1

Signali i sustaviAuditorne vježbe 3.

Prirodan put razvoja ...

PrirodoslovljeInženjerstvo

Ekonomija

Matematika

Signali i sustaviSignali i sustaviSignali i sustaviSignali i sustavi

Ovdje to zovemo ...

Razna područja � Struja� Cijena

� Mikrofon� Pojačalo� ...

Matematika� Funkcija

� Operator� ...

SIS�Signal

�Sustav�...

2

Linearnost bezmemorijskihkontinuiranih sustava

Definicija 1.� Sustav y = f(x) je linearan ako je:

f(ax1 + bx2) = af(x1) + bf(x2) ∀ a, b, x1, x2 ∈R� Ako je svaki funkcijski blok sustava linearan i

sustav je linearan, tada kažemo da je sustav operacijski i strukturno linearan.

� Obrat ne vrijedi!

Linearnost bezmemorijskihkontinuiranih sustava

� Ako je sustav linearan ne mora biti sastavljen od linearnih funkcijskih blokova.

� Za takav sustav kažemo da je operacijskilinearan.

Primjer 1.

x y

y = x,f(ax1 + bx2) =

= ax1 + bx2 ,= af(x1) + bf(x2),

Sustav je linearan operacijski i strukturno.

3

Što je sa sustavima sa više ulaza?

Def. 2.� Sustav y = f(x1, x2) s više ulaza je linearan ako

je:f(aq1 + bp1, aq2 + bp2) = af(q1, q2) + bf(p1,p2).

Primjer 1.

x √y = f(x1, x2)

x1

x2

( )2

( )2

0,, 212122

21 ≥⋅=⋅= xxxxxxy

f (aq1 + bp1, aq2 + bp2) = (aq1 + bp1)(aq2 + bp2), (1)af (q1, q2) + bf (p1, p2) = aq1q2 + bp1p2, (2)(1) ≠ (2) Sustav nije linearan ni operacijski niti strukturno.

Primjer 2.

x y

x1

x2

2( )

2( )

log2( )

( ) ,22log 21221 xxy xx +=⋅=

.),( 2121 xxxxf +=

4

Primjer 2. - nastavak

f (aq1 + bp1, aq2 + bp2) == aq1 + bp1 + aq2 + bp2,= a (q1 + q2) + b (p1 + p2),= a f (q1, q2) + b f(p1, p2).

� Sustav je linearan i to operacijski, a ne strukturno.

Što je nužno za uspješno učenje?

Učitelj Studenti Ispit

Sustav SenzorAktuatorPobuda

Smetnja

Signali&

Sustavi

Pravila iz algebre funkcijskih blokova

g1 g2

Kaskada

≡ g2 g1

Paralela

g1

g2

+ ≡ g1 + g2

5

Pravila iz algebre funkcijskih blokova

g1

g2

+

Povratna veza

≡ g11 + g1 • g2 (1 + g1g2) ≠ 0

Točka račvanja udesno

gx1

x2

≡ g

g1

x2

x1

g ≠ 0

Pravila iz algebre funkcijskih blokova

gx1

x2

Točka račvanja ulijevo

≡ gx2x1

gx2

Točka sumacije udesno

g+x1

x2

g linearan

g

x2

x1

g

+≡

Pravila iz algebre funkcijskih blokova

g +

x2

x1

Točka sumacije ulijevo

≡ gx1

x2

+

g1

g linearan i∃ g-1

6

Primjer: Primjenom pravila sažeti blok dijagram

h1 ++ h2 h3

h4

h5

-

-

x y

1 pomak čvora (račvanje udesno)

2 kaskada

3pomak sumacije ulijevo

Primjer - nastavak

h1+ h2h3-

x y

h4h1

h5h3

- kaskada4

paralela

Primjer - nastavak

+ h1h2h3-

x y

h5h3

h4h1

+

6 povratna veza

h1h2h3

1 + h1h2h5 + h2h3h4

x y

7

Kako opisati realan proces

Kompleksnost sustava

Prec

izno

st m

odel

a

Matematičke jednadžbe

Model-free metode

Neizraziti modeli

Matematički modeli

Linearni sustavi Nelinearni sustavi

�Sustavi s koncentriranim parametrima�Sustavi s raspodijeljenim parametrima

�Kontinuirani sustavi�Vremenski diskretni sustavi

�Kauzalni sustavi�Nekauzalni sustavi

�Deterministički sustavi�Stohastički sustavi

�Stabilni sustavi�Nestabilni sustavi

�Vremenski promjenjivi sustavi�Vremenski nepromjenjivi sustavi

�Sustavi s koncentriranim parametrima

�Vremenski promjenjivi sustavi

�Kontinuirani sustavi�Vremenski diskretni sustavi

�Deterministički sustavi

�Kauzalni sustavi

�Stabilni sustavi�Nestabilni sustaviLinearni sustavi

Sustavi prvog reda

+- Ri

+

-uC

Rui =

dtdui C−=

C,0C

Rqu

dtduu ==+

)1(.0RC

=+dtdqq

1. Linearan vremenski nepromjenjiv sustav prvog reda

8

RCq

dtdq −=z

dqdt q

1RC

+- 1

C

uCqu =

dtq

dqRC1−= �

t

t0

)(RC1ln 0

0

ttqq −−=

0,00

0 ≥=qqt

tqq

RC1ln

0

−=

teqq RC

1

0

−=

q

t

1. Linearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda

1. Linearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda

)(? 00 tqq =

dtdetqq

t/)2()( RC

1

0

−=

)3(RC1)()()( RC

1

0RC1

0tt

etqedt

tdqdt

tdq −−��

���

�−+=

)1()3(),2( �

[ ]�

0)()()(RC1

0

RC1

0

000

RC1

=+−≠

−

=

− tte

dttdqtqtqe���

0)(0 =dt

tdq

K)(0 =tq

teqq RC

1

0

−=

1. Linearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda

Cqu =

teq RC

10

C−

=

C)0( 0

0qUu C ==

t

C eUu RC1

0

−=

9

A sada nešto sasvim drugačije iliipak ne?

� Za određeno dobro funkcija potražnje izgleda ovako:

� Za određeno dobro funkcija ponude izgleda ovako:

bPa −=dQ dPc +−=sQ

P

dQ

P

sQ

Koja je dinamika tržišne cijene, ravnotežna cijena?

Dinamički model tržišta

� Stopa promijene cijene (s obzirom na vrijeme) bilo u kojem trenutku izravno je proporcionalna višku potražnje ( ) koji u tom trenutku prevladava!

gdje je m - koeficijent prilagodbe.� Nakon uvrštavanja i laganog sređivanja dobiva se

Linearan vremenski nepromjenjiv sustav prvog reda!

sQ−dQ

),(dt sd QQmdP −=

),()(dt

camPdbmdP +=++

Dinamički model tržišta - nastavak

� Rješavanjem jednadžbe proizlazi

i zapisano malo drugačije,

gdje su i početna i ravnotežna cijena respektivno!

,)0()( )(

dbcae

dbcaPtP tdbm

+++��

���

�

++−= +−

[ ] ,)0()( PePPtP kt +−= −

P)0(P

10

2. Linearan vremenski promjenjiv sustav prvog reda

+Rc

)1(C0 ktc −=

0q)1(RC

1)1(0

=−

+�

ktdtdq

ktdt

qdq

−−=

1RC1

0

ktktd

kqdq

−−+=

1)1(

RC1

0

�t

t0

000 11ln

RC1ln

ktkt

kqq

−−=

00 =t

ktkq

q −= 1lnRC

1ln00

ktkt

qq k 1,1lnln 0RC

1

0

≤��

���

� −=

0> 0>

2. Linearan vremenski promjenjiv sustav prvog reda

u(t)

U0

1 2 3 4t

k=0,5

k=0,25

kktqq 0RC1

0 )1( −=1

RC1

0

1RC

1

0

0 00 )1(U)1(C

−−−=−== kk ktktq

cqu

1RC0 =

Domaća zadaća:

tm ωcos1CC 0

+=

3. Nelinearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda

z

f(x)

xx.

v

Primjer 1.

� Neka je f(x) nelinearna funkcija, aproksimirana pravcima po odsječcima.

)(xfvvx

==�

Diferencijalna jednadžbakoja opisuje sustav:

0)( =− xfx�

11

3. Nelinearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda

-2 -1 1 2x

1

-1

z

f(x)

xx.

v

Primjer 1. dtdxf(x)v ==

��

��

�

−≤−−<≥+−

=12112

xxxxxx

v

3. Nelinearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda

x - stanje sustavadx/dt - brzina promjene stanjasign(dx/dt) - smjer promjene stanja

z

f(x)

xx.

v -2 -1 1 2x

1

-1

dtdxf(x)v ==

3. Nelinearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda

Točke Xi za koje vrijedi da je:nazivaju se točke ravnoteže; u njima nema promjene stanja sustava!

-2 -1 1 2x

1

-1

dtdxf(x)v ==

z

f(x)

xx.

v

0== ixxdt

dx

12

-2 -1 1 2x

1

-1

dtdxf(x)v ==

3. Nelinearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda

Koje su to točke?

A CBz

f(x)

xx.

v

0== vdtdx

��

��

�

=−−==+−

02002

xx

xsu točke ravnoteže

��

��

�

−===

202

A

B

C

xxx

-2 -1 1 2x

1

-1

dtdxf(x)v ==

3. Nelinearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda

A CBz

f(x)

xx.

v

Jesu li točke ravnoteže stabilne?Što se događa ako x “malo” izvedemo iz A,B,C?

3. Nelinearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda

� Točke xA, xC su stabilne točke.� Točke xB nije stabilna točka.

01 <> xxx e �

01 >< xxx e �

Točka ravnoteže xe je stabilna točka ako vrijedi:

13

3. Nelinearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda

-2 -1 1 2x

1

-1

dtdxf(x)v ==

A CBx0

Kako će se mijenjati stanje sustava?Kuda će “putovati” točka x?

Udesno!

Početni uvjet x0 = 0,5

3. Nelinearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda

-2 -1 1 2x

1

-1

dtdxf(x)v ==

A CBx0

Dva slučaja:

211

+−=≥=<

xxxxxx

�

�

početni uvjet za drugi slučaj (jednadžbu)t1 - trenutak dostizanja točke loma krivulje

1)( 1 =tx

Početni uvjet x0 = 0,5

3. Nelinearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda

� Rješenje je jednako rješenju homogene jednadžbe (nema pobude).

1. slučaj: xx =�Homogena jednadžba: stex =

stst ese =1=s

tex C=C)0( 0 == xx

texx 0=

14

3. Nelinearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda

2. slučaj: 22 =+≡+−= xxxx ��

Homogena: 0=+ xx�01 =+s

tH ex −= C

Partikularno: K=px2K =

Ukupno: 2C += −tex

Koliko je C? 2C1)( 1 +== −tetx

1C te−−=

i konačno:)( 12 ttex −−−=

3. Nelinearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda

)(01

11 2)( ttt eextx −−−==

kada dostižemo točku loma??1 =t

3. Nelinearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda

1

2

x

t0,7

x0 = 0,5

Grafički:

Točka loma(promjena dif. jednadžbe)

?1 =t

�

�����

���

�����

1

1

)(

5,001

0

11 2)( ttt eextx −−−==

15,0 1 =te

7,02ln1 ≈=t

Stabilno stanje (C):

15