simulacion y modelado

8/20/2019 Simulacion y Modelado

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Indice general

SIMULACION 3

1 INTRODUCCION 3

1.1 INCONVENIENCIA DE LOS MODELOS ANALITICOS 31.2 ¿QUÉ ES SIMULACIÓN? 3

2 SITUACIONES EN QUE LA SIMULACION ES ADECUADA 5

3 LAS VARIABLES ALEATORIAS 6

3.1 LA VARIABLE ALEATORIA 63.2 VARIABLE ALEATORIA DISCRETA 73.3 VARIABLE ALEATORIA CONTINUA 83.4 GENERADOR DE NMEROS ALEATORIOS !

4 ETA"AS DE LA SIMULACION 1#

4.1 MÉTODO CIENTÍFICO SEGN C$URC$MAN% AC&O''% ARNO'' 1#

5 SIMULACIÓN TI"O MONTECARLO 15

5.1 EL MÉTODO DE MONTECARLO 155.2 SIMULACIÓN DE EVENTOS DISCRETOS 155.3 MODELOS DE LINEAS DE ES"ERA 15

6 TEOR(A DE COLAS. 17

6.1 DE'INICIÓN DEL "ROBLEMA. 176.2 "ROCESOS DE NACIMIENTO ) MUERTE. 17

7 ETIQUETACION DE MODELOS DE LE * + * + * 21

7.1 NOTACION DE &ENDALL, 21

8 MODELOS DE LINEAS DE ES"ERA 23

8.1 MODELO M+M+1 238.2 MODELO M+M+1+& 258.3 MODELO M+M+S 27

Curso: Simulacion y Modelamiento


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8.4 MODELO M+M+S+&, 288.5 MODELO DE UNA LINEA DE ES"ERA CON N "ROCESOS 3#

! INTRODUCCIÓN A LA DIN-MICA DE SISTEMAS 31

!.1 ETA"AS EN LA CONSTRUCCIÓN DE MODELOS 31!.2 DIAGRAMAS CAUSALES 31!.3 DIAGRAMAS DE NIVELES 'LU/OS 34!.4 LA ESTRUCTURA MATEM-TICA 36

1# "LICACIÓN DE LA DIN-MICA DE SISTEMAS A LA "LANI'ICACIÓNURBAN(STICA EN UNA MUNICI"ALIDAD 38

1#.1 INTRODUCCION ) OB/ETIVOS. 381#.2 CONCE"TUALI0ACIÓN ) 'ORMALI0ACIÓN DE LOS DI'ERENTESSUBMODELOS 381#.3 SUBMODELO DE CONSTRUCCION. 3!

1#.4 SUBMODELO DE ACTIVIDAD ECONOMICA. 411#.5 ANALISIS DE LOS BUCLES DE REALIMENTACIÓN 421#.6 ESTUDIO DEL COM"ORTAMIENTO DEL MODELO BA/O DI'ERENTES$I"ÓTESIS. 441#.7 CONCLUSIONES 461



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SIMULACION 1 INTRODUCCION

Simulación es un área de estudio que forma parte de la Investigación de Operaciones(IDO), La cual es usada prácticamente en todas las áreas de estudio conocidas.

Simulación permite estudiar un sistema sin tener que realizar eperimentación so!re elsistema real. "sto presenta muc#as venta$as que discutiremos más adelante aqu%. Sinem!argo, esta no es la &nica forma de estudiar un sistema' otra posi!ilidad es construirun modelo análitico conformado por un con$unto de ecuaciones (generalmentediferenciales) que representan al sistema para luego resolverlo para diferentessituaciones, o !ien plantear un modelo de optimización que pretende proporcionar lame$or estrategia que el sistema de!e adoptar para funcionar me$or de acuerdo conalguna medida de rendimiento esta!lecida en la función o!$etivo satisfaciendo lasdiversas condiciones del pro!lema, esta!lecidas en las restricciones. Los modelos quese o!tienen como un con$unto de ecuaciones se denominan con frecuencia modelosanal%ticos, es decir modelos de ecuaciones diferenciales o de optimización.

1.1 INCONVENIENCIA DE LOS MODELOS ANALITICOSLa construcción de un modelo anal%tico tiene con frecuencia serios inconvenientes, entrelos que podemos citar*

+) La dificultad de encontrar el modelo de ecuaciones que representen al sistema real

) La dificultad para resolver el modelo.

-or otro lado, con frecuencia se requiere que los individuos que participan en el equipode!en tener una gran capacitación destreza. De modo que estos equipos de tra!a$osuelen ser costosos. "n contraparte, para o!tener modelos de simulación, los equipos detra!a$o pueden estar conformados por personas con menor calificación, de modo que la

coordinación de estos equipos es en general mas simple casi siempre más económico.on esto no se pretende decir que los modelos anal%ticos sean in&tiles, a que eistencierto tipo de pro!lemas, para los cuales se conoce la forma de o!tención del modelo as%como la manera de construir un algoritmo eficiente para resolverlo.

1.2 ¿QUÉ ES SIMULACIÓN

Simulación es una pala!ra que es familiar a los profesionales de todas las disciplinas eincluso para aqu/llos que no #an estudiado una carrera profesional. De esta manera elsignificado de la pala!ra Simulación se eplica casi por s% misma. "ntre los significadosque podemos o!tener de la gente com&n corriente para la pala!ra Simular, seencuentran los siguientes* Imitar la realidad, emular un sistema, dar la apariencia o

efecto de un sistema o situación real. 0a muc#as definiciones propuestas so!re lo quesignifica Simulación, #e aqu% algunas definiciones*

"Una simulación es una imitación de la operación de un proceso del mundo real sobredeterminado tiempo"

"El comportamiento de un sistema durante determinado tiempo puede ser estudiado por medio de un modelo de simulación. Este modelo usualmente toma su forma a partir deun conjunto de postulados sobre la operación del sistema real".



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"n la primera definición, está impl%cito un sistema, mismo que contiene un proceso(posi!lemente formado por su!procesos). De esta manera se trata de un sistema el cualcam!ia con el tiempo. 1ótese que en esta definición no se se2ala si las relaciones de lasvaria!les del sistema son discretas o continuas, esto depende del modelo querepresentará al sistema real. "sta división no eiste siempre en la realidad, #emos sidolos seres #umanos quienes lo #emos dividido (para facilitar su estudio) en discreto

continuo. "sto pasa con todas las cosas de la naturaleza' está es &nica, sin em!argo, el#om!re se #a encargado en dividirla en f%sica, !iolog%a, matemáticas, etc. 1o importacomo dividamos a la naturaleza esta seguirá siendo &nica pro!a!lemente indivisi!le.

3n !"del" e# $na re%re#en&aci'n de un o!$eto de inter/s. 1o o!stante que el o!$etosea &nico, el n&mero de representaciones es por lo general mu grande, de modo que eln&mero de modelos de un sistema del mundo real lo es tam!i/n. -uesto que para unsistema del mundo real #a!rá tantas representaciones como concepciones de la realidadse tengan, el n&mero de modelos es por lo general infinito. "l #ec#o de que se tengamás de un modelo de simulación para un sistema real, no nos de!e preocupardemasiado, encontrar un modelo de simulación casi siempre es fácil, mientras queencontrar un modelo anal%tico con frecuencia es una tarea ardua, independientemente

que, para muc#os pro!lemas, un modelo anal%tico, simplemente no eiste.O!s/rvese que en la segunda definición tam!i/n se #ace incapi/ de un modelo, de$andoentrever la posi!ilidad de diferentes modelos, lo cual resulta totalmente natural, dada lamultiplicidad de modelos para un mismo o!$eto del mundo real. 1ótese tam!i/n que sepropone un o!$etivo de la simulación* estudiar sistemas reales a trav/s de modelo.-odr%amos agregar aun más que el propósito de estudiar a los sistemas reales escomprender la interacción de los procesos que intervienen en el, con el propósito demodificarlos para o!tener un !eneficio determinado. "n esta definición está impl%cito que*

+) 3n modelo de simulación representa un con$unto de suposiciones (o postulados)so!re la operación de un sistema real.) Los postulados de un modelo de simulación se pueden epresar como relaciones

entre entidades u o!$etos de inter/s del sistema en forma de epresiones matemáticas,lo que llevar%a a un modelo anal%tico.

4fortunadamente, es posi!le reemplazar esas epresiones matemáticas el cálculo delos valores de las varia!les de inter/s, a trav/s de funciones de distri!ución depro!a!ilidad. -ara l"# %r"(le!a# de l)nea# de e#%era, eisten modelos anal%ticos quepretenden representar los resultados promedio de la utilización de dic#as funciones dedistri!ución de pro!a!ilidad. Los 5odelos de 5ar6ov tam!i/n apuntan en esa dirección.Los Modelos de simulación de eventos discretos (o simulación tipo MonteCarlo),por el contrario, utilizan estas funciones de distri!ución con el propósito de realizar unaeperimentación cuos resultados llevarán, despu/s de un n&mero conveniente deensaos a lo que se o!tendr%a en el sistema real. "stos modelos de simulación tienen laventa$a que se pueden para muc#os tipos de pro!lemas no sólo para aqu/llos del%neas de espera. "isten además modelos del área de teor%a de ontrol que incorporanfunciones de distri!ución de pro!a!ilidad lo que se conoce como esta!ilidad desistemas, referidos recientemente como 7eor%a de aos que se pueden tam!i/n usarpara una gran variedad de pro!lemas. Los modelos de esta!ilidad empleados asi sonpor lo regular dif%ciles de construir validar. -or otra parte tam!i/n eisten modelos deoptimización que utilizan funciones de distri!ución permiten estudiar sistemas delmundo real de alguna manera' e$emplos de ellos son los modelos de redes neuronales



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algoritmos gen/ticos. Otros t/cnicas empleadas son 8edes de petri 5odelos de8egresión.

"n este curso solamente estudiaremos modelos de l%neas de espera de 5ar6ov ,modelos de Simulación de eventos discretos tipo 5ontecarlo. "n lo que sigue usaremosel t/rmino Simulación, para referirnos a Simulación de "ventos Discretos. "n este

curso usaremos el 7/rmino Simulación, para referirnos a la Simulación de "ventosDiscretos tipo 5ontearlo.

2 SITUACIONES EN QUE LA SIMULACION ES ADECUADA

La Simulación permite el estudio de, la eperimentación con, las interacciones internasde un sistema real o, entre un su!sistema con uno o más sistemas donde las relacionesson de naturaleza estocástica.

La simulación es conveniente cuando*

9 Se requiere analizar diferentes cam!ios en la información su efecto.9 Se desea eperimentar con diferentes dise2os o pol%ticas.9 Se desea verificar soluciones anal%ticas.9 3n modelo anal%tico es imposi!le o dif%cil de construir.9 Se desea estudiar un sistema real resulta peligroso o costoso #acerlo en el

propio sistema real' la posi!ilidad de #acerlo mediante un modelo anal%tico resultaimposi!le ó inconveniente.

4demás, puede resultar conveniente*

3sar la simulación como un instrumento pedagógico para reforzar metodolog%asanal%ticas.

Determinar cuales son las varia!les más importantes del modelo de un sistema,mediante el uso de simulación. De esta manera se podrá construir un modelo refinadodel sistema real. "sto puede ser &til para la construcción de modelos diferentes a los desimulación.

4lgunas aplicaciones de Simulación que podemos citar son los siguientes*

•Operaciones de mantenimiento9 Simulación del 7ráfico de un sistema (7eleproceso, 7ráfico a/reo terrestre,

telecomunicaciones, telefon%a,...).9 am!ios en la configuración de un sistema.9 Simulación económica.9 "strategias militares.

9 ontrol de inventarios.9 L%neas de producción,



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* LAS VARIA+LES ALEATORIAS

*.1 La ,aria(le alea&"ria

Se denomina varia!le aleatoria, a una varia!le : que puede tomar un con$unto devalores ; x 0 , x 1, x 2 , ... x n-1


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*.2 Varia(le alea&"ria di#cre&a

-ara simular la ruleta situada a la derec#a de la figura, se procede del siguiente modo*se #allan las pro!a!ilidades de cada resultado, proporcionales al ángulo de cada sector se apuntan en la segunda columna, la suma total de!e de dar la unidad. "n la terceracolumna, se escri!en las pro!a!ilidades acumuladas.

Re#$l&ad" -r"(a(ilidad -. ac$!$ladaB B.@ B.@+ B.@ B.C@ B.+@ B.C@> B.+@ +

Se sortea un n&mero aleatorio F uniformemente distri!uido en el intervalo EB, +), elresultado del sorteo se muestra en la figura. "n el e$e : se sit&an los distintos resultadosque #emos nom!rado x 0 , x 1, x 2 , x . "n el e$e vertical las pro!a!ilidades en forma desegmentos verticales de longitud igual a la pro!a!ilidad pi de cada uno de los resultados,dic#os segmentos se ponen unos a continuación de los otros, encima su respectivoresultado x i . Se o!tiene as% una función escalonada. uando se sortea una varia!lealeatoria F, se traza una recta #orizontal cua ordenada sea F. Se !usca el resultadocua a!scisa sea la intersección de dic#a recta #orizontal del segmento vertical, talcomo se se2ala con flec#as en la figura. Si el n&mero aleatorio F está comprendido entreB.@ B.C@ se o!tiene el resultado denominado x 1.

La ta!la descri!e el sorteo de una varia!le discreta, siendoFF una varia!le aleatoriauniformemente distri!uida en el intervalo EB,+).

C"ndici'n Re#$l&ad"BGHFGB.@ [email protected]@ [email protected]@ B.C@GHFG+ >

3na vez visto un caso particular, el pro!lema general puede formularse del siguientemodo*



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Si X es una varia!le aleatoria discreta cuos posi!le resultados son ; x 0 , x 1, x 2 , ... x n-1< sean ; p0 , p1, p2 , ... pn< sus respectivas pro!a!ilidades. 4l sortear un n&mero aleatorio F,uniformemente distri!uido en el intervalo EB, +), se o!tiene el resultado x i , si se verifica la

siguiente condición*

(+)

*.* Varia(le alea&"ria c"n&in$aomprendido el concepto de transformación de una varia!le discreta, el procedimientopara o!tener un resultado cuando se efect&a el sorteo de una varia!le aleatoriauniformemente distri!uida, no reviste dificultad el estudio de la varia!le continua. Si X esuna varia!le aleatoria continua, px! es la pro!a!ilidad de cada resultado x ,construimos la función que se representa en la figura.

()

"l resultado del sorteo de una varia!le F uniformemente distri!uida en el intervalo EB ,+)se o!tiene a partir de la ecuación.

(>)

ráficamente, se o!tiene trazando una recta #orizontal de ordenada F. La a!scisa x delpunto de corte con la función es el resultado o!tenido. "n la figura se se2ala mediante

flec#as.

3n e$emplo sencillo es la transformación de una varia!le aleatoria que estáuniformemente distri!uida en el intervalo #a, b! si

Integrando () o!tenemos la función



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!

que es una l%nea recta, que vale cero cuando x$a, uno cuando x$b, tal como puedeverse en la figura inferior. 3tilizando la fórmula (>) de la transformación de la varia!lealeatoria continua despe$ando x , se o!tiene

*. /enerad"r de n0!er"# alea&"ri"#

"isten varias fórmulas para o!tener una secuencia de n&meros aleatorios, una de lasmás sencillas es la denominada fórmula de congruencia* se trata de una fórmulaiterativa, en la que el resultado de una iteración se utiliza en la siguiente.

H(a9Jc)Km'

donde a, c, m, son constantes cuos valores elige el creador de la rutina, as% por e$emplotenemos

a$2%2&' c$&&%&1 m$1&&01( a$'&& c$0 m$2()'

asta introducir el valor inicial de x , para o!tener una secuencia de n&merospseudoaleatorios. De$aremos al lector interesado la codificación de esta rutina.



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ETA-AS DE LA SIMULACION

.1 Método Científico Seg0n C$rc!an Ac3"44 Arn"44

I. 5ORMULACIÓN DEL -RO+LEMA.

"n esta fase se define el pro!lema a resolver los o!$etivos que se pretenden alcanzar,mostrando las #erramientas para #acer uso me$oramiento de los esfuerzos de losinvestigadores, divididos en dos aspectos*

A) PERÍODO DE ORE!"AC#! .Denominado tam!i/n como el primer per%odo de la investigación."l equipo de Investigación de Operaciones a$eno a la empresa tiene la oportunidad devalorar al pro!lema a la organización. Los promotores que son los cr%ticos cient%ficos los que audan a la organización económicamente (fundaciones, go!ierno,...) tienentam!i/n una oportunidad similar de tener un acercamiento a la empresa.

4s%, al final del per%odo de orientación puede especificarse !a$o que condiciones serealiza la investigación puedan tomarse las medidas necesarias que satisfagan tales

condiciones.

$) %O& COMPO!E!"E& DE% PRO$%EMA'-ara llegar a la formulación del pro!lema de!emos plantear, Men que consiste elpro!lemaF, o Mcuáles son sus componentesF. -ara lo cual tomaremos en cuenta losiguiente*+. *a e+idencia de ue aluien o aln rupo tiene un problema."ste alguien o grupo es tam!i/n llamado "178O D" D"ISIN1.uando el centro de decisión no está satisfec#o con alg&n aspecto de las actividadestienen la autoridad para implementar, modificar concluir las pol%ticas vigentes en laorganización del sistema en estudio.Las cuestiones siguientes pueden servir de gu%a en la adopción de decisiones.

i.! Mui/n es el responsa!le de emitir las recomendaciones que están en relación a lasmodificaciones de las pol%ticasF.ii.! MDe qui/n depende la apro!ación como es epresada la mismaFiii.! Mómo se realiza la apro!ación finalF -. e$. -or voto maoritario en deli!eracióncon$unta, por una autoridad final.i+.! M4lguien tiene poder de veto a!solutoF+.! Mui/n es el responsa!le de aplicar las recomendaciones apro!adasFvi.) Mui/n valorará la acción tomadaF. *os objeti+os ue persiue uien toma las decisiones."l e$ecutivo de la organización puede desear mantener o!tener algunos o!$etivosdiferentes, tales como* disminuir costos de producción, aumentar su volumen de ventas,me$orar el servicio a clientes, ...,

>. El sistema o ambiente.ue es el escenario de los recursos restringidos o ineistentes en relación con quientoma decisiones."l sistema está formado por un con$unto de componentes interrelacionados que !uscanun o!$etivo com&n, p. e$.* "l conse$o administrativo, el personal de la empresa, lamaquinaria equipo, los materiales empleados para o!tener el producto final, el volumende ventas, la competencia, ...,?. *os cursos de acción alternati+os.



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"s al menos dos alternativas o pol%ticas planteadas para que el que toma la decisióntenga la opción a elegir.-ara o!tener una lista de alternativas, se de!en de formular contestar las siguientespreguntas para cada parte del sistema.M"n que medida afectan la eficacia del sistema #acer ciertos cam!ios, en el personal,equipo, operaciones, máquinas, materiales, ..., en relación con los o!$etivos se2aladosF

3na vez especificados las acciones reacciones posi!les, está conclu%da laIdentificación de los omponentes del Sistema, se pasará a la 7ransformación del-ro!lema de la 7oma de Decisiones, a un -ro!lema de Investigación de Operaciones,que seg&n #urc#man, 4c6off, 4rnoff, implica las siguientes etapas*

• La selección de la lista de o!$etivos o!tenidos en la formulación del pro!lema.!) La selección de la lista de posi!les cursos de acción alternativos.c) La definición de la medida de rendimiento que va a utilizarse.

II. CONSTRUCCIÓN DEL MODELO MATEM6TICO QUE RE-RESENTA AL SISTEMAEN ESTUDIO.

*a representación de aln objeto ue est/ sujeto a estudio acontecimientos, procesos,

sistemas! es llamado odelo ientfico, ue tiende a ser de car/cter explicati+o 3 esutili4ado con fines de predicción 3 control.La primera fase de la construcción del modelo donde son epuestas las medidasalternativas a evaluar la definición de la medida de rendimiento, luego entonces elrendimiento del sistema estará en función de los valores de las varia!les."stas varia!les pueden cam!iarse por las decisiones de los directivos' pero otras no. Osea, las primeras serán varia!les controla!les la siguientes, no controla!les.Los valores de las varia!les controla!les se utilizan para definir los cursos de acción

posi!le .

-or los directivos de la organización, son los aspectos incontrola!les del sistema, p.e$.* la demanda del consumidor am!as están en función (f) (") es la medida de

rendimiento utilizada."n la construcción del modelo, se estructuran una o más ecuaciones de la forma*

"n el sistema, #allar la solución, consiste en encontrar los valores de las varia!les

controla!les

, que #arán un máimo de rendimiento del mismo."n algunos casos se utilizará la medida de falta de rendimiento (p. e$.* costosesperados), entonces la solución radica en #acer m%nima la medida de eficiencia.

omponentes del Sistema.

Se empieza por enumerar a todos los componentes del sistema que contri!ue alrendimiento o no rendimiento de su funcionamiento.

Da&"# de en&rada Re#$l&ad"

Importancia de los componentes.



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Pa teniendo la lista que completan los componentes del sistema, lo siguiente esidentificar cuales de ellos de!en tomarse en cuenta, ver si #a alguno en relación aotro ( o en función de otro) o si el curso de acción es totalmente independiente.Se tendrá que averiguar por que el sistema funciona en la forma en la que lo #ace, Mqu/factores producen los efectos que #an sido o!servadosF, Mde qu/ manera se pueden

manipular para que se produzcan los efectos deseadosF

om!inaciQn divisiQn de los componentes.

-ara su !uen mane$o resulta conveniente agrupar ciertos componentes del sistema . Lacom!inación de /stos pueden dar origen a otro diferente.

SRm!olos de sustituciQn.

"n la lista modificada será necesario determinar si el componente tiene un valor fi$o ovaria!le, se de!erá !uscar los aspectos del sistema que están afectando al componentevaria!le. Se asignarán a los componentes varia!les un s%m!olo para cada

su!componente.

onstrucción del modelo matemático.

Dependiendo de la definición del pro!lema el equipo de Investigación de Operaciones deO decidirá so!re el modelo más adecuado que representará al sistema, el cualespecificará las epresiones cuantitativas para el o!$etivo sus restricciones, todo enfunción de las varia!les de decisión.D"8I4IN1 D" L4 SOL3IN1 4 -487I8 D"L 5OD"LO 547"5T7IO. Seg&n -raUda, resolver un modelo consiste en encontrar los valores de las varia!lesdependientes las no dependientes, asociadas a los componentes controla!les delsistema con el fin de optimizar, si no es posi!le, me$orar la eficiencia del sistema dentrodel marco de referencia que fi$an los o!$etivos esta!lecidos por el grupo de toma dedecisiones.

Los m/todos de solución son*

1. M7&"d" Anal)&ic".2. M7&"d" N$!7ric".*. M7&"d" de Si!$laci'n.

+.V "L 5W7ODO 414LX7IO, #ace el análisis matemático clásico, es utilizado parao!tener soluciones en forma deductiva, (llamadas tam!i/n soluciones anal%ticas), o sea,que parte de lo general a lo particular.

.V "L 5W7ODO 135W8IO, se aplica cuando la solución no es posi!le o!tenerla demanera deductiva, se utilizará, el análisis num/rico, (Iterativo) o solución num/rica enforma inductiva, que va de lo particular a lo general. La solución de tipo iterativo seaproima a la solución óptima con un margen de error permitido, !asado en una serie deprue!as so!re la misma lógica de solución, en relación a resultados de una prue!aanterior.

>.V "isten los 5W7ODOS D" SI53L4IN1, que son los que imitan al sistema real, esmu &til en la solución de pro!lemas comple$os, de riesgo !a$o incertidum!re.



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La 7/cnica de 5ontecarlo, es un m/todo de solución que utiliza los pro!lemaspro!a!il%sticos de simulación. "sta t/cnica es utilizada donde no se puede #acer uso delos m/todos de solución num/rica o de solución anal%tica, a que se generan n&merosaleatorios para o!tener valores mu/strales en !ase a una distri!ución de pro!a!ilidad.La 7eor%a de Yuegos, es un sistema donde eisten varios grupos de decisión quereaccionan entre s%.

"isten Lengua$es de -rogramación para la Simulación, como* DP145O, ZO87841,-SS, SI5S8I-7, etc. IV. COM-RO+ACIÓN DEL MODELO 8 DE LA SOLUCIÓN."l modelo de!e pro!ar su validez, antes de ser implantado, o!servando si los resultadospredicen o no, con cierta aproimación o eactitud, los efectos en relación a lasdiferentes alternativas de solución.Si los resultados del modelo, se ale$an !astante de los resultados reales del sistema, sede!e tomar en cuenta lo siguiente*

• Determinar si el modelo se2ala el rendimiento del sistema seg&n una o másvaria!les que afectan a dic#o rendimiento.

• orro!orar si el modelo no #a omitido alguna varia!le que tenga efecto

importante en el rendimiento del sistema.• ompro!ar si el modelo epresa realmente la relación real eistente entre la

medida de rendimiento la varia!lesV erificar si los parámetros inclu%dos en el modelo no est/n siendo evaluadosadecuadamente. -ara compro!ar la solución del modelo, de!erá recopilarse la información, con el fin de#acer las prue!as necesarias #acer la verificación seg&n los siguientes pasos*a) Definir cient%ficamente (incluendo la medida de rendimiento)!) Llevar a ca!o el muestreo (incluendo el dise2o de eperimentos)c) 8educir el n&mero de datos.d) 3tilizar los datos en la prue!a de #ipótesise) "valuar los resultados.

Si estos pasos son llevados a ca!o recurrentemente cada vez que o!tienen resultadosdel modelo les son presentados al grupo de toma de decisiones, se empieza a e$ecutar un procedimiento sistemático de control que depura a$usta al mismo, con la realidad.

V. ESTA+LECIMIENTO DE LOS CONTROLES 8 A-LICACIÓN DE LA SOLUCIÓN.

Los sistemas no suelen ser esta!les su estructura está su$eta a cam!ios, que puedenser cam!ios entre las varia!les que definen al propio sistema , o pueden ser cam!iosentre los valores de las varia!les del sistema."l o!$etivo del esta!lecimiento de controles, es para que no se pierda la efectividad delmodelo matemático de!ido a cam!ios en los parámetros la eficacia de la soluciónpuede verse disminu%da en consecuencia a*

V cam!io de los valoresV cam!io de la relación entre ellosV cam!io en am!os factores."n consecuencia, un parámetro que no era significativo puede llegar a serlo o puedede$ar de serlo, o tal vez, cam!iar su grado de importancia."l dise2o de un sistema de control de!erá tomar en cuenta lo siguiente*+. "numeración de las varia!les la relación entre ellas, la manera en que afecta a lasolución el cam!io de los valores.



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. "la!oración de un procedimiento para detectar los cam!ios importantes entre losparámetros (varia!les) las relaciones,>. "specificación de la acción que de!erá tomarse o los a$ustes que de!en llevarse aca!o en el momento de ocurrir un cam!io importante. Los parámetros enumerados pueden ser clasificados como*a)alores que se conocen de antemano durante el per%odo correspondiente a una

decisión.omo por e$emplo* n&mero de d%as de tra!a$o, precio de ventas de un art%culo,...!)5edidas cuos valores no se conocen de antemano.-. e$emplo*La cantidad de producto defectuosa, la utilidad anual de la empresa, ... La participación entre los investigadores de operaciones el personal de operación, cuotra!a$o en con$unto, permitirá desarrollar eitosamente el plan de implantación.Pa que ninguna consideración práctica se de$ará de analizar, de esta manera podránverificarse las modificaciones o a$ustes posi!les al sistema



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9 SIMULACIÓN TI-O MONTECARLO

9.1 EL MÉTODO DE MONTECARLO

:"l m/todo de 5ontecarlo consiste en tomar una solución válida, provocar una peque2avariación aleatoria , si la nueva configuración es me$or que la anterior cumple lasrestricciones, nos quedamos con la nueva' si no, nos quedamos con la antigua. "stemetodo planteado de esta forma no convege Vaunque llege a un m%nimo, sigueoperandoV. -ara que conver$a, se va #aciendo cada vez más peque2a la variaciónaleatoria. "l metodo de 5ontecarlo puede ni converger en un m%nimo, pero el coste esrazona!le puede ser aceptado para pro!lemas de muc#a comple$idad. Otraoptimización tradicional es provocar la variación aleatoria de forma que la nuevaconfiguración a sea válida, mas esto no siempre es posi!le.

:.1 SIMULACIÓN DE EVENTOS DISCRETOS

7am!i/n llamada simulación de 5ontecarlo proporciona una visión general teórica práctica de los conceptos de simulación mediante un estudio avanzado de losaspectos más importantes de sistemas de eventos discretos. "l enfoque principales lograr aplicar la simulación en sistemas de eventos discretos del mundo realusando diferentes lengua$es de simulación. Las !ases matemáticas para lasimulación de sistemas de eventos discretos son 7eor%a de pro!a!ilidad 7eor%ade L%neas de espera. "stas teor%as son ampliamente usadas en el campo deinvestigación de operaciones, manufactura e ingenier%a industrial.

:.2 MODELOS DE LINEAS DE ES-ERA

Los modelos de l%neas de espera (L") son importantes en la simulación modulación desistemas computacionales de!ido a*

• -ueden ser usados para entender aspectos estocásticos de las redes decomunicación redes de cómputo.

• -ueden ser usados para simular servidores de sistemas diversos tales como*!ancarios, sistemas de producción, simulación de vuelos, etc.

Los profesionales que t%picamente enfrentan estos pro!lemas son, los ingenieros desistemas, industriales, de sistemas computacionales de informática' sin em!argo, estosson pro!lemas afectan todos los sectores productivos, de manera que las L"[s tienen ungran potencial de aplicación.

"isten !ásicamente dos maneras de a!ordar un pro!lema de L"*

• 3sando modelos matemáticos o!tenidos e profeso para ciertos tipos de L"\s que sepresentan con frecuencia

• 3sando un modelo de simulación de eventos discretos.



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"l primer caso consiste !ásicamente de un con$unto de fórmulas que se aplican paraciertas caracter%sticas de un sistema de espera particular. uando se utiliza el t/rminomodelo de l%neas de espera, con frecuencia se entiende (correcta o incorrectamente)que se trata de este primer caso. Los modelos de l%neas de espera tienen lassiguientes caracter%sticas que los #acen atractivos*

• Son más rápidos, que los modelos de simulación.• Son fáciles de utilizar no requiri/ndose grandes esfuerzos de programación.• Son más !aratos que los modelos de simulación• -ueden ser usados para validar sistemas de simulación 5ontearlo, mediante

condiciones que las L"[s consideran.• -ueden ser usados para validar sistemas de simulación 5ontearlo, mediante

condiciones que las L"[s consideran.

4qu% presentaremos los modelos de L" más comunes. -ara su presentación,mostraremos la forma como se deriva solo para un caso, con lo que pretendemos ilustrar de que manera se o!tienen. "sto se #ace con el o!$eto de presentar el grado decomple$idad que representa o!tener un modelo de L%neas de "spera. -ara ello nos!asaremos en los modelos de 1acimiento 5uerte, los cuales, suponemos que elalumno conoce al menos de manera superficial.



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17

; TEOR


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18

registrar el n&mero de eventos que ocurren cada # unidades de tiempo' acto seguido secalcula la media la desviación estándar, s% estas son aproimadamente iguales,entonces se dice que el n&mero de ocurrencias sigue una distri!ución de -oisson. Si unproceso es -oisson, entonces las pro!a!ilidad del tiempo entre ocurrencias de eventoses eponencial.

3n sistema de nacimiento muerte, se puede representar como sigue*

Sea* λB, λ+,^ λn, la media de llegadas cuando #a B.+,^n clientes en el sistema µ+,µ,^,µn,µnJ+, la tasa media de servicio cuando #a +,,^n, nJ+ clientes en el sistema. Sean -o, -+, ^-n, las pro!a!ilidades de estado esta!le. "ntonces usamos las

ecuaciones de !alance de flu$os*Suma de flu$os de entrada H Suma de flu$os de salida

-ara determinar cada -i mediante este m/todo, escri!imos las ecuaciones para cadanodo*

"stado "cuación Despe$es de -i en t/rminos de -BB µ+ -+ H λB -B -+H (λB=µ+)-B+ λB -B Jµ - H (λ+Jµ+)-+ -H (λ+λB=µµ+)-B λ+ -+ J µ>-> H (λ+Jµ+)-+ ->H (λλ+λB=µ>µµ+)-B

.

..

nV+ -nH(λnV+λnV..λB=µnµnV+..µ+)-B

3tilizamos a#ora*

n H (λ nV+ λ nV ^.λB) = ;µn µnV+^.µ+< ..(+)

"scri!imos a#ora la ecuación del renglón nV+ usando n*


1

2

3

n+1

n-2

n-1

n


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1!

-n H n -B ^^()

-odemos generar un sistema de ecuaciones para determinar -B,-+,^-n' sin em!argo,recuerda que una de las ecuaciones () es redundante de!e se reemplazada por*

∞

Σ -n H+B

o !ien ∞-B J Σ -n H + ^.(>)

+

"sto se consigue #aciendo variar n desde + #asta infinito. Significa que la ecuación ()con la (>) formará un sistema consistente.

Sustituendo () en (>)

∞

-B J Σ n-B H++

"ntonces -B es igual a*+

-B H VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV (?)∞

+ J Σ n+

La ecuación (?) converge si n G +, esto es un resultado que resulta del área de Series Sucesiones, que se estudia normalmente en los cursos elementales de álculoDiferencial e Integral, Tlge!ra o 5atemáticas Discretas.

1ote que se puede calcular -B de la ecuación (?) a que las tasas de llegadas deservicios son por lo regular conocidas. 1ótese tam!i/n que con la ecuación () podemoscalcular todas las -i[s, puesto que -B es a#ora conocida.

8ecordamos el concepto de valor esperado de una varia!le aleatoria i, que se definecomo*

∞

Σ :i -iB

"ntonces el n&mero esperado de clientes en el sistema L el n&mero esperado declientes en la l%nea de espera Lq es*

4#ora vamos a definir los siguientes valores esperados*

∞



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2#

L H Σ n -nB

∞

Lq H Σ (nVs) -nnHs

Donde s es el n&mero de servidores en el sistema.

-ri!era -rac&ica Cali4icada



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= ETIQUETACION DE MODELOS DE LE > ? > ? >

"stos modelos se etiquetan como sigue*

_________=____________________=_________________

Distri!ución Distri!ución 1&mero de servidoresDel tiempo Del tiempo"ntre deLlegadas servicio

on frecuencia se usan las letras*

5 H Distri!ución eponencial (5ar6oviana) D H Distri!ución degenerada (tiempos

constantes)"6 H Distri!ución "rlang H Distri!ución eneral

=.1 NOTACION DE @ENDALL

Se utilizan dos notaciones de `endall*

a) 4==S=`=m= !) 4==S==m=`

"s una notación etendida de la anterior (es decir el caso anterior es un caso particular)donde*

4H Distri!ución del tiempo entre llegadas H Distri!ución del tiempo de servicioSH 1&mero de servidores

`H1&mero de clientes potenciales en el sistema o tama2o de la fuente(apacidad del sistema)

mH 1&mero de clientes en el sistema H Disciplina de atención de la l%nea deespera

4 pueden ser*

I H Distri!ución general independiente

H Distri!ución general"6 HDistri!ución "rlang5 H Distri!ución "ponencial (5ar6oviana)D H Distri!ución degenerada o determin%stica (tiempos constantes)06 H Distri!ución 0ipereponencial con 6 etapas

Los otros %ndices de la notación de `endall pueden ser*



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`* -uede ser Zinita ó infinitam* -uede ser Zinito ó infinito* -uede ser ZIZO, LIZO, etc.

"s com&n usar la notación de `endall simplificada 4==S, cuando*

• La L" es infinita

• La fuente es infinita• La disciplina es ZIZO



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B MODELOS DE LINEAS DE ES-ERA

B.1 MODELO M?M?1

3na cola un servidor

"n este modelo se considera que las tasas medias de llegadas de servicio no cam!iancon el n&mero de clientes en el sistema, es decir*

ρ

........(+)........ oeficiente de atención

1 ......()...... 7iempo total de atención del cliente

L ρ

(>) Longitud promedio de la cola del sistema

1ρ

4demas*

-ro!a!ilidad en ser atendido en t unidades de tiempo

](t) H eVt=U

-ro!a!ilidad de estar t unidades de tiempo en la cola

]q(t) HρeVt=U

-n H ρn(+ V ρ)

λ\ H λ(+ V -n) ........................promedio de clientes no llegados

Lq H L V λ\ = µ ]q H Lq = λ\

"$emplo*



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3n vigilante atiende a los visitantes, los cuales van llegando a razón de +A por#ora, el vigilante atiende a razón de B clientes por #ora, se pide*a) Longitud promedio de la cola del sistema.!) "l tiempo total que demora cada cliente desde que llega #asta que salede la cola.c) "l tiempo que demora en la cola.Solución

Datos*λH +A clientes=#oraµH B clientes=#ora

4plicando (+)

ρH +A H B 9

a) 4plicando (>)

LH ?=@ H clien&e#+ V ?=@

a) 4plicando ()

]H + H 1? "ra " 19 !in$&"#B V +A

a) Si se atienden B clientes en una #ora entonces se puede deducir que un cliente esatendido en > minutos por cliente.

El &ie!%" F$e de!"ra en la c"la H L V > minutos por cliente H +@ V > H + minutos



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B.2 MODELO M?M?1?@

Similar a la anterior pero con una longitud limite ` para la cola

λ -ara n H B, +, ,..........`V+B -ara n H `, `J+, .........

-n -r"(a(ilidad de F$e eGi#&a HnH ele!en&"# en la c"la

-n H ρn(+ V ρ) (ρ ≠ +) .......+a

+ V ρ`J+

` (ρ H +) ........+!

L L"ngi&$d de la c"la

L H ρ V (`J+)ρ6J+ (ρ ≠ +) ..........a

+ V ρ + V ρ`J+

` (ρ H +) ..........!

"$emplo*"n una estación de servicio se cuenta con solo un grifo para la atención. Los clientes

llegan en un proceso de poisson a razón de +B ve#%culos por #ora mientras que sonatendidos !a$o un proceso eponencial con una media de > minutos, además se sa!eque la venta promedio es de + dollares. De!ido a que la estación es peque2a, solopuede mantener ? autos en espera, si llegan mas cuando esta llena de!e !uscar otrogrifo. Determinar*a) "l numero promedio de ve#%culos en la cola.!) "l tiempo que los clientes de!en esperar para esperar la atencion.c) Las perdidas por la no atención de clientes.

Solución*Datos*λ H +B clientes=#ora

µ H > minutos o B clientes=#ora6 H ?

ρH +B H 1B 2

a) Se utilizara a para el calculo de L*



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LH += V (?J+)(+=) ?J+

+ V += + V (+=) ?J+

LH + V (@)(+=) @

+ V (+=) @

LH + V (@)(+=) @+ V (+=) @

LH + V @=> H B.+A autos>+=>

!)-6H (+=)?(+V+=>) H B.B>

+ V (+=)@

λb H λ(+V-6)

λb H +B (+VB.B>) H .AC

LH (+=) V (?J+)(+=)?J+ H B.>+ V (+=) +V(+=)?J+

Lq H B.> V.AC=B H B.>@@+

]q H B.>@@+=.AC H B.B>AC

c) e#%culos que no son atendidos*

λ V λbH +B V .AC H B.>

-erdidas por #ora H B.>9+ H @.CA



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EGa!en -arcial

B.* MODELO M?M?S

3na cola arios servidores

"n este modelo se considera que*

λn H λ n ≥ B

µnH nµ n ≤ B

sµ n > s

-oH nHsV+ ρn J ρs V+

Σ

n s(+ V ρ=s)nHB

-nH λn-o H (ρn=n)-o ,,,,,,,n ≤ s

nµn

λn H (ρn=sssnVs)-o ......n > s

ssnVsµ

LqH ρsJ+ -o

(sJ+)(sVρ)



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]q H Lq=λ

] H ]q J +=µ

"$emplo*

"n una empresa se tiene vendedores de mostrador los cuales atienden a razón de +@clientes por #ora. Los vendedores atienden es de > minutos por cliente. Se pide calcularla pro!a!ilidad de que #aa > clientes en espera de ser atendidos.

Solución*

S H n H >λ Hµ H > minutos o B clientes por #ora

ρ H >=?

-o H { (>=?)B=B J (>=?) =((+V(>=?)=)) J (>=?)+ = + J (>=?)=((+V(>=?)=) }V+

-o H (@>=B) V+

-o H B=@>

-> H ((>=?)>=9>V)9(B=@>) H B.>CB.*.1.1

B. MODELO M?M?S?@

"n los modelos de L" infinita, no se permite que el n&mero de clientes en el sistemaeceda un n&mero especificado por `. 4 cualquier cliente que llegue cuando la L" estellena se le niega la entrada este cliente lo de$a para siempre. "ntonces*

λn H λ n H B,+,,>, ........6V+

B n H 6, 6J+, 6J, ....

µnH nµ n H B,+,,>, ........6V+

sµ n HsJ+, sJ, sJ>, ..

ρ H λ=sµ

-o H s#ρsJ+ (+Vρ6Vs) J s (sρ)n V+ ρ ≠ +



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2!

Σ

s(+Vρ) nnHB

s#ρsJ+ (+Vρ6Vs) J s (sρ)n V+ ρ H +

Σs(+Vρ) n

nHB

-n H (sρ)n -o nH+, , >, ,,,,,s

n

(+Vρ6Vs) J nHsJ+, sJ, sJ>, ...6

s(+Vρ)

B nH6J+, 6J, 6J>, ...

LqH ssρsJ+ (+Vρ6JsV(+Vρ)(6Vs) ρ 6Js)-o

s(+Vρ)

]q H Lq=λ

-r"(le!a"n un taller de mecanica eisten ? mecanicos que atienden a los los clientes. "l tallersolo cuenta con espacio para > automoviles en espera. Los clientes llegan en promediode +@ por #ora !a$o una tendencia de poison son atendidos con una media de +minutos por auto !a$o una tendencia eponencial, se pide*

a) -romedio de clientes en cualquier momento.a) -romedio de autos que se retiran si no #allan espacio

S"l$ci"n

S H ?` H Cλ H +@ autos #oraµ H AB=+ H @ autos por #ora

ρ H +@=?9@ H >=?

-o H {??(>=?)?J+(+V(>=?)CV?)=?(+V>=?)J+=BJ(?(>=?)) +=()J(?(>=?))=()J(?(>=?))>=(>)J(?(>=?))?=(?))}V+

-o H B.B??



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3#

-C H ??(>=?)C(B.B??)=? H B.BA?B?

λ\H λ (+V-C) H +@(+ V B.BA?B?) H +?.B>?

Lq H ??(>=?)@9(+V(>=?))CV?V(+V>=?)(CV?)(>=?)CV?)(B.B??)=(?(+V(>=?)))

Lq HB.?CAC

]q H B.?CAC=+?.B>? H B.B>>@] H]qJ+=µ HB.B>>@J+=@ H B.>>

L H λ\9] H +?.B>?9B.>> H >.?A

!) λ V λ\H +@ V+?.B>? H B.ABA autos.

B.9 MODELO DE UNA LINEA DE ES-ERA CON N -ROCESOS

arias l%neas, arios Servidores


Cola 1

Cola 2

Cola 3


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-rac&ica dirigida

-rac&ica cali4icada

1 INTRODUCCIÓN A LA DIN6MICA DE SISTEMAS

"sta !reve introducción so!re construcción de modelos a trav/s de la Dinámica deSistemas inclue primero algunas consideraciones so!re los pasos para construir unmodelo. "l primer paso es la Determinación de las aria!les. 4 este le puede seguir laconstrucción de diagramas causales, es decir la !&squeda de las relaciones entre lasvaria!les generadas en el primer paso. "l diagrama causal de un modelo puede sertrasformado fácilmente en un diagrama del tipo niveles V flu$os. La o!tención del sistemade ecuaciones es un proceso automático, usando normalmente el diagrama niveles Vflu$o, si se usa un softUare de la dinámica de sistemas. Los &ltimos pasos son laalidación "perimentación.

1.1 E&a%a# en la C"n#&r$cci'n de M"del"#

"n la construcción de un modelos de simulación usando la dinámica de sistemas se

pueden identificar las siguientes etapas*

+. Determinación de las varia!les a usar en el modelo de las relaciones entre lasvaria!les.

. onstrucción de diagramas (causales =o de flu$oVtasa).

>. Determinación de la estructura matemática del modelo (ecuaciones).

?. alidación "perimentación (que no se discutirá aqu%).

"l primer paso ( parte del segundo) se puede realizar sin la necesidad de construir laestructura matemática del modelo. La determinación de varia!les se puede #acer

usando t/cnicas de generación de ideas =o recurriendo a los conocimientos de epertosso!re el pro!lema en estudio. "n el caso del modelo de aparo se #izo un estudioe#austivo de los tra!a$os que se pu!licaron en el pasado so!re el tema se pudocontar con sugerencia conse$os de epertos. De esas lecturas discusiones seo!tuvieron alrededor de unas @B varia!les. "l proceso puede continuar con ladeterminación de una manera cualitativa de las posi!les relaciones entre las varia!les."n otras pala!ras, determinar si eisten o no relaciones entre pares de varia!les. "sto sepuede #acer usando matrices de interacciones, de alcanza!ilidad, etc. o usando grafoscomo los de los diagramas causales. 4 veces el proceso puede terminar con un análisisde la estructura cualitativa conseguida en esta primera etapa sin la necesidad de pasar ala determinación de la estructura matemática. -ara estos análisis, durante las d/cadasde los setenta oc#enta, se ela!oraron muc#as t/cnicas, conocidas con el nom!regeneral de modelado estructural (7onella, +?). 3na vez o!tenida la estructuracualitativa se puede pasar a la determinación de la estructura matemática. "n el caso dela Dinámica de Sistemas este paso es facilitado por el uso de los Diagramas ausales de los Diagramas de 1iveles V Zlu$os.

1.2 Diagra!a# Ca$#ale#

"iste una discusión a!ierta si en la dinámica de sistemas es me$or iniciar la construcciónde un modelo con diagramas causales o directamente con diagramas de niveles V flu$o."l modelo del presente estudio fue ela!orado casi totalmente usando diagramas



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causales, por varias razones que no se indicarán aqu%. Los diagramas causales sirvenpara #acer un !osque$o de todos los elementos de una pro!lemática sin entrar en losdetalles matemáticos del posi!le modelo. -ara o!tener un diagrama causal de unpro!lema #a que considerar los siguientes aspectos*

+. -ensar en t/rminos de relaciones causa efecto.

Si se tienen dos varia!les A, + si A es capaz de influenciar a +,se representa la relación de la siguiente manera*

-ara denotar si la influencia causa variación en el mismo sentido(es decir, si a un aumento de A se genera un aumento de +, si a

una disminución de A se genera un riducción de +) se coloca elsigno J so!re la flec#a*

-or otro lado, si a un aumento = disminución de A se correspondeuna disminución = aumento de +, entonces se denota*

. entrarse en las relaciones de retroalimentación entre loscomponentes del sistema.

Si se agrega una nueva varia!le C al sistema anterior, la cual est/influenciada por + en el mismo sentido, que sea capaz deinfluenciar a A de manera positiva, se denotará*



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Si A aumenta, inmediatamente + aumentará, ocasionándoseentonces un incremento en C, lo cual aumentará nuevamente a A, as% sucesivamente. "n este caso, la variación de un elemento sepropaga a lo largo del !ucle de manera que se refuerza lavariación inicial. "ste efecto se conoce como laJ" dere&r"ali!en&aci'n %"#i&i,a' se presenta cuando todas lasrelaciones son positivas (como en el e$emplo anterior) o cuandoeiste un n&mero par de relaciones negativas. -or e$emplo,

supóngase que un aumento de A genera una disminución en +,

que una disminución en + causa un aumento en C,

todo el sistema se representará*

8esumiendo, si A aumenta, se produce una disminución en + quegenera un incremento en C, lo que causa un nuevo incremento enA.



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Si el n&mero de relaciones negativas fuese impar, se tienen ($cle#de re&r"ali!en&aci'n nega&i,a, los cuales tienden aautorregularse* si la varia!le C afecta a la varia!le A negativamente,

a un aumento de A se corresponde una disminución en + quegenera un aumento en C, causando una disminución en A.

>. Determinar los l%mites apropiados para decidir los elementos aincluir en el estudio.

"l esta!lecimiento de la relación causa efecto entre varia!lesse o!tiene del conocimiento de epertos en el área, de estudiosrealizados o de datos #istóricos so!re el comportamiento delsistema. De toda manera durante este proceso puede ser quealgunas de las varia!les que se seleccionaron al inicio soneliminadas otras nuevas son introducidas. "l proceso a pesar quese presenta de una manera lineal es un proceso iterativo, a quecontinuamente se pasa de la primera a la segunda fase delproceso, #asta conseguir la lista definitiva de las varia!les lasideas !ásicas so!re sus interrelaciones, que se pueden presentara trav/s de los ciclos causales.

1.* Diagra!a# de Ni,ele# K 5l$"#

La realización de estos diagramas se puede #acer sin pasar por los diagramas causales.Se analizan las varia!les en t/rminos de acumuladores de tasas de variación de losacumuladores.



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-or e$emplo, supóngase que en una ciudad eisten >BBB #a!itantes que la tasa anual denatalidad es del +BK de la po!lación la mortalidad del K anual. Si se quiererepresentar lo que ocurrir%a en la ciudad al ca!o de diez a2os, es necesaria una varia!leque refle$e los cam!ios en el transcurso del tiempo* un ac$!$lad"r denominado-o!lación. La tasa de natalidad incrementa anualmente el nivel -o!lación, es decir,incrementa el material contenido en el acumulador (en este caso personas)' por ello se

de!e refle$ar un flu$o de personas que entra al nivel*

4 su vez, la tasa de mortalidad, disminue la totalidad de personas en la ciudad' portanto, se de!e representar un flu$o de salida del acumulador*

8esumiendo, las varia!les que acumulan (que se llaman niveles o stoc6s) representanla acumulación de distintas entidades del sistema, tales como cantidad de empleados,6ilogramos de trigo, pedidos no cu!iertos, art%culos en inventario, etc. 5ientras que las

tasas son las varia!les que determinan las variaciones en los niveles del sistema. 4demás de los dos s%m!olos vistos arri!a para las tasas (s%m!olo de una válvola) losniveles (s%m!olos de un rectángulo), en la dinámica de sistemas se usan tam!i/n lossiguientes s%m!olos*

La nu!e que puede representar una fuente o un pozo' puedeinterpretarse como un nivel que es prácticamente inagota!le oque no es de inter/s del cient%fico. -or e$emplo, cuando serepresentó la tasa de natalidad de la po!lación, se de!ió



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#a!er colocado*

a que no interesa representar de dónde provienen losni2os.

Las varia!les auiliares se utilizan para efectuar cálculosintermedios entre varia!les.

Las constantes son un elemento del modelo que no cam!iaráde valor durante la simulación.

"l canal de material indica que #a traspaso de material entrelas varia!les conectadas mediante este canal' mientras que elcanal de información indica que sólo se está traspasandoinformación.

Los retardos, que se pueden usar so!re lazos de materiales ode información.

1. La E#&r$c&$ra Ma&e!&ica

La estructura matemática de un modelo de dinámica de sistemas es un sistema deecuaciones diferenciales (o en diferencia). -ero en lugar de escri!ir directamente lasecuaciones diferenciales, se escri!en ecuaciones para cada uno de los s%m!olos vistosanteriormente, es decir para los niveles, para las tasas, para las varia!les auiliares, etc."sto se puede entender me$or con las siguientes eplicaciones*

3na varia!le de estado (o nivel), es decir una varia!le que acumula sus valores (quematemáticamente se representa con un integrador) es cam!iada por varia!les que se

representas por flu$os de material (tasas). -or e$emplo si N es el 1ivel, 5E 5S los flu$osde entrada de salida, se puede escri!ir la siguiente ecuación*



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donde N& es el valor del nivel en el instante de tiempo & N" es el valor inicial delnivel. Se puede ver facilmente que esta ecuación es una ecuación diferencial (derivadade 1 es igual a las diferencias de las tasas).

"sa ecuación se puede escri!ir, de forma aproimada, empleando el m/todo de "uler deintegración num/rica*

"sta &ltima forma es la que se emplea com&nmente en Dinámica de Sistemas paradefinir cualquier nivel en t/rminos de sus flu$os.

3na forma mu frecuente de escri!ir una ecuación de flu$o es la siguiente*

en donde TN es el flu$o normal M es lo que se denomina multiplicador de flu$o normal.Si 5(t) H + se tiene una situación neutral en la que Z(t) H 71 9 1(t), es decir, el flu$o esuna fracción constante del nivel.

onsiderando el e$emplo de la po!lación indicado arri!a se podr%a tener por e$emplo que*7asa (flu$o)de 1atalidad H B.+ 9 -o!lación, donde 71 H B.+.

"l multiplicador 5(t) refle$a el efecto de otros factores so!re la varia!le de nivel encuestión* 5(t) H 5+ E + (t) 9 5 E (t) 9 ... 9 5` E ` (t) , en donde cada factor 5i E i (t)

es una función no lineal de una varia!le i, la cual puede ser un nivel o una varia!leauiliar.



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11 -LICACIÓN DE LA DIN6MICA DE SISTEMAS A LA -LANI5ICACIÓNUR+AN


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3!

de inicio del periodo en estudio. O!viamente, en cada intervalo de simulación, lapo!lación del municipio aumentará con los Naci!ien&"# las In!igraci"ne# disminuirá con las M$er&e# las E!igraci"ne#. "n cuanto al n&mero de emigraciones,se #a supuesto que puede tener dos or%genes* por un lado, un porcenta$e (Ta#a e!ig%"r e4ec %ar") de los #a!itantes del municipio que se encuentren en situación dedesempleo (representados por la varia!le N de %arad"#) que se ven o!ligados a

emigrar' por otro, la emigración de empadronados en el municipio (-"( #in e4ec&" de%ar"), de!ida a cualquier otra causa distinta del desempleo (Ta#a e!ig #in e4ec %).

11.* S$(!"del" de C"n#&r$cci"n.

"n este su!modelo se a!orda la evolución del n&mero de viviendas (N VIVIENDAS) enla municipalidad o!$eto del estudio (figura ). "sta varia!le #a de ser de nivel aumentará con las viviendas que se construan (C"n#&r de ,i,), disminuirá con losderrum!amientos demoliciones de viviendas que se produzcan en cada intervalo desimulación (Derr$!( de ,i,), am!as de flu$o. Se #a supuesto que la construcción deviviendas (C"n#&r de ,i,), es decir, el total de viviendas construidas en un a2o, dependede la cantidad de viviendas demandadas por la po!lación (De!anda de ,i,), más unpeque2%simo porcenta$e adicional estimado por los propios constructores (-l$# ,i,

c"n#), que permita satisfacer un inesperado aumento de la demanda de viviendas.

ontinuando con la descripción del modelo, la varia!le de flu$o De!anda de ,i, depende de la po!lación que demande vivienda (-"( de! ,i,) del precio medio de lavivienda (-reci" !ed ,i,), de las disponi!ilidades económicas de las familias quedemanden vivienda (Ren&a 4a!iliar !edia) del tipo de inter/s de los prestamos#ipotecarios a particulares (In&1), suponiendo que /stos de!an #ipotecarse para adquirirla misma. -asemos a analizar cada uno de estos cuatro t/rminos.



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4#

La po!lación demandante de vivienda (-"( de! de ,i,) puede tener dos or%genes. Lamaor parte provendrá de las pare$as del municipio que desean formar una familia contraen matrimonio civil o religioso (N !a&ri!"ni"# de! ,i,), pero tam!i/n eistiráotra fracción muc#o menor (Ta#a !e) procedente de la po!lación del municipio que nocontrae matrimonio (-o!lación menos n&mero de matrimonios), pero que tam!i/ndemanda viviendas por #a!er aumentado el n&mero de sus miem!ros o !ien por me$orar

su situación económica particular que denominamos (Di4 %"( !a&r. "l precio medio dela vivienda (-reci" !ed ,i,), se #a supuesto que depende de la superficie media de lavivienda (S$% !ed ,i,), del precio del metro cuadrado construido (-rec ! 2 ,i,). LaRen&a 4a!iliar !edia se o!tiene multiplicando el n&mero medio de personas quetra!a$an por familia (N !ed %er# &ra( %"r 4a!il) por el nivel salarial mensual medio(Ni,el #alar !en) de los adquirentes de vivienda. "l tipo de inter/s de los prestamos#ipotecarios a particulares (In&1), se #a considerado como varia!le eógena al sistema.

La varia!le -l$# ,i, c"n# se #a #ec#o depender de la superficie disponi!le paraconstruir (S$% $r(aniJa(le), de la superficie la vivienda media en el municipio (S$% !ed,i,) de un factor de inversión (5 in,er e!% c"n#&r ), integrante del su!modelo de

4ctividad "conómica, estimado por los constructores, para determinar el n&mero de

viviendas a construir. 4 su vez, dic#o factor dependerá del tipo de inter/s esta!lecidopara pr/stamos a constructores (In&2), de las viviendas construidas en a2os anteriores ala2o en estudio que a&n no se #an vendido (Vi, c n ,end), de la demanda de vivendas(De!anda ,i,) del precio medio del m de terreno -reci" !2 &erren".

-asando a descri!ir la pro!lemática de la gestión del suelo, el suelo residencial ( Sre#iden) comprende la superficie ocupada por las viviendas eistentes, las zonas verdes(parques, $ardines áreas de $uego) los centros p&!licos (de ense2anza, de salud,deportivos, comerciales asistenciales). "n las normas ur!an%sticas, las proporciones dezonas verdes (P v ) de zonas para uso p&!lico (P cp) suelen venir epresadas comoporcenta$es de la superficie construida. "l suelo ur!ano (S $r( comprendefundamentalmente además del suelo residencial (S re#idencial), el suelo dedicado aconstrucciones para la actividad industrial (S ind). "l suelo ur!aniza!le (S $r(aniJa(le)

es la parte de suelo que por sus caracter%sticas se considera apto para ser ur!anizado.La cantidad de suelo residencial (S re#idencial), se #a #ec#o depender del

n&mero de viviendas del municipio (N de ,i,), de la superficie media de las viviendas(S$% !ed ,i,), del porcenta$e de zonas verdes (P v ) del suelo que de!a destinarse auso p&!lico (P cp). La suma del suelo residencial del suelo industrial da el suelour!ano. -or &ltimo, la disponi!ilidad de suelo ur!aniza!le se o!tiene como diferenciaentre la superficie total (S$% &"&al) la suma de suelo ur!ano (S $r() no ur!ano (S n"$r() del municipio. La maor%a de las varia!les 4u i en las ecuaciones surgen comoconsecuencia de incongruencia en las unidades al realizar las simulaciones.



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11. S$(!"del" de Ac&i,idad Ec"n"!ica.

"n este apartado, se a!orda la influencia que la actividad económica en el municipio,puede tener so!re la dinámica ur!an%stica del mismo, es decir, so!re la variación en eln&mero de sus #a!itantes, especialmente so!re el sector de la construcción, principalo!$eto del modelo. omo se muestra en la figura >, primero se #a definido una varia!leque mida esa actividad económica (In, &"&al), que dependerá principalmente de lainversión efectuada por los propios empadronados en el municipio ( In, %r"%ia), más lainversión procedente de otras personas f%sicas o $ur%dicas de otros municipios ( In,eG&erna). La primera de ellas se #a supuesto que es función de la renta familiar media(Ren&a 4a! !ed), del n&mero de familias (a su vez dependiente de la varia!le-O+LACION) de la tasa de inversión (Ta#a in,), es decir, del porcenta$e del a#orro quese emplea en la instalación o ampliación de instalaciones industriales, comerciales o

agr%colas que generan más riqueza para el municipio más impuestos para lamunicipalidad.

4 maor In, &"&al en el municipio, más ampliaciones, reformas o nuevas construccionesde esta!lecimientos comerciales, industriales, agr%colas o ganaderos se producirán (A!% re4"r in#& c"!er ), por consiguiente, más volumen de tra!a$o se generará en el sector de la construcción (Tra( en c"n#&r ), a a2adir al a procedente de la construcción denuevas viviendas al derrum!amiento de antiguas descrito en el su!modelo deconstrucción.



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4 más volumen de tra!a$o en construcción, aumentará la po!lación activa ocupada enconstrucción (-"( ac& "c$% en c"n#&r, en función de un parámetro del modelo al quese #a denominado capacidad media de los tra!a$adores (Ca% !ed de &ra(, querepresenta el n&mero de tra!a$adores que en promedio se necesita para realizar unavivienda al a2o. "ste valor, tras diversas entrevistas con gerentes propietarios de

peque2as medianas constructoras de Lepe artaa #a sido esta!lecido en ?=C, locual significa que por cada C tra!a$adores se realiza una media de ? viviendas en una2o. ontinuando con el razonamiento, a más po!lación activa ocupada en construcción,menor n&mero de parados en el municipio, lo cual disminuirá las emigraciones ( en sucaso aumentará las inmigraciones), provocándose con ello un mantenimiento o aumentodel n&mero de #a!itantes del municipio.

11.9 ANALISIS DE LOS +UCLES DE REALIMENTACIÓN

La figura ? muestra una vista general del modelo, donde se puede o!servar de formasimplificada (siguiendo los signos), algunas de las relaciones más significativas del

comportamiento del sistema ur!ano. 4s%, en torno a la varia!le de po!lación eisten tres!ucles* el maor de ellos es eplosivo, indicando que un crecimiento de la po!lación,traerá consigo un maor n&mero de matrimonios, una maor demanda de viviendas, unamaor construcción de /stas, una maor po!lación ocupada en la construcción, unmenor n&mero de parados, un menor n&mero de emigraciones por esta causa, portanto un menor decremento, o en su caso aumento, de la po!lación empadronada en elmunicipio. "se crecimiento eplosivo de la po!lación, se ve frenado por la actuación deun !ucle negativo, de!ido al fallecimiento por edad, enfermedad o accidente de la misma aumentado por la velocidad de nacimiento de nuevos #a!itantes.



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4nálogamente, en torno a la varia!le n&mero de viviendas, eisten otros tres !ucles,todos ellos negativos, que act&an en sentido contrario al !ucle positivo anterior. "nprimer lugar, una maor construcción de viviendas traerá como consecuencia un maorn&mero de viviendas unas maores necesidades de suelo ur!ano ur!aniza!le quepueden llegar a agotar la superficie disponi!le por tanto frenar su crecimiento. -or otro

lado, el derrum!amiento de viviendas disminuirá el n&mero de viviendas en el municipiopero li!erará suelo para edificar, mientras que un eceso en el n&mero de viviendasprovocará un stoc6 de viviendas compradas no vendidas, lo cual frenará la inversión delas empresas constructoras, !a$ando la construcción. "n definitiva, las varia!les deestado del sistema, evolucionarán en un sentido u otro seg&n la maor preponderanciade unos u otros !ucles.



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11.: ESTUDIO DEL COM-ORTAMIENTO DEL MODELO +APO DI5ERENTESI-ÓTESIS.

onstruido el modelo, #a de realizarse una evaluación del mismo mediante simulaciones,compro!ando la consistencia de las #ipótesis en las que se #a !asado su construcción,realizando su análisis de sensi!ilidad estudiando su comportamiento ante distintas

pol%ticas alternativas (4racil, +A).Se trata de determinar si los resultados o!tenidos mediante simulaciones secorresponden, con suficiente aproimación, con los datos reales del sistema modelado.8ealmente, dadas las simplificaciones introducidas en el modelo, no es posi!lereproducir con eactitud milim/trica su comportamiento (ser%a preciso dise2ar un modelomuc#o más comple$o que el epuesto). 4demás, aunque la maor%a de los parámetrosdel modelo son datos reales contrasta!les o!tenidos de organismos de estad%sticap&!licos, eisten unos pocos parámetros que #an sido estimados !asándose en laopinión de constructores funcionarios de las municipalidadess estudiados. 3n análisisdetallado de un gran n&mero de simulaciones, demuestra que los resultados o!tenidosse aproiman !astante a los datos reales del modelo, lo cual confirma la validez delmismo. Dentro de los muc#os escenarios que se pudieran plantear, por razones de

espacio, #emos seleccionado tan sólo uno, para ilustrar !revemente algunas de lasposi!ilidades del modelo.

Escenario 1, municipio de *epe, perodo 1&&2 a 1&&' 5nicial!6 Los valores de partida deesta simulación se #an tomado de los datos reales de Lepe para +. 4s%, se parte deuna po!lación inicial de +AC? #a!itantes de >? viviendas correspondientes al >+ deDiciem!re del ++ de una superficie total de +>?B.@ #ectáreas. Los parámetrosiniciales tienen los siguientes valores* tasa de nacimientos B.B+, tasa de muertesB.BBA, tasa de emigración sin efecto del paro B.BBABC, tasa de inmigración B.BB, tasade matrimonios B.BBA, tasa de derrum!amiento B.BBB?, etc. Se trata de estimar cualser%a la po!lación para +, en la #ipótesis de #a!erse mantenido constantes talesparámetros durante los cinco a2os.

"n tales circunstancias, la figura A muestra la evolución de la po!lación, de losnacimientos de las muertes para dic#o periodo. "l crecimiento de la po!lación seeplica porque la diferencia entre las tasas de nacimiento de muerte es superior a laeistente entre emigraciones e inmigraciones. 4nálogamente, en la figura C se apreciacomo tam!i/n el n&mero de viviendas de Lepe crece paralelamente a su po!lación, conun flu$o de construcciones superior al de derrum!amientos como se puede apreciar enlos datos num/ricos del e$e de ordenadas.



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0ipótesis +h* -artiendo del escenario inicial anterior, se formula la #ipótesis de queaumente la esperanza de vida de los leperos, #aciendo que su tasa de muertes

disminua un +@K que su tasa de nacimientos crezca un >BK, mientras que el resto delos parámetros permanecen constantes.

7ipótesis 2 h* -artiendo del mismo escenario inicial, supongamos una me$ora general dela econom%a que afecte a los sectores más importantes del municipio (agricultura turismo), ocasionando un aumento relativo en el nivel salarial mensual medio de los#a!itantes de Lepe en un ?K que aumente tam!i/n la tasa de matrimonios un BK'mientras que el resto de los parámetros permanecen constantes.



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EGa!en 5inal

simulacion y modelado

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