Glava 2

KONTINUALNI SIGNALI

Kontinualni signal je jednoznačno definisan za svaku vrijednost nezavisne varijable, osim u konačnom broju tačaka. Ukoliko amplituda kontinualnog signala može da poprimi proizvoljnu vrijednost iz dozvoljenog opsega, kažemo da se radi o analognom signalu. Za signale čije vrijednosti amplitude pripadaju konačnom skupu kažemo da su kvantovani po amplitudi ili samo kvantovani, ukoliko podrazumijevamo da radimo sa signalima kontinualnim u vremenu.

Podrazumijevajući da radimo sa jednodimenzionalnim signalima kod kojih je nezavisna varijabla vrijeme, kontinualni signal označavamo sa ( )x t , gdje je t simbol za nezavisnu varijablu. Primjeri analitičkih izraza za kontinualne signale su: ( ) tx t e−= , ( ) cosx t t= i ( ) ( )0 01, 0,x t t T x t t T= ≤ ∧ = > . Na Slici 2.1 grafički su prikazani primjeri kontinualnih signala.

GLLAVA

8

A 2

Sliika 2.1 PPrimmjeeri kkonntinuallnihh siggnaala.

Kontinualni signali

9

2.1 Klasifikacija kontinualnih signala

Klasifikacija signala je zasnovana na njihovim osobinama koje vrlo često oslikavaju osobine fizičkih pojava koje opisuju. Tako govorimo o realnim i kompleksnim, periodičnim i neperiodičnim, determinističkim i stohastičkim, te signalima energije i signalima snage. Budući da su u osnovi funkcije, klasifikacija signala je slična klasifikaciji funkcija.

2.1.1 Jednodimenzionalni i višedimenzionalni signali

Signali mogu biti funkcije jedne ili više nezavisnih varijabli, te govorimo o jednodimenzionalnim ili višedimenzionalnim signalima. Prilikom posmatranja jednodimenzionalnih signala najčešće podrazumijevamo da je nezavisna varijabla vrijeme, kod dvodimenzionalnih prostorne varijable, a kod trodimenzionalnih tri prostorne ili dvije prostorne i jedna vremenska varijabla.

2.1.2 Realni i kompleksni signali

Signal može biti realna ili kompleksna matematička funkcija realne ili kompleksne nezavisne varijable. Shodno tome govorimo o realnim signalima, odnosno o kompleksnim signalima. Realni signali svakoj vrijednosti nezavisne varijable pridružuju realan broj, dok su vrijednosti kompleksnih signala za svaku vrijednost nezavisne promjenljive kompleksni brojevi, predstavljeni svojim realnim i imaginarnim dijelom, ili modulom i argumentom. Kompleksni signali se uglavnom vještački formiraju uzimajući za realni i imaginarni dio, ili za modul i argument, dva realna signala. Na primjer, modul kompleksnog signala može da predstavlja intenzitet, a argument smjer vjetra, električnog ili magnetnog polja u toku vremena u nekoj tački prostora. Potrebno je pomenuti da se, prilikom nekih analiza, realni signali realnih varijabli preslikavaju u kompleksne funkcije realnih ili kompleksnih varijabli.

Grafička predstava kompleksnih signala zasniva se na zasebnom prikazu njihovog realnog i imaginarnog dijela, ili zasebnom prikazu modula i argumenta, kao na Slici 2.2.

GLLAVA

10

(a) (b (c) (d

2.

Pacepa

A 2

0

)

b)

)

d)

.1.3

arnientraran

3

i sigralnn ak

P

gnalno sko v

Par

li ssimvrij

ni

su ometri

jedi

S

i n

osnični:

Slika

nep

no ni u

a 2.

par

simod

.2

rni

metrdno

(a)(d)

i si

ričnosu

x

) Re) ar

ign

ni una

(x −

ealnrgum

nali

u oko

)t− =

ni dmen

i

odnoord

x=

dio;nt k

osudina

( )t

(b)kom

u natn

,

) immpl

na oi po

magleks

ordoče

ginasno

dinaetak

arniog s

atu, k. Z

i diosign

doZa s

o; (nala

ok sign

(c) ma.

su nal

mo

nepkaž

odul

parnžem

l i

ni smo

signda

(2.

ali je

.1)

d

Pra

B

p

P

ok

Primazlo

Budu

arn

Prim

je s

mjerožit

ući

ni i n

mjer

sign

ri pti n

da

nep

r ra

nal

parna n

a je:

(xparn

zlag

nep

nih njeg

( )t−

ni d

gan

par

i ngov

) =

dio

nja

S

ran

neppar

{sig

sign

lika

ako

arnrni

x

(x −

gnal

nala

a 2.

o je

nih

{

( )x t

)}t−

la s

{x

{x

a na

.3

e:

x

sig

({x

) =

} +

e o

( )x t

( )x t

a p

(a)

(x −

gnal

( )}t

{

{odre

)} =

)} =

arn

Pa

)t− =

la d i n

(x t

({xeđu

12=

12=

ni i n

arni

x= −

datinep

)}t +

( )t−

uju n

(x

(xnep

i i (

(x ti su

parn

+

)} =

na

)t +

( )t −

parn

(b) n

)t .

u nani

{x

=

slje

(x+

x−

ni d

nep

a S

{

( )x t

({xedeć

( )t−

( t−

dio

parn

lici

(x t

)} .

( )}tći n

) ,

)t .

dat

ni s

i 2.3

)}t

} −

nači

t je

sign

3. Sdio

{in:

na

nal.

Svao:

({x t

a Sli

aki

)}t

ici 2

sig

,

2.4

Kon

gnal

.

ntin

l je

nua

mo

lni s

(2

ogu

(2

(2

(2

(2

sign

11

(a)

(b)

2.2)

uće

2.3)

2.4)

2.5)

2.6)

nali

GLLAVA

12

2.

Akve

Ak

anne

A 2

2

(a (b (c

Sl

.1.4

ko ezan

ko

ntikekau

a)

b)

c)

lika

4 K

sa n d

x

auzuza

2.4

Ka

t =ati

( )tzalaalno

4 D(

auz

0= sig

0≠

an og,

De(b)

zal

oznnal

0 z

akokau

kompar

lni

načl, on

za

o juza

mprni

i n

čimnda

ne

je alno

ozidio

nek

o pa ka

eko

(xog i

icijao sig

kau

počažem

t

)t =an

a siggna

uza

etnmo

0<0,=

tika

gnaala i

aln

ni tro da

0 k

, ∀auz

ala ni (c)

ni s

renua je

kaž

t >zaln

na ) ne

sig

utasig

em

0 . nog

parepa

gna

ak pgnal

mo

Nsig

rni arni

ali

posl ka

da

Na gnal

i nei dio

maauza

je

Slicla.

epao si

atranalan

e si

ci

arniigna

nja n uk

ign

2.5

i dioala.

nekoli

nal

5 s

o: (.

eke iko

nek

su

(a) o

poo je

kau

pri

orig

ojav(x

uzal

ika

gina

ve s)t =

lan.

zan

alni

a k0,=

Si

ni

i sig

kojot∀

ign

pri

gna

om t <

nal

imje

al;

je 0 .

je

eri

2

A

ksiOusijenn

Sl

2.1.

Ako

ažeigna

Osnoslovignae kajmepe

lika

5

po

emoal povniv pale

konmanerio

a 2.5

P

osto

o daperi pperiizustan

nja podič

5

Per

oji p

a jeriodperioiodiuzevntnpozčno

(a)

rio

poz

e sigdičaod ičnv k

ni szitivog s

Ne

dič

zitiv

gnaan

0Tnostonssignvnasign

ekau

čni

vna

al pesa

0T ti isstannal a vrnala

uza

i i

a vri

eriodperje

spunte.pe

rijeda.

alni

ne

ijed

dičariod

nunje. U

eriodno

sig

epe

dno

(x tan sdom

najmen.

sludičost

gna

erio

ost z

)t =

sa pm man

Ovučajčan

za

l; (b

odi

za

(x=

periT

nja va dju kzaT

b) k

ičn

T t

t +

odoje po

defkona b. N

kau

ni s

takv

) ,T

ompe

ozifinicnstabilo Na S

uzaln

sig

kva

, t∀

m Triotivncijaante

koSlici

ni s

gna

da

t ,

, u dična a ose osoji i 2.

sign

ali

vrij

supan

vrsnosnoizb

.6 d

nal

jedi

proi s

rijeovnovnibor dati

i (c

i:

otnosa

ednonogi peT

i su

c) an

omperostpe

erioT , u pr

ntik

m je riodT

eriood jtakrim

kau

nepdomT

oda je n

ko mjeri

Kon

uzal

periom m

zavri

nedda i pe

ntin

lni s

odičamT

a ijedefinne

erio

nua

sign

čan. ,T m

kojdi znisae podič

lni s

nal.

(2

Svm∈ju za san,

postčno

sign

13

(a)

(b)

(c)

2.7)

aki .je

sve jer

toji og i

nali

GLLAVA

14

(a) (b

2.

En

do

Sigtak

jed

A 2

4

)

b)

.1.6

ner

ok j

gnakvi

dna

6

rgija

je u

ale h si

aka

S

a sig

ukup

sa ign

nu

Sl

Sign

gna

pna

konnala

uli, j

lika

nal

ala n

a en

načje

jer

a 2.6

li e

na

nerg

čnosre

je lT

6

ene

zat

gija

om dnj

limT→∞

(a)

erg

tvor

a sig

ukuja s

m TW∞

Per

gije

ren

gna

upnnag

xP

T ko

riod

e i

nom

TW

ala:

xW

nomga,

lT

=

ona

diča

sig

m in

TW =

x =

m ekoj

limT→∞

ačn

an

gn

nterv

2

1

t

t

x

x∞

−∞

enerja s

1T

−

o, o

sign

ali

valu

( )x t

( )x t

rgije d

2

2

T

T

x−

oda

nal

i sn

u v

) 2d

) 2d

omdefin

( )x t

akle

i (b

nag

vrem

dt ,

dt .

m naniše

) 2d

e sli

b) n

ge

men

azive sa

dt ,

ijed

nep

na T

vama:

di d

perio

T =

mo

a je

odi

[ 1t=

ene

e:

ičan

]2,t

erget

n si

] je

tski

gna

de

im s

al.

efin

sign

nisan

nalim

na s

ma.

(

sa:

(2.

(2.

Ko

(2.1

.8)

.9)

od

0)

Kontinualni signali

15

lim Tx

T

WP

T→∞= (2.11)

jednako nuli.

Kod signala čija je ukupna energija limx TT

W W→∞

= beskonačno velika srednja

snaga može biti konačna ili beskonačna. Signale sa beskonačno velikom energijom i konačnom srednjom snagom (različitom od nule) nazivamo signalima snage. Periodični signali imaju beskonačnu energiju, ali im je srednja snaga najčešće konačna, te ih ubrajamo u signale snage.

2.1.7 Deterministički i stohastički signali

Deterministički signal je matematička funkcija koja je jednoznačno definisana za svaku vrijednost nezavisne varijable.

Stohastički signal ili slučajni proces ima vrijednosti koje u svakom vremenskom trenutku predstavljaju slučajnu varijablu. Slučajni proces je funkcija dva nezavisna argumenta. Prvi argument, vrijeme, pripada skupu realnih brojeva. Drugi argument je slučajna varijabla koja predstavlja ishod hipotetičkog fizičkog eksperimenta. Slučajni proces predstavlja familiju (ansambl) realizacija (matematičkih funkcija vremena) za različite ishode eksperimenta. Za svaki ishod eksperimenta dobija se jedna realizacija slučajnog procesa. Analiza i obrada stohastičkih signala se zasniva na teoriji vjerovatnoće i slučajnih varijabli i izlazi iz okvira ove knjige.

2.2 Elementarni signali

Analiza i obrada signala se pojednostavljuje uvođenjem elementarnih signala i svođenjem složenih problema analize i obrade signala na jednostavnije slučajeve analize i obrade elementarnih signala. U ovom dijelu uvešćemo nekoliko posebno važnih kontinualnih signala, koji ne samo da se često pojavljuju u prirodi, već ih često koristimo pri konstrukciji složenijih signala. Među njima najvažnija mjesta zauzimaju jedinični odskočni signal, signal znaka, signal nagiba, pravougaoni i trougaoni impuls, jedinični impuls beskonačno velike amplitude, te kompleksni eksponencijalni, sinusni i sinc signali.

GLLAVA

16

2.

Jed

VrfunH

JesigJe

A 2

6

.2.1

dini

rijenkcevi

dingnadin

1

ični

dnocija, sajd

ničnala ničn

Je

ods

ost u

dov

ni oim

ni o

edi

skoč

u ča

va f

odsmaju

dsk

ini

čni s

nuast fun

koču dkoč

ičn

sign

uli naukcij

čni diskčni s

ni o

al s

nijeučnja o

sigkonsign

S

ods

se d

e dnikaorig

gnatinunal

Slik

sko

defi

defia Hgina

u

al juiteigr

ka 2

očn

niš

(u t

inisHevalno

(hu t

e pet a v

2.7

ni

e sa

)t =

sanavisao de

)t =

priku

važn

Je

sig

a:

01

=

a. Oajdaefin

0121

=

kazat =

nu u

edin

gna

0,,

Ova (Oniše

0,1 ,2,

an 0= ,

ulog

ničn

al

t

t

<>

vaj Olive sa

t

t

t

<

=

>

natj

gu

ni o

00

.

signvera:

0

0

0

<

=

>

a Sl. uu is

odsk

nal r H

.

lici (0u

spit

koč

seHeav

2.7)0+ ≠

tiva

čni

e čevisi

7. u≠

anju

sign

estoide,

Pri(0−

u os

nal

o n, 1

mij)−

sob

.

naz850

jetimi

bina

iva0-19

mo(hu

a sis

a i 925

o d(0+

stem

He5),

a o) ≠ma.

(

evisaiak

(

oba

hu

.

(2.1

ajdoko

(2.1

a ov(0−

2)

ova se

3)

va ) .

2

S

Ofu

2

S

Si

2.2.

Signa

Ovaunk

2.2.

Signa

ign

.2

al z

aj skcije

.3

al n

nal n

S

znak

signe p

S

nagib

nag

Sig

ka s

nal ost

Sig

ba j

giba

gna

se d

je toji

gna

e d

a je

al z

defi

prislje

al n

defin

pri

zna

iniš

ikaede

nag

nisa

ikaz

aka

e sa

zaneća v

gib

an

zan

a

a:

s

n nvez

ba

sa:

n na

sgn

na za:

sgn

Sli

(r

a Sli

( )t

Slic

( )n t

ika

( )t =

ici 2

=

ci 2

) =

2.8

=

2.9

1,0,1,

−

2.8.

2 hu

8 S

0,,t

.

, t

t

t

. Iz

( )h t

Sign

t

t

<≥

0t

t

t

<=>

zm

) 1−

nal

00

<≥

.

000

.

eđu

1 .

zna

.

u s

aka

sign

a.

nalaa znnakka

Kon

i H

ntin

Hev

nua

visa

lni s

(2.1

ajdo

(2.1

(2.1

sign

17

14)

ove

15)

16)

nali

GLLAVA

18

Sa

2.

Pr

pr

de

do

A 2

8

a jed

.2.4

ravo

rika

efinV

obit

din

4

ouga

azan

nisarijeti n

ničn

P

aoni

n je

ne.ednna sl

nim

Prav

i imp

e n

ostljed

od

vo

mpuls

na S

ti prdeći

dsko

ug

ls, d

Slic

ravi na

očn

gao

dat s

ci 2

vougačin

nim

oni

sa:

2.10

gaon:

S

sig

u

i im

p

0. V

ono

Slik

gnal

(r t

( )u t

mp

(p tτ

Vrij

g im

ka 2

lom

)t =

) =

puls

)t =

edn

mp

2.9

m je

t

−∞

=

(drd

s

1

0

=

nos

uls

Si

e po

(u τ

( ),

t

dt

1,

0,

sti p

a se

igna

ove

)dτ

, t ≠

t

t

<

>

pra

e iz

al n

ezan

dτ ,

0≠

2

2

τ

τ

<

>

avou

z jed

nagi

n na

.

,

uga

din

iba

a sl

aon

ničn

.

ljed

nog

nog

deći

im

od

na

mpu

dsko

ačin

ulsa

očn

n:

za

nog

a t

sig

= ±

gnal

(

(

(

2τ±

la m

(2.1

(2.1

(2.1

ni

mog

7)

8)

9)

su

gu

2

T

2.2.

Troug

.5

ugao

T

oni i

Tro

impu

oug

uls,

p

ga

pri

(pτ

on

ikaz

S

)t =

ni im

zan

pτΔ

Slik

u=

mp

n na

( )tΔ

Slik

a 2

t +

pul

a Sl

)

=

ka 2

.10

2τ +

ls

lici

1

1

0,

+ −

2.1

P

−

2.1

2

2

t

tτ

τ

+

−

1

Prav

u

1, s

,

,

t

tτ

τ

Tro

vou

t −

se a

2

0

t

τ−

≤

oug

ugao

2τ

ana

2

2

t

τ

τ

≤

≤

>

gao

oni

, ∀

litič

2

2

t

τ

τ

≤

≤

ni i

i im

t∀ ≠

čki

0

2τ

≤

imp

mpu

2τ≠ ±

zap

.

puls

uls.

2τ

.

pisu

s.

uje sa:

Konntinnualni s

(2.2

(2.2

sign

19

20)

21)

nali

GLLAVA

20

Tr

2.

Jedfizpr

kapoim

Oim

A 2

0

rou

.2.6

dinizičaravo

ada ovr

mpu

vakmpu

ugao

6

ičnaara oug

njšina

uls s

ko ulsa

oni

D

a imDir

gaon

egoa imse m

uva se

im

Dir

mpuraknog

ovampmož

vededo

mpul

ak

lsnaka (Pg im

a šiulsaže z

en obije

ls s

pτΔ

kov

a fuPaumpu

irina ozap

Die ka

S

e m

(tτΔ

v im

unkul Dulsa

na tostapisa

rakao g

Slik

mož

) =

mp

kcijaDiraa p

težiaje jti k

kov gra

ka 2

že iz

2τ

puls

a, nac,

(p tε

i kjedn

kao:

imanič

2.12

zra

r t

s

nazv190)t je

εδ

ka nnak:

(δ

mpučni

2 J

ziti

tτ+

van02-edi

( )tε

nulika j

( )t =

uls sluč

Jedi

i pr

2τ

na D198nič

)ε

=

i, ajedi

liε →

=

je čaj

inič

reko

2−

Dir84),ne

1p

ε

a ainic

0mδ

→

nekau

čni

o si

(2r t

rako, sepov

(p tε

ampci, p

(tεδ

ekauuza

pra

igna

)t +

ova e mvrš

)t ,

plitupog

)t .

uzaalno

avo

ala

r+

funožeine

udagled

lanog i

uga

nag

t −

nkcije poe (je

a bdati

n. Kmp

aon

giba

2τ

ijaosmedini

beski Sli

Kaupuls

ni im

a sa

.

ili matičnog

koniku

uzalsa, k

mpu

a:

Dirati

og pr

načnu 2.

lna kao

ulsi

iraki karavo

no 12.

veo na

i.

kov ao gouga

ras D

erzia Sl

impgranaono

ste.akl

ija lici

pulsničnog im

Ple, D

Dir2.1

(

s u ni simpu

(

ri tDir

(

rak3.

(2.2

u časlučulsa

(2.2

tomrako

(2.2

kovo

22)

ast čaj a):

23)

me ov

24)

og

u je

sa

jeseb

Dnu

edn

a os

Vedne desk

Dirauli

naka

sob

Vrijenakadefikon

akoimaa nu

bino

edna jefinišnačn

v ima buli:

om

nostedinše no v

Sl

mpbesk

da

t inici kaoveli

lika

pulskon

je:

−

inteak

o pikoj

a 2.1

s, prnačn

δ∞

−∞

egrako opovj vr

13

rikano

( )tδ

ala oblavrširijed

K

Sl

azavel

)dt

Dast inadno

Kauz

lika

n nliku

(δ

0

0

+

−

=

Dirakintim

osti

zaln

a 2.

na Su vr

( )t =

(δ

kovtegrmpui.

ni je

14

Slicrije

∞=

)t d

vograljeulsa

edin

D

ci 2.dno

,0,∞

dt =

g imenjaa č

ničn

Dira

.14ost,

t

t

=≠

0limε →

mpa očije

ni p

kov

, se, do

00

=≠

0m

ε

ε

δ−

ulsobuh

tr

prav

v im

e mok

,

(εδ

a hva

rajan

vou

mpu

možeje

)t d

sa ata nje

uga

uls.

e du s

dt =

prDite

aoni

definsva

1 .

oizirakeži

i im

nisaakom

zvolkov

ka

mpu

ati m d

ljniim

a n

ulsi.

kaodru

im mpunuli

Kon

.

o fuugom

grauls. Ji a

ntin

unkm

aniJač

am

nua

kcijatren

camčina mp

lni s

a konut

(2.2

(2.2

ma ud

plitu

sign

21

oja tku

25)

26)

je darauda

nali

GLLAVA

22

svjedIaće

(Gamin

Sliud

da

Kresv

nako

A 2

2

Avakodin

ako emo

DGaumplteg

Siici dara

Za je

Kažezul

vojs

Svačinoja

ko om

nici (2.

o u

Dirakusovlitudgrala

imb2.1a.

a b:

emoltujustvo

vojsn izje n

x∞

−∞

sigdr

već.25)nas

kovve da a.

boli5. R

ilo

o dućeo D

stvozračnep

(x t

gnarugoć ne) i stav

v imfunbe

ičkaRaz

ko

da eg D

Dira

o očun

prek

)t δ

al imomeko(2.2vku

mpunkcesko

a przliči

ju m

DiDirakov

odana ikidn

(t −

Sl

ma m troj v26)

u izl

uls cije,ona

redite v

mat

irakakovog

biraintena u

)0t−

lika

berenuvrije

vrlaga

se, tračn

stavveli

tem

kovovog im

anjaegrau ta

)dt

a 2.

eskoutkuednrijedanja

mrougno

va Dičin

mati

(x tv imog immpu

a Dal pački

∞

−∞

=

15

onau, aostde a p

možegaoras

Dirne s

ičku

)t δ

mpmpulsa

Diraproi dj

(x∞

∞

D

ačna pti Φi zodr

e ponoste,

rakostre

u fu

(tδ −

pulsuls

a ilu

akooizvelo

( )0t

Dira

no vpri Φ , ra krazu

posmog i

p

ovoelice

unk

0t−

s ima b

ustr

ovovodovan

(δ

akov

velitomradikauzum

matimpri

og ie se

kciju

) =

ma ira ova

g ia Dnja

t −

v im

iku me i sezala

mijev

tratpulsčem

impe m

u x

(x tsv

vriano

mpDirDir

)0t d

mpu

vrvri

e o an vati

ti i sa) mu

pulsmogu

( )x t

)0t δ

vojstijedo je

pulsakorak

dt =

uls

rijedijedDiri zi ne

kaka

u s

sa ju k

) ko

(tδ

tvo dno

na

sa oovokovo

(x=

jač

dnodnoraka nekau

ao gada e z

ačinkori

oja

t t−

odst fSli

omog iog i

)0t

čine

ostst i

kovonekauza

granji

zad

ne ustit

je n

)0t .

dabifunkici 2

oguimpimp

δ∞

−∞

e ud

u inteomauzalan

aničiho

drža

udati da

nep

iranjkcij2.16

ućapulspul

(tδ

dara

nuegra

m imzalan D

čni ova ava

araa oz

prek

ja,je u6.

ava sa sa:

0t−

a Φ

uli iala

mpuan Dirak

sluširje

Φzna

kidn

jeru ta

da i p

)0 d

Φ .

i vr(2.

ulsuDirkov

učaj rinaedin

priače

na u

r zački

seproi

dt x=

rije.26)

u jačako

v im

dra teničn

ikazraz

u t

za i dje

e naizvo

( 0x t

edno) ničineov mpu

rugieži na

zanzliči

0t=

jačelov

a jeoljn

)0 .

ost ije e udimp

uls.

ih kavr

na jeite j

0 v

činuvan

ednne

nujeddarpul

funa nurijed

e njači

rije

(

u unja.

nostfun

(

ula dnara Φls, m

nkculi, dno

na ine

edi

(2.2

udaOv

tavankc

(2.2

u ka Φ . mi

ija a

ost

27)

ara vo

an ije

28)

Ak

Z

P

Akooris

Zbo

Posm

je steć

og p

Sli

mat

neći (2

parn

ika

traj

eka 2.2

∞

−∞

nos

2.1

mo

fun8) d

(x∞

∞

ti n

6

o ne

nkcdob

( )t δ

neka

SvmaDi(c)

eka

cija bija

(tδ

auz

ojsatemirak) pr

auza

(xamo

)dt

zaln

tvomatkovroiz

alni

( )to da

x=

nog

o odtičk

vog zvo

i Di

δ

nepa je

( )0x

g Di

dabka fimd d

irak

(tδ

pre:

)0

0

δ−

irak

biranfunk

mpuldate

kov

)t =

ekid

(tδ

kov

nja kcijlsa;e fu

v im

(δ=

dna

)dt

vog

Dija n (b)

unkc

mpu

( )t−

u

t x+

im

iraknep) pocije

uls k

) .

nul

(0x

mpul

kovprekome i p

koji

li, t

)0

0

0+

lsa

vog kidn

mjerepom

i je

tada

(tδ

vri

impna uen D

mjer

pa

a je

)t d

jed

pulu taDirren

aran

e x

dt =

di da

lsa: ačkirako

nog

n sig

(0−

(0x

a je

(a)i djov Di

gna

)− =

)0 .

e:

) preloimp

irak

al:

(x=

Kon

roizvanpul

kovo

( )0+

ntin

zvolnja ls i og

) =

nua

ljna

imp

(0x

lni s

a

pul

(2.2

)0 ,

(2.3

sign

23

(a)

(b)

(c)

lsa.

29)

pa

30)

nali

GLAVA 2

24

( ) ( )00

0 0

12

t dt t dtδ δ+

−

= = . (2.31)

Prethodno razmatranje nam omogućava da izračunamo vrijednosti sljedećih intergala:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

0

10 02

x t t dt x t dt xδ δ−−∞

= = , (2.32)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

0 0

10 02

x t t dt x t dt xδ δ+∞

= = . (2.33)

Slično vrijedi za integrale proizvoda pomjerenog Dirakovog impulsa i funkcije ( )x t koja je neprekidna u 0t t= :

( ) ( ) ( )0

0 012

t

x t t t dt x tδ−∞

− = , (2.34)

( ) ( ) ( )0

0 012t

x t t t dt x tδ∞

− = . (2.35)

Već smo spomenuli da se Dirakov impuls može posmatrati i kao granični slučaj trougaonog impulsa:

( )

1 , 0

1 , 0

0,

tt

tp t t

t

ε

εε

εε

ε

Δ

+ − ≤ ≤= − ≤ ≤

>

, (2.36)

tako da je:

( ) ( )20

1limt p tεεδ

εΔ

→= . (2.37)

Ovakvo posmatranje omogućava da se odredi izvod Dirakovog impulsa:

Izimim

SlD

D

d

zvompumpu

ličnDira

UDira

d

d

δ

d

d

δ

od ulsaulsa

no akov

U anakov

S

( )tdt

δ

( )tdt

δ

Dira ua je

se vog

nalivog

(δ

Slik

lε

=

)=

raku ne ne

mg im

izi g im

( )t =

ka 2

0im

ε →

0limε →

kovonuliepar

mogmpu

sigmpu

liε →

=

2.17

1 dε

20

1mε

og i saran

gu ulsa

gnalulsa

0mδ

→

7 S

2dp

dε

Δ

2 p

d

d

δ

ima b

n:

odra pr

la ia i j

(tεδ

Sim

( )tdtε

pε

( )tdt

δ

mpubesk

redrika

i siedi

)t =

mbo

)=

t +

lε

=

ulsa kon

diti azan

steminič

limε →

=

oličk

0limε →

2ε

0limε →

jenač

d

d

δ

izvna j

ma čnog

0

1mε→

ka p

0

1mdε

p −

1mε

e imčno

( )tdt

δ

vodje n

veg o

pε

pred

d

dt

pε

δ

mpuve

)= −

di vna S

eza odsk

( )t

dst

1

1

0,

+

−

t −

t +

ulsnielik

d−

višeSlici

vekoč

liε

=

tava

,

,

t

tε

ε

+

−

2ε

2ε

i dkim

(d

dt

δ

eg i 2.

eomčnog

0im

ε ε→

a izv

,

, 0

t

−

=

δ −

dubleja

)tt

−

red17.

ma jg si

1u

ε

vod

0

t

ε− ≤

≤

>

limε →

=

tδ

let, ačin

.

da.

je vign

u t

da D

t

t

ε

≤

≤

0

1mε→

2t

ε−

prenam

Si

važala.

tε+

Dir

0

ε

≤

≤

εδ

2ε

edsma

imb

žno . N

2ε

rako

0

=

tεδ

.

tavuda

boli

usa o

u−

ovo

1

0,

ε−

2ε+

vljenara

ička

spoosno

t −

og i

2

2

1 ,

1

,

ε

ε

2ε −

n s. I

a p

ostavovu

2ε−

imp

,

εδ−

sa Izvo

pre

avitiu:

2ε

Kon

puls

0

t

ε−

≤

>

tεδ

dvaod

dst

i ve

,

ntin

sa.

t

t

ε

≤

≤ ≤

>

2ε−

a DDi

ava

ezu

nua

t

ε

≤

≤

2ε

Dirairak

a iz

u iz

lni s

0

,

,

(2.3

akokov

(2.3

zvo

me

(2.4

sign

25

38)

ova vog

39)

oda

eđu

40)

nali

GLLAVA

26

zasig

diko

odim

Po

A 2

6

akljugna

Iafere

onti

Kdsk

mpu

ovr

S

učuala:

ako encinu

Kao očn

ulsu

ršin

Slika

S

ujem

zbcijabualn

štonogu εδ

a n

a 2

Slik

mo

bogbila

ne fu

o mg si

( )tεδ

norm

.18

ka 2

da

g dian, unk

možigna) , t

mal

K

2.19

a j

iskoov

kcij

žemala e je

lizo

Kon

9 I

e D

ontvu ve u

mo dje

e:

ovan

ntin

Izvo

Dir

tinuvez

(u tε

da jed

nog

nual

od

rako

uitezu

)t ,

viddna

g pr

lna

apr

ov

δ

ta mopri

dimak

εδ

ravo

ap

rok

im

( )tδ

u nožemkaz

mo sran

( )tεδ

oug

rok

ksim

mpu

) =

nulimozan

sa Snije

) =

gao

ksim

maci

uls

du

d

i jeo ine n

Slik de

du

dε

onog

mac

ije

jed

( )tdt

edinnterna S

ke 2efin

( )tdtε

g im

cija

jed

dna

.

ničnrpreSlici

2.19nisa

).

mpu

jed

inič

k i

ni oetiri 2.1

9, iano

ulsa

dini

čno

izvo

odsati 18.

izvoom

a δ

ično

og o

odu

skoka

od jed

(tεδ

og o

ods

u j

očniao g

aprdini

)t je

ods

koč

edi

i sigra

rokično

e je

sko

čno

inič

ignanič

ksimom

edn

čno

og s

čno

al fčni

macm pr

aka

og s

sign

g o

formslu

cije rav

a jed

sign

nala

ods

malučaj

jedvoug

din

nala

a.

sko

(

lno iz

dinigao

(

nici.

a.

očno

(2.4

o nzvod

ičnoono

(2.4

og

41)

ije da

og om

42)

KD

go

(pfu

KadDira

Zorn

posunk

S

da akov

Znanjom

stupkcije

Slika

ε →vom

ajućm g

pak e i D

a 2.

0→m im

ći dgran

iluDir

.20

0 , mp

da nico

ustrrako

K

izvpuls

δ

je om

rovaovo

Kliz

vodsu:

(tδ

vriint

an og i

zeći

d

)t =

ijedtegr

na imp

i int

apr

limε →

=

dnoraci

t

−∞

Slpuls

tegr

rok

0m εδ

→

ost ije)

(δ τ

ici sa:

hu

ral

ksim

( )tεδ

kliDi

)dτ

2.2

( )t

Dir

mac

) lε

=

izećirak

dτ =

20),

t

−∞

=

rak

cije

0limε →

ćeg kov

0121

=

, us

t

δ∞

ovo

je

mdu

d

inve fu

0,1 ,21,

spo

( )τ

og i

edin

(u t

dtε

ntegunk

t

t

t

<

=

>

osta

dτ

imp

ničn

)t=

gralkcij

0

0

0

<

=

>

avlja

.

puls

nog

du

d=

la (e:

,

amo

sa:

g

( )u t

dt

(int

o v

(a)

ods

).

tegr

vezu

) t <

sko

rala

u i

0<

očn

a sa

zm

i (

og

a p

među

Kon

(b)

si

pro

u H

ntin

t >

ign

omje

Hev

nua

0 .

nala

enl

visa

lni s

t

(2.4

jivo

(2.4

ajdo

(2.4

sign

27

(a)

(b)

teži

43)

om

44)

ove

45)

nali

GLAVA 2

28

2.2.7 Kompleksni eksponencijalni i sinusni signali

Kompleksni eksponencijalni signal se definiše sa:

( ) tx t Cα= , (2.46)

gdje su C i α u opštem slučaju kompleksne konstante. Za ,C α ∈ signal dat sa (2.46) postaje realni eksponencijalni signal. Na Slici 2.21 su prikazani osnovni realni eksponencijalni signali. Kod tih signala, sa porastom vremenske varijable t , za 1α > signal eksponencijalno raste, za 0 1α< < signal eksponencijalno opada, dok se za 0α = i 1α = radi o konstantnom signalu ( )x t C= . Signali koji eksponencijalno rastu se koriste pri opisivanju nekih prirodnih pojava, kao što su lančane reakcije kod složenih hemijskih procesa ili neograničeni porast populacije bakterijskih kultura. U prirodi se fizičke pojave češće opisuju signalima koji eksponencijalno opadaju. Primjeri signala koji eksponencijalno opadaju su odzivi RC kola i signali koji opisuju radioaktivno raspadanje.

Sa kompleksnim eksponencijalnim signalima usko su povezani sinusni signali. Opšti oblik realnog sinusnog signala je:

( ) ( )0cos ,x t A t Aθ= Ω + ∈ . (2.47)

Faza θ je izražena u radijanima, a ugaona frekvencija 0Ω u radijanima po sekundi. Ugaona frekvencija 0Ω , odnosno učestanost izražena u radijanima u sekundi, je sa frekvencijom 0F izraženom u Hz povezana relacijom:

0 02 FπΩ = . (2.48)

Zapisujući kompleksne brojeve C i α u polarnom obliku: jC C e θ= i 0jeα α Ω= , kompleksni eksponencijalni signal ( ) tx t Cα= možemo zapisati sa:

( ) ( ) ( )0 0cos sint tx t C t j C tα θ α θ= Ω + + Ω + . (2.49)

Za 1α = , uz oznaku C A= , (2.49) poprima sljedeći oblik:

( ) ( ) ( ) ( )000 0cos sinj tj tx t Ce C e A t jA tθ θ θΩ +Ω= = = Ω + + Ω + . (2.50)

Za realni dio signala (2.50) vrijedi da je:

Si

fa

teta

inu

azn

e jeako

usna

no p

e iođe

Im

S

a i

pom

imasin

{m x

Slika

ko

mjer

aginnusn

( )x t

a 2

sin

ren

narnni s

} =

.21

Re

nusn

ne z

ni sign

C

R(a

({xna m

za π

dional:

Im

Reala) α

( )}tma

2π :

c

s

o p

{ je

lni α >

A=

atem

cos

sin

pos

( 0j tΩ +

eks1 i

RA

mati

(Ω

( 0Ω

ma

)}θ+

spo(b)

{Re e

ičk

)0tΩ

)0t

atra

} =

onen) 0

(je Ω

a fu

s=

c=

nog

siA

ncijα<

)0t θ+

funk

sin

os

g k

(in Ω

jalnα <

)} =

kcij

0Ω

0Ωkom

0tΩ

ni si1.

A=

a s

0t +

0t −

mpl

t θ+

ign

cos

su i

2π

2π

leks

)θ =

ali

(s Ω

isto

,

,

sno

A=

obl

0tΩ +

og o

og

cos

lika

)θ+

obl

eks

sΩ

a (x

) .

lika

spo

0tΩ

( )t

a, al

onen

θ+

C=

li s

nci

πθ −

Kon

tCα

su m

jaln

2π

ntin

:

međ

nog

.

nua

đus

g si

lni s

(2.5

sob

(2.5

(2.5

ign

(2.5

sign

29

(a)

(b)

51)

bno

52)

53)

nala

54)

nali

GLLAVA

30

Zbko

sinuč

sinjed

Va

Ak

sv

A 2

0

bogomp

nusčest

Prnusdno

ažn

ko

vaku

g topleks

sni tano

rimsoidom

na o

je

u vr

oga snim

sigosti

mjer dalnton

osob

0Ωrije

ćem si

gnai i i

sinnognu

bin

0 =edno

moinus

al sisto

nusng simu

na si

0 r

ost

o kosnim

se mog fa

A

nogign

uzik

inu

rad

T

omm sig

mofazn

cos

g siala,

ke.

usni

di s

. A

Sli

plegnal

e

ože nog

(s Ω

igna, k

ih s

e

e o

Ako

ika

eksnlima

0je Ω

zag sta

0tΩ +

ala kao

sign

0j te Ω

o k

je

2.2

ne ea. K

t =

apisava

)θ+

je i

nala

e=

ons

0Ω

22

eksKor

cos

sati ka

) =

privar

a je

0je Ω

je

stan

0≠

0T

Sin

ponriste

0sΩ

pro:

(2A

kazrija

njih

(0 t T+

0j TΩ

ntn

0 ta

0 =

nus

neneći

0t +

rek

(( je Ω

zan cije

hov

)T =

1T =

om

ada

0

2πΩ

sni

ncijaOjl

sij+

ko

0t θΩ +

nae a

va p

je Ω=

1.

m si

a je

0

π.

sign

alnlero

in Ω

kom

)θ +

a Slakus

per

0t jeΩ

igna

osn

nal

e siovu

0tΩ

mp

e−+

ici stič

iod

0j TΩ

alu

nov

(θ

ignu re

,

lek

( 0j Ω

2.2čkog

dičn

T ,

(xvni

0θ ≥

nale elaci

ksno

)t θ+

22. g p

nost

( )t =per

0 ).

koiju:

og

) .

Odprit

t. U

1=riod

od k

sin

dzivtisk

Uslo

ko

d T

koji

nusn

v LCka k

ov p

oji

0T d

ih j

nog

C kkoj

peri

je

dat s

je α

g s

kolae o

iod

per

sa:

α =

sign

a imodg

dičn

riod

1=

(

nala

(

ma gov

nost

(

(

diča

(

zva

(2.5

a is

(2.5

oblvara

ti je

(2.5

(2.5

an

(2.5

ati

55)

ste

56)

lik aju

e:

57)

58)

za

59)

Nissub

ppkpseksisi

Na osti ou pržim

rosros

kompseudkspinuinu

S

osnosnperiom oPo

Zastopstopplekdopeponsnimsnim

Slik

novunovnodioscism

kljuperiperiksnieriod

nencm m

ka 2

u pni pičniilacatra

(x

učiliodiodim dičncijasig

2.23

pretperii zacijamajm

)t =

li dičndičn

eksni slna

gnalsig

3 (p

thoioda svma

mo p

C=

smni kni rsponsinu

a flimanal

(a) Rpse

dnid. Kvakusig

pon

C α

o komrealnencusnifunka, dlima

Raseudo

ih rKon

u vgnalnov

cotα

dample

ni cijali sikcijdoka.

stućope

relantinuvrijela. vo o

(os

a seksnsinlnimignaja, k s

O

ći perio

acijaualnedn

opš

0tΩ

se ni

nusnm sali.

pae zOp

pseuodič

a lani k

nost

ti o

t θ+

iz sinuni sign

Za za

pada

udočni

ako komt Ω

obli

)θ +

ousnsign

nalimaih α

ajuć

opersin

zakmpl

0Ω ,

ik k

j+

opštni snalima, αna1ći

riodnusn

kljulekspri

kom

C

teg signi. Zči

1azivrad

p

dičnni s

učusni i če

mple

tα

onali Zaiji

anvamdi pseu

ni sign

jemeks

emu

eks

cos

obličijαsu

nvemo o oudo

sinunal.

mo spou v

nog

sΩ

ikai su

1α ≠u relop

raopaope

usn

da onenveća

g ek

0tΩ

(2u r1 rrealnpa astuadajerio

i sig

signcija vr

ksp

θ+

2.60ealnradini ov

ućimjući

odič

gna

gnaljalnrije

pon

πθ −

0) ni ii sei

vihm im čni

al i

li eni sidno

nenc

2π

zai ime oimsigpsps

(b)

0j tΩ

ignost

cija

.

a mago p

magignaseudseudsin

Kon

op

i enali

Ω

lno

α =ginapseudinarala dopdopnusn

ntin

pada

je− Ω

obl

0 o

og s

1= arnidoprni

je periperini

nua

ajuć

0tΩ likaodg

sign

di dierio

dira

iodiod

lni s

ći

imaa jegova

nala

(2.6

dobijeloodičnijeloastu

dičndičnsign

sign

31

(a)

(b)

aju 0j tΩ

ara

a:

60)

biju ovi nim ovi ućanim nim nal

nali

GLAVA 2

32

( ) ( )0costx t C tα θ= Ω + , 1α , se često naziva prigušena sinusoida. Kao primjer ovakvih signala možemo navesti odziv RLC kola. Oblici pseudoperiodičnih sinusnih signala za ova dva slučaja su prikazana na Slici 2.23. Crtkana linija predstavlja anvelopu oscilacija.

Kompleksni eksponencijalni signali igraju centralnu ulogu u predstavljanju fizičkih pojava. Ako je 0T osnovni period, osnovna kružna učestanost se definiše sa

0 02 TπΩ = . U analizi i obradi signala korisno je uvesti pojam harmonijski vezanih kompleksnih eksponencijalnih signala, tj. skupa periodičnih kompleksnih eksponencijalnih signala, čije su osnovne frekvencije jednake cjelobrojnom umnošku jedne pozitivne frekvencije 0Ω :

( ) 0 , 0, 1, 2,...jk tk kx t C e kΩ= = ± ± (2.61)

Elementi ( )kx t ovog skupa nazivaju se harmonicima. Nulti harmonik

( )0 0x t C= je konstanta, dok je za svaku drugu vrijednost k harmonik ( )kx t periodičan kompleksni eksponencijalni signal sa osnovnim periodom

( )02 kπ Ω , te je njegova osnovna učestanost 0kΩ .

Kako je signal koji je periodičan sa periodom T takođe periodičan i sa periodom mT za svaki pozitivan cio broj m , jasno je da svi signali ( )kx t imaju

zajednički period 02π Ω . Korišćenje termina harmonijski je konzistentno sa njegovim korišćenjem u muzici, gdje se odnosi na tonove koji nastaju od varijacija akustičkog pritiska na frekvencijama koje su harmonijski zavisne.

2.2.8 Sinc signal

Nenormalizovani sinc signal, prikazan na Slici 2.24, je definisan sa:

( ) ( )sinsinc

tt

t= . (2.62)

Normalizovana verzija sinc signala je data sa:

( ) ( )sinsinc

tt

t

ππ

= . (2.63)

o

nu la

p

otaslovza

Obla

Valaztač

ako

Bred

Bbjaačkalučadnoelikado

Ovaast p

Vrijeze učkaćem

Buddsta

Bez asniamaju osuku vovo

aj siprim

ednu taamamo

dućiavu

upiti na tjed

u navrij

oljen

ignamje

nostačka to do

i dDi

pušna s

= ±dnaa ajednni s

al iene,

t siam= ±

oka

da iirak

tansljed

,ε±ake ampnossu s

S

ima, po

inc ma t

1,± ±azat

imakov

nja deć

2ε±nul

plitust. svi u

Slik

a veoseb

sign=

2,± ti da

a jevog

u sći n

,ε li zuduPri uslo

ka 2

eombno

gna,nπ

a je

edinimp

stronači tza tu g

toovi

2.24

ma vo u

ala n =

U e int

ničpul

liε

ogi in. Kteže

0t ≠glavome

iz

4 G

važob

u n= ±Glategr

∞

−∞

nu lsa.

0im

ε→

maKade ka0 . noge sedef

Gra

žnu brad

nuli1,± ±avi ral

sin∞

∞

poZa

1 siε

atemda a nuAm

g lue zfinic

afič

ulodi si

i je2,± 6,

nor

(nt

ππ

ovra no

inc

maε →

uli, mplukaadrcije

čka

oguign

e je K

narma

)td

π

ršinorm

t

ε

tičk0→

palitua, pržave D

pre

u u ala

ednaKodakonaliz

dt =

nu, mali

=

ki d0 , sa suude pa fva jirak

sin

edst

frei k

akad nn uzov

1= .

sinizov

(tδ

doksve u sv

bofunjedikov

(nc

tav

ekvom

a jenormuvoane

nc van

)t .

kaz,nu

ve vočninkciinič

vog

)t

a si

encmun

edanmal

ođene sin

signi si

, oule ovrijeih lija čna

g im

inc

cijsknika

n, dlizonja nc

gnalinc

vajoveednlukou n

a vrmpu

sig

kojacio

dokovan

Fufun

l sesig

gre funostovanulirijed

ulsa.

gnal

anonim

k sene urijenkci

e mgnal

raniunkti fua sei pdno.

la.

nalizm si

e nsinceovije:

mol vri

ičnikcijeunke moprost

zi siste

nulec fu

ve t

ože rijed

i sle kokcij

mogurimint

Kon

signemi

e siunktran

kodi d

lučaoje e uu z

ma btegr

ntin

nalama

inc kcijensfo

orisda je

aj mse

u grazanebesrala

nua

a i ša.

fune nuorm

titi e:

monalaniemakona. D

lni s

širo

nkcule

maci

(2.6

i

(2.6

ožemlazečnoaritnačDak

sign

33

oku

cije su ije,

64)

za

65)

mo e u om ti u čno kle,

nali

GLAVA 2

34

2.3 Operacije nad signalima

Skoro sve poznate operacije nad matematičkim funkcijama: transformacije nezavisne varijable u koje ubrajamo refleksiju, pomjeranje (translaciju) i skaliranje; osnovne matematičke operacije: sabiranje, oduzimanje, množenje, zatim diferenciranje i integraljenje, ima smisla primjenjivati i na signale. Osim klasičnog definiše se i generalisani izvod, kako bi bilo moguće raditi izvode signala koji imaju prekide prve vrste. Ipak, najvažnija operacija pri analizi i obradi signala u vremenskom domenu je konvolucija, kojoj ćemo posvetiti posebnu pažnju. Važnu operaciju predstavlja i korelacija koju ćemo, takođe, obraditi u Glavi 4.

2.3.1 Transformacije nezavisne varijable

Refleksija signala oko neke tačke, najčešće 0t = , je ilustrovana na Slici 2.25. Refleksija signala oko nule je data sa:

( ) ( ) ,y t x t t= − ∀ . (2.66)

Translacija signala za neki iznos 0t odgovara pomaku signala po vremenskoj osi za isti iznos:

( ) ( )0 ,y t x t t t= − ∀ . (2.67)

Signal ( )0x t t− je vremenski pomjerena verzija signala ( )x t , kao na Slici 2.26.

Skaliranje signala se dobije linearnom promjenom skale nezavisne varijable:

( ) ( ) , ,y t x at t a= ∀ ∈ . (2.68)

Za 1a > signal je sužen, dok za 1a < dolazi do proširivanja signala, kao na Slici 2.27.

Sli

Sli

ika

ika

2.2

2.2

26

25

Tr

Re

rans

efle

slac

ksij

cija

ja s

sig

sign

gnal

nala

la (

a.

0t > 0> )).

Konntinnualni ssign

35

nali

GLLAVA

36

A 2

6

(a) (b (c

Sl

a)

b)

)

likaa 2.27 Sk

fa

kali

akto

iran

oro

nje

om

sign

a =

nal

2=

a: (

i (c

(a) o

c) s

orig

sign

gina

nal

alni

ska

i sig

alira

gna

an s

al; (b

sa f

b) s

fakt

sign

toro

nal

om

ska

a =

alira12

=

an s

2.

sa

Kontinualni signali

37

2.3.2 Osnovne matematičke operacije nad signalima

Sabiranje i oduzimanje signala ( )1x t i ( )2x t se definišu sa:

( ) ( ) ( )1 2 ,y t x t x t t= ± ∀ , (2.69)

dok je množenje signala dato sa:

( ) ( ) ( )1 2 ,y t x t x t t= ⋅ ∀ . (2.70)

2.3.3 Izvod i integral signala

Jednako kao za matematičke funkcije, definišu se izvod signala:

( ) ( ),

dx ty t t

dt= ∀ (2.71)

i integral signala:

( ) ( ) ,y t x t dt t= ∀ . (2.72)

Pri određivanju izvoda pretpostavlja se da signal nema diskontinuiteta. Uvođenjem Dirakovog impulsa i na njemu zasnovanoj definiciji generalisanog izvoda omogućeno je diferenciranje i onih signala koji imaju prekide prve vrste. Geometrijski gledano, prvi izvod je jednak nagibu tangente povučene na signal u tački diferenciranja. Pošto u tačkama diskontinuiteta signal ima okomit skok, nagib tangente, pa time i prvi izvod je beskonačno velik.

Signal ( )x t koji ima prekid u tački 0t t= možemo zapisati kao razliku kontinualnog signala definisanog sa:

( )( )( )( ) ( ) ( )

0

1 0 0

0 0 0

x t t t

x t x t t t

x t x t x t t t

+

+ −

>= = + − <

(2.73)

GLAVA 2

38

i reflektovanog i pomjerenog jediničnog odskočnog signala ( )0u t t− + , na sljedeći način:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 0x t x t x t x t u t t+ − = − − − + . (2.74)

Ilustracija ovakvog zapisa signala sa prekidom prikazana je na Slici 2.28.

Kako je:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )00 0

du t du t tt t t t t

dt dtδ δ δ

− += = − − + = − − , (2.75)

generalisani izvod signala ( )x t definišemo sa:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

10

0 0 0 0

,

, .

dx tt tdx t

dtdt

x t x t t t t tδ+ −

≠=

− − =

(2.76)

Pri tome smo koristili činjenicu da je ( ) ( )1dx t dx t

dt dt= za 0t t≠ . Generalisani

izvod posmatranog signala sa prekidom je prikazan na Slici 2.29.

Ako signal ima diskontinuitet u više tačaka , 0,1,2, ,kt t k n= = , generalisani izvod se definiše sa:

( )

( )

( ) ( ) ( )1

, , 0,1,2, ,

, , 0.,1,2, , .

k

n

k k k kk

dx tt t k n

dx t dtdt

x t x t t t t t k nδ+ −=

≠ ==

− − = =

(2.77)

S

S

lika

Slik

a 2.

ka 2

.29

2.28

G

Φ

8 S

p

Gen

Φ =

Sign

prid

nera

(x t

nal

dru

alisa

)0t +

(xužen

ani

) x−

)t s

ni si

izv

( 0x t

sa p

ign

vod

)0− .

pre

nal b

sig

.

kid

bez

gnal

dom

z pr

la x

m u

reki

(x t

tač

ida

) k

čki

(1x

koji

t =

( )t

im

0t

(isp

a p

(pu

pre

prek

una

kid

kid

lin

dana

u ta

Kon

ija)

a lin

ačk

ntin

i n

nija

ki t

nua

njem

a).

0t=

lni s

mu

0 ,

sign

39

nali