modelado y simulacion´ de un sistema de...

MODELADO Y SIMULACION DE UN SISTEMA DE

VASOS SANGUINEOS.

DIEGO ARMANDO ROBAYO DIAZ

CAMILO ANDRES ORTIZ MENDOZA

Septiembre, 2016

1

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE

CALDASFACULTAD INGENIERIA

INGENIERIA ELECTRONICA

MODELADO Y SIMULACION DE UN SISTEMA DE

VASOS SANGUINEOS.

DIEGO ARMANDO ROBAYO DIAZ

20071005024

CAMILO ANDRES ORTIZ MENDOZA

20082005008

Trabajo de grado presentado para optar al Tıtulo de Ingeniero Electronico

Directora: MsC (c), Luz Helena Camargo Casallas

Lınea de Investigacion: Rehabilitacion en salud Grupo de Investigacion:

Ingenierıa y Nanotecnologıa para la Vida (INVID)

Bogota D.C., Colombia

Septiembre, 2016

Agradecimientos

Le agradecemos a nuestra directora Luz Helena Camargo por acompanarnos en este proyecto y

estar siempre atenta y disponible para atendernos.

Este trabajo esta dedicado a nuestros padres por el eterno apoyo, por la inmensa paciencia, por

alentarnos a alcanzar nuestros objetivos, por ensenarnos a ser buenas personas y profesionales

ıntegros.

A nuestros profesores en la universidad les agradecemos por dejarnos parte de su conocimiento.

Les agradecemos a todas las personas que conocimos en la academia que nos han ensenado lo

grande y diverso que es el mundo.

II

Resumen

El estudio del flujo de la sangre es fundamental para conocer los efectos de obstrucciones, la

entrega de droga o cualquier aspecto que se relacione con el flujo sanguıneo. La importancia

del estudio de la sangre radica en los distintos comportamientos que tiene la sangre en todo el

sistema, el acercamiento de una simulacion al comportamiento de la sangre facilita la compren-

sion de aplicaciones como la interaccion del fluido sobre una estructura ajena al cuerpo, como

lo son las nano partıculas, lo que mejorarıa la eficacia de los medicamentos al momento de in-

gresar al cuerpo y atacar las partıculas virales. Conocer el comportamiento de la sangre permite

el desarrollo de tecnicas como la dielectroforesis la cual consiste en ejercer una fuerza sobre

una partıcula dielectrica que es sometida a un campo electrico no uniforme, esta tecnica tiene

aplicacion en el campo de biosensores, diagnostico, manipulacion y filtrado de partıculas.

Palabras claves— Sangre, Vasos sanguıneos, Nano electronica, Hemodinamica, Flujo sanguıneo.

III

Abstract

The study of blood flow is essential to know the effects of obstructions, delivering drugs or

anything that is related to blood flow. The importance of the study of blood lies in the different

behaviors that has the blood throughout the system, the approach of a simulation to know the

behavior of the blood, facilitates the comprehension about applications as the interaction of the

fluid on an external structure to the body as are nano particles, which would achieve improve

the effectiveness of drugs when entering the body and attack the viral particles. Knowing the

behavior of the blood improve the development of techniques as dielectrophoresis which is to

exert a force on a dielectric particle is subjected to a non uniform electric field, this technique

has application in the field of biosensors, diagnostic, manipulation and filtering particles.

Keywords— Blood, blood vessels, nanoelectronics, Hemodynamics, Blood Flow.

IV

Indice general

Agradecimientos II

Resumen III

Lista de figuras VII

Lista de tablas VIII

Lista de simbolos y abreviaturas 1

1. Introduccion 2

1.1. Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1. Objetivos especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Composicion y funciones de la sangre 6

2.1. Caracterısticas de los vasos sanguıneos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1. Arterias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.2. Venas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.3. Capilares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3. Caracterısticas del modelo para este estudio 17

3.1. Flujo sanguıneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.1. Modelo Poiseuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1.2. Modelo Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1.3. Viscosidad de la sangre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.4. Fuerza de deformacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.5. Fuerza de presion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.6. Parametros fısicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1.7. Momentos de flujo laminar y flujo Browniano . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1.8. Numero de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1.9. Dinamica de fluidos Navier Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

V

Indice general

3.1.10. Numero Mach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1.11. Parametro de Lame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4. Metodologıa 33

4.1. Parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.1.1. Seleccion del software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2. Geometrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3. Materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.4. Fısica y mallado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.5. Instrucciones de modelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.6. Fısicas utilizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5. Resultados 49

5.1. Arteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.2. Vena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.3. Capilar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.4. Modelo completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6. Conclusiones 58

VI

Indice de figuras

2.1.1. Estructura general de una arteria [5]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.2. Presion y velocidad de la sangre a traves de los vasos sanguıneos [5]. . . . . . 11

2.1.3. Arteriolas y venulas interconectadas por vasos capilares [5]. . . . . . . . . . . 12

3.1.1. Perfil de velocidad en un flujo laminar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1.2. Flujo a traves de un tubo [7]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1.3. Perfil de flujo parabolico [12]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.4. Perfil de flujo turbulento [12]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.0.1. Metodologıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.5.1. Eleccion de fısicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.6.1. Variables dependientes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.6.2. Variables dependientes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.6.3. Seleccion de unidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.6.4. Figuras geometricas elegibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.6.5. Parametros fısicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.6.6. Parametros logicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.6.7. Materiales disponibles en el software. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.6.8. Ajustes de malla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.6.9. Representacion de la malla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.6.10. Aproximacion del modelo completo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.1.1. Representacion teorica [a] y simulada [b] de las capas de una arteria. . . . . . 50

5.1.2. Simulacion de los niveles de velocidad y presion en una arteria. . . . . . . . . 51

5.2.1. Representacion teorica [a] y simulada [b] de las capas de una vena. . . . . . . 52

5.2.2. Simulacion de los niveles de velocidad y presion en una vena. . . . . . . . . . 53

5.3.1. Representacion teorica [a] y simulada [b] de las capas de un capilar. . . . . . 54

5.3.2. Simulacion de los niveles de velocidad y presion de un capilar. . . . . . . . . 55

5.4.1. Curva de nivel de velocidad del modelo completo. . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.4.2. Curva de nivel de presion del modelo completo. . . . . . . . . . . . . . . . . 57

VII

Indice de tablas

2.1.1. Caracterısticas de la aorta, arterias y arteriolas [6]. . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.2. Caracterısticas de las venulas, venas y la vena cava [6]. . . . . . . . . . . . . 16

2.1.3. Caracterısticas de los capilares [6]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.1.1. Caracterısticas de los vasos sanguıneos [6]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.1.1. Valores del diametro del vaso sanguıneo y el espesor de la pared. . . . . . . . 35

4.1.2. Comparacion entre algunos softwares disponibles en el mercado. . . . . . . . 37

4.6.1. Parametros de la sangre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.6.2. Parametros de las paredes de los vasos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.6.3. Parametros de elasticidad de los vasos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.6.4. Velocidad inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

VIII

Lista de simbolos y abreviaturas.

Sımbolo Termino Unidad SI Definicion

u Velocidad m/s

ρ Densidad de la sangre kgm3 1060

P Presion Pa

µ Viscosidad dinamica de la sangre Pa.s 3,2x10−3

v Viscosidad cinematica m2

sµp

F Fuerza viscosa N F = µA dvdx

Fd Fuerza de desplazamiento N Fd = πr2(P1 − P2)

γ Tasa de deformacion s−1 uh

h Distancia desde la pared del vaso m

Re Numero de Reynolds Duρµ

M Numero Mach uc

c Velocidad del sonido m/s 343

1

Capıtulo 1

Introduccion

El sistema cardiovascular esta formado por el corazon y los vasos sanguıneos. La funcion de este

es dar un suministro continuo de nutrientes y oxıgeno a todos los organos y tejidos del cuerpo.

Existen dos clases de circulacion: circulacion sistemica y la circulacion pulmonar. La circulacion

sistemica consiste en llevar la sangre oxigenada a todo el cuerpo, por medio de las arterias,

mientras que la circulacion pulmonar recoge la sangre desoxigenada que entra al corazon y es

llevada a los pulmones, la sangre es oxigenada y es enviada de nuevo al corazon, para depositarla

en la aurıcula izquierda, luego la sangre es bombeada al ventrıculo izquierdo, terminando el

proceso e iniciando la circulacion sistemica [1].

La sangre se compone de plasma y distintos elementos celulares, los elementos celulares com-

ponen un 45 % del volumen, mientras que el plasma ocupa el 55 % aproximadamente [1]. El

plasma carece de celulas, siendo compuesta por agua en su mayorıa y un pequeno porcentaje de

proteınas, grasa, vitaminas, oxigeno, dioxido de carbono y nitrogeno entre otras.

La densidad de la sangre es un poco mayor a la del agua, entre un rango de 1.05 a 1.07, su visco-

sidad viene dada por valores entre 3.5 y 5 [2]. Sin embargo la viscosidad depende ampliamente

de la temperatura ambiente. Esto quiere decir que al aumentar la temperatura la viscosidad de la

sangre disminuye.

2

Capıtulo 1. Introduccion

La descripcion correcta de la circulacion de la sangre, ası como sus propiedades fueron pro-

ducidas por el medico ingles William Harvey (1578 - 1657). Lo cual conducirıa a una nueva

concepcion acerca de las propiedades que tiene el sistema circulatorio.

Para modelar un flujo existen diferentes acercamientos, Bernoulli lo modelo como un fluido

ideal, en el cual no se tiene en cuenta la resistencia del medio al movimiento del fluido, lue-

go estan los flujos newtonianos los cuales tienen en cuenta la resistencia al movimiento, pero

consideran la viscosidad constante en el tiempo.

TXY = µdvxdy

(1.1)

TXY Es la tension tangencial ejercida en un punto del fluido sobre una superficie solida en

contacto con el mismo µ, donde µ es la viscosidad para un fluido newtoniano, la cual depende

solo de la temperatura. dvxdy

es el gradiente de velocidad perpendicular a la direccion al plano en

el que se calcula la tension tangencial.

La sangre es un fluido no newtoniano, quiere decir que la viscosidad de la sangre depende de

la presion y el diametro del medio conductor. La resistencia al flujo crece en el area proxima a

las paredes del medio de conduccion mientras que en el area central la velocidad es maxima.

Este fenomeno de la sangre puede ser explicado debido al alineamiento de las partıculas que

conforman la sangre a medida que aumenta la velocidad.

Este comportamiento de la sangre se conoce como flujo laminar, el cual se comporta de la

siguiente manera. Dentro de un vaso sanguıneo una capa muy pequena de sangre que tiene

contacto con la pared del vaso esta detenida, la siguiente capa tiene una velocidad pequena y

por cada capa que se acerque al centro la velocidad va aumentando. Este comportamiento tiene

lımites de velocidad, la consecuencia de alcanzar estos lımites es que la sangre se comporta

de un modo turbulento. Este comportamiento puede ser ocasionado por la obstruccion de una

arteria o por enfermedades que causen una disminucion en la viscosidad de la sangre.

3


El flujo sanguıneo en arterias de gran tamano presenta un comportamiento de pulsos, debido a

la contraccion cardıaca, la velocidad de propagacion de la onda depende de la presion arterial,

del radio de la arteria por la que se propaga y del espesor de su pared. En las extremidades de los

vasos capilares el flujo sanguıneo tiene un comportamiento estacionario, esto quiere decir que

el flujo se vuelve constante debido a un amortiguamiento del pulso en las zonas de los capilares,

esto ocasionado por su bajo diametro.

Por lo tanto hay distintas velocidades de la sangre en el sistema circulatorio. La velocidad en

la aorta es mayor, en las venas es menor, mientras que la velocidad mınima se registra en los

capilares. Luego de pasar la sangre por los capilares, la velocidad de la sangre vuelve a aumentar.

La viscosidad de la sangre depende del diametro de los vasos, la presion y el volumen de la

sangre, ya que la sangre esta conformada por distintas partıculas como los eritrocitos, es decir,

que la viscosidad de la sangre depende del volumen de partıculas que conforman la sangre.

4


1.1. Objetivo general

Modelar y simular el comportamiento de un sistema de vasos sanguıneos en condiciones de

normalidad, mediante el uso elementos finitos.

1.1.1. Objetivos especıficos

Los objetivos especıficos que contribuiran a desarrollar el objetivo general del trabajo son los

siguientes:

Establecer los distintos parametros fısicos que corresponden a las arterias, capilares y ve-

nas, para lograr un estudio aproximado al comportamiento real de estos vasos sanguıneos.

Describir el proceso de la simulacion del software COMSOL, como herramienta empleada

en la simulacion de comportamientos fısicos de hidrodinamica.

Modelar el comportamiento de cada vaso sanguıneo para obtener un sistema.

Simular el sistema propuesto con las fısicas disponibles del software obtenido por la uni-

versidad.

Verificar las caracterısticas del sistema obtenidas por la simulacion, mostrando una apro-

ximacion al comportamiento real de los distintos vasos sanguıneos.

5

Capıtulo 2

Composicion y funciones de la sangre

La sangre circula por el cuerpo humano a traves del sistema circulatorio, llevando con ella los

nutrientes y el oxıgeno. Los componentes de las celulas en suspension en la sangre consisten

principalmente de los eritrocitos (celulas rojas de la sangre), los leucocitos (globulos blancos)

que mejoran la inmunidad contra las enfermedades; y los trombocitos (plaquetas) que proporcio-

nan el mecanismo de coagulacion de la sangre. La proporcion de sangre ocupada por las celulas

rojas es aproximadamente de 45 %. Los globulos blancos y las plaquetas presentan una porcion

muy pequena de la sangre y por lo tanto se incluye a menudo en este porcentaje. La proporcion

restante, aproximadamente el 55 %, esta compuesta de plasma [1].

El hematocrito es una medida de las proporciones de la sangre que son celular o lıquido (plasma).

Por ejemplo un hematocrito normal es de aproximadamente 48 % para los hombres y 38 % para

las mujeres. Esto representa el porcentaje de sangre en volumen que contienen celulas rojas de

la sangre [2].

El plasma se compone predominantemente de agua (hasta 93 % en volumen), proteınas, glucosa,

iones minerales, hormonas y dioxido de carbono. Sirve como una forma de reserva de proteına

en el cuerpo, mantiene el nivel de electrolito por osmosis intravascular y previene la infeccion o

enfermedades de la sangre. El plasma sanguıneo tiene una densidad de 1025 kg/m3.

Los eritrocitos (globulos rojos) transportan oxıgeno en la sangre y tienen una vida util de aproxi-

madamente 120 dıas. La hemoglobina, que es una proteına basada en hierro con peso molecular

6

Capıtulo 2. Composicion y funciones de la sangre

de aproximadamente 65,700 g/mol, da a la sangre su color rojo, tambien facilita la oxigenacion

de la sangre, el transporte de oxıgeno y gases respiratorios.

Los leucocitos (globulos blancos) protegen el cuerpo contra la infeccion y sustancias no bio-

compatibles. Las celulas se fabrican en la medula osea (celulas madre hematopoyeticas) y tiene

una vida util de aproximadamente 3 dıas. Se distribuyen por el cuerpo humano y existen tanto

en la circulacion como en el sistema linfatico.

Los Trombocitos (plaquetas) son fragmentos de celulas a escala micro de aproximadamente

2 µm de diametro y tienen una vida util de aproximadamente 7 dıas. Las plaquetas son hilos

de fibras que permiten la coagulacion de la sangre. Tener baja cantidad de plaquetas es una

condicion conocida como trombocitopenia, esto da como resultados un sangrado excesivo. Por

otro lado, la alta cantidad de plaquetas puede causar trombocitosis, esta anomalıa puede repre-

sentar alta coagulacion y por lo tanto mayor probabilidad de bloqueos en los vasos sanguıneos,

aumentando el riesgo de accidentes cerebrovasculares [3].

2.1. Caracterısticas de los vasos sanguıneos.

Los vasos sanguıneos se clasifican en arterias, venas y capilares, los cuales se diferencian por el

diametro de su conducto, los mas grandes son las arterias las cuales tienen la funcion de llevar la

sangre oxigenada desde el corazon al resto de los organos, las venas tienen la funcion de llevar la

sangre a los pulmones para ser oxigenada, el camino de las venas empieza recogiendo la sangre

desoxigenada de los organos, la sangre se desoxigena debido al largo camino recorrido, en este

viaje por el cuerpo la sangre entrega oxıgeno a los diferentes organos del cuerpo y al mismo

tiempo recoge impurezas, por ello requiere empezar el proceso de limpieza y oxigenacion de

nuevo. Por ultimo los capilares que son los mas pequenos tienen la funcion de llevar el oxıgeno

a los distintos tejidos y organos.

Las arterias y las venas se caracterizan por tener tres capas, siendo las capas de las venas mas

delgadas que las de las arterias, en cambio los vasos capilares solo estan formados por una

capa. El diametro de las arterias varıan entre 4 a 7 milımetros a excepcion de la aorta la cual

7


puede alcanzar unos 25 milımetros en algunos adultos, las venas varıan tambien en tamano

dependiendo de lo cerca que esten del corazon, variando de venas pequenas con un diametro de

0.1 a 1 milımetro, mientras que las mas grandes alcanzan un diametro de 1 a 10 milımetros. Los

vasos capilares como se mencionaba anteriormente son los mas finos alcanzando un grosor de 8

a 12 micrometros [4].

Los vasos sanguıneos son los encargados de llevar la sangre a cada uno de los tejidos y organos

del cuerpo humano. Hay cinco clases de vasos sanguıneos en el sistema cardiovascular: arterias,

arteriolas, capilares, venulas y venas. Las arterias son vasos elasticos fuertes, capaces de llevar

la sangre enviada desde el corazon a alta presion. Se subdividen en tubos mas delgados llamados

arteriolas que son ramificaciones mas finas.

La pared de una arteria se compone de tres capas (Figura 2.1.1), La tunica interna compuesta

de una capa de epitelio escamoso conocido como endotelio. La cual se forma de una membrana

de tejido conectivo con muchas fibras elasticas de colageno. El endotelio ayuda a prevenir la

coagulacion de la sangre y regula el flujo sanguıneo. Ademas de liberar oxido nıtrico para relajar

el musculo liso del vaso. Las paredes de las venas son similares pero no identicas a las paredes

arteriales.

La tunica media, la cual constituye la mayor parte de la pared arterial, contiene fibras de musculo

liso y una capa de tejido conectivo elastico grueso, por ultimo, esta la tunica externa que es la

mas delgada, en su mayorıa formada por tejido conectivo, con fibras irregulares que se unen a

los tejidos circundantes. Los musculos lisos de las arterias y arteriolas estan inervados por el

sistema nervioso, las fibras vasomotoras reciben impulsos de contraerse y reducir el diametro

de los vasos sanguıneos. Cuando son inhibidas, las fibras musculares se relajan y aumentan el

diametro del vaso. Los cambios en los diametros de las arterias y arteriolas, afectan en gran

medida el flujo sanguıneo y la presion.

8


Figura 2.1.1: Estructura general de una arteria [5].

Las arteriolas mas grandes tambien tienen tres capas en sus paredes, cuando las arteriolas se

hacen mas delgadas conducen a los vasos capilares. Las paredes de las arteriolas muy finas, solo

tienen un revestimiento endotelial y algunas fibras musculares lisas con una pequena cantidad

de tejido conectivo circundante.

Los vasos sanguıneos de menor diametro son los capilares, estos conectan las arteriolas mas

pequenas con las venulas mas pequenas. Las paredes de los capilares tambien se componen

de endotelio y forman la capa semipermeable a traves de la cual las sustancias de la sangre se

intercambian con sustancias en los fluidos tisulares alrededor de las celulas del cuerpo.

Las paredes capilares tienen ranuras delgadas donde las celulas endoteliales se superponen. Es-

tas hendiduras tienen diferentes tamanos, que afectan la permeabilidad. Los capilares de los

musculos tienen aberturas mas pequenas que los de las glandulas, los rinones y el intestino

delgado. Los tejidos con mayores tasas metabolicas tienen muchos mas capilares que los que

tienen tasas metabolicas mas lentas. Algunos capilares pasan directamente de las arteriolas a las

venulas mientras que otros tienen redes muy ramificadas. Esfınteres pre capilares controlan la

9


distribucion de sangre a traves de los capilares, basados en las demandas de las celulas, estos

esfınteres se contraen o se relajan para que la sangre pueda seguir vıas especıficas para satisfacer

las necesidades celulares de tejido [4].

Gases, subproductos metabolicos y los nutrientes se intercambian entre los capilares y el fluido

del tejido alrededor de las celulas del cuerpo. Las paredes capilares permiten la difusion de

la sangre con altos niveles de oxıgeno y nutrientes. Tambien permiten que los altos niveles

de dioxido de carbono y otros desechos se muevan desde los tejidos hacia los capilares. Las

proteınas plasmaticas por lo general no se pueden mover a traves de las paredes de los capilares

debido a su gran tamano, por lo que permanecen en la sangre. La presion arterial se genera

cuando las paredes capilares se contraen proporcionando fuerza para la filtracion a traves de la

presion hidrostatica [5].

La presion arterial es mas fuerte cuando la sangre sale del corazon y se debilita a medida que se

aleja debido al contacto entre la sangre y las paredes de los vasos. Por lo tanto, la presion arterial

es mas alta en las arterias, menos en las arteriolas, y la mas baja en los capilares (Figura 2.1.2).

Las venulas son vasos microscopicos que unen los capilares y las venas, las venas transportan

la sangre de vuelta a las aurıculas. Las paredes de las venas son similares a las de las arterias

pero sin desarrollar las capas medias. Debido a que tienen paredes mas delgadas que son menos

elasticas que las de las arterias, sus lumenes tienen un diametro mayor.

Muchas venas tienen valvulas (Figura 2.1.3) que se proyectan hacia dentro de sus revestimientos.

Estas valvulas tienen a menudo dos estructuras que cierran, si la sangre comienza a acumularse

en la vena. Es decir que ayudan a devolver la sangre al corazon, abriendose si el flujo sanguıneo

va hacia el corazon, pero cerrandose si se invierte. A diferencia de las arterias, las venas no tienen

suficiente presion de las contracciones del corazon para mantener la sangre en movimiento a

traves de ellos. Para mantener el flujo de la sangre, las venas se basan en el movimiento de los

musculos esqueleticos cercanos, ası como la apertura y cierre de las valvulas dentro de ellas. Por

lo tanto, una importante diferencia estructural entre las venas y las arterias es que las arterias no

tienen valvulas [4].

Las venas tambien actuan como reservorios de sangre en ciertas condiciones, como por ejemplo

10


Figura 2.1.2: Presion y velocidad de la sangre a traves de los vasos sanguıneos [5].

durante una hemorragia arterial. Las constricciones venosas resultantes ayudan a mantener la

presion arterial mediante la devolucion de mas sangre al corazon, lo que garantiza un flujo de

sangre casi normal, incluso cuando hasta una cuarta parte del volumen de sangre se pierde.

11


Figura 2.1.3: Arteriolas y venulas interconectadas por vasos capilares [5].

2.1.1. Arterias

Las arterias son las encargadas de llevar la sangre oxigenada al resto del cuerpo, en lo que se

conoce como circulacion sistemica, el fluido debe viajar a todos los capilares del cuerpo, debido

a la extension del sistema, la sangre no alcanza a llevar la sangre oxigenada en un solo pulso

del corazon, ya que el flujo no es continuo, por esta razon la sangre recoge impurezas al pasar

por los distintos capilares, disminuyendo de esta forma la oxigenacion de la sangre, por ello el

proceso debe reiniciar enviando la sangre desoxigenada de nuevo al corazon, por medio de las

venas.

La arteria de mayor diametro en el cuerpo es la aorta, se extiende hacia arriba desde el ventrıculo

izquierdo arqueandose sobre el corazon a la izquierda, descendiendo por el anterior izquierdo

de la columna vertebral. La primera porcion de la aorta se llama la aorta ascendente. Inicia en la

valvula aortica del ventrıculo izquierdo. Las arterias coronarias derecha e izquierda se originan

en el seno aortico. Este origen se produce en la base de la aorta ascendente, ligeramente superior

a la de la valvula aortica [5].

12


Las curvas del arco aortico a traves de la superficie superior del corazon, conectan la aorta

ascendente con la aorta descendente. Tres arterias se originan a lo largo del arco aortico. Ellas

entregan sangre a la cabeza, el cuello, los hombros y extremidades superiores.

El tronco braquiocefalico asciende solo por una corta distancia antes de ramificarse para formar

la subclavia derecha y la arteria carotida derecha comun. La aorta descendente es continua con

el arco aortico. El diafragma divide la aorta descendente en aorta toracica superior y una aorta

abdominal inferior. Las ramas de la aorta toracica incluyen los bronquios, pericardico, esofago,

mediastino, y las arterias intercostales.

La aorta abdominal, comienza inmediatamente inferior al diafragma, esta es una continuacion

de la aorta toracica. Se lleva sangre a los organos y estructuras abdominopelvicas. Las ramas

de la aorta abdominopelvicas incluyen las siguientes: celıaca, frenico, mesenterica superior,

suprarrenal, renal, gonadal, mesenterica inferior, lumbar, sacra media, y las arterias lila comunes.

Las arterias de la subclavia y carotida comun suministran sangre al cuello, la cabeza y el cerebro.

Las principales divisiones de estas arterias son las arterias vertebrales y tirocervical. Las arterias

vertebrales van hacia arriba a traves de las vertebras cervicales al craneo suministrando sangre a

las vertebras, sus ligamentos y sus musculos. Se unen en la cavidad craneal para formar la arteria

basilar, que se ramifica a la protuberancia, el mesencefalo y el cerebelo. En ultima instancia, se

divide en las dos arterias cerebrales posteriores [5].

Tabla 2.1.1: Caracterısticas de la aorta, arterias y arteriolas [6].

Vaso Cantidad de

vasos

Diametro

(cm)

Area (cm2) Espesor de la

pared (cm)

Velocidad

(cm/seg)

Aorta 1 2.5 4.5 0.2 48

Arterias 159 0.4 20 0.1 45

Arteriolas 5.7x107 5x10−3 400 2x10−3 5

Los parametros descritos en la Tabla 2.1.1 Tabla 2.1.2 y Tabla 2.1.3 establecen el numero de

vasos existentes en el cuerpo, el diametro, el area, el espesor de la pared y la velocidad del fluido

13


en cada vaso.

2.1.2. Venas

Las venas y las venulas llevan la sangre desoxigenada al corazon, debido a las impurezas y a la

falta de oxıgeno que tiene la sangre, el proceso se debe iniciar nuevamente, llevando la sangre a

la aurıcula derecha del corazon, empezando de esta manera la circulacion pulmonar.

Los vasos del sistema venoso son mas difıciles de seguir que las del sistema arterial. Se conectan

en redes irregulares, con muchos vasos sin nombre uniendose para formar venas mas grandes.

Las venas mas grandes generalmente paralelas a las ubicaciones de las arterias tienen nombres

similares. Las venas de todas las partes del cuerpo ademas de las de los pulmones y el corazon

convergen en la vena cava superior y la vena cava inferior, lo que lleva a la aurıcula derecha [5].

Las venas yugulares externas descienden a cada lado del cuello y se vacıan en la vena subclavia

derecha y la vena subclavia izquierda. Las venas yugulares internas descienden a traves del

cuello para unirse a las venas subclavias, formando venas braquiocefalicas en cada lado, por

encima de las clavıculas. A continuacion, se unen para formar la vena cava superior.

Las venas profundas y superficiales drenan las extremidades superiores y los hombros. Las venas

superficiales se conectan a traves de redes complejas justo debajo de la piel y se comunican con

los vasos mas profundos. La vena basılica asciende a unirse a la vena braquial, la fusion forma la

vena axilar. La vena cefalica asciende para desembocar en la vena axilar, y mas tarde se convierte

en la vena subclavia.

Las venas acigos y braquiocefalica drenan el abdomen y las paredes toracicas. La vena acigos

asciende a traves del mediastino para unirse a la vena cava superior. Sus afluentes incluyen

las venas intercostales posteriores, hemiacigos superiores, y hemiacigos inferiores. Las venas

lumbares ascendentes tienen vasos de las regiones lumbar y sacra.

14


La mayorıa de las venas llevan la sangre directamente a las aurıculas del corazon, a excepcion

de las venas que drenan las vısceras abdominales. Se originan en el estomago, los intestinos, el

pancreas y el bazo para llevar la sangre a traves de una vena porta hepatica en el hıgado. Esta

vıa se llama el sistema porta hepatica e Incluye las venas gastricas izquierda y derecha, la vena

mesenterica superior y la vena esplenica.

El hıgado ayuda a regular las concentraciones en sangre de acidos lıpidos y aminoacidos absor-

bidos. Los modifica en celulas utilizables, que se oxidan o los cambia en formas que se pueden

almacenar. La sangre venosa del portal hepatico por lo general contiene bacterias de capilares

intestinales. Grandes celulas de Kupffer en el hıgado fagocitan los microorganismos antes de

que puedan salir del hıgado. Esta sangre entonces viaja a traves de vasos fusionados en las venas

hepaticas, que desembocan en la vena cava inferior [5].

Las venas que drenan la sangre desde las extremidades inferiores tambien se subdividen, como

los de las extremidades superiores, en grupos superficiales y profundos. La vena tibial anterior

y la vena tibial posterior se funden a partir de la vena poplıtea, continuando hacia arriba como

la vena femoral y la vena ilıaca externa.

Las venas safena de la pierna se comunican entre sı, ası como las venas profundas de la pierna

y el muslo, permitiendo que la sangre regrese al corazon desde las extremidades inferiores por

varias vıas. En la pelvis, los vasos transportan la sangre desde el sistema reproductor, urinario y

organos del sistema digestivo, a traves de las venas ilıacas internas. Estas se unen con las venas

ilıacas externas para formar las venas ilıacas comunes y finalmente, la vena cava inferior. La

gran vena safena recorre toda la longitud de la pierna y se considera la vena mas larga en el

cuerpo.

15


Tabla 2.1.2: Caracterısticas de las venulas, venas y la vena cava [6].

Vaso Cantidad de

vasos

Diametro

(cm)


pared (cm)

Velocidad

(cm/seg)

Venulas 1.3 x109 2 x10−3 4000 2.10 x10−4 0.2

Venas 200 0.5 40 0.05 10

Vena cava 1 3 18 0.15 38

2.1.3. Capilares

Los capilares cumplen la importante funcion de llevar la sangre oxigenada a todos los rincones

de la piel, su tamano es menor debido al espacio que deben abarcar, ya que el intercambio de

sustancias se debe dar en todos los organos y tejidos.

Tabla 2.1.3: Caracterısticas de los capilares [6].

Vaso Cantidad de

vasos

Diametro

(cm)


pared (cm)

Velocidad

(cm/seg)

Capilares 1.6 x1010 8 x10−4 4500 1 x10−4 0.1

Publicaciones

Como resultado de esta tesis, el siguientes papers se ha sometido a revision.

1. Ortiz, C, Robayo, D y Camargo, L. H. Modelado y Simulacion de un Sistema de Vasos san-

guıneos presentado al XII Congreso Internacional de Electronica, Telecomunicaciones y Control

2016.

16

Capıtulo 3

Caracterısticas del modelo para este

estudio

Las caracterısticas mas importantes para este modelo incluyen el flujo sanguıneo, los modelos

matematicos Poiseuille y Bernoulli, la viscosidad de la sangre, la fuerza de deformacion, la

fuerza de presion, el numero de Reynolds, los flujos laminares y turbulentos y la dinamica de

fluidos Navier-Stokes.

3.1. Flujo sanguıneo

El flujo sanguıneo debe ser estudiado segun la forma del conducto que transporte la sangre, esto

quiere decir que los parametros como la viscosidad, la velocidad o la presion no son iguales para

todo el sistema.

La sangre es un fluido heterogeneo que contiene celulas sanguıneas que cambian de forma y

movimiento dentro del plasma durante los cambios de velocidad. Esto conduce a un cambio

en la viscosidad de la sangre llevandolo a un comportamiento de un fluido no newtoniano.

En la mayorıa de los estudios hemodinamicos, se supone la viscosidad de la sangre constan-

te (3,2x10−3 Pa.s) [3].

La viscosidad de un fluido se cuantifica por la viscosidad dinamica y cinematica. La viscosidad

17

Capıtulo 3. Caracterısticas del modelo para este estudio

dinamica µ tiene unidades de Newton segundos por metro cuadrado [Nsm2]. La viscosidad

cinematica v es la relacion de la viscosidad dinamica a la densidad del fluido v = µ/ρ que tiene

unidades de metros cuadrados por segundo [m2s−1].

La densidad de la sangre es aproximadamente 1060 kg/m3 a 37oC y relaciona el volumen de los

globulos rojos en la sangre. Comparativamente la densidad del agua es de 998 kg/m3 a 20oC y

la densidad del aire es 1,22 kg/m3 a presion atmosferica y temperatura estandar.

En general la densidad de un fluido cambia con la temperatura y la presion, pero esto es tıpica-

mente pequeno para lıquidos, por lo tanto a menudo se supone constante a pesar de cualquier

variacion en la temperatura y la presion. Para ejemplificar esto, considerando compresibilidad

de un fluido, el cual es el cambio fraccional en el volumen (m3) por unidad de incremento de la

presion o la temperatura. Un cambio de volumen va a alterar su densidad; sin embargo, para un

lıquido estandar implica un cambio de 0,001m3 por 1 kPa de cambio de presion y 0,00001m3

por 1 oC de variacion de la temperatura [3]. Tales cambios pequenos de volumen tienen un

efecto pequeno en la densidad de todo el conjunto.

3.1.1. Modelo Poiseuille

Cuando un fluido se mueve en un tubo capilar bajo flujo laminar o viscoso, la distribucion de la

velocidad del fluido es parabolica, con una velocidad maxima en el eje del tubo y una velocidad

mınima en la pared (Figura 3.1.1).

Figura 3.1.1: Perfil de velocidad en un flujo laminar.

En este sistema, el flujo puede ser visualizado como una serie de superficies parabolicas concentri-

cas moviendose a diferentes velocidades y por consiguiente, ejerciendo fuerzas viscosas entre sı

[7], que pueden ser expresadas por la siguiente relacion:

18


F = µAdv

dx(3.1)

Por lo tanto, la fuerza viscosa sobre un tubo o cilindro de radio r es:

Fv = µ(2πrL)dv

dx(3.2)

La fuerza de desplazamiento sobre este mismo tubo es la presion diferencial que actua sobre el

area:

Fd = πr2(P1 − P2) (3.3)

Si el fluido no se acelera, la suma de la fuerza desplazante y de retardo viscoso sera igual a cero:

µ(2πrL)dv

dr+ πr2(P1 − P2) = 0 (3.4)

Si despejando dv, e integrando la ecuacion resulta:

dv = −(P1 − P2)rdr

2µL(3.5)

v = −(P1 − P2)r

2

4µL+ C1 (3.6)

La constante de integracion C1, puede ser evaluada considerando v = 0 a r = ro. Con lo que se

obtiene la siguiente expresion para la velocidad:

v = −(r20 − r2)(P1 − P2)

4µL(3.7)

Esta expresion da la velocidad de cualquier superficie cilındrica, indicando que la velocidad

varıa parabolicamente desde un maximo en el centro, a cero en las paredes.

19


3.1.2. Modelo Bernoulli

El fluido hidraulico en un sistema contiene energıa en dos formas, energıa cinetica y energıa

potencial. Bernoulli demostro que en un sistema con flujos constantes, la energıa es transformada

cada vez que se modifica el area transversal del tubo.

El principio de Bernoulli dice que la suma de energıas potencial y cinetica, en los diferentes

puntos del sistema, es constante, si el flujo es constante. Cuando el diametro de un tubo se

modifica, la velocidad tambien se modifica.

Mientras que la ecuacion de Bernoulli se basa en ideas de validez universal como la conservacion

de la energıa, la energıa cinetica y la energıa potencial, su aplicacion se limita a los casos de

flujo constante ideal. Para el flujo a traves de un tubo, tal flujo puede ser visualizado como flujo

laminar (Figura 3.1.2), la energıa cinetica de ese flujo en cualquier punto del fluido puede ser

modelada y calculada a partir de:

P1 +1

2ρv21 + pgh1 = P2 +

1

2ρv22 + pgh2 (3.8)

Figura 3.1.2: Flujo a traves de un tubo [7].

20


Si bien la conservacion de la energıa siempre se aplica, esta forma de analisis de energıa no

describe la forma en que la energıa se distribuye bajo condiciones transitorias.

3.1.3. Viscosidad de la sangre

La viscosidad de la sangre es un parametro importante, debido a su variabilidad, ya que depende

de diferentes factores, tales como el conteo de celulas rojas, celulas blancas, plaquetas, proteınas,

etc. Ademas de su dependencia de la temperatura, mencionada en el capıtulo anterior.

En general, la viscosidad de la sangre es una funcion de la viscosidad del plasma (que es relativa-

mente constante) y la viscosidad de los elementos formados (no constante). Cuando la velocidad

es constante, la sangre se comporta como un fluido newtoniano ya que las celulas de la sangre

no lo hacen deformar. Pero este no es el caso de grandes cambios de velocidad donde las celulas

de la sangre se deforman y se mueven diferente al aproximarse a las paredes de los vasos, los

cuales influyen en su viscosidad. La viscosidad de la sangre esta influenciada principalmente por

las celulas rojas de la sangre y en menor medida, por el diametro del vaso sanguıneo, velocidad

de cizallamiento y la temperatura.

Los globulos rojos ocupan el 99,7 % de todos los elementos y son un factor determinante de

la diferencia entre la viscosidad del plasma y la viscosidad sanguınea. Los volumenes restan-

tes contienen celulas blancas de la sangre y plaquetas que contribuyen 0,16 % y 0,12 % de los

elementos totales respectivamente [5]. El porcentaje de sangre total ocupado por los elementos

formados se llama hematocrito. Como los globulos rojos ocupan casi la totalidad de los elemen-

tos formados, el hematocrito es comunmente conocido como el volumen de globulos rojos. En

los varones adultos el hematocrito promedio tiene un valor de 46 (rango: 40-54), mientras que

para las mujeres es de 42 (rango: 37-47) [3].

La viscosidad del plasma es µ = 1,2x10−3 kg.m−1s−1 y esto aumenta cuando las celulas rojas

son consideradas. El tamano, la forma y la flexibilidad de los globulos rojos son los factores

que influyen en la viscosidad. La viscosidad de la sangre entera en el hematocrito de 45 % es

de aproximadamente µ = 3,2x10−3 kg.m−1s−1. Un cambio en el hematocrito significa que

el volumen ocupado por las celulas rojas cambio y esto tiene un efecto significativo sobre la

21


viscosidad; una unidad de aumento en el hematocrito puede causar hasta un 4 % de aumento de

la viscosidad sanguınea [6].

Cuando se expone al aumento de la deformacion, la viscosidad disminuye. La tasa de deforma-

cion de un fluido que fluye entre el centro de un vaso sanguıneo y su paredes se define por

γ =u

h(3.9)

Donde γ es la tasa de deformacion medida en segundos recıprocos; u es la velocidad del fluido y

h es la distancia desde la pared del vaso. El aumento de velocidades de deformacion se produce

cuando hay altas velocidades en los vasos. Esto causa que las celulas rojas de la sangre, para

avanzar hacia el centro de los vasos y orientarse en la direccion del fluido, tengan que reducir su

viscosidad. Para velocidades bajas, la viscosidad es mas alta y las celulas rojas de la sangre se

distribuyen mas uniformemente a traves del vaso. Para velocidades extremadamente bajas, los

globulos rojos pueden aumentar, lo que incrementa la viscosidad de forma dramatica.

La sangre fluye continuamente a traves de la red de vasos en el sistema cardiovascular. Estos

vasos varıan en tamano de los vasos mas pequenos en la red capilar a las grandes camaras del

corazon. La viscosidad tambien se ve influida por el diametro del vaso debido a las fuerzas de

deformacion causadas por sus paredes. En estos diametros de los vasos, los efectos sobre las

celulas rojas de la sangre no son significativos y la viscosidad se mantiene relativamente cons-

tante. Por lo tanto la sangre puede ser considerada como un fluido homogeneo con propiedades

newtonianas en las arterias mas grandes.

Cuando el diametro del vaso esta en el orden de micras, hay una rapida disminucion de la

viscosidad a medida que disminuye el diametro del vaso de 1000 micras hasta 10 micras. En

estos vasos pequenos, las celulas rojas de la sangre se mueven hacia el centro del vaso, dejando

el plasma cerca de las paredes. Esto reduce la viscosidad de la sangre, este efecto se llama el

“efecto Fahraeus-Lindqvist“ y se extiende hasta los vasos con diametros de aproximadamente 7

micras. En los vasos mas pequenos el diametro interior es aproximadamente del mismo tamano

de las celulas rojas, con un rango de 3 a 8 µm [5]. Cuando la sangre fluye a traves de estos vasos,

las celulas rojas se deforman considerablemente causando microcirculacion y un aumento de la

22


viscosidad, el diametro del vaso es tan pequeno que se aproxima al mınimo teorico de diametro

de una celula sanguınea de 2,7 µm.

Como todos los fluidos, la viscosidad es dependiente de la temperatura. Una disminucion de 1oC

en la temperatura produce aproximadamente 2 % de incremento en la viscosidad de la sangre.

Para regiones frıas del cuerpo como los dedos, la viscosidad de la sangre es mas alta que la

viscosidad de la sangre que se registra en el cerebro.

La representacion de la sangre como un fluido no newtoniano puede ser lograda usando la vis-

cosidad aparente de la sangre

µ = keT0/TSn−1 (3.10)

Donde k = 0,00622 [kgsn−2

/m] es el ındice de consistencia, n = 0,7 es el ındice de la ley de

potencia. T [K] y T0[K] son las temperaturas local y de referencia, respectivamente y S es la

tasa de deformacion [3].

Los niveles de hematocrito y su correspondiente viscosidad pueden dar muestras del estado de

salud de un paciente. Los niveles anormalmente altos de hematocrito de 60-70 % se denomi-

nan policitemia, donde existe un mayor contenido de oxıgeno y aumento de la viscosidad. Esto

conduce a un aumento de la resistencia al flujo de sangre, forzando al corazon a trabajar mas

duro y puede poner en peligro la perfusion de organos. Del mismo modo los atletas que realizan

dopaje de sangre por la inyeccion de globulos rojos empaquetados o productos ilıcitos como la

eritropoyetina (EPO), buscan aumentar su hematocrito y ası aumentar el suministro de oxıgeno.

Esto eleva la viscosidad de la sangre y aumenta la carga de trabajo del corazon. Por el contrario

hematocrito mayor a 39 % conduce a la anemia que produce la disminucion de oxıgeno y la dis-

minucion de la viscosidad. Algunas causas comunes incluyen trauma que conduce a la perdida

de sangre, trastornos de la medula osea, deshidratacion, enfermedades pulmonares y el abuso de

ciertas drogas.

El aumento de la viscosidad se ha relacionado como el principal factor de riesgo cardiovascular,

incluyendo presion arterial alta, el colesterol, la obesidad, el tabaquismo y la edad [7]. Los vasos

sanguıneos afectados por estos factores de riesgo cardiovascular obstaculizan flujo natural de la

23


sangre. Cuando el flujo sanguıneo se ralentiza, la viscosidad aumenta como resultado de mas

adherencias de celula a celula y proteına a celula. Las celulas sanguıneas comienzan a unirse,

formando grupos que espesan la sangre, potenciando la coagulacion de los vasos. Dado que la

viscosidad describe el espesor o la viscosidad de un fluido, tambien describe la resistencia de la

sangre a fluir. Esto conduce a una medida de la fuerza con la que el corazon tiene que trabajar

para la entrega de la sangre al cuerpo, una medida clave del rendimiento cardiovascular.

El flujo de sangre a traves de la red cardiovascular de los vasos es esencialmente una forma de

flujo interno, ya que el fluido es limitado por la pared. Dentro de esta clase de flujo, existen una

serie de propiedades de flujo incluyendo la velocidad, la presion y la tension de deformacion.

Ademas, el flujo de sangre puede ser estable o inestable, laminar o turbulento, o arterias en

forma lineal o curvada.

3.1.4. Fuerza de deformacion

A diferencia de los solidos, un fluido no puede resistir una fuerza aplicada y en su lugar reacciona

mediante la deformacion continua bajo la accion de la fuerza, mientras que su viscosidad trata

de resistir la deformacion. Cuando la sangre se mueve a traves de la arteria, una deformacion

resultante se produce debido a las partıculas de fluido que se mueven una sobre otra a diferentes

velocidades, provocando un efecto de friccion similar. Si su velocidad es la misma y todas las

partıculas del fluido se mueven juntas, entonces no hay tension de deformacion.

La velocidad del fluido es igual a cero en la superficie de la pared, pero aumenta la velocidad

cuando se distancia de la pared. Cada capa de fluido se mueve mas rapido que la de abajo,

creando friccion entre ellos. Esta friccion actua como una fuerza de resistencia al movimiento,

la cual es la viscosidad.

Las observaciones experimentales realizadas por Sir Isaac Newton mostraron que fluidos bajo

flujos laminares, la fuerza de corte es proporcional a la velocidad u, y al area A e inversamente

proporcional a la distancia de la pared y.

24


F = µAu

y(3.11)

Donde el factor de proporcionalidad µ es la viscosidad dinamica. Por lo tanto los lıquidos que

se comportan de acuerdo con la ecuacion 3.11 se conocen como fluidos newtonianos. Antes

se observo que para el flujo de sangre en las arterias grandes, su comportamiento es de hecho

newtoniano. La relacion u/y es el cambio de velocidad promedio sobre la distancia y en terminos

diferenciales esto esta escrito como una derivada, du/dy que representa la velocidad del fluido

en la direccion perpendicular al elemento de fluido. Ademas el estres se define como una fuerza

por unidad de area, por lo tanto el esfuerzo cortante, denotado, τ se define como:

τ =F

A= µ

du

dy(3.12)

La ecuacion 3.12 se conoce como ley de la viscosidad de Newton. A veces se utiliza un signo

negativo de manera que τ = −µdu/dy, si el sistema de coordenadas utiliza el punto de origen

como cero en el centro de la tuberıa, lo cual corrige la ecuacion para permitir un esfuerzo de

corte positivo para un gradiente de velocidad que es consecuentemente negativo [3].

3.1.5. Fuerza de presion

La presion en el fluido es un tipo de estres similar al esfuerzo cortante, pero la fuerza actua hacia

el interior y perpendicular a la superficie de un cuerpo de fluido. Se define como una fuerza por

unidad de superficie con unidad estandar de Pascal, que es un Newton por metro cuadrado. Los

valores de presion en la hemodinamica se presentan normalmente como presion manometrica

que es un valor relativo a la presion atmosferica local.

Esto significa que la presion manometrica es cero cuando su presion es igual a la atmosferica.

La presion se define como una fuerza por unidad de area y si se tiene en cuenta la fuerza de

presion en la direccion x entonces:

25


Px =Fx

Ax

=Fx

dydz(3.13)

lo cual da

Fx = Px(dy, dz) (3.14)

El cambio de Px a Px+∆x es basado en la tasa de cambio de P en la direccion x multiplicada por

la distancia, donde la tasa de cambio toma lugar. Esto esta dado por

Px+∆x = Px +dp

dxdx (3.15)

Entonces:

Fx = Px(dy, dz) (3.16)

Fx+∆x = (Px +dp

dxdx)(dy, dz) (3.17)

La presion neta en la direccion x es.

Fx+∆x − Fx = (Px +dp

dxdx)(dy, dz)− Px(dy, dz) (3.18)

Esto significa que la fuerza de presion neta por unidad de volumen es igual al gradiente de

presion, lo cual sugiere que el gradiente de presion crea una fuerza neta para producir el flujo de

fluido y el lıquido fluye desde un valor de presion superior a un valor de presion inferior [3].

26


3.1.6. Parametros fısicos

La Tabla 3.1.1 ilustra los valores de la cantidad de vasos sanguıneos, el diametro, el espesor de

las paredes, el area, y tambien la velocidad promedio en la que viaja la sangre en de cada uno de

los vasos sanguıneos.

Tabla 3.1.1: Caracterısticas de los vasos sanguıneos [6].

Vaso Cantidad de

vasos

Diametro

(cm)


pared (cm)

Velocidad

(cm/seg)

Aorta 1 2.5 4.5 0.2 48

Arterias 159 0.4 20 0.1 45

Arteriolas 5.7x10−7 5x10−3 400 2x10−3 5

Capilares 1.6x1010 8x10−4 4500 1x10−4 0.1

Venulas 1.3x109 2x10−3 4000 2x10−4 0.2

Venas 200 0.5 40 0.05 10

Vena cava 1 3 18 0.15 38

3.1.7. Momentos de flujo laminar y flujo Browniano

Suponiendo que el fluido se compone de grupos individuales de partıculas de fluido en movi-

miento, deslizante, y mezcladas. Si el fluido se mueve lo suficientemente lento sin mucha mez-

cla entre partıculas de fluido, entonces el flujo se considera laminar. Si es intenso y la mezcla es

caotica entre las partıculas de fluido, entonces el flujo se considera turbulento.

Para el flujo en las tuberıas el numero de Reynolds adimensional (Re), se utiliza para ayudar

a establecer este regimen de flujo. El numero de Reynolds es una proporcion de la fuerza de

inercia, producido por el flujo en movimiento, a la viscosidad del fluido.

Re =fuerzadeinercia

fuerzaviscosa=

ρuDh

µ(3.19)

Donde ρ es la densidad, Dh es el diametro hidraulico, u es la velocidad del fluido, y µ es la

viscosidad. Fısicamente, la fuerza de inercia puede ser vista como la capacidad del fluido para

27


mover y deformarse libremente mientras que la viscosidad actua para mantener el fluido junto,

resistiendo cualquier deformacion. La fuerza de inercia es atribuida a los vasos sanguıneos mas

grandes, densidad de fluido o alta velocidad de flujo (ρuDh), que conduce a un mayor movimien-

to de fluidos y los flujos de alta energıa que son turbulentos. Una viscosidad mayor sostendra el

lıquido junto, evitando una deformacion significativa, lo que lleva a un comportamiento de flujo

laminar, si se asumen las arterias como cilindros circulares, que tienen un diametro Dh [3].

El rango de numeros de Reynolds para clasificar si un flujo es laminar o turbulento tambien

dependen de las perturbaciones y rugosidad que estan presentes en el vaso y el flujo [3]. Por

ejemplo, la presencia de paredes asperas en los vasos o una estenosis pueden perturbar el orden

y patron de flujo regular de un flujo de otra forma laminar, y desencadenar el flujo turbulento en

condicion de numeros de Reynolds no esperados.

La inercia del flujo del fluido domina, lo que permite el transporte de partıculas de fluido a traves

de muchas capas y regiones. La presencia de turbulencia aumenta la difusion de la energıa,

mezclado, disolucion, y la transferencia de calor. Muchos flujos que se encuentran en la practica

son turbulentos tales como el humo de un cigarrillo que comienza como un flujo laminar y luego

hace una transicion a la turbulencia a medida que avanza.

3.1.8. Numero de Reynolds

Los diferentes regımenes de flujo y la asignacion de valores numericos de cada uno fueron

reportados por primera vez por Osborne Reynolds en 1883. Reynolds observo que el tipo de flujo

adquirido por un lıquido que fluye dentro de una tuberıa depende de la velocidad del lıquido, el

diametro de la tuberıa y de algunas propiedades fısicas [10].

Ası, el numero de Reynolds es un numero adimensional que relaciona las propiedades fısicas

del fluido, su velocidad y la geometra del ducto por el que fluye y esta dado por:

Re =Dhuρ

µ(3.20)

Cuando el ducto es una tuberıa, Dh es el diametro interno de la tuberıa. Cuando no se trata de

28


un ducto circular, se emplea el diametro equivalente (De) definido como:

De = 4Areatrasnversaldelflujo

PerimetroMojado(3.21)

Generalmente cuando el numero de Reynolds se encuentra por debajo de 2000 se sabe que el

flujo es laminar, el intervalo entre 2000 y 4000 se considera como flujo de transicion y para

valores mayores de 4000 se considera como flujo turbulento [10].

Las caracterısticas fundamentales del flujo laminar (Figura 3.1.3) son el paralelismo entre los

distintos filamentos que componen la corriente y el retorno a esta situacion, aun despues de

ocurrida cualquier perturbacion del regimen de velocidades [11].

Figura 3.1.3: Perfil de flujo parabolico [12].

En cambio, si las perturbaciones consiguen mantenerse, el flujo se denomina turbulento (Figura

3.1.4). Para velocidades medias relativamente importantes el flujo se caracteriza por un entre-

mezclado de las partıculas fluidas con un intenso intercambio de masa y no pudiendose definir

filamentos como en el caso del movimiento laminar. El regimen turbulento se caracteriza por su

elevada inestabilidad, es decir la variacion instantanea de velocidades y el intercambio de masa

mas que evidente [11].

29


Figura 3.1.4: Perfil de flujo turbulento [12].

3.1.9. Dinamica de fluidos Navier Stokes

La ecuacion de Navier-Stokes lleva el nombre de Claude-Louis Navier y George Gabriel Stokes.

Esta ecuacion proporciona un modelo matematico del movimiento de un fluido. Es una ecuacion

fundamental en la dinamica de fluidos. Esta ecuacion puede ser vista como una aplicacion de la

segunda ley de Newton, F = ma que establece que la fuerza es el producto de la masa de un

objeto por su aceleracion [13].

En esta ecuacion equivalente, se evidencia el uso de la densidad y el esfuerzo de corte. La

densidad es la medida de la masa de un objeto por unidad de volumen, mientras que la tension

de corte se define como el componente de la tension coplanar con la seccion transversal del

material.

ρ[du

dt+ u.∇u] = ∇.σ + f (3.22)

Donde ρ denota la densidad del fluido y es equivalente a la masa, du/dt+u.∇u es la aceleracion,

u es la velocidad y ∇.σ + f es la fuerza total, siendo ∇.σ la tension de corte y siendo f todas

las otras fuerzas. Tambien se escriben como:

ρ[du

dt+ u.∇u] = ∇p+ µ∇2u+ f (3.23)

Donde p es la presion y µ es la viscosidad dinamica. La viscosidad se define como la medida

de resistencia de un fluido que esta siendo deformado por el esfuerzo cortante. Finalmente,

30


dividiendo por ρ y restando u.∇u, se obtiene la forma tradicional de la ecuacion de Navier-

Stokes:

du

dt= −(u.∇).u−

1

ρ∇p+ γ∇2u+ f (3.24)

Y se compone de:

En primer lugar −(u.∇).u que es la divergencia de la velocidad, es decir, es la forma en la que

la divergencia afecta a la velocidad. En segundo lugar, esta −1

ρ∇p Esto se puede interpretar en

como las partıculas se mueven a partir de cambios en la presion, especıficamente, la tendencia a

moverse lejos de las zonas de presion mas alta.

Para un flujo turbulento la ecuacion pasa a ser como nos indica la ecuacion 3.25.

p[du

dt+ u.∇u] = −∇p+∇[µ[∇u+ (∇u)T ]−

2

3µ(∇u)I] + f (3.25)

donde I es la matriz identidad del tensor, y T es el tensor de tension de Cauchy.

3.1.10. Numero Mach

El numero Mach es una relacion entre la velocidad del flujo local (u) y la velocidad del sonido

dentro del fluido (c) [14].

M =u

c(3.26)

Hay diferentes regımenes de flujos teniendo en cuenta el numero Mach.

Subsonico M < 0,7

transonico 0,7 < M < 1,2

supersonico 1,2 < M < 5

hipersonico M > 5

31


Para flujos con numero de Mach menores a 0.3 se considera un flujo incomprensible, esto es

importante conocerlo debido a la incomprensibilidad de la sangre y en la eleccion de la fısica

adecuada para este estudio.

3.1.11. Parametro de Lame

Los parametros de Lame son dos constantes elasticas que caracterizan por completo el com-

portamiento elastico lineal de un material con resultados invariantes, respecto a la direccion de

estudio. Estos dos parametros se designan como:

λ la cual es una constante que describe el comportamiento elastico de los materiales.

µ esta constante caracteriza la resistencia al movimiento de los planos de una superficie al

deslizarse por otra.

La ecuacion constitutiva de un material elastico lineal homogeneo e isotropo, viene dada en 3D

por la expresion:

σ = 2µε+ λe (3.27)

donde σ es la tension, ε el tensor de deformacion y e es la suma de deformaciones principales

[15].

32

Capıtulo 4

Metodologıa

Para ilustrar el funcionamiento del flujo sanguıneo, el modelo examina un flujo incompresible

que pasa a lo largo de cilindros y conos con las caracterısticas de los vasos sanguıneos, con un

perfil de velocidad de entrada simetrica.

Figura 4.0.1: Metodologıa.

El tiempo de simulacion necesaria para un patron de flujo periodico es difıcil de conocer. Un

indicador clave es el numero de Reynolds, que se basa en el diametro del cilindro. Para valores

bajos (por debajo de 100) el flujo es constante. En esta simulacion, el numero de Reynolds varıa

a medida que el flujo avanza por el modelo.

33

Capıtulo 4. Metodologıa

Antes de calcular las fuerzas variables en el tiempo del modelo, se puede validar el metodo

de la computacion en un menor numero de Reynolds utilizando el solucionador no lineal. Esto

ahorra tiempo ya que puede encontrar y corregir errores simples antes de la de simulacion final

dependiente del tiempo, lo que requiere un tiempo considerable.

4.1. Parametros

A partir de los datos recopilados en la investigacion se realizo la Tabla 4.1.1, donde se exponen

los valores del diametro y el espesor de las paredes de los vasos sanguıneos encontrados en

las distintas fuentes, para definir los valores del modelo se realizo el promedio de los datos

expuestos en la tabla y ademas un redondeo a cero en decimales menores o iguales a cinco y al

siguiente entero en caso contrario, con la excepcion del espesor en las venas.

4.1.1. Seleccion del software

Se buscaron diferentes programas, la Tabla 4.1.2 muestra una comparacion de algunos softwares

disponibles. Aca se puede observar que la mayorıa de los software de simulacion para ingenierıa

requieren de licencia, algunos que tienen version libre, no cuentan con soporte total por parte de

la companıa creadora, como es el caso de simFlow cfd, ademas Comsol cuenta con multiples

modulos haciendolo uno de los softwares mas potente junto con el software Fluent de ANSYS

INC, la investigacion mostro una variada documentacion sobre proyectos llevados a cabo en

Comsol.

34

Capıtu

lo4.

Meto

dolo

gıa

Tabla 4.1.1: Valores del diametro del vaso sanguıneo y el espesor de la pared.

Referencias P. Le-

Master

Michael

[16]

M. Pic-

ken

Chris-

topher

[17]

J.R.

Levick.

[18]

Calvo

Plaza F.

J [6]

Usados

en la

simula-

cion

Diametro Espesor Diametro Espesor Diametro Espesor Diametro Espesor Diametro Espesor

Arterias

muscula-

res

6 mm 1 mm 4 mm 1 mm 4 mm 1 mm 4 mm 1 mm 4 mm 1mm

Arteriolas 37 µm 6 µm 30 µm 6 µm 30 µm 30 µm 50 µm 20 µm 36 µm 15 µm

Capilares 9 µm 1 µm 8 µm 0.5 µm 6 µm 1 µm 8 µm 1 µm 8 µm 1 µm

Venulas 20 µm 1 µm 20 µm 1 µm 30 µm 3 µm 20 µm 2 µm 22 µm 2 µm

Venas 5 mm 0.5 mm 5 mm 0.5 mm 5 mm 0.5 mm 5 mm 0.5 mm 5 mm 0.5 mm

35


4.2. Geometrıa

La geometrıa en COMSOL se define como, la figura geometrica que se ocupara como modelo

para realizar la simulacion. La seccion de geometrıa se divide en dos (Figura 4.6.3), los ajustes

contienen un apartado que permite modificar unidades longitudinales y angulares de la geo-

metrıa. El otro es avanzado, tiene la opcion de agregar una geometrıa realizada en otro sofware

o simplemente otro ejemplo que se haya realizado en Comsol Multiphysics [18]. El programa

tiene la opcion de formar una geometrıa en diferentes dimensiones, 1D, 2D o 3D.

En este caso los modelos son tridimensionales, fueron realizados en el mismo programa con el

uso de cilindros, conos y esferas unidos con funciones booleanas donde a partir de un objeto

solido se construye una forma nueva en la figura. El volumen de la geometrıa resultante se crea

a partir de la operacion que se realice con las otras geometrıas involucradas.

Los vasos sanguıneos estan representados por cilindros del diametro correspondiente a cada

vaso, junto con las capas necesarias, para visualizar los resultados de velocidad y presion. Al

modelo tridimensional con el uso de la funcion booleana de substraccion se le resta un cubo con

las mismas dimensiones de ancho y largo, pero con una altura igual a la mitad del diametro del

modelo completo, esto con el fin de visualizar la maxima velocidad del flujo sanguıneo que se

da a lo largo de la lınea central del conducto.

36


Tabla 4.1.2: Comparacion entre algunos softwares disponibles en el mercado.

Software Licencia Soporte Lenguaje Funcionalidad Muestra Resultados

simFlow

cfd

libre y

comer-

cial

atizar ltd OpenFOAM

C++

Flujo de fluidos si [20]

Flujos turbulentos

Transferencia de calor

Cavitacion

Reacciones quımicas.

Ace+ comercial ESI

Group

OpenFOAM

C++

Fabricacion de chips no [21]

Procesamiento de plasma

Micro bombas , Valvulas

electrocinetica

BioReactions

Celdas de combustible

reformadores

Gestion termica

Fluent Comercial ANSYS

INC

Modelado de turbulencias no [22]

Transferencia de calor y

radiacion

Flujo multifase

reaccionando Flujo

Acustica

Interaccion fluido - estruc-

tura

Coventor

Ware

Comercial Coventor Fısicas en fabricacion de

mems como:

no [23]

Mecanico,

Electrico,

Piezo- electrico ,

Fluido

Efectos de embalaje.

Comsol

Mul-

tiphysics

Comercial Comsol Secuencia

de coman-

dos

Sistemas basados en no [19] [24]

[25][26][27]

Electricos:

AC/DC

RF

MEMS

Mecanicos:

Transferencia de calor

Estructuras mecanicas

Fatiga

Acustica

Fluidos:

37


4.3. Materiales

En el software existe una librerıa de materiales que se encuentra en los diferentes modulos de

Comsol Multiphisycs en la seccion de materiales. Tambien tiene la opcion de agregar un material

nuevo siempre y cuando el usuario defina las caracterısticas del mismo. En este apartado se rea-

lizan ajustes en el material, por cada material que se agregue al modelo aparece una subcarpeta

en Model Builder con su nombre correspondiente [18].

Se eligen las partes del modelo que estaran constituidas por el material seleccionado por el

usuario, es decir, adicionar el material a la figura completa o simplemente algun fragmento de

ella.

En este modelo se usan dos analisis, el de dinamica de fluidos donde se simula el flujo laminar,

turbulento y el mecanico relacionado con la interaccion de estructuras, debido a esto se requie-

ren de dos materiales, la sangre y las paredes vasculares. Estos materiales no se encuentran en

el programa Comsol por lo tanto se determinan a partir de las caracterısticas de los materiales

reales, para la sangre se definen dos propiedades la viscosidad dinamica de 0,005 Ns/m2 y la

densidad de 1060 kg/m3, este material es asignado al cilindro con menor diametro que represen-

ta la sangre, y en el caso de las paredes solo establece la caracterıstica de densidad de 960 kg/m3

y se asigna a los cilindros restantes.

4.4. Fısica y mallado

Para ilustrar el funcionamiento del flujo sanguıneo, el modelo examina un flujo incompresible

que pasa a lo largo de cilindros y conos con las caracterısticas de los vasos sanguıneos, con un

perfil de velocidad de entrada simetrica.

El tiempo de simulacion necesaria para un patron de flujo periodico es difıcil de conocer. Un

indicador clave es el numero de Reynolds, que se basa en el diametro del cilindro. Para valores

bajos (por debajo de 100) el flujo es constante. En esta simulacion, el numero de Reynolds varıa

a medida que el flujo avanza por el modelo.

38


Antes de calcular las fuerzas variables en el tiempo del modelo, se puede validar el metodo

de la computacion en un menor numero de Reynolds utilizando el solucionador no lineal. Esto

ahorra tiempo ya que puede encontrar y corregir errores simples antes de la simulacion final

dependiente del tiempo, lo que requiere un tiempo considerable.

La eleccion de la tecnica de mallado depende en primer lugar de la dimension del plano para la

geometrıa, ası mismo la malla se adapta a la configuracion fısica del modelo (ver Figura 4.6.8).

En el apartado del tamano del elemento se muestra una lista con los diferentes tamanos de malla.

En caso de que se quiera modificar alguna medida se utiliza la opcion personalizada, donde se

define que la malla es gruesa y controlada por las fısicas. Esto debido al gasto computacional

que requiere una malla mas fina.

El elemento finito usado en esta simulacion fue el tetraedro libre, este elemento trae una restric-

cion de tamano, por lo tanto las dimensiones de la geometrıa deben ser adecuadas para no causar

errores en la simulacion, el tamano del elemento seleccionado para la vena y la arteria fue de

0,2 mm, mientras que para el capilar se selecciono 0,2 µm.

4.5. Instrucciones de modelado

A continuacion se mostrara el metodo con el cual se construyo el modelo, primero se crea un

modelo nuevo, lo siguiente a elegir es la dimension del espacio, para este proyecto se eligio

una dimension 3D, despues el programa pide la eleccion de las fısicas que se requieren para

la construccion del modelo. Este proyecto requirio de tres fısicas, las cuales se describiran a

continuacion. La Figura 4.5.1 muestra los modulos de fısica configurados en este programa.

39


Figura 4.5.1: Eleccion de fısicas.

4.6. Fısicas utilizadas

La interfaz de flujo turbulento k - ω se utiliza para la simulacion de flujos monofasicos con

altos numeros de Reynolds. La interfaz fısica es adecuada para flujos incompresibles y los flujos

compresibles a bajo numero de Mach (tıpicamente menos de 0,3).

Las ecuaciones resueltas para la interfaz de flujo turbulento k – ω, son las ecuaciones de Navier

- Stokes para la conservacion del momento y de la ecuacion de continuidad para la conservacion

de la masa. El flujo cerca de las paredes se modela utilizando funciones de pared.

La interfaz k- ω de flujo turbulento se puede utilizar para el analisis estacionario y dependiente

del tiempo [19].

La interfaz de flujo laminar se utiliza para calcular los campos de velocidad y presion para el flujo

de un fluido de fase unica en el regimen de flujo laminar. Un flujo laminar se mantendra siempre

que el numero de Reynolds sea inferior a un cierto valor crıtico. En numeros de Reynolds mas

altos, los trastornos tienen una tendencia a crecer y la transicion puede causar turbulencia. Este

numero de Reynolds crıtico depende del modelo, pero un ejemplo clasico es el flujo de la tuberıa

40


donde el numero de Reynolds crıtico se sabe que es aproximadamente 2.000 [19].

La interfaz fısica soporta flujos incompresibles y flujo compresible en numeros de Mach bajos

(tıpicamente menos de 0,3). Tambien es compatible con los fluidos no newtonianos.

Las ecuaciones que resuelve la interfaz de flujo laminar son las ecuaciones de Navier-Stokes

para la conservacion del momento y de la ecuacion de continuidad para la conservacion de la

masa.

La interfaz de flujo laminar se puede utilizar para el analisis estacionario y dependiente del

tiempo. Tenga en cuenta que para numeros de Reynolds mas altos, un flujo se convierte en

estudios dependientes y tridimensionales [19].

La interfaz mecanica de solidos esta destinada para el analisis estructural general de 3D , 2D,

o los organismos con simetrıa axial. En 2D, se puede utilizar el estres de planos o hipotesis

de deformacion plana. La interfaz mecanica de solidos se basa en la resolucion de ecuaciones

de Navier y los resultados, tales como desplazamientos y las tensiones pueden ser computados.

Al elegir las fısicas, el programa dara una descripcion de las letras utilizadas para nombrar las

variables dependientes (Figura 4.6.1).

Figura 4.6.1: Variables dependientes.

Luego de la eleccion de las fısicas se debe adicionar el estudio que se requiera. Para el flujo

turbulento y laminar, las opciones de estudios son dos, el estacionario y el temporal, mientras

que para la fısica de mecanica de solidos las opciones son las que muestra la Figura 4.6.2. Para

este proyecto se eligio un estudio temporal.

41


Figura 4.6.2: Variables dependientes.

La siguiente fase es la geometrıa, la construccion se dividio en cuatro fases, las cuales consisten

en la creacion de modelos por separado de la vena, arteria y el capilar. A continuacion se unirıan

y se compararıan los resultados del modelo completo con el separado. La primera eleccion en

este apartado es el sistema de unidades o la opcion de importar la geometrıa de un software

distinto. Debido a los datos encontrados en la Tabla 4.1.1, las unidades de longitud cambian

segun el vaso construido.

Figura 4.6.3: Seleccion de unidades.

En la Figura 4.6.4 se observan las opciones que da el programa para la creacion del modelo fısi-

co. Las figuras geometricas basicas como el bloque, cilindro, cono y esfera, fueron ampliamente

42


utilizadas para este proyecto, luego vienen las figuras mas primitivas que dan la opcion de crear

un modelo mas complejo.

Figura 4.6.4: Figuras geometricas elegibles.

Al agregar una figura geometrica, Comsol te da la opcion de configurar sus parametros fısicos

como el tipo de objeto, solido o hueco, tamano, forma, la posicion de la estructura en el espacio,

el tipo de eje, el angulo de rotacion y las capas (ver Figura 4.6.5).

43


Figura 4.6.5: Parametros fısicos.

Luego de agregar dos estructuras viene la opcion de unir, la cual esta en el apartado de booleanos

y particiones, esta opcion es importante debido a su caracterıstica de unir, restar o intersectar dos

modelos.

Figura 4.6.6: Parametros logicos.

44


El proceso de eleccion de figura geometrica y union es repetitivo hasta alcanzar la estructura

ideada.

El siguiente paso a la geometrıa es el de materiales. Comsol tiene una gran cantidad de materiales

preestablecidos, de los cuales uno puede elegir cualquiera o construir uno en blanco. La Figura

4.6.7 muestra las opciones de materiales que tiene el programa.

Figura 4.6.7: Materiales disponibles en el software.

Debido a que la sangre no se encuentra pre configurada en la librerıa de Comsol, se opto por

anadir la sangre como material en blanco con los parametros que se observan en la Tabla 4.6.1.

Tabla 4.6.1: Parametros de la sangre.

Propiedad Variable Expresion Unidad Tamano

Densidad ρ 1060 kg/m3 1x1

Viscosidad dinamica µ 0.005 Pa.s 1x1

45


Los parametros observados en las tablas corresponden a los parametros de los vasos sanguıneos;

la Tabla 4.6.2 muestra la densidad como parametro basico, mientras que la Tabla 4.6.3 muestra

los parametros de elasticidad.

Tabla 4.6.2: Parametros de las paredes de los vasos.


Densidad ρ 960 kg/m3 1x1

Tabla 4.6.3: Parametros de elasticidad de los vasos


Parametro de Lame λ lambLame 20 ∗muLame− 2 ∗muLame/3 N/m2 1x1

Parametro de Lame µ muLame 6,20e6 N/m2 1x1

El siguiente paso es agregar la fısica de acuerdo al modelo construido, se eligen las entradas y

las salidas de la estructura, al igual que se debe indicar las velocidades iniciales del fluido. A

continuacion se observan en la Tabla 4.6.4 los valores de velocidad escogidos para este proyecto.

Estos valores fueron elegidos de acuerdo a los datos encontrados en la literatura sobre las velo-

cidades promedio para cada vaso.

La definicion de la malla es el ultimo paso del estudio, en este caso se construyo una malla grue-

sa, debido a las limitaciones de hardware; ya que una malla mas fina requiere mayor capacidad

de memoria y procesamiento. Ver Figura 4.6.8.

Un paso importante es definir el tamano del elemento finito, en este caso los tetraedros; ya que

estos son una restriccion en cuanto a la conexion de las diferentes figuras geometricas. La Figura

4.6.9 representa la malla construida para nuestro modelo bajo las anteriores indicaciones.

46


Tabla 4.6.4: Velocidad inicial

Velocidad inicial

Arteria 0.45 m/seg

Vena 0.06 m/seg

Capilares 0.001 m/seg

Figura 4.6.8: Ajustes de malla.

Las restricciones del programa con respecto al tamano mınimo de los elementos de la malla,

limita al momento de construir un modelo con los valores fısicos promedio de un sistema de

vasos sanguıneos real, por ello se busca el sistema que mejor se adecue a la realidad. La Figura

4.6.10 muestra una primera aproximacion del modelo completo.

47


Figura 4.6.9: Representacion de la malla.

Despues de la construccion de la malla solo queda iniciar el estudio. El modelo completo uti-

lizado en este trabajo se muestra la construccion y las conexiones entre los diferentes vasos

sanguıneos utilizados para nuestro sistema de estudio. Cabe destacar que las indicaciones de

este capıtulo son generales y no restringidas a un solo modelo.

Figura 4.6.10: Aproximacion del modelo completo.

48

Capıtulo 5

Resultados

En este capitulo se describen y se analizan los resultados obtenidos de los modelos realizados

de la arteria, la vena, el capilar y el sistema completo, registrando los valores de velocidad y

presion.

5.1. Arteria

Los vasos sanguıneos tienen varias capas, el nombre de las capas de una arteria son el endotelio,

la cual es una capa interna con un espesor mınimo, la membrana basal es la siguiente capa, esta

membrana tambien hace parte de la capa interna, el endotelio y la membrana basal forman lo que

se conoce como tunica intima, la siguiente capa esta formada por celulas musculares lisas. En

las arterias esta tiene un tamano mayor que en los otros vasos sanguıneos, esta capa tambien es

llamada tunica media, la ultima capa se conoce como la tunica adventicia, la cual esta formada

por fibras musculares.

La representacion de estas capas se puede observar en la Figura 5.1.1, la cual muestra una repre-

sentacion teorica en el lado izquierdo y su homologo simulado en Comsol en el lado derecho,

las dimensiones de la muestra simulada son las siguientes: 10 mm de altura, 2 mm de radio, el

espesor de la pared sumando las tres capas es de 1 mm.

La arteria es donde se alcanza la mayor velocidad del fluido sanguıneo, la sangre alcanza niveles

49

Capıtulo 5. Resultados

Figura 5.1.1: Representacion teorica [a] y simulada [b] de las capas de una arteria.

donde el numero de Reynolds es mayor a 2000, por lo cual la fısica utilizada para la arteria en

este caso es de fluido turbulento k-w, el cual se caracteriza por solucionar modelos con flujos in-

comprensibles, mediante el desarrollo de las ecuaciones de Navier-Stokes sobre la conservacion

del momento y la ecuacion de continuidad para la conservacion de la masa.

La velocidad inicial para este modelo fue de 0,4m/seg, la Figura 5.1.2 muestra la simulacion de

la velocidad y la presion en el vaso, para la entrada del flujo en el sistema se selecciono el con-

torno superior, la salida esta en la parte inferior del modelo. La maxima velocidad encontrada es

de 0,45 m/seg, la simulacion muestra como la velocidad en un flujo turbulento esta distribuida

uniformemente, esto implica que la pared del vaso no tiene mayor injerencia en la velocidad del

fluido.

La Figura 5.1.2 (B) confirma la distribucion igualitaria de la presion del fluido en el modelo, el

mayor nivel de presion alcanza los 122 Pa, como era de esperar la mayor magnitud se alcanza

en la entrada del vaso, mientras que al acercarse a la salida la presion del fluido va disminuyendo

50


Figura 5.1.2: Simulacion de los niveles de velocidad y presion en una arteria.

5.2. Vena

Las capas de una vena son similares a las capas de una arteria, la diferencia esta en el tamano

del radio del vaso y del espesor de la pared (Figura 5.2.1), los datos usados para la simulacion

de estos vasos, se encontraron utilizando la media y el redondeo de los datos investigados en

publicaciones referentes al tema.

La altura de la vena simulada es de 10 mm, el radio es de 2,5 mm, el espesor de la pared

es de 0,5 mm. A causa de la disminucion de la presion en el fluido sanguıneo por el paso de

la sangre por los capilares, la velocidad del flujo disminuye considerablemente a comparacion

con la arteria, la sangre en una vena cambia su comportamiento turbulento a un fluido de tipo

laminar, por ello la fısica para este caso cambia.

51


La entrada del sistema para este modelo se encuentra en el nivel inferior del vaso, lo que significa

que la salida del fluido se selecciono en la parte superior del vaso.

Figura 5.2.1: Representacion teorica [a] y simulada [b] de las capas de una vena.

La velocidad inicial para el flujo en este sistema es de 0,06 m/seg, la Figura 5.2.2 muestra

el comportamiento de la magnitud de la velocidad en la vena. Se observa un aumento de la

velocidad a medida que el flujo se acerca a la salida del vaso, la maxima velocidad registrada

por la simulacion es de 0,12m/seg, ademas se puede ver como interactua el fluido con la pared

del vaso, alcanzando una notable disminucion de la velocidad del flujo cada tanto este se acerca

a la pared.

La curva de nivel de presion muestra un comportamiento similar al de la arteria, dejando ver

la maxima presion alcanzada 12,6 Pa en la entrada del vaso y disminuyendo su magnitud de

acuerdo a la aproximacion a la salida del modelo.

52


Figura 5.2.2: Simulacion de los niveles de velocidad y presion en una vena.

5.3. Capilar

La funcion de los capilares es muy importante debido a su capacidad de llevar el oxıgeno a todos

los rincones del cuerpo humano, estos vasos conectan el sistema ramificado de arterias y venas

por medio de vasos intermedios llamados arteriolas y venulas.

A diferencia de las venas y las arterias, los capilares solo poseen una capa la cual es el endotelio,

su tamano tambien difiere de los otros vasos sanguıneos, el modelo utilizado para simular los

capilares esta en unidades de µm, la representacion de la capa del capilar se observa en la Figura

5.3.1, el modelo construido tiene los siguientes parametros, altura 10 µm, radio del vaso 4 µm

y el espesor de la pared es de 1 µm.

La entrada del fluido para este sistema esta fijada en el contorno inferior del vaso, por lo tanto la

salida se encuentra en el lado superior del modelo.

53


Figura 5.3.1: Representacion teorica [a] y simulada [b] de las capas de un capilar.

Debido al tamano del radio de los capilares la velocidad del fluido es mınima, la velocidad

inicial para la simulacion de este proyecto se fijo en 0,001 m/s, al igual que la vena, el flujo

en los capilares es laminar, por lo cual se observa en la Figura 5.3.2 comportamientos similares

que se observaron en el modelo simulado de la vena respecto a la interaccion fluido estructura,

la maxima magnitud de velocidad alcanzada es de 1,11x10−3 m/s, esta magnitud se encuentra

en el lado superior del vaso, los niveles mas bajos de velocidad se encuentran alrededor de las

paredes de los vasos, de acuerdo a su fısica laminar.

Los mayores niveles de presion se encuentran en un rango de 33,6 a 26,5 Pa, esto demuestra

una administracion de presion mayor al que maneja una vena, causado por su poco tamano y por

la cantidad de sangre que debe recibir por parte de las ramificaciones arteriales.

54


Figura 5.3.2: Simulacion de los niveles de velocidad y presion de un capilar.

5.4. Modelo completo

La Figura 5.4.1 muestra la solucion al modelo implementado, los valores de los radios de los

vasos sanguıneos varıan en cuanto al promedio encontrado en la Tabla 4.1.1, debido a las limi-

taciones de la malla, las cuales se describen en capıtulos anteriores.

Los radios de los vasos sanguıneos fueron los mismos encontrados para la simulacion por se-

parado de la arteria, vena y capilar, en el caso de la Figura 5.4.1, la entrada del modelo esta en

el contorno del cilindro ubicado a la izquierda, este tubo tiene las dimensiones de la arteria, a

continuacion vienen las arteriolas, cuya funcion es la de unir las arterias con los capilares, los

cuales estan en el centro del modelo y presentan el menor radio de vaso. A la derecha del capilar

estan situadas las venulas y por ultimo las venas.

Las velocidades de la solucion del modelo completo indican valores bajos de flujo, en todo el

modelo, senalando una velocidad mayor en los capilares, el bajo nivel de velocidad puede ser

entendido debido al embotellamiento del flujo que ocurre en los capilares por causa de sus radios

ınfimos.

55


Figura 5.4.1: Curva de nivel de velocidad del modelo completo.

La Figura 5.4.2 muestra los niveles de presion del sistema simulado, mostrando los niveles

maximos de presion en la arteria alcanzando los 747,16 Pa, las venas presentan los valores

mınimos de presion, mientras que los capilares muestran valores intermedios, estos niveles de

presion pueden ser explicados, por la naturaleza del flujo, ya que para las arterias el empuje del

flujo y su fısica turbulenta hacen que la presion sea mas alta y constante en todo el vaso, mientras

que en las venas la presion depende de la velocidad con la que sale el fluido del capilar.

Los niveles varıan de la simulacion particular de cada vaso debido a la implementacion del

modelo, ya que las venas tiene una fuente de movimiento distinto a la de las arterias, pero en el

caso de esta simulacion las venas dependen enteramente de la salida del flujo de los capilares,

por lo tanto solo hay una fuente de movimiento, la cual esta situada en las arterias y solo hay

una salida que esta situada en las venas.

56


Figura 5.4.2: Curva de nivel de presion del modelo completo.

57

Capıtulo 6

Conclusiones

En la simulacion del modelo de la vena se observan los niveles mas bajos de presion de los vasos

estudiados, lo cual implica un comportamiento diferente en el flujo a pesar de la similitud que

tiene con la geometrıa de la arteria, esto podrıa ser explicado por la fuente de su movimiento,

dado que la sangre en las arterias se mueve por la contraccion del corazon, mientras que la

reaccion por este impulso en las venas es muy debil, siendo la fuente del movimiento de la

sangre en las venas las contracciones musculares y el cierre de las valvulas.

Con el presente trabajo se mostraron los parametros de velocidad y presion en las arterias, venas

y capilares, encontrando que la mayor velocidad de 45 cm/seg se registro en las arterias, en las

venas de 12 cm/seg y la menor de 0,001 cm/seg en el capilar y la presion a lo largo del sistema

circulatorio va disminuyendo como se encontro en la literatura.

La simulacion a traves del software Comsol permite realizar el modelo a traves de las fısicas

laminar, turbulenta y mecanica de solidos, la geometrıa se ajusta con los parametros encontrados

en la literatura, se definen los valores de densidad y viscosidad dinamica en la sangre.

Las distintas fısicas manejadas en este proyecto mostraron diferentes niveles de capacidad compu-

tacional, en el caso de la simulacion del flujo turbulento, la RAM del servidor alcanzo niveles

maximos, demorando el procesamiento de la simulacion mas que en el caso del flujo laminar. El

costo computacional de compilacion para los distintos modelos aumenta a partir del mallado que

se use variando de 18000 tetraedros a 40000, para este estudio se eligieron distintas mallas para

58

Capıtulo 6. Conclusiones

comparar el detalle de sus resultados, se observo muy poca diferencia visual entre una malla fina

y una gruesa, debido a esto y a los tiempos de simulacion se opto por continuar la simulacion

con una malla gruesa.

La influencia de las paredes del vaso respecto a las magnitudes de velocidad mostraron com-

portamientos distintos segun la fısica aplicada, para el caso del flujo laminar se observa como

la friccion con las paredes altera el flujo. El flujo turbulento en las arterias maneja velocida-

des maximas en todo el modelo, lo cual explica su estructura fısica, que esta conformada por

una ancha capa de musculo liso, con la capacidad de soportar niveles de presion muy altos y

constantes.

59

Trabajo futuro

El sistema sanguıneo es muy complejo, las arterias tienen una fuente de movimiento diferente a

las venas, la velocidad baja en los capilares indica que se debe hacer un sistema ramificado mas

amplio para poder suplir la capacidad de sangre entrante desde las arterias.

Esta primera aproximacion a un modelo completo ayuda a entender las capacidades y limitacio-

nes del software, en lo que refiere a modelos mas complejos.

La importancia de este proyecto es la aproximacion llevada a cabo para el aprovechamiento de

futuros trabajos que tengan relacion con la interaccion fluido-estructura como rastreo de cuerpos

ajenos al sistema u obstrucciones en las paredes del tubo.

60

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modelado y simulacion´ de un sistema de...

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