simulacion de procesos listado

Listados de Ejercicios Simulacin de Eventos Discretos / Generacin de Variables Aleatorias / Teora de Colas

Simulacin Profesor Eduardo Salazar H.

1. Una estacin consiste en dos servidores en serie cada uno atendiendo con el sistema FIFO (ver figura). Cuando un cliente completa su servicio en el servidor 1 procede hacia el servidor 2 y posteriormente sale del sistema. El tiempo entre arribos de clientes al servidor 1 se distribuye exponencial IID con media 1 minuto, el tiempo de servicio del servidor 1 y del servidor 2 se distribuyen exponencial IID con media 0.7 y 0.9 minutos respectivamente. Simule exactamente 15 minutos y estime para cada servidor la demora media de clientes en la cola, el nmero medio de clientes en la cola, y la tasa de utilizacin del servidor.

Cola 1 Servidor 1 Cola 2 Servidor 2

2. Para el sistema del problema 1 suponga que con probabilidad 0.2 un cliente que completa el servicio en el servidor 2 no queda satisfecho por lo que debe ser servido nuevamente por ambos servidores (el cliente insatisfecho retorna a la cabeza a la primera posicin de la cola; un cliente puede ser reprocesado mximo 1 vez). Desarrolle un modelo de simulacin para estimar la demora en cada cola de un cliente y la demora total del cliente en el sistema.

3. Un sistema de manufactura de m mquinas, cada una sujeta a fallas aleatorias. El tiempo entre fallas se distribuye exponencial con media de 8 horas antes de descomponerse. Existen s reparadores que reparan una mquina a la vez y demoran un tiempo que se distribuye exponencial con valor medio de 2 horas. Si existen ms de s mquinas descompuestas, stas esperan en una cola con disciplina de atencin FIFO esperando que uno de los reparadores quede libre. Cuando una mquina completa su reparacin es devuelta al centro de trabajo. Cada hora que la mquina est descompuesta cuesta $50 y el costo de reparacin es de $10 por hora. Asuma m = 5 y que inicialmente todas las mquinas han terminado de ser reparadas. Desarrolle un modelo de simulacin para determinar la poltica s (s = 1, 2, 3, 4 y 5) que minimiza el costo medio por hora.

4. Considere un sistema de 1 servidor y 1 cola y suponga que la instalacin abre sus puertas a las 9:00 horas y cierra a las 17:00 Horas, pero termina de atender a los clientes que ya han arribado al sistema. El tiempo entre arribos y de servicio se distribuyen exponencial con media 1.0 y 0.5 minutos respectivamente. El servidor toma 30 minutos para ir a almorzar a partir de las 12:00 horas en el primer instante en que el sistema se encuentra vaco. Si al llegar las 13:00 Horas el servidor no ha ido an a almorzar, ste completa la atencin del cliente que en ese momento estaba sirviendo para posteriormente dirigirse a almorzar (asuma en este caso que todos los clientes en la cola esperan el regreso del servidor). Si un cliente arriba cuando el servidor est almorzando, el cliente puede irse inmediatamente sin ser servido lo que depende del tiempo restante para que el servidor retorne de su almuerzo. La probabilidad de que un cliente que arriba durante el almuerzo del servidor se vaya se muestra en la tabla adjunta. Desarrolle un modelo de simulacin para estimar el nmero de clientes que se van.

Tiempo de Almuerzo Restante Probabilidad de Partida Cliente

[ 20, 30) 0.75

[ 10, 20) 0.50

[ 0, 10) 0.25

5. Una estacin de servicio consiste en dos servicios, un servicio tipo A (2 servidores) y un servicio tipo B (1 servidor). El tiempo entre arribos de clientes es una variable aleatoria exponencial IID con media de 1 minuto. Al arribar un cliente puede ser tipo 1 o tipo 2 con probabilidad 0.75 y 0.25 respectivamente. Un cliente tipo 1 puede ser servido por cualquier servidor pero prefiere optar por un servidor tipo A si existe alguno libre. El tiempo de servicio para un cliente tipo 1 se distribuye exponencial IID con media 0.8 minutos independiente del tipo de servidor. Si un cliente tipo 1 encuentra todos los servidores ocupados



espera en una cola para clientes tipo 1 con disciplina de atencin FIFO. El cliente tipo 2 requiere ser atendido por ambos servidores a la vez. El tiempo de servicio del cliente tipo 2 se distribuye uniforme entre 0.5 y 0.7 minutos. Si al arribar un cliente tipo dos encuentra ambos servidores tipo A ocupados o el servidor tipo B ocupado debe esperar en una cola para clientes tipo 2 con disciplina de atencin FIFO. Cuando se completa el servicio de cualquier cliente, la preferencia es para los clientes tipo 2 si existe alguno presente y ambos servidores (uno tipo A y uno tipo B) estn desocupados, de lo contrario la preferencia es para los clientes tipo 1. Desarrolle un modelo de simulacin para estimar la espera media en la cola, el nmero promedio de clientes en cola y la proporcin de tiempo que los servidores atienden a cada tipo de clientes.

6. Un supermercado posee dos cajas para dos tipos de clientes, regular y express (ver figura). El tiempo entre arribos para los clientes regulares se distribuye exponencial con media de 2.1 minutos y su tiempo de servicio se distribuye tambin exponencial con media de 2.0 minutos. El tiempo entre arribos y de servicio para los clientes express se distribuyen tambin exponencial con media de 1.1 y 0.9 minutos respectivamente. El arribo al sistema de los dos tipos de clientes es independiente uno del otro. Si un cliente regular al arribar encuentra una de las cajas desocupadas se dirige a sta de inmediato optando por la caja regular si ambas se encuentran vacas. Si al arribar un cliente regular encuentra todas las cajas ocupadas se dirige el final de la cola reservada para clientes regulares. Similarmente, si al arribar un cliente express encuentra una de las cajas desocupadas se dirige de inmediato a sta optando por la caja express si ambas se encuentran desocupadas. En caso de encontrarse ambas cajas ocupadas el cliente express se ubica al final de la cola reservada para este tipo de clientes independiente de la longitud de la cola de clientes regulares. Cuando una caja finaliza el servicio de un cliente sta toma al siguiente cliente de su respectiva cola, si existe, de lo contrario toma al primer cliente de la otra cola. El tiempo de servicio depende del tipo de cliente y no de la caja por la que es atendido. Inicialmente el sistema est vaco. Simular por 8 horas. Desarrolle un modelo de simulacin para estimar la espera media en cada cola, el nmero medio de clientes en cada cola y la tasa de utilizacin de cada servidor.

7. En un puerto cargan buques petroleros para viajes interocenicos. El puerto tiene una capacidad para cargar 3 buques simultneamente, los que arriban al puerto cada uniforme entre 4 y 18 horas. Los buques que actualmente usan el puerto son de 3 tipos:

Tipo Frecuencia Tiempo de Carga (horas)

1 0.25 Uniforme(16,20)

2 0.55 Uniforme(21,27)

3 0.20 Uniforme(32,40)

Existe slo un remolcador, el cual es requerido por los buques de todos los tipos para ser remolcados desde mar afuera al punto de carguo y luego desde el punto de carguo a mar afuera. Ambas operaciones de remolque demoran aproximadamente 1 hora, y el remolque de un buque desde mar afuera al punto de carguo tiene prioridad. Los buques se atienden por orden de llegada. Un factor que complica la situacin es que de tiempo en tiempo se producen tormentas. El tiempo entre el trmino de una tormenta y el comienzo de la siguiente, se distribuye exponencial con valor medio de 48 horas y la duracin de stas se distribuye uniforme entre 2 y 6 horas. Durante una tormenta no es posible comenzar ninguna operacin de remolque, pero si una operacin de remolque ya ha comenzado una vez que se inicia una tormenta, la operacin se completa. Desarrolle un modelo de simulacin para evaluar el tiempo de permanencia promedio de los barcos en el puerto.

Servidor regular Cola Regular

Cola Express Servidor Express



1. Calcular zi y determine el ciclo para los siguientes generadores: a) zi = (11 zi-1) (mod 16); z0 =1 b) zi = (11 zi-1) (mod 16); z0 =2 c) zi = ( 2 zi-1) (mod 13); z0 =1 d) zi = ( 3 zi-1) (mod 13); z0 =1

2. Sin calcular los zi determine cul de los siguientes LCG tiene periodo completo: a) zi = (13 zi-1 + 13) (mod 16) b) zi = (12 zi-1 + 13) (mod 16) c) zi = (13 zi-1 + 12) (mod 16) d) zi = ( zi-1 + 12) (mod 13)

3. Considere el LCG zi = (40zi+1 + 13) mod 33. Sin generar observaciones, determine si es o no un generador de periodo completo (analice las 3 propiedades del teorema). Genere la secuencia completa de observaciones aleatorias considerando todos los posibles z0. Qu conclusin obtiene?

4. Muestre que el valor esperado de los Ui tomados sobre el ciclo completo de un LCG de periodo completo es: 1/2 - 1/(2m). Cmo se comporta este resultado con el aspecto terico?

5. Defina un algoritmo para la distribucin trapezoidal derecha en [0,1] con parmetro 0 < a



1. Un sistema de 2 servidores atiende a clientes que arriban a una tasa de 12 clientes/hora, siempre que los clientes que esperan no sea mayor que 1. Esta tasa baja a 8 si 2 clientes esperan, a 4 si 3 clientes esperan, y a 0 si son 4 clientes los que esperan. Los servidores requieren en promedio 10 minutos para atender a un cliente. Determine las caractersticas operativas del sistema.

2. Considere un sistema M/M/s con =2 clientes/hora y =3 clientes/hora. Utilizando las frmulas para el

modelo considerado, obtenga valores para las medidas: , P0, P1, Pn, Lq, L, Wq y W, para s=1 y s=2. Obtenga las probabilidades de que un cliente tenga que esperar, de que tenga que esperar ms de 0.5 horas, 1 hora y t horas. Obtenga adems las probabilidades de que un cliente permanezca en el sistema un tiempo mayor a 0.5 horas, 1 hora y t horas.

3. Las tareas que deben efectuarse en una mquina llegan segn un proceso de entrada de Poisson, con una tasa media de dos tareas por hora. Suponga que la mquina se descompone y que se necesita una hora para repararla. Cul es la probabilidad de que el nmero de tareas nuevas que lleguen durante este tiempo sea: a) 0, b) 2 y c) 5 o ms?

4. Una gasolinera dispone de una bomba. Los automviles que necesitan gasolina llegan de acuerdo a un proceso Poisson a una tasa media de 12 autos por hora. Sin embargo, si la bomba est en uso, los clientes potenciales pueden irse sin esperar por atencin. En particular, si ya se encuentran n automviles en la gasolinera, la probabilidad de que un cliente que llega se vaya es n/4, para n=1, 2, 3 y 4. El tiempo requerido para dar servicio a un automvil se distribuye exponencial con media de 5 minutos. Determine el tiempo esperado de permanencia en la gasolinera (incluyendo el servicio) para aquellos automviles que deciden ingresar.

5. Un minimarket tiene una sola cajera de tiempo completo. Los clientes llegan a la caja en forma aleatoria (con un proceso de entrada Poisson) a una tasa media de 30 clientes por hora. Cuando solo est un cliente en la caja, es atendido por la cajera, con un tiempo esperado de servicio de 1.5 minutos. No obstante, se le han dado instrucciones a un empleado de que siempre que haya ms de un cliente en la caja, ayude a la cajera a envolver los artculos. Esto reduce a un minuto el tiempo esperado necesario para atender a un cliente. En ambos casos, la distribucin del tiempo de servicio es exponencial. Obtenga L para este sistema. Utilice esta informacin para determinar Lq, W y Wq.

6. Un banco emplea tres cajeros para servir a sus clientes. Los clientes llegan segn un proceso Poisson con tasa media de 1 cliente/minuto. Si un cliente encuentra todos los cajeros ocupados, se une a una cola que es servida por todos los cajeros, es decir, no hay colas al frente de cada cajero sino que existe slo una cola que es atendida por el primer cajero que se desocupa. El tiempo de servicio del cajero tiene una distribucin exponencial con media igual a 2 minutos. Encuentre Lq, W, Wq y L.

7. Los trabajos que llegan a un centro de trabajo lo hacen de acuerdo con un proceso de entrada Poisson con tasa media de 2 trabajos/da. El tiempo de operacin tiene una distribucin exponencial con media 0.25 das. En el centro se tiene espacio suficiente como para recibir tres trabajos, adems del que se est procesando. Determine la probabilidad de que un trabajo que llega pueda ser aceptado.

8. Se requiere determinar cunto espacio de almacenamiento para productos en proceso debe asignarse a un nuevo centro de trabajo. Los trabajos llegaran a este centro de acuerdo a un proceso Poisson a una tasa media de 4 trabajos por hora. El tiempo de proceso de un trabajo tiene una distribucin exponencial con media de 0.2 horas. Cada trabajo requiere 1 m2 de piso mientras se encuentra almacenado en el centro de trabajo esperando su proceso. Determine el espacio necesario para acomodar, con probabilidad a) 0.5, b) 0.9 y c) 0.99, todos los trabajos que llegan.

9. Una oficina de boletos de una lnea area tiene dos agentes respondiendo las llamadas telefnicas para hacer reservaciones. Adems, a una de las personas que llaman puede ponerse en espera, hasta que se desocupa uno de los agentes para atender la llamada. Si las tres lneas telefnicas (las de los dos



agentes y la de la espera) estn ocupadas, un cliente potencial recibe una seal de ocupado y se supone que llama a otra oficina; de este modo se pierde el negocio. Las llamadas y los intentos de llamadas ocurren en forma aleatoria (segn un proceso Poisson) con tasa media de 12 llamadas por hora. La duracin de una conversacin telefnica tiene una distribucin exponencial con media igual a 4 minutos. Encuentre la probabilidad de que: a) una persona que llama logre hablar con uno de los agentes de inmediato, b) la persona que llama quede en espera y c) la persona que llama reciba una seal de ocupado.

10. Se est haciendo planes para abrir una estacin para lavar automviles y debe decidirse cunto espacio dejar para los automviles que esperan. Se estima que los clientes llegaran en forma aleatoria (de acuerdo a un proceso de llegada Poisson) con tasa media de 1 automvil cada cuatro minutos. Si el rea de espera est llena, se estima que el cliente llevara su automvil a otra estacin. El tiempo de lavado de un automvil tiene una distribucin exponencial con una media de 3 minutos. Comprese la fraccin esperada de clientes potenciales que se perderan debido a un espacio de espera inadecuado, si se tuviera 0, 2 4 espacios de espera (sin incluir el del automvil que se est lavando).

11. Suponga que a un reparador se le ha asignado la responsabilidad de mantener tres mquinas. Para cada mquina el tiempo de funcionamiento antes de que una mquina falle se distribuye exponencial con media igual a 9 horas. El tiempo de reparacin tambin se distribuye exponencial con media igual a 2

horas. Se pide: a) calcular el nmero esperado de mquinas que no funcionan y b) calcular la misma informacin que en a) suponiendo que siempre que ms de una mquina falla, se dispone de un segundo reparador.

12. Una base de mantenimiento de una lnea area tiene medios para reparar el motor de un avin a la vez. Por lo tanto, para lograr que los aviones regresen al servicio tan pronto como sea posible, la poltica ha sido alternar la reparacin de los cuatro motores de cada avin. En otras palabras, slo se repara un motor cada vez que un avin llega al taller. Bajo esta poltica, los aviones han estado llegando segn un proceso de Poisson, con tasa media de 1 avin por da. El tiempo requerido para reparar un motor se distribuye exponencial con media igual a 0.5 das. Se ha hecho la proposicin de cambiar la poltica, de manera que cada vez que un avin llega al taller se reparen los cuatro motores consecutivamente. Se seala que, a pesar de que esto cuadruplicara el tiempo esperado de servicio, la frecuencia con la que el avin necesitara ir al taller disminuira a un cuarto de la actual. Utilice la teora de colas para comparar ambas alternativas.

13. Se planifica una nueva fbrica. A un departamento se le ha asignado un gran nmero de mquinas automticas de cierto tipo y ahora se desea determinar cuntas mquinas se le deben asignar a cada operador para que las opere (carga, descarga, ajuste, arranque, etc.). Se cuenta con la siguiente informacin. El tiempo de proceso (tiempo entre el arranque de una mquina y nuevo requerimiento) de cada mquina se distribuye exponencial con media igual a 30 minutos. Cada operador debe atender a sus mquinas asignadas y no puede ayudar a los otros operadores. Para que el departamento logre la tasa de produccin requerida, las mquinas deben estar en operacin, en promedio, al menos 75% del tiempo. El tiempo que dedica un operador en atender un requerimiento de una mquina se distribuye exponencial con media igual a 6 minutos. Cul es el nmero mximo de mquinas que pueden asignarse a un operador para lograr la tasa de produccin requerida?

14. Se disea un aeropuerto de dos pistas (una para aterrizar y otra para despegar). El tiempo para que un avin aterrice es conocido y se distribuye exponencial con media de 1.5 minutos. Si los arribos de los aviones se asumen que ocurren en forma aleatoria, Qu tasa de arribo puede permitirse si el tiempo promedio de espera en el aire de los aviones para aterrizar no debe exceder los 3 minutos?

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