d_presentación1 simulacion de procesos mip_uv_coatza

8/2/2019 d_Presentación1 Simulacion de procesos MIP_UV_Coatza

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INTRODUCCIÓN A LA

SIMULACIÓNSIMULACIÓN DE PROCESOS

Coatzacoalcos Ver., Abril de 2012Anselmo Osorio Mirón



Modelado de procesos

Modelo Matemático – aproximación del sistema real

El modelado es un proceso continuo

No hay reglas fijas para el modelado -

El modelo debe ser realista y robusto

Simulación y Optimización de Procesos



Construcción de modelos

1. Definición de los objetivos del modelo2. Formulación de un modelo físico3. Balances estacionarios o dinámicos4. Propiedades fisicoquímicas5. Suposiciones considerando los objetivos

6. Consistencia matemática – grados de libertad del modelo7. Solución con métodos analíticos o numéricos8. Perfeccionamiento del modelo



Herramientas disponibles para el desarrollo de un simulador

1. Lenguajes de programación:a. Fortran.b. Pascal.c. Delphi.d. C++

2. Lenguajes de simulación:

a. GPROMS.b. ISIM.3. Utilitarios matemáticos:

a. MatLab.b. Simulink.c. MathCad.

d. Mathematica4. Simuladores:

a. Aspen.b. HYSYS.c. ChemCad.d. PRO II



Habilidades necesarias para la simulación de procesos

1. Comprensión clara de los fundamentos ingenieriles2. Habilidades de Modelado3. Habilidades computacionales

Aplicación de la simulación de procesos

1. Investigación y desarrollo2. Etapa crítica en la toma de decisiones3. Planta piloto4. Diseño

5. Simulación de plantas existentes6. Factibilidad económica7. Caracterización del proceso8. Comprensión del comportamiento y mecanismos significativos del proceso



En la simulación de procesos químicos se pueden realizar tareas como:

• Detección de cuellos de botella en la producción.• Predicción de los efectos de cambios en las condiciones de

operación y capacidad de la planta.• Optimización de las variables de operación.• Optimización del proceso cuando cambian las características de los

insumos y/o las condiciones económicas del mercado.

Análisis de nuevos procesos para nuevos productos.• Evaluación de alternativas de proceso para reducir el consumo de

energía.• Análisis de condiciones críticas de operación.• Transformación de un proceso para desarrollar otras materias

primas.• Análisis de factibilidad y viabilidad de nuevos procesos.• Optimización del proceso para minimizar la producción de desechos

y contaminantes.• Entrenamiento de operadores e ingenieros de proceso.

Investigación de la factibilidad de automatización de un proceso, etc



Limitaciones de la simulación de procesos

Falta de buenos datos y falta de conocimiento de mecanismos del proceso.-El carácter de las herramientas computacionales.-El peligro de olvidar la suposiciones hechas en el modelado del proceso.-



Estrategia General para la Simulación de Procesos



Definición del Problema

1. ¿Qué quiero encontrar?2. ¿Cuáles son las consecuencias importantes

del estudio?3. ¿Porqué se hará este trabajo?4. ¿Qué esfuerzos ingenieriles se requerirán?5. ¿Cuánto tiempo tomará el trabajo?

Se REQUIERE: un pensamiento creativo basado en entrenamiento ingenieril.



Modelado Matemático

Ecuaciones de balance global de materia.

Ecuaciones de balance de materia por componente.Ecuación de balance de energía.Ecuaciones de balance de momentum.Relaciones de equilibrio.Otras relaciones.

Termodinámicas

Cinética QuímicaFenómenos de Transporte, etc.

Se REQUIERE: aplicar leyes de conservación (principios físicos) y relacionesadicionales.



Organización de ecuaciones

Se REQUIERE: ordenar las ecuaciones en una estrategia de solución paralela a larelación causa-efecto del sistema físico, lo que conduce a una estrategia estable yeficiente.

Tabla de ocurrencias.Diagrama de bloques de flujo de información



Computación

Se REQUIERE: varios niveles de cálculo: soluciones por inspección, solucionesanalíticas; soluciones por computadora de alta velocidad.

PROGRAMACIÓN

Métodos numéricos

Solución analítica.- Problemas sencillos (problemas lineales)Solución numérica.- Problemas de alta dificultad (problemas no-lineales)

• Solución de Ecuaciones (bisección, falsa posición, secante, Newton, • Algebra lineal (eliminación Gaussiana, Gauss-Seidel, Jacobi, etc.)• Métodos de regresión • Integración numérica (trapecio, Simpson, Romberg, cuadratura Gaussiana,• Solución numérica de EDO (Euler, Runge-Kutta, Heun, etc.)• Solución numérica de EDP (separación de variables, métodos espectrales,

diferencias finitas, etc.)

• Optimización (simplex, sección dorada, gradiente, Newton, etc.)

Lenguajes de programación: Fortran, C++, etc.



Interpretaciónde resultados

Se REQUIERE: interpretación inteligente de resultados

Grado de validez del modelo

Revisión del modeloActualización del modeloResultados razonablesToma de decisiones, con base en los objetivos y en la definición del problemaAlternativas razonables para mejorar la ejecución del proceso.



Estructura para el modelado matemático

Para un proceso con n componentes y m corrientes de flujo (entradas y salidas),

se tienen las ecuaciones siguientes:

Equipoo

Equipos

deproceso

Entradas Salidas

1

3

n

2

1

3

m

2

4

1. Balance Global: 12. Balance de Especies Químicas (componentes): n3. Restricciones: n 4. Balance de Energía: 15. Relaciones de Equilibrio: n (si se tienen 2 fases)6. Relaciones Auxiliares.




Modelos para un solo equipo: Modelos para procesos con múltiples equipos:

Se tiene un tanque en el que semezclan dos corrientes, cada unacontiene los componentes 1 y 2 endiferentes proporciones. Seconoce la cantidad de cadaespecie en las corrientes de

entrada .




Observaciones sobre la construcción de Modelos Matemáticos

1. Si se tiene más de una fase: usar relaciones de equilibrio.2. Si una variable tiene valor de cero, es conveniente que al plantear los balances,se elimine de las ecuaciones. Si esa variable es importante para estudios másavanzados, no debe eliminarse.

3. En caso de que los valores conocidos pertenezcan, todos, a una mismaecuación, verificar que esa ecuación sea una IDENTIDAD. Cuando la ecuación nose hace identidad, se tiene un problema mal especificado.4. La mayoría de las preguntas que se han abierto, se pueden contestar con unbuen reacomodo de ecuaciones-variables. Revisar la llamada Tabla de Incidencias(Ocurrencias o Funcionalidad).

5. Cuando un proceso NO contiene corrientes de reciclo, el sistema de ecuacionesgenerado es un sistema "Triangular Superior".



GRADOS DE LIBERTAD,VARIABLES DE SALIDA YVARIABLES DE DISEÑO

Una vez CONSTRUIDO EL MODELO, se tiene un sistema con p ecuaciones y q variables.Los grados de libertad del sistema son el número de las variables que sobrepasan a lasecuaciones, esto es:

GL = q - p

Este número es conveniente para tomar decisiones sobre que hacer con el sistema.

Si p < q el problema tiene un número infinito de solucionesSi q = p el problema puede tener soluciónSi q > p el problema es inconsistente y no tiene solución




La libertad para asignar valores a un número de variables (GL) puede ser untrabajo tedioso si se escogen las variables por inspección.La experiencia en el proceso puede ser de gran ayuda.

Las variables seleccionadas para signarles un valor se conocen como VARIABLES DE

DISEÑO (o ENTRADA)

El número de posibilidades para seleccionar variables de diseño se torna en unproblema combinatorial.

Por ejemplo, para un problema en el que se tienen 5 ecuaciones que involucran 7

incógnitas, existen 7 − 5 = 2 grados de libertad, lo que significa que debemosescoger 2 de las 7 variables para asignarles valores. De aquí que existen C₂⁷ = 21posibilidades de escoger las dos variables




Para los componentes A, B, C, D, E, F, G,

A A A A A A B B B B B C C C C D D D E E F

B C D E F G C D E F G D E F G E F G F G G

La pregunta es: ¿cuál de esas posibilidades es la más adecuada?.

Al escoger las variables de diseño, queda un sistema con p ecuaciones y p incógnitas(variables). Estas variables son conocidas como VARIABLES DE SALIDA.

A las variables de diseño se les pueden asignar valores de forma directa, poroptimización o por control.

Una manera de escoger las variables de diseño es con el uso de una Tabla deIncidencias.



ESTRATEGIAS DE SOLUCIÓN DEL MODELO MATEMATICO

Para simulación de procesos en estado estacionario, el modelo matemático del

proceso está constituido, en general, por un enorme sistema de ecuacionesalgebraicas no lineales para cuya solución existen tres estrategias:1) el método modular secuencial,2) el método orientado a ecuaciones y3) el método modular simultaneo.

Se dice que se tiene una solución de un conjunto de m ecuaciones simultáneasen n incógnitas si los valores de las incógnitas, x1, x2, …, xn satisfacen

En general, puede no existir solución, un número finito de soluciones, o unnúmero infinito de soluciones. El caso de interés, es donde m = n, se busca unasolución simple, real y físicamente manejable.



METODO DE SOLUCION MODULAR SECUENCIAL

Este MÉTODO DE SOLUCIÓN implica la interpretación del diagrama de flujo deproceso como un grupo de unidades de proceso (equipos) para las cuales existen

subrutinas de cálculo o módulos.

En este método, una subrutina de cálculo para una unidad de proceso dada, calculalas variables de las corrientes de salida de esa unidad con base en su modelomatemático, conocidas las variables de las corrientes de entrada y los parámetros delequipo de esa unidad de proceso.

Aquí, las corrientes de reciclo en el proceso se resuelven mediante un procedimientoiterativo. Se suponen valores iniciales de las variables de una o varias corrientesinvolucradas en el reciclo y se busca la convergencia de los valores de esas variables enel proceso iterativo.A las corrientes a suponer se les conoce como corrientes de corte o rompimiento.

Existen técnicas para detectar reciclos en el diagrama de flujo de un proceso (SargentyWesterberg, 1964; Crowe et al., 1971), y para determinar las corrientes de corte (elnúmero mínimo de ellas) necesarias en la solución de esos reciclos (Kahat y Shachman,1973; Pho y Lapidus, 1973; Upadhye y Grens, 1975; Murthy y Husain, 1983).Este procedimiento se puede ilustrar con base en el diagrama de flujo (Lee yRudd,1966).




El procedimiento para detectar reciclos y determinar las corrientes de corte (el númeromínimo de ellas) necesarias en la solución de los reciclos se puede ilustrar con base en el

diagrama de flujo (Lee y Rudd,1966):

¿cuál es la secuencia de solución para resolver el problema usando un número mínimo deiteraciones para una precisión dada?.Se pide al lector que analice diferentes secuencias de solución y las compare de acuerdoal número de corrientes de corte obtenidas.A continuación se presenta un método sencillo, aplicado a este proceso, para obtener

una secuencia de solución óptima de acuerdo al número mínimo de corrientes de corte.




1.- Se hace un arreglo matricial Equipo/Corriente de todos los equipos y corrientesinvolucrados en el proceso. Done E es la entrada y S es la salida de un reciclo. EX y SX son las entradas y salidas frescas (externas).

2.- Se sigue un procedimiento de eliminación de renglones y columnas.a ) Se calcula el número total de E y S que existen en cada renglón. Solo secuentan las E y S interequipos. No se contabilizan las entradas y salidas externas( EX y SX ).




b. Se elimina el renglón (con sus correspondientes columnas) que tenga el

menor número de E y S. En caso de que haya dos renglones con el mismonumero de E , se eliminará primero el que tenga el mayor número de S. Encaso de empate, se elimina el que tenga el menor E + EX . En caso de empate,se elimina el que tenga mayor número S + SX . En caso nuevamente deempate, se elimina el primero que se encuentre de arriba a abajo.




c. Se sigue el procedimiento hasta eliminar todos los renglones.

Si al eliminar un renglón (base) también se elimina otro adicional (adicional), se debe

tomar en cuenta lo siguiente para asignar los números prioritariosi) El renglón base se numera como de costumbre.ii) El renglón adicional se numera con el número inmediato superior. Siexisten entradas y salidas externas ( EX y SX ) el número se debe colocar ahí.Si ya no existe ninguna incidencia, el número se debe colocar exactamenteen la incidencia ( X ) que elimina el renglón adicional.




d. Se reacomodan los renglones y columnas en el orden que fueron eliminados.

Esta tabla es la que proporciona la secuencia de solución, como sigue:i) Se comienza resolviendo las ecuaciones del equipo 1. Para ello esnecesario conocer la información de la corriente 2 de entrada. Debido a queesta corriente esta dentro de un reciclo, se debe estimar a través de unacorriente de corte. Con la solución del equipo 1 se llega a conocer la

información de las corrientes 1 y 3.




ii) Se resuelven las ecuaciones del equipo 4. Para ello se necesita conocer lainformación de la corriente 7 de entrada, la cual será una corriente de corte.

Con la solución de este equipo se conoce la información de las corrientes 5 y 8.iii) Se resuelven las ecuaciones del equipo 3. Se requiere la información de lascorrientes 1 y 5, la cual proviene de la solución de los equipos 1 y 4,respectivamente. Con este equipo se obtiene la información de la corriente 4.iv) Se resuelven las ecuaciones del equipo 5. Para ello se requiere lainformación de las corrientes 3 y 4, que se obtuvo con la solución de losequipos 1 y 3, respectivamente. Con este equipo se obtiene la información delas corrientes 2 y 6. En este punto se calcula la información de una corriente decorte.v) Se resuelven las ecuaciones del equipo 2. Aquí se requiere la información delas corrientes 8 y 6, la cual se obtuvo con la solución de los equipos 4 y 5,

respectivamente. Con este equipo se obtiene la información de la corriente 7.En este punto se calcula la información de una corriente de corte.vi) Si los valores de la información calculada es diferente de la informaciónestimada en las corrientes de corte, entonces el proceso se vuelve a repetir,usando como valores estimados los valores calculados de las variables de corte



En resumen,

Conociendo la información de las variables en las corrientes 2 y 7, el reciclocompleto quedaría definido con la secuencia de cálculo de unidades deproceso: 1, 4, 3, 5 y 2.

En la solución del reciclo, las variables de las corrientes 2 y 7 serían

recalculadas, partiendo de valores iniciales, hasta lograr una convergencia enlos valores de esas variables.




Ejemplo 1.3Resuelva el siguiente problema haciendo uso de la estrategia Modular Secuencial.El proceso se muestra en la figura siguiente:

Especificaciones:

Por la corriente 4 se va el 30% de lacorriente 3. Por la corriente 7 se va el 60%de lo que entra en la unidad 2.

Determinar los valores de las variables de lasdiversas corrientes.

Corriente Corriente

1 3Etanol, lbmol/h 50 100

Agua, lbmol/h 150 50

Temperatura, F 75 75

Presión, psia 14.7 14.7




MÉTODO ORIENTADO A ECUACIONESConsiste básicamente en la solución simultanea de las ecuaciones que describen el

diagrama de flujo.

Aunque se puede aproximar el problema de resolver n ecuaciones en n incógnitasdirectamente, puede ser más fácil romper las ecuaciones en una estrategia desolución donde cada ecuación puede ser usada para resolver una variable simple

secuencialmente. Por ejemplo, considere las siguientes tres ecuaciones en tresincógnitas:

En lugar de resolver las tres ecuaciones al mismo tiempo, se puede resolver primeropara la variable x1 de la relación f 2; entonces, usando este valor de x1, resolver para lavariable x3 de la relación f 1; y, finalmente, resolver para la variable x2 de la relación f 3.Las ecuaciones han sido partidas en una estrategia de solución secuencial.

La pregunta es: ¿cómo llevar a cabo este proceso cuando el sistema es grande?

Partición de Ecuaciones



MÉTODO ORIENTADO A ECUACIONES

Ruptura o rasgado de ecuaciones (Tearing Equations)

Suponga que se quiere resolver el siguiente conjunto de cuatro ecuaciones en cuatro

incógnitas

Estas ecuaciones no pueden ser partidas en una estrategia de solución secuencial,por lo que deben ser resueltas las cuatro relaciones simultáneamente.

Se dispone de una aproximación alternativa al problema: el rasgado de ecuaciones.

Suponga que se estima el valor de la variable x3. Entonces, la variable x2 podrá ser

resuelta de la relación f 1. Con x3 estimada y x2 conocida, la variable x4 será resueltade la relación f 2.Conociendo x2 , x3 , y x4, la variable x1, entonces será resuelta de la relación f 3.Finalmente, se debe checar el valor estimado de la variable x3 con la relación f 4. Si larelación f 4 fuera cero, se tiene la solución. Sino, se tiene que estimar un nuevo valorde x3.



MÉTODO ORIENTADO A ECUACIONES

Ruptura de ecuaciones (Tearing Equations)

Este procedimiento es llamado rasgado de las ecuaciones (tearing equations). El

rasgado (escoger la variable iterativa o de reciclo) no es único, y varios criterios paraescoger la mejor variable de reciclo son posibles.Generalmente, el mejor reciclo es dictado no sólo por la estructura de las ecuacionessino por la forma en la cual las variables entran en las ecuaciones. No siempre esclaro, cuando es más eficiente resolver todas las ecuaciones simultáneamente o usarlas técnicas de variable de reciclo.

La pregunta es: ¿cómo elegir la mejor variable de reciclo?

Solución SimultaneaPara conjuntos muy grandes de ecuaciones algebraicas, típicos en problemas dediseño de plantas, es imperativo buscar esquemas computacionales adecuados.

Para conjuntos pequeños de ecuaciones, la solución simultánea puede ser práctica yventajosa. Esto es cierto sólo cuando las ecuaciones son lineales y se pueden aplicartécnicas matriciales.

La pregunta es: ¿qué hacer para simplificar un sistema grande de ecuaciones?



ANALISIS ESTRUCTURALEl ordenamiento de las ecuaciones y variables de un sistema de ecuaciones,

provenientes del modelado de un proceso, conduce a resolver simultáneamente sóloun pequeño conjunto de ellas. Este ordenamiento se logra de una manera rápida yeficiente con el uso de una tabla de incidencias (ocurrencias o funcionalidad).Las ecuaciones de modelado de procesos son predominantemente algebraicas(aunque también las hay diferenciales), a menudo no lineales, y comúnmentedispersas por eso cada ecuación contiene sólo unas pocas de las variables del sistema.

La mayor diferencia entre un estudio de simulación y un estudio de diseño está en eltipo de variables que son especificadas.

En un estudio de simulaciónse deben especificar

todas las variables de las corrientes de entrada ylos parámetros del equipo,

se deben calcularlas variables de las corrientes de salida

Esto permite que los estudios de simulación sean formulados de una manera modular.



En un estudio de diseño, las variables especificadas pueden cambiar de un problema a otro, por lo quese pueden conocer:

variables de las corrientes de entrada,variables de las corrientes de salida,

o una combinación de variables de amabas corrientes.

El resultado de los cálculos son:los parámetros del equipolas variables de corrientes de entrada y salida no especificadas.

El análisis de las características de los problemas de diseño demuestra que existe la necesidad de una

metodología para el análisis de sistemas de ecuaciones. Esta metodología debe ser orientada al nivelde ecuaciones, no modular, puesto que la ruta de los cálculos no está fija para un problema de diseño.

Los métodos de análisis estructural, se usan para desarrollar estrategias de solución simplificadas paragrandes conjuntos de ecuaciones.El análisis estructural consiste en el estudio de las inter-relaciones e interacciones entre las variables

que forman un conjunto de ecuaciones. La meta es encontrar la ruta más simple y más eficiente decálculos para el conjunto de ecuaciones. En lo posible, se evitan las variables iterativas.

Los cálculos de diseño a menudo tienen numerosas rutas paralelas, no todas ellas deben tomarse. Lasrutas paralelas en problemas de diseño surgen de la existencia de los grados de libertad en lasvariables de diseño y las ecuaciones redundantes. Cada ruta paralela debe ser analizada paradeterminar la que posea la mínima dificultad en los cálculos.



LA TABLA (MATRIZ) DE INCIDENCIAS (OCURRENCIAS)

Es una representación implícita en donde se expresa la estructura de ocurrencias de unsistema de ecuaciones. Para ejemplificar el proceso de ordenamiento con una matrizde incidencias, se considera el sistema de ecuaciones siguiente:

La relación ecuación-variable que existe en el sistema de ecuaciones se representa enuna tabla de incidencias. En los encabezados de las renglones se tomarán los númerosde ecuaciones y en los encabezados de las columnas se tomarán los nombres de lasvariables. La tabla se llena con la letra A en cada celda en donde la variable estecontenida en la ecuación.



La tabla resultante es:

El requisito primario de un método para expresar la estructura de un sistema deecuaciones algebraicas es que la estructura sea expresada explícitamente.Para remover esta deficiencia, se desarrolló un nuevo tipo de matriz de ocurrencias

llamado la matriz de funcionalidad.Para expresar la forma funcional de una ecuación, se deben definir las diferentesformas funcionales en las cuales una variable puede aparecer en las ecuaciones.



LA MATRIZ (TABLA) DE FUNCIONALIDAD

La matriz de funcionalidad expresa la estructura de un sistema de ecuaciones (Book yRamírez, 1984) .

La tabla siguiente muestra algunas formas funcionales que se pueden usar.

Las C i en la tabla, son constantes y f ( x) es la función de todas las otras variables delsistema excepto las variables explícitas. Las formas funcionales de la tabla son aquellasque predominan en ecuaciones de diseño algebraico. Casi cualquier ecuación original

puede ser manipulada algebraicamente para ajustar estas formas básicas.



La matriz de funcionalidad es una matriz de ocurrencias especial que expresa tanto lafuncionalidad como la estructura de las ecuaciones.Entonces, el sistema de ecuaciones resulta en la tabla siguiente:



UNA ESTRATEGIA DE SOLUCIÓN ÓPTIMA

Para implementar la solución de EA, que describen problemas de diseño o simulación,en computadoras digitales se han establecido métodos generales para la convergenciade lazos iterativos implícitos.

Dentro de estos se prefieren los métodos que emplean manipulación de matrices. Así,las reglas heurísticas siguientes son aplicables para obtener una solución óptima:

1. Resolver una ecuación lineal con una sola variable. Si no es posible, ir al paso 2.2. Resolver el menor número de ecuaciones lineales simultáneas con sus respectivas

incógnitas. Si no es posible, ir al paso 3.3. Resolver una ecuación no-lineal con una sola variable, la mas simple de todas las

posibles. Si no es posible, ir al paso 4.4. Resolver el menor número de ecuaciones no-lineales simultáneas con sus respectivas

incógnitas.

De acuerdo a estos 4 objetivos, la solución óptima se obtiene aplicando cualquiera delos algoritmos siguientes:

algoritmo de ordenamiento de ecuacionesalgoritmo de agrupamiento de variables.



Algoritmo de ordenamiento de ecuacionesSe hace un ordenamiento previo de las ecuaciones y de las variables. Se da prioridada las variables de solución aciclica (una sola ecuación) y de solución simple (lineales).El algoritmo se aplica de la manera siguiente:

• Se buscan variables con grados de libertad (VGL) de 1.• La existencia de un 1 indica que se puede obtener una solución aciclica.• Se localiza la columna que tiene la designación funcional de valor más simple• Se elimina el renglón correspondiente a la incidencia, marcando la casilla de la

incidencia con un número gerarquico de eliminación.• En caso de que no existan variables con grados de libertad 1, entonces se buscarán

VGL 2, 3 ó 4, etc., es decir, variables cíclicas.• Se localiza la columna que tiene la designación funcional de valor más simple.• Se eliminan todos los renglones correspondientes a las incidencias, marcando todas

las casillas de las incidencias con el siguiente número gerarquico de

eliminación.• Se recalculan los grados de libertad de las variables• Se repite el procedimiento hasta que se han eliminado todas las incidencias.• Los números gerárquicos de eliminación se usan para ordenar los renglones y

las columnas en el orden inverso a como se fueron generando dichosnúmeros.

Esto, proporciona una tabla ordenada en ecuaciones y variables.



Algoritmo de agrupamiento de variables

En este algoritmo se pretende clasificar las variables-ecuaciones en grupos (partir lasecuaciones).•Se buscan ecuaciones con grados de libertad (EGL) de 1.•Se localiza el renglón con EGL de 1.•Se elimina la columna correspondiente a la incidencia, marcando la casilla de la

incidencia con un número gerárquico de eliminación.•En caso de que no existan ecuaciones con grados de libertad 1, entonces,•Se localiza, de arriba hacia abajo, el primer renglón que aún no se haya eliminado.•De este renglón, se eliminan todos las columnas correspondientes a las incidencias,

marcando todas las casillas de las incidencias con el siguiente númerogerárquico de eliminación.

•Después de cada eliminación se debe verificar que ninguna otra ecuación se hayaeliminado (EGL de 0),

•Se recalculan los grados de libertad de las ecuaciones•Se repite el procedimiento hasta que se han eliminado todas las incidencias.•Después, se usan los números gerárquicos de eliminación para ordenar los renglones y

las columnas en el orden en que fueron generados.

Esto, proporcionará una tabla ordenada en ecuaciones y variables. Cada grupo seobtiene de esta tabla, al movernos en dirección diagonal, izquierda-superior hacia

derecha-inferior, se tiene un movimiento horizontal en las incidencias más externas.



EJEMPLO SIMPLE DE ANÁLISIS ESTRUCTURALResolver el sistema de ecuaciones siguiente, plantear una estrategia de soluciónsencilla por medio de un reacomodo de ecuaciones y variables.

La tabla de funcionalidad para el sistema de ecuaciones algebraicas es



Realizar un análisis estructural usando los algoritmos de ordenamiento de ecuacionesy de agrupamiento de variables.

Ordenamiento de Ecuaciones

El objetivo es asignar a cada ecuación una variable y minimizar el esfuerzocomputacional para su solución.1.- Se necesita determinar los grados de libertad de las variables.



El algoritmo elimina columnas para las cuales los grados de libertad de las variables(VGL) son la unidad.

Para este ejemplo, estas son las columnas x3 , y x5.Se elimina la columna que tenga el mayor número de incidencias con funcionalidad

tipo A.En este caso, ambas columnas tienen una sola incidencia del tipo A, por loque cualquiera de las dos puede eliminarse.

Como criterio de desempate se usa la primera ocurrencia (de izquierda a derecha),la cual es la columna x3; de esta manera se elimina el renglón 4 con lacolumna 3.

Entonces, los grados de libertad de las variables son recalculados.



Siguiendo el algoritmo, una columna confrecuencia de 1 se encuentra en la columna x5 y de ahí el renglón 6 es eliminado.

Ahora, un 1 es encontrado en la columna x9,la cual elimina el renglón 1.



En este punto, una columna con frecuencia de 1 no existe.De acuerdo al algoritmo, se buscan columnas con la mínima frecuencia,

las cuales son las columnas x2, x4, x6 y x7, con 2 grados de libertad;de estas columnas, las que tienen mayor número de incidencias de A son x2, x4 y x7.

Se puede eliminar cualquiera de estas columnas.Como criterio de desempate se usa la primera ocurrencia (de izquierda a derecha),

la cual es la columna x2.Obsérvese que al eliminar la columna x2 también se eliminan las ocurrencias de lacolumna x

7

, por lo que las ocurrencias de la columna 7 también deben llevar el mismonúmero de eliminación que las incidencias de la columna 2.



Ahora, se procede con la eliminación de la columna x4, los grados de libertad de lacolumna x6, se hacen 0; lo cual hace que estas columnas también tengan prioridad 6.

Finalmente, la columna x1

tiene frecuencia1 con incidencia del tipo B.Al eliminar la tabla con sus prioridadesqueda de la manera siguiente:



Se procede a etiquetar los renglones-columnas de acuerdo con los númerosgerárquicos de eliminación, para proceder al ordenamiento de ecuaciones/variables,tal como lo muestran las tablas siguientes:

Esta tabla se ordena de manera inversa acomo fueron eliminados los renglones ycolumnas, resultando en



Agrupamiento de Variables

Partiendo de la tabla ordenada, se calculan las frecuencias de los renglones.• El algoritmo busca un renglón de frecuencia 1. En este nivel inicial del problema no

existe ninguno con frecuencia 1. Puesto que no se encuentra una frecuencia 1,• Se eliminan todas las columnas con entradas en el renglón restante más alto.• De esta manera, las columnas x1 y x8 son eliminadas del renglón 3 y se etiquetan con

1 (comienza el subgrupo uno).• Ahora, las nuevas frecuencias de los renglones son calculadas.• No existen frecuencias de 1, por lo que se eliminan todas las columnas con entradas

en el renglón restante más alto.• De esta manera, las columnas x6 y x4 son eliminadas del renglón 7 y se etiquetan con

2 (comienza el subgrupo dos).• Luego, la primera frecuencia 1 se encuentra en el renglón 1, lo cual• Resulta en la eliminación de la columna x9 que se etiqueta con 3.• El renglón 6 tiene frecuencia 1, que elimina la columna x5 y se etiqueta con 4.• El renglón 4 tiene frecuencia 1 y se elimina con la columna x3, etiquetándose con 5.• Finalmente, no se encuentran renglones con frecuencia 1,• Se eliminan todas las columnas con entradas en el renglón restante más alto.• De esta manera, las columnas x7 y x2 son eliminadas del renglón 2 y se etiquetan con

6 (comienza el subgrupo tres), pero como al eliminar el renglón 2, también seelimina el renglón 5, entonces también se etiqueta con 6.



A continuación se muestra paso a paso el procedimiento de eliminación del algoritmode agrupamiento de variables.



Eli i d l i / i bl d ti t l l l d



Eliminadas las ecuaciones/variables, se procede a etiquetar los renglones-columnas deacuerdo con los números gerárquicos de eliminación, para proceder al ordenamientode ecuaciones/variables, tal como lo muestran las tablas siguientes:

Esta tabla se ordena de manera directa acomo fueron eliminados los renglones ycolumnas, resultando en



Finalmente, se forman los grupos. Cadamovimiento horizontal de las variablesmás externas determinan el comienzode un nuevo grupo, tal como se muestraen la tabla siguiente.

De esta manera, se obtienen 3 grupos.

•El primer grupo consta de 1 ecuación y 2 variables, por lo que para ser capaz deresolver las ecuaciones de este grupo, una variable de diseño debe venir deeste grupo, ya sea x1 ó x8.

•El segundo grupo consta de 4 ecuaciones y 5 variables, por lo que este grupo se

prodra resolver si se especifica una variable de diseño, el mejor caso es x6.•Finalmente, el tercer grupo consta de 2 ecuaciones y 2 variables, por lo que se pude

resolver simultáneamente para x2 y x7, o bien se puede tomar una de estasvariables como variable cíclica para resolver el conjunto de 2 ecuacionesiterativamente.



El método de solución es:

1. Asignar x8 (ó x1) como variable de diseño y sustituir en las ecs. 3, 7 y 2. En estecaso se tomará x

8= a como variable de diseño

2. Resolver x1 (ó x8) de la ecuación 3 y sustituir en las ecs. 2 y 5



3. Asignar x6 = b como variable de diseño y sustituir en las ecs. 7 y 5



4. Resolver x4 de la ecuación 7 y sustituir en las ecs. 1, 4 y 5



5. Resolver x9 de la ecuación 1 y sustituir en las ecs. 6 y 4



6. Resolver x5 de la ecuación 6

7. Resolver x3 de la ecuación 4



8. Resolver x7 y x2 simultáneamente de las ecuaciones 2 y 5

Ej l 1 4 R l l bl i i t h i d d t t i i t d



Ejemplo 1.4 Resuelva el problema siguiente haciendo uso de una estrategia orientada alas ecuaciones y compare la solución con la del Ejemplo 1.3. El proceso se muestra en laFigura.

Especificaciones:

Por la corriente 4 se va el 30% de lacorriente 3. Por la corriente 7 se va el 60%de lo que entra en la unidad 2.

Determinar los valores de las variables de lasdiversas corrientes.

Corriente Corriente

1 3

Etanol, lbmol/h 50 100

Agua, lbmol/h 150 50

Temperatura, F 75 75

Presión, psia 14.7 14.7

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