skripta signali 3

7/23/2019 Skripta signali 3

1/282

Digitalne telekomunikacijeskripta

Vladimir MiloeviVlado Deli

Milan Narandi

edomir Stefanovi

Univerzitet u Novom SaduFakultet tehnikih naukaKatedra za telekomunikacije i obradu signala


2/282


3/282

The publishing of this script was financed by Austrian Cooperation

through WUS Austria within the CDP+ 025/2004 project.

THIS COPY IS NOT FOR SALE

Objavljivanje ove skripte omoguili su Austrian Cooperation i WUS

Austria u okviru projekta CDP+ 025/2004.

BESPLATAN PRIMERAK


4/282


5/282

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA 5

SADRAJ

1. UVOD 7

1.1. Opti model sistema za digitalni prenos signala 71.2. Kodni i modulacioni kanal 8

2. STATISTIKA TEORIJA TELEKOMUNIKACIJA 9

2.1. Uvod 92.2. Reeni zadaci 15

VEBA 1 37

3. KARAKTERISTIKE DIGITALNIH SIGNALA 47


VEBA 2 67

4. SKREMBLOVANJE I PN SEKVENCE 71


5. LINIJSKO KODOVANJE 81


VEBA 3 93

6. PRENOS U OSNOVNOM OPSEGU 95


7. VEROVATNOA GREKE PRI PRENOSU U OSNOVNOM OPSEGU 119


8. OPTIMIZACIJA PRENOSA U OSNOVNOM OPSEGU 135

8.1. Uvod 135

8.2. Reeni zadaci 137VEBA 4 157


6/282

6 SADRAJVEBA 5 163

9. DIGITALNA AMPLITUDSKA MODULACIJA 173


10. DIGITALNA FAZNA MODULACIJA 189


11. DIGITALNA FREKVENCIJSKA MODULACIJA 205


12. SPEKTRALNO EFIKASNE MODULACIJE 219


VEBA 6 237

13. PRENOS U PROIRENOM SPEKTRU 247


VEBA 7 261

14. SINHRONIZACIJA 263


VEBA 8 275

PRILOG 277

Tablica Q-funkcije 277

LITERATURA 281


7/282


1 UVODTelekomunikacijeje mogue definisati kao proces prenosa poruka od jedne ili veeg broja

taaka - izvora, do drugih, udaljenih taaka - korisnika poruka. Prenos se vri posredstvom

elektromagnetskih sistema. U zavisnosti od tipa prenoenih signala, razlikuju se analogni i

digitalni prenos, odnosno analogne i digitalne telekomunikacije.

Digitalni signali mogu biti dvojakog porekla. Izvorno digitalni su oni signali koje generiu

digitalni izvori i nazivaju se signali podataka. S druge strane, oni mogu nastati i

digitalizovanjem analognih signala - A/D konverzijom; takvi su PCM i DM signali.

Bez obzira na poreklo, digitalni signali su sluajni signali, i tretiraju se alatima teorije

verovatnoe. Takoe, svaki digitalni signal mora imati neku karakteristiku koja jediskontinualna u vremenu i koja se moe opisati konanim skupom diskretnih vrednosti. Ove

vrednosti mogue je numerisati, pa se zato prenos digitalnih signala svodi na prenos brojki,

odnosno digita.

1.1 OPTI MODEL SISTEMA ZA DIGITALNI PRENOS SIGNALABlok ema sistema, data na slici 1.a, predstavlja optu koncepciju prenosa digitalnih signala

oba porekla. U taku A na ulazu kodera dolazi digitalna poruka, predstavljena nizom simbola

M-arnog alfabeta.

)(tf

}{ kb }{ ka )(ts

)( ts }{ ka }{ kb

)( tf

Slika 1.a Opta blok ema sistema za digitalni prenos signala

Koder, prikazan blok emom na slici 1.b. vri viestruku transformaciju informacionogsadraja signala na digitalnom nivou.

Skrembler obezbeuje transparentnost digitalnog signala, omoguavajui liniji da dobro

prenese signale bez obzira na prirodu izvora koji ih generie. Skremblovanjem se postie: mala fluktuacija gustine jedinica (smanjenje verovatnoe pojave dugog niza nula), to

je bitno za uspostavljanje sinhronizacije izmeu predajnika i prijemnika;


8/282

8 UVOD

ravnomernost raspodele spektralne gustine srednje snage digitalnog signala ieliminacija periodinih (diskretnih) komponenti signala, koje predstavljaju znaajan

uzrok presluavanja izmeu kanala.

Slika 1.b Blok ema kodera predajnika

Zatitni koder poveava redundantnost digitalnog signala dodavanjem neinformacionih bita

informacionom sadraju. Na taj nain poveava se otpornost digitalnog signala na uticaj

smetnji, odnosno omoguava se detekcija i korekcija pogreno prenetih simbola.

Linijski koder prilagoava spektar digitalnog signala karakteristikama linije veze, odnosno

prenosnog medija i obezbeuje uslove za sinhronizaciju i kontrolu ispravnosti prenosa.

Dekoder, prikazan blok emom na slici 1.c. vri takoe trostruku funkciju, koja je inverzna

funkciji kodera.

Slika 1.c Blok ema dekodera prijemnika

1.2 KODNI I MODULACIONI KANALDeo telekomunikacionog sistema na slici 1.1. koji obuhvata modulator, liniju veze i

demodulator naziva se kodni kanal. Kodni kanal je diskretni, digitalni kanal, jer se na

njegovom ulazu i izlazu pojavljuju nizovi simbola (kodne rei). Ukoliko se pretpostavi da je

kodni kanal bez memorije (u modulacionom kanalu je prisutan samo um) mogue ga jeopisati matricom transverovatnoa.

Kodni kanal je okarakterisan verovatnoom greke, kao kvantitativnom merom za ocenu

kvaliteta prenosa simbola i diskretnih poruka (verovatnoa greke po simbolu, bitu, bloku

bita itd.). Na osnovu karakteristika kodnog kanala vri se izbor metodazatitnog kodovanja u

cilju smanjenja verovatnoe greke.

U primopredajnim ureajima koder i dekoder zajedno ine kodek.

Modulacioni kanal je analogni kanal, ija je osnovna funkcija da to vernije prenese signale

sa svog ulaza na izlaz. ini ga linija veze (prenosni medijum) i izvor aditivnih, stohastikih

smetnji (npr. Gausov um). Kao prenosni putevi najee se koriste kablovi, usmerene

(mikrotalasne) veze, optiki vodovi i radio veze.Ciljevi modulacionog i kodnog kanala su slini: prenos diskretnih poruka, odnosno digitalnih

signala uz minimalnu verovatnou greke. Razlikuju se naini i metode ostvarivanja ovog

cilja. Za modulacioni kanal vezuje se izbor talasnih oblika signala, odnosno izbor

modulacionog postupka. Vri se prilagoenje karakteristika signala karakteristikama linije

veze i prisutnih smetnji, u cilju to vernijeg prenosa, odnosno to pouzdanije rekonstrukcije

primljenog signala.

Modulator i demodulator sadrani su u zajednikom ureaju, modemu.

Materija koju obuhvata ova zbirka zadataka se uglavnom odnosi na problematiku

modulacionog kanala.


9/282


2 STATISTIKA TEORIJA TELEKOMUNIKACIJA2.1 UVOD2.1.1 Osnovni elementi teorije verovatnoe

Bajesova formula

Neka je potpun sistem dogaaja (tj. dogaaji i su disjunktni za

svako i , i

},...,,{ 21 nHHH iH jH

nji ,...,1, = ji [ ] =i

iHP 1). Vai:

[ ] [ ][ ] [ ]

=

i

ii

kk

HPHAP

HAPAHP

/

// (2.1)

2.1.2 Sluajna promenljivaMomenti sluajne promenljive

N-ti moment diskretne i kontinualne sluajne promenljive je definisan izrazom:

=i

ini

n xPx )( , i

= dxxpxnn )( (2.2)

Prvi moment je statistika srednja vrednost m= .N-ti centralni momentdiskretne i kontinualne sluajne promenljive je definisan izrazom:

( ) ( ) =i

ii

nxPx )( , i ( ) ( )

= dxxpxn

)( (2.3)

Drugi centralni moment (n = 2), je varijansa i predstavlja naizmaninu snagu, odnosno

razliku izmeu ukupne (

2

2 ) i jednosmerne snage (2

).

Zdrueni (n+k) - ti centralni momentdve sluajne promenljive, i , je definisan izrazom:

( ) ( )knnk = (2.4)Zdrueni centralni moment drugog reda dvodimenzionalne sluajne promenljive jekovarijansa:

K=11 (2.5)

2.1.3 Transformacija gustine verovatnoeNeka su i dve sluajne promenljive povezane relacijom =f(). Razlikujemo dva sluaja:

1. Izmeu nove i stare promenljive postoji korespodencija 1:1. Tada je gustinaverovatnoe nove promenljive data izrazom:


10/282

10 STATISTIKA TEORIJA TELEKOMUNIKACIJA

)(1

)()(

yfxdx

dy

xpyp

=

=

(2.6)

2. Izmeu nove i stare promenljive postoji korespodencija 2:1. Tada je gustinaverovatnoe nove promenljive data izrazom:

)(1

)()()(

yfxdx

dy

xpxpyp

=

+=

, za 0y (2.7)

,0)( =yp za .0y

U optem sluaju, za sluajne promenljive N ,...,, 21 i N ,...,, 21 , koje su povezane

jednoznanim funkcijama:

),,...,,(

...

),,...,,(

),,...,,(

21

2122

2111

NNN

N

N

f

f

f

=

=

=

gustina verovatnoe su povezane izrazom

( ) Jyyygxyyygxpyyyp NNNNN

NN

=== ),...,,(),...,,...,,(),...,,( 212111,...,2,121,...,2,1 (2.8)

J je apsolutna vrednost Jakobijana, koji predstavlja determinantu matrice:

N

N

N

N

y

g

y

g

y

g

y

g

J

=

...

......

...

1

11

1

(2.9)

U prethodnom postupku, pretpostavljeno je da se sluajne promenljive N ,...,, 21 mogu

izraziti kao jednoznane funkcije od N ,...,, 21 :

).,...,,(

...),,...,,(

),,...,,(

21

2122

2111

NNN

N

N

g

g

g

=

=

=

(2.10)

Suma sluajnih promenljivih

Ako je 21 += i ako je poznata zdruena gustina verovatnoe promenljivih 1 i 2 ,

, tada je gustina verovatnoe zbirne sluajne promenljive data izrazom:),( 2121 xxp

= 11121 ),()( dxxyxpyp (2.11)

Ako su 1 i 2 nezavisne sluajne promenljive, vai :


11/282


= 11211 )()()( dxxypxpyp , (2.12)

to predstavlja konvoluciju gustina verovatnoa promenljivih koje ine zbir.

Srednja vrednost zbira i proizvoda dve sluajna promenljive

Srednja vrednost sume i proizvoda dva sluajne promenljive est je sluaj utelekomunikacijama:

( ) ( )

+=+=+ dxdyyxpyx , (2.13)

=

dxdyyxpxy ),( (2.14)

Kada su sluajne promenljive i statistiki nezavisne vai:

=

2.1.4 Karakteristine raspodeleUniformna raspodela

Data je izrazom:

=

drugde.0

,1

)( 2112

xxxxxxp (2.15)

Srednja vrednost i varijansa dati su izrazima:

2

12 xx += , i12

)( 2122 xx = .

Pokazuje se da je bilo koji tip raspodele, mogue transformisati u uniformnu

raspodelu, formalnim uvoenjem nove sluajne promenljive

)(xp

[ ]xPy = , 10 y .Transformacijom se dobija uniformna raspodela oblika:

=drugde.0

,101)(

yyp (2.16)

Gausova raspodela

Data je izrazom:

22

2)(

2

1)(

mx

exp

= (2.17)

Srednja vrednost i varijansa su jednake m i , respektivno.2

2.1.5 Sluajni procesiSluajni proces ),( tA (ili kako se jo naziva stohastiki proces,stokhastikos zasnovan na

pretpostavkama), funkcija dve promenljive sluajnog dogaaja A i vremena. Utelekomunikacijama sluajni procesi predstavljaju sluajnu promenu elektrine veliine

(struja ili napon), i nazivaju se estosluajni signali.


12/282


Za odreenu realizaciju sluajnog dogaaja iAA = , sluajni proces postaje vremenska

funkcija )(),( ttA ii = . Skup svih moguih realizacija (tj. vremenskih funkcija) sluajnog

procesa se naziva statistiki ansambl. Za odreeni vremenski trenutak , sluajni proces

postaje sluajna promenljivakt

kktA =),( (tj. vremenski odbirci sluajnog procesa su

sluajne promenljive). Konano, za datu vrednost dogaaja i dati vremenski trenutak,sluajni proces se svodi na brojnu vrednost.

Stacionarnost sluajnog procesa

Sluajni proces je stacionaran ukoliko je gustina raspodele sluajnih promenljivih koje sedobijaju odabiranjem sluajnog procesa ista (tj. ne zavisi od trenutka odabiranja), tj:

)()(1

xpxp = za svako .it

Stacionarnost se moe posmtrati i u irem smislu. Za sluajni proces se kae da jestacionaran u irem smislu ukoliko je:

1. stacionaran po srednjoj vrednosti:

mk = za svako .it

2. stacionaran po autokorelaciji:

)(),,(

),,,(),(

21122121

212121212121

Rdxdxttxxpxx

dxdxttxxpxxttR

==

===

gde je 12 tt = , tj, zavisi samo od razlike trenutaka posmatranja, a i

njihovih konkretnih vrednosti.

),( 21 ttR

Srednja vrednost po vremenu i ansamblu - ergodinost sluajnog procesa

Kod stacionarnog ansambla, srednja vrednost po vremenu i ansamblu data je izrazima:

dttfT

tf

T

TT

= )(

2

1lim)( ,

= dxxxp )( (2.18)

gde je neka realizacija sluajnog procesa, a x odbirak sluajnog procesa u nekomvremenskom trenutku.

)(tf

Ako su ove veliine jednake, ansambl je ergodian po srednjoj vrednosti (za ergodinost posrednjoj vrednosti, umesto striktno stacionarnog, moe se posmatrati sluajni proces

stacionaran samo po srednjoj vrednosti).Vremenska i statistika autokorelacione funkcija stacionarnog ansambla su:

dttftfT

T

TT

f

+= )()(

2

1lim)( (2.19)

= 212121 ),,()( dxdxxxpxxR (2.20)

Ukoliko su ove vrednosti jednake, )()( Rf = , sluajni proces je ergodian po

autokorelaciji (za ergodinost po autokorelaciji, umesto striktno stacionarnog, moe seposmatrati sluajni proces stacionaran samo po autokorelaciji).Kae se da je sluajan proces ergodian u irem smislu ukoliko je ergodian po srednjojvrednosti i po autokorelaciji.


13/282


Sluajni proces je ergodian ukoliko su sva njegova vremenska usrednjavanja iusrednjavanja po ansamblu jednala.

Meukorelaciona funkcija

Za ergodine sluajne procese )(t i )(t definie se meukorelaciona funkcija oblika:

==+=T

T

gfT

fg RdttgtfTtgtf )()()(2

1lim)()()( (2.21)

gde su i njihove realizacije, respektivno.)(tf )(tg

Kovarijansa meusobno stacionarnih procesa data je izrazom:

( ) )())()(()()()( =++= KtgtgtftfK (2.22)Ako realizacije i pripadaju istom stacionarnom ansamblu, kovarijansa postaje

autokovarijansa.

)(tf )(tg

2.1.6

Spektralna gustina snage, Viner - Hininova teorema

Spektralna gustina srednje snage sluajnog procesa i njegova autokorelaciona funkcija ineFurijeov transformacioni par.

= deRSj)()( (2.23)

=

deSRj)(

2

1)( (2.24)

Ako autokorelaciona funkcija i spektralna gustina srednje snage ne zadovoljavaju uslove:


14/282


)()()( RRR = (2.29)

=

dSSS )()(2

1)( (2.30)

2.1.7

Beli i obojeni umBeli um predstavlja stacionaran sluani proces konstantne spektralne gustine srednje snage:


15/282


2.2 ZADACI2.2.1 Posmatra se pojednostavljeni model telekomunikacionog sistema dat na slici (Slika

2.2.1.1). Izvor emituju binarne simbole iz skupa }1,0{ , koji se koduju jednostavnim

repetitivnim kodom tako to se svaki simbol ponovi pet puta (umesto simbola 0 alje se

sekvenca 00000, odnosno umesto 1 alje se sekvenca 11111). Apriorne verovatnoepojavljivanja 0, odnosno 1 su [ ] 3.00 ==niP i [ ] 7.01 ==niP . Smetnje koje deluju ukanalu utiu na verovatnou ispravnog prijema simbola, i ona iznosi 0.6 (da nema smetnji

verovatnoa ispravnog prijema bi bila 1), pri emu se smatra da smetnje nezavisno

pogaaju simbole kodne rei (kanal bez memorije).

Ukoliko je primljena sekvenca 10110, odrediti koji je simbol izvor najverovatnije

generisao.

ni

nx

nx n

i)

Slika 2.2.1.1

Reenje:

Oznaimo dogaaje i pridruene verovatnoe opisane tekstom zadatka na sledei nain:

[ ] [ ] 3.000 === PiP n , [ ] [ ] 7.011 === PiP n , sa 1H obeimo dogaaj da je poslata kodna re 00000, [ ] [ ] 3.001 === niPHP , sa 2H obeimo dogaaj da je poslata kodna re 11111, [ ] [ ] 7.012 === niPHP , [ ] [ ] 6.0prenosaispravnogaverovatno == GPP , i saA obeleimo primljenu sekvencu 10110.

Na osnovu primljene sekvenceA, prijemnik procenjuju koja je kodna re bila poslata na

osnovu toga koja je uslovna verovatnoa vea [ ]AHP /1 , odnosno [ ]AHP /2 . Nakontoga, dekodovanje informacionog simbola iz kodne rei je trivijalno.

Navedene uslovne verovatnoe se mogu izraunati kao:

[ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]2211

1111

///,/

HPHAPHPHAPHAPHP

APAHPAHP

+== , i

[ ][ ]

[ ][ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]2211222

2//

/,/

HPHAPHPHAP

HAPHP

AP

AHPAHP

+

== .

Dalje imamo:

[ ] 02304.0][][][][][/ 1 == GPGPGPGPGPHAP ,

[ ] 03456.0][][][][][/ 2 == GPGPGPGPGPHAP , i

031104.07.003456.03.002304.0][ =+=AP .

Na kraju dobijamo:

[ ] 22.0/1

=AHP , i


16/282


[ ] 78.0/2

=AHP .

Na osnovu dobijenih vrednosti za uslovne verovatnoe, odluiva na svom izlazu daje

simbol 1.

Na kraju, dodajmo i to da se tip kanala opisan u ovom zadatku naziva binarni simetrini

kanal, i skraeno obeleava sa BSC (Binary Symmetric Channel).

2.2.2 U jednom binarnom sistemu za prenos podataka na predaji se javlja pozitivni impuls kojiodgovara kodnom znaku 1 (dogaaj 1H ), i negativni impuls koji odgovara kodnom znaku

0 (dogaaj 2H ) sa verovatnooma [ ] 6.01 =HP i [ ] 4.02 =HP . Prijemnik detektuje trivrste signala:

pozitivni impuls 1, negativni impuls 0, i neodreeni impuls E (znakEpotie od engleske rei Erasure, pa se ovakav kanal

naziva binarni kanal sa brisanjem, i skraeno obeleava sa BEC Binary Erasure

Channel).Uslovne verovatnoe dogaaja na prijemu kada su realizovani dogaaji na predaji su:

[ ] 1.0/0 1 =HP , [ ] 1.0/ 1 =HEP i [ ] 8.0/1 1 =HP , i [ ] 8.0/0 2 =HP , [ ] 1.0/ 2 =HEP i [ ] 1.0/1 2 =HP .

Izraunati sledee verovatnoe na prijemu:

a) [ ]0P , [ ]1P i [ ]EP ,b) verovatnou ispravnog prijema i greke na prijemu,c) ako je primljen pozitivan impuls, kolika je verovatnoa da je impuls na predaji bio

negativan odnosno pozitivan,

d) ako je primljen negativan impuls, kolika je verovatnoa da je impuls na predaji bionegativan odnosno pozitivan,

e) ako je primljen neodreeni impuls, kolika je verovatnoa da je impuls na predajibio negativan odnosno pozitivan?

Reenje:

a)[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 52.0/1/11 2211 =+= HPHPHPHPP ,

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 38.0/0/00 2211 =+= HPHPHPHPP , i

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1.0// 2211 =+= HEPHPHEPHPEP .

b) Obeleimo dogaaj da je prijem ispravan sa T.[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 8.0/0/1 2211 =+= HPHPHPHPTP , i

2.0=TP .

c)[ ]

[ ][ ]

[ ] [ ][ ]

923.01

/1

1

1,1/ 1111 =

==

P

HPHP

P

HPHP , i

[ ][ ]

[ ][ ] [ ]

[ ] 077.01/1

1

1,1/ 2222 =

== P

HPHP

P

HPHP .


17/282


d)[ ]

[ ][ ]

[ ] [ ][ ]

158.00

/0

0

0,0/ 1111 =

==

P

HPHP

P

HPHP , i

[ ][ ]

[ ][ ] [ ]

[ ]842.0

0

/0

0

0,0/ 2222 =

==

P

HPHP

P

HPHP .

e)[ ]

[ ][ ]

[ ] [ ][ ]

6.0/,

/ 1111 =

==EP

HEPHP

EP

EHPEHP , i

[ ][ ]

[ ][ ] [ ]

[ ]4.0

/,/ 2222 =

==

EP

HEPHP

EP

EHPEHP .

2.2.3 Data je funkcija nxexkxf 22

)(

= gde su k i n pozitivne konstante.

a) U kom domenu moe funkcija )(xf da predstavlja gustine raspodele verovatnoa(GRV) neke sluajne promenljive? Odrediti relaciju izmeu k i n .

b) Izraunati verovatnou da sluajna promenljiva ija je gustina raspodele )(xf uzme neku vrednost iz intervala 2,2 .

c) Napisati izraz za kumulativnu funkciju raspodele i skicirati njen izgled.Reenje:

a) Da bi )(xf bila GRV, njene vrednosti moraju biti nenegativne. To je sluaj za 0x :1

0

2

2

==

kndxexk nx

.

b)[ ]

2

2

2

2

2

122

e

edxexkxP n

x

==

.

c).1)( 2

2

0

2

2

n

xx

n

t

X edtetkxF

==

Slika 2.2.3.1 prikazuje izgled kumulativne funkcije raspodele.

[ ]xFX

x

1

Slika 2.2.3.1


18/282


2.2.4 Na ulazu i izlazu sistema su signali ije su trenutne vrednosti sluajne promenljiveXi Y.Odrediti funkciju gustine raspodele verovatnoa sluajne promenljive Y za sve

kombinacije funkcija gustine raspodele verovatnoa sluajne promenljive i prenosnih

funkcija sistema.

Funkcije gustine raspodele verovatnoa sluajne promenljiveXsu:

1. [ ] =

drugde.0,1,01)( xxpX

2. 22

2

1)(

x

X exp

=

.

Prenosne funkcije sistema su (pri emu su a i b pozitivne konstante):

1. baxxy +=)( ,2. 2)( axxy = ,3.

=+=

=

=

drugde.0

,02

1

2

2

1

2

2

1

2

2

2

2

2

yeay

ax

e

ax

e

ypa

y

a

yx

x

a

yx

x

Y

y

[ ]ypY

Slika 2.2.4.5


21/282


f) (Kombinacija Gausove raspodele i linearnog sistema sa zasienjem.)Analogno delu zadatka pod c), dobijamo:

[ ]( )

+++

=

drugde.0

,)()()(2

1 22

2 abyababyabyaQebyp

b

y

Y

pri emu je:

=

==

a

xa x

dxedxeaQ 2

2

2

2

2

1

2

1)(

.

y

[ ]ypY

)()( abyaQ )()( abyaQ +

Slika 2.2.4.6

2.2.5 U prijemnicima modulisanih signala esto se vri izdvajanje nosioca, koji predstavljaneki sinusoidalni signal amplitude A , krune uestanosti 0 i poetne faze . Obino su

na mestu prijema poznate vrednosti za amplitudu i krunu uestanost, dok je po

etna faza

nepoznata. Zato se poetna faza moe predstaviti sluajnom promenljivom sa

uniformnom raspodelom ija je gustina raspodele verovatnoa:

[ ]

=

drugde.0

,202

1

x

xp

Odrediti GRV sluajne promenljive koja predstavlja trenutnu vrednost noseeg signala u

nekom odreenom trenutku 1tt= .

Reenje:

Trenutna vrednost nosioca predstavlja sluajnu promenljivu koju emo obeleiti sa Z,

)sin( 10 += tAZ , a trenutni ugao sinusoide emo obeleiti sa , += 10t . GRV

sluajne promenljiveZemo odrediti u dva koraka. U prvom emo odrediti GRV za , a

zatim iz nje izvesti traenu GRV na osnovu relacije sinAZ = .

Poto je += 10t , na osnovu zadatka 2.2.4 pod a) se dobija:

[ ]

+

=

drugde.0

,22

11010

tyt

yp


22/282


Poto preslikavanje yAz sin= nije 1 na 1, posluiemo se slinim rezonovanjem kao u

zadatku 2.2.4 pod b). Na osnovu slike (Slika 2.2.5.1) se vidi da vai:

[ ][ ] [ ]

21 yyyy

Z

dy

dz

yp

dy

dz

ypzp

==

+=

,

pri emu je;

22

2

22 1sin1cos zA

A

zAyAyA

dy

dz==== .

Na kraju se dobija:

[ ]

=

+

=

drugde.0

,011

drugde.0

,02

1

2

1

22

2222

AzzA

Az

zAzAzpZ

y

z [ ]zpZ

A

1y

2y

zA

A

1

10t 210 +t

Slika 2.2.5.1

2.2.6 Na ulazu u radio prijemnik superponiraju se dva sinusoidalna signala jedininihamplituda i krune uestanosti 0 , a sluajne fazne razlike koja je uniformno

raspodeljena u intervalu [ ]2,0 . Odrediti i nacrtati GRV sluajne promenljive kojapredstavlja anvelopu signala na ulazu. Izraunati verovatnou da anvelopa ulaznog

signala bude manja od polovine amplituda pojedinih komponenti.

Reenje:

Na ulazu radio prijemnika je signal:

( )

+=++= 2sin2cos2)sin()sin(

000

x

t

x

xttts .


23/282


Sluajna promenljiva koja predstavlja anvelopu na ulazu je2

cos2x

y = .

Ovo preslikavanje je jednoznano na intervalu [ ]2,0 , pa sledi:

[ ][ ]

)(1 yfx

XY

dx

dy

dxxp

dyyp

=

= .

Slino kao i u zadatku 2.2.5, vai:

41

2cos1

2sin

22 yxx

dx

dy=== ,

pa se konano dobija:

[ ]

=

drugde.0

,22

412

1

2

yyypY

Verovatnoa da je anvelopa u intervalu

2

1,

2

1(polovina amplituda pojedinih

komponenti) je:

[ ]

=

=

==

nnoU

xU

QdxeUnP

0

/

2

2

02

1][ ,

.10)76,4(][ 60

=> QUnP

b)[ ] [ ] 68,0)1(2121 ==>=


34/282


( ) ( ) ( )+

2

2

sin2

Tt

Tt

cus duuunT

tn ,

pri emu je

B

T

fc

11


35/282


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ),22

2sin1

2cos1

)cos(2

21

2

2

2

2

2

2

tnT

ktn

T

ktntn

duuT

tnduuT

tntnduuunT

c

c

s

c

cc

Tt

Tt

cs

Tt

Tt

ccc

Tt

Tt

cu

+=

+=

+

+

+

jer je 2,2 21


36/282


d) Spektralna gustina snage uma je nakon filtriranja ograniena na intervale( ) ( )[ ]BfBf cc + , i [ ]BfBf cc + , (Slika 2.2.17.2). Snaga uma nakon filtriranja

je:

( ) 00 2

22 BNdf

NdffSP

Bf

Bf

uu

c

c

=== +

.

f

( )fSu

2

0N

cf

cf

Slika 2.2.17.2

Na osnovu zadatka pod c), vai:( ) ( ) ( )0002 0 scuu RRRBNP ==== .

Dalje je:

( ) ( )dffSBNR cc

== 020 .

Poto je spektralna gustina snage procesa ( )tnc konstanta u intervalu [ ]BB, , vai:

( )

=drugde.0

,0 BfBNfSc

Na slian nain se moe pokazati da je spektralna gustina snage procesa ( )tns :

( )

=drugde.0

,0 BfBNfSs


37/282


V E B A 1

SLUAJNE PROMENLJIVE I STOHASTIKI PROCESI

I PRIPREMA VEBE (DOMAI ZADATAK)

P1) Uniformno raspodeljena sluajna promenljiva

P1.1. Neka je U U (a,b) uniformno raspodeljena sluajna promenljiva nad intervalom[a,b], a < b

a) Odrediti i nacrtati gustinu verovatnoe od U.b) Odrediti i nacrtati kumulativnu funkciju raspodele od U.c) Izraunati E[U] I E[U], u kao i funkcije promenljivih a i b.d)

Odrediti vezu izme

u "irine" uniformne raspodele, b-a, i njene varijanse.e) Za a = 2, b = 6 izraunati P (-2


38/282

38 VEBA 1

P4.2. Odrediti srednju i srednju kvadratnu vrednost sluajnog procesa Z (t), ako jegrafiki zadata:

a) autokorelaciona funkcija Rz();b) spektralna gustina srednje snage Sz (f).

a)

b)

Slika 1.1.

P4.3. Koji uslov moraju zadovoljiti dva sluajna procesa da bi bili nekorelisani?

P5) Linerno filtriranje sluajnog procesa.

P5.1. Odrediti odziv filtra ija je prenosna funkcija : H (f) = f 0 / (f0 + j2f) ako je nanjegovom ulazu prisutan beli um spektralne gustine srednje snage Sn (f) = N0 / 2. Ukakvoj su vezi spektralna gustina srednje snage odziva i prenosna funkcija filtra H(f)?

P5.2. (CCS) Beli um X(t) sa spektralnom gustinom srednje snage ffSX = ,1)(

pobuuje linearan filtar iji je impulsni odziv h . Odrediti spektralnu

gustinu snage i autokorelacionu funkciju procesa na izlazu filtra.


39/282


II ZADATAK VEBE

SLUAJNE PROMENLJIVE

1) Uniformno raspodeljene sluajna promenljiva (CST)

1.1. Koristei funkcije unif_pdf i unif_cdf nacrtati gustinu verovatnoe (pdf) ikumulativnu funkciju raspodele (cdf) uniformne sluajne promenljive U (2,6):

>>subplot(121),unif_pdf(2,6),axis([0,8,-0.2,1.2]);>>subplot(121),unif_cdf(2,6),axis([0,8,-0.2,1.2]);

Grafik 1.1.

1.2. Ako je U~U (2,6) odrediti verovatnoe koristei generisane grafike za pdf i cdf utaki 1.1.

P ( 0>mean_u=mean(u),var_u=var(u)

Uporediti ove rezultate sa rezultatima koji se oekuju na osnovu P1.1. ikomentarisati razlike.

b) Da li moete da pretpostavite algoritme MATLAB funkcija mean i var?Prikaite sadraje ovih funkcija komandom type.

c) Iskoristite funkcije mean_u i var_u za odreivanje E[ u ]. Proverite rezultat saMATLAB funkcijom meansq.


40/282

40 VEBA 1

2) Gausova sluajna promenljiva

2.1. Koristei MATLAB funkcije gaus_pdf i gaus_cdf prikazati grafike gustineverovatnoe (pdf) i kumulativne raspodele (cdf) sluajne promenljive G ~ N (,), priemu je = mean_u i = var_u iz pripreme 1.3.>>clg,subplot(121),gaus_pdf(mean_u,var_u)>>subplot(122),gaus_cdf(mean_u,var_u)

Grafik 1.2.

2.2. Naznaiti vrednosti na horizontalnoj osi gde pdf ima maksimalnu vrednost i gde jecdf jednaka 0.5. Uporediti ove vrednosti sa srednjom vrednou Gausove raspodele.

2.3. Odrediti sledee verovatnoe :

P ( 0 < G 3 ) P ( 3 < G 5 ) P ( G 5 )

Tabela 1.2

Uporediti dobijene rezultate sa vrednostima u tabeli 1.1 za uniformnu raspodelu. Gausovaraspodela koriena u ovom zadatku i uniformna raspodela iz prvog dela vebe imaju istesrednje vrednosti i varijanse, ali se rezultati razlikuju. Moete li objasniti zato?

2.4. Ako pretpostavimo da sluajna promenljiva X N ( , ) ima konstantnu srednjuvrednost =1, grafiki prikazati uticaj promene varijanse {0.5, 1, 2, 5, 10 } naizgled gustine raspodele:

>>clf>>m=1;gaus_pdf(m,0.5)

>>axis([-101000.6]),holdon>>gaus_pdf(m,1)

>>gaus_pdf(m,10)


41/282

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA 41Pitanje 1.1.Ako pretpostavimo dogaaj A : 0clf>>m=1;gaus_cdf(m,10)

>>axis([-101001]),holdon>>gaus_cdf(m,1)>>gaus_cdf(m,10)

a) Da li moete pretpostaviti granini oblik cdf kada ? Prikaz cdf za maluvrednost moe pomoi pri odgovaranju na postavljeno pitanje:

02 2

>>gaus_cdf(m,0.00001)

b) ta znai imati raspodelu verovatnoa sa vrlo malom varijansom? Prikaz

odgovarajue pdf pomae da bolje ilustrujemo ovo pitanje:

>>clf>>gaus_pdf(m,0.00001)

>>axis([020200])

c) Ako u poslednjem koraku uzmemo uniformno raspodeljenu sluajnu promenljivusa srednjom vrednou i varijansom 0.0001, da li e se rezultujua funkcija pdf

promeniti?

2.6. Da bi utvrdili efekte promene srednje vrednosti {-4,-1,2,5} na pdf Gausoveraspodele, njenu varijansu, , draemo konstantnom:

>>clf>>s=1;gaus_pdf(-4,s)

>>axis([-8800.5]),holdon>>gaus_pdf(-1,s)

>>gaus_pdf(5,s)

a) ta sada zapaate: kakav je uticaj promene srednje vrednosti ?b) Neka je X (, ) sluajna promenljiva sa normalnom raspodelom X ( ,) N (,). Uporediti vrednosti P(-5< X(-4,1)


42/282

42 VEBA 1

>>x=gauss(-5,1,100);>>y=gauss(0,1,100);>>z=gauss(5,1,100);>>clf>>plot(x)

>>axis([1100-1010]),gridon,holdon>>plot(y)>>plot(z)Da li je mogue konstatovati da srednja vrednost Gausove sluajne promenljive utie na

jednosmerni nivo talasnog oblika (sekvence)?

3.2. Generisati sluajne sekvence na osnovu Gausovih raspodela sa razliitimvrednostima varijanse:

>>a=gauss(0,4,100);>>b=gauss(0,1,100);

>>c=gauss(0,0.5,100);>>d=gauss(0,0.01,100);>>clf

>>subplot(221),plot(a),axis([1100-1010])>>subplot(222),plot(b),axis([1100-1010])>>subplot(223),plot(c),axis([1100-1010])>>subplot(224),plot(d),axis([1100-1010])Koristei MATLAB funkcije mean i var odrediti srednju vrednost i varijansu svakesekvence, i dobijene podatke uneti u tabelu 1.3. Odrediti srednju kvadratnu vrednost

svakog signala koristei dobijene vrednosti srednje vrednosti i varijanse. Proveritirezultate korienjem funkcije meansq.

sekvenca srednja vrednost varijansasrednja kvadratna

vrednosta

bc

Tabela 1.3

Pitanje 1.2.Ako talasni oblici iz ovog primera predstavljaju um, koji bi od njih uneo najmanjesmetnji vaem komunikacionom sistemu? Ako prikazani talasni oblici predstavljajukorisne signale bez prisutnog uma, koji biste upotrebli za prenos informacije i zato?

SLUAJNI PROCESI

4) Stacionarnost u irem smislu i ergodinost

4.1 Generisati sve etiri realizacije sluajnog procesa X (,t) opisanog u pripremnomzadatku P3.2 i prikazati prvih 400 uzoraka svake realizacije.

>>x=realize([0pi/2pi3*pi/2]);>>subplot(221),waveplot(x(1,1:400));

>>subplot(222),waveplot(x(2,1:400));


43/282

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA 43>>subplot(223),waveplot(x(3,1:400));

>>subplot(224),waveplot(x(4,1:400));

a) Odrediti vrednosti svake realizacije sluajne promenljive X (,t) za trenutket = 0, 0.5, 1.25, 2.2, 3.4 ms. Za svako t izraunati srednju vrednost poansamblu i srednju kvadratnu vrednost po ansamblu

time [ ms ]

0.0 0.5 1.25 2.2 3.4

X (1,t)

X (2,t)

X (3,t)

X (4,t)

E[X (,t)]

E[X(,t)]

Tabela 1.4.

4.2. Koriste

i funkciju ecorrodrediti autokorelacionu funkciju Rx( t1,t2) za vrednosti t1 it2 iz tabele 1.5.

>>ecorr(x,t1,t2)

t1 t2 0.0 0.7 1.9 2.6

0.0

0.7

1.9

2.6

Tabela 1.5.

Pitanje 1.3.Zato su vrednosti u tabeli 1.5 simetrine? Zato su Rx(1.9, 2.6) i Rx(0.7, 0) jednake?Kako bi izraunali Rx(t1,t2) sa grafika koji su generisani u zadatku 4.1?

4.3. Odrediti vremenske srednje vrednosti za X (,t) i X(,t) za svaku vrednost .

Rezultate uneti u tabelu 1.6.>>[mean(x(1,:))meansq(x(1,:))]


44/282

44 VEBA 1

>>[mean(x(2,:))meansq(x(2,:))]



X (,t) X(,t)

1

2

3

4

Tabela 1.6.

Uporediti ove vrednosti sa vrednostima dobijenim u tabeli 1.4. ta to govori oergodinosti X(,t)?

4.4. Prikazati autokorelacionu funkciju X (1,t) koja je odreena usrednjavanjem uvremenu:

>>clf

>>acf(x(1,:),100);

Da li je vremenska autokorelaciona funkcija (acf) za X (1,t) razliita od acf za X (3,t)?

Pitanje 1.4.Ako je X(, t) ergodian proces, kako se moe izraunati Rx(2.6, 0.7) koristei grafik izzadatka 4.4?

4.5 Generisati sluajni proces Y (, t) = cos(21000t + ) definisan u terminimadiskretne sluajne promenljive faze koja uzima vrednosti 1 = 0 i 1 = sa jednakimverovatnoama.

>>y=realize([0,pi]);

Prikazati obe realizacije sluajnog procesa Y (, t). Odrediti srednju vrednost i srednjukvadratnu vrednost za t = 1ms i t = 1.25 ms

>>subplot(211),waveplot(y(1,1:400))>>subplot(212),waveplot(y(2,1:400))

Pitanje 1.5.Da li je Y(, t) stacionaran u irem smislu? Da li je Y(, t) ergodian proces?Obrazloite odgovore.


45/282

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA 455) Autokorelaciona funkcija i spektralna gustina srednje snage

Korelacija je mera slinosti izmeu dva skupa podataka, u tom smislu da to su skupovisliniji vea e biti apsolutna vrednost korelacije. Jedna od primena je procena sluajneveliine na osnovu posmatranja nekog zavisnog procesa. Autokorelacija je korelacionamera odmeraka uzetih iz istog sluajnog procesa.

5.1. Generisati 4096 uzorak korelusanog sluajnog procesa Z(t) i prikazati rezultujuigrafik

>>close(2),clf

>>z=corr_seq(0.85,4096.3,0);

>>waveplot(z)

a) Izraunati i prikazati autokorelacionu funkciju RZ() i spektralnu gustinusrednje snage SZ(f) sluajnog procesa Z(t)

>>clf,subplot(211),acf(z)

>>subplot(212),psd(z)

Uporedite SZ(f) sa odgovorima na pripremno pitanje P4.2.

b) Izraunati srednju vrednost i srednju kvadratnu vrednost sluajnog procesaZ(t) koristei RZ().

E [Z(t)] =

E [Z(t)] =

c) Odredite srednju kvadratnu vrednost procesa Z(t) koristei SZ(f). Srednjakvadratna vrednost je ekvivalentna oblasti ispod PSD funkcije pomnoena safaktorom skaliranja. Faktor skaliranja predstavlja broj uzoraka podeljen safrekvencijom odabiranja. U ovom eksperimentu faktor skaliranja ima vrednost0.04096.

E [Z(t)] = * 0.04096 =

6) Beli um

Spektralna gustina srednje snage belog uma je konstantna funkcija na celom propusnom

opsegu. Beli um korien kao ulaz sistema prisutan je na svim frekvencijama, zato sekoristi za identifikaciju sistema tj. za odreivanje frekvencijskog odziva nepoznatogsistema.

6.1. Generisati 1024 uzoraka belog Gausovog uma sa nultom srednjom vrednou ijedininom snagom. Iskoristiti dobijenu sekvencu kao ulaz u nepoznati sistem kojipredstavlja filtar sa nepoznatom irinom propusnog opsega.


46/282

46 VEBA 1

>>clf

>>wn=gauss(0,1,1024);

>>cn=blackbox(wn);

a) Dovedimo izlaz iz nepoznatog filtra na usko pojasni filtar sa promenljivimpropusnim opsegom

>>spect_est(cn)

Nakon poziva funkcija spect_estpotrebno je zadati frekvencijski opseg ukojem se vri procena spektra kao i irinu propusnog opsega uskopojasnogfiltra koji se koristi za analizu spektra. Za spektralni opseg unesite [0, 5 kHz]a za irinu propusnog opsega filtra 250 Hz. Po unoenju podaka, funkcija

prikazuje spektralnu amplitudsku karakteristiku izlaznog signala unutarzadatog frekvencijskog opsega i sa rezolucijom koja odgovara iriniupotrebljenog uskopojasnog filtra.

Grafik 1.3.

b) Prikazati rezultat spektralne analize na grafiku 2.1. Uporediti tanostprocenjene spektralne raspodele koja aproksimira frekvencijski odziv

nepoznatog sistema porede

i sa spektralnom gustinom srednje snage nanjegovom izlazu.

>>holdon,psd(cn)

Pitanje 1.6.Odrediti propusni opseg i red nepoznatog filtra koji je predstavljen blackbox funkcijom.


47/282


3 KARAKTERISTIKE DIGITALNIH SIGNALA3.1 UVOD3.1.1 Osnovne definicije i oznake

Osnovne komponente digitalnog signala su:

informacioni sadraj,

vremenski oblik elementarnog impulsa,

digitski takt (signalizacioni interval).

Informacioni sadraj predstavlja vremenski niz diskretnih simbola:

{ } LL ,,,, 11 += kkkk aaaa (3.1)

Simboli ak uzimaju vrednosti iz konanog skupa (alfabeta) { }.1,,2,1,0, == MmAA m L

Ako je ak simbol alfabeta A , elementarni impuls, a Tsignalizacioni interval, digitalni

signal se moe predstaviti u obliku:

)(th

s t a h t kT kk N

N

( ) ( )= = (3.2)

Ako se uvedu sledee pretpostavke:

su meusobno zavisne sluajne veliine,{ }ka svi nizovi elemenata informacionog sadraja ine ergodian ansambl u irem smislu,

tada e vaiti:

akk aa == }{ , i (3.3)

)(}}{{ nRaaaa ankknkk == ++ (3.4)

U poslednjim izrazima su:

][][

1

mk

M

m

mkk AaPAaEa === =

, i (3.5)

= =

+++ ====M

i

M

j

jnkikjinkknkk AaAaPAAaaEaa1 1

],[][ (3.6)

statistika srednja vrednost i autokorelacija elemenata informacionog sadraja, a

= +

=N

Nk

kN

k aN

a12

1lim}{ , i (3.7)

=

+++

=

N

Nk

nkknkk aaN

aaN 12

1lim}}{{ (3.8)

srednja vrednost i autokorelacija lana informacionog sadraja po vremenu.


48/282

48 KARAKTERISTIKE DIGITALNIH SIGNALA

3.1.2 Statistike i spektralne karakteristike digitalnih signalaSrednja vrednost digitalnog signala po vremenu je:

)0()()(2

1lim)( H

Tdtth

Tdtts

NTts aa

NT

NTN

===

(3.9)

Statistika srednja vrednost je:

=

=

===

k

Tktja

k

a eT

kH

TkTthtsEts /2)()]([)(

(3.10)

Autokorelacija digitalnog signala po vremenu definisana je izrazom:

=

= =

+=

+=

+=+=

m

aT

NT

NT

N

Nk

N

Nn

nkN

NT

NTN

mRmTRT

dtnTthkTthaaNT

dttstsNT

tstsR

)()(1

)()(2

1lim

)()(2

1lim)()()(

(3.11)

gde je , ankm =

+= dtththRT )()()( (3.12)

autokorelacija elementarnog impulsa.

Spektralna gustina srednje snage (SGSS) digitalnog signala definisana je izrazom:

=

==m

fmTja

fj

emRfHTdeRfS

222

)()(1

)()( (3.13)

2)( fH je spektralna gustina energije signala i predstavlja njegov uticaj na SGSS,h t( )

K fT

R m ea aj fmT

m

( ) ( )=

=

1 2 (3.14)

predstavlja spektar informacionog sadraja,

[ ]

=

=

+

=

m

fmTjaa

m

aa emR

TT

mf

TfK

222

2

)(1

)( (3.15)

Sledi:

)()()( fSfSfS kd += , (3.16)

pri emu su i diskretni i kontinualni deo SGSS respektivno, a mogu se

predstaviti sledeim izrazima:

)( fSd )( fSk

=

=

m

ad

T

mf

TfHfS

2

22

)()( , i (3.17)

[ ]

=

=m

fmTjaak emR

TfHfS 22

2)(

1)()(

(3.18)

Ukoliko je digitalni signal sa statistiki nezavisnim elementima informacionog sadraja,statistika autokorelacija informacionog sadraja je:


49/282


===

.0

,0)0()(

2

2

m

mRamR

a

aka

(3.19)

=

++=m

Ta

Ta mTR

TR

TR )()()(

22

(3.20)

je autokorelacija digitalnog signala, pri emu je varijansa elemenata informacionog

sadraja.

a2

=

+==m

Ta

Ta mTR

TR

TRP )()0()0(

22 (3.21)

predstavlja srednju snagu digitalnog signala.

Spektralna gustina srednje snage je tada data izrazom:

=

+=

m

aa

T

mfjfH

TjfH

TfS

22

22

2

)()()( (3.22)

Ako su elementi alfabeta informacionog sadraja polarni:

{ 1,,2,1,0,)]1(2[ }=== MmdMmAAa mk L (3.23)

gde je d polovina rastojanja izmeu susednih simbola alfabeta, iste apriorne verovatnoe:

MmM

AP m ,,2,1,1

)( L== (3.24)

sledi:

a = 0 (SGSS nema diskretni deo).

22

22

3

1d

Maka

== (varijansa alfabeta) (3.25)

RM

dTR

T( ) ( ) =

2

21

3

1(autokorelacija) (3.26)

a srednja snagatakvog digitalnog signala je:

== dtthT

dffHT

P aa )()( 22

22

(3.27)


50/282


3.2 ZADACI3.2.1 Prikazati vremenski oblik digitalnog signala kojim se prenosi binarna sekvenca

10011011, ukoliko se za prenos koriste sledei formati signala (kodovi):

unipolarni kod bez povratka na nulu (unipolarni NRZ Non-Return to Zero),

diferencijalni unipolarni kod bez povratka na nulu ( diferencijalni unipolarni NRZ),

bipolarni kod bez povratka na nulu (bipolarni NRZ),

bipolarni kod sa povratkom na nulu (bipolarni RZ Return to Zero),

Manester kod,

diferencirajui RZ kod.

Reenje:

Unipolarni NRZ kod

Ovo je najjednostavniji nain kodovanja. Binarno 1 se koduje impulsom pozitivnog

nivoa, dok se binarno 0 koduje odustvom impulsa. Oba simbola traju itavsinhronizacioni interval. Problem je to pri dugotrajnom nizu 1-ca, odnosno 0, nema

tranzicija u digitalnom signalu, pa se gubi informacija o taktu, i stoga ovaj format ne

moe da slui za odravanje sinhronizacije izmeu predajnika i prijemnika.

Diferencijalni unipolarni NRZ kod

Kod ovog formata je karakteristino da se koduju promene u informacionoj sekvenci.

Ukoliko su susedni biti iste vrednosti, to se koduje odsustvom impulsa, a ukoliko su

susedni biti razliite vrednosti, to se koduje pozitivnim impulsom. Simboli traju itav

signalizacioni interval, a prvi simbol se koduje na prethodno dogovoren nain (u ovom

primeru je poetni simbol pozitivan ako sekvenca poinje bitom 1).

Bipolarni NRZ kod

I u ovom sluaju je nivo signala konstantan za vreme prenosa jednog bita. Koriste se

takoe dva naponska nivoa, ali za razliku unipolarnog NRZ koda, pozitivan impuls

koduje binarno 1, a negativan impuls koduje binarno 0. Ovde vai isti problem vezan za

NRZ kodove pri dugotrajnom nizu 1-ca, odnosno 0, nema tranzicija, pa ni bipolarni

NRZ ne moe da slui za odravanje sinhronizacije.

Bipolarni RZ

U ovom formatu, binarno 1 je predstavljeno pozitivnim, a binarno 0 negativnim

impulsom. Za razliku od prethodno navedenih formata, na sredini svakog intervala signal

pada na nulti nivo. Kako na sredini svakog interval postoji tranzicija, sinhronizacija

izmeu izmeu predajnika i prijemnika se lako odrava. Nedostatak je, meutim, da su

promene signala dva puta ee nego protok bita, pa je i zahtevani propusni opseg duplo

vei.

Manester kod

Slino kao i kod RZ kodova, postoji tranzicija na sredini intervala. Prva polovina

intervala oznaava vrednost bita (pozitivan impuls za binarno 1, a odsustvo impulsa za

binarno 0), a na druga polovina je suprotne vrednosti od prve. Prednost nad RZ-om je

postojanje samo dva naponska nivoa.

AMI kod

AMI kod poseduje tri naponska nivoa. Binarno 0 se koduje naponom nula, a binarno 1naizmenino negativnim i pozitivnim nivoom (pseudoternarni kod). Impulsi traju

polovinu signalizacionog intervala.


51/282


Slika 3.2.1.1 prikazuje vremenske oblike navedenih formata.

1 0

+V

-V

0

biti informacione

sekvence

unipolarni NRZ

Mancester

AMI

diferencijalni

unipolarni NRZ

+V

0

bipolarni NRZ 0

+V

bipolarni RZ

1 1 1 10 0

-V

0

+V

0

+V

-V

0

+V

Slika 3.2.1.1

3.2.2 Izvesti izraze za varijanse informacionih sadraja digitalnih signala sa simbolima izM-arnih alfabeta:

a) { }1,,2,1,0],)1(2[ === MmdMdmAA m L (polarni),

b) { }1,,2,1,0,2===

MmdmAA mL

(unipolarni),pod pretpostavkom da su svi simboli jednako verovatni.

Reenje:

Varijansa informacionog sadraja digitalnog signala je 222 aaa = .

a) Kako je a = 0, varijansa je jednaka srednjoj kvadratnoj vrednosti alfabeta:


52/282


( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )

( )

.3

1

6

1223321

112

11

6

121

1114

1124121

)(

22

2222

22

1

0

2

1

0

1

0

2

2

1

0

2221

0

2

1

0

22

dM

MMMMMM

M

Md

MMMM

MMMM

M

d

MmMmMd

MmMmM

ddMmd

M

AAP

M

m

M

m

M

m

M

m

M

m

M

m

mma

=

+++=

+

=

+=

+==

=

=

=

=

=

=

=

b) Kod unipolarnog alfabeta srednja vrednost alfabeta je razliita od nule:

dMMM

M

ddm

MAAPa

M

m

M

m

mm )1(2

)11)(1(22

1)(

1

0

1

0

=+

===

=

=

,

pa poto je srednja kvadratna vrednost:

( )

,3

)12)(1(2

6

)12()1(42

1)(

2

21

0

21

0

22

dMM

MMM

M

ddm

MAAPa

M

m

M

m

mm

=

===

=

=

za varijansu informacionog sadraja unipolarnog digitalnog signala dobija se:

22

222222

3

1)12(

3

)12)(1(2 d

MdMMd

MMaaa

=+

== .

Dakle, varijansa informacionog sadraja polarnog i unipolarnog digitalnog signala ista

je i data je izrazom:

22

2

3

1d

Ma

= .

Ovo je i logino, s obzirom da varijansa reprezentuje samo naizmenini deo snage

sluajnog signala.

3.2.3 Ako su snage unipolarnih binarnih signala od kojih je prvi bez povratka na nulu, a drugisa povratkom na nulu iste, odrediti i uporediti njihove spektralne gustine srednje snage

(SGSS), pod uslovom da su im alfabeti identini i da su simboli statistiki nezavisni sa

podjednakim verovatnoama pojavljivanja.

Slika 3.2.3.1 Unipolarni binarni digitalni signali a) bez povratka na nulu b) sa povratkom na nulu


53/282


Reenje:

Digitalni signali )(1

ts i )(2

ts dati su sledeim izrazima:

==

=drugde.0

,0)(,)()(

11111

TtUthnTthats

n

n

==

=drugde.0

,20)(,)()(2

2222TtUthnTthats

n

n

Za izraunavanje SGSS vai izraz (3.22).

Treba odrediti a

2 i a , kao i spektar elementarnog impulsa )( fH .

Statistike oba informaciona sadraja su iste i izraunavaju se na sledei nain:

.4

1

,2

11)1(0)0(

,4

1

,2

11)1(0)0(

22

22

2221

22

21

1

21 aa

aPPa

aa

PPa

==

==+=

==

=+=

Poto su srednje snage oba digitalna signala po uslovu zadatka iste, parametri U1 i U2

mogu se izraziti preko srednje snage Ps .

Za srednju snagu unipolarnog digitalnog signala ne moe se koristiti izraz (3.27) - dat za

polarne signale, ve se polazi od opteg izraza (3.21). Kako je proizvod

0)()( =+ mTthth za m 0 u izrazu (3.12) za )(mTRT

, izraz (3.21) za srednju snagu

unipolarnih digitalnih signala sa elementarnim impulsima h t1( ) i )(2 th svodi se na:

= dtthT

aP )(2

2

,

odnosno:

sss PUPUdtthT

aP 22

1)(

1 21

21

21

211 ====

,

.42

1

2

1 22

222 sss PUPUP ===

Treba jo odrediti Furijeove transformacije elementarnih impulsa )(1

th i )(2

th :

,)(

)(sin2)(

,)sin(

)()(

2

222

1

221

0

21

211

fT

fTTPfH

efT

fTTUdteUdtethfH

s

TfjT

ftjftj

=

===


54/282


( )

( )

.0sin

0

,sin

24

1

)(

)(sin

4

2

sin

24

1

)(

)(sin

4

2)(

2

2

2

222

2

2

2

2

2

22

22

1

=

+=

+=

=

=

k

kk

T

kf

k

kTP

TfT

fTTT

P

T

kf

TT

k

TT

k

TPTfT

fTT

T

PfS

k

ss

k

ss

SGSS unipolarnog digitalnog signala srednje snage sP bez povratka na nulu, pri brzini

signalizacije 1/Tje:

)(2

1

)(

sin

2

1)(

2

2

1 fPfT

fTTPfS ss

+= .

Na slian nain dolazi se do SGSS unipolarnog digitalnog signala sa povratkom na nulu:

,

2

2sin

4

1

2

2sin

4)(

,

2

2sin

)(

,

2

2sin

2

1)(

2

2

2

22

2

22

2

2

22

2

4/22

2/

0

222

+

=

=

==

=

T

kf

k

k

TPTfT

fT

TT

PfS

fT

fT

TPfH

efT

fT

TUdteUfH

k

ss

s

fTjT

ftj

=

+=

+

=

=

.01

,12)12(

2

,0,20

2

2sin 2

2

k

mkm

mmk

k

k

SGSS unipolarnog digitalnog signala sa povratkom na nulu srednje snage Ps , pri brzini

signalizacije 1/T je:

.)12(

)12(

1)(

4

2

2sin

4

1)(

222

2

2

=

+

+++

=

m

sss

T

mf

m

Pf

P

fT

fT

TPfS

U spektru digitalnog signala )(1

ts , iji je elementarni impuls bez povratka na nulu (NRZ

Non Return to Zero), diskretne komponente se nalaze u nulama obvojnice

2

)sin(

fT

fT

,

pa se digitalni takt ne moe izdvojiti na osnovu spektra (Slika 3.2.3.2).


55/282


Slika 3.2.3.2 SGSS unipolarnog digitalnog signala

U spektru digitalnog signala )(2

ts , iji je elementarni impuls sa povratkom na nulu (RZ -

Return to Zero), postoje diskretne komponente na rastojanju 2/T, pa se na osnovu njih

moe rekonstruisati digitalni takt (Slika 3.2.3.3).

Slika 3.2.3.3 SGSS unipolarnog digitalnog signala sa povratkom na nulu

Takoe, treba primetiti da su arkade spektra signala sa povratkom na nulu dva puta ire

od arkada spektra bez povratka na nulu. To je posledica injenice da se kod signala sa

povratkom na nulu promene nivoa deavaju dva puta veom frekvencijom (na polovini

signalizacionog intervala). Jedna od najee korienih procena za potrebnu irinu

propusnog opsega sistema za prenos digitalnih signala je irina prve arkade. Na osnovu

gore reenog, signal sa povratkom na nulu zahteva dva puta ve

i propusni opseg odsignala bez povratka na nulu.

3.2.4 Odrediti snagu digitalnog signala, iji su simboli jednako verovatni iz polarnog M-arnogalfabeta, a spektar elementarnog impulsa je dat izrazom:

>

=

.2

1||0

,2

1||

)(

Tf

TfT

fH


56/282


Reenje:

Vai:

=

+== df

T

mffH

TfH

TdffSP

m

aa 2

2

22

2

)()()( .

Poto se radi o polarnom alfabetu sa jednakoverovatnim simbolima, gornji izraz postaje:

= dffHT

P a2

2

)(

.

Varijansa simbola iz polarnogM-arnog alfabeta je (zadatak 3.2.2):

22

2

3

1d

Ma

= ,

pa se konano dobija:

2

2

22

22

1

2

1

22

2

311

31

31 dM

TTd

TMdfTd

TMP

T

T

=

=

=

.

3.2.5 U prenosu podataka brzinom sbvd

1200= koristi se impuls:


57/282


.2

1

2sin

2

1

6

12cos

1

6

1

2

2cos1

1

3

1cos

1

3

1)(

2

2/

2/

222/

2/

2/

2/

22

2/

2/

222/

2/

222

22

consta

T

tTT

T

dM

dt

T

tdt

T

dM

dtT

t

Td

Mdt

T

t

Td

Mdtth

T

aP

T

T

M

T

T

T

T

M

T

T

M

T

T

Ms

==

+

=

+

=

+

=

==

Digitalni takt je funkcija broja simbolaMi datog digitalnog protokadv

MT

ld= .

Elementarni impuls je polukosinus (HC -Half Cosine):

( ) ( )

( )

.)2(1

)cos(2

211

211

2cos2

cos

2

12

1cos

2

12

1

2sin

2

12

1

2sin

2

12

1

22

1

2sin

2

12

1

22

1

2sin

2

12

1

2

12sin

2

12

1

2

12sin

2

12

1

2

12cos

2

12cos

2cos2cos

)2cos(cos2)()(

2

2/

0

2/

0

2/

0

2/

0

2/

0

2/

0

2/

0

2

fT

fTT

fTfTfTT

fT

Tf

fT

Tf

fT

Tf

fT

Tf

T

Tf

Tf

T

Tf

Tf

tT

f

Tf

tT

f

Tf

dttT

fdttT

f

dtT

tftdt

T

tft

dtftT

tdtethfH

TT

TT

TT

Tftj

=

+

+=

+

=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+=

+

+=

==

SGSS je:

=

=

22

2

22

22

ld

21

ldcos

ld4

2)2(1

)cos(4)(

d

dds

v

Mf

v

Mf

v

M

PfT

fTT

T

afS


58/282


,ld

21

ldcos

ldld

21

ldcos

ld8)(

2

2

2

22

=

=

d

d

d

d

d

s

v

Mf

v

Mf

MC

v

Mf

v

Mf

v

MPfS

gde je2

8

d

s

v

PC= .

Prva arkada spektra lei u intervalu [ ]0101, ff , gde je sa 01f oznaena prva uestanost

za koju vai 0)( 01 =fS . Potencijalni kandidati za 01f su nule funkcije

dv

Mf

ldcos .

Prva nula ove funkcije jeM

vf d

ld2= , meutim ovo nije i nula )( fS , jer tada i imenilac

2

ld21

dvMf jednak 0. Traenjem granine vrednosti )( fS se za ovu vrednost f

dobija:

16ld

ld2

MC

M

vS d =

.

Druga nula

dv

Mf

ldcos je za

M

vf d

ld2

3= , to je takoe i nula )( fS , pa je prva arkada

spektra u opsegu

M

v

M

v dd

ld2

3,

ld2

3.

Za f= 0 amplituda prve arkade je MCS ld)0( = . Sa poveanjem M, amplituda prve

arkade e se poveavati sa ldM.

Spektar ovog signala prikazan je na slici (Slika 3.2.5.1). Za razliku od prethodnih

zadataka, bone arkade su nacrtane u pravoj razmeri u odnosu na prvu arkadu. Sa slike se

vidi da je procena koja kae da se znaajan deo spektra nalazi u prvoj arkadi opravdana.

Slika 3.2.5.1 SGSS HC digitalnog signala u funkciji od M


59/282


Slika 3.2.5.2 daje predstavu spektra u logaritamskoj razmeri. Na ovoj slici se jasno vide

nule spektra digitlanog signala. Nule spektra S f( ) su odreene nulama funkcije

dv

Mf

ldcos , tj. += kk

M

vf dok ),12(

ld2(sem prve nule, kako je ve objanjeno).

Slika 3.2.5.2

Vidi se da poveavanjemMsuavaju se arkade, a povrine ispod krivih ostaju iste jer je

snaga ista. Sledi tabela u kojoj je prikazano kako se menjaju nule spektra u funkciji Mza

k= 1, 2.

nule

funkcije M

vf do

ld2

31 =

M

vf do

ld2

52 =

irina prve

arkade

M= 8 dv2

1 dv

6

5 1200Hz

M= 4 dv4

3 dv

4

5 1800Hz

M= 2 dv23 dv

25 3600Hz

Tabela 3.2.1 Prve dve nule funkcije SGSS

Prethodna analiza pokazuje da se poveanjem broja simbola alfabeta suava spektar

digitalnog signala, odnosno da se isti digitalni protok moe ostvariti kroz ui propusni

opseg kanala. Meutim, tada se uslonjava ureaj i poveava uticaj uma.

3.2.6 Signalom prikazanim na slici (Slika 3.2.6.1), prenose se simboli binarnog polarnogalfabeta A = { , }1 1 . Brzina signalizacije je Bd1200

1=

T

.

a) Odrediti spektralnu gustinu srednje snage digitalnog signala ako su simboli razliiteverovatnoe.


60/282


b) Nacrtati SGSS kada su simboli jednako verovatni.

Slika 3.2.6.1 Deo digitalnog signala

Reenje:

a) Simboli ovog signala pripadaju binarnom alfabetu }1,1{},{ 01 == AAAak .

Sa slike (Slika 3.2.6.1) se moe videti da je elementarni impuls oblika:


61/282


fTje

fTj

fT

fT

UTfH

=2

sin

2

2sin

)( ,

.2

sin

2

2sin

2sin

2

2sin)( 2

2

22

2

2

=

= fT

fT

fT

TUefT

jfT

fT

UTfHfTj

Zamenom2

)( fH u izraz za SGSS digitalnog signala sledi:

,)12(

2

1

1)]()([

2sin

2

2sin

)()(4

2sin

2

2sin

)]()([

2sin

2

2sin

)()(4)(

22

2201

2

2

2210

2

2

22

22

201

2

2

2210

=

=

+

+

+

+

=

+

+

=

k

k

T

kf

k

UAPAP

fT

fT

fT

TUT

APAP

T

kf

fT

fT

fT

TUT

APAP

fT

fT

fT

TUT

APAPfS

jer je:

+=

+=

+=

==

=

=

.)12(

2)1(

2

)12()1(

;12,)1(

,2,0

2sin

2sin0

22

2

222

2

2

TUk

TUkT

njH

kn

knn

fT

T

nf

T

nf

k

k

k

Slika 3.2.6.2 prikazuje spektar digitalnog signala kada simboli nisu jednakoverovatni,

odnosno kada srednja vrednost nije jednaka 0. Posledica toga je postojanje -impulsau spektru.


62/282


Slika 3.2.6.2

b) Za jednakoverovatne simbole se dobija:

0)()( 01==

aAPAP i 1

2=

a ,

=2

sin

2

2sin

)( 2

2

2 fT

fT

fT

TUfS

1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/0 fT T T T T T

UTU

1

2

2

4

U1

9

U1

U1

25

S f( )

Slika 3.2.6.3

3.2.7 Digitalni signal kao nosilac koristi elementarni impuls iji je spektar dat izrazom:

( )

>

+

0 lokacija prve nule SGSS

funkcije.

1

P2.2. Ako je prenosni opseg linijskog koda odreen sa odrediti prenosne opsegelinijskih kodova datih u taki 1.

TB 1f

P2.3. Koja je osnovna razlika izmeu SGS za Manester kod i NRZ tehniku?

II ZADATAK VEBE

1) Oblici binarnog digitalnog signala: talasni oblici razliitih linijskih kodova (CST)

Nizovi binarnih jedinica i nula, kao u sistemima sa impulsnom kodnom modulacijom(PCM), mogu biti predstavljeni u razliitim signalizacionim formatima koji su poznati

pod imenom linijski kodovi. U ovom odeljku posmatramo razliite oblike binarnogdigitalnog signala i njihove karakteristike. Za tu namenu koristimo Matlab-ovu funkcijuwave_gen (Communication System Toolbox) kojom generiemo talasne oblike kojireprezentuju binarnu sekvencu:

wave_gen(binary_sequence,line_code_name, Rb)

gde je Rb binarni protok dat u b/s. Ako se koristi ova funkcija sa samo prva dvaargumenta tada je podrazumevana vrednost za Rb =1000 b/s.

1.1. Formirajte sledeu binarnu sekvencu:

>> b=[ 1 0 1 0 1 1];


68/282

68 VEBA 2

a) Generisati talasni oblik koji reprezentuje sekvencu b koristei unipolarni NRZlinijski kod sa =1000b/s i prikazati talasni oblik x.bR

>> x=wave_gen(b,unipolar_nrz,1000);>> waveplot(x)

b) Ponoviti korak a) za: polarni NRZ (polar_nrz); unipolarni RZ (unipolar_rz); bipolarni RZ (bipolar_rz); Manester (manchester).

Poto se porede talasni oblici za isto Rbmoe se koristiti funkcija wave_gen sa samo dvaargumenta, odnosno komandna linija moe se saeti korienjem:

>> waveplot(wave_gen(b, line_code_name))

Pitanje 2.1.Utvrditi koji od posmatranih linijskih kodova generiu talasne oblike bez jednosmerne(DC) komponente? Zato je odsustvo DC komponente od praktinog znaaja za prenostalasnih oblika.

2) Spektralna gustina snage (PSD PowerSpectral Density) linijskih kodova.

2.1. (CST) Generii sluajnu binarnu sekvencu duine 1000 bita:

>> b=binary(1000);

a) Prikai PSD funkciju svakog linijskog koda iz zadatka 1.1:

>> psd(wave_gen(b,line_code_name))

b) Ako i oznaavaju prvi i drugi spektralni maksimum, a i prvu i

drugu spektralnu nulu (pri emu se sve navedene frekvencije pozitivne, ),

popuniti tabelu 3.1. Usvojiti da je frekvencijski opseg potreban za prenos nekogsignala,

1pf 2pf 1nf 2nf

0(.) >f

TB , odreen prvom spektralnom nulom u njegovoj amplitudskojkarakteristici.

Rb=1000b/s 1pf 1nf 2pf 2nf TB

unipolarni NRZ

polarni NRZ

unipolarni RZ

bipolarni RZ

Manester

Tabela 3.1.

2.2. (CST) Da bi se ilustrovala zavisnost spektralne gustine snage (PSD funkcije) od

binarnog protoka, koristi Manester kod i menjaj .bR

>> psd(wave_gen(b, manchester, )bR


69/282


gde 5 kb/s, 10 kb/s, 20 kb/s. (Umesto Manester koda mogue je koristiti bilo kojibR

drugi kod iz odeljka 1.1.) Posmatraj lokaciju spektralnih nula i maksimuma i ustanovivezu sa .bR

Pitanje 3.2Za osnovni komunikacioni kanal sa propusnim opsegom od 10 kHz, koliki jemaksimalni digitalni protok za svaki od linijskih kodova ispitanih u odeljku 1.1.

2.3. (CCS) Odrediti i prikazati spektralnu gustinu snage sluajnog procesa S(t) ija je

realizacija PAM signal kod kojeg h(t) predstavlja pravougaoni

impuls prikazan na slici 2.1. i:

)()( nTthatsn

n = =

a) kod kojeg informacioni simboli nekorelisani,}{ na

b) ako je autokorelaciona funkcija sekvence i ukoliko

je varijansa

:}{ na

=

=

=

inae0

12/1

0,1

)( m

m

mRa

.12 =a

)(th

T

1

T

t

0

Slika 2.1.Pravougaoni elementarni impuls


70/282

70 VEBA 2


71/282


4 SKREMBLOVANJE I PN SEKVENCE4.1 UVOD4.1.1 Skremblovanje

Skremblovanje predstavlja vid kodovanja, koje kao rezultat daje digitalni signal sa

osobinama stacionarnog sluajnog niza bez memorije sa podjednakom verovatnoom pojave

svih simbola. Ovim se postie transparentnost - nezavisnost osobina prenoenog digitalnog

signala od informacionog sadraja koji on nosi.

Ako je:

{ } LL ,,, 11 += nnnn aaaa (4.1)

digitalni niz sa statistiki zavisnim elementima informacionog sadraja, a

{ } LL ,,,, 11 += nnnn bbbb (4.2)

sluajni niz sa statistiki nezavisnim simbolima i podjednakom verovatnoom svih elemenata

informacionog sadraja, tada niz:

{ } LL ,,,, 11 += nnnn cccc (4.3)

nastao kao rezultat operacije skremblovanja nad nizovima { }n

a i { }n

b moe imati osobine

sluajnog niza { }bn .

Ako su { i binarni nizovi, postupak skremblovanja svodi se na logiku operaciju"sabiranja po modulu 2", ( ).

}a n { }bn

Ako niz { ima osobine sluajnog niza:}bn

==

=

+

,0

4

1

,02

1

,2

1

k

k

bb

b

knn

n

(4.4)

niz { sa elementima}cnc a b

n n=

n(4.5)

imae iste osobine:

==

=

+

04

1

,02

1

,2

1

k

k

cc

c

knn

n

(4.6)

Deskremblovanje se vri ponovnim skremblovanjem sa istim sluajnim nizom { :}bn


72/282

72 SKREMBLOVANJE I PN SEKVENCE

nnnnnnnnnnnaabbabbabcd ===== 0][][ (4.7)

Meutim, nemogue je dva puta generisati isti sluajni niz { , na predaji i na prijemu.

Jedno reenje je dodatni kanal koji bi prenosio niz { , ili multipleks nizova { i { . U

praksi se koriste deterministiki izvori (PN generatori) sa nizovima koji dosta dobro

statistiki aproksimiraju sluajne nizove. To su pseudosluajni izvori koji zahtevaju dodatni

kanal za sinhronizaciju (ali mnogo manjeg kapaciteta), ili tzv. samosinhroniui skrembleri.

}bn

}bn

}bn

}cn

Za pseudosluajni niz vae sledee karakteristike:

periodinost s periodom L

{ } { }b bn n

= +L

m+

(4.8)

kanjenje i sabiranje

{ } { } { }b b bn n k n

=+ (4.9)

gde su m i k neki brojevi digitskih intervala,

ergodinost u irem smislu (jednakost srednjih vrednosti i autokorelacija po ansamblui vremenu)

)(1

}}{{][1

kRbbL

bbbbbbE

L

n

knnknnknnknn====

=++++ (4.10)

Srednja vrednost i autokorelacija pseudosluajnog niza periode ponavljanja L su:

bL

Ln

=+ 1

2(4.11)

==+ ...,2,,0

2

1

...,2,,0

LLkb

LLkb

bb

n

n

knn(4.12)


73/282


4.2 ZADACI4.2.1 Slika 4.2.1.1 prikazuje prosto sekvencijalno kolo sa ND flip-flopova (kola za kanjenje),

N+ 1 prekidaem i sabiraem po modulu 2 (tzv. pomeraki ili ift-registar), koje priodreenoj kombinaciji prekidaa postaje generator PN niza.

Slika 4.2.1.1 PN generator

a) Kolika je maksimalna periodaL ponavljanja niza PN generatora na slici 3.2.?b) Koristei ergodinost PN niza i osobinu kanjenja i sabiranja, odrediti srednju

vrednost niza nb i njegovu autokorelacionu funkciju )(kR .

Reenje:

a) Pretpostavimo da se struktura sekvencijalnog kola (poloaj prekidaa i dr.) ne menja ida su prekidai PN i P0 zatvoreni. Kada se ponovi neki sadraj u PN generatoru, dalje

se deterministiki ponavlja isti niz. Poto je 2N

broj razliitih kombinacija od Nbinarnih elemenata, perioda ponavljanja PN niza mora biti NL 2 . Sadraj svih nulase mora iskljuiti jer se on sam ponavlja, pa je maksimalna perioda koju ovakvastruktura moe da generie jednaka:

12max =NL .

Ova perioda moe se postii samo pri nekim kombinacijama prekidaa, a takavgenerator naziva se PN generator niza maksimalne duine (MLSR -Maximum LengthShift Register).

b) U periodi je2

2Njedinica pa je srednja vrednost jednaka:

L

Lb

N

N

n

1

2

1

12

2 1 +=

=

.

Poto je PN niz periodian, periodina je i njegova autokorelaciona funkcija i to saistom periodom. Zbog ergodinosti, autokorelaciju moemo raunati u vremenu:

=

+=

L

n

knnbbL

kR1

1)( .

Koristei relaciju )(2

12)( 2 yxyxxyyxyxyxyx +=+== dobija se:

( )=

+++=

L

n

knnknn bbbbL

kR12

1)( .


74/282


Za k 0 , koristei osobinu iftovanja i sabiranja, autokorelacija je:

+=

=

+

=

+

=

L

n

mn

L

n

kn

L

n

n bbbL

kR1112

1)( .

Sve tri sume su iste jer predstavljaju zbir elemenata u jednoj periodi, pa je:

0za,21121)( 1==

=

kbbL

kR n

L

n

n .

Ako je 0=k , onda je 0= nn bb i

nbR =)0( .

Ovim su izvedeni izrazi (4.11) i (4.12).

4.2.2 Na slici (Slika 4.2.2.1) su prikazana dva PN generatora saN= 4 D flip-flopa.a) Objasniti princip rada i odrediti veliineL i bn za ova dva PN generatora.b) Izraunati i skicirati autokorelaciju PN niza koji se dobija pomou generatora saslike 4.2.2.1 b), pri emu je autokorelacija definisana kao

( )( )=

+=

L

n

knn bbL

kR1

12121

)( , a knb + oznaava ciklini ift za kpozicija.

c) Konstruisati set-reset skrembler pomou PN generatora sa slike 4.2.2.1 b) i odreditiskremblovani niz poruke ...}10110010001001001011110{...}{ 1111111111=na

ijih pet uzastopnih jedinica sa periodom ponavljanja 25 predstavlja sinhro-grupu.

Slika 4.2.2.1 a) Delitelj sa 6 (3) b) Generator m-sekvence

Reenje:

a)

Poto je 4=

N , maksimalna duina periode PN niza je 15124

max==

L .Analizirajmo data dva PN generatora sa razliitim kombinacijama prekidaa.

U prvom sluaju (Slika 4.2.2.1 a) perioda ponavljanja zavisi od poetnog sadraja PNgeneratora i jednaka je 6 ili 3. Srednja vrednost generisanog niza takoe zavisi odpoetnog sadraja i jednaka je 2/3 ili 1/3.


75/282


Slika 4.2.2.2 Nizovi koje generie sekvencijalno kolo sa slike 3.2.1. a)

Drugi PN generator (Slika 4.2.2.1 b) daje PN niz maksimalne duine, tzv. MLSRsekvencu (Maximum Length Shift Register, ili m-sekvencu, kako se jo naziva). U

jednoj periodi generie se 8 jedinica i 7 nula po sluajnom redosledu. Srednja

vrednost tog niza je2

1

15

8=nb .

1 1 1 1

0 1 1 1

0 0 1 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

1 1 1 1

1 0 0 1

1 1 0 0

0 1 1 0

1 0 1 1

0 1 0 1

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 0

0 0 0 1

15

0 0 0 0

0 0 0 0

L2 1

L2 16

L1

L1

Slika 4.2.2.3 PN niz kola sa slike 3.2.1. b)

Za vrednosti N koje se koriste u praksi (npr: 9, 15 ili 23) postoje tabele tzv.primitivnih generatorskih polinoma iji koeficijenti odgovaraju poloajima prekidaau PN generatoru. Za vee N postoji vie reenja; najinteresantnija su ona saminimalnim brojem nenultih koeficijenata poto zahtevaju najmanji broj sabiraa pomodulu 2. Osim smanjenja prostorne kompleksnosti kola koja generiu ovakvusekvencu, ovim se postie i najmanji koeficijent propagacije greke (vidi zadatak4.2.3 b).

b) PN sekvence se primenjuju kod tehnike prenosa u proirenom opsegu pomoudirektne sekvence, (DS-SS Direct Sequence Spread Spectrum, vidi zadatak 13.2.1).Za ove primene se binarno 0 i 1 prenose pomou negativnog, odnosno pozitivnog

impulsa, respektivno. Definisanje autokorelacije kao ( )( )=

+=

L

n

knn bbL

kR1

12121

)(

odgovara ovoj injenici. Drugim reima nb i knb + e prilikom prenosa imati vrednosti

1, a operacija ( )( )1212 +knn bb odgovara mnoenju bipolarnih impulsa,

predstavljenom kroz mnoenje binarnih vrednosti.


76/282


Dobri PN nizovi imaju osobinu da imaju izraen pik autokorelacije u taki 0=k , aza sve ostale vrednosti kje vrednost autokorelacije znaajno manja. Autokorelacija saovakvim osobinama omoguava laku sinhronizaciju na prijemu, gde se primljenasekvenca korelie (uporeuje) sa lokalno generisanom PN sekvencom, i izraen piklako omoguuje detekciju poetka PN sekvence i postizanje sinhronizama potrebnogza ispravno deskremblovanje. Ovo je posebno vano ako se uzme u obzir uticaj uma

koji se superponira u prenosu i moe da poremeti nivoe koji reprezentuju kodovanisignal i na taj nain povea vrednosti autokorelacije. Veoma izraen pik znai i velikuotpornost na pogrenu sinhronizaciju izazvanu grekama nastalim usled uma.

Vrednosti autokorelacije PN niza generatora sa slike 4.2.1.b) su:

( )

===

drugde.067,0

,...3,2,1,0,1 nnLkkR

Slika 4.2.2.4 prikazuje izgled autokorelacione funkcije. Vidi se da postoji izraen pikna svakom celobrojnom umnoku periode PN sekvence.

( )kR

k

Slika 4.2.2.4

Sve sekvence koje su generisane pomou MLSR registra imaju ovakav oblikperiodine autokorelacije.

Moe se primetiti da autokorelaciona funkcija MLSR sekvence u okviru jedne periodelii na autokorelaciju belog Gausovog uma (pik u taki nula, vrednosti bliske nuli uostalim takama, vidi zadatak 2.2.15). Na osnovu ovoga je jasno zato se koristi naziv

pseudoslu

ajna sekvenca, jer ovakve sekvence po svojim osobinama vrlo podse

ajuna sluajne signale, kao to je um.

c) Kod set-reset skremblera (Slika 4.2.2.5) sinhronizacija se ostvaruje na osnovu samogsignala. Detektori sinhro-grupe vre monitoring digitalnog niza u taki A, odnosno B.


77/282


Slika 4.2.2.5 Set-reset skrembler i deskrembler

Kada detektuju periodinu sinhro-grupu, oni resetuju skrembler, odnosno

deskrembler. Sinhro-grupa prolazi neskremblovana, jer se PN generatori vrte u stanjusvih nula. Po isteku sinhro-grupe detektori setuju skrembler, odnosno deskrembler naisto poetno stanje i oni dalje generiu identine PN nizove. U datom primeru bie(Tabela 4.2.2.1):

{ }an ... 0 11111 01001 01111 11001 00010 11111 10 ...

}{nb ... 1 00000 10001 00110 10111 10001 00000 10 ...

{ }cn ... 1 11111 11000 01001 01110 10011 11111 00 ...

Tabela 4.2.2.1 Set-reset skremblovanje

4.2.3 Slika 4.2.1.1 prikazuje samosinhroniui skrembler koji se koristi za digitalni prenosbrzinom 9600 bit/s po ITU (International Telecommunications Union) preporuci V.32.

Slika 4.2.3.1 Samosinhroniui skrembler


78/282


a) Pod kojim uslovima }{ nb postaje PN niz? Kolika je njegova perioda ponavljanja?b) Pod kojim uslovima dolazi do greke u prijemu n-tog simbola na ?

Reenje:

a) Ako je na ulazu }0{}{ =na niz nula, onda binarni niz }{ nb predstavlja klasinu PNsekvencu. Takav niz ima periodu ponavljanja .607.388.81223max === LL

b) Skremblovani simbol je2318 = nnnn bbab ,

a deskremblovani, u trenutku n,

2318

= nnnn bbba .

Ako u toku prenosa nije nastala greka, tj.nn bb =

, bie

23182318

= nnnnnn bbbbaa .

Ako su takoe ispravno preneti i simboli 18nb i 23nb onda je

nnnnnnn abbbbaa == 18232318 .

Dakle, ako nastane greka u prenosu, nn bb , ona e se multiplicirati onoliko puta

koliko ima direktnih veza u FIR strukturi deskremblera, pa je poeljno da tih vezabude to manje.

Dodatni kanal koji se ostvarivao detektorima sinhro-grupe bio je nepraktian. eleose kompromis - skoro idealno skremblovanje, ali bez dodatnog kanala. Zato se,umesto set-reset skremblera sa sinhronizacijom, sve vie koriste samosinhroniuiskrembleri. Dakle, njihova osnovna prednost je to ne zahtevaju sinhronizaciju, ali

oni imaju problem multipliciranja greke na prijemu.

4.2.4 Data je Vol-Adamarova (Walsh-Hadamard) matrica, dimenzije 8:

=

11111111

1111111111111111

11111111

11111111

11111111

11111111

11111111

8C

Izraunati ciklinu autokorelaciju:

;8,...,3,2,8

1)(

8

1,, ==

=

+iaakR

n

kninii

svake sekvence koja je definisana simbolima nekog reda matrice, i pokazati da je ciklinameukorelacija sekvenci:

;i,8,...,3,2,1,,8

1)(

8

1,,, jijiaakR

n

knjniji == =+


79/282


koje definiu dva razliita reda jednaka 0 za sve cikline pomeraje k (redovi sumeusobno ortogonalni).

Reenje:

Vol-Adamarove matrice postoje za ,...3,2,1,2 == tn t . Generiu se na vrlo jednostavan

na

in, pomo

u rekurzije:

.

,11

11

2

2

=

=

MM

MM

MCC

CCC

C

U konkretnom primeru, izraunavanjem cikline autokorelacije za npr 3. red matrice 8C

se dobija:

Slika 4.2.4.1 prikazuje izgled cikline autokorelacije za svaki red matrice.

( )kR1

( )kR2

( ) ( )kRkR43

,

( ) ( )kRkR75

,

( ) ( )kRkR86

,

Slika 4.2.4.1


80/282


to se tie vrednosti meukorelacije, ortogonalnost se lako proverava. Npr. za 5. i 7. redmatrice i pomeraj 3=k se dobija:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 011111111111111118

1)3(

8

17,5 =+++++++=

=n

R .

Generalno, kao to se iz priloenog moe videti, sekvence definisane Vol-Adamarovom

matricama imaju loije autokorelacione karakteristike od MLSR sekvenci, ali sa drugestrane poseduju osobinu ortogonalnosti. To ih ini veoma pogodnim za primenu usistemima za prenos u proirenom opsegu (DS-SS), u kojima postoji vie korisnika (tzv.CDMA Code Division Multiple Access, zadatak 13.2.3). U ovom sluaju, svaki odkorisnika koristi po jednu sekvencu definisanu Vol-Adamarovom matricom za irenjespektra svog signala, a ortogonalnost omoguava da se korisnike informacije lako moguizvui iz primljenog signala (koji je sastavljenom od mnotva proirenih signala svihkorisnika u sistemu) pomou korelacije. Kao primer CDMA sistema se obino navodimobilna telefonija u Sjedinjenim Amerikim Dravama, pri emu se zbog loih svojstavaautokorelacije, koristi dodatno skremblovanje svih signala sa sekvencom koja poseduje

zahtevane autokorelacione osobine.


81/282


5 LINIJSKO KODOVANJE5.1 UVOD5.1.1 Linijsko kodovanje

Osnovni zadaci linijskog kodovanja su:

oblikovanje spektra digitalnog signala,

ograniavanje pojave velikog broja uzastopnih nula.

Linijsko kodovanje unosi redundansu i pri tome je u kodovanom signalu mogue:

a) zadrati binarnu prirodu signala, a poveati digitalni protok;

b) poveati broj nivoa signala (M> 2), a zadrati istu brzinu signaliziranja;

c) poveati broj nivoa signala i sniziti brzinu signaliziranja.

Pseudoternarni (PT) kodovi imaju tri nivoa (-1,0,1). Ako su nastali linearnomtransformacijom binarnog niza { },na ( )}1,0{na , primenom relacije:

{ },1,0,1,2

11

0

+

=

=

K

k

nknkn bab

(5.1)

nazivaju se linearnim PT kodovima. Koeficijenti kmogu imati samo celobrojne vrednosti.

Unipolarni linearni PT kod je:10 = , 11 =+K , i Kkk ...,,2,1,0 ==

(5.2)

.1)1( += + Knnn aab (5.3)

Za K= 0 to je poznati duobinarni kod.

Polarni linearni PT kod je:

10 = , 11 =+K , i Kkk ,...,2,1,0 == (5.4)

.)1( += Knnn aab (5.5)

Za K= 0 ovaj kod poznat je pod imenom dikod, a za K= 1 dobija se tzv. modifikovani

duobinarni kod.

Ove linearne transformacije realizuju se linearnim kolima koja su okarakterisana kvadratom

modula funkcije prenosa u obliku:

+

+=

kod.polarni)1(sin4

kod,unipolarni)1(cos4)(

2

22

fTK

fTKfH

(5.6)

Ako je spektralna gustina srednje snage (SGSS) digitalnog signala pre kodovanja bila S f( ) ,

tada e linearni linijski kodovani signal imati SGSS oblika:

.)()()(2

fHfSfSL =

(5.7)

Prekodovani linearni PT kodovi eliminiu nedostatke PT kodova, koji se odnose na

prostiranje greke do koje dolazi u toku prenosa i obrtanju polariteta originalnog niza.


82/282

82 LINIJSKO KODOVANJE

Prekodovani dikod je tzv. bipolarni kod(AMI Alternate Mark Inversion), koji se realizuje

prethodnim diferencijalnim kodovanjem:

c a cn n n= 1 . (5.8)

Nedostatak linearnih PT kodova, mogua pojava dugog niza nula u kodovanom signalu,

prevazilazi se primenom nelinearnih PT kodova, od kojih su najpoznatiji PST i modifikovani

alternativno bipolarni kodovi.Kod PST koda par ili skup od tri binarna simbola zamenjuje se parom ternarnih simbola

(2B-2T; 3B-2T). Najee korieni modifikovani bipolarni kodovi su B6ZS i HDBn

(HDB3) kodovi.


83/282


5.2 ZADACI5.2.1 Linijskim koderom prikazanim na slici (Slika 5.2.1.1), koduje se binarni signal

=

=

n

n nTtatx )()( .

Slika 5.2.1.1 Dikod (Diferencirajui kod)

Linijski koder uobliava spektar, a filtar )(fH ga ograni

ava na Nikvistov opseg. D je

kolo za kanjenje za digitski takt T.

a) Odrediti i nacrtati prenosnu karakteristiku predajnika )(fG i impulsni odziv g(t).b) Odrediti sve mogue vrednosti y nT( ) . Odrediti strukturu dekodera koji na osnovu

vrednosti { ( )}y nT daje originalni niz { }an . Na primeru niza

}110110100010{}{ =n

a prikazati kodovane sekvence.

c) Odrediti niz { $ }an na izlazu dekodera na primeru niza iz predhodne take, ako utoku prenosa doe do greke u prijemu 6-tog simbola. Pod istom pretpostavkom

analizirati prenos korienjem kodera na slici (Slika 5.2.1.2).

Slika 5.2.1.2 AMI koder (prekodovani dikod)

Reenje:

a) Prenosna karakteristika predajnika je:( )

>

==

.2

1||0

,2

1||)sin(2

)(1)( 2

Tf

TfefTjT

fHefG

fTj

fTj

>

=

.2

1||0

,2

1|||)sin(|2

|)(|

Tf

TffTT

fG

Impulsni odziv predajnika je:

}.1,0{

,2

1||0

,2

1||

)(

>

=

na

Tf

TfT

fH


84/282

84 LINIJSKO KODOVANJE

skripta signali 3

Documents