MATEMÁTICA IPROF. ROSARIO CORTEZ

CENTENO

SEMANA 1SESIÓN 1

FUNCIÓNDEFINICIÓN.DOMINIO Y RANGOFUNCIÓN INYECTIVA

LOGROS DE LA SESIÓN

Al finalizar la sesión de clase, el alumno tendrá la idea clara de lo que es función.

Al finalizar la sesión de clase, el alumno determinará dominio y rango de una función.

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Por ejemplo, si la regla que define a f es f(x)=x-1, tenemos

(Entrada)f(x)fx

(Salida)

IDEA INTUITIVA DE FUNCION

f(2)=1f1

Resulta útil concebir una función como una máquina de hacer cálculos. Si x esta en el dominio de la función f, entonces x entra a la maquina, se acepta como una entrada y la maquina produce una salida de acuerdo con la regla de la función.

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN Una función es una regla que asigna a cada elemento de

un conjunto D, exactamente un elemento, llamado , de un conjunto E.

Gráficamente

El rango f es el subconjunto de E que consiste en todos los valores posibles de f(x). conforme x varíe en todo el dominio D

 El conjunto D se llama dominio de la función. El número f(x). es el valor de f en x , y se lee “efe de equis”.

De ahora en adelante, solo trabajaremos con funciones para las cuales los conjuntos son subconjuntos de R ; a estas funciones se les llamara funciones reales de variable real.

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Una variable que representa los números de entrada para una función se llama variable independiente. La que representa los números de salida es una variable dependiente.

A ( r ) = r 2

Variableindependient

e

Variabledependient

e

Por ejemplo:

EVALUACIÓN DE UNA FUNCIÓN SE DESCRIBE UNA FUNCIÓN POR MEDIO DE UNA FÓRMULA QUE SE ESPECIFICA CÓMO SE CALCULA EL NÚMERO F(X) EN TÉRMINOS DE X.

 

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EJEMPLO 1

1. f(-1) , f(0) y f(t)2. f(a+b)3. El dominio de f4. Rango de f

Dada la función f definida por la regla Hallar.

2( )f x x

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GRAFICA DE UNA FUNCIÓNLa grafica de f también nos permite tener una imagen del dominio y del rango de f sobre el eje x y el eje y respectivamente.

x

y

f (1)f (2)

f (x)

(x,f (x))

1 2 x0 x

y

y = f (x)

rango

0dominio

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En la figura se muestra la grafica de una función f.

x

y1. Encuentre los valores de f(1)

y f(0)2. Hallar los valores de x para

los que f(x)=03. Hallar los valores de x para

los que f(x)<04. ¿Cuál es el dominio y rango

de f?

EJEMPLO 2.

x0

PRUEBA DE LA RECTA VERTICALPRUEBA DE LA RECTA VERTICALPRUEBA DE LA RECTA VERTICALPRUEBA DE LA RECTA VERTICAL

y = x2

-1

1

3

5

-6 -4 -2 0 2 4 6

Una curva en el plano xy es la grafica de una función en la variable x si ninguna recta vertical corta a la curva mas de una vez

x2 + y2 = 4

Es función No es función

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DOMINIO NO ESPECIFICADO

Si una función se define como en el ejemplo 1, y no se especifica el dominio , entonces se considera que el dom(f) es la totalidad de los números reales tales que f(x) es real, a veces se le llama dominio implícito de f.

EJEMPLO 3

2( ) ( ) 1b g x x

2

1( ) ( )

4c h x

x

1( ) ( )

5d F x

x

( ) ( ) 1a f x x

Determine el dominio de las siguientes funciones:

CALCULO DEL RANGO DE UNA FUNCIÓN  

Caso 1: Cuando el dominio esta implícito en la regla de correspondencia que define a la función. En este caso se despeja x en términos de y, luego se analiza para que valores de y, x es real.Ejemplos: Hallar el rango de las siguientes funciones:

( ) ( ) 1a f x x 2( ) ( ) 1b g x x

2

1( ) ( )

4c h x

x

Ax

Caso 2: Cuando el dominio esta escrito explícitamente junto con la formula que define a la función. Es decir, si

entonces Ran(f)=f(A) donde f(A) el conjunto de imágenes de x tal que Ejemplo : Sea la funcion

.

BAf :

6,2,24)(/, 2 xxxxfyxf

Hallar su rango.

Función inyectiva

Si todos los elementos del dominio están relacionados una sola vez con un elemento del rango. No puede haber dos o mas elementos del dominio con la misma imagen. Esto es:

Ejemplos: f(x) = x+5 es una función Inyectiva

ABCD

12345

fDombababfaf ,

Sea una función de A en B (f:A→B). Si f(A)=B, es decir, si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A, se dice entonces que f es una función sobreyectiva.

Sea una función de A en B (f:A→B). Si f(A)=B, es decir, si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A, se dice entonces que f es una función sobreyectiva.

AA BBff

Una función f es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

a1

a2

a3

a4

b1

b2

b3

b4AA BBff

ff: : AA → → BB

ff(a(a11) ) ff(a(a22) entonces a) entonces a11 a a22

ff((AA) = ) = BB; luego; luego f f es biyectivaes biyectiva

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Sean f y g funciones. Entonces las funciones suma f+g, diferencia f-g, producto f.g y cociente f/g se definen por:

a. (f + g)(x) = f(x) + g(x); Df+g=Df Dg

b. (f – g)(x) = f(x) – g(x); Df-g=Df Dg

c. (f · g)(x) = f(x) · g(x);Df.g=Df Dg

d. (f / g)(x) = f(x) / g(x); Df/g=Df Dgx/g(x)=0

Operaciones con Funciones

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Ejemplo 1

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Ejemplo 2

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Ejemplo 3