametra ti temperaturi ki je definirana v enakih enotah kot namenska funkcija Algoritem ponavljajoče izvaja naključno spreminjanje vrednosti spremenljivk Rešitev ki povzroči zmanjšanje vrednosti namenske funkcije ti energije je avtomatično izbrana za potencialni optimum ti novo delovno rešitev Reševanje problema se ustavi ko trenutna temperatura predstavlja majhen procent začetne temperature tipično 1 Prve raziskave na področju optimiranja konstrukcij z metodo SA lahko zasledimo v prispevkih RJ Balling (1991) SA May in RJ Balling (1992) ter S Tzan in CP Pantelides (1996) 2126 Kolonija mravelj ACO

V začetku devetdesetih let se pojavi hevristična metoda kolonija mravelj (Ant Colony

Optimization ACO) ki so jo uporabljali za reševanje diskretnih optimizacijskih problemov Metoda ACO je bila prvič predlagana v avtorskih delih M Dorigo idr (1991ab) in v doktorski disertaciji M Dorigo (1992) ACO simulira naravno vedenje kolonije mravelj pri iskanju virov hrane Etologi so namreč ugotovili da kolonija mravelj ki so sicer slepe na začetku iskanja virov hrane naključno raziskuje okolico mravljišča Kakor hitro ena mravlja najde vir hrane ga oceni z vidika kvantitete in kvalitete ter odnese en košček hrane v mravljišče Mravlja na poti nazaj proti mravljišču odlaga kemično sled feromonov katere količinska intenzivnost je odvisna od kvalitete in kvantitete najdenega vira hrane Sledeča


11

mravlja ki zazna sled feromonov bo potovala po označeni poti in bo na tej isti poti odložila dodatne feromone ki bodo dodatno ojačali sled S tem se poveča verjetnost da bo večje število mravelj zaznalo sled feromonov in sledilo označeni poti med virom hrane in mravljiščem V tem zapletenem procesu kolonija mravelj tvori najkrajšo pot med najdenim virom hrane in mravljiščem Algoritem ACO vsebuje množico parametrov imenovanih raquosled feromonovlaquo ki so pripisani spremenljivkam imenovanih raquopotlaquo s katerimi je določena optimalna rešitev Algoritem pri reševanju optimizacijskega problema z vsako novo pridobljeno možno rešitvijo obnavlja vrednost raquosled feromonovlaquo na način da povečuje verjetnost poznejše pridobitve kvalitetnejših rešitev Analogija ki velja za primer optimizacijski problem minimiranja mase konstrukcije pot = volumen konstrukcijskega elementa potovanje = vsota vseh poti = volumen konstrukcije En cikel reševanja je zaključen ko je izbrana kombinacija vseh raquopotilaquo za raquopotovanjelaquo Kriterij za ustavitev reševanja je izveden na osnovi primerjave najboljše rešitve zadnjega cikla in najboljše globalne rešitve vseh predhodnih ciklov Prve raziskave na področju optimiranja konstrukcij z ACO so opravili CV Camp in BJ Bichon (2004) ter CV Camp idr ( 2004) in (2005) 2127 Harmonijsko iskanje HS

Harmonijsko iskanje (Harmony Search HS) je ena najnovejših hevrističnih metod razvitih za reševanje zveznih optimizacijskih problemov Metoda je bila prvič predlagana v prispevku ZW Geem idr (2001) Metoda HS je hevristični postopek naključnega preiskovanja ki je konceptualno analogen glasbenemu procesu iskanja idealnega harmoničnega stanja Harmonija pri glasbi je analogna vektorju spremenljivk možne rešitve glasbena improvizacija je analogna tvorbi nove preiskovalne kombinacije vektorja spremenljivk pri iskanju optimalne rešitve idealno stanje harmonije pa je analogno vektorju spremenljivk rešitve optimizacijskega problema Algoritem HS pri preiskovanju prostora možnih rešitev naključno iterativno generira vektorje spremenljivk možnih rešitev glede na zapisan zgodovinski spomin prejšnjih iskanj in stopnjo prilagoditve vrednosti spremenljivk Vsakič po pridobitvi boljšega vektorja spremenljivk možne rešitve vpiše to izkušnjo v spomin posamezne spremenljivke kar poveča verjetnost pridobitve boljše rešitve v prihodnjih preiskovanjih Vektor spremenljivk boljše rešitve se vključi v raquoharmonijski spominlaquo tj matriko vektorjev možnih rešitev razvrščenih po vrednosti namenske funkcije vektor spremenljivk slabše rešitve pa se izključi iz raquoharmonijskega spominalaquo Reševanje problema se ustavi na osnovi prej definiranega največjega števila preiskovanj Prve raziskave na področju optimiranja konstrukcij s HS sta opravila KS Lee in ZW Geem (2004) in (2005)


12

22 Sinteza konstrukcij jeklenih hal z MINLP V disertaciji obravnavamo optimizacijski pristop k sintezi konstrukcij jeklenih hal Sinteza konstrukcij v splošnem vsebuje tako generiranje in selekcioniranje različnih konstrukcijskih alternativ kakor tudi odločitev o tem kateri konstrukcijski elementi naj sestavijo konstrukcijo in kako naj bodo med seboj povezani Optimalne dimenzije geometrija in ostali parametri tudi morajo biti izračunani Prvo nakazuje diskretno odločanje o konstrukcijskih elementih in njihovih medsebojnih povezavah slednje pa zahteva izračun znotraj zveznega prostora dimenzij in parametrov Sinteza konstrukcij v osnovi torej ustreza kombiniranemu diskretno-zveznemu optimizacijskemu problemu ki ga je s stališča matematičnega programiranja možno rešiti z mešanim celoštevilskim linearnim programiranjem (MILP) ali pa z mešanim celoštevilskim nelinearnim programiranjem (MINLP) Glede na dejstvo da je večina problemov mehanike in konstrukcij nelinearnih smo za reševanje problemov sinteze konstrukcij jeklenih hal izbrali mešano celoštevilsko nelinearno programiranje MINLP Z MINLP je mogoče v enovitem računskem optimizacijskem procesu sočasno izračunati - optimalno maso (stroške) konstrukcije - optimalno število konstrukcijskih elementov (topologijo) - optimalno kvaliteto konstrukcijskega jekla (diskretne materiale) - optimalne diskretne dimenzije konstrukcijskih elementov (standardne profile) in - zaokrožene dimenzije konstrukcijskih elementov (na celi mm ali cm diskretno zaokrožene zvezne dimenzije) Sintezo jeklenih hal izvajamo z namenom minimiranja mase konstrukcije ki je definirana kot vsota mas vseh posameznih strukturnih elementov konstrukcije (stebrov nosilcev leg prečk in fasadnih stebrov) 221 Sočasno optimiranje topologije materiala in standardnih profilov konstrukcije

jeklenih hal Kombinirani diskretnozvezni MINLP optimizacijski problemi večjih in zahtevnejših inženirskih konstrukcij so večinoma nekonveksni in izrazito nelinearni Sočasno optimiranje topologije materiala in standardnih dimenzij hal po superstrukturnem pristopu izvajamo zaporedoma na treh nivojih dejavnosti - generiranje mehanske superstrukture konstrukcije jeklenih hal različnih strukturnih

alternativ topologije diskretnih materialov in standardnih profilov ki kandidirajo za optimalni rezultat


13

- razvoj specialne MINLP modelne formulacije konstrukcije hal s katero definirano superstrukturo opišemo z modelom enačb Razen zveznih spremenljivk za izračun zveznih dimenzij in parametrov smo definirali tudi diskretne binarne 0-1 spremenljivke s katerimi smo opisali potencialni obstoj konstrukcijskih elementov in standardnih dimenzij

- reševanje definiranega MINLP problema konstrukcije hal z uporabo primernih MINLP algoritmov in strategij ki v sočasnem optimizacijskem procesu dajejo optimalno topologijo materiale standardne dimenzije in zvezne parametre V širšem pomenu ta nivo vključuje tudi razvoj samih algoritmov in strategij

V tem poglavju predstavljamo razvoj optimizacijskega modela za sintezo konstrukcij jeklenih hal na osnovi že razvitega splošnega modela za sintezo mehanskih struktur ki so ga razvili S Kravanja idr (1998abc) in (2005) 222 Generiranje mehanske superstrukture Prvi nivo sinteze generiranje mehanske superstrukture hale predstavlja definicijo vseh alternativnih struktur oz konstrukcij Slednje so definirane s kombiniranjem različnega števila okvirjev leg in prečk (alternativnih topologij) različnih diskretnih materialov in standardnih profilov Navedeni elementi predstavljajo superstrukturo jeklene hale ki jo je potrebno smotrno izbrati in definirati Prevelika superstruktura (preveč alternativnih elementov) lahko močno uteži in upočasni optimizacijski proces oziroma celo povzroči nerešljivost le-tega premajhna superstruktura pa lahko povzroči da dobljen rezultat ne predstavlja dobrega optimuma (leži daleč stran od globalnega optimuma) Na tem nivoju igrajo pomembno vlogo tudi izkušnje in intuicija

Superstrukturo v splošnem sestavljajo množica različnih strukturnih elementov in vozlišč Vsakršen urejen in možen izbor strukturnih elementov ter vozlišč znotraj superstrukture nam da variantno strukturo v našem primeru konstrukcijo jeklene hale Variantnih struktur je toliko kolikor različnih kombinacij lahko tvorimo s strukturnimi elementi in vozlišči Vsaka variantna struktura definira posebno njej lastno število in razporeditev strukturnih elementov ndash topologijo konstrukcije Vsakemu elementu strukture je pripisana diskretna največkrat binarna 0-1 spremenljivka y Strukturni element je izbran in s tem predstavlja del neke strukture če njegova binarna spremenljivka zavzame vrednost ena (y = 1) drugače je zavrnjen (y = 0) Pravilno modeliranje superstrukture in ustrezno obravnavanje diskretnih spremenljivk pri definiranju struktur in topoloških alternativ predstavlja najvažnejšo aktivnost za učinkovito izvedbo sinteze Obravnavanje binarnih spremenljivk v splošnem problemu sinteze se tipično izvaja z naslednjimi osnovnimi logičnimi (ne)enačbami

- izbran naj bo natanko en element 1=sumisinIi

iy (21)


14

- izbran naj bo kvečjemu en element 1lesumisinIi

iy (22)

- izbran naj bo vsaj en element 1gesumisinIi

iy (23)

- če je izbran element k mora biti izbran tudi element i (ne pa tudi obratno)

0leminus ik yy (24)

- aktiviranjedeaktiviranje zvezne spremenljivke x yxxyx UPLO sdotlelesdot (25)

če je UPLO xxxy lelerArr=1 če je 00 =rArr= xy

- logična pogojna neenačba raquoceloštevilski rezlaquo (integer cut) onemogoča izbor

nepotrebnih celoštevilskih kombinacij mki

k miyy 101 isin== dobljenih v prejšnjih

k-tih MINLP iteracijah 1minusleminus sumsum

isinisink

NIii

BIii BIyy

kk

(26)

Kjer je 1== kik yiBI 0== k

ik yiNI Kk 21=

Opisan osnovni koncept MINLP mehanskih superstruktur je že bil modificiran za probleme mehanike in konstrukcij S Kravanja idr (1998 ab) in S Šilih (2004) Namen disertacije je definirati supestrukturo za sintezo konstrukcije jeklenih hal Superstrukturo konstrukcije sestavlja množica različnih konstrukcijskih elementov in število le-teh ki jih je po nekem vzorcu mogoče sestaviti v prostoru Vsaka drugačna sestava izbranih konstrukcijskih elementov predstavlja variantno konstrukcijo Na ta način vse variantne alternative konstrukcije sestavljajo superstrukturo Ena od variantnih konstrukcij predstavlja optimalno konstrukcijo 223 Specialna MINLP modelna formulacija konstrukcije jeklenih hal Razvoj specialne modelne formulacije MINLP hale predstavlja zapis definirane superstrukture konstrukcije hale v matematično obliko Topološkestrukturne alternative definiramo s pomočjo diskretnih binarnih 0-1 spremenljivk Vsakemu konstrukcijskemu elementu dodelimo eno binarno spremenljivko Element je potem izbran v trenutno topologijo če njegova pridružena binarna spremenljivka zavzame vrednost 1 v nasprotnem primeru pa je element iz superstrukture odstranjen (vrednost 0) Diskretni materiali in standardne dimenzije prerezov konstrukcijskih elementov so prav tako določeni z izborom binarnih spremenljivk MINLP modelna formulacija za superstrukturo konstrukcije hale vsebuje zvezne in diskretne binarne spremenljivke Zvezne spremenljivke so razdeljene na dimenzijske (design) spremenljivke in na izvedbene (non-design) spremenljivke Diskretne


15

spremenljivke so nadalje razdeljene na binarne spremenljivke ki določajo potencialni izbor konstrukcijskih elementov različnih topološkihstrukturnih alternativ ter na linearne spremenljivke ki določajo izbor diskretnih materialov in standardnih dimenzij (profilov) Pri MINLP potekata diskretno in zvezno optimiranje sočasno zato rezultat predstavlja optimalne vrednosti tako diskretnih kot zveznih spremenljivk Splošni diskretnozvezni MINLP optimizacijski problem MINLP-G definiramo z naslednjim zapisom min ( )xyc fz += T

pp ( ) 0xh =

( ) 0xg le (MINLP-G)

bCxBy le+

x isinisinisinisin X ==== x isinisinisinisin Rn xLO le x le xUP

y isinisinisinisin Y ====01m

pri čemer je x vektor zveznih spremenljivk definiran na definicijskem območju X in y je vektor diskretnih binarnih spremenljivk ki lahko zavzamejo vrednost 0 ali 1 Funkcije f(x) h(x) in g(x) so nelinearne funkcije vsebovane v namenski funkciji z v množici pogojnih enačb in neenačb Vse funkcije f(x) h(x) in g(x) so nelinearne zvezne in zvezno odvedljive Dodan je tudi sistem mešanih linearnih enačb in neenačb By + Cx le b ki vsebuje tako zvezne kot diskretne spremenljivke Nelinearne enačbe h(x) = 0 in neenačbe g(x) le 0 kakor tudi spodnje in zgornje meje zveznih spremenljivk x predstavljajo sistem pogojnih enačb celotne oblikovne napetostne deformacijske in stabilnostne analize mehanske superstrukture By + Cx le b pa predstavlja logične zveze za izbor topoloških alternativ in standardnih dimenzij Z namesko funkcijo definiramo kriterij oziroma namen optimiranja Največkrat je namen sinteze in optimiranja minimiranje mase ali lastnih izdelavnih stroškov mehanske strukture Namensko funkcijo z v splošnem sestavlja linearni in nelinearni del Linearni del cTy je odvisen le od števila strukturnih elementov medtem ko nelinearni del f(x) zajema dimenzijsko pogojene dele namenske funkcije Zgornja splošna modelna formulacija MINLP je bila modificirana za optimiranje mehanskih superstruktur (MINLP-MS) Glede na splošno MINLP-G modelno formulacijo je MINLP-MS formulacija precej bolj obsežna in specifična predvsem v pogledu spremenljivk in pogojnih (ne)enačb Modelna formulacija MINLP-MS predstavlja matematično osnovo na podlagi katere lahko modeliramo konstrukcijo jeklenih hal Zapisana je v naslednji obliki


16

min ( )xyc fz += T

pp ( ) 0xh =

( ) 0xg le

( ) axA le

Ey le e (MINLP-MS)

( ) rxRDy le+e

( ) kdLKy le+ cne

( ) mdMPy le+ mat

( ) ndNPy le+ st



MINLP-MS modelna formulacija za mehansko superstrukturo vsebuje - vektor zveznih spremenljivk x=d p in diskretnih binarnih spremenljivk y= ye ymat

yst Vektor zveznih spremenljivk je razdeljen na vektor dimenzijskih (design) spremenljivk d=dcn dmat dst in na vektor izvedbenih (non-design) spremenljivk p Pri tem podvektorji dcn dmat in dst označujejo zvezne dimenzije diskretne materiale in standardne dimenzije Vektorji binarnih spremenljivk ye ymat in yst določajo potencialni izbor strukturnih alternativ za topologijo diskretne materiale in standardne dimenzije Vektor izvedbenih spremenljivk p definira obtežbe napetosti nosilnosti itd

- masna ali ekonomska namenska funkcija z vsebuje stalno maso ali stalne stroške za izdelavo definirane z linearnim izrazom cTy kakor tudi dimenzijsko pogojeno maso ali stroške zapisane z nelinearnim izrazom f(x)

- nelinearne in linearne pogojne (ne)enačbe h(x)=0 g(x) le 0 in A(x) le a predstavljajo sistem omejitev ki so potrebni za statično analizo in dimenzioniranje konstrukcije

- celoštevilske linearne pogojne enačbe in neenačbe Ey le e opisujejo logične relacije med binarnimi spremenljivkami

- mešane linearne pogojne enačbe in neenačbe Dye+R(x) le r vzpostavijo medsebojne povezave med začasno izbranimi alternativnimi strukturnimi elementi ali pa brišejo relacije med začasno zavrnjenimi ti izločenimi elementi znotraj definirane superstrukture

- mešane linearne omejitve Ky e+L (dcn) le k definirajo zvezne spremenljivke za vsak obstoječi konstrukcijski element Prostor je definiran samo kadar obstaja ustrezen konstrukcijski element (ye=1) drugače je zavrnjen

- mešane linearne omejitve Pye+M (dmat) le m definirajo diskretne materiale dmat Posamezni diskretni material dmat je definiran kot skalarni produkt med vektorjem i

iisinI diskretnih številskih vrednosti alternativ materiala q=q1 q2 q3 qi in vektorjem


17

pridruženih binarnih spremenljivk ymat=ymat1 y

mat2 y

mati enačba 27 Izračunana je

le ena vrednost standardnega materiala glej enačbo 28

sumisin

=Ii

matii

mat yqd (27)

1=sumisinIi

matiy (28)

- mešane linearni pogoji Py+N(dst) le n definirajo standardne dimenzije dst Posamezna

standardna dimenzija dst je definirana kot skalarni produkt med vektorjem j jisinJ alternativ standardnih dimenzij q=q1 q2 q3 qj in vektorjem pridruženih binarnih spremenljivk yst=yst

1 yst

2 yst

3 yst

j glej enačbo 29 Samo ena diskretna vrednost je lahko izbrana za posamezno standardno dimenzijo ker je vsota vrednosti binarnih spremenljivk enaka 1 enačba 210

sumisin

=Jj

stjj

st yqd (29)

1=sumisinJj

stjy (210)

224 Reševanje MINLP optimizacijskega problema Zatem ko je mehanska superstruktura konstrukcije hal generirana modelna formulacija pa razvita sintezo konstrukcije jeklenih hal zaključimo z reševanjem MINLP optimizacijskega problema V preteklosti so bile za reševanje MINLP optimizacijskih problemov razvite naslednje metode - nelinearna metoda vejanja in omejevanja (Non-linear Branch and Bound NBB)

predložen in uporabljen s strani mnogih avtorjev npr EML Beale (1977) OK Gupta in A Ravindran (1984)

- posplošena Bendersova dekompozicija (Generalized Benders Decomposition GBD) JF Benders (1962) AM Geoffrion (1972)

- metoda zunanje aproksimacije (Outer-Approximation OA) MA Duran in IE Grossmann (1986)

- tehnika možnosti (Feasibility Technique FT) H Mawengkang in BA Murtagh (1986) - zaporedno linearno diskretno programiranje (Sequental Linear Discrete Programming

SLDP) GR Olsen in GN Vanderplaats (1989) ter M Bremicker idr (1990) - LPNLP metoda vejanja in omejevanja (LPNLP based Branch and Bound LPNLP

BB) I Quesada in IE Grossmann (1992) - razširjeno rezanje ravnine (Extended Cutting Plane ECP) T Westerlund in F

Pettersson (1995)


18

Večina omenjenih metod predstavlja različne razširitve klasične metode vejanja in omejevanja (Branch and Bound BB) avtorjev AH Landa in A Doiga (1960) Metoda je bila razvita za iskanje optimalne rešitve mešano celoštevilskih linearnih optimizacijskih problemov MILP Osnova metode BB je vzpostavitev linearnega številskega drevesa relaksiranih zveznih linearnih optimizacijskih problemov LP Vsak LP vsebuje namensko funkcijo in pogoje originalnega MILP problema ter dodatne omejitve spremenljivk Metodo izvajamo dokler vse diskretne spremenljivke ne zavzamejo celoštevilskih vrednosti Pri večjem številu spremenljivk je potrebno rešiti zelo veliko število relaksiranih LP podproblemov Metoda posplošene Bendersove dekompozicije (GBD) kakor tudi metoda zunanje aproksimacije (OA) temeljita na reševanju alternativnega zaporedja NLP in MILP optimizacijskih problemov NLP podproblem ustreza parametričnemu zveznemu optimiranju parametrov pri začasno držanih nespremenljivih binarnih spremenljivkah NLP predstavlja zgornjo mejo v minimizirani MINLP namenski funkciji MILP glavni problem napove spodnjo mejo MINLP namenske funkcije ter izračuna nov vektor binarnih spremenljivk Račun je končan kadar napovedana spodnja meja doseže ali preseže trenutno najboljšo zgornjo mejo Glavna razlika med GBD in OA metodama obstaja v različni definiciji MILP glavnega problema pri GBD je podan v dualni predstavitvi zveznega prostora pri OA pa je podan z linearno aproksimacijo Obe metodi akumulirata nove pogojne enačbe z naraščanjem števila glavnih iteracij GBD akumulira eno Lagrange-ovo pogojno enačbo v prostoru binarnih 0-1 spremenljivk medtem ko OA množico linearnih aproksimacij nelinearnih pogojnih (ne)enačb v prostoru binarnih 0-1 kot tudi zveznih spremenljivk Zaradi obširnosti MILP glavnega problema OA metode v splošnem za dosego rešitve potrebuje več računalniškega časa vendar manj glavnih iteracij glede na GBD metodo kjer lahko število glavnih iteracij postane nepredvidljivo visoko Nelinearna metoda vejanja in omejevanja (NBB) predstavlja direktno razširitev klasične metode vejanja in omejevanja BB pri čemer namesto linearnih rešujemo vrsto relaksiranih nelinearnih optimizacijskih problemov (NLP) LPNLP metoda vejanja in omejevanja predstavlja izboljšavo metode NBB saj se NLP podproblemi izračunavajo le v tistih vozliščih linearnega številskega drevesa v katerih so najdene dobre celoštevilske rešitve Ker sta v splošnem težavnost in čas reševanja nelinearnih optimizacijskih problemov mnogo večja v primerjavi z linearnimi ta metoda ni primerna za reševanje obsežnejših problemov NBB metoda je uporabna za reševanje problemov z velikim številom binarnih spremenljivk in za relativno enostavne NLP podprobleme Metodi razširjenega rezanja ravnine (ECP) in zaporednega linearnega diskretnega programiranja (SLDP) sta si v bistvu identični Obe metodi temeljita na vzpostavitvi mešanega celoštevilskega linearnega aproksimativnega problema (MILP) na podlagi originalnega nelinearnega diskretnega MINLP problema Dobra lastnost metod je da je potrebno rešiti le začetni NLP problem s čimer dobimo dobre začetne pogoje in nato


19

nadaljujemo z reševanjem aproksimativnega linearnega problema Metodi uspešneje in lažje izvajamo na linearnem aproksimativnem problemu kakor pa na originalnem nelinearnem problemu 225 Algoritem zunanje aproksimacije s sprostitvijo enačb OAER Trenutno najučinkovitejši algoritem za reševanje obsežnih in izrazito nelinearnih MINLP problemov kot je optimiranje konstrukcij hal je algoritem zunanje aproksimacije s sprostitvijo enačb Outer-ApproximationEquality-Relaxation algorithm (OAER) avtorjev GR Kocisa in IE Grossmanna (1987) OAER algoritem je bil razvit iz metode zunanje aproksimacije (Outer-Approximation OA) z namenom da bi bilo v MINLP problemih možno eksplicitno izraziti tudi pogojne enačbe h(x) = 0 česar OA metoda ni omogočala OAER algoritem izvaja zaporedje postopkov nelinearnega programiranja NLP ter mešano celoštevilskega linearnega programiranja MILP glej sliko 21 Obe fazi skupaj postopka NLP in MILP predstavlja eno glavno MINLP iteracijo k k = 12K NLP ob držanem vektorju binarnih spremenljivk yk in s tem pri nespremenjeni topologiji izvaja zvezno optimiranje parametrov vsake iteracije k ter izračuna zgornjo mejo minimizirane namenske funkcije zK Vsaki trenutno zadnji NLPK podproblem ustrezno dobljenega vektorja yK formuliramo z naslednjim zapisom

min zK = cTyK + f(x)

pp ( ) 0xh =

( ) 0xg le (NLP)K

bCxBy le+K


Binarne 0-1 spremenljivke trenutno obravnavamo kot zvezne spremenljivke držane na njihovih zgornjih (1) ali spodnjih (0) mejah Če predstavlja vektor xk k = 1K rešitve NLPK podproblemov predhodno izračunanih pri dobljenih vektorjih binarnih spremenljivk yk potem MILP K glavni problem formuliramo v obliko

min α+= ycTKz

p p

( ) ( ) ( ) 0xxxx leminusminusnabla+ αkkk ffT

( ) ( ) ( )[ ] 0xxxhxhT leminusnabla+ kkkk T (MILP)K

( ) ( ) ( ) 0xxxgxg leminusnabla+ kkk T k=1K

bCxBy le+


20

celoštevilski rez y y BIii BI

ii NI

k

k k

minus le minusisin isinsum sum 1 k=1K

x isin X = x isin Rn xLO le x le xUP

y isin Y = 01 m kjer

1== kik yiBI 0== k

ik yiNI k=1K

=gt+ltminus

==0λ if 0

0λ if 1

0λ if 1

kj

kj

kj

kjj

kjj

k ttT j = 12N

Z MILP glavnim problemom ki vsebuje globalno linearno aproksimacijo superstrukture izračunamo nov vektor binarnih spremenljivk yk+1 tako da rezultat ki predstavlja spodnjo mejo minimizirane namenske spremenljivke ne prekorači trenutno najboljše zgornje meje izračunanih NLP problemov Globalno linearno aproksimacijo sestavljajo originalne linearne pogojne enačbe ter v vsaki glavni MINLP iteraciji dodane linearizacije nelinearnih pogojnih (ne)enačb

STOP

Superstruktura

Kombinirano optimiranje

Podproblem

Zvezno optimiranje

Diskretno optimiranje

Glavni problem

Nove binarne spremenljivke

Konvergenca

DA

NE

MILP

Držane binarne spremenljivke

NLP

MINLP

Slika 21 Koraki OAER algoritma


21

Linearizacije nelinearnih pogojnih enačb h(x) = 0 morajo biti predhodno relaksirane v neenačbe Relaksacijo izvedemo z uporabo relaksacijske matrike Tk s katero definiramo

pravilno usmeritev relaksacije Diagonalni elementi matrike t kjj predstavljajo predznake

Lagrange-ovih množiteljev kjλ enačbe j pri glavni iteraciji k V naslednjem koraku z dodanim

celoštevilskim rezom preprečimo MILP glavnemu problemu da ponovno izračuna vektor binarnih spremenljivk izračunan v eni izmed predhodnih iteracij NLP in MILP računski fazi ponavljamo vse do zadostitve konvergenčnega pogoja Račun konveksnega problema ustavimo takrat kadar rezultat glavnega MILP problema prekorači najboljši rezultat NLP podproblema Račun nekonveksnega problema zaključimo ko se NLP podproblem preneha izboljševati Glavna značilnost OAER algoritma je da doseže konvergenco v nekaj glavnih MINLP iteracijah Z vsako MINLP iteracijo dosegamo boljši rezultat in vsakokrat potrebujemo krajši čas za rešitev NLP podproblema Za konveksne in kvazi-konveksne optimizacijske probleme OAER algoritem zagotavlja izračun globalnega optimuma 226 Modificirani OAER algoritem V splošnem vse do sedaj opisane metode ne zagotavljajo izračuna globalnega optimuma Model je namreč lahko sestavljen iz večjega števila nekonveksnih funkcij katere lahko odrežejo globalni optimum Z namenom da bi se zmanjšal učinek nekonveksnosti glavnega problema OAER algoritma je bil razvit modificirani OAER algoritem (Modified OAER) glej Z Kravanja in IE Grossmann (1994) Modificiran OAER algoritem priredi glavnemu problemu MILP naslednje modifikacije - deaktivacija linearizacij - dekompozicija in deaktivacija linearizacije namenske funkcije - uporaba razširjene kazenske funkcije - uporaba zgornje meje namenske funkcije ter - globalni konveksni test in modifikacija kršenih linearizacij 2261 Deaktivacija linerizacij

Deaktivacijo linearizacij nelinearnih pogojnih enačb sta razvila GR Kocis in IE Grossmann (1987) Deaktivacija linearizacij je modifikacijska struktura s pomočjo katere stabiliziramo fizibilnost ter dopustnost linearizacij pri ničelnem pogoju kadar strukturni element ne

obstaja Vsakemu strukturnemu elementu a Aaisin lahko priredimo eksistenčno binarno

spremenljivko ya Množico linearnih aproksimacij lahko tedaj potencialno deaktiviramo na način


22

( ) ( ) ( )[ ] ( )aakk

ak

aka yminusleminusnabla+ 1

TuxxxhxhT aisinA k=1K (211)

( ) ( ) ( ) ( )aakk

ak

a yminusleminusnabla+ 1T

uxxxgxg aisinA k=1K (212)

kjer je ua predstavlja vektor velikih skalarjev Glavni namen deaktivacije linearizacij je ta da v modelu obdržimo množico linearnih aproksimacij katerih dodeljene binarne spremenljivke zavzamejo trenutno vrednost ena (ya = 1) drugače linearizacije postanejo odvečne (ya = 0) S tem ne omejimo dopustnega prostora pri ničelnih pogojih ter odpravimo nezaželen učinek linearizacij ki zaradi nekonveksnosti pogosto onemogočijo izračun dopustne rešitve 2262 Dekompozicija in deaktivacija linearizacije namenske funkcije

Namenska funkcija je v večini primerov podana v kompaktni obliki s skupnim nelinearnim izrazom f(x) za celotno superstrukturo zato je tudi njena linearizacija kompaktna kar pa onemogoča da bi lahko izvedli prej omenjeno deaktivacijsko proceduro za vsak strukturni element posebej Zato namensko funkcijo dekomponiramo oz razdelimo na mešani linearni del cTy + f lin(x) in na nelinearni del f nl(x) Nelinearni del f nl(x) kompaktne namenske funkcije zatem nadalje dekomponiramo tako da predstavlja vsoto nelinearnih izrazov

strukturnih elementov a Aaisin

( ) ( )sumisin

=Aa

aff

nlnl xx (213)

Ker je vsakemu nelinearnemu izrazu )(nl xaf dodeljena posebna eksistenčna binarna

spremenljivka ya so lahko linearizacije izvedene za vsaki izraz posebej Ustrezno množico linearizacij lahko potem potencialno deaktiviramo

( ) ( ) ( ) ( )aaakk

ak

a yff minusleminusminusnabla+ 1Tnlnl uxxxx α aisinA k=1K (214)

Preurejena namenska funkcija MILP glavnega problema je zdaj podana v obliki

( ) sumisin

++=Aa

aK fz αxyc linT (215)

2263 Uporaba razširjene kazenske funkcije

V fazi optimizacije z OAER algoritmom nekonveksnosti postopoma režejo dopustno področje MILP glavnega problema in zato lahko odrežejo optimalno rešitev Z uporabo razširjene kazenske funkcije (augmented penalty function) sta J Viswanathan in IE


23

Grossmann (1990) izboljšala OAER algoritem in s tem preprečila negativni učinek nekonveksnosti Takšna razširitev OAER algoritma Augmented Penalty Outer-Approximation Equality-Relaxation algorithm (APOAER) dovoljuje premik linearizacij nelinearnih nekonveksnih pogojnih enačb v nedopustno območje in tako omogoča iskanje dobrih rešitev tudi v sicer odrezanem delu dopustnega področja Proceduro izvedemo z

uvajanjem pomožnih spremenljivk s fka sh

ka sgka v vsako od a linearizacij

( ) ( ) ( ) ( )aafkaa

kka

ka ysff minus+leminusminusnabla+ 1

Tnlnl uxxxx α aisinA k=1K (216)

( ) ( ) ( )[ ] ( )aah

kakk

ak

aka ys minus+leminusnabla+ 1


( ) ( ) ( ) ( )aag

kakk

ak

a ys minus+leminusnabla+ 1T


0 gegka

hka

fka sss aisinA k=1K (219)

in s vključitvijo kazenske funkcije za kršene linearizacije z odgovarjajočimi utežmi w fka

w hka w g

ka za pomožne spremenljivke

( ) sumsumsum sum=isin=isinisin =isin

+++++=KkAa

kakaKkAa

kakaAa KkAa

kakaaK swswswfz

1

gg

1

hh

1

fflinT αxyc (220)

2264 Uporaba zgornje meje namenske funkcije

Prejšnja procedura sicer premakne kršene linearizacije nekonveksnih pogojnih enačb v odrezano območje vendar je lahko ta premaknitev v odrezano območje zaradi minimiranja kazni premajhna kar posledično povzroči da dobra rešitev mogoče ni raquovidnalaquo Z namenom da bi vsilili iskanje rešitve dalje v odrezano območje glavnemu MILP problemu dodamo zgornjo mejo UB namenske funkcije

( ) sumisin

le++Aa

af UBlinT αxyc (221)

UB navadno postavimo na vrednost trenutno najboljše NLP rešitve Kadar neenačba (221) postane nerešljiva bo proces reševanja problema ustavljen ker MILP glavni problem ne more predvideti boljše strukture 2265 Globalni konveksni test in modifikacija kršenih linearizacij

Izrazito nekonveksne pogojne enačbe ali različne nekonveksnosti v namenski funkciji lahko povzročijo takšne težave MILP glavnemu problemu algoritma APOAER da le-ta ne more


24

dobiti dobrih začetnih točk naslednjemu NLP podproblemu Vrednost spremenljivk je večkrat pomaknjena na njihove zgornje ali spodnje meje kar povzroči da postane NLP nerešljiv Da bi se izognili nastali težavi je potrebno pred računanjem vsakega glavnega MILP problema izvesti globalni konveksni test za vse linearizacije zatem pa trenutno odstraniti iz MILP problema vse tiste kršene linearizacije ki ne zadovoljujejo pogojev testa S to proceduro je akumuliranih manj nekonveksnosti kar ima za posledico da je odrezanega manj dopustnega območja Konveksni test izvedemo s preverjanjem (relaksiranih) linearizacij v zadnji točki rešitve xk

( ) ( ) ( ) εTnlnl leminusminusnabla+ a

kKka

ka ff αxxxx aisinA k=1K-1 (222)

( ) ( ) ( )[ ] εT leminusnabla+ kKk

ak

ak

a xxxhxhT aisinA k=1K-1 (223)

( ) ( ) ( ) εT leminusnabla+ kKk

ak

a xxxgxg aisinA k=1K-1 (224)

Kjer ε predstavlja vektor skalarjev zelo majhnih toleranc Linearizacije ki ne zadovoljijo zgornjim pogojem postanejo trenutno odvečne s postavitvijo uteži njihovih pomožnih spremenljivk na vrednost nič

===or

gtgtgt 0 0 0

ijelinearizac kršene

1

ijelinearizac ustrezneg

h

f

g

h

f kakakakakakakaka www

ka

www

ka

microλ (225)

2266 MILP glavni problem

Ob upoštevanju modifikacij (211)-(225) zapišemo glavni problem MILP modificiranega algoritma OAER v obliki Razširjena kazenska namenska funkcija

min ( ) sumsumsum sum=isin=isinisin =isin

+ +++++=KkAa

kakaKkAa

kakaAa KkAa

kakaaK swswswfz

1

gg

1

hh

1

fflinT1 αxyc

pri pogojih Modificirana zunanja aproksimacija

( ) ( ) ( ) ( )aafkaa

kka


Tnlnl uxxxx α aisinA k=1K

( ) ( ) ( )[ ] ( )aah

kakk

ak


TuxxxhxhT aisinA k=1K

( ) ( ) ( ) ( )aag

kakk

ak


uxxxgxg aisinA k=1K


25

Zgornja meja namenske funkcije

( ) sumisin

le++Aa

af UBlinT αxyc

Originalne linearne pogojne enačbe

bCxBy le+ (MILP)K+1

Celoštevilski rez

y y BAaa BA

aa NA

k

k k

minus le minusisin isinsum sum 1

Meje spremenljivk


y isin Y =01 a

s s sa k a k a k f h g ge 0

kjer 1== kak yaBA 0== k

ak yaNA k=1K

Konveksni test

===or

gtgtgt 0 0 0


1


h

f

g

h


ka

www

ka

microλ

Modificirani OAER algoritem se sestoji iz izmeničnega računanja NLP podproblemov in MILP glavnih problemov Ker je algoritem prirejen za reševanje nekonveksnih problemov računanje ustavimo takrat ko se NLP podproblemi prenehajo izboljševati


26

3 SOČASNO OPTIMIRANJE MASE TOPOLOGIJE MATERIALA IN STANDARDNIH HEA PROFILOV KONSTRUKCIJE HAL (TIP 1)

31 Optimizacijski model konstrukcije jeklenih hal s standardnimi HEA profili Za optimiranje konstrukcije jeklenih hal je bil razvit MINLP optimizacijski model FRAMEOPTH (FRAME OPTimizationHea sections) Model je bil razvit na osnovi predstavljene MINLP modelne formulacije mehanskih superstruktur glej poglavje 2

V optimizacijskem modelu so bile upoštevane naslednje poenostavitve in predpostavke - upoštevan je bil samo en obtežni primer kjer so parcialni faktorji varnosti in

kombinacija obtežb definirani v skladu z Eurocode Optimiranje konstrukcije je bilo izvedeno z naslednjo obtežno kombinacijo

- lastna teža konstrukcije (linijska obtežba stebrov nosilcev leg prečk in fasadnih stebrov) in lastna teža strešne kritine ter fasadnih plošč (površinska obtežba) plus

- sneg in vertikalni veter (enakomerna zvezna spremenljiva površinska obtežba) plus

- horizontalni veter (horizontalna sila na vrhu stebra) ter (enakomerna zvezna spremenljiva površinska obtežba na prečke in fasadne stebre)

- konstrukcija je sestavljena iz enakih jeklenih portalnih okvirjev leg prečk in fasadnih stebrov

- konstrukcijski elementi so izdelani iz jeklenih širokopasovnih vroče valjanih H prerezov (HEA prerezi)

- globalna geometrija okvirja vključno z razponom višino in naklonom nosilca je bila tekom opitmizacijskega postopka držana (nespremenjena)

- naklonski kot strehe znaša 5 - vertikalni in horizontalni sistemi zavetrovanja v optimizacijiizračunu niso bili

vključeni - notranje statične količine in deformacije so bile računane po elastični teoriji prvega

reda - portalni okvir je definiran kot nepomičen jekleni okvir Razmerje med projektno

vrednostjo skupne vertikalne obtežbe NSd in elastično kritično uklonsko silo pomične oblike Ncr je bilo omejeno s pogojem NSdNcrle01

- portalni okvir je bil računan kot bočno podprt okvir (s strešnimi legami fasadnimi prečkami in vezmi) stebri so preverjeni na tlačnouklonsko odpornost okoli obeh osi in na zvrnitev nosilci pa na upogibni moment v ravnini okvirja

- uklonske dolžine stebrov so računane za nepomično uklonsko obliko okvirja v ravnini okvirja v pravokotni smeri so enake vertikalnemu razmaku med fasadnimi prečkami


27

Optimizacijski model konstrukcije hale smo zapisali v višjem algebrajskem modelnem jeziku GAMS (General Algebraic Modeling System) A Brooke in D Kendrick (1988) Uporabljen optimizacijski model vsebuje masno namensko funkcijo pogojne (ne)enačbe celoštevilske in mešane celoštevilske pogojne (ne)enačbe zaporedja vhodne podatke (konstante) in spremenljivke 32 Masna namenska funkcija Masna namenska funkcija konstrukcije hale je definirana z enačbo (31) Masa konstrukcije MASS zajema maso stebrov nosilcev leg prečk ter fasadnih stebrov glej sliko 31 AC AB AP AR in AFC predstavljajo površino prečnega prereza stebrov nosilcev leg prečk ter fasadnih stebrov h označuje višino stebra LB dolžino nosilca ter LL dolžino jeklene hale (leg in prečk) HFC pa višino fasadnih stebrov NOFRAME predstavlja število portalnih okvirjev NOPURLIN označuje število leg medtem ko NORAIL predstavlja število prečk Vsaki portlani okvir je sestavljen iz dveh stebrov in dveh nosilcev glej sliko 32

( ) ( ) ( ) +sdotsdotsdot+sdotsdotsdotsdot+sdotsdotsdotsdot= NOPURLINLANOFRAMELANOFRAMEhAMASS LpBBC ρρρ 22

( ) ( ) ( )12 minussdotsdotsdotsdot+sdotsdotsdot+ NOPURLINHANORAILLA FCFCLR ρρ (31)

e

e

e

e

e

e

P

P

P

H

pe ep pepe ep pe pe ep pe pe

e re r

e r

f

f

f

f

f

f

L L

L

Slika 31 Konstrukcija jeklene hale


28

33 Pogojne (ne)enačbe strukturne analize Prve pogojne (ne)enačbe v modelu so enačbe (32)-(35) ki definirajo dimenzije prečnega prereza v odvisnosti glede na višino prečnega prereza stebra hC Te enačbe pospešujejo konvergenco optimiranja pri relaksiranih standardnih dimenzijah V enačbah (32)-(35) so zapisane pogojne enačbe za izračun širine pasnice bC debeline pasnice tfC debeline stojine twC in površine prečnega prereza AC stebra glej sliko 32

CI

w

t

L bC

H

L

BI

CA h

BA

q

f

B

fc

z

y

twc

hC

A CIC

AB BI

bB

tf wt

Bh

z

y

B

B

h

A C A B

z

Slika 32 Portalni okvir in prečni prerezi elementov

29429875751000761045782

10189751098835105913310768182233

465cedil769712

+sdotminussdotsdot+sdotsdotminus

minussdotsdot+sdotsdotminussdotsdot+sdotsdotminus=minusminus

minusminusminusminus

CCC

CCCCC

hhh

hhhhb (32)

7668101093221103488210495831058011 3243648 +sdotsdotminussdotsdot+sdotsdot+sdotsdot= minusminusminusminus

CCCCCf hhhht (33)

23804010465221005981 325 +sdotsdot+sdotsdotminus= minusminus

CCCw hht (34)

( ) CwCfCCfCC tthtbA 22 sdotsdotminus+sdotsdot= (35)

Vztrajnostna momenta prereza okoli y-y in z-z osi IyC in IzC torzijski vztrajnostni moment ItC in vzbočitveni torzijski vztrajnostni moment IωC so podani v enačbah (36)-(39)

( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= CfC

cfCCfCCwCfC

Cy

thtb

thttbI (36)

( )12

2

12

2 3

3

CwCfCCCf

Cz

tthbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (37)

( ) ( ) 3

3 2

3

12

3

1CwCfCCfCCt tthtbI sdotsdotminussdot+sdotsdotsdot= (38)

( )2

24 CfC

CzC th

II sdotminussdot=ω (39)


29

Na enak način so definirane spremenljivke prečnega prereza za nosilec enačbe (310)-(314) in za lego glej enačbe (315)-(322)

29429875751000761045782

10189751098835105913310768182233

465cedil769712




BBB

BBBBB

hhh

hhhhb (310)


BBBBBf hhhht (311)


BBBw hht (312)

( ) BwBfBBfBB tthtbA 22 sdotsdotminus+sdotsdot= (313)

( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= BfB

BfBBfBBwBfB

By

thtb

thttbI (314)

29429875751000761045782

10189751098835105913310768182233

465cedil769712




PPP

PPPPP

hhh

hhhhb (315)


PPPPPf hhhht (316)


PPPw hht (317)

( ) PwPfPPfPP ttbtbA 22 sdotsdotminus+sdotsdot= (318)

( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= PfP

PfPPfPPwPfP

Py

thtb

thttbI (319)

( )12

2

12

2 3

3

PwPfPPPf

Pz

ttbbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (320)

( ) ( ) 3

3 2

3

12

3

1PwPfPPfPPt tthtbI sdotsdotminussdot+sdotsdotsdot= (321)

( )2

24 PfP

PzP th


Spremenljivke prečnega prereza za prečko so definirane s pogojnimi enačbami (323)-(330) spremenljivke za fasadne stebre pa z enačbami (331)-(338)

29429875751000761045782

10189751098835105913310768182233

465cedil769712




RRR

RRRRR

hhh

hhhhb (323)


RRRRRf hhhht (324)


RRRw hht (325)

( ) RwRfRRfRR ttbtbA 22 sdotsdotminus+sdotsdot= (326)

( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= RfR

RfRRfRRwRfR

Ry

thtb

thttbI (327)

( )12

2

12

2 3

3

RwRfRRRf

Rz

ttbbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (328)


30

( ) ( ) 3

3 2

3

12

3

1RwRfRRfRRt tthtbI sdotsdotminussdot+sdotsdotsdot= (329)

( )2

24 RfR

RzR th


29429875751000761045782

10189751098835105913310768182233

465cedil769712




FCFCFC

FCFCFCFCFC

hhh

hhhhb (331)


FCFCFCFCFCf hhhht (332)


FCFCFCw hht (333)

( ) FCwFCfFCFCfFCFC ttbtbA 22 sdotsdotminus+sdotsdot= (334)

( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= FCfFC

FCfFCFCfFCFCwFCfFC

FCy

thtb

thttbI (335)

( )12

2

12

2 3

3

FCwFCfFCFCFCf

FCz

ttbbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (336)

( ) ( ) 3

3 2

3

12

3

1FCwFCfFCFCfFCFCt tthtbI sdotsdotminussdot+sdotsdotsdot= (337)

( )2

24 FCfFCFCz

FC thI

I sdotminussdot=ω (338)

Dolžina nosilca okvirja LB je izračunana z enačbo (339) medtem ko je naklonski kot nosilca α izračunan z enačbo (340) L predstavlja razpon okvirja f pa nadvišanje nosilca okvirja

( ) 222 fLLB += (339)

( )( )2arctan Lf=α (340)

Enakomerno razporejeno vertikalno spremenljivo obtežbo qz enakomerno razporejeno horizontalno spremenljivo obtežbo qy lastno težo na tekoči meter portalnega okvirja g horizontalno koncentrirano spremenljivo silo vetra P (za MSN) in silo vetra Pw (za MSU) definirajo enačbe (341)-(345) Enačbe (346)-(349) pa predstavljajo obtežbe na prečke in fasadne stebre kjer qr in qfc označujeta enakomerno razporejeno horizontalno obtežbo na prečko in fasadni steber medtem ko sta gr in gfc lastni teži prečke ter fasadnega stebra

( ) fvnz ewsq sdot+sdot= )(cos2 α (341)

fny esq sdotsdotsdot= )sin()cos( αα (342)

( ) pfPB eeAAg sdotsdot+sdot= ρρ (343)

2hewP fhq sdotsdotsdot=γ (344)


31

2hewP fhw sdotsdot= (345)

ewq hr sdot= (346)

phfc ewq sdot= (347)

ρsdot= Rr Ag (348)

ρsdot= FCfc Ag (349)

kjer sn wv in wh predstavljajo sneg vertikalni in horizontalni veter na m2 (spremenljiva obtežba) ef ep in er so medsebojni razmaki med portalnimi okvirji legami ter prečkami ρ je gostota jekla γq je parcialni faktor varnosti spremenljive obtežbe medtem ko h označuje višino stebra Enačbe (350)-(360) definirajo izračun števila portalnih okvirjev NOFRAME števila leg NOPURLIN števila prečk NORAIL in največjega medsebojnega razmaka med legami ep in prečkami er LL je dolžina jeklene hale MINNOframe in MAXNOframe pa predstavljata najmanjše in največje število portalnih okvirjev MINNOpurlin in MAXNOpurlin predstavljata najmanjše in največje število leg medtem ko MINNOrail in MAXNOrail označujeta najmanjše in največje število prečk

1+= fL eLNOFRAME (350)

frameMINNONOFRAMEge (351) frameMAXNONOFRAMEle (352)

( )12 +sdot= pB eLNOPURLIN (353)

purlinMINNONOPURLIN ge (354) purlinMAXNONOPURLINle (355)

[ ]cmep 250le (356)

( )12 +sdot= rehNORAIL (357) railMINNONORAIL ge (358) railMAXNONORAILle (359)

[ ]cmer 250le (360)

Enačbe (361)-(367) predstavljajo pogoje ki določajo nepomičnost okvirja Koeficient togosti stebra KC koeficient togosti nosilca KB razdelilni koeficient stebra za pomičen okvir

S1η uklonski koeficient za pomičen okvir βsway definirajo enačbe (361)-(364) Vrednost

razdelilnega koeficienta 2η je 1 zaradi členkaste podpore stebra


32

h

IK C

C = (361)

s

IK B

B = (362)

BC

CS

KK

K

sdot+=

511η (363)

( )( ) 2121

2121

60801

120201

ηηηηηηηηβ

sdotsdot++sdotminussdotsdotminus+sdotminus=

SS

SS

sway (364)

Enačba (365) opisuje elastično kritično uklonsko razmerje sil (NsdNcr) za določitev

pomičnosti okvirja Razdelilni koeficient stebra za nepomičen okvir NS1η in uklonski

koeficient za nepomičen okvir βnon-sway sta dana z enačbama (366)-(367)

( )( ) 10

2 2

2

le

sdot

sdotsdot

sdotsdot+sdot+sdot

h

IELgq

L

hP

sway

Cygzq

βπγγ

(365)

BC

CNS

KK

K

sdot+=

501η (366)

( ) ( )222 11055014050 ηηηηβ +sdot++sdot+=minus

NSNSswaynon (367)

Pogojne enačbe MSN za steber okvirja so definirane z enačbami (368)-(374) Enačba (368) predstavlja pogoj za računsko odpornost prereza stebra na upogibni moment (MsdltMelRd) kjer so substituirani izrazi A B in C dani z enačbami (368 abc) fy je meja plastičnosti jekla γg je parcialni faktor varnosti za stalno obtežbo γq je parcialni faktor varnosti spremenljive obtežbe in γM0 je varnostni faktor odpornosti Računska strižna odpornost prereza stebra (VsdltVplRd) in računska odpornost na osno silo (NsdltNplRd) sta podani z enačbama (369)-(370)

( ) ( )( )

( )( ) 0

2 2

216

53

MC

yCygzq

h

fI

CAB

CBhP

CAB

ALgq

γγγ

sdotsdotsdot

lesdot+sdot

+sdotsdot+sdot+sdot

sdot+sdotsdotsdot+sdot (368)

hfA +=1 AL

h

I

IB

BCy

By +

+sdotsdot= 12

AC sdot+= 21 (368 abc)

( ) ( )( )

( )( )

( )0

2

3

041

216

53

M

yCwCgzq fthh

CAB

CBhP

CAB

ALgq

γγγ

sdot

sdotsdotsdotle

sdot+sdot+sdotsdot+

sdot+sdotsdot+sdotsdotsdot+sdot

(369)

( )02 M

yCgq fALgq

L

hP

γγγ sdot

lesdotsdot+sdot

+sdot (370)

Brezdimenzionalni uklonski koeficient κ elastični kritični moment zvrnitve MCR in brezdimenzionalni koeficient zvrnitve κLT so definirani z enačbami (371)-(373) Substituiran


33

izraz D v enačbi (371) je opisan z enačbo (371 a) C1 in C2 sta koeficienta oblike momentne linije E je elastični modul jekla G je strižni modul jekla k in kw sta koeficienta uklonske dolžine elementa π je Ludolfovo število λ1 je vitkost in αb in αLT sta faktorja nepopolnosti Interakcija med tlačnouklonsko osno silo in upogibnim momentom zvrnitve je opisana z enačbo (374)

( )[ ] ( )( )[ ] 2222 2015020150

1

DDDDD bb minus+minussdot+sdot++minussdot+sdot=

αακ (371)

1 λ

βsdot

sdot= minus

CCy

swaynon

AI

hD (371 a)

( )( )

sdotminus

sdot+sdotsdot

sdotsdotsdot+sdot

sdot

sdotsdotsdot=

22 2

2

2

2

2

2

2

1h

Ch

CIE

IGhk

I

I

hk

IECM

Cz

Ct

Cz

CCzCR π

π ω (372)

CCR

yCy

CCR

yCy

CCR

yCyLT

CCR

yCy

CCR

yCyLT

LT

hM

fI

hM

fI

hM

fI

hM

fI

hM

fI

sdotsdotsdot

minus

sdotsdotsdot

+

minus

sdotsdotsdot

sdot+sdot+

sdotsdotsdot

+

minus

sdotsdotsdot

sdot+sdot

=

2

2220

2150

220

2150

1

αα

κ

(373)

( ) ( ) ( )( )

( )( )

( ) 012

216

53

2

1

2

1

lesdotsdotsdotsdot

sdot+sdot+sdotsdot+


+sdotsdot

sdotsdot+sdot+sdot

MCyCyLT

gzq

MyC

gzq

hfICAB

CBhP

CAB

ALgq

fA

Lgq

L

hP

γκ

γγ

γκ

γγ

(374)

Pogojne enačbe MSN nosilca portalnega okvirja so definirane z enačbami (375)-(378) Enačbe (375)-(377) predstavljajo računsko odpornost na upogibni moment (MsdltMelRd) računsko strižno odpornost (VsdltVplRd) ter računsko odpornost na osno silo (NsdltNplRd) Interakcija med tlačno osno silo in upogibnim momentom je preverjena z enačbo (378)

( ) ( )( )

( )( ) 0

2 2

216

53

MB

yBygzq

h

fI

CAB

CBhP

CAB

ALgq

γγγ

sdotsdotsdot

lesdot+sdot

+sdotsdot+sdot+sdot


( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )0

2

3

041)sin(

216

53)cos(

2M

yBwBgzqgzq fthh

CAB

CBhP

CAB

ALgqLgq

L

hP

γα

γγα

γγsdot

sdotsdotsdotle

sdot

sdot+sdot+sdotsdot+


minussdotsdotsdot+sdot

+sdot

(376)

( ) ( )( )

( )( )

( )0

2

)sin(2216

53

M

yBgzqgzq fALgq

L

hPh

CAB

CBhP

CAB

ALgq

γα

γγγγ sdotlesdot

sdotsdot+sdot+sdot+

sdot+sdot+sdotsdot+


(377)


34

( ) ( )( )

( )( )

( )

( ) ( )( )

( )( )

( ) 012

216

53

)sin(2216

53

1

2

1

2

lesdotsdotsdot

sdot+sdot+sdotsdot+


+

+sdot

sdotsdotsdot+sdot

+sdot+

sdot+sdot+sdotsdot+


MByBy

gzq

MyB

gzqgzq

hfICAB

CBhP

CAB

ALgq

fA

Lgq

L

hPh

CAB

CBhP

CAB

ALgq

γ

γγ

γ

αγγγγ

(378)

Lege potekajo kontinuirano preko nosilcev portalnih okvirjev Računska odpornost prereza lege na upogibni moment lege okoli y-y osi (MysdltMelRd) in računska odpornost na upogibni moment okoli z-z osi (MzsdltMelRd) sta izračunani z enačbama (379)-(380) Interakcija med omenjenima računskima upogibnima momentoma je preverjena z omejitveno enačbo (381) Računska strižna odpornost lege je definirana z enačbo (382)

( ) ( )0

222

)cos(1057010570MP

yPyfpvpnqfprPg h

fIeeweseemA

γαγργ

sdotsdotsdot

lesdotsdot+sdotsdotsdotsdot+sdotsdot+sdotsdotsdot (379)

( )0

22

)sin(10570MP

yPzfprnq h

fIeems

γαγ

sdotsdotsdot

lesdotsdotsdot+sdotsdot (380)

( ) ( )( )

( )( ) 01

2

)sin(10570

2

)cos(1057010570

1

2

1

22

lesdotsdotsdot

sdotsdotsdot+sdotsdot

+sdotsdotsdot

sdotsdot+sdotsdotsdotsdot+sdotsdot+sdotsdotsdot

MPyPz

fprnq

MPyPy

fpvpnqfprPg

hfI

eems

hfI

eeweseemA

γαγ

γαγργ

(381)

( ) ( )0

3

041)cos(56705670

M

yPwPfpvpnqfPg

ftheeweseA

γαγργ

sdot

sdotsdotsdotlesdotsdot+sdotsdotsdotsdot+sdotsdotsdotsdot (382)

Prečke potekajo kontinuirano preko stebrov portalnih okvirjev Računska odpornost prereza prečke na upogibni moment prečke okoli y-y osi (MysdltMelRd) in računska odpornost na upogibni moment okoli z-z osi (MzsdltMelRd) sta izračunani z enačbama (383)-(384) Interakcija med omenjenima računskima upogibnima momentoma je preverjena z omejitveno enačbo (385) Računsko strižno odpornost prečke v smeri y-y in smeri z-z osi definirata enačbi (386)-(387)

( )0

2 210570

MR

yRyfrhq h

fIeew

γγ

sdotsdotsdot

lesdotsdotsdotsdot (383)

( )0

2 210570

MR

yRzfrrRg h

fIeemA

γργ

sdotsdotsdot

lesdotsdot+sdotsdotsdot (384)

( )( )

( )( ) 01

2

10570

2

10570

1

2

1

2

lesdotsdotsdot

sdotsdot+sdotsdotsdot+

sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot

MPyPz

frrRg

MRyRy

frhq

hfI

eemA

hfI

eew

γργ

γγ

(385)

( )0

3

0415670

M

yRwRfrhq

ftheew

γγ

sdot

sdotsdotsdotlesdotsdotsdotsdot (386)


35

( )0

3

25670

M

yRfRfrrRg

ftbeemA

γργ

sdot

sdotsdotsdotlesdotsdot+sdotsdotsdot (387)

Pogojne enačbe MSN fasadnih stebrov so predstavljene z enačbami (388)-(391) Enačba (388) definira odpornost prereza na tlačno osno silo kjer je HFC dolžina fasadnega stebra in κz brezdimenzijski uklonski koeficient okoli šibkejše z osi Odpornost prereza na strižno silo je prikazana z enačbo (389) medtem ko odpornost prereza na upogibni moment okoli y-y osi predstavlja enačba (390) Interakcija med tlačno osno silo in upogibnim momentom je preverjena z enačbo (391)

( )0M

FCzFCprFCg

fyAHemA

γκργ sdotsdotlesdotsdot+sdotsdot (388)

( )0

3

041

2

1

M

yFCwFCFCphq

fthHew

γγ

sdot


( )0

2 2

8

1

MFC

yFCyFCrhq h

fIHew

γγ

sdotsdotsdot


( ) ( )( ) 01

2

81

1

2

1

lesdotsdotsdot

sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdotsdot+sdotsdot

MFCyFCy

FCrhq

MFCz

FCprFCg

hfI

Hew

fyA

HemA

γγ

γκργ

(391)

Pogojne enačbe MSU portalnega okvirja in leg so definirane z enačbami (392)-(396) Horizontalni pomik portalnega okvirja ∆ je definiran z enačbo (392) medtem ko je največji pomik okvirja omejen z enačbo (393) Substituirana izraza U in V sta podana v enačbi (392 ab) Vertikalna deformacija portalnega okvirja δf je izračunana z enačbo (394) Ta pomik mora biti manjši od zahtevane zgornje meje definirane z enačbo (395) Enačba (396) predstavlja vertikalni pomik lege

( ) ( )( ) ( )

sdotsdot+sdot+sdotsdotsdotminus+sdotsdotminussdot

sdot+

sdotsdotminus+sdotminussdotsdot

=∆ hLgq

hhPVUIE

LhhPUV

IE

hw

Byw

Cy 83

123

6

1

3

1 2

(392)

( ) ( )( )CAB

ALgqU

sdot+sdotsdot+sdotsdot+=

16

532

( )

( )CAB

CBhPV w

sdot+sdot+sdotsdot=

2 (392 ab)

150hle∆ (393)

( )( ) ( )

sdot+sdot+sdotminus+sdotsdotminussdotsdot

= 3

384

52

8LgqhPVU

L

IE

Lw

Byfδ (394)

250Lf =δ (395)

( )( ) ( ) ( )[ ] +sdotsdotsdotsdotsdotsdot+sdot+sdot+sdotsdot )cos(42000269)cos()cos(

4 ααρα PyfprPpvpn IEeemAewes

( ) ( ) ( )[ ]250

)sin(42000269)sin( 4 f

PzfprPpn

eIEeemAes lesdotsdotsdotsdotsdotsdot+sdot+sdot+ ααρ (396)


36

Enačbe (397)-(398) predstavljajo pogojne enačbe MSU za deformacijo prečke v smeri y-y osi in v smeri z-z osi medtem ko enačba (399) definira deformacijo fasadnega stebra

( ) ( ) ( )[ ]250

42000269 4 f

Ryfrh

eIEeew lesdotsdotsdotsdot (397)

( ) ( ) ( )[ ]250

42000269 4 f

RzfrrR

eIEeemA lesdotsdotsdotsdot+sdot ρ (398)

( )250384

5

4FC

FCy

FCph H

IE

Hewle

sdotsdotsdotsdotsdot

(399)

34 Celoštevilske in mešano celoštevilske logične pogojne (ne)enačbe Enačba (3100) definira število portalnih okvirjev yn je binarna spremenljivka ki je dodeljena vsakemu portalnemu okvirju Enačba (3101) definira samo en možen izbor vektorjev binarnih spremenljivk za vsako drugačno topologijo okvirja Enačbi (3102) in (3104) izračunata sodi števili leg in prečk kjer sta binarni spremenljivki ym in yr dodeljeni vsaki legi ter prečki Enačbi (3103) in (3105) definirata samo en možen izbor vektorjev binarnih spremenljivk za vsako drugačno topologijo leg in prečk

sum=n

nyNOFRAME (3100)

1minusle nn yy (3101)

sumsdot=m

myNOPURLIN 2 (3102)

1minusle mm yy (3103)

sumsdot=r

ryNORAIL 2 (3104)

1minusle rr yy (3105)

Enačba diskretnih materialov (3106) izračunava standardne trdnosti jekel Vsaki

spremenljivki standardnega materiala fy je dodeljen vektor s Ssisin diskretnih številskih

vrednosti alternativ materialov q yfs in vektor pridruženih binarnih spremenljivk ys Vsota

celotnega niza pridruženih binarnih spremenljivk vsakega materiala znaša 1 zato je vsaka standardna trdnost jekla enolično definirana z izborom le ene same diskretne vrednosti glej enačbo (3107)


37

sum sdot=s

sfsy yqf y Ssisin (3106)

1=sums

sy (3107)

Enačbe (3108)-(3117) izračunavajo standardne prečne prereze stebrov njihove diskretne dimenzije in karakteristike Vsaka standardna design spremenljivka oz dimenzija je

definirana s skalarnim produktom vektorja i iisinI diskretnih številčnih vrednosti standard-

dimenzijskih alternativ (q CAi q Ch

i hellip) in ustreznega vektorja dodeljenih binarnih

spremenljivk yi glej enačbe (3108)-(3116) Vsota celotnega niza pridruženih binarnih spremenljivk vsake dimenzije znaša 1 zato je vsaka standardna dimenzija enolično definirana z izborom le ene same diskretne vrednosti glej enačbo (3117)

sum sdot=i

iAiC yqA C Ii isin (3108)

sum sdot=i

ihiC yqh C Ii isin (3109)

sum sdot=i

ibiC yqb C Ii isin (3110)

sum sdot=i

itiCw yqt Cw

Ii isin (3111)

sum sdot=i

itiCf yqt Cf

Ii isin (3112)

sum sdot=i

iIiCy yqI Cy

Ii isin (3113)

sum sdot=i

iIiCz yqI Cz

Ii isin (3114)

sum sdot=i

iIiCt yqI Ct

Ii isin (3115)

sum sdot=i

iIiC yqI C

ω

ω Ii isin (3116)

1=sumi

iy (3117)

Enako z enačbami (3118)-(3124) določimo diskretne vrednosti prečnega prereza nosilcev okvirja in z enačbami (3125)-(3134) prečne prereze leg

sum sdot=j

jAjB yqA B Jj isin (3118)

sum sdot=j

jhjB yqh B Jj isin (3119)

sum sdot=j

jbjB yqb B Jj isin (3120)


38

sum sdot=j

jtjBw yqt Bw

Jj isin (3121)

sum sdot=j

jtjBf yqt Bf

Jj isin (3122)

sum sdot=j

jIjBy yqI By

Jj isin (3123)

1=sumj

jy (3124)

sum sdot=k

kAkP yqA P Kk isin (3125)

sum sdot=k

khkP yqh P Kk isin (3126)

sum sdot=k

kbkP yqb P Kk isin (3127)

sum sdot=k

ktkPw yqt Pw

Kk isin (3128)

sum sdot=k

ktkPf yqt Pf

Kk isin (3129)

sum sdot=k

kIkPy yqI Py

Kk isin (3130)

sum sdot=k

kIkPz yqI Pz

Kk isin (3131)

sum sdot=k

kIkPt yqI Pt

Kk isin (3132)

sum sdot=k

kIkP yqI P

ω

ω Kk isin (3133)

1=sumk

ky (3134)

Z enačbami (3135)-(3145) določimo diskretne vrednosti prečnega prereza prečk ter z enačbami (3146)-(3155) diskretne vrednosti prečnega prereza fasadnih stebrov

sum sdot=l

lAlR yqA R Ll isin (3135)

sum sdot=l

lhlR yqh R Ll isin (3136)

sum sdot=l

lblR yqb R Ll isin (3138)

sum sdot=l

ltlRw yqt Rw

Ll isin (3139)

sum sdot=l

ltlRf yqt Rf

Ll isin (3140)

sum sdot=l

lIlRy yqI Ry

Ll isin (3141)


39

sum sdot=l

lIlRz yqI Rz

Ll isin (3142)

sum sdot=l

lIlRt yqI Rt

Ll isin (3143)

sum sdot=l

lIlR yqI R

ω

ω Ll isin (3144)

1=suml

ly (3145)

sum sdot=p

pApFC yqA FC Ppisin (3146)

sum sdot=p

phpFC yqh FC Ppisin (3147)

sum sdot=p

pbpFC yqb FC Ppisin (3148)

sum sdot=p

ptpFCw yqt FCw

Ppisin (3149)

sum sdot=p

ptpFCf yqt FCf

Ppisin (3150)

sum sdot=p

pIpFCy yqI FCy

Ppisin (3151)

sum sdot=p

pIpFCz yqI FCz

Ppisin (3152)

sum sdot=p

pIpFCt yqI FCt

Ppisin (3153)

sum sdot=p

pIpFC yqI FC

ω

ω Ppisin (3154)

1=sump

py (3155)

35 Optimizacija Optimiranje konstrukcije jeklene hale je izvedeno z modificiranim algoritmom zunanje aproksimacije s sprostitvijo enačb Modified OAER Z Kravanja in IE Grossmann 1994 Modificirani OAER algoritem izmenično rešuje zaporedje optimizacijskih podproblemov nelinearnega programiranja (NLP) in glavnih problemov mešanega celoštevilskega linearnega programiranja (MILP) glej poglavje 2 Pri obsežnih nekonveksnih in nelinearnih MINLP problemih z velikim številom diskretnih odločitev je v splošnem zelo težko doseči optimalno rešitev Zato predlagamo izvedbo optimiranja v treh zaporednih fazah kar pospeši konvergenco OAER algoritma Trifazno optimiranje izvajamo s povezano MINLP strategijo (Linked Three Phase MINLP Strategy)


40

Reševaje MINLP problema se začne s prvim NLP-jem kjer so vse spremenljivke zvezne (tudi topologija material in dimenzije) Dobljen rezultat predstavlja prvo dobro začetno točko za nadaljne diskretno optimiranje V drugi fazi zatem optimiramo topologijo in standardne vrednosti materiala pri čemer so standardne dimenzije prečnih prerezov trenutno še vedno relaksirane kot zvezne spremenljivke Optimiranje topologije materiala in zveznih parametrov je rešljivo (manjša kombinatorika problema) in hkrati akumulira dobro globalno linearno aproksimacijo superstrukture (dobra začetna točka za optimiranje celotnega problema v naslednji fazi) Ko sta optimalna topologija in material dosežena se standardne dimenzije prečnih prerezov v tretji fazi vzpostavijo v izračun in sočasno diskretno optimiranje topologije materiala in prerezov stebrov nosilcev leg prečk in fasadnih stebrov se nadaljuje vse dokler ni dosežen optimalni rezultat Kljub temu da so pri uporabi povezane trifazne MINLP strategije binarne spremenljivke definirane v enem samem nizu so v prvi fazi deaktivirane V drugi fazi aktiviramo samo binarne spremenljivke ki so pridružene topološkim in materialnim alternativam Binarne spremenljivke alternativ standardnih dimenzij tedaj začasno deaktiviramo (postavimo na vrednost nič) Te binarne spremenljivke aktiviramo v tretji fazi Isto velja za logične pogojne (ne)enačbe diskretnih spremenljivk materialov in standardnih dimenzij Le-te so v prvi fazi izključene iz modela V drugi fazi vključimo v optimiranje logične pogojne (ne)enačbe topologije in diskretnih materialov Logične pogojne (ne)enačbe standardnih dimenzij so v prvi in drugi fazi neupoštevane v tretji fazi pa vključene v optimiranje Inicializacijo vhodnih podatkov in spremenljivk izvedemo samo enkrat na začetku Dobra stran te strategije je tudi ta da binarnih spremenljivk za topologijo materialov in standardnih dimenzij ni potrebno inicializirati prva faza predstavlja zvezno optimiranje brez binarnih spremenljivk prvi NLP podproblem druge faze vedno pričnemo izvajati v prostoru z nizom samo topoloških in materialnih binarnih spremenljivk medtem ko tretjo fazo začnemo reševati z MILP glavnim problemom polnega niza vseh definiranih binarnih spremenljivk za sledeči NLP Omenjena povezana trifazna strategija zagotavlja rešitev globalnega optimuma za konveksne in kvazi-konveksne optimizacijske probleme Optimizacijski model lahko vsebuje več sto (v določenih primerih tudi več tisoč) binarnih 0-1 spremenljivk Večina njih je dodeljena standardnim dimenzijam Zato je bila razvita specialna procedura presejevanja alternativ ki avtomatično zmanjša število binarnih spremenljivk na sprejemljiv nivo kar nato omogoči normalno rešitev MINLP problema Optimizacija v tretji fazi vsebuje samo tiste 0-1 spremenljivke ki določajo vrednosti topologije materialov in standardnih dimenzij v bližnji okolici izračunanih vrednosti dobljenih v predhodni MINLP fazi


41

36 Računski primer V računskem primeru je predstavljeno sočasno optimiranje mase topologije materiala in standardnih profilov jeklene hale dolžine 100 metrov (LL) širine 30 metrov (L) ter višine 75 metrov (h) glej sliko 33 Konstrukcija je sestavljena iz nepomičnih jeklenih portalnih okvirjev na katere so pritrjene lege in prečke 5 naklon strešine povzroči nadvišanje nosilca okvirja (f) 075 metra Okvir je obtežen z lastno težo konstrukcije in kritine ter s spremenljivo obtežbo Lastna teža kritine znaša mr=020 kNm2 Spremenljiva obtežba sn=300 kNm2 (sneg) in wh=10 kNm2 (horizontalni veter) sta definirani v modelu kot vhodna podatka Tako horizontalna kot vertikalna enakomerna zvezna linijska obtežba na nosilec se avtomatsko izračunavata tekom optimiranja z ozirom na izračunano razdaljo med okvirji Gostota jekla (ρ) je 785010-3 kgcm3 elastični modul jekla (E) je 21000 kNcm2 ter strižni modul jekla (G) 8076 kNcm2 Parcialni faktor varnosti stalne obtežbe (γg) je 135 in spremenljive obtežbe (γq) (sneg veter) 150 Varnostna faktorja odpornosti (γM0 in γM1) sta 10 Faktor nepopolnosti pri uklonu (αb) je 034 faktor nepopolnosti pri zvrnitvi (αLT) je 021 razdelilni koeficient (η2) je 1 koeficienta uklonske dolžine elementa (k in kw) sta 10 in koeficienta oblike momente linije (C1) ter (C2) sta 1879 in 0 Najmanjše in največje število portalnih okvirjev (MINNOframe in MAXNOframe) je 1 in 60 najmanjše in največje število leg (MINNOpurlin in MAXNOpurlin) 1 in 50 ter najmanjše in največje število prečk (MINNOrail in MAXNOrail) 1 in 20

L= 300 m

H =

82

5 m

h =

75

mf

= 0

75

m

L = 100

0 m

L

Slika 33 Globalna geometrija hale


42

Preglednica 31 prikazuje spodnje meje zgornje meje ter začetne točke neodvisnih zveznih spremenljivk Meje in začetne točke ostalih odvisnih zveznih spremenljivk so definirane z enačbami optimizacijskega modela v odvisnosti glede na že definirane neodvisne spremenljivke Preglednica 31 Meje in začetne točke neodvisnih spremenljivk

Spremenljivke x

Spodnja meja xLO

Začetna točka xL

Zgornja meja xUP

hC 30 cm 70 cm 99 cm hB 30 cm 70 cm 99 cm hP 10 cm 20 cm 70 cm hR 8 cm 20 cm 30 cm hFC 10 cm 20 cm 40 cm NOFRAME 1 20 60 NOPURLIN 1 15 50 NORAIL 1 8 20

Definirana superstruktura jeklene hale predstavlja množico različnih topološkihkonstrukcijskih alternativ dobljenih s kombinacijo različnega števila okvirjev (največ 60) leg (največ 50) in prečk (največ 20) Superstruktura vsebuje tudi 24 različnih alternativ vroče valjanih HEA profilov (od HEA 100 do HEA 1000) in 3 različna konstrukcijska jekla (S235 S275 in S355) za vsak konstrukcijski element posebej nosilec steber lego prečko in fasadni steber Tako je za vsak standardni prerez dodeljen vektor 24 različnih diskretnih številčnih vrednosti - alternativ q Na primer vektorji diskretnih

alternativ višine prečnega prereza q Chi q Bh

j q Phk q Rh

l q FChp in alternativ površine prečnega

prereza q CAi q BA

j q PAk q RA

l q FCAp stebrov nosilcev leg prečk ter fasadnih stebrov so

q Chi = q Bh

j = q Phk = q Rh

l = q FChp = 96 114 133 152 171 190 230 250 270 290 310 330

350 390 440 490 540 590 640 690 790 890 990

q CAi = q BA

j = q PAk = q RA

l = q FCAp =212 253 314 388 453 538 643 768 868 973

1130 1240 1330 1430 1590 1780 1980 2120 2260 2420 2600 2860 3210 3470

Superstrukturo tako sestavlja n možnih alternativ portalnih okvirjev nisinN N=123hellip60

(2m) sodih alternativ leg misinM M=123hellip25 in (2r) sodih alternativ prečk risinR R=123hellip10 ki dajejo 60middot25middot10=15000 različnih topolških alternativ Z različnimi

- s alternativami standardnega materiala sisinS S=123

- i alternativami standardnega prereza stebra iisinI I=123hellip24


43

- j alternativami standardnega prereza nosilca jisinJ J=123hellip24

- k alternativami standardnega prereza lege kisinK K=123hellip24

- l alternativami standardnega prereza prečke lisinL L=123hellip24 in

- p alternativami standardnega prereza fasadnega stebra pisinP P=123hellip24 je skupno definiranih nmiddotmmiddotrmiddotsmiddotimiddotjmiddotkmiddotlmiddotp= 60middot25middot10middot3middot24middot24middot24middot24middot24=35831808middot1011 različnih konstrukcijskih alternativ Za optimiranje je bil uporabljen predlagani MINLP otimizacijski pristop Namen optimiranja je bil najti najmanjšo možno maso konstrukcije optimalno topologijo (optimalno število okvirjev leg ter prečk) optimalno trdnost jekla in optimalne standardne profile vseh elementov Optimiranje je bilo izvedeno s programskim paketom MIPSYN ki je bil izpeljan iz programov PROSYN Z Kravanja in IE Grossmann (1994) in TOP S Kravanja idr (1992) Reševanje MINLP problema hale je bilo izvedeno s trifaznim optimiranjem in z modificiranim OAER algoritmom zunanje aproksimacije s sprostitvijo enačb Za reševanje NLP podproblemov je bil uporabljen program CONOPT2 AS Drudd (1994) (splošna metoda reduciranih gradientov) za reševanje MILP glavnih problemov pa Cplex 70 (2001) (metoda vejanja in omejevanja) Uporabljena je bila povezana trifazna MINLP strategija Za prvim zveznim NLP (inicializacija) ki predstavlja prvo fazo drugo fazo nadaljujemo z optimiranjem topologije in standardnih materialov medtem ko standardne dimenzije začasno sprostimo v zvezne spremenljivke glej konvergenca modificiranega OAER algoritma preglednica 32 Na tej stopnji koristimo samo vektorje binarnih spremenljivk topologije in standardnih materialov yn ym yr in ys pogojne (ne)enačbe strukturne analize (32)-(399) in logične pogojne (ne)enačbe (3100)-(3107) Ko sta izračunani optimalna topologija in standardni material (23847 ton pri 2 MINLP iteraciji vsi naslednji rezultati so slabši) račun nadaljujemo s tretjo fazo kjer vzpostavimo izračun standardnih dimenzij V tej fazi so v optimizacijo vključeni vektorji binarnih spremenljivk yi yj yk yl in yp standardnih profilov stebrov nosilcev leg prečk in fasadnih stebrov kakor tudi logične pogojne neenačbe standardnih dimenzij (3108)-(3155) Končni optimalni rezultat 28057 ton je bil dobljen v 4 glavni MINLP iteraciji (vsi naslednji rezultati so bili slabši) Optimalni rezultat predstavlja omenjeno najmanjšo izračunano maso konstrukcije 28057 ton dobljeno pri optimalnem številu 19 portalnih okvirjev 16 legah in 12 prečkah glej sliko 34 ter pri izračunanih optimalnih standardnih profilih stebrov (HEA 900) nosilcev (HEA 800) leg (HEA 160) prečk (HEA 100) in fasadnih stebrov (HEA 220) glej sliko 35


44

Preglednica 32 Konvergenca modificiranega OAER algoritma

Rezultat Topologija Standardni prerezi [cm2] MINLP Iteracija

MINLP Podfaza Masa

[ton] Okvirji Lege Prečke Steber Nosilec Lega Prečka

Fasadni steber

Faza 1 zvezno optimiranje

1 1NLP 23011 1581 1402 800 31701 27868 4002 2040 6417

Faza 2 diskretno optimiranje topologije in standardnih materialov

1MILP 24779 32011 28234 2897 1676 5866 2

2NLP 23847 18 16 8 29309 27114 3111 1783 5933 2MILP 26264 33627 29138 3259 1851 5972

3 3NLP 24119 18 16 10 29226 27136 3111 1782 5933

Faza 3 diskretno optimiranje topologije standardnih materialov in standardnih dimenzij

3MILP 28057 32100 28600 3880 2120 6430 4

4NLP 28057 19 16 12 H 900 H 800 H 160 H 100 H 220 4MILP 28825 32100 28600 3880 2120 6430

5 5NLP 28825 19 18 12 H 900 H 800 H 160 H 100 H 220

Standardni material S355 je bil izbran za steber nosilec lego prečko in fasadni steber Oznaka H v preglednici 32 pomeni vroče valjan HEA prerez V tretji fazi je bilo zelo težko doseči optimalen rezultat saj je število definiranih konstrukcijskih alternativ zelo visoko 35831808middot1011 Zato je bila uporabljena posebna strategija presejevanja alternativ ki avtomatično zmanjša število binarnih spremenljivk na sprejemljiv nivo V tretji fazi optimiranje vsebuje samo tiste 0-1 spremenljivke ki določajo vrednosti topologije standardnih materialov in standardnih dimenzij v bližnji okolici izračunanih vrednosti dobljenih v drugi MINLP fazi Uporabljene so bile samo 3 binarne spremenljivke (1 pod in 2 nad izračunano vrednostjo iz 2 faze) za topologijo steber nosilec lego prečko in fasadni steber posebej Tako smo zmanjšali število 253 binarnih spremenljivk na vsega 27 binarnih spremenljivk Število 35831808middot1011 konstrukcijskih alternativ se je znatno zmanjšalo na imiddotjmiddotkmiddotlmiddotnmiddotmmiddotpmiddotrmiddots =3middot3middot3middot3middot3middot3middot3middot3middot3=19683 alternativ kar je bistveno izboljšalo učinkovitost iskanja rešitve


45

14 x 214 m300 m

18 x 555 m

1000 m

82

5 m

5 x

15

m

Slika 34 Optimalna konstrukcija jeklene hale

HE

A 9

00

HE

A 9

00

14 x 214 m

300 m

HEA 160

HEA 800 HEA 800

82

5 m

5 x

15

0 m

HEA 100

07

5 m

Slika 35 Optimalna konstrukcija okvirja


46

4 SOČASNO OPTIMIRANJE MASE TOPOLOGIJE MATERIALA IN STANDARDNIH IPE PROFILOV KONSTRUKCIJE HAL (TIP 2)

41 Optimizacijski model konstrukcije jeklenih hal s standardnimi IPE profili V tem poglavju obravnavamo sintezo s katero izvajamo sočasno optimiranje mase topologije materiala in standardnih dimenzij konstrukcije jeklenih hal izdelanih iz IPE profilov Na osnovi predstavljenega modela FRAMEOPTH iz prejšnjega poglavja smo razvili optimizacijski model FRAMEOPTI (FRAME OPTimizationIpe sections) kjer so uporabljeni konstrukcijski elementi izdelani iz standardnih vroče valjanih IPE profilov Enako kot v prejšnjem poglavju tudi tukaj MINLP sintezo konstrukcij jeklenih hal izvajamo zaporedno na treh nivojih dejavnosti V optimizacijskem modelu so bile upoštevane identične poenostavitve in predpostavke kot v prejšnjem modelu Predlagani optimizacijski model je zapisan v višjem algebrajskem modelnem jeziku GAMS glej A Broke idr (1988) Model FRAMEOPTI obsega masno namensko funkcijo vhodne podatke (konstante) spremenljivke pogojne (ne)enačbe celoštevilske in mešane celoštevilske pogojne (ne)enačbe ter zaporedja

42 Masna namenska funkcija Namen optimiranja je določiti minimalno maso izbrane konstrukcije jeklene hale V ta namen smo razvili masno namensko funkcijo ki je podana z enačbo (41)



Masna namenska funkcija konstrukcije hale je sestavljena iz vsote mas stebrov nosilcev leg prečk ter fasadnih stebrov AC AB AP AR in AFC predstavljajo površino prečnega prereza stebrov nosilcev leg prečk ter fasadnih stebrov h označuje višino stebra LB dolžino nosilca ter LL dolžino jeklene hale (leg in prečk) HFC pa višino fasadnih stebrov NOFRAME predstavlja število portalnih okvirjev NOPURLIN označuje število leg medtem ko NORAIL definira število prečk Vsak portlani okvir je sestavljen iz dveh stebrov in dveh nosilcev

43 Pogojne (ne)enačbe strukturne analize Masna namenska funkcija je podvržena pogojnim (ne)enačbam strukturne analize in dimenzioniranja obravnavane konstrukcije hale Pogojne (ne)enačbe analize dimenzioniranja


47

in omejitve spremenljivk predstavljajo rigorozen sistem funkcij znanih iz teorije analize konstrukcij in standardov dimenzioniranja konstrukcij hal v skladu s standardi Eurocode

Prve pogojne enačbe v modelu so enačbe (42)-(45) ki definirajo dimenzije prečnega prereza v odvisnosti glede na višino prečnega prereza stebra hC V enačbah (42)-(45) so zapisane spremenljivke širina pasnice bC debelina pasnice tfC debelina stojine twC in površina prečnega prereza AC stebra

635815906383959000439820 2 minussdot+sdotminus= CCC hhb (42)

3283097002563540 +sdot= CCf ht (43)

2492093001550810 +sdot= CCw ht (44)



( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= CfC

cfCCfCCwCfC

Cy

thtb

thttbI (46)

( )12

2

12

2 3

3

CwCfCCCf

Cz

tthbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (47)

( ) ( ) 3

3 2

3

12

3


( )2

24 CfC

CzC th


Na enak način so definirane dimenzije prečnega prereza za nosilec glej enačbe (410)-(414) in za lego glej enačbe (415)-(422)

635815906383959000439820 2 minussdot+sdotminus= BBB hhb (410)

3283097002563540 +sdot= BBf ht (411)

2492093001550810 +sdot= BBw ht (412)


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= BfB

BfBBfBBwBfB

By

thtb

thttbI (414)

635815906383959000439820 2 minussdot+sdotminus= PPP hhb (415)

3283097002563540 +sdot= PPf ht (416)

2492093001550810 +sdot= PPw ht (417)


48


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= PfP

PfPPfPPwPfP

Py

thtb

thttbI (419)

( )12

2

12

2 3

3

PwPfPPPf

Pz

ttbbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (420)

( ) ( ) 3

3 2

3

12

3


( )2

24 PfP

PzP th


Dimenzije prečnega prereza prečke so podane z enačbami (423)-(430) za fasadne stebre pa z (431)-(438)

635815906383959000439820 2 minussdot+sdotminus= RRR hhb (423)

3283097002563540 +sdot= RRf ht (424)

2492093001550810 +sdot= RRw ht (425)


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= RfR

RfRRfRRwRfR

Ry

thtb

thttbI (427)

( )12

2

12

2 3

3

RwRfRRRf

Rz

ttbbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (428)

( ) ( ) 3

3 2

31

231

RwRfRRfRRt tthtbI sdotsdotminussdot+sdotsdotsdot= (429)

( )2

24 RfR

RzR th


635815906383959000439820 2 minussdot+sdotminus= FCFCFC hhb (431)

3283097002563540 +sdot= FCFCf ht (432)

2492093001550810 +sdot= FCFCw ht (433)


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= FCfFC

FCfFCFCfFCFCwFCfFC

FCy

thtb

thttbI (435)

( )12

2

12

2 3

3

FCwFCfFCFCFCf

FCz

ttbbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (436)

( ) ( ) 3

3 2

31

231

FCwFCfFCFCfFCFCt tthtbI sdotsdotminussdot+sdotsdotsdot= (437)

( )2

24 FCfFCFCz

FC thI



49

Ko zaključimo definiranje enačb dimenzijskih karakteristik IPE profila nadaljujemo modeliranje z (ne)enačbami ki definirajo izračun topologije število okvirjev leg ter prečk Enačbe za izračun topologije so identične kot v modelu FRAMEOPTH prav tako tudi pogojne (ne)enačbe mejnega stanja nosilnosti in mejnega stanje uporabnosti

44 Celoštevilske in mešano celoštevilske logične pogojne (ne)enačbe Logične pogojne neenačbe ki definirajo število portalnih okvirjev število leg ter število prečk so že zapisane v poglavju 34 Enako velja za enačbo diskretnih materialov Enačbe ki izračunavajo standardne prečne prereze profilov njihove diskretne dimenzije in karakteristike za vsak posamezni konstrukcijski element so definirane z enačbami iz prejšnjega poglavja 34 Za izračun standardnih prečnih prerezov elementov uporabimo enačbe ki določajo

vektorje diskretnih standardnih vrednosti (q CAi q Ch

i q Cbi hellip) za IPE profile Oznaka

vektorjev je enaka kot pri vektorjih za HEA profile glej enačbe (3108)ndash(3155) razlika je v vrednosti vektorjev ki označujejo standardne prečne prereze IPE profilov prikazane v računskem delu tega poglavja

45 Zaporedja vhodni podatki (konstante) in spremenljivke Optimizacijski model FRAMEOPTI vsebuje enaka zaporedja skalarje in binarne spremenljivke kot optimizacijski model FRAMEOPTH Vrednosti parametrov (vektor diskretnih standardnih vrednosti) in zveznih spremenljivk določimo za izbran IPE profil

46 Optimizacija Optimiranje konstrukcije jeklene hale iz IPE profilov je izvedeno z modificiranim algoritmom zunanje aproksimacije s sprostitvijo enačb (Modified OAER) in s povezano trifazno MINLP strategijo

47 Računski primer Za predstavitev uporabnosti predlaganega pristopa je v računskem primeru predstavljeno sočasno optimiranje mase topologije materiala in standardnih dimenzij jeklene hale dolžine 100 metrov (LL) širine 30 metrov (L) ter višine 75 metrov (h) glej sliko 41 Konstrukcija je sestavljena iz nepomičnih jeklenih portalnih okvirjev na katere so pritrjene lege in prečke Nadvišanje nosilca okvirja (f) znaša 075 metra kar pomeni 5 naklon strešine


50

Okvir je obtežen z lastno težo konstrukcije in kritine ter s spremenljivo obtežbo Lastna teža kritine znaša mr=020 kNm2 Spremenljiva obtežba sn=300 kNm2 (sneg) in wh=10 kNm2 (horizontalni veter) sta definirani v modelu kot vhodna podatka Tako horizontalna kot vertikalna enakomerna zvezna linijska obtežba na nosilec se avtomatsko izračunavata tekom optimiranja z ozirom na izračunano razdaljo med okvirji Gostota jekla (ρ) je 785010-3 kgcm3 elastični modul jekla (E) je 21000 kNcm2 ter strižni modul jekla (G) 8076 kNcm2 Parcialni faktor varnosti stalne obtežbe (γg) je 135 in spremenljive obtežbe (γq) (sneg veter) 150 Varnostna faktorja odpornosti (γM0 in γM1) sta 10 Faktor nepopolnosti pri uklonu (αb) je 034 faktor nepopolnosti pri zvrnitvi (αLT) je 021 razdelilni koeficient (η2) je 1 koeficienta uklonske dolžine elementa (k in kw) sta 10 in koeficienta oblike momente linije (C1) ter (C2) sta 1879 in 0 Najmanjše in največje število portalnih okvirjev (MINNOframe in MAXNOframe) je 1 in 100 najmanjše in največje število leg (MINNOpurlin in MAXNOpurlin) 1 in 50 ter najmanjše in največje število prečk (MINNOrail in MAXNOrail) 1 in 20 Preglednica 41 prikazuje spodnje meje zgornje meje ter začetne točke neodvisnih zveznih spremenljivk Meje in začetne točke ostalih odvisnih zveznih spremenljivk so definirane z enačbami optimizacijskega modela v odvisnosti glede na že definirane neodvisne spremenljivke

L= 300 m

H =

82

5 m

h =

75

mf =

07

5 m

L = 1000 m

L



51

Preglednica 41 Meje in začetne točke neodvisnih spremenljivk

Spremenljivke x

Spodnja meja xLO

Začetna točka xL

Zgornja meja xUP


Definirana superstruktura jeklene hale predstavlja množico različnih topološkihkonstrukcijskih alternativ dobljenih s kombinacijo različnega števila okvirjev (največ 100) leg (največ 50) in prečk (največ 20) Superstruktura vsebuje tudi 18 različnih vroče valjanih IPE profilov (od IPE 80 do IPE 600) in 3 različna konstrukcijska jekla (S235 S275 in S355) za vsak konstrukcijski element posebej nosilec steber lego prečko in fasadni steber Tako je za vsak standardni prerez dodeljen vektor 18 različnih diskretnih številčnih

vrednosti - alternativ q Na primer vektorji diskretnih alternativ višine prečnega prereza q Chi

q Bhj q Ph

k q Rhl q FCh

p in alternativ površine prečnega prereza q CAi q BA

j q PAk q RA

l q FCAp

stebrov nosilcev leg prečk ter fasadnih stebrov so

q Chi = q Bh

j = q Phk = q Rh

l = q FChp = 80 100 120 140 160 180 200 220 240 270 300

330 360 400 450 500 550 600

q CAi = q BA

j = q PAk = q RA

l = q FCAp = 76 103 132 164 201 239 285 334 391 459 538

626 727 845 988 1160 1340 1560


(2m) sodih alternativ leg misinM M=123hellip25in (2r) sodih alternativ prečk risinR R=123hellip10 ki dajejo 100middot25middot10=25000 različnih topolških alternativ Z različnimi






- p alternativami standardnega prereza fasadnega stebra pisinP P=123hellip18 je skupno definiranih nmiddotmmiddotrmiddotsmiddotimiddotjmiddotkmiddotlmiddotp= 100middot25middot10middot3middot18middot18middot18middot18middot18=1417176middot1011 različnih konstrukcijskih alternativ


52

Za optimiranje je bil uporabljen predlagani MINLP otimizacijski pristop Namen optimiranja je bil najti najmanjšo možno maso konstrukcije optimalno topologijo (optimalno število okvirjev leg ter prečk) optimalno trdnost jekla in optimalne standardne profile vseh elementov Optimiranje je bilo izvedeno s programskim paketom MIPSYN ki je bil izpeljan iz programov PROSYN Reševanje MINLP problema hale je bilo izvedeno s trifaznim optimiranjem in z modificiranim OAER algoritmom zunanje aproksimacije s sprostitvijo enačb Za reševanje NLP podproblemov je bil uporabljen program CONOPT2 AS Drudd (1994) (splošna metoda reduciranih gradientov) za reševanje MILP glavnih problemov pa Cplex 70 (2001) (metoda vejanja in omejevanja) Uporabljena je bila trifazna MINLP strategija Za prvim zveznim NLP (inicializacija) prve faze drugo fazo pričnemo z optimiranjem topologije in standardnih materialov medtem ko standardne dimenzije začasno sprostimo v zvezne spremenljivke glej konvergenca modificiranega OAER algoritma preglednica 42 Na tej stopnji koristimo samo vektorje binarnih spremenljivk topologije yn ym yr in materialov ys pogojne (ne)enačbe strukturne analize in logične pogojne (ne)enačbe topologije in materialov Ko je optimalna topologija dosežena (34611 ton pri 2 MINLP iteraciji vsi naslednji rezultati so slabši) račun nadaljujemo s tretjo fazo kjer standardne dimenzije vzpostavimo v izračun V tej fazi so v optimizacijo vključeni vektorji binarnih spremenljivk yi yj yk yl in yp standardnih profilov stebrov nosilcev leg prečk in fasadnih stebrov kakor tudi logične pogojne (ne)enačbe standardnih dimenzij Končni optimalni rezultat 36849 ton je bil dobljen v 4 glavni MINLP iteraciji (vsi naslednji rezultati so bili slabši) Preglednica 42 Konvergenca modificiranega OAER algoritma


MINLP Podfaza Masa


Fasadni steber


1 1NLP 33790 5831 1401 932 15397 14895 668 581 9829


1MILP 37325 16692 15685 646 581 9829 2

2NLP 34611 60 16 14 15089 14778 594 581 8938 2MILP 37604 16692 15698 652 581 9917

3 3NLP 34791 60 16 18 15074 14784 594 581 8938


3MILP 36849 15600 15600 760 1030 988 4

4NLP 36849 60 16 12 I 600 I 600 I 80 I 100 I 450 4MILP 37212 15600 15600 760 1030 988

5 5NLP 37212 60 18 12 I 600 I 600 I 80 I 100 I 450


53

Standardni material S355 je bil izbran za steber nosilec lego prečko in fasadni steber Oznaka I v preglednici 42 pomeni vroče valjan IPE prerez Optimalni rezultat predstavlja omenjeno najmanjšo izračunano maso konstrukcije 36849 ton dobljeno pri optimalnem številu 60 portalnih okvirjev 16 legah in 12 prečkah glej sliko 52 ter pri izračunanih optimalnih standardnih profilih stebrov (IPE 600) nosilcev (IPE 600) leg (IPE 80) prečk (IPE 100) ter fasadnih stebrov (IPE 450) glej sliko 53 V tretji fazi je bilo zelo težko doseči optimalen rezultat saj je število definiranih konstrukcijskih alternativ zelo visoko 1417176 1011 Zato je bila uporabljena posebna strategija presejevanja alternativ ki avtomatično zmanjša število binarnih spremenljivk na sprejemljiv nivo V tretji fazi optimiranje vsebuje samo tiste 0-1 spremenljivke ki določajo vrednosti topologije standardnih materialov in standardnih dimenzij v bližnji okolici izračunanih vrednosti dobljenih v drugi MINLP fazi Uporabljene so bile samo 3 binarne spremenljivke (1 pod in 2 nad izračunano vrednostjo iz 2 faze) za topologijo steber nosilec lego prečko in fasadni steber posebej Tako smo zmanjšali število 263 binarnih spremenljivk na vsega 27 binarnih spremenljivk Število 1417176middot1011 konstrukcijskih alternativ se je znatno zmanjšalo na imiddotjmiddotkmiddotlmiddotnmiddotmmiddotpmiddotrmiddots =3middot3middot3middot3middot3middot3middot3middot3middot3=19683 alternativ kar je bistveno izboljšalo učinkovitost iskanja rešitve

14 x 214 m

300 m

59 x 170 m

1000 m

5 x

15

m8

25

m



54

300 m

14 x 214 m

IPE

600

IPE 80

IPE 600

5 x

150

m

IPE

600

825

m

IPE 100IPE 600

075

m



55

5 SOČASNO OPTIMIRANJE MASE TOPOLOGIJE MATERIALA IN STANDARDNIH IPE ter HEA PROFILOV KONSTRUKCIJE HAL (TIP 3)

51 Optimizacijski model konstrukcije jeklenih hal s standardnimi IPE ter HEA profili

V skladu z MINLP formulacijo problema optimiranja konstrukcij smo razvili optimizacijski model FRAMEOPTIH (FRAME OPTimizationIpe and Hea sections) Model FRAMEOPTIH predstavlja kombinacijo optimizacijskih modelov FRAMEOPTI in FRAMEOPTH kar pomeni da so v modelu zajeti standardni vroče valjani IPE ter HEA profili Kombinatorika različnih tipov profilov tipa 3 je lahko zelo različna Izkazalo se je da so lege in prečke v vseh primerih optimalne iz IPE profilov Stebri in nosilci pa za različne razpone in obtežbe različni Zato smo definirali tri različne podtipe - konstrukcija hale sestavljena iz HEA stebrov nosilcev in fasadnih stebrov ter IPE profilov leg in prečk - podtip 3a - konstrukcija hale sestavljena iz HEA stebrov in fasadnih stebrov ter IPE profilov nosilcev leg in prečk - podtip 3b in - konstrukcija hale sestavljena iz HEA fasadnih stebrov ter IPE profilov stebrov nosilcev leg in prečk - podtip 3c Optimizacijski model je zapisan v višjem algebrajskem modelnem jeziku GAMS pri čemer so bile upoštevane poenostavitve in predpostavke iz prejšnjih modelov Rezultat optimizacijskega modela FRAMEOPTIH bo obsegal konstrukcijo jeklene hale izdelane kot kombinacija standardnih vroče valjanih IPE in HEA prerezov Iz HEA profilov so izdelani stebri in nosilci iz IPE profilov pa lege in fasadne prečke Masna namenska funkcija je definirana kot seštevek produktov površine prečnega prereza IPE ali HEA profilov števila elementov dolžine elementov in njihove gostote za vsak steber nosilec lego prečko in fasadni steber enačba 51



kjer AC AB AP AR in AFC predstavljajo površino prečnega prereza IPE ali HEA profila za steber nosilec lego prečko ter fasadni steber h označuje višino stebra LB dolžino nosilca ter LL dolžino jeklene hale (leg in prečk) HFC pa višino fasadnih stebrov NOFRAME predstavlja število portalnih okvirjev NOPURLIN označuje število leg medtem ko NORAIL predstavlja število prečk Masna namenska funkcija je podvržena pogojem analize in dimenzioniranja obravnavane


56

konstrukcije hale izdelane iz IPE ter HEA profilov Pogojne (ne)enačbe strukturne analize in dimenzioniranja ter omejitve spremenljivk predstavljajo rigorozen sistem funkcij znanih iz teorije analize konstrukcij in standardov dimenzioniranja konstrukcij Model FRAMEOPTIH je zapisan kot kombinacija pogojnih (ne)enačb strukturne analize in dimenzioniranja za IPE profile ter HEA profile Enačbe ki definirajo dimenzije prečnih prerezov so že bile predstavljene v podpoglavju 33 za HEA prereze in v podpoglavju 43 za IPE prereze Enako velja za enačbe ki predstavljajo pogoje mejnega stanja nosilnosti in mejnega stanja uporabnosti Za izračun topologije števila okvirjev leg ter prečk uporabimo enačbe (3100)ndash(3105) iz poglavja 3 prav tako enačbi (3106) in (3107) za določitev diskretnih materialov Za izračun standardnih prečnih prerezov elementov uporabimo kombinacijo enačb ki določajo vektorje diskretnih standardnih vrednosti za IPE in HEA profile Za optimiranje konstrukcije jeklene hale smo uporabili modificiran OAER algoritem in povezano trifazno MINLP strategijo Podrobnejši opis glej podpoglavje 36

52 Računski primer Izkazalo se je da je podtip 3a za večino razponov in obtežb optimalen zato je v nadaljevanju prikazan kot računski primer V predstavljenem računskem primeru je obravnavano sočasno optimiranje mase topologije materiala in standardnih dimenzij jeklene hale dolžine 100 metrov (LL) širine 30 metrov (L) ter višine 75 metrov (h) slika 51 Konstrukcija je sestavljena iz nepomičnih jeklenih portalnih okvirjev na katere so pritrjene lege in prečke V izračunu uporabimo 5 naklon nosilca Okvir je obtežen z lastno težo konstrukcije in kritine ter s spremenljivo obtežbo Lastna teža kritine znaša mr=020 kNm2 Spremenljiva obtežba sn=300 kNm2 (sneg) in wh=10 kNm2 (horizontalni veter) sta definirani v modelu kot vhodna podatka Tako horizontalna kot vertikalna enakomerna zvezna linijska obtežba na nosilec se avtomatsko izračunavata tekom optimiranja z ozirom na izračunano razdaljo med okvirji Gostota jekla (ρ) je 785010-3 kgcm3 elastični modul jekla (E) je 21000 kNcm2 ter strižni modul jekla (G) 8076 kNcm2 Parcialni faktor varnosti stalne obtežbe (γg) je 135 in spremenljive obtežbe (γq) (sneg veter) 150 Varnostna faktorja odpornosti (γM0 in γM1) sta 10 Faktor nepopolnosti pri uklonu (αb) je 034 faktor nepopolnosti pri zvrnitvi (αLT) je 021 razdelilni koeficient (η2) je 1 koeficienta uklonske dolžine elementa (k in kw) sta 10 in koeficienta oblike momente linije (C1) ter (C2) sta 1879 in 0 Najmanjše in največje število portalnih okvirjev (MINNOframe in MAXNOframe) je 1 in 70 najmanjše in največje število leg (MINNOpurlin in MAXNOpurlin) 1 in 50 ter najmanjše in največje število prečk (MINNOrail in MAXNOrail) 1 in 20


57

L= 300 m

H =

82

5 m

h =

75

mf =

07

5 m

L = 1000 m

L



Spremenljivke x

Spodnja meja xLO

Začetna točka xL

Zgornja meja xUP


Optimizacijski model jeklene hale predstavlja množico različnih topološkihkonstrukcijskih alternativ dobljenih s kombinacijo različnega števila okvirjev (največ 70) leg (največ 50) in


58

prečk (največ 20) Superstruktura vsebuje konstrukcijske elemente kot so steber nosilec lega prečka in fasadni steber Vsakemu izbranemu elementu se predpiše standardni prerez in standardna vrednost konstrukcijskega jekla (S235 S275 in S355) V tem modelu obravnavamo mešani izbor standardnih prerezov in sicer med vroče valjanimi HEA prerezi (od HEA 100 do HEA 1000) in vroče valjanimi IPE prerezi (od IPE 80 do IPE 600) Tako je za vsak standardni prerez dodeljen vektor diskretnih številčnih vrednosti - alternativ q Na

primer vektorji diskretnih alternativ višine prečnega prereza q Chi q Bh

j q Phk q Rh

l q FChp in

alternativ površine prečnega prereza q CAi q BA

j q PAk q RA

l q FCAp za vsako skupino

konstrukcijskih elementov Stebri nosilci ter fasadni stebri predstavljajo prvo skupino elementov kjer poteka izbor izmed 24 različnimi vroče valjanimi HEA profili (od HEA 100 do HEA 1000) za vsak element posebej q Ch

i = q Bhj = q FCh

p = 96 114 133 152 171 190 230 250 270 290 310 330

350 390 440 490 540 590 640 690 790 890 990

q CAi = q BA

j = q FCAp = 212 253 314 388 453 538 643 768 868 973 1130 1240

1330 1430 1590 1780 1980 2120 2260 2420 2600 2860

3210 3470 Lege in prečke so druga skupina elementov kjer poteka izbor izmed 18 različnimi vroče valjanimi IPE profili (od IPE 80 do IPE 600) za vsak element posebej q Ph

k = q Rhl = 80 100 120 140 160 180 200 220 240 270 300

330 360 400 450 500 550 600

q PAk = q RA

l = 76 103 132 164 201 239 285 334 391 459 538

626 727 845 988 1160 1340 1560 Superstrukturo tako sestavlja n možnih alternativ portalnih okvirjev nisinN N=123hellip70







- p alternativami standardnega prereza fasadnega stebra pisinP P=123hellip24 je skupno definiranih nmiddotmmiddotrmiddotsmiddotimiddotjmiddotkmiddotlmiddotp=70middot25middot10middot3middot24middot24middot18middot18middot24=23514624 1011 različnih konstrukcijskih alternativ


59

Za optimiranje je bil uporabljen predlagani MINLP otimizacijski pristop Namen optimiranja je bil dobiti najnižjo maso konstrukcije optimalno topologijo (optimalno število okvirjev leg ter prečk) optimalno trdnost jekla in optimalne standardne profile vseh elementov Optimiranje je bilo izvedeno s programskim paketom MIPSYN Reševanje MINLP problema hale je bilo izvedeno s trifaznim optimiranjem in z modificiranim OAER algoritmom zunanje aproksimacije s sprostitvijo enačb Za reševanje NLP podproblemov je bil uporabljen program CONOPT2 AS Drudd (1994) (splošna metoda reduciranih gradientov) za reševanje MILP glavnih problemov pa Cplex 70 (2001) (metoda vejanja in omejevanja) Uporabljena je bila povezana trifazna MINLP strategija Za prvim zveznim NLP (inicializacija) prve faze drugo fazo nadaljujemo z optimiranjem topologije medtem ko standardne dimenzije začasno sprostimo v zvezne spremenljivke glej konvergenca modificiranega OAER algoritma preglednica 52 Na tej stopnji koristimo samo vektorje binarnih spremenljivk topologije yn ym yr in standardnih materialov ys pogojne (ne)enačbe strukturne analize in logične pogojne (ne)enačbe topologije in materialov Ko je optimalna topologija dosežena (25532 ton pri 2 MINLP iteraciji vsi naslednji rezultati so slabši) račun nadaljujemo s tretjo fazo kjer standardne dimenzije vzpostavimo v izračun V tej fazi so v optimizacijo vključeni vektorji binarnih spremenljivk yi yj yk yl in yp standardnih profilov stebrov nosilcev leg prečk ter fasadnih stebrov kakor tudi logične pogojne (ne)enačbe standardnih dimenzij Končni optimalni rezultat 25783 ton je bil dobljen v 4 glavni MINLP iteraciji (vsi naslednji rezultati so bili slabši) Preglednica 52 Konvergenca modificiranega OAER algoritma


MINLP Podfaza Masa


Fasadni steber


1 1NLP 24211 1357 1402 800 33928 34256 4172 3510 6417


1MILP 25987 33374 34256 2319 1886 5865 2

2NLP 25532 17 16 8 28535 34256 2777 2388 5933 2MILP 35615 30874 34256 2499 2117 5973

3 3NLP 29553 25 16 8 27978 34256 1683 1358 5933


3MILP 25783 32100 32100 3340 2850 6430 4

4NLP 25783 16 16 10 H 900 H 900 I 220 I 200 H 220 4MILP 26273 34700 32100 3340 2850 6430

5 5NLP 26273 16 16 10 H 1000 H 900 I 220 I 200 H 220

Standardni material S355 je bil izbran za steber nosilec lego prečko in fasadni steber Oznaka I v preglednici 52 pomeni vroče valjan IPE prerez H pa vroče valjan HEA prerez


60

Optimalni rezultat predstavlja omenjeno najmanjšo izračunano maso konstrukcije 25783 ton dobljeno pri optimalnem številu 16 portalnih okvirjev 16 legah in 10 prečkah glej sliko 52 ter pri izračunanih optimalnih standardnih profilih stebrov (HEA 900) nosilcev (HEA 900) leg (IPE 220) prečk (IPE 200) ter fasadnih stebrov (HEA 220) glej sliko 53 V tretji fazi je bilo zelo težko doseči optimalen rezultat saj je število definiranih konstrukcijskih alternativ zelo visoko 23514624 1011 Zato je bila uporabljena strategija presejevanja alternativ ki avtomatično zmanjša število binarnih spremenljivk na sprejemljiv nivo V tretji fazi optimiranje vsebuje samo tiste 0-1 spremenljivke ki določajo vrednosti topologije standardnih materialov in standardnih dimenzij v bližnji okolici izračunanih vrednosti dobljenih v predhodni MINLP fazi Uporabljene so bile samo 3 binarne spremenljivke (1 pod in 2 nad izračunano vrednostjo iz 2 faze) za topologijo steber nosilec lego prečko in fasadni steber posebej Tako smo zmanjšali število 251 binarnih spremenljivk na vsega 27 binarnih spremenljivk Število 23514624 1011 konstrukcijskih alternativ se je znatno zmanjšalo na imiddotjmiddotkmiddotlmiddotnmiddotmmiddotpmiddotrmiddots =3middot3middot3middot3middot3middot3middot3middot3middot3=19683 alternativ kar je bistveno izboljšalo učinkovitost iskanja rešitve

300 m

14 x 214 m

15 x 667 m

1000 m

825

m4

x 1

87 m



61

HE

A 9

00

HE

A 9

00

14 x 214 m

300 m

IPE 220

HEA 900 HEA 900 IPE 200

4 x

18

7 m

82

5 m

07

5 m


53 Primerjava treh razli čnih tipov konstrukcij jeklenih hal Na osnovi predstavljenih izračunov treh različnih tipov konstrukcij hal kjer smo optimirali maso topologijo standardne materiale in standardne profile smo izvršili primerjavo rezultatov Optimirali smo konstrukcije hal ki so izdelane iz HEA profilov (tip 1) IPE profilov (tip 2) in kot kombinacija IPE ter HEA profilov tip 3 (podtip 3a) Za vse tri tipe konstrukcij velja da imajo enako globalno geometrijo dolžino 1000 m višino 75 m ter razpon 300 m Obtežba ki deluje na vse tri tipe konstrukcij je vertikalna zvezna obtežba 30 kNm2 in horizontalna zvezna obtežba 10 kNm2 Iz primerjave rezultatov lahko ugotovimo da je najmanjša masa konstrukcija hale 25783 ton bila dosežena pri konstrukciji izdelani kot kombinacija IPE ter HEA profilov tip 3 (podtip 3a) Druga najmanjša masa konstrukcije 28057 ton je bila dosežena pri konstrukciji izdelani iz HEA profilov (tip 1) Skoraj 30 slabši rezultat pa predstavlja konstrukcijo hale izdelano iz standardnih IPE profilov (tip 2) kjer je bil dobljen optimalni rezultat 36849 ton Optimalni rezultat zajema tudi topologijo število okvirjev leg in število prečk Pri številu leg in prečk med posameznimi tipi konstrukcij hal ni prišlo do večjih razlik Velika razlika pa je opazna pri dobljenem optimalnem številu portalnih okvirjev ki je potrebna za določen tip konstrukcije Pri hali izdelani iz kombinacije IPE ter HEA profilov tip 3 (podtip 3a) je optimalno število okvirjev 16 kar je tudi najmanjše število okvirjev izmed temi tremi tipi konstrukcij Pri optimizaciji hale izdelane iz HEA profilov (tip 1) je optimalno število okvirjev 19 medtem ko optimalno število 60 okvirjev velja za halo izdelano iz IPE profilov (tip 2) Slednji rezultat je tudi pokazatelj da so hale z razponom 300 m in izdelane iz IPE profilov (tip 2) nekonkurenčne napram konstrukcijam hal izdelanih iz HEA (tip 1) ali iz kombinacije IPE ter HEA profilov tip 3 (podtip 3a)


62

6 VEČPARAMETRI ČNO OPTIMIRANJE KONSTRUKCIJE HAL Z MINLP

Na osnovi predstavljenih MINLP optimizacijskih modelov FRAMEOPTH FRAMEOPTI ter FRAMEOPTIH je bilo izvedeno večparametrično optimiranje treh različnih tipov konstrukcij jeklenih hal konstrukcija hale sestavljena iz vroče valjanih HEA profilov (tip 1) konstrukcija hale sestavljena iz vroče valjanih IPE profilov (tip2) ter konstrukcija hale sestavljena iz mešanega nabora IPE in HEA profilov (tip 3) Namen večparametričnega optimiranja je bilo pri različnih parametrih določiti tip konstrukcije hale z minimalno maso Večparametrično MINLP optimiranje konstrukcije jeklenih hal je bilo izvedeno na osnovi 539 izračunov kombinacij med naslednjimi parametri - 3 različnimi tipi konstrukcij hal s 3 različnimi standardnimi profili - konstrukcija hale sestavljena iz vroče valjanih HEA profilov - tip 1 - konstrukcija hale sestavljena iz vroče valjanih IPE profilov - tip 2 in - konstrukcija hale sestavljena iz mešanega nabora IPE in HEA profilov - tip 3 - 5 različnimi razponi hal (10 m 20 m 30 m 40 m in 50 m) - 3 različnimi višinami hal (5 m 75 m in 10 m) - 6 različnimi vertikalnimi spremenljivimi obtežbami (05 kNm2 10 kNm2 15 kNm2 20 kNm2 25 kNm2 30 kNm2) - 2 različnima horizontalnima spremenljivima obtežbama (05 kNm2 in 10 kNm2) in - 3 različnimi kvalitetami konstrukcijskega jekla (S235 S275 in S355)

61 Konstrukcija hale iz standardnih HEA profilov (tip 1) Rezultati večparametričnega optimiranja konstrukcije jeklene hale na osnovi razvitega optimizacijskega modela FRAMEOPTH so prikazani v preglednici 61a in 61b Poleg dobljene minimalne mase konstrukcije smo dobili še optimalno število okvirjev leg ter prečk Vsakemu stebru nosilcu legi prečki ter fasadnemu stebru je bil izračunan standardni profil prečnega prereza in standardna trdnost jekla Pri tem so vsi rezultati optimiranja pridobljeni ob polni izkoriščenosti konstrukcijskih elementov z ozirom na mejno stanje nosilnosti inali uporabnosti Optimiranje je bilo izvedeno za razpone hal od 10 do 50 metrov s korakom 10 metrov ter za višine hal 5 75 in 10 metrov Konstrukcija hale je bila obtežena z kombinacijo lastne teže spremenljive vertikalne obtežbe od 05 kNm2 do 30 kNm2 s korakom po 05 kNm2 in spemenljive horizontalne obtežbe 05 kNm2 ter 10 kNm2 Obtežbe so bile množene upoštevajoč faktorje varnosti po Eurocode 1 1994 Lastna teža konstrukcije je odvisna od izračunanih standardnih dimenzij prečnega prereza in se avtomatično izračunava za vsako obliko konstrukcije v procesu optimiranja


63

Preglednica 61a Minimalna masa konstrukcije jeklenih hal

Horiz obtežba = 05 [kNm2] Horiz obtežba = 10 [kNm2] q

[kNm2] L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

05 43804 86361 146242 206968 291708 52059 89943 152799 209623 293184 10 46196 94031 159452 243968 373827 52059 97359 173741 251499 373827 15 52532 105706 179963 298897 479199 56536 107907 206687 282053 479199 20 53135 117212 197704 332308 592295 58663 132096 217465 338629 592295 25 58677 124258 210788 380122 713116 64889 124258 215215 382769 724608

Viš

ina

H=5

0 [m

]

30 78687 131751 237745 433839 837705 64383 136606 239695 436486 826212 05 63394 105145 167301 232713 327350 76751 118618 162214 247597 327824 10 68827 127030 185454 286032 433787 79441 121051 190289 295152 431842 15 68441 141094 220943 355391 520156 80223 136623 232977 337287 539905 20 72921 151451 248622 399581 644214 84054 147720 235442 372654 649569 25 91498 169397 242347 477312 750551 86999 161296 252359 414268 770300

Viš

ina

H=7

5 [m

]

30 85902 173623 273917 505061 874609 87197 165771 280574 483628 876636 05 90004 134635 198899 300827 422751 10967 160352 210503 308650 403946 10 93834 146633 244749 356983 581643 10904 164341 248640 341851 580793 15 98312 158049 253878 392801 721289 11817 177374 267598 402409 741594 20 10044 167638 276478 453328 859648 11887 183115 282376 471788 891006 25 10391 183786 307830 528986 101239 11887 193732 307067 525877 104042

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 11823 201777 343180 589513 118048 11983 204794 342417 601536 120905

Preglednica 61b Optimalna topologija konstrukcije jeklenih hal (okvirjilegeprečke)

Horiz obtežba = 05 [kNm2] Horiz obtežba = 10 [kNm2]

q [kNm2]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

05 1686 16126 16166 12228 13248 1986 18126 16186 12226 13246 10 2086 16126 14166 14226 19246 1986 16128 16186 14246 19246 15 1986 15126 14166 16226 26246 19106 18126 17186 16206 26246 20 2386 17126 16168 19228 33246 22106 19128 18186 20208 33246 25 2886 18126 16168 23226 40246 2288 18126 18166 24208 40246

Viš

ina

H=5

0 [m

]

30 2588 19126 19168 27226 47246 2688 20128 20186 28208 47246 05 1488 15128 14168 12228 132610 1688 13128 14168 13228 13248 10 1688 17128 14168 15208 20268 1788 18128 15168 15228 20248 15 1988 181210 17168 20208 25268 1888 181212 181612 182012 262410 20 1988 171212 19168 23208 32268 1888 191212 17168 212014 322412 25 20108 191212 16168 292012 38268 1588 191212 18168 242014 392410

Viš

ina

H=7

5 [m

]

30 1888 201212 19168 312012 45268 1888 191212 191612 292014 452410 05 14810 141410 151610 142214 182412 15812 141610 131810 152010 171612 10 14810 151410 171614 172012 272412 14810 161210 171612 162012 272612 15 16810 141410 161614 202012 332412 15810 161610 171612 202012 342414 20 16810 171410 171610 242012 412410 17810 191212 171612 252014 422412 25 17810 171412 191614 292012 492412 17810 201212 191612 292014 502414

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 14810 191214 221614 332012 582412 18810 211212 221612 342014 592614


64

Iz preglednice 61a je razvidno naraščanje mase konstrukcije pri manjših in srednjih razponih Pri večjih razponih konstrukcije pa masa eksponentno narašča s povečevanjem vertikalne spremenljive obtežbe V preglednici 61b je prikazana optimalna topologija konstrukcije hale kjer prvo število predstavlja število portalnih okvirjev drugo število število leg in zadnje število daje število prečk Iz prakse smo vajeni da število okvirjev narašča glede na povečevanje razpona Iz predstavljene preglednice 61b pa lahko opazimo posebnost in sicer število portalnih okvirjev sprva pada in nato raste pri povečevanju razpona od 10 do 50 metrov To posebnost gre pripisati optimizaciji ki si jo lahko razložimo na naslednji način Pri minimiranju mase konstrukcije manjših razponov namenska funkcija teži k izboru manjših standardnih prerezov elementov in s tem posledično povečuje število portalnih okvirjev Pri srednjih razponih pa vemo da je potreben večji standardni prerez elementa zato je opaziti pri srednjih razponih zmanjšanje portalnih okvirjev Pri velikih razponih pa se število okvirjev povečuje pri največjih izbranih standardnih prerezih elementa Izračunano je bilo standardno konstrukcijsko jeklo S355 za vse izbrane konstrukcijske elemente

62 Konstrukcija hale iz standardnih IPE profilov (tip 2) Najmanjša masa konstrukcije jeklenih hal izdelanih iz vroče valjanih IPE profilov je podana v preglednici 62a optimalna topologija pa je prikazana v preglednici 62b Poleg minimalne mase in optimalne topologije smo še izračunali standardne profile prečnega prereza in standardne trdnosti konstrukcijskega jekla za vsak konstrukcijski element posebej Pri tem so vsi rezultati optimiranja pridobljeni ob polni izkoriščenosti konstrukcijskih elementov z ozirom na mejno stanje nosilnosti inali uporabnosti V optimizacijskem modelu FRAMEOPTI so bile upoštevane poenostavitve in predpostavke opisane v poglavju 3 Optimiranje konstrukcije hal smo izvajali za hale razpona od 10 do 30 metrov s korakom 10 metrov ter za višine 5 75 in 10 metrov Okvir je bil obtežen z lastno težo in spremenljivo vertikalno ter horizontalno obtežbo Optimiranje konstrukcij hal izdelanih iz vroče valjanih IPE profilov smo izvajali samo do razpona 30 metrov Pri razponih večjih od 30 metrov smo dobili medsebojne razdalje med okvirji manjše od 30 centimetrov kar pa je nerealno Pri primerjavi rezultatov iz preglednic 61a in 62a ugotovimo da je optimalnejša konstrukcija hale izdelana iz IPE profilov in sicer to velja le za manjše razpone do 20 metrov Tudi tukaj velja posebnost padanja števila portalnih okvirjev in nato naraščanje le-teh pri povečevanju razpona hale


65



q [kNm2]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m] L=10

[m] L=20 [m]

L=30 [m]

05 29390 63373 113372 33765 62119 116031

10 34058 78485 139979 39787 80123 143702

15 34825 93391 166785 43205 92559 177956

20 39038 93925 204737 45627 99675 210833

25 42725 103116 240569 46411 102510 240569

Viš

ina

H=

50

[m

]

30 42959 120572 281065 48636 119664 279793 05 47295 79741 140618 61335 90932 152350

10 47862 100836 184360 61409 98985 195391

15 51856 106055 224991 61916 114231 233578

20 55533 128956 272185 65789 127856 277701

25 59555 141461 318851 66530 147062 329882

Viš

ina

H=

75

[m

]

30 59555 156191 365945 71158 159593 368488

05 77959 131692 192818 95482 150215 221770 10 84442 138305 257932 97763 159698 280367 15 87235 158553 325238 97763 181443 344064 20 93001 177291 389903 102820 191919 406729 25 94241 202889 451599 103427 212667 468426

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 93137 244471 513297 109668 239265 535733

Preglednica 62b Optimalna topologija konstrukcije jeklenih hal

(okvirjilegeprečke)


q [kNm2]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m] L=10

[m] L=20 [m]

L=30 [m]

05 30106 23146 15168 2886 24146 19168

10 33106 22148 22166 27106 22146 22166

15 34106 22148 29166 281010 22146 31166

20 32108 22146 37166 341010 24146 38168

25 331010 25148 45166 351010 25128 45166

Viš

ina

H=

50

[m

]

30 32108 27148 53166 34108 28148 53166 05 2588 21128 181610 2488 211210 191612 10 2488 221210 261612 2388 20128 281612 15 2988 23128 341810 25810 25128 361612 20 3088 271210 431612 27810 271210 441612 25 29810 311210 511612 2888 321410 531612

Viš

ina

H=

75

[m

]

30 29810 361210 601612 29810 371210 601612 05 191010 232010 261610 201010 222012 282014 10 211010 252010 361614 201010 262012 401614 15 251012 292010 481614 201010 332012 511614 20 251012 352012 591614 211012 392012 621614 25 271012 422012 701614 271012 452010 731614

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 251210 502010 811614 281012 522010 851614


66

63 Konstrukcija hale iz kombinacije standardnih IPE in HEA profilov (tip 3) Pri optimiranju konstrukcije hal tipa 3 se je izkazalo da je kombinatorika izbora standardnih profilov lahko zelo različna Optimizacijski model konstrukcije zajema kombinacijo standardnih vroče valjanih IPE ter HEA profilov za stebre nosilce lege prečke in fasadne stebre Za dosego optimalne mase topologije materiala in standardnih profilov smo izdelali modele za posamezne podtipe in sicer - konstrukcija hale sestavljena iz HEA stebrov nosilcev in fasadnih stebrov ter IPE profilov leg in prečk - podtip 3a slika 61 - konstrukcija hale sestavljena iz HEA stebrov in fasadnih stebrov ter IPE profilov nosilcev leg in prečk - podtip 3b slika 62 in - konstrukcija hale sestavljena iz HEA fasadnih stebrov ter IPE profilov stebrov nosilcev leg in prečk - podtip 3c slika 63

HEA HEA

HE

A

HE

A

Slika 61 Podtip 3a

IPE IPE

HE

A

HE

A

Slika 62 Podtip 3b


67

IPE

IPE

IPE IPE

Slika 63 Podtip 3c

631 Izvrednotenje optimalnega podtipa Preglednici 63a in 63b predstavljata optimalne rezultate dobljene pri MINLP večparametričnem optimiranju konstrukcije jeklenih hal pri kombinaciji vroče valjanih IPE in HEA profilov (podtip 3a podtip 3b in podtip 3c) Iz omenjenih preglednic je moč razbrati minimalno maso ter optimalno topologijo za izbrano konstrukcijo hale Optimizacijski model konstrukcije zajema kombinacijo standardnih vroče valjanih IPE ter HEA profilov za stebre nosilce lege prečke in fasadne stebre Za hale manjših razponov se je izkazal kot najugodnejši podtip podtip 3c za hale srednjih razponov je dal podtip 3b najmanjšo maso za hale večjih razponov pa je bil optimalen podtip 3a Optimiranje konstrukcije hal s kombinacijo vroče valjanih IPE ter HEA profilov smo izvajali za hale razpona od 10 do 50 metrov s korakom 10 metrov ter za višine 5 75 in 10 metrov Okvir je bil obtežen z lastno težo in spremenljivo vertikalno ter horizontalno obtežbo


68



[kNm2] L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

05 27658 58642 113372 206035 272176 32948 60355 116031 204023 279382 10 28704 74654 132177 229668 345848 33669 72066 134743 237883 345848 15 32569 80892 164886 254464 449305 36805 80341 167075 261460 450812 20 35709 87074 193339 285320 546103 37166 89648 205018 288209 547469 25 39225 97234 201546 314288 653893 42113 100282 218811 316612 655165

Viš

ina

H=5

0 [m

]

30 39635 107355 213835 353179 752057 42062 110121 225944 355188 752057 05 45708 77038 133451 226330 310057 58763 87977 134220 237188 326780 10 47404 95557 171033 276552 388448 58825 96282 175590 271373 405170 15 49283 103235 211728 300170 499758 59343 102544 207245 291879 500831 20 52732 112222 237914 338562 603273 64205 118543 223507 336821 604890 25 56987 120193 248758 387161 720173 64946 125863 248758 388063 721868

Viš

ina

H=7

5 [m

]

30 57971 137338 253761 432147 826509 68585 136569 257828 438448 826509 05 72055 115727 170413 285729 365391 88281 144706 195119 286835 389903 10 73876 123895 217855 328464 513581 90102 147721 221520 326594 525606 15 81881 134044 236758 375398 674605 92976 151115 246421 391729 665760 20 80262 149768 256901 426076 826088 98142 152751 278654 444630 844526 25 82384 153348 274442 507574 958331 10026 161757 289199 501959 922058

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 89134 164875 295214 568007 110846 10365 166473 297780 585336 111171

Legenda Podtip 3a Podtip 3b Podtip 3c Preglednica 63b Optimalna topologija konstrukcije jeklenih hal (okvirjilegeprečke)


q [kNm2]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

05 3186 22126 15168 14226 12246 2886 23126 19168 13206 12248 10 3586 23126 21166 13228 18246 2986 23126 21166 12208 18246 15 3486 22126 29166 13228 25246 3388 23126 29166 14206 25246 20 3488 21126 16166 16208 31246 3386 21128 17166 16208 31246 25 3586 22126 15166 19208 38246 3588 23126 12168 19208 38246

Viš

ina

H=5

0 [m

]

30 3488 23128 14166 22208 44246 3486 24126 14166 22208 44246 05 2588 21128 18168 12208 12248 2488 21128 181610 13228 13248 10 2588 22128 25168 12208 18248 2388 20128 19168 13228 19248 15 2988 22128 14168 152010 25248 25810 22128 131610 15228 252410 20 2988 21128 13168 182010 31248 27810 23128 15168 192210 312410 25 3188 24128 14168 222010 38248 2888 25128 14168 23228 38248

Viš

ina

H=7

5 [m

]

30 29810 181210 14168 252010 44248 29810 18128 161610 272210 44248 05 21810 171210 221610 132212 152410 20810 171210 271610 132210 162612 10 21810 191210 151610 142012 232412 20810 171210 141610 152012 252612 15 26810 191210 151610 182012 322412 21810 181210 141610 192212 332610 20 25810 191210 151610 232012 402410 21812 191210 141610 242012 412610 25 26810 191210 161610 272012 472412 24812 201210 181610 282210 452612

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 241010 201210 181610 312210 552412 24812 191210 181610 322012 552610

Legenda Podtip 3a Podtip 3b Podtip 3c


69

Z optimizacijskim modelom FRAMEOPTIH smo dosegli manjšo maso konstrukcije hal v primerjavi s konstrukcijo izdelano samo iz HEA ali samo iz IPE profilov glej preglednico 63a Za vse konstrukcijske elemente je bilo dobljeno optimalno jeklo S 355 632 Izbor vrste prereza nosilca (IPE ter HEA) Spodaj prikazani preglednici 63c in 63d prikazujeta optimirane mase in topologijo konstrukcije hale za razpone 20 30 in 40 metrov Med temi razponi se zgodi menjava prereza nosilca ki je lahko IPE ali HEA profil Točka kjer pride do prehoda IPE nosilca v HEA nosilec je odvisna od razpona hale vertikalne obtežbe in višine Preglednica 63c Minimalna masa in optimalna topologija podtipa 3a


q [kNm2]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

05 79816 13757 204023 18126 15168 13206

10 94006 161997 237880 18126 16188 12208

15 104112 173639 17128 15186

20 114167 205018 19126 17166

25 118464 218811 18126 12168

Viš

ina

H=

50

[m

]

30 127484 225944 20126 14166 05 114237 166013 237188 18128 141610 13228

10 114352 181183 271373 18128 15168 13228

15 135461 207245 191212 131610

20 153196 223507 191212 15168

25 167632 248758 211212 14168

Viš

ina

H=

75

[m

]

30 172577 257828 211212 161610

05 155570 208428 286830 161210 161810 132210 10 160684 221520 161212 141610 15 164263 246421 161212 141610 20 169048 278654 191212 141610 25 183876 289199 211212 181610

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 196693 297780 211212 181610


70

Preglednica 63d Minimalna masa in optimalna topologija podtipa 3b


q [kNm2]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

05 65362 123928 247838 23126 17186 32206

10 75949 142326 387574 20126 20186 51206

15 85784 174927 20126 25186

20 96425 214063 19128 31186

25 102365 244140 21126 37186

Viš

ina

H=

50

[m

]

30 111796 284333 19128 441810 05 97016 148585 286539 18128 17168 30228

10 101454 175590 456117 20128 19168 48208

15 123056 207908 221210 24168

20 127704 255221 211210 31168

25 134312 299824 221210 36168

Viš

ina

H=

75

[m

]

30 136569 342877 18128 42168

05 144706 196049 340493 171210 181810 292012 10 147721 224931 171210 201812 15 151115 259776 181210 251810 20 152751 303941 191210 311610 25 161757 360526 201210 361810

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 166473 410715 191210 421810


71

7 PRIMERJALNI DIAGRAMI VE ČPARAMETRI ČNEGA OPTIMIRANJA

Po MINLP večparametričnem optimiranju mase konstrukcij jeklenih hal je bila izvedena medsebojna primerjava pridobljenih optimalnih rezultatov predstavljenih v poglavju 6 Tako smo izdelali diagrame za določitev optimalnega dizajna konstrukcije jeklenih hal ki bodo omogočali inženirju za izbran razpon višino in obtežbo hale izbiro tipa konstrukcije in jeklenih profilov (HEA - tip 1 IPE ndash tip 2 in kombinacija HEA in IPE ndash tip 3) izbiro kakovosti konstrukcijskega jekla (material) in izbor števila konstrukcijskih elementov (topologijo) Predstavljeni bodo diagrami za vse različne tipe hal razpone višine vertikalne obtežbe vendar le za horizontalno obtežbo 10 kNm2 Razlika rezultatov konstrukcij obteženih s horizontalno obtežbo 05 in 10 kNm2 je namreč majhna Pri malih in srednjih razponih je ta razlika od 3 do 12 pri velikih razponih pa znaša od 05 do 2

71 Vpliv razpona in višine hale na maso konstrukcije Spodaj predstavljeni diagrami prikazujejo vpliv višine hale na maso konstrukcije Diagrami so izvrednoteni za - konstrukcije hal izdelanih iz HEA profilov (tip 1) za razpone od 10 do 50 metrov za višine 5 75 ter 10 metrov in za različne vertikalne zvezne obtežbe od 05 do 30 kNm2 - konstrukcije hal izdelanih iz IPE profilov (tip 2) za razpone od 10 do 30 metrov za višine 5 75 ter 10 metrov in za različne vertikalne zvezne obtežbe od 05 do 30 kNm2 in - konstrukcije hal izdelanih iz kombinacije HEA ter IPE profilov (tip 3) za razpone od 10 do 50 metrov za višine 5 75 ter 10 metrov in za različne vertikalne zvezne obtežbe od 05 do 30 kNm2 Na diagramih konstrukcije hal izdelane iz standardnih IPE profilov je minimalna masa prikazana samo za razpone hal do 30 metrov glej sliko 72 Izračunani rezultati nad mejo 30 metrov so bili nerealni Iz omenjenih diagramov je razvidno naraščanje mase za različne višine hal Pri razponu 20 metrov se premica lomi navzgor kar nakazuje k skokovitemu povišanju mase Iz tega lahko ugotovimo da je uporaba standardnih IPE profilov konkurenčna le za razpone do 20 metrov


72

HEA

0

100

200

300

400

500

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 05 kNm2

HEA

0

150

300

450

600

750

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 10 kNm2

HEA

0

150

300

450

600

750

900

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 15 kNm2

HEA

0

200

400

600

800

1000

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 20 kNm2

HEA

0

200

400

600

800

1000

1200

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 25 kNm2

HEA

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 30 kNm2

Slika 71 Vpliv razpona in višine hale na maso konstrukcije izdelane iz HEA profilov (tip 1)


73

IPE

0

50

100

150

200

250

10 15 20 25 30Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 05 kNm2

IPE

0

50

100

150

200

250

300

10 15 20 25 30Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 10 kNm2

IPE

0

75

150

225

300

375

10 15 20 25 30Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 15 kNm2

IPE

0

100

200

300

400

500

10 15 20 25 30Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 20 kNm2

IPE

0

100

200

300

400

500

10 15 20 25 30Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 25 kNm2

IPE

0

100

200

300

400

500

600

10 15 20 25 30Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 30 kNm2

Slika 72 Vpliv razpona in višine hale na maso konstrukcije izdelane iz IPE profilov (tip 2)


74

IPE+HEA

0

100

200

300

400

500

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 05 kNm2

IPE+HEA

0

100

200

300

400

500

600

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 10 kNm2

IPE+HEA

0

150

300

450

600

750

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 15 kNm2

IPE+HEA

0

200

400

600

800

1000

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 20 kNm2

IPE+HEA

0

200

400

600

800

1000

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 25 kNm2

IPE+HEA

0

200

400

600

800

1000

1200

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 30 kNm2

Slika 73 Vpliv razpona in višine hale na maso konstrukcije izdelane iz kombinacije IPE ter

HEA profilov (tip 3)


75

Iz prikazanih diagramov na slikah 71 72 in 73 lahko za izbrani tip hale razpon višino in obtežbo razberemo najmanjšo maso konstrukcije hale Opazimo da masa nelinearno narašča glede na povečevanje razpona Ta nelinearnost je večja pri večjih razponih Razlika mas pri halah z višino 5 in 75 metrov je znatno manjša kot razlika mas med višino 75 in 10 metrov Na to razliko pa ne vpliva samo višina hale ampak tudi obtežba čim višja je obtežba tem večja je ta razlika (kot posledica povečevanja standardnih prerezov ali števila portalnih okvirjev) Znatno povečanje mase konstrukcije opazimo pri razponu med 40 in 50 metrov Iz tega lahko sklepamo da so hale izdelane iz vroče valjanih HEA profilov in iz mešanega izbora IPE ter HEA profilov le za razpone do 40 metrov 72 Vpliv obtežbe in razpona hale na maso konstrukcije Spodnji diagrami prikazujejo spreminjanje mase konstrukcije glede na povečevanje razpona hale Obravnavamo tri različne tipe konstrukcije hal ki so izdelane iz vroče valjanih HEA profilov (tip 1) IPE profilov (tip 2) in kot kombinacija IPE ter HEA profilov (tip 3) Za konstrukcijo hale izdelane iz IPE profilov smo optimiranje izvajali za kombinacijo razponov od 10 do 30 metrov višin od 5 do 10 metrov ter za obtežbe od 05 do 30 kNm2 Za konstrukcije hal izdelanih iz HEA profilov in iz kombinacije IPE ter HEA profilov smo optimiranje izvedli za enake parametre kot pri tipu 2 le razpone smo definirali od 10 do 50 metrov


76

H = 50 m

0

150

300

450

600

750

900

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]L = 500 mL = 400 mL = 300 mL = 200 mL = 100 m

HEA

H = 75 m

0

150

300

450

600

750

900

1050

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]

L = 500 mL = 400 mL = 300 mL = 200 mL = 100 m

HEA

H = 100 m

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]

L = 500 mL = 400 mL = 300 mL = 200 mL = 100 m

HEA

Slika 74 Vpliv obtežbe in razpona hale na maso konstrukcije izdelane iz HEA profilov (tip 1)


77

IPE

0

50

100

150

200

250

300

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]L = 300 mL = 200 mL = 100 m

H = 50 m

H = 75 m

0

75

150

225

300

375

450

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]

L = 300 mL = 200 mL = 100 m

IPE

H = 100 m

0

100

200

300

400

500

600

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]

L = 300 mL = 200 mL = 100 m

IPE

Slika 75 Vpliv obtežbe in razpona hale na maso konstrukcije izdelane iz IPE profilov (tip 2)


78

H = 50 m

0

100

200

300

400

500

600

700

800

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]L = 500 mL = 400 mL = 300 mL = 200 mL = 100 m

IPE+HEA

H = 75 m

0

150

300

450

600

750

900

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]

L = 500 mL = 400 mL = 300 mL = 200 mL = 100 m

IPE+HEA

H = 100 m

0

200

400

600

800

1000

1200

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]

L = 500 mL = 400 mL = 300 mL = 200 mL = 100 m

IPE+HEA

Slika 76 Vpliv obtežbe in razpona hale na maso konstrukcije izdelane iz kombinacije IPE ter



79

Pri manjših razponih od 10 do 20 metrov daje povečevanje vertikalne zvezne obtežbe mali doprinos k povečanju mase konstrukcije Pri večjih razponih pa vpliv povečanja vertikalne obtežbe na konstrukcijo povzroča eksponentno naraščanje mase hale Pri optimiranju konstrukcij velikih razponov pri velikih vertikalnih obtežbah predstavlja merodajno omejitev za izračun optimalne rešitve deformacija nosilca ki je določena s pogojnimi neenačbami mejnega stanja uporabnosti V tem primeru je bil zadoščen pogoj deformacije nosilca tako da se je v izračunu povečalo število okvirjev Večje je število okvirjev večja je tudi masa konstrukcije

73 Vpliv razpona hale in obtežbe na razmak med okvirji Spodaj predstavljeni diagrami prikazujejo vpliv razpona hale in obtežbe Obravnavani so trije različni tipi konstrukcije hal hale izdelane iz vroče valjanih HEA profilov (tip 1) hale iz IPE profilov (tip 2) in hale iz kombinacije IPE ter HEA profilov (tip 3) Za konstrukcijo hale izdelane iz IPE profilov (tip 2) smo optimiranje izvajali za kombinacijo razponov od 10 do 30 metrov višin od 5 do 10 metrov ter za obtežbe od 05 do 30 kNm2 Za konstrukcije hal izdelanih iz HEA profilov (tip 1) in iz kombinacije IPE ter HEA profilov (tip 3) smo optimiranje izvedli za enake parametre kot pri tipu 2 le razpone smo definirali od 10 do 50 metrov


80

H = 50 m

1

3

5

7

9

11

10 20 30 40 50

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]

q=05 kNmq=10 kNmq=15 kNmq=20 kNmq=25 kNmq=30 kNm

HEA

2

2

22

22

H = 75 m

1

3

5

7

9

11

10 20 30 40 50

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


HEA

2

2

22

22

H = 100 m

1

3

5

7

9

11

10 20 30 40 50

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


HEA

2

2

22

22

Slika 77 Vpliv razpona hale in obtežbe na razmak med okvirji za konstrukcije izdelane iz



81

H = 50 m

1

2

3

4

5

6

7

10 15 20 25 30

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


IPE

2

2

22

22

H = 75 m

1

2

3

4

5

6

7

10 15 20 25 30

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


IPE

2

2

22

22

H = 100 m

1

2

3

4

5

6

7

10 15 20 25 30

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


IPE

2

2

22

22


IPE profilov (tip 2)


82

H = 50 m

1

3

5

7

9

11

10 20 30 40 50

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


IPE+HEA

2

2

2

2

22

H = 75 m

1

3

5

7

9

11

10 20 30 40 50

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji [

m]


IPE+HEA

2

2

2

2

22

H = 100 m

1

3

5

7

9

11

10 20 30 40 50

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


IPE+HEA

2

2

2

2

22


kombinacije IPE ter HEA profilov (tip 3) Iz prikazanih diagramov na slikah 77 78 in 79 za izbran tip hale razpon višino in obtežbo lahko razberemo da se razmaki med okvirji zmanjšujejo glede na povečevanje obtežbe Pri manjših in srednjih razponih od 10 do 30 metrov so razmaki med okvirji sledeči - za manjše obtežbe od 05 do 15 kNm2 od 5 do 75 metrov - za večje obtežbe od 20 do 30 kNm2 od 2 do 65 metrov Pri velikih razponih od 40 do 50 metrov pa so izračunani naslednji razmaki med okvirji - za manjše obtežbe od 05 do 15 kNm2 od 4 do 85 metrov - za večje obtežbe od 20 do 30 kNm2 od 2 do 55 metrov


83

Krivulje ki prikazujejo odnos med razponom hal in razmakom med okvirji so pri manjših in srednjih razponih vodoravne pri večjih razponih pa začnejo padati Padanje krivulje povzroči zgoščevanje okvirjev kot posledica velike obtežbe V tem primeru so za okvir hale vedno izbraniizračunani največji možni profili Spodaj dobljena razmerja med razponom konstrukcije hale L in razmakom med okvirji ef veljajo za manjše obtežbe od 05 do 15 kNm2 - za razpon L = 10 metrov velja ef = (03-055)L - za razpon L = 20 metrov velja ef = (03-04)L - za razpon L = 30 metrov velja ef = (01-025)L - za razpon L = 40 metrov velja ef = (01-02)L - za razpon L = 50 metrov velja ef = (008-018)L Spodaj izračunana razmerja med razponom konstrukcije hale L in razmakom med okvirji ef veljajo za večje obtežbe od 20 do 30 kNm2 - za razpon L = 10 metrov velja ef = (03-07)L - za razpon L = 20 metrov velja ef = (015-03)L - za razpon L = 30 metrov velja ef = (005-025)L - za razpon L = 40 metrov velja ef = (01-015)L - za razpon L = 50 metrov velja ef = (004-006)L

74 Primerjalni diagrami konkuren čnosti za definirane različne parametre Končni rezultat optimiranja in predstavljenih primerjav so diagrami za medsebojno primerjavo konkurenčnosti treh različnih tipov konstrukcij hal Pod različnimi tipi konstrukcij hal razumemo konstrukcije ki so izdelane iz - standardnih vroče valjanih HEA profilov (tip 1) - standardnih vroče valjanih IPE profilov (tip 2) in - kombinacije IPE ter HEA profilov (tip 3) Izdelali smo diagrame za definirane različne kombinacije razponov od 10 do 50 metrov višin od 5 do 10 metrov in spremenljivih obtežb od 05 do 30 kNm2 V vseh primerih je bilo izračunano optimalno jeklo S 355


84

H = 50 m

0

50

100

150

200

250

300

350

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]HEAIPEIPE+HEA

q = 05 kNm2

H = 50 m

0

75

150

225

300

375

450

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 10 kNm2

H = 50 m

0

100

200

300

400

500

600

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 15 kNm2

H = 50 m

0

150

300

450

600

750

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]HEAIPEIPE+HEA

q = 20 kNm2

H = 50 m

0

150

300

450

600

750

900

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 25 kNm2

H = 50 m

0

200

400

600

800

1000

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 30 kNm2

Slika 710 Primerjalni diagrami za konstrukcije izdelane iz različnih standardnih prerezov

za višino hale H = 50 m


85

H = 75 m

0

75

150

225

300

375

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 05 kNm2

H = 75 m

0

100

200

300

400

500

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 10 kNm2

H = 75 m

0

100

200

300

400

500

600

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 15 kNm2

H = 75 m

0

150

300

450

600

750

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]HEAIPEIPE+HEA

q = 20 kNm2

H = 75 m

0

150

300

450

600

750

900

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 25 kNm2

H = 75 m

0

200

400

600

800

1000

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 30 kNm2




86

H = 100 m

0

100

200

300

400

500

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 05 kNm2

H = 100 m

0

100

200

300

400

500

600

700

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 10 kNm2

H = 100 m

0

150

300

450

600

750

900

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 15 kNm2

H = 100 m

0

200

400

600

800

1000

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]HEAIPEIPE+HEA

q = 20 kNm2

H = 100 m

0

200

400

600

800

1000

1200

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 25 kNm2

H = 100 m

0

250

500

750

1000

1250

1500

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 30 kNm2




87

Zgoraj predstavljeni diagrami nam prikazujejo optimalni dizajn konstrukcije hale pri dobljeni minimalni masi Iz diagramov je razvidno da je tip konstrukcije 3 izdelan iz kombinacije IPE ter HEA profilov konkurenčnejši od tipov konstrukcij hal 1 in 2 izdelanih iz samo HEA ali samo IPE profilov Konkurenčnost hal izdelanih iz vroče valjanih IPE profilov zasledimo pri malih razponih od 10 do 15 metrov in pri mali višini hale 5 metrov Pri večjih razponih hal IPE profile nadomestijo ugodnejši HEA profili Iz slik 710-712 lahko sklepamo da je kombinacija uporabe IPE ter HEA profilov najoptimalnejša oblika konstrukcije za vse razpone in višine hal Razlika rezultatov predstavljenih treh tipov konstrukcij hal lahko tudi znaša do 50

75 Vpliv razpona konstrukcije hale na število portalnih okvirjev Skozi potek optimiranja konstrukcij jeklenih hal se je pojavila tudi posebnost in sicer gre za padanje in naraščanje števila portalnih okvirjev pri dobljeni minimalni masi konstrukcije Ta posebnost je bila izstopajoča pri višinah hal 5 metrov ter pri vertikalni obtežbi 15 20 in 25 kNm2 medtem ko pri ostalih izbranih parametrih ni tako izrazita Iz spodnjih diagramov je razvidno padanje in naraščanje števila okvirjev glede na razpon hale Konstrukcija hale je lahko izdelana samo iz standardnih HEA ali IPE profilov ali kot kombinacija IPE ter HEA profilov


88

H = 50 m

10

15

20

25

30

35

10 20 30 40 50Razpon [m]

Šte

vilo

okv

irje

v [k

om

] 1

HEAIPEIPE+HEA

q = 15 kNm2

H = 50 m

10

15

20

25

30

35

40

10 20 30 40 50Razpon [m]

Šte

vilo

okv

irje

v [k

om

] 1

HEAIPEIPE+HEA

q = 20 kNm2

H = 50 m

10

15

20

25

30

35

40

45

50

10 20 30 40 50Razpon [m]

Šte

vilo

okv

irje

v [k

om

] 1

HEAIPEIPE+HEA

q = 25 kNm2

Slika 713 Število portalnih okvirjev glede na razpon hale Iz krivulj ki so prikazane na sliki 713 lahko odčitamo potrebno število okvirjev glede na izbran razpon hale Na območju manjših in srednjih razponov hal (10 - 30 metrov) opazimo padanje krivulje Pri malih razponih je potrebno večje število okvirjev zaradi česar so potrebni manjši standardni prerezi elementov Pri srednjih razponih pa se velikost standardnega prereza elementa poveča in s tem se potreba po številu okvirjev zmanjša Posledica je padec krivulje Krivulja začne strmo naraščati pri razponih večjih od 30 metrov kot posledica velikega števila okvirjev in velikih standardnih prerezov elementov s katerimi zadostimo pogojem mejnega stanja nosilnosti inali mejnega stanja uporabnosti


89

76 Diagrami za izbor vrste prereza nosilca (IPE ter HEA) Podrobneje smo obravnavali konstrukcije hal izdelanih iz kombinacije IPE ter HEA profilov (podtip 3a in podtip 3b) Optimiranje hal smo izvajali za kombinacijo razponov od 30 do 40 metrov za vertikalni obtežbi 05 in 10 kNm2 ter za kombinacijo razponov od 20 do 30 metrov za vertikalne obtežbe od 15 do 3 kNm2 pri čemer je bila višina hal 5 75 ali 10 metrov Pri omenjenih parametrih namreč zaradi večje obtežbe na halo prerez nosilca IPE profil prehaja v HEA profil Spodaj predstavljeni diagrami prikazujejo izbor vrste prereza nosilca (IPE ter HEA) Diagrami so izvrednoteni za - konstrukcijo hale sestavljene iz HEA stebrov nosilcev in fasadnih stebrov ter IPE profilov leg in prečk - podtip 3a in - konstrukcijo hale sestavljene iz HEA stebrov in fasadnih stebrov ter IPE profilov nosilcev leg in prečk - podtip 3b


90

120

140

160

180

200

220

240

260

30 32 34 36 38 40Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 50 m q = 05 kNm2

100

150

200

250

300

350

400

30 32 34 36 38 40

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 50 m q = 10 kNm2

80

100

120

140

160

180

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 50 m q = 15 kNm2

80

100

120

140

160

180

200

220

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 50 m q = 20 kNm2

100

120

140

160

180

200

220

240

260

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 50 m q = 25 kNm2

100

130

160

190

220

250

280

310

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 50 m q = 30 kNm2

Slika 714 Diagrami za izbor vrste prereza nosilca (IPE ter HEA) za višino hale H=50 m


91

130

160

190

220

250

280

310

30 32 34 36 38 40

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 75 m q = 05 kNm2

150

200

250

300

350

400

450

30 32 34 36 38 40

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 75 m q = 10 kNm2

120

140

160

180

200

220

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 75 m q = 15 kNm2

120

140

160

180

200

220

240

260

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 75 m q = 20 kNm2

130

160

190

220

250

280

310

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 75 m q = 25 kNm2

120

160

200

240

280

320

360

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 75 m q = 30 kNm2



92

190

220

250

280

310

340

370

30 32 34 36 38 40

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 100 m q = 05 kNm2

140

160

180

200

220

240

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 100 m q = 10 kNm2

140

160

180

200

220

240

260

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 100 m q = 15 kNm2

130

160

190

220

250

280

310

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 100 m q = 20 kNm2

150

200

250

300

350

400

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 100 m q = 25 kNm2

150

200

250

300

350

400

450

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 100 m q = 30 kNm2



93

Iz predstavljenih diagramov na slikah 714-716 lahko za izbran razpon višino in obtežbo odčitamo pri katerem razponu je optimalen HEA nosilec in pri katerem IPE nosilec Pri manjših obtežbah od 05 do 15 kNm2 je do razpona 32 metrov optimalen IPE nosilec nad tem razponom pa HEA nosilec Pri večjih obtežbah od 20 do 30 kNm2 pa se prehod med IPE in HEA nosilcem zgodi pri razponih med 22 in 26 metri Na primer za izbrano višino hale 75 metrov in obtežbo 25 kNm2 je do 24 metrov optimalen IPE nosilec nad tem razponom pa HEA nosilec Iz diagramov je razvidno da lahko izbor nosilca maso konstrukcije poveča ali zmanjša Spodaj je izrisan diagram ki prikazuje razpon pri katerih prehaja IPE profil nosilca v HEA profil (križanje grafov optimalnih mas nosilcev z IPE in HEA profili) Iz diagramov kjer pride do križanja funkcij optimiranih mas se z povečevanje obtežbe zmanjšuje razpon okvirja hale To zmanjševanje je izrazitejše pri višjih halah Povprečen razpon hale kjer pride do križanja funkcij (IPE ali HEA nosilec) je pri manjših obtežbah 30 metrov pri večjih obtežbah pa 24 metrov glej sliko 717

05

1

15

2

25

3

22 24 26 28 30 32

Razpon [m]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

Ob

težb

a [k

Nm2

]

Slika 717 Razpon hale kjer pride do prehoda med IPE ter HEA nosilcem

77 Diskusija rezultatov Rezultati so pokazali da je konstrukcija hale izdelana kot kombinacija jeklenih vroče valjanih IPE ter HEA profilov (tip 3) optimalnejša od konstrukcij hal ki so izdelane samo iz jeklenih vroče valjanih HEA profilov (tip 1) ali IPE profilov (tip 2) Pri mešanem izboru IPE ter HEA profilov (tip 3) je kombinatorika izbora profilov velika Zato smo tip 3 razdelili na posamezne podtipe (podtip 3a podtip 3b in podtip3c) ki dajejo optimalen rezultat za določen razpon višino in obtežbo konstrukcij hal Podtip 3a daje optimalen rezultat za razpone hal ki so večji od 30 metrov in za večje obtežbe ter višine hal Podtip 3b je optimalen pri razponu


94

20 metrov in višini hal 10 metrov Pri manjših razponih hal od 10 do 20 metrov pa je optimalna masa konstrukcije dobljena s pomočjo podtipa 3c Konstrukcije hale izdelane iz jeklenih vroče valjanih HEA profilov (tip 1) so najugodnejše pri razponih od 20 do 30 metrov in pri večjih vertikalnih spremenljivih obtežbah od 20 do 30 kNm2 Pri določenih parametrih lahko opazimo da je optimalna masa z uporabo HEA profilov skoraj identična najmanjši masi konstrukcije izdelane kot kombinacija IPE ter HEA profilov (tip 3) Konstrukcija jeklene hale iz IPE profilov (tip 2) se je izkazala za konkurenčno konstrukcijo pri manjših razponih do 10 metrov za vse obravnavane višine in spremenljive obtežbe Pri razponu od 20 do 30 metrov vertikalna spremenljiva obtežba močno vpliva na povečanje deformacij nosilcev ki morajo biti v dopustnih mejah Tako dopustne deformacije povzročijo povečanje števila okvirjev kar posledično povzroči tudi povečanje mase konstrukcije glej sliko 75 Zato hale izdelane iz IPE profilov (tip 2) niso več konkurenčne pri velikih vertikalnih obtežbah Pri optimiranju mase jeklenih konstrukcij se je pokazalo da je z uporabo kombinacije IPE in HEA profilov (tip 3) dosežena najoptimalnejša konstrukcija med vsemi tremi tipi konstrukcij S tipom konstrukcije 3 smo dobili najmanjšo maso pri vseh obravnavanih parametrih Velik vpliv na maso celotne konstrukcije dajejo portalni okvirji ki so lahko izdelani iz IPE ali HEA profilov ali kot kombinacija obeh Izbira standardnega profila za okvir je odvisna glede na razpon hale Za manjše razpone so optimalnejši okvirji izdelani iz IPE profilov (tip 2) Pri srednjih razponih se pojavi kombinatorična uporaba IPE ali HEA profilov tako za steber kot nosilec Za razpone večje od 30 metrov pa je za izdelavo portalnega okvirja optimalna uporaba HEA profilov zaradi prisotnosti merodajnih velikih deformacij nosilcev Pri manjših in srednjih razponih hal znaša razmak med okvirji od 4 do 7 metrov za vse tri tipe konstrukcij Za večje razpone hal pa je optimalni razmak med okvirji od 2 do 5 metrov Velikost razpona med okvirji zavisi tudi od obtežbe Večja kot je obtežba manjši je razmak med okvirji


95

8 ZAKLJU ČEK V doktorski disertaciji smo predstavili celovit pristop k sočasnemu optimiranju mase topologije materiala in standardnih profilov konstrukcij jeklenih hal Optimizacijo smo izvajali z mešanim celoštevilskim nelinearnim programiranjem (MINLP) Ker smo z MINLP izvajali optimiranje topologije in standardnih dimenzij na način da se v optimizacijskem procesu posamezni konstrukcijski elementi računsko odvzamejo inali dodajajo izračunavajo pa se tudi standardni materiali dimenzije in oblika konstrukcije smo z MINLP v bistvu izvajali sintezo konstrukcij V doktorski disertaciji smo izvajali sintezo realnih inženirskih konstrukcij jeklenih hal velikega obsega Pod realno inženirsko konstrukcijo razumemo konstrukcijo ki zadovolji vsem pogojem dimenzioniranja v skladu z veljavnimi standardi za projektiranje konstrukcij (npr Eurocode) njeni elementi pa so izdelani iz standardnih ndash na tržišču razpoložljivih profilov in materialov Zastavljeni MINLP problem optimiranja konstrukcije jeklenih hal je kombinirani diskretnozvezni optimizacijski problem in je kot tak obsežen nekonveksen in nelinearen Zato smo predlagali optimiranje konstrukcije hale v treh korakih V prvem koraku se izvede generacija mehanske superstrukture različnih alternativ topologije materialov in standardnih dimenzij Drugi korak obsega razvoj MINLP modelne formulacije konstrukcije hale Zadnji korak pa predstavlja rešitev definiranega MINLP optimizacijskega problema S predlaganim MINLP pristopom smo razvili MINLP optimizacijske modele konstrukcij hal za tri tipe hal FRAMEOPTH (FRAME OPTimizationHea sections) FRAMEOPTI (FRAME

OPTimizationIpe sections) in FRAMEOPTIH (FRAME OPTimizationIpe and Hea sections) Minimirali smo maso jeklene konstrukcije in iskali optimalno topologijo (število okvirjev leg in prečk) optimalne diskretne materiale (standardne trdnosti jekel) ter optimalne diskretne prereze (standardne jeklene profile konstrukcijskih elementov) Za izračun mase smo definirali masno namensko funkcijo Slednja je bila podvržena pogojnim (ne)enačbam dimenzioniranja nosilnosti napetosti in deformacij v smislu izpolnitve zahtev mejnih stanj nosilnosti in uporabnosti po evropskih standardih Eurocode MINLP problem optimiranja jeklene konstrukcije hale je obsežen nelinearen in nekonveksen Zato smo optimiranje konstrukcij hal izvajali z modificiranim algoritmom zunanje aproksimacije s sprostitvijo enačb (OAER algoritem) Zaradi velike kombinatorike različnih diskretnih alternativ superstrukture hale (topologije materialov in profilov) MINLP algoritem brez ustreznih MINLP strategij težko konvergira V ta namen smo razvili povezano trifazno MINLP strategijo ki pospeši konvergenco OAER algoritma Reševanje MINLP problema se začne s prvim NLP-jem kjer so vse spremenljivke zvezne (tudi topologija material in dimenzije) Dobljen rezultat predstavlja prvo dobro začetno točko za nadaljne diskretno optimiranje V drugi fazi zatem optimiramo topologijo in standardne vrednosti


96

materiala pri čemer so standardne dimenzije prečnih prerezov trenutno še vedno relaksirane kot zvezne spremenljivke Optimiranje topologije materiala in zveznih parametrov je rešljivo (manjša kombinatorika problema) in hkrati akumulira dobro globalno linearno aproksimacijo superstrukture (dobra začetna točka za optimiranje celotnega problema v naslednji fazi) Ko sta optimalna topologija in material dosežena se standardne dimenzije prečnih prerezov v tretji fazi vzpostavijo v izračun in sočasno diskretno optimiranje topologije materiala in prerezov stebrov nosilcev leg prečk in fasadnih stebrov se nadaljuje vse dokler ni dosežen optimalni rezultat Predstavljeni so trije računski primeri v katerih je bilo prikazano optimiranje treh različnih tipov konstrukcije jeklene hale konstrukcija hale sestavljena iz vroče valjanih HEA profilov (tip 1) konstrukcija hale sestavljena iz vroče valjanih IPE profilov (tip 2) in konstrukcija hale sestavljena iz mešanega nabora IPE in HEA profilov (tip 3) Na osnovi izdelanih MINLP optimizacijskih modelov za tri različne tipe konstrukcij hal je bilo izvedeno MINLP večparametrično optimiranje Namen večparametričnega optimiranja je bilo izračunati optimalen dizajn-tip konstrukcije hale pri minimiranju mase konstrukcije Optimiranje hal smo izvajali pri kombinaciji različnih parametrov in sicer pri razponih od 10 do 50 metrov s korakom po 10 metrov pri višini od 5 do 10 metrov s korakom 25 metra pri vertikalnih zveznih obtežbah od 05 do 30 kNm2 s korakom 05 kNm2 pri horizontalnih zveznih obtežbah 05 in 10 kNm2 ter pri različnih kakovostih konstrukcijskega jekla S235 S275 in S355 Iz rezultatov dobljenih pri optimiranju minimalne mase konstrukcije jeklenih hal smo izdelali primerjalne diagrame Dobljeni primerjalni diagrami prikazujejo vpliv različnega razpona različne višine in izbora tipa konstrukcije hale (tip 12 ali 3) na maso konstrukcije Na koncu pa so še predstavljeni diagrami ki prikazujejo konkurenčnost med tremi tipi konstrukcij hal Iz diagramov je razvidno da je konstrukcija tipa 3 izdelana iz kombinacije IPE ter HEA profilov najugodnejša za vse razpone višine in obtežbe Hale tipa 2 izdelane iz vroče valjanih IPE profilov so primernejše za male razpone (od 15 do 20 metrov) in male višine konstrukcij (za višine do 5 metrov) In obratno HEA profili (tip 1) so ugodnejši od IPE profilov pri razponih večjih od 15-20 metrov in višinah hal višjih od 5 metrov Skozi potek optimiranja konstrukcij jeklenih hal se je pojavila tudi posebnost in sicer gre za padanje in naraščanje števila portalnih okvirjev pri dobljeni minimalni masi konstrukcije Ta posebnost je bila izstopajoča pri višinah hal 50 m ter pri vertikalni obtežbi 15 20 in 25 kNm2 medtem ko pri ostalih izbranih prametrih ni bila tako izrazita Ugotovili smo da je z mešanim celoštevilskim nelinearnim programiranjem (MINLP) ob razvoju ustrezne metodologije za generacijo superstrukture konstrukcije hal za postavitev specialne MINLP modelne formulacije in za razvoj primerne strategije za reševanje


97

definiranega MINLP problema mogoče uspešno reševati sočasno optimiranje topologije materiala in standardnih dimenzij jeklenih konstrukcij hal velikega obsega S tem smo potrdili tezo doktorske disertacije Za vse tri tipe konstrukcij hal so bila dobljena razmerja ki določajo potreben razmak med okvirji glede na dan razpon hale Za manjše obtežbe od 05 do 15 kNm2 veljajo naslednja razmerja pri razponu hale 10 metrov je razmak med okvirji enak 03-055 razpona hale pri razponu 20 metrov je razmak med okvirji enak 03-04 razpona pri razponu 30 metrov je razmak enak 01-025 razpona pri razponu 40 metrov je razmak enak 01-02 razpona in pri razponu 50 metrov je razmak med okvirji enak 008-018 razpona Za večje obtežbe od 20 do 30 kNm2 pa veljajo naslednja razmerja pri razponu 10 metrov je razmak med okvirji enak 03-07 razpona hale pri razponu 20 metrov je razmak enak 015-03 razpona pri razponu 30 metrov je razmak enak 005-025 razpona pri razponu 40 metrov je razmak enak 01-015 razpona in pri razponu 50 metrov je razmak med okvirji enak 004-006 razpona hale Za mešan izbor profilov (IPE ter HEA) ki sestavljajo konstrukcijo hale smo izvedli analizo pri katerem razponu je optimalen HEA nosilec in pri katerem IPE nosilec Ugotovili smo sledeče pri manjših obtežbah od 05 do 15 kNm2 je do razpona 32 metrov optimalen IPE nosilec nad tem razponom pa HEA nosilec Pri večjih obtežbah od 20 do 30 kNm2 pa se prehod med IPE in HEA nosilcem zgodi pri razponih med 22 in 26 metri Pri izvrednotenju rezultatov konstrukcij jeklenih hal je bila izvedena medsebojna primerjava pridobljenih optimalnih mas Na osnovi teh primerjav smo izrisali diagrame za optimalen dizajn konstrukcije jeklenih hal s pomočjo katerih bo lahko inženir za izbran razpon višino in obtežbo hale določil tip konstrukcije (tip 1 2 ali 3) število konstrukcijskih elementov (topologijo) kakovosti konstrukcijskega jekla (material) in tip standardnega prereza za vsak konstrukcijski element posebej (HEA IPE ali mešani izbor IPE ter HEA profilov) Doktorska disertacija ima tako poleg izvirnega doprinosa k znanosti tudi praktični prispevek


98

9 LITERATURA Abadie J Carpenter J 1969 Generalization of the Wolfe reduced gradient method to the case of nonlinear constraints In Fletcher R (ed) Optimization pp 37ndash47 New York Academic Press Adeli H Park HS 1995 Optimization of space structures by neural dynamics model Neural Networks 8 769ndash781 Adeli H Yeh C 1989 Perceptron learning in engineering design Microcomput Civil Eng 4 247ndash256 Balling RJ 1991 Optimal steel frame design by simulated annealing J Struct Eng 117 1780ndash1795 Barnett RL 1961 Minimum weight of beams for deflection J Eng Mech Div 87 75ndash109 Beale EML 1977 Integer programming In Jacobs D (ed) The State of the Art in

Numerical Analysis pp 409ndash448 London Academic Press Bennage WA Dhingra AK 1995 Optimization of truss topology using tabu search Int

J Numer Methods Eng 38 4035ndash4052 Benders JF 1962 Partitioning procedures for solving mixed-variables programming problems Numerische Mathematik 4 238ndash252 Berke L Patnaik SN Murthy PLN 1993 Optimum design of aerospace structural components using neural networks Comput Struct 48 1001ndash1010 Bland JA 1995 Discrete-variable optimal structural design using tabu search Struct

Optim 10 87ndash93 Bremicker M Papalambros PY Loh HT 1990 Solution of mixed-discrete structural optimization problems with a new sequential linearization method Comput Struct 37 451ndash461 Brooke A Kendrick D Meeraus A 1988 GAMS - a users guide Redwood City Scientific press


99

Camp CV Bichon BJ 2004 Design of space trusses using ant colony optimization J

Struct Eng 130 741ndash751 Camp CV Bichon BJ Stovall SP 2004 Design of low-weight steel frames using ant colony optimization In Proceedings of the 2004 Structures Congress ndash Building on the

Past Securing the Future pp 1529ndash1539 Reston ASCE Camp CV Bichon BJ Stovall SP 2005 Design of steel frames using ant colony optimization J Struct Eng 131 369ndash379 Das A Mitra S 2003 Minimum weight elastic design of rigid portal frames Journal of the

Institution of Engineers (India) Civil Engineering Division 84 130-135 Davies JM 1972 A new formulation of the plastic design problem for plane frames Int J

Numer Methods Eng 5 185ndash192 Deb K 1991 Optimal design of a welded beam via genetic algorithms AIAA J 29 2013ndash2015 Dorigo M 1992 Optimization learning and natural algorithms (v italijanščini) Doktorska disertacija Dipartimento di Elettronica Politecnico di Milano Milano Dorigo M Maniezzo V Colorni A 1991a Distributed optimization by ant colonies In Proceedings of the 1st European Conference on Artificial Life pp 134ndash142 Cambridge MIT Press Dorigo M Maniezzo V Colorni A 1991b Positive feedback as a search strategy Tech Rep 91-016 Dipartimento di Elettronica Politecnico di Milano Milano Dorn WS Gomory RE Greenberg HJ 1964 Automatic design of optimal structures Journal de Meacutecanique 3 25ndash52 Drud AS 1994 CONOPT - A Large-Scale GRG Code ORSA J Comput 6 207ndash216 Duran MA Grossmann IE 1986 An Outer-Approximation algorithm for a class of mixed-integer non-linear programms Math Program 36 307ndash339 ENV 1991-1 1994 Eurocode 1 Basis of design and actions on structures - Part 1 Basis of

design Bruxelles European Committee for Standardization ENV 1993-1-1 1992b Eurocode 3 Design of steel structures - Part 1-1 General rules and

rules for buildings Bruxelles European Committee for Standardization


100

Lee KS Geem ZW 2004 A new structural optimization method based on the harmony search algorithm Comput Struct 82 781ndash798 Lee KS Geem ZW 2005 A new meta-heuristic algorithm harmony search theory and practice Comput Methods Appl Mech Eng 194 3902ndash3933 Geem ZW Kim JH Loganathan GV 2001 A new heuristic optimization algorithm harmony search Simulation 76 60ndash68 Geoffrion AM 1972 Generalized Benders Decomposition J Optim Theory Appl 10 237ndash260 Glover F 1977 Heuristic for integer programming using surrogate constraints Decision Sci 8 156ndash166 Goldberg DE Samtani MP 1986 Engineering optimization via genetic algorihm Proceedings of the 9th Conference Electronic Computation pp 471ndash482 New York ASCE Goldberg DE 1989 Genetic algorithms in search optimization and machine learning New York Addisson-Wesley Gupta OK Ravindran A 1984 A non-linear mixed integer programming and discrete optimization In Mayne RW Ragsdell KM (eds) Progress in Engineering Optimization pp 295ndash520 New York ASME Gurlement G Targowski R Gutkowski W Zawidzka J Zawidzki J 2001 Discrete minimum weight design of steel structures using EC3 code Struct Multidisc Optim 22 322-327 Hager K Balling R 1988 New approach for discrete structural optimization J Struct

Eng 114 1120ndash1134 Hajela P 1990 Genetic search ndash an approach to the nonconvex optimization problem AIAA

J 26 1205ndash1212 Hajela P Berke L 1991 Neurobiological computational models in structural analysis and design Comput Struct 41 657ndash667 Hernaacutendez S Fontaacuten AN Perezzaacuten JC Loscos P 2005 Design optimization of steel portal frames Adv Eng Software 36 626-633 Hestenes MR 1969 Multiplier and gradient methods J Optim Theory Appl 4 303ndash320


101

Hoeffler A Leysner U Weidermann J 1973 Optimization of the layout of trusses combining strategies based on Mitchels theorem and on biological principles of evolution In Proceedings of the 2nd Symposium on Structural Optimization Milan Holland JH 1975 Adaptation in natural and artificial systems Ann Arbor Michigan University of Michigan Press Hook R Jeeves TA 1961 Direct search solution of numerical and statistical problems J

Assoc Comput Mach 8 212ndash229 Hu N 1992 Tabu search method with random moves for globally optimal design Int J

Numer Methods Eng 35 1055ndash1070 Jenkins WM 1991a Towards structural optimization via the genetic algorithm Comput

Struct 40 1321ndash1327 Jenkins WM 1991b Structural optimization with the genetic algorithm Struct Eng 69 418ndash422 John F 1948 Extremum problems with inequalities as subsicliarv conditions Studies and

Essays presented to Richard Courant on his 60th birthay pp 187ndash204 New York Interscience John KV Ramakrishnan CV 1987 Minimum weight design of trusses using improved move limit of sequential linear programming Int J Comput Struct 27 583ndash591 Karush W 1939 Minima of functions of several variables with inequalities as side

conditions Magistrsko delo Department of Mathematics University of Chicago Chicago Kavlie D Moe J 1969 Application of non-linear programming to optimum grillage design with non-convex sets of variables Int J Numer Methods Eng 1 351ndash378 Kicinger R Arciszewski T De Jong K 2005 Evolutionary computation and structural design A survey of the state-of-the-art Comput Struct 83 1943ndash1978 Kincaid RK 1993 Minimizing distortion in truss structures a comparison of simulated annealing and tabu search Struct Optim 5 217ndash224 Kirkpatrick S Gelatt CD Vecchi MP 1983 Optimization by simulated annealing Science 220 671ndash680


102

Kocis GR Grossmann IE 1987 Relaxation Strategy for the Structural Optimization of Process Flowsheets Ind Engng Chem Res 26 pp 1869-1880 Kravanja S Kravanja Z Bedenik BS Faith S 1992 Simultaneous topology and parameter optimization of mechanical structures In Hirsh C Zienkiewicz OC Onate E (eds) Numerical methods in engineering 92 First European conference on numerical

methods in engineering pp 487ndash495 Amsterdam Elsevier Kravanja S Bedenik BS Kravanja Z 1993 MINLP optimization of mechanical structures In Herskovits J (ed) Structural optimization 93 The world congress on optimal

design of structural systems Volume 1 pp 21ndash28 Rio de Janeiro Federal university of Rio de Janeiro Kravanja S Kravanja Z Bedenik BS 1998a The MINLP approach to structural synthesis Part I A general view on simultaneous topology and parameter optimization Int

J Numer Meth Eng 43 263ndash292 Kravanja S Kravanja Z Bedenik BS 1998b The MINLP approach to structural synthesis Part II Simultaneous topology parameter and standard dimension optimization by the use of the linked two-phase strategy Int J Numer Meth Eng 43 293ndash328 Kravanja S Kravanja Z Bedenik BS 1998c The MINLP approach to structural synthesis Part III Synthesis of roller and sliding hydraulic steel gate structures Int J Numer Meth Eng 43 329ndash364 Kravanja S Šilih S Kravanja Z 2005 The multilevel MINLP optimization approach to structural synthesis the simultaneous topology material standard and rounded dimension optimization Adv eng softw 36 (9) pp 568-583 Kravanja Z Grossmann IE 1994 New developments and capabilities in PROSYN ndash an automated topology and parameter process synthesizer Comput Chem Eng 18 1097ndash1114 Kuhn HW Tucker AW 1951 Nonlinear programming In Neyman J (ed)Proceedings

of the Second Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability pp 481ndash492 Berkeley University of California Press Land AH Doig A 1960 An automatic method of solving discrete programming problems Econometrica 28 297ndash520 Mawengkang H Murtagh BA 1986 Solving nonlinear problems with large-scale optimization software Ann Oper Res 5 425ndash437


103

Maxwell JC 1869 On reciprocal figures frames and diagrams of forces In Niven WD (ed) Transactions of the Royal Society of Edinburgh The Scientific Papers of James Clerk

Maxwell 26 pp 1ndash40 Edinbourgh Dover Publicatons Inc May SA Balling RJ 1992 A filtered simulated annealing strategy for discrete optimization of 3D steel frameworks Struct Optimization 3 142ndash148 McCulloch WS Pitts W 1943 A logical calculus of the ideas imminent in nervous activity Bulletin and Mathematical Biophysics 5 115ndash133 Murtagh BA Saunders MA 1985 MINOS Users Guide Technical Report SOL 83-20 Stanford System Optimization Laboratory Department of Operations Research Stanford University Moe J 1969a Optimum design of statically indeterminate frames by means of non-linear programming In Mich Dep Nav Architekt Mar Eng Rep 023 46p Moe J 1969b Optimum design of statically indeterminate frames by means of non-linear programming In Mich Dep Nav Architekt Mar Eng Rep 024 32p Morris D 1978 Prestressed concrete design by linear programming ASCE J Struct Div 104 439ndash442 Moses F 1974 Mathematical programming methods for structural optimization ASME

Appl Mech Div 7 35ndash48 Moses F Fox R Goble G 1971 Mathematical programming applications in structural design In Proceedings of the symposium on computer-aided engineering pp 379ndash393 Waterloo University of Waterloo OBrien EJ Dixon AS 1997 Optimal plastic design of pitched roof frames for multiple loading Comput Struct 64 737-740 Olsen GR Vanderplaats GN 1989 Method for nonlinear optimization with discrete design variables AIAA J 27 1584ndash1589 Pappas M Amba-Rao CL 1970 A direct search algorithm for automated optimum structural design In Technical papers of AIAAASME 11th structure structural dynamics

and materials conference pp 120ndash128 New York AIAA Pappas M Amba-Rao CL 1971 Direct search algorithm for automated optimum structural design AIAA J 9 387ndash393


104

Pertsinidis A Grossmann IE McRae GJ 1998 Parametric optimization of MILP programs and a framework for the parametric optimization of MINLPs Comput Chem Eng 22 S205ndashS212 Powell MJD 1969 A method for nonlinear constraints in minimization problems In Fletcher R (ed) Optimization pp 238ndash298 New York Academic Press Powell MJD 1978 A fast algorithm for nonlinearly constrained optimization calculations In Proceedings 1977 Dundee Conference on Numerical Analysis Lecture Notes in Mathematics Belin Springer-Verlag Prager W Shield RT 1967 A general theory of optimal plastic design J Appl Mech 34 184ndash186 Prager W 1970 Optimization of structural design J Optim Theory Appl 6 1ndash21 Quesada I Grossmann IE 1992 An LPNLP based branch and bound algorithm for convex MINLP optimization problems Comput Chem Eng 16 937ndash947 Rechenberg I 1965 Cybernetic solution path of an experimental problem (Vol Library

Translation 1122) Farnborough Royal Aircraft Establishment Rechenberg I 1973 Evolutionsstrategie Optimierung technischer System nach Prinzipien

der biologischen Evolution Stuttgart-Bad Cannstatt Frommann-Holzboog Reinschmidt KF 1971 Discrete structural optimization ASCE J Struct Div 97 133ndash56 Rumelhart DE Hinton GE Williams RJ 1986 Learning representations by backpropagating errors Nature 323 533ndash536 Saka MP 2003 Optimum design of pitched roof steel frames with haunched rafters by genetic algorithm Comput Struct 81 1967-1978 Salajegeh E Vanderplaats GN 1993 Optimum design of trusses with discrete sizing and shape variables Struct Optim 6 79ndash85 Sandgren E Jensen ED Welton J 1990 Topological design of structural components using genetic optimization methods In Proceedings of the Winter Annual Meeting of the

American Society of Mechanical Engineers Sensitivity analysis and optimization with

numerical methods AMD 115 pp 31ndash43 Dallas TX


105

Schmit LA 1960 Structural design by systematic synthesis Proceedings of 2nd Conference

on Electronic Computations pp 105ndash122 New York ASCE Schreve K Schuster HR Basson AH 1999 Manufacturing cost estimation during design of fabricated parts P I Mech Eng B ndash J Eng 213 731ndash735 Schwefel H-P 1965 Kybernetische Evolution als Strategie der experimentelen Forschung

in der Stromungstechnik Masterrsquos thesis Hermann Foumlttinger Institute for Hydrodynamics Technical University of Berlin Seaburg PA Salmon CG 1971 Minimum weight design of light gauge steel members J

Struct Div 97 203ndash222 Sved G Ginos Z 1968 Structural optimization under multiple loading Int J Mech Sci 10 803ndash805 ŠILIH S 2004 Sinteza paličnih konstrukcij z mešanim celoštevilskim nelinearnim

programiranjem Doktorska disertacija Fakulteta za gradbeništvo Univerza v Mariboru Maribor Templeman AB Yates DF 1983 A linear programming approach to discrete optimum design of trusses In Eschenauer H Olhoff N (eds) Optimization Methods in Structural

Design Mannheim BI Wissenschaftsverlag Touma A Wilson JF 1973 Design optimization of prestressed concrete spans for high speed ground transportation Comput Struct 3 265ndash279 Tzan S Pantelides CP 1996 Annealing strategy for optimal structural design J Struct

Eng 122 815ndash827 Venkayya VB Khot NS Reddy VS 1968 Optimization of structures based on the study of strain energy distribution In Proceedings of the 2nd Conference on Matrix Methods in

Structural MechanicsWPAFB AFFDL-TR-68-150 pp 111ndash153 Venkayya VB 1971 Design of optimum structures Comput Struct 1 265ndash309 Viswanathan J Grossmann IE A Combined Penalty Function and Outer Approximation Method for MINLP Optimization Computers and Chemical Engineering vol 14 pp 769-782 1990 Westerlund T Pettersson F 1995 An extended cutting plane method for solving convex MINLP problems In European Syposium on Computer Aided Process Engineering 5


106

Supplement to Computers Chemical Engineering pp 131ndash136 Bled Wolfe P 1967 Methods of nonlinear programming In Abadie J (ed) Nonlinear

Programming pp 97ndash131 Amsterdam North-Holland Publishing Company Wolfram S 1991 Mathematica A System for Doing Mathematics by Computer (2nd edn) Redwood City CA AddisonndashWesley Zhou D 1986 An improved Tempelmans algorithm for optimum design of trusses with discrete member sizes Eng Optim 9 303ndash312


107

10 OBJAVLJENI VIRI AVTORJA S PODRO ČJA DISERTACIJE

1 KRAVANJA S KRAVANJA Z ŽULA T ŠILIH S 2006 MINLP optimization of structures in civil engineering WSEAS transactions on computer research vol 1 iss 2 191-197 2 KLANŠEK U ŽULA T KRAVANJA Z KRAVANJA S 2007 MINLP optimization of steel frames Adv steel constr vol 3 no 3 689-705 3 ŠILIH S ŽULA T KRAVANJA ZKRAVANJA S 2008 MINLP optimization of mechanical structures Am j appl sci 5 1 48-54 4 ŽULA T KRAVANJA Z KRAVANJA S 2008 MINLP optimization of a single- storey industrial steel building Stroj vestn vol 54 iss 10 707-724 5 KRAVANJA S ŽULA T 2009 Cost optimization of industrial steel building structures Adv eng softw (1992) Available online 9 str 6 KRAVANJA S ŽULA T 2007 MINLP cost optimization of industrial steel building V HERNAacuteNDEZ S (ur) BREBBIA C A (ur) Tenth International conference on computer aided optimum design in engineering OPTI X Myrtly Beach USA Computer aided optimum design in engineering X Vol 91 109-118 7 ŽULA T KRAVANJA S 2008 The two-phase MINLP optimization of a single- storey industrial steel building V WILDE W (ur) P BREBBIA C A (ur) High

performance structures and materials IV Southampton UK Boston WIT cop 439- 448 8 ŽULA T KLANŠEK U KRAVANJA S 2005 Optimiranje jeklenih okvirjev industrijskih hal z NLP V SAJE F (ur) LOPATIČ J (ur) Zbornik 27 zborovanja

gradbenih konstruktorjev Slovenije Bled 27-28 oktober 2005 Ljubljana Slovensko društvo gradbenih konstruktorjev 227-232 9 KLANŠEK U ŽULA T KRAVANJA S 2005 Optimiranje jeklenih okvirjev z MINLP V SAJE F (ur) LOPATIČ J (ur) Zbornik 27 zborovanja gradbenih

konstruktorjev Slovenije Bled 27-28 oktober 2005 Ljubljana Slovensko društvo gradbenih konstruktorjev 233-238


108

10 ŽULA T KLANŠEK U KRAVANJA S 2006 MINLP optimization of the single- storey industrial building steel structure V BREBBIA C A (ur) Third international conference on high performance structures and materials Ostende Belgium High

performance structures and materials III Southampton UK Boston WIT Press Billerica MA Computational Mechanics cop 643-652 11 KLANŠEK U ŽULA T KRAVANJA S 2006 MINLP approach to the optimization of steel frames V GIŹEJOWSKI M A (ur) KOZLOWSKI A (ur) XIth International conference on metal structures (ICMS-2006) Rzeszoacutew Poland 21- 23 june 2006 Progress in steel composite and aluminium structures proceedings of

the XIth International conference on metal structures (ICMS-2006) Rzeszoacutew Poland

21-23 june 2006 (BALKEMA) London [etc] Taylor amp Francis Leiden Balkema cop 807-812 12 ŽULA T ŠILIH S KRAVANJA S 2006 Optimiranje jeklene industrijske hale z MINLP V SAJE Franc (ur) LOPATIČ Jože (ur) Zbornik 28 zborovanja gradbenih

konstruktorjev Slovenije Bled 19-20 oktober 2006 Ljubljana Slovensko društvo gradbenih konstruktorjev 163-169 13 ŠILIH S ŽULA T KRAVANJA S 2007 The MINLP optimization in civil engineering V BHATT B (ur) TEWARI B (ur) LAZAKIDOU A A (ur) SIASSIAKOS K (ur)Proceedings of the WSEAS International Conferences Trinidad

and Tobago November 5-7 2007 proceedings of the 9th WSEAS International

Conference on Mathematical and Computational Methods in Science and Engineering

(MACMESE 07) proceedings of the 6th WSEAS International Conference on Data

Networks Communications Computers (DNCOCO 07) 299-304 14 KRAVANJA S ŽULA T KLANŠEK U 2008 The MINLP approach to cost optimization of structures V JAacuteRMAI K (ur) FARKAS J (ur) Design fabrication

and economy of welded structures international conference proceedings 2008

Miskolc Hungary April 24-26 2008 Chichester Horwood Publishing 89-96 15 KRAVANJA S ŽULA T KLANŠEK U 2008 Discrete optimization of steel frame structures V GREBENNIKOV A (ur) ZEMLIAK A (ur) Modern topics of

computer science proceedings of the 2nd WSEAS International Conference on

Computer Engineering and Applications (CEA08) Acapulco Mexico 131-136 16 KRAVANJA S ŽULA T STRAŠEK R 2008 The MINLP optimization approach to structural synthesis V RUTEŠIĆ S (ur) Internacionalni naučno stručni skup Grantildeevinarstvo - nauka i praksa Žabljak Crna Gora 03-07 marta 2008 Zbornik

radova Podgorica Univerzitet Crne Gore Grantildeevinski fakultet 2008 knj 1 69-74


109

11 KRATEK ŽIVLJENJEPIS Ime in priimek Tomaž Žula Izobrazba univ dipl inž grad Datum in kraj rojstva 2771980 Slovenj Gradec Državljanstvo Slovensko Naslov Skorno pri Šoštanju 37 3325 Šoštanj Slovenija

ŠOLANJE 1987 ndash 1995 Šolal sem se na osnovni šoli Karla Destovnika-Kajuha Šoštanj 1995 ndash 1999 in na Poklicni in tehniški gradbeni šoli v Celju 1999 ndash 2004 Študiral sem na dodiplomskem študiju na Fakulteti za

gradbeništvo v Mariboru Zaključil sem univerzitetni program gradbeništvo smer konstrukcije z diplomsko nalogo Viseči jekleni most za pešce razpona 66m pri redprofdr Stojanu Kravanji

2004 ndash sedaj Vpisal sem podiplomski (direktni doktorski) študij na Fakulteti za gradbeništvo v Mariboru študijski program gradbeništvo smer mehanika in konstrukcije

DELOVNE IZKUŠNJE

Od novembra 2004 Podjetje Univerza v Mariboru Fakulteta za gradbeništvo Inštitut laboratorij Inštitut za metalne konstrukcije Center za metalne konstrukcije Delovno mesto mladi raziskovalec s habilitacijo asistenta za predmetno področje

raquoJeklene konstrukcijelaquo na Katedri za metalne konstrukcije 2009 Asistent za predmetni področji Jeklene konstrukcije in Računanje konstrukcij

UDK 6240145196168(0433) KLJUČNE BESEDE gradbeništvo mehanika konstrukcija sinteza sinteza konstrukcij optimiranje optimiranje konstrukcij optimiranje topologije diskretno optimiranje mešano celoštevilsko nelinearno programiranje MINLP algoritem zunanje aproksimacije s sprostitvijo enačb OAER algoritem modofocirani algoritem OAER trifazana MINLP strategija jeklene hale KEY WORDS civil engineering mechanics structures synthesis structural synthesis optimization structural optimization topology optimization discrete optimization Mixed-Integer Nonlinear Programming MINLP Outer-ApproximationEquality-Relaxation algorithm OAER algorithm Modified OAER algorithm three-phase MINLP strategy steel buildings












I

VSEBINA

POVZETEK IV

SUMMARY VI




1 UVOD1








II











III




8 ZAKLJU ČEK95

9 LITERATURA98



IV


V


VI


VII


VIII






IX






X




XI











XII







fasadnega stebra






q Cfti


q Bftj


q Pftk


q Rftl


q FCftp


q Cwti


q Bwtj


q Pwtk


q Rwtl


q FCwtp


q CtIi


XIII

stebra

q PtIk


lege

q RtIl


prečke

q FCtIp


fasadnega stebra

q CyIi


stebra

q ByIj


osi nosilca

q PyIk


osi lege

q RyIl


osi prečke

q FCyIp



q CzIi


stebra

q PzIk


osi lege

q RzIl


prečke

q FCzIp



q CIi



q PIk



q RIl



q FCIp




elementa

XIV



XV




XVI











XVII


XVIII



1



2





3





4



5






6





7







8




9





10







11




12





13






iy (21)


14


iy (22)


iy (23)


0leminus ik yy (24)







isinisink

NIii

BIii BIyy

kk

(26)


ik yiNI Kk 21=



15


pp ( ) 0xh =


bCxBy le+





16

min ( )xyc fz += T

pp ( ) 0xh =

( ) 0xg le

( ) axA le

Ey le e (MINLP-MS)

( ) rxRDy le+e

( ) kdLKy le+ cne

( ) mdMPy le+ mat

( ) ndNPy le+ st













17


mat2 y



sumisin

=Ii

matii

mat yqd (27)

1=sumisinIi

matiy (28)



1 yst

2 yst

3 yst


sumisin

=Jj

stjj

st yqd (29)

1=sumisinJj

stjy (210)








Pettersson (1995)


18



19



pp ( ) 0xh =

( ) 0xg le (NLP)K

bCxBy le+K



min α+= ycTKz

p p




bCxBy le+


20


ii NI

k

k k




1== kik yiBI 0== k

ik yiNI k=1K

=gt+ltminus

==0λ if 0

0λ if 1

0λ if 1

kj

kj

kj

kjj

kjj

k ttT j = 12N


STOP

Superstruktura


Podproblem

Zvezno optimiranje


Glavni problem


Konvergenca

DA

NE

MILP


NLP

MINLP



21









22

( ) ( ) ( )[ ] ( )aakk

ak



( ) ( ) ( ) ( )aakk

ak






( ) ( )sumisin

=Aa

aff

nlnl xx (213)



( ) ( ) ( ) ( )aaakk

ak



( ) sumisin

++=Aa





23




( ) ( ) ( ) ( )aafkaa

kka



( ) ( ) ( )[ ] ( )aah

kakk

ak



( ) ( ) ( ) ( )aag

kakk

ak



0 gegka

hka



w hka w g



+++++=KkAa

kakaKkAa

kakaAa KkAa

kakaaK swswswfz

1

gg

1

hh

1

fflinT αxyc (220)



( ) sumisin

le++Aa





24



kKka



ak

ak



ak



===or

gtgtgt 0 0 0


1


h

f

g

h


ka

www

ka

microλ (225)




+ +++++=KkAa

kakaKkAa

kakaAa KkAa

kakaaK swswswfz

1

gg

1

hh

1

fflinT1 αxyc


( ) ( ) ( ) ( )aafkaa

kka



( ) ( ) ( )[ ] ( )aah

kakk

ak



( ) ( ) ( ) ( )aag

kakk

ak


uxxxgxg aisinA k=1K


25


( ) sumisin

le++Aa

af UBlinT αxyc


bCxBy le+ (MILP)K+1

Celoštevilski rez

y y BAaa BA

aa NA

k

k k


Meje spremenljivk


y isin Y =01 a



ak yaNA k=1K

Konveksni test

===or

gtgtgt 0 0 0


1


h

f

g

h


ka

www

ka

microλ



26


















27




e

e

e

e

e

e

P

P

P

H


e re r

e r

f

f

f

f

f

f

L L

L



28


CI

w

t

L bC

H

L

BI

CA h

BA

q

f

B

fc

z

y

twc

hC

A CIC

AB BI

bB

tf wt

Bh

z

y

B

B

h

A C A B

z


29429875751000761045782

10189751098835105913310768182233

465cedil769712




CCC

CCCCC

hhh

hhhhb (32)


CCCCCf hhhht (33)


CCCw hht (34)



( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= CfC

cfCCfCCwCfC

Cy

thtb

thttbI (36)

( )12

2

12

2 3

3

CwCfCCCf

Cz

tthbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (37)

( ) ( ) 3

3 2

3

12

3


( )2

24 CfC

CzC th



29


29429875751000761045782

10189751098835105913310768182233

465cedil769712




BBB

BBBBB

hhh

hhhhb (310)


BBBBBf hhhht (311)


BBBw hht (312)


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= BfB

BfBBfBBwBfB

By

thtb

thttbI (314)

29429875751000761045782

10189751098835105913310768182233

465cedil769712




PPP

PPPPP

hhh

hhhhb (315)


PPPPPf hhhht (316)


PPPw hht (317)


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= PfP

PfPPfPPwPfP

Py

thtb

thttbI (319)

( )12

2

12

2 3

3

PwPfPPPf

Pz

ttbbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (320)

( ) ( ) 3

3 2

3

12

3


( )2

24 PfP

PzP th



29429875751000761045782

10189751098835105913310768182233

465cedil769712




RRR

RRRRR

hhh

hhhhb (323)


RRRRRf hhhht (324)


RRRw hht (325)


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= RfR

RfRRfRRwRfR

Ry

thtb

thttbI (327)

( )12

2

12

2 3

3

RwRfRRRf

Rz

ttbbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (328)


30

( ) ( ) 3

3 2

3

12

3


( )2

24 RfR

RzR th


29429875751000761045782

10189751098835105913310768182233

465cedil769712




FCFCFC

FCFCFCFCFC

hhh

hhhhb (331)




FCFCFCw hht (333)


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= FCfFC

FCfFCFCfFCFCwFCfFC

FCy

thtb

thttbI (335)

( )12

2

12

2 3

3

FCwFCfFCFCFCf

FCz

ttbbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (336)

( ) ( ) 3

3 2

3

12

3


( )2

24 FCfFCFCz

FC thI



( ) 222 fLLB += (339)

( )( )2arctan Lf=α (340)







31


ewq hr sdot= (346)


ρsdot= Rr Ag (348)







[ ]cmep 250le (356)


[ ]cmer 250le (360)





32

h

IK C

C = (361)

s

IK B

B = (362)

BC

CS

KK

K

sdot+=

511η (363)

( )( ) 2121

2121

60801

120201

ηηηηηηηηβ


SS

SS

sway (364)




( )( ) 10

2 2

2

le

sdot

sdotsdot

sdotsdot+sdot+sdot

h

IELgq

L

hP

sway

Cygzq

βπγγ

(365)

BC

CNS

KK

K

sdot+=

501η (366)


NSNSswaynon (367)


( ) ( )( )

( )( ) 0

2 2

216

53

MC

yCygzq

h

fI

CAB

CBhP

CAB

ALgq

γγγ

sdotsdotsdot

lesdot+sdot

+sdotsdot+sdot+sdot


hfA +=1 AL

h

I

IB

BCy

By +

+sdotsdot= 12


( ) ( )( )

( )( )

( )0

2

3

041

216

53

M

yCwCgzq fthh

CAB

CBhP

CAB

ALgq

γγγ

sdot

sdotsdotsdotle

sdot+sdot+sdotsdot+


(369)

( )02 M

yCgq fALgq

L

hP

γγγ sdot

lesdotsdot+sdot

+sdot (370)



33


( )[ ] ( )( )[ ] 2222 2015020150

1


αακ (371)

1 λ

βsdot

sdot= minus

CCy

swaynon

AI

hD (371 a)

( )( )

sdotminus

sdot+sdotsdot

sdotsdotsdot+sdot

sdot

sdotsdotsdot=

22 2

2

2

2

2

2

2

1h

Ch

CIE

IGhk

I

I

hk

IECM

Cz

Ct

Cz

CCzCR π

π ω (372)

CCR

yCy

CCR

yCy

CCR

yCyLT

CCR

yCy

CCR

yCyLT

LT

hM

fI

hM

fI

hM

fI

hM

fI

hM

fI

sdotsdotsdot

minus

sdotsdotsdot

+

minus

sdotsdotsdot

sdot+sdot+

sdotsdotsdot

+

minus

sdotsdotsdot

sdot+sdot

=

2

2220

2150

220

2150

1

αα

κ

(373)

( ) ( ) ( )( )

( )( )

( ) 012

216

53

2

1

2

1

lesdotsdotsdotsdot

sdot+sdot+sdotsdot+


+sdotsdot

sdotsdot+sdot+sdot

MCyCyLT

gzq

MyC

gzq

hfICAB

CBhP

CAB

ALgq

fA

Lgq

L

hP

γκ

γγ

γκ

γγ

(374)


( ) ( )( )

( )( ) 0

2 2

216

53

MB

yBygzq

h

fI

CAB

CBhP

CAB

ALgq

γγγ

sdotsdotsdot

lesdot+sdot

+sdotsdot+sdot+sdot


( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )0

2

3

041)sin(

216

53)cos(

2M

yBwBgzqgzq fthh

CAB

CBhP

CAB

ALgqLgq

L

hP

γα

γγα

γγsdot

sdotsdotsdotle

sdot

sdot+sdot+sdotsdot+



+sdot

(376)

( ) ( )( )

( )( )

( )0

2

)sin(2216

53

M

yBgzqgzq fALgq

L

hPh

CAB

CBhP

CAB

ALgq

γα

γγγγ sdotlesdot

sdotsdot+sdot+sdot+

sdot+sdot+sdotsdot+


(377)


34

( ) ( )( )

( )( )

( )

( ) ( )( )

( )( )

( ) 012

216

53

)sin(2216

53

1

2

1

2

lesdotsdotsdot

sdot+sdot+sdotsdot+


+

+sdot

sdotsdotsdot+sdot

+sdot+

sdot+sdot+sdotsdot+


MByBy

gzq

MyB

gzqgzq

hfICAB

CBhP

CAB

ALgq

fA

Lgq

L

hPh

CAB

CBhP

CAB

ALgq

γ

γγ

γ

αγγγγ

(378)


( ) ( )0

222

)cos(1057010570MP

yPyfpvpnqfprPg h

fIeeweseemA

γαγργ

sdotsdotsdot


( )0

22

)sin(10570MP

yPzfprnq h

fIeems

γαγ

sdotsdotsdot


( ) ( )( )

( )( ) 01

2

)sin(10570

2

)cos(1057010570

1

2

1

22

lesdotsdotsdot


+sdotsdotsdot


MPyPz

fprnq

MPyPy

fpvpnqfprPg

hfI

eems

hfI

eeweseemA

γαγ

γαγργ

(381)

( ) ( )0

3

041)cos(56705670

M

yPwPfpvpnqfPg

ftheeweseA

γαγργ

sdot



( )0

2 210570

MR

yRyfrhq h

fIeew

γγ

sdotsdotsdot


( )0

2 210570

MR

yRzfrrRg h

fIeemA

γργ

sdotsdotsdot


( )( )

( )( ) 01

2

10570

2

10570

1

2

1

2

lesdotsdotsdot



MPyPz

frrRg

MRyRy

frhq

hfI

eemA

hfI

eew

γργ

γγ

(385)

( )0

3

0415670

M

yRwRfrhq

ftheew

γγ

sdot



35

( )0

3

25670

M

yRfRfrrRg

ftbeemA

γργ

sdot



( )0M

FCzFCprFCg

fyAHemA


( )0

3

041

2

1

M

yFCwFCFCphq

fthHew

γγ

sdot


( )0

2 2

8

1

MFC

yFCyFCrhq h

fIHew

γγ

sdotsdotsdot


( ) ( )( ) 01

2

81

1

2

1

lesdotsdotsdot

sdotsdotsdotsdot+


MFCyFCy

FCrhq

MFCz

FCprFCg

hfI

Hew

fyA

HemA

γγ

γκργ

(391)


( ) ( )( ) ( )


sdot+


=∆ hLgq

hhPVUIE

LhhPUV

IE

hw

Byw

Cy 83

123

6

1

3

1 2

(392)

( ) ( )( )CAB

ALgqU


16

532

( )

( )CAB

CBhPV w

sdot+sdot+sdotsdot=

2 (392 ab)

150hle∆ (393)

( )( ) ( )


= 3

384

52

8LgqhPVU

L

IE

Lw

Byfδ (394)

250Lf =δ (395)



( ) ( ) ( )[ ]250

)sin(42000269)sin( 4 f

PzfprPpn



36


( ) ( ) ( )[ ]250

42000269 4 f

Ryfrh


( ) ( ) ( )[ ]250

42000269 4 f

RzfrrR


( )250384

5

4FC

FCy

FCph H

IE

Hewle


(399)


sum=n

nyNOFRAME (3100)


sumsdot=m

myNOPURLIN 2 (3102)


sumsdot=r

ryNORAIL 2 (3104)







37

sum sdot=s


1=sums

sy (3107)






sum sdot=i


sum sdot=i


sum sdot=i


sum sdot=i

itiCw yqt Cw

Ii isin (3111)

sum sdot=i

itiCf yqt Cf

Ii isin (3112)

sum sdot=i

iIiCy yqI Cy

Ii isin (3113)

sum sdot=i

iIiCz yqI Cz

Ii isin (3114)

sum sdot=i

iIiCt yqI Ct

Ii isin (3115)

sum sdot=i

iIiC yqI C

ω

ω Ii isin (3116)

1=sumi

iy (3117)


sum sdot=j


sum sdot=j


sum sdot=j



38

sum sdot=j

jtjBw yqt Bw

Jj isin (3121)

sum sdot=j

jtjBf yqt Bf

Jj isin (3122)

sum sdot=j

jIjBy yqI By

Jj isin (3123)

1=sumj

jy (3124)

sum sdot=k


sum sdot=k


sum sdot=k


sum sdot=k

ktkPw yqt Pw

Kk isin (3128)

sum sdot=k

ktkPf yqt Pf

Kk isin (3129)

sum sdot=k

kIkPy yqI Py

Kk isin (3130)

sum sdot=k

kIkPz yqI Pz

Kk isin (3131)

sum sdot=k

kIkPt yqI Pt

Kk isin (3132)

sum sdot=k

kIkP yqI P

ω

ω Kk isin (3133)

1=sumk

ky (3134)


sum sdot=l


sum sdot=l


sum sdot=l


sum sdot=l

ltlRw yqt Rw

Ll isin (3139)

sum sdot=l

ltlRf yqt Rf

Ll isin (3140)

sum sdot=l

lIlRy yqI Ry

Ll isin (3141)


39

sum sdot=l

lIlRz yqI Rz

Ll isin (3142)

sum sdot=l

lIlRt yqI Rt

Ll isin (3143)

sum sdot=l

lIlR yqI R

ω

ω Ll isin (3144)

1=suml

ly (3145)

sum sdot=p


sum sdot=p


sum sdot=p


sum sdot=p

ptpFCw yqt FCw

Ppisin (3149)

sum sdot=p

ptpFCf yqt FCf

Ppisin (3150)

sum sdot=p

pIpFCy yqI FCy

Ppisin (3151)

sum sdot=p

pIpFCz yqI FCz

Ppisin (3152)

sum sdot=p

pIpFCt yqI FCt

Ppisin (3153)

sum sdot=p

pIpFC yqI FC

ω

ω Ppisin (3154)

1=sump

py (3155)



40



41


L= 300 m

H =

82

5 m

h =

75

mf

= 0

75

m

L = 100

0 m

L



42


Spremenljivke x

Spodnja meja xLO

Začetna točka xL

Zgornja meja xUP




j q Phk q Rh


prereza q CAi q BA

j q PAk q RA


q Chi = q Bh

j = q Phk = q Rh

l = q FChp = 96 114 133 152 171 190 230 250 270 290 310 330

350 390 440 490 540 590 640 690 790 890 990

q CAi = q BA

j = q PAk = q RA

l = q FCAp =212 253 314 388 453 538 643 768 868 973

1130 1240 1330 1430 1590 1780 1980 2120 2260 2420 2600 2860 3210 3470






43






44



MINLP Podfaza Masa


Fasadni steber


1 1NLP 23011 1581 1402 800 31701 27868 4002 2040 6417


1MILP 24779 32011 28234 2897 1676 5866 2

2NLP 23847 18 16 8 29309 27114 3111 1783 5933 2MILP 26264 33627 29138 3259 1851 5972

3 3NLP 24119 18 16 10 29226 27136 3111 1782 5933


3MILP 28057 32100 28600 3880 2120 6430 4

4NLP 28057 19 16 12 H 900 H 800 H 160 H 100 H 220 4MILP 28825 32100 28600 3880 2120 6430

5 5NLP 28825 19 18 12 H 900 H 800 H 160 H 100 H 220



45

14 x 214 m300 m

18 x 555 m

1000 m

82

5 m

5 x

15

m


HE

A 9

00

HE

A 9

00

14 x 214 m

300 m

HEA 160

HEA 800 HEA 800

82

5 m

5 x

15

0 m

HEA 100

07

5 m



46









47




3283097002563540 +sdot= CCf ht (43)

2492093001550810 +sdot= CCw ht (44)



( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= CfC

cfCCfCCwCfC

Cy

thtb

thttbI (46)

( )12

2

12

2 3

3

CwCfCCCf

Cz

tthbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (47)

( ) ( ) 3

3 2

3

12

3


( )2

24 CfC

CzC th




3283097002563540 +sdot= BBf ht (411)

2492093001550810 +sdot= BBw ht (412)


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= BfB

BfBBfBBwBfB

By

thtb

thttbI (414)


3283097002563540 +sdot= PPf ht (416)

2492093001550810 +sdot= PPw ht (417)


48


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= PfP

PfPPfPPwPfP

Py

thtb

thttbI (419)

( )12

2

12

2 3

3

PwPfPPPf

Pz

ttbbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (420)

( ) ( ) 3

3 2

3

12

3


( )2

24 PfP

PzP th




3283097002563540 +sdot= RRf ht (424)

2492093001550810 +sdot= RRw ht (425)


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= RfR

RfRRfRRwRfR

Ry

thtb

thttbI (427)

( )12

2

12

2 3

3

RwRfRRRf

Rz

ttbbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (428)

( ) ( ) 3

3 2

31

231


( )2

24 RfR

RzR th



3283097002563540 +sdot= FCFCf ht (432)

2492093001550810 +sdot= FCFCw ht (433)


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= FCfFC

FCfFCFCfFCFCwFCfFC

FCy

thtb

thttbI (435)

( )12

2

12

2 3

3

FCwFCfFCFCFCf

FCz

ttbbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (436)

( ) ( ) 3

3 2

31

231


( )2

24 FCfFCFCz

FC thI



49










50


L= 300 m

H =

82

5 m

h =

75

mf =

07

5 m

L = 1000 m

L



51


Spremenljivke x

Spodnja meja xLO

Začetna točka xL

Zgornja meja xUP




q Bhj q Ph

k q Rhl q FCh


j q PAk q RA

l q FCAp


q Chi = q Bh

j = q Phk = q Rh

l = q FChp = 80 100 120 140 160 180 200 220 240 270 300

330 360 400 450 500 550 600

q CAi = q BA

j = q PAk = q RA

l = q FCAp = 76 103 132 164 201 239 285 334 391 459 538

626 727 845 988 1160 1340 1560










52



MINLP Podfaza Masa


Fasadni steber


1 1NLP 33790 5831 1401 932 15397 14895 668 581 9829


1MILP 37325 16692 15685 646 581 9829 2

2NLP 34611 60 16 14 15089 14778 594 581 8938 2MILP 37604 16692 15698 652 581 9917

3 3NLP 34791 60 16 18 15074 14784 594 581 8938


3MILP 36849 15600 15600 760 1030 988 4

4NLP 36849 60 16 12 I 600 I 600 I 80 I 100 I 450 4MILP 37212 15600 15600 760 1030 988

5 5NLP 37212 60 18 12 I 600 I 600 I 80 I 100 I 450


53


14 x 214 m

300 m

59 x 170 m

1000 m

5 x

15

m8

25

m



54

300 m

14 x 214 m

IPE

600

IPE 80

IPE 600

5 x

150

m

IPE

600

825

m

IPE 100IPE 600

075

m



55








56




57

L= 300 m

H =

82

5 m

h =

75

mf =

07

5 m

L = 1000 m

L



Spremenljivke x

Spodnja meja xLO

Začetna točka xL

Zgornja meja xUP




58



j q Phk q Rh

l q FChp in


j q PAk q RA



i = q Bhj = q FCh

p = 96 114 133 152 171 190 230 250 270 290 310 330

350 390 440 490 540 590 640 690 790 890 990

q CAi = q BA

j = q FCAp = 212 253 314 388 453 538 643 768 868 973 1130 1240

1330 1430 1590 1780 1980 2120 2260 2420 2600 2860


k = q Rhl = 80 100 120 140 160 180 200 220 240 270 300

330 360 400 450 500 550 600

q PAk = q RA

l = 76 103 132 164 201 239 285 334 391 459 538










59



MINLP Podfaza Masa


Fasadni steber


1 1NLP 24211 1357 1402 800 33928 34256 4172 3510 6417


1MILP 25987 33374 34256 2319 1886 5865 2

2NLP 25532 17 16 8 28535 34256 2777 2388 5933 2MILP 35615 30874 34256 2499 2117 5973

3 3NLP 29553 25 16 8 27978 34256 1683 1358 5933


3MILP 25783 32100 32100 3340 2850 6430 4

4NLP 25783 16 16 10 H 900 H 900 I 220 I 200 H 220 4MILP 26273 34700 32100 3340 2850 6430

5 5NLP 26273 16 16 10 H 1000 H 900 I 220 I 200 H 220



60


300 m

14 x 214 m

15 x 667 m

1000 m

825

m4

x 1

87 m



61

HE

A 9

00

HE

A 9

00

14 x 214 m

300 m

IPE 220

HEA 900 HEA 900 IPE 200

4 x

18

7 m

82

5 m

07

5 m




62





63



[kNm2] L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

05 43804 86361 146242 206968 291708 52059 89943 152799 209623 293184 10 46196 94031 159452 243968 373827 52059 97359 173741 251499 373827 15 52532 105706 179963 298897 479199 56536 107907 206687 282053 479199 20 53135 117212 197704 332308 592295 58663 132096 217465 338629 592295 25 58677 124258 210788 380122 713116 64889 124258 215215 382769 724608

Viš

ina

H=5

0 [m

]

30 78687 131751 237745 433839 837705 64383 136606 239695 436486 826212 05 63394 105145 167301 232713 327350 76751 118618 162214 247597 327824 10 68827 127030 185454 286032 433787 79441 121051 190289 295152 431842 15 68441 141094 220943 355391 520156 80223 136623 232977 337287 539905 20 72921 151451 248622 399581 644214 84054 147720 235442 372654 649569 25 91498 169397 242347 477312 750551 86999 161296 252359 414268 770300

Viš

ina

H=7

5 [m

]

30 85902 173623 273917 505061 874609 87197 165771 280574 483628 876636 05 90004 134635 198899 300827 422751 10967 160352 210503 308650 403946 10 93834 146633 244749 356983 581643 10904 164341 248640 341851 580793 15 98312 158049 253878 392801 721289 11817 177374 267598 402409 741594 20 10044 167638 276478 453328 859648 11887 183115 282376 471788 891006 25 10391 183786 307830 528986 101239 11887 193732 307067 525877 104042

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 11823 201777 343180 589513 118048 11983 204794 342417 601536 120905



q [kNm2]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

05 1686 16126 16166 12228 13248 1986 18126 16186 12226 13246 10 2086 16126 14166 14226 19246 1986 16128 16186 14246 19246 15 1986 15126 14166 16226 26246 19106 18126 17186 16206 26246 20 2386 17126 16168 19228 33246 22106 19128 18186 20208 33246 25 2886 18126 16168 23226 40246 2288 18126 18166 24208 40246

Viš

ina

H=5

0 [m

]

30 2588 19126 19168 27226 47246 2688 20128 20186 28208 47246 05 1488 15128 14168 12228 132610 1688 13128 14168 13228 13248 10 1688 17128 14168 15208 20268 1788 18128 15168 15228 20248 15 1988 181210 17168 20208 25268 1888 181212 181612 182012 262410 20 1988 171212 19168 23208 32268 1888 191212 17168 212014 322412 25 20108 191212 16168 292012 38268 1588 191212 18168 242014 392410

Viš

ina

H=7

5 [m

]

30 1888 201212 19168 312012 45268 1888 191212 191612 292014 452410 05 14810 141410 151610 142214 182412 15812 141610 131810 152010 171612 10 14810 151410 171614 172012 272412 14810 161210 171612 162012 272612 15 16810 141410 161614 202012 332412 15810 161610 171612 202012 342414 20 16810 171410 171610 242012 412410 17810 191212 171612 252014 422412 25 17810 171412 191614 292012 492412 17810 201212 191612 292014 502414

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 14810 191214 221614 332012 582412 18810 211212 221612 342014 592614


64




65



q [kNm2]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m] L=10

[m] L=20 [m]

L=30 [m]

05 29390 63373 113372 33765 62119 116031

10 34058 78485 139979 39787 80123 143702

15 34825 93391 166785 43205 92559 177956

20 39038 93925 204737 45627 99675 210833

25 42725 103116 240569 46411 102510 240569

Viš

ina

H=

50

[m

]

30 42959 120572 281065 48636 119664 279793 05 47295 79741 140618 61335 90932 152350

10 47862 100836 184360 61409 98985 195391

15 51856 106055 224991 61916 114231 233578

20 55533 128956 272185 65789 127856 277701

25 59555 141461 318851 66530 147062 329882

Viš

ina

H=

75

[m

]

30 59555 156191 365945 71158 159593 368488

05 77959 131692 192818 95482 150215 221770 10 84442 138305 257932 97763 159698 280367 15 87235 158553 325238 97763 181443 344064 20 93001 177291 389903 102820 191919 406729 25 94241 202889 451599 103427 212667 468426

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 93137 244471 513297 109668 239265 535733




q [kNm2]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m] L=10

[m] L=20 [m]

L=30 [m]

05 30106 23146 15168 2886 24146 19168

10 33106 22148 22166 27106 22146 22166

15 34106 22148 29166 281010 22146 31166

20 32108 22146 37166 341010 24146 38168

25 331010 25148 45166 351010 25128 45166

Viš

ina

H=

50

[m

]

30 32108 27148 53166 34108 28148 53166 05 2588 21128 181610 2488 211210 191612 10 2488 221210 261612 2388 20128 281612 15 2988 23128 341810 25810 25128 361612 20 3088 271210 431612 27810 271210 441612 25 29810 311210 511612 2888 321410 531612

Viš

ina

H=

75

[m

]

30 29810 361210 601612 29810 371210 601612 05 191010 232010 261610 201010 222012 282014 10 211010 252010 361614 201010 262012 401614 15 251012 292010 481614 201010 332012 511614 20 251012 352012 591614 211012 392012 621614 25 271012 422012 701614 271012 452010 731614

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 251210 502010 811614 281012 522010 851614


66


HEA HEA

HE

A

HE

A

Slika 61 Podtip 3a

IPE IPE

HE

A

HE

A

Slika 62 Podtip 3b


67

IPE

IPE

IPE IPE

Slika 63 Podtip 3c



68



[kNm2] L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

05 27658 58642 113372 206035 272176 32948 60355 116031 204023 279382 10 28704 74654 132177 229668 345848 33669 72066 134743 237883 345848 15 32569 80892 164886 254464 449305 36805 80341 167075 261460 450812 20 35709 87074 193339 285320 546103 37166 89648 205018 288209 547469 25 39225 97234 201546 314288 653893 42113 100282 218811 316612 655165

Viš

ina

H=5

0 [m

]

30 39635 107355 213835 353179 752057 42062 110121 225944 355188 752057 05 45708 77038 133451 226330 310057 58763 87977 134220 237188 326780 10 47404 95557 171033 276552 388448 58825 96282 175590 271373 405170 15 49283 103235 211728 300170 499758 59343 102544 207245 291879 500831 20 52732 112222 237914 338562 603273 64205 118543 223507 336821 604890 25 56987 120193 248758 387161 720173 64946 125863 248758 388063 721868

Viš

ina

H=7

5 [m

]

30 57971 137338 253761 432147 826509 68585 136569 257828 438448 826509 05 72055 115727 170413 285729 365391 88281 144706 195119 286835 389903 10 73876 123895 217855 328464 513581 90102 147721 221520 326594 525606 15 81881 134044 236758 375398 674605 92976 151115 246421 391729 665760 20 80262 149768 256901 426076 826088 98142 152751 278654 444630 844526 25 82384 153348 274442 507574 958331 10026 161757 289199 501959 922058

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 89134 164875 295214 568007 110846 10365 166473 297780 585336 111171



q [kNm2]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

05 3186 22126 15168 14226 12246 2886 23126 19168 13206 12248 10 3586 23126 21166 13228 18246 2986 23126 21166 12208 18246 15 3486 22126 29166 13228 25246 3388 23126 29166 14206 25246 20 3488 21126 16166 16208 31246 3386 21128 17166 16208 31246 25 3586 22126 15166 19208 38246 3588 23126 12168 19208 38246

Viš

ina

H=5

0 [m

]

30 3488 23128 14166 22208 44246 3486 24126 14166 22208 44246 05 2588 21128 18168 12208 12248 2488 21128 181610 13228 13248 10 2588 22128 25168 12208 18248 2388 20128 19168 13228 19248 15 2988 22128 14168 152010 25248 25810 22128 131610 15228 252410 20 2988 21128 13168 182010 31248 27810 23128 15168 192210 312410 25 3188 24128 14168 222010 38248 2888 25128 14168 23228 38248

Viš

ina

H=7

5 [m

]

30 29810 181210 14168 252010 44248 29810 18128 161610 272210 44248 05 21810 171210 221610 132212 152410 20810 171210 271610 132210 162612 10 21810 191210 151610 142012 232412 20810 171210 141610 152012 252612 15 26810 191210 151610 182012 322412 21810 181210 141610 192212 332610 20 25810 191210 151610 232012 402410 21812 191210 141610 242012 412610 25 26810 191210 161610 272012 472412 24812 201210 181610 282210 452612

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 241010 201210 181610 312210 552412 24812 191210 181610 322012 552610



69



q [kNm2]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

05 79816 13757 204023 18126 15168 13206

10 94006 161997 237880 18126 16188 12208

15 104112 173639 17128 15186

20 114167 205018 19126 17166

25 118464 218811 18126 12168

Viš

ina

H=

50

[m

]

30 127484 225944 20126 14166 05 114237 166013 237188 18128 141610 13228

10 114352 181183 271373 18128 15168 13228

15 135461 207245 191212 131610

20 153196 223507 191212 15168

25 167632 248758 211212 14168

Viš

ina

H=

75

[m

]

30 172577 257828 211212 161610

05 155570 208428 286830 161210 161810 132210 10 160684 221520 161212 141610 15 164263 246421 161212 141610 20 169048 278654 191212 141610 25 183876 289199 211212 181610

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 196693 297780 211212 181610


70



q [kNm2]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

05 65362 123928 247838 23126 17186 32206

10 75949 142326 387574 20126 20186 51206

15 85784 174927 20126 25186

20 96425 214063 19128 31186

25 102365 244140 21126 37186

Viš

ina

H=

50

[m

]

30 111796 284333 19128 441810 05 97016 148585 286539 18128 17168 30228

10 101454 175590 456117 20128 19168 48208

15 123056 207908 221210 24168

20 127704 255221 211210 31168

25 134312 299824 221210 36168

Viš

ina

H=

75

[m

]

30 136569 342877 18128 42168

05 144706 196049 340493 171210 181810 292012 10 147721 224931 171210 201812 15 151115 259776 181210 251810 20 152751 303941 191210 311610 25 161757 360526 201210 361810

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 166473 410715 191210 421810


71





72

HEA

0

100

200

300

400

500

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 05 kNm2

HEA

0

150

300

450

600

750

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 10 kNm2

HEA

0

150

300

450

600

750

900

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 15 kNm2

HEA

0

200

400

600

800

1000

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 20 kNm2

HEA

0

200

400

600

800

1000

1200

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 25 kNm2

HEA

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 30 kNm2



73

IPE

0

50

100

150

200

250

10 15 20 25 30Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 05 kNm2

IPE

0

50

100

150

200

250

300

10 15 20 25 30Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 10 kNm2

IPE

0

75

150

225

300

375

10 15 20 25 30Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 15 kNm2

IPE

0

100

200

300

400

500

10 15 20 25 30Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 20 kNm2

IPE

0

100

200

300

400

500

10 15 20 25 30Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 25 kNm2

IPE

0

100

200

300

400

500

600

10 15 20 25 30Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 30 kNm2



74

IPE+HEA

0

100

200

300

400

500

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 05 kNm2

IPE+HEA

0

100

200

300

400

500

600

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 10 kNm2

IPE+HEA

0

150

300

450

600

750

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 15 kNm2

IPE+HEA

0

200

400

600

800

1000

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 20 kNm2

IPE+HEA

0

200

400

600

800

1000

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 25 kNm2

IPE+HEA

0

200

400

600

800

1000

1200

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 30 kNm2




75



76

H = 50 m

0

150

300

450

600

750

900

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]L = 500 mL = 400 mL = 300 mL = 200 mL = 100 m

HEA

H = 75 m

0

150

300

450

600

750

900

1050

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]

L = 500 mL = 400 mL = 300 mL = 200 mL = 100 m

HEA

H = 100 m

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]

L = 500 mL = 400 mL = 300 mL = 200 mL = 100 m

HEA



77

IPE

0

50

100

150

200

250

300

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]L = 300 mL = 200 mL = 100 m

H = 50 m

H = 75 m

0

75

150

225

300

375

450

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]

L = 300 mL = 200 mL = 100 m

IPE

H = 100 m

0

100

200

300

400

500

600

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]

L = 300 mL = 200 mL = 100 m

IPE



78

H = 50 m

0

100

200

300

400

500

600

700

800

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]L = 500 mL = 400 mL = 300 mL = 200 mL = 100 m

IPE+HEA

H = 75 m

0

150

300

450

600

750

900

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]

L = 500 mL = 400 mL = 300 mL = 200 mL = 100 m

IPE+HEA

H = 100 m

0

200

400

600

800

1000

1200

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]

L = 500 mL = 400 mL = 300 mL = 200 mL = 100 m

IPE+HEA




79




80

H = 50 m

1

3

5

7

9

11

10 20 30 40 50

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


HEA

2

2

22

22

H = 75 m

1

3

5

7

9

11

10 20 30 40 50

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


HEA

2

2

22

22

H = 100 m

1

3

5

7

9

11

10 20 30 40 50

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


HEA

2

2

22

22




81

H = 50 m

1

2

3

4

5

6

7

10 15 20 25 30

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


IPE

2

2

22

22

H = 75 m

1

2

3

4

5

6

7

10 15 20 25 30

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


IPE

2

2

22

22

H = 100 m

1

2

3

4

5

6

7

10 15 20 25 30

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


IPE

2

2

22

22




82

H = 50 m

1

3

5

7

9

11

10 20 30 40 50

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


IPE+HEA

2

2

2

2

22

H = 75 m

1

3

5

7

9

11

10 20 30 40 50

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji [

m]


IPE+HEA

2

2

2

2

22

H = 100 m

1

3

5

7

9

11

10 20 30 40 50

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


IPE+HEA

2

2

2

2

22




83




84

H = 50 m

0

50

100

150

200

250

300

350

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]HEAIPEIPE+HEA

q = 05 kNm2

H = 50 m

0

75

150

225

300

375

450

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 10 kNm2

H = 50 m

0

100

200

300

400

500

600

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 15 kNm2

H = 50 m

0

150

300

450

600

750

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]HEAIPEIPE+HEA

q = 20 kNm2

H = 50 m

0

150

300

450

600

750

900

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 25 kNm2

H = 50 m

0

200

400

600

800

1000

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 30 kNm2




85

H = 75 m

0

75

150

225

300

375

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 05 kNm2

H = 75 m

0

100

200

300

400

500

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 10 kNm2

H = 75 m

0

100

200

300

400

500

600

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 15 kNm2

H = 75 m

0

150

300

450

600

750

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]HEAIPEIPE+HEA

q = 20 kNm2

H = 75 m

0

150

300

450

600

750

900

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 25 kNm2

H = 75 m

0

200

400

600

800

1000

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 30 kNm2




86

H = 100 m

0

100

200

300

400

500

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 05 kNm2

H = 100 m

0

100

200

300

400

500

600

700

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 10 kNm2

H = 100 m

0

150

300

450

600

750

900

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 15 kNm2

H = 100 m

0

200

400

600

800

1000

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]HEAIPEIPE+HEA

q = 20 kNm2

H = 100 m

0

200

400

600

800

1000

1200

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 25 kNm2

H = 100 m

0

250

500

750

1000

1250

1500

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 30 kNm2




87




88

H = 50 m

10

15

20

25

30

35

10 20 30 40 50Razpon [m]

Šte

vilo

okv

irje

v [k

om

] 1

HEAIPEIPE+HEA

q = 15 kNm2

H = 50 m

10

15

20

25

30

35

40

10 20 30 40 50Razpon [m]

Šte

vilo

okv

irje

v [k

om

] 1

HEAIPEIPE+HEA

q = 20 kNm2

H = 50 m

10

15

20

25

30

35

40

45

50

10 20 30 40 50Razpon [m]

Šte

vilo

okv

irje

v [k

om

] 1

HEAIPEIPE+HEA

q = 25 kNm2



89



90

120

140

160

180

200

220

240

260

30 32 34 36 38 40Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 50 m q = 05 kNm2

100

150

200

250

300

350

400

30 32 34 36 38 40

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 50 m q = 10 kNm2

80

100

120

140

160

180

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 50 m q = 15 kNm2

80

100

120

140

160

180

200

220

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 50 m q = 20 kNm2

100

120

140

160

180

200

220

240

260

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 50 m q = 25 kNm2

100

130

160

190

220

250

280

310

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 50 m q = 30 kNm2



91

130

160

190

220

250

280

310

30 32 34 36 38 40

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 75 m q = 05 kNm2

150

200

250

300

350

400

450

30 32 34 36 38 40

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 75 m q = 10 kNm2

120

140

160

180

200

220

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 75 m q = 15 kNm2

120

140

160

180

200

220

240

260

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 75 m q = 20 kNm2

130

160

190

220

250

280

310

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 75 m q = 25 kNm2

120

160

200

240

280

320

360

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 75 m q = 30 kNm2



92

190

220

250

280

310

340

370

30 32 34 36 38 40

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 100 m q = 05 kNm2

140

160

180

200

220

240

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 100 m q = 10 kNm2

140

160

180

200

220

240

260

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 100 m q = 15 kNm2

130

160

190

220

250

280

310

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 100 m q = 20 kNm2

150

200

250

300

350

400

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 100 m q = 25 kNm2

150

200

250

300

350

400

450

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 100 m q = 30 kNm2



93


05

1

15

2

25

3

22 24 26 28 30 32

Razpon [m]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

Ob

težb

a [k

Nm2

]




94



95




96



97



98






99









100





101








102







103






104







105










106




107







108
















109





DELOVNE IZKUŠNJE














I

VSEBINA

POVZETEK IV

SUMMARY VI




1 UVOD1








II











III




8 ZAKLJU ČEK95

9 LITERATURA98



IV


V


VI


VII


VIII






IX






X




XI











XII







fasadnega stebra






q Cfti


q Bftj


q Pftk


q Rftl


q FCftp


q Cwti


q Bwtj


q Pwtk


q Rwtl


q FCwtp


q CtIi


XIII

stebra

q PtIk


lege

q RtIl


prečke

q FCtIp


fasadnega stebra

q CyIi


stebra

q ByIj


osi nosilca

q PyIk


osi lege

q RyIl


osi prečke

q FCyIp



q CzIi


stebra

q PzIk


osi lege

q RzIl


prečke

q FCzIp



q CIi



q PIk



q RIl



q FCIp




elementa

XIV



XV




XVI











XVII


XVIII



1



2





3





4



5






6





7







8




9





10







11




12





13






iy (21)


14


iy (22)


iy (23)


0leminus ik yy (24)







isinisink

NIii

BIii BIyy

kk

(26)


ik yiNI Kk 21=



15


pp ( ) 0xh =


bCxBy le+





16

min ( )xyc fz += T

pp ( ) 0xh =

( ) 0xg le

( ) axA le

Ey le e (MINLP-MS)

( ) rxRDy le+e

( ) kdLKy le+ cne

( ) mdMPy le+ mat

( ) ndNPy le+ st













17


mat2 y



sumisin

=Ii

matii

mat yqd (27)

1=sumisinIi

matiy (28)



1 yst

2 yst

3 yst


sumisin

=Jj

stjj

st yqd (29)

1=sumisinJj

stjy (210)








Pettersson (1995)


18



19



pp ( ) 0xh =

( ) 0xg le (NLP)K

bCxBy le+K



min α+= ycTKz

p p




bCxBy le+


20


ii NI

k

k k




1== kik yiBI 0== k

ik yiNI k=1K

=gt+ltminus

==0λ if 0

0λ if 1

0λ if 1

kj

kj

kj

kjj

kjj

k ttT j = 12N


STOP

Superstruktura


Podproblem

Zvezno optimiranje


Glavni problem


Konvergenca

DA

NE

MILP


NLP

MINLP



21









22

( ) ( ) ( )[ ] ( )aakk

ak



( ) ( ) ( ) ( )aakk

ak






( ) ( )sumisin

=Aa

aff

nlnl xx (213)



( ) ( ) ( ) ( )aaakk

ak



( ) sumisin

++=Aa





23




( ) ( ) ( ) ( )aafkaa

kka



( ) ( ) ( )[ ] ( )aah

kakk

ak



( ) ( ) ( ) ( )aag

kakk

ak



0 gegka

hka



w hka w g



+++++=KkAa

kakaKkAa

kakaAa KkAa

kakaaK swswswfz

1

gg

1

hh

1

fflinT αxyc (220)



( ) sumisin

le++Aa





24



kKka



ak

ak



ak



===or

gtgtgt 0 0 0


1


h

f

g

h


ka

www

ka

microλ (225)




+ +++++=KkAa

kakaKkAa

kakaAa KkAa

kakaaK swswswfz

1

gg

1

hh

1

fflinT1 αxyc


( ) ( ) ( ) ( )aafkaa

kka



( ) ( ) ( )[ ] ( )aah

kakk

ak



( ) ( ) ( ) ( )aag

kakk

ak


uxxxgxg aisinA k=1K


25


( ) sumisin

le++Aa

af UBlinT αxyc


bCxBy le+ (MILP)K+1

Celoštevilski rez

y y BAaa BA

aa NA

k

k k


Meje spremenljivk


y isin Y =01 a



ak yaNA k=1K

Konveksni test

===or

gtgtgt 0 0 0


1


h

f

g

h


ka

www

ka

microλ



26


















27




e

e

e

e

e

e

P

P

P

H


e re r

e r

f

f

f

f

f

f

L L

L



28


CI

w

t

L bC

H

L

BI

CA h

BA

q

f

B

fc

z

y

twc

hC

A CIC

AB BI

bB

tf wt

Bh

z

y

B

B

h

A C A B

z


29429875751000761045782

10189751098835105913310768182233

465cedil769712




CCC

CCCCC

hhh

hhhhb (32)


CCCCCf hhhht (33)


CCCw hht (34)



( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= CfC

cfCCfCCwCfC

Cy

thtb

thttbI (36)

( )12

2

12

2 3

3

CwCfCCCf

Cz

tthbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (37)

( ) ( ) 3

3 2

3

12

3


( )2

24 CfC

CzC th



29


29429875751000761045782

10189751098835105913310768182233

465cedil769712




BBB

BBBBB

hhh

hhhhb (310)


BBBBBf hhhht (311)


BBBw hht (312)


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= BfB

BfBBfBBwBfB

By

thtb

thttbI (314)

29429875751000761045782

10189751098835105913310768182233

465cedil769712




PPP

PPPPP

hhh

hhhhb (315)


PPPPPf hhhht (316)


PPPw hht (317)


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= PfP

PfPPfPPwPfP

Py

thtb

thttbI (319)

( )12

2

12

2 3

3

PwPfPPPf

Pz

ttbbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (320)

( ) ( ) 3

3 2

3

12

3


( )2

24 PfP

PzP th



29429875751000761045782

10189751098835105913310768182233

465cedil769712




RRR

RRRRR

hhh

hhhhb (323)


RRRRRf hhhht (324)


RRRw hht (325)


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= RfR

RfRRfRRwRfR

Ry

thtb

thttbI (327)

( )12

2

12

2 3

3

RwRfRRRf

Rz

ttbbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (328)


30

( ) ( ) 3

3 2

3

12

3


( )2

24 RfR

RzR th


29429875751000761045782

10189751098835105913310768182233

465cedil769712




FCFCFC

FCFCFCFCFC

hhh

hhhhb (331)




FCFCFCw hht (333)


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= FCfFC

FCfFCFCfFCFCwFCfFC

FCy

thtb

thttbI (335)

( )12

2

12

2 3

3

FCwFCfFCFCFCf

FCz

ttbbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (336)

( ) ( ) 3

3 2

3

12

3


( )2

24 FCfFCFCz

FC thI



( ) 222 fLLB += (339)

( )( )2arctan Lf=α (340)







31


ewq hr sdot= (346)


ρsdot= Rr Ag (348)







[ ]cmep 250le (356)


[ ]cmer 250le (360)





32

h

IK C

C = (361)

s

IK B

B = (362)

BC

CS

KK

K

sdot+=

511η (363)

( )( ) 2121

2121

60801

120201

ηηηηηηηηβ


SS

SS

sway (364)




( )( ) 10

2 2

2

le

sdot

sdotsdot

sdotsdot+sdot+sdot

h

IELgq

L

hP

sway

Cygzq

βπγγ

(365)

BC

CNS

KK

K

sdot+=

501η (366)


NSNSswaynon (367)


( ) ( )( )

( )( ) 0

2 2

216

53

MC

yCygzq

h

fI

CAB

CBhP

CAB

ALgq

γγγ

sdotsdotsdot

lesdot+sdot

+sdotsdot+sdot+sdot


hfA +=1 AL

h

I

IB

BCy

By +

+sdotsdot= 12


( ) ( )( )

( )( )

( )0

2

3

041

216

53

M

yCwCgzq fthh

CAB

CBhP

CAB

ALgq

γγγ

sdot

sdotsdotsdotle

sdot+sdot+sdotsdot+


(369)

( )02 M

yCgq fALgq

L

hP

γγγ sdot

lesdotsdot+sdot

+sdot (370)



33


( )[ ] ( )( )[ ] 2222 2015020150

1


αακ (371)

1 λ

βsdot

sdot= minus

CCy

swaynon

AI

hD (371 a)

( )( )

sdotminus

sdot+sdotsdot

sdotsdotsdot+sdot

sdot

sdotsdotsdot=

22 2

2

2

2

2

2

2

1h

Ch

CIE

IGhk

I

I

hk

IECM

Cz

Ct

Cz

CCzCR π

π ω (372)

CCR

yCy

CCR

yCy

CCR

yCyLT

CCR

yCy

CCR

yCyLT

LT

hM

fI

hM

fI

hM

fI

hM

fI

hM

fI

sdotsdotsdot

minus

sdotsdotsdot

+

minus

sdotsdotsdot

sdot+sdot+

sdotsdotsdot

+

minus

sdotsdotsdot

sdot+sdot

=

2

2220

2150

220

2150

1

αα

κ

(373)

( ) ( ) ( )( )

( )( )

( ) 012

216

53

2

1

2

1

lesdotsdotsdotsdot

sdot+sdot+sdotsdot+


+sdotsdot

sdotsdot+sdot+sdot

MCyCyLT

gzq

MyC

gzq

hfICAB

CBhP

CAB

ALgq

fA

Lgq

L

hP

γκ

γγ

γκ

γγ

(374)


( ) ( )( )

( )( ) 0

2 2

216

53

MB

yBygzq

h

fI

CAB

CBhP

CAB

ALgq

γγγ

sdotsdotsdot

lesdot+sdot

+sdotsdot+sdot+sdot


( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )0

2

3

041)sin(

216

53)cos(

2M

yBwBgzqgzq fthh

CAB

CBhP

CAB

ALgqLgq

L

hP

γα

γγα

γγsdot

sdotsdotsdotle

sdot

sdot+sdot+sdotsdot+



+sdot

(376)

( ) ( )( )

( )( )

( )0

2

)sin(2216

53

M

yBgzqgzq fALgq

L

hPh

CAB

CBhP

CAB

ALgq

γα

γγγγ sdotlesdot

sdotsdot+sdot+sdot+

sdot+sdot+sdotsdot+


(377)


34

( ) ( )( )

( )( )

( )

( ) ( )( )

( )( )

( ) 012

216

53

)sin(2216

53

1

2

1

2

lesdotsdotsdot

sdot+sdot+sdotsdot+


+

+sdot

sdotsdotsdot+sdot

+sdot+

sdot+sdot+sdotsdot+


MByBy

gzq

MyB

gzqgzq

hfICAB

CBhP

CAB

ALgq

fA

Lgq

L

hPh

CAB

CBhP

CAB

ALgq

γ

γγ

γ

αγγγγ

(378)


( ) ( )0

222

)cos(1057010570MP

yPyfpvpnqfprPg h

fIeeweseemA

γαγργ

sdotsdotsdot


( )0

22

)sin(10570MP

yPzfprnq h

fIeems

γαγ

sdotsdotsdot


( ) ( )( )

( )( ) 01

2

)sin(10570

2

)cos(1057010570

1

2

1

22

lesdotsdotsdot


+sdotsdotsdot


MPyPz

fprnq

MPyPy

fpvpnqfprPg

hfI

eems

hfI

eeweseemA

γαγ

γαγργ

(381)

( ) ( )0

3

041)cos(56705670

M

yPwPfpvpnqfPg

ftheeweseA

γαγργ

sdot



( )0

2 210570

MR

yRyfrhq h

fIeew

γγ

sdotsdotsdot


( )0

2 210570

MR

yRzfrrRg h

fIeemA

γργ

sdotsdotsdot


( )( )

( )( ) 01

2

10570

2

10570

1

2

1

2

lesdotsdotsdot



MPyPz

frrRg

MRyRy

frhq

hfI

eemA

hfI

eew

γργ

γγ

(385)

( )0

3

0415670

M

yRwRfrhq

ftheew

γγ

sdot



35

( )0

3

25670

M

yRfRfrrRg

ftbeemA

γργ

sdot



( )0M

FCzFCprFCg

fyAHemA


( )0

3

041

2

1

M

yFCwFCFCphq

fthHew

γγ

sdot


( )0

2 2

8

1

MFC

yFCyFCrhq h

fIHew

γγ

sdotsdotsdot


( ) ( )( ) 01

2

81

1

2

1

lesdotsdotsdot

sdotsdotsdotsdot+


MFCyFCy

FCrhq

MFCz

FCprFCg

hfI

Hew

fyA

HemA

γγ

γκργ

(391)


( ) ( )( ) ( )


sdot+


=∆ hLgq

hhPVUIE

LhhPUV

IE

hw

Byw

Cy 83

123

6

1

3

1 2

(392)

( ) ( )( )CAB

ALgqU


16

532

( )

( )CAB

CBhPV w

sdot+sdot+sdotsdot=

2 (392 ab)

150hle∆ (393)

( )( ) ( )


= 3

384

52

8LgqhPVU

L

IE

Lw

Byfδ (394)

250Lf =δ (395)



( ) ( ) ( )[ ]250

)sin(42000269)sin( 4 f

PzfprPpn



36


( ) ( ) ( )[ ]250

42000269 4 f

Ryfrh


( ) ( ) ( )[ ]250

42000269 4 f

RzfrrR


( )250384

5

4FC

FCy

FCph H

IE

Hewle


(399)


sum=n

nyNOFRAME (3100)


sumsdot=m

myNOPURLIN 2 (3102)


sumsdot=r

ryNORAIL 2 (3104)







37

sum sdot=s


1=sums

sy (3107)






sum sdot=i


sum sdot=i


sum sdot=i


sum sdot=i

itiCw yqt Cw

Ii isin (3111)

sum sdot=i

itiCf yqt Cf

Ii isin (3112)

sum sdot=i

iIiCy yqI Cy

Ii isin (3113)

sum sdot=i

iIiCz yqI Cz

Ii isin (3114)

sum sdot=i

iIiCt yqI Ct

Ii isin (3115)

sum sdot=i

iIiC yqI C

ω

ω Ii isin (3116)

1=sumi

iy (3117)


sum sdot=j


sum sdot=j


sum sdot=j



38

sum sdot=j

jtjBw yqt Bw

Jj isin (3121)

sum sdot=j

jtjBf yqt Bf

Jj isin (3122)

sum sdot=j

jIjBy yqI By

Jj isin (3123)

1=sumj

jy (3124)

sum sdot=k


sum sdot=k


sum sdot=k


sum sdot=k

ktkPw yqt Pw

Kk isin (3128)

sum sdot=k

ktkPf yqt Pf

Kk isin (3129)

sum sdot=k

kIkPy yqI Py

Kk isin (3130)

sum sdot=k

kIkPz yqI Pz

Kk isin (3131)

sum sdot=k

kIkPt yqI Pt

Kk isin (3132)

sum sdot=k

kIkP yqI P

ω

ω Kk isin (3133)

1=sumk

ky (3134)


sum sdot=l


sum sdot=l


sum sdot=l


sum sdot=l

ltlRw yqt Rw

Ll isin (3139)

sum sdot=l

ltlRf yqt Rf

Ll isin (3140)

sum sdot=l

lIlRy yqI Ry

Ll isin (3141)


39

sum sdot=l

lIlRz yqI Rz

Ll isin (3142)

sum sdot=l

lIlRt yqI Rt

Ll isin (3143)

sum sdot=l

lIlR yqI R

ω

ω Ll isin (3144)

1=suml

ly (3145)

sum sdot=p


sum sdot=p


sum sdot=p


sum sdot=p

ptpFCw yqt FCw

Ppisin (3149)

sum sdot=p

ptpFCf yqt FCf

Ppisin (3150)

sum sdot=p

pIpFCy yqI FCy

Ppisin (3151)

sum sdot=p

pIpFCz yqI FCz

Ppisin (3152)

sum sdot=p

pIpFCt yqI FCt

Ppisin (3153)

sum sdot=p

pIpFC yqI FC

ω

ω Ppisin (3154)

1=sump

py (3155)



40



41


L= 300 m

H =

82

5 m

h =

75

mf

= 0

75

m

L = 100

0 m

L



42


Spremenljivke x

Spodnja meja xLO

Začetna točka xL

Zgornja meja xUP




j q Phk q Rh


prereza q CAi q BA

j q PAk q RA


q Chi = q Bh

j = q Phk = q Rh

l = q FChp = 96 114 133 152 171 190 230 250 270 290 310 330

350 390 440 490 540 590 640 690 790 890 990

q CAi = q BA

j = q PAk = q RA

l = q FCAp =212 253 314 388 453 538 643 768 868 973

1130 1240 1330 1430 1590 1780 1980 2120 2260 2420 2600 2860 3210 3470






43






44



MINLP Podfaza Masa


Fasadni steber


1 1NLP 23011 1581 1402 800 31701 27868 4002 2040 6417


1MILP 24779 32011 28234 2897 1676 5866 2

2NLP 23847 18 16 8 29309 27114 3111 1783 5933 2MILP 26264 33627 29138 3259 1851 5972

3 3NLP 24119 18 16 10 29226 27136 3111 1782 5933


3MILP 28057 32100 28600 3880 2120 6430 4

4NLP 28057 19 16 12 H 900 H 800 H 160 H 100 H 220 4MILP 28825 32100 28600 3880 2120 6430

5 5NLP 28825 19 18 12 H 900 H 800 H 160 H 100 H 220



45

14 x 214 m300 m

18 x 555 m

1000 m

82

5 m

5 x

15

m


HE

A 9

00

HE

A 9

00

14 x 214 m

300 m

HEA 160

HEA 800 HEA 800

82

5 m

5 x

15

0 m

HEA 100

07

5 m



46









47




3283097002563540 +sdot= CCf ht (43)

2492093001550810 +sdot= CCw ht (44)



( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= CfC

cfCCfCCwCfC

Cy

thtb

thttbI (46)

( )12

2

12

2 3

3

CwCfCCCf

Cz

tthbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (47)

( ) ( ) 3

3 2

3

12

3


( )2

24 CfC

CzC th




3283097002563540 +sdot= BBf ht (411)

2492093001550810 +sdot= BBw ht (412)


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= BfB

BfBBfBBwBfB

By

thtb

thttbI (414)


3283097002563540 +sdot= PPf ht (416)

2492093001550810 +sdot= PPw ht (417)


48


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= PfP

PfPPfPPwPfP

Py

thtb

thttbI (419)

( )12

2

12

2 3

3

PwPfPPPf

Pz

ttbbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (420)

( ) ( ) 3

3 2

3

12

3


( )2

24 PfP

PzP th




3283097002563540 +sdot= RRf ht (424)

2492093001550810 +sdot= RRw ht (425)


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= RfR

RfRRfRRwRfR

Ry

thtb

thttbI (427)

( )12

2

12

2 3

3

RwRfRRRf

Rz

ttbbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (428)

( ) ( ) 3

3 2

31

231


( )2

24 RfR

RzR th



3283097002563540 +sdot= FCFCf ht (432)

2492093001550810 +sdot= FCFCw ht (433)


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= FCfFC

FCfFCFCfFCFCwFCfFC

FCy

thtb

thttbI (435)

( )12

2

12

2 3

3

FCwFCfFCFCFCf

FCz

ttbbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (436)

( ) ( ) 3

3 2

31

231


( )2

24 FCfFCFCz

FC thI



49










50


L= 300 m

H =

82

5 m

h =

75

mf =

07

5 m

L = 1000 m

L



51


Spremenljivke x

Spodnja meja xLO

Začetna točka xL

Zgornja meja xUP




q Bhj q Ph

k q Rhl q FCh


j q PAk q RA

l q FCAp


q Chi = q Bh

j = q Phk = q Rh

l = q FChp = 80 100 120 140 160 180 200 220 240 270 300

330 360 400 450 500 550 600

q CAi = q BA

j = q PAk = q RA

l = q FCAp = 76 103 132 164 201 239 285 334 391 459 538

626 727 845 988 1160 1340 1560










52



MINLP Podfaza Masa


Fasadni steber


1 1NLP 33790 5831 1401 932 15397 14895 668 581 9829


1MILP 37325 16692 15685 646 581 9829 2

2NLP 34611 60 16 14 15089 14778 594 581 8938 2MILP 37604 16692 15698 652 581 9917

3 3NLP 34791 60 16 18 15074 14784 594 581 8938


3MILP 36849 15600 15600 760 1030 988 4

4NLP 36849 60 16 12 I 600 I 600 I 80 I 100 I 450 4MILP 37212 15600 15600 760 1030 988

5 5NLP 37212 60 18 12 I 600 I 600 I 80 I 100 I 450


53


14 x 214 m

300 m

59 x 170 m

1000 m

5 x

15

m8

25

m



54

300 m

14 x 214 m

IPE

600

IPE 80

IPE 600

5 x

150

m

IPE

600

825

m

IPE 100IPE 600

075

m



55








56




57

L= 300 m

H =

82

5 m

h =

75

mf =

07

5 m

L = 1000 m

L



Spremenljivke x

Spodnja meja xLO

Začetna točka xL

Zgornja meja xUP




58



j q Phk q Rh

l q FChp in


j q PAk q RA



i = q Bhj = q FCh

p = 96 114 133 152 171 190 230 250 270 290 310 330

350 390 440 490 540 590 640 690 790 890 990

q CAi = q BA

j = q FCAp = 212 253 314 388 453 538 643 768 868 973 1130 1240

1330 1430 1590 1780 1980 2120 2260 2420 2600 2860


k = q Rhl = 80 100 120 140 160 180 200 220 240 270 300

330 360 400 450 500 550 600

q PAk = q RA

l = 76 103 132 164 201 239 285 334 391 459 538










59



MINLP Podfaza Masa


Fasadni steber


1 1NLP 24211 1357 1402 800 33928 34256 4172 3510 6417


1MILP 25987 33374 34256 2319 1886 5865 2

2NLP 25532 17 16 8 28535 34256 2777 2388 5933 2MILP 35615 30874 34256 2499 2117 5973

3 3NLP 29553 25 16 8 27978 34256 1683 1358 5933


3MILP 25783 32100 32100 3340 2850 6430 4

4NLP 25783 16 16 10 H 900 H 900 I 220 I 200 H 220 4MILP 26273 34700 32100 3340 2850 6430

5 5NLP 26273 16 16 10 H 1000 H 900 I 220 I 200 H 220



60


300 m

14 x 214 m

15 x 667 m

1000 m

825

m4

x 1

87 m



61

HE

A 9

00

HE

A 9

00

14 x 214 m

300 m

IPE 220

HEA 900 HEA 900 IPE 200

4 x

18

7 m

82

5 m

07

5 m




62





63



[kNm2] L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

05 43804 86361 146242 206968 291708 52059 89943 152799 209623 293184 10 46196 94031 159452 243968 373827 52059 97359 173741 251499 373827 15 52532 105706 179963 298897 479199 56536 107907 206687 282053 479199 20 53135 117212 197704 332308 592295 58663 132096 217465 338629 592295 25 58677 124258 210788 380122 713116 64889 124258 215215 382769 724608

Viš

ina

H=5

0 [m

]

30 78687 131751 237745 433839 837705 64383 136606 239695 436486 826212 05 63394 105145 167301 232713 327350 76751 118618 162214 247597 327824 10 68827 127030 185454 286032 433787 79441 121051 190289 295152 431842 15 68441 141094 220943 355391 520156 80223 136623 232977 337287 539905 20 72921 151451 248622 399581 644214 84054 147720 235442 372654 649569 25 91498 169397 242347 477312 750551 86999 161296 252359 414268 770300

Viš

ina

H=7

5 [m

]

30 85902 173623 273917 505061 874609 87197 165771 280574 483628 876636 05 90004 134635 198899 300827 422751 10967 160352 210503 308650 403946 10 93834 146633 244749 356983 581643 10904 164341 248640 341851 580793 15 98312 158049 253878 392801 721289 11817 177374 267598 402409 741594 20 10044 167638 276478 453328 859648 11887 183115 282376 471788 891006 25 10391 183786 307830 528986 101239 11887 193732 307067 525877 104042

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 11823 201777 343180 589513 118048 11983 204794 342417 601536 120905



q [kNm2]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

05 1686 16126 16166 12228 13248 1986 18126 16186 12226 13246 10 2086 16126 14166 14226 19246 1986 16128 16186 14246 19246 15 1986 15126 14166 16226 26246 19106 18126 17186 16206 26246 20 2386 17126 16168 19228 33246 22106 19128 18186 20208 33246 25 2886 18126 16168 23226 40246 2288 18126 18166 24208 40246

Viš

ina

H=5

0 [m

]

30 2588 19126 19168 27226 47246 2688 20128 20186 28208 47246 05 1488 15128 14168 12228 132610 1688 13128 14168 13228 13248 10 1688 17128 14168 15208 20268 1788 18128 15168 15228 20248 15 1988 181210 17168 20208 25268 1888 181212 181612 182012 262410 20 1988 171212 19168 23208 32268 1888 191212 17168 212014 322412 25 20108 191212 16168 292012 38268 1588 191212 18168 242014 392410

Viš

ina

H=7

5 [m

]

30 1888 201212 19168 312012 45268 1888 191212 191612 292014 452410 05 14810 141410 151610 142214 182412 15812 141610 131810 152010 171612 10 14810 151410 171614 172012 272412 14810 161210 171612 162012 272612 15 16810 141410 161614 202012 332412 15810 161610 171612 202012 342414 20 16810 171410 171610 242012 412410 17810 191212 171612 252014 422412 25 17810 171412 191614 292012 492412 17810 201212 191612 292014 502414

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 14810 191214 221614 332012 582412 18810 211212 221612 342014 592614


64




65



q [kNm2]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m] L=10

[m] L=20 [m]

L=30 [m]

05 29390 63373 113372 33765 62119 116031

10 34058 78485 139979 39787 80123 143702

15 34825 93391 166785 43205 92559 177956

20 39038 93925 204737 45627 99675 210833

25 42725 103116 240569 46411 102510 240569

Viš

ina

H=

50

[m

]

30 42959 120572 281065 48636 119664 279793 05 47295 79741 140618 61335 90932 152350

10 47862 100836 184360 61409 98985 195391

15 51856 106055 224991 61916 114231 233578

20 55533 128956 272185 65789 127856 277701

25 59555 141461 318851 66530 147062 329882

Viš

ina

H=

75

[m

]

30 59555 156191 365945 71158 159593 368488

05 77959 131692 192818 95482 150215 221770 10 84442 138305 257932 97763 159698 280367 15 87235 158553 325238 97763 181443 344064 20 93001 177291 389903 102820 191919 406729 25 94241 202889 451599 103427 212667 468426

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 93137 244471 513297 109668 239265 535733




q [kNm2]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m] L=10

[m] L=20 [m]

L=30 [m]

05 30106 23146 15168 2886 24146 19168

10 33106 22148 22166 27106 22146 22166

15 34106 22148 29166 281010 22146 31166

20 32108 22146 37166 341010 24146 38168

25 331010 25148 45166 351010 25128 45166

Viš

ina

H=

50

[m

]

30 32108 27148 53166 34108 28148 53166 05 2588 21128 181610 2488 211210 191612 10 2488 221210 261612 2388 20128 281612 15 2988 23128 341810 25810 25128 361612 20 3088 271210 431612 27810 271210 441612 25 29810 311210 511612 2888 321410 531612

Viš

ina

H=

75

[m

]

30 29810 361210 601612 29810 371210 601612 05 191010 232010 261610 201010 222012 282014 10 211010 252010 361614 201010 262012 401614 15 251012 292010 481614 201010 332012 511614 20 251012 352012 591614 211012 392012 621614 25 271012 422012 701614 271012 452010 731614

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 251210 502010 811614 281012 522010 851614


66


HEA HEA

HE

A

HE

A

Slika 61 Podtip 3a

IPE IPE

HE

A

HE

A

Slika 62 Podtip 3b


67

IPE

IPE

IPE IPE

Slika 63 Podtip 3c



68



[kNm2] L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

05 27658 58642 113372 206035 272176 32948 60355 116031 204023 279382 10 28704 74654 132177 229668 345848 33669 72066 134743 237883 345848 15 32569 80892 164886 254464 449305 36805 80341 167075 261460 450812 20 35709 87074 193339 285320 546103 37166 89648 205018 288209 547469 25 39225 97234 201546 314288 653893 42113 100282 218811 316612 655165

Viš

ina

H=5

0 [m

]

30 39635 107355 213835 353179 752057 42062 110121 225944 355188 752057 05 45708 77038 133451 226330 310057 58763 87977 134220 237188 326780 10 47404 95557 171033 276552 388448 58825 96282 175590 271373 405170 15 49283 103235 211728 300170 499758 59343 102544 207245 291879 500831 20 52732 112222 237914 338562 603273 64205 118543 223507 336821 604890 25 56987 120193 248758 387161 720173 64946 125863 248758 388063 721868

Viš

ina

H=7

5 [m

]

30 57971 137338 253761 432147 826509 68585 136569 257828 438448 826509 05 72055 115727 170413 285729 365391 88281 144706 195119 286835 389903 10 73876 123895 217855 328464 513581 90102 147721 221520 326594 525606 15 81881 134044 236758 375398 674605 92976 151115 246421 391729 665760 20 80262 149768 256901 426076 826088 98142 152751 278654 444630 844526 25 82384 153348 274442 507574 958331 10026 161757 289199 501959 922058

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 89134 164875 295214 568007 110846 10365 166473 297780 585336 111171



q [kNm2]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

05 3186 22126 15168 14226 12246 2886 23126 19168 13206 12248 10 3586 23126 21166 13228 18246 2986 23126 21166 12208 18246 15 3486 22126 29166 13228 25246 3388 23126 29166 14206 25246 20 3488 21126 16166 16208 31246 3386 21128 17166 16208 31246 25 3586 22126 15166 19208 38246 3588 23126 12168 19208 38246

Viš

ina

H=5

0 [m

]

30 3488 23128 14166 22208 44246 3486 24126 14166 22208 44246 05 2588 21128 18168 12208 12248 2488 21128 181610 13228 13248 10 2588 22128 25168 12208 18248 2388 20128 19168 13228 19248 15 2988 22128 14168 152010 25248 25810 22128 131610 15228 252410 20 2988 21128 13168 182010 31248 27810 23128 15168 192210 312410 25 3188 24128 14168 222010 38248 2888 25128 14168 23228 38248

Viš

ina

H=7

5 [m

]

30 29810 181210 14168 252010 44248 29810 18128 161610 272210 44248 05 21810 171210 221610 132212 152410 20810 171210 271610 132210 162612 10 21810 191210 151610 142012 232412 20810 171210 141610 152012 252612 15 26810 191210 151610 182012 322412 21810 181210 141610 192212 332610 20 25810 191210 151610 232012 402410 21812 191210 141610 242012 412610 25 26810 191210 161610 272012 472412 24812 201210 181610 282210 452612

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 241010 201210 181610 312210 552412 24812 191210 181610 322012 552610



69



q [kNm2]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

05 79816 13757 204023 18126 15168 13206

10 94006 161997 237880 18126 16188 12208

15 104112 173639 17128 15186

20 114167 205018 19126 17166

25 118464 218811 18126 12168

Viš

ina

H=

50

[m

]

30 127484 225944 20126 14166 05 114237 166013 237188 18128 141610 13228

10 114352 181183 271373 18128 15168 13228

15 135461 207245 191212 131610

20 153196 223507 191212 15168

25 167632 248758 211212 14168

Viš

ina

H=

75

[m

]

30 172577 257828 211212 161610

05 155570 208428 286830 161210 161810 132210 10 160684 221520 161212 141610 15 164263 246421 161212 141610 20 169048 278654 191212 141610 25 183876 289199 211212 181610

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 196693 297780 211212 181610


70



q [kNm2]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

05 65362 123928 247838 23126 17186 32206

10 75949 142326 387574 20126 20186 51206

15 85784 174927 20126 25186

20 96425 214063 19128 31186

25 102365 244140 21126 37186

Viš

ina

H=

50

[m

]

30 111796 284333 19128 441810 05 97016 148585 286539 18128 17168 30228

10 101454 175590 456117 20128 19168 48208

15 123056 207908 221210 24168

20 127704 255221 211210 31168

25 134312 299824 221210 36168

Viš

ina

H=

75

[m

]

30 136569 342877 18128 42168

05 144706 196049 340493 171210 181810 292012 10 147721 224931 171210 201812 15 151115 259776 181210 251810 20 152751 303941 191210 311610 25 161757 360526 201210 361810

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 166473 410715 191210 421810


71





72

HEA

0

100

200

300

400

500

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 05 kNm2

HEA

0

150

300

450

600

750

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 10 kNm2

HEA

0

150

300

450

600

750

900

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 15 kNm2

HEA

0

200

400

600

800

1000

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 20 kNm2

HEA

0

200

400

600

800

1000

1200

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 25 kNm2

HEA

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 30 kNm2



73

IPE

0

50

100

150

200

250

10 15 20 25 30Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 05 kNm2

IPE

0

50

100

150

200

250

300

10 15 20 25 30Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 10 kNm2

IPE

0

75

150

225

300

375

10 15 20 25 30Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 15 kNm2

IPE

0

100

200

300

400

500

10 15 20 25 30Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 20 kNm2

IPE

0

100

200

300

400

500

10 15 20 25 30Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 25 kNm2

IPE

0

100

200

300

400

500

600

10 15 20 25 30Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 30 kNm2



74

IPE+HEA

0

100

200

300

400

500

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 05 kNm2

IPE+HEA

0

100

200

300

400

500

600

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 10 kNm2

IPE+HEA

0

150

300

450

600

750

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 15 kNm2

IPE+HEA

0

200

400

600

800

1000

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 20 kNm2

IPE+HEA

0

200

400

600

800

1000

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 25 kNm2

IPE+HEA

0

200

400

600

800

1000

1200

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 30 kNm2




75



76

H = 50 m

0

150

300

450

600

750

900

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]L = 500 mL = 400 mL = 300 mL = 200 mL = 100 m

HEA

H = 75 m

0

150

300

450

600

750

900

1050

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]

L = 500 mL = 400 mL = 300 mL = 200 mL = 100 m

HEA

H = 100 m

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]

L = 500 mL = 400 mL = 300 mL = 200 mL = 100 m

HEA



77

IPE

0

50

100

150

200

250

300

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]L = 300 mL = 200 mL = 100 m

H = 50 m

H = 75 m

0

75

150

225

300

375

450

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]

L = 300 mL = 200 mL = 100 m

IPE

H = 100 m

0

100

200

300

400

500

600

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]

L = 300 mL = 200 mL = 100 m

IPE



78

H = 50 m

0

100

200

300

400

500

600

700

800

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]L = 500 mL = 400 mL = 300 mL = 200 mL = 100 m

IPE+HEA

H = 75 m

0

150

300

450

600

750

900

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]

L = 500 mL = 400 mL = 300 mL = 200 mL = 100 m

IPE+HEA

H = 100 m

0

200

400

600

800

1000

1200

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]

L = 500 mL = 400 mL = 300 mL = 200 mL = 100 m

IPE+HEA




79




80

H = 50 m

1

3

5

7

9

11

10 20 30 40 50

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


HEA

2

2

22

22

H = 75 m

1

3

5

7

9

11

10 20 30 40 50

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


HEA

2

2

22

22

H = 100 m

1

3

5

7

9

11

10 20 30 40 50

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


HEA

2

2

22

22




81

H = 50 m

1

2

3

4

5

6

7

10 15 20 25 30

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


IPE

2

2

22

22

H = 75 m

1

2

3

4

5

6

7

10 15 20 25 30

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


IPE

2

2

22

22

H = 100 m

1

2

3

4

5

6

7

10 15 20 25 30

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


IPE

2

2

22

22




82

H = 50 m

1

3

5

7

9

11

10 20 30 40 50

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


IPE+HEA

2

2

2

2

22

H = 75 m

1

3

5

7

9

11

10 20 30 40 50

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji [

m]


IPE+HEA

2

2

2

2

22

H = 100 m

1

3

5

7

9

11

10 20 30 40 50

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


IPE+HEA

2

2

2

2

22




83




84

H = 50 m

0

50

100

150

200

250

300

350

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]HEAIPEIPE+HEA

q = 05 kNm2

H = 50 m

0

75

150

225

300

375

450

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 10 kNm2

H = 50 m

0

100

200

300

400

500

600

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 15 kNm2

H = 50 m

0

150

300

450

600

750

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]HEAIPEIPE+HEA

q = 20 kNm2

H = 50 m

0

150

300

450

600

750

900

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 25 kNm2

H = 50 m

0

200

400

600

800

1000

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 30 kNm2




85

H = 75 m

0

75

150

225

300

375

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 05 kNm2

H = 75 m

0

100

200

300

400

500

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 10 kNm2

H = 75 m

0

100

200

300

400

500

600

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 15 kNm2

H = 75 m

0

150

300

450

600

750

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]HEAIPEIPE+HEA

q = 20 kNm2

H = 75 m

0

150

300

450

600

750

900

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 25 kNm2

H = 75 m

0

200

400

600

800

1000

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 30 kNm2




86

H = 100 m

0

100

200

300

400

500

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 05 kNm2

H = 100 m

0

100

200

300

400

500

600

700

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 10 kNm2

H = 100 m

0

150

300

450

600

750

900

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 15 kNm2

H = 100 m

0

200

400

600

800

1000

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]HEAIPEIPE+HEA

q = 20 kNm2

H = 100 m

0

200

400

600

800

1000

1200

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 25 kNm2

H = 100 m

0

250

500

750

1000

1250

1500

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 30 kNm2




87




88

H = 50 m

10

15

20

25

30

35

10 20 30 40 50Razpon [m]

Šte

vilo

okv

irje

v [k

om

] 1

HEAIPEIPE+HEA

q = 15 kNm2

H = 50 m

10

15

20

25

30

35

40

10 20 30 40 50Razpon [m]

Šte

vilo

okv

irje

v [k

om

] 1

HEAIPEIPE+HEA

q = 20 kNm2

H = 50 m

10

15

20

25

30

35

40

45

50

10 20 30 40 50Razpon [m]

Šte

vilo

okv

irje

v [k

om

] 1

HEAIPEIPE+HEA

q = 25 kNm2



89



90

120

140

160

180

200

220

240

260

30 32 34 36 38 40Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 50 m q = 05 kNm2

100

150

200

250

300

350

400

30 32 34 36 38 40

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 50 m q = 10 kNm2

80

100

120

140

160

180

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 50 m q = 15 kNm2

80

100

120

140

160

180

200

220

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 50 m q = 20 kNm2

100

120

140

160

180

200

220

240

260

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 50 m q = 25 kNm2

100

130

160

190

220

250

280

310

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 50 m q = 30 kNm2



91

130

160

190

220

250

280

310

30 32 34 36 38 40

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 75 m q = 05 kNm2

150

200

250

300

350

400

450

30 32 34 36 38 40

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 75 m q = 10 kNm2

120

140

160

180

200

220

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 75 m q = 15 kNm2

120

140

160

180

200

220

240

260

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 75 m q = 20 kNm2

130

160

190

220

250

280

310

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 75 m q = 25 kNm2

120

160

200

240

280

320

360

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 75 m q = 30 kNm2



92

190

220

250

280

310

340

370

30 32 34 36 38 40

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 100 m q = 05 kNm2

140

160

180

200

220

240

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 100 m q = 10 kNm2

140

160

180

200

220

240

260

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 100 m q = 15 kNm2

130

160

190

220

250

280

310

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 100 m q = 20 kNm2

150

200

250

300

350

400

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 100 m q = 25 kNm2

150

200

250

300

350

400

450

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 100 m q = 30 kNm2



93


05

1

15

2

25

3

22 24 26 28 30 32

Razpon [m]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

Ob

težb

a [k

Nm2

]




94



95




96



97



98






99









100





101








102







103






104







105










106




107







108
















109





DELOVNE IZKUŠNJE



II











III




8 ZAKLJU ČEK95

9 LITERATURA98



IV


V


VI


VII


VIII






IX






X




XI











XII







fasadnega stebra






q Cfti


q Bftj


q Pftk


q Rftl


q FCftp


q Cwti


q Bwtj


q Pwtk


q Rwtl


q FCwtp


q CtIi


XIII

stebra

q PtIk


lege

q RtIl


prečke

q FCtIp


fasadnega stebra

q CyIi


stebra

q ByIj


osi nosilca

q PyIk


osi lege

q RyIl


osi prečke

q FCyIp



q CzIi


stebra

q PzIk


osi lege

q RzIl


prečke

q FCzIp



q CIi



q PIk



q RIl



q FCIp




elementa

XIV



XV




XVI











XVII


XVIII



1



2





3





4



5






6





7







8




9





10







11




12





13






iy (21)


14


iy (22)


iy (23)


0leminus ik yy (24)







isinisink

NIii

BIii BIyy

kk

(26)


ik yiNI Kk 21=



15


pp ( ) 0xh =


bCxBy le+





16

min ( )xyc fz += T

pp ( ) 0xh =

( ) 0xg le

( ) axA le

Ey le e (MINLP-MS)

( ) rxRDy le+e

( ) kdLKy le+ cne

( ) mdMPy le+ mat

( ) ndNPy le+ st













17


mat2 y



sumisin

=Ii

matii

mat yqd (27)

1=sumisinIi

matiy (28)



1 yst

2 yst

3 yst


sumisin

=Jj

stjj

st yqd (29)

1=sumisinJj

stjy (210)








Pettersson (1995)


18



19



pp ( ) 0xh =

( ) 0xg le (NLP)K

bCxBy le+K



min α+= ycTKz

p p




bCxBy le+


20


ii NI

k

k k




1== kik yiBI 0== k

ik yiNI k=1K

=gt+ltminus

==0λ if 0

0λ if 1

0λ if 1

kj

kj

kj

kjj

kjj

k ttT j = 12N


STOP

Superstruktura


Podproblem

Zvezno optimiranje


Glavni problem


Konvergenca

DA

NE

MILP


NLP

MINLP



21









22

( ) ( ) ( )[ ] ( )aakk

ak



( ) ( ) ( ) ( )aakk

ak






( ) ( )sumisin

=Aa

aff

nlnl xx (213)



( ) ( ) ( ) ( )aaakk

ak



( ) sumisin

++=Aa





23




( ) ( ) ( ) ( )aafkaa

kka



( ) ( ) ( )[ ] ( )aah

kakk

ak



( ) ( ) ( ) ( )aag

kakk

ak



0 gegka

hka



w hka w g



+++++=KkAa

kakaKkAa

kakaAa KkAa

kakaaK swswswfz

1

gg

1

hh

1

fflinT αxyc (220)



( ) sumisin

le++Aa





24



kKka



ak

ak



ak



===or

gtgtgt 0 0 0


1


h

f

g

h


ka

www

ka

microλ (225)




+ +++++=KkAa

kakaKkAa

kakaAa KkAa

kakaaK swswswfz

1

gg

1

hh

1

fflinT1 αxyc


( ) ( ) ( ) ( )aafkaa

kka



( ) ( ) ( )[ ] ( )aah

kakk

ak



( ) ( ) ( ) ( )aag

kakk

ak


uxxxgxg aisinA k=1K


25


( ) sumisin

le++Aa

af UBlinT αxyc


bCxBy le+ (MILP)K+1

Celoštevilski rez

y y BAaa BA

aa NA

k

k k


Meje spremenljivk


y isin Y =01 a



ak yaNA k=1K

Konveksni test

===or

gtgtgt 0 0 0


1


h

f

g

h


ka

www

ka

microλ



26


















27




e

e

e

e

e

e

P

P

P

H


e re r

e r

f

f

f

f

f

f

L L

L



28


CI

w

t

L bC

H

L

BI

CA h

BA

q

f

B

fc

z

y

twc

hC

A CIC

AB BI

bB

tf wt

Bh

z

y

B

B

h

A C A B

z


29429875751000761045782

10189751098835105913310768182233

465cedil769712




CCC

CCCCC

hhh

hhhhb (32)


CCCCCf hhhht (33)


CCCw hht (34)



( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= CfC

cfCCfCCwCfC

Cy

thtb

thttbI (36)

( )12

2

12

2 3

3

CwCfCCCf

Cz

tthbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (37)

( ) ( ) 3

3 2

3

12

3


( )2

24 CfC

CzC th



29


29429875751000761045782

10189751098835105913310768182233

465cedil769712




BBB

BBBBB

hhh

hhhhb (310)


BBBBBf hhhht (311)


BBBw hht (312)


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= BfB

BfBBfBBwBfB

By

thtb

thttbI (314)

29429875751000761045782

10189751098835105913310768182233

465cedil769712




PPP

PPPPP

hhh

hhhhb (315)


PPPPPf hhhht (316)


PPPw hht (317)


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= PfP

PfPPfPPwPfP

Py

thtb

thttbI (319)

( )12

2

12

2 3

3

PwPfPPPf

Pz

ttbbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (320)

( ) ( ) 3

3 2

3

12

3


( )2

24 PfP

PzP th



29429875751000761045782

10189751098835105913310768182233

465cedil769712




RRR

RRRRR

hhh

hhhhb (323)


RRRRRf hhhht (324)


RRRw hht (325)


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= RfR

RfRRfRRwRfR

Ry

thtb

thttbI (327)

( )12

2

12

2 3

3

RwRfRRRf

Rz

ttbbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (328)


30

( ) ( ) 3

3 2

3

12

3


( )2

24 RfR

RzR th


29429875751000761045782

10189751098835105913310768182233

465cedil769712




FCFCFC

FCFCFCFCFC

hhh

hhhhb (331)




FCFCFCw hht (333)


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= FCfFC

FCfFCFCfFCFCwFCfFC

FCy

thtb

thttbI (335)

( )12

2

12

2 3

3

FCwFCfFCFCFCf

FCz

ttbbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (336)

( ) ( ) 3

3 2

3

12

3


( )2

24 FCfFCFCz

FC thI



( ) 222 fLLB += (339)

( )( )2arctan Lf=α (340)







31


ewq hr sdot= (346)


ρsdot= Rr Ag (348)







[ ]cmep 250le (356)


[ ]cmer 250le (360)





32

h

IK C

C = (361)

s

IK B

B = (362)

BC

CS

KK

K

sdot+=

511η (363)

( )( ) 2121

2121

60801

120201

ηηηηηηηηβ


SS

SS

sway (364)




( )( ) 10

2 2

2

le

sdot

sdotsdot

sdotsdot+sdot+sdot

h

IELgq

L

hP

sway

Cygzq

βπγγ

(365)

BC

CNS

KK

K

sdot+=

501η (366)


NSNSswaynon (367)


( ) ( )( )

( )( ) 0

2 2

216

53

MC

yCygzq

h

fI

CAB

CBhP

CAB

ALgq

γγγ

sdotsdotsdot

lesdot+sdot

+sdotsdot+sdot+sdot


hfA +=1 AL

h

I

IB

BCy

By +

+sdotsdot= 12


( ) ( )( )

( )( )

( )0

2

3

041

216

53

M

yCwCgzq fthh

CAB

CBhP

CAB

ALgq

γγγ

sdot

sdotsdotsdotle

sdot+sdot+sdotsdot+


(369)

( )02 M

yCgq fALgq

L

hP

γγγ sdot

lesdotsdot+sdot

+sdot (370)



33


( )[ ] ( )( )[ ] 2222 2015020150

1


αακ (371)

1 λ

βsdot

sdot= minus

CCy

swaynon

AI

hD (371 a)

( )( )

sdotminus

sdot+sdotsdot

sdotsdotsdot+sdot

sdot

sdotsdotsdot=

22 2

2

2

2

2

2

2

1h

Ch

CIE

IGhk

I

I

hk

IECM

Cz

Ct

Cz

CCzCR π

π ω (372)

CCR

yCy

CCR

yCy

CCR

yCyLT

CCR

yCy

CCR

yCyLT

LT

hM

fI

hM

fI

hM

fI

hM

fI

hM

fI

sdotsdotsdot

minus

sdotsdotsdot

+

minus

sdotsdotsdot

sdot+sdot+

sdotsdotsdot

+

minus

sdotsdotsdot

sdot+sdot

=

2

2220

2150

220

2150

1

αα

κ

(373)

( ) ( ) ( )( )

( )( )

( ) 012

216

53

2

1

2

1

lesdotsdotsdotsdot

sdot+sdot+sdotsdot+


+sdotsdot

sdotsdot+sdot+sdot

MCyCyLT

gzq

MyC

gzq

hfICAB

CBhP

CAB

ALgq

fA

Lgq

L

hP

γκ

γγ

γκ

γγ

(374)


( ) ( )( )

( )( ) 0

2 2

216

53

MB

yBygzq

h

fI

CAB

CBhP

CAB

ALgq

γγγ

sdotsdotsdot

lesdot+sdot

+sdotsdot+sdot+sdot


( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )0

2

3

041)sin(

216

53)cos(

2M

yBwBgzqgzq fthh

CAB

CBhP

CAB

ALgqLgq

L

hP

γα

γγα

γγsdot

sdotsdotsdotle

sdot

sdot+sdot+sdotsdot+



+sdot

(376)

( ) ( )( )

( )( )

( )0

2

)sin(2216

53

M

yBgzqgzq fALgq

L

hPh

CAB

CBhP

CAB

ALgq

γα

γγγγ sdotlesdot

sdotsdot+sdot+sdot+

sdot+sdot+sdotsdot+


(377)


34

( ) ( )( )

( )( )

( )

( ) ( )( )

( )( )

( ) 012

216

53

)sin(2216

53

1

2

1

2

lesdotsdotsdot

sdot+sdot+sdotsdot+


+

+sdot

sdotsdotsdot+sdot

+sdot+

sdot+sdot+sdotsdot+


MByBy

gzq

MyB

gzqgzq

hfICAB

CBhP

CAB

ALgq

fA

Lgq

L

hPh

CAB

CBhP

CAB

ALgq

γ

γγ

γ

αγγγγ

(378)


( ) ( )0

222

)cos(1057010570MP

yPyfpvpnqfprPg h

fIeeweseemA

γαγργ

sdotsdotsdot


( )0

22

)sin(10570MP

yPzfprnq h

fIeems

γαγ

sdotsdotsdot


( ) ( )( )

( )( ) 01

2

)sin(10570

2

)cos(1057010570

1

2

1

22

lesdotsdotsdot


+sdotsdotsdot


MPyPz

fprnq

MPyPy

fpvpnqfprPg

hfI

eems

hfI

eeweseemA

γαγ

γαγργ

(381)

( ) ( )0

3

041)cos(56705670

M

yPwPfpvpnqfPg

ftheeweseA

γαγργ

sdot



( )0

2 210570

MR

yRyfrhq h

fIeew

γγ

sdotsdotsdot


( )0

2 210570

MR

yRzfrrRg h

fIeemA

γργ

sdotsdotsdot


( )( )

( )( ) 01

2

10570

2

10570

1

2

1

2

lesdotsdotsdot



MPyPz

frrRg

MRyRy

frhq

hfI

eemA

hfI

eew

γργ

γγ

(385)

( )0

3

0415670

M

yRwRfrhq

ftheew

γγ

sdot



35

( )0

3

25670

M

yRfRfrrRg

ftbeemA

γργ

sdot



( )0M

FCzFCprFCg

fyAHemA


( )0

3

041

2

1

M

yFCwFCFCphq

fthHew

γγ

sdot


( )0

2 2

8

1

MFC

yFCyFCrhq h

fIHew

γγ

sdotsdotsdot


( ) ( )( ) 01

2

81

1

2

1

lesdotsdotsdot

sdotsdotsdotsdot+


MFCyFCy

FCrhq

MFCz

FCprFCg

hfI

Hew

fyA

HemA

γγ

γκργ

(391)


( ) ( )( ) ( )


sdot+


=∆ hLgq

hhPVUIE

LhhPUV

IE

hw

Byw

Cy 83

123

6

1

3

1 2

(392)

( ) ( )( )CAB

ALgqU


16

532

( )

( )CAB

CBhPV w

sdot+sdot+sdotsdot=

2 (392 ab)

150hle∆ (393)

( )( ) ( )


= 3

384

52

8LgqhPVU

L

IE

Lw

Byfδ (394)

250Lf =δ (395)



( ) ( ) ( )[ ]250

)sin(42000269)sin( 4 f

PzfprPpn



36


( ) ( ) ( )[ ]250

42000269 4 f

Ryfrh


( ) ( ) ( )[ ]250

42000269 4 f

RzfrrR


( )250384

5

4FC

FCy

FCph H

IE

Hewle


(399)


sum=n

nyNOFRAME (3100)


sumsdot=m

myNOPURLIN 2 (3102)


sumsdot=r

ryNORAIL 2 (3104)







37

sum sdot=s


1=sums

sy (3107)






sum sdot=i


sum sdot=i


sum sdot=i


sum sdot=i

itiCw yqt Cw

Ii isin (3111)

sum sdot=i

itiCf yqt Cf

Ii isin (3112)

sum sdot=i

iIiCy yqI Cy

Ii isin (3113)

sum sdot=i

iIiCz yqI Cz

Ii isin (3114)

sum sdot=i

iIiCt yqI Ct

Ii isin (3115)

sum sdot=i

iIiC yqI C

ω

ω Ii isin (3116)

1=sumi

iy (3117)


sum sdot=j


sum sdot=j


sum sdot=j



38

sum sdot=j

jtjBw yqt Bw

Jj isin (3121)

sum sdot=j

jtjBf yqt Bf

Jj isin (3122)

sum sdot=j

jIjBy yqI By

Jj isin (3123)

1=sumj

jy (3124)

sum sdot=k


sum sdot=k


sum sdot=k


sum sdot=k

ktkPw yqt Pw

Kk isin (3128)

sum sdot=k

ktkPf yqt Pf

Kk isin (3129)

sum sdot=k

kIkPy yqI Py

Kk isin (3130)

sum sdot=k

kIkPz yqI Pz

Kk isin (3131)

sum sdot=k

kIkPt yqI Pt

Kk isin (3132)

sum sdot=k

kIkP yqI P

ω

ω Kk isin (3133)

1=sumk

ky (3134)


sum sdot=l


sum sdot=l


sum sdot=l


sum sdot=l

ltlRw yqt Rw

Ll isin (3139)

sum sdot=l

ltlRf yqt Rf

Ll isin (3140)

sum sdot=l

lIlRy yqI Ry

Ll isin (3141)


39

sum sdot=l

lIlRz yqI Rz

Ll isin (3142)

sum sdot=l

lIlRt yqI Rt

Ll isin (3143)

sum sdot=l

lIlR yqI R

ω

ω Ll isin (3144)

1=suml

ly (3145)

sum sdot=p


sum sdot=p


sum sdot=p


sum sdot=p

ptpFCw yqt FCw

Ppisin (3149)

sum sdot=p

ptpFCf yqt FCf

Ppisin (3150)

sum sdot=p

pIpFCy yqI FCy

Ppisin (3151)

sum sdot=p

pIpFCz yqI FCz

Ppisin (3152)

sum sdot=p

pIpFCt yqI FCt

Ppisin (3153)

sum sdot=p

pIpFC yqI FC

ω

ω Ppisin (3154)

1=sump

py (3155)



40



41


L= 300 m

H =

82

5 m

h =

75

mf

= 0

75

m

L = 100

0 m

L



42


Spremenljivke x

Spodnja meja xLO

Začetna točka xL

Zgornja meja xUP




j q Phk q Rh


prereza q CAi q BA

j q PAk q RA


q Chi = q Bh

j = q Phk = q Rh

l = q FChp = 96 114 133 152 171 190 230 250 270 290 310 330

350 390 440 490 540 590 640 690 790 890 990

q CAi = q BA

j = q PAk = q RA

l = q FCAp =212 253 314 388 453 538 643 768 868 973

1130 1240 1330 1430 1590 1780 1980 2120 2260 2420 2600 2860 3210 3470






43






44



MINLP Podfaza Masa


Fasadni steber


1 1NLP 23011 1581 1402 800 31701 27868 4002 2040 6417


1MILP 24779 32011 28234 2897 1676 5866 2

2NLP 23847 18 16 8 29309 27114 3111 1783 5933 2MILP 26264 33627 29138 3259 1851 5972

3 3NLP 24119 18 16 10 29226 27136 3111 1782 5933


3MILP 28057 32100 28600 3880 2120 6430 4

4NLP 28057 19 16 12 H 900 H 800 H 160 H 100 H 220 4MILP 28825 32100 28600 3880 2120 6430

5 5NLP 28825 19 18 12 H 900 H 800 H 160 H 100 H 220



45

14 x 214 m300 m

18 x 555 m

1000 m

82

5 m

5 x

15

m


HE

A 9

00

HE

A 9

00

14 x 214 m

300 m

HEA 160

HEA 800 HEA 800

82

5 m

5 x

15

0 m

HEA 100

07

5 m



46









47




3283097002563540 +sdot= CCf ht (43)

2492093001550810 +sdot= CCw ht (44)



( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= CfC

cfCCfCCwCfC

Cy

thtb

thttbI (46)

( )12

2

12

2 3

3

CwCfCCCf

Cz

tthbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (47)

( ) ( ) 3

3 2

3

12

3


( )2

24 CfC

CzC th




3283097002563540 +sdot= BBf ht (411)

2492093001550810 +sdot= BBw ht (412)


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= BfB

BfBBfBBwBfB

By

thtb

thttbI (414)


3283097002563540 +sdot= PPf ht (416)

2492093001550810 +sdot= PPw ht (417)


48


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= PfP

PfPPfPPwPfP

Py

thtb

thttbI (419)

( )12

2

12

2 3

3

PwPfPPPf

Pz

ttbbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (420)

( ) ( ) 3

3 2

3

12

3


( )2

24 PfP

PzP th




3283097002563540 +sdot= RRf ht (424)

2492093001550810 +sdot= RRw ht (425)


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= RfR

RfRRfRRwRfR

Ry

thtb

thttbI (427)

( )12

2

12

2 3

3

RwRfRRRf

Rz

ttbbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (428)

( ) ( ) 3

3 2

31

231


( )2

24 RfR

RzR th



3283097002563540 +sdot= FCFCf ht (432)

2492093001550810 +sdot= FCFCw ht (433)


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= FCfFC

FCfFCFCfFCFCwFCfFC

FCy

thtb

thttbI (435)

( )12

2

12

2 3

3

FCwFCfFCFCFCf

FCz

ttbbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (436)

( ) ( ) 3

3 2

31

231


( )2

24 FCfFCFCz

FC thI



49










50


L= 300 m

H =

82

5 m

h =

75

mf =

07

5 m

L = 1000 m

L



51


Spremenljivke x

Spodnja meja xLO

Začetna točka xL

Zgornja meja xUP




q Bhj q Ph

k q Rhl q FCh


j q PAk q RA

l q FCAp


q Chi = q Bh

j = q Phk = q Rh

l = q FChp = 80 100 120 140 160 180 200 220 240 270 300

330 360 400 450 500 550 600

q CAi = q BA

j = q PAk = q RA

l = q FCAp = 76 103 132 164 201 239 285 334 391 459 538

626 727 845 988 1160 1340 1560










52



MINLP Podfaza Masa


Fasadni steber


1 1NLP 33790 5831 1401 932 15397 14895 668 581 9829


1MILP 37325 16692 15685 646 581 9829 2

2NLP 34611 60 16 14 15089 14778 594 581 8938 2MILP 37604 16692 15698 652 581 9917

3 3NLP 34791 60 16 18 15074 14784 594 581 8938


3MILP 36849 15600 15600 760 1030 988 4

4NLP 36849 60 16 12 I 600 I 600 I 80 I 100 I 450 4MILP 37212 15600 15600 760 1030 988

5 5NLP 37212 60 18 12 I 600 I 600 I 80 I 100 I 450


53


14 x 214 m

300 m

59 x 170 m

1000 m

5 x

15

m8

25

m



54

300 m

14 x 214 m

IPE

600

IPE 80

IPE 600

5 x

150

m

IPE

600

825

m

IPE 100IPE 600

075

m



55








56




57

L= 300 m

H =

82

5 m

h =

75

mf =

07

5 m

L = 1000 m

L



Spremenljivke x

Spodnja meja xLO

Začetna točka xL

Zgornja meja xUP




58



j q Phk q Rh

l q FChp in


j q PAk q RA



i = q Bhj = q FCh

p = 96 114 133 152 171 190 230 250 270 290 310 330

350 390 440 490 540 590 640 690 790 890 990

q CAi = q BA

j = q FCAp = 212 253 314 388 453 538 643 768 868 973 1130 1240

1330 1430 1590 1780 1980 2120 2260 2420 2600 2860


k = q Rhl = 80 100 120 140 160 180 200 220 240 270 300

330 360 400 450 500 550 600

q PAk = q RA

l = 76 103 132 164 201 239 285 334 391 459 538










59



MINLP Podfaza Masa


Fasadni steber


1 1NLP 24211 1357 1402 800 33928 34256 4172 3510 6417


1MILP 25987 33374 34256 2319 1886 5865 2

2NLP 25532 17 16 8 28535 34256 2777 2388 5933 2MILP 35615 30874 34256 2499 2117 5973

3 3NLP 29553 25 16 8 27978 34256 1683 1358 5933


3MILP 25783 32100 32100 3340 2850 6430 4

4NLP 25783 16 16 10 H 900 H 900 I 220 I 200 H 220 4MILP 26273 34700 32100 3340 2850 6430

5 5NLP 26273 16 16 10 H 1000 H 900 I 220 I 200 H 220



60


300 m

14 x 214 m

15 x 667 m

1000 m

825

m4

x 1

87 m



61

HE

A 9

00

HE

A 9

00

14 x 214 m

300 m

IPE 220

HEA 900 HEA 900 IPE 200

4 x

18

7 m

82

5 m

07

5 m




62





63



[kNm2] L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

05 43804 86361 146242 206968 291708 52059 89943 152799 209623 293184 10 46196 94031 159452 243968 373827 52059 97359 173741 251499 373827 15 52532 105706 179963 298897 479199 56536 107907 206687 282053 479199 20 53135 117212 197704 332308 592295 58663 132096 217465 338629 592295 25 58677 124258 210788 380122 713116 64889 124258 215215 382769 724608

Viš

ina

H=5

0 [m

]

30 78687 131751 237745 433839 837705 64383 136606 239695 436486 826212 05 63394 105145 167301 232713 327350 76751 118618 162214 247597 327824 10 68827 127030 185454 286032 433787 79441 121051 190289 295152 431842 15 68441 141094 220943 355391 520156 80223 136623 232977 337287 539905 20 72921 151451 248622 399581 644214 84054 147720 235442 372654 649569 25 91498 169397 242347 477312 750551 86999 161296 252359 414268 770300

Viš

ina

H=7

5 [m

]

30 85902 173623 273917 505061 874609 87197 165771 280574 483628 876636 05 90004 134635 198899 300827 422751 10967 160352 210503 308650 403946 10 93834 146633 244749 356983 581643 10904 164341 248640 341851 580793 15 98312 158049 253878 392801 721289 11817 177374 267598 402409 741594 20 10044 167638 276478 453328 859648 11887 183115 282376 471788 891006 25 10391 183786 307830 528986 101239 11887 193732 307067 525877 104042

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 11823 201777 343180 589513 118048 11983 204794 342417 601536 120905



q [kNm2]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

05 1686 16126 16166 12228 13248 1986 18126 16186 12226 13246 10 2086 16126 14166 14226 19246 1986 16128 16186 14246 19246 15 1986 15126 14166 16226 26246 19106 18126 17186 16206 26246 20 2386 17126 16168 19228 33246 22106 19128 18186 20208 33246 25 2886 18126 16168 23226 40246 2288 18126 18166 24208 40246

Viš

ina

H=5

0 [m

]

30 2588 19126 19168 27226 47246 2688 20128 20186 28208 47246 05 1488 15128 14168 12228 132610 1688 13128 14168 13228 13248 10 1688 17128 14168 15208 20268 1788 18128 15168 15228 20248 15 1988 181210 17168 20208 25268 1888 181212 181612 182012 262410 20 1988 171212 19168 23208 32268 1888 191212 17168 212014 322412 25 20108 191212 16168 292012 38268 1588 191212 18168 242014 392410

Viš

ina

H=7

5 [m

]

30 1888 201212 19168 312012 45268 1888 191212 191612 292014 452410 05 14810 141410 151610 142214 182412 15812 141610 131810 152010 171612 10 14810 151410 171614 172012 272412 14810 161210 171612 162012 272612 15 16810 141410 161614 202012 332412 15810 161610 171612 202012 342414 20 16810 171410 171610 242012 412410 17810 191212 171612 252014 422412 25 17810 171412 191614 292012 492412 17810 201212 191612 292014 502414

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 14810 191214 221614 332012 582412 18810 211212 221612 342014 592614


64




65



q [kNm2]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m] L=10

[m] L=20 [m]

L=30 [m]

05 29390 63373 113372 33765 62119 116031

10 34058 78485 139979 39787 80123 143702

15 34825 93391 166785 43205 92559 177956

20 39038 93925 204737 45627 99675 210833

25 42725 103116 240569 46411 102510 240569

Viš

ina

H=

50

[m

]

30 42959 120572 281065 48636 119664 279793 05 47295 79741 140618 61335 90932 152350

10 47862 100836 184360 61409 98985 195391

15 51856 106055 224991 61916 114231 233578

20 55533 128956 272185 65789 127856 277701

25 59555 141461 318851 66530 147062 329882

Viš

ina

H=

75

[m

]

30 59555 156191 365945 71158 159593 368488

05 77959 131692 192818 95482 150215 221770 10 84442 138305 257932 97763 159698 280367 15 87235 158553 325238 97763 181443 344064 20 93001 177291 389903 102820 191919 406729 25 94241 202889 451599 103427 212667 468426

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 93137 244471 513297 109668 239265 535733




q [kNm2]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m] L=10

[m] L=20 [m]

L=30 [m]

05 30106 23146 15168 2886 24146 19168

10 33106 22148 22166 27106 22146 22166

15 34106 22148 29166 281010 22146 31166

20 32108 22146 37166 341010 24146 38168

25 331010 25148 45166 351010 25128 45166

Viš

ina

H=

50

[m

]

30 32108 27148 53166 34108 28148 53166 05 2588 21128 181610 2488 211210 191612 10 2488 221210 261612 2388 20128 281612 15 2988 23128 341810 25810 25128 361612 20 3088 271210 431612 27810 271210 441612 25 29810 311210 511612 2888 321410 531612

Viš

ina

H=

75

[m

]

30 29810 361210 601612 29810 371210 601612 05 191010 232010 261610 201010 222012 282014 10 211010 252010 361614 201010 262012 401614 15 251012 292010 481614 201010 332012 511614 20 251012 352012 591614 211012 392012 621614 25 271012 422012 701614 271012 452010 731614

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 251210 502010 811614 281012 522010 851614


66


HEA HEA

HE

A

HE

A

Slika 61 Podtip 3a

IPE IPE

HE

A

HE

A

Slika 62 Podtip 3b


67

IPE

IPE

IPE IPE

Slika 63 Podtip 3c



68



[kNm2] L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

05 27658 58642 113372 206035 272176 32948 60355 116031 204023 279382 10 28704 74654 132177 229668 345848 33669 72066 134743 237883 345848 15 32569 80892 164886 254464 449305 36805 80341 167075 261460 450812 20 35709 87074 193339 285320 546103 37166 89648 205018 288209 547469 25 39225 97234 201546 314288 653893 42113 100282 218811 316612 655165

Viš

ina

H=5

0 [m

]

30 39635 107355 213835 353179 752057 42062 110121 225944 355188 752057 05 45708 77038 133451 226330 310057 58763 87977 134220 237188 326780 10 47404 95557 171033 276552 388448 58825 96282 175590 271373 405170 15 49283 103235 211728 300170 499758 59343 102544 207245 291879 500831 20 52732 112222 237914 338562 603273 64205 118543 223507 336821 604890 25 56987 120193 248758 387161 720173 64946 125863 248758 388063 721868

Viš

ina

H=7

5 [m

]

30 57971 137338 253761 432147 826509 68585 136569 257828 438448 826509 05 72055 115727 170413 285729 365391 88281 144706 195119 286835 389903 10 73876 123895 217855 328464 513581 90102 147721 221520 326594 525606 15 81881 134044 236758 375398 674605 92976 151115 246421 391729 665760 20 80262 149768 256901 426076 826088 98142 152751 278654 444630 844526 25 82384 153348 274442 507574 958331 10026 161757 289199 501959 922058

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 89134 164875 295214 568007 110846 10365 166473 297780 585336 111171



q [kNm2]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

05 3186 22126 15168 14226 12246 2886 23126 19168 13206 12248 10 3586 23126 21166 13228 18246 2986 23126 21166 12208 18246 15 3486 22126 29166 13228 25246 3388 23126 29166 14206 25246 20 3488 21126 16166 16208 31246 3386 21128 17166 16208 31246 25 3586 22126 15166 19208 38246 3588 23126 12168 19208 38246

Viš

ina

H=5

0 [m

]

30 3488 23128 14166 22208 44246 3486 24126 14166 22208 44246 05 2588 21128 18168 12208 12248 2488 21128 181610 13228 13248 10 2588 22128 25168 12208 18248 2388 20128 19168 13228 19248 15 2988 22128 14168 152010 25248 25810 22128 131610 15228 252410 20 2988 21128 13168 182010 31248 27810 23128 15168 192210 312410 25 3188 24128 14168 222010 38248 2888 25128 14168 23228 38248

Viš

ina

H=7

5 [m

]

30 29810 181210 14168 252010 44248 29810 18128 161610 272210 44248 05 21810 171210 221610 132212 152410 20810 171210 271610 132210 162612 10 21810 191210 151610 142012 232412 20810 171210 141610 152012 252612 15 26810 191210 151610 182012 322412 21810 181210 141610 192212 332610 20 25810 191210 151610 232012 402410 21812 191210 141610 242012 412610 25 26810 191210 161610 272012 472412 24812 201210 181610 282210 452612

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 241010 201210 181610 312210 552412 24812 191210 181610 322012 552610



69



q [kNm2]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

05 79816 13757 204023 18126 15168 13206

10 94006 161997 237880 18126 16188 12208

15 104112 173639 17128 15186

20 114167 205018 19126 17166

25 118464 218811 18126 12168

Viš

ina

H=

50

[m

]

30 127484 225944 20126 14166 05 114237 166013 237188 18128 141610 13228

10 114352 181183 271373 18128 15168 13228

15 135461 207245 191212 131610

20 153196 223507 191212 15168

25 167632 248758 211212 14168

Viš

ina

H=

75

[m

]

30 172577 257828 211212 161610

05 155570 208428 286830 161210 161810 132210 10 160684 221520 161212 141610 15 164263 246421 161212 141610 20 169048 278654 191212 141610 25 183876 289199 211212 181610

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 196693 297780 211212 181610


70



q [kNm2]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

05 65362 123928 247838 23126 17186 32206

10 75949 142326 387574 20126 20186 51206

15 85784 174927 20126 25186

20 96425 214063 19128 31186

25 102365 244140 21126 37186

Viš

ina

H=

50

[m

]

30 111796 284333 19128 441810 05 97016 148585 286539 18128 17168 30228

10 101454 175590 456117 20128 19168 48208

15 123056 207908 221210 24168

20 127704 255221 211210 31168

25 134312 299824 221210 36168

Viš

ina

H=

75

[m

]

30 136569 342877 18128 42168

05 144706 196049 340493 171210 181810 292012 10 147721 224931 171210 201812 15 151115 259776 181210 251810 20 152751 303941 191210 311610 25 161757 360526 201210 361810

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 166473 410715 191210 421810


71





72

HEA

0

100

200

300

400

500

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 05 kNm2

HEA

0

150

300

450

600

750

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 10 kNm2

HEA

0

150

300

450

600

750

900

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 15 kNm2

HEA

0

200

400

600

800

1000

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 20 kNm2

HEA

0

200

400

600

800

1000

1200

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 25 kNm2

HEA

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 30 kNm2



73

IPE

0

50

100

150

200

250

10 15 20 25 30Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 05 kNm2

IPE

0

50

100

150

200

250

300

10 15 20 25 30Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 10 kNm2

IPE

0

75

150

225

300

375

10 15 20 25 30Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 15 kNm2

IPE

0

100

200

300

400

500

10 15 20 25 30Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 20 kNm2

IPE

0

100

200

300

400

500

10 15 20 25 30Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 25 kNm2

IPE

0

100

200

300

400

500

600

10 15 20 25 30Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 30 kNm2



74

IPE+HEA

0

100

200

300

400

500

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 05 kNm2

IPE+HEA

0

100

200

300

400

500

600

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 10 kNm2

IPE+HEA

0

150

300

450

600

750

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 15 kNm2

IPE+HEA

0

200

400

600

800

1000

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 20 kNm2

IPE+HEA

0

200

400

600

800

1000

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 25 kNm2

IPE+HEA

0

200

400

600

800

1000

1200

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 30 kNm2




75



76

H = 50 m

0

150

300

450

600

750

900

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]L = 500 mL = 400 mL = 300 mL = 200 mL = 100 m

HEA

H = 75 m

0

150

300

450

600

750

900

1050

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]

L = 500 mL = 400 mL = 300 mL = 200 mL = 100 m

HEA

H = 100 m

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]

L = 500 mL = 400 mL = 300 mL = 200 mL = 100 m

HEA



77

IPE

0

50

100

150

200

250

300

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]L = 300 mL = 200 mL = 100 m

H = 50 m

H = 75 m

0

75

150

225

300

375

450

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]

L = 300 mL = 200 mL = 100 m

IPE

H = 100 m

0

100

200

300

400

500

600

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]

L = 300 mL = 200 mL = 100 m

IPE



78

H = 50 m

0

100

200

300

400

500

600

700

800

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]L = 500 mL = 400 mL = 300 mL = 200 mL = 100 m

IPE+HEA

H = 75 m

0

150

300

450

600

750

900

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]

L = 500 mL = 400 mL = 300 mL = 200 mL = 100 m

IPE+HEA

H = 100 m

0

200

400

600

800

1000

1200

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]

L = 500 mL = 400 mL = 300 mL = 200 mL = 100 m

IPE+HEA




79




80

H = 50 m

1

3

5

7

9

11

10 20 30 40 50

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


HEA

2

2

22

22

H = 75 m

1

3

5

7

9

11

10 20 30 40 50

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


HEA

2

2

22

22

H = 100 m

1

3

5

7

9

11

10 20 30 40 50

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


HEA

2

2

22

22




81

H = 50 m

1

2

3

4

5

6

7

10 15 20 25 30

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


IPE

2

2

22

22

H = 75 m

1

2

3

4

5

6

7

10 15 20 25 30

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


IPE

2

2

22

22

H = 100 m

1

2

3

4

5

6

7

10 15 20 25 30

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


IPE

2

2

22

22




82

H = 50 m

1

3

5

7

9

11

10 20 30 40 50

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


IPE+HEA

2

2

2

2

22

H = 75 m

1

3

5

7

9

11

10 20 30 40 50

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji [

m]


IPE+HEA

2

2

2

2

22

H = 100 m

1

3

5

7

9

11

10 20 30 40 50

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


IPE+HEA

2

2

2

2

22




83




84

H = 50 m

0

50

100

150

200

250

300

350

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]HEAIPEIPE+HEA

q = 05 kNm2

H = 50 m

0

75

150

225

300

375

450

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 10 kNm2

H = 50 m

0

100

200

300

400

500

600

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 15 kNm2

H = 50 m

0

150

300

450

600

750

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]HEAIPEIPE+HEA

q = 20 kNm2

H = 50 m

0

150

300

450

600

750

900

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 25 kNm2

H = 50 m

0

200

400

600

800

1000

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 30 kNm2




85

H = 75 m

0

75

150

225

300

375

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 05 kNm2

H = 75 m

0

100

200

300

400

500

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 10 kNm2

H = 75 m

0

100

200

300

400

500

600

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 15 kNm2

H = 75 m

0

150

300

450

600

750

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]HEAIPEIPE+HEA

q = 20 kNm2

H = 75 m

0

150

300

450

600

750

900

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 25 kNm2

H = 75 m

0

200

400

600

800

1000

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 30 kNm2




86

H = 100 m

0

100

200

300

400

500

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 05 kNm2

H = 100 m

0

100

200

300

400

500

600

700

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 10 kNm2

H = 100 m

0

150

300

450

600

750

900

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 15 kNm2

H = 100 m

0

200

400

600

800

1000

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]HEAIPEIPE+HEA

q = 20 kNm2

H = 100 m

0

200

400

600

800

1000

1200

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 25 kNm2

H = 100 m

0

250

500

750

1000

1250

1500

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 30 kNm2




87




88

H = 50 m

10

15

20

25

30

35

10 20 30 40 50Razpon [m]

Šte

vilo

okv

irje

v [k

om

] 1

HEAIPEIPE+HEA

q = 15 kNm2

H = 50 m

10

15

20

25

30

35

40

10 20 30 40 50Razpon [m]

Šte

vilo

okv

irje

v [k

om

] 1

HEAIPEIPE+HEA

q = 20 kNm2

H = 50 m

10

15

20

25

30

35

40

45

50

10 20 30 40 50Razpon [m]

Šte

vilo

okv

irje

v [k

om

] 1

HEAIPEIPE+HEA

q = 25 kNm2



89



90

120

140

160

180

200

220

240

260

30 32 34 36 38 40Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 50 m q = 05 kNm2

100

150

200

250

300

350

400

30 32 34 36 38 40

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 50 m q = 10 kNm2

80

100

120

140

160

180

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 50 m q = 15 kNm2

80

100

120

140

160

180

200

220

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 50 m q = 20 kNm2

100

120

140

160

180

200

220

240

260

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 50 m q = 25 kNm2

100

130

160

190

220

250

280

310

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 50 m q = 30 kNm2



91

130

160

190

220

250

280

310

30 32 34 36 38 40

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 75 m q = 05 kNm2

150

200

250

300

350

400

450

30 32 34 36 38 40

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 75 m q = 10 kNm2

120

140

160

180

200

220

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 75 m q = 15 kNm2

120

140

160

180

200

220

240

260

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 75 m q = 20 kNm2

130

160

190

220

250

280

310

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 75 m q = 25 kNm2

120

160

200

240

280

320

360

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 75 m q = 30 kNm2



92

190

220

250

280

310

340

370

30 32 34 36 38 40

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 100 m q = 05 kNm2

140

160

180

200

220

240

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 100 m q = 10 kNm2

140

160

180

200

220

240

260

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 100 m q = 15 kNm2

130

160

190

220

250

280

310

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 100 m q = 20 kNm2

150

200

250

300

350

400

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 100 m q = 25 kNm2

150

200

250

300

350

400

450

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 100 m q = 30 kNm2



93


05

1

15

2

25

3

22 24 26 28 30 32

Razpon [m]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

Ob

težb

a [k

Nm2

]




94



95




96



97



98






99









100





101








102







103






104







105










106




107







108
















109





DELOVNE IZKUŠNJE



III




8 ZAKLJU ČEK95

9 LITERATURA98



IV


V


VI


VII


VIII






IX






X




XI











XII







fasadnega stebra






q Cfti


q Bftj


q Pftk


q Rftl


q FCftp


q Cwti


q Bwtj


q Pwtk


q Rwtl


q FCwtp


q CtIi


XIII

stebra

q PtIk


lege

q RtIl


prečke

q FCtIp


fasadnega stebra

q CyIi


stebra

q ByIj


osi nosilca

q PyIk


osi lege

q RyIl


osi prečke

q FCyIp



q CzIi


stebra

q PzIk


osi lege

q RzIl


prečke

q FCzIp



q CIi



q PIk



q RIl



q FCIp




elementa

XIV



XV




XVI











XVII


XVIII



1



2





3





4



5






6





7







8




9





10







11




12





13






iy (21)


14


iy (22)


iy (23)


0leminus ik yy (24)







isinisink

NIii

BIii BIyy

kk

(26)


ik yiNI Kk 21=



15


pp ( ) 0xh =


bCxBy le+





16

min ( )xyc fz += T

pp ( ) 0xh =

( ) 0xg le

( ) axA le

Ey le e (MINLP-MS)

( ) rxRDy le+e

( ) kdLKy le+ cne

( ) mdMPy le+ mat

( ) ndNPy le+ st













17


mat2 y



sumisin

=Ii

matii

mat yqd (27)

1=sumisinIi

matiy (28)



1 yst

2 yst

3 yst


sumisin

=Jj

stjj

st yqd (29)

1=sumisinJj

stjy (210)








Pettersson (1995)


18



19



pp ( ) 0xh =

( ) 0xg le (NLP)K

bCxBy le+K



min α+= ycTKz

p p




bCxBy le+


20


ii NI

k

k k




1== kik yiBI 0== k

ik yiNI k=1K

=gt+ltminus

==0λ if 0

0λ if 1

0λ if 1

kj

kj

kj

kjj

kjj

k ttT j = 12N


STOP

Superstruktura


Podproblem

Zvezno optimiranje


Glavni problem


Konvergenca

DA

NE

MILP


NLP

MINLP



21









22

( ) ( ) ( )[ ] ( )aakk

ak



( ) ( ) ( ) ( )aakk

ak






( ) ( )sumisin

=Aa

aff

nlnl xx (213)



( ) ( ) ( ) ( )aaakk

ak



( ) sumisin

++=Aa





23




( ) ( ) ( ) ( )aafkaa

kka



( ) ( ) ( )[ ] ( )aah

kakk

ak



( ) ( ) ( ) ( )aag

kakk

ak



0 gegka

hka



w hka w g



+++++=KkAa

kakaKkAa

kakaAa KkAa

kakaaK swswswfz

1

gg

1

hh

1

fflinT αxyc (220)



( ) sumisin

le++Aa





24



kKka



ak

ak



ak



===or

gtgtgt 0 0 0


1


h

f

g

h


ka

www

ka

microλ (225)




+ +++++=KkAa

kakaKkAa

kakaAa KkAa

kakaaK swswswfz

1

gg

1

hh

1

fflinT1 αxyc


( ) ( ) ( ) ( )aafkaa

kka



( ) ( ) ( )[ ] ( )aah

kakk

ak



( ) ( ) ( ) ( )aag

kakk

ak


uxxxgxg aisinA k=1K


25


( ) sumisin

le++Aa

af UBlinT αxyc


bCxBy le+ (MILP)K+1

Celoštevilski rez

y y BAaa BA

aa NA

k

k k


Meje spremenljivk


y isin Y =01 a



ak yaNA k=1K

Konveksni test

===or

gtgtgt 0 0 0


1


h

f

g

h


ka

www

ka

microλ



26


















27




e

e

e

e

e

e

P

P

P

H


e re r

e r

f

f

f

f

f

f

L L

L



28


CI

w

t

L bC

H

L

BI

CA h

BA

q

f

B

fc

z

y

twc

hC

A CIC

AB BI

bB

tf wt

Bh

z

y

B

B

h

A C A B

z


29429875751000761045782

10189751098835105913310768182233

465cedil769712




CCC

CCCCC

hhh

hhhhb (32)


CCCCCf hhhht (33)


CCCw hht (34)



( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= CfC

cfCCfCCwCfC

Cy

thtb

thttbI (36)

( )12

2

12

2 3

3

CwCfCCCf

Cz

tthbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (37)

( ) ( ) 3

3 2

3

12

3


( )2

24 CfC

CzC th



29


29429875751000761045782

10189751098835105913310768182233

465cedil769712




BBB

BBBBB

hhh

hhhhb (310)


BBBBBf hhhht (311)


BBBw hht (312)


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= BfB

BfBBfBBwBfB

By

thtb

thttbI (314)

29429875751000761045782

10189751098835105913310768182233

465cedil769712




PPP

PPPPP

hhh

hhhhb (315)


PPPPPf hhhht (316)


PPPw hht (317)


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= PfP

PfPPfPPwPfP

Py

thtb

thttbI (319)

( )12

2

12

2 3

3

PwPfPPPf

Pz

ttbbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (320)

( ) ( ) 3

3 2

3

12

3


( )2

24 PfP

PzP th



29429875751000761045782

10189751098835105913310768182233

465cedil769712




RRR

RRRRR

hhh

hhhhb (323)


RRRRRf hhhht (324)


RRRw hht (325)


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= RfR

RfRRfRRwRfR

Ry

thtb

thttbI (327)

( )12

2

12

2 3

3

RwRfRRRf

Rz

ttbbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (328)


30

( ) ( ) 3

3 2

3

12

3


( )2

24 RfR

RzR th


29429875751000761045782

10189751098835105913310768182233

465cedil769712




FCFCFC

FCFCFCFCFC

hhh

hhhhb (331)




FCFCFCw hht (333)


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= FCfFC

FCfFCFCfFCFCwFCfFC

FCy

thtb

thttbI (335)

( )12

2

12

2 3

3

FCwFCfFCFCFCf

FCz

ttbbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (336)

( ) ( ) 3

3 2

3

12

3


( )2

24 FCfFCFCz

FC thI



( ) 222 fLLB += (339)

( )( )2arctan Lf=α (340)







31


ewq hr sdot= (346)


ρsdot= Rr Ag (348)







[ ]cmep 250le (356)


[ ]cmer 250le (360)





32

h

IK C

C = (361)

s

IK B

B = (362)

BC

CS

KK

K

sdot+=

511η (363)

( )( ) 2121

2121

60801

120201

ηηηηηηηηβ


SS

SS

sway (364)




( )( ) 10

2 2

2

le

sdot

sdotsdot

sdotsdot+sdot+sdot

h

IELgq

L

hP

sway

Cygzq

βπγγ

(365)

BC

CNS

KK

K

sdot+=

501η (366)


NSNSswaynon (367)


( ) ( )( )

( )( ) 0

2 2

216

53

MC

yCygzq

h

fI

CAB

CBhP

CAB

ALgq

γγγ

sdotsdotsdot

lesdot+sdot

+sdotsdot+sdot+sdot


hfA +=1 AL

h

I

IB

BCy

By +

+sdotsdot= 12


( ) ( )( )

( )( )

( )0

2

3

041

216

53

M

yCwCgzq fthh

CAB

CBhP

CAB

ALgq

γγγ

sdot

sdotsdotsdotle

sdot+sdot+sdotsdot+


(369)

( )02 M

yCgq fALgq

L

hP

γγγ sdot

lesdotsdot+sdot

+sdot (370)



33


( )[ ] ( )( )[ ] 2222 2015020150

1


αακ (371)

1 λ

βsdot

sdot= minus

CCy

swaynon

AI

hD (371 a)

( )( )

sdotminus

sdot+sdotsdot

sdotsdotsdot+sdot

sdot

sdotsdotsdot=

22 2

2

2

2

2

2

2

1h

Ch

CIE

IGhk

I

I

hk

IECM

Cz

Ct

Cz

CCzCR π

π ω (372)

CCR

yCy

CCR

yCy

CCR

yCyLT

CCR

yCy

CCR

yCyLT

LT

hM

fI

hM

fI

hM

fI

hM

fI

hM

fI

sdotsdotsdot

minus

sdotsdotsdot

+

minus

sdotsdotsdot

sdot+sdot+

sdotsdotsdot

+

minus

sdotsdotsdot

sdot+sdot

=

2

2220

2150

220

2150

1

αα

κ

(373)

( ) ( ) ( )( )

( )( )

( ) 012

216

53

2

1

2

1

lesdotsdotsdotsdot

sdot+sdot+sdotsdot+


+sdotsdot

sdotsdot+sdot+sdot

MCyCyLT

gzq

MyC

gzq

hfICAB

CBhP

CAB

ALgq

fA

Lgq

L

hP

γκ

γγ

γκ

γγ

(374)


( ) ( )( )

( )( ) 0

2 2

216

53

MB

yBygzq

h

fI

CAB

CBhP

CAB

ALgq

γγγ

sdotsdotsdot

lesdot+sdot

+sdotsdot+sdot+sdot


( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )0

2

3

041)sin(

216

53)cos(

2M

yBwBgzqgzq fthh

CAB

CBhP

CAB

ALgqLgq

L

hP

γα

γγα

γγsdot

sdotsdotsdotle

sdot

sdot+sdot+sdotsdot+



+sdot

(376)

( ) ( )( )

( )( )

( )0

2

)sin(2216

53

M

yBgzqgzq fALgq

L

hPh

CAB

CBhP

CAB

ALgq

γα

γγγγ sdotlesdot

sdotsdot+sdot+sdot+

sdot+sdot+sdotsdot+


(377)


34

( ) ( )( )

( )( )

( )

( ) ( )( )

( )( )

( ) 012

216

53

)sin(2216

53

1

2

1

2

lesdotsdotsdot

sdot+sdot+sdotsdot+


+

+sdot

sdotsdotsdot+sdot

+sdot+

sdot+sdot+sdotsdot+


MByBy

gzq

MyB

gzqgzq

hfICAB

CBhP

CAB

ALgq

fA

Lgq

L

hPh

CAB

CBhP

CAB

ALgq

γ

γγ

γ

αγγγγ

(378)


( ) ( )0

222

)cos(1057010570MP

yPyfpvpnqfprPg h

fIeeweseemA

γαγργ

sdotsdotsdot


( )0

22

)sin(10570MP

yPzfprnq h

fIeems

γαγ

sdotsdotsdot


( ) ( )( )

( )( ) 01

2

)sin(10570

2

)cos(1057010570

1

2

1

22

lesdotsdotsdot


+sdotsdotsdot


MPyPz

fprnq

MPyPy

fpvpnqfprPg

hfI

eems

hfI

eeweseemA

γαγ

γαγργ

(381)

( ) ( )0

3

041)cos(56705670

M

yPwPfpvpnqfPg

ftheeweseA

γαγργ

sdot



( )0

2 210570

MR

yRyfrhq h

fIeew

γγ

sdotsdotsdot


( )0

2 210570

MR

yRzfrrRg h

fIeemA

γργ

sdotsdotsdot


( )( )

( )( ) 01

2

10570

2

10570

1

2

1

2

lesdotsdotsdot



MPyPz

frrRg

MRyRy

frhq

hfI

eemA

hfI

eew

γργ

γγ

(385)

( )0

3

0415670

M

yRwRfrhq

ftheew

γγ

sdot



35

( )0

3

25670

M

yRfRfrrRg

ftbeemA

γργ

sdot



( )0M

FCzFCprFCg

fyAHemA


( )0

3

041

2

1

M

yFCwFCFCphq

fthHew

γγ

sdot


( )0

2 2

8

1

MFC

yFCyFCrhq h

fIHew

γγ

sdotsdotsdot


( ) ( )( ) 01

2

81

1

2

1

lesdotsdotsdot

sdotsdotsdotsdot+


MFCyFCy

FCrhq

MFCz

FCprFCg

hfI

Hew

fyA

HemA

γγ

γκργ

(391)


( ) ( )( ) ( )


sdot+


=∆ hLgq

hhPVUIE

LhhPUV

IE

hw

Byw

Cy 83

123

6

1

3

1 2

(392)

( ) ( )( )CAB

ALgqU


16

532

( )

( )CAB

CBhPV w

sdot+sdot+sdotsdot=

2 (392 ab)

150hle∆ (393)

( )( ) ( )


= 3

384

52

8LgqhPVU

L

IE

Lw

Byfδ (394)

250Lf =δ (395)



( ) ( ) ( )[ ]250

)sin(42000269)sin( 4 f

PzfprPpn



36


( ) ( ) ( )[ ]250

42000269 4 f

Ryfrh


( ) ( ) ( )[ ]250

42000269 4 f

RzfrrR


( )250384

5

4FC

FCy

FCph H

IE

Hewle


(399)


sum=n

nyNOFRAME (3100)


sumsdot=m

myNOPURLIN 2 (3102)


sumsdot=r

ryNORAIL 2 (3104)







37

sum sdot=s


1=sums

sy (3107)






sum sdot=i


sum sdot=i


sum sdot=i


sum sdot=i

itiCw yqt Cw

Ii isin (3111)

sum sdot=i

itiCf yqt Cf

Ii isin (3112)

sum sdot=i

iIiCy yqI Cy

Ii isin (3113)

sum sdot=i

iIiCz yqI Cz

Ii isin (3114)

sum sdot=i

iIiCt yqI Ct

Ii isin (3115)

sum sdot=i

iIiC yqI C

ω

ω Ii isin (3116)

1=sumi

iy (3117)


sum sdot=j


sum sdot=j


sum sdot=j



38

sum sdot=j

jtjBw yqt Bw

Jj isin (3121)

sum sdot=j

jtjBf yqt Bf

Jj isin (3122)

sum sdot=j

jIjBy yqI By

Jj isin (3123)

1=sumj

jy (3124)

sum sdot=k


sum sdot=k


sum sdot=k


sum sdot=k

ktkPw yqt Pw

Kk isin (3128)

sum sdot=k

ktkPf yqt Pf

Kk isin (3129)

sum sdot=k

kIkPy yqI Py

Kk isin (3130)

sum sdot=k

kIkPz yqI Pz

Kk isin (3131)

sum sdot=k

kIkPt yqI Pt

Kk isin (3132)

sum sdot=k

kIkP yqI P

ω

ω Kk isin (3133)

1=sumk

ky (3134)


sum sdot=l


sum sdot=l


sum sdot=l


sum sdot=l

ltlRw yqt Rw

Ll isin (3139)

sum sdot=l

ltlRf yqt Rf

Ll isin (3140)

sum sdot=l

lIlRy yqI Ry

Ll isin (3141)


39

sum sdot=l

lIlRz yqI Rz

Ll isin (3142)

sum sdot=l

lIlRt yqI Rt

Ll isin (3143)

sum sdot=l

lIlR yqI R

ω

ω Ll isin (3144)

1=suml

ly (3145)

sum sdot=p


sum sdot=p


sum sdot=p


sum sdot=p

ptpFCw yqt FCw

Ppisin (3149)

sum sdot=p

ptpFCf yqt FCf

Ppisin (3150)

sum sdot=p

pIpFCy yqI FCy

Ppisin (3151)

sum sdot=p

pIpFCz yqI FCz

Ppisin (3152)

sum sdot=p

pIpFCt yqI FCt

Ppisin (3153)

sum sdot=p

pIpFC yqI FC

ω

ω Ppisin (3154)

1=sump

py (3155)



40



41


L= 300 m

H =

82

5 m

h =

75

mf

= 0

75

m

L = 100

0 m

L



42


Spremenljivke x

Spodnja meja xLO

Začetna točka xL

Zgornja meja xUP




j q Phk q Rh


prereza q CAi q BA

j q PAk q RA


q Chi = q Bh

j = q Phk = q Rh

l = q FChp = 96 114 133 152 171 190 230 250 270 290 310 330

350 390 440 490 540 590 640 690 790 890 990

q CAi = q BA

j = q PAk = q RA

l = q FCAp =212 253 314 388 453 538 643 768 868 973

1130 1240 1330 1430 1590 1780 1980 2120 2260 2420 2600 2860 3210 3470






43






44



MINLP Podfaza Masa


Fasadni steber


1 1NLP 23011 1581 1402 800 31701 27868 4002 2040 6417


1MILP 24779 32011 28234 2897 1676 5866 2

2NLP 23847 18 16 8 29309 27114 3111 1783 5933 2MILP 26264 33627 29138 3259 1851 5972

3 3NLP 24119 18 16 10 29226 27136 3111 1782 5933


3MILP 28057 32100 28600 3880 2120 6430 4

4NLP 28057 19 16 12 H 900 H 800 H 160 H 100 H 220 4MILP 28825 32100 28600 3880 2120 6430

5 5NLP 28825 19 18 12 H 900 H 800 H 160 H 100 H 220



45

14 x 214 m300 m

18 x 555 m

1000 m

82

5 m

5 x

15

m


HE

A 9

00

HE

A 9

00

14 x 214 m

300 m

HEA 160

HEA 800 HEA 800

82

5 m

5 x

15

0 m

HEA 100

07

5 m



46









47




3283097002563540 +sdot= CCf ht (43)

2492093001550810 +sdot= CCw ht (44)



( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= CfC

cfCCfCCwCfC

Cy

thtb

thttbI (46)

( )12

2

12

2 3

3

CwCfCCCf

Cz

tthbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (47)

( ) ( ) 3

3 2

3

12

3


( )2

24 CfC

CzC th




3283097002563540 +sdot= BBf ht (411)

2492093001550810 +sdot= BBw ht (412)


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= BfB

BfBBfBBwBfB

By

thtb

thttbI (414)


3283097002563540 +sdot= PPf ht (416)

2492093001550810 +sdot= PPw ht (417)


48


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= PfP

PfPPfPPwPfP

Py

thtb

thttbI (419)

( )12

2

12

2 3

3

PwPfPPPf

Pz

ttbbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (420)

( ) ( ) 3

3 2

3

12

3


( )2

24 PfP

PzP th




3283097002563540 +sdot= RRf ht (424)

2492093001550810 +sdot= RRw ht (425)


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= RfR

RfRRfRRwRfR

Ry

thtb

thttbI (427)

( )12

2

12

2 3

3

RwRfRRRf

Rz

ttbbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (428)

( ) ( ) 3

3 2

31

231


( )2

24 RfR

RzR th



3283097002563540 +sdot= FCFCf ht (432)

2492093001550810 +sdot= FCFCw ht (433)


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= FCfFC

FCfFCFCfFCFCwFCfFC

FCy

thtb

thttbI (435)

( )12

2

12

2 3

3

FCwFCfFCFCFCf

FCz

ttbbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (436)

( ) ( ) 3

3 2

31

231


( )2

24 FCfFCFCz

FC thI



49










50


L= 300 m

H =

82

5 m

h =

75

mf =

07

5 m

L = 1000 m

L



51


Spremenljivke x

Spodnja meja xLO

Začetna točka xL

Zgornja meja xUP




q Bhj q Ph

k q Rhl q FCh


j q PAk q RA

l q FCAp


q Chi = q Bh

j = q Phk = q Rh

l = q FChp = 80 100 120 140 160 180 200 220 240 270 300

330 360 400 450 500 550 600

q CAi = q BA

j = q PAk = q RA

l = q FCAp = 76 103 132 164 201 239 285 334 391 459 538

626 727 845 988 1160 1340 1560










52



MINLP Podfaza Masa


Fasadni steber


1 1NLP 33790 5831 1401 932 15397 14895 668 581 9829


1MILP 37325 16692 15685 646 581 9829 2

2NLP 34611 60 16 14 15089 14778 594 581 8938 2MILP 37604 16692 15698 652 581 9917

3 3NLP 34791 60 16 18 15074 14784 594 581 8938


3MILP 36849 15600 15600 760 1030 988 4

4NLP 36849 60 16 12 I 600 I 600 I 80 I 100 I 450 4MILP 37212 15600 15600 760 1030 988

5 5NLP 37212 60 18 12 I 600 I 600 I 80 I 100 I 450


53


14 x 214 m

300 m

59 x 170 m

1000 m

5 x

15

m8

25

m



54

300 m

14 x 214 m

IPE

600

IPE 80

IPE 600

5 x

150

m

IPE

600

825

m

IPE 100IPE 600

075

m



55








56




57

L= 300 m

H =

82

5 m

h =

75

mf =

07

5 m

L = 1000 m

L



Spremenljivke x

Spodnja meja xLO

Začetna točka xL

Zgornja meja xUP




58



j q Phk q Rh

l q FChp in


j q PAk q RA



i = q Bhj = q FCh

p = 96 114 133 152 171 190 230 250 270 290 310 330

350 390 440 490 540 590 640 690 790 890 990

q CAi = q BA

j = q FCAp = 212 253 314 388 453 538 643 768 868 973 1130 1240

1330 1430 1590 1780 1980 2120 2260 2420 2600 2860


k = q Rhl = 80 100 120 140 160 180 200 220 240 270 300

330 360 400 450 500 550 600

q PAk = q RA

l = 76 103 132 164 201 239 285 334 391 459 538










59



MINLP Podfaza Masa


Fasadni steber


1 1NLP 24211 1357 1402 800 33928 34256 4172 3510 6417


1MILP 25987 33374 34256 2319 1886 5865 2

2NLP 25532 17 16 8 28535 34256 2777 2388 5933 2MILP 35615 30874 34256 2499 2117 5973

3 3NLP 29553 25 16 8 27978 34256 1683 1358 5933


3MILP 25783 32100 32100 3340 2850 6430 4

4NLP 25783 16 16 10 H 900 H 900 I 220 I 200 H 220 4MILP 26273 34700 32100 3340 2850 6430

5 5NLP 26273 16 16 10 H 1000 H 900 I 220 I 200 H 220



60


300 m

14 x 214 m

15 x 667 m

1000 m

825

m4

x 1

87 m



61

HE

A 9

00

HE

A 9

00

14 x 214 m

300 m

IPE 220

HEA 900 HEA 900 IPE 200

4 x

18

7 m

82

5 m

07

5 m




62





63



[kNm2] L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

05 43804 86361 146242 206968 291708 52059 89943 152799 209623 293184 10 46196 94031 159452 243968 373827 52059 97359 173741 251499 373827 15 52532 105706 179963 298897 479199 56536 107907 206687 282053 479199 20 53135 117212 197704 332308 592295 58663 132096 217465 338629 592295 25 58677 124258 210788 380122 713116 64889 124258 215215 382769 724608

Viš

ina

H=5

0 [m

]

30 78687 131751 237745 433839 837705 64383 136606 239695 436486 826212 05 63394 105145 167301 232713 327350 76751 118618 162214 247597 327824 10 68827 127030 185454 286032 433787 79441 121051 190289 295152 431842 15 68441 141094 220943 355391 520156 80223 136623 232977 337287 539905 20 72921 151451 248622 399581 644214 84054 147720 235442 372654 649569 25 91498 169397 242347 477312 750551 86999 161296 252359 414268 770300

Viš

ina

H=7

5 [m

]

30 85902 173623 273917 505061 874609 87197 165771 280574 483628 876636 05 90004 134635 198899 300827 422751 10967 160352 210503 308650 403946 10 93834 146633 244749 356983 581643 10904 164341 248640 341851 580793 15 98312 158049 253878 392801 721289 11817 177374 267598 402409 741594 20 10044 167638 276478 453328 859648 11887 183115 282376 471788 891006 25 10391 183786 307830 528986 101239 11887 193732 307067 525877 104042

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 11823 201777 343180 589513 118048 11983 204794 342417 601536 120905



q [kNm2]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

05 1686 16126 16166 12228 13248 1986 18126 16186 12226 13246 10 2086 16126 14166 14226 19246 1986 16128 16186 14246 19246 15 1986 15126 14166 16226 26246 19106 18126 17186 16206 26246 20 2386 17126 16168 19228 33246 22106 19128 18186 20208 33246 25 2886 18126 16168 23226 40246 2288 18126 18166 24208 40246

Viš

ina

H=5

0 [m

]

30 2588 19126 19168 27226 47246 2688 20128 20186 28208 47246 05 1488 15128 14168 12228 132610 1688 13128 14168 13228 13248 10 1688 17128 14168 15208 20268 1788 18128 15168 15228 20248 15 1988 181210 17168 20208 25268 1888 181212 181612 182012 262410 20 1988 171212 19168 23208 32268 1888 191212 17168 212014 322412 25 20108 191212 16168 292012 38268 1588 191212 18168 242014 392410

Viš

ina

H=7

5 [m

]

30 1888 201212 19168 312012 45268 1888 191212 191612 292014 452410 05 14810 141410 151610 142214 182412 15812 141610 131810 152010 171612 10 14810 151410 171614 172012 272412 14810 161210 171612 162012 272612 15 16810 141410 161614 202012 332412 15810 161610 171612 202012 342414 20 16810 171410 171610 242012 412410 17810 191212 171612 252014 422412 25 17810 171412 191614 292012 492412 17810 201212 191612 292014 502414

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 14810 191214 221614 332012 582412 18810 211212 221612 342014 592614


64




65



q [kNm2]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m] L=10

[m] L=20 [m]

L=30 [m]

05 29390 63373 113372 33765 62119 116031

10 34058 78485 139979 39787 80123 143702

15 34825 93391 166785 43205 92559 177956

20 39038 93925 204737 45627 99675 210833

25 42725 103116 240569 46411 102510 240569

Viš

ina

H=

50

[m

]

30 42959 120572 281065 48636 119664 279793 05 47295 79741 140618 61335 90932 152350

10 47862 100836 184360 61409 98985 195391

15 51856 106055 224991 61916 114231 233578

20 55533 128956 272185 65789 127856 277701

25 59555 141461 318851 66530 147062 329882

Viš

ina

H=

75

[m

]

30 59555 156191 365945 71158 159593 368488

05 77959 131692 192818 95482 150215 221770 10 84442 138305 257932 97763 159698 280367 15 87235 158553 325238 97763 181443 344064 20 93001 177291 389903 102820 191919 406729 25 94241 202889 451599 103427 212667 468426

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 93137 244471 513297 109668 239265 535733




q [kNm2]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m] L=10

[m] L=20 [m]

L=30 [m]

05 30106 23146 15168 2886 24146 19168

10 33106 22148 22166 27106 22146 22166

15 34106 22148 29166 281010 22146 31166

20 32108 22146 37166 341010 24146 38168

25 331010 25148 45166 351010 25128 45166

Viš

ina

H=

50

[m

]

30 32108 27148 53166 34108 28148 53166 05 2588 21128 181610 2488 211210 191612 10 2488 221210 261612 2388 20128 281612 15 2988 23128 341810 25810 25128 361612 20 3088 271210 431612 27810 271210 441612 25 29810 311210 511612 2888 321410 531612

Viš

ina

H=

75

[m

]

30 29810 361210 601612 29810 371210 601612 05 191010 232010 261610 201010 222012 282014 10 211010 252010 361614 201010 262012 401614 15 251012 292010 481614 201010 332012 511614 20 251012 352012 591614 211012 392012 621614 25 271012 422012 701614 271012 452010 731614

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 251210 502010 811614 281012 522010 851614


66


HEA HEA

HE

A

HE

A

Slika 61 Podtip 3a

IPE IPE

HE

A

HE

A

Slika 62 Podtip 3b


67

IPE

IPE

IPE IPE

Slika 63 Podtip 3c



68



[kNm2] L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

05 27658 58642 113372 206035 272176 32948 60355 116031 204023 279382 10 28704 74654 132177 229668 345848 33669 72066 134743 237883 345848 15 32569 80892 164886 254464 449305 36805 80341 167075 261460 450812 20 35709 87074 193339 285320 546103 37166 89648 205018 288209 547469 25 39225 97234 201546 314288 653893 42113 100282 218811 316612 655165

Viš

ina

H=5

0 [m

]

30 39635 107355 213835 353179 752057 42062 110121 225944 355188 752057 05 45708 77038 133451 226330 310057 58763 87977 134220 237188 326780 10 47404 95557 171033 276552 388448 58825 96282 175590 271373 405170 15 49283 103235 211728 300170 499758 59343 102544 207245 291879 500831 20 52732 112222 237914 338562 603273 64205 118543 223507 336821 604890 25 56987 120193 248758 387161 720173 64946 125863 248758 388063 721868

Viš

ina

H=7

5 [m

]

30 57971 137338 253761 432147 826509 68585 136569 257828 438448 826509 05 72055 115727 170413 285729 365391 88281 144706 195119 286835 389903 10 73876 123895 217855 328464 513581 90102 147721 221520 326594 525606 15 81881 134044 236758 375398 674605 92976 151115 246421 391729 665760 20 80262 149768 256901 426076 826088 98142 152751 278654 444630 844526 25 82384 153348 274442 507574 958331 10026 161757 289199 501959 922058

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 89134 164875 295214 568007 110846 10365 166473 297780 585336 111171



q [kNm2]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

05 3186 22126 15168 14226 12246 2886 23126 19168 13206 12248 10 3586 23126 21166 13228 18246 2986 23126 21166 12208 18246 15 3486 22126 29166 13228 25246 3388 23126 29166 14206 25246 20 3488 21126 16166 16208 31246 3386 21128 17166 16208 31246 25 3586 22126 15166 19208 38246 3588 23126 12168 19208 38246

Viš

ina

H=5

0 [m

]

30 3488 23128 14166 22208 44246 3486 24126 14166 22208 44246 05 2588 21128 18168 12208 12248 2488 21128 181610 13228 13248 10 2588 22128 25168 12208 18248 2388 20128 19168 13228 19248 15 2988 22128 14168 152010 25248 25810 22128 131610 15228 252410 20 2988 21128 13168 182010 31248 27810 23128 15168 192210 312410 25 3188 24128 14168 222010 38248 2888 25128 14168 23228 38248

Viš

ina

H=7

5 [m

]

30 29810 181210 14168 252010 44248 29810 18128 161610 272210 44248 05 21810 171210 221610 132212 152410 20810 171210 271610 132210 162612 10 21810 191210 151610 142012 232412 20810 171210 141610 152012 252612 15 26810 191210 151610 182012 322412 21810 181210 141610 192212 332610 20 25810 191210 151610 232012 402410 21812 191210 141610 242012 412610 25 26810 191210 161610 272012 472412 24812 201210 181610 282210 452612

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 241010 201210 181610 312210 552412 24812 191210 181610 322012 552610



69



q [kNm2]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

05 79816 13757 204023 18126 15168 13206

10 94006 161997 237880 18126 16188 12208

15 104112 173639 17128 15186

20 114167 205018 19126 17166

25 118464 218811 18126 12168

Viš

ina

H=

50

[m

]

30 127484 225944 20126 14166 05 114237 166013 237188 18128 141610 13228

10 114352 181183 271373 18128 15168 13228

15 135461 207245 191212 131610

20 153196 223507 191212 15168

25 167632 248758 211212 14168

Viš

ina

H=

75

[m

]

30 172577 257828 211212 161610

05 155570 208428 286830 161210 161810 132210 10 160684 221520 161212 141610 15 164263 246421 161212 141610 20 169048 278654 191212 141610 25 183876 289199 211212 181610

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 196693 297780 211212 181610


70



q [kNm2]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

05 65362 123928 247838 23126 17186 32206

10 75949 142326 387574 20126 20186 51206

15 85784 174927 20126 25186

20 96425 214063 19128 31186

25 102365 244140 21126 37186

Viš

ina

H=

50

[m

]

30 111796 284333 19128 441810 05 97016 148585 286539 18128 17168 30228

10 101454 175590 456117 20128 19168 48208

15 123056 207908 221210 24168

20 127704 255221 211210 31168

25 134312 299824 221210 36168

Viš

ina

H=

75

[m

]

30 136569 342877 18128 42168

05 144706 196049 340493 171210 181810 292012 10 147721 224931 171210 201812 15 151115 259776 181210 251810 20 152751 303941 191210 311610 25 161757 360526 201210 361810

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 166473 410715 191210 421810


71





72

HEA

0

100

200

300

400

500

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 05 kNm2

HEA

0

150

300

450

600

750

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 10 kNm2

HEA

0

150

300

450

600

750

900

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 15 kNm2

HEA

0

200

400

600

800

1000

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 20 kNm2

HEA

0

200

400

600

800

1000

1200

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 25 kNm2

HEA

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 30 kNm2



73

IPE

0

50

100

150

200

250

10 15 20 25 30Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 05 kNm2

IPE

0

50

100

150

200

250

300

10 15 20 25 30Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 10 kNm2

IPE

0

75

150

225

300

375

10 15 20 25 30Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 15 kNm2

IPE

0

100

200

300

400

500

10 15 20 25 30Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 20 kNm2

IPE

0

100

200

300

400

500

10 15 20 25 30Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 25 kNm2

IPE

0

100

200

300

400

500

600

10 15 20 25 30Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 30 kNm2



74

IPE+HEA

0

100

200

300

400

500

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 05 kNm2

IPE+HEA

0

100

200

300

400

500

600

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 10 kNm2

IPE+HEA

0

150

300

450

600

750

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 15 kNm2

IPE+HEA

0

200

400

600

800

1000

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 20 kNm2

IPE+HEA

0

200

400

600

800

1000

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 25 kNm2

IPE+HEA

0

200

400

600

800

1000

1200

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 30 kNm2




75



76

H = 50 m

0

150

300

450

600

750

900

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]L = 500 mL = 400 mL = 300 mL = 200 mL = 100 m

HEA

H = 75 m

0

150

300

450

600

750

900

1050

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]

L = 500 mL = 400 mL = 300 mL = 200 mL = 100 m

HEA

H = 100 m

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]

L = 500 mL = 400 mL = 300 mL = 200 mL = 100 m

HEA



77

IPE

0

50

100

150

200

250

300

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]L = 300 mL = 200 mL = 100 m

H = 50 m

H = 75 m

0

75

150

225

300

375

450

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]

L = 300 mL = 200 mL = 100 m

IPE

H = 100 m

0

100

200

300

400

500

600

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]

L = 300 mL = 200 mL = 100 m

IPE



78

H = 50 m

0

100

200

300

400

500

600

700

800

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]L = 500 mL = 400 mL = 300 mL = 200 mL = 100 m

IPE+HEA

H = 75 m

0

150

300

450

600

750

900

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]

L = 500 mL = 400 mL = 300 mL = 200 mL = 100 m

IPE+HEA

H = 100 m

0

200

400

600

800

1000

1200

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]

L = 500 mL = 400 mL = 300 mL = 200 mL = 100 m

IPE+HEA




79




80

H = 50 m

1

3

5

7

9

11

10 20 30 40 50

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


HEA

2

2

22

22

H = 75 m

1

3

5

7

9

11

10 20 30 40 50

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


HEA

2

2

22

22

H = 100 m

1

3

5

7

9

11

10 20 30 40 50

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


HEA

2

2

22

22




81

H = 50 m

1

2

3

4

5

6

7

10 15 20 25 30

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


IPE

2

2

22

22

H = 75 m

1

2

3

4

5

6

7

10 15 20 25 30

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


IPE

2

2

22

22

H = 100 m

1

2

3

4

5

6

7

10 15 20 25 30

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


IPE

2

2

22

22




82

H = 50 m

1

3

5

7

9

11

10 20 30 40 50

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


IPE+HEA

2

2

2

2

22

H = 75 m

1

3

5

7

9

11

10 20 30 40 50

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji [

m]


IPE+HEA

2

2

2

2

22

H = 100 m

1

3

5

7

9

11

10 20 30 40 50

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


IPE+HEA

2

2

2

2

22




83




84

H = 50 m

0

50

100

150

200

250

300

350

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]HEAIPEIPE+HEA

q = 05 kNm2

H = 50 m

0

75

150

225

300

375

450

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 10 kNm2

H = 50 m

0

100

200

300

400

500

600

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 15 kNm2

H = 50 m

0

150

300

450

600

750

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]HEAIPEIPE+HEA

q = 20 kNm2

H = 50 m

0

150

300

450

600

750

900

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 25 kNm2

H = 50 m

0

200

400

600

800

1000

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 30 kNm2




85

H = 75 m

0

75

150

225

300

375

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 05 kNm2

H = 75 m

0

100

200

300

400

500

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 10 kNm2

H = 75 m

0

100

200

300

400

500

600

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 15 kNm2

H = 75 m

0

150

300

450

600

750

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]HEAIPEIPE+HEA

q = 20 kNm2

H = 75 m

0

150

300

450

600

750

900

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 25 kNm2

H = 75 m

0

200

400

600

800

1000

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 30 kNm2




86

H = 100 m

0

100

200

300

400

500

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 05 kNm2

H = 100 m

0

100

200

300

400

500

600

700

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 10 kNm2

H = 100 m

0

150

300

450

600

750

900

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 15 kNm2

H = 100 m

0

200

400

600

800

1000

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]HEAIPEIPE+HEA

q = 20 kNm2

H = 100 m

0

200

400

600

800

1000

1200

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 25 kNm2

H = 100 m

0

250

500

750

1000

1250

1500

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 30 kNm2




87




88

H = 50 m

10

15

20

25

30

35

10 20 30 40 50Razpon [m]

Šte

vilo

okv

irje

v [k

om

] 1

HEAIPEIPE+HEA

q = 15 kNm2

H = 50 m

10

15

20

25

30

35

40

10 20 30 40 50Razpon [m]

Šte

vilo

okv

irje

v [k

om

] 1

HEAIPEIPE+HEA

q = 20 kNm2

H = 50 m

10

15

20

25

30

35

40

45

50

10 20 30 40 50Razpon [m]

Šte

vilo

okv

irje

v [k

om

] 1

HEAIPEIPE+HEA

q = 25 kNm2



89



90

120

140

160

180

200

220

240

260

30 32 34 36 38 40Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 50 m q = 05 kNm2

100

150

200

250

300

350

400

30 32 34 36 38 40

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 50 m q = 10 kNm2

80

100

120

140

160

180

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 50 m q = 15 kNm2

80

100

120

140

160

180

200

220

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 50 m q = 20 kNm2

100

120

140

160

180

200

220

240

260

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 50 m q = 25 kNm2

100

130

160

190

220

250

280

310

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 50 m q = 30 kNm2



91

130

160

190

220

250

280

310

30 32 34 36 38 40

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 75 m q = 05 kNm2

150

200

250

300

350

400

450

30 32 34 36 38 40

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 75 m q = 10 kNm2

120

140

160

180

200

220

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 75 m q = 15 kNm2

120

140

160

180

200

220

240

260

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 75 m q = 20 kNm2

130

160

190

220

250

280

310

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 75 m q = 25 kNm2

120

160

200

240

280

320

360

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 75 m q = 30 kNm2



92

190

220

250

280

310

340

370

30 32 34 36 38 40

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 100 m q = 05 kNm2

140

160

180

200

220

240

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 100 m q = 10 kNm2

140

160

180

200

220

240

260

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 100 m q = 15 kNm2

130

160

190

220

250

280

310

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 100 m q = 20 kNm2

150

200

250

300

350

400

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 100 m q = 25 kNm2

150

200

250

300

350

400

450

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 100 m q = 30 kNm2



93


05

1

15

2

25

3

22 24 26 28 30 32

Razpon [m]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

Ob

težb

a [k

Nm2

]




94



95




96



97



98






99









100





101








102







103






104







105










106




107







108
















109





DELOVNE IZKUŠNJE



IV


V


VI


VII


VIII






IX






X




XI











XII







fasadnega stebra






q Cfti


q Bftj


q Pftk


q Rftl


q FCftp


q Cwti


q Bwtj


q Pwtk


q Rwtl


q FCwtp


q CtIi


XIII

stebra

q PtIk


lege

q RtIl


prečke

q FCtIp


fasadnega stebra

q CyIi


stebra

q ByIj


osi nosilca

q PyIk


osi lege

q RyIl


osi prečke

q FCyIp



q CzIi


stebra

q PzIk


osi lege

q RzIl


prečke

q FCzIp



q CIi



q PIk



q RIl



q FCIp




elementa

XIV



XV




XVI











XVII


XVIII



1



2





3





4



5






6





7







8




9





10







11




12





13






iy (21)


14


iy (22)


iy (23)


0leminus ik yy (24)







isinisink

NIii

BIii BIyy

kk

(26)


ik yiNI Kk 21=



15


pp ( ) 0xh =


bCxBy le+





16

min ( )xyc fz += T

pp ( ) 0xh =

( ) 0xg le

( ) axA le

Ey le e (MINLP-MS)

( ) rxRDy le+e

( ) kdLKy le+ cne

( ) mdMPy le+ mat

( ) ndNPy le+ st













17


mat2 y



sumisin

=Ii

matii

mat yqd (27)

1=sumisinIi

matiy (28)



1 yst

2 yst

3 yst


sumisin

=Jj

stjj

st yqd (29)

1=sumisinJj

stjy (210)








Pettersson (1995)


18



19



pp ( ) 0xh =

( ) 0xg le (NLP)K

bCxBy le+K



min α+= ycTKz

p p




bCxBy le+


20


ii NI

k

k k




1== kik yiBI 0== k

ik yiNI k=1K

=gt+ltminus

==0λ if 0

0λ if 1

0λ if 1

kj

kj

kj

kjj

kjj

k ttT j = 12N


STOP

Superstruktura


Podproblem

Zvezno optimiranje


Glavni problem


Konvergenca

DA

NE

MILP


NLP

MINLP



21









22

( ) ( ) ( )[ ] ( )aakk

ak



( ) ( ) ( ) ( )aakk

ak






( ) ( )sumisin

=Aa

aff

nlnl xx (213)



( ) ( ) ( ) ( )aaakk

ak



( ) sumisin

++=Aa





23




( ) ( ) ( ) ( )aafkaa

kka



( ) ( ) ( )[ ] ( )aah

kakk

ak



( ) ( ) ( ) ( )aag

kakk

ak



0 gegka

hka



w hka w g



+++++=KkAa

kakaKkAa

kakaAa KkAa

kakaaK swswswfz

1

gg

1

hh

1

fflinT αxyc (220)



( ) sumisin

le++Aa





24



kKka



ak

ak



ak



===or

gtgtgt 0 0 0


1


h

f

g

h


ka

www

ka

microλ (225)




+ +++++=KkAa

kakaKkAa

kakaAa KkAa

kakaaK swswswfz

1

gg

1

hh

1

fflinT1 αxyc


( ) ( ) ( ) ( )aafkaa

kka



( ) ( ) ( )[ ] ( )aah

kakk

ak



( ) ( ) ( ) ( )aag

kakk

ak


uxxxgxg aisinA k=1K


25


( ) sumisin

le++Aa

af UBlinT αxyc


bCxBy le+ (MILP)K+1

Celoštevilski rez

y y BAaa BA

aa NA

k

k k


Meje spremenljivk


y isin Y =01 a



ak yaNA k=1K

Konveksni test

===or

gtgtgt 0 0 0


1


h

f

g

h


ka

www

ka

microλ



26


















27




e

e

e

e

e

e

P

P

P

H


e re r

e r

f

f

f

f

f

f

L L

L



28


CI

w

t

L bC

H

L

BI

CA h

BA

q

f

B

fc

z

y

twc

hC

A CIC

AB BI

bB

tf wt

Bh

z

y

B

B

h

A C A B

z


29429875751000761045782

10189751098835105913310768182233

465cedil769712




CCC

CCCCC

hhh

hhhhb (32)


CCCCCf hhhht (33)


CCCw hht (34)



( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= CfC

cfCCfCCwCfC

Cy

thtb

thttbI (36)

( )12

2

12

2 3

3

CwCfCCCf

Cz

tthbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (37)

( ) ( ) 3

3 2

3

12

3


( )2

24 CfC

CzC th



29


29429875751000761045782

10189751098835105913310768182233

465cedil769712




BBB

BBBBB

hhh

hhhhb (310)


BBBBBf hhhht (311)


BBBw hht (312)


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= BfB

BfBBfBBwBfB

By

thtb

thttbI (314)

29429875751000761045782

10189751098835105913310768182233

465cedil769712




PPP

PPPPP

hhh

hhhhb (315)


PPPPPf hhhht (316)


PPPw hht (317)


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= PfP

PfPPfPPwPfP

Py

thtb

thttbI (319)

( )12

2

12

2 3

3

PwPfPPPf

Pz

ttbbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (320)

( ) ( ) 3

3 2

3

12

3


( )2

24 PfP

PzP th



29429875751000761045782

10189751098835105913310768182233

465cedil769712




RRR

RRRRR

hhh

hhhhb (323)


RRRRRf hhhht (324)


RRRw hht (325)


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= RfR

RfRRfRRwRfR

Ry

thtb

thttbI (327)

( )12

2

12

2 3

3

RwRfRRRf

Rz

ttbbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (328)


30

( ) ( ) 3

3 2

3

12

3


( )2

24 RfR

RzR th


29429875751000761045782

10189751098835105913310768182233

465cedil769712




FCFCFC

FCFCFCFCFC

hhh

hhhhb (331)




FCFCFCw hht (333)


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= FCfFC

FCfFCFCfFCFCwFCfFC

FCy

thtb

thttbI (335)

( )12

2

12

2 3

3

FCwFCfFCFCFCf

FCz

ttbbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (336)

( ) ( ) 3

3 2

3

12

3


( )2

24 FCfFCFCz

FC thI



( ) 222 fLLB += (339)

( )( )2arctan Lf=α (340)







31


ewq hr sdot= (346)


ρsdot= Rr Ag (348)







[ ]cmep 250le (356)


[ ]cmer 250le (360)





32

h

IK C

C = (361)

s

IK B

B = (362)

BC

CS

KK

K

sdot+=

511η (363)

( )( ) 2121

2121

60801

120201

ηηηηηηηηβ


SS

SS

sway (364)




( )( ) 10

2 2

2

le

sdot

sdotsdot

sdotsdot+sdot+sdot

h

IELgq

L

hP

sway

Cygzq

βπγγ

(365)

BC

CNS

KK

K

sdot+=

501η (366)


NSNSswaynon (367)


( ) ( )( )

( )( ) 0

2 2

216

53

MC

yCygzq

h

fI

CAB

CBhP

CAB

ALgq

γγγ

sdotsdotsdot

lesdot+sdot

+sdotsdot+sdot+sdot


hfA +=1 AL

h

I

IB

BCy

By +

+sdotsdot= 12


( ) ( )( )

( )( )

( )0

2

3

041

216

53

M

yCwCgzq fthh

CAB

CBhP

CAB

ALgq

γγγ

sdot

sdotsdotsdotle

sdot+sdot+sdotsdot+


(369)

( )02 M

yCgq fALgq

L

hP

γγγ sdot

lesdotsdot+sdot

+sdot (370)



33


( )[ ] ( )( )[ ] 2222 2015020150

1


αακ (371)

1 λ

βsdot

sdot= minus

CCy

swaynon

AI

hD (371 a)

( )( )

sdotminus

sdot+sdotsdot

sdotsdotsdot+sdot

sdot

sdotsdotsdot=

22 2

2

2

2

2

2

2

1h

Ch

CIE

IGhk

I

I

hk

IECM

Cz

Ct

Cz

CCzCR π

π ω (372)

CCR

yCy

CCR

yCy

CCR

yCyLT

CCR

yCy

CCR

yCyLT

LT

hM

fI

hM

fI

hM

fI

hM

fI

hM

fI

sdotsdotsdot

minus

sdotsdotsdot

+

minus

sdotsdotsdot

sdot+sdot+

sdotsdotsdot

+

minus

sdotsdotsdot

sdot+sdot

=

2

2220

2150

220

2150

1

αα

κ

(373)

( ) ( ) ( )( )

( )( )

( ) 012

216

53

2

1

2

1

lesdotsdotsdotsdot

sdot+sdot+sdotsdot+


+sdotsdot

sdotsdot+sdot+sdot

MCyCyLT

gzq

MyC

gzq

hfICAB

CBhP

CAB

ALgq

fA

Lgq

L

hP

γκ

γγ

γκ

γγ

(374)


( ) ( )( )

( )( ) 0

2 2

216

53

MB

yBygzq

h

fI

CAB

CBhP

CAB

ALgq

γγγ

sdotsdotsdot

lesdot+sdot

+sdotsdot+sdot+sdot


( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )0

2

3

041)sin(

216

53)cos(

2M

yBwBgzqgzq fthh

CAB

CBhP

CAB

ALgqLgq

L

hP

γα

γγα

γγsdot

sdotsdotsdotle

sdot

sdot+sdot+sdotsdot+



+sdot

(376)

( ) ( )( )

( )( )

( )0

2

)sin(2216

53

M

yBgzqgzq fALgq

L

hPh

CAB

CBhP

CAB

ALgq

γα

γγγγ sdotlesdot

sdotsdot+sdot+sdot+

sdot+sdot+sdotsdot+


(377)


34

( ) ( )( )

( )( )

( )

( ) ( )( )

( )( )

( ) 012

216

53

)sin(2216

53

1

2

1

2

lesdotsdotsdot

sdot+sdot+sdotsdot+


+

+sdot

sdotsdotsdot+sdot

+sdot+

sdot+sdot+sdotsdot+


MByBy

gzq

MyB

gzqgzq

hfICAB

CBhP

CAB

ALgq

fA

Lgq

L

hPh

CAB

CBhP

CAB

ALgq

γ

γγ

γ

αγγγγ

(378)


( ) ( )0

222

)cos(1057010570MP

yPyfpvpnqfprPg h

fIeeweseemA

γαγργ

sdotsdotsdot


( )0

22

)sin(10570MP

yPzfprnq h

fIeems

γαγ

sdotsdotsdot


( ) ( )( )

( )( ) 01

2

)sin(10570

2

)cos(1057010570

1

2

1

22

lesdotsdotsdot


+sdotsdotsdot


MPyPz

fprnq

MPyPy

fpvpnqfprPg

hfI

eems

hfI

eeweseemA

γαγ

γαγργ

(381)

( ) ( )0

3

041)cos(56705670

M

yPwPfpvpnqfPg

ftheeweseA

γαγργ

sdot



( )0

2 210570

MR

yRyfrhq h

fIeew

γγ

sdotsdotsdot


( )0

2 210570

MR

yRzfrrRg h

fIeemA

γργ

sdotsdotsdot


( )( )

( )( ) 01

2

10570

2

10570

1

2

1

2

lesdotsdotsdot



MPyPz

frrRg

MRyRy

frhq

hfI

eemA

hfI

eew

γργ

γγ

(385)

( )0

3

0415670

M

yRwRfrhq

ftheew

γγ

sdot



35

( )0

3

25670

M

yRfRfrrRg

ftbeemA

γργ

sdot



( )0M

FCzFCprFCg

fyAHemA


( )0

3

041

2

1

M

yFCwFCFCphq

fthHew

γγ

sdot


( )0

2 2

8

1

MFC

yFCyFCrhq h

fIHew

γγ

sdotsdotsdot


( ) ( )( ) 01

2

81

1

2

1

lesdotsdotsdot

sdotsdotsdotsdot+


MFCyFCy

FCrhq

MFCz

FCprFCg

hfI

Hew

fyA

HemA

γγ

γκργ

(391)


( ) ( )( ) ( )


sdot+


=∆ hLgq

hhPVUIE

LhhPUV

IE

hw

Byw

Cy 83

123

6

1

3

1 2

(392)

( ) ( )( )CAB

ALgqU


16

532

( )

( )CAB

CBhPV w

sdot+sdot+sdotsdot=

2 (392 ab)

150hle∆ (393)

( )( ) ( )


= 3

384

52

8LgqhPVU

L

IE

Lw

Byfδ (394)

250Lf =δ (395)



( ) ( ) ( )[ ]250

)sin(42000269)sin( 4 f

PzfprPpn



36


( ) ( ) ( )[ ]250

42000269 4 f

Ryfrh


( ) ( ) ( )[ ]250

42000269 4 f

RzfrrR


( )250384

5

4FC

FCy

FCph H

IE

Hewle


(399)


sum=n

nyNOFRAME (3100)


sumsdot=m

myNOPURLIN 2 (3102)


sumsdot=r

ryNORAIL 2 (3104)







37

sum sdot=s


1=sums

sy (3107)






sum sdot=i


sum sdot=i


sum sdot=i


sum sdot=i

itiCw yqt Cw

Ii isin (3111)

sum sdot=i

itiCf yqt Cf

Ii isin (3112)

sum sdot=i

iIiCy yqI Cy

Ii isin (3113)

sum sdot=i

iIiCz yqI Cz

Ii isin (3114)

sum sdot=i

iIiCt yqI Ct

Ii isin (3115)

sum sdot=i

iIiC yqI C

ω

ω Ii isin (3116)

1=sumi

iy (3117)


sum sdot=j


sum sdot=j


sum sdot=j



38

sum sdot=j

jtjBw yqt Bw

Jj isin (3121)

sum sdot=j

jtjBf yqt Bf

Jj isin (3122)

sum sdot=j

jIjBy yqI By

Jj isin (3123)

1=sumj

jy (3124)

sum sdot=k


sum sdot=k


sum sdot=k


sum sdot=k

ktkPw yqt Pw

Kk isin (3128)

sum sdot=k

ktkPf yqt Pf

Kk isin (3129)

sum sdot=k

kIkPy yqI Py

Kk isin (3130)

sum sdot=k

kIkPz yqI Pz

Kk isin (3131)

sum sdot=k

kIkPt yqI Pt

Kk isin (3132)

sum sdot=k

kIkP yqI P

ω

ω Kk isin (3133)

1=sumk

ky (3134)


sum sdot=l


sum sdot=l


sum sdot=l


sum sdot=l

ltlRw yqt Rw

Ll isin (3139)

sum sdot=l

ltlRf yqt Rf

Ll isin (3140)

sum sdot=l

lIlRy yqI Ry

Ll isin (3141)


39

sum sdot=l

lIlRz yqI Rz

Ll isin (3142)

sum sdot=l

lIlRt yqI Rt

Ll isin (3143)

sum sdot=l

lIlR yqI R

ω

ω Ll isin (3144)

1=suml

ly (3145)

sum sdot=p


sum sdot=p


sum sdot=p


sum sdot=p

ptpFCw yqt FCw

Ppisin (3149)

sum sdot=p

ptpFCf yqt FCf

Ppisin (3150)

sum sdot=p

pIpFCy yqI FCy

Ppisin (3151)

sum sdot=p

pIpFCz yqI FCz

Ppisin (3152)

sum sdot=p

pIpFCt yqI FCt

Ppisin (3153)

sum sdot=p

pIpFC yqI FC

ω

ω Ppisin (3154)

1=sump

py (3155)



40



41


L= 300 m

H =

82

5 m

h =

75

mf

= 0

75

m

L = 100

0 m

L



42


Spremenljivke x

Spodnja meja xLO

Začetna točka xL

Zgornja meja xUP




j q Phk q Rh


prereza q CAi q BA

j q PAk q RA


q Chi = q Bh

j = q Phk = q Rh

l = q FChp = 96 114 133 152 171 190 230 250 270 290 310 330

350 390 440 490 540 590 640 690 790 890 990

q CAi = q BA

j = q PAk = q RA

l = q FCAp =212 253 314 388 453 538 643 768 868 973

1130 1240 1330 1430 1590 1780 1980 2120 2260 2420 2600 2860 3210 3470






43






44



MINLP Podfaza Masa


Fasadni steber


1 1NLP 23011 1581 1402 800 31701 27868 4002 2040 6417


1MILP 24779 32011 28234 2897 1676 5866 2

2NLP 23847 18 16 8 29309 27114 3111 1783 5933 2MILP 26264 33627 29138 3259 1851 5972

3 3NLP 24119 18 16 10 29226 27136 3111 1782 5933


3MILP 28057 32100 28600 3880 2120 6430 4

4NLP 28057 19 16 12 H 900 H 800 H 160 H 100 H 220 4MILP 28825 32100 28600 3880 2120 6430

5 5NLP 28825 19 18 12 H 900 H 800 H 160 H 100 H 220



45

14 x 214 m300 m

18 x 555 m

1000 m

82

5 m

5 x

15

m


HE

A 9

00

HE

A 9

00

14 x 214 m

300 m

HEA 160

HEA 800 HEA 800

82

5 m

5 x

15

0 m

HEA 100

07

5 m



46









47




3283097002563540 +sdot= CCf ht (43)

2492093001550810 +sdot= CCw ht (44)



( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= CfC

cfCCfCCwCfC

Cy

thtb

thttbI (46)

( )12

2

12

2 3

3

CwCfCCCf

Cz

tthbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (47)

( ) ( ) 3

3 2

3

12

3


( )2

24 CfC

CzC th




3283097002563540 +sdot= BBf ht (411)

2492093001550810 +sdot= BBw ht (412)


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= BfB

BfBBfBBwBfB

By

thtb

thttbI (414)


3283097002563540 +sdot= PPf ht (416)

2492093001550810 +sdot= PPw ht (417)


48


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= PfP

PfPPfPPwPfP

Py

thtb

thttbI (419)

( )12

2

12

2 3

3

PwPfPPPf

Pz

ttbbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (420)

( ) ( ) 3

3 2

3

12

3


( )2

24 PfP

PzP th




3283097002563540 +sdot= RRf ht (424)

2492093001550810 +sdot= RRw ht (425)


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= RfR

RfRRfRRwRfR

Ry

thtb

thttbI (427)

( )12

2

12

2 3

3

RwRfRRRf

Rz

ttbbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (428)

( ) ( ) 3

3 2

31

231


( )2

24 RfR

RzR th



3283097002563540 +sdot= FCFCf ht (432)

2492093001550810 +sdot= FCFCw ht (433)


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= FCfFC

FCfFCFCfFCFCwFCfFC

FCy

thtb

thttbI (435)

( )12

2

12

2 3

3

FCwFCfFCFCFCf

FCz

ttbbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (436)

( ) ( ) 3

3 2

31

231


( )2

24 FCfFCFCz

FC thI



49










50


L= 300 m

H =

82

5 m

h =

75

mf =

07

5 m

L = 1000 m

L



51


Spremenljivke x

Spodnja meja xLO

Začetna točka xL

Zgornja meja xUP




q Bhj q Ph

k q Rhl q FCh


j q PAk q RA

l q FCAp


q Chi = q Bh

j = q Phk = q Rh

l = q FChp = 80 100 120 140 160 180 200 220 240 270 300

330 360 400 450 500 550 600

q CAi = q BA

j = q PAk = q RA

l = q FCAp = 76 103 132 164 201 239 285 334 391 459 538

626 727 845 988 1160 1340 1560










52



MINLP Podfaza Masa


Fasadni steber


1 1NLP 33790 5831 1401 932 15397 14895 668 581 9829


1MILP 37325 16692 15685 646 581 9829 2

2NLP 34611 60 16 14 15089 14778 594 581 8938 2MILP 37604 16692 15698 652 581 9917

3 3NLP 34791 60 16 18 15074 14784 594 581 8938


3MILP 36849 15600 15600 760 1030 988 4

4NLP 36849 60 16 12 I 600 I 600 I 80 I 100 I 450 4MILP 37212 15600 15600 760 1030 988

5 5NLP 37212 60 18 12 I 600 I 600 I 80 I 100 I 450


53


14 x 214 m

300 m

59 x 170 m

1000 m

5 x

15

m8

25

m



54

300 m

14 x 214 m

IPE

600

IPE 80

IPE 600

5 x

150

m

IPE

600

825

m

IPE 100IPE 600

075

m



55








56




57

L= 300 m

H =

82

5 m

h =

75

mf =

07

5 m

L = 1000 m

L



Spremenljivke x

Spodnja meja xLO

Začetna točka xL

Zgornja meja xUP




58



j q Phk q Rh

l q FChp in


j q PAk q RA



i = q Bhj = q FCh

p = 96 114 133 152 171 190 230 250 270 290 310 330

350 390 440 490 540 590 640 690 790 890 990

q CAi = q BA

j = q FCAp = 212 253 314 388 453 538 643 768 868 973 1130 1240

1330 1430 1590 1780 1980 2120 2260 2420 2600 2860


k = q Rhl = 80 100 120 140 160 180 200 220 240 270 300

330 360 400 450 500 550 600

q PAk = q RA

l = 76 103 132 164 201 239 285 334 391 459 538










59



MINLP Podfaza Masa


Fasadni steber


1 1NLP 24211 1357 1402 800 33928 34256 4172 3510 6417


1MILP 25987 33374 34256 2319 1886 5865 2

2NLP 25532 17 16 8 28535 34256 2777 2388 5933 2MILP 35615 30874 34256 2499 2117 5973

3 3NLP 29553 25 16 8 27978 34256 1683 1358 5933


3MILP 25783 32100 32100 3340 2850 6430 4

4NLP 25783 16 16 10 H 900 H 900 I 220 I 200 H 220 4MILP 26273 34700 32100 3340 2850 6430

5 5NLP 26273 16 16 10 H 1000 H 900 I 220 I 200 H 220



60


300 m

14 x 214 m

15 x 667 m

1000 m

825

m4

x 1

87 m



61

HE

A 9

00

HE

A 9

00

14 x 214 m

300 m

IPE 220

HEA 900 HEA 900 IPE 200

4 x

18

7 m

82

5 m

07

5 m




62





63



[kNm2] L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

05 43804 86361 146242 206968 291708 52059 89943 152799 209623 293184 10 46196 94031 159452 243968 373827 52059 97359 173741 251499 373827 15 52532 105706 179963 298897 479199 56536 107907 206687 282053 479199 20 53135 117212 197704 332308 592295 58663 132096 217465 338629 592295 25 58677 124258 210788 380122 713116 64889 124258 215215 382769 724608

Viš

ina

H=5

0 [m

]

30 78687 131751 237745 433839 837705 64383 136606 239695 436486 826212 05 63394 105145 167301 232713 327350 76751 118618 162214 247597 327824 10 68827 127030 185454 286032 433787 79441 121051 190289 295152 431842 15 68441 141094 220943 355391 520156 80223 136623 232977 337287 539905 20 72921 151451 248622 399581 644214 84054 147720 235442 372654 649569 25 91498 169397 242347 477312 750551 86999 161296 252359 414268 770300

Viš

ina

H=7

5 [m

]

30 85902 173623 273917 505061 874609 87197 165771 280574 483628 876636 05 90004 134635 198899 300827 422751 10967 160352 210503 308650 403946 10 93834 146633 244749 356983 581643 10904 164341 248640 341851 580793 15 98312 158049 253878 392801 721289 11817 177374 267598 402409 741594 20 10044 167638 276478 453328 859648 11887 183115 282376 471788 891006 25 10391 183786 307830 528986 101239 11887 193732 307067 525877 104042

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 11823 201777 343180 589513 118048 11983 204794 342417 601536 120905



q [kNm2]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

05 1686 16126 16166 12228 13248 1986 18126 16186 12226 13246 10 2086 16126 14166 14226 19246 1986 16128 16186 14246 19246 15 1986 15126 14166 16226 26246 19106 18126 17186 16206 26246 20 2386 17126 16168 19228 33246 22106 19128 18186 20208 33246 25 2886 18126 16168 23226 40246 2288 18126 18166 24208 40246

Viš

ina

H=5

0 [m

]

30 2588 19126 19168 27226 47246 2688 20128 20186 28208 47246 05 1488 15128 14168 12228 132610 1688 13128 14168 13228 13248 10 1688 17128 14168 15208 20268 1788 18128 15168 15228 20248 15 1988 181210 17168 20208 25268 1888 181212 181612 182012 262410 20 1988 171212 19168 23208 32268 1888 191212 17168 212014 322412 25 20108 191212 16168 292012 38268 1588 191212 18168 242014 392410

Viš

ina

H=7

5 [m

]

30 1888 201212 19168 312012 45268 1888 191212 191612 292014 452410 05 14810 141410 151610 142214 182412 15812 141610 131810 152010 171612 10 14810 151410 171614 172012 272412 14810 161210 171612 162012 272612 15 16810 141410 161614 202012 332412 15810 161610 171612 202012 342414 20 16810 171410 171610 242012 412410 17810 191212 171612 252014 422412 25 17810 171412 191614 292012 492412 17810 201212 191612 292014 502414

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 14810 191214 221614 332012 582412 18810 211212 221612 342014 592614


64




65



q [kNm2]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m] L=10

[m] L=20 [m]

L=30 [m]

05 29390 63373 113372 33765 62119 116031

10 34058 78485 139979 39787 80123 143702

15 34825 93391 166785 43205 92559 177956

20 39038 93925 204737 45627 99675 210833

25 42725 103116 240569 46411 102510 240569

Viš

ina

H=

50

[m

]

30 42959 120572 281065 48636 119664 279793 05 47295 79741 140618 61335 90932 152350

10 47862 100836 184360 61409 98985 195391

15 51856 106055 224991 61916 114231 233578

20 55533 128956 272185 65789 127856 277701

25 59555 141461 318851 66530 147062 329882

Viš

ina

H=

75

[m

]

30 59555 156191 365945 71158 159593 368488

05 77959 131692 192818 95482 150215 221770 10 84442 138305 257932 97763 159698 280367 15 87235 158553 325238 97763 181443 344064 20 93001 177291 389903 102820 191919 406729 25 94241 202889 451599 103427 212667 468426

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 93137 244471 513297 109668 239265 535733




q [kNm2]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m] L=10

[m] L=20 [m]

L=30 [m]

05 30106 23146 15168 2886 24146 19168

10 33106 22148 22166 27106 22146 22166

15 34106 22148 29166 281010 22146 31166

20 32108 22146 37166 341010 24146 38168

25 331010 25148 45166 351010 25128 45166

Viš

ina

H=

50

[m

]

30 32108 27148 53166 34108 28148 53166 05 2588 21128 181610 2488 211210 191612 10 2488 221210 261612 2388 20128 281612 15 2988 23128 341810 25810 25128 361612 20 3088 271210 431612 27810 271210 441612 25 29810 311210 511612 2888 321410 531612

Viš

ina

H=

75

[m

]

30 29810 361210 601612 29810 371210 601612 05 191010 232010 261610 201010 222012 282014 10 211010 252010 361614 201010 262012 401614 15 251012 292010 481614 201010 332012 511614 20 251012 352012 591614 211012 392012 621614 25 271012 422012 701614 271012 452010 731614

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 251210 502010 811614 281012 522010 851614


66


HEA HEA

HE

A

HE

A

Slika 61 Podtip 3a

IPE IPE

HE

A

HE

A

Slika 62 Podtip 3b


67

IPE

IPE

IPE IPE

Slika 63 Podtip 3c



68



[kNm2] L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

05 27658 58642 113372 206035 272176 32948 60355 116031 204023 279382 10 28704 74654 132177 229668 345848 33669 72066 134743 237883 345848 15 32569 80892 164886 254464 449305 36805 80341 167075 261460 450812 20 35709 87074 193339 285320 546103 37166 89648 205018 288209 547469 25 39225 97234 201546 314288 653893 42113 100282 218811 316612 655165

Viš

ina

H=5

0 [m

]

30 39635 107355 213835 353179 752057 42062 110121 225944 355188 752057 05 45708 77038 133451 226330 310057 58763 87977 134220 237188 326780 10 47404 95557 171033 276552 388448 58825 96282 175590 271373 405170 15 49283 103235 211728 300170 499758 59343 102544 207245 291879 500831 20 52732 112222 237914 338562 603273 64205 118543 223507 336821 604890 25 56987 120193 248758 387161 720173 64946 125863 248758 388063 721868

Viš

ina

H=7

5 [m

]

30 57971 137338 253761 432147 826509 68585 136569 257828 438448 826509 05 72055 115727 170413 285729 365391 88281 144706 195119 286835 389903 10 73876 123895 217855 328464 513581 90102 147721 221520 326594 525606 15 81881 134044 236758 375398 674605 92976 151115 246421 391729 665760 20 80262 149768 256901 426076 826088 98142 152751 278654 444630 844526 25 82384 153348 274442 507574 958331 10026 161757 289199 501959 922058

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 89134 164875 295214 568007 110846 10365 166473 297780 585336 111171



q [kNm2]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

05 3186 22126 15168 14226 12246 2886 23126 19168 13206 12248 10 3586 23126 21166 13228 18246 2986 23126 21166 12208 18246 15 3486 22126 29166 13228 25246 3388 23126 29166 14206 25246 20 3488 21126 16166 16208 31246 3386 21128 17166 16208 31246 25 3586 22126 15166 19208 38246 3588 23126 12168 19208 38246

Viš

ina

H=5

0 [m

]

30 3488 23128 14166 22208 44246 3486 24126 14166 22208 44246 05 2588 21128 18168 12208 12248 2488 21128 181610 13228 13248 10 2588 22128 25168 12208 18248 2388 20128 19168 13228 19248 15 2988 22128 14168 152010 25248 25810 22128 131610 15228 252410 20 2988 21128 13168 182010 31248 27810 23128 15168 192210 312410 25 3188 24128 14168 222010 38248 2888 25128 14168 23228 38248

Viš

ina

H=7

5 [m

]

30 29810 181210 14168 252010 44248 29810 18128 161610 272210 44248 05 21810 171210 221610 132212 152410 20810 171210 271610 132210 162612 10 21810 191210 151610 142012 232412 20810 171210 141610 152012 252612 15 26810 191210 151610 182012 322412 21810 181210 141610 192212 332610 20 25810 191210 151610 232012 402410 21812 191210 141610 242012 412610 25 26810 191210 161610 272012 472412 24812 201210 181610 282210 452612

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 241010 201210 181610 312210 552412 24812 191210 181610 322012 552610



69



q [kNm2]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

05 79816 13757 204023 18126 15168 13206

10 94006 161997 237880 18126 16188 12208

15 104112 173639 17128 15186

20 114167 205018 19126 17166

25 118464 218811 18126 12168

Viš

ina

H=

50

[m

]

30 127484 225944 20126 14166 05 114237 166013 237188 18128 141610 13228

10 114352 181183 271373 18128 15168 13228

15 135461 207245 191212 131610

20 153196 223507 191212 15168

25 167632 248758 211212 14168

Viš

ina

H=

75

[m

]

30 172577 257828 211212 161610

05 155570 208428 286830 161210 161810 132210 10 160684 221520 161212 141610 15 164263 246421 161212 141610 20 169048 278654 191212 141610 25 183876 289199 211212 181610

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 196693 297780 211212 181610


70



q [kNm2]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

05 65362 123928 247838 23126 17186 32206

10 75949 142326 387574 20126 20186 51206

15 85784 174927 20126 25186

20 96425 214063 19128 31186

25 102365 244140 21126 37186

Viš

ina

H=

50

[m

]

30 111796 284333 19128 441810 05 97016 148585 286539 18128 17168 30228

10 101454 175590 456117 20128 19168 48208

15 123056 207908 221210 24168

20 127704 255221 211210 31168

25 134312 299824 221210 36168

Viš

ina

H=

75

[m

]

30 136569 342877 18128 42168

05 144706 196049 340493 171210 181810 292012 10 147721 224931 171210 201812 15 151115 259776 181210 251810 20 152751 303941 191210 311610 25 161757 360526 201210 361810

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 166473 410715 191210 421810


71





72

HEA

0

100

200

300

400

500

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 05 kNm2

HEA

0

150

300

450

600

750

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 10 kNm2

HEA

0

150

300

450

600

750

900

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 15 kNm2

HEA

0

200

400

600

800

1000

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 20 kNm2

HEA

0

200

400

600

800

1000

1200

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 25 kNm2

HEA

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 30 kNm2



73

IPE

0

50

100

150

200

250

10 15 20 25 30Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 05 kNm2

IPE

0

50

100

150

200

250

300

10 15 20 25 30Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 10 kNm2

IPE

0

75

150

225

300

375

10 15 20 25 30Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 15 kNm2

IPE

0

100

200

300

400

500

10 15 20 25 30Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 20 kNm2

IPE

0

100

200

300

400

500

10 15 20 25 30Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 25 kNm2

IPE

0

100

200

300

400

500

600

10 15 20 25 30Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 30 kNm2



74

IPE+HEA

0

100

200

300

400

500

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 05 kNm2

IPE+HEA

0

100

200

300

400

500

600

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 10 kNm2

IPE+HEA

0

150

300

450

600

750

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 15 kNm2

IPE+HEA

0

200

400

600

800

1000

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 20 kNm2

IPE+HEA

0

200

400

600

800

1000

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 25 kNm2

IPE+HEA

0

200

400

600

800

1000

1200

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 30 kNm2




75



76

H = 50 m

0

150

300

450

600

750

900

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]L = 500 mL = 400 mL = 300 mL = 200 mL = 100 m

HEA

H = 75 m

0

150

300

450

600

750

900

1050

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]

L = 500 mL = 400 mL = 300 mL = 200 mL = 100 m

HEA

H = 100 m

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]

L = 500 mL = 400 mL = 300 mL = 200 mL = 100 m

HEA



77

IPE

0

50

100

150

200

250

300

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]L = 300 mL = 200 mL = 100 m

H = 50 m

H = 75 m

0

75

150

225

300

375

450

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]

L = 300 mL = 200 mL = 100 m

IPE

H = 100 m

0

100

200

300

400

500

600

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]

L = 300 mL = 200 mL = 100 m

IPE



78

H = 50 m

0

100

200

300

400

500

600

700

800

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]L = 500 mL = 400 mL = 300 mL = 200 mL = 100 m

IPE+HEA

H = 75 m

0

150

300

450

600

750

900

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]

L = 500 mL = 400 mL = 300 mL = 200 mL = 100 m

IPE+HEA

H = 100 m

0

200

400

600

800

1000

1200

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]

L = 500 mL = 400 mL = 300 mL = 200 mL = 100 m

IPE+HEA




79




80

H = 50 m

1

3

5

7

9

11

10 20 30 40 50

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


HEA

2

2

22

22

H = 75 m

1

3

5

7

9

11

10 20 30 40 50

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


HEA

2

2

22

22

H = 100 m

1

3

5

7

9

11

10 20 30 40 50

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


HEA

2

2

22

22




81

H = 50 m

1

2

3

4

5

6

7

10 15 20 25 30

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


IPE

2

2

22

22

H = 75 m

1

2

3

4

5

6

7

10 15 20 25 30

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


IPE

2

2

22

22

H = 100 m

1

2

3

4

5

6

7

10 15 20 25 30

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


IPE

2

2

22

22




82

H = 50 m

1

3

5

7

9

11

10 20 30 40 50

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


IPE+HEA

2

2

2

2

22

H = 75 m

1

3

5

7

9

11

10 20 30 40 50

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji [

m]


IPE+HEA

2

2

2

2

22

H = 100 m

1

3

5

7

9

11

10 20 30 40 50

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


IPE+HEA

2

2

2

2

22




83




84

H = 50 m

0

50

100

150

200

250

300

350

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]HEAIPEIPE+HEA

q = 05 kNm2

H = 50 m

0

75

150

225

300

375

450

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 10 kNm2

H = 50 m

0

100

200

300

400

500

600

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 15 kNm2

H = 50 m

0

150

300

450

600

750

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]HEAIPEIPE+HEA

q = 20 kNm2

H = 50 m

0

150

300

450

600

750

900

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 25 kNm2

H = 50 m

0

200

400

600

800

1000

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 30 kNm2




85

H = 75 m

0

75

150

225

300

375

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 05 kNm2

H = 75 m

0

100

200

300

400

500

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 10 kNm2

H = 75 m

0

100

200

300

400

500

600

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 15 kNm2

H = 75 m

0

150

300

450

600

750

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]HEAIPEIPE+HEA

q = 20 kNm2

H = 75 m

0

150

300

450

600

750

900

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 25 kNm2

H = 75 m

0

200

400

600

800

1000

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 30 kNm2




86

H = 100 m

0

100

200

300

400

500

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 05 kNm2

H = 100 m

0

100

200

300

400

500

600

700

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 10 kNm2

H = 100 m

0

150

300

450

600

750

900

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 15 kNm2

H = 100 m

0

200

400

600

800

1000

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]HEAIPEIPE+HEA

q = 20 kNm2

H = 100 m

0

200

400

600

800

1000

1200

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 25 kNm2

H = 100 m

0

250

500

750

1000

1250

1500

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 30 kNm2




87




88

H = 50 m

10

15

20

25

30

35

10 20 30 40 50Razpon [m]

Šte

vilo

okv

irje

v [k

om

] 1

HEAIPEIPE+HEA

q = 15 kNm2

H = 50 m

10

15

20

25

30

35

40

10 20 30 40 50Razpon [m]

Šte

vilo

okv

irje

v [k

om

] 1

HEAIPEIPE+HEA

q = 20 kNm2

H = 50 m

10

15

20

25

30

35

40

45

50

10 20 30 40 50Razpon [m]

Šte

vilo

okv

irje

v [k

om

] 1

HEAIPEIPE+HEA

q = 25 kNm2



89



90

120

140

160

180

200

220

240

260

30 32 34 36 38 40Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 50 m q = 05 kNm2

100

150

200

250

300

350

400

30 32 34 36 38 40

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 50 m q = 10 kNm2

80

100

120

140

160

180

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 50 m q = 15 kNm2

80

100

120

140

160

180

200

220

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 50 m q = 20 kNm2

100

120

140

160

180

200

220

240

260

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 50 m q = 25 kNm2

100

130

160

190

220

250

280

310

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 50 m q = 30 kNm2



91

130

160

190

220

250

280

310

30 32 34 36 38 40

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 75 m q = 05 kNm2

150

200

250

300

350

400

450

30 32 34 36 38 40

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 75 m q = 10 kNm2

120

140

160

180

200

220

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 75 m q = 15 kNm2

120

140

160

180

200

220

240

260

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 75 m q = 20 kNm2

130

160

190

220

250

280

310

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 75 m q = 25 kNm2

120

160

200

240

280

320

360

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 75 m q = 30 kNm2



92

190

220

250

280

310

340

370

30 32 34 36 38 40

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 100 m q = 05 kNm2

140

160

180

200

220

240

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 100 m q = 10 kNm2

140

160

180

200

220

240

260

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 100 m q = 15 kNm2

130

160

190

220

250

280

310

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 100 m q = 20 kNm2

150

200

250

300

350

400

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 100 m q = 25 kNm2

150

200

250

300

350

400

450

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 100 m q = 30 kNm2



93


05

1

15

2

25

3

22 24 26 28 30 32

Razpon [m]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

Ob

težb

a [k

Nm2

]




94



95




96



97



98






99









100





101








102







103






104







105










106




107







108
















109





DELOVNE IZKUŠNJE



V


VI


VII


VIII






IX






X




XI











XII







fasadnega stebra






q Cfti


q Bftj


q Pftk


q Rftl


q FCftp


q Cwti


q Bwtj


q Pwtk


q Rwtl


q FCwtp


q CtIi


XIII

stebra

q PtIk


lege

q RtIl


prečke

q FCtIp


fasadnega stebra

q CyIi


stebra

q ByIj


osi nosilca

q PyIk


osi lege

q RyIl


osi prečke

q FCyIp



q CzIi


stebra

q PzIk


osi lege

q RzIl


prečke

q FCzIp



q CIi



q PIk



q RIl



q FCIp




elementa

XIV



XV




XVI











XVII


XVIII



1



2





3





4



5






6





7







8




9





10







11




12





13






iy (21)


14


iy (22)


iy (23)


0leminus ik yy (24)







isinisink

NIii

BIii BIyy

kk

(26)


ik yiNI Kk 21=



15


pp ( ) 0xh =


bCxBy le+





16

min ( )xyc fz += T

pp ( ) 0xh =

( ) 0xg le

( ) axA le

Ey le e (MINLP-MS)

( ) rxRDy le+e

( ) kdLKy le+ cne

( ) mdMPy le+ mat

( ) ndNPy le+ st













17


mat2 y



sumisin

=Ii

matii

mat yqd (27)

1=sumisinIi

matiy (28)



1 yst

2 yst

3 yst


sumisin

=Jj

stjj

st yqd (29)

1=sumisinJj

stjy (210)








Pettersson (1995)


18



19



pp ( ) 0xh =

( ) 0xg le (NLP)K

bCxBy le+K



min α+= ycTKz

p p




bCxBy le+


20


ii NI

k

k k




1== kik yiBI 0== k

ik yiNI k=1K

=gt+ltminus

==0λ if 0

0λ if 1

0λ if 1

kj

kj

kj

kjj

kjj

k ttT j = 12N


STOP

Superstruktura


Podproblem

Zvezno optimiranje


Glavni problem


Konvergenca

DA

NE

MILP


NLP

MINLP



21









22

( ) ( ) ( )[ ] ( )aakk

ak



( ) ( ) ( ) ( )aakk

ak






( ) ( )sumisin

=Aa

aff

nlnl xx (213)



( ) ( ) ( ) ( )aaakk

ak



( ) sumisin

++=Aa





23




( ) ( ) ( ) ( )aafkaa

kka



( ) ( ) ( )[ ] ( )aah

kakk

ak



( ) ( ) ( ) ( )aag

kakk

ak



0 gegka

hka



w hka w g



+++++=KkAa

kakaKkAa

kakaAa KkAa

kakaaK swswswfz

1

gg

1

hh

1

fflinT αxyc (220)



( ) sumisin

le++Aa





24



kKka



ak

ak



ak



===or

gtgtgt 0 0 0


1


h

f

g

h


ka

www

ka

microλ (225)




+ +++++=KkAa

kakaKkAa

kakaAa KkAa

kakaaK swswswfz

1

gg

1

hh

1

fflinT1 αxyc


( ) ( ) ( ) ( )aafkaa

kka



( ) ( ) ( )[ ] ( )aah

kakk

ak



( ) ( ) ( ) ( )aag

kakk

ak


uxxxgxg aisinA k=1K


25


( ) sumisin

le++Aa

af UBlinT αxyc


bCxBy le+ (MILP)K+1

Celoštevilski rez

y y BAaa BA

aa NA

k

k k


Meje spremenljivk


y isin Y =01 a



ak yaNA k=1K

Konveksni test

===or

gtgtgt 0 0 0


1


h

f

g

h


ka

www

ka

microλ



26


















27




e

e

e

e

e

e

P

P

P

H


e re r

e r

f

f

f

f

f

f

L L

L



28


CI

w

t

L bC

H

L

BI

CA h

BA

q

f

B

fc

z

y

twc

hC

A CIC

AB BI

bB

tf wt

Bh

z

y

B

B

h

A C A B

z


29429875751000761045782

10189751098835105913310768182233

465cedil769712




CCC

CCCCC

hhh

hhhhb (32)


CCCCCf hhhht (33)


CCCw hht (34)



( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= CfC

cfCCfCCwCfC

Cy

thtb

thttbI (36)

( )12

2

12

2 3

3

CwCfCCCf

Cz

tthbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (37)

( ) ( ) 3

3 2

3

12

3


( )2

24 CfC

CzC th



29


29429875751000761045782

10189751098835105913310768182233

465cedil769712




BBB

BBBBB

hhh

hhhhb (310)


BBBBBf hhhht (311)


BBBw hht (312)


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= BfB

BfBBfBBwBfB

By

thtb

thttbI (314)

29429875751000761045782

10189751098835105913310768182233

465cedil769712




PPP

PPPPP

hhh

hhhhb (315)


PPPPPf hhhht (316)


PPPw hht (317)


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= PfP

PfPPfPPwPfP

Py

thtb

thttbI (319)

( )12

2

12

2 3

3

PwPfPPPf

Pz

ttbbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (320)

( ) ( ) 3

3 2

3

12

3


( )2

24 PfP

PzP th



29429875751000761045782

10189751098835105913310768182233

465cedil769712




RRR

RRRRR

hhh

hhhhb (323)


RRRRRf hhhht (324)


RRRw hht (325)


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= RfR

RfRRfRRwRfR

Ry

thtb

thttbI (327)

( )12

2

12

2 3

3

RwRfRRRf

Rz

ttbbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (328)


30

( ) ( ) 3

3 2

3

12

3


( )2

24 RfR

RzR th


29429875751000761045782

10189751098835105913310768182233

465cedil769712




FCFCFC

FCFCFCFCFC

hhh

hhhhb (331)




FCFCFCw hht (333)


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= FCfFC

FCfFCFCfFCFCwFCfFC

FCy

thtb

thttbI (335)

( )12

2

12

2 3

3

FCwFCfFCFCFCf

FCz

ttbbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (336)

( ) ( ) 3

3 2

3

12

3


( )2

24 FCfFCFCz

FC thI



( ) 222 fLLB += (339)

( )( )2arctan Lf=α (340)







31


ewq hr sdot= (346)


ρsdot= Rr Ag (348)







[ ]cmep 250le (356)


[ ]cmer 250le (360)





32

h

IK C

C = (361)

s

IK B

B = (362)

BC

CS

KK

K

sdot+=

511η (363)

( )( ) 2121

2121

60801

120201

ηηηηηηηηβ


SS

SS

sway (364)




( )( ) 10

2 2

2

le

sdot

sdotsdot

sdotsdot+sdot+sdot

h

IELgq

L

hP

sway

Cygzq

βπγγ

(365)

BC

CNS

KK

K

sdot+=

501η (366)


NSNSswaynon (367)


( ) ( )( )

( )( ) 0

2 2

216

53

MC

yCygzq

h

fI

CAB

CBhP

CAB

ALgq

γγγ

sdotsdotsdot

lesdot+sdot

+sdotsdot+sdot+sdot


hfA +=1 AL

h

I

IB

BCy

By +

+sdotsdot= 12


( ) ( )( )

( )( )

( )0

2

3

041

216

53

M

yCwCgzq fthh

CAB

CBhP

CAB

ALgq

γγγ

sdot

sdotsdotsdotle

sdot+sdot+sdotsdot+


(369)

( )02 M

yCgq fALgq

L

hP

γγγ sdot

lesdotsdot+sdot

+sdot (370)



33


( )[ ] ( )( )[ ] 2222 2015020150

1


αακ (371)

1 λ

βsdot

sdot= minus

CCy

swaynon

AI

hD (371 a)

( )( )

sdotminus

sdot+sdotsdot

sdotsdotsdot+sdot

sdot

sdotsdotsdot=

22 2

2

2

2

2

2

2

1h

Ch

CIE

IGhk

I

I

hk

IECM

Cz

Ct

Cz

CCzCR π

π ω (372)

CCR

yCy

CCR

yCy

CCR

yCyLT

CCR

yCy

CCR

yCyLT

LT

hM

fI

hM

fI

hM

fI

hM

fI

hM

fI

sdotsdotsdot

minus

sdotsdotsdot

+

minus

sdotsdotsdot

sdot+sdot+

sdotsdotsdot

+

minus

sdotsdotsdot

sdot+sdot

=

2

2220

2150

220

2150

1

αα

κ

(373)

( ) ( ) ( )( )

( )( )

( ) 012

216

53

2

1

2

1

lesdotsdotsdotsdot

sdot+sdot+sdotsdot+


+sdotsdot

sdotsdot+sdot+sdot

MCyCyLT

gzq

MyC

gzq

hfICAB

CBhP

CAB

ALgq

fA

Lgq

L

hP

γκ

γγ

γκ

γγ

(374)


( ) ( )( )

( )( ) 0

2 2

216

53

MB

yBygzq

h

fI

CAB

CBhP

CAB

ALgq

γγγ

sdotsdotsdot

lesdot+sdot

+sdotsdot+sdot+sdot


( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )0

2

3

041)sin(

216

53)cos(

2M

yBwBgzqgzq fthh

CAB

CBhP

CAB

ALgqLgq

L

hP

γα

γγα

γγsdot

sdotsdotsdotle

sdot

sdot+sdot+sdotsdot+



+sdot

(376)

( ) ( )( )

( )( )

( )0

2

)sin(2216

53

M

yBgzqgzq fALgq

L

hPh

CAB

CBhP

CAB

ALgq

γα

γγγγ sdotlesdot

sdotsdot+sdot+sdot+

sdot+sdot+sdotsdot+


(377)


34

( ) ( )( )

( )( )

( )

( ) ( )( )

( )( )

( ) 012

216

53

)sin(2216

53

1

2

1

2

lesdotsdotsdot

sdot+sdot+sdotsdot+


+

+sdot

sdotsdotsdot+sdot

+sdot+

sdot+sdot+sdotsdot+


MByBy

gzq

MyB

gzqgzq

hfICAB

CBhP

CAB

ALgq

fA

Lgq

L

hPh

CAB

CBhP

CAB

ALgq

γ

γγ

γ

αγγγγ

(378)


( ) ( )0

222

)cos(1057010570MP

yPyfpvpnqfprPg h

fIeeweseemA

γαγργ

sdotsdotsdot


( )0

22

)sin(10570MP

yPzfprnq h

fIeems

γαγ

sdotsdotsdot


( ) ( )( )

( )( ) 01

2

)sin(10570

2

)cos(1057010570

1

2

1

22

lesdotsdotsdot


+sdotsdotsdot


MPyPz

fprnq

MPyPy

fpvpnqfprPg

hfI

eems

hfI

eeweseemA

γαγ

γαγργ

(381)

( ) ( )0

3

041)cos(56705670

M

yPwPfpvpnqfPg

ftheeweseA

γαγργ

sdot



( )0

2 210570

MR

yRyfrhq h

fIeew

γγ

sdotsdotsdot


( )0

2 210570

MR

yRzfrrRg h

fIeemA

γργ

sdotsdotsdot


( )( )

( )( ) 01

2

10570

2

10570

1

2

1

2

lesdotsdotsdot



MPyPz

frrRg

MRyRy

frhq

hfI

eemA

hfI

eew

γργ

γγ

(385)

( )0

3

0415670

M

yRwRfrhq

ftheew

γγ

sdot



35

( )0

3

25670

M

yRfRfrrRg

ftbeemA

γργ

sdot



( )0M

FCzFCprFCg

fyAHemA


( )0

3

041

2

1

M

yFCwFCFCphq

fthHew

γγ

sdot


( )0

2 2

8

1

MFC

yFCyFCrhq h

fIHew

γγ

sdotsdotsdot


( ) ( )( ) 01

2

81

1

2

1

lesdotsdotsdot

sdotsdotsdotsdot+


MFCyFCy

FCrhq

MFCz

FCprFCg

hfI

Hew

fyA

HemA

γγ

γκργ

(391)


( ) ( )( ) ( )


sdot+


=∆ hLgq

hhPVUIE

LhhPUV

IE

hw

Byw

Cy 83

123

6

1

3

1 2

(392)

( ) ( )( )CAB

ALgqU


16

532

( )

( )CAB

CBhPV w

sdot+sdot+sdotsdot=

2 (392 ab)

150hle∆ (393)

( )( ) ( )


= 3

384

52

8LgqhPVU

L

IE

Lw

Byfδ (394)

250Lf =δ (395)



( ) ( ) ( )[ ]250

)sin(42000269)sin( 4 f

PzfprPpn



36


( ) ( ) ( )[ ]250

42000269 4 f

Ryfrh


( ) ( ) ( )[ ]250

42000269 4 f

RzfrrR


( )250384

5

4FC

FCy

FCph H

IE

Hewle


(399)


sum=n

nyNOFRAME (3100)


sumsdot=m

myNOPURLIN 2 (3102)


sumsdot=r

ryNORAIL 2 (3104)







37

sum sdot=s


1=sums

sy (3107)






sum sdot=i


sum sdot=i


sum sdot=i


sum sdot=i

itiCw yqt Cw

Ii isin (3111)

sum sdot=i

itiCf yqt Cf

Ii isin (3112)

sum sdot=i

iIiCy yqI Cy

Ii isin (3113)

sum sdot=i

iIiCz yqI Cz

Ii isin (3114)

sum sdot=i

iIiCt yqI Ct

Ii isin (3115)

sum sdot=i

iIiC yqI C

ω

ω Ii isin (3116)

1=sumi

iy (3117)


sum sdot=j


sum sdot=j


sum sdot=j



38

sum sdot=j

jtjBw yqt Bw

Jj isin (3121)

sum sdot=j

jtjBf yqt Bf

Jj isin (3122)

sum sdot=j

jIjBy yqI By

Jj isin (3123)

1=sumj

jy (3124)

sum sdot=k


sum sdot=k


sum sdot=k


sum sdot=k

ktkPw yqt Pw

Kk isin (3128)

sum sdot=k

ktkPf yqt Pf

Kk isin (3129)

sum sdot=k

kIkPy yqI Py

Kk isin (3130)

sum sdot=k

kIkPz yqI Pz

Kk isin (3131)

sum sdot=k

kIkPt yqI Pt

Kk isin (3132)

sum sdot=k

kIkP yqI P

ω

ω Kk isin (3133)

1=sumk

ky (3134)


sum sdot=l


sum sdot=l


sum sdot=l


sum sdot=l

ltlRw yqt Rw

Ll isin (3139)

sum sdot=l

ltlRf yqt Rf

Ll isin (3140)

sum sdot=l

lIlRy yqI Ry

Ll isin (3141)


39

sum sdot=l

lIlRz yqI Rz

Ll isin (3142)

sum sdot=l

lIlRt yqI Rt

Ll isin (3143)

sum sdot=l

lIlR yqI R

ω

ω Ll isin (3144)

1=suml

ly (3145)

sum sdot=p


sum sdot=p


sum sdot=p


sum sdot=p

ptpFCw yqt FCw

Ppisin (3149)

sum sdot=p

ptpFCf yqt FCf

Ppisin (3150)

sum sdot=p

pIpFCy yqI FCy

Ppisin (3151)

sum sdot=p

pIpFCz yqI FCz

Ppisin (3152)

sum sdot=p

pIpFCt yqI FCt

Ppisin (3153)

sum sdot=p

pIpFC yqI FC

ω

ω Ppisin (3154)

1=sump

py (3155)



40



41


L= 300 m

H =

82

5 m

h =

75

mf

= 0

75

m

L = 100

0 m

L



42


Spremenljivke x

Spodnja meja xLO

Začetna točka xL

Zgornja meja xUP




j q Phk q Rh


prereza q CAi q BA

j q PAk q RA


q Chi = q Bh

j = q Phk = q Rh

l = q FChp = 96 114 133 152 171 190 230 250 270 290 310 330

350 390 440 490 540 590 640 690 790 890 990

q CAi = q BA

j = q PAk = q RA

l = q FCAp =212 253 314 388 453 538 643 768 868 973

1130 1240 1330 1430 1590 1780 1980 2120 2260 2420 2600 2860 3210 3470






43






44



MINLP Podfaza Masa


Fasadni steber


1 1NLP 23011 1581 1402 800 31701 27868 4002 2040 6417


1MILP 24779 32011 28234 2897 1676 5866 2

2NLP 23847 18 16 8 29309 27114 3111 1783 5933 2MILP 26264 33627 29138 3259 1851 5972

3 3NLP 24119 18 16 10 29226 27136 3111 1782 5933


3MILP 28057 32100 28600 3880 2120 6430 4

4NLP 28057 19 16 12 H 900 H 800 H 160 H 100 H 220 4MILP 28825 32100 28600 3880 2120 6430

5 5NLP 28825 19 18 12 H 900 H 800 H 160 H 100 H 220



45

14 x 214 m300 m

18 x 555 m

1000 m

82

5 m

5 x

15

m


HE

A 9

00

HE

A 9

00

14 x 214 m

300 m

HEA 160

HEA 800 HEA 800

82

5 m

5 x

15

0 m

HEA 100

07

5 m



46









47




3283097002563540 +sdot= CCf ht (43)

2492093001550810 +sdot= CCw ht (44)



( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= CfC

cfCCfCCwCfC

Cy

thtb

thttbI (46)

( )12

2

12

2 3

3

CwCfCCCf

Cz

tthbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (47)

( ) ( ) 3

3 2

3

12

3


( )2

24 CfC

CzC th




3283097002563540 +sdot= BBf ht (411)

2492093001550810 +sdot= BBw ht (412)


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= BfB

BfBBfBBwBfB

By

thtb

thttbI (414)


3283097002563540 +sdot= PPf ht (416)

2492093001550810 +sdot= PPw ht (417)


48


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= PfP

PfPPfPPwPfP

Py

thtb

thttbI (419)

( )12

2

12

2 3

3

PwPfPPPf

Pz

ttbbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (420)

( ) ( ) 3

3 2

3

12

3


( )2

24 PfP

PzP th




3283097002563540 +sdot= RRf ht (424)

2492093001550810 +sdot= RRw ht (425)


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= RfR

RfRRfRRwRfR

Ry

thtb

thttbI (427)

( )12

2

12

2 3

3

RwRfRRRf

Rz

ttbbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (428)

( ) ( ) 3

3 2

31

231


( )2

24 RfR

RzR th



3283097002563540 +sdot= FCFCf ht (432)

2492093001550810 +sdot= FCFCw ht (433)


( ) 2

3

3

222

12

2

12

2

minussdotsdotsdot+

sdotminussdot+

sdotsdot= FCfFC

FCfFCFCfFCFCwFCfFC

FCy

thtb

thttbI (435)

( )12

2

12

2 3

3

FCwFCfFCFCFCf

FCz

ttbbtI

sdotsdotminus+

sdotsdot= (436)

( ) ( ) 3

3 2

31

231


( )2

24 FCfFCFCz

FC thI



49










50


L= 300 m

H =

82

5 m

h =

75

mf =

07

5 m

L = 1000 m

L



51


Spremenljivke x

Spodnja meja xLO

Začetna točka xL

Zgornja meja xUP




q Bhj q Ph

k q Rhl q FCh


j q PAk q RA

l q FCAp


q Chi = q Bh

j = q Phk = q Rh

l = q FChp = 80 100 120 140 160 180 200 220 240 270 300

330 360 400 450 500 550 600

q CAi = q BA

j = q PAk = q RA

l = q FCAp = 76 103 132 164 201 239 285 334 391 459 538

626 727 845 988 1160 1340 1560










52



MINLP Podfaza Masa


Fasadni steber


1 1NLP 33790 5831 1401 932 15397 14895 668 581 9829


1MILP 37325 16692 15685 646 581 9829 2

2NLP 34611 60 16 14 15089 14778 594 581 8938 2MILP 37604 16692 15698 652 581 9917

3 3NLP 34791 60 16 18 15074 14784 594 581 8938


3MILP 36849 15600 15600 760 1030 988 4

4NLP 36849 60 16 12 I 600 I 600 I 80 I 100 I 450 4MILP 37212 15600 15600 760 1030 988

5 5NLP 37212 60 18 12 I 600 I 600 I 80 I 100 I 450


53


14 x 214 m

300 m

59 x 170 m

1000 m

5 x

15

m8

25

m



54

300 m

14 x 214 m

IPE

600

IPE 80

IPE 600

5 x

150

m

IPE

600

825

m

IPE 100IPE 600

075

m



55








56




57

L= 300 m

H =

82

5 m

h =

75

mf =

07

5 m

L = 1000 m

L



Spremenljivke x

Spodnja meja xLO

Začetna točka xL

Zgornja meja xUP




58



j q Phk q Rh

l q FChp in


j q PAk q RA



i = q Bhj = q FCh

p = 96 114 133 152 171 190 230 250 270 290 310 330

350 390 440 490 540 590 640 690 790 890 990

q CAi = q BA

j = q FCAp = 212 253 314 388 453 538 643 768 868 973 1130 1240

1330 1430 1590 1780 1980 2120 2260 2420 2600 2860


k = q Rhl = 80 100 120 140 160 180 200 220 240 270 300

330 360 400 450 500 550 600

q PAk = q RA

l = 76 103 132 164 201 239 285 334 391 459 538










59



MINLP Podfaza Masa


Fasadni steber


1 1NLP 24211 1357 1402 800 33928 34256 4172 3510 6417


1MILP 25987 33374 34256 2319 1886 5865 2

2NLP 25532 17 16 8 28535 34256 2777 2388 5933 2MILP 35615 30874 34256 2499 2117 5973

3 3NLP 29553 25 16 8 27978 34256 1683 1358 5933


3MILP 25783 32100 32100 3340 2850 6430 4

4NLP 25783 16 16 10 H 900 H 900 I 220 I 200 H 220 4MILP 26273 34700 32100 3340 2850 6430

5 5NLP 26273 16 16 10 H 1000 H 900 I 220 I 200 H 220



60


300 m

14 x 214 m

15 x 667 m

1000 m

825

m4

x 1

87 m



61

HE

A 9

00

HE

A 9

00

14 x 214 m

300 m

IPE 220

HEA 900 HEA 900 IPE 200

4 x

18

7 m

82

5 m

07

5 m




62





63



[kNm2] L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

05 43804 86361 146242 206968 291708 52059 89943 152799 209623 293184 10 46196 94031 159452 243968 373827 52059 97359 173741 251499 373827 15 52532 105706 179963 298897 479199 56536 107907 206687 282053 479199 20 53135 117212 197704 332308 592295 58663 132096 217465 338629 592295 25 58677 124258 210788 380122 713116 64889 124258 215215 382769 724608

Viš

ina

H=5

0 [m

]

30 78687 131751 237745 433839 837705 64383 136606 239695 436486 826212 05 63394 105145 167301 232713 327350 76751 118618 162214 247597 327824 10 68827 127030 185454 286032 433787 79441 121051 190289 295152 431842 15 68441 141094 220943 355391 520156 80223 136623 232977 337287 539905 20 72921 151451 248622 399581 644214 84054 147720 235442 372654 649569 25 91498 169397 242347 477312 750551 86999 161296 252359 414268 770300

Viš

ina

H=7

5 [m

]

30 85902 173623 273917 505061 874609 87197 165771 280574 483628 876636 05 90004 134635 198899 300827 422751 10967 160352 210503 308650 403946 10 93834 146633 244749 356983 581643 10904 164341 248640 341851 580793 15 98312 158049 253878 392801 721289 11817 177374 267598 402409 741594 20 10044 167638 276478 453328 859648 11887 183115 282376 471788 891006 25 10391 183786 307830 528986 101239 11887 193732 307067 525877 104042

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 11823 201777 343180 589513 118048 11983 204794 342417 601536 120905



q [kNm2]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

05 1686 16126 16166 12228 13248 1986 18126 16186 12226 13246 10 2086 16126 14166 14226 19246 1986 16128 16186 14246 19246 15 1986 15126 14166 16226 26246 19106 18126 17186 16206 26246 20 2386 17126 16168 19228 33246 22106 19128 18186 20208 33246 25 2886 18126 16168 23226 40246 2288 18126 18166 24208 40246

Viš

ina

H=5

0 [m

]

30 2588 19126 19168 27226 47246 2688 20128 20186 28208 47246 05 1488 15128 14168 12228 132610 1688 13128 14168 13228 13248 10 1688 17128 14168 15208 20268 1788 18128 15168 15228 20248 15 1988 181210 17168 20208 25268 1888 181212 181612 182012 262410 20 1988 171212 19168 23208 32268 1888 191212 17168 212014 322412 25 20108 191212 16168 292012 38268 1588 191212 18168 242014 392410

Viš

ina

H=7

5 [m

]

30 1888 201212 19168 312012 45268 1888 191212 191612 292014 452410 05 14810 141410 151610 142214 182412 15812 141610 131810 152010 171612 10 14810 151410 171614 172012 272412 14810 161210 171612 162012 272612 15 16810 141410 161614 202012 332412 15810 161610 171612 202012 342414 20 16810 171410 171610 242012 412410 17810 191212 171612 252014 422412 25 17810 171412 191614 292012 492412 17810 201212 191612 292014 502414

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 14810 191214 221614 332012 582412 18810 211212 221612 342014 592614


64




65



q [kNm2]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m] L=10

[m] L=20 [m]

L=30 [m]

05 29390 63373 113372 33765 62119 116031

10 34058 78485 139979 39787 80123 143702

15 34825 93391 166785 43205 92559 177956

20 39038 93925 204737 45627 99675 210833

25 42725 103116 240569 46411 102510 240569

Viš

ina

H=

50

[m

]

30 42959 120572 281065 48636 119664 279793 05 47295 79741 140618 61335 90932 152350

10 47862 100836 184360 61409 98985 195391

15 51856 106055 224991 61916 114231 233578

20 55533 128956 272185 65789 127856 277701

25 59555 141461 318851 66530 147062 329882

Viš

ina

H=

75

[m

]

30 59555 156191 365945 71158 159593 368488

05 77959 131692 192818 95482 150215 221770 10 84442 138305 257932 97763 159698 280367 15 87235 158553 325238 97763 181443 344064 20 93001 177291 389903 102820 191919 406729 25 94241 202889 451599 103427 212667 468426

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 93137 244471 513297 109668 239265 535733




q [kNm2]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m] L=10

[m] L=20 [m]

L=30 [m]

05 30106 23146 15168 2886 24146 19168

10 33106 22148 22166 27106 22146 22166

15 34106 22148 29166 281010 22146 31166

20 32108 22146 37166 341010 24146 38168

25 331010 25148 45166 351010 25128 45166

Viš

ina

H=

50

[m

]

30 32108 27148 53166 34108 28148 53166 05 2588 21128 181610 2488 211210 191612 10 2488 221210 261612 2388 20128 281612 15 2988 23128 341810 25810 25128 361612 20 3088 271210 431612 27810 271210 441612 25 29810 311210 511612 2888 321410 531612

Viš

ina

H=

75

[m

]

30 29810 361210 601612 29810 371210 601612 05 191010 232010 261610 201010 222012 282014 10 211010 252010 361614 201010 262012 401614 15 251012 292010 481614 201010 332012 511614 20 251012 352012 591614 211012 392012 621614 25 271012 422012 701614 271012 452010 731614

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 251210 502010 811614 281012 522010 851614


66


HEA HEA

HE

A

HE

A

Slika 61 Podtip 3a

IPE IPE

HE

A

HE

A

Slika 62 Podtip 3b


67

IPE

IPE

IPE IPE

Slika 63 Podtip 3c



68



[kNm2] L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

05 27658 58642 113372 206035 272176 32948 60355 116031 204023 279382 10 28704 74654 132177 229668 345848 33669 72066 134743 237883 345848 15 32569 80892 164886 254464 449305 36805 80341 167075 261460 450812 20 35709 87074 193339 285320 546103 37166 89648 205018 288209 547469 25 39225 97234 201546 314288 653893 42113 100282 218811 316612 655165

Viš

ina

H=5

0 [m

]

30 39635 107355 213835 353179 752057 42062 110121 225944 355188 752057 05 45708 77038 133451 226330 310057 58763 87977 134220 237188 326780 10 47404 95557 171033 276552 388448 58825 96282 175590 271373 405170 15 49283 103235 211728 300170 499758 59343 102544 207245 291879 500831 20 52732 112222 237914 338562 603273 64205 118543 223507 336821 604890 25 56987 120193 248758 387161 720173 64946 125863 248758 388063 721868

Viš

ina

H=7

5 [m

]

30 57971 137338 253761 432147 826509 68585 136569 257828 438448 826509 05 72055 115727 170413 285729 365391 88281 144706 195119 286835 389903 10 73876 123895 217855 328464 513581 90102 147721 221520 326594 525606 15 81881 134044 236758 375398 674605 92976 151115 246421 391729 665760 20 80262 149768 256901 426076 826088 98142 152751 278654 444630 844526 25 82384 153348 274442 507574 958331 10026 161757 289199 501959 922058

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 89134 164875 295214 568007 110846 10365 166473 297780 585336 111171



q [kNm2]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

L=10 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=50 [m]

05 3186 22126 15168 14226 12246 2886 23126 19168 13206 12248 10 3586 23126 21166 13228 18246 2986 23126 21166 12208 18246 15 3486 22126 29166 13228 25246 3388 23126 29166 14206 25246 20 3488 21126 16166 16208 31246 3386 21128 17166 16208 31246 25 3586 22126 15166 19208 38246 3588 23126 12168 19208 38246

Viš

ina

H=5

0 [m

]

30 3488 23128 14166 22208 44246 3486 24126 14166 22208 44246 05 2588 21128 18168 12208 12248 2488 21128 181610 13228 13248 10 2588 22128 25168 12208 18248 2388 20128 19168 13228 19248 15 2988 22128 14168 152010 25248 25810 22128 131610 15228 252410 20 2988 21128 13168 182010 31248 27810 23128 15168 192210 312410 25 3188 24128 14168 222010 38248 2888 25128 14168 23228 38248

Viš

ina

H=7

5 [m

]

30 29810 181210 14168 252010 44248 29810 18128 161610 272210 44248 05 21810 171210 221610 132212 152410 20810 171210 271610 132210 162612 10 21810 191210 151610 142012 232412 20810 171210 141610 152012 252612 15 26810 191210 151610 182012 322412 21810 181210 141610 192212 332610 20 25810 191210 151610 232012 402410 21812 191210 141610 242012 412610 25 26810 191210 161610 272012 472412 24812 201210 181610 282210 452612

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 241010 201210 181610 312210 552412 24812 191210 181610 322012 552610



69



q [kNm2]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

05 79816 13757 204023 18126 15168 13206

10 94006 161997 237880 18126 16188 12208

15 104112 173639 17128 15186

20 114167 205018 19126 17166

25 118464 218811 18126 12168

Viš

ina

H=

50

[m

]

30 127484 225944 20126 14166 05 114237 166013 237188 18128 141610 13228

10 114352 181183 271373 18128 15168 13228

15 135461 207245 191212 131610

20 153196 223507 191212 15168

25 167632 248758 211212 14168

Viš

ina

H=

75

[m

]

30 172577 257828 211212 161610

05 155570 208428 286830 161210 161810 132210 10 160684 221520 161212 141610 15 164263 246421 161212 141610 20 169048 278654 191212 141610 25 183876 289199 211212 181610

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 196693 297780 211212 181610


70



q [kNm2]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

L=20 [m]

L=30 [m]

L=40 [m]

05 65362 123928 247838 23126 17186 32206

10 75949 142326 387574 20126 20186 51206

15 85784 174927 20126 25186

20 96425 214063 19128 31186

25 102365 244140 21126 37186

Viš

ina

H=

50

[m

]

30 111796 284333 19128 441810 05 97016 148585 286539 18128 17168 30228

10 101454 175590 456117 20128 19168 48208

15 123056 207908 221210 24168

20 127704 255221 211210 31168

25 134312 299824 221210 36168

Viš

ina

H=

75

[m

]

30 136569 342877 18128 42168

05 144706 196049 340493 171210 181810 292012 10 147721 224931 171210 201812 15 151115 259776 181210 251810 20 152751 303941 191210 311610 25 161757 360526 201210 361810

Viš

ina

H=1

00

[m]

30 166473 410715 191210 421810


71





72

HEA

0

100

200

300

400

500

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 05 kNm2

HEA

0

150

300

450

600

750

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 10 kNm2

HEA

0

150

300

450

600

750

900

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 15 kNm2

HEA

0

200

400

600

800

1000

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 20 kNm2

HEA

0

200

400

600

800

1000

1200

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 25 kNm2

HEA

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 30 kNm2



73

IPE

0

50

100

150

200

250

10 15 20 25 30Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 05 kNm2

IPE

0

50

100

150

200

250

300

10 15 20 25 30Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 10 kNm2

IPE

0

75

150

225

300

375

10 15 20 25 30Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 15 kNm2

IPE

0

100

200

300

400

500

10 15 20 25 30Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 20 kNm2

IPE

0

100

200

300

400

500

10 15 20 25 30Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 25 kNm2

IPE

0

100

200

300

400

500

600

10 15 20 25 30Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 30 kNm2



74

IPE+HEA

0

100

200

300

400

500

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 05 kNm2

IPE+HEA

0

100

200

300

400

500

600

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 10 kNm2

IPE+HEA

0

150

300

450

600

750

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 15 kNm2

IPE+HEA

0

200

400

600

800

1000

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 20 kNm2

IPE+HEA

0

200

400

600

800

1000

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 25 kNm2

IPE+HEA

0

200

400

600

800

1000

1200

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

q = 30 kNm2




75



76

H = 50 m

0

150

300

450

600

750

900

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]L = 500 mL = 400 mL = 300 mL = 200 mL = 100 m

HEA

H = 75 m

0

150

300

450

600

750

900

1050

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]

L = 500 mL = 400 mL = 300 mL = 200 mL = 100 m

HEA

H = 100 m

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]

L = 500 mL = 400 mL = 300 mL = 200 mL = 100 m

HEA



77

IPE

0

50

100

150

200

250

300

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]L = 300 mL = 200 mL = 100 m

H = 50 m

H = 75 m

0

75

150

225

300

375

450

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]

L = 300 mL = 200 mL = 100 m

IPE

H = 100 m

0

100

200

300

400

500

600

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]

L = 300 mL = 200 mL = 100 m

IPE



78

H = 50 m

0

100

200

300

400

500

600

700

800

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]L = 500 mL = 400 mL = 300 mL = 200 mL = 100 m

IPE+HEA

H = 75 m

0

150

300

450

600

750

900

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]

L = 500 mL = 400 mL = 300 mL = 200 mL = 100 m

IPE+HEA

H = 100 m

0

200

400

600

800

1000

1200

05 1 15 2 25 3Obtežba [kNm

2]

Ma

sa [t

on

]

L = 500 mL = 400 mL = 300 mL = 200 mL = 100 m

IPE+HEA




79




80

H = 50 m

1

3

5

7

9

11

10 20 30 40 50

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


HEA

2

2

22

22

H = 75 m

1

3

5

7

9

11

10 20 30 40 50

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


HEA

2

2

22

22

H = 100 m

1

3

5

7

9

11

10 20 30 40 50

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


HEA

2

2

22

22




81

H = 50 m

1

2

3

4

5

6

7

10 15 20 25 30

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


IPE

2

2

22

22

H = 75 m

1

2

3

4

5

6

7

10 15 20 25 30

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


IPE

2

2

22

22

H = 100 m

1

2

3

4

5

6

7

10 15 20 25 30

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


IPE

2

2

22

22




82

H = 50 m

1

3

5

7

9

11

10 20 30 40 50

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


IPE+HEA

2

2

2

2

22

H = 75 m

1

3

5

7

9

11

10 20 30 40 50

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji [

m]


IPE+HEA

2

2

2

2

22

H = 100 m

1

3

5

7

9

11

10 20 30 40 50

Razpon [m]

Ra

zma

k m

ed

okv

irji

[m]


IPE+HEA

2

2

2

2

22




83




84

H = 50 m

0

50

100

150

200

250

300

350

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]HEAIPEIPE+HEA

q = 05 kNm2

H = 50 m

0

75

150

225

300

375

450

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 10 kNm2

H = 50 m

0

100

200

300

400

500

600

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 15 kNm2

H = 50 m

0

150

300

450

600

750

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]HEAIPEIPE+HEA

q = 20 kNm2

H = 50 m

0

150

300

450

600

750

900

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 25 kNm2

H = 50 m

0

200

400

600

800

1000

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 30 kNm2




85

H = 75 m

0

75

150

225

300

375

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 05 kNm2

H = 75 m

0

100

200

300

400

500

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 10 kNm2

H = 75 m

0

100

200

300

400

500

600

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 15 kNm2

H = 75 m

0

150

300

450

600

750

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]HEAIPEIPE+HEA

q = 20 kNm2

H = 75 m

0

150

300

450

600

750

900

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 25 kNm2

H = 75 m

0

200

400

600

800

1000

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 30 kNm2




86

H = 100 m

0

100

200

300

400

500

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 05 kNm2

H = 100 m

0

100

200

300

400

500

600

700

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 10 kNm2

H = 100 m

0

150

300

450

600

750

900

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 15 kNm2

H = 100 m

0

200

400

600

800

1000

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]HEAIPEIPE+HEA

q = 20 kNm2

H = 100 m

0

200

400

600

800

1000

1200

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 25 kNm2

H = 100 m

0

250

500

750

1000

1250

1500

10 20 30 40 50Razpon [m]

Ma

sa [t

on

]

HEAIPEIPE+HEA

q = 30 kNm2




87




88

H = 50 m

10

15

20

25

30

35

10 20 30 40 50Razpon [m]

Šte

vilo

okv

irje

v [k

om

] 1

HEAIPEIPE+HEA

q = 15 kNm2

H = 50 m

10

15

20

25

30

35

40

10 20 30 40 50Razpon [m]

Šte

vilo

okv

irje

v [k

om

] 1

HEAIPEIPE+HEA

q = 20 kNm2

H = 50 m

10

15

20

25

30

35

40

45

50

10 20 30 40 50Razpon [m]

Šte

vilo

okv

irje

v [k

om

] 1

HEAIPEIPE+HEA

q = 25 kNm2



89



90

120

140

160

180

200

220

240

260

30 32 34 36 38 40Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 50 m q = 05 kNm2

100

150

200

250

300

350

400

30 32 34 36 38 40

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 50 m q = 10 kNm2

80

100

120

140

160

180

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 50 m q = 15 kNm2

80

100

120

140

160

180

200

220

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 50 m q = 20 kNm2

100

120

140

160

180

200

220

240

260

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 50 m q = 25 kNm2

100

130

160

190

220

250

280

310

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 50 m q = 30 kNm2



91

130

160

190

220

250

280

310

30 32 34 36 38 40

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 75 m q = 05 kNm2

150

200

250

300

350

400

450

30 32 34 36 38 40

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 75 m q = 10 kNm2

120

140

160

180

200

220

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 75 m q = 15 kNm2

120

140

160

180

200

220

240

260

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 75 m q = 20 kNm2

130

160

190

220

250

280

310

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 75 m q = 25 kNm2

120

160

200

240

280

320

360

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 75 m q = 30 kNm2



92

190

220

250

280

310

340

370

30 32 34 36 38 40

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 100 m q = 05 kNm2

140

160

180

200

220

240

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 100 m q = 10 kNm2

140

160

180

200

220

240

260

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 100 m q = 15 kNm2

130

160

190

220

250

280

310

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 100 m q = 20 kNm2

150

200

250

300

350

400

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 100 m q = 25 kNm2

150

200

250

300

350

400

450

20 22 24 26 28 30

Razpon [m]

Ma

sa [

ton

]

IPE nosilec

HEA nosilec

H = 100 m q = 30 kNm2



93


05

1

15

2

25

3

22 24 26 28 30 32

Razpon [m]

H = 50 mH = 75 mH = 100 m

Ob

težb

a [k

Nm2

]




94



95




96



97



98






99









100





101








102







103






104







105










106




107







108
















109





DELOVNE IZKUŠNJE



sinteza konstrukcije jeklenih hal z meŠanim …

Documents