simulacion y procesos

7/22/2019 simulacion y procesos

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PREFACIO

La reducción de tamaño es una operación de gran importancia en la industriaminera, la industria de energía, de la construcción y química, entre otras. En los paísesiberoamericanos indudablemente es la aplicación en la industria minera y del cemento laque tiene mayor relevancia. Como ejemplo, podemos indicar que en Chile la industriaminera del cobre por sí sola gasta 100 millones de dólares anuales para moler 100 millones

de toneladas de minerales. Si a esto se agrega la minería del fierro y la industria cementera,es fácil darse cuenta que las cifras involucradas en la operación de reducción de tamañoson gigantescas.

Si se considera que la ley de los minerales de cobre es sólo del orden del 1%, lacantidad total de mineral que debe ser tratado en una planta procesadora es enorme. Por otra parte, industrias como las productoras de minerales de fierro o cemento involucranla fragmentación de grandes tonelajes de materiales. Por ello, los equipos destinados aestas operaciones son numerosos e individualmente de gran tamaño. Esto significa altoscostos de inversión. Un diseño adecuado de estos equipos es de importancia fundamentalsi no se quiere malgastar recursos económicos siempre escasos.

El gran tamaño y cantidad de equipos instalados conlleva grandes costos deoperación. La conminución, operación bajo cuyo nombre genérico se incluye todas lasoperaciones de reducción de tamaño, esto es, la trituración y molienda, consumeaproximadamente del 20 al 80% del costo total de energía para producir cobre oconcentrado de fierro, y en el caso específico del cobre constituye la mitad del costo de procesamiento del mineral. Se puede comprender, entonces el gran impacto económicoque la optimización del proceso de conminución traería a la industria de materias primas.

A pesar de su antigüedad e importancia, y contra lo que pudiera esperarse, elconocimiento básico en conminución es precario. Falta mucho por saber respecto de lainfluencia de variables de operación sobre el comportamiento de los molinos de bolas y barras. Se sabe muy poco sobre los medios de molienda y del efecto de los revestimientosde molinos sobre el desgaste y la eficiencia del proceso de molienda. La aplicación delos molinos semi-autógenos se ha propagado mucho mas rápidamente que elconocimiento sobre ellos, de manera que lo que de éstos se conoce es mas cualitativo quecuantitativo. Algo similar sucede con la clasificación, donde los hidrociclones se utilizandesde hace mas de cincuenta años, sin que el mecanismo de clasificación se domine endetalle. Finalmente, los mecanismos de conminución que se aplican en los equiposactuales siguen siendo la compresión y el impacto, aunque se ha demostrado que ellosson extraordinariamente ineficientes.

La importancia de la conminución ha hecho que diversas instituciones deinvestigación en el mundo dediquen esfuerzos a su estudio. Los principales centros seencuentran en los Estados Unidos de Norte América, Canadá, Europa, Australia, África

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del Sur y recientemente, en Iberoamérica. Sin embargo, el volumen de esta actividad noguarda ninguna relación con el tamaño de los problemas de la industria minera de laregión, requiriéndose un fuerte impulso para hacer avances sustantivos y establecer una

infraestructura estable para el desarrollo de tecnología que, por un lado, oriente el esfuerzode investigación en la dirección correcta y, por el otro, posibilite que los resultados lleguena los usuarios finales, las empresas productoras. Las empresas de la región concentranimportantes esfuerzos en la selección de equipos, optimización y automatización de laoperación. No obstante, el estado del conocimiento del área exige un esfuerzo deinvestigación mayor, que genere pautas mas precisas de cómo efectuar la optimización.

Aún así, algunos pasos se han dado en el sentido de impulsar las actividadescientíficas y tecnológicas en el campo de la conminución en los países iberoamericanosy en el mundo en general.

En 1987, durante un Simposio de Molienda de ARMCO, la empresa de sistemasde molienda, en Viña del Mar, Chile, se creó la International Comminution ResearchAssociation, ICRA, institución con sedes en Norteamérica, Iberoamérica, Europa, Asia,Australia y Africa. ICRA tiene como objetivos promover el intercambio de ideas paraorientar la investigación y difundir información especializada del campo de laconminución , para asegurar que la investigación de alto nivel en el campo sea conocida por sus miembros.

Por otra parte, el Programa Ciencia y Tecnología para el Desarrollo CYTED, esun programa de cooperación científica y tecnológica creado en 1984 por iniciativa deEspaña, cuya finalidad es fomentar la cooperación científica y tecnológica entre los 21 países miembros. Su ámbito de actuación es la investigación aplicada, el desarrollo

tecnológico y la innovación y su objetivo es la obtención de resultados transferibles a lossectores productivos. En el año 1991 el CYTED aprobó la creación de la Red XIII-A,Fragmentación, cuyo objetivo es (1) promover la formación de recursos humanos de altonivel, (2) promover la investigación científica y tecnológica, (3) promover el intercambiode información especializada y (4) promover la edición de monografías, textos didácticosy capacitación, todos en el campo de la conminución.

ICRA y CYTED pretenden impulsar el desarrollo de su misión en Iberoaméricaen forma coordinada y cooperativa. Como un paso en esa dirección se han propuestoeditar y distribuir el libro que aquí presentamos.

Este libro es el resultado de muchos años de experiencia del autor principal endocencia e investigación en el tema de la conminución, como también de una colaboración

estrecha entre los autores en investigación y en la dictación de cursos de educacióncontinuada para ingenieros de la industria minera. En las dos últimas décadas se haacumulado un gran caudal de nuevo conocimiento científico y tecnológico en este campo,el cual se encuentra disperso en revistas especializadas y anales de congresos. El autor principal ha abordado anteriormente la tarea de reunir este material en una monografíasobre molienda publicada en idioma inglés. La presente edición quiere extender esteesfuerzo a los lectores de habla hispana, incorporando nuevo material que refleja avanceshabidos y la colaboración de sus autores.

El texto pretende ser una revisión, en profundidad, de los principios sobre los quese basan las operaciones de conminución y clasificación y su aplicación al análisis de los

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circuitos de molienda-clasificación. En él se da énfasis a la modelación matemática, a lastécnicas de análisis experimental y a la simulación de circuitos destinados al diseño y ala optimización. En el capítulo 1 se hace una introducción al campo de la conminución

y se define los principales términos involucrados. El capítulo 2 está dedicado a reseñar los fundamentos de la mecánica de fractura aplicada a la ruptura de partículas demateriales frágiles. En el capítulo 3 se trata los métodos tradicionales de diseño demolinos. El capítulo 4 comienza el estudio de la cinética de la molienda y forma la basede lo tratado en los capítulos posteriores. Los ensayos de laboratorio necesarios paradeterminar los parámetros de molienda se describen en detalle en los capítulos 5 y 6. Elcomienzo del estudio de la molienda continua se realiza en el capítulo 7 donde se analizael concepto de distribución de tiempos de residencia. En el capítulo 8 se analiza losmétodos de escalamiento de resultados de molienda desde el laboratorio a la plantaindustrial. La clasificación se estudia en el capítulo 9 y su aplicación a circuitos demolienda se analiza en el capítulo 10. El capítulo 11 corresponde a un estudio de casos

que integra todos los conocimientos vistos en los capítulos anteriores. Finalmente elcapítulo 12 analiza la molienda semi-autógena, cuyo estudio ha ocupado gran parte deltiempo del autor principal en los últimos años.

Son muchas personas a las que debemos agradecimiento por contribuir de una uotra forma a hacer realidad la publicación de este libro. Sin duda que entre ellos estánnuestros alumnos, colegas y colaboradores. Especial agradecimiento debemos al Dr.Jorge Menacho por su interés y aporte en la discusión de varios temas, en especial delcapítulo 12. Queremos agradecer a Sofía Barreneche de Austin por su asistencia en latraducción de partes del libro y a Waldo Valderrama y Paola Grandela por su enormetrabajo en la edición del libro.

Finalmente debemos agradecer muy especialmente al CYTED por su aporte de

recursos económicos sin los cuales habría sido imposible materializar este proyecto.

L.G. AUSTIN Y F. CONCHA A.

Concepción, Chile

Abril de 1994.

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INDICE

Prefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

Indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .vii

CAPITULO 1

INTRODUCCION: FORMULACION DE LOS PROBLEMAS QUEENFRENTA EL DISEÑADOR DE CIRCUITOS DE MOLIENDA

1.1 LA MOLIENDA COMO OPERACION UNITARIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 FORMULACION DE LOS PROBLEMAS QUE DEBE ENFRENTAR EL DISEÑADOR DE CIRCUITOS DE MOLIENDA . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 DEFINICION DE TERMINOS Y CONCEPTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 CONDICIONES DE OPERACIÓN DE MOLINOSROTATORIOS DE BOLAS: DEFINICIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 NIVELES DE COMPLEJIDAD: LOS DIFERENTES CAMINOS ALDIMENSIONAMIENTO DE MOLINOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

CAPITULO 2

MECANICA DE FRACTURA Y REDUCCION DE TAMAÑO

2.1 INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 BREVE RESEÑA DE LA MECANICA DE FRACTURA . . . . . . . . . . . . 17

2.2.1 Esfuerzos, Deformaciones Unitarias y Energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.2 Direcciones de los Esfuerzos Normales y de Cizalle . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3 RESISTENCIA COHESIVA IDEAL, CONCENTRACIONDE ESFUERZO Y LA TEORIA DE GRIETAS DE GRIFFITH . . . . . . . . 26

2.3.1. Resistencia Cohesiva Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.2 Concentración de Esfuerzo: Teoría de Grietas de Griffith . . . . . . . . . . . 28

2.3.3 Materiales Dúctiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

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2.4 FRACTURA DE ESFERAS Y PARTICULAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5 APLICACIONES CUALITATIVAS DE LA TEORIA DE FRACTURA:

ENERGIA DE MOLIENDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.6 DIFICULTAD DE LA MOLIENDA FINA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.7 CAMBIO DE PROPIEDADES Y REACCIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.8 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

CAPITULO 3

ENSAYOS CONVENCIONALES DE MOLIENDABILIDAD Y DISEÑO DEMOLINOS: METODO DE BOND Y OTROS

3.1 INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2 METODO DE BOND PARA EL DISEÑO DE MOLINOS DE BOLAS . 45

3.2.1. Ecuaciones de Diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

ETAPA 1: Ensayo normalizado de moliendabilidad de Bond . . . . . . . . 46

ETAPA 2: Cálculo del Indice de Trabajo del ensayo . . . . . . . . . . . . . . 47

ETAPA 3: Escalamiento a molinos mayores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

ETAPA 4: Corrección para otras condiciones de operación . . . . . . . . . 50

ETAPA 5: Cálculo de la energía específica consumida para una razón de reducción determinada . . . . . . . . . . . . . . 51

ETAPA 6: Cálculo de la potencia para mover los medios de molienda . 52

3.2.2 Procedimiento de Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2.3 Discusión del Método de Bond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3 INDICE DE TRABAJO OPERACIONAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.4 METODO DE BOND PARA EL DISEÑO DE MOLINOS DE BARRAS 57

3.4.1 Ecuaciones de Diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

ETAPA 1: Ensayo normalizado de moliendabilidad de Bond . . . . . . . . 58

ETAPA 2: Cálculo del Indice de Trabajo del ensayo . . . . . . . . . . . . . . 58

ETAPA 3: Escalamiento a molinos mayores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

ETAPA 4: Corrección para otras condiciones de operación . . . . . . . . . 59

ETAPA 5: Cálculo de la energía específica consumida para una razón de reducción determinada . . . . . . . . . . . . . . 60

ETAPA 6: Cálculo de la potencia para mover los medios de molienda . 60

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3.4.2 Procedimiento de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.5 OTROS METODOS CONVENCIONALES DE DISEÑO . . . . . . . . . . . . . . 63

3.6 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

CAPITULO 4

CINETICA DE LA MOLIENDA DISCONTINUA: BALANCE DE MASAPOR TAMAÑOS

4.1 INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2 HIPOTESIS DE MOLIENDA DE PRIMER ORDEN . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.3 FUNCION DE DISTRIBUCION DE FRACTURA PRIMARIA,O DISTRIBUCION DE TAMAÑO DE LA PROGENIE . . . . . . . . . . . . . . 67

4.4 BALANCE DE MASA POR TAMAÑOS: ECUACION DE LA MOLIENDADISCONTINUA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.5 SOLUCION A LA ECUACION DE MOLIENDA DISCONTINUA . . . . 75

4.6 ANALISIS DE LA ECUACION DE LA MOLIENDA DISCONTINUA . 77

4.7 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

CAPITULO 5INVESTIGACION DE LA FRACTURA EN MOLINOS DE LABORATORIO

5.1 INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.2 MODO DE OPERACION DE UN MOLINO ROTATORIO DE BOLAS. . 84

5.3 VARIACION DE LA FRACTURA CON EL TAMAÑO DE LASPARTICULAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.4 VELOCIDAD DE ROTACION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.5 CARGA DE BOLAS Y POLVO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.6 DIAMETRO, DUREZA Y DENSIDAD DE BOLAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.7 DIAMETRO DEL MOLINO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.8 EFECTOS DEL MEDIO AMBIENTE EN EL MOLINO . . . . . . . . . . . . . . 106

5.9 DESACELERACION DE LAS VELOCIDADES DE FRACTURA . . . . . 111

5.10 FRACTURA DE PARTICULAS GRANDES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.11 EFECTO DEL FLUJO A TRAVES DEL MOLINO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

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5.12 ESCALAMIENTO DE LOS RESULTADOS DE LA MOLIENDADISCONTINUA DE LABORATORIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.13 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

CAPITULO 6

DETERMINACION DE LAS FUNCIONES DE FRACTURA S Y B

6.1 DETERMINACION EXPERIMENTAL DE LOS PARAMETROS DEFRACTURA MEDIANTE PRUEBAS DE LABORATORIO . . . . . . . . . . . 123

6.2 TECNICAS DE CALCULO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.3 RETRO-CALCULO DE LOS PARAMETROS DE FRACTURA

DESDE DATOS DE MOLIENDA DISCONTINUA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

6.4 RETRO-CALCULO DE LOS PARAMETROS DE FRACTURADESDE DATOS DE MOLIENDA CONTINUA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6.5 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

CAPITULO 7

DISTRIBUCION DE TIEMPOS DE RESIDENCIA

7.1 INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1397.2 EDAD, DISTRIBUCION DE EDADES Y TIEMPO DE RESIDENCIA . 139

7.3 MEDICION EXPERIMENTAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143

7.3.1 Trazadores utilizados en molinos industriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

7.3.2 Método experimental de inyección y mediciónde un trazador radioactivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

7.3.3 Medición de DTR en un molino en circuito abierto . . . . . . . . . . . . . . . 145

7.3.4 Medición de DTR en un molino en circuito cerrado . . . . . . . . . . . . . . 147

7.3.5 Medición de DTR en equipos en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1527.4 DISTRIBUCION DE TIEMPOS DE RESIDENCIA

EN REACTORES IDEALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

7.5 DISTRIBUCION DE TIEMPOS DE RESIDENCIADE MOLINOS ROTATORIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

7.5.1 Mezcladores perfectos en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

7.5.2 Un Mezclador Grande y dos Pequeños . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

7.5.3 Modelo de Rogers-Gardner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

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7.5.4 Modelo de Dispersión Axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

7.6 MODELO CINETICO PARA LA MOLIENDA CONTINUA

ESTACIONARIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1697.7 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

CAPITULO 8

ESCALAMIENTO: POTENCIA, DESGASTE DE BOLAS, MEZCLA DEBOLAS Y TRANSPORTE DE MASA

8.1 INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

8.2 POTENCIA DEL MOLINO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

8.2.1.Teoría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

8.2.2.Ecuaciones para la potencia de un molino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

8.3 OPTIMIZACION DE LA POTENCIA Y NIVEL DE LLENADO PARAMOLINOS ROTATORIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

8.4 DESGASTE DE BOLAS Y CARGAS BALANCEADAS . . . . . . . . . . . . . 186

8.5 DATOS EXPERIMENTALES DE DESGASTE DE BOLAS . . . . . . . . . . 190

8.6 CALCULOS DE CARGA BALANCEADA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

8.7 OPTIMIZACION DE LA RECARGA DE BOLAS . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

8.8 EFECTO DEL FLUJO Y TRANSPORTE DE MASA . . . . . . . . . . . . . . . 203

8.9 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

CAPITULO 9

CLASIFICACION E HIDROCICLONES

9.1 INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

9.2 PRINCIPIOS DE ACCION DE LOS CLASIFICADORES . . . . . . . . . . . 208

9.3 CALCULO DE LA RAZON DE RECIRCULACION . . . . . . . . . . . . . . . 215

9.3.1.Método 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

9.3.2.Método 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

9.3.3.Método 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

9.4 CURVAS DE PARTICION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

(1) Ecuación de Rosin-Rammler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

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(2) Ecuación Logaritmo Normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

(3) Ecuación de Lynch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

(4) Ecuación Logística en ln x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

9.5 HIDROCICLONES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

9.5.1.Variables que afectan la operación de un hidrociclón . . . . . . . . . . . . . . 226

(1) Variables de Diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

(2) Parámetros del material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

(3) Variables de Operación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

(4) Perturbaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

9.5.2. Modelos cuantitativos de hidrociclonesy su incorporación a simuladores de molienda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .231

Balances Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

Método de Diseño y Simulación basado en el Modelo de Arterburn . . 234

Objetivo 1 : Diseño Aislado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

Objetivo 2 : Simulación de Diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

Objetivo 3 : Simulación de Operación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

9.5.3. Modelo Lynch y Rao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

9.5.4.Modelo de Plitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2419.6 OTROS TIPOS DE CLASIFICADORES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

9.6.1. Clasificadores mecánicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

9.6.2. Harneros Curvos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

9.6.3. Harneros Vibratorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

9.6.4. Separadores mecánicos de aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

9.7 CLASIFICACION EN DOS ETAPAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

9.8 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

CAPITULO 10

APLICACION DE LOS MODELOS A DATOS DE PLANTA

10.1 INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

10.2 CONSTRUCCION DE UN MODELO DE SIMULACIONDE UNA PLANTA INDUSTRIAL DE GRAN ESCALA:MODELOS AJUSTADOS Y REALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

xii



10.3 ESTUDIO DE CASO 1: MOLIENDA HUMEDADE UN MINERAL DE COBRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

10.4 ESTUDIO DE CASO 2: OTRA MOLIENDA HUMEDA DE COBRE . . 25910.5 ESTUDIO DE CASO 3: MOLIENDA DE FOSFATO . . . . . . . . . . . . . . . . 263

10.5.1.Descripción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

10.5.2. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

10.5.3. Discusión de los resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

10.6 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

CAPITULO 11

SIMULACIONES DE CIRCUITOS

11.1 COMPARACION DE LA SIMULACION DE CIRCUITOSCON EL METODO BOND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

11.2 COMPORTAMIENTO DE DIVERSOS DISEÑOSDE CIRCUITOS DE MOLIENDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

11.2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

11.2.2. Caso 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

11.2.3. Caso 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

11.2.4. Caso 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

11.2.5. Caso 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

11.2.6. Caso 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

11.2.7. Caso 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

11.2.8. Caso 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

11.2.9. Caso 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

11.3 EFECTOS DE LA EFICIENCIA DEL CLASIFICADOR . . . . . . . . . . . . 295

11.4 CIRCUITO GENERAL DE DOS MOLINOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

11.4.1. Formulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

11.4.2. Ejemplos Típicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

11.5 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

xiii



CAPITULO 12

MOLIENDA SEMI-AUTOGENA(SAG) Y AUTOGENA(FAG)

12.1 INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

12.2 ENSAYOS CONVENCIONALESPARA EL DISEÑO DE MOLINOS SAG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

12.3 ESCALAMIENTO A TRAVES DE LA POTENCIA:ECUACIONES DE POTENCIA PARA MOLINOS . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

12.4 PROCESO DE FRACTURA QUE OCURRE EN MOLINOS SAG/FAG 326

12.4.1.Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

12.4.2. Molienda mediante bolas y guijarros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

12.4.3. Autofractura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

12.5 ANALISIS DEL PROCESO DE ASTILLAMIENTO-ABRASION . . . . . . 337

12.5.1. Abrasión Pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

12.5.2. Combinación con fractura de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

12.5.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

12.6 ANALISIS DEL PROCESO DE AUTOFRACTURADE ORDEN DISTINTO DEL PRIMERO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

12.6.1 Distribución de resistencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

12.6.2. Fractura rápida y lenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

12.7 ECUACIONES PARA LA AUTOFRACTURA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

12.8 ESTIMACION DE LLENADO DE PULPA YDENSIDAD DE LA CARGA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

12.9 CALCULO DE VELOCIDADES ESPECIFICAS DEAUTOFRACTURA A PARTIR DE ENSAYOS DEMOLIENDA CONTINUA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

12.10 MODELO DEL MOLINO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

12.10.1 Molinos de D/L grande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

12.10.2 Molinos FAG largos; L/D grande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

12.10.3 Tratamiento de la autofractura como un sistema duro-blando. . . . . . 374

12.10.4 Tratamiento de una alimentación consistenteen una mezcla de dos materiales de distinta dureza. . . . . . . . . . . . . . 378

12.10.5 Procedimiento computacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

12.11 EJEMPLO ILUSTRATIVO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

xiv



CAPITULO 1

INTRODUCCION:FORMULACION DE LOS PROBLEMAS QUEENFRENTA EL DISEÑADOR DE CIRCUITOS

DE MOLIENDA

1.1 LA MOLIENDA COMO OPERACION UNITARIA

La reducción de tamaño por trituración y molienda es una operación importante

en las industrias minera, metalúrgica, de energía y química. La cantidad de materiales

frágiles, tales como rocas, minerales, carbón, productos del cemento u otros, molidosactualmente en los EE.UU. es por lo menos de mil millones (10

9) de toneladas [1.1], con

un gran consumo de energía asociada [1.2]. Son bastante comunes plantas individuales

tratando 10 millones o más de toneladas por año.

Sorprendentemente, para una operación unitaria de importancia tan fundamental para la tecnología industrial, no existían, hasta hace poco, textos actualizados sobre los

principios de diseño de procesos aplicados a molinos y circuitos de molienda. Varioslibros, que describen diversos aspectos de la molienda, han comenzado a ser asequibles

en los últimos años [1.3, 1.4 y 1.5], y el capítulo de Rowland y Kjos [1.3] es especialmente bueno como una guía condensada para el diseño convencional de molinos utilizando el

método Bond. A esto se agrega el que la operación unitaria de molienda tenga ahora una

base teórica más elaborada, la que ha sido desarrollada en las dos últimas décadas [1.6].

Aun cuando no está completa todavía, será sin duda utilizada más y más en el futuro.

Esta base teórica se puede comparar, por ejemplo, a la que existe para la

transferencia de calor y la destilación y, en particular, tiene gran similitud con la teoría

del diseño de reactores químicos, usando muchos conceptos en común con la

terminología utilizada en este campo. Los principales objetivos de este texto son presentar

con profundidad este enfoque más elaborado y mostrar las correlaciones y divergenciasde sus resultados con métodos más antiguos.

Este libro es una introducción compacta al tratamiento matemático de la

operación unitaria de reducción de tamaño por medios mecánicos, ésto es, el

dimensionamiento, comportamiento y rendimiento de los circuitos de molienda usando

molinos de bolas, de modo que aspectos de ingeniería mecánica de los molinos de bolas

serán mencionados solamente cuando se relacionen al diseño de procesos. Se espera que

el libro sea apropiado como texto avanzado en la enseñanza de la ingeniería metalúrgica,ingeniería de minas e ingeniería química, ya que enfatiza los conceptos fundamentales y

procedimientos de cálculo de la reducción de tamaño en molinos más que la selección

de equipo o el diseño mecánico.

1



1.2 FORMULACION DE LOS PROBLEMAS QUE DEBEENFRENTAR EL DISEÑADOR DE CIRCUITOS DE MOLIENDA.

Al diseñar cualquier tipo de reactor, el primer objetivo del ingeniero de proceso es

dimensionar el reactor de acuerdo a la producción requerida de producto de la calidad

deseada, usando coeficientes cinéticos, balances térmicos y de masa, y coeficientes detransferencia de calor. Se debe permitir la entrada o extracción de suficiente energía para

producir la reacción deseada y se debe diseñar para minimizar reacciones indeseables.

El sistema debe ser estable y controlable, para cumplir, si fuese necesario, con una

variedad de especificaciones del producto. Se debe obtener la cantidad especificada de

producto en la forma más eficiente posible, con el mínimo de costo de capital, de gastos

de energía y de costos de mantenimiento y mano de obra.

Consideraciones muy similares se pueden aplicar al diseño de molinos.

Consideremos, por ejemplo, el tipo de molino más usado en la actualidad, el molino

rotatorio de bolas, mostrado en la Figura 1.1. El material grueso que se alimenta en uno

de los extremos pasa por el molino fracturándose debido a la acción de la carga de bolas, produciendo un material en la descarga con una distribución de tamaño más fina. Este

equipo puede ser considerado como un “reactor” continuo donde la energía suministrada

es convertida en acción mecánica de ruptura y la “reacción” obtenida es una reducción

ALIMENTACION

Figura 1.1: Ilustración de un molino de bolas detenido, que poseedescarga de parrilla.

2



de tamaño. Todos los requisitos mencionados anteriormente deben ser cumplidos. Un

paso básico en el diseño de un circuito de molienda es el dimensionamiento del molino

para obtener el tonelaje por hora deseado de producto a partir de una alimentación

específica. El gasto de capital por unidad de capacidad de molienda debe ser minimizado,lo que envuelve una correcta selección de las condiciones de molienda tales como

velocidad de rotación, peso de la carga de bolas, y tamaño de las mismas.

Asociado con el paso básico de determinación del tamaño del molino, está la

especificación de la energía necesaria para operarlo, y el consumo esperado de energía

por tonelada del producto. Obviamente el diseñador desea ser capaz de especificar lascondiciones de molienda que produzcan un consumo mínimo de energía por tonelada del

producto. Sin embargo, se debe recordar que las condiciones de mínima energía no son

necesariamente aquellas para una máxima capacidad o para la más alta rentabilidad de

la planta. En general, el molino debe ser diseñado para funcionar con la más eficiente

molienda posible, definida por la mayor capacidad específica de molienda y el más bajo

consumo de energía, sujeto a restricciones de desgaste, costos de mantenimiento ycontaminación del producto. Además es usualmente muy deseable el saber cómo

reaccionará el circuito ante cambios en las condiciones de operación, de tal manera quese pueda asesorar al operador que tiene que manejar el circuito para cumplir

especificaciones.

Como en muchos sistemas de reactores, el uso de varias etapas de molienda

combinadas con recirculación puede ser ventajoso. Es una práctica común pasar el

material que sale del molino a través de un clasificador de tamaño, el cual divide el

producto de la molienda en dos flujos, uno que contiene partículas más gruesas(sobretamaño) y el otro partículas muy finas (bajotamaño). El flujo de partículas gruesas

es recirculado al punto de alimentación del molino. El proceso de separación selectiva

de tamaños se conoce como clasificación, existiendo varios tipos de equipos que producen esta acción de clasificación: harneros continuos, clasificadores de espiral y de

rastras, hidrociclones, separadores de aire y otros. El diseño del circuito debe incluir una

especificación de la cantidad óptima de recirculación y cómo obtenerla.

Puede haber dos molinos en serie, con clasificadores apropiados y recirculación,

o puede haber recirculación y remolienda de material proveniente desde una etapa

posterior en el proceso como por ejemplo, de celdas de flotación. Por lo tanto, a menudo

es necesario escoger entre varias alternativas de circuitos de molienda, y definir el tamaño

de un número de componentes para lograr el sistema más eficiente para un determinado

trabajo. Por ejemplo, el diseñador puede confrontar la selección entre un circuito quecontiene triturador primario, triturador secundario, triturador terciario, molino de barras

y molino de bolas, y un circuito que consiste en triturador primario y molino autógeno.

Varios circuitos pueden ser técnicamente factibles y la selección es entonces, una cuestión

de economía global.

Resumiendo, los siguientes factores deben ser considerados:

(I) Tamaño del molino

(II) Potencia del molino, energía específica de molienda

(III) Condiciones de molienda eficiente

3



(IV) Recirculación, eficiencia de clasificación

(V) Desempeño del circuito de molienda bajo condiciones variables

(VI) Selección de molinos para circuitos complejos

(VII) Optimización económica

1.3 DEFINICION DE TERMINOS Y CONCEPTOS

Un molino es esencialmente un reactor que está transformando partículas grandes

a partículas más pequeñas. Hay, por supuesto, muchas formas de aplicar fuerzas a las

partículas y causar fractura, pero el ingeniero metalúrgico está interesado principalmente

en equipos de gran tamaño que procesen en forma continua grandes flujos de materialesfrágiles con capacidad estable durante las veinticuatro horas del día. Los molinos más

utilizados en estas circunstancias son los molinos de barras, los molinos de bolas y los

molinos semiautógenos. Estos molinos son equipos sencillos, relativamente baratos de

construir, seguros, fáciles de controlar y de mantener y tienen bajos requerimientos deenergía por tonelada de producto comparados con otros tipos de equipo de molienda.

El reactivo en el molino es la alimentación que en él entra, la que raramente es de

un solo tamaño y normalmente tiene una distribución granulométrica completa, de

manera tal, que debe considerarse como un conjunto de reactivos. Esta distribución de

tamaños puede ser representada por una curva continua o por un conjunto de números

P(x) que representan la fracción acumulativa en peso bajo el tamaño x. A menudo es

conveniente usar una escala log-log para la representación gráfica de P(x), tal como semuestra en la Figura 1.2.

El método de análisis granulométrico más sencillo y seguro es el tamizado, de

modo que el tamaño se refiere por lo general al tamaño de la malla de cada tamiz utilizado

(ver Tabla 1.1) La fracción en peso retenida en los intervalos de los diversos tamaños de

tamices, denotada por w, contiene la misma información que la Figura 1.2, de maneraque un conjunto de números w también representa la distribución de tamaño. Es

conveniente usar intervalos de tamaño en una progresión geométrica correspondiente a

la secuencia normalizada de tamices. Utilizaremos la convención arbitraria de designar

el tamaño del intervalo mayor como 1, el próximo más pequeño como 2, etc., como se

muestra en la Figura 1.2. Si se considera cualquier intervalo de tamaño, por ejemplo el

intervalo i, la fracción en peso de material retenido en este intervalo es wi. No es fácilextender la distribución granulométrica a tamaños muy pequeños, menores a 38µm (400

mallas), debido a la dificultad experimental de medir con exactitud estos tamaños pequeños. El intervalo de tamaño final, que contiene el peso del material más pequeño,

es definido como la fracción en peso wn de tamaños menores al más pequeño tamiz

utilizado. Este intervalo se denomina sumidero ya que él recibe material fracturado de

todos los tamaños mayores, pero no entrega material a ningún otro intervalo.

El producto es la distribución de tamaño del material que va saliendo del molino.

Nuevamente, ésta no es nunca un tamaño individual y debe utilizarse una curva o un

conjunto de números para caracterizar su distribución granulométrica, de la misma

manera que se indicó para el material de alimentación. Para definir un sistema de

4



Tabla 1.1 Serie Internacional de Tamices Normalizada

Tamañonormalizado Designaciónmalla U.S. Tamañonormalizado Designaciónmalla U.S.

125 mm 5" 850 µm 20

106 mm 4.24" 710 µm 25

100 mm 4 “ 600 µm 30

90 mm 31 ⁄ 2 “ 500 µm 35

63 mm 21 ⁄ 2 “ 355 µm 45

53 mm 2.12 “ 300 µm 50

50 mm 2 “ 250 µm 60

45 mm 13 ⁄ 4 “ 212 µm 70

37.5 mm 11 ⁄ 2 “ 180 µm 80

31.5 mm 11 ⁄ 4 “ 150 µm 100

26.5 mm 1.06 “ 125 µm 120

25.0 mm 1 “ 106 µm 140

22.4 mm 7/8 “ 90 µm 170

19.0 mm 3/4 “ 75 µm 200

16.0 mm 5/8 “ 63 µm 230

13.2 mm 0.530 “ 53 µm 270

12.5 mm 1/2 “ 45 µm 325

11.2 mm 7/16 “ 38 µm 4009.5 mm 3/8 “

8.0 mm 5/16"

6.7 mm 0.265 “

6.3 mm 1/4 “

5.6 mm Nº 31 ⁄ 2

4.75 mm 4

4.00 mm 5

3.35 mm 6

2.80 mm 7

2.36 mm 8

2.00 mm 101.70 mm 12

1.40 mm 14

1.18 mm 16

1.00 mm 18

5



molienda, se debe especificar claramente el producto deseado. Generalmente no es

posible especificar la distribución de tamaño completa, por lo tanto se utiliza una de las

formas que siguen: (a) un sólo punto en la curva P(x), por ejemplo, 80% en peso menor a 200 mallas; (b) dos puntos en la curva P(x), por ejemplo, 50% menor a 400 mallas y no

más de 5% mayor (95% menor) a 65 mallas; (c) una superficie específica determinada.

Otro ejemplo de aplicación de la especificación del tamaño de un producto se

relaciona con la liberación de un material valioso desde un trozo de roca en operacionesde metalurgia extractiva. Por medio de pruebas tentativas de laboratorio, el ingeniero

metalúrgico llega a la deseada fineza de molienda para obtener una liberación suficiente,

especificándola luego al diseñador del molino.

En la concentración por flotación del componente valioso, se sabe que partículas

muy finas, por ejemplo menores que 5 µm, flotan muy pobremente y que con partículas

grandes, por ejemplo mayores a 300 µm, también sucede lo mismo. Este es un ejemplo

de una especificación en que el producto debe ser en su mayor parte menor que un tamaño

especificado, pero debe además tener un mínimo de lamas.

Como se mostrará más adelante, y como se espera por sentido común, la velocidad

a la cual las partículas se fracturan en un equipo de molienda depende del tamaño de las

partículas. A diferencia de un reactor químico simple que convierte A en B, un molino

opera con un conjunto completo de tamaños de alimentación produciendo un conjunto

Figura 1.2: Gráfico log-log de la distribución de tamaño acumulativa. El tiempo demolienda es t.

6



de tamaños finales. En forma semejante a un reactor químico, el conocimiento de lavelocidad a la cual cada tamaño se fractura permite la predicción de la rapidez de

desaparición de estas partículas de la carga del molino.

Sin embargo, a diferencia de la simple reacción química A ! B, aún la

fragmentación de partículas de un sólo tamaño produce una completa variedad de tamaños

de producto. Si el rango de tamaños se divide en un número de intervalos, la fracción de

material fracturado desde un tamaño fijo que cae dentro de un intervalo de tamaño menor

puede ser considerado como un producto, como se ilustra en la Figura 1.3. Es claro que

la comprensión razonablemente detallada del funcionamiento del molino involucra el

conocimiento de la distribución de tamaño de la progenie, ésto es, de la función de

distribución de fractura primaria. El conocimiento de la rapidez con que undeterminado tamaño se fractura y en qué tamaño aparece su producto, constituye la

descripción elemental del balance de masa por tamaños o balance de población del

molino.

Figura 1.3: Ilustración de la fracción de material fracturado desde un monotamañoque queda en un intervalo de tamaño determinado.

Figura 1.4: Ilustración de la distribución de tiempos de residencia (DTR) para unmolino de bolas.

7



Para definir las diversas velocidades de fractura en un molino, se puede considerar

éste como una “caja negra” con un volumen V que contiene una masa de polvo W . Si se

mira un intervalo de un tamaño particular i, la fracción de W que es de tamaño i es wi, por lo tanto la masa de tamaño i será wiW. La velocidad específica de ruptura de este

tamaño, S i, es la velocidad fraccionaria de ruptura, por ejemplo, kilógramos de tamaño i

fracturados por unidad de tiempo por kilógramo de tamaño i presente. Las unidades de

S i son (kg/t)/kg=t-1

. De este modo S i queda definido por:

Velocidad de ruptura de un tamaño i = S iwiW (1.1)

y es equivalente a una constante de velocidad de reacción química de primer orden. La

operación de molienda más eficiente ocurre en condiciones en las cuales los valores de

S i son máximos. Si la geometría del molino o las condiciones de carga de bolas cambian,la intensidad y estadística de la fractura por unidad de volumen del molino también

cambian y como consecuencia, cambian los valores de S i. Esto es equivalente a cambiar

la temperatura en un reactor químico.

Si se considera nuevamente el molino como un reactor, surge otro nuevo concepto.

Si la velocidad de alimentación de un molino de bolas de determinado tamaño se

Figura 1.5: Ilustración del rango de las distribuciones de tamaño con un punto comúnfijo en 80% menos de 75 µm, obtenido variando la razón de recirculación.

8



disminuye, el material permanece por más tiempo en el molino, se fractura más y por lo

tanto se muele finamente. Por lo tanto, el tiempo de retención, que también recibe el

nombre tiempo de residencia, es un componente fundamental en la descripción de la

operación del molino, aplicable a un conjunto particular de condiciones de operación.Como en cualquier tipo de reactor, el concepto anterior lleva al concepto de distribución

de tiempos de residencia (DTR) [ 1.7 ]. De una pequeña cantidad de alimentación

marcada con un trazador y administrada al molino por un muy corto tiempo, una parte

podrá dejar el molino casi inmediatamente (y estará casi sin fracturar), mientras que

otra parte del pulso de trazador permanecerá en el molino por un mayor intervalo de

tiempo (y será molida más finamente) de tal forma que se establece una completa

distribución de tiempos de residencia. Esto se ilustra en la Figura 1.4.

Se define como flujo pistón la salida súbita de todo el material trazado después de

un tiempo promedio de residencia, lo que implica que no se produce una mezcla hacia

adelante o hacia atrás del material mientras se mueve a través del molino. En el otro

extremo se denomina mezcla completa , o mezcla perfecta , al caso en que todo el material

marcado se mezcla instantáneamente en el seno de la carga y la concentración del

material marcado, en el molino y en el material que deja éste, es igual y disminuye

exponencialmente con el tiempo; ver el capítulo 7. El tiempo promedio de residenciaqueda definido por W/F , siendo W la masa del material retenido en el molino, por

ejemplo en toneladas, y F la velocidad de alimentación, por ejemplo en ton/min. El

comportamiento del molino depende de la naturaleza de la DTR como también del

tiempo de residencia promedio.

La forma de la distribución de tamaño del producto puede ser modificada por la

manera en que se diseña y opera el circuito de molienda. Con “forma” se quiere decir la

pendiente de la curva de análisis granulométrico que se muestra en la Figura 1.2, ésto es,la relativa proporción de finos, material de tamaño intermedio y gruesos. En muchas

industrias, el producto del molino debe ser menor que un determinado tamaño pero la

presencia de un exceso de finos, es indeseable. Una cantidad relativa menor de finos

aparece como una mayor pendiente en la curva granulométrica, como se muestra en laFigura 1.5. La producción de un exceso de finos se puede considerar análoga a una

reacción química indeseable, la cual debe ser minimizada por medio de una operación

eficiente.

Un principio general de importancia es que, para evitar la producción de un exceso

de finos, es necesario remover del molino lo más rápidamente posible todo el material

que ya está suficientemente fino, evitando de este modo la sobremolienda. En la Figura

1.5 se muestra un resultado teórico (que será descrito en el Capítulo 11) de un circuito demolienda operando para producir una distribución de tamaño con el 80% menor que 75

µm. Bajo condiciones de circuito abierto (sin clasificación o reciclo), el material ya

suficientemente fino naturalmente pasa todavía a lo largo del molino y es molido másfinamente por debajo del tamaño de control al mismo tiempo que el material más grueso

es reducido de tamaño. La incorporación de un clasificador cerrando el circuito significa

que el molino opera a flujos de masas mayores y a tiempos de residencia menores. Si los

flujos de alimentación fresca y de producto final se denominan Q, en toneladas por hora,

y si la cantidad que recicla es T , también en toneladas por hora, el flujo total que pasa por

el molino es Q + T . Este mayor flujo remueve el material más rápidamente, los finos son

separados en el clasificador y las partículas más gruesas son devueltas al sistema de

9



alimentación del molino. El beneficio de esta acción es que la distribución de tamaño

de las partículas que han sido trituradas en el molino contiene ahora más partículas gruesas

y menos partículas finas. Si no hay finos presentes, éstos no son retriturados. El cuociente

(Q+T)/Q recibe el nombre de carga circulante y se la expresa como porcentaje. La razónT/Q=C se denomina razón de recirculación.

Dos tipos de ineficiencias pueden ser definidos para la molienda. El primer tipo,

que recibirá el nombre de ineficiencia indirecta, fue discutido en el párrafo anterior. El

molino puede fracturar eficientemente, pero la energía se gasta en sobremoler material

que ya está suficientemente fino. El segundo tipo, que denominaremos ineficiencia

directa , sucede cuando las condiciones de la molienda causan acciones de ruptura

deficiente; ejemplos son (i) bajo llenado del molino con partículas de tal manera que

la energía cinética de las bolas se gasta en un contacto acero-acero sin que suceda una

ruptura de las partículas; (ii) sobrellenado del molino debido al cual la acción de las

bolas sobre las partículas es amortiguada por la presencia de exceso de estas últimas;

(iii) una densidad de pulpa demasiado alta en molienda húmeda, la que produce una

pulpa densa y viscosa que puede absorber el impacto de las bolas sin producir ruptura.

Finalmente, está claro que el término capacidad de molienda , que a menudo es

expresado en toneladas por hora, tph, agrupa en un solo número todas las velocidades

específicas de ruptura, la distribución de ruptura primaria, las distribuciones de tiempo

de residencia, las especificaciones de tamaño del producto en relación con la alimentación

del molino y el tamaño de éste. Este número sólo puede ser constante para condiciones

constantes precisas.

1.4 CONDICIONES DE OPERACIÓN DE MOLINOS ROTATORIOS

DE BOLAS: DEFINICIONES

El molino rotatorio de bolas contiene una masa de polvo que está siendo fracturaday la fineza de la molienda depende de cuánto tiempo el material permanece retenido. El

producto se torna más grueso cuando se aumenta el flujo de alimentación al molino, como

se discutió anteriormente. Este tipo de equipo es un aparato de retención.

Se define como velocidad critica del molino a la velocidad de rotación a la cual

las bolas empiezan a centrifugar en las paredes del molino y no son proyectadas en el

interior del molino. Haciendo un balance entre la fuerza de gravedad y la fuerza

centrífuga sobre una bola en la pared del molino, la velocidad crítica resulta ser:

Velocidad crítica = 76.6 ⁄ " ##### D $ d RPM ; D, d en pies (1.2a)

= 42.2 ⁄ " ##### D $ d RPM ; D, d , en metros (1.2b)

donde D es el diámetro interno del molino y d es el diámetro máximo de las bolas. Esrazonable esperar que el movimiento de volteo de la carga en un molino dependerá de la

fracción de velocidad crítica a la cual el molino opera, de tal manera que la velocidad de

rotación de éste normalmente se especifica por medio de %c, la fracción de velocidad

crítica.

10



La acción de volteo de la carga y las velocidades de ruptura dependerán claramente

de qué proporción del volumen del molino está lleno con bolas. La medida más precisa

de ésto es la fracción de volumen ocupado por las bolas. Sin embargo, en ensayos en

molinos de gran tamaño, a menudo no es posible determinar el peso de las bolas, y por lo tanto, tampoco es posible determinar su volumen, pero sí es posible parar el molino y

medir la altura desde la superficie de las bolas a la parte más alta del molino, lo que

permite la estimación de la fracción del volumen que está lleno con el lecho de las bolas;

Figura 1.6. Por lo tanto la fracción de llenado con bolas, J , se expresa,

convencionalmente, como la fracción del molino lleno por el lecho de bolas en el reposo.

Para convertir el volumen del lecho en la masa total de las bolas presentes, o vice

versa, es necesario conocer la densidad aparente de la carga del lecho de bolas. La porosidad del lecho varía ligeramente dependiendo de la mezcla de tamaños de bolas, el

relleno de polvo, etc., sin embargo, se define una porosidad nominal constante para todos

los cálculos. Diferentes industrias y fabricantes usan valores levemente distintos de

porosidad. Nosotros usaremos una porosidad nominal de lecho de 0.4, el que da un valor

de J de:

J = Volumen real de las bolas ⁄ Fracción en volumen de acero en el lecho

Volumen del molino

J = &'(

masa de bolas ⁄ densidad de bolas

volumen del molino

)*+ ,

&'(

1.0

1$ porosidad del lecho

)*+

J = &'( masa de bolas ⁄ densidad de bolas

volumen del molino)*+ , &'

(1.00.6

)*+

Para bolas de acero forjado de tipo normal, la porosidad formal de 0.4 produce una

densidad aparente del lecho de 295 lbs/pie cúbico (4.70 ton métrica/m3).

Similarmente, la carga de polvo de un molino se expresa como la fracción delvolumen del molino ocupada por el lecho de polvo, f c. Usando nuevamente una porosidad

nominal del lecho de polvo de 0.4:

f c = &'(

masa del polvo ⁄ densidad del polvo

volumen del molino

)*+

, &

'(

1.0

0.6

)

*+

A fin de relacionar la carga de polvo con la carga de bolas, el volumen aparente de

la carga de polvo se compara con la porosidad nominal del lecho de bolas mediante la

variable U, que expresa la fracción de huecos entre las bolas en reposo ocupada por el

lecho de partículas.

U = &'(

volumendel lecho de partículas

volumen de huecos en el lecho de bolas)*+

11



= f c , ( volumen del molino)

J , ( volumen del molino) , ( porosidaddel lecho de bolas)

= f c

0.4 J (1.5)

Empíricamente se ha encontrado que el rango de U de 0.6 a 1.1 es una buena proporción

de polvo a bolas para dar una fractura eficiente en el molino.

Si hay agua presente, la densidad de la suspensión se puede cuantificar mediantela fracción en peso de los sólidos en la mezcla c p. En realidad, las propiedades reológicas

de una suspensión quedan mejor definidas por la fracción de sólido en volumen cv:

cv =

c p ⁄ - s

c p ⁄ - s + [(1 $ c p) ⁄ -l )] (1.6)

donde c p es la fracción en peso del sólido y -s y -l son las densidades del sólido y del

líquido. La viscosidad de una suspensión depende también de la distribución granu-

lométrica de las partículas.

1.5 NIVELES DE COMPLEJIDAD: LOS DIFERENTES CAMINOS ALDIMENSIONAMIENTO DE MOLINOS

Al describir un sistema de molienda, incluso el más sencillo, existen un número

de niveles de complejidad que pueden ser usados. Estos pueden ser categorizados, enorden ascendente de complejidad, de la siguiente manera:

1) Método de la energía específica global

2) Métodos globales Bond/Charles

3) Método de balance de tamaño-masa

La esencia del Método 1 es el determinar experimentalmente la capacidad de

molienda de un material desde una alimentación conocida a un producto determinado en

el laboratorio o en un molino piloto, donde las condiciones en el molino de prueba sonseleccionadas lo más similares posibles a las del molino industrial y el tiempo de molienda

es ajustado para obtener el tamaño deseado del producto. La energía del molino se usa

para calcular la energía específica de molienda en kWh/ton, para ir desde una determinada

alimentación hasta un producto del tamaño deseado. Se supone luego, que la energía

específica de molienda para obtener el producto señalado desde la alimentación dada es

independiente del diseño del molino o de su operación (o se escala mediante una relación

de escalamiento simple basada en la experiencia). Por lo tanto, midiendo la potencia

m p1 utilizada en el molino de laboratorio o de planta piloto mientras opera a un tonelaje

de descarga estacionario Q1 desde una alimentación a un producto determinado, la energía

específica es obtenida de:

Energía específica E = m p1

Q1 (1.7)

12



Figura 1.6: Geometría de la carga de bolas en un molino.

13



Entonces, si se necesita un tonelaje de producción Q2 de cualquier otro molino, y se

supone una energía específica constante, su potencia será de:

m p2 = E , Q2 = m p1&'(

Q2

Q1

)*+ (1.8)

Como la potencia m p2 que se requiere para operar un molino a una velocidad deseada

puede ser calculada mediante ecuaciones empíricas usando las dimensiones del molino

y su carga de bolas, se puede seleccionar un tamaño apropiado de molino para dar una

potencia m p2.

Este enfoque es a menudo inesperadamente exitoso, pero su aplicación sin

experiencia previa está llena de peligros. No existe una razón fundamental de por qué la

energía específica de molienda deba ser constante ya que ella no es un parámetro

termodinámico y además, es fácil idear un sistema en el cual ella no pueda de ningúnmodo ser constante, especialmente si el sistema de producción seleccionado es más, o

menos, eficiente que el sistema de prueba. Este enfoque no toca los problemas de

limitaciones en flujo másico a través del molino, la correcta selección de recirculación,

las condiciones óptimas de operación, etc.

El Método 2 utiliza elementos del Método 1 y agrega relaciones empíricas, como

las de la “ley” de Bond [1.8] o la “ley” de Charles [1.9], las que describen cómo la energíaespecífica de molienda varía con cambios en el tamaño de la alimentación o el tamaño

del producto. Se utilizan factores de escalamiento y a menudo es necesario hacer una

serie de correcciones empíricas basadas en experiencias previas para obtener resultados

correctos.

Los métodos arriba mencionados se denominan métodos globales porque son

usualmente aplicados a la alimentación y al producto que sale del circuito y no a la

distribución real de éstos en torno al molino mismo. Ellos engloban todos los factorescinéticos en un único parámetro descriptivo, por ejemplo, el índice de Trabajo de Bond.

Estos métodos serán discutidos en más detalle en el Capítulo 3.

El Método 3 consiste en realizar un balance de tamaño y de masa completo para

todos los tamaños de partículas del molino, utilizando los conceptos de velocidad

específica de fractura, distribución de fractura primaria, distribución de tiempos de

residencia y una descripción matemática de la acción de clasificación. El escalamiento

desde los resultados de pruebas a las condiciones industriales de producción, o a otras

condiciones del molino, se efectúa por medio de un conjunto de relaciones que describencomo cada elemento en el balance de tamaño-masa varía con las condiciones y el tamaño

del molino. Esto conduce a simulaciones de circuito razonablemente exactas y

apropiadas para la optimización y análisis del proceso. La ventaja de esta técnica es que

pueden compararse circuitos alternativos en el papel antes de adoptar finalmente undiseño. Este nivel avanzado de complejidad puede ser tratado con variados grados de

sofisticación. Este enfoque moderno, que requiere el uso de computadores digitales para

realizar los cálculos para un número razonable de intervalos de tamaño (por ejemplo 10

a 20), es uno de los tópicos importantes de este libro y se lo vuelve a tratar en el Capítulo

4.

14



1.6 REFERENCIAS

1.1 Rumpf, H., Powder Technol., 7 (1973) 145-159.

1.2 Sheridan, D., Smithsonian, 8 (1977) 30-37.

1.3 Rowland, C.A., Jr. and Kjos, D.M., Mineral Processing Plant Design,2nd. Ed., A. Mular and R. Bhappu,eds.,AIME-SME, New York,NY, (1980) 239-278.

1.4 Lynch, A.J., et al., Mineral Crushing and Grinding Circuits, Elsevier, 1977.

1.5 Austin, L.G., Klimpel, R.R. Luckie, P.T. and Rogers, R.S.C., Design and Installation of ComminutionCircuits, A. L. Mular and G.V. Jergensen, II, eds., SME-AIME, New York, NY, (1982) 301-324.

1.6 Austin, L.G., Klimpel, R.R. and Luckie, P.T., The Process Engineering of Size Reduction: Ball Milling ,AIME-SME, New York, NY, (1984) 561 pp.

1.7 Levenspiel, O., Chemical Reaction Engineering, Wiley, NY (1962).

1.8 Bond, F.C., Brit. Chem. Eng ., 6 (1960) 378-391, 543-548.

1.9 Charles, R.J., Trans. AIME, 208 (1957) 80-88.

15



16



CAPITULO 2

MECANICA DE FRACTURA Y REDUCCIONDE TAMAÑO

2.1 INTRODUCCION

Es obvio que la ciencia básica involucrada en la conminución es la mecánica de

fractura, sin embargo, existen pocos aspectos del diseño de procesos de molienda queutilicen conceptos de mecánica de fractura. Es más, cuando las leyes de la mecánica de

fractura han sido invocadas para explicar los datos de molienda o desarrollar leyes dediseño, la mayor parte de las veces han sido aplicadas en forma errada y de esta manera

han creado una gran confusión. En este capítulo se reseñan los conceptos básicos de

fractura desde el punto de vista de la reducción de tamaño por molienda y se muestra el

por qué es tan difícil efectuar cálculos de diseño desde un razonamiento teórico a priori.

2.2 BREVE RESEÑA DE LA MECANICA DE FRACTURA

2.2.1 Esfuerzos, Deformaciones Unitarias y Energía

Para producir una reducción de tamaño en colpas o partículas sólidas, se les debe

aplicar esfuerzos y producir fractura. Un análisis teórico cuantitativo es solamente

posible para estados de esfuerzos relativamente simples, pero los conceptos que surgen

de estos resultados son beneficiosos para entender en forma cualitativa las complejas

condiciones de esfuerzo en trituradoras y molinos industriales.

Cuando un material sólido es sometido a un esfuerzo sufre una deformación. Elestudio de este fenómeno corresponde a la mecánica del medio continuo. La descripción

del comportamiento del sólido requiere la postulación de una ecuación constitutiva que

relacione esfuerzos y deformaciones y que debe obtenerse de la experimentación con el

material. Sometiendo diversos materiales a esfuerzos de tensión conocidos, es posible

medir cada deformación producida y clasificar su comportamiento como elástico oinelástico.

El comportamiento elástico de un material se caracteriza porque la respuesta a los

esfuerzos es afectada sólo por el esfuerzo presente. No existen efectos de memoria que

comprometan la respuesta posterior del material. La energía acumulada durante la carga

del sólido es recuperada íntegra e instantáneamente durante la descarga. Si la ecuación

constitutiva de un material sólido elástico es lineal, se dice que su comportamiento es

elástico-lineal. La Figura 2.1 esquematiza la ecuación constitutiva de un material elástico

lineal en una dimensión. Esta ecuación constitutiva se denomina ley de Hooke y es:

17



! = Y " (2.1)

donde " = (d # d o) ⁄ d o y d y d o son el tamaño actual y tamaño inicial de la muestra. El

parámetro Y , que representa la pendiente de la recta en la Figura 2.1, se denomina módulo

de Young . El material se comporta elásticamente hasta el punto C. El valor del esfuerzo

y de la deformación unitaria en este punto se denota por !c y "c . El módulo de Young

queda expresado por:

Y = ! ⁄ " , !<!c , " < "c (2.2)

Para un cristal perfecto, Y depende de las orientaciones de los esfuerzos, pero los

materiales de mayor interés para nosotros son sólidos frágiles policristalinos con una

distribución de cristales al azar, de manera tal que Y resulta ser una constante isotrópicaelástica efectiva.

Existen materiales cuya respuesta a una solicitación no es elástica. La razón puede

ser que el material se deforma permanentemente o que su comportamiento depende del

tiempo. Ambos disipan energía durante la deformación. Se puede distinguir dos tipos

de inelasticidad, el comportamiento plástico y el comportamiento viscoso. Estos tipos

de inelasticidad se superponen al comportamiento elástico y constituyen lo que se

Figura 2.1 : Esfuerzo versus deformación unitaria para el comportamiento

elástico-lineal de una esfera de vidrio de 38 µm de diámetro.

18



denomina comportamiento elasto-plástico y comportamiento visco-elástico. El

comportamiento elasto-plástico (Fig. 2.2) lleva a una deformación permanente del

material, que no desaparece con el tiempo, por lo que se la trata como independiente de

éste. La descripción se basa en el límite de fluencia como constante del material, además

del módulo de Young. La energía disipada corresponde al área bajo la curva ! versus ".El comportamiento visco-elástico se caracteriza por su gran dependencia de la velocidad

con que se lleva a efecto. Mientras más lenta la carga, más inelásticamente se comporta

el material (Fig. 2.3). Un material se puede comportar elásticamente en tiempos cortos,y visco-elásticamente en tiempos mayores, dependiendo el rango de comportamiento

elástico de la temperatura. Por esta razón cuando se desea romper materiales

visco-elásticos, tales como el cloruro de polivinilo, se debe controlar la temperatura y la

velocidad de aplicación de los esfuerzos para que el material se comporte elásticamente.

La densidad de energía acumulada por el material durante una deformación

elástica se denomina energía de deformación y se puede expresar por unidad de volumen

E v ,o por unidad de área E s. Para una deformación unidimensional ella es:

1

2

3

4

5

Figura 2.2 : Esfuerzo versus deformación para la deformación elasto-plástica de unapartícula mineral de aproximadamente 4 µm de diámetro.

19



E v = E

d o A =

1

d o A $ F

d o

d

dx = $ d o

d F

A dx

d o = $ !

0

"

d % (2.3a)

donde E v es la energía de deformación por unidad de volumen, d o es el largo inicial delmaterial, A su sección transversal y d el largo deformado al aplicar la fuerza F . Usando

(2.1) e integrando resulta:

E v = 1

2Y "2

y reemplazando " de (2.2), se obtiene la energía de deformación cuando se aplica un

esfuerzo ! < !c :

E v = 1

2 !

2

Y (2.3b)

La energía de deformación por unidad de área será obviamente:

Figura 2.3 : Esfuerzo versus deformación para un material visco-elástico.

20



E s = 1

2 d o !

2

Y (2.3c)

El valor dado por las expresiones (2.3b) y (2.3c) corresponde a una deformación reversible

(Teoría de Hertz).

Por otro lado, si el sólido es cargado inmediatamente a !, el trabajo realizado será

E v = !2 ⁄ Y o E s = d o!2 ⁄ Y . La mitad de esta cantidad es energía de deformación y la

otra mitad es utilizada en acelerar el sólido y lo hará oscilar hasta que la amortiguación por fricción convierta la energía cinética en calor (Fig. 2.4). En forma similar, si un sólido

se expande rápidamente a un valor "d " mediante un esfuerzo constante ! , el trabajoefectuado por unidad de volumen es !2 ⁄ Y y otra vez solamente la mitad es energía

reversible de deformación.

La ruptura de un cuerpo sólido requiere la aplicación de esfuerzos suficientes sobre

el material para romper los enlaces entre los átomos de la red cristalina. Si a un material

ideal, considerando como tal aquél que posee una red cristalina perfecta, se le aplican

esfuerzos homogéneos, éste no puede romperse. Al aumentar las solicitaciones, tal

material deformaría isotrópicamente aumentando las distancias entre sus átomos en forma

homogénea. Cuando los esfuerzos sobrepasaren la resistencia del material, éste seríaseparado en sus componentes. Si lo anterior no ocurre en la práctica se debe sencillamente

Figura 2.4 : Ilustración de vibración amortiguada para la carga irreversible en unensayo de tensión simple.

21



a que los materiales ideales no existen. Los sólidos siempre contienen inhomogeneidades

que cambian su comportamiento. Particularmente, los minerales están compuestos de

granos de diversas especies mineralógicas y cada una de éstas, de muchos cristales. Esto

significa que los minerales son intrínsecamente materiales inhomogéneos.

Si se aplican esfuerzos en un cierto plano del material, éste se romperá, ocurriendo

fractura cuando las tensiones locales sobrepasan las fuerzas interatómicas. La fractura

se denominará quiebre cuando la tensión local es mayor que la resistencia cohesiva del

material y el plano de fractura sea perpendicular al plano de esfuerzos. Si la tensión localse hace mayor a la resistencia de cizalle cohesivo, el material se fracturará en un planoque no es perperdicular al de los esfuerzos y la fractura se denominará cedencia (Fig.

2.5). El tipo de fractura producido en un material depende principalmente del tipo de

esfuerzo aplicado. En la conminución, los esfuerzos normales son más importantes como

forma de aplicación de fuerzas para la ruptura de los minerales, sin embargo, laimportancia relativa del cizalle dependerá de la magnitud de las solicitaciones a las que

es sometido el material.

Figura 2.5 : Tipos de fractura según la ubicación de enlaces rotos en relación al planode solicitaciones, en una red cúbica.

22



2.2.2 Direcciones de los Esfuerzos Normales y de Cizalle

Considere un sólido en estado de esfuerzo en el equilibrio. En un plano que pasa

por cualquier punto del sólido, no existe fuerza neta (ya que no hay movimiento de una

parte del sólido con respecto a otra), como se ilustra en la Figura 2.6, y la fuerza con

que el material A de un lado del plano actúa sobre el material B del otro lado debe igualar

la fuerza del material B actuando sobre el material A. La fuerza por unidad de área conque A actúa sobre B es llamada esfuerzo. El esfuerzo es entonces la transmisión de

fuerzas a través del sólido.

El esfuerzo en un punto puede ser resuelto en dos componentes, la componente

normal , perpendicular a la superficie considerada y la componente tangencial , elesfuerzo de cizalle. El esfuerzo normal tiende a separar A de B (tensión) o forzar a A

Figura 2.6 : Ilustración de los esfuerzos en un plano que pasa a través de un puntoen un sólido en equilibrio.

Figura 2.7 : Ilustración del estado de esfuerzo en un sólido desde el punto de vistamolecular.

23



sobre B (compresión), mientras que el esfuerzo de cizalle tiende a hacer deslizar a A sobre

B. La Figura 2.7 ilustra los tres estados de esfuerzos, si se esquematiza estas fuerzas

operando como resortes. Obviamente, una compresión o tensión ! desigual a través de

un sólido debe producir esfuerzos de cizalle.

Para describir el proceso de fractura es necesario conocer los esfuerzos normales

! y tangenciales & , y sus direcciones en el sólido. Las relaciones entre esfuerzos y

dirección de esfuerzo pueden ser desarrolladas rápidamente para un sólido plano

(bidimensional). Considere un esfuerzo en un plano actuando en un punto, como se

muestra en la Figura 2.8a. El espesor del plano es el pequeño plano mostrado en la Figura

2.6, donde las moléculas han sido comprimidas, estiradas o cortadas. El esfuerzo puede

resolverse en dos componentes perpendiculares, ! x y! y, para cualquier ángulo arbitrario

'. Un balance de fuerzas muestra que, para un valor particular de ' = ' __

, el valor de & se

convierte en cero. Definiendo los nuevos ejes x _

e y _

paralelos y perpendiculares a la

dirección de ' __

(llamados ejes principales de esfuerzos) se tiene los resultados de la

Figura 2.8c. Los esfuerzos en las direcciones de x

_

e y

_

son llamados esfuerzos principales.Entonces, se puede demostrar que para cualquier ángulo arbitrario ß con respecto a esos

ejes, como se muestra en la Figura 2.8d, los esfuerzos ! y & están dados por:

! = ! x _ cos

2( + ! y

_ sen

2( (2.4)

& = )*+

! x _ # ! y

_

2

,-. sen2( (2.5)

Figura 2.8 : Equilibrios de esfuerzo en un punto de un elemento plano sólido.

24



Eliminando( entre las ecuaciones (2.4) y (2.5) se obtiene la ecuación de un círculo,

de manera tal que las relaciones entre & y !, para cualquier ángulo (, pueden ser

representadas mediante el círculo de Mohr , como se muestra en la Figura 2.9. El máximo esfuerzo de cizalle ocurre en la dirección de ( = 45° (o 135°), siendo:

&max = ///

! x _ # ! y

_

2

/// = 012

)*+

! x # ! y2

,-.

2

+ & xy

345

1 ⁄ 2

(2.6)

!/ &max

= )*+

! x _ + ! y

_

2

,-. (2.7)

El esfuerzo normal máximo es claramente el mayor de los esfuerzos principales.

También, es fácil demostrar que en las coordenadas originales, los esfuerzos principales

están relacionados a los esfuerzos normales mediante:

! x _ , ! y

_ = ! x + ! y

2 ± &max , tg 2' __ =

2 & xy

(! x # ! y) (2.8)

Entonces, conociendo ! x, ! y y & xy en cualquier punto en el sólido, las direcciones y

magnitudes de los esfuerzos máximos de cizalle, tracción y compresión pueden ser

calculadas fácilmente.

Considerando las seis componentes de los esfuerzos, un tratamiento similar en tres

dimensiones conduce a círculos de Mohr para los tres planos de esfuerzos principales,

como se ilustra en la Figura 2.10, donde !3 , !2 , !1 son los esfuerzos principales en orden

Figura 2.9 : Círculo de esfuerzos de Mohr para un punto de un elemento plano de unsólido.

25



de magnitud creciente. Se puede concluir que el máximo esfuerzo de tensión tiene la

magnitud y dirección del mayor valor de los tres esfuerzos principales y que el máximo

de cizalle ocurre a 45° entre las direcciones de !1 y!2 , con magnitud dada por la ecuación

(2.6).

El segundo paso en la descripción de la fractura es encontrar los valores de

! x , ! y y & xy en todos los puntos en un sólido, ya que éstos pueden ser convertidos a

esfuerzos máximos y direcciones de máximo esfuerzo. Esto se hace solucionando elconjunto de ecuaciones diferenciales y algebraicas que relacionan los esfuerzos con la

deformación unitaria, el coeficiente de Poisson 6 y el módulo de rigidez G

(G = Y ⁄ 2(1+6)) en tres dimensiones en todos los puntos de la superficie del sólido,

usando como condición de contorno la ecuación constitutiva para esfuerzo-deformaciónunitaria. Las soluciones son complicadas excepto para casos de geometrías sencillas y

para condiciones de contorno también sencillas. Un ejemplo utilizado más adelante es

la carga compresiva simple de una esfera entre platos rígidos y sin fricción,

correspondiendo a una prueba de esfuerzo compresivo.

La energía reversible de deformación, por sobre el estado sin esfuerzo, está dada

por:

E V = 1

2 $ $$ (! x" x + ! y" y + ! z " z + & xy7 xy + & xz 7 xz + & yz 7 yz ) dxdydz (2.9)

donde 7 xy es la deformación angular en el plano x,y.

Figura 2.10 : Círculo de esfuerzos de Mohr para un punto para un sólido tridimen-sional.

26



2.3 RESISTENCIA COHESIVA IDEAL, CONCENTRACION DEESFUERZO Y LA TEORIA DE GRIETAS DE GRIFFITH

2.3.1. Resistencia Cohesiva Ideal

El concepto de resistencia cohesiva ideal puede ser ilustrado mediante un sólido

constituido por planos de moléculas sujetos a una tensión unidimensional simple. La

tensión estira los enlaces entre las moléculas, como se ilustra en la Figura 2.11a, donde

las flechas indican las fuerzas intermoleculares de atracción y repulsión. En el estado

deformado (estirado) cualquier molécula cumple todavía un balance de fuerzas pero,

como se muestra en la Figura 2.11b, el alejamiento del equilibrio venciendo las fuerzas

de atracción requiere una adición de energía (integral de la fuerza por la distancia),alcanzando el sólido un nuevo equilibrio en un estado de energía más alto (energía de

deformación almacenada).

La máxima fuerza de atracción que el sólido puede ejercer sobre la capa de la

superficie corresponde al punto de inflexión de la curva de energía potencial, ya que(fuerza) = d(energía)/d(distancia de separación) y una tensión externa que exceda este

máximo, causa un desequilibrio de fuerzas y la aceleración de un plano de moléculas

respecto a otro. El sólido se desintegraría en cada uno de sus planos interiores.

Suponiendo que la ley de Hooke es aproximadamente aplicable hasta el punto deinflexión, la energía de deformación por unidad de volumen del sólido será, de acuerdo

a la ecuación (2.3), !2 ⁄ 2Y . Por otra parte, si se supone que esta energía se utiliza para

generar una nueva superficie por ruptura del material, podemos igualar la energíasuperficial con la energía de deformación hasta el límite de ruptura. Como el área

producida por unidad de longitud es 2 N , donde N es el número de planos por unidad de

longitud, N=1/ a, y a es la distancia entre los planos atómicos. Entonces:

27 ⁄ a = !c

2

2Y

y por lo tanto:

Figura 2.11 : Ilustración de las fuerzas entre moléculas en un sólido :(a) fuerza cohesiva, (b) energía potencial.

27



!c/ideal = 8 9999994Y 7 ⁄ a (2.10)

donde 7 es la energía superficial específica, definida como la energía necesaria para crear una unidad de área de la superficie de un sólido no deformado. Claramente

27 = E s ⁄ (d o ⁄ a). La ecuación (2.10) debe subestimar la resistencia ideal, ya que la ley

de Hooke subestima la fuerza para llegar al punto de inflexión.

Los valores del esfuerzo !c calculados mediante la expresión (2.10) son siempre

muy grandes comparados con los esfuerzos que se aplican a los materiales para romperlos.

Tres son las razones de discrepancia entre realidad y modelo. En primer lugar, en los

materiales existen medios mediante los cuales se produce concentración de esfuerzos

localmente, los que así llegan a sobrepasar la resistencia cohesiva del material. La

concentración de esfuerzos se producirá en las puntas de grietas microscópicas en el

material, la propagación de las cuales produciría ruptura. En segundo lugar, los

materiales contienen inclusiones que debilitan las uniones de ciertos planoscristalográficos disminuyendo la resistencia cohesiva original. Finalmente es probableque en muchos casos la ruptura se produzca a esfuerzos pequeños debido a grietas

macroscópicas en el material.

2.3.2 Concentración de Esfuerzo: Teoría de Grietas de Griffith

La teoría de la fractura estudia la iniciación de grietas a partir de fallas (grietas

microscópicas) y su propagación en el material. De acuerdo al comportamiento en este

sentido, la fractura puede ser frágil o dúctil . La fractura frágil se caracteriza por una

deformación elástica antes de la ruptura y por una rápida velocidad de propagación de la

grieta. La fractura dúctil va acompañada de una gran deformación plástica alrededor delas grietas antes y durante su propagación.

El análisis del comportamiento de materiales durante su ruptura fue iniciado por

Griffith [2.1] en 1920. La suposición fundamental fue que el material es un sólido elástico

y frágil conteniendo un gran número de grietas microscópicas, que posteriormente

tomaron el nombre de fallas de Griffith. Al someter tal material a una tensión, losesfuerzos se concentran en las puntas de las fallas estableciéndose un frente deruptura por donde se propaga la grieta.

El concepto de concentración del esfuerzo !, o factor de intensidad del esfuerzo,

puede ser ilustrado considerando un sólido plano con un pequeño agujero, bajo un

esfuerzo externo de tensión uniforme S en la dirección x, y cero en la dirección y. Sin el

agujero, la solución es obvia ! x = S , ! y = & xy = 0, par a todos los valores de x e y. Con un

pequeño agujero de radio a (ver Figura 2.12), la solución [2.2] es:

! x(r ,:) = S

2 )*+1+

a2

r 2

,-. #

S

2 )*+1+3

a4

r 4

,-. cos2:

la cual da un esfuerzo máximo de 3S en la dirección x para : = 90° y 270°.

Como una fisura se abrirá bajo tensión, es razonable esperar que el sólido falle por

fisuras que comienzan en la parte alta y baja del agujero y que progresan en la dirección

28



± y. La solución para un pequeño agujero elíptico es más compleja, pero da [2.1] un

esfuerzo máximo de:

!max

S = 1 +

2l

b (2.11)

donde b y l son los radios de la elipse en la dirección x e y respectivamente. Para un

agujero elíptico con su eje largo perpendicular a la dirección del esfuerzo, l es mayor que

b y la concentración del esfuerzo puede ser muy alta si l >> b.

Griffith [2.1],[2.3] argumentó que los sólidos reales contienen muchas pequeñas

fallas que corresponden al equivalente tridimensional de los agujeros elípticos discutidosanteriormente y que estos puntos de debilidad inician las grietas a niveles de esfuerzo

mucho menores que los ideales, ver Figura 2.13. Griffith hizo cuatro suposiciones

básicas:

(i) que la concentración de esfuerzos ocurre en la punta de la falla;

(ii) que el sólido es deformado al punto en que los lazos intermoleculares en la punta dela falla son estirados hasta el límite de ruptura;

(iii) que el estado de esfuerzo es reproducido en la punta para una expansión

infinitesimal de la falla, y

(iv) que la energía necesaria para expandir la falla, como una grieta que se propaga,

está disponible ya que el sólido no puede relajarse inmediatamente del esfuerzo

exterior aplicado.

La solución de las ecuaciones de esfuerzo-deformación para una elipse (ver Figura

2.12) da la energía de deformación extra, debido a la presencia de la elipse, como:

w1 = ; z < l 2 !

2 ⁄ Y

Figura 2.12 : Ilustración de la concentración de esfuerzos en un plano debido a unagujero circular en a) y a un agujero elíptico en b. S es el esfuerzo de tensión exterior

aplicado.

29



donde l es el semieje largo, esto es, la mitad del largo de la grieta, y ; z es su ancho.

Entonces, dw1 ⁄ dl = ; z 2< l !2 ⁄ Y . La energía necesaria para romper los enlaces es

w2 = 47 l ; z para una grieta de semilado l , tal que dw2

⁄ dl = 47; z . Un cambio rápido eirreversible de l a l +dl en el momento de la fractura, es semejante a un sólido deformado

que rápidamente se expande en dl a una carga constante, de modo que el trabajo realizado

es dos veces la energía (reversible) de deformación, dw3 ⁄ dl = 2dw1

⁄ dl = (2; z 2 < l !2) ⁄ Y .

Usando el principio del trabajo virtual, dw3 = dw1 + dw2 en la iniciación de la grieta el

esfuerzo de tensión crítico !c será:

!c/G = 8 99999927Y ⁄ <l (2.12)

donde !c/G es la resistencia a la tensión pronosticada por la teoría de Griffith para una

grieta orientada en forma perpendicular a la fuerza aplicada.

Figura 2.13 : Propagación de una grieta en un sólido bidimensional segúnla teoría de Griffith.

30



Comparando las ecuaciones (2.12) y (2.10) se concluye que, siendo los valores de

a del orden de unos pocos angstroms, una falla con un semilado de unos cientos de

angtroms puede dar reducciones de la resistencia a la tensión de varios órdenes demagnitud comparada a la resistencia ideal. Con el progreso de la grieta después de la

iniciación,dw3 /dl >(dw1 /dl) +(dw2 /dl), por lo que existe un energía extra disponible para

acelerar el movimiento de la punta de la grieta. El sistema es inestable y la grieta se

expande rápidamente, acelerando a altas velocidades. La resistencia es menor que la

ideal porque el esfuerzo global no precisa ser lo suficientemente grande como para

romper todos los enlaces de una vez, ya que en un momento dado sólo aquellos enlaces

alrededor de la punta de la grieta se están rompiendo. Por otra parte, la ecuación (2.12)

es válida para una sola falla, mientras que la presencia de muchos defectos estrechamente

juntos darán una reducción adicional en la resistencia.

Obviamente que un esfuerzo compresivo puro no ocasiona la propagación de una

grieta, por lo que se hace necesario la presencia de un esfuerzo de tensión para que se produzca la ruptura frágil. Se podría pensar que no existirían esfuerzos de tensión bajo

condiciones de compresión unidimensional simple. Sin embargo, un análisis más

detallado, que considere todas las posibles orientaciones de los defectos, muestra que se

producen esfuerzos de tensión en la punta de un elipse de orientación adecuada, incluso

bajo condiciones de compresión global. El resultado para un sistema plano, con esfuerzos

globales normales !1 y !2 y fallas de un tamaño tal que den un esfuerzo de tensión T o bajo una tensión unidimensional (con el eje de la grieta perpendicular al esfuerzo), semuestra en la Figura 2.14. La resistencia compresiva bajo una compresión unidimensional

es 8T o, esto es, la resistencia compresiva de materiales frágiles es alrededor de un orden

de magnitud mayor que la resistencia a la tensión.

Figura 2.14 : Ilustración del efecto de la combinación de esfuerzos de la teoría defallas de Griffith con resistencia a tensión simple To : las ecuaciones son las del

lugar geométrico.

31



2.3.3 Materiales Dúctiles

Los materiales dúctiles, por otro lado, sufren deformaciones plásticas debido al

deslizamiento de unos planos del sólido sobre otros, siendo el mecanismo fundamental

el movimiento de dislocaciones bajo un gradiente de esfuerzo. En este tipo demovimiento, los enlaces entre los planos no son todos rotos simultáneamente, sino que

se rompen sólo suficientes enlaces como para permitir que la dislocación se mueva a la

próxima posición, reponiéndose los enlaces tras la dislocación, y así sucesivamente, de

manera que resulta el deslizamiento de un plano sobre otro por medio de una serie de pasos de baja energía. La máxima fuerza de cizalle ocurre a 45° de la dirección del

esfuerzo principal, de modo que la plasticidad y ruptura por cizalle aparecerá como se

ilustra en la Figura 2.15.

El proceso de deslizamiento aparece como la región de cedencia en la Figura 2.2

y es bien diferente a la iniciación inestable de la fractura frágil. El deslizamiento puede

iniciarse a partir de un defecto orientado adecuadamente, tal que genere concentración

del esfuerzo, pero no hay apertura de una grieta comparable a la que resulta bajo un

esfuerzo de tensión. El deslizamiento plástico puede ocasionar que parte del sólido actúecomo una cuña creando fuerzas de tensión, las que luego propagan la fractura frágil.

Figura 2.15 : Ilustración de ruptura por cizalle: el deslizamiento lleva a fractura frágil.

32



El tratamiento de Griffith puede ser extendido [2.4] para tomar en cuenta la

plasticidad mediante la inclusión de un término dw4, que representa la energía requerida

para la deformación plástica causada por el campo de esfuerzo en movimiento alrededor

de la punta de la grieta. Entonces, la condición de iniciación es dw3 - dw1 > dw2 + dw4.El valor depende del tamaño y densidad de las dislocaciones en el sólido y domina por

sobre la energía de enlace dw2 para materiales dúctiles. Sin embargo, tan pronto como

la fractura comienza, el valor para la energía plástica disminuye debido a que la grieta se

mueve a una velocidad alta en relación a la escala de tiempo para el movimiento de las

dislocaciones que dan plasticidad.

2.4 FRACTURA DE ESFERAS Y PARTICULAS

En la discusión de la Figura 2.14 se definió una resistencia a la tensión T o, que se

obtendría de un ensayo simple de resistencia a la tensión de un material con una

determinada distribución de tamaño y de densidades de fallas de Griffith. Se puedesuponer que ese mismo material iniciaría grietas en cualquier región que desarrollaraesfuerzos de tensión mayores a T o, al ser sometido a condiciones de esfuerzos complejos.

Por ejemplo, las soluciones de las ecuaciones de esfuerzo-deformación para la

compresión de discos, de cilindros al modo de prueba radial “brasilera” y de esferas,

muestran que hay presentes esfuerzos de tensión, con valores máximos a lo largo del ejede carga. Incluso para cubos y cilindros cargados a lo largo del eje, la fricción entre el

plato de carga y la muestra conduce a un esfuerzo compresivo no uniforme con regiones

de esfuerzos de tensión. Entonces, la carga compresiva de trozos o partículas irregulares

producirá ciertamente regiones locales con esfuerzos de tensión y en consecuencia

producirá fracturas frágiles.

En particular, la compresión de esferas elásticas entre dos platos sin fricción da lasolución bien conocida:

; = 2 012

9

16 1

d (1#6

2)

Y 2 P

2345

1 ⁄ 3

(2.13)

donde ; es la disminución del diámetro d de la esfera producida por la aplicación de una

fuerza P . Para esta carga puntual el esfuerzo de tensión máximo en el sólido está dado

por:

! =

1

<

)

*+

(4)(21)

28+206

,

-.

)*+

P

d 2

,-. (2.14)

Suponiendo que hay una densidad suficiente de fallas de Griffith como para iniciar la

fractura en aquella región del sólido en que ocurre el máximo, el valor de P c que produce

fractura corresponde a un esfuerzo máximo crítico !c que iguala a T o. Como la sección

máxima de una esfera es < d 2 ⁄ 4, la ecuación (2.14) se puede expresar en la forma

(!c = T 0):

33



!c = )*+

21

28+206,-. !C (2.14a)

donde !C es la resistencia compresiva definida por !C = P c ⁄ (< d 2 ⁄ 4).

Como un ejemplo tomemos el valor de 6 = 0.16 para el cuarzo, entonces

!C = 1.5!c, esto es, una esfera es aproximadamente una y media vez más resistente a la

compresión que una fibra del mismo material y diámetro sometida a tensión. Rumpf [2.5]

ha dado un valor de !C = 14.6 MPa para una esfera de cuarzo de 38 µm de diámetro,

correspondiendo a una resistencia a la tensión verdadera de !c =9.8 MPa. Una partícula

de cuarzo de 135 µm de diámetro dió !C = 88.5 MPa, correspondiendo a !c = 59.3 MPa.

La energía de deformación reversible de una esfera es $ P (d ;), dando:

E ( P ) = 0.83 )*+

1#62

Y

,-.

2 ⁄ 3

)*+

1

d ,-.

1 ⁄ 3

P 5 ⁄ 3

(2.15)

Usando !C = P c ⁄ (< d

2 ⁄ 4), y expresándola como densidad de energía por unidad de

volumen, resulta:

E v = 1.06)*+

1#62

Y

,-.

2 ⁄ 3

!C

5 ⁄ 3 (2.16)

Usando el módulo de Young para el cuarzo: Y = 8.71x104

MPa, la energía crítica para laruptura de la partícula del cuarzo, con !C = 88.5 MPa es de E v = 0.9x10

6 j/m

3. Como la

densidad del cuarzo es de 2.62 ton/m3 y 1 kWh = 3.6x10

6 j, la densidad de energía para

la fractura resulta ser 0.1 kWh/ton.

Los experimentos para determinar la resistencia a la fractura de esferas como

función del tamaño han demostrado que generalmente la resistencia a la tensión aumenta

al disminuir el tamaño. Esto se explica suponiendo que en las esferas más pequeñas hay

menor probabilidad que existan fallas largas de Griffith en la región de máximo esfuerzo

de tensión. Este efecto se expresa en forma empírica mediante la relación:

!c = !o(V o ⁄ V )

1 ⁄ m (2.17)

donde V es el volumen de la esfera, !o es la resistencia a la tensión que corresponde a un

volumen normal V o y m es el coeficiente de uniformidad de Weibull. Un valor grande

de m significa que las fallas son pequeñas comparadas con el tamaño de la muestra, demanera que la probabilidad que exista una falla grande en una región particular del sólido

no varía mucho con el tamaño.

La Figura 2.16 muestra resultados típicos [2.6], en que cada valor de !c es el

promedio de 100 ensayos. Partículas de cuarzo de forma cercana a la de una esfera dan

un aumento notable de resistencia para tamaños menores a 500 µm. Introduciendo la

34



Figura 2.16 : Variación de la resistencia S con el volumen del espécimen.

35



ecuación (2.17) en la (2.16) y usando una resistencia a la tensión de !o = 1.6 x 103 MPa

para esferas de 1 cm de diámetro (V o = < /6), resulta:

E v (d ) = 11=10#3(1 ⁄ x)

5 ⁄ m , kWh ⁄ ton (2.18)

donde x está en cm. Cuando el valor de m1 cambia, la ecuación cambia a:

E v (d ) = 11=10#3(1 ⁄ x1)

5 ⁄ m1

( x1 ⁄ x)

5 ⁄ m2

, x > x1 (2.18a)

donde x1 es aquel tamaño en que la pendiente cambia de m1 para x ? x1 a m2 para

x > x1.

En realidad, durante la compresión de una partícula elástica, y, por efecto de las

tensiones tangenciales en las zonas de contacto de la partícula con las superficies sólidas,se forma un núcleo en el que se concentran los esfuerzos y, por lo tanto, en el que el

número y magnitud de las grietas aumentan. Este núcleo da como resultado partículas pequeñas al ocurrir la fractura. Fuera del núcleo las grietas se propagan radialmente pero

en cantidad menor, lo que da como resultado partículas de mayor tamaño en el producto.

Cuando se comprime una partícula de este tipo entre dos superficies paralelas se obtiene

una relación entre las solicitaciones y deformaciones semejantes a lo señalado en la Figura

2.17.

La esfera de vidrio se deforma elásticamente hasta su punto de ruptura D. En su

deformación inicial el material sigue la teoría de Hertz. La partícula también sufre

deformaciones elásticas pero, en este caso se debe distinguir entre fenómenos

Figura 2.17 : Curva esfuerzo-deformación para la compresión de una esfera de vidriode 38 µm y un pedazo de cuarzo de 135 µm.

36



microscópicos y macroscópicos. Desde el punto de vista microscópico se producen

pequeñas deformaciones elásticas seguidas de rupturas de pequeños trozos (esquinas y

cantos) que le dan a la curva macroscópica una forma de sierra. La curva macroscópica

a su vez, está constituida por deformaciones elásticas seguidas de rupturas, como en A,B y especialmente en C y D. En D la ruptura es total. Es interesante observar que la

curva CD es aproximadamente paralela a la curva de la esfera de vidrio lo que indicaría

que ambos materiales tienen respuestas semejantes, modificadas por la forma y tamaño

de las partículas.

2.5 APLICACIONES CUALITATIVAS DE LA TEORIA DEFRACTURA: ENERGIA DE MOLIENDA

Las rocas, minerales y carbones al ser fracturados en máquinas de reducción detamaño sufrirán generalmente una fractura frágil a partir de las fallas de Griffith

preexistentes. La resistencia a la molienda o moliendabilidad de estos materiales

correlacionará sólo aproximadamente con la dureza o la resistencia de los enlaces

químicos porque el número, tamaño y orientación de los defectos son variablesadicionales. Los materiales son más fuertes en compresión que en tensión. Con el

dc

ba

Figura 2.18 : Desarrollo de un árbol de grietas durante la propagación de la fractura,observado por fotografía de alta velocidad. Las imágenes han sido modificadas

aclarando el fondo y mostrando la zona de las grietas en seudorelieve.

37



objetivo de calcular la resistencia de un trozo o partícula sometida a esfuerzos usando

una teoría de mecánica de fractura a priori, sería necesario (a) resolver las ecuaciones

de esfuerzo deformación para la geometría y las condiciones del esfuerzo aplicado; (b)

convertir los resultados a la magnitud local y dirección de los esfuerzos principales entodos los puntos en el sólido; (c) considerar la densidad (número por unidad de volumen),

distribución de tamaños y orientación (posiblemente al azar) de defectos en el sólido;

(d) determinar los lugares donde los esfuerzos de tensión local pueden activar las fallashasta el punto de iniciación de la fractura, con la ruptura comenzando en el punto más

débil. Este cálculo resultaría extremadamente complicado, por no decir imposible, para

las situaciones reales en un molino. Por añadidura la mayoría de los equipos de

molienda producen algún grado de esfuerzos de impacto, los cuales propagan ondas de

esfuerzo a través del sólido, activando defectos a fracturas por tensión en su trayectoria.

La distribución granulométrica de la serie de fragmentos producidos por la fractura

es tan importante como la fractura misma y no existe una teoría conocida para su

predicción. Una grieta puede propagarse lentamente si ella se encuentra con una regiónde esfuerzos de compresión los que cierran el extremo, especialmente en el caso de

materiales dúctiles. Sin embargo la teoría predice, y los experimentos confirman, que

una fractura que se propaga bajo esfuerzos de tensión local adquiere rápidamente alta

velocidad, del orden de la magnitud de la velocidad del sonido en el sólido. Esto conducea una onda de esfuerzo que se propaga desde la punta de la grieta y que, por su parte,

inicia más fracturas en los defectos que encuentra en su trayectoria. El resultado es una

bifurcación de la grieta con bifurcaciones de cada uno de los nuevos brazos, en forma

sucesiva para dar un “árbol” de grietas a través del sólido, ver Figura 2.18. La energía

asociada al movimiento de la onda de esfuerzo rápido es generalmente suficiente para

pasar la grieta a través de los límites de granos y a través de regiones de esfuerzos

compresivos masivos.Una comparación entre la fractura de materiales frágiles y dúctiles, muestra los

siguientes aspectos principales:

(1) La fractura frágil pura es casi independiente de la temperatura, pero a mayores

temperaturas, cercanas a las que producen mayor movilidad de las dislocaciones, lafractura puede cambiar a un deslizamiento y, por lo tanto, a menores resistencias. La

fractura dúctil pura muestra una disminución de la resistencia con un aumento de

temperatura debido a una mayor movilidad de la dislocación. Para una fractura frágil

con una componente significativa de energía plástica, la resistencia aumenta con la

temperatura debido a la zona plástica alrededor de la punta y luego disminuye cuando

la fractura cambia a deslizamiento.

(2) Para fracturas a partir de fallas de Griffith, una partícula más pequeña tiene una menor probabilidad de contener un defecto grande y será relativamente más fuerte. Dicho de

otra manera, a medida que los materiales frágiles se fracturan los fragmentos resultantes

y restantes son más fuertes porque las fallas mayores se han roto. Por otro lado, la

fractura dúctil no es muy sensitiva al tamaño de partículas porque las dislocaciones sonmuy pequeñas comparadas con los tamaños de trozos o partículas.

(3) La velocidad de la aplicación de los esfuerzos es más importante para materiales

dúctiles que para materiales frágiles porque altas velocidades de aplicación de grandes

38



esfuerzos sobre materiales dúctiles pueden producir una fractura frágil, mientras que el

mismo esfuerzo alcanzado en etapas lentas permitirá disponer del tiempo para un

comportamiento dúctil.

(4) Los materiales dúctiles demuestran endurecimiento por deformación, esto es, la

deformación inicial produce movimiento y acumulación de dislocaciones, haciendo más

difícil una deformación subsiguiente. También demuestran fatiga por esfuerzo,

nuevamente debido a la gradual acumulación de dislocaciones en los repetidos ciclos de

esfuerzo.

(5) El cargar un material frágil con esfuerzos compresivos triaxiales uniformes, por ejemplohidroestáticamente, conduce a un incremento significativo de la resistencia al reducir

las fuerzas locales de tensión y al prevenir la apertura de las grietas.

La literatura sobre molienda ha mostrado la existencia de reiterados errores deconceptos concerniente a la energía de molienda. Las discusiones previas muestran que

un sólido fuerte debe ser llevado a un alto estado de esfuerzo para que ocurra una fractura,

especialmente por aplicación de fuerzas compresivas. Tan pronto como la fractura ha

comenzado, solamente una fracción de la energía de deformación almacenada localmente

alrededor de las grietas que se propagan, es utilizada para romper enlaces (el término 7). Los fragmentos de sólido son liberados de los esfuerzos externos cuando el sólido se

desintegra transformándose el resto de la energía de deformación acumulada en el sólido

en calor y sonido. Por ejemplo, considere el caso simple de un resorte bajo tensión, comoen la Figura 2.19, conteniendo una pequeña falla como se muestra. Si el resorte fuese

perfecto el aumento del esfuerzo de tensión separaría (fracturaría) eventualmente planos

de moléculas en igual forma en todos los puntos del resorte, creando un vasto número de

nuevas superficies y consumiendo la energía en deformación para suministrar la energíade superficie. En la práctica, empezando en la falla, la grieta se propaga a través del

resorte produciendo algunos pequeños fragmentos. Sin embargo, la mayor parte de la

energía de deformación acumulada permanece en las dos mitades mayores del resorte y

es convertida a calor por la oscilación amortiguada de cada una de las mitades; la piezase calienta, como la mayoría de nosotros hemos experimentado.

Ensayos realizados en molinos muestran que la fracción de la energía eléctrica

aplicada al molino que es utilizada directamente para romper fuerzas de enlace es muy

baja ( < 1%), generalmente menor que los errores envueltos en la medición del balancede energía. La ley de Rittinger, que indica que la “energía de reducción de tamaño es

proporcional a la nueva superficie producida”, no tiene una base teórica correcta. El

aumento de temperatura del material molido puede ser calculado con bastante exactitudsuponiendo que toda la energía se convierte en calor.

El consumo específico de energía por unidad de área producida, por ejemplo, en

joules/m2 , puede ser utilizado como una guía comparativa de eficiencia, porque un valor

alto de este parámetro es ciertamente un índice de una mayor reducción de tamaño por

unidad de energía suministrada. Por cierto no será necesariamente constante para un

determinado equipo y material ya que puede aumentar o disminuir con mayor grado de

reducción de tamaño.

39



2.6 DIFICULTAD DE LA MOLIENDA FINA

Ahora es posible postular algunas hipótesis para explicar por que es difícil moler

materiales a tamaños pequeños en forma rápida y económica.

En primer lugar, con el progreso de la molienda la ruptura ocurre a partir de lasfallas grandes contenidas en las partículas. Los fragmentos más pequeños producidos

tienen claramente una menor probabilidad de contener defectos grandes. En principio las partículas muy pequeñas se aproximan a una resistencia ideal. Schönert [2.7] ha demostrado

que aunque el cemento es considerado un material frágil, partículas de éste de unos pocos

micrómetros de tamaño, se deforman plásticamente sin fracturarse bajo la aplicación de

esfuerzos.

En segundo lugar, si se considera el acto de tensionar partículas en cualquier equipo

industrial, es claro que cada vez es más difícil capturar las partículas para tensionarlas a

medida que se van empequeñeciendo. Por ejemplo, considere las bolas en un molino

rotatorio que contiene una masa fija de colpas de 10 cm3 de volumen. Cada vez que una

colisión bola-bola muerde un trozo de colpa, ella tensiona los 10 cm3 quizás al punto de

FALLA

FRACTURA DEL RESORTE EN DOSMITADES CONTRAÍDAS Y A MAYOR

TEMPERATURA

RESORTE BAJO TENSION

Figura 2.19 : Ilustración de la energía de deformación en un sólido bajo esfuerzosimple, convertida en calor luego de la fractura.

40



fractura. Sin embargo, cuando el trozo es reducido a 10 µm en tamaño (es decir un

volumen de cerca de 1000 µm3=10

-9 cm

3) la colisión de bola con bola tiene que impactar

10

10

partículas para golpear la misma masa. En cualquier impacto de bola con bola habrásolamente una pequeña fracción de esta masa que estará localizada exactamente en la

pequeña región donde las dos superficies entran en colisión.

En tercer lugar, la presencia de partículas muy pequeñas en la masa de polvo puede

afectar la habilidad de los medios de molienda para producir un buen impacto a cualquierade las partículas contenidas en la masa de polvo en el molino. Se mostrará ejemplos de

este efecto más adelante pero pueden ser ilustrados en esta etapa si se considera un molino

de bolas conteniendo una suspensión de polvo en agua. Es bastante bien conocido que

si el polvo es fino, la suspensión será altamente viscosa y no es difícil de imaginar quela naturaleza viscosa de la suspensión absorberá (amortiguará) la fuerza de impacto como

si fuese una goma, produciendo una menor fractura de las partículas en la suspensión.

En cuarto lugar, es posible que las fuerzas cohesivas que existen entre partículasmuy pequeñas le impartan propiedades especiales (semejante a fluido, por ejemplo) allecho como un todo, de tal manera que todas las partículas estén menos bien situadas para

recibir un impacto cuando hay lamas. Esto es diferente de la segunda razón porque aquí

se trata de un efecto físico-químico y no de un simple efecto geométrico.

En quinto lugar, es posible que pequeñas partículas en contacto bajo un granesfuerzo puedan volver a reintegrarse. Debe distinguirse aquí entre la simple

aglomeración y la reintegración. La aglomeración de partículas finas en una partícula

más grande (aparentemente única) da una partícula que es débil y porosa y que tiene un

área por B.E.T. (N2 líquido) que corresponde al área de los fragmentos constituyentes.

Tales partículas son en general fácilmente desintegradas. En cambio verdadera

reintegración puede ocurrir, lo que conlleva la restitución de los enlaces químicos entrelas moléculas de las superficies para producir una partícula refundida resistente y densa.

Este segundo caso probablemente requiere un alto grado de ductibilidad de la partícula,de manera tal que las superficies se apreten en un contacto estrecho. Es posible, por

ejemplo, crear verdaderas aleaciones [2.8] moliendo juntos polvos finos de metales

DIFICULTAD DE FRACTURAR PARTÍCULAS PEQUEÑAS

(1) INHERENTEMENTE MAS RESISTENTES

(2) ESCASA PROBABILIDAD DE CAPTURA DE PARTICULAS PEQUEÑAS

(3) AMORTIGUACION DE IMPACTOS POR FINOS(4) PROPIEDADES DEL LECHO DAN MENOR CAPTURA

(5) REINTEGRACION

Figura 2.20 : Dificultad de fracturar partículas pequeñas.

41



dúctiles. Se sabe desde hace bastante tiempo que el carbón, que normalmente se fractura

como un sólido frágil, puede exhibir un comportamiento plástico cuando está en tamaños

de unas pocas décimas de micrómetros [2.9]. Moliendo escoria de cemento por largos

tiempos en un molino de bolas discontinuo conduce a una distribución granulométricaestablece con un área B.E.T. constante [2.10, 2.11]. El trabajo de Schönert sugiere que esto

puede ser debido a un verdadero crecimiento de partículas, de forma tal que se alcance

un balance entre fractura y crecimiento.

La Figura 2.20 resume la discusión anterior. Es muy conveniente analizar un

sistema de molienda para determinar cual de estas causas está actuando, porque entonces

se pueden tomar decisiones lógicas para mejorarlo. La metodología propuesta es el

análisis de la cinética de molienda, que es capaz de distinguir entre los varios mecanismos

enumerados en la Figura.

2.7 CAMBIO DE PROPIEDADES Y REACCIONES

Se sabe que el tratamiento prolongado aplicando esfuerzos repetidos sobre un

material, en un molino de bolas por ejemplo, puede causar cambios masivos en las

propiedades del material. Rose [2.12] mostró que el cuarzo experimenta un cambio de fase

de una forma a otra durante la molienda en molino de bolas. Este caso fue revisado

recientemente [2.13] incluyendo muchos ejemplos. Se ha sugerido que los esfuerzos decizalle causan la nucleación y crecimiento de una fase desde cristales de otra en una

partícula. En la molienda de polímeros orgánicos duros en un molino de bolas, éstos

pueden sufrir un período de demora en el cual prácticamente no se quiebran seguido por

otro período de ruptura. Posiblemente el golpe de las bolas debilita el material alocasionar algún grado de cristalización (alineamiento molecular). Se sabe que pequeños

42



golpes crean o extienden grietas en un carbón de manera que éste eventualmente se rompe.

Aunque el carbón es un polímero frágil con planos de debilidad ocasionados por el

proceso geológico de depositación, otros materiales podrían mostrar el mismo efecto.

Benjamin [2.8] ha discutido la formación de soluciones sólidas de metales dúctiles

mediante la molienda prolongada en un molino de bolas, desde una mezcla de polvos de

sus componentes, y la creación, en forma similar, de una dispersión fina de un material

quebradizo en una matriz dúctil. El mecanismo parece ser la soldadura fría de superficieslimpias producidas por fractura o aplastamiento, de modo que ocurra simultáneamente

tanto reducción de tamaño como crecimiento. En este caso la acción del molino debe ser

tal que fuerce a las partículas entre sí y las fracture también. Se sabe que se pueden formar

componentes organo-metálicos moliendo cromo y níquel en líquidos orgánicos,

produciéndose un rearreglo de las moléculas orgánicas a otras formas con el desprendimiento

de H2 , CH4 y CO2. En forma similar, reacciones tales como Cr(s)+3TiCl4 (l)@ CrCl3 (s)+

3TiCl3 (l) ocurren en líquidos anhidros. Nuevamente, la causa es indudablemente la alta

reactividad de las superficies recientemente creadas por fractura.

2.8 REFERENCIAS

2.1 Griffith, A.A., Phenomena of rupture and flow in solids, Phil. Trans. Roy. Soc. (London),221A(1920)163-198.

2.2 Nadai, A., Theory of flow and fracture of solids, McGraw Hill, Inc., New York, 1950, p. 89. Ver Developments in Fracture Mechanics, Vol. 1, F.G. Shell, ed. Applied Science Publishers, 1979.

2.3 Griffith, A.A., The theory of rupture, Proc. First Int. Cong. for Applied Mechanics, Delft, 1924.

2.4 Orowan, R., Fracture and strength of solids, Reports of Progress in Physics, Physical Society(London), 12(1949)185.

2.5 Rumpf, H., Chemie-Ing. Techn., 37(1965)187-202.2.6 Kanda, Y., Sano, S. and Yashima, S., Powder Technol ., 48(1986)263.

2.7 Schönert, K., Clausthal University, private communication (1984), También , Dechema Monograph.,69(1972) 167.

2.8 Benjamin, J.S., Scientific American, 234 May(1976)41-48.

2.9 D.S.I.R. Bibliography, Crushing and Grinding , Chemical Pub. Co. (New York., N.Y.), 1958, p. 23.

2.10 Ghigi, G. and Rabottino, L., Dechema Monograph., 57(1967)427.

2.11 Hukki, R.T. and Reddy, I.G., ibid, p. 313.

2.12 Rose, H.E., Kings College, London, U.K., private communication (1964).

2.13 Lin, I.J. and Nadir, S., Mat. Sci. and Eng ., 39(1979)193- 209.

43



44



CAPITULO 3

ENSAYOS CONVENCIONALES DEMOLIENDABILIDAD Y DISEÑO DE

MOLINOS: METODO DE BOND Y OTROS

3.1 INTRODUCCION

En principio es posible predecir el tamaño que debería tener un molino industrial

para lograr una determinada capacidad a partir de datos obtenidos en ensayos continuos

en escala de laboratorio, siempre que se conozcan las correspondientes leyes de

escalamiento. En la práctica es difícil obtener una similitud exacta entre el molino

industrial (mezcla de bolas, material retenido, acción del clasificador, etc.) y el molinode laboratorio, y los ensayos son difíciles de realizar. Por otra parte, cuando el molino

de laboratorio se elige suficientemente grande para obtener una buena similitud, el ensayo

se convierte en escala piloto. Para evitar el costo de construir y operar un sistema piloto

se ha desarrollado métodos aproximados de diseño, los que serán discutidos en este

capítulo.

3.2 METODO DE BOND PARA EL DISEÑO DE MOLINOS DEBOLAS

El método de Bond será discutido en mayor detalle porque ha encontrado amplia

aceptación en la industria minera-metalúrgica. El método tiene dos grandes ventajas

desde el punto de vista de la ingeniería. En primer lugar, es muy simple, y en segundo

lugar, la experiencia demuestra que es efectivo para muchas (aunque no para todas)

circunstancias.

3.2.1. Ecuaciones de Diseño

El objetivo del método es seleccionar el diámetro y largo de un molino para

producir Q toneladas por hora de un material con un porcentaje ! menor que el tamaño

p1. Se debe especificar además el tamaño de las bolas de la recarga y la potencia del

molino.

El método consta de seis etapas importantes:

(1) Un ensayo de “moliendabilidad” normalizado para el material.

(2) Una ecuación empírica que convierte los resultados de los ensayos de

moliendabilidad a los que se obtendrían en un molino continuo de 2.44 m (8 pies) de

45



diámetro interior, con descarga de rebalse, trabajando en húmedo y en circuito cerradocon 350% de carga circulante.

(3) Relaciones de escalamiento que permiten predecir el resultado en molinos mayores.

(4) Una serie de factores de corrección, basados en la experiencia, que permiten

describir otras condiciones de operación.

(5) Una ecuación empírica que permite calcular la energía específica consumida para

una determinada razón de reducción.

(6) Una ecuación empírica que permite calcular la potencia necesaria para mover unmolino en función de la masa de medios de molienda.

El trabajo original de Bond fue resumido en una importante publicación [3.1] la

que, desafortunadamente, contiene una gran cantidad de errores. La publicación tiende

a confundir resultados empíricos valiosos con razonamientos científicos dudosos. En un

artículo reciente, Rowland y Kjos [3.2] dan una discusión clara y muestran la aplicación

del método. La discusión que sigue se basa en ese trabajo.

ETAPA1: Ensayo normalizado de moliendabilidad de Bond

El material se prepara con un tamaño de 100% menor a 6 mallas (3.350 mm), lo

que corresponde aproximadamente a 80% menos de 2 mm. Se miden 700 cm3 a granelde este material, lo que da un total de W gramos, cuidando que la densidad aparente sea

reproducible, y se carga en un molino de bolas de 305x305 mm (12x12 pulgadas), con

bordes interiores redondeados. La carga de 285 bolas de acero de 20.125 kg tiene la

distribución que sigue:

43 bolas de 36.83 mm (1.45")

67 bolas de 29.72 mm (1.17")

10 bolas de 25.40 mm (1.00")

71 bolas de 19.05 mm (0.75")94 bolas de 15.49 mm (0.61")

Figura 3.1: Método normalizado de Bond simulando un circuito cerrado de molienda

con una carga circulante de 350%; F/Q = 3.5.

46



El material se muele por un corto período, generalmente 100 revoluciones,

tamizando el producto por una malla p1 seleccionada para eliminar el bajo tamaño y

reemplazarlo por material fresco, simulando un circuito cerrado de

molienda-clasificación. Esta nueva carga se vuelve a moler tratando de obtener una carga

circulante de 350%. Como F/Q=3.5 (ver Figura 3.1), el porcentaje "1 ( p1) de material

menor a la malla p1 en el producto del molino deberá ser 100/3.5.

Suponiendo que la fracción de finos producida es proporcional al número de

revoluciones del molino, el número de revoluciones para la nueva etapa de molienda r 2se calcula de las revoluciones de la etapa anterior r 1 mediante

r 2 = r 1 (100 ⁄ 3.5)

!1 ( p1) (3.1)

donde "1( p1) es el porcentaje del material en el molino que tiene un tamaño menor que p1 después de r 1 revoluciones. Una vez alcanzada la carga circulante de 350%, se define

como moliendabilidad , y se designa por Gbp, a los gramos netos de material menor altamaño p1, producidos por revolución del molino:

Gbp = ( "1( p1) # " F ( p1)) W ⁄ 100r $

donde " F ( p1) y "1( p1) son el porcentaje menor que la malla de separación p1 en la

alimentación fresca al molino y en la descarga respectivamente, W es la masa total de

mineral cargada al molino y r* es el número de revoluciones necesarias para obtener la

carga circulante de 350%. Finalizado el ensayo, se efectúa un análisis granulométrico

completo del producto (bajo tamaño p1) y de la alimentación fresca (menor a 6 mallas).

ETAPA 2: Cálculo del Indice de Trabajo del ensayo

Por comparación de ensayos realizados según la etapa 1 con resultados

experimentales de molienda a escala piloto, Bond concluyó que el material se podía

caracterizar mediante un parámetro que denominó Indice de Trabajo Wi ( Work Index)

y que relacionó con la moliendabilidad del ensayo normalizado según la ecuación

empírica:

WiT = (1.1)(44.5)

p10.23Gbp0.82%&

'10

( ))) xQT

# 10 ( ))) xGT

*+,

, kWh/ton métrica (3.3)

donde WiT es el índice de trabajo del ensayo expresado en kWh/ton métricas, p1 es el

tamaño en micrometros de la malla de separación, Gbp es la moliendabilidad, xQT es el

tamaño del 80% en el producto y xGT es el tamaño del 80% en la alimentación fresca

(cercana a 2000 µm), todos determinados en el ensayo de Bond. Se debe destacar que

el número 10 en la ecuación (3.3) corresponde a ( ))))))100µm, por lo que 10 ⁄ ( )) x es

adimensional. El factor 1.1 convierte el Indice de Trabajo de Bond de kWh/tonelada

corta a kWh/tonelada métrica.

47



Tabla 3.1Indices de Trabajo de Bond Típicos

Material Indice de Trabajo WiT , kWh/ton

métrica *

Arena de Zirconio

Bauxita

28

11

Carburo de Silicio

Clinker de cemento

32

16

Cuarzo

Corundo

16

33

Dolomita 14

Feldespato 13

Ferrosilicio12

Pedernal 32

Fluorespato 11

Granito 12

Roca de yeso 8

Hematita 15

Caliza 15

Magnetita

Mineral de Cobre

12

13

Roca de fosfato 12

Pirita 11

(*) Estos valores se dan solamente como una guía de la magnitud de W iT. El Indice de Trabajo de Bond

para un determinado material tiene un rango de valores. Por ejemplo, la caliza tiene propiedades de molienda

que van desde blanda a muy dura.

Tabla 3.2Conversión de circuito cerrado a circuito abierto.

P(p1 ) K 1

50 1.035

60 1.05

70 1.10

80 1.20

90 1.40

92 1.46

95 1.57

98 1.70

48



El índice de trabajo obtenido de esta manera es algunas veces, una función débil

del tamaño de la malla de separación p1, la que puede ser elegida entre 28 y 325 mallas

dependiendo del tamaño de corte que se desea simular. Sin embargo, lo más frecuente

es utilizar la malla 200 ( p1=75 µm), ver Figura 3.2. Valores típicos de los Indices se

muestran en la Tabla 3.1.

ETAPA 3: Escalamiento a molinos mayores

Para utilizar el Indice de Trabajo en molinos mayores, Bond propuso las

expresiones de escalamiento que siguen:

Wi D =

-

.

/

0

0

(2.44 ⁄ D)0.2

WiT

0.914WiT

para D 1 3.81m

para D > 3.81m

(3.4)

Figura 3.2 : Variación del Indice de Trabajo de Bond con el tamaño de la malla deseparación [3.3].

49



donde Wi D es el índice de trabajo a usar en un molino de diámetro D.

ETAPA 4: Corrección para otras condiciones de operación

Para utilizar el Indice de Trabajo Wi D en otras condiciones de operación, es

necesario introducir factores de conversión. El Indice de Trabajo Wi para un caso

determinado se relaciona al Wi D , mediante:

Wi = K Wi D (3.5)

donde :

K = K 1 K 2 K 3 K 4 K 5

con:

K 1 es un factor de conversión a circuito abierto

K 2 es un factor de conversión a molienda seca

K 3 es un factor de corrección por sobre tamaño en la alimentación K 4 es un factor de corrección por la fineza de molienda

K 5 es un factor de corrección por razón de reducción

Conversión a circuito abierto: La ecuación (3.3) fue desarrollada para un circuito de

molienda cerrado. Para utilizarla en circuito abierto es necesario introducir un factor decorrección constituido por el multiplicador K 1 de la Tabla 3.2, donde p1 es la malla de

separación en el test de Bond y P(p1 ) el porcentaje menor a la malla p1 deseado en el

producto del circuito abierto de molienda.

Conversión a molienda seca : Aun cuando el ensayo de Bond se realiza en seco, la

ecuación (3.3) es válida para molienda húmeda. Por lo tanto, se debe aplicar un factor de

corrección cuando se desee diseñar un molino seco ya que la molienda seca es menos

eficiente que la húmeda:

K 2 =

-

.

/

0

0

1.3 molienda seca

1.0 molienda húmeda (3.6)

Corrección por sobretamaño en la alimentación : Si el tamaño de alimentación es tal

que se cumple:

xG > 4000 ( ))))))))))))1.10(13 ⁄ WiT ) (3.7)

es necesario corregir el Indice de Trabajo expresado en kWh/ton métrica, mediante el

factor K 3 dado por:

50



K 3 = 1+

[(WiT ⁄ 1.10)# 7]

234

xG

4000 ( ))))))))))))1.10(13 ⁄ WiT ) # 1

567

( xG ⁄ xQ) (3.8)

Corrección por fineza de molienda: Cuando la molienda es fina, tal que xQ < 75 µm

en molienda húmeda y 15 µm 1 xQ 1 75 µm en molienda seca, el Indice de Trabajo debe

ser corregido mediante:

K 4 = ( xQ + 10.3)

1.145 xQ (3.9)

Para la molienda húmeda esta corrección no debe sobrepasar 5.

Corrección por razón de reducción pequeña: Para moliendas con razón de reducción pequeña, tal que xG

⁄ xQ < 6 , se debe corregir el Indice de Trabajo con K 5:

K 5 = 1 + 0.13

( xG ⁄ xQ) # 1.35

(3.10)

ETAPA 5: Cálculo de la energía específica consumida para una razón dereducción determinada

Bond estableció que, dentro de un amplio rango de tamaños, la energía específicanecesaria para la conminución se podía relacionar a los tamaños de alimentación xG y

producto xQ mediante la expresión:

E = Wi 234

10

( ))) xQ

# 10

( ))) xG

567 (3.11)

donde E es la energía específica de molienda en kWh/ton y xQ y xG son los tamaños del

80% del producto y alimentación al circuito en µm y Wi el Indice de Trabajo en kWh/ton.

Se puede concluir que el circuito en el método de diseño de Bond es tratado como si

fuera equivalente a un molino en circuito abierto como se ilustra en la Figura 3.1. Laenergía específica de molienda dada por la ecuación (3.11) está basada en la potencia

que consume el molino en el eje (sin tomar en cuenta las pérdidas eléctricas), tal que se

cumple:

m p = QE (3.12)

donde m p es la potencia en el eje en kW y Q el flujo de mineral en ton/h, para producir

la reducción de tamaño de xG a xQ.

El Indice de Trabajo Wi ha sido frecuentemente interpretado como “la energía

específica de molienda necesaria para producir una reducción de tamaño desde una

alimentación con xG = grande a un xQ = 100 µm”. De la ecuación (3.11) se deduce que,

en estas circunstancias, E =Wi. Sin embargo, esta explicación es engañosa ya que la

51



ecuación (3.3) no es aplicable cuando xG adquiere valores grandes. Como la ecuación sí

es válida para xG = 900 µm, es conveniente interpretar Wi como Wi = 1.5E*, donde E* es

la energía específica para ir desde una alimentación fresca de xG=900 µm a un productodel circuito de xQ = 100 µm, en un molino de 2.44 m de diámetro interior, en húmedo y

operado con 350% de carga circulante.

ETAPA 6: Cálculo de la potencia para mover los medios de molienda

Bond propuso una ecuación que da la potencia necesaria para mover los medios

de molienda, por unidad de éstos. Como la carga de medios de molienda está dada por

8 D2 LJ 9b(1 # :) ⁄ 4,

donde J es la fracción de llenado o volumen aparente ocupado por los medios de molienda,: es la porosidad de la carga de bolas y 9b la densidad de las bolas.Usando: = 0.4 la

potencia en el eje en kW está dada por:

m p = 7.33 AJ ;c (1 # 0.937 J )%&'1 #

0.1

29 # 10;c

*+, 9b L D

2.3 (3.13)

donde A es una constante igual a 1 para la molienda húmeda en un molino de rebalse;

1.16 para la molienda húmeda en un molino de parrilla y 1.08 para la molienda seca, y

;c es la fracción de velocidad crítica.

3.2.2 Procedimiento de Cálculo

El diseño de un molino se basa en la determinación de la potencia en el eje necesaria

para producir la reducción de tamaño, ecuación (3.12) e igualarla a la potencia en el eje

necesaria para mover la carga, ecuación (3.13). De la ecuación resultante se puede

obtener el diámetro del molino, cuando se conoce el flujo Q, o la capacidad Q cuando se

conoce el diámetro. En ambos casos es necesario suponer una razón para L/D.

(a) Capacidad de un molino de bolas

Combinando las ecuaciones (3.4), (3.5), (3.11), (3.12) y (3.13) se obtiene:

Q = 6.13 ZD

3.5

D 1 3.81 m (3.14)

Q = 8.01 ZD3.3

D < 3.81 m (3.15)

Z =

A9b%&'

L

D*+,%' J # 0.937 J

2*, %&';c #

0.1;c

29 # 10;c

*+,

K WiT (10 ⁄ ( ))) xQ # 10 ( ))) xG ) (3.16)

52



donde 9b= 7.9 ton/m

3

, es la densidad de las bolas, A=1 para molienda húmeda y 1.08 para molienda seca, L y D son el largo y diámetro interno del molino, J es la fracción

de llenado de bolas,;c es la fracción de velocidad crítica, K es el parámetro de corrección

en la ecuación (3.5), W iT es el Indice de Trabajo determinado por el ensayo normalizado

de Bond, xG y xQ son los tamaños del 80% de la alimentación y producto del circuito en

micrometros.

(b) Diámetro de un molino de bolas

Las mismas ecuaciones (3.4), (3.5), (3.11), (3.12) y (3.13) pueden ser ordenadas

para dar el diámetro del molino:

D = 0.60(Q ⁄ Z )

0.286

D 1 3.81 m (3.17)

D = 0.53(Q ⁄ Z )0.303

D < 3.81 m (3.18)

donde D es el diámetro interior del molino en m, Z está dado por ecuación (3.16) y Q esel flujo másico de alimentación fresca al molino (que opera a 350% de carga circulante)

en toneladas por hora.

La Figura 3.3 muestra los resultados pronosticados para las condiciones J =0.35,

L/D=1.5, ;c=0.7, WiT =10 kWh/ton para varios valores del diámetro D y tamaño de

alimentación xG. Por ejemplo, un molino de 3.8 m de diámetro que de un producto con

Figura 3.3 : Capacidad de un circuito cerrado de molienda (c = 2.5) en húmedo con

descarga de rebalse pronosticado por el método de Bond : L/D = 1.5, J = 0.35,

;c = 0.70, W iT = 10 kWh ⁄ ton.

53



xQ = 150 µm desde una alimentación con xG = 2.0 mm tendrá una capacidad aproximada

de 210 ton/hora con un consumo de energía específica de 6.0 kWh/ton. La Figura 3.3

sirve como base para calcular la capacidad en otras condiciones de J y ;c utilizando la

tabla 3.3. Para un nuevo valor de J =0.30 y ;c = 0.75, la capacidad del molino de 3.8 m

será de Q=0.91x1.06x210=203 ton/hora. Por otra parte, si el material tiene un WiT = 15,

como la hematita, la capacidad para las últimas condiciones será Q=(10/15)x203=135

ton/hora.

Tabla 3.3Factores de corrección para Q de la Figura 3.3 (circuito cerrado húmedo con

descarga de rebalse, C = 2.5) para otros valores de J y ;c .

J J # 0.937 J 2 Factor ;c ;c # 0.1;c

29 # 10;c

Factor

0.20 0.16 0.69 0.60 0.59 0.87

0.21 0.17 0.71 1 0.60 0.88

0.22 0.17 0.79 2 0.61 0.90

0.23 0.18 0.77 3 0.62 0.91

0.24 0.19 0.79 4 0.63 0.92

0.25 0.19 0.81 5 0.64 0.94

0.26 0.20 0.84 6 0.65 0.95

0.27 0.20 0.86 7 0.66 0.960.28 0.21 0.88 8 0.67 0.97

0.29 0.21 0.90 9 0.67 0.99

0.30 0.22 0.91 0.70 0.68 1.00

0.31 0.22 0.94 1 0.69 1.01

0.32 0.22 0.95 2 0.70 1.02

0.33 0.23 0.97 3 0.71 1.04

0.34 0.23 0.99 4 0.72 1.05

0.35 0.24 1.00 5 0.72 1.06

0.36 0.24 1.01 6 0.73 1.07

0.37 0.24 1.03 7 0.74 1.08

0.38 0.24 1.04 8 0.75 1.09

0.39 0.25 1.05 9 0.75 1.10

0.40 0.25 1.06 0.80 0.76 1.11

0.41 0.25 1.07 1 0.77 1.12

0.42 0.25 1.08 2 0.77 1.13

0.43 0.26 1.09 3 0.78 1.14

0.44 0.26 1.10 4 0.78 1.15

0.45 0.26 1.10 5 0.79 1.16

0.46 0.26 1.11 6 0.79 1.16

0.47 0.26 1.12 7 0.80 1.17

0.48 0.26 1.11 8 0.80 1.18

0.49 0.27 1.13 9 0.81 0.18

0.50 0.27 1.13 0.90 0.81 1.19

54



3.2.3 Discusión del Método de Bond

El método de diseño de molinos de Bond es válido para la molienda en circuito

cerrado en condiciones “normales” de operación. El método no considera un número

importante de efectos menores y por lo tanto no puede ser utilizado para el ajuste uoptimización de un sistema determinado, ya sea desde el punto de vista operacional o

económico. Esto implica que el método posee un cierto número de desventajas:

(1) El método se basa en el ajuste empírico de datos de muchos molinos y materiales

operando bajo condiciones normales y, por lo tanto, para casos específicos producirá unrango de errores. El método no toma en consideración varios factores de diseño y

operación que obviamente son importantes: (i) razón de recirculación y eficiencia del

clasificador; (ii) mezcla de bolas de diversos tamaños en el molino; (iii) variación de la

distribución de tiempos de residencia con la geometría y la densidad de pulpa; (iv)

influencia del diseño de las barras levantadoras; (v) influencia de la densidad de pulpa

y reología de la pulpa sobre las velocidades de molienda, y efectos químicos sobre la

reología; (vi) variaciones causadas por los diversos grados de llenado que adquiere el

molino a medida que cambia el flujo de alimentación, especialmente para molinos con

descarga por parrilla o en la periferia, los que no se comportan igual que los molinos de

rebalse.

(2) Se sabe que la energía específica de molienda E no es independiente de la carga de

bolas J , mientras que la ecuación (3.11) muestra explícitamente independencia de J . La práctica industrial y también ensayos de laboratorio muestran que la energía específica

es menor para cargas pequeñas de bolas que para cargas mayores que den la capacidad

máxima.

(3) El método usa solamente los tamaños del 80% de la alimentación y producto delcircuito como caracterización de la distribución de tamaño, aunque está claro que la

Figura 3.4 : Circuito cerrado inverso tratado como dos clasificadores idénticos.

55



capacidad del molino depende, en general, de la forma de toda la distribución de tamaño

de la alimentación y producto. El mejor ejemplo de esto es el uso del circuito cerrado

inverso, como se muestra en la Figura 3.4, el que presenta ventajas cuando la

alimentación fresca contiene una cantidad significativa de material que cumple lasespecificaciones de fineza. Conceptualmente, este circuito puede ser tratado como si

existieran dos clasificadores idénticos, uno clasificando la alimentación y el otro el

producto del molino. La descarga del primer clasificador es la alimentación fresca

efectiva al circuito cerrado normal. En principio, el cálculo de Bond debe ser realizado

en la parte de circuito cerrado normal de este circuito, lo que requeriría un conocimiento

de la acción de clasificación sobre la alimentación fresca.

Sin embargo, las simulaciones, dadas en el capítulo 11, muestran que frecuentemente

la capacidad y distribuciones de tamaño producidas por el circuito inverso son casi

idénticas a las del circuito normal, siendo el resto de los factores idénticos. Esto ocurre

porque la razón de recirculación real en el molino es menor para el circuito inverso que

para el normal, si ambos usan el mismo clasificador, lo que compensa las ventajas deremover los finos de la alimentación fresca. Por lo tanto, el cálculo de Bond se realiza

como si el circuito fuese un circuito normal, usando el tamaño del 80% de la carga

fresca y del producto final del circuito. El modo correcto de diseñar un circuito inverso,

para utilizar la ventaja de la acción clasificadora sobre la alimentación fresca se discuteen el capítulo 11.

(4) La aplicación del método de Bond a un circuito abierto envuelve un problema lógico.

El factor K 1 de la Tabla 3.2 reduce la capacidad de un molino (aumenta el Indice de

Trabajo) por un factor que depende del porcentaje menor a la malla de separación p1

deseada en el producto del molino (del circuito abierto). Sin embargo, la Figura 3.2

muestra que el Indice de Trabajo no cambia significativamente para algunos materiales.

Para un molino y un material determinado el porcentaje menor a p1 cambia al variar eltamaño de separación p1 y si el Indice de Trabajo no cambia con p1 para compensar

por los diversos multiplicadores de la Tabla 3.2 se obtendrá un molino diferente en cada

cálculo, lo que es ilógico. De hecho, la experiencia general es que el método de Bond

no da el nivel de precisión requerido cuando se lo utiliza para el diseño de circuitos de

molienda abiertos.

3.3 INDICE DE TRABAJO OPERACIONAL

Rowland [3.4] introdujo el concepto de Indice de Trabajo Operacional , Wiop,

definido como el Indice de Trabajo que resultaría al aplicar la ecuación para la energía

de Bond ecuación (3.11), a los datos de planta:

E op = Wiop(10

( ))) xQ

# 10

( ))) xG

) (3.19)

donde E op es la energía específica real consumida en la planta en kWh/ton y xG y xQ son

los valores del 80% de la alimentación y producto del circuito. Si designamos con E la

energía pronosticada con la ecuación de Bond en base al Indice de Trabajo obtenido en

el laboratorio Wi, según la ecuación (3.11) para producir la misma razón de reducción,

reemplazando en la ecuación (3.19) resulta:

56



Wiop = Wi E op

E (3.20)

En el caso que las potencias calculadas y reales resulten iguales, la razón Wiop ⁄ Wi

corresponde a la razón entre la capacidad pronosticada y la real.

Para un molino operando eficientemente, variaciones en la eficiencia de

clasificación, distribución de tamaño de la alimentación, distribución de tamaño de bolas,

etc., pueden dar razones de Wiop /Wi diferentes de la unidad. Rowland ha dado resultados para molinos de bolas pertenecientes a un circuito molino de barras-molino de bolas que

muestran variaciones de esta razón en el rango 0.87 hasta 1.29, con un promedio de 0.945

(ver Tabla 3.4). Este rango de variación es consistente con los efectos de variación en la

eficiencia de clasificación, parámetros de ruptura primaria, mezcla de bolas, etc., como

se predice por simulación de un circuito completo de molienda-clasificación para una

operación eficiente. Si la razón se torna muy grande, esto es, mayor a 1.3, ello esindicación de que las condiciones de molienda no son correctas y hay ineficiencias

directas.

Tabla 3.4Comparación del Indice de Trabajo experimental y operacional para molinos de bolas

en circuito cerrado, incluyendo molinos de barras y bolas.

Diámetro

interior

del molino

m

Diámetro

interior

del molino

pies

Tamaño

en µm :

Alimen.

xG

Tamaño

en µm :

Produc.

xQ

Indice de

Trabajo

Operacional

kWh/ton

Wiop

Indice de

Trabajo

Experimental

kWh/ton

Wi

Wiop

Wi

Número

de datos

3 10 1280 165 14.50 14.61 0.99 1

3.5 11 - 1/2 1150 230 11.48 8.90 1.29 1

3.8 12 - 1/2 1330 35.3 10.71 11.2 0.96 1

3.8 12 - 1/2 1123 38.0 9.77 11.2 0.87 1

3.8 12 - 1/2 1226 36.6 10.24 11.2 0.91 2

3 10 1568 121 5.34 5.99 0.89 6

3 10 1321 107 5.96 6.26 0.95 6

3 10 1444 114 5.56 6.12 0.92 12

3.7 12 1264 181 11.78 13.34 0.88 4

3.7 12 1135 185 13.17 13.18 1.00 4

3.7 12 1200 183 12.45 13.26 0.90 8

0.945 24

57



3.4 METODO DE BOND PARA EL DISEÑO DE MOLINOS DEBARRAS

El diseño de molinos de barras mediante el método de Bond sigue el mismo

procedimiento que el diseño de molinos de bolas. Se puede distinguir las mismas seis

etapas. Daremos una muy breve reseña de este procedimiento, indicando las ecuaciones

pertinentes.

3.4.1 Ecuaciones de Diseño

ETAPA 1. Ensayo normalizado de moliendabilidad de Bond

Para la molienda primaria en molino de barras el ensayo normalizado de

moliendabilidad se realiza en un molino de 305x610 mm (12x24 pulgadas) conteniendo

una carga de barras de 33,380 g con la distribución que sigue:

6 barras de 31.8x533 mm(1.25x21 pulgadas)2 barras de 44.5x533 mm(1.75x21 pulgadas)

La alimentación al molino es de menos de 12.7 mm (1/2 pulgadas) con un volumena granel de 1250 cm3. Simulando un circuito cerrado con una carga circulante de 200%,

en seco y usando tamices con mallas entre 4 y 65 mallas para la clasificación, se determina

la cantidad de gramos de producto por revolución del molino, Grp. En cada etapa del

procedimiento, el número de revoluciones se calcula según:

r 2 = r 1 (100

⁄ 2.0) "1( p1)

donde "1 es el porcentaje de material en el molino que tiene un tamaño menor que p1 ,

después de r 1 revoluciones. Una vez alcanzado el equilibrio con una carga circulante deun 200%, la moliendabilidad Grp se calcula según:

Grp = %&' 1

2 #

" F

100*+,

W

r $ (3.22)

donde " F es el porcentaje menor que el tamaño p1 en la alimentación fresca, r * corre-

sponde a las revoluciones para producir 200% de carga circulante, y W es la carga total

de mineral en el molino. Finalizado el ensayo se efectúa un análisis granulométrico del producto (bajo tamaño p1) y de la alimentación fresca.

ETAPA 2: Cálculo del Indice de Trabajo del ensayo

El Indice de Trabajo para la molienda húmeda en un molino de barras de 2.44 m

de diámetro, operando en circuito abierto se puede obtener de:

58



WiT = (1.1)(62.2)

p10.23

Grp0.625(10 ⁄ ( ))) xQT # 10 ⁄ ( ))) xGT )

kWh ⁄ ton métrica (3.23)

donde WiT es el Indice de Trabajo del ensayo, en kWh/ton métrica, p1 es el tamaño de

la malla de separación en µm, Grp es la moliendabilidad para molino de barras, xQT y

xGT son los tamaños del 80% del producto menor a p1 y de la alimentación fresca,

respectivamente.

ETAPA 3. Escalamiento a molinos mayores

El escalamiento del Indice de Trabajo a molinos mayores a 2.44 m es el mismo

independientemente de si la carga está constituida por bolas o barras. Entonces, como

se muestra en la ecuación (3.4):

Wi D =

-

.

/

0

0

(2.44 ⁄ D)0.2

WiT

0.914WiT

para D 1 3.81 m

para D > 3.81 m

(3.24)

donde Wi D es el Indice de Trabajo a usar en un molino de diámetro D.

ETAPA 4. Corrección para otras condiciones de operación

Para utilizar el Indice de Trabajo en otras condiciones de operación, es necesario

introducir factores de conversión tales que el Indice de Trabajo Wi para un caso

determinado se relacione con Wi D mediante:

Wi = KWi D (3.25)

con K = K 1 K 2 K 3 K 4

donde :

K 1 es un factor de conversión por tipo de circuito

K 2 es un factor de conversión a molienda seca K 3 es un factor de corrección por sobre tamaño en la alimentación

K 4 es un factor de conversión por razón de reducción

Conversión por tipo de circuito: La eficiencia de la molienda en un molino de barrases afectada por el control que se tiene sobre su alimentación:

Para un molino de barras solo, usar el factor:

K 1 =

-

.

/

0

0

1.4 alimentación molino proviene de circuito abierto de trituración

1.2 alimentaciónmolino proviene de circuitocerr adode trituración

(3.26)

Para un circuito con molino de barras-molino de bolas usar el factor:

59



K 1 =

-

.

/

0

0

1.2 alimentación molino proviene de circuito abierto de tr ituración

1.0 alimentaciónmolino proviene de circuitocerrado de trituración

(3.27)

Conversión a molienda seca: El factor de corrección para molienda húmeda o seca es

el mismo que para molinos de bolas, ecuación (3.6):

K 2 =

-

.

/

0

0

1.3 Molienda seca

1.0 Molienda húmeda (3.28)

Corrección por sobretamaño en la alimentación: Si el tamaño de la alimentación es

tal que se cumple:

xG >

16,000 ( ))))))))))))1.10(13

⁄ WiT

)(3.29)

es necesario corregir el Indice de Trabajo expresado en kWh/ton métrica mediante el

factor K 3 dado por :

K 3 = 1 +

[(WiT ⁄ 1.10) # 7][ xG

16,000 ( ))))))))))))1.10(13 ⁄ WiT ) # 1]

( xG ⁄ xQ)(3.30)

Corrección por extremos en razón de reducción: La razón de reducción normal

xG ⁄ xQ para un molino de barras está dado por

( xG ⁄ xQ)0 = 7.5 + 5 L ⁄ D (3.31)

donde L y D son el largo y diámetro interiores del molino.

En aquellos casos en que ( xG ⁄ xQ) # ( xG ⁄ xQ)0 > 2 , es necesario aplicar un factor de

corrección K 4:

K 4 = 1 + [( xG ⁄ xQ) # ( xG ⁄ xQ)0]

2

⁄ 150 (3.32)

Para razones de reducción grandes, el factor K 4 sólo se aplica si WiT > 8.

ETAPA 5. Cálculo de la energía específica consumida para una razón dereducción determinada.

Para molinos de bolas y barras el cálculo de la energía específica de molienda E

es el mismo. Entonces, de las ecuaciones (3.11) y (3.12)

E = Wi %&'

10

( ))) xQ

# 10

( ))) xG

*+, (3.33)

60



m p = QE (3.34)

donde Wi es el Indice de Trabajo corregido en kWh/ton, xQ y xG son los tamaños del

80% del producto y de la alimentación al molino de barras en µm, Q es el flujo de

alimentación en ton/h, E es la energía específica de molienda en kWh/ton y m p es la potencia en el eje del molino expresada en kW.

ETAPA 6. Cálculo de la potencia para mover los medios de molienda

Al igual que para molinos de bolas, Bond propone una ecuación que da la potencianecesaria para mover los medios de molienda, por unidad de éstos. Como la carga de

barras está dada por 8 D2 LJ 9b(1 # :) ⁄ 4, con : = 0.20, la potencia en el eje queda

expresada por:

m p = 6.94 J ;c(1 # 0.857 J )9b L D2.34

kW (3.35)

3.4.2 Procedimiento de cálculo

Igualando las ecuaciones (3.34) y (3.35) se puede obtener el diámetro del molino

cuando se conoce el flujo Q, o la capacidad Q cuando se conoce el diámetro. En ambos

casos es necesario suponer una razón L/D.

Figura 3.5 : Capacidad de un molino de barras en húmedo pronosticada por elmétodo de Bond : L/D = 1.5,

J = 0.35, ;c = 0.70, Wi T = 10 KWh/ton.

61



(a) Capacidad de un molino de barras.

Combinando las ecuaciones (3.24), (3.25), (3.33) a (3.35) se obtiene:

Q = 5.81 XD3.54

, D 1 3.81 m (3.36)

Q = 7.59 XD3.34

, D > 3.81 m (3.37)

donde :

Tabla 3.5

Factores de corrección para Q de la Figura 3.5 para valores de J y ;c .

J 1 #### 0.857 J Factor 1 ;;;;c Factor 2

0.20 0.83 0.68 0.60 0.86

0.21 0.82 0.70 0.61 0.87

0.22 0.81 0.73 0.62 0.89

0.23 0.80 0.75 0.63 0.90

0.24 0.79 0.78 0.64 0.91

0.25 0.79 0.80 0.65 0.93

0.26 0.78 0.82 0.66 0.94

0.27 0.77 0.85 0.67 0.96

0.28 0.76 0.87 0.68 0.97

0.29 0.75 0.89 0.69 0.99

0.30 0.74 0.91 0.70 1.00

0.31 0.73 0.93 0.71 1.01

0.32 0.73 0.95 0.72 1.03

0.33 0.72 0.97 0.73 1.04

0.34 0.71 0.98 0.74 1.06

0.35 0.70 1.00 0.75 1.07

0.36 0.69 1.02 0.76 1.09

0.37 0.68 1.03 0.77 1.10

0.38 0.67 1.05 0.78 1.11

0.39 0.67 1.06 0.79 1.13

0.40 0.66 1.07 0.80 1.14

0.41 0.65 1.09 0.81 1.160.42 0.64 1.10 0.82 1.17

0.43 0.63 1.11 0.83 1.19

0.44 0.62 1.12 0.84 1.20

0.45 0.61 1.13 0.85 1.21

0.46 0.61 1.14 0.86 1.23

0.47 0.60 1.15 0.87 1.24

0.48 0.59 1.15 0.88 1.26

0.49 0.58 1.16 0.89 1.27

0.50 0.57 1.17 0.90 1.29

62



X = 9b( L ⁄ D)( J # 0.5871 J

2);c

KWiT (10 ⁄ ( ))) xQ # 10 ⁄ ( ))) xG ) (3.38)

9b= 7.9 ton/m3 es la densidad de las barras.

(b) Diámetro de un molino de barras

Las mismas ecuaciones (3.24), (3.25), (3.33) a (3.35) pueden ser ordenadas para

obtener el diámetro del molino

D = 0.61(Q ⁄ X )0.282

, D 1 3.81 m (3.39)

D = 0.55(Q ⁄ X )0.299

, D > 3.81 m (3.40)

donde X está dado por la ecuación (3.38) y Q es el flujo másico de alimentación al molinoen toneladas por hora.

La Figura 3.5 muestra los resultados pronosticados para las condiciones J =0.35,

L/D=1.5, ;c= 0.70 y WiT =10 kWh/ton para varios valores del diámetro D(3.0 a 5.0 m) y

tamaño de alimentación xG (10 a 20 mm). Por ejemplo un molino de 3.8 m de diámetro

que dé un producto con xQ=1000 µm desde una alimentación con xG=10.0 mm tendrá

una capacidad aproximada de 630 ton/h con un consumo de energía de 1.2 kWh/ton. La

Figura 3.3 sirve como base para calcular la capacidad en otras condiciones de J y ;c

utilizando la Tabla 3.5. Para un nuevo valor de J =0.30 y;c =0.75 la capacidad del molino

de 3.8 m será de Q=0.93x0.86x630=504 ton/h. Por otra parte, si el material tiene un

WiT =15, como la hematita, la capacidad del circuito, para las últimas condiciones será

Q=(10/15)x504=336 ton/h.

3.5 OTROS METODOS CONVENCIONALES DE DISEÑO

El método de Bond es aplicable a molinos de bolas y barras, como hemos visto en

las secciones anteriores. Otros tipos de molinos deben ser diseñados mediante otros

procedimientos que no serán analizados en este texto.

Un molino de bolas que opera en condiciones anormales, como por ejemplo a una

alta densidad de pulpa da resultados que no pueden ser pronosticados por el método de

Bond. En casos como ése es frecuente realizar experiencias en equipos piloto que se

acerquen lo más posible a las condiciones del molino industrial, expresando el resultadocomo “kWh/ton de producto”, lo que corresponde a una determinación directa de la

energía específica de molienda. Esta debe ser corregida para descontar la potencia “en

vacío”, ya que los molinos piloto tienen frecuentemente mayores pérdidas en los

descansos y transmisión que los molinos industriales. El valor de E se escala entonces

a molinos de mayor diámetro usando las relaciones:

63



E =

-

.

/

00

00

E T

E T (2.44 ⁄ D)0.2

0.914 E T

, DT 1 D < 2.44 m

, 2.44 1 D 1 3.81 m

, D > 3.81 m

(3.41)

Como la corrección mediante la expresión de Bond (10 ⁄ ( ))) xQ # 10 ⁄ ( ))) xG ) para

otros tamaños de alimentación y producto puede no ser aplicable, el método usual es

calcular la energía específica por tonelada neta de algún producto específico.

E T $ = E T ⁄ (Q( x

$)T # G( x

$)T ) (3.42)

donde Q(x* )T es la fracción menor que el tamaño x* especificado en el producto del ensayo

piloto y G(x* )T es la fracción menor que el tamaño x* en la alimentación. Por ejemplo, si

x* se escoge como 500 µm, E *T son los kWh/ton netos de producción de tamaño menor

500 µm (descontando los contenidos de tamaños menores a 500 µm en la alimentación).

En ese caso la energía específica de molienda para otros valores de Q(x* ), G(x* ) está dada

por:

E = E T $ [Q( x

$) # G( x$)] (3.43)

Finalmente, es importante destacar que en el laboratorio es posible utilizar otros

molinos, diferentes al de Bond, para obtener Gbp o Grp. En estos casos, es necesario

obtener los factores de calibración por los cuales es necesario multiplicar el miembro

derecho de las ecuaciones (3.3) y (3.23) para obtener el valor de WiT normalizado.

3.6 REFERENCIAS

3.1 Bond, F.C., Crushing and Grinding Calculations, Brit. Chem. Eng , 6(1960)378-391, 543-548.

3.2 Rowland, C.A., Jr. and Kjos, D.M., Ball and Rod Milling , Mineral Processing Plant Design, 2nd Ed.,ed. A. Mular and R. Bhappu, eds., AIME, New York, NY(1978)239-278; Molinos de Barras y Bolas, Diseño de Plantas de Proceso de Minerales, 2nd Ed., A. Mular y R. Bhappu, eds., Editorial Roca yMinerales, Madrid(1982)214-247.

3.3 Smith, R.W. and Lee, K.H., Trans. AIME , 241(1968)91-99.

3.4 Rowland, C.A., Jr., Comparison of Work Indices Calculated From Operation Data with Those fromLaboratory Test Data, IMM (London), Proc. 10th IMPC , ed. M.J.Jones, ed.,(1973)47-61.

64



CAPITULO 4

CINETICA DE LA MOLIENDADISCONTINUA: BALANCE DE MASA POR

TAMAÑOS

4.1 INTRODUCCION

La Figura 4.1 proporciona el resultado típico de una prueba de molienda

discontinua en un molino de bolas de laboratorio. Son datos como éstos los que

condujeron al desarrollo de descripciones empíricas tales como la “Ley de Charles” y la

“Ley de Bond” para la molienda discontinua. En este capítulo analizaremos más

detalladamente este patrón básico de datos experimentales, utilizando los conceptos develocidad específica de fractura y distribuciones de tamaño de la progenie en un balance

de masa por tamaño completo, [4.1 a 4.8]. Esta descripción detallada es mucho más útil

para analizar datos experimentales y los conceptos involucrados nos permitirán efectuar

simulaciones precisas de circuitos de molienda y describir con bastante seguridad la

influencia de las variables en el proceso. La Figura 4.1 muestra el excelente acuerdo entre

valores calculados y datos experimentales que se logra obtener. Este capítulo mostrará

las bases para realizar la simulación.

4.2 HIPOTESIS DE MOLIENDA DE PRIMER ORDEN

Considere un molino discontinuo de laboratorio como si fuese un reactor bien

mezclado que contiene una masa W de material en polvo, la que recibe una variedad de

acciones de fractura cuando el molino está en operación. Es conveniente representar ladistribución granulométrica del polvo en el molino como se muestra en la Figura 1.2,

donde los intervalos de tamaño corresponden a una serie geométrica de tamices con4 ! ""2 ó ! ""2 . Si la alimentación inicial del molino está limitada a partículas dentro del

intervalo de tamaño mayor, numerado como intervalo 1, entonces la condición inicial es

w1(0)=1. Esta alimentación se muele por un intervalo de tiempo t 1, se muestrea el

producto para determinar por tamizaje la fracción en peso que permanece en el intervalo

de tamaño original y, retornando la muestra al molino, se continúa su operación por un

intervalo de tiempo adicional t 2, repitiendo todo el procedimiento. Parecería razonable

que la velocidad de desaparición de la masa de la fracción de tamaño 1 concuerde con

una ley de primer orden, esto es :

d [w1(t )W ]

dt # $ w1(t ) W

65



Como la masa retenida en el molino W es constante, resulta:

dw1(t )

dt = $ S 1w1(t ) (4.1)

donde S 1 es una constante de proporcionalidad que recibe el nombre de velocidad

específica de fractura y tiene unidades de t-1. Entonces, si S 1 no varía con el tiempo,

integrando la ecuación (4.1) sujeta a la condición inicial w1(0) da:

w1(t ) = w1(0) exp( $ S 1t )

o también

Velocidad de

desaparición de la

masa de partículas de

tamaño 1 por ruptura

Masa de partículas

de tamaño 1 presente

en el molino en el

tiempo t

#

Figura 4.1 : Distribución de tamaños experimentales y calculados para la moliendaseca de monotamaño de cuarzo 20% 30 mallas US en un molino de 8 pulgadas de

diámetro (U = 0.5; J = 0.2; &c = 70% c.s.; bolas de pulgada de diámetro; W = 300 g;

m p = 0.013 kW): -, calculado; o, experimental por tamizado; o, experimental por

Sedigraph.

66



log [w1(t ) ] = log [w1(0) ] $ S 1t ⁄ 2.3 (4.2)

La Figura 4.2 muestra un resultado experimental típico. Se debe reconocer que no

hay una razón fundamental de por qué la hipótesis de primer orden debiera ser aplicable

en cualquiera de las situaciones de molienda, y más tarde serán discutidos varios casos

de desviación de esta norma. Sin embargo, muy frecuentemente la hipótesis de primer

orden es una excelente aproximación a la verdad. Una verificación experimental de lahipótesis, con resultados como los de la Figura 4.2, prueba que la acumulación de finos

no afecta la velocidad de fractura específica del material de mayor tamaño. Sin embargo,

esto no prueba que el material más fino también se fracturará con una cinética de primer

orden, en presencia de cantidades variables de material más grueso. Este chequeo básicofue ejecutado por Gardner y Austin usando una técnica de trazadores radioactivos[4.7].

Si algún tamaño es marcado con un trazador, entonces el desaparecimiento de esa fracción

de tamaño con el tiempo puede ser distinguido de la aparición, en ese mismo tamaño, de

productos de fractura de tamaños mayores, ya que éstos no estarían marcados. Entonces:

w j'(t ) ⁄ w j

'(0) = exp( $ S jt )

donde w j'(t ) es la fracción de material marcado de tamaño j.

La Figura 4.3 muestra los resultados obtenidos por Gardner y Austin, donde se

demuestra que la fractura es de primer orden en un ambiente en el cual la cantidad de

ambos tamaños, menores y mayores, está cambiando con el tiempo. Si esto es verdad,

entonces también aparece como razonable suponer que, para condiciones de molienda

dada y un W fijo, el ensayo de molienda discontinua puede ser repetido con un tamaño

menor como tamaño máximo de alimentación y el valor de S determinado para estetamaño, como se muestra en la Figura 4.2, da el mismo resultado que un ensayo con

trazador. Esta metodología es conocida como la técnica de monotamaño. La Figura 4.4muestra un conjunto de resultados típicos para la molienda en un molino de bolas de

laboratorio. La convención adoptada es la de representar gráficamente el valor S de un

intervalo de tamaño versus el tamaño superior del intervalo y el tamaño es denotado por

el tamaño superior del intervalo.

4.3 FUNCION DE DISTRIBUCION DE FRACTURA PRIMARIA, ODISTRIBUCION DE TAMAÑO DE LA PROGENIE

En el sentido que aquí se utiliza, la fractura se define como ocurriendo solamente

cuando el producto fracturado tiene un tamaño que cae fuera del rango del tamaño

original. Por lo tanto en un intervalo de tamaño de ! ""2, por ejemplo 16 x 20 mallas U.S.,el material debe alcanzar un tamaño menor que 20 mallas para que se considere que hubo

fractura, y por esta razón, los productos de la fractura aparecen en los tamaños menores

que 20 mallas.

La fractura primaria se define como sigue: Si un material se rompe y los fragmentos

producidos se mezclan de nuevo con la masa de polvo en el molino, y si esta distribución

de fragmentos pudiese ser medida antes que algunos de ellos sean refracturados, entonces

el resultado obtenido sería la distribución de fractura primaria, ver Figura 4.5. El término

primario no necesariamente significa que los fragmentos son producidos por propagaciónde “una” fractura, sino solamente que son producidos por acciones de ruptura que ocurren

67



Figura 4.2 : Ejemplo de gráfico de primer orden; antracita de 16x20 mallas US en unmolino de 0.6 m de diámetro.

68



antes que los fragmentos sean remezclados de nuevo al seno del material. Se debe

también notar que los valores medidos en situaciones de molienda son presumiblemente

el promedio de una gran variedad de acciones de fractura sobre muchas partículas y no

se puede esperar que ellas se comparen directamente con resultados de pruebas

compresivas sobre partículas individuales.

Aunque la fractura se aplique a un solo tamaño, ella da todo un rango de tamaños

en el producto y para describir el proceso de molienda es necesario describir esta

distribución granulométrica. Existen dos formas convenientes para caracterizar la

distribución de tamaño de la progenie. Primero, si el material de tamaño 1 es fracturado,la fracción en peso del producto que aparece en el intervalo de tamaño i es llamado

bi,1. El conjunto de números bi,1, en que i varía desde 2 a n, describe entonces ladistribución de fragmentos producidos por el tamaño 1. En general, se requiere una

matriz de números bi,j para describir la fractura de todos los tamaños de interés, esto es,

el conjunto bi,1 con n ( i ( 2, más el conjunto bi,2 con n ( i ( 3, etc.

La segunda forma de describir la distribución de tamaño de la progenie, es el

acumular los valores de b desde el intervalo inferior y hacer que Bi,1 represente la

fracción en peso acumulativa de material fracturado del tamaño 1 que resulta ser

menor que el tamaño superior del intervalo de tamaño i , ésto es:

Figura 4.3 : Gráfico de primer orden para carbón irradiado molido en una máquina de

Hardgrove normalizada.

69



Figura 4.5 : Gráfico de barras típico de la distribución de fragmentos de la progenieprimaria.

Figura 4.4 : Ejemplo de variación de la velocidad específica de fractura con el tamañode partícula para cuarzo: molino de 8 pulgadas de diámetro con bolas de 1 pulgada;

tamaños en intervalos de ! ""2 (ver Figura 4.1).

70



Bi, j = bn, j + bn$1, j + ........ + bi, j =)

k =i

n

bkj o también

bi, j = Bi, j $ Bi+1, j (4.3)

La forma B es conveniente para graficar valores y suavizarlos, ver Figura 4.6. Valores

reales típicos se dan en la Tabla 4.1.

Los valores de Bij (es conveniente eliminar la coma de los valores bi,j y Bi,j cadavez que ello no produzca confusiones) pueden ser determinados mediante pruebas con

monotamaños a tiempos de molienda cortos, para los cuales las correcciones aproximadas

para tomar en cuenta la reselección para la fractura de los fragmentos primarios son

razonablemente válidas. Está implícito que los valores de Bij no cambian con el tiempo

de molienda en el molino. Esto fue demostrado por los experimentos con trazadores

radioactivos efectuados por Gardner y Austin[4.7] y que ya hemos mencionado.

Puede parecer una labor imposiblemente complicada el medir la matriz de valores

de B para todos los materiales bajo todas las condiciones de molienda. Sin embargo, se

encuentra a menudo[4.9] que los valores de B son insensibles a las condiciones de

molienda, por lo menos en el rango de operación normal de los molinos.

Por añadidura, los valores de B para todos los materiales que hemos examinado

muestran una forma general similar (ver capítulo 5). Además, se ha encontrado que los

valores de B son frecuentemente normalizables, ésto es, que la fracción que aparece en

tamaños menores que, por ejemplo, la mitad del tamaño inicial es independiente del

tamaño de partida. Por esta razón, es una práctica común graficar los valores de B versus

el tamaño adimensional (normalizado), como se muestra en la Figura 4.6 Si los valoresde B son normalizables, la matriz de valores de B se reduce a un vector, como se ilustra

en la Figura 4.7. Entonces, bij puede ser reemplazado por bi$ j .

4.4 BALANCE DE MASA POR TAMAÑOS: ECUACION DE LAMOLIENDA DISCONTINUA

La velocidad de producción de cada tamaño puede ser representada en términos

de S i y bij en la forma:

= bijS jWw j (4.4)

En base a los parámetros de fractura S i ybij se puede establecer un balance de masa

por tamaños para la molienda discontinua. Este balance, representado en la Figura 4.8,

se puede expresar en la forma que sigue:

fracción de tamaño jque por fractura pasa

a tamaño i

velocidad de fractura

del tamaño j=

Velocidad de producción de tamaño i

a partir de la fractura del

tamaño j

71



Tabla 4.1Conjunto típico de una distribución de tamaños de la progenie.

Tamaño malla U.S.A Número del intervalo i bi,1 Bi,1

18/25 1 0.0 1.0

25/35 2 0.52 1.0

35/45 3 0.21 0.48

45/60 4 0.10 0.27

60/80 5 0.05 0.17

80/120 6 0.031 0.12

120/170 7 0.021 0.086

170/230 8 0.015 0.064

230/325 9 0.0115 0.049

<325 10 0.038 0.038

Figura 4.6 : Distribución de fractura primaria acumulativa para molino de bolas , de

monotamaño de cuarzo de 20% 30 mallas US (ver Figura 4.1);

! , en seco, ", en húmedo (45% de sólidos en volumen).

72



F i g u r a

4 . 7

: I l u s t r a c

i ó n d e l a t r a n s f o r m a c i ó n d e

l a m a t r i z d e f r a c t u r

a a s u f o r m a n o r m a l i z a d a .

73



Si consideramos que la carga W de material en el molino permanece siempre bien

mezclada, las ecuaciones (4.1) y (4.4) permiten expresar este balance en forma

matemática:

d [Wwi(t )]

dt =[ bi1S 1Ww1(t ) + bi2S 2Ww2(t ) +......+ bi,i $ 1S i $ 1Wwi $ 1(t )] $ [S iWwi(t )]

Este balance de masa es ilustrado en la Figura 4.8. En forma más compacta se puede

escribir:

dwi(t )

dt = $ S iwi(t ) + )

j = 1

i > 1

i $ 1

bijS jw j (t ) , n * i * j * 1 (4.5)

Este es el balance fundamental de masa por tamaño para una molienda discontinua

en que la carga del molino está completamente mezclada. Este conjunto de n ecuaciones

diferenciales describe el proceso de molienda y da, por supuesto, el resultado de la

ecuación (4.1) cuando i=1. Si los valores de S y b son independientes del tiempo de

molienda, existe una solución analítica para una condición inicial wi(0) determinada. La

solución para diversos tiempos de molienda genera valores dewi(t) desde los cuales P(xi ,t)

puede ser calculado rápidamente por acumulación.

–

Figura 4.8 : Ilustración del balance de masa por tamaños para un molino discontinuode laboratorio perfectamente mezclado : el intervalo de tamaño 2 recibe material delintervalo 1; el intervalo de tamaño 3 recibe material de todos los tamaños 1 y 2, etc. y

el sumidero recibe material de todos los tamaños mayores.

velocidad de

aparición de tamaño i

por fractura de todoslos tamaños mayores

velocidad de

desaparición del

material de tamaño i por fractura

=

Velocidad neta de

producción de material

de tamaño i

74



La Figura 4.1 muestra la solución calculada para varios tiempos de molienda

utilizando los valores normalizados de B de la Figura 4.6 y los valores de S de la Figura

4.4 para la alimentación indicada. También se muestra los valores experimentales

determinados por tamizaje y una extensión a tamaños finos utilizando el Sedigraph. Estáclaro que el acuerdo entre resultados experimentales y calculados es excelente. Esto

es una confirmación de que las suposiciones que se hizo al medir y aplicar los valores de

S y B a la solución son correctas para este conjunto de datos: que la molienda es de primer

orden y que los valores de b son constantes en el tiempo. Está implícito que no sucede

un crecimiento de partículas más pequeñas a más grandes mediante soldadura fría.

También está implícito que las propiedades de fractura de un determinado tamaño j en

los productos de la fractura son iguales que las del material de tamaño j en la alimentación.Esto no siempre es verdadero, ya que la historia del material de alimentación puede afectar

las propiedades de la fractura. También es necesario, por supuesto, que el material que

se va a fracturar sea “homogéneo” desde el punto de vista de fractura, es decir, que no

consista de una mezcla de componentes resistentes y débiles. Es sorprendente cuanhomogéneos son la mayoría de los materiales, desde este punto de vista; rocas

visualmente inhomogéneas a menudo proporcionan excelente ruptura de primer-orden.

4.5 SOLUCION A LA ECUACION DE MOLIENDA DISCONTINUA

La ecuación de molienda discontinua fue solucionada por Reid [4.11] en la forma

que se indica a continuación:

Para i=1

dw1(t ) ⁄ dt = $ S 1w1(t )

lo que por integración da:

w1(t ) = w1(0)exp( $ S 1t )

Para i=2

dw2(t ) ⁄ dt = $ S 2w2 (t ) + b21S 1w1(t )

Sustituyendo w1(t ) resulta:

dw2(t ) ⁄ dt + S 2w2(t ) = b21S 1w1(0)exp( $ S 1t )

Multiplicando por el factor de integración exp(S 2t ) se obtiene

exp(S 2t )dw2(t )

dt + S 2w2(t ) exp(S 2t ) = b21S 1w1 (0) exp[ $ (S 1 $ S 2) t ]

d [w2(t ) exp(S 2t )] ⁄ dt = b21S 1w1(0) exp[ $ (S 1 $ S 2) t ]

Por lo tanto para S 2 = S 1 se puede integrar esta expresión por separación de variables:

w2(t ) = b21S 1w1(0)

S 2 $ S 1 exp( $ S 1t ) $

b21S 1w1(0) exp( $ S 2t )

S 2 $ S 1 + w2(0) exp( $ S 2t )

75



Procediendo similarmente para i=3, i=4, etc. y solucionando términos y deduciendo el

término general, se obtiene:

wi(t ) = )

j = 1

i

aij exp ( $ S jt ) , n * i * j * 1 (4.6a)

aij =

+

,

-

.

.

.

.

.

.

wi(0) $ )

k = 1

i > j

i $ 1

aik , i = j

1

S i $ S j )

k = j

i $ 1

S k bik akj , i > j

Esta expresión se denomina solución de Reid . En esta ecuación los valores de

aij no dependen del tiempo de molienda pero sí dependen de la distribución

granulométrica de la alimentación. La Tabla 4.1 proporciona los primeros términos de

la solución. El número de términos crece rápidamente cuando i se hace grande.

Reagrupando los términos de un modo diferente, Luckie y Austin [4.12] mostraron

que la solución de Reid se puede expresar en la forma:

wi(t ) = )

j = 1

i

d ijw j(0) , n * i * 1 (4.6b)

donde d ij está dada por :

d ij (t ) =

+

,

-

.

.

.

.

.

.

0

e $ S i t

)

k = j

i $ 1

cik c jk (e$ S k t $ e $ S it )

, i < j

, i = j

, i > j

y cij es :

cij =

+

,

-

.

.

.

.

.

.

.

.

$ )

k = i

j $ 1

cik c jk , i < j

1 , i = j

(1

S i $ S j) )

k = j

i $ 1

S k bik ckj , i > j

76



Esta forma es más conveniente que la solución Reid para algunas aplicaciones, porque

el conjunto de valores de d ij representan la función de transferencia para llevar la

alimentación al producto. Los valores de d ij dependen del tiempo de molienda pero no

dependen de la distribución granulométrica de la alimentación. Por otra parte, la solución

de Reid puede dar origen a inestabilidades numéricas para pequeños valores de t , lo quelleva a resultados incorrectos, mientras que la forma de Luckie-Austin es más estable y

por lo tanto debe ser preferida.

4.6 ANALISIS DE LA ECUACION DE LA MOLIENDADISCONTINUA

A esta altura pueden establecerse algunas conclusiones muy importantes

concernientes a la molienda. En primer lugar, como la solución a las ecuaciones de lamolienda discontinua produce resultados virtualmente idénticos a los datos

experimentales de la Figura 4.1, las relaciones empíricas que se puedan deducir por

aplicación de las leyes de Charles y Bond a los datos, deben también ser consecuencias

de la hipótesis de molienda de primer orden, combinada con la forma de los valores de

S i y Bij como función del tamaño de las partículas. No existe necesidad, por lo tanto, de buscar las razones fundamentales de por qué estas relaciones son aplicables: son

resultados fortuitos de una hipótesis razonable (y probada experimentalmente) y de la

forma de los valores de S y B. Por esta razón, el argumento fundamental es “¿Por quélos valores de S y B varían con el tamaño de las partículas y condiciones en el molino en

la forma observada?”. Esta pregunta será contestada en el capítulo 5.

En segundo lugar, la familia de distribuciones granulométricas obtenidas en la

Figura 4.1 depende del tamaño de la alimentación seleccionada. Sin embargo, el balancede masa por tamaño puede ser resuelto mediante los valores de S y B para cualquier

distribución granulométrica de la alimentación y, por lo tanto, proporciona una

Tabla 4.2Primeros tres términos en la solución de Reid de la molienda discontinua.

w1(t ) = w1(0) e $ S 1t

w2(t ) = S 1b21

(S 2 $ S 1) w1(0) e $ S 1t + w2(0) e $ S 2t $

S 1b21

(S 2 $ S 1) w1(0) e $ S 2t

w3(t ) = S 1b31

(S 3 $ S 1) w2(0) e $ S 1t +

S 1b21

(S 2 $ S 1)

S 2b32

(S 3 $ S 1) w1(0) e $ S 1t +

S 2b32

(S 3 $ S 2) w2(0) e $ S 2t $

S 1b21

(S 2 $ S 1)

S 2b32

(S 3 $ S 2) w1(0) e $ S 2t +

w3(0) e $ S 3t $ S 1b31

(S 3 $ S 1)

w1(0) e $ S 3t $ S 1b21

(S 2 $ S 1)

S 2b32

(S 3 $ S 1)

w1(0) e $ S 3t

$ S 2b32

(S 3 $ S 2) w2(0) e $ S 3t +

S 1b21

(S 2 $ S 1)

S 2b32

(S 3 $ S 2) w1(0) e $ S 3t

77



simulación general de la molienda discontinua. Esto se ilustra en la Figura 4.9 donde se

utilizó una distribución granulométrica de alimentación poco natural. Claramente no se

puede aplicar relaciones empíricas tales como la ley de Charles a tales datos.

En tercer lugar, supongamos que se comparan situaciones de molienda en que los

valores de B no cambian pero los valores de S se modifican mediante un factor constante

k , esto es:

S /i = kS i , n * i * 1 (4.7)

Las ecuaciones de molienda para cada una de esta situaciones son:

dwi ⁄ dt = $ S iwi + )

j =

1i > 1

i $ 1

bijS jw j (A)

Figura 4.9 : Cálculo de la distribución de tamaño de la molienda discontinua con unadistribución granulométrica de la alimentación poco natural.

78



dwi ⁄ dt = $ S /iwi + )

j = 1

i > 1

i $ 1

bijS / jw j (B)

Substituyendo la ecuación (4.7) en (B) :

dwi ⁄ d (kt ) = $ S iwi + )

j = 1

i > 1

i $ 1

bijS jw j , n * i * j * 1 (C)

Si las ecuaciones A y C se resuelven con la misma distribución granulométrica de

alimentación para un tiempo de molienda total 0 para A y 0/ para C, es claro que las

soluciones producirán resultados idénticos cuando k 0/

en el caso C iguale a 0 en el caso

Figura 4.10 : Comparación de la distribución de tamaño de un monotamaño de 16x20mallas US de coque molido en : # , molino de bolas de 8 pulgadas de diámetro;

!, molino de bolas de 2 pies de diámetro

(U = 1, J = 0.3, &c = 0.7, bolas de una pulgada de diámetro).

79



A, porque las ecuaciones son idénticas si kt es reemplazada por t en la ecuación C. Dicho

de otra manera, si en el caso B todo es idéntico al caso A excepto que todas las velocidades

específicas de fractura son el doble (en general, son aumentadas en k ), es claro que la

solución al caso A para un tiempo de molienda, por ejemplo, 0 =5 minutos, es idéntica a

la solución del caso B para 0 =2.5 minutos ( 0/ = 0 ⁄ k , en general). El tiempo de molienda

0 para ir desde una alimentación dada a un producto deseado es:

0 # 1 ⁄ S (4.8)

Esta es una conclusión extremadamente útil porque, si se encuentra que dos diferentes

pruebas de molienda dan la misma familia de curvas pero desplazadas solamente por unfactor de escala de tiempo, se puede suponer que los valores de B son los mismos y que

la variación de S con el tamaño es la misma y que solamente hay un factor de escala en

S. Esto se ilustra en la Figura 4.10, donde se ve que la distribución granulométrica varía

idénticamente con el tiempo, pero está desplazada por un factor de 1.85 en el tiempo, es

decir, el molino de diámetro más grande produce la misma distribución de tamaños del

producto en una fracción 1/1.85 del tiempo.

En cuarto lugar, si es que el concepto de una energía específica constante E para

obtener una determinada molienda (desde una alimentación dada a un producto deseado)

ha de ser válida, los valores de S deben ser proporcionales a la potencia consumida por

el molino por unidad de masa de material retenido en él . Es decir, doblando la velocidad

de aplicación de energía por unidad de masa de material en el molino, debe conducir a

una duplicación de los valores de S , a un acortamiento a la mitad del tiempo para producir una determinada molienda y, en consecuencia, el consumo de la misma energía por unidad

de masa:

E = m p ⁄ SW

Por lo tanto la energía específica de molienda es constante aun cuando las condiciones

de molienda cambian si m p /SW es constante para todas las condiciones. Esto ha sido

confirmado bajo ciertas condiciones en molinos rotatorios de bola de laboratorio por Malghan y Fuerstenau[4.10]. Las implicaciones de esta conclusión son que la molienda

de un material determinado en un molino de bolas es un proceso idéntico, en todos los

aspectos, para diversas condiciones de operación, excepto en el factor escala de tiempo

para los valores de S . Por lo tanto, una fractura eficiente se obtiene cuando m p /SW es

mínimo. Condiciones de molienda erradas tales que aumentan m p /SW causan ineficiencia

directa.

4.7 REFERENCIAS

4.1 Brown, R.L., J. Inst. Fuel (London), 14(1941)129-134.

4.2 Broadbent, S.R. and Callcott, T.G., Phil. Trans. Roy. Soc. (London), A249(1956)99-123; J. Inst. Fuel (London), 29(1956)524-528; J. Inst. Fuel (London), 29(1956)528-539; J. Inst. Fuel (London),30(1957)13-17.

80



4.3 Epstein, B., J. Franklin Inst ., 244(1947)471-477; Ind. Eng. Chem., 40(1948)2289-2291; Epstein, B.and Lowry, H.H. reprint, Some Aspects of the Breakage of Coal, Blast Furnace, Coke Oven and Raw Materials Conf ., AIME, April 1948.

4.4 Sedlatschek, K. and Bass, L., Powder Met. Bull., 6(1953)148-153.4.5 Filippov, A.F., Theory of Probability and Its Applications (USSR, English Trans.), 6(1961)275-280.

4.6 Gaudin, A.M. and Meloy, J.P., Trans. AIME , 223(1962)4350.

4.7 Gardner, R.P. and Austin, L.G., Proc. 2nd. European Sym. Zerkleinern, H. Rumpf and D. Behrens,eds., Verlag Chemie, Weinheim, (1962)217-247.

4.8 Austin, L.G., Powder Technol ., 5(1971/72)1-17.

4.9 Shoji K., Lohrasb, S. and Austin, L.G., Powder Technol ., 25(1979)109-114.

4.10 Malghan, S.G. and Fuerstenau, D.W., Proc. 4th European Sym. Zerkleinern, H. Rumpf and K.Schönert, eds., Dechema Monographien 79, Nr 1576-1588, Verlag Chemie,Weinheim(1976)613-630.

4.11 Reid, K.J., Chem. Eng. Sci., 29(1965)953-963.

4.12 Luckie, P.T. and Austin, L.G., Mineral Science and Engineering , 4(1972)24-51.

81



82



CAPITULO 5

INVESTIGACION DE LA FRACTURA ENMOLINOS DE LABORATORIO

5.1 INTRODUCCION

Nuestro conocimiento actual de la molienda en molinos de bolas está basado en

una combinación de experiencia pasada con molinos pilotos y de gran escala y resultadosde molinos pequeños de laboratorio. Como se discutió en el capítulo 1, la descripción de

un molino contínuo de gran escala debe incluir su distribución de tiempos de residencia.

Por el contrario, las pruebas de molienda discontinua en un molino de laboratorio pueden

ser enfocadas directamente hacia los factores que afectan la ruptura, sin los efectos

complicadores de transferencia de masa. A esto se agrega que es posible examinar

cuantitativamente la influencia de cada factor que influye en la ruptura, porque los

experimentos son más fáciles y rápidos de efectuar en escala de laboratorio y pueden ser

controlados más precisamente. Sin embargo, no existe una garantía a priori que los

resultados de un molino a pequeña escala serán idénticos o similares a aquellos efectuadosen un molino grande. La correspondencia entre la escala de laboratorio y la piloto o la

gran escala debe ser probada experimentalmente.

No existe duda de que hay algún grado de correlación entre los resultados delaboratorio y los resultados a gran escala, de otra manera la utilización de pruebas de

moliendabilidad en laboratorios, para estimar el tamaño requerido de molinos en gran

escala, no daría respuestas correctas. Los métodos de dimensionamiento se han basado

principalmente en igualar los resultados de laboratorio, bajo condiciones estandarizadas,

con los resultados en escala industrial o con pruebas pilotos en molinos continuos

relativamente grandes. Sin embargo, la aplicación de los resultados de pequeña escala a

molinos de gran escala puede ser efectuada correctamente solamente vía el detallado

método de balance de masa por tamaños, para tomar en consideración todas lasdiferencias entre las pruebas de laboratorio y la operación a escala completa. Sólo

recientemente ha quedado disponible toda la información para hacer esto.

Los capítulos siguientes presentan información de pruebas de laboratorio que sin

duda alguna corresponden cualitativamente con resultados a gran escala. Se cree que en

muchos casos las ecuaciones que se ha desarrollado basadas en pruebas de laboratorio pueden ser cuantitativamente extendidas a molinos de gran tamaño.

83



5.2 MODO DE OPERACION DE UN MOLINO ROTATORIO DEBOLAS

Es instructivo volver a describir el modo de operación de un molino rotatorio de

bolas. Si se concentra la observación en el comportamiento de fractura, la operación del

molino es la siguiente. La rotación lleva bolas y polvo alrededor del molino como se

ilustra en la Figura 5.1. Cuando las bolas caen en tumbos en el molino golpean polvo

atrapado entre otras bolas. Por otra parte, el movimiento general de las bolas en el lechofrotará partículas entre ellas. Crabtree et al. [5.1] distinguen varios diferentes tipos de

fractura que pueden suceder. En primer lugar, el impacto masivo produce desintegración

completa de una partícula ( fractura); Schönert [5.2] ha fotografiado la fragmentación que

ocurre y la violencia con la cual las partículas son arrojadas de la región de fractura. En

segundo lugar, un golpe de refilón puede astillar una esquina (astillamiento); este

mecanismo redondea rocas irregulares a piedras aproximadamente esféricas en la

molienda autógena. En tercer lugar, la fricción produce desgaste de las superficies(abrasión); nuevamente en molienda autógena las piedras más o menos esféricas,formadas por astillamiento, se desgastan hasta formar piedras suaves como las piedras

de ríos. El astillamiento y la abrasión conducirán a la producción de material fino. Su

efecto combinado se denomina atrición.

En cualquier molino rotatorio de bolas, bajo condiciones normales, todos estosmecanismos de reducción de tamaño estarán operando. Los valores mensurables de la

velocidad específica de ruptura son el efecto neto de la suma de estos mecanismos. Los

valores medidos de la distribución de la progenie primaria serán el promedio total de los

Figura 5.1 : Ilustración del movimiento en un molino de bolas a una velocidad normalde operación.

84



fragmentos producidos por cada mecanismo. Debido a la extensa variedad de tipos de

impacto presentes en este tipo de molino, cargado con pesadas bolas de acero, es aún

posible que los mecanismos se traslapen formando una acción continua de ruptura. Si

éste continuo cambia de un mecanismo hacia otro, cuando las condiciones en el molinocambian, se puede esperar que los valores de B cambien, ya que las distribuciones de

fragmentos primarios producidas por cada uno de los tres mecanismos son diferentes.

A una velocidad de rotación baja, las bolas presentan una acción de volteorelativamente suave y en efecto, existe una tendencia de la masa de bolas a ser levantada

por la acción de rotación de las paredes del molino y a deslizarse hacia atrás como una

masa compacta. A medida que se aumenta la velocidad, la acción de volteo aumenta y el

lecho aparece como una superficie inclinada de la cual están emergiendo bolas rodando

hacia abajo y reentrando en la superficie. El lecho de bolas se expande permitiendo a las

partículas o a la pulpa penetrar entre las bolas. La serie de colisiones con otras bolas,

mientras una bola da tumbos, es el método principal de transferir esfuerzos a las

partículas. El lecho está en un estado de cascada. A una velocidad de rotación más altauna cantidad mayor de las bolas son lanzadas de la superficie a lo alto del molino,

formando una catarata de bolas. La fracción de velocidad crítica a la cual estos procesos

ocurren depende de las condiciones de llenado y del tipo de barras levantadoras

( lainas)[5.3]. Las barras levantadoras pueden llevar una fracción de las bolas hacia la

formación de catarata, mientras que lainas de ondas o barras levantadoras dentadas

requieren velocidades de rotación más elevadas para dar el mismo grado de catarata.

El desgaste de las barras levantadoras puede cambiar el desempeño del molino con el

tiempo.

La potencia requerida para mover el molino pasa a través de un máximo cuando

la velocidad de rotación aumenta, correspondiendo a un máximo en la velocidad de

elevamiento de las bolas y en el promedio de la altura de elevación. Para el caso de rupturade partículas de tamaño normal, tales que al no ser demasiado grandes son completamente

fracturadas, parece que el número mayor de impactos de bola-polvo-bola causados por

el rodar en cascada es lo óptimo para la ruptura. Por consiguiente, las velocidades

máximas de fractura se obtienen aproximadamente a la velocidad de máximo consumo

de potencia, normalmente cerca de un 75% de la velocidad crítica, dependiendo de lacarga de bolas y del tipo de barras levantadoras.

5.3 VARIACION DE LA FRACTURA CON EL TAMAÑO DE LASPARTICULAS

La Figura 5.2 muestra un resultado típico de la variación de la velocidad específicade fractura con el tamaño de partícula xi(tamaño superior del intervalo i), para una carga

de bolas de un solo tamaño d . Para las partículas menores:

S i = a xi! , xi << d (5.1)

La teoría de fractura sugiere que las partículas más pequeñas son relativamente másfuertes porque contienen menos fallas de Griffith. Por añadidura, es más difícil atrapar

una determinada masa de partículas pequeñas en un molino en comparación con partículas

grandes, de modo que se presenta un efecto geométrico. El hecho de que las velocidades

específicas de fractura dependan según una función de potencia del tamaño no ha sido

85



adecuadamente explicado por la teoría, pero ha sido demostrado por muchos experimen-

tos. El valor de ! es un número positivo, normalmente en el rango de 0.5 a 1.5, que es

característico del material (siempre que las condiciones de la prueba estén en el rango de

operación normal, ver más adelante), pero el valor de “a” variará con las condiciones del

molino. Las unidades de “a” en la ecuación (5.1) variarán para diferentes valores de !,

de manera que para comparar un material con otro, bajo condiciones de prueba estandari-

zadas, es conveniente utilizar la ecuación (5.1) en la forma:

S i = a( xi ⁄ xo)! , con xo = 1 mm (5.1a)

donde a ahora tiene dimensiones de recíproco del tiempo.

Para partículas más grandes se encuentra que la desaparición de material desde un

monotamaño no es a menudo de primer orden y parece consistir de una velocidad inicial

más rápida, seguida de una velocidad más lenta. Algunas de las partículas son demasiado

grandes y fuertes para ser atrapadas adecuadamente y fracturadas por las bolas y por lo

tanto tienen una velocidad de fractura lenta. Nos referimos a la ruptura de primer orden

de los tamaños más pequeños como fractura normal y a la fractura de orden distinto del primero de los tamaños mayores, como la región de fractura anormal . En esta región

puede ser definida una velocidad específica efectiva promedio por el tiempo requerido

Figura 5.2 : Velocidades específicas de fractura de un mineral de oro de Africa del

Sur como función del tamaño de partícula (intervalos de4 " ##2; molino de 200 mm de

diámetro y bolas de 26 mm de diámetro).

86



Tabla 5.1aPropiedades de fractura de algunos materiales

(D=190 mm, volumen del molino = 5250 cm3 ; diámetro de las bolas d =26 mm).

minerales

Características de

fractura

Parámetros Cuarzo de

Carolina del

Norte

Mineral

de

Cobre

Caliza de

Pennsylvania

Velocidad de

fractura!+ 0.80 0.95 0.90

a+, min

$ 1, seco 0.60 0.70 0.95

a

+

, min

$ 1

, húmedo

1.00 1.20 N.D.

µ+, mm 1.90 1.40 1.30

%& 3.70 2.70 2.00

Valores de B,

tamaños pequeños'+ 1.30 0.70 0.65

(& 5.8 4.3 3.2

) 0.55++

0.40++

0.28++

* 0.00 0.00 0.34

Condicionesexperimentales

Peso del polvo, g

328.0 343.0 338.0

Peso específico 2.7 2.7 2.7

Fracción de llenado

de bolas

0.2 0.2 0.2

Velocidad de

operación +c

0.72 0.75 0.75

+ Valores redondeados al más cercano 0.05

* Valores redondeados al más cercano 0.1

++ Monotamaño 18, 25 mallas

N.D. No determinado

87



(continuación Tabla 5.1a)

Carbones

Características de

fractura

Parámetros Antracita

de

Shamokin

Kentucky

Nº9Belle Ayre

So.

Wyoming

Ohio

Nº9Lower

Freeport

Velocidad defractura

!+ 0.75 0.80 0.80 0.80 1.05

a+, min

$ 1, seco 0.95 1.60 1.80 1.40 2.50

a+, min

$ 1,húmedo 0.95 2.00 2.20 2.00 4.70

µ+, mm 1.80 3.60 3.70 2.40 3.40

%t 3 3 3 3 3

Valores de B,

tamaños

pequeños

'+ 1.00 0.90 0.90 0.95 0.80

(& 3.1 2.8 2.8 3.5 2.3

)+ 0.40 0.40 0.40 0.50 0.50

* 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

Condiciones

experimentales

Peso del

polvo, g

120.0 120.0 120.0 120.0 120.0

Peso

específico+

1.45 1.40 1.30 1.60 1.60

J 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20

+c 0.72 0.72 0.72 0.72 0.72

Indice de

moliendabilidad

de Hardgrove

35 55 58 65 88



t Un valor de % =3 es una aproximación suficiente para carbones.

88



(Continuación Tabla 5.1a)

Cementos

Características de

fractura

Parámetros Clinker

L

Clinker

M

Clinker

P

Clinker

S

Slag

Clinker

P

Velocidad de

fractura!+ 0.90 0.90 1.10 0.95 1.60

a+, min

$ 1, seco 0.80 0.85 1.20 0.80 1.68

a+, min$ 1,húmedo N.D N.D N.D N.D N.D

µ, mm 1.75 1.70 1.75 2.05 1.50

%+ 2.50 4.05 3.35 3.60 4.20

Valores de B,

tamaños pequeños'+ 0.75 0.90 0.85 0.80 1.25

(& 4.0 4.0 4.0 3.3 4.3

) 0.34**

0.51**

0.34**

0.28**

0.58**

* 0.23 0.20 0.25 0.22 0.00

Condiciones

experimentales

Peso del polvo, g 300.0 300.0 300.0 300.0 300.0

Peso específico* 3.2 3.2 3.2 3.2 3.2

J 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20

+c 0.80 0.80 0.80 0.72 0.80



** Monotamaño de 16x20 mallas

89



para fracturar 95% del material. Este valor también se muestra en la Figura 5.2. Se puede

observar que las velocidades específicas de fractura promedio de los tamaños más grandes

empiezan a disminuir, de modo tal que S i pasa por un máximo a un determinado tamaño,

xm. La presencia de un máximo es bastante lógica porque las colpas mayores serán

obviamente demasiado fuertes para ser fracturadas en el molino. La presencia de fracturaanormal en una determinada situación de molienda representa una ineficiencia directa:

las partículas son demasiado grandes para que la energía de las bolas en movimiento sea

utilizada eficientemente para causar fractura.

Para tomar en cuenta las velocidades de fractura promedio más lentas de lostamaños mayores deben ser introducidos factores de corrección Qi en la ecuación (5.1):

S i = a( xi ⁄ xo)! Qi (5.2)

donde Qi es igual a 1 para los tamaños menores y se hace más pequeño para tamaños

mayores.

Los valores de Qi determinados experimentalmente pueden ser ajustados mediante

la función empírica:

Tabla 5.1bParámetros de fractura para minerales

Galena Cobre (Andina)

Diámetro del molino, mm 200 612

Largo del molino, mm 175 317

Diámetro de bolas d , mm 25 25; 38; 50;

64; 76

Velocidad del molino, % de velocidad crítica 89 75

Llenado de bolas, % (basado en una porosidad de 0.4) 20 30

Densidad del mineral, kg/m3

7.50x103

2.70x103

% de sólidos en peso 45 60

Peso total de sólidos, kg 0.90 13.1

Llenado intersticial, U (basado en una porosidad de 0.4) 0.45 0.75

aT , min$ 1 1.26 29.7/(d mm)

! 0.87 0.93

' 0.84 0.51

) 0.68 0.32

( 3.00 4.50

* 0.00 0.00

%µ, mm

3.000.032x(d mm)

1.2

90



Qi = 1

1 + ( xi ⁄ µ)% (5.3)

donde µ es el tamaño de partículas para el cual el factor de corrección es 0.5 y % es un

número positivo que indica la rapidez de caída de la velocidad de la fractura con el

aumento de tamaño; mientras mayor es el valor de % más rápidamente decrecen los

valores. % parece ser principalmente una característica del material, peroµ variará con

las condiciones de operación del molino. La Tabla 5.1 da valores característicos de a y

% para un número de diferentes materiales medidos bajo condiciones estandarizadas.

Parece probable que las barras levantadoras que proporcionan más acción de

catarata a la carga de bolas aumenten las velocidades de fractura de tamaños mayores,

debido a las fuerzas de impacto más grandes producidas por la acción de catarata. Por

consiguiente, se espera queµ sea superior para este tipo de barra elevadora a una velocidad

de rotación determinada. Similarmente, velocidades de rotación superiores tendrían elmismo efecto por la misma razón. Sin embargo, no hay disponibles hasta la fecha

relaciones cuantitativas para tal efecto.

Los valores del tamaño xm para los cuales S es máximo varía de algún modo de un

material a otro, siendo mayor para sólidos débiles que fracturan más rápidamente. xm está

relacionado con µ debido a que ambos dependen de en qué lugar empieza a inclinarse la

curva S versus x. Insertando la ecuación (5.3) en (5.2), diferenciando y haciendo dS/dx =

0 para x=xm resulta :

µ = -

./

% $ !

!

0

12

1 ⁄ %

xm , con % > ! (5.4)

La distribución de fragmentos de la progenie primaria para la región de fractura

normal tiene la forma que se muestra en la Figura 5.4 donde los valores son mostrados

gráficamente en la forma acumulativa Bij versus tamaño de fracción del tamaño de

fractura xi ⁄ x j . Tres importantes aspectos deben ser notados.

En primer lugar, estos valores de B no parecen ser sensitivos a condiciones de

molienda tales como carga del polvo, carga de bolas, diámetro del molino, etc. No existe

una explicación satisfactoria de este hecho, pero él ha sido verificado experimentalmente

en muchas pruebas. El resultado sugiere que el promedio de la acción de fracturaefectuada por una colisión de bola con bola es la misma para diferentes diámetros del

molino, lo que implica a su vez, que la acción decascada es la principal. Una bola cayendoen cascada en un molino de gran diámetro cae desde lo alto con una serie de impactos

menores de la misma magnitud que en un molino de diámetro menor. Por el contrario

una bola cayendo en catarata tendrá una fuerza de impacto superior en un molino de

diámetro más grande. La fuerza de fricción entre bolas, cuando éstas se elevan en el lecho,

se espera produzca atrición.

En segundo lugar, para algunos materiales las curvas de Bij caen una encima de

otra para todos los valores de j. A este caso se le denomina B normalizado y significaque todas las partículas que se fracturan presentan una distribución de ruptura con

91



similaridad dimensional, esto es, la fracción de peso de producto menor que, por ejemplo,

la mitad del tamaño de fractura es constante.

En tercer lugar, los valores de Bij pueden ser ajustados por una función empíricaconstituida por la suma de dos líneas rectas en un papel log-log, esto es:

Bij = ) j 345

xi $ 1

x j

678

'

+ (1 $ ) j) 345

xi $ 1

x j

678

(

, 0 9 ) j 9 1 , i > j (5.5)

donde ) j y ( se definen en la Figura 5.3 y son características del material. La función en

la ecuación (5.5) es la función de distribución de fractura primaria. Si los valores Bij

no son normalizables el grado de no-normalización puede a menudo ser caracterizado

por un parámetro adicional * (ver ecuación 6.5).

Los valores de ' se encuentran entre 0.5 y 1.5 y ( está típicamente entre 2.5 y 5

(ver Tabla 5.1). Broadbent y Callcott [5.4] utilizaron una ecuación que daba los mismosvalores de Bij para todos los materiales, pero nosotros no encontramos que esto pueda ser

Figura 5.3 : Distribución acumulativa de los fragmentos de la progenie a partir departículas de cuarzo de 20x30 mallas normalizadas US, bajo varias condiciones de

molienda (D = 195 mm, d = 26 mm, +c = 0.7 ).

92



aplicable. En particular, la distribución granulométrica del producto de un molino es

sensitiva al valor de ' .

Las distribuciones de fragmentos de la progenie para partículas de gran tamañoesto es, hacia la derecha del máximo de S en la Figura 5.3, tendrán a menudo diferentes

valores de B. Esto es debido probablemente a que la acción promedio de fractura en esta

región contiene componentes mayores de astillamiento y abrasión, los que conducen a

mayores valores relativos de material muy fino y muy grueso. Por lo tanto, la forma de

la distribución tiende a ser diferente, con una meseta en la región de tamaño medio, como

se muestra en la Figura 5.4.

5.4 VELOCIDAD DE ROTACION

En la Figura 5.5 se muestran las variaciones típicas de la potencia neta que se

requiere para girar un molino como función de la velocidad de rotación. Las velocidades

específicas de fractura normal varían con la velocidad de rotación de la misma manera.

Sin embargo, el máximo en la potencia sucede a diferentes fracciones de velocidad crítica para diversos molinos, dependiendo del diámetro del molino, del tipo de barras

elevadoras, de la razón de diámetros de bola a molino y de las condiciones de llenado de

bolas y polvo. El máximo se encuentra usualmente en el rango de 70 a 85% de la velocidad

crítica, con 70 a 75% siendo el rango usual para molinos de diámetro grande con una

carga completa de bolas ( J = 0.4).

Figura 5.4 : Variación típica de la distribución de fractura primaria para partículasgrandes (D=0.6 m, d =26.4 mm).

93



Dentro del rango de velocidades cercano al máximo consumo de potencia hay sólo

pequeños cambios en las velocidades específicas de fractura normal con la velocidad

rotacional. Los resultados de pruebas descritas en las secciones anteriores y posteriores

a ésta se obtuvieron con velocidades de molienda dentro de este rango. No existen

variaciones significativas en los valores de B con la velocidad de rotación dentro de este

rango. Un ajuste empírico de los datos proporciona la siguiente expresión aproximada

para la potencia de molienda:

m p : (+c $ 0.1) 345

1

1 + exp[15.7(+c $ 0.94)]678 , 0.4 < +c < 0.9 (5.6)

Figura 5.5 : Variación típica de la potencia neta con la velocidad de rotación, para un

molino de laboratorio provisto de barras levantadoras (D=0.6 m, L=0.3 m, J =0.35,d =25.4 mm) y un molino piloto (D=0.82 m, L=1.5 m, J =0.35 y mezcla de bolas).

94



Esta ecuación puede ser utilizada para dar una corrección aproximada de los valores S

desde una velocidad rotacional a otra:

S i : (+c $ 0.1) 345

1

1 + exp[15.7(+c $ 0.94)]678 , 0.4 < +c < 0.9 (5.6a)

5.5 CARGA DE BOLAS Y POLVO

Si se efectúa pruebas de molienda con una masa constante W de polvo retenida en

el molino o con una fracción de volumen de llenado f c, los valores de la velocidad

específica de fractura son un índice directo de la habilidad del molino para fracturar el

material. Sin embargo, si las pruebas se comparan en condiciones en que f c es una

variable, es necesario incluir la cantidad de material sobre la que se actúa. Por consiguiente, es más informativo en estos casos comparar las velocidades de fractura

absolutas, definidas por S iW o por S i f c. Este término tiene el significado físico de masade polvo fracturado, por unidad de tiempo y por unidad de volumen del molino, si todo

el polvo fuese de tamaño i.

Se ha demostrado que para una determinada carga de bolas J , es tan indeseable

llenar poco como sobrellenar el molino con polvo. A bajo llenado de polvo la mayor parte

de la energía de las bolas se consume en el contacto de acero con acero produciendo

valores de Sf c bajos. La potencia de molienda es aproximadamente la misma, tanto para

un llenado de polvo bajo como para uno normal, de tal modo que un valor de Sf c bajo

resulta en una baja eficiencia energética, ya que bajos valores de m p /SW producen

ineficiencia directa. Por añadidura, los valores de ! resultan menores que lo normal, lo

que tiene el efecto de moler el material fino más rápido proporcionando una sobre

molienda de finos. La carga relativa de polvo-bolas queda definida por U = f c / 0.4 J

obteniéndose valores de este parámetro mayores a 0.2 ó 0.3 para valores normales de !y de las distribuciones de fragmentos de la progenie primaria.

Por otra parte, un llenado alto de polvo parece amortiguar la acción de fractura y

Sf c resulta nuevamente menor que lo normal. Esto también da origen a velocidades de

fractura diferentes al primer orden, con la velocidad disminuyendo a medida que los finos

se acumulan en el lecho. La Figura 5.6 muestra la variación de la velocidad absoluta de

fractura como una función de J y f c, en el área de ruptura normal para una molienda secade cuarzo en un molino de laboratorio equipado con barras elevadoras pequeñas.

La forma general de la curva de velocidad de fractura versus el llenado de polvo,

a una predeterminada carga de bolas, se explica como sigue. Un llenado bajo de polvo produce obviamente una velocidad de fractura menor. A medida que la cantidad de polvoes aumentada, los espacios de colisión entre las bolas se llenan y las velocidades de

fractura aumentan. Cuando todos los espacios en los que están sucediendo colisiones

entre las bolas en movimiento se llenan con polvo las velocidades de fractura llegan a un

máximo. Una cantidad adicional de polvo aumenta el material retenido en el molino, pero

no produce incremento de fractura porque las zonas de colisión están ya saturadas y el

polvo adicional entra sólo como un depósito en el molino obteniéndose una meseta de

velocidades de fractura casi constante. Eventualmente el sobre llenado de polvo conduce

a una amortiguación de las colisiones debido a un acolchonamiento producido por el

95



polvo; el lecho de bolas y polvo se expande produciendo un mal contacto bola-bola-polvo

y resultando en una disminución de las velocidades de fractura.

Los resultados de varios investigadores que utilizaron molinos pequeños con una

carga fija de bolas fueron resumidos por Shoji et al. [5.6]. Un trabajo posterior [5.7]

demostró que se podría utilizar una expresión más simple en la región normal de llenado,

incorporándose también la variación con la carga de bolas:

a : 1

1 + 6.6 J 2.3 exp[$cU ] , 0.5 < U < 1.5, 0.2 < J < 0.6 (5.7)

donde c es 1.20 para la molienda seca. El valor para molienda húmeda depende de las

condiciones reológicas de la suspensión: se ha encontrado valores entre 1 y 1.3 para

densidades de suspensión normales. La representación gráfica de la ecuación (5.7) se

muestra en la Figura 5.6. Si se diferencia Sf c con respecto a U y se lo hace cero, se

demuestra que las velocidades absolutas de fractura máximas se producen a un valor de

U m=1/c. Se concluye que el rango 0.6 9 U 9 1.1 es la condición óptima de llenado para

obtener velocidades máximas de fractura, a cualquier carga de bolas. Sin embargo, los

molinos operan normalmente cercanos al punto más elevado de este rango para evitar el

bajo !

no es de primer orden

Figura 5.6 : Variación de la velocidad absoluta de fractura relativa con el llenado debolas y polvo, para la molienda seca en un molino de laboratorio.

96



desgaste excesivo de las bolas producido por un llenado más reducido de polvo. La

capacidad máxima de molienda se obtiene a llenado de bolas de 40 a 45% (para molinos

pequeños).

El efecto de acolchonamiento se puede cuantificar en forma aislada si se lo define

como la reducción de la fractura más allá de U m, de tal manera que no se considera efecto

de acolchonamiento hasta la velocidad de fractura absoluta máxima. El factor de

reducción de la velocidad de fractura más allá del llenado óptimo de U es entonces el factor de sobrellenado:

K o =

;

<

=

>

>

1

(U ⁄ U m )exp( $ [(U ⁄ U m ) $ 1])

, U 9 U m

, U ? U m (5.8)

Por ejemplo, con U m = 1, el factor es 0.91 para U = 1.5 y 0.74 para U = 2.0.

La potencia neta del molino como función de la carga de bolas se ajusta a la función

empírica:

m p : 1 $ 0.937 J

1 + 5.95 J 5 , 0.2 9 J 9 0.6 (5.9)

Figura 5.7 : Energía específica, relativa de molienda como función del llenado debolas: molienda seca en un molino de laboratorio.

97



Si se combinan las ecuaciones (5.7) y (5.9) se obtiene los resultados que se

muestran en la Figura 5.7. Aun cuando la capacidad de un molino de bolas de laboratorio

presenta un máximo a cargas entre un 40 y 45%, la energía específica relativa de molienda

m p /SW es mínima alrededor de 15 a 20% de carga. En la práctica, cargas de bolas menores

de 25% no son normalmente utilizadas porque pueden producir excesivo desgaste de las

barras elevadoras. Por añadidura, la capacidad de molienda es claramente inferior para

cargas menores.

5.6 DIAMETRO, DUREZA Y DENSIDAD DE BOLAS

Si se considera una unidad representativa de volumen de molino, la velocidad de

contactos bola-bola por unidad de tiempo aumenta con una disminución del diámetro delas bolas, porque el número de éstas en el molino aumenta con 1/d 3. Entonces, las

velocidades de ruptura en el rango normal son mayores para diámetros de bolas menores.

La Figura 5.8 muestra el efecto del diámetro de bolas en un molino de dos pies de diámetro

[5.8], que puede ser representado por:

a : 345

1

d N 0

678 345

1

1 + (d & ⁄ d )678 , d & @ 2 mm , d ? 10 mm (5.10)

donde a es el factor pre-exponencial en la ecuación (5.1) que depende de las condiciones

del molino, y d es el diámetro de la bola. El segundo término en el miembro derecho de

la ecuación (5.10) es una corrección para tomar en cuenta la curvatura de la curva para

diámetros de bolas más pequeños.

El valor del exponente N 0 se conoce en forma precisa [5.9] y se ha informado entre 0.6 y

1.0. Pruebas utilizando el mismo rango de diámetro de bolas en un molino de 200 mm

de diámetro no dieron un efecto del diámetro de la bola, esto es, N 0=0.

Por añadidura, parece que los valores de B también cambian en una forma

sistemática, por lo menos para ciertos materiales. Por ejemplo, el mejor y más reciente

Tabla 5.2Parámetros de B como función del diámetro de bolas: molienda seca de cuarzo

( = 5.8.

Tamaño de

bola d, mm

Tamaño de

bola d,

pulgadas

' ' ⁄ '(25 mm) ) ) ⁄ )(25mm)

19 3/4 1.10 1.02 0.51 0.81

22 7/8 1.09 1.01 0.58 0.92

25 1 1.08 1.00 0.63 1.00

32 1 1/4 1.05 0.97 0.68 1.08

38 1 1/2 1.00 0.93 0.69 1.10

44 1 3/4 0.95 0.88 0.70 1.11

51 2 0.88 0.81 0.70 1.11

64 2 1/2 0.78 0.72 0.70 1.11

98



cálculo de la variación de los parámetros B para cuarzo se presenta en la Tabla 5.2 y

Figura 5.9. Parece que una bola más grande produce, de algún modo, una mayor

proporción de finos, esto es, un ' menor y un ) mayor. Por lo tanto, la menor velocidad

de fractura específica debido a bolas más grandes se compensa parcialmente por una

producción más elevada de fragmentos finos.

Si los valores de B cambian con el diámetro de la bola, un modelo de simulación

adecuado requiere la utilización de un promedio apropiado B __

ij de los valores de B.

Considere una mezcla de bolas con fracciones en masa m1 del tamaño 1, m2 del tamaño

2, etc., se supone que la velocidad de ruptura para la mezcla de bolas S j __

es una simple

suma de las velocidades de ruptura S jk con cada tamaño de bola d k ponderado con su

fracción en masa mk :

S _

j = A

k

mk S j,k

Figura 5.8 : Variación de la velocidad específica de molienda en un molino de bolas

para la molienda seca de cuarzo (D = 0.6m, J = 0.2, U = 0.5, +c = 0.7).

99



B __

i, j = A

k

(mk S j,k Bi, j,k ) ⁄ A

k

(mk S j,k ) (5.11)

La Tabla 5.2 y la Figura 5.10 muestran los valores de B de una molienda discontinua

de cuarzo con una mezcla de bolas de diferentes tamaños, comparados con los valores de

molienda con bolas de un diámetro de 26 mm ó 50 mm. Como se espera, los valores están

entre aquellos de los tamaños extremos; la serie de distribuciones granulométricas a

diversos tiempos de molienda también mostró pendientes de Schuhmann entre aquellasque se obtuvieron con bolas de diámetro de 26 mm y 50 mm. Esto sugiere que los valores

promedio B __

ij quizás puedan ser ajustados con la forma usual de la ecuación (5.5) con

valores efectivos que incluyen ' _

, ) __

y ( __

. Esto se demuestra en la Sección 8.4. Por ejemplo,

para una mezcla balanceada de Bond con un tamaño máximo de 51 mm (2 pulgadas), el

valor global ' _

es 0.91 veces el valor ' para bolas de 25.4 mm y ) __

es 1.06 veces ) para

bolas de 25.4 mm, para los datos indicados.

Es obvio que no es deseable alimentar un molino con partículas de tamaños muy

grandes, debido a que los valores deS i para estos tamaños estarán a la derecha del máximo

Figura 5.9 : Variación de los parámetros de B con el tamaño de las bolas para la

molienda seca de cuarzo (D = 0.6 m, J = 0.2, U = 0.5, +c = 0.7).

100



que se muestra en la Figura 5.2, produciendo bajas velocidades de fractura. Se sabe desde

hace mucho tiempo que bolas de gran tamaño fracturan las partículas grandes más

eficientemente. En términos de las velocidades específicas de fractura, este concepto puede ser cuantificado mediante la ecuación empírica:

xm : d N 3 (5.12)

donde xm es nuevamente el tamaño al cual ocurre el valor máximo de S (para un

determinado conjunto de condiciones) y d es el diámetro de la bola. La ecuación (5.12)

enuncia que la posición del máximo en S se mueve hacia tamaños de partículas mayores

cuando el diámetro de la bola se aumenta o dicho de otra manera, cuando el diámetro dela bola se aumenta el molino puede fracturar eficientemente una alimentación que

contiene tamaños de partículas más grandes. El valor de N 3 no es fácil de obtener

experimentalmente debido a la interferencia producida por la ruptura de orden distinto

del primero en la región de ruptura anormal. Sin embargo, pruebas recientes [5.10] sugieren

Figura 5.10 : Valores experimentales de B para la fractura de cuarzo en un molinocon mezcla de bolas: 40% de 50.8 mm, 45% de 38.1mm y 15% de 25.4 mm (40% de

sólidos en volumen, D = 0.6 m; +c = 0.7).

101



que N 3=1.0 para materiales frágiles duros, y no un valor de N 3=2 como fue utilizado

previamente por Austin, Klimpel y Luckie.

Como un ejemplo, consideraremos los resultados obtenidos en una serie de ensayosde molienda húmeda de mineral de cobre de Andina de Codelco Chile [5.11], como se

muestra en la Tabla 5.1b. Se usaron monotamaños de bolas de 1, 1.5, 2.0, 2.5 y 3.0

pulgadas y monotamaños de partículas de 40x60, 16x20 mallas y 1/4"x3/8". Tomando

en cuenta los límites de reproducibilidad y el hecho que se produce fractura de ordendistinto del primero para la molienda húmeda, especialmente de partículas de gran tamaño

con bolas pequeñas, se llegó a las siguientes conclusiones:

• el valor de a : 1 ⁄ d , esto es, N o=1.0

• los valores de B en la región de fractura normal no cambian en forma

significativa con el tamaño de las bolas

• el valor de % resultó constante, % =3

• el valor de µ :d1.2

, esto es, N 3=1.2

Los valores de "a" y xm dependen del material y condiciones de molienda. Sin

embargo, el valor de ! no parece variar con el diámetro de la bola en la región de fractura

normal. El valor de "a" muestra una gran variación desde materiales blandos (débiles) a

duros (fuertes), pero el rango de variación de xm es relativamente estrecho: xm depende

Figura 5.11 : Variación pronosticada de los valores de S con el tamaño de bolas para

la molienda húmeda de un mineral de cobre (J =0.3, U = 0.75, +c = 0.7, D = 0.6 m).

102



no sólo de la resistencia de las partículas grandes sino que también de la geometría del

atrapamiento de partículas entre bolas, que es un factor que no cambia mucho con el tipo

de material. Si se combinan las ecuaciones (5.2), (5.3), (5.4), (5.10) y (5.12) se obtiene

el resultado típico que se muestra en la Figura 5.11, en que se hizo N 0=1 y N 3 =1.2 y enque los valores de S i corresponden al valor superior del intervalo i. Las curvas representan

la mejor descripción de las constantes cinéticas de primer orden.

El efecto total de una mezcla de bolas de diversos tamaños, en la región de rupturanormal es nuevamente la suma ponderada:

S _

i = A

k

S ik mk (5.13)

donde mk es la fracción en masa de bolas en el intervalo de tamaño denotado por k y S ik

es la velocidad de ruptura específica de las partículas de tamaño xi con bolas de tamañod k . Si el tamaño de alimentación es suficientemente pequeño como para que la ecuación

(5.1) sea válida para las bolas de todos los tamaños en el molino:

S _

i : xi! A

k

(mk

d k N 0) (5.13a)

y el molino se comporta como si tuviera un tamaño de bola único promedio d _

definido

por:

S _

i : 1

d

_ N 0

xi! = xi

! A

k

345

mk

d k

N 0

678

Si N 0=1,

1 ⁄ d _

= A

k

mk

d k (5.13b)

Nótese que éste es un diámetro de bola promedio volumétrico superficial (de área

específica), esto es, el diámetro de bola que proporciona una área específica igual al

promedio del área específica de la mezcla de bolas. La Figura 5.8 muestra el valor de S

determinado para una mezcla de 50% de bolas de 27 mm y 50% de bolas de 50 mm. El

resultado cae en la línea de un tamaño de bola de 36 mm. La ecuación (5.13b) da1/ d _

=(0.5/27)+(0.6/50)=35 mm para N 0=1. Esto demuestra la aditividad simple en laregión de fractura normal. Sin embargo, no es posible definir un tamaño promedio de

bola para las condiciones en que la ecuación (5.2) es aplicable, porque ningún tamaño

único de bola puede duplicar la acción de fractura de una mezcla de bolas sobre las

partículas de tamaño grande.

Un método para evitar las incertidumbres en cuanto al efecto del tamaño de las

bolas sobre los parámetros de ruptura y a la aditividad de las mezclas de bolas, es

determinar los parámetros S y B en un molino conteniendo exactamente la distribución

de bolas que se usará en la práctica. Esto no se puede realizar en un molino demasiado

103



pequeño y recomendamos que los ensayos discontinuos se hagan en un molino de por lo

menos 0.6 m de diámetro, si las bolas a usar son de 60 mm de diámetro como máximo.

La potencia del molino no varía mucho con el tamaño de las bolas (con bolasmayores a 19 mm), de modo que una mala elección del tamaño de bola conduce a un bajo

valor de S i dando una ineficiencia directa , bajando el parámetro S iW/m p y aumentando

la energía específica de molienda. Sin embargo, y debido al desgaste de bolas, en la

práctica es necesario recargar bolas grandes para establecer una carga balanceadaapropiada (ver sección 8.3). Además, una carga de bolas demasiado pequeñas produce

deslizamiento de la carga y por lo tanto una caída en el consumo de potencia y un excesivo

consumo de acero. La selección óptima de tamaño de las bolas depende claramente de la

distribución granulométrica de la alimentación y del producto deseado y del balance entre

el costo de la energía y del acero (ver sección 8.7).

Rose y Sullivan [5.12] demostraron que la dureza de las bolas no afecta la capacidad

del molino, siempre que ellas estén por sobre una dureza razonable. Von Seebach [5.13]hizo experiencias en seco con bolas de acero huecas, demostrando que el efecto de la

densidad de las bolas sobre la velocidad específica es lineal:

S i : a : Bb (5.14)

donde Bb es la densidad de la bola. Se debe notar que la potencia también es proporcional

a Bb, de manera tal que un molino operando con medios de molienda livianos tendrá baja

capacidad y bajo consumo de potencia dando, por lo tanto, un consumo de energía

específica de molienda comparable a uno trabajando con bolas de alta densidad. Sin

embargo, ensayos en molinos de 0.6 m de diámetro dieron una razón de S i de 1.75 entre

bolas de una aleación de acero ( Bb=7.8x103

kg/m3

) y bolas de cerámica( Bb=3.7x103

kg/m3), que es menor que la razón de densidad de 2.1, aunque la potencia sí varió en

proporción a 2.1. Esto sugiere que es mejor determinar los valores de S i para las bolas delmaterial que se utilizará en la práctica, en vez de usar la ecuación(5.14), especialmente

en la molienda húmeda.

5.7 DIAMETRO DEL MOLINO

Se han realizado muy pocas medidas directas de los valores de S y B en molinos

de gran diámetro y el recálculo de los valores de S y B desde datos de molinos continuos

de gran tamaño está sujeto a grandes errores (ver capítulo 6). Por lo tanto, es necesario

extrapolar resultados de molinos menores y también inferir resultados de la variación de

la capacidad de un molino industrial en relación al diámetro de éste. Austin[5.14] y

Malghan y Fuerstenau[5.15] han demostrado que los valores de Bij son a menudo los

mismos para un determinado material en molinos de 0.15 m a 0.60 m (2 pies) de diámetro

y que el exponente es el mismo. Bajo condiciones idénticas de llenado la velocidad

específica de fractura aumenta en razón a D N 1 donde N 1 es cercano a 0.5 (ver Figura 5.12)

por lo tanto:

S i : a : D N 1 (5.15)

104



Como en la sección 5.3, este resultado sugiere [5.14] que es la acción de cascada la

que produce la acción normal de ruptura en el molino. Un valor de S i corresponde a una

fracción quebrada por unidad de tiempo y, por lo tanto, representa la fractura por unidad

de volumen del molino. El número promedio de bolas que suben y voltean por revolución

del molino y por unidad de volumen es constante independiente del diámetro del molino, pero el número promedio de impactos que una bola efectúa cuando cae en cascada en la

carga del molino es proporcional a D. Sin embargo, a una determinada fracción de

velocidad crítica el número de revoluciones del molino por unidad de tiempo es

proporcional a 1/ " ## D . Si se combinan estos factores y se supone que cada impacto

contribuye a la fractura, resulta S i : D ⁄ " ## D , esto es, S i : D0.5.

Si se supone que los valores de ! y Bij permanecen constantes, incluso para molinos

grandes, la capacidad del molino como función del tamaño del molino (para ir desde la

misma alimentación hasta el mismo producto baja las mismas condiciones de carga) sería:

Q : C4

LD2 + N 1

o en forma adimensional

Figura 5.12 : Variación de los valores de S i con el diámetro del molino (fractura

normal, d = 25 mm).

105



Q2 ⁄ Q1 = 345

L2

L1

678 345

D2

D1

678

2 + N 1

donde L es la longitud del molino. Esto también supone que la capacidad del molino por unidad de longitud es constante, esto es, que existe un efecto insignificante de las paredes

finales del cilindro. La bien conocida regla empírica para capacidad de un molino es por

supuesto:

Q : C4

LD2.5

Bond [5.16] indica que la capacidad de molinos superiores a D=3.8 metros en

diámetro es proporcional a ( C L ⁄ 4 ) ( D ⁄ Do)2.3, Do=3.8 m, lo que sugiere que N 1disminuye algo para molinos de diámetros grandes. La capacidad es entonces:

Q2 ⁄ Q1 = 345

L2

L1

678 345

D2

D1

678

2

345

Do

D1

678

0.5

345

D2

Do

678

0.3

D ? Do = 3.8 m

La potencia del molino también varía con LD2.5 para molinos pequeños, de modo que la

energía específica de molienda se mantiene constante al variar el diámetro del molino,

para pruebas en molinos pequeños.

Por añadidura, es de esperar que un molino de diámetro mayor desplazará el

máximo en S hacia partículas de tamaños mayores, para un determinado diámetro de bola.

Hemos utilizado la expresión empírica:

xm : µ : D N 2 (5.16)

donde N 2 es aproximadamente 0.2. Por consiguiente, el tamaño de bola máximo para undeterminado tamaño de partícula máximo en la alimentación puede ser reducido para un

molino de mayor diámetro. El desgaste y daño de las lainas debido al impacto de las bolas

mayores se agrava por el gran diámetro del molino, por esta razón es también conveniente

reducir el tamaño y cantidad de las bolas mayores en molinos de gran diámetro.

5.8 EFECTOS DEL MEDIO AMBIENTE EN EL MOLINO

Es bien conocido que la molienda húmeda en molino de bolas produce capacidadessuperiores que la molienda en seco, con la condición que la proporción de sólido a agua(densidad de suspensión) no sea tan alta como para que la carga del molino se vuelva

espesa y viscosa. Bond [5.16] indica que la capacidad de la molienda húmeda en escala

industrial es 1.3 veces aquella para la molienda seca, con todas las otras condiciones

semejantes. Austin et al. [5.17] demostraron que los valores de Bij y ! eran

aproximadamente los mismos para la molienda húmeda o seca en un molino pequeño de

laboratorio (al menos para los materiales investigados). Los valores también fueron los

mismos para densidades de pulpa diferentes, con la condición que ésta permaneciese

fluida. Sin embargo, la razón de los valores de S , esto es, el factor “a” varió de 1.1 a 1.7entre la molienda seca y la húmeda para diferentes materiales. La razón fue 1.7 para

106



cuarzo. Cuando los valores Bij y ! no cambian, la capacidad del molino será función

directa de estas proporciones.

En pruebas de molienda discontinua de laboratorio, lo que se estudia es la acción

de fractura y no la transferencia de masa a lo largo del molino y por lo tanto, los resultados

muestran que la fractura ocurre más rápidamente en la presencia de agua. Por añadidura,

la comparación de molienda húmeda y seca se efectúa en la región de fractura normal de

primer orden, donde el efecto desacelerador de las velocidades de fractura no es evidente(ver más adelante). Por consiguiente, el agua no actúa principalmente para prevenir la

desaceleración, recubrimiento de las bolas o reaglomeración de los finos. Por otra parte,

% de sólidosen volumen

Figura 5.13 : Variación de la velocidad específica de fractura del tamaño máximo(cuarzo de 20x30 mallas), con el tiempo para varias densidades de pulpa (D=200 mm,

d =25 mm, J =0.3, U =1.0).

107



los aditivos químicos de molienda no cambian las velocidades de fractura hasta que la

densidad de pulpa es alta, en cuyo caso operan afectando la fluidez de la masa. Por lo

tanto, la influencia del agua parece ser principalmente el permitir una mejor transferencia

de la acción mecánica de las bolas en movimiento hacia las partículas lo que conduce avelocidades de fractura más alta, pero no obstante produciendo el mismo tipo de fractura

y, en consecuencia, aproximadamente la misma distribución de fragmentos de la progenie

primaria.

Tangsathitkulchai y Austin [5.18] realizaron un detallado estudio de la molienda

húmeda en un molino de laboratorio mediante el análisis de los valores de S y B. Sus

resultados para cuarzo molido en agua destilada se puede resumir como sigue: la fractura

de un monotamaño de alimentación de 20x30 mallas proporcionó en forma sistemática

una fractura de orden diferente del primer orden, como se muestra en la Figura 5.13. La

aceleración o desaceleración de la velocidad de fractura del monotamaño fue producida

por la acumulación de material fino, ya que ésta pudo también ser obtenida iniciando la

prueba con una alimentación de 50% de cuarzo de malla 20x30 más 50% de material fino.Que la cinética de molienda del monotamaño (gráfico de primer orden) muestre

aceleración, comportamiento de primer orden o desaceleración depende de la carga de

bolas y polvo en el molino además de la densidad de pulpa.

El efecto parece deberse a que la reología de la pulpa en el comienzo de la molienda permite que las partículas grandes escurran desde la superficie de las bolas, de manera

que las zonas de fractura entre las bolas que ruedan por la superficie libre de los medios

de molienda han sido parcialmente lavadas de partículas. A medida que cambia la reología

con la acumulación de finos, las zonas de fractura comienzan a cubrirse de pulpa que noescurre tan fácilmente, y por lo tanto la velocidad específica de fractura y la eficiencia

de fractura aumentan.

Sin embargo, una vez que se ha producido suficiente fractura para dar origen a una

distribución de tamaño más natural, y que se ha acumulado suficiente cantidad de finos para dar una reología más normal, la fractura de las partículas más pequeñas puede ser

considerada de primer orden, de manera que en todo el rango de interés se puede

aproximar una cinética de primer orden.

La Figura 5.14 muestra la variación del valor de “a” para esta región normal, más

la velocidad neta de producción de material menor de 270 de mallas. Se concluye que

existe un pequeño máximo para una densidad de pulpa de 45% de sólidos en volumen

que produce las velocidades máximas de fractura. Un pequeño aumento de la densidad

de pulpa por sobre 45% produce una disminución rápida de la velocidad de fractura.

La Figura 5.15 muestra los valores de B para estas condiciones. Dentro del rangode reproductibilidad experimental, los valores son constantes (y normalizados) para

densidad de pulpa normal, pero cambian a un conjunto de valores diferentes (también

normalizados) para la densidad de suspensión alta con una producción más alta de finos.

La velocidad neta de producción de finos varía con la densidad de suspensión de la mismamanera que “a”, pero la semejanza no es exacta debido al cambio en los valores B. La

Figura 5.16 muestra las distribuciones granulométricas producidas a densidades de pulpa

normales y altas desde una alimentación de monotamaño de cuarzo de 20x30 mallas. La

diferencia en inclinación de las curvas de Schuhmann es bastante clara. La figura también

muestra que la fractura desacelera para tiempos largos de molienda, porque la distribución

108



Figura 5.14 : Efecto de la densidad de pulpa en la velocidad de fractura del cuarzo(ver figura 5.12).

Figura 5.15 : Variación de B con la densidad de pulpa (ver Figura 5.10); % en

volumen ! 40%, 40%, " 45%, !!!! 45%, 47%,"""" 50%, D 52%,# 54%, $ 56%

109



Figura 5.16 : Comparación de las distribuciones de tamaño de molienda discontinuade cuarzo de 20x30 mallas a densidad de pulpa normal y alta (D=200 mm; d =26 mm;

J =0.3; U =1.0 ; +c =0.7)

Figura 5.17 : Variación de la velocidad de fractura con el llenado del molino y con ladensidad de pulpa.

110



granulométrica experimentalmente determinada no es tan fina como la pronosticada por

la simulación de primer orden.

Conclusiones esencialmente similares fueron previamente reportadas por Klimpelet al. [5.19-21] basadas en la velocidad de producción de tamaños finos y no en velocidades

de fractura. La Figura 5.14 demuestra que la velocidad de producción de tamaños finos

(por ejemplo, menores a 270 mallas) varía de la misma manera que las velocidades de

fractura. En base a ésto, los resultados de Klimpel[5.21] con respecto al llenado del molinoy la densidad de pulpa son presentados en la Figura 5.17, donde los valores han sido

ajustados mediante una forma de la ecuación (5.7)

Velocidad neta de producción de finos = kUexp [ $ cU ] (5.17a)

Parece que el nivel óptimo de llenado a una determinada densidad de pulpa cambia hacia

valores de U más altos cuando la densidad de la suspensión aumenta.

El máximo que se observa en la velocidad de fractura como una función de ladensidad de suspensión en la Figura 5.14 se explica convencionalmente postulando que

las bolas son cubiertas por una suspensión suficientemente gruesa conduciendo a

colisiones eficientes de bola-partícula-bola. Sin embargo, Tangsathitkulchai y Austin

[5.17] y Katzer et. al.[5.21] encontraron que, a diferencia de la molienda en seco, la potencianeta entregada al molino discontinuo de laboratorio aumenta y disminuye con la densidad

de la suspensión en forma muy similar a la variación de las velocidades de fractura,

excepto en condiciones extremas de bajo-llenado, sobre-llenado o alta densidad de pulpa.

Esto significa que la energía específica de molienda fue casi constante y que los óptimos

en el desempeño del molino fueron óptimos de capacidad y no de energía específica. Esto

implica que el efecto de la densidad y reología de la suspensión en estas pruebas es

cambiar la acción de las bolas en movimiento: la reología óptima de la suspensión causa

el mejor elevamiento de las bolas, el máximo consumo de potencia por el molino y,consecuentemente, las velocidades de fractura (que son una consecuencia de la acción de

volteo) también más altas.

Por lo menos en molinos pequeños de laboratorio el efecto puede ser explicado de

la siguiente manera. Para densidades de pulpa bajas, la sedimentación produce una capade partículas que se mueve junto a las paredes del molino y cuyo efecto es el de disminuir

el diámetro efectivo del molino y por lo tanto reducir la potencia. En condiciones óptimas

las partículas sedimentan más lentamente y caen de las paredes del molino a medida que

son levantadas, por lo que se encuentran mejor dispersas en la pulpa y más

homogéneamente distribuidas en el lecho de bolas. Cuando una pulpa espesa se muele a

tamaños finos, nuevamente comienza a pegarse en las paredes del molino reduciendo eldiámetro de éste. Esta última acción es claramente visible en experiencias discontinuas,

como lo es el hecho que las bolas también se pegan en las paredes debido a la densa yviscosa pulpa que allí está adherida.

5.9 DESACELERACION DE LAS VELOCIDADES DE FRACTURA

La Figura 5.16 muestra que la capacidad de las simulaciones de primer orden para predecir las distribuciones granulométricas correctas del producto comienza a fallar para

111



la molienda muy fina. Este efecto de desaceleración se observa tanto en la molienda seca

como en la húmeda. El fenómeno se trata como sigue.

Como una primera aproximación se supone que la desaceleración de lasvelocidades específicas de fractura se aplica igualmente a todos los tamaños en la carga

del molino. Esto conduce al hecho importante que la forma de la familia de distribuciones

granulométricas que produce la molienda discontinua permanece sin cambio en presencia

del efecto de desaceleración, pero el tiempo de molienda requerido para llegar a unadistribución granulométrica determinada es mayor. El efecto mencionado puede suceder

sólo si B permanece constante. Por lo tanto [5.22] :

S iE(t ) = KS i(0) (5.17)

donde S i(0) es el conjunto de valores normales de S , yS iE(t ) es el valor promedio de S i para

el tiempo t . El parámetro K es el factor de reducción (0 9 K 9 1) que se vuelve menor cuando el porcentaje de finos aumenta. Designando por F el tiempo equivalente de una

molienda de primer orden (el tiempo ficticio) necesario para alcanzar la distribución,

w1(t ) ⁄ w1(0) = exp[ $ S 1(0)F ] = exp[ $ KS 1(0)t ], y esto es :

K = F ⁄ t (5.18)

El valor instantáneo de S i al tiempo t puede ser representado por:

S i (t ) = G S i (0) (5.19)

donde G es también un factor de reducción 0 9 G 9 1, que es una función de la fineza delmaterial en el molino (por lo tanto una función de t ); como

dw1(t ) = $ S 1(0)w1(t )d F y dw1(t ) = $ S 1(t )w1(t )dt ,

G = d F ⁄ dt (5.20)

Conociendo la variación de F con t se puede determinar G por diferenciación gráfica. La

relación entre K y G es claramente Kt = H 0

t

Gdt La Figura 5.18 muestra el resultado de la

molienda húmeda de cuarzo. La fractura progresa a velocidades normales (G =1) hasta

que la distribución granulométrica alcanza un tamaño del 80% cercano a 150 µm; luego

la velocidad cae a un valor menor para distribuciones de aproximadamente 80% menor a 30 µm o más fina, a una densidad de pulpa de 40% de sólidos en volumen. La

disminución ocurre a moliendas más gruesas para densidades de suspensión más alta y

los valores de G disminuyen a valores pequeños para densidades de pulpa muy altas.

También se ha encontrado [5.22-23] que la molienda seca a tamaños muy finos puede

producir una acción desaceleradora del proceso global de molienda. En la Figura 5.18 se

muestran los resultados típicos. Esto no parece ser debido principalmente al

recubrimiento de las bolas, ya que no se observó recubrimiento con cuarzo. Posiblemente

un lecho de partículas cohesivas finas desarrolla propiedades parecidas a las de un líquido

de modo tal que las partículas se deslizan de la región de colisión de bola con bola y se

112



transmite un esfuerzo insuficiente a las partículas individuales para que suceda la fractura.

En la figura se ve bastante claro que materiales diferentes muestran este efecto en

diferente grado, posiblemente debido a grandes diferencias en las fuerzas cohesivas de

los materiales diferentes.

Es bien conocido [5.24] que la molienda seca de materiales por largos intervalos de

tiempo (varias horas) puede conducir a la peletización y a la soldadura en frío de finos

para formar partículas más grandes. Sin embargo, el efecto de desaceleración sucede en

tiempos más reducidos y no demuestra la incorporación de material fino (que fue marcado

con trazadores) para formar gránulos mayores [5.25].

5.10 FRACTURA DE PARTICULAS GRANDES

Las partículas que son mucho mayores que xm, hacia la derecha del máximo en la

curva de S versus x, usualmente se fracturan en forma anormal, como se muestra en laFigura 5.19. A diferencia de la fractura normal, la que generalmente produce una

velocidad de fractura de primer-orden, la región de fractura anormal produce una

velocidad inicial más rápida seguida por una más lenta. Partículas que son débiles o que

poseen una forma tal que les permite ser atrapadas en la colisión entre bolas con bolas

son fracturadas más rápidamente, mientras que existe una fracción de partículas más

Figura 5.18 : Efecto de desaceleración G como función de la fineza de molienda

(20x30 mallas de alimentación) y densidad de pulpa (D = 200 mm, d = 26mm, +c =0.7) : molienda húmeda : (J = 0.3, U = 1.0), A 40% de sólidos en volumen, B 54% de

sólidos en volumen, Molienda seca : (J = 0.2, U = 0.5). 1 cuarzo, 2 Carbón deWestern Kentucky # 9, Indice de Moliendabilidad de Hardgrove 52. 3 Clinker de

cemento. 4 Carbón de Lower Kittanning.

113



fuertes que se fracturan más lentamente y de ahí que persisten, después que las partículas

más débiles han sido fracturadas. No es difícil de imaginar que estas partículas más

grandes y fuertes se someterán a un continuo astillamiento y redondeamiento mientras

esperan la probabilidad de un impacto intenso que las fracture. El 6% del monotamañoinicial que quedó después de ser éste molido hasta una fractura del 94%, se recogió y se

volvió a moler en las mismas condiciones del material inicial, ver Figura 5.19, dando una

velocidad de fractura mucho más lenta, que continuaba disminuyendo. Si se compara la

forma de las partículas de la alimentación inicial con aquellas del material más fuerte que

se recogió, se observa un evidente redondeamiento parcial del material más fuerte.

La correcta forma de considerar la velocidad de fractura para cualquier tiempo es

considerar la suma de las velocidades de fractura de todo el material que queda en ese

tiempo, desde una alimentación inicial con una distribución completa de resistencias,

cada material de una resistencia determinada rompiéndose de acuerdo a la hipótesis de

primer orden:

w0(t ) = H w0 = 0, S = 0

w0 = 1, S = I

exp( $ St ) dw0(S ) (5.21)

donde w0(S) es la fracción acumulativa de material de una velocidad específica de fractura

menor o igual a S en el material de la alimentación de tamaño uno. Sin embargo, esta esuna función complicada para manejar y es conveniente aproximar el proceso como la

suma de un número finito de materiales, por ejemplo, sólo dos componentes, una fractura

rápida y una lenta. Se ha encontrado que estas velocidades específicas de fractura también

Figura 5.19 : Velocidad de fractura de cuarzo para tamaño de alimentación inicial6.3x9.5mm, y final 6% 6.3x9.5mm (D = 200mm).

114



pasan a través de un máximo cuando la carga de polvo aumenta, de modo que la ecuación

(5.7) todavía es aplicable para estos tamaños.

Mientras más grandes sean las partículas con respecto al diámetro de bola, menores

serán las velocidades de fractura específica. Sin embargo, a medida que las partículas

llegan al tamaño de la bola, las colpas empezarán a actuar como un medio de molienda

y, por lo tanto, a contribuir a la fracción de llenado del medio J . En este punto, elastillamiento será una gran contribución a la acción de fractura. A tamaños aún mayores,

la ruptura autógena de las rocas empezará, como en la molienda semi-autógena (ver

capítulo 12). Por consiguiente, una descripción más completa de la variación de losvalores de S i con el tamaño de la partícula se muestra en la Figura 5.20. La Figura 5.21

ilustra el cambio en los valores de B que se esperan cuando el astillamiento y la abrasión

llegan a ser los componentes más importantes de la fractura completa.

Por el momento no existe información suficiente para proporcionar ecuaciones delos valores de B en la región de fractura anormal. Como las colpas grandes forman

usualmente una proporción pequeña de la alimentación a un molino de bolas, a menudo

es suficientemente preciso utilizar los valores normales de B o un vector único de valores

promedios de B para todos los tamaños a la derecha del máximo en los valores de S .

5.11 EFECTO DEL FLUJO A TRAVES DEL MOLINO

La Figura 5.6 y la ecuación (5.7) muestran que las velocidades de fractura

disminuyen a medida que el molino es sobrellenado. Medidas recientes de distribuciones

de tiempos de residencia en molinos industriales [5.26] han permitido estimar la cantidad

de material retenido en el molino. La Tabla 5.3 muestra los resultados como fracciones

de llenado del molino con polvo para una porosidad formal de 0.4. Como la carga de

bolas es de aproximadamente 35 a 45% para estos molinos, un llenado deaproximadamente 0.16 corresponde a U =1, y está claro que los molinos son

Figura 5.20 : Forma típica para la suma de la velocidad específica de fractura enmolienda SAG.

115



frecuentemente operados en condiciones de sobrellenado (U >1). Con el objetivo de tomar

en cuenta este factor en los modelos de simulación, es necesario disponer de una ley de

transporte de masa que relacione el material retenido en el molino con el flujo.

Desafortunadamente, esta ley dependerá de las propiedades reológicas de la pulpa,

las que a su vez, serán función de la densidad de pulpa y de la fineza de la molienda. Por

añadidura la ley dependerá de otros factores tales como el tipo de descarga del molino y

la mezcla de bolas en la carga.

Ya hemos visto en la sección 5.8 que la cantidad de finos en la pulpa influencia la

velocidad específica de fractura, dando mayores velocidades de molienda para cantidades

de finos “normales” que para un exceso o defecto. Pequeños flujos a través del molino

tienden a producir material fino y, como los molinos son buenos mezcladores, existe allísuficiente cantidad de éstos para dar altas velocidades de fractura. Por otra parte, altos

flujos al molino producen pequeñas cantidades de finos y por lo tanto menores

velocidades de fractura. En circuito cerrado la eficiencia de clasificación, especialmente

la magnitud del cortocircuito, afectará el tamaño promedio de finos en el molino. Es

posible, entonces, que la determinación de parámetros de fractura en condiciones

estandarizadas a partir de ensayos de molienda discontinua no sea suficiente para

describir el circuito, si éste es operado con altas variaciones de flujos, como en el caso

de cambiar desde circuito abierto a circuito cerrado con grandes cargas circulantes.

Figura 5.21 : Valores experimentales de B para la molienda de clinker de cemento en

un molino de bolas de laboratorio, tamaños de alimentación de intervalos de " ##2;

# 40x50 mallas;" 16x20 mallas; D 4x6 mallas.

116



En el capítulo 8 se mostrará otras relaciones que han sido propuestas para explicar

la transferencia de masa en molinos. Sin embargo, ellas están basadas en un número

limitado de estudios en planta piloto y a escala industrial. Debido al escaso conocimiento

respecto al efecto del flujo de alimentación a un molino sobre la velocidad específica de

fractura, ya sea vía cambios en el nivel de llenado o en la cantidad de finos en la pulpa,

nosotros escogeremos realizar simulaciones de diseño estandarizadas utilizando valores

promedios para las velocidades específicas de fracturas, e introduciendo luego factoresde corrección que permitan tomar en cuenta los efectos de grandes cambios en los flujos

a través de molino. Esto permitirá introducir diferentes factores de corrección a medida

que la experiencia se acumule, sin la necesidad de descartar el programa básico de

simulación.

5.12 ESCALAMIENTO DE LOS RESULTADOS DE LA MOLIENDADISCONTINUA DE LABORATORIO

Las ecuaciones empíricas que predicen como cambian los valores de S i con el

diámetro de las bolas del molino, con la carga de bolas y de polvo y con la velocidad de

Diámetro

del

molino

m

L/D Flujo de

sólido a

través

del

molino

F tph

Densidad

de pulpa

%

sólidos

en peso

Peso

específico

del

sólido B s

Jmin.

Material

retenido

W

ton met.

Fracción

de

llenado

con

polvo f c

U = f c

0.152

0.3 1 0.08 67 2.65 1.72 0.0023 0.21 1.4

0.3 1 0.14 70 3.8 (2.27) 0.0053 0.49 3.2

1.83 2 114 76 3.9 3.5 6.6 0.29 1.9

2.03 1.5 65 63 3.8 1.45 1.6 0.07 0.5

122 71 3.2 1.72 3.5 0.16 1.0

44 76 3.2 2.44 1.8 0.08 0.52.21 5.5 133 70 2.7 8.6 19.0 0.25 1.6

2.30 0.93 155 75 3.5 2.00 5.2 0.28 1.8

2.32 0.75 47 65 3.0 1.67 1.3 0.10 0.7

100 52 4.2 1.03 1.7 0.10 0.7

232 68 3.0 0.90 3.5 0.27 1.8

2.34 0.78 60 72 2.9 1.85 1.85 0.13 0.9

2.34 1.2 185 79 3.9 2.72 8.4 0.28 1.8

2.70 1.37 82 70 4.2 4.72 6.5 0.12 0.8

2.93 0.8 295 78 3.7 3.13 15.4 0.45 3.0

375 75 3.7 1.70 10.6 0.30 2.0

3.20 1.34 388 81 3.6 3.30 21.0 0.29 1.9

163 71 3.4 6.58 18.0 0.25 1.6

Tabla 5.3Material retenido de molinos húmedos de rebalse.

117



rotación del molino son las ecuaciones (5.2) a (5.4), (5.6), (5.7), (5.9), (5.10), (5.12) y

(5.16). Ellas se pueden combinar para obtener :

S i (d ) =

aT ( x

i ⁄ x

0)

! 3

45

1

1 + ( xi ⁄ C 1 µT )

6

78 C

2C

3C

4C

5 (5.23)

donde:

C 1 = 345

D

DT

678

N 2

345

d

d T

678

N 3

C 2 = 345

d T

d 678

N 0

-./

1 + (d & ⁄ d T )

1 + (d & ⁄ d )

012, d & = 2 mm, d ? 10 mm

C 3 =

;

<

=

>>

>>

345

D DT

678

N 1

345

3.8

DT

678

N 1

345

D

3.8678

N 1 $ 0.2

D 9 3.8m

D ? 3.8m

C 4 = 345

1 + 6.6 J T 2.3

1 + 6.6 J 2.3

678 exp[ $ c(U $ U T )]

Figura 5.22 : Variación de la retención de pulpa, expresada como fracción de llenado

intersticial del lecho de bolas, con el flujo volumétrico de pulpa, para J = J 0 (densidad

de pulpa @ 40% en volumen): molino de rebalse de laboratorio de 0.3 m de diámetro

por 0.6 m de largo.

118



Figura 5.23 : Variación de la densidad de pulpa (expresada como % de sólidos en

volumen) con el flujo de pulpa, para tres densidades de pulpa diferentes (ver Figura5.22).

Figura 5.24 : Variación de los factores de aceleración con la fineza del contenido delmolino, para dos niveles de llenado.

119



C 5 = 345

+c $ 0.1

+cT $ 0.1

678 345

1 + exp[15.7(+cT $ 0.94)]

1 + exp[15.7(+c $ 0.94)]

678

donde el subíndice T se refiere a las condiciones y resultados del molino de laboratorio(Test). Los valores aT y µT para el tamaño de bola y la carga de bolas y polvo de interés,

son características del material, tal como ! , % , y los parámetros de Bij, a saber, ', ( y

K. No se ha hecho suficiente trabajo para determinar los valores de N 0, N 1, N 2 y N 3 y saber

si son constantes o dependen de cada material. La combinación de estos cálculos con las

ecuaciones (5.5), (5.11) y (5.13) permiten el cálculo de S _

i y B __

ij, que son los valores

requeridos para la solución de la ecuación de molienda discontinua:

B __

i, j = A

k

mk S j,k Bi, j,k ⁄ A

k

mk S j, k

S i __ = A

k

mk S i,k

donde, para bolas de tamaño promedio d k , los valores de S ik , están dados por (5.23) y los

valores de Bi,j,k se los puede calcular de la ecuación 5.5:

Bi, j, k = ) j345

xi $ 1

x j

678

'

+ (1 $ ) j) 345

xi $ 1

x j

678

(

, 0 9 ) j 9 1 (5.5)

En forma alternativa se puede usar ensayos de molienda discontinua de laboratorio

para determinar los valores de S _

i, C 3, C 4 y C 5 en un molino razonablemente grande (por

ejemplo D = O.60 m) con la mezcla de bolas y la carga que se anticipa será usada en el

molino de gran escala. En este caso, los valores de µ __

T y % __

T son para los valores de S _

i

producido por la mezcla de bolas y d =d T en C 1 y C 2. Esta técnica tiene la ventaja de evitar

suposiciones concernientes a la aditividad del efecto de las bolas.

5.13 REFERENCIAS

5.1 Crabtree, D.D., Kinasevich, R.S., Mular, A.L., Meloy, T.P. and Fuerstenau, D.W., Trans. AIME,229(1964)201-210.

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5.9 Gupta, V.K., Powder Technol ., 42(1985)199-208.

120



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5.11 Magne, L., “Efecto del Tamaño de Bolas en los Parámetros de Molienda”, Habilitación Profesional

para optar al título de Ingeniero Metalúrgico, Universidad de Concepción, 1987.5.12 Rose, H.E. and Sullivan, R.M.E., Rod, Ball and Tube Mills, Chemical Pub. Co., New York, NY

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5.13 Von Seebach, H.M., Effect of Vapors of Organic Liquids in the Comminution of Cement Clinker inTube Mills, Research Institute Cement Industry, Dusseldorf, W. Germany (1969); Ind. Eng. Chem. Proc. Des. Dev., 11(1972)321-331.

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5.15 Malghan, S.G. and Fuerstenau, D.W., Proc. 4th. European Sym. Zerkleinern, ed., H. Rumpf and K.Schönert, eds., Dechema Monographien 79, Nr. 1576-1588, Verlag Chemie,Weinheim(1976)613-630.

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5.19 Klimpel, R.R., Mining Engineering , 34(1982)1665-1668 and 35(1983)2126.

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121



122



CAPITULO 6

DETERMINACION DE LAS FUNCIONES DE

FRACTURA S Y B

6.1 DETERMINACION EXPERIMENTAL DE LOS PARAMETROS

DE FRACTURA MEDIANTE PRUEBAS DE LABORATORIO

La prueba más simple de realizar para obtener los parámetros de fractura de un

material es una experiencia de molienda discontinua utilizando el método demonotamaños. Este consiste en moler un material que, en un comienzo, es

predominantemente de un solo intervalo de tamaño, por ejemplo, el material retenido en

un tamiz de la serie ! ""2. Este tamaño es preparado del material inicial por tamizado,

triturando partículas mayores si fuera necesario para obtener una mayor cantidad delmonotamaño. Mientras mayor es el molino de prueba, más tedioso es preparar una masa

suficiente de monotamaño, siendo conveniente tener equipos de tamizado que utilicen

tamices mayores que los standard de ocho pulgadas (por ejemplo, un sistema Tylab de

18 pulgadas cuadradas o un tamiz vibratorio Derrick de 1.5 x 4 pies).

Se toma una muestra de este material y se somete a una prueba de tamizado en

“blanco”, con la misma cantidad de material y tiempo de tamizado que se usará en los

ensayos, utilizando los dos tamices que define el monotamaño. Es posible encontrar que

una pequeña fracción del material queda retenido en el tamiz de mayor tamaño. Este puede ser considerado como “del tamaño” sin mayor error. También por lo general se

encuentra que algún porcentaje de material pasa el tamiz menor de la serie. Este material,

que es “casi del tamaño”, tiene malas propiedades de harneado, porque debe golpear las

mallas con una orientación adecuada para poder pasar a través de ellos. Este material

que pasa a través del tamiz menor hasta el intervalo próximo puede erróneamente ser

clasificado como “quebrado”, aun cuando todavía no se ha aplicado trituración. Este

error recibirá el nombre de error de tamizado incompleto y no debe ser mayor que 5%

si se quiere obtener valores de B precisos (ver más adelante). Si la prueba se realiza

solamente para obtener un valor de S, basta con que la cantidad del tamaño que seinvestiga forme una parte substancial de la muestra.

Cuando una cantidad adecuada de material del tamaño deseado ha sido preparado

y se ha ejecutado un análisis granulométrico en blanco, el molino de prueba se llena con

la carga de bolas y de material deseado (más líquido si se estudia molienda húmeda),

extendiéndolos uniformemente en el molino. Se muele el material a diversos tiempos,

que son seleccionados para permitir que B sea calculado mediante datos de corto tiempo

y S mediante datos de tiempo más largo (se debe contar las revoluciones del molino para

estar seguro que un determinado tiempo corresponde al número correcto de revolucionesdel molino). El contenido del molino se muestrea, efectuándose un análisis

123



granulométrico de la muestra. Luego el material puede ser retornado al molino para ser

molido por un nuevo período o se puede usar una nueva carga de monotamaño, lo que

fuese más conveniente. Para un molino grande la muestra puede ser demasiado pequeña

para requerir su retorno al molino, en cuyo caso la secuencia completa de tiempos demolienda puede ser efectuada inmediatamente con paradas para obtener muestras. Para

molinos pequeños, las muestras pueden ser obtenidas vaciando completamente el

contenido del molino a través de una malla gruesa para retener las bolas y dividiendo la

carga hasta obtener una muestra de tamaño adecuado. Para molinos más grandes, la toma

de muestra directamente del molino detenido ha sido satisfactoria en molienda seca.

La mayoría de los molinos son buenos mezcladores por lo que se debe evitar un

manejo excesivo del material por cono y cuarteo u otro procedimiento, porque es muy

posible que la muestra se “desmezcle” más que se mezcle. Para molienda húmeda, sin

embargo, al detener el molino se produce una separación parcial inmediata del sólido y

líquido, con el material fino suspendido casi por completo en el líquido. En este caso es

necesario vaciar todo el contenido del molino, filtrarlo y secarlo. El material seco esentonces mezclado y muestreado para obtener una pequeña porción representativa.

Para la determinación de los valores de S, es necesario determinar solamente la

fracción del material que queda del monotamaño luego de cada molienda, de modo tal

que basta utilizar un solo tamiz. Sin embargo, para determinar los valores de B esnecesario un análisis granulométrico completo y exacto después de un pequeño intervalo

de tiempo de molienda. Por otra parte, los valores determinados de S y B son utilizados

para obtener una predicción de la distribución granulométrica que se espera, para ser

comparada con los datos experimentales y de este modo revisar la consistencia de losdatos. Para realizar esta comparación son necesarios análisis granulométricos completos

de los productos. El estudio completo de un material específico, bajo un determinado

conjunto de condiciones experimentales, requiere medir los valores de S para tres, cuatroo cinco monotamaños iniciales, y obtener las distribuciones granulométricas resultantes

de por lo menos dos de los tamaños iniciales.

Es ventajoso poder medir las variaciones de potencia del molino de prueba durante

las experiencias, ya que cambios inusuales de potencia indicarían irregularidades en las

condiciones del molino. Esto no es posible hacerlo midiendo el consumo eléctrico (Watts)

del motor del molino si las pérdidas de energía en la transmisión contituyen gran parte

del consumo, ya que en estas circunstancias la medida no sería suficientemente sensible

para indicar variaciones en el consumo de potencia del molino.

Para materiales blandos que se desgastan rápidamente, o para materiales pegajosos,

es mejor tamizar en húmedo a 400 mallas, seguido por un secado del material retenido yun tamizado en seco de acuerdo a un procedimiento adecuado. Si se dispone de un filtro

de vacío, el material -400 mallas puede ser filtrado y recuperado. El tamizado en húmedo

es más eficiente si la muestra se agita con líquido en una vasija grande, con un agente

dispersante adecuado, si fuese necesario, y se le permite asentar. El líquido sobrenadante

contiene la mayoría de los finos que entonces pueden ser pasados fácilmente a través del

tamiz con un lavado mínimo. El sólido asentado se vuelve a lavar si es necesario, se filtra

y seca y luego se tamiza en seco. Esto evita la incomodidad de utilizar grandes cantidades

de agua (u otro líquido) necesarios para lavar con rociado toda la muestra en los tamicesy conduce, además, a deshacerse de los finos adheridos a las fracciones de tamaño

mayores.

124



Por supuesto que es necesario usar el sentido común en la selección de las

cantidades de muestras a tamizar, para evitar la obstrucción de los tamices. Una muestra

de 50 a 100 gramos es adecuada para el tamizado de materiales cuyos tamaños están

predominantemente en el rango de tamaños de 8 a 14 mallas, pero el peso de la muestradebe ser reducido cuando contiene materiales más finos. Una guía aproximada es que la

cantidad de material menor a 325 mallas nunca debe exceder los 10 gramos. Por otra

parte, si la mayoría de las partículas son de tamaño superior a las 8 mallas, debe utilizarse

una cantidad mayor de muestra. El procedimiento de tamizaje debe ser seleccionado de

manera que sea un compromiso entre un tiempo suficiente para un tamizado completo y

uno menor al que comienza a producir demasiada abrasión de las partículas y que conduce

a una distribución granulométrica demasiado fina. Generalmente es suficiente utilizar un tiempo de tamizado de 10 minutos, seguido por un cepillado de la malla de los tamices

invertidos, para remover el material que obstruye las aberturas, seguido por otros 5

minutos de tamizado. El procedimiento de tamizado debe acortarse para materiales

fácilmente desgastables y alargarse para materiales pegajosos.

6.2. TECNICAS DE CALCULO

Designemos por w1(t) la fracción en peso de partículas del monotamaño en

estudio. La molienda de primer orden da como resultado:

logw1(t ) # logw1(0) = S 1t ⁄ 2.3 (6.1)

Por lo tanto, un gráfico de w1(t), en escala logarítmica, versus t , en escala lineal, debe producir una línea recta, ver Figura 6.1. El punto a tiempo cero se obtiene de la prueba

de molienda en blanco y por lo tanto permite corregir automáticamente por errores en

tamizado incompleto del monotamaño. No es correcto trazar una línea que pase por cero

a t = 0, a menos que la prueba en blanco muestre que no hay error de tamizado incompleto.

De la Figura 6.1 se desprende que los tiempos para los ensayos de molienda varían según

las características de cada monotamaño; idealmente ellos deben ser seleccionados para

dar una secuencia de valores de w1 de aproximadamente 0.8, 0.5, 0.1 y 0.05. El valor de

S se determina de la pendiente de la recta. Graficando los valores de S i obtenidos paracada monotamaño xi versus xi en una escala log-log, se puede determinar el valor de a y

$ de las ecuaciones (5.1) y (5.2). Es a menudo necesario “preacondicionar” la alimen-

tación al molino por medio de una corta molienda para eliminar todo material normal-

mente débil que pudiera falsear los resultados. Generalmente este tipo de heterogeneidad

da líneas rectas en los gráficos de primer orden, pero que comienzan a valores muchos

menores de w1(0) =1 para t =0 y falsean las distribuciones de tamaño, especialmente delos finos. El tiempo de preacondicionamiento debe ser determinado experimentalmente,

pero generalmente 0.5 minutos son suficientes.

Por definición de los valores B, éstos son deducidos de la distribución

granulométrica para tiempos cortos de molienda, cuando la carga del molino está

constituida predominantemente por el tamaño x1 y solamente cantidades menores de

tamaño más pequeño. Así se asegura que éstos no sean retriturados. Mientras más pequeña es la cantidad de material de tamaño x1 quebrado, más precisos son los cálculos

de B, especialmente si la corrección por tamizado incompleto es también pequeña. Es

difícil efectuar un tamizado y pesado en forma adecuada para el material de tamaño x1

125



molido, si éste constituye solamente un pequeño porcentaje del total, sin embargo, un

análisis muy cuidadoso puede dar resultados excelentes bajo estas circunstancias. Como

hemos ya mencionado, la molienda inicial es a menudo anormal y cuando esto se observa,

la alimentación debe ser preacondicionada como se discutió anteriormente. La

experiencia sugiere que se puede obtener buenos resultados cuando se selecciona el

tiempo de molienda en forma tal que la cantidad de material de tamaño x1 molido sea de

aproximadamente un 20% a 30% del total.

Sin embargo, en estas condiciones de molienda es seguro que ha habido un cierto

grado de refractura y, por lo tanto, es necesario introducir una corrección. Una técnicade cálculo, denominada Método BI, consiste en medir las distribuciones granulométricas

como función del tiempo y extrapolar para tiempos cercanos a cero. Entonces por definición los valores de B se calculan en la forma:

Método BI : b2,1 % peso que llega al tamaño 2, para t & 0

peso eliminadode tamaño 1, para t & 0 (6.2)

Desafortunadamente, es difícil obtener distribuciones granulométricas correctas para

pequeños grados de fractura y resulta tedioso hacer pruebas cuidadosas a varios tiempos

Figura 6.1 : Gráfico de primer orden para: ! 16/20, !!!! 40/50, """" 4/6, #### 140/200 mallas de clinker de cemento.

126



cortos para permitir una extrapolación a tiempo cercano a cero. La extrapolación a tiempo

cero desde tiempos más largos está sujeta a errores sistemáticos grandes, incluso cuando

P(xi ,t) versus t parece ser lineal a tiempos grandes.

Para corregir por la fractura secundaria se utiliza un segundo método, denominado

Método BII [6.1].

Método BII : Bi,1 % log [(1 # P i(0)) ⁄ (1 # P i(t ))]

log [(1 # P 2(0)) ⁄ (1 # P 2(t ))] , i > 1 (6.3)

En general, si el tamaño superior se denota con j, la ecuación (6.3) puede ser expresada

como :

Bi, j % log [(1 # P i(0)) ⁄ (1 # P i(t ))]

log [(1 # P j + 1(0)) ⁄ (1 # P j + 1(t ))]

, i > j (6.3a)

Que este procedimiento de corrección funciona bien para molienda en molino de bolas

ha sido comprobado por Austin y Luckie [6.1], quienes utilizaron valores típicos de S y

B para calcular distribuciones granulométricas de una molienda discontinua a varios

tiempos y después aplicaron las técnicas de cálculo BI y BII a los datos simulados. Comolas distribuciones granulométricas son exactas, no existen errores experimentales en las

curvas y una comparación de los valores de B calculados con los valores “verdaderos”

conocidos da una medición del error en las técnicas aproximadas de cálculo. El método

es apropiado sólo para tiempos de molienda cortos, en los que la cantidad de monotamaño

fracturada es menor que el 30%. Si el material se tritura por tiempos más prolongados

los valores de B calculados mediante la ecuación (6.3) resultan demasiado grandes.

Obtener buenos valores experimentales de B es la parte más difícil de las pruebas

para el cálculo deS y B, porque es necesario (como se mostró arriba) utilizar un pequeño

grado de molienda para evitar una fractura secundaria excesiva, y es necesario utilizar

un monotamaño como alimentación. Sin embargo, los ensayos a tiempos de molienda

cortos son a menudo aquellos en que es difícil de obtener buenos resultados debido a la

existencia de componentes débiles en el monotamaño y a errores experimentales.Consecuentemente, el resultado que se muestra en la Figura 6.2 es bastante común:

ensayos repetidos de la determinación producen una banda de resultados para B y los

valores de B obtenidos por una prueba no son exactamente repetibles en otra. Por lo tanto,

errores que resultan en la aproximación del método BII son dominados por laincertidumbre que se produce debido a la variabilidad experimental. A menudo se

presenta el caso que las distribuciones granulométricas del producto son paralelas para

tiempos diferentes, como se observa en la Figura 4.1. La pendiente de las partes rectas

de las distribuciones granulométricas puede ser utilizada como guía para trazar la

inclinación correcta a través de los puntos de figuras como la Figura 6.2.

Estos métodos de cómputo para B se basan en un efecto de compensación que se

aplica como una aproximación solamente para la fractura normal, en la región hacia la

izquierda del máximo de S i que se muestra en las Figuras 4.4 y 4.5. Para la fractura

anormal, hacia la derecha del máximo de S i, es necesario utilizar el método BIII [6.1] que

requiere estimaciones de las velocidades de fractura específica. En esta región los valores

de B no son usualmente normalizables.

127



Algunos materiales producen valores de B no-normalizables incluso en la región

de fractura normal. Esto ha sido observado para algunas escorias de cemento y puede

estar asociado a la naturaleza altamente porosa de las partículas mayores. La Figura 6.3

muestra el resultado típico para un material en que los valores de B son inequívocamenteno-normalizados. Para molienda en molino de bolas, siempre hemos encontrado que los

valores de B son no-normalizables de la misma manera que se muestra en esta figura.

Esto es, mientras más pequeño es el tamaño fracturado más fina es la correspondiente

distribución adimensional de B, cuando valores de B no-normalizables se encuentran en

la región de fractura normal. Austin y Luckie [6.2] han descrito una técnica para

caracterizar tales distribuciones. La forma de los valores de B se puede describir bien

como la suma de dos funciones de potencia (que aparecen como dos líneas rectas en eldiagrama log-log (ver Figura 6.3); esto es,

Bi,1 = '1( xi # 1 ⁄ x1)( + (1 # '1)( xi # 1 ⁄ x1)

) , i > 1 (6.4)

donde ' es la intercepción que se muestra en la Figura 6.3 y ( es la pendiente de la

parte fina de la distribución. Como ( y ' 1 son estimados desde el diagrama, el último

término del lado derecho de la ecuación (6.4) se calcula y grafica para dar el valor de ).

La Figura 6.4 da la variación de ' i con el tamaño x j:

Figura 6.2 : Función distribución de fractura primaria, en triplicado, para moliendahúmeda de cuarzo en un molino de laboratorio.

128



log' j = # * log( x j ⁄ x1) + log'1 (6.5)

donde x j es el tamaño superior del intervalo que se considera, -* es la inclinación(* > 0) para la molienda en molino de bolas de la línea en la Figura 6.4, '1 es la

intercepción medida para el tamaño x1. Entonces, las ecuaciones (6.4) y (6.5) son una

representación matemática empírica de los valores de B, con parámetros (, ), * y '1.

Para valores de B normalizados,*=0. La ecuación (6.5) puede ser utilizada para extrapolar

solamente hasta ' j = 1 y entonces es usualmente suficiente tomar '1 = 1.0 para los

valores mayores de j (tamaño x j más pequeños).

Hasta la fecha, cada vez que hemos ejecutado una extensión cuidadosa de las

distribuciones granulométricas hasta tamaños menores a los de tamizado, para la

molienda de primer orden y teniendo en cuenta las diferencias de factores de forma, hemos

concluido que los resultados están de acuerdo con las predicciones obtenidas de la

Figura 6.3 : Valores experimentales de la función B para Clinker de Cemento delTipo II, para varios tamaños de alimentación.

129



extensión de las funciones de potencia de los parámetros S y B a tamaños menores

(ecuaciones (5.1) y (6.1), ver Figura 4.1). Como regla general, si la forma de ladistribución granulométrica cambia cerca o en el tamaño en el cual se cambia de métodode análisis granulométrico, el cambio de inclinación debe ser considerado como

sospechoso.

6.3. RETRO-CALCULO DE LOS PARAMETROS DE FRACTURA

DESDE DATOS DE MOLIENDA DISCONTINUA

En esta sección se describe las técnicas para la determinación indirecta de los

valores de S y B por retro-cálculo desde datos experimentales. La base de esta técnica es

la utilización de un programa computacional de búsqueda para encontrar los valores de

los parámetros característicos de S y B que hacen que los resultados simulados por elmodelo del molino se acerquen lo más estrechamente posible a un conjunto de datos

experimentales de laboratorio, planta piloto o planta industrial. Las ventajas del métodode retrocálculo son: (i) utiliza simultáneamente todos los datos disponibles en el cálculo

y por lo tanto distribuye los errores; (ii) puede ser utilizado con datos limitados,

reduciendo así la necesidad de una gran cantidad de trabajo experimental; (iii) puede ser

aplicado a datos de molienda continua industrial (ver más adelante). La mayor desventajaes que se fuerza a los datos a ajustarse a las suposiciones del modelo propuesto, no siendo

siempre posible detectar cuando algunas de estas suposiciones no son válidas.

Figura 6.4 : Interacción en los gráficos de B como función del tamaño fracturado.

130



Si se considera los resultados que se muestra en la Figura 4.1, está claro que los

resultados simulados están de acuerdo con los resultados experimentales con bastante

precisión. Esto significa que la solución de las ecuaciones de molienda discontinua con

un apropiado conjunto de valores de S y B predice con gran exactitud los datosexperimentales de la molienda discontinua. Entonces, debe ser posible realizar el proceso

inverso: dado un conjunto de datos experimentales determinar que valores de S y B que

son necesarios para generar estos datos por simulación.

Los programas desarrollados por Klimpel y Austin [6.3, 6.4] utilizan suposiciones

simplificadas sobre las formas funcionales de S y B con respecto al tamaño de partícula,

para reducir el número de parámetros en la búsqueda. En una opción, las formas

funcionales escogidas para los valores de S y B son:

S i = A( xi ⁄ x1)$ n > i + 1 ,

Bi,1 = '1( xi # 1 ⁄ x1)( + (1 # '1)( xi # 1 ⁄ x1)

) , n + i > 1

Luego, si se supone que B es normalizable, se reduce los parámetros desconocidos $ , A,

(, ) y '1. Para valores de B no-normalizados:

' j = 'k ( x j ⁄ xk ) # *

, * > 0, ' j , 1 ,

que introduce el paramétro adicional *. Para valores de S que pasan por un máximo con

respecto al tamaño:

S 1 = A( xi ⁄ x1)$Qi

donde los factores de corrección Qi son descritos por la distribución log-logística de dos

parámetros:

Qi = 1

1 + ( xi ⁄ µ)- , - > 0

Por lo tanto se introduce dos parámetros más, µ y -.

Para obtener valores confiables de los parámetros de B, '1, ( , * y ) , desde datos

de molienda discontinua, es necesario utilizar datos experimentales de tiempos cortos de

molienda de monotamaños. Para obtener un valor adecuado para el parámetro $ es

necesario tener datos experimentales de tiempos de molienda más largos. Por lo tanto,

los datos de la Figura 4.1 son el tipo de datos necesarios para obtener valores retro-calculados confiables del conjunto completo de parámetros.

El programa A se basa en la solución de Reid [6.5] del conjunto de ecuaciones de

la molienda continua, modificada por Gardner, Verghese y Rogers [6.6]:

131



pi = .

j = 1

i

aij e j , n + i + 1 (6.6)

con :

aij =

/

0

1

222

222

f i # .

k = 1, i > 1

i # 1

aik , i = j

1

S i # S j .

k = j

i # 1

S k bik akj , i > j

e j = 3 0

4

5(t ) exp( # S jt ) dt

Para la molienda discontinua (flujo pistón):

e j = exp(#S j t )

Se supone que los valores de S i y Bij tienen las formas que se dió anteriormente. Por lo

tanto los parámetros descriptivos son A, $, µ, -, ', (, ) y *.

La entrada del programa consiste en un mínimo de tres distribucionesgranulométricas, incluyendo la alimentación a t = 0 y los valores a dos tiempos t 1 y t 2en la forma de valores P(xi,t). El programa busca el mejor conjunto de valores de

$, ), (, S 1 y '1 que minimice el error entre los valores de p(xi,t) calculados y

experimentales, suponiendo una fractura de primer orden perfecta. La función objetivo

utilizada es:

Min SSQ = .

k

.

i = 1

n

wi [ pi (experimental ) # pi (calculado )]2

(6.7)

donde la suma sobre k es para todos los pares de tiempo t =0 y t 1, t =0 y t 2, etc. Los detallesdel resto del programa son semejantes a los del Programa B que se discutirá más adelante.

Los factores de ponderación wi dependen de la estructura de errores de los datos, la que

se determina haciendo réplicas de las pruebas de molienda discontinua (ver más adelante).

El procedimiento para determinar los parámetros descriptivos es como sigue:

(1) Se hace ensayos con un tamaño de alimentación que dé en forma segura una fractura

normal, esto es, un tamaño a la izquierda del máximo en S versus x. Se muele el

material por un mínimo de cuatro tiempos, obteniendo las distribuciones

granulométricas para cada uno de estos tiempos. A partir de estos datos se usa el

132



programa de retro-cálculo para determinar los parámetros,), (, '1 y A,

haciendo * = 0. El programa requiere estimaciones iniciales de los parámetros: la

estimación inicial de A (=S 1) se obtiene del gráfico de primer orden; (, '1 y ) se loscalcula del gráfico BII y del gráfico de variación de S 1 con el tamaño de partícula, o

haciendo $ = ( . Normalmente los valores de A, y ) no se apartan mucho de estos

valores calculados y los resultados son insensibles a los valores de ). Los tiempos

de molienda se seleccionan para dar distribuciones granulométricascorrespondientes, aproximadamente, a las de las distribuciones de 1/3, 2, 5 y 15

minutos de la Figura 4.1, porque los datos de tiempo corto permiten un cálculo más

confiable de A y B, y los datos de tiempo prolongado aumentan la confiabilidad del

cálculo de $. Los valores de B son más confiables cuando la alimentación consiste

solamente en un monotamaño.

(2) Los cálculos son repetidos con * como variable y la suma de cuadrados (SSQ)correspondiente al * óptimo se compara con la SSQ con *=0 mediante el test F para

comprobar si la adición de la variable * produjo un mejoramiento estadísticamente

significativo. Si este no fuese el caso se hace *=0.

(3) Se elige una alimentación de tamaño mayor tal que se encuentre a la derecha delmáximo de S y se muele por lo menos a cuatro tiempos, produciendo cuatro

distribuciones granulométricas.

(4) Los valores de $, ), ( y * previamente determinados, junto a '1 y A, todos

escalados para el nuevo monotamaño, se utilizan como datos fijos en el programa de

retro-cálculo y la búsqueda se hace solamente porµ y - .

La posibilidad de ajustar uno o más de los parámetros durante la búsqueda hademostrado ser muy valiosa porque: (a) permite mantener en su valor correcto aquellas

variables que se conocen en forma precisa de la experimentación; (b) permite investigar

la sensibilidad de cualquiera de los parámetros en función de cambios controlados de

otros parámetros. En particular, los valores de Bij para los tamaños mayores pueden ser diferentes de los valores normales, de modo que es conveniente suministrar una matriz

conocida de valores de Bij para determinar buenos valores para µ y - . Se debe hacer

notar que este programa impone una ley de primer orden sobre cualquier resultado que

provenga de una cinética de orden distinto del primero obtenido con tamaños mayores,

de modo tal que µ y - son valores promedio efectivos que se basan en una cinética de primer orden. No es novedad por lo tanto, que simulaciones de los resultados no pueden

reproducir muy exactamente, en este caso, los valores experimentales para la molienda

discontinua, porque la fractura de los tamaños mayores no es necesariamente de primer

orden. Sin embargo, el uso subsecuente de los parámetros para simulaciones de molinos

continuos, donde la alimentación que entra al molino tiene una distribución

granulométrica completa, con pequeñas fracciones de tamaños mayores, ha demostrado

ser bastante exitosa.

También se debe notar que el programa de retro-cálculo de S y B para la molienda

discontinua está diseñado específicamente para operar con datos de ensayos que utilizan

133



un monotamaño de alimentación. Cuando se aplica a datos con una amplia distribución

granulométrica existe normalmente demasiado error experimental para esperar obtener

valores correctos de los parámetros B, porque entonces el cambio de la distribución

granulométrica con el tiempo se hace insensible a los valores de (, ) y '. En este caso

se puede fijar ' =0.5 y ) =4.

6.4.RETRO-CALCULO DE LOS PARAMETROS DE FRACTURA

DESDE DATOS DE MOLIENDA CONTINUA

Lynch et al. [6.7], Kelsall et al. [6.8] y Everell et al. [6.9] han desarrollado varias

formas de retrocálculo aplicable a datos de plantas industriales, haciendo los cálculos deS i intervalo por intervalo, donde S 1 se determina primero y luego es utilizado en el cálculo

de S 2, etc. Sin embargo, Austin y Klimpel [6.4] prefieren utilizar formas funcionales para

S i de modo de evitar la acumulación de errores. Ellos tienen dos programas diferentes

para el retrocálculo desde datos de molinos continuos [6.4], ambos escritos en Fortran IV,

con entrada y salida semejantes y utilizando el mismo algoritmo de búsqueda del óptimo.

El Programa A es utilizado ya sea para el retrocálculo desde datos de molienda

discontinua, discutida anteriormente, o para un “Circuito Abierto”. “Circuito Abierto”

significa aquí que la distribución granulométrica de la alimentación al molino y el

producto de éste son los valores experimentales; si el molino está en “Circuito Cerrado”,

se estima la razón de recirculación de la manera usual y la distribución granulométrica

de la alimentación al molino se determina a partir de la alimentación fresca y de la carga

circulante.

La distribución de tiempos de residencia (DTR) se introduce vía el vector de

valores e j. Hay disponibles seis opciones: (i) flujo pistón, para ser utilizada para lamolienda discontinua; (ii) mezcla perfecta, (iii) serie de m reactores completamente

mezclados de igual tamaño; (iv) modelo de un reactor grande seguido de dos pequeños;(v) modelo de Rogers/Gardner [6.10] y (vi) modelo semi-infinito de Mori et al. [6.11]. Se

ha encontrado que si la DTR de un molino, determinada experimentalmente se ajusta a

las DTR que resultan de alguno de esos modelos, entonces ese modelo debe ser utilizado

en la computación. Se debe reconocer que el material retenido en un molino normalmenteno se determina en una prueba industrial, excepto cuando se efectúa una medida de la

DTR. Sin embargo, se puede suponer que la forma de la DTR adimensional es similar a

la que se puede medir para molinos semejantes, por lo que se puede calcular un tiempo

de residencia promedio formal, suponiendo que el material retenido corresponde a un

llenado intersticial completo de la carga de bolas (U =1.0). El valor de $ obtenido por

retro- recálculo no cambia al variar 6 y el valor de 6 formal produce un valor formal de

A.

El programa tiene la ventaja de su flexibilidad en la selección de la distribución

del tiempo de residencia. Sin embargo, la solución Reid tiende a volverse inestable cuando

existe un número de términos en que S i-S j se vuelve pequeño. Esto es particularmente

verdadero cuando se intenta utilizar todas las distribuciones granulométricas, alrededor

de un circuito cerrado, en la función objetivo. Por esta razón se desarrolló un segundo programa con un método completamente estable.

134



En el programa B se utiliza el algoritmo de un molino en circuito cerrado

desarrollado por Luckie [6.12] para una DTR correspondiente a tres reactores

perfectamente mezclados y distintos en serie. Con una selección apropiada de

61, 62, y 63, en que el tiempo de residencia promedio total es 6 = 61 + 62 + 63, este modelo

de DTR puede representar claramente uno, dos o tres reactores completamente mezclados

iguales, un reactor grande seguido por dos pequeños iguales o tres reactores distintos,

todos ellos completamente mezclados en serie. Weller [6.14] ha indicado que las DTR quese ha medido en varios molinos industriales de gran escala se las puede aproximar

razonablemente con el modelo de un reactor grande seguido por dos pequeños iguales.

La función objetivo que se utiliza en este caso es:

Minimizar F = W 1 . w1i (qi obs # qi calc)2 + W 2 . w2i ( f i obs # f i calc)

2 +

W 3 . w3i ( pi obs # pi calc)2

+ W 4 . w4i (t i obs # t i calc)2

+ (6.8)

W 5 . w5i (qi obs # qi calc)2 + W 6 (C obs # C calc)

2

Generalmente los factores de ponderación W se toman como 1 ó 0 para facilitar el análisis

estadístico; hasta cinco de ellos pueden ser puestos iguales a cero si se desea.

El retro-cálculo se hace normalmente fijando los parámetros de B en los valores

que se determinaron en el laboratorio y calculando A y $. Si hay tamaños grandes en la

alimentación, el cálculo se repite con µ y - como variables adicionales para ver si se

obtiene un mejoramiento estadístico significativo en el ajuste [6.4]. Finalmente, los

parámetros de ' y ( se introducen como variables adicionales (los resultados son

insensibles a )) y se prueba nuevamente el mejoramiento estadístico de ajuste. El

programa también da valores de S i intervalo por intervalo para efectuar una comparación.

Los factores de ponderación apropiados para el análisis de datos de planta fueron

deducidos como sigue: La Tabla 6.1 muestra distribuciones granulométricas en triplicado

obtenidas por tamizado de datos de planta cuidadosamente repetidos. Cada muestra fue

un compósito de muestras de suspensión tomadas a intervalos de cinco minutos en un

período de 30 minutos de operación continua; los tres compósitos fueron obtenidos al

mismo tiempo. Se puede observar que los intervalos granulométricos que contienen

mayores cantidades de material producen valores más grandes de la varianza sin

ponderación V i = (pi - pi

__

)2

/3 donde pi

__

es el promedio aritmético de pi. La graficación dela varianza no ponderada versus pi

__ en una escala log-log sugiere que V i 7 pi

__ , de modo

que factores de ponderación wi = 1/ pi

__ dan una distribución aleatoria de errores

ponderados, definidos por ( pi # pi

__ )2 ⁄ pi

__ . La varianza media de estos errores ponderados

definida por:

V = .

k

.

i

[( pi # pi

__ )

2 ⁄ pi

__ ]

n(k # 1)(6.9)

135



resultó ser 4x10-4 para este conjunto de datos. Se supone que los mismos factores de

ponderación son aplicables a todas las distribuciones granulométricas utilizadas en elcálculo de un circuito cerrado y que la varianza promedio se calcula por medio de réplicasde todas esas distribuciones. Otro conjunto de datos dió una varianza ponderada promedio

de 16x10-4, 11x10-4, 8x10-4 y 4.5x10-4 ,dependiendo del cuidado para obtener buenas

muestras granulométricas para calcular la varianza. Un procedimiento similar aplicado a

una prueba de molienda discontinua en húmedo de cuarzo, en un molino de 200 mm de

diámetro interior por 1, 3, 7 y 15 minutos produjo los mismos factores de ponderación y

una varianza promedio total de 3x10-4.

Klimpel y Austin [6.4] dan un número de ejemplos para ilustrar los problemas del

retro-cálculo de valores a partir de datos industriales. Ellos concluyeron que:

(i) El retro-cálculo, intervalo por intervalo, raramente proporciona valores correctos de S i para los tamaños superiores y pequeños errores en las medidas de los tamaños finos

dan grandes errores en los valores de S i obtenidos intervalo por intervalo para estostamaños.

(ii) El retro-cálculo, suponiendo que un molino de bolas se comporta como un mezclador

perfecto, produce valores de S i radicalmente incorrectos (el valor de $ es

demasiado grande), cuando se los aplica a datos de un molino de bola con un DTR

real.

Tabla 6.1Réplicas de datos (en triplicado) de la molienda industrial de un mineral de cobre.

Intervalo de

tamaño

Producto de la molienda

peso, pi

fracción en Promedio

pi

__ Varianza sin

ponderación x

104

1 0.010 0.008 0.001 0.0097 0.023

2 0.008 0.009 0.012 0.0097 0.043

3 0.026 0.031 0.028 0.0283 0.063

4 0.049 0.054 0.052 0.0517 0.063

5 0.076 0.082 0.084 0.0807 0.173

6 0.084 0.094 0.089 0.0890 0.250

7 0.095 0.106 0.103 0.1013 0.323

8 0.101 0.104 0.095 0.1000 0.210

9 0.092 0.093 0.087 0.0907 0.103

10 0.083 0.079 0.077 0.0797 0.093

11 0.084 0.076 0.078 0.0793 0.173

12 0.062 0.057 0.059 0.0593 0.063

13 0.041 0.036 0.044 0.0403 0.163

14 0.045 0.037 0.042 0.0413 0.163

15 0.032 0.034 0.026 0.0307 0.173

16 0.113 0.100 0.113 0.1087 0.563

136



(iii) En presencia de errores experimentales típicos no es posible deducir que la DTR de

un reactor perfectamente mezclado es incorrecta (esto es, que el modelo es

inadecuado). Los valores incorrectos de S i reproducirán la distribución

granulométrica del producto del molino, sin embargo, la utilización de los valoresincorrectos de S i a cualquier otro flujo de alimentación producirá predicciones de

la distribución granulométrica del producto radicalmente incorrectas.

(iv) La utilización de una DTR más cercana al flujo pistón que al DTR correcto da un $demasiado pequeño y vice versa.

(v) El uso de los valores de B con un ( menor que el valor correcto produce un $demasiado grande y vice versa.

(vi) En el retro-cálculo se debe utilizar el mayor número posible de distribuciones

granulométricas del circuito cerrado, ya que éste proporciona el rango más estrechode valores estadísticamente aceptables y da valores de$ más en acuerdo con

aquellos determinados por experimento directo.

6.5 REFERENCIAS

6.1 Austin, L.G. and Luckie, P.T., Powder Technol ., 5(1972)215-222

6.2 Austin, L.G. and Luckie, P.T., Powder Technol ., 5(1972)267-277.

6.3 Klimpel, R.R. and Austin, L.G., Int. J. of Mineral Processing , 4(1977)7-32.

6.4 Klimpel, R.R. and Austin, L.G., Powder Technol ., 38(1984)77-91.

6.5 Reid, K.J., Chem. Eng. Sci., 29(1965)953-963.

6.6 Gardner, R.P., Verghese, K. and Rogers, R.S.C., Mining Engineering , 239(1980)81-82.

6.7 Lynch, A.J., et al., Mineral Crushing and Grinding Circuits, Elsevier (1977).

6.8 Kelsall, D.F., Reid, K.J. and Restarick, C.J., Powder Technol ., 1(1967/68)291-300.

6.9 Hodouin, D., Berube, M.A. and Everell, M.D., Industrie Minerale Mineralurge, (1979)29-40.

6.10 Rogers, R.S.C. and Gardner, R.P., A.I.Ch.E. Journal , 25(1979)229-240.

6.11 Mori, Y., Jimbo, G. and Yamazaki, M., Kagaku Kogaku, 29(1964)204-213.

6.12 Luckie, P.T. and Austin, L.G., Mineral Science and Engineering , 4(1972)24-51.

6.13 Weller, K.R., Proceeding, 3rd Symposium Automation in Mining, Mineral and Metal Procesing , Int.Federation of Automatic Control, O’Shea J. and Polis, H., Eds.,(1980)303- 309.

137



138



CAPITULO 7

DISTRIBUCION DE TIEMPOS DE

RESIDENCIA

7.1. INTRODUCCION

La utilización de modelos macroscópicos como representación de la operación de

molienda hace desaparecer la posición en el equipo como variable independiente. Todainformación respecto a la distribución espacial de propiedades del material en el molino

se ha perdido y debe ser introducida mediante ecuaciones adicionales que describan elmovimiento de las diversas “partículas” (mineral y agua) que constituyen la carga del

molino. Esta información es menos detallada que la de un modelo microscópico y

generalmente se expresa mediante propiedades estadísticas. Se ha demostrado en la

práctica que el conocimiento estadístico del tiempo de permanencia de las diversas

“partículas” en el molino es suficiente para completar el modelo de la molienda contínua.

Se ha elegido como parámetro representativo el tiempo de residencia de las partículas

en el molino, describiendo el movimiento de éstas mediante la función de distribución

de tiempos de residencia.

Desde un punto de vista teórico la función de distribución de tiempos de residenciade las partículas en un molino podría ser deducida de las ecuaciones que describen la

tranferencia de masa en el molino, la que está asociada al transporte de material desde

que entra hasta que sale del equipo. Desafortunadamente, los estudios de transporte demasa en los molinos no han progresado al punto de entregar información suficiente para

su predicción. Por esta razón, es necesario obtener la información de distribución de

tiempos de residencia en forma experimental.

En esta sección se definirán los conceptos de edad y tiempo de residencia de una

partícula, se describirán métodos para medirlos, se estudiarán diversos modelos

matemáticos que pueden representar las curvas de distribución de tiempos de residencia

y las técnicas computacionales necesarias para determinarlos. Finalmente se

desarrollarán las ecuaciones que describen la molienda continua.

7.2. EDAD, DISTRIBUCION DE EDADES Y TIEMPO DE

RESIDENCIA.

Denominaremos edad de salida t de una partícula del material que escurre en el

molino al tiempo transcurrido entre el instante ! de entrada de la partícula y el instante t

de salida de la misma, con " # < ! < t , 0 < t < # y t $ = t " !. Obviamente en un

molino existen partículas de diversas edades ya que no todas ellas pasan por el molino

139



a la misma velocidad. Es así como se puede definir una función de distribución de edades

de salida.

Consideremos un flujo másico constante de partículas F al molino y denominemos

W la masa total constante de partículas retenida en el molino. Supongamos que podemos

identificar en la salida del molino los diversos grupos de partículas que tienen la misma

edad de salida. Si mies la masa de partículas con edad t , mi /W será la fracción de partículas

en el molino con edad t comprendida en el intervalo t i-1 ,t i, con i=1,2,..., n+1, t o = 0, t n+1=

# y W = % i = 1

n + 1 mi , la distribución de edades de salida o distribución de tiempos de

residencia (DTR) será &i, tal que se cumpla (ver Figura 7.1) :

&i 't i = mi ⁄ W (7.1)

Figura 7.1 : Representación discreta de la función DTR.

140



Se puede comprobar que &i está normalizada, ya que:

%

i = 1

n + 1

&i 't i = 1

W %

i = 1

n + 1

mi = 1 (7.2)

La distribución de tiempos de residencia también puede ser definida como una

función continua del tiempo (ver Figura 7.2):

&(t )dt = (1 ⁄ W )dm (7.3)

donde :

W = ( dm y ( 0

#

&(t )dt = 1 (7.4)

Una forma de caracterizar la función DTR es mediante la media y la varianza dela distribución. El valor medio, tiempo promedio de residencia o edad promedio de

salida queda definido por:

t _

= ( 0

#

t &(t ) dt , o t _

= % t i &i 't i (7.5)

en que &(t) o &i están normalizadas. Como se demuestra en la sección 7.4, el tiempo

promedio de residencia, definido por la ecuación (7.5), resulta ser igual al parámetro:

) = W ⁄ F = t _

La dispersión de la distribución queda medida por la varianza *2:

*2 = (

0

#

(t " t _ )

2 &(t )dt = (

0

#

t 2 &(t )dt " t

_ 2 (7.6a)

o en forma discreta :

*2 = (

0

#

(t i " t _ )

2 &i 't i = % t i

2 &i 't i " t

_ 2 (7.6b)

La función distribución de tiempos de residencia puede ser expresada en forma

adimensional. Haciendo uso del tiempo promedio de residencia t _

se puede definir el

tiempo adimensional t*= t / t _ , tal que (ver Figura 7.2)

141



&

+

(t

+

)dt

+

= &(t )dt

y como dt* = dt/ t _

resulta:

&+(t +) = t _

&(t ) (7.7)

La varianza adimensional será:

*+2 = *2

⁄ t _

2 = t

+2 ( 0

#

&+(t +)dt + " 1 (7.8)

Figura 7.2 : Representación continua de la función DTR en forma dimensional y

adimensional para un molino industrial de barras de 3 x 4.25 m.

142



7.3.MEDICION EXPERIMENTAL

La función DTR puede ser determinada experimentalmente mediante la adición

de un trazador junto a la alimentación del molino. Un trazador es una pequeña porción

de una sustancia que se comporta en forma similar al material de alimentación y que poseeuna propiedad que lo distingue de él y que permite su detección a la salida del molino.

Dependiendo del sistema se pueden utilizar trazadores cuya propiedad a medir es la

conductividad, la absorbancia de la luz, la concentración de un determinado catión, la

radioactividad u otra. Por esta razón diferentes trazadores requieren diferentes técnicasexperimentales. Entre los factores que deben ser considerados para la selección del

trazador para una determinada aplicación se puede mencionar (1) la disponibilidad del

trazador y del equipo de detección, (2) el límite de detección a baja concentración, (3)

propiedades físicas similares a las del material que se transporta y (4) no debe reaccionar

químicamente ni debe absorberse en las paredes del equipo o en las partículas del material.

7.3.1.Trazadores utilizados en molinos industriales

En la molienda húmeda frecuentemente se supone que la densidad de la pulpa enel molino es igual a las de la entrada y salida del molino, y que la DTR de las partículas

sólidas es igual a la del agua. Bajo estas suposiciones basta determinar la DTR del agua,

lo que se logra fácilmente usando cloruro de sodio (NaCl) como trazador y detectando la

conductividad del agua a la salida del molino.En molinos industriales húmedos basta conlanzar un saco de papel conteniendo la sal directamente dentro del molino y tomar

muestras de la descarga, dejando decantar el sólido y midiendo la conductividad de la

solución. Otro trazador que se utiliza para determinar la DTR del agua en molinos es el

sulfato de cobre, con determinaciones colorimétricas de las muestras y trazadores

radioactivos líquidos, con medición de la radiación emitida. La mayoría de los trazadores

radioactivos líquidos se obtienen por irradiación directa de sales y otros compuestos en

un reactor nuclear y son emisores de radiación gamma. Ejemplos de este tipo de trazador

se dan en la Tabla 7.1.

La suposición de que la DTR del agua es igual a la de las partículas en un molino

húmedo no es correcta, como se verá más adelante, por lo que en general es conveniente

conocer la DTR del sólido además de la del agua. Por otra parte, en la molienda seca se

debe determinar siempre la DTR de las partículas sólidas. Dos métodos sonfrecuentemente usados para marcar partículas sólidas: el teñido con fluorescina y la

irradiación nuclear.

El método más antiguo, utilizado en la molienda seca de clinker de cemento [7.2],es el que usa fluorescina. Se utiliza aproximadamente 1 g de fluorescina por tph decapacidad del molino, disolviéndola en 1.5 veces su peso en agua. Diez gramos de clinker

se someten a vacío en una bolsa de plástico, admitiendo luego la solución de fluorescina

de modo que ésta queda incorporada como una capa en los poros internos del clinker. La

bolsa se arroja dentro del molino y se toma muestras del polvo que sale de él. El

contenido de fluorescina de cada muestra se determina agitando 2 g de muestra con 50

cm3 de agua por 30 segundos, dejando sedimentar el sólido por dos minutos y filtrando.

El líquido se coloca en un tubo Nessler y se mide la intensidad comparando visualmente

con la solución normalizada, o se determina la concentración con un fotofluorímetro(nefelómetro) que permite detectar 1 parte de fluorescina por 108 partes de muestra.

143



la descarga del molino, conectándolos a un equipo electrónico que permita fijar el tiempo

de medición y un intervalo de espera y registrando o imprimiendo los valores de tasa de

conteo. Este método se debe utilizar cada vez que sea posible y cuando la descarga del

molino es de difícil acceso y no permite la toma de muestras. Cuando hay limitacionesen cuanto a la actividad a inyectar, o cuando la dilución en el molino es muy alta, puede

suceder que la medición en línea no sea capaz de detectar el trazador con buena

sensibilidad. En estos casos se puede recurrir a la medición mediante muestreo. Esta

consiste en realizar un muestreo discreto de la descarga del molino a intervalos de tiempo

determinados (cada 15 segundos durante los 3 primeros minutos, cada 30 segundos hasta

los 8 minutos, cada minuto hasta los 13 minutos y cada 2 minutos hasta completar 20

minutos), tomando luego 5 litros de muestra de pulpa, filtrando y separando 400 mililitrosde líquido y 1.80 gramos de sólido seco de cada muestra. Luego, se mide la actividad de

cada una con un detector de NaI(Te) conectado a un analizador multicanal, el que permite

separar los picos de diferentes energías, lo que hace posible la medición simultánea e

independiente de isótopos diferentes. Para asegurar que se ha detectado toda la cola dela curva de DTR es necesario que el tiempo total de muestreo sea igual o mayor que 5

veces el tiempo promedio de residencia [7.1].

7.3.3.Medición de DTR en un molino en circuito abierto

Consideremos el molino mostrado en la Figura 7.3. Supongamos que se agrega

una cantidad M o de trazador en la alimentación al molino, en un intervalo de tiempo de

(0, #), siendo C F(t ) la concentración de trazador en la entrada, y que éste sale del molino

en el mismo intervalo (0, #) a la concentración C P(t ). El balance de masa da:

M 0 = ( 0

#

FC F (t )dt = ( 0

#

FC P (t )dt (7.9)

Figura 7.3 : Determinación de la función DTR en un molino en circuito abierto,Q =F es la alimentación en ton/h.

145



Si suponemos que la función &(t) es la misma para todas las partículas sólidas inde-

pendientemente de su tamaño, el balance de masa para el trazador se puede expresar en

la forma:

Material que sale del Material que entra al Fracción de este

molino en el intervalo molino en el intervalo material que sale

de tiempo entre t = de tiempo entre ! y con edad t " !

y t +dt con edad t $. ! + d !, con 0 < ! < t . entre t y t +dt .

donde t $ = t " !.

Entonces:

F (t )C P (t ) dt = ( 0

t

F (!) C F (!) &(t " !) d !dt

Simplificando y suponiendo estado estacionario

C P (t ) = ( 0

t

C F (!) &(t " !) d ! (7.10)

Mediante un cambio de variable es fácil demostrar que esta expresión es equivalente a:

C P (t ) =

(

0

t

C F (t " !) &(!) d ! (7.11)

La integral de la ecuación (7.11) se denomina convolución y se dice que C P(t) es la

convolución de & con C F, y se escribe en la siguiente notación simplificada:

C P (t ) = & +C F (t ) (7.12)

Si el trazador se introduce al molino en un intervalo de tiempo muy pequeño, este

estímulo puede ser considerado una función impulso de Dirac:

C F (t " !) = C 0 -(t " !) (7.13)

donde

- (t " !) = 0 si ! . t ,

( 0

#

-(t " !)d ! = 1 ,

y la cantidad de trazador inyectada es:

146



M 0 = FC 0 , con C 0 = ( 0

#

C P (t )dt (7.14)

De las ecuaciones (7.11) y (7.13) resulta:

C P (t ) = C 0 ( 0

#

-(t " !) &(!)d ! (7.15)

Usando la propiedad de la función delta de Dirac se obtiene:

C P (t ) = C 0 &(t ) (7.16)

Despejando &(t) se puede concluir que, utilizando un impulso de Dirac como estímulode trazador en un molino, es posible obtener la función DTR directamente de los valores

de concentración según:

&(t ) = C P (t )

( 0

#

C P (t )dt

(7.17)

No es necesario conocer el valor absoluto de C P(t ) en la ecuación (7.16) para

calcular &(t), sino que basta un valor proporcional, como por ejemplo, las fracciones de

cuentas n por segundo. Entonces la expresión (7.16) también se puede escribir en laforma:

&(t ) = n(t )

( 0

#

n(t )dt

En lo sucesivo trataremos en forma idéntica las variables C(t) y n(t), ya que la

unidad en que se mide la concentración es irrelevante.

7.3.4.Medición de DTR en un molino en circuito cerrado

En los circuitos de molienda hay molinos que operan en circuito abierto, como los

molinos de barras, y otros, como los molinos de bolas, que generalmente trabajan en

circuito cerrado. En presencia de recirculación el método experimental para determinar

la función DTR descrito en la sección anterior debe ser modificado para permitir tomar

en cuenta el trazador que es retornado al molino por el clasificador.

Consideremos el circuito de la Figura 7.4 y supongamos que la función DTR es

& M (t ). Aplicando la ecuación (7.10) se obtiene:

147



C P (t ) = ( 0

t

C F (!) & M (t " !)d !

lo que equivale a:

C P (t ) = & M (t ) + C F (t ) (7.18)

Si el trazador se inyecta en forma de un impulso, la concentración del trazador en

la alimentación del molino será la superposición del impulso inicial C 0 -(!) y el pulso

secundario C R (!) (medido en la alimentación del molino) debido al trazador recirculado

desde el clasificador. Entonces:

C F (!) = C 0 -(!) + C R(!) (7.19)

donde C 0 es la intensidad del impulso inicial dada por:

C 0 = M 0(1 + C )Q

= ( 0

#

C P (t )dt " ( 0

#

C R(t )dt (7.20)

M 0 es la cantidad total de trazador inyectado y Q es el flujo de alimentación fresca al

molino.

Si la concentración del pulso secundario se mide antes de su mezcla con la

alimentación, la ecuación (7.19) debe ser reemplazada por:

C F (!) = C 0 -(!) + C T (!) C ⁄ (1 + C ) (7.21)

Figura 7.4 : Determinación de la función DTR en un molino en circuito cerrado.F=Q(1+C) es la alimentación total al molino, Q es la alimentación fresca y C la razón

de recirculación.

148



ya que

C R (!) = C T (!) C ⁄ (1 + C ) .

Reemplazando la ecuación (7.19) en la ecuación (7.18) resulta:

C P (t ) = & M (t ) + C 0 -(t ) + & M (t ) + C R (t ) (7.22)

Como la señal del pulso secundario C R(t ) no es una función analítica, es necesario

resolver la integral de convolución de la ecuación (7.22) en forma numérica. Uno de los

mejores métodos se basa en la transformación de la ecuación (7.22) al dominio de

frecuencia mediante la transformación de Fourier definida por [7.6].

F [C (t )] = ( " #

+ #

C (t ) e " / jt dt = C (/ j) (7.23)

donde e " / j t = cos /t " j sen /t , 0 < / < # , t > 0. Reemplazando la ecuación (7.22)

en la expresión (7.23) tenemos:

F [C P (t )] = F [& M (t ) + C 0 -(t )] + F [& M (t ) + C R (t )]

Usando sobre esta expresión el teorema de convolución de Borel [7.6] resulta:

F [C P (t )] = F [& M (t )] + F [& M (t )] F [C R (t )]

o en forma equivalente:

C P (/ j) = & M (/ j)C 0 + & M (/ j)C R (/ j) (7.24)

Despejando & M (/ j) de la ecuación (7.24) se obtiene:

& M (/ j) = C P (/ j)

C 0 + C R (/ j) (7.25a)

=

( " #

+ #

C P (t ) e" / jt dt

C 0 + ( " #

+ #

C R (t ) e" / jt dt

(7.25b)

Una ecuación semejante se puede obtener definiendo las integrales A, B, C y D en

la forma:

149



A = ( 0

#

C R (t ) cos /t dt , B = ( 0

#

C R (t ) sen /t dt (7.26a)

C = ( 0

#

C P (t ) cos /t dt , D = ( 0

#

C P (t ) sen /t dt (7.26b)

Entonces las concentraciones C R y C F quedan expresadas por:

C R (/ j) = A " Bj, C F (/ j) = C " Dj

y por lo tanto:

& M (/ j) = C ( A + C 0) + BD

( A + C 0)2 + B

2 cos/t " BC " D( A + C 0)( A + C 0)

2 + B

2 sen/ jt (7.27)

Midiendo C R(t) y C F (t) se puede calcular A, B, C y D para cada frecuencia en formanumérica usando algoritmos especialmente concebidos, entre los cuales se puede citar la

transformada rápida de Fourier [7.7]. La función de distribución de tiempos de residencia

& M (t ) se obtiene usando la transformada inversa de Fourier [7.6]:

& M (t ) = 1

20 ( 0

#

& M (/ j) e/ jt d /

= 1

0 ( 0

#

[C ( A + C 0) + BD

( A + C 0)2 + B

2 cos/t " BC " D( A + C 0)

( A + C 0)2 + B

2 sen/t ] d / (7.28)

La Figura 7.5 muestra un ejemplo de deconvolución de una función DTR para un

molino de bolas de 3.50 x 4.88 m en circuito cerrado [7.8].

Rogers [7.9] desarrolló un método para determinar la función DTR en molinos en

circuito cerrado en el cual no es necesario medir la concentración C R(t) o C T (t) del trazador recirculado. El método es aplicable a cualquier circuito en el que el clasificador retorna

al molino una fracción constante a (cortocircuito). Si el trazador consiste en una fracción

muy fina del sólido de alimentación, una fracción constante a de este valor volverá encada instante al molino. El valor de C R(t) para t >0 será (ver Figura 7.4):

C R(t ) = aC P (t ) (7.29a)

y el valor de C T (t):

C T (t ) = aC P (t )(1 + C ) ⁄ C (7.29b)

150



Entonces, reemplazando la expresión (7.29a) en la ecuación (7.19) y luego ésta en la

ecuación (7.22) resulta:

C P (t ) = & M (t )+C 0 -(t ) + a& M (t )+C P (t ) (7.30)

Tomando la transformada de Fourier:

C P (/ j) = & M (/ j)C 0 + a& M (/ j)C P (/ j)

Figura 7.5 : (a) Pulsos de concentración de trazador para la entrada y la salida de unmolino de bolas industrial de (3.5 x 4.88 m) operando en circuito cerrado. (b) DTR

producto de la deconvolución de los pulsos [ 7.8 ].

151



y la ecuación (7.25) puede ser reemplazada por:

& M (/ j) = C P (/ j)

C 0 + aC P (/ j) (7.31)

El mismo análisis puede ser hecho cuando se traza el agua del molino.

7.3.5.Medición de DTR en equipos en serie

En algunos casos es de interés la determinación de las funciones DTR para varios

equipos conectados en serie, como por ejemplo, un molino de barras, un molino de bolas

y un cajón de bomba. Es posible en estos casos definir una función DTR global y una

para cada equipo.

Consideremos un proceso constituido por varias etapas en serie, tal como semuestra en la Figura 7.6a, usando la ecuación (7.12) podemos escribir [7.1]

C 1(t ) = &1+C 0(t )

C 2(t ) = &2+C 1(t )

|

|

C i(t ) = &i+C i " 1(t )

|

C n(t ) = &n+C n " 1(t ) (7.32)

Por sustitución sucesiva se obtiene:

C n(t ) = &n+.....&i+......&2+......&1+C 0(t ) (7.33)

Por ejemplo en la Figura 7.6a se tiene:

C 1(t ) = &1+C 0 1 ( 0

t

C F (t " !) &(!)d !

C 2(t ) = &2+ &1+C 0(t ) 1 ( 0

t

[ ( 0

2

C F (t " !) &(!)d !] &(2)d 2

C 3(t ) = &3+&2+&1+C 0(t ) 1 ( 0

t

( ( 0

2

[ ( 0

3

C F (t " !)&(!)d !]&(3)d 3) &(2)d 2

152



Definiendo una función DTR global & en la forma:

& = &1+&2+......+&n (7.34)

la ecuación (7.18) se puede expresar en la forma condensada:

C n(t ) = &+C 0(t ) (7.35)

Por otra parte, denominando M y t _

la masa total y el tiempo promedio de

residencia total del proceso, (ver sección 7.4), tal que:

M = %

i = 1

n

M i, t _

= M

Q (7.36)

se puede demostrar que:

t _

= %

i = 1

n

t _

i (7.37)

Para medir las funciones DTR de un proceso en serie, se introduce un impulso del

trazador en la entrada de la primera etapa y se mide la distribución de concentración deltrazador a la salida de cada etapa, como se indica en la Figura 7.6a. La Figura 7.6b da un

ejemplo de curvas DTR para un proceso en tres etapas.

Como las señales de salida de cada etapa no son funciones analíticas es necesario

resolver la ecuación (7.37) de convolución en forma numérica. Usando el método detransformada de Fourier, descrita en la sección 7.3.4., podemos escribir para el término

general de la ecuación (7.32):

F [C i(t )] = F [&i(t )+C i " 1(t )]

= F [&i(t )] F [C i " 1(t )] (7.38)

Figura 7.6a : Proceso constituído por varias etapas en serie. Los números en circuitosindican los puntos de medición.

153



lo que escrito en términos de variables de frecuencia es:

C i(/ j) = &i(/ j)C i " 1(/ j) (7.39)

de donde se puede deducir que:

&i(/ j) = C i(/ j)

C i " 1(/ j)(7.40a)

= (

" #

+#

C i(t ) e

" / jt

dt

( " #

+ #

C i"1(t ) e" / jt

dt

(7.40b)

Definiendo las integrales A, B, C y D en la forma:

A = ( 0

#

C i(t ) cos/t dt , B = ( 0

#

C i(t ) sen/t dt (7.41a)

Figura 7.6b : Curvas DTR para un proceso en tres etapas.

154



C = ( 0

#

C i " 1(t ) cos/t dt , D = ( C i " 1

0

#

(t ) sen/t dt (7.41b)

y recordando que e" / jt = cos/t " sen/t , la expresión (7.40b) se transforma en:

&i(/ j) = A " Bj

C " Dj 1

AC + BD

C 2 + D

2 +

AD " BC

C 2 + D

2(7.42)

Para cada valor de / se puede calcular el valor de &i(/ j) usando la transformada

rápida de Fourier [7.7].

El valor de &i(t ) se obtiene de la transformación inversa de Fourier:

&i(t ) = 1

20 ( " #

+ #

&i(/ j) e/ jt

d /

= 1

0 (

0

#

[ AC + BD

C 2 + D

2 cos/t " AD " BD

C 2 + D

2 sen/t ] d / (7.43)

7.4.DISTRIBUCION DE TIEMPOS DE RESIDENCIA EN

REACTORES IDEALES

Los patrones de flujo observados en la práctica pueden presentar diferentes

características en lo que se refiere a la varianza o desviación estándar de la función DTR,

lo cual está asociado con el grado de mezcla existente en el sistema en cuestión. Los

extremos que se pueden presentar son dos: el primero corresponde a una situación de

mezcla perfecta caracterizada porque la varianza de la distribución es &2 = t _

2 y el otro

extremo asociado a la ausencia total de la mezcla en el sistema, caracterizada por

*2 = 0. Lo anterior permite definir dos reactores ideales, el reactor de mezcla perfecta y

el reactor de flujo pistón.

El reactor de mezcla perfecta es aquel cuyo contenido es perfectamente

homogéneo, de manera que la composición a la salida es exactamente igual a la

composición en cada punto interior del reactor. Un balance de materia para el trazador en un mezclador perfecto, puede escribirse en la forma:

W d

dt (C P ) = FC F " FC P (7.44)

y en consecuencia, definiendo ) = W / F se puede escribir:

) d

dt [C P (t )] + C P (t ) = C F (t ) (7.45)

155



Como se concluye de la definición de función DTR, ésta corresponde a la respuesta

del sistema cuando la excitación de entrada es un impulso de Dirac, luego si C F (t )=

C 0 -(t), y como en este caso C P (t)=C 0 &(t) (ver la ecuación 7.16), entonces la ecuación

(7.45) se transforma en:

) d &dt

+ &(t ) = -(t ), &(0) = 0 (7.46)

ecuación diferencial cuya solución es:

&(t ) = 1

) e

" t ⁄ ) o &+(t + ) = e" t + , ) = t

_ (7.47)

y que corresponde a la función DTR para mezclador perfecto.

Un análisis similar se puede realizar para el reactor de flujo pistón. Teniendo en

cuenta que en este caso todo el material pasa sin mezclarse, cada elemento del material

permanece en el reactor exactamente el mismo tiempo. La función DTR que se obtiene para esta situación es:

&(t ) = -(t " )) o &+(t +) = -(t + " 1) (7.48)

con ) = t _

.

Resulta trivial demostrar en ambos casos que t _

= ), puesto que por definición :

t _

= ( 0

#

t &(t ) dt

Para una demostración más general, consideremos un flujo másico F a un reactor

que contiene una masa total W . En el intervalo de tiempo de 0 a t , la masa admitida al

reactor es Ft . La parte W de esta masa que salió del reactor en el mismo intervalo de

tiempo es :

W (t ) = F

(

0

t

(

0

!

&(3) d 3 d !

Por lo tanto:

Masa material = Ft " F ( 0

t

( o

!

&(3) d 3 d !

156



= F ( 0

t

[1 " ( 0

!

&(3) d 3] d ! (7.49)

Lo anterior corresponde a la masa de material que permanece en el reactor en el tiempo

t .

Para tiempos largos, esto es para valores grandes de t , todo el material que habíaen el reactor en el instante inicial, t =0, ha salida de él, de manera que el material retenido

en el reactor será:

W = limt 4 #

F ( 0

t

[1 " ( 0

!

&(3) d 3]d !

Haciendo ) = W/F ,

) = limt 4 #

( 0

t

[1 " ( 0

!

&(3) d 3] d ! (7.50)

Integrando la ecuación (7.50) por partes tenemos:

) = limt 4 #

[(1 " ( 0

!

&(3) d 3)! |0

t

+ ( 0

t

! &(!) d !]

Como el primer término se anula resulta:

) = ( 0

#

! &(!) d ! 1 t _

(7.51)

7.5.DISTRIBUCION DE TIEMPOS DE RESIDENCIA DE MOLINOS

ROTATORIOS

Shoji et al. [7.10], Mori et al. [7.11] y Kelsall et al. [7.12] han dado resultados de

estudios de DTR en molinos rotatorios pequeños. Austin et al. [7.13] analizaron elresultado de experiencias con fluorescina como trazador en un molino de cemento de dos

compartimientos de 4 m de diámetro por 10 m de largo con un flujo de 195 ton/hora y

Concha y Pearcy [7.8] han mostrado resultados de ensayos con cloruro de sodio como

trazador en molinos de bolas de 3 x 4.25 m y de 3.50 x 4.88 m. Las Figuras 7.7 y 7.8

muestran resultados experimentales típicos de curvas de DTR para molinos de bolas y

molinos de barras.

Los resultados más precisos sobre DTR disponibles son los reportados por Rogers

y Gardner [7.4] usando trazadores radioactivos sólidos. Ellos investigaron tres molinos

de bolas con descarga de rebalse en circuito abierto, realizando una corrección por la

157



presencia de la cubeta de descarga. Concluyeron que la función DTR del molino se podíanormalizar mediante el tiempo promedio de residencia. El tiempo promedio de residencia

del agua fue 15% menor que el del sólido indicando que la densidad de pulpa en el molino

fue mayor que la de la alimentación o descarga del molino.

Para representar las funciones DTR de molinos encontradas por experimentacióny mostradas en las Figuras 7.7 y 7.8 se ha propuesto varios modelos, los principales de

Figura 7.7 : Función de DTR para un molino de bolas industrial de 3.5 x 4.88 m.

Figura 7.8 : Función de DTR para un molino de barras industrial de 3 x 4.25 m.

158



Figura 7.9 : Función DTR para mezcladores perfectos iguales en serie.

159



Figura 7.10 : Función DTR para un molino de Bolas industrial de 3.5 x 4.88 m para majustado y m=L/D.

Figura 7.11 : Función DTR para un molino de barras de 3 x 4.25 m para m ajustado ym=L/D.

160



*+2 = )1

+2 + (1 " )1

+)2 ⁄ 2 (7.57)

La Figura 7.12 muestra la función &+(t +). Frecuentemente es necesario flexibilizar la función de la ecuación (7.43) incorporando una sección de flujo pistón de tiempo )0,

de modo que en esa ecuación ) = )0 + )1 + 2 )2 y t debe ser reemplazado por t - )0 en

su miembro derecho. La forma de la función permanece sin cambiar, pero las curvas se

desplazan en t = )0 hacia la derecha. En las Figuras 7.13 y 7.14 se comparan las curvas

experimentales y las ajustadas por este modelo para los datos experimentales de las

Figuras 7.7 y 7.8.

7.5.3.Modelo de Rogers-Gardner

Rogers y Gardner [7.4] propusieron un modelo de función de DTR basado en una

serie de etapas, cada una de las cuales consistía en dos mezcladores perfectos de distintostamaños en paralelo, y un reactor de flujo pistón interconectados (Figura 7.15). La

Figura 7.12 : Curvas DTR para el modelo de un mezclador grande seguido de dos

pequeños en función de )+ = )1 ⁄ )T .

162



Figura 7.13 : Función DTR para un molino de bolas industrial de 3.5 x 4.88 m segúnmodelo de tres mezcladores en serie.

Figura 7.14 : Función DTR para un molino de barras industrial de 3 x 4.25 m segúnmodelo de 3 mezcladores en serie.

163



función DTR es compleja y da resultados muy semejantes al modelo de dispersión axial

que veremos a continuación, ver Figura 7.16.

7.5.4.Modelo de Dispersión Axial

El transporte de masa en un molino rotatorio puede ser descrito como un flujo

convectivo a lo largo del molino originado por la alimentación en un extremo y la descarga

en el otro. Si no existieran los medios de molienda en el interior del molino es muy probable que este flujo convectivo fuese bien descrito mediante el modelo de flujo pistón.

Sin embargo, la agitación producida por barras o bolas produce la mezcla o dispersión

del material que se superpone al movimiento convectivo, como se muestra en la Figura

7.17. Es así como el transporte de un trazador introducido en el molino puede ser

descrito por la ecuación de continuidad del trazador:

5c5t

+ 5 f 5 z

= 0 (7.58)

donde c( z ,t ) es la concentración de trazador y f ( z ,t ) es la densidad de flujo del trazador a

lo largo del molino. Tal como se dijo, el flujo incluye una componente convectiva de

velocidad u= L/ ) y una componente de dispersión f D:

Figura 7.15 : Etapa básica del modelo de Rogers y Gardner [7.4].

164



f ( z ,t ) = u c( z ,t ) + f D ( z ,t ) (7.59)

Generalmente la componente dispersiva de un flujo que se origina por mezcla o

turbulencia puede ser descrita por una ecuación constitutiva semejante a la ecuación de

Fick:

f D = " D 5c

5 z (7.60)

donde D es el coeficiente de dispersión, medido en cm2/s. En general es posible suponer

que D es independiente de z y t y depende solo de variables de operación (ver Figura

7.18), por lo que al introducir la ecuación (7.60) en la ecuación (7.59) y ésta en la ecuación(7.58) se obtiene:

5c

5t + u

5c

5 z = D

52c

5 z 2 (7.61)

La solución de esta ecuación depende de las condiciones iniciales y de contorno.

Si suponemos que el trazador se introduce en el instante inicial , t =0, a concentración c0

y que antes de la inyección no existía trazador en el molino, la condición inicial será:

c (0,0)=c0 y c(z,0)=0 para 0<z<L. Las paredes en los lados de la alimentación y descarga

Figura 7.16 : Función DTR para el modelo de Rogers y Gardner con n=4, f a =0.677,

f b =0.304, f c =0.019, k =0.217 [7.4].

165



previenen la dispersión para z =0 y z=L y por ello el flujo en estos puntos será sólo el

flujo convectivo a través de la alimentación y descarga. Recordando que en la entrada

sólo hay flujo de trazador en el instante t =0, debemos esperar que para t >0, f( 0 ,t)=0 y

f ( L,t )=uc( L,t ). De la ecuación (7.57) y ecuación (7.58) se deduce entonces las condiciones

de contorno en z=0 y z=L para t>0: 5c ⁄ 5 z | z =0 = uc(0,t ) y 5c ⁄ 5 z | z = L = 0. Resumiendo,

las condiciones iniciales y de contorno serán:

c( z ,t ) =

6

7

8

9

9

C 0 ,

0 ,

z = 0,

0 : z : L,

t = 0

t = 0

;

<

=

9

9 (7.62)

D 5c

5 z =

6

7

8

9

9

" uc ( z ,t ) ,

0 ,

z = 0,

z = L,

t > 0

t > 0

;

<

=

9

9 (7.63)

Es conveniente escribir la ecuación de difusión convectiva, ecuación (7.61), y

condiciones iniciales y de contorno, ecuación (7.62) y ecuación (7.51) en forma

adimensional. Definiendo los parámetros característicos L= largo del molino, )= tiempo

promedio de residencia y c0= concentración de trazador inyectado, tal que&(z,t)= c( z ,t )/c0

y recordando que u= L/ ) se puede establecer las variables adimensionales:

Figura 7.17 : Ilustración de la dispersión causada por una rotación de molino.

166



z + = z ⁄ L, t + = t ⁄ ), &+ = )& = )c ⁄ c0 , (7.64)

mediante las cuales las ecuaciones (7.59) a (7.63) se transforman a:

5&+

5t + +

5&+

5 z + = D+

52&+

5 z + (7.65)

Con condiciones iniciales y de contorno :

Figura 7.18 : Variación del coeficiente de dispersión D de un molino seco en funciónde la fracción de llenado de bolas y de polvo.

167



&+( z +,t +) =

6

7

8

9

9

1 ,

0 ,

z + = 0,

0 < z + : 1,

t + = 0

t + = 0

;

<

=

9

9 (7.66)

5&+

5 z + =

6

7

8

9

9

1

D+ &+( z +,t +) ,

0 ,

z + = 0,

z + = 1,

t + > 0

t + > 0

;

<

=

9

9(7.67)

Figura 7.19 : Solución a la ecuación de Difusión Convectiva adimensional concondición de contorno completa ecuación (7.67).

168



La solución a estas ecuaciones es complicada y se la puede encontrar en el texto de Austin,

Klimpel y Luckie [7.17] . Su representación gráfica se da en la Figura 7.19.

Mori et al [7.18] resolvieron la ecuación (7.65) para el caso semi-infinito, esto es,con las condiciones iniciales de la ecuación (7.66) y para las condiciones de contorno se

usó 5&+ ⁄ 5 z + = 0, para z *= # y t *> 0. La solución resultó que:

&+( z +,t +) = 1

2

1

> ??????0D+t +3 exp[" ( z + " t +)2 ⁄ (4D+t +)] (7.68)

&( z ,t ) = 1

2

1

> ????0Dt 3 exp[" ( z " ut )

2 ⁄ (4Dt )] (7.69)

Esta solución, obtenida al utilizar la condición de contorno errada para z = L, se

muestra en la Figura 7.20 con D* como parámetro. Se puede observar al comparar lasFiguras 7.19 y 7.20 que la solución semi-infinita da curvas bien semejantes a las obtenidas

con la condición de contorno correcta para valores de D*<0.1. Como los molinos

industriales D*<0.25 el modelo de Mori (solución de la ecuación de difusión convectivacon condición de contorno semi-infinita) es una solución aproximada simple y útil. Las

Figuras 7.21 y 7.22 comparan los resultados del ajuste de este modelo con los datos

experimentales de las Figuras 7.7 y 7.8.

7.6.MODELO CINETICO PARA LA MOLIENDA CONTINUA

ESTACIONARIA

La molienda continua puede ser descrita mediante el mismo modelo de la moliendadiscontinua utilizando la función de distribución de tiempos de residencia para

respresentar en forma estadística el tiempo de molienda de cada “partícula ” de material.

El modelo se basa en las siguientes suposiciones: (i) El régimen es permanente, (ii) La

cinética de conminución puede ser descrita mediante ecuaciones lineales y (iii) la función

distribución de tiempo de residencia (t) es única para todos los tamaños de partículas.

Denominemos f i y pi a las fracciones de partículas de tamaño i alimentadas y

producidas por el molino respectivamente para el tiempo t en una molienda discontinua.

W es la masa de partículas retenida en el molino y F el flujo másico de alimentación y

descarga. Ver Figura 7.23.

Cuando la cinética de molienda puede ser descrita por ecuaciones lineales, la

molienda continua se comporta en forma similar a la molienda discontinua, tal que cadafracción de partículas con un tiempo de residencia t -! en el molino continuo adquiere la

misma granulometría que tendría si hubiese sido molida por un tiempo t -! en forma

discontinua. Por este razón la granulometría de salida de un molino continuo se obtiene

ponderando la solución de la cinética discontinua para el mismo molino con la función

de distribución de tiempos de residencia. Entonces:

pi(t ) = ( " #

+ #

wi(t " !) &(t " !) d ! (7.70)

169



Figura 7.20 : Solución de la ecuación de difusión convectiva adimensional con

condición de contorno de Mori et al . 5&+ ⁄ 5z = 0, z + = +#, t + > 0.

170



Figura 7.21 : Función de DTR para un molino de bolas industrial de 3.5 x 4.88 m

según modelo de difusión de Mori et al .

Figura 7.22 : Función de DTR para un molino de barras industrial de 3 x 4.25 m segúnmodelo de difusión de Mori et al .

171



Haciendo un cambio de variable se puede demostrar fácilmente que la ecuación

(7.70) es equivalente a:

pi(t ) = ( 0

#

wi(t ) &(t ) dt (7.71)

Considerando la solución a la molienda batch, Austin, Klimpel y Luckie escriben

la ecuación (7.71) en la forma (ver sección 4.5) :

pi(t ) = %

j = 1

i

d ij f j , 1 : i : n (7.72)

d ij =

6

7

8

99

99

e j

%

k = j

i " 1

C ik (ek " ei)

, i = j

, i . j

(7.73)

C ij =

6

7

8

9999

9999

%

k = j

i " 1

C ik C jk

1

1

S i " S j %

k = j

i " 1

S k bik C kj

, i < j

, i = j

, i > j

(7.74)

donde : e j = ( 0

#

e" S jt &(t ) dt (7.75)

Figura 7.23 : Extensión del concepto de molienda discontinua a molienda continua.

172



Tabla 7.2

Modelos de DTR para molinos rotatorios.

Modelo de flujo &(t ) e j

Pistón -(t ⁄ )) exp(" S j ))

Mezcla perfecta 1

) e

" t ⁄ ) 1

1 + S j )

m mezcladores

perfectos en

serie

(m

)T

)m

t m " 1

(m " 1) ! e

" m t ⁄ )T 1

(1 + S j )T ⁄ m)m

1 mezclador

grande seguido

de 2 pequeños

iguales en serie

)1

( )1 " )2)[e" t ⁄ )1 " e

" t ⁄ )2] "

t

( )1 " )2 ) )2

e"t ⁄ )2

1

(1 + S j )1)(1 + S j )2)2

Semi-infinito

con dispersión

axial (Mori)

(1 ⁄ ))

2 > ????????0 D+(t ⁄ ))

3 exp"

@AB

(1 " t ⁄ ))2

4D+(t ⁄ ))

CDE

exp@AB

" > ????????1 + 4D+ )S j " 1

2D+

CDE

0 : D+: 0.5

4 etapas iguales

en serie conflujo cruzado

(Rogers-Gardner)

(Ver referencia 7.4) (Ver referencia 7.4)

173



De la expresión (7.75) se desprende que e j es la transformada de Laplace de la

función DTR con respecto a la variable S j. De esta forma para diversos tipos de &(t) se

puede calcular e j, como se muestra en la Tabla 7.2.

7.7.REFERENCIAS

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174



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simulacion y procesos

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