sinteza konstrukcije jeklenih hal z meŠanim … · 2017. 11. 27. · univerza v mariboru fakulteta...

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA GRADBENIŠTVO

DOKTORSKA DISERTACIJA

SINTEZA KONSTRUKCIJE JEKLENIH HAL Z MEŠANIM CELOŠTEVILSKIM NELINEARNIM

PROGRAMIRANJEM

maj, 2009 Avtor: Tomaž ŽULA, univ. dipl. inž. grad. Mentor: red.prof.dr. Stojan KRAVANJA

UDK 624.014:519.61/.68(043.3) KLJUČNE BESEDE: gradbeništvo, mehanika, konstrukcija, sinteza, sinteza konstrukcij, optimiranje, optimiranje konstrukcij, optimiranje topologije, diskretno optimiranje, mešano celoštevilsko nelinearno programiranje, MINLP, algoritem zunanje aproksimacije s sprostitvijo enačb, OA/ER algoritem, modofocirani algoritem OA/ER, trifazana MINLP strategija, jeklene hale KEY WORDS: civil engineering, mechanics, structures, synthesis, structural synthesis, optimization, structural optimization, topology optimization, discrete optimization, Mixed-Integer Nonlinear Programming, MINLP, Outer-Approximation/Equality-Relaxation algorithm, OA/ER algorithm, Modified OA/ER algorithm, three-phase MINLP strategy, steel buildings

ZAHVALA Iskreno se zahvaljujem mentorju red.prof.dr. Stojanu

Kravanji za strokovno vodstvo, vzpodbudo in nesebično

pomoč pri izdelavi doktorske disertacije.

Zahvaljujem se tudi red.prof.dr. Miroslavu Premrovu,

red.prof.dr. Zdravku Kravanji in red.prof.dr. Goranu

Turkalju za skrbno oceno disertacije.

Ministrstvu za šolstvo, znanost in šport Republike Slovenije

se zahvaljujem za financiranje podiplomskega študija.

Posebna zahvala velja domačim, ki so me vzpodbujali in

stali ob strani ter vsem, ki so bili tako ali drugače

soudeleženi na moji študijski poti.

I

VSEBINA

POVZETEK ......................................................................................................IV

SUMMARY .......................................................................................................VI

SEZNAM SIMBOLOV .................................................................................VIII

SEZNAM SIMBOLOV V MODELIH HAL...................... ............................XI

SEZNAM OKRAJŠAV ................................................................................XVII

1 UVOD...........................................................................................................1

1.1 Konstrukcija jeklene hale........................................................................................2 1.2 Prispevek doktorske disertacije..............................................................................3

2 TEORETI ČNO IZHODIŠČE....................................................................5

2.1 Metode optimiranja konstrukcij ............................................................................5 2.1.1 Matematično programiranje...............................................................................5

2.1.1.1 Linearno programiranje, LP...........................................................................5 2.1.1.2 Mešano celoštevilsko linearno programiranje, MILP....................................6 2.1.1.3 Nelinearno programiranje, NLP.....................................................................6 2.1.1.4 Mešano celoštevilsko nelinearno programiranje, MINLP .............................7

2.1.2 Hevristične metode ............................................................................................8 2.1.2.1 Nevronske mreže, NN....................................................................................8 2.1.2.2 Evolucijski algoritem, EA..............................................................................9 2.1.2.3 Direktno iskanje, DS......................................................................................9 2.1.2.4 Tabu iskanje, TS ..........................................................................................10 2.1.2.5 Simulirano ohlajanje, SA.............................................................................10 2.1.2.6 Kolonija mravelj, ACO................................................................................10 2.1.2.7 Harmonijsko iskanje, HS .............................................................................11

2.2 Sinteza konstrukcij jeklenih hal z MINLP..........................................................12 2.2.1 Sočasno optimiranje topologije, materiala in standardnih profilov konstrukcije jeklenih hal.......................................................................................................12 2.2.2 Generiranje mehanske superstrukture..............................................................13 2.2.3 Specialna MINLP modelna formulacija konstrukcije jeklenih hal..................14 2.2.4 Reševanje MINLP optimizacijskega problema ...............................................17 2.2.5 Algoritem zunanje aproksimacije s sprostitvijo enačb, OA/ER ......................19 2.2.6 Modificirani OA/ER algoritem........................................................................21

2.2.6.1 Deaktivacija linerizacij ................................................................................21 2.2.6.2 Dekompozicija in deaktivacija linearizacije namenske funkcije .................22

II

2.2.6.3 Uporaba razširjene kazenske funkcije .........................................................22 2.2.6.4 Uporaba zgornje meje namenske funkcije...................................................23 2.2.6.5 Globalni konveksni test in modifikacija kršenih linearizacij.......................23 2.2.6.6 MILP glavni problem...................................................................................24

3 SOČASNO OPTIMIRANJE MASE, TOPOLOGIJE, MATERIALA IN STANDARDNIH HEA PROFILOV KONSTRUKCIJE HAL ..... .... (TIP 1) ........................................................................................................26

3.1 Optimizacijski model konstrukcije jeklenih hal s standardnimi HEA profili .26 3.2 Masna namenska funkcija ....................................................................................27 3.3 Pogojne (ne)enačbe strukturne analize................................................................28 3.4 Celoštevilske in mešano celoštevilske logične pogojne (ne)enačbe ....................36 3.5 Optimizacija ...........................................................................................................39 3.6 Računski primer.....................................................................................................41

4 SOČASNO OPTIMIRANJE MASE, TOPOLOGIJE, MATERIALA IN STANDARDNIH IPE PROFILOV KONSTRUKCIJE HAL ..... ...... (TIP 2) ........................................................................................................46

4.1 Optimizacijski model konstrukcije jeklenih hal s standardnimi IPE profili ...46 4.2 Masna namenska funkcija ....................................................................................46 4.3 Pogojne (ne)enačbe strukturne analize................................................................46 4.4 Celoštevilske in mešano celoštevilske logične pogojne (ne)enačbe ....................49 4.5 Zaporedja, vhodni podatki (konstante) in spremenljivke..................................49 4.6 Optimizacija ...........................................................................................................49 4.7 Računski primer.....................................................................................................49

5 SOČASNO OPTIMIRANJE MASE, TOPOLOGIJE, MATERIALA IN STANDARDNIH IPE ter HEA PROFILOV KONSTRUKCIJE HAL (TIP 3)...............................................................................................55

5.1 Optimizacijski model konstrukcije jeklenih hal s standardnimi IPE ter HEA profili.......................................................................................................................55 5.2 Računski primer.....................................................................................................56 5.3 Primerjava treh razli čnih tipov konstrukcij jeklenih hal ..................................61

6 VEČPARAMETRI ČNO OPTIMIRANJE KONSTRUKCIJE HAL Z MINLP .......................................................................................................62

6.1 Konstrukcija hale iz standardnih HEA profilov (tip 1) .....................................62 6.2 Konstrukcija hale iz standardnih IPE profilov (tip 2) .......................................64 6.3 Konstrukcija hale iz kombinacije standardnih IPE in HEA profilov (tip 3) ...66

6.3.1 Izvrednotenje optimalnega podtipa..................................................................67

III

6.3.2 Izbor vrste prereza nosilca (IPE ter HEA) .......................................................69

7 PRIMERJALNI DIAGRAMI VE ČPARAMETRI ČNEGA OPTIMIRANJA........................................................................................71

7.1 Vpliv razpona in višine hale na maso konstrukcije ............................................71 7.2 Vpliv obtežbe in razpona hale na maso konstrukcije .........................................75 7.3 Vpliv razpona hale in obtežbe na razmak med okvirji......................................79 7.4 Primerjalni diagrami konkuren čnosti za definirane različne parametre ........83 7.5 Vpliv razpona konstrukcije hale na število portalnih okvirjev .........................87 7.6 Diagrami za izbor vrste prereza nosilca (IPE ter HEA) ....................................89 7.7 Diskusija rezultatov ...............................................................................................93

8 ZAKLJU ČEK............................................................................................95

9 LITERATURA..........................................................................................98

10 OBJAVLJENI VIRI AVTORJA S PODRO ČJA DISERTACIJE .....107

11 KRATEK ŽIVLJENJEPIS.....................................................................109

IV

POVZETEK V doktorski disertaciji predstavljamo celovit pristop k sočasnemu optimiranju mase, topologije, diskretnih materialov in standardnih prerezov konstrukcije jeklenih hal. Optimiranje bomo izvedli z mešanim celoštevilskim nelinearnim programiranjem (MINLP). Ker z MINLP izvajamo optimiranje topologije in standardnih dimenzij na način, da se v optimizacijskem procesu posamezni konstrukcijski elementi računsko odvzamejo in/ali dodajajo, izračunavajo pa se tudi standardni materiali, dimenzije in oblika konstrukcije, z MINLP v bistvu izvajamo sintezo konstrukcij. V doktorski disertaciji tako obravnavamo sintezo realnih inženirskih konstrukcij jeklenih hal velikega obsega. V tem smislu smo postavili tezo doktorske disertacije, da je z MINLP ob razvoju ustrezne metodologije za generacijo superstrukture konstrukcije hal, postavitvijo specialne MINLP modelne formulacije in razvojem primerne strategije za reševanje definiranega problema MINLP, mogoče uspešno reševati sočasno optimiranje mase, topologije, materiala in standardnih prerezov jeklenih konstrukcij hal velikega obsega. Optimizacijski problemi sinteze konstrukcij jeklenih hal so kombinirani diskretno/zvezni optimizacijski problemi, in so kot taki obsežni, nekonveksni in nelinearni. Takšno sintezo korakoma rešujemo na treh nivojih dejavnosti: z generiranjem superstrukture konstrukcije hale, z razvojem specialne MINLP modelne formulacije konstrukcije hale in z reševanjem definiranega MINLP optimizacijskega problema. Sintezo konstrukcije hal pričnemo z generiranjem mehanske superstrukture različnih topoloških, materialnih in standard-dimenzijskih alternativ, ki se potegujejo za optimalen rezultat. Znotraj definirane mehanske superstrukture je zato glavni namen sinteze najti takšno možno strukturo, ki bo optimalna z ozirom na topologijo, material in diskretne prereze. Naslednji nivo sinteze konstrukcije hal predstavlja razvoj specialne MINLP modelne formulacije mehanskih superstruktur, (MINLP-MS). Generirano superstrukturo konstrukcije hale opišemo z modelom (ne)enačb. Sintezo konstrukcije jeklenih hal zaključimo z reševanjem optimizacijskega problema MINLP. Ker je optimizacijski problem sinteze konstrukcije hale nelinearen in nekonveksen, smo za reševanje le-tega uporabili algoritem zunanje aproksimacije s sprostitvijo enačb (OA/ER algoritem). Za uspešno in učinkovito reševanje sinteze konstrukcij hal smo predlagali povezano trifazno MINLP strategijo. Z uporabo predlagane optimizacijske metode MINLP smo izvedli sintezo konstrukcije treh različnih tipov jeklenih hal: konstrukcije hale sestavljene iz vroče valjanih HEA profilov (tip

V

1), konstrukcije hale sestavljene iz vroče valjanih IPE profilov (tip 2) in konstrukcije hale sestavljene iz mešanega nabora IPE in HEA profilov (tip 3). Za optimiranje omenjenih treh tipov konstrukcij hal smo razvili tri različne MINLP optimizacijske modele. Ker je bil namen sinteze konstrukcij hal minimiranje mase konstrukcij, smo definirali masno namensko funkcijo konstrukcije hale. Le to smo podvrgli (ne)linearnim pogojnim (ne)enačbam. Pogojne (ne)enačbe dimenzioniranja konstrukcij jeklenih hal smo definirali v skladu s standardi Eurocode, pri čemer so zadovoljeni vsi pogoji mejnega stanja nosilnosti in uporabnosti. Na osnovi razvitih modelov je bilo za vsak tip konstrukcije hale izvedeno parametrično optimiranje MINLP. Slednje smo izvršili pri kombinaciji naslednjih parametrov: pri različnih razponih in višinah hale, pri različni vertikalni in horizontalni zvezni obtežbi in pri različnih kvalitetah konstrukcijskega jekla. Z MINLP pridobljeni optimalni rezultati so obsegali minimalno maso konstrukcije, optimalno topologijo, diskretne materiale in standardne prereze konstrukcije hale. Na koncu smo izvršili primerjavo rezultatov med predstavljenimi tremi tipi konstrukcij jeklenih hal. Na osnovi teh primerjav smo izrisali diagrame za optimalen dizajn konstrukcije jeklenih hal, s pomočjo katerih bo lahko inženir za izbran razpon, višino in obtežbo hale določil: optimalen tip konstrukcije (tip 1, 2 ali 3), število konstrukcijskih elementov (topologijo), konstrukcijsko jeklo (material) in standardne prereze konstrukcijskih elementov (HEA, IPE ali mešani izbor IPE ter HEA profilov).

VI

SUMMARY The Ph.D. thesis presents the simultaneous mass, topology, discrete material and standard cross-section optimization of a single storey steel building. The structural optimization is performed by the Mixed-Integer Non-linear Programming approach (MINLP). The MINLP approach performs the discrete optimization of topology, material and standard dimensions, while parameters are simultaneously calculated inside the continuous space. During the optimization proces some structural elements are automatically added or removed from the structure. The Ph.D. thesis thus discusses the MINLP synthesis of a single storey steel building. The main thesis of this work is that it is possible with the MINLP approach, with the development of an appropriate methodology for the generation of a steel building superstructure, with the definition of a special MINLP model formulation and with the development of an appropriate strategy for the solution of the defined problem efficiently perform the simultaneous topology, material and standard cross-section optimization of large-scale single storey steel building structures. The single storey steel building optimization problems are comprehensive, non-convex and highly nonlinear. The MINLP structural synthesis is thus performed throught three steps: i.e. the generation of superstructure of a single storey steel building, the modeling of special MINLP model formulation, and the solving of the defined MINLP problem. We start to perform the structural synthesis with the generation of mechanical superstrucure composed of various topology, material and standard dimension alternatives which candidates for the optimal solution. The main goal is thus to find a feasible structure within the given superstructure, which is optimal with respect to topology, material and standard dimensions. After the mechanical superstructure is generated, the structural synthesis is proceeded by the develovpment of a special MINLP model formulaton for mechanical superstructures (MINLP-MS). The generated mechanical superstructure of a single storey steel building is defined in an equation oriented environment. The last step in the structural synthesis is the solution of the defined MINLP problem. In order to solve the nonlinear and non-convex optimization problem of a single storey steel building, we applied the Modified Outer-Approximation/Equality-Relaxation algorithm (OA/ER algorithm). We also proposed the Linked Three Phase MINLP Strategy in order to accelerate the convergence of the modified OA/ER algorithm. Three different types of a single storey building strctures have been synthesised according to

VII

the proposed MINLP approach: a steel building structure made from HEA cross-sections (type 1), a steel building structure made from IPE cross-sections (type 2) as well as a steel building structure made from both IPE and HEA cross-sections (type 3). For the optimization of these three different types of structures we have developed three different MINLP optimization models. As the task of this structural synthesis is to minimize the mass of the steel building structures, the mass objective function was defined. The latter is subjected to the set of equality and inequality constraints know from the structural analysis and the dimensioning. The dimensioning of the steel members is performed in accordance with Eurocode 3 for the conditions of both the ultimate limit state and serviceability limit state. Based on the developed models, the MINLP parametric optimization was carried out by the combination of diferent parameters: spans, heights, vertical variable loads, horizontal variable loads and different qualities of structural steel. The optimal solution of the single storey steel building comprises the obtained minimal structure mass, the optimal topology, discrete materials and standard cross-sections. In the end we perform the comparison between the obtained optimal results of the three different steel buildings structure types. Based on this comparison, we made diagrams for the optimal building design. For the defined building's span, height and imposed load, the presented comparative diagrams can be applied for choosing the optimal type of the single storey steel buildings (type 1, 2 or 3), the optimal number of structural elements (topology), the optimal quality of steel (material) and the optimal standard cross-sections of the elements (HEA, IPE or both selection).

VIII

SEZNAM SIMBOLOV Male črke

a vektor koeficientov linearnih pogojnih neenačb, splošna formulacija MINLP b vektor koeficientov povezovalnih logičnih pogojnih neenačb, MINLP-MS formulacija c vektor koeficientov namenske funkcije d, d neodvisna (design) spremenljivka (vektor) e vektor koeficientov celoštevilskih pogojnih neenačb, MINLP-MS formulacija f nelinearni del namenske funkcije g vektor nelinearnih funkcij pogojnih neenačb MINLP formulacij h vektor nelinearnih funkcij pogojnih enačb MINLP formulacij k vektor koeficientov povezovalnih logičnih pogojnih neenačb, MINLP-MS formulacija m vektor koeficientov povezovalnih logičnih pogojnih neenačb, MINLP-MS formulacija n vektor koeficientov povezovalnih logičnih pogojnih neenačb, MINLP-MS formulacija p, p izvedbena (non-design) spremenljivka (vektor) q, q številčna vrednost standardne dimenzijske alternative (vektor) r vektor koeficientov povezovalnih logičnih pogojnih neenačb, MINLP-MS formulacija s, s pomožne spremenljivke linearizacij nelinearnih pogojev (vektor), modificirani OA/ER algoritem

t kjj diagonalni elementi relaksacijske matrike Tk, OA/ER algoritem

ua vektor velikih skalarjev, modificirani OA/ER algoritem w,w uteži pomožnih spremenljivk linearizacij nelinearnih pogojev (vektor) x, x zvezna spremenljivka (vektor) y, y binarna 0-1 spremenljivka (vektor) z spremenljivka namenske funkcije Velike črke

A množica alternativnih strukturnih elementov mehanske superstrukture A matrika koeficientov linearnih pogojnih neenačb, MINLP-MS formulacija B matrika koeficientov pomnožena z vektorjem diskretnih spremenljivk y mešanih linearnih pogojnih neenačb MINLP formulacij BIk množica binarnih spremenljivk z vrednostjo 1 enačbe »celoštevilski rez«

IX

C matrika koeficientov pomnožena z vektorjem zveznih spremenljivk x mešanih linearnih pogojnih neenačb MINLP formulacij D matrika koeficientov povezovalnih logičnih pogojnih neenačb, MINLP-MS formulacija E matrika koeficientov celoštevilskih pogojnih neenačb, MINLP-MS formulacija K števec glavnih MINLP iteracij K matrika koeficientov povezovalnih logičnih pogojnih neenačb, MINLP-MS formulacija L matrika koeficientov povezovalnih logičnih pogojnih neenačb, MINLP-MS formulacija M matrika koeficientov povezovalnih logičnih pogojnih neenačb, MINLP-MS formulacija NIk množica binarnih spremenljivk z vrednostjo 0 enačbe »celoštevilski rez« N matrika koeficientov povezovalnih logičnih pogojnih neenačb, MINLP-MS formulacija P matrika koeficientov povezovalnih logičnih pogojnih neenačb, MINLP-MS formulacija R matrika koeficientov povezovalnih logičnih pogojnih neenačb, MINLP-MS formulacija Tk relaksacijska matrika, OA/ER algoritem UB vrednost zgornje meje namenske spremenljivke, modificirani OA/ER algoritem X množica zveznih spremenljivk Y množica binarnih spremenljivk Indeksi, nadpisi in podpisi

a alternativni strukturni elementi mehanske superstrukture, a∈A cn oznaka zveznih spremenljivk, MINLP-MS formulacija e začasno izbrani ali zavrnjeni alternativni strukturni elementi mehanske superstrukture f namenska funkcija g nelinearne pogojne neenačbe h nelinearne pogojne enačbe

i elementi množice I, i∈I j elementi množice J, j∈J k števec glavnih MINLP iteracij, element množice K lin linearni del namenske funkcije, modificirani OA/ER algoritem, MINLP-MS formulacija LO spodnja meja mat oznaka spremenljivk diskretnih materialov, MINLP-MS formulacija; oz. označuje binarne spremenljivke, ki pripadajo diskretnim materialnim alternativam

X

nl nelinearni del namenske funkcije, modificirani OA/ER algoritem, MINLP-MS formulacija sf substitucijski izraz, modificirani OA/ER algoritem st oznaka spremenljivk standardnih dimenzij, MINLP-MS formulacija; oz. označuje binarne spremenljivke, ki pripadajo standard-dimenzijskim alternativam t skupne standardne design spremenljivke superstrukture ali nekega njenega dela,

t∈T, MINLP-MS formulacija top označuje binarne spremenljivke, ki pripadajo topološkim alternativam, MINLP-MS formulacija UP zgornja meja Grške črke

α linearizacija nelinearnega dela namenske funkcije δmax deformacija nosilca v končnem stanju δ2 deformacija zaradi spremenljive obtežbe ε vektor skalarjev zelo majhnih toleranc, modificirani OA/ER algoritem λ Lagrange-ovi množitelji, modificirani in originalni OA/ER algoritem

XI

SEZNAM SIMBOLOV V MODELIH HAL Zaporedja

i zaporedje standardnih dimenzij stebrov, i∈I j zaporedje standardnih dimenzij nosilcev, j∈J k zaporedje standardnih dimenzij leg, k∈K l zaporedje standardnih dimenzij prečk, l∈L m zaporedje števila leg, m∈M n zaporedje števila portalnih okvirjev (stebri in nosilci), n∈N p zaporedje standardnih dimenzij fasadnih stebrov, p∈P r zaporedje števila prečk, r∈R s zaporedje standardnih vrednosti materiala, s∈S Skalarji (konstante, vhodni podatki): f nadvišanje nosilca pri okvirju [cm] h višina stebra [cm] k koeficient uklonske dolžine elementa [-] kw koeficient uklonske dolžine elementa [-] mr masa strešne kritine [kg/cm

2] sn spremenljiva obtežba za sneg [kN/cm

2] wv spremenljiva obtežba za veter vertikalno [kN/cm

2] wh spremenljiva obtežba za veter horizontalno [kN/cm

2] C1,C2 koeficienta oblike momentne linije [-] E elastični modul jekla [kN/cm2] G strižni modul jekla [kN/cm2] L razpon okvirja [cm] LL dolžina jeklene hale [cm] MINNOframe najmanjše število portalnih okvirjev [-] MAXNOframe največje število portalnih okvirjev [-] MINNOpurlin najmanjše število leg [-] MAXNOpurlin največje število leg [-] MINNOrail najmanjše število prečk [-] MAXNOrail največje število prečk [-] αb faktor nepopolnosti [-] αLT faktor nepopolnosti [-]

XII

γg parcialni faktor varnosti za stalno obtežbo [-] γq parcialni faktor varnosti za spremenljivo obtežbo [-] γM0 varnostni faktor odpornosti [-] γM1 varnostni faktor odpornosti [-] η2 razdelilni koeficient [1] λ1 vitkost [-] π Ludolfovo število [-] ρ gostota jekla [kg/cm3] Parametri (konstante, vhodni podatki)

q CAi vektor i, i∈I, diskretnih standardnih vrednosti površine prečnega prereza stebra

q BAj vektor j, j∈J, diskretnih standardnih vrednosti površine prečnega prereza nosilca

q PAk vektor k, k∈K, diskretnih standardnih vrednosti površine prečnega prereza lege

q RAl vektor l, l∈L, diskretnih standardnih vrednosti površine prečnega prereza prečke

q FCAp vektor p, p∈P, diskretnih standardnih vrednosti površine prečnega prereza

fasadnega stebra

q Cbi vektor i, i∈I, diskretnih standardnih vrednosti širine pasnice stebra

q Bbj vektor j, j∈J, diskretnih standardnih vrednosti širine pasnice nosilca

q Pbk vektor k, k∈K, diskretnih standardnih vrednosti širine pasnice lege

q Rbl vektor l, l∈L, diskretnih standardnih vrednosti širine pasnice prečke

q FCbp vektor p, p∈P, diskretnih standardnih vrednosti širine pasnice fasadnega stebra

q Cfti, vektor i, i∈I, diskretnih standardnih vrednosti debeline pasnice stebra

q Bftj, vektor j, j∈J, diskretnih standardnih vrednosti debeline pasnice nosilca

q Pftk, vektor k, k∈K, diskretnih standardnih vrednosti debeline pasnice lege

q Rftl, vektor l, l∈L, diskretnih standardnih vrednosti debeline pasnice prečke

q FCftp, vektor p, p∈P, diskretnih standardnih vrednosti debeline pasnice fasadnega stebra

q Cwti, vektor i, i∈I, diskretnih standardnih vrednosti debeline stojine stebra

q Bwtj, vektor j, j∈J, diskretnih standardnih vrednosti debeline stojine nosilca

q Pwtk, vektor k, k∈K, diskretnih standardnih vrednosti debeline stojine lege

q Rwtl, vektor l, l∈L, diskretnih standardnih vrednosti debeline stojine prečke

q FCwtp, vektor p, p∈P, diskretnih standardnih vrednosti debeline stojine fasadnega stebra

q CtIi, vektor i, i∈I, diskretnih standardnih vrednosti torzijskega vztrajnostnega momenta

XIII

stebra

q PtIk, vektor k, k∈K, diskretnih standardnih vrednosti torzijskega vztrajnostnega momenta

lege

q RtIl, vektor l, l∈L, diskretnih standardnih vrednosti torzijskega vztrajnostnega momenta

prečke

q FCtIp, vektor p, p∈P, diskretnih standardnih vrednosti torzijskega vztrajnostnega momenta

fasadnega stebra

q CyIi, vektor i, i∈I, diskretnih standardnih vrednosti vztrajnostnega momenta okoli y-y osi

stebra

q ByIj, vektor j, j∈J, diskretnih standardnih vrednosti vztrajnostnega momenta okoli y-y

osi nosilca

q PyIk, vektor k, k∈K, diskretnih standardnih vrednosti vztrajnostnega momenta okoli y-y

osi lege

q RyIl, vektor l, l∈L, diskretnih standardnih vrednosti vztrajnostnega momenta okoli y-y

osi prečke

q FCyIp, vektor p, p∈P, diskretnih standardnih vrednosti vztrajnostnega momenta okoli y-y

osi fasadnega stebra

q CzIi, vektor i, i∈I, diskretnih standardnih vrednosti vztrajnostnega momenta okoli z-z osi

stebra

q PzIk, vektor k, k∈K, diskretnih standardnih vrednosti vztrajnostnega momenta okoli z-z

osi lege

q RzIl, vektor l, l∈L, diskretnih standardnih vrednosti vztrajnostnega momenta okoli z-z osi

prečke

q FCzIp, vektor p, p∈P, diskretnih standardnih vrednosti vztrajnostnega momenta okoli z-z

osi fasadnega stebra

q CIi,ω vektor i, i∈I, diskretnih standardnih vrednosti vbočitvenega torzijskega

vztrajnostnega momenta stebra

q PIk,ω vektor k, k∈K, diskretnih standardnih vrednosti vbočitvenega torzijskega

vztrajnostnega momenta lege

q RIl,ω vektor l, l∈L, diskretnih standardnih vrednosti vbočitvenega torzijskega

vztrajnostnega momenta prečke

q FCIp,ω vektor p, p∈P, diskretnih standardnih vrednosti vbočitvenega torzijskega

vztrajnostnega momenta fasadnega stebra

q yfs vektor s, s∈S, diskretnih standardnih vrednosti materiala izbranega konstrukcijskega

elementa

XIV

Zvezne spremenljivke

bB širina pasnice nosilca [cm] bC širina pasnice stebra [cm] bFC širina pasnice fasadnega stebra [cm] bP širina pasnice lege [cm] bR širina pasnice prečke [cm] ef medsebojni razmak med okvirji [cm] ep medsebojni razmak med legami [cm] er medsebojni razmak med prečkami [cm] g lastna teža portalnega okvirja [kN/cm] gfc lastna teža fasadnega stebra [kN/cm] gr lastna teža prečke [kN/cm] hB višina prečnega prereza nosilca [cm] hC višina prečnega prereza stebra [cm] hFC višina prečnega prereza fasadnega stebra [cm] hP višina prečnega prereza lege [cm] hR višina prečnega prereza prečke [cm] qfc zvezna spremenljiva obtežba na fasadni steber [kN/cm] qr zvezna spremenljiva obtežba na prečko [kN/cm] qy zvezna horizontalna spremenljiva obtežba [kN/cm] qz zvezna vertikalna spremenljiva obtežba [kN/cm] tf,B debelina pasnice nosilca [cm] tf,C debelina pasnice stebra [cm] tf,FC debelina pasnice fasadnega stebra [cm] tf,P debelina pasnice lege [cm] tf,R debelina pasnice prečke [cm] tw,B debelina stojine nosilca [cm] tw,C debelina stojine stebra [cm] tw,FC debelina stojine fasadnega stebra [cm] tw,P debelina stojine lege [cm] tw,R debelina stojine prečke [cm] AB površina prečnega prereza nosilca [cm

2] AC površina prečnega prereza stebra [cm

2] AFC površina prečnega prereza fasadnega stebra [cm

2] AP površina prečnega prereza lege [cm

2] AR površina prečnega prereza prečke [cm

2] HFC dolžina fasadnega stebra [cm] It,C torzijski vztrajnostni moment stebra [cm

4] It,FC torzijski vztrajnostni moment fasadnega stebra [cm

4] It,P torzijski vztrajnostni moment lege [cm

4]

XV

It,R torzijski vztrajnostni moment prečke [cm4]

Iy,B vztrajnostni moment prereza nosilca okoli y-y osi [cm4]

Iy,C vztrajnostni moment prereza stebra okoli y-y osi [cm4]

Iy,FC vztrajnostni moment prereza fasadnega stebra okoli y-y osi [cm4]

Iy,P vztrajnostni moment prereza lege okoli y-y osi [cm4]

Iy,R vztrajnostni moment prereza prečke okoli y-y osi [cm4]

Iz,C vztrajnostni moment prereza stebra okoli z-z osi [cm4]

Iz,FC vztrajnostni moment prereza fasadnega stebra okoli z-z osi [cm4]

Iz,P vztrajnostni moment prereza lege okoli z-z osi [cm4]

Iz,R vztrajnostni moment prereza prečke okoli z-z osi [cm4]

Iω,C vbočitveni torzijski vztrajnostni moment prereza stebra [cm6]

Iω,FC vbočitveni torzijski vztrajnostni moment prereza fasadnega stebra [cm6]

Iω,P vbočitveni torzijski vztrajnostni moment prereza lege [cm6]

Iω,R vbočitveni torzijski vztrajnostni moment prereza prečke [cm6]

KB koeficient togosti nosilca [cm3]

KC koeficient togosti stebra [cm3]

LB dolžina nosilca [cm] MCR elastični kritični moment zvrnitve [kNcm] Mel,Rd računska elastična odpornost prereza na upogibni moment [kNcm] NOFRAME število portalnih okvirjev [-] NOPURLIN število leg [-] NORAIL število prečk [-] Npl,Rd računska odpornost prereza na osno silo [kN] Nsd računska osna sila [kN] Msd računski upogibni moment [kNcm] P točkovna horizontalna sila množena s faktorjem varnosti [kN] Pw točkovna horizontalna sila [kN] Vpl,Rd računska odpornost prereza na strižno silo [kN] Vsd računska strižna sila [kN] α naklonski kot nosilca [rad] βnon-sway uklonski koeficient stebra za nepomičen okvir [-] βsway uklonski koeficient stebra za pomičen okvir [-] δf vertikalna deformacija portalnega okvirja [cm] ∆ horizontalna deformacija portalnega okvirja [cm]

NS1η razdelilni koeficient stebra za nepomičen okvir [-] S1η razdelilni koeficient stebra za pomičen okvir [-]

κ brezdimenzionalni uklonski koeficient [-] κz brezdimenzionalni uklonski koeficient okoli z-z osi [-] κLT brezdimenzionalni uklonski koeficient zvrnitve [-]

XVI

Binarne spremenljivke

yi binarna spremenljivka, dodeljena i-ti, i∈I, alternativi standardnega prereza stebra yj binarna spremenljivka, dodeljena j-ti , j∈J, alternativi standardnega prereza nosilca yk binarna spremenljivka, dodeljena k-ti, k∈K, alternativi standardnega prereza lege yl binarna spremenljivka, dodeljena l-ti, l∈L, alternativi standardnega prereza prečke ym binarna spremenljivka, dodeljena m-ti, m∈M, alternativi številu leg yn binarna spremenljivka, dodeljena n-ti, n∈N, alternativi številu portalnih okvirjev yp binarna spremenljivka, dodeljena p-ti, p∈P, alternativi standardnega prereza fasadnega stebra

yr binarna spremenljivka, dodeljena r-ti, r∈R, alternativi številu prečk ys binarna spremenljivka, dodeljena s-ti, s∈S, alternativi standardnega materiala Substituirani izrazi v enačbah A,B,C,D substituirani izrazi U,V substituirani izrazi

XVII

SEZNAM OKRAJŠAV min minimiranje p.p. pri pogojih ACO kolonija mravelj AL razširjeni Lagrangian AP/OA/ER razširitev OA/ER algoritma z uporabo kazenske funkcije BB metoda vejanja in omejevanja BP algoritem vzvratnega razširjanja DS direktno iskanje EA evolucijski algoritem ECP razširjeno rezanje ravnine ES evolucijske strategije FRAMEOPTH optimizacijski model konstrukcije hale izdelane iz jeklenih vroče valjanih HEA profilov FRAMEOPTI optimizacijski model konstrukcije hale izdelane iz jeklenih vroče valjanih IPE profilov FRAMEOPTIH optimizacijski model konstrukcije hale izdelane iz kombinacije jeklenih vroče valjanih IPE ter HEA profilov FT tehnika možnosti GA genetski algoritem GBD posplošena Bendersova dekompozicija GRG posplošena metoda reduciranih gradientov HS harmonijsko iskanje LP linearno programiranje LP/NLP BB LP/NLP metoda vejanja in omejevanja MASS masna namenska funkcija MILP mešano-celoštevilsko linearno programiranje MINLP mešano-celoštevilsko nelinearno programiranje MINLP-G splošna MINLP modelna formulacija MINLP-MS MINLP modelna formulacija mehanskih superstruktur MSN mejno stanje nosilnosti MSU mejno stanje uporabnosti NBB nelinearna metoda vejanja in omejevanja NLP nelinearno programiranje NN nevronske mreže OA metoda zunanje aproksimacije OA/ER algoritem zunanje aproksimacije s sprostitvijo enačb

XVIII

OC metoda optimalnih kriterijev RG metoda reduciranega gradienta SA simulirano ohlajanje SLDP zaporedno linearno diskretno optimiranje SQP zaporedno kvadratno programiranje TS tabu iskanje UB zgornja meja namenske spremenljivke

Sinteza konstrukcije jeklenih hal z mešanim celoštevilskim nelinearnim programiranjem

1

1 UVOD V inženirski praksi je večinoma uporabljen klasični postopek optimiranja, kjer se optimalnemu dizajnu konstrukcije približujemo z računskim ponavljanjem analize in dimenzioniranja konstrukcije. Zaradi zamudnosti takšnega postopka so inženirji in raziskovalci v preteklih tridesetih letih razvili številne učinkovite metode optimiranja in jih uporabili pri optimizaciji konstrukcij. Med najčešče uporabljene metode so se v svetu uveljavile metode matematičnega programiranja: linearno programiranje (LP), nelinearno programiranje (NLP), mešano celoštevilsko linearno programiranje (MILP) in mešano celoštevilsko nelinearno programiranje (MINLP). V doktorski disertaciji bomo predstavili celovit pristop k sočasnemu optimiranju mase, topologije, materiala in standardnih profilov konstrukcij jeklenih hal. Optimizacijo bomo izvajali z mešanim celoštevilskim nelinearnim programiranjem (MINLP). Ker bomo z MINLP izvajali optimiranje topologije in standardnih dimenzij na način, da se v optimizacijskem procesu posamezni konstrukcijski elementi računsko odvzamejo in/ali dodajajo, izračunavajo pa se tudi standardni materiali, dimenzije in oblika konstrukcije, z MINLP v bistvu izvajamo sintezo konstrukcij. V doktorski disertaciji bomo zato izvajali sintezo realnih inženirskih konstrukcij jeklenih hal velikega obsega. Pod realno inženirsko konstrukcijo razumemo konstrukcijo, ki zadovolji vsem pogojem dimenzioniranja v skladu z veljavnimi standardi za projektiranje konstrukcij (npr. Eurocode), njeni elementi pa so izdelani iz standardnih – na tržišču razpoložljivih profilov in materialov. Konstrukcije jeklenih hal spadajo med okvirne, t.j. skeletne konstrukcije. Slednje delimo z ozirom na velikost na večetažne skeletne konstrukcije (stolpiči, stolpnice) in na enoetažne skeletne konstrukcije, tip hale (industrijski, poslovni in športni enonadstropni objekti, hangarji, razstavni saloni, itd.). V objavljeni literaturi je mogoče najti le nekaj referenc iz področja optimiranja konstrukcij hal. E.J. O’Brien in A.S. Dixon (1997) sta npr. predlagala za optimalni dizajn portalnih okvirjev pristop linearnega programiranja. G. Guerlement idr. (2001) so predstavili praktično metodo, pri kateri so minimirali maso jeklene industrijske hale z uporabo Eurocode 3 (1992). Nedavno pa je M.P. Saka (2003) z uporabo genetskega algoritma dosegel optimalni dizajn jeklenega okvirja. A. Das in S. Mitra (2003) sta razvila optimizacijski model, pri katerem sta dobila optimalno obliko konstrukcije okvirja pri minimalni masi. Eden izmed zadnjih raziskovalnih prispevkov na tem področju je delo S. Hernándeza idr. (2005), kjer avtorji s svojim računalniškim programom, razvitim za optimizacijo konstrukcij, dosežejo minimalno maso.


2

Vsi zgoraj omenjeni avtorji so optimirali samo diskretne standardne prereze (jeklene profile) konstrukcijskih elementov okvirjev hal pri nespremenjeni topologiji. V doktorski disertaciji bomo razvili metodologijo za učinkovito sočasno optimiranje topologije, materialov in standardnih profilov konstrukcijskih elementov jeklenih hal. Optimirali bomo torej število okvirjev, leg in prečk konstrukcije hal in računali optimalen material ter standardne profile elementov. Zastavljeno sočasno optimiranje konstrukcij hal predstavlja reševanje bistveno obsežnejšega in težavnejšega optimizacijskega problema kot pri prej omenjenih avtorjih.

1.1 Konstrukcija jeklene hale V doktorski disertaciji bo predstavljeno optimiranje mase, topologije, diskretnih materialov in standardnih prerezov konstrukcije jeklenih hal (slika 1.1). Konstrukcijo hale sestavljajo togi nezavetrovani ravninski jekleni okvirji, lege, prečke in fasadni stebri čelnih sten. Nosilci, stebri, lege, prečke in fasadni stebri so izdelani iz standardnih vroče valjanih jeklenih I profilov. Optimiranje obravnavanega portalnega okvirja se izvaja ob kombiniranem delovanju lastne teže konstrukcijskih elementov hale, vertikalne enakomerne zvezne spremenljive obtežbe (sneg in veter) ter horizontalne koncentrirane spremenljive obtežbe (veter). Notranje statične količine so izračunane po elastični teoriji prvega reda. Dimenzioniranje konstrukcijskih elementov hale je izvedeno v skladu z Eurocode 3 (1992), pri čemer so zadovoljeni vsi pogoji za mejno stanje nosilnosti (MSN) in mejno stanje uporabnosti (MSU).

Slika 1.1: Konstrukcija jeklene hale Pri MSN so elementi preverjeni na osno, strižno in upogibno nosilnost, na interakcijo upogibnega momenta, strižne sile in osne sile ter na interakcijo tlačne/uklonske osne sile in bočne zvrnitve.


3

Vertikalni upogibki v končnem stanju δmax in upogibki zaradi spremenljive obtežbe δ2 so omejeni pod priporočenima mejnima vrednostima: razpon/200 in razpon/250. Zadoščeno pa mora biti tudi horizontalnemu pomiku portalnega okvirja, ki ne sme preseči mejne vrednosti 1/150 višine okvirja. Optimiranje hale bo izvedeno z metodo mešanega celoštevilskega nelinearnega programiranja (MINLP). S predlaganim MINLP pristopom bomo modelirali optimizacijski model konstrukcije hale, kjer bomo pri minimiranju mase jeklene konstrukcije iskali optimalno topologijo (število okvirjev, leg in prečk), optimalne diskretne materiale (standardne trdnosti jekel) ter optimalne diskretne prereze (standardne jeklene profile konstrukcijskih elementov). Za izračun mase bomo definirali masno namensko funkcijo. 1.2 Prispevek doktorske disertacije V doktorski disertaciji bomo izvirni prispevek k znanosti gradili na področjih: - razvoj učinkovite metodologije za sočasno optimiranje mase, topologije, materiala in

standardnih profilov konstrukcije jeklenih hal z MINLP, - razvoj masne namenske funkcije za MINLP parametrično optimiranje, razvoj učinkovitih MINLP strategij za reševanje optimizacije jeklenih hal, - izdelava diagramov za medsebojno primerjavo konkurenčnosti različnih skupin profilov

(IPE, HEA, kombinacija IPE ter HEA) z ozirom na podan razpon in obtežbo. Zastavljeni MINLP problem optimiranja konstrukcije jeklenih hal je kombinirani diskretno/zvezni optimizacijski problem, in je kot tak obsežen, nekonveksen in nelinearen. Zato predlagamo optimiranje konstrukcije hale v treh korakih. V prvem koraku se izvede generacija mehanske superstrukture hale različnih alternativ topologije, materialov in standardnih dimenzij. Drugi korak obsega razvoj MINLP modelne formulacije konstrukcije hale. Zadnji korak pa predstavlja rešitev definiranega optimizacijskega problema MINLP. Z uporabo predlagane optimizacijske metode MINLP bomo izvedli sintezo konstrukcije treh različnih tipov jeklenih hal: - konstrukcija hale sestavljena iz vroče valjanih HEA profilov (tip 1), - konstrukcija hale sestavljena iz vroče valjanih IPE profilov (tip 2) in - konstrukcija hale sestavljena iz mešanega izbora IPE ter HEA profilov (tip 3). Za optimiranje omenjenih treh tipov konstrukcij hal bomo razvili tri različne optimizacijske modele MINLP. Namen sinteze konstrukcij hal je minimiranje mase konstrukcij. Zato bomo definirali masno namensko funkcijo konstrukcije hale, ki jo bomo podvrgli (ne)linearnim pogojnim (ne)enačbam. Pogojne (ne)enačbe dimenzioniranja konstrukcij jeklenih hal bomo definirali v skladu s standardi Eurocode, pri čemer bodo zadovoljeni vsi pogoji mejnega stanja nosilnosti in uporabnosti.


4

Na osnovi razvitih modelov bo izvedeno parametrično MINLP optimiranje pri kombinaciji naslednjih parametrov: - 3 različnih tipih konstrukcij hal 3 različnih standardnih profilov: - konstrukcija hale sestavljena iz vroče valjanih HEA profilov (tip 1), - konstrukcija hale sestavljena iz vroče valjanih IPE profilov (tip 2) in - konstrukcija hale sestavljena iz mešanega nabora IPE in HEA profilov (tip 3), - 5 različnih razponih hal (10 m, 20 m, 30 m, 40 m in 50 m), - 3 različnih višinah hal (5 m, 7.5 m in 10 m), - 6 različnih vertikalni spremenljivih obtežbah (0.5 kN/m2, 1.0 kN/m2, 1.5 kN/m2, 2.0 kN/m2, 2.5 kN/m2, 3.0 kN/m2), - 2 različnima horizontalnima spremenljivima obtežbama (0.5 kN/m2 in 1.0 kN/m2) in - 3 različnih kvalitetah konstrukcijskega jekla (S235, S275 in S355). Potrdili bomo tezo, da je z mešanim celoštevilskim nelinearnim programiranjem (MINLP) ob razvoju ustrezne metodologije za generacijo superstrukture konstrukcije hal, z postavitvijo specialne MINLP modelne formulacije in z razvojem primerne strategije za reševanje definiranega MINLP problema, mogoče uspešno reševati sočasno optimiranje topologije, materiala in standardnih prerezov jeklenih konstrukcij hal velikega obsega. Zaradi velike obsežnosti in predvsem velike kombinatorike različnih diskretnih alternativ superstrukture hale (topologije, materialov in profilov), algoritem MINLP brez ustreznih MINLP strategij ne more uspešno konvergirati, oz. je nerešljiv. V ta namen bomo razvili povezano trifazno MINLP strategijo, s katero bomo izboljšali konvergenco omenjenega algoritma. Na koncu bomo izvršili primerjavo rezultatov med predstavljenimi tremi tipi konstrukcij jeklenih hal. Na osnovi teh primerjav bomo izrisali diagrame za optimalen dizajn konstrukcije jeklenih hal, s pomočjo katerih bo lahko inženir za izbran razpon, višino in obtežbo hale določil: - tip konstrukcije (tip 1, 2 ali 3), - število konstrukcijskih elementov (topologijo), - konstrukcijsko jeklo (material) in - standardni prerez za vsak konstrukcijski element posebej (HEA, IPE ali mešani izbor IPE ter HEA profilov). Na ta način zasnovana doktorska disertacija poleg teoretičnega prispevka predstavlja tudi praktični prispevek k inženirski praksi.


5

2 TEORETI ČNO IZHODIŠČE

2.1 Metode optimiranja konstrukcij Ene od prvih idej optimiranja konstrukcij sta s svojimi klasičnimi deli podala J.C. Maxwell (1869) in A.G.M. Michell (1904). Zaradi obsežnosti in računske zahtevnosti problema je optimiranje konstrukcij doživelo razmah šele v šestdesetih letih prejšnjega stoletja, kar je bilo pogojeno z razvojem računalništva in različnih učinkovitih optimizacijski metod matematičnega programiranja. Kot prvi pisni vir iz področja modernega optimiranja konstrukcij, različni avtorji omenjajo delo L.A. Schmita (1960), v katerem je predstavljena prva povezava nelinearnega optimiranja in metode končnih elementov. Metode optimiranja konstrukcij lahko razvrstimo v dve veliki skupini, in sicer v metode matematičnega programiranja in hevristične metode. Najpomembnejše metode matematičnega programiranja so: - linearno programiranje (Linear Programming, LP), - nelinearno programiranje (Non-linear Programming, NLP), - mešano celoštevilsko linearno programiranje (Mixed Integer Linear Programming, MILP), - mešano celoštevilsko nelinearno programiranje (Mixed Integer Non-linear Programming, MINLP). V skupino hevrističnih metod pa uvrščamo: - nevronske mreže (Neural Networks, NN), - evolucijski algoritem (Evolutionary Algorithms, EA), - direktno iskanje (Direct Search, DS), - tabu iskanje (Tabu Search, TS), - simulirano ohlajanje (Simulated Annealing, SA), - kolonija mravelj (Ant Colony Optimization, ACO), - harmonijsko iskanje (Harmony Search, HS). 2.1.1 Matematično programiranje 2.1.1.1 Linearno programiranje, LP Optimizacijski problem, ki vsebuje linearno namensko funkcijo in linearne (ne)enačbe rešujemo z linearnim programiranjem, (Linear Programming, LP). Optimizacijski problem zaradi konveksnosti linearnih funkcij vsebuje le eno optimalno vrednost, ki ji lahko ustrezajo različne rešitve za spremenljivke. Problem LP običajno rešujemo z metodo simpleks. Algoritem simpleks rešuje optimizacijski problem le po ogliščih dopustnega območja, ker


6

optimum pri LP leži v enem oglišču. Zaradi pospešenega razvoja različnih optimizacijskih metod nelinearnega programiranja v šestdesetih letih in izrazite nelinearnosti problemov konstrukcij, zvezno optimiranje konstrukcij z LP ni doživelo večjega razmaha. Zgodnje raziskave na področju optimiranja konstrukcij z LP lahko zasledimo v prispevkih W.S. Dorn idr. (1964), J.M. Davies (1972), F. Moses (1974) in D. Morris (1978). 2.1.1.2 Mešano celoštevilsko linearno programiranje, MILP Mešano celoštevilsko linearno programiranje, MILP predstavlja razširitev LP. Poleg zveznih spremenljivk so v problemu mešanega celoštevilskega linearnega programiranja definirane še diskretne, večinoma binarne 0-1 spremenljivke. Z binarnimi spremenljivkami in pogojnimi neenačbami definiramo diskretne odločitve med optimiranjem. Vsaki alternativi pridružimo binarno spremenljivko tako, da vrednost 1 pomeni izbor, vrednost 0 pa zavrnitev alternative. Najenostavnejši način iskanja globalnega minimuma pri MILP problemih je poiskati minimum izmed vseh LP problemov za vse kombinacije binarnih spremenljivk. Ta pristop je utrujajoč in ga je mogoče izvesti le za majhne probleme, saj zveza med številom vseh kombinacij in številom binarnih spremenljivk eksponentno narašča. Zato MILP probleme rešujemo z algoritmom vejanja in omejevanja (Branch and Bound, BB), ki pri iskanju optimalne rešitve izvede le omejeno število LP problemov. Metodo vejanja in omejevanja sta v začetku šestdesetih let razvila A.H. Land in A. Doig (1960). Prve pomembnejše reference na področju diskretnega optimiranja konstrukcij z MILP so se pojavile v sedemdesetih in osemdesetih letih v prispevkih K.F. Reinschmidt (1971), A.B. Templeman in D.F. Yates (1983) ter D.M. Zhou (1986). 2.1.1.3 Nelinearno programiranje, NLP Nelinearno programiranje je najpogosteje uporabljena matematična metoda za optimiranje konstrukcij v mehaniki. V začetku petdesetih let sta H.W. Kuhn in A.W. Tucker (1951) predlagala znamenita izraza za potrebni in zadostni pogoj optimalnosti rešitve problema nelinearnega programiranja (Non-linear Programming, NLP). Pozneje se je ugotovilo, da je bil »Kuhn-Tuckerjev teorem« dokazan že dvakrat pred njunim prispevkom. Prvič leta 1939 v magistrskem delu W. Karusha (1939) na Univerzi v Chicagu, katerega izsledki niso bili nikoli objavljeni. Drugič v raziskavi F. Johna, katerega izsledki so bili prvič zavrnjeni za objavo v reviji Duke Mathematical Journal, pozneje pa objavljeni v zbirki študij in razprav v prispevku F. John (1948). Pri metodi NLP optimiramo zvezne spremenljivke. Namenska funkcija in pogojne (ne)enačbe so nelinearne funkcije. Učinkovitejše metode rešujejo problem NLP z neposredno zadostitvijo Kuhn-Tuckerjevih pogojev, najpomembnejše med njimi so: metoda reduciranega gradienta (Reduced Gradient Method, RG) avtorja P. Wolfe (1967); posplošena metoda


7

reduciranega gradienta (Generalized Reduced Gradient Method, GRG) avtorjev J. Abadie in J. Carpenter (1969); razširjeni Lagrangian (Augmented Lagrangian, AL) avtorjev M.J.D. Powell (1969) in M.R. Hestenes (1969) ter zaporedno kvadratno programiranje (Successive Quadratic Programming, SQP) avtorja M.J.D. Powell (1978). Kot prvi prispevek na področju optimiranja konstrukcij z NLP večina strokovnjakov omenja že prej omenjeni članek L.A. Schmit (1960). Pozneje so sledile pomembnejše raziskave avtorjev G. Sved in Z. Ginos (1968), J. Moe (1969a,b), D. Kavlie in J. Moe (1969) in W. Prager (1970). Šestdeseta in sedemdeseta leta so pomembno zaznamovali prispevki s področja zveznega optimiranja konstrukcij z metodami na osnovi Kuhn-Tuckerjevih kriterijev optimalnosti, t.i. Optimality Criteria Methods, OC. Prve prispevke na tem področju so predstavili R.L. Barnett (1961), W. Prager in R.T. Shield (1967), V.B. Venkayya idr. (1967) in (1971). Številni avtorji omenjajo metode OC kot alternativni pristop metodam matematičnega programiranja, kjer so Kuhn-Tuckerjevi pogoji optimalnosti nelinearnega programiranja kombinirani z Lagrangevimi multiplikatorji. S Kuhn-Tuckerjevimi pogoji se zagotovijo zahteve za optimalno rešitev, z Lagrange-ovimi množitelji pa se vključijo pogoji optimizacijskega problema. 2.1.1.4 Mešano celoštevilsko nelinearno programiranje, MINLP Med prej navedenimi optimizacijskimi problemi so MINLP problemi najtežje rešljivi. Mešano celoštevilsko nelinearno programiranje (MINLP) predstavlja razširitev NLP ter MILP. Enako kot pri MILP so tudi v MINLP poleg zveznih spremenljivk uporabljene še diskretne spremenljivke. Pri MINLP zvezno in diskretno optimiranje konstrukcij potekata sočasno, zato rezultat tovrstnega optimiranja predstavljajo optimalna topologija konstrukcije (optimalno število konstrukcijskih elementov), optimalni diskretni parametri konstrukcije (standardne in zaokrožene dimenzije konstrukcijskih elementov) in optimalni zvezni parametri konstrukcije (pomiki, notranje statične količine, masa, ipd.). Prvi začetki mešanega celoštevilskega nelinearnega programiranja (Mixed Integer Non-linear Programming, MINLP) segajo v šestdeseta leta prejšnjega stoletja, ko je bila v prispevku J.F. Benders (1962) in desetletje zatem še v prispevku A.M. Geoffrion (1972) predlagana posplošena Bendersova dekompozicija (Generalized Benders Decomposition, GBD) kot metoda za reševanje optimizacijskih problemov MINLP. Zatem so sledile še številne druge učinkovite metode reševanja optimizacijskih problemov MINLP, npr. nelinearna metoda vejanja in omejevanja (Non-linear Branch and Bound, NBB) avtorjev E.M.L. Beale (1977) ter O.K. Gupta in A. Ravindran (1984); metoda zunanje aproksimacije (Outer-Approximation, OA) avtorjev M.A. Duran in I.E. Grossmann (1986); tehnika možnosti (Feasibility technique, FT) avtorjev H. Mawengkang in B.A. Murtag (1986); zaporedno linearno diskretno programiranje (Sequential Linear Discrete Programmning, SLDP) avtorjev G.R. Olsen in G.N. Venderplaats (1989) ter M. Bremicker idr. (1990); LP/NLP


8

metoda vejanja in omejevanja (LP/NLP based Branch and Bound, LP/NLP BB) avtorjev I. Quesada in I.E. Grossmann (1992); ter razširjeno rezanje ravnine (Extended Cutting Plane, ECP) avtorjev T. Westerlund in F. Pettersson (1995). Prvi prispevki, ki obravnavajo diskretno optimiranje konstrukcij s povezavo metod nelinearnega programiranja z metodo vejanja in omejevanja se pojavijo koncem osemdesetih in v začetku devetdesetih let, npr. K.V. John in C.V. Ramakrishnan (1987), K. Hager in R. Balling (1988), M. Bremicker idr. (1990) ter E. Salajegeh in G.N. Venderplaats (1993). Praktična uporabnost diskretnega optimiranja mehanskih struktur z MINLP je prvič prikazana v prispevkih avtorjev S. Kravanja idr. (1998a,b), kjer so uspešno izvedli sočasno optimiranje topologije, standardnih dimenzij in zveznih parametrov tablastih zapornic hidrotehnike, S. Kravanja idr. (1998c). 2.1.2 Hevristične metode 2.1.2.1 Nevronske mreže, NN Koncept umetnih nevronov je bil prvič predstavljen že leta 1943 v prispevku W.S. McCulloch in W. Pitts (1943), medtem ko so prve pomembnejše raziskave na področju nevronskih mrež (Neural Networks, NN) nastale šele po prvi predstavitvi algoritma vzvratnega razširjanja (Backpropagation Training Algorithm, BP) v prispevku D.E. Rumelhart idr. (1986). NN so računski sistem, ki simulira mikrostrukturo biološkega živčnega sistema, sestavljenega iz posebnih celic t.i. »nevronov«, ki imajo sposobnosti shranjevanja, ocenitve in uporabe prejšnjih izkušenj. Pomembna lastnost nevronov živčnega sistema je sposobnost povezovanja z drugimi nevroni, pri čemer lahko vsak nevron vzpostavi tudi do 200000 povezav. NN predstavljajo paralelno razdeljen procesni sistem, sestavljen iz enostavnih procesnih enot, t.i. »nevronov«, ki imajo lastnost shranjevanja eksperimentalnih informacij, ocenitve in omogočanje ponovne uporabe le-teh. Funkcija nevronskih mrež je določena z zvezami med nevroni, ki so definirane z nelinearnimi funkcijami. Vsak vhodni podatek za nevron ima utežni faktor funkcije, ki definira moč povezave in s tem vpliv te povezave na ostale nevrone. NN se lahko naučijo izvajati določeno funkcijo s prilagajanjem vrednosti teh uteži med nevroni. Najpogostejšo uporabo NN zasledimo na sledečih področjih: pri ocenjevanju, napovedovanju, prepoznavanja vzorcev in pri diskretnem optimiranju. H. Adeli in C. Yeh (1989) sta kot prva uporabila NN v gradbeništvu za dimenzioniranje jeklenih nosilcev. Izsledki prvih raziskav, ki obravnavajo optimiranje konstrukcij z NN so predstavljeni prispevkih P. Hajela in L. Berke (1991), L. Berke idr. (1993) ter H. Adeli in H.S. Park (1995).


9

2.1.2.2 Evolucijski algoritem, EA Evolucijski algoritmi (Evolutionary Algorithms, EA) so družina populacijsko preiskovalnih algoritmov, ki simulirajo naravno evolucijo z medsebojno povezanimi procesi selekcije, reprodukcije in variacije. Na področju hevrističnega optimiranja konstrukcij sta bili najpogosteje uporabljeni dve skupini evolucijskih algoritmov R. Kicinger idr. (2005): evolucijske strategije (Evolution Strategies, ES) in genetski algoritmi (Genetic Algorithms, GA). ES so bile prvič predstavljene sredi šestdesetih let v prispevkih I. Rechenberg (1965) in H.P. Schwefel (1965). Izsledki prvih raziskav na področju optimiranja konstrukcij z ES so bili objavljeni šele v začetku sedemdesetih let v prispevkih I. Rechenberg (1973) in A. Hoeffler idr. (1973). Genetski algoritmi pa so bili prvič predstavljeni sredi sedemdesetih let v delu J.H. Holland (1975). Kasneje jih je razvijal in podrobno predstavil z aplikacijami D.E. Goldberg (1989). GA se zgledujejo po principih naravne selekcije in razmnoževanja ter sodijo v družino hevrističnih preiskovalnih algoritmov. Osnovne karakteristike GA so: obravnavajo diskretne spremenljivke, preiskujejo široko območje možnih rešitev, izbira potencialne rešitve se opravi na podlagi funkcije uspešnosti, ki jo predstavlja vsota namenske in kazenske funkcije, diskretni optimum je obravnavan brez izvajanja gradientov namenske funkcije. Med prvimi prispevki s področja optimiranja konstrukcij z GA so v literaturi omenjeni D.E. Goldberg in M.P. Samtani (1986), P. Hajela (1990), E. Sandgren idr. (1990), K. Deb (1991) ter W.M. Jenkins (1991a,b). 2.1.2.3 Direktno iskanje, DS Hevristična optimizacijska metoda »direktno iskanje« (Direct Search, DS), se prvič pojavi v prispevku R. Hook in T.A. Jeeves (1961). Avtorja sta v svojem delu opisala metodo DS kot zaporedno preiskovanje poskusnih rešitev z izvajanjem primerjave le-teh s pridobljeno najboljšo rešitvijo in z uporabo strategije za določitev sledečih poskusnih rešitev kot funkcije prejšnjih rezultatov. Pri preiskovanju možnih rešitev DS ne računa in ne aproksimira odvode namenske funkcije. DS vrednoti možne rešitve izključno na osnovi vrednosti namenske funkcije, pri čemer lahko sprejme nove iteracije, ki povzročijo zmanjšanje vrednosti namenske funkcije. Omenjena metoda DS je bila zaradi svoje enostavnosti in zanesljivosti pogosto uporabljena tudi na področju optimiranja konstrukcij. Eno izmed prvih raziskav na področju optimiranja konstrukcij z DS lahko zasledimo v prispevkih M. Pappas in J.F. Amba-Rao (1970) in (1971), F. Moses idr. (1971), P.A. Seaburg in C.G. Salamon (1971) ter A. Touma in J.F. Wilson (1973).


10

2.1.2.4 Tabu iskanje, TS Tabu iskanje (Tabu Search, TS) je iterativno hevristično reševanje optimizacijskih problemov, ki jo je koncem sedemdesetih let v svojem prispevku predlagal F. Glover (1977). TS uporablja pristop vodenega lokalnega preiskovanja celotnega prostora možnih rešitev. Za trenutno rešitev je v vsaki iteraciji definirano lokalno območje drugačnih rešitev. Lokalno območje drugačnih možnih rešitev se tvori z modificiranjem trenutne rešitve po t.i. postopku premika. Pri tem TS ohranja zgodovino informacij o procesu reševanja s kratkoročnim in dolgoročnim spominom. Kratkoročni spomin preprečuje ponavljanje iste rešitve, medtem ko dolgoročni spomin algoritmu omogoča preiskovanje območij, v katerih so že bile najdene dobre rešitve in novih, še neraziskanih območij možnih rešitev. Med zgodnejšimi referencami na področju optimiranja konstrukcij s TS so bili najdeni prispevki N. Hu (1992), R.K. Kincaid (1993), J.A. Bland (1995), W.A. Bennage in A.K. Dhingra (1995). 2.1.2.5 Simulirano ohlajanje, SA V začetku osemdesetih let so S. Kirkpatrick idr. (1983) predstavili metodo simulirano ohlajanje (Simulated Annealing, SA) za reševanje diskretnih optimizacijskih problemov. Metoda SA je hevristični postopek preiskovanja, analogen naravnemu procesu minimizacije energije v raztaljeni kovini tekom padanja temperature in kristalizacije. SA začne račun pri naključno izbrani možni rešitvi pri visoki vrednosti kontrolnega parametra, t.i. temperaturi, ki je definirana v enakih enotah kot namenska funkcija. Algoritem ponavljajoče izvaja naključno spreminjanje vrednosti spremenljivk. Rešitev, ki povzroči zmanjšanje vrednosti namenske funkcije t.i. energije, je avtomatično izbrana za potencialni optimum, t.i. novo delovno rešitev. Reševanje problema se ustavi, ko trenutna temperatura predstavlja majhen procent začetne temperature, tipično 1%. Prve raziskave na področju optimiranja konstrukcij z metodo SA lahko zasledimo v prispevkih R.J. Balling (1991), S.A. May in R.J. Balling (1992) ter S. Tzan in C.P. Pantelides (1996). 2.1.2.6 Kolonija mravelj, ACO V začetku devetdesetih let se pojavi hevristična metoda kolonija mravelj (Ant Colony Optimization, ACO), ki so jo uporabljali za reševanje diskretnih optimizacijskih problemov. Metoda ACO je bila prvič predlagana v avtorskih delih M. Dorigo idr. (1991a,b) in v doktorski disertaciji M. Dorigo (1992). ACO simulira naravno vedenje kolonije mravelj pri iskanju virov hrane. Etologi so namreč ugotovili, da kolonija mravelj, ki so sicer slepe, na začetku iskanja virov hrane naključno raziskuje okolico mravljišča. Kakor hitro ena mravlja najde vir hrane, ga oceni z vidika kvantitete in kvalitete ter odnese en košček hrane v mravljišče. Mravlja na poti nazaj proti mravljišču odlaga kemično sled feromonov, katere količinska intenzivnost je odvisna od kvalitete in kvantitete najdenega vira hrane. Sledeča


11

mravlja, ki zazna sled feromonov, bo potovala po označeni poti in bo na tej isti poti odložila dodatne feromone, ki bodo dodatno ojačali sled. S tem se poveča verjetnost, da bo večje število mravelj zaznalo sled feromonov in sledilo označeni poti med virom hrane in mravljiščem. V tem zapletenem procesu kolonija mravelj tvori najkrajšo pot med najdenim virom hrane in mravljiščem. Algoritem ACO vsebuje množico parametrov, imenovanih »sled feromonov«, ki so pripisani spremenljivkam, imenovanih »pot«, s katerimi je določena optimalna rešitev. Algoritem pri reševanju optimizacijskega problema z vsako novo pridobljeno možno rešitvijo obnavlja vrednost »sled feromonov« na način, da povečuje verjetnost poznejše pridobitve kvalitetnejših rešitev. Analogija, ki velja za primer optimizacijski problem minimiranja mase konstrukcije: pot = volumen konstrukcijskega elementa, potovanje = vsota vseh poti = volumen konstrukcije. En cikel reševanja je zaključen, ko je izbrana kombinacija vseh »poti« za »potovanje«. Kriterij za ustavitev reševanja je izveden na osnovi primerjave najboljše rešitve zadnjega cikla in najboljše globalne rešitve vseh predhodnih ciklov. Prve raziskave na področju optimiranja konstrukcij z ACO so opravili C.V. Camp in B.J. Bichon (2004) ter C.V. Camp idr. ( 2004) in (2005). 2.1.2.7 Harmonijsko iskanje, HS Harmonijsko iskanje (Harmony Search, HS) je ena najnovejših hevrističnih metod, razvitih za reševanje zveznih optimizacijskih problemov. Metoda je bila prvič predlagana v prispevku Z.W. Geem idr. (2001). Metoda HS je hevristični postopek naključnega preiskovanja, ki je konceptualno analogen glasbenemu procesu iskanja idealnega harmoničnega stanja. Harmonija pri glasbi je analogna vektorju spremenljivk možne rešitve, glasbena improvizacija je analogna tvorbi nove preiskovalne kombinacije vektorja spremenljivk pri iskanju optimalne rešitve, idealno stanje harmonije pa je analogno vektorju spremenljivk rešitve optimizacijskega problema. Algoritem HS pri preiskovanju prostora možnih rešitev naključno iterativno generira vektorje spremenljivk možnih rešitev glede na zapisan zgodovinski spomin prejšnjih iskanj in stopnjo prilagoditve vrednosti spremenljivk. Vsakič po pridobitvi boljšega vektorja spremenljivk možne rešitve vpiše to izkušnjo v spomin posamezne spremenljivke, kar poveča verjetnost pridobitve boljše rešitve v prihodnjih preiskovanjih. Vektor spremenljivk boljše rešitve se vključi v »harmonijski spomin«, t.j. matriko vektorjev možnih rešitev, razvrščenih po vrednosti namenske funkcije, vektor spremenljivk slabše rešitve pa se izključi iz »harmonijskega spomina«. Reševanje problema se ustavi na osnovi prej definiranega največjega števila preiskovanj. Prve raziskave na področju optimiranja konstrukcij s HS sta opravila K.S. Lee in Z.W. Geem (2004) in (2005).


12

2.2 Sinteza konstrukcij jeklenih hal z MINLP V disertaciji obravnavamo optimizacijski pristop k sintezi konstrukcij jeklenih hal. Sinteza konstrukcij v splošnem vsebuje tako generiranje in selekcioniranje različnih konstrukcijskih alternativ, kakor tudi odločitev o tem, kateri konstrukcijski elementi naj sestavijo konstrukcijo in kako naj bodo med seboj povezani. Optimalne dimenzije, geometrija in ostali parametri tudi morajo biti izračunani. Prvo nakazuje diskretno odločanje o konstrukcijskih elementih in njihovih medsebojnih povezavah, slednje pa zahteva izračun znotraj zveznega prostora dimenzij in parametrov. Sinteza konstrukcij v osnovi torej ustreza kombiniranemu diskretno-zveznemu optimizacijskemu problemu, ki ga je s stališča matematičnega programiranja možno rešiti z mešanim celoštevilskim linearnim programiranjem (MILP) ali pa z mešanim celoštevilskim nelinearnim programiranjem (MINLP). Glede na dejstvo, da je večina problemov mehanike in konstrukcij nelinearnih, smo za reševanje problemov sinteze konstrukcij jeklenih hal izbrali mešano celoštevilsko nelinearno programiranje, MINLP. Z MINLP je mogoče v enovitem računskem optimizacijskem procesu sočasno izračunati: - optimalno maso (stroške) konstrukcije, - optimalno število konstrukcijskih elementov (topologijo), - optimalno kvaliteto konstrukcijskega jekla (diskretne materiale), - optimalne diskretne dimenzije konstrukcijskih elementov (standardne profile) in - zaokrožene dimenzije konstrukcijskih elementov (na celi mm ali cm diskretno zaokrožene zvezne dimenzije). Sintezo jeklenih hal izvajamo z namenom minimiranja mase konstrukcije, ki je definirana kot vsota mas vseh posameznih strukturnih elementov konstrukcije (stebrov, nosilcev, leg, prečk in fasadnih stebrov). 2.2.1 Sočasno optimiranje topologije, materiala in standardnih profilov konstrukcije

jeklenih hal Kombinirani diskretno/zvezni MINLP optimizacijski problemi večjih in zahtevnejših inženirskih konstrukcij so večinoma nekonveksni in izrazito nelinearni. Sočasno optimiranje topologije, materiala in standardnih dimenzij hal po superstrukturnem pristopu izvajamo zaporedoma na treh nivojih dejavnosti: - generiranje mehanske superstrukture konstrukcije jeklenih hal različnih strukturnih

alternativ topologije, diskretnih materialov in standardnih profilov, ki kandidirajo za optimalni rezultat;


13

- razvoj specialne MINLP modelne formulacije konstrukcije hal, s katero definirano superstrukturo opišemo z modelom enačb. Razen zveznih spremenljivk za izračun zveznih dimenzij in parametrov, smo definirali tudi diskretne binarne 0-1 spremenljivke, s katerimi smo opisali potencialni obstoj konstrukcijskih elementov in standardnih dimenzij;

- reševanje definiranega MINLP problema konstrukcije hal z uporabo primernih MINLP algoritmov in strategij, ki v sočasnem optimizacijskem procesu dajejo optimalno topologijo, materiale, standardne dimenzije in zvezne parametre. V širšem pomenu ta nivo vključuje tudi razvoj samih algoritmov in strategij.

V tem poglavju predstavljamo razvoj optimizacijskega modela za sintezo konstrukcij jeklenih hal na osnovi že razvitega splošnega modela za sintezo mehanskih struktur, ki so ga razvili S. Kravanja idr. (1998a,b,c) in (2005). 2.2.2 Generiranje mehanske superstrukture Prvi nivo sinteze, generiranje mehanske superstrukture hale, predstavlja definicijo vseh alternativnih struktur oz. konstrukcij. Slednje so definirane s kombiniranjem različnega števila okvirjev, leg in prečk (alternativnih topologij), različnih diskretnih materialov in standardnih profilov. Navedeni elementi predstavljajo superstrukturo jeklene hale, ki jo je potrebno smotrno izbrati in definirati. Prevelika superstruktura (preveč alternativnih elementov) lahko močno uteži in upočasni optimizacijski proces, oziroma celo povzroči nerešljivost le-tega, premajhna superstruktura pa lahko povzroči, da dobljen rezultat ne predstavlja dobrega optimuma (leži daleč stran od globalnega optimuma). Na tem nivoju igrajo pomembno vlogo tudi izkušnje in intuicija.

Superstrukturo v splošnem sestavljajo množica različnih strukturnih elementov in vozlišč. Vsakršen urejen in možen izbor strukturnih elementov ter vozlišč znotraj superstrukture nam da variantno strukturo, v našem primeru konstrukcijo jeklene hale. Variantnih struktur je toliko, kolikor različnih kombinacij lahko tvorimo s strukturnimi elementi in vozlišči. Vsaka variantna struktura definira posebno, njej lastno število in razporeditev strukturnih elementov – topologijo konstrukcije. Vsakemu elementu strukture je pripisana diskretna, največkrat binarna 0-1 spremenljivka y. Strukturni element je izbran in s tem predstavlja del neke strukture, če njegova binarna spremenljivka zavzame vrednost ena (y = 1), drugače je zavrnjen (y = 0). Pravilno modeliranje superstrukture in ustrezno obravnavanje diskretnih spremenljivk pri definiranju struktur in topoloških alternativ predstavlja najvažnejšo aktivnost za učinkovito izvedbo sinteze. Obravnavanje binarnih spremenljivk v splošnem problemu sinteze se tipično izvaja z naslednjimi osnovnimi logičnimi (ne)enačbami:

- izbran naj bo natanko en element: 1=∑∈Ii

iy (2.1)


14

- izbran naj bo kvečjemu en element: 1≤∑∈Ii

iy (2.2)

- izbran naj bo vsaj en element: 1≥∑∈Ii

iy (2.3)

- če je izbran element k, mora biti izbran tudi element i (ne pa tudi obratno):

0≤− ik yy (2.4)

- aktiviranje/deaktiviranje zvezne spremenljivke x: yxxyx UPLO ⋅≤≤⋅ (2.5)

če je UPLO xxxy ≤≤⇒=1 , če je 00 =⇒= xy

- logična pogojna neenačba »celoštevilski rez« (integer cut) onemogoča izbor

nepotrebnih celoštevilskih kombinacij { } { }mkik miyy 1,0,....,1 ∈== , dobljenih v prejšnjih k-tih MINLP iteracijah:

1−≤− ∑∑

∈∈k

NIii

BIii BIyy

kk

(2.6)

Kjer je: { }1== kik yiBI , { }0== kik yiNI Kk ,.....,2,1= Opisan osnovni koncept MINLP mehanskih superstruktur je že bil modificiran za probleme mehanike in konstrukcij, S. Kravanja idr. (1998 a,b) in S. Šilih (2004). Namen disertacije je definirati supestrukturo za sintezo konstrukcije jeklenih hal. Superstrukturo konstrukcije sestavlja množica različnih konstrukcijskih elementov in število le-teh, ki jih je po nekem vzorcu mogoče sestaviti v prostoru. Vsaka drugačna sestava izbranih konstrukcijskih elementov predstavlja variantno konstrukcijo. Na ta način vse variantne alternative konstrukcije sestavljajo superstrukturo. Ena od variantnih konstrukcij predstavlja optimalno konstrukcijo. 2.2.3 Specialna MINLP modelna formulacija konstrukcije jeklenih hal Razvoj specialne modelne formulacije MINLP hale predstavlja zapis definirane superstrukture konstrukcije hale v matematično obliko. Topološke/strukturne alternative definiramo s pomočjo diskretnih binarnih 0-1 spremenljivk. Vsakemu konstrukcijskemu elementu dodelimo eno binarno spremenljivko. Element je potem izbran v trenutno topologijo, če njegova pridružena binarna spremenljivka zavzame vrednost 1, v nasprotnem primeru pa je element iz superstrukture odstranjen (vrednost 0). Diskretni materiali in standardne dimenzije prerezov konstrukcijskih elementov so prav tako določeni z izborom binarnih spremenljivk. MINLP modelna formulacija za superstrukturo konstrukcije hale vsebuje zvezne in diskretne binarne spremenljivke. Zvezne spremenljivke so razdeljene na dimenzijske (design) spremenljivke in na izvedbene (non-design) spremenljivke. Diskretne


15

spremenljivke so nadalje razdeljene na binarne spremenljivke, ki določajo potencialni izbor konstrukcijskih elementov različnih topoloških/strukturnih alternativ ter na linearne spremenljivke, ki določajo izbor diskretnih materialov in standardnih dimenzij (profilov). Pri MINLP potekata diskretno in zvezno optimiranje sočasno, zato rezultat predstavlja optimalne vrednosti tako diskretnih kot zveznih spremenljivk. Splošni diskretno/zvezni MINLP optimizacijski problem MINLP-G definiramo z naslednjim zapisom: min ( )xyc fz += T

p.p. ( ) 0xh = ( ) 0xg ≤ (MINLP-G)

bCxBy ≤+

x ∈∈∈∈ X ==== { x ∈∈∈∈ Rn: xLO ≤ x ≤ xUP}

y ∈∈∈∈ Y ===={0,1}m

pri čemer je x vektor zveznih spremenljivk, definiran na definicijskem območju X in y je vektor diskretnih binarnih spremenljivk, ki lahko zavzamejo vrednost 0 ali 1. Funkcije f(x), h(x) in g(x) so nelinearne funkcije, vsebovane v namenski funkciji z, v množici pogojnih enačb in neenačb. Vse funkcije f(x), h(x) in g(x) so nelinearne, zvezne in zvezno odvedljive. Dodan je tudi sistem mešanih linearnih enačb in neenačb By + Cx ≤ b, ki vsebuje tako zvezne kot diskretne spremenljivke. Nelinearne enačbe h(x) = 0 in neenačbe g(x) ≤ 0, kakor tudi spodnje in zgornje meje zveznih spremenljivk x predstavljajo sistem pogojnih enačb celotne oblikovne, napetostne, deformacijske in stabilnostne analize mehanske superstrukture. By + Cx ≤ b pa predstavlja logične zveze za izbor topoloških alternativ in standardnih dimenzij. Z namesko funkcijo definiramo kriterij oziroma namen optimiranja. Največkrat je namen sinteze in optimiranja minimiranje mase ali lastnih izdelavnih stroškov mehanske strukture. Namensko funkcijo z v splošnem sestavlja linearni in nelinearni del. Linearni del cTy je odvisen le od števila strukturnih elementov, medtem ko nelinearni del f(x) zajema dimenzijsko pogojene dele namenske funkcije. Zgornja splošna modelna formulacija MINLP je bila modificirana za optimiranje mehanskih superstruktur (MINLP-MS). Glede na splošno MINLP-G modelno formulacijo je MINLP-MS formulacija precej bolj obsežna in specifična, predvsem v pogledu spremenljivk in pogojnih (ne)enačb. Modelna formulacija MINLP-MS predstavlja matematično osnovo, na podlagi katere lahko modeliramo konstrukcijo jeklenih hal. Zapisana je v naslednji obliki:


16

min ( )xyc fz += T

p.p. ( ) 0xh = ( ) 0xg ≤ ( ) axA ≤ Ey ≤ e (MINLP-MS)

( ) rxRDy ≤+e ( ) kdLKy ≤+ cne ( ) mdMPy ≤+ mat ( ) ndNPy ≤+ st x ∈∈∈∈ X ==== { x ∈∈∈∈ R

n: xLO ≤ x ≤ xUP}

y ∈∈∈∈ Y ===={0,1}m

MINLP-MS modelna formulacija za mehansko superstrukturo vsebuje: - vektor zveznih spremenljivk x={d, p} in diskretnih binarnih spremenljivk y={ ye, ymat,

yst}. Vektor zveznih spremenljivk je razdeljen na vektor dimenzijskih (design) spremenljivk d={dcn, dmat, dst} in na vektor izvedbenih (non-design) spremenljivk p. Pri tem podvektorji dcn, dmat in dst označujejo zvezne dimenzije, diskretne materiale in standardne dimenzije. Vektorji binarnih spremenljivk ye, ymat in yst določajo potencialni izbor strukturnih alternativ za topologijo, diskretne materiale in standardne dimenzije. Vektor izvedbenih spremenljivk p definira obtežbe, napetosti, nosilnosti, itd.;

- masna ali ekonomska namenska funkcija z vsebuje stalno maso ali stalne stroške za izdelavo, definirane z linearnim izrazom cTy, kakor tudi dimenzijsko pogojeno maso ali stroške, zapisane z nelinearnim izrazom f(x);

- nelinearne in linearne pogojne (ne)enačbe h(x)=0, g(x) ≤ 0 in A(x) ≤ a predstavljajo sistem omejitev, ki so potrebni za statično analizo in dimenzioniranje konstrukcije;

- celoštevilske linearne pogojne enačbe in neenačbe Ey ≤ e opisujejo logične relacije med binarnimi spremenljivkami;

- mešane linearne pogojne enačbe in neenačbe Dye+R(x) ≤ r vzpostavijo medsebojne povezave med začasno izbranimi alternativnimi strukturnimi elementi ali pa brišejo relacije med začasno zavrnjenimi, t.i. izločenimi elementi, znotraj definirane superstrukture;

- mešane linearne omejitve Ky e+L (dcn) ≤ k definirajo zvezne spremenljivke za vsak obstoječi konstrukcijski element. Prostor je definiran samo, kadar obstaja ustrezen konstrukcijski element (ye=1), drugače je zavrnjen;

- mešane linearne omejitve Pye+M (dmat) ≤ m definirajo diskretne materiale dmat. Posamezni diskretni material dmat je definiran kot skalarni produkt med vektorjem i,

i∈I, diskretnih številskih vrednosti alternativ materiala q={q1, q2, q3,..., qi} in vektorjem


17

pridruženih binarnih spremenljivk ymat={ymat1, ymat

2,..., ymat

i}, enačba 2.7. Izračunana je le ena vrednost standardnega materiala, glej enačbo 2.8;

∑∈

=Ii

matii

mat yqd (2.7)

1=∑∈Ii

matiy (2.8)

- mešane linearni pogoji Py+N(dst) ≤ n definirajo standardne dimenzije dst. Posamezna

standardna dimenzija dst je definirana kot skalarni produkt med vektorjem j, j∈J, alternativ standardnih dimenzij q={q1, q2, q3,..., qj} in vektorjem pridruženih binarnih spremenljivk yst={yst1, y

st2, y

st3,..., y

stj}, glej enačbo 2.9. Samo ena diskretna vrednost je

lahko izbrana za posamezno standardno dimenzijo, ker je vsota vrednosti binarnih spremenljivk enaka 1, enačba 2.10.

∑∈

=Jj

stjj

st yqd (2.9)

1=∑∈Jj

stjy (2.10)

2.2.4 Reševanje MINLP optimizacijskega problema Zatem ko je mehanska superstruktura konstrukcije hal generirana, modelna formulacija pa razvita, sintezo konstrukcije jeklenih hal zaključimo z reševanjem MINLP optimizacijskega problema. V preteklosti so bile za reševanje MINLP optimizacijskih problemov razvite naslednje metode: - nelinearna metoda vejanja in omejevanja (Non-linear Branch and Bound, NBB),

predložen in uporabljen s strani mnogih avtorjev, npr. E.M.L. Beale (1977), O.K. Gupta in A. Ravindran (1984);

- posplošena Bendersova dekompozicija (Generalized Benders Decomposition, GBD), J.F. Benders (1962), A.M. Geoffrion (1972);

- metoda zunanje aproksimacije (Outer-Approximation, OA), M.A. Duran in I.E. Grossmann (1986);

- tehnika možnosti (Feasibility Technique, FT), H. Mawengkang in B.A. Murtagh (1986). - zaporedno linearno diskretno programiranje (Sequental Linear Discrete Programming,

SLDP), G.R. Olsen in G.N. Vanderplaats (1989) ter M. Bremicker idr. (1990); - LP/NLP metoda vejanja in omejevanja (LP/NLP based Branch and Bound, LP/NLP

BB), I. Quesada in I.E. Grossmann (1992); - razširjeno rezanje ravnine (Extended Cutting Plane, ECP), T. Westerlund in F.

Pettersson (1995).


18

Večina omenjenih metod predstavlja različne razširitve klasične metode vejanja in omejevanja (Branch and Bound, BB) avtorjev A.H. Landa in A. Doiga (1960). Metoda je bila razvita za iskanje optimalne rešitve mešano celoštevilskih linearnih optimizacijskih problemov, MILP. Osnova metode BB je vzpostavitev linearnega številskega drevesa relaksiranih zveznih linearnih optimizacijskih problemov, LP. Vsak LP vsebuje namensko funkcijo in pogoje originalnega MILP problema ter dodatne omejitve spremenljivk. Metodo izvajamo dokler vse diskretne spremenljivke ne zavzamejo celoštevilskih vrednosti. Pri večjem številu spremenljivk je potrebno rešiti zelo veliko število relaksiranih LP podproblemov. Metoda posplošene Bendersove dekompozicije (GBD), kakor tudi metoda zunanje aproksimacije (OA) temeljita na reševanju alternativnega zaporedja NLP in MILP optimizacijskih problemov. NLP podproblem ustreza parametričnemu zveznemu optimiranju parametrov pri začasno držanih nespremenljivih binarnih spremenljivkah. NLP predstavlja zgornjo mejo v minimizirani MINLP namenski funkciji. MILP glavni problem napove spodnjo mejo MINLP namenske funkcije ter izračuna nov vektor binarnih spremenljivk. Račun je končan, kadar napovedana spodnja meja doseže ali preseže trenutno najboljšo zgornjo mejo. Glavna razlika med GBD in OA metodama obstaja v različni definiciji MILP glavnega problema: pri GBD je podan v dualni predstavitvi zveznega prostora, pri OA pa je podan z linearno aproksimacijo. Obe metodi akumulirata nove pogojne enačbe z naraščanjem števila glavnih iteracij. GBD akumulira eno Lagrange-ovo pogojno enačbo v prostoru binarnih 0-1 spremenljivk, medtem ko OA množico linearnih aproksimacij nelinearnih pogojnih (ne)enačb v prostoru binarnih 0-1, kot tudi zveznih spremenljivk. Zaradi obširnosti MILP glavnega problema OA metode v splošnem za dosego rešitve potrebuje več računalniškega časa, vendar manj glavnih iteracij, glede na GBD metodo, kjer lahko število glavnih iteracij postane nepredvidljivo visoko. Nelinearna metoda vejanja in omejevanja (NBB) predstavlja direktno razširitev klasične metode vejanja in omejevanja BB, pri čemer namesto linearnih rešujemo vrsto relaksiranih nelinearnih optimizacijskih problemov (NLP). LP/NLP metoda vejanja in omejevanja predstavlja izboljšavo metode NBB, saj se NLP podproblemi izračunavajo le v tistih vozliščih linearnega številskega drevesa, v katerih so najdene dobre celoštevilske rešitve. Ker sta v splošnem težavnost in čas reševanja nelinearnih optimizacijskih problemov mnogo večja v primerjavi z linearnimi, ta metoda ni primerna za reševanje obsežnejših problemov. NBB metoda je uporabna za reševanje problemov z velikim številom binarnih spremenljivk in za relativno enostavne NLP podprobleme. Metodi razširjenega rezanja ravnine (ECP) in zaporednega linearnega diskretnega programiranja (SLDP) sta si v bistvu identični. Obe metodi temeljita na vzpostavitvi mešanega celoštevilskega linearnega aproksimativnega problema (MILP) na podlagi originalnega nelinearnega diskretnega MINLP problema. Dobra lastnost metod je, da je potrebno rešiti le začetni NLP problem, s čimer dobimo dobre začetne pogoje in nato


19

nadaljujemo z reševanjem aproksimativnega linearnega problema. Metodi uspešneje in lažje izvajamo na linearnem aproksimativnem problemu, kakor pa na originalnem nelinearnem problemu. 2.2.5 Algoritem zunanje aproksimacije s sprostitvijo enačb, OA/ER Trenutno najučinkovitejši algoritem za reševanje obsežnih in izrazito nelinearnih MINLP problemov, kot je optimiranje konstrukcij hal, je algoritem zunanje aproksimacije s sprostitvijo enačb Outer-Approximation/Equality-Relaxation algorithm, (OA/ER) avtorjev G.R. Kocisa in I.E. Grossmanna (1987). OA/ER algoritem je bil razvit iz metode zunanje aproksimacije (Outer-Approximation, OA) z namenom, da bi bilo v MINLP problemih možno eksplicitno izraziti tudi pogojne enačbe h(x) = 0, česar OA metoda ni omogočala. OA/ER algoritem izvaja zaporedje postopkov nelinearnega programiranja, NLP ter mešano celoštevilskega linearnega programiranja, MILP, glej sliko 2.1. Obe fazi skupaj, postopka NLP in MILP, predstavlja eno glavno MINLP iteracijo k, k = 1,2,.....,K. NLP ob držanem vektorju binarnih spremenljivk yk in s tem pri nespremenjeni topologiji izvaja zvezno optimiranje parametrov vsake iteracije k ter izračuna zgornjo mejo minimizirane namenske funkcije zK. Vsaki trenutno zadnji NLPK podproblem ustrezno dobljenega vektorja yK formuliramo z naslednjim zapisom:

min zK = cTyK + f(x)

p.p. ( ) 0xh = ( ) 0xg ≤ (NLP)K

bCxBy ≤+K

x ∈∈∈∈ X ==== { x ∈∈∈∈ Rn: xLO ≤ x ≤ xUP}

Binarne 0-1 spremenljivke trenutno obravnavamo kot zvezne spremenljivke, držane na njihovih zgornjih (1) ali spodnjih (0) mejah. Če predstavlja vektor xk, k = 1,...,K rešitve NLPK podproblemov, predhodno izračunanih pri dobljenih vektorjih binarnih spremenljivk yk, potem MILP K glavni problem formuliramo v obliko:

min α+= ycTKz

p. p.:

( ) ( ) ( ) 0xxxx ≤−−∇+ αkkk ff T ( ) ( ) ( )[ ] 0xxxhxhT ≤−∇+ kkkk T (MILP)K ( ) ( ) ( ) 0xxxgxg ≤−∇+ kkk T k=1,...K

bCxBy ≤+


20

celoštevilski rez: y y BIii BI

ii NI

k

k k

− ≤ −∈ ∈∑ ∑ 1 k=1,...K

x ∈ X = { x ∈ Rn: xLO ≤ x ≤ xUP} y ∈ Y = {0,1} m kjer:

{ }1== kik yiBI , { }0== kik yiNI k=1,...K

{ }

=>+


21

Linearizacije nelinearnih pogojnih enačb h(x) = 0 morajo biti predhodno relaksirane v neenačbe. Relaksacijo izvedemo z uporabo relaksacijske matrike Tk, s katero definiramo

pravilno usmeritev relaksacije. Diagonalni elementi matrike t kjj predstavljajo predznake

Lagrange-ovih množiteljev kjλ enačbe j pri glavni iteraciji k. V naslednjem koraku z dodanim

celoštevilskim rezom preprečimo MILP glavnemu problemu, da ponovno izračuna vektor binarnih spremenljivk, izračunan v eni izmed predhodnih iteracij. NLP in MILP računski fazi ponavljamo vse do zadostitve konvergenčnega pogoja. Račun konveksnega problema ustavimo takrat, kadar rezultat glavnega MILP problema prekorači najboljši rezultat NLP podproblema. Račun nekonveksnega problema zaključimo, ko se NLP podproblem preneha izboljševati. Glavna značilnost OA/ER algoritma je, da doseže konvergenco v nekaj glavnih MINLP iteracijah. Z vsako MINLP iteracijo dosegamo boljši rezultat in vsakokrat potrebujemo krajši čas za rešitev NLP podproblema. Za konveksne in kvazi-konveksne optimizacijske probleme OA/ER algoritem zagotavlja izračun globalnega optimuma. 2.2.6 Modificirani OA/ER algoritem V splošnem vse do sedaj opisane metode ne zagotavljajo izračuna globalnega optimuma. Model je namreč lahko sestavljen iz večjega števila nekonveksnih funkcij, katere lahko odrežejo globalni optimum. Z namenom, da bi se zmanjšal učinek nekonveksnosti glavnega problema OA/ER algoritma, je bil razvit modificirani OA/ER algoritem (Modified OA/ER), glej Z. Kravanja in I.E. Grossmann (1994). Modificiran OA/ER algoritem priredi glavnemu problemu MILP naslednje modifikacije: - deaktivacija linearizacij, - dekompozicija in deaktivacija linearizacije namenske funkcije, - uporaba razširjene kazenske funkcije, - uporaba zgornje meje namenske funkcije ter - globalni konveksni test in m

sinteza konstrukcije jeklenih hal z meŠanim … · 2017. 11. 27. · univerza v mariboru fakulteta...

Documents